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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( -2x -1 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -2x -1 ) 2

f'(x)= 4( -2x -1 ) · ( -2 +0 )

= 4( -2x -1 ) · ( -2 )

= -8( -2x -1 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 1 4 x -1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 1 4 x -1

= -2 ( 1 4 x -1 ) 1 2

=> f'(x) = - ( 1 4 x -1 ) - 1 2 · ( 1 4 +0 )

f'(x)= - 1 1 4 x -1 · ( 1 4 +0 )

= - 1 1 4 x -1 · ( 1 4 )

= - 1 4 1 4 x -1

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( 3x +5 ) 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( 3x +5 ) 5

f'(x)= 10 ( 3x +5 ) 4 · ( 3 +0 )

= 10 ( 3x +5 ) 4 · ( 3 )

= 30 ( 3x +5 ) 4

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(0|-2) und Q2(-2|-2), also bei
x1 = 0 und x2 = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = 2 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f(2).

f(2) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f(2) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(3|0) und Q2(-1|0), also bei
x1 = 3 und x2 = -1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( -2x +5 ) · sin( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( -2x +5 ) · sin( x )

f'(x)= ( -2 +0 ) · sin( x ) + ( -2x +5 ) · cos( x )

= -2 sin( x ) + ( -2x +5 ) · cos( x )

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · ( -4x -2 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x · ( -4x -2 ) 2

= x 1 2 · ( -4x -2 ) 2

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · ( -4x -2 ) 2 + x 1 2 · ( 2( -4x -2 ) · ( -4 +0 ) )

f'(x)= 1 2 x · ( -4x -2 ) 2 + x · ( 2( -4x -2 ) · ( -4 +0 ) )

= 1 2 ( -4x -2 ) 2 x + x · ( 2( -4x -2 ) · ( -4 ) )

= 1 2 ( -4x -2 ) 2 x + x · ( -8( -4x -2 ) )

= 1 2 ( -4x -2 ) 2 x -8 x · ( -4x -2 )

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · sin( x 2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x · sin( x 2 )

= x 1 2 · sin( x 2 )

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · sin( x 2 ) + x 1 2 · cos( x 2 ) · 2x

f'(x)= 1 2 x · sin( x 2 ) + x · cos( x 2 ) · 2x

= 1 2 sin( x 2 ) x + x · 2 cos( x 2 ) x

= 1 2 sin( x 2 ) x +2 x cos( x 2 ) x

= 1 2 sin( x 2 ) x +2 ( x ) 3 · cos( x 2 )

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(0) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 0 entnommen.

f '(g(2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (0) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (0) ⋅ g'(2) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= ( x -2 ) 2 und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

( x -2 ) 2 = 0 | 2
x -2 = 0
x -2 = 0 | +2
x = 2
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -4
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x )⋅g(x) + ( x 2 -4 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2, bei x = 4 und bei x = 0.
(also gilt g(-2) = g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + 0⋅g'(-2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +1
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x -2 )⋅g(x) + ( x 2 -2x +1 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 -2x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit f(x)= x 2 -2x +1 gilt: f'(x)= 2x -2 . Diese setzen wir = 0:

2x -2 = 0 | +2
2x = 2 |:2
x = 1

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.