$\text{f(x)}=$ $-{\left(-3x+3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(-3x+3\right)}^3·\left(-3+0\right)$

= $-4{\left(-3x+3\right)}^3·\left(-3\right)$

= $12{\left(-3x+3\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(-3x-3\right)}^2}$

= $\frac{1}{2}{\left(-3x-3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-{\left(-3x-3\right)}^{-3}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-3x-3\right)}^3}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(-3x-3\right)}^3}·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{{\left(-3x-3\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x^3+4}$

= ${\left(x^3+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(x^3+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x^3+4}}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{x^3+4}}·\left(3x^2\right)$

= $\frac{3}{2}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{2,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -2 + 2 = $0$.

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4-2x\right)·\cos \left(x\right)+\left(-3x^5-x^2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(-15x^4-2x\right)·\cos \left(x\right)-\left(-3x^5-x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sqrt{-5x+4}$

= $x^2·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+x^2·\frac{1}{2}{\left(-5x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sqrt{-5x+4}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5+0\right)$

= $2x\sqrt{-5x+4}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5\right)$

= $2x\sqrt{-5x+4}+x^2·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x+4}}\right)$

= $2x\sqrt{-5x+4}-\frac{5}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-5x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{4}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2\sqrt[4]{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5·\sin \left(x^2\right)$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(2) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (2) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ -0.5 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.