Mathebattle EduRandomtasks

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x + 4) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x + 4) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 {(- 2 x - 4)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 {(- 2 x - 4)}^{3}}$

= $\frac{1}{2} {(- 2 x - 4)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 2 x - 4)}^{- 4} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 {(- 2 x - 4)}^{4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{3}{2 {(- 2 x - 4)}^{4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{{(- 2 x - 4)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $3 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $3 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot \cos (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $1$ ) = $1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -3 + ( - 1 ) = $- 4$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot \sin (x) + (5 x - 3) \cdot \cos (x)$

= $5 \cdot \sin (x) + (5 x - 3) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (5 x + 5) + (x + 6) \cdot \cos (5 x + 5) \cdot (5 + 0)$

= $\sin (5 x + 5) + (x + 6) \cdot \cos (5 x + 5) \cdot (5)$

= $\sin (5 x + 5) + (x + 6) \cdot 5 \cdot \cos (5 x + 5)$

= $\sin (5 x + 5) + 5 (x + 6) \cdot \cos (5 x + 5)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{5} \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{6} \cdot \cos (x^{2})$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(2) = 1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 2 entnommen.

f '(g(3)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (2) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (2) ⋅ g'(3) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 1)$	=	0
$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 10$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 10 x + 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$ gilt: f'(x)= $2 x + 10$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung