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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $2 {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{3} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $2 {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} x - 5) \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} x - 5) \cdot (\frac{3}{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} x - 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} - 1) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (- x^{3} - 1) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \sin (- x^{3} - 1) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \sin (- x^{3} - 1)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-2) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 4$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -2 + ( - 2 ) = $- 4$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 2) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 2) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot \cos (x) + (2 x^{3} + 2) \cdot (- \sin (x))$

= $6 x^{2} \cdot \cos (x) - (2 x^{3} + 2) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (3 x + 3)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x + 3) \cdot (3 + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (3 x + 3) \cdot (3)$

= $- 9 \cdot \cos (3 x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- 3 x^{3} - 3}$

= $- 2 {(- 3 x^{3} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- 3 x^{3} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- 3 x^{3} - 3}} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- 3 x^{3} - 3}} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 3 x^{3} - 3}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-3) = 2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-3) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-3) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung