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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\frac{1}{4} x + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\frac{1}{4} x + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\frac{1}{4} x + 4) \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $6 (\frac{1}{4} x + 4) \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{\frac{2}{3} x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{\frac{2}{3} x - 3}$

= $3 {(\frac{2}{3} x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(\frac{2}{3} x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3} x - 3}} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3} x - 3}} \cdot (\frac{2}{3})$

= $\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3} x - 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x^{3} + 1}$

= $- 3 {(- 3 x^{3} + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 3 x^{3} + 1)}^{- 2} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 3 x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(- 3 x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 27 \frac{x^{2}}{{(- 3 x^{3} + 1)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 1$ ) = $0,5$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -3 + 0 = $- 3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot \cos (x) + (- 4 x^{5} - 3) \cdot (- \sin (x))$

= $- 20 x^{4} \cdot \cos (x) - (- 4 x^{5} - 3) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{x - 3}$

= $\cos (x) \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \sin (x) \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot \sqrt{x - 3} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot (1 + 0)$

= $- \sin (x) \sqrt{x - 3} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot (1)$

= $- \sin (x) \sqrt{x - 3} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

= $- \sin (x) \sqrt{x - 3} + \frac{1}{2} \frac{\cos (x)}{\sqrt{x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(0) = 0.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 0 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (0) ⋅ g'(-2) ≈ -1 ⋅ 2 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung