$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\frac{2}{3}x-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(\frac{2}{3}x-1\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-6\left(\frac{2}{3}x-1\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-4\left(\frac{2}{3}x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^2}$

= $3{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-6{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^{-3}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^3}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $-\frac{6}{{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^3}·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $-\frac{9}{{\left(\frac{3}{2}x+2\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-15{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^4·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = -3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|2) und Q₂(-3|2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $\mathrm{0,5}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-3}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-3x^{-4}·\sin \left(x\right)+x^{-3}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x^3}·\cos \left(x\right)$

= $-3\frac{\sin \left(x\right)}{x^4}+\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sqrt{-5x+3}$

= $x^4·{\left(-5x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x^3·{\left(-5x+3\right)}^{\frac{1}{2}}+x^4·\frac{1}{2}{\left(-5x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sqrt{-5x+3}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{-5x+3}}·\left(-5+0\right)$

= $4x^3\sqrt{-5x+3}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{-5x+3}}·\left(-5\right)$

= $4x^3\sqrt{-5x+3}+x^4·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x+3}}\right)$

= $4x^3\sqrt{-5x+3}-\frac{5}{2}\frac{x^4}{\sqrt{-5x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{3x+5}$

= $-3{\left(3x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(3x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x+5}}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x+5}}·\left(3\right)$

= $-\frac{9}{2\cdot \sqrt{3x+5}}$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-2) = 1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-2) ⋅ g'(0) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-3$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-3$ gilt: f'(x)= $2x+2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+10$)⋅g(x) + ( $x^2+10x+25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+10x+25$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+25$ gilt: f'(x)= $2x+10$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.