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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x + 2) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x + 2) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x + 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{1}{2} x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{1}{2} x - 4}$

= $- \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2} x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} {(- \frac{1}{2} x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 \sqrt{- \frac{1}{2} x - 4}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{4 \sqrt{- \frac{1}{2} x - 4}} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{8 \sqrt{- \frac{1}{2} x - 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 4}$

= ${(- 2 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- 2 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-1|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (x) + x^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (x) - x^{3} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (3 x + 2) + x^{2} \cdot (- \sin (3 x + 2) \cdot (3 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (3 x + 2) + x^{2} \cdot (- \sin (3 x + 2) \cdot (3))$

= $2 x \cdot \cos (3 x + 2) + x^{2} \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x + 2))$

= $2 x \cdot \cos (3 x + 2) - 3 x^{2} \cdot \sin (3 x + 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(3) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 3 entnommen.

f '(g(2)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (3) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (3) ⋅ g'(2) ≈ 2 ⋅ -1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$ gilt: f'(x)= $2 x + 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 4)$	=	0
$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung