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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} {(- \frac{1}{3} x + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} {(- \frac{1}{3} x + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2} {(- \frac{1}{3} x + 5)}^{4} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{15}{2} {(- \frac{1}{3} x + 5)}^{4} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{5}{2} {(- \frac{1}{3} x + 5)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{- 3 x - 1}$

= $\frac{3}{2} {(- 3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} {(- 3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{4 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{4 \sqrt{- 3 x - 1}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 3 x^{3} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 3 x^{3} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- 3 x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $6 {(- 3 x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 54 {(- 3 x^{3} + 5)}^{2} x^{2}$

= $- 54 {((- 3 x^{3} + 5) x)}^{2}$

= $- 54 {(x (- 3 x^{3} + 5))}^{2}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(1) = 3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x) + x^{4} \cdot \cos (x)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x) + x^{4} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sqrt{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sqrt{4 x - 4}$

= $(3 x + 4) \cdot {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(3 + 0) \cdot {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (3 x + 4) \cdot \frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 + 0)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sqrt{4 x - 4} + (3 x + 4) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x - 4}} \cdot (4 + 0)$

= $3 \sqrt{4 x - 4} + (3 x + 4) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x - 4}} \cdot (4)$

= $3 \sqrt{4 x - 4} + (3 x + 4) \cdot \frac{2}{\sqrt{4 x - 4}}$

= $3 \sqrt{4 x - 4} + 2 \frac{3 x + 4}{\sqrt{4 x - 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x + 7) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x + 7) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x + 7) \cdot \sin (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(0) = -2.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 0 entnommen.

f '(g(2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (0) ⋅ g'(2) ≈ -1 ⋅ -0.5 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 4)$	=	0
$3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4, bei x = 4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 x$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung