$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-\frac{1}{4}x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{1}{4}x-1\right)·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{1}{4}x-1\right)·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{8}\cdot \cos \left(-\frac{1}{4}x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}x-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{\left(\frac{2}{3}x-2\right)}^3·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-\frac{4}{3}{\left(\frac{2}{3}x-2\right)}^3·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-\frac{8}{9}{\left(\frac{2}{3}x-2\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(2x^3+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(2x^3+1\right)·\left(6x^2+0\right)$

= $6\left(2x^3+1\right)·\left(6x^2\right)$

= $36\left(2x^3+1\right)x^2$

= $36x^2\left(2x^3+1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = -3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|0) und Q₂(-1|0), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = 1.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-2}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\cos \left(x\right)+x^{-2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(-5x+2\right)}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(-5x+2\right)}^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(-5x+2\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}·(2\left(-5x+2\right)·\left(-5+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(-5x+2\right)}^2+\sqrt{x}·(2\left(-5x+2\right)·\left(-5+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x+2\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(2\left(-5x+2\right)·\left(-5\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x+2\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-10\left(-5x+2\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x+2\right)}^2}{\sqrt{x}}-10\sqrt{x}·\left(-5x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-9\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2-9\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+2\left(x^2-9\right)\cos \left(x^2\right)x$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(3) = -2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (3) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (3) ⋅ g'(1) ≈ -2 ⋅ -1 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+4x+4$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+4$ gilt: f'(x)= $2x+4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-2) = f'(-2) = 0, somit gilt h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + 0⋅g'(-2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.