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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\frac{1}{3} x + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\frac{1}{3} x + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\frac{1}{3} x + 5) \cdot (\frac{1}{3} + 0)$

= $- 4 (\frac{1}{3} x + 5) \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} x + 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3)$

= $9 \cdot \cos (- 3 x - 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 3}$

= ${(- x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x)$

= $- \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-2) und Q₂(-1|-2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 2$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (x)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sin (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sin (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot \sin (2 x + 2) + \cos (x) \cdot \cos (2 x + 2) \cdot (2 + 0)$

= $- \sin (x) \cdot \sin (2 x + 2) + \cos (x) \cdot \cos (2 x + 2) \cdot (2)$

= $- \sin (x) \cdot \sin (2 x + 2) + \cos (x) \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 2)$

= $- \sin (x) \cdot \sin (2 x + 2) + 2 \cos (x) \cdot \cos (2 x + 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x + 5) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x + 5) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x + 5) \cdot \cos (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(2) = 0.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (2) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (2) ⋅ g'(0) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 1)$	=	0
$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung