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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{2} \cdot (- \frac{1}{4} + 0)$

= $\frac{3}{4} {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{2} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{16} {(- \frac{1}{4} x + 4)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 {(- \frac{3}{4} x + 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 {(- \frac{3}{4} x + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2} {(- \frac{3}{4} x + 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = ${(- \frac{3}{4} x + 3)}^{- 3} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- \frac{3}{4} x + 3)}^{3}} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

= $\frac{1}{{(- \frac{3}{4} x + 3)}^{3}} \cdot (- \frac{3}{4})$

= $- \frac{3}{4 {(- \frac{3}{4} x + 3)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x^{2} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x^{2} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(2 x^{2} - 1)}^{3} \cdot (4 x + 0)$

= $8 {(2 x^{2} - 1)}^{3} \cdot (4 x)$

= $32 {(2 x^{2} - 1)}^{3} x$

= $32 x {(2 x^{2} - 1)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 1$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x + 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (- 4 x + 3) + \cos (x) \cdot (- 4 + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (- 4 x + 3) + \cos (x) \cdot (- 4)$

= $- \sin (x) \cdot (- 4 x + 3) - 4 \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{- x - 3}$

= $x^{2} \cdot {(- x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x \cdot {(- x - 3)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} \cdot \frac{1}{2} {(- x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sqrt{- x - 3} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- x - 3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $2 x \sqrt{- x - 3} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- x - 3}} \cdot (- 1)$

= $2 x \sqrt{- x - 3} + x^{2} \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{- x - 3}})$

= $2 x \sqrt{- x - 3} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{- x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 8) \cdot \cos (2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 1 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (1) ⋅ g'(-3) ≈ 1 ⋅ -1 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 4)$	=	0
$3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 10$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 10 x + 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$ gilt: f'(x)= $2 x + 10$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung