$\text{f(x)}=$ $2{\left(-\frac{2}{3}x+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(-\frac{2}{3}x+5\right)}^4·\left(-\frac{2}{3}+0\right)$

= $10{\left(-\frac{2}{3}x+5\right)}^4·\left(-\frac{2}{3}\right)$

= $-\frac{20}{3}{\left(-\frac{2}{3}x+5\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{\frac{1}{2}x+3}$

= ${\left(\frac{1}{2}x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1}{2}x+3}}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1}{2}x+3}}·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{4\cdot \sqrt{\frac{1}{2}x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-3x^3-4}$

= ${\left(-3x^3-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-3x^3-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-3x^3-4}}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-3x^3-4}}·\left(-9x^2\right)$

= $-\frac{9}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-3x^3-4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(3) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-1) und Q₂(1|-1), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-\frac{1}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(2) = -2.

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sqrt{x+3}$

= $x^4·{\left(x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x^3·{\left(x+3\right)}^{\frac{1}{2}}+x^4·\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sqrt{x+3}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x+3}}·\left(1+0\right)$

= $4x^3\sqrt{x+3}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x+3}}·\left(1\right)$

= $4x^3\sqrt{x+3}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

= $4x^3\sqrt{x+3}+\frac{1}{2}\frac{x^4}{\sqrt{x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x-4\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x-4\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x-4\right)\sin \left(x^2\right)x$

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(3) = 0.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 3 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (3) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (3) ⋅ g'(-1) ≈ -2 ⋅ -2 ≈ 4.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.