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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- x + 5)}^{3} \cdot (- 1 + 0)$

= $4 {(- x + 5)}^{3} \cdot (- 1)$

= $- 4 {(- x + 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{1}{4} x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{1}{4} x - 1}$

= $- \frac{1}{2} {(- \frac{1}{4} x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} {(- \frac{1}{4} x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 1}} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{1}{4 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 1}} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{16 \sqrt{- \frac{1}{4} x - 1}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{2 x^{2} - 1}$

= $- {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 1}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 1}} \cdot (4 x)$

= $- 2 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $1$ ) = $- 3$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot \sin (x) + (- 4 x^{3} + 2) \cdot \cos (x)$

= $(- 4 x^{3} + 2) \cdot \cos (x) - 12 x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 3)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x + 3) + x^{4} \cdot (- \sin (x + 3))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x + 3) - x^{4} \cdot \sin (x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (2 x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (2 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (2 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

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Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(-2) = -2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = -2 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (-2) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (-2) ⋅ g'(-3) ≈ -1 ⋅ 2 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 3)$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung