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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $- 3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot (2)$

= $- 6 {(2 x - 5)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- 2 x + 4}$

= ${(- 2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- 2 x + 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 10 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $- 10 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot \cos (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $2$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(-2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 1) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 1) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 0) \cdot \cos (x) + (- 5 x^{4} + 1) \cdot (- \sin (x))$

= $- 20 x^{3} \cdot \cos (x) - (- 5 x^{4} + 1) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{2 x - 1}$

= $x^{3} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{2 x - 1} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}} \cdot (2 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 1} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}} \cdot (2)$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 1} + x^{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 1} + \frac{x^{3}}{\sqrt{2 x - 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(1) = -1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 1 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (1) ⋅ g'(-1) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 2)$	=	0
$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$ gilt: f'(x)= $2 x - 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):