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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x - 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x - 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(2 x - 3)}^{4} \cdot (2 + 0)$

= $5 {(2 x - 3)}^{4} \cdot (2)$

= $10 {(2 x - 3)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- x - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- x - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $2 {(- x - 4)}^{3} \cdot (- 1 + 0)$

= $2 {(- x - 4)}^{3} \cdot (- 1)$

= $- 2 {(- x - 4)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 3}$

= ${(x^{3} + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(x^{3} + 3)}^{- 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 3)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $2$ ) = $\frac{3}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = -1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x) + (2 x - 1) \cdot \cos (x)$

= $2 \cdot \sin (x) + (2 x - 1) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x + 2)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x + 2)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x + 2) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (5 x + 2) + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \cos (5 x + 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x + 2)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \cos (5 x + 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- 2 x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 2 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 2 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

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Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(0) = 0.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 0 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (0) ⋅ g'(-1) ≈ -1 ⋅ 1 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung