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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot \cos (- x + 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 (- 3 x - 2)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 (- 3 x - 2)}$

= $\frac{2}{3} {(- 3 x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} {(- 3 x - 2)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(- 3 x - 2)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{2}{3 {(- 3 x - 2)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{2}{{(- 3 x - 2)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x + 5}$

= $- 2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{3 x + 5}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{3 x + 5}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{\sqrt{3 x + 5}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-3|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 0.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (2 x^{5} - 5)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (2 x^{5} - 5)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (2 x^{5} - 5) + \cos (x) \cdot (10 x^{4} + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (2 x^{5} - 5) + \cos (x) \cdot (10 x^{4})$

= $- \sin (x) \cdot (2 x^{5} - 5) + 10 \cos (x) x^{4}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot {(3 x - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot {(3 x - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot {(3 x - 4)}^{2} + \sin (x) \cdot (2 (3 x - 4) \cdot (3 + 0))$

= $\cos (x) {(3 x - 4)}^{2} + \sin (x) \cdot (2 (3 x - 4) \cdot (3))$

= $\cos (x) {(3 x - 4)}^{2} + \sin (x) \cdot (6 (3 x - 4))$

= $\cos (x) {(3 x - 4)}^{2} + 6 \sin (x) \cdot (3 x - 4)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (5 x + 2)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (5 x + 2)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (5 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (5 x + 2) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (5 x + 2) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x + 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x + 2) \cdot (5)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x + 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 5 \cdot \cos (5 x + 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x + 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 5 \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x + 2)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

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Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(3) = 1.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 3 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (3) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (3) ⋅ g'(-3) ≈ -4 ⋅ -1 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung