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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x - 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3)$

= $- 6 \cdot \cos (- 3 x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 (- 2 x + 3)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 (- 2 x + 3)}$

= $\frac{1}{3} {(- 2 x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} {(- 2 x + 3)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3 {(- 2 x + 3)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{3 {(- 2 x + 3)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{3 {(- 2 x + 3)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x + 2) \cdot (- 2)$

= $- 6 \cdot \sin (- 2 x + 2)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

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Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-1)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = $\frac{3}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = 4.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot \cos (x) + (4 x + 5) \cdot (- \sin (x))$

= $4 \cdot \cos (x) - (4 x + 5) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{- 2 x - 4}$

= $\sin (x) \cdot {(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot {(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{- 2 x - 4} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\cos (x) \sqrt{- 2 x - 4} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2)$

= $\cos (x) \sqrt{- 2 x - 4} + \sin (x) \cdot (- \frac{1}{\sqrt{- 2 x - 4}})$

= $\cos (x) \sqrt{- 2 x - 4} - \frac{\sin (x)}{\sqrt{- 2 x - 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + x^{4} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + x^{4} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + 3 x^{4} \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-3) = -1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -3 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-3) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-3) ⋅ g'(2) ≈ 2 ⋅ 1 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 4)$	=	0
$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3.
(also gilt g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 4)$	=	0
$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung