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Kursstufe
cosh
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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
Kettenregel ohne e-Fktn (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).
Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.
Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)
g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 0.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(-2|2) und Q2(2|2), also bei
x1 = -2 und x2 = 2
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-2)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-2)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-2)) = f() = .
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(-1) + f '(-1).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(-1) = -2 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(-1) + f '(-1) =
-2 +
nur Produktregel ohne e-Fktn
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
Ketten- und Produktregel (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ketten- und Produktregel (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
=
Kettenregel graphisch
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).
Berechnung von h(-3) = f(g(-3))
Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 3 entnehmen.
Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(3)
g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(3) = -2.
Berechnung von h '(-3)
Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden
h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)
Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 3 entnommen.
f '(g(-3)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):
f '(g(-3)) = f' (3) ≈ 1
Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).
g' (-3) = m = -0.5
Somit erhalten wir:
h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (3) ⋅ g'(-3) ≈ 1 ⋅ -0.5 ≈ -0.5.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
| = | | | ||
|
|
= |
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass
h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = (
gilt.
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.
Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:
Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).
Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Für die Ableitung von f mit
|
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= | |
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|
|
|
= |
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|: |
|
|
= |
|
Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -2, wodurch mit f'(-2)=0 und g'(-2)=0 in beiden Summanden der
Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) =
f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + f(-2)⋅0 = 0.
Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
|
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= | |
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= |
|
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= | |
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|
|
|
= |
|
Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
