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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- \frac{1}{3} x + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- \frac{1}{3} x + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (- \frac{1}{3} x + 4) \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $2 (- \frac{1}{3} x + 4) \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x - 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x - 2)}^{2}}$

= $- 3 {(- x - 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(- x - 2)}^{- 3} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- x - 2)}^{3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{6}{{(- x - 2)}^{3}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{{(- x - 2)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(x - 5)}^{4} \cdot (1 + 0)$

= $10 {(x - 5)}^{4} \cdot (1)$

= $10 {(x - 5)}^{4}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|3) und Q₂(-1|3), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $2$ ) = $4$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = 1 + 2 = $3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (x) + x^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $2 x \cdot \cos (x) - x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x + 5}$

= $- {(3 x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(3 x + 5)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3)$

= $\frac{3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (1) ⋅ g'(0) ≈ 0.5 ⋅ -0.5 ≈ -0.25.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 4)$	=	0
$3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$ gilt: f'(x)= $2 x + 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):