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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} \cdot \cos (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} \cdot \cos (x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \sin (x - 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{1}{4} x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{1}{4} x + 1}$

= $- {(- \frac{1}{4} x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- \frac{1}{4} x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{1}{4} x + 1}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{1}{4} x + 1}} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{8 \sqrt{- \frac{1}{4} x + 1}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (x) + 5) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $2 (\cos (x) + 5) \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 (\cos (x) + 5) \cdot \sin (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-3) und Q₂(1|-3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = $\frac{5}{2}$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 1 + 0 = $1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{x}$

= $\sin (x) \cdot x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{\frac{1}{2}} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{x} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $\cos (x) \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x + 4)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 4)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 4) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 5 x + 4) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \cos (- 5 x + 4) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- \sin (- 5 x + 4) \cdot (- 5 + 0))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 4)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- \sin (- 5 x + 4) \cdot (- 5))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 4)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x + 4)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 4)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 5 \frac{\sin (- 5 x + 4)}{\sqrt{x}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} + 4) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

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Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = -1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ 2 ⋅ 2 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

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Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 2)$	=	0
$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung