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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- \frac{1}{2} x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- \frac{1}{2} x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(- \frac{1}{2} x - 2)}^{3} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $12 {(- \frac{1}{2} x - 2)}^{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 6 {(- \frac{1}{2} x - 2)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 4}$

= $3 {(- \frac{1}{4} x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- \frac{1}{4} x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 4}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 4}} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{8 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x + 2}$

= $2 {(- 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 2 x + 2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x + 2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{\sqrt{- 2 x + 2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-2) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-3|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 1$ ) = $- 2$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(0) + f '(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(0) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(0) + f '(0) = -3 + 0 = $- 3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 4) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(- 4 x + 4) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot \sin (x) + (- 4 x + 4) \cdot \cos (x)$

= $- 4 \cdot \sin (x) + (- 4 x + 4) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x - 1)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x - 1)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x - 1)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (- 5 x - 1) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 5 x - 1)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 5 x - 1) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 5 x - 1) \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 10 (- 5 x - 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} - 10 \sqrt{x} (- 5 x - 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x - 6) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\cos (x^{3}) + (x - 6) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\cos (x^{3}) - 3 (x - 6) \sin (x^{3}) x^{2}$

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 4)$	=	0
$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-3) = g'(-3) = 0.

Somit ist bei x = -3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + f(-3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 8$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 8 x + 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -5 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 16$ gilt: f'(x)= $2 x + 8$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Es gilt also f(-4) = f'(-4) = 0, somit gilt h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = 0⋅g(-4) + 0⋅g'(-4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-4 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):