$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\frac{2}{3}x+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{3}{\left(\frac{2}{3}x+4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $\frac{10}{3}{\left(\frac{2}{3}x+4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{20}{9}{\left(\frac{2}{3}x+4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2\left(-x+5\right)}$

= $-\frac{3}{2}{\left(-x+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-x+5\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2{\left(-x+5\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{3}{2{\left(-x+5\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2{\left(-x+5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{3x^3+1}$

= $2{\left(3x^3+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(3x^3+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{3x^3+1}}·\left(9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{3x^3+1}}·\left(9x^2\right)$

= $9\frac{x^2}{\sqrt{3x^3+1}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{0,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(2) = -2.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-2}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\sin \left(x\right)+x^{-2}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $-2\frac{\sin \left(x\right)}{x^3}+\frac{\cos \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\cos \left(x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\cos \left(x-1\right)+x^5·\left(-\sin \left(x-1\right)\right)$

= $5x^4·\cos \left(x-1\right)-x^5·\sin \left(x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(2x\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(2x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(2x\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(2x\right)·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(2x\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(2x\right)·2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(2x\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(2x\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2\sqrt[4]{x}·\cos \left(2x\right)$

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(2) = 1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 2 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (2) ⋅ g'(-1) ≈ -2 ⋅ -1 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+10$)⋅g(x) + ( $x^2+10x+25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+10x+25$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+25$ gilt: f'(x)= $2x+10$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.