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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{2} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{4} \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{5}{2} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{4} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{5}{3} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{\frac{2}{3} x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{\frac{2}{3} x + 2}$

= ${(\frac{2}{3} x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(\frac{2}{3} x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3} x + 2}} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3} x + 2}} \cdot (\frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3} x + 2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} + 3}$

= $- {(- 2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 3}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 3}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} + 3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = 0.

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-2) = -1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{- 1} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- x^{- 2} \cdot \sin (x) + x^{- 1} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x) + \frac{1}{x} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(3 x + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(3 x + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(3 x + 3)}^{4} \cdot (3 + 0)$

= $- 15 {(3 x + 3)}^{4} \cdot (3)$

= $- 45 {(3 x + 3)}^{4}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x^{2} + 6) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(2) = 0.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 2 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (2) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (2) ⋅ g'(-3) ≈ 2 ⋅ -1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung