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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} x - 3) \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} x - 3) \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{4} \cdot \sin (- \frac{1}{2} x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 (- \frac{1}{3} x - 2)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 (- \frac{1}{3} x - 2)}$

= $- \frac{1}{3} {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3 {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{9 {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x^{3} + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \cdot (6 x^{2})$

= $- 24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2}$

= $- 24 x^{2} {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(3) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|1) und Q₂(-3|1), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $2$ ) = $4$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = 4.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (x) + x^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $2 x \cdot \cos (x) - x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 3) \cdot (- 4 + 0))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 3) \cdot (- 4))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) + x^{3} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 3)$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) + 4 x^{3} \cdot \sin (- 4 x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 3 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(3) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 3 entnommen.

f '(g(0)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (3) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (3) ⋅ g'(0) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung