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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{2} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{4} \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{5}{2} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{4} \cdot (\frac{3}{4})$

= $- \frac{15}{8} {(\frac{3}{4} x + 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \sin (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \sin (- x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{4} \cdot \cos (- x + 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\cos (x) - 4)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $9 {(\cos (x) - 4)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 9 {(\cos (x) - 4)}^{2} \cdot \sin (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = $1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 2 + ( - 2 ) = $0$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (5 x^{4} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (5 x^{4} - 4)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (5 x^{4} - 4) + \cos (x) \cdot (20 x^{3} + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (5 x^{4} - 4) + \cos (x) \cdot (20 x^{3})$

= $- \sin (x) \cdot (5 x^{4} - 4) + 20 \cos (x) x^{3}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (5 x - 3) + (2 x - 5) \cdot (- \sin (5 x - 3) \cdot (5 + 0))$

= $2 \cdot \cos (5 x - 3) + (2 x - 5) \cdot (- \sin (5 x - 3) \cdot (5))$

= $2 \cdot \cos (5 x - 3) + (2 x - 5) \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x - 3))$

= $2 \cdot \cos (5 x - 3) - 5 (2 x - 5) \cdot \sin (5 x - 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x + 4}$

= $- 2 {(3 x + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(3 x + 4)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(3 x + 4)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{2}{{(3 x + 4)}^{2}} \cdot (3)$

= $\frac{6}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-1) = 0.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -1 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-1) ⋅ g'(2) ≈ 2 ⋅ 2 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 2)$	=	0
$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung