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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $- \cos (2 x + 4) \cdot (2 + 0)$

= $- \cos (2 x + 4) \cdot (2)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{\frac{3}{2} x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{\frac{3}{2} x - 4}$

= $2 {(\frac{3}{2} x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(\frac{3}{2} x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} x - 4}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} x - 4}} \cdot (\frac{3}{2})$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x - 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{2} - 1}$

= $3 {(- x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} - 1}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} - 1}} \cdot (- 2 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 1}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -3 + 0 = $- 3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x) + \sqrt{x} \cdot \cos (x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \sqrt{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \sqrt{- 4 x - 4}$

= $(2 x^{2} - 9) \cdot {(- 4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(4 x + 0) \cdot {(- 4 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (2 x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2} {(- 4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sqrt{- 4 x - 4} + (2 x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x - 4}} \cdot (- 4 + 0)$

= $4 x \cdot \sqrt{- 4 x - 4} + (2 x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x - 4}} \cdot (- 4)$

= $4 x \sqrt{- 4 x - 4} + (2 x^{2} - 9) \cdot (- \frac{2}{\sqrt{- 4 x - 4}})$

= $4 x \sqrt{- 4 x - 4} - 2 \frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{- 4 x - 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (2 x) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x) - 2 x^{5} \cdot \sin (2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-3) = -1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-3) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-3) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung