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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $- \cos (2 x + 4) \cdot (2 + 0)$

= $- \cos (2 x + 4) \cdot (2)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 1}$

= ${(- 2 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- 2 x - 1)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x - 1)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{{(- 2 x - 1)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{{(- 2 x - 1)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(3 x - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(3 x - 3)}^{2} \cdot (3 + 0)$

= $3 {(3 x - 3)}^{2} \cdot (3)$

= $9 {(3 x - 3)}^{2}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-3) und Q₂(1|-3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 3$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = 1 + 1 = $2$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{3}}$

= $\sin (x) \cdot x^{- 3}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{- 3} + \sin (x) \cdot (- 3 x^{- 4})$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \frac{1}{x^{3}} + \sin (x) \cdot (- \frac{3}{x^{4}})$

= $\frac{\cos (x)}{x^{3}} - 3 \frac{\sin (x)}{x^{4}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{3 x - 1}$

= $\cos (x) \cdot {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \sin (x) \cdot {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot \sqrt{3 x - 1} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 1}} \cdot (3 + 0)$

= $- \sin (x) \sqrt{3 x - 1} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 1}} \cdot (3)$

= $- \sin (x) \sqrt{3 x - 1} + \cos (x) \cdot \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 1}}$

= $- \sin (x) \sqrt{3 x - 1} + \frac{3}{2} \frac{\cos (x)}{\sqrt{3 x - 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 5 x + 2)}^{4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x + 2)}^{4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 5 x + 2)}^{4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 {(- 5 x + 2)}^{3} \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 5 x + 2)}^{4} + \sqrt{x} \cdot 4 {(- 5 x + 2)}^{3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x + 2)}^{4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 {(- 5 x + 2)}^{3} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x + 2)}^{4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 20 {(- 5 x + 2)}^{3})$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 5 x + 2)}^{4}}{\sqrt{x}} - 20 \sqrt{x} {(- 5 x + 2)}^{3}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(0) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 0 entnommen.

f '(g(3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (0) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (0) ⋅ g'(3) ≈ 1 ⋅ -1 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-5) = g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = f'(-5)⋅0 + 0⋅g'(-5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -5 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 3)$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung