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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\frac{3}{4} x + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\frac{3}{4} x + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\frac{3}{4} x + 4)}^{2} \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $- 3 {(\frac{3}{4} x + 4)}^{2} \cdot (\frac{3}{4})$

= $- \frac{9}{4} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4 (- x - 3)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4 (- x - 3)}$

= $\frac{1}{4} {(- x - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} {(- x - 3)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 {(- x - 3)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{4 {(- x - 3)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{4 {(- x - 3)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x^{3} + 4}$

= $- 2 {(- 2 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- 2 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{2}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|1) und Q₂(3|1), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = -3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (x) + x^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $2 x \cdot \cos (x) - x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (- x + 1)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- x + 1) + (2 x + 4) \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x + 1) + (2 x + 4) \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1)$

= $2 \cdot \sin (- x + 1) + (2 x + 4) \cdot (- \cos (- x + 1))$

= $2 \cdot \sin (- x + 1) - (2 x + 4) \cdot \cos (- x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x - 5) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + (2 x - 5) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -2 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-2) = -2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -2 entnommen.

f '(g(3)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (-2) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-2) ⋅ g'(3) ≈ -4 ⋅ 2 ≈ -8.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 x$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x + 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ gilt: f'(x)= $2 x + 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Es gilt also f(-1) = f'(-1) = 0, somit gilt h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + 0⋅g'(-1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung