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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\frac{2}{3} x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\frac{2}{3} x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(\frac{2}{3} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $4 {(\frac{2}{3} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{2}{3})$

= $\frac{8}{3} {(\frac{2}{3} x - 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x - 4)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x - 4)}^{3}}$

= $3 {(- 2 x - 4)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 9 {(- 2 x - 4)}^{- 4} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{{(- 2 x - 4)}^{4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{9}{{(- 2 x - 4)}^{4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{18}{{(- 2 x - 4)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- x^{2} - 2}$

= $- {(- x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 2}} \cdot (- 2 x)$

= $\frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- 3$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = 0.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot \sin (x) + (- 3 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x - 2)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x - 2)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x - 2)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (- 5 x - 2) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 5 x - 2)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 5 x - 2) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 5 x - 2) \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 10 (- 5 x - 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} - 10 \sqrt{x} \cdot (- 5 x - 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + x^{3} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + x^{3} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{3} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(0) = 2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 0 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (0) ⋅ g'(-3) ≈ -1 ⋅ -2 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 3)$	=	0
$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-2) = f'(g(-2))⋅g'(-2) = f'(g(-2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung