$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{\left(2x+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{4}{\left(2x+1\right)}^2·\left(2+0\right)$

= $-\frac{9}{4}{\left(2x+1\right)}^2·\left(2\right)$

= $-\frac{9}{2}{\left(2x+1\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\frac{1}{4}x-2}$

= ${\left(\frac{1}{4}x-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(\frac{1}{4}x-2\right)}^{-2}·\left(\frac{1}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\frac{1}{4}x-2\right)}^2}·\left(\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(\frac{1}{4}x-2\right)}^2}·\left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{4{\left(\frac{1}{4}x-2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-x^2+4}$

= ${\left(-x^2+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-x^2+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-x^2+4}}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x^2+4}}·\left(-2x\right)$

= $-\frac{x}{\sqrt{-x^2+4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-3)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(x\right)+x^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(x\right)-x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{-4x+3}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(-4x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(-4x+3\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-4x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-4x+3}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-4x+3}}·\left(-4+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+3}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-4x+3}}·\left(-4\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+3}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{2}{\sqrt{-4x+3}}\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-4x+3}-2\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{-4x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(x^3\right)+x^4·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $4x^3·\sin \left(x^3\right)+x^4·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $4x^3·\sin \left(x^3\right)+3x^4\cos \left(x^3\right)x^2$

= $4x^3·\sin \left(x^3\right)+3x^6·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-3) = 1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -3 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-3) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-3) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ 0.5 ≈ -1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1.
(also gilt g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+4x-5$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 1, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + 0⋅g'(1) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.