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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} {(\frac{3}{2} x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} {(\frac{3}{2} x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $2 {(\frac{3}{2} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $2 {(\frac{3}{2} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{3}{2})$

= $3 {(\frac{3}{2} x - 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- 3 x + 3}$

= $2 {(- 3 x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- 3 x + 3)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{6}{{(- 3 x + 3)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\cos (x) + 4) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 4 (\cos (x) + 4) \cdot (- \sin (x))$

= $4 (\cos (x) + 4) \cdot \sin (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(-2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(3) = 0.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (x) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (x) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (x))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - \sqrt[4]{x} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot {(- x + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot {(- x + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot {(- x + 2)}^{3} + \sin (x) \cdot 3 {(- x + 2)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\cos (x) {(- x + 2)}^{3} + \sin (x) \cdot 3 {(- x + 2)}^{2} \cdot (- 1)$

= $\cos (x) {(- x + 2)}^{3} + \sin (x) \cdot (- 3 {(- x + 2)}^{2})$

= $\cos (x) {(- x + 2)}^{3} - 3 \sin (x) {(- x + 2)}^{2}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (2 x) + (x + 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\sin (2 x) + (x + 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\sin (2 x) + 2 (x + 1) \cdot \cos (2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(-1) = 1.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = -1 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (-1) ≈ -0.5

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (-1) ⋅ g'(-3) ≈ -0.5 ⋅ 1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 2)$	=	0
$3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung