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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 2x -4 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 2x -4 ) 2

f'(x)= 2( 2x -4 ) · ( 2 +0 )

= 2( 2x -4 ) · ( 2 )

= 4( 2x -4 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 ( 2x -3 ) 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( 2x -3 ) 5

f'(x)= 15 ( 2x -3 ) 4 · ( 2 +0 )

= 15 ( 2x -3 ) 4 · ( 2 )

= 30 ( 2x -3 ) 4

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( cos( x ) -3 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( cos( x ) -3 ) 2

f'(x)= 2( cos( x ) -3 ) · ( - sin( x ) +0 )

= 2( cos( x ) -3 ) · ( - sin( x ) )

= -2 ( cos( x ) -3 ) · sin( x )

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(1|-2) und Q2(-1|-2), also bei
x1 = 1 und x2 = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = 0 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f(0).

f(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f(0) = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = -2 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -2 + ( - 2 ) = -4.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin( x ) · x 5 und vereinfache:

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f(x)= sin( x ) · x 5

f'(x)= cos( x ) · x 5 + sin( x ) · 5 x 4

= cos( x ) x 5 +5 sin( x ) x 4

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · ( -5x +5 ) 2 und vereinfache:

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f(x)= x · ( -5x +5 ) 2

= x 1 2 · ( -5x +5 ) 2

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · ( -5x +5 ) 2 + x 1 2 · ( 2( -5x +5 ) · ( -5 +0 ) )

f'(x)= 1 2 x · ( -5x +5 ) 2 + x · ( 2( -5x +5 ) · ( -5 +0 ) )

= 1 2 ( -5x +5 ) 2 x + x · ( 2( -5x +5 ) · ( -5 ) )

= 1 2 ( -5x +5 ) 2 x + x · ( -10( -5x +5 ) )

= 1 2 ( -5x +5 ) 2 x -10 x ( -5x +5 )

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 · ( -x -2 ) 2 und vereinfache:

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f(x)= x 4 · ( -x -2 ) 2

= x 1 4 · ( -x -2 ) 2

=> f'(x) = 1 4 x - 3 4 · ( -x -2 ) 2 + x 1 4 · ( 2( -x -2 ) · ( -1 +0 ) )

f'(x)= 1 4 ( x 4 ) 3 · ( -x -2 ) 2 + x 4 · ( 2( -x -2 ) · ( -1 +0 ) )

= 1 4 ( -x -2 ) 2 ( x 4 ) 3 + x 4 · ( 2( -x -2 ) · ( -1 ) )

= 1 4 ( -x -2 ) 2 ( x 4 ) 3 + x 4 · ( -2( -x -2 ) )

= 1 4 ( -x -2 ) 2 ( x 4 ) 3 -2 x 4 ( -x -2 )

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-3) = 0.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-3) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-3) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 3( x +3 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

3( x +3 ) = 0
3x +9 = 0 | -9
3x = -9 |:3
x = -3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 3 + x +1
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -25
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x )⋅g(x) + ( x 2 -25 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 -25 = 0 | +25
x 2 = 25 | 2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = f'(5)⋅0 + 0⋅g'(5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.