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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- \frac{1}{3} x - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- \frac{1}{3} x - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- \frac{1}{3} x - 3)}^{2} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $6 {(- \frac{1}{3} x - 3)}^{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- 2 {(- \frac{1}{3} x - 3)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- \frac{1}{4} x + 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- \frac{1}{4} x + 4)}^{2}}$

= $- 2 {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{- 3} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(- \frac{1}{4} x + 4)}^{3}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

= $\frac{4}{{(- \frac{1}{4} x + 4)}^{3}} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{{(- \frac{1}{4} x + 4)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $- \sin (x^{2} - 1) \cdot (2 x + 0)$

= $- \sin (x^{2} - 1) \cdot (2 x)$

= $- 2 \sin (x^{2} - 1) x$

= $- 2 x \cdot \sin (x^{2} - 1)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(2) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- 3$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 4) \cdot \cos (x) + (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot (- \sin (x))$

= $(- 10 x - 4) \cdot \cos (x) - (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(5 x + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(5 x + 2)}^{3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(5 x + 2)}^{3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(5 x + 2)}^{3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(5 x + 2)}^{2} \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(5 x + 2)}^{3} + \sqrt{x} \cdot 3 {(5 x + 2)}^{2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x + 2)}^{3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 {(5 x + 2)}^{2} \cdot (5)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x + 2)}^{3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 15 {(5 x + 2)}^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x + 2)}^{3}}{\sqrt{x}} + 15 \sqrt{x} {(5 x + 2)}^{2}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + x^{4} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + x^{4} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{4} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{6} \cdot \cos (x^{3})$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-2) = 1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-2) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 1)$	=	0
$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung