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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(\frac{1}{4} x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(\frac{1}{4} x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- {(\frac{1}{4} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $- {(\frac{1}{4} x - 5)}^{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} {(\frac{1}{4} x - 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 (x - 3)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 (x - 3)}$

= $\frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}} \cdot (1)$

= $- \frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 5) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 5) \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cos (- 3 x^{3} + 5) x^{2}$

= $27 x^{2} \cdot \cos (- 3 x^{3} + 5)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-3) und Q₂(1|-3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f( $- 2$ ) = $- \frac{3}{2}$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -3 + 2 = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{2} + \sin (x) \cdot 2 x$

= $\cos (x) x^{2} + 2 \sin (x) x$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot \sqrt{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot \sqrt{4 x + 5}$

= $(3 x^{2} - 3) \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(6 x + 0) \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x^{2} - 3) \cdot \frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 + 0)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sqrt{4 x + 5} + (3 x^{2} - 3) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x + 5}} \cdot (4 + 0)$

= $6 x \cdot \sqrt{4 x + 5} + (3 x^{2} - 3) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x + 5}} \cdot (4)$

= $6 x \sqrt{4 x + 5} + (3 x^{2} - 3) \cdot \frac{2}{\sqrt{4 x + 5}}$

= $6 x \sqrt{4 x + 5} + 2 \frac{3 x^{2} - 3}{\sqrt{4 x + 5}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- x^{3} - 3}$

= $3 {(- x^{3} - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- x^{3} - 3)}^{- 2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- x^{3} - 3)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{{(- x^{3} - 3)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{{(- x^{3} - 3)}^{2}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = 1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ -2 ⋅ 1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung