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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\frac{3}{2} x + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\frac{3}{2} x + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\frac{3}{2} x + 3)}^{2} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $- 3 {(\frac{3}{2} x + 3)}^{2} \cdot (\frac{3}{2})$

= $- \frac{9}{2} {(\frac{3}{2} x + 3)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x - 4}$

= $- {(- 3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 3 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 4}} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(x - 4)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $- 3 {(x - 4)}^{2} \cdot (1)$

= $- 3 {(x - 4)}^{2}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-2) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(0)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-3|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 1$ ) = $- 3,5$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = 4.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (4 x - 4) + \sin (x) \cdot (4 + 0)$

= $\cos (x) \cdot (4 x - 4) + \sin (x) \cdot (4)$

= $\cos (x) \cdot (4 x - 4) + 4 \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot (- \sin (- 5 x - 5) \cdot (- 5 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot (- \sin (- 5 x - 5) \cdot (- 5))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 5)$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 5) + 5 x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 5)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- \cos (- 3 x^{2} + 5) \cdot (- 6 x + 0)$

= $- \cos (- 3 x^{2} + 5) \cdot (- 6 x)$

= $6 \cos (- 3 x^{2} + 5) x$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x^{2} + 5)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 1 entnommen.

f '(g(3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (1) ⋅ g'(3) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 3)$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung