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Kursstufe
cosh
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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
Kettenregel ohne e-Fktn (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).
Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.
Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)
g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = -2.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(-2|0) und Q2(2|0), also bei
x1 = -2 und x2 = 2
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-1)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-1)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-1)) = f() = .
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(-1) + f '(-1).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(-1) + f '(-1) =
1 +
nur Produktregel ohne e-Fktn
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ketten- und Produktregel (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
=
Ketten- und Produktregel (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel graphisch
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).
Berechnung von h(2) = f(g(2))
Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -3 entnehmen.
Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-3)
g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-3) = 1.
Berechnung von h '(2)
Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden
h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)
Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -3 entnommen.
f '(g(2)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):
f '(g(2)) = f' (-3) ≈ 1
Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).
g' (2) = m = 2
Somit erhalten wir:
h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-3) ⋅ g'(2) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
| = | | | ||
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= |
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).
Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei
x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).
Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir: h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.
Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
|
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= | ||
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= | |
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= |
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|: |
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= |
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Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.
Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
