$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{1}{4}x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-\frac{1}{4}x-5\right)·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-\frac{1}{4}x-5\right)·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{8}\cdot \sin \left(-\frac{1}{4}x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x-1\right)·\left(2+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(2x-1\right)·\left(2\right)$

= $-4\cdot \cos \left(2x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-x^3+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(-x^3+2\right)}^2·\left(-3x^2+0\right)$

= $-6{\left(-x^3+2\right)}^2·\left(-3x^2\right)$

= $18{\left(-x^3+2\right)}^2{x}^2$

= $18{\left(\left(-x^3+2\right)x\right)}^2$

= $18{\left(x\left(-x^3+2\right)\right)}^2$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(2) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|3) und Q₂(1|3), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = $2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(0)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(3|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-1}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-x^{-2}·\cos \left(x\right)+x^{-1}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-\frac{\cos \left(x\right)}{x^2}-\frac{\sin \left(x\right)}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·\sqrt{4x+4}$

= $\left(x-6\right)·{\left(4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(1+0\right)·{\left(4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x-6\right)·\frac{1}{2}{\left(4x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sqrt{4x+4}+\left(x-6\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x+4}}·\left(4+0\right)$

= $\sqrt{4x+4}+\left(x-6\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x+4}}·\left(4\right)$

= $\sqrt{4x+4}+\left(x-6\right)·\frac{2}{\sqrt{4x+4}}$

= $\sqrt{4x+4}+2\frac{x-6}{\sqrt{4x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+1}$

= ${\left(2x^2+1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(2x^2+1\right)}^{-2}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x\right)$

= $-4\frac{x}{{\left(2x^2+1\right)}^2}$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-8$ gilt: f'(x)= $2x+2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4x+4$ gilt: f'(x)= $2x-4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(2) = f'(2) = 0, somit gilt h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + 0⋅g'(2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =2 eine waagrechte Tangente.