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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(- \frac{2}{3} x - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(- \frac{2}{3} x - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{4} {(- \frac{2}{3} x - 5)}^{4} \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{5}{4} {(- \frac{2}{3} x - 5)}^{4} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{5}{6} {(- \frac{2}{3} x - 5)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{2} x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{2} x + 4}$

= $\frac{3}{4} {(\frac{1}{2} x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{8} {(\frac{1}{2} x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{8 \cdot \sqrt{\frac{1}{2} x + 4}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{3}{8 \cdot \sqrt{\frac{1}{2} x + 4}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{3}{16 \cdot \sqrt{\frac{1}{2} x + 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}$

= $- 3 {(- 3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 1}} \cdot (- 6 x)$

= $9 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} - 1}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-2) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|3) und Q₂(1|3), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 2$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -1 + 1 = $0$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (3 x - 2) + \sin (x) \cdot (3 + 0)$

= $\cos (x) \cdot (3 x - 2) + \sin (x) \cdot (3)$

= $\cos (x) \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(- 4 x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(- 4 x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot {(- 4 x - 5)}^{4} + \cos (x) \cdot 4 {(- 4 x - 5)}^{3} \cdot (- 4 + 0)$

= $- \sin (x) {(- 4 x - 5)}^{4} + \cos (x) \cdot 4 {(- 4 x - 5)}^{3} \cdot (- 4)$

= $- \sin (x) {(- 4 x - 5)}^{4} + \cos (x) \cdot (- 16 {(- 4 x - 5)}^{3})$

= $- \sin (x) {(- 4 x - 5)}^{4} - 16 \cos (x) {(- 4 x - 5)}^{3}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\cos (x) + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\cos (x) + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\cos (x) + 4)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 3 {(\cos (x) + 4)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $3 {(\cos (x) + 4)}^{2} \cdot \sin (x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-1) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-1) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-1) ⋅ g'(0) ≈ -1 ⋅ 2 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung