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Kursstufe
cosh
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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
Kettenregel ohne e-Fktn (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).
Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 entnehmen.
Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-2)
g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-2) = 2.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(-1|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-1)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(-1|-1) und Q2(1|-1), also bei
x1 = -1 und x2 = 1
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-1)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-1)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-1)) = f() = .
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(2) + f '(2).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(2) = -2 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(2) + f '(2) =
-2 +
nur Produktregel ohne e-Fktn
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ketten- und Produktregel (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
=
Ketten- und Produktregel (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel graphisch
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).
Berechnung von h(2) = f(g(2))
Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 3 entnehmen.
Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(3)
g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(3) = -2.
Berechnung von h '(2)
Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden
h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)
Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 3 entnommen.
f '(g(2)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):
f '(g(2)) = f' (3) ≈ -2
Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).
g' (2) = m = -0.5
Somit erhalten wir:
h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (3) ⋅ g'(2) ≈ -2 ⋅ -0.5 ≈ 1.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass
h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( )⋅g(x) + ( )⋅g'(x)
gilt.
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.
Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:
Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).
Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:
Für die Ableitung von f mit gilt: f'(x)= . Diese setzen wir = 0:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Es gilt also f(5) = f'(5) = 0, somit gilt h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = 0⋅g(5) + 0⋅g'(5) = 0.
Somit hat h an der Stelle x =5 eine waagrechte Tangente.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).
Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei
x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).
Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir: h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.
Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.
