$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-\frac{1}{2}x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-\frac{1}{2}x-2\right)·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $\sin \left(-\frac{1}{2}x-2\right)·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}x-2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{3}x+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x+1\right)·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x+1\right)·\left(\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x^2-4\right)}^2}$

= $-3{\left(-x^2-4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $6{\left(-x^2-4\right)}^{-3}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(-x^2-4\right)}^3}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(-x^2-4\right)}^3}·\left(-2x\right)$

= $-12\frac{x}{{\left(-x^2-4\right)}^3}$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|2) und Q₂(-3|2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f($0$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 2.

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x\right)+\sqrt{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+1\right)·\sqrt{5x+5}$

= $\left(x^2+1\right)·{\left(5x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(2x+0\right)·{\left(5x+5\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x^2+1\right)·\frac{1}{2}{\left(5x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sqrt{5x+5}+\left(x^2+1\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+5}}·\left(5+0\right)$

= $2x·\sqrt{5x+5}+\left(x^2+1\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+5}}·\left(5\right)$

= $2x\sqrt{5x+5}+\left(x^2+1\right)·\frac{5}{2\cdot \sqrt{5x+5}}$

= $2x\sqrt{5x+5}+\frac{5}{2}\frac{x^2+1}{\sqrt{5x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = 0.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.