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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(3 x + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(3 x + 4)}^{2} \cdot (3 + 0)$

= $3 {(3 x + 4)}^{2} \cdot (3)$

= $9 {(3 x + 4)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{1}{2} x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{1}{2} x + 5}$

= $- {(- \frac{1}{2} x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2} x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{1}{2} x + 5}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{1}{2} x + 5}} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{4 \sqrt{- \frac{1}{2} x + 5}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{2 x - 5}$

= $- 2 {(2 x - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(2 x - 5)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}} \cdot (2)$

= $\frac{4}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|2) und Q₂(-3|2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 3) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(3 x^{3} + 3) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot \sin (x) + (3 x^{3} + 3) \cdot \cos (x)$

= $(3 x^{3} + 3) \cdot \cos (x) + 9 x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x - 5}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{1}{x - 5}$

= ${(x - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(x - 5)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot (1)$

= $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 9) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 9) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 9) \cdot \cos (2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-2) = 0.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-2) ⋅ g'(0) ≈ 1 ⋅ 0.5 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 1)$	=	0
$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung