Mathebattle EduRandomtasks

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(x - 2)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $- 12 {(x - 2)}^{3} \cdot (1)$

= $- 12 {(x - 2)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

= $- {(3 x - 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $3 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(3 x - 1)}^{4}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{3}{{(3 x - 1)}^{4}} \cdot (3)$

= $\frac{9}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x^{3} - 2}$

= $- 2 {(- 2 x^{3} - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- 2 x^{3} - 2)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{2}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-2) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f( $- 2$ ) = $- \frac{5}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 0.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x)}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(5 x - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(5 x - 3)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(5 x - 3)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(5 x - 3)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (5 x - 3) \cdot (5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(5 x - 3)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (5 x - 3) \cdot (5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x - 3)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (5 x - 3) \cdot (5))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x - 3)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (10 (5 x - 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(5 x - 3)}^{2}}{\sqrt{x}} + 10 \sqrt{x} (5 x - 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (3 x) + (2 x - 9) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 \cdot \cos (3 x) + (2 x - 9) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 \cdot \cos (3 x) - 3 (2 x - 9) \cdot \sin (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(0) = -2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 0 entnommen.

f '(g(1)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (0) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (0) ⋅ g'(1) ≈ 0.5 ⋅ 2 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 4)$	=	0
$3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung