$\text{f(x)}=$ $-{\left(-\frac{3}{2}x-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-\frac{3}{2}x-4\right)}^2·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $-3{\left(-\frac{3}{2}x-4\right)}^2·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{9}{2}{\left(-\frac{3}{2}x-4\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^3}$

= $-\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^{-4}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^4}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $\frac{3}{2{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^4}·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{9}{4{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{-x^2-2}$

= $-2{\left(-x^2-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(-x^2-2\right)}^{-2}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-x^2-2\right)}^2}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(-x^2-2\right)}^2}·\left(-2x\right)$

= $-4\frac{x}{{\left(-x^2-2\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -3 + 0 = $-3$.

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

= $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

= $-{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sqrt{-4x-5}$

= $x^5·{\left(-4x-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $5x^4·{\left(-4x-5\right)}^{\frac{1}{2}}+x^5·\frac{1}{2}{\left(-4x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sqrt{-4x-5}+x^5·\frac{1}{2\sqrt{-4x-5}}·\left(-4+0\right)$

= $5x^4\sqrt{-4x-5}+x^5·\frac{1}{2\sqrt{-4x-5}}·\left(-4\right)$

= $5x^4\sqrt{-4x-5}+x^5·\left(-\frac{2}{\sqrt{-4x-5}}\right)$

= $5x^4\sqrt{-4x-5}-2\frac{x^5}{\sqrt{-4x-5}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(2x+5\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+\left(2x+5\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(2x+5\right)·\cos \left(3x\right)$

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(2) = 1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 2 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (2) ⋅ g'(-2) ≈ 1 ⋅ -2 ≈ -2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+8$)⋅g(x) + ( $x^2+8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+8x+16$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+8x+16$ gilt: f'(x)= $2x+8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-4) = f'(-4) = 0, somit gilt h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = 0⋅g(-4) + 0⋅g'(-4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-4 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+4x-5$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x-5$ gilt: f'(x)= $2x+4$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -2, wodurch mit f'(-2)=0 und g'(-2)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.