$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}x-4\right)·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}x-4\right)·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\sqrt{x+1}$

= $-\frac{3}{2}{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4\sqrt{x+1}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{4\sqrt{x+1}}·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{4\sqrt{x+1}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-x^3-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-x^3-4\right)}^2·\left(-3x^2+0\right)$

= $9{\left(-x^3-4\right)}^2·\left(-3x^2\right)$

= $-27{\left(-x^3-4\right)}^2{x}^2$

= $-27{\left(\left(-x^3-4\right)x\right)}^2$

= $-27{\left(x\left(-x^3-4\right)\right)}^2$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-1)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = -1.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-2}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\cos \left(x\right)+x^{-2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-5x+4}$

= $\cos \left(x\right)·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-5x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sqrt{-5x+4}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5+0\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{-5x+4}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{-5x+4}+\cos \left(x\right)·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x+4}}\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{-5x+4}-\frac{5}{2}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{-5x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-3) = -2.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -3 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-3) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-3) ⋅ g'(0) ≈ -4 ⋅ 0.5 ≈ -2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.