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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- \frac{1}{2} x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- \frac{1}{2} x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- \frac{1}{2} x - 3)}^{3} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $4 {(- \frac{1}{2} x - 3)}^{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 2 {(- \frac{1}{2} x - 3)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

= $2 {(2 x + 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}} \cdot (2)$

= $- \frac{8}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(2 x^{3} - 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(2 x^{3} - 4)}^{2}}$

= $- 3 {(2 x^{3} - 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(2 x^{3} - 4)}^{- 3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(2 x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(2 x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (6 x^{2})$

= $36 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 4)}^{3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-2) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = $- 2$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -3 + ( - 1 ) = $- 4$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 5 x^{4} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 5 x^{4} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 5 x^{4} - 5 x) + \sin (x) \cdot (- 20 x^{3} - 5)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{5 x - 3}$

= $x^{3} \cdot {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{5 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5 x - 3}} \cdot (5 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{5 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5 x - 3}} \cdot (5)$

= $3 x^{2} \sqrt{5 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{5}{2 \cdot \sqrt{5 x - 3}}$

= $3 x^{2} \sqrt{5 x - 3} + \frac{5}{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{5 x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-1) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-1) ⋅ g'(0) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 1)$	=	0
$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 x$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung