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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} (x + 1) \cdot (1 + 0)$

= $\frac{4}{3} (x + 1) \cdot (1)$

= $\frac{4}{3} (x + 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(\frac{1}{2} x - 3)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(\frac{1}{2} x - 3)}^{3}}$

= $- 3 {(\frac{1}{2} x - 3)}^{- 3}$

=> f'(x) = $9 {(\frac{1}{2} x - 3)}^{- 4} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{{(\frac{1}{2} x - 3)}^{4}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{9}{{(\frac{1}{2} x - 3)}^{4}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{9}{2 {(\frac{1}{2} x - 3)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 \cdot \cos (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{2} - 5) \cdot (2 x + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (x^{2} - 5) \cdot (2 x)$

= $- 4 \sin (x^{2} - 5) x$

= $- 4 x \cdot \sin (x^{2} - 5)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 0 = $1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x)}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{3} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x - 3))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3) - 4 x^{3} \cdot \cos (- 4 x - 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 {(- x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(- x - 4)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $9 {(- x - 4)}^{2} \cdot (- 1)$

= $- 9 {(- x - 4)}^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

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Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(0) = -1.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 0 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (0) ⋅ g'(-3) ≈ -1 ⋅ -0.5 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 2)$	=	0
$3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung