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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{3}{4} x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{3}{4} x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{4} x - 4) \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{4} x - 4) \cdot (\frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{4} x - 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4 (- \frac{1}{2} x - 1)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4 (- \frac{1}{2} x - 1)}$

= $- \frac{1}{4} {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{8 {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(x^{3} + 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(x^{3} + 1)}^{3}}$

= $2 {(x^{3} + 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(x^{3} + 1)}^{- 4} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{6}{{(x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (3 x^{2})$

= $- 18 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{4}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|2) und Q₂(-3|2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $\frac{1}{2}$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(-2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x)$

= $x^{- 2} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 3} \cdot \sin (x) + x^{- 2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} \cdot \sin (x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x)$

= $- 2 \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (- x - 4)$

$f'(x) =$ $\sin (- x - 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $\sin (- x - 4) \cdot (- 1)$

= $- \sin (- x - 4)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 1) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-2) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-2) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ 1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 3)$	=	0
$3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung