$\text{f(x)}=$ $2{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^4·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $10{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^4·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $5{\left(\frac{1}{2}x-4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^2}$

= ${\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-2{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^{-3}·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^3}·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^3}·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{2{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(x+1\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $4{\left(x+1\right)}^3·\left(1\right)$

= $4{\left(x+1\right)}^3$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -3 + 0 = $-3$.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-2}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\cos \left(x\right)+x^{-2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·{\left(2x-1\right)}^4$

= $x^{-\frac{1}{2}}·{\left(2x-1\right)}^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·{\left(2x-1\right)}^4+x^{-\frac{1}{2}}·4{\left(2x-1\right)}^3·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·{\left(2x-1\right)}^4+\frac{1}{\sqrt{x}}·4{\left(2x-1\right)}^3·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(2x-1\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·4{\left(2x-1\right)}^3·\left(2\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(2x-1\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·8{\left(2x-1\right)}^3$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(2x-1\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+8\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·\cos \left(-2x+3\right)$

= $x^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(-2x+3\right)$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·\cos \left(-2x+3\right)+x^{-\frac{1}{2}}·(-\sin \left(-2x+3\right)·\left(-2+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·\cos \left(-2x+3\right)+\frac{1}{\sqrt{x}}·(-\sin \left(-2x+3\right)·\left(-2+0\right))$

= $-\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-2x+3\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·(-\sin \left(-2x+3\right)·\left(-2\right))$

= $-\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-2x+3\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·2\cdot \sin \left(-2x+3\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-2x+3\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+2\frac{\sin \left(-2x+3\right)}{\sqrt{x}}$

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(2) = 0.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 2 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (2) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (2) ⋅ g'(-3) ≈ -4 ⋅ -1 ≈ 4.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.