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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (\frac{1}{4} x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (\frac{1}{4} x + 4)$

$f'(x) =$ $- \cos (\frac{1}{4} x + 4) \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $- \cos (\frac{1}{4} x + 4) \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{4} x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- 2 x + 5}$

= $- \frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} {(- 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{4 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 2 x + 5}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{3 x^{3} - 4}$

= $2 {(3 x^{3} - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(3 x^{3} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{3 x^{3} - 4}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{3 x^{3} - 4}} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{3 x^{3} - 4}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|3) und Q₂(1|3), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-1)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{- 1} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- x^{- 2} \cdot \sin (x) + x^{- 1} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x) + \frac{1}{x} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sqrt{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sqrt{2 x + 2}$

= $x^{5} \cdot {(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $5 x^{4} \cdot {(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{5} \cdot \frac{1}{2} {(2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sqrt{2 x + 2} + x^{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 2}} \cdot (2 + 0)$

= $5 x^{4} \sqrt{2 x + 2} + x^{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 2}} \cdot (2)$

= $5 x^{4} \sqrt{2 x + 2} + x^{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}}$

= $5 x^{4} \sqrt{2 x + 2} + \frac{x^{5}}{\sqrt{2 x + 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} + 9) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} + 9) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + 2 (x^{2} + 9) \cdot \sin (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 1 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (1) ⋅ g'(-1) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 4 x + 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$ gilt: f'(x)= $2 x + 4$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Es gilt also f(-2) = f'(-2) = 0, somit gilt h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + 0⋅g'(-2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):