$\text{f(x)}=$ $-{\left(3x-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(3x-3\right)·\left(3+0\right)$

= $-2\left(3x-3\right)·\left(3\right)$

= $-6\left(3x-3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}$

= $-\frac{3}{4}{\left(-\frac{1}{3}x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{8}{\left(-\frac{1}{3}x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{1}{3}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{8\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}·\left(-\frac{1}{3}+0\right)$

= $-\frac{3}{8\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{8\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-2x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-2x^2-4\right)·\left(-4x+0\right)$

= $\sin \left(-2x^2-4\right)·\left(-4x\right)$

= $-4\sin \left(-2x^2-4\right)x$

= $-4x·\sin \left(-2x^2-4\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-1)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $-4$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(2) = 1.

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·x^4+\cos \left(x\right)·4x^3$

= $-\sin \left(x\right)x^4+4\cos \left(x\right)x^3$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(-3x+1\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-3x+1\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(-3x+1\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-3x+1\right)·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(-3x+1\right)+\sqrt{x}·\cos \left(-3x+1\right)·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-3x+1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(-3x+1\right)·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-3x+1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3\cdot \cos \left(-3x+1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-3x+1\right)}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·\cos \left(-3x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(5x-3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(5x-3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(5x-3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(5x-3\right)·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(5x-3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(5x-3\right)·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(5x-3\right)·\left(5\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·5\cdot \cos \left(5x-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-3\right)}{\sqrt{x}}+5\sqrt{x}·\cos \left(5x-3\right)$

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = -2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-8$)⋅g(x) + ( $x^2-8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-8x+16$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-8x+16$ gilt: f'(x)= $2x-8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(4) = f'(4) = 0, somit gilt h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = 0⋅g(4) + 0⋅g'(4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =4 eine waagrechte Tangente.