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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} {(2 x + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} {(2 x + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 6 {(2 x + 1)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $- 6 {(2 x + 1)}^{3} \cdot (2)$

= $- 12 {(2 x + 1)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- 2 x + 5}$

= $- {(- 2 x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- 2 x + 5)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} + 3) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (x^{3} + 3) \cdot (3 x^{2})$

= $- 6 \cos (x^{3} + 3) x^{2}$

= $- 6 x^{2} \cdot \cos (x^{3} + 3)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-2) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|2) und Q₂(-1|2), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f( $- 2$ ) = $- \frac{3}{2}$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 2 x) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 2 x) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot \cos (x) + (- x^{2} - 2 x) \cdot (- \sin (x))$

= $(- 2 x - 2) \cdot \cos (x) - (- x^{2} - 2 x) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 6 (- 3 x + 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} - 6 \sqrt{x} \cdot (- 3 x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{2} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{2} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(- 3 x^{2} + 5)}^{2} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 9 {(- 3 x^{2} + 5)}^{2} \cdot (- 6 x)$

= $54 {(- 3 x^{2} + 5)}^{2} x$

= $54 x {(- 3 x^{2} + 5)}^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(3) = 1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 3 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (3) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (3) ⋅ g'(-2) ≈ -4 ⋅ -1 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$ gilt: f'(x)= $2 x + 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung