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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(- 3 x + 4)}^{3} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 4 {(- 3 x + 4)}^{3} \cdot (- 3)$

= $12 {(- 3 x + 4)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 {(- 2 x - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{1}{3 {(- 2 x - 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3} {(- 2 x - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} {(- 2 x - 3)}^{- 3} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(- 2 x - 3)}^{3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{2}{3 {(- 2 x - 3)}^{3}} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{3 {(- 2 x - 3)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x^{3} + 4)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x^{3} + 4) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- x^{3} + 4) \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \sin (- x^{3} + 4) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \sin (- x^{3} + 4)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(3)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|3) und Q₂(-3|3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $1$ ) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|3) und Q₂(-1|3), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 3 x^{5} - 4 x^{4})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 3 x^{5} - 4 x^{4})$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 3 x^{5} - 4 x^{4}) + \sin (x) \cdot (- 15 x^{4} - 16 x^{3})$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 2)}^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(- 2 x + 2)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 8 {(- 2 x + 2)}^{3} \cdot (- 2)$

= $16 {(- 2 x + 2)}^{3}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 2 x - 1)}^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 {(- 2 x - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(- 2 x - 1)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 12 {(- 2 x - 1)}^{3} \cdot (- 2)$

= $24 {(- 2 x - 1)}^{3}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

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Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(2) = 2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 2 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (2) ⋅ g'(-3) ≈ 1 ⋅ -0.5 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 2)$	=	0
$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4, bei x = 2 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + 0⋅g'(2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung