$\text{f(x)}=$ $-{\left(x-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(x-4\right)·\left(1+0\right)$

= $-2\left(x-4\right)·\left(1\right)$

= $-2\left(x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{2x+2}$

= $-\frac{1}{4}{\left(2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{\left(2x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{8\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2\right)$

= $-\frac{1}{4\cdot \sqrt{2x+2}}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(2x^3+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(2x^3+1\right)}^2·\left(6x^2+0\right)$

= $3{\left(2x^3+1\right)}^2·\left(6x^2\right)$

= $18{\left(2x^3+1\right)}^2{x}^2$

= $18{\left(\left(2x^3+1\right)x\right)}^2$

= $18{\left(x\left(2x^3+1\right)\right)}^2$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|2) und Q₂(3|2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $2$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = -1.

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4+4x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)+\left(3x^4+4x^2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(12x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)-\left(3x^4+4x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·\sqrt{-3x-4}$

= $\left(x^2+5\right)·{\left(-3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(2x+0\right)·{\left(-3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x^2+5\right)·\frac{1}{2}{\left(-3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sqrt{-3x-4}+\left(x^2+5\right)·\frac{1}{2\sqrt{-3x-4}}·\left(-3+0\right)$

= $2x·\sqrt{-3x-4}+\left(x^2+5\right)·\frac{1}{2\sqrt{-3x-4}}·\left(-3\right)$

= $2x\sqrt{-3x-4}+\left(x^2+5\right)·\left(-\frac{3}{2\sqrt{-3x-4}}\right)$

= $2x\sqrt{-3x-4}-\frac{3}{2}\frac{x^2+5}{\sqrt{-3x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(2) = -1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 2 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (2) ⋅ g'(-1) ≈ -2 ⋅ -2 ≈ 4.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-9$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.