$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{\left(x+5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{\left(x+5\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $-\frac{4}{3}{\left(x+5\right)}^3·\left(1\right)$

= $-\frac{4}{3}{\left(x+5\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{\frac{1}{2}x-4}$

= $2{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^{-2}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^2}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^2}·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{-3x^3-4}$

= $-3{\left(-3x^3-4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(-3x^3-4\right)}^{-2}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-3x^3-4\right)}^2}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-3x^3-4\right)}^2}·\left(-9x^2\right)$

= $-27\frac{x^2}{{\left(-3x^3-4\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-3$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-3) und Q₂(-1|-3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\left(-5x^5-x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\left(-5x^5-x^3\right)+\cos \left(x\right)·\left(-25x^4-3x^2\right)$

= $-\sin \left(x\right)·\left(-5x^5-x^3\right)+\cos \left(x\right)·\left(-25x^4-3x^2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·\sqrt{5x-1}$

= $\left(x^2+6\right)·{\left(5x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(2x+0\right)·{\left(5x-1\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x^2+6\right)·\frac{1}{2}{\left(5x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sqrt{5x-1}+\left(x^2+6\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x-1}}·\left(5+0\right)$

= $2x·\sqrt{5x-1}+\left(x^2+6\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x-1}}·\left(5\right)$

= $2x\sqrt{5x-1}+\left(x^2+6\right)·\frac{5}{2\cdot \sqrt{5x-1}}$

= $2x\sqrt{5x-1}+\frac{5}{2}\frac{x^2+6}{\sqrt{5x-1}}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(x^2\right)+x^4·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+x^4·2\cos \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+2x^4\cos \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\sin \left(x^2\right)+2x^5·\cos \left(x^2\right)$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 3 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(3) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 3 entnommen.

f '(g(0)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (3) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (3) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ -0.5 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x+1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x+1$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x+1$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-16$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.