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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\frac{1}{2} x + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\frac{1}{2} x + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\frac{1}{2} x + 3)}^{4} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $5 {(\frac{1}{2} x + 3)}^{4} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{5}{2} {(\frac{1}{2} x + 3)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- x + 3}$

= $2 {(- x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- x + 3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x + 3}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x + 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (x - 2) \cdot (1 + 0)$

= $4 (x - 2) \cdot (1)$

= $4 (x - 2)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{- 1} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- x^{- 2} \cdot \sin (x) + x^{- 1} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x) + \frac{1}{x} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (4 x + 4) + x^{5} \cdot (- \sin (4 x + 4) \cdot (4 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (4 x + 4) + x^{5} \cdot (- \sin (4 x + 4) \cdot (4))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (4 x + 4) + x^{5} \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x + 4))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (4 x + 4) - 4 x^{5} \cdot \sin (4 x + 4)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(0) = -2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 0 entnommen.

f '(g(1)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (0) ≈ -0.5

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (0) ⋅ g'(1) ≈ -0.5 ⋅ 0.5 ≈ -0.25.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 4)$	=	0
$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-5) = g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung