$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{\left(x-5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}{\left(x-5\right)}^4·\left(1+0\right)$

= $\frac{5}{4}{\left(x-5\right)}^4·\left(1\right)$

= $\frac{5}{4}{\left(x-5\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x+2}$

= $-{\left(x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}·\left(1\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-x^2+2}$

= $3{\left(-x^2+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-x^2+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-x^2+2}}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x^2+2}}·\left(-2x\right)$

= $-3\frac{x}{\sqrt{-x^2+2}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f($0$) = $-4$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\frac{1}{x^3}$

= $\cos \left(x\right)·x^{-3}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)·x^{-3}+\cos \left(x\right)·\left(-3x^{-4}\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\frac{1}{x^3}+\cos \left(x\right)·\left(-\frac{3}{x^4}\right)$

= $-\frac{\sin \left(x\right)}{x^3}-3\frac{\cos \left(x\right)}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sqrt{x-5}$

= $x^4·{\left(x-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x^3·{\left(x-5\right)}^{\frac{1}{2}}+x^4·\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sqrt{x-5}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x-5}}·\left(1+0\right)$

= $4x^3\sqrt{x-5}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x-5}}·\left(1\right)$

= $4x^3\sqrt{x-5}+x^4·\frac{1}{2\sqrt{x-5}}$

= $4x^3\sqrt{x-5}+\frac{1}{2}\frac{x^4}{\sqrt{x-5}}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·{\left(-3x+4\right)}^3$

= $x^{\frac{3}{2}}·{\left(-3x+4\right)}^3$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·{\left(-3x+4\right)}^3+x^{\frac{3}{2}}·3{\left(-3x+4\right)}^2·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·{\left(-3x+4\right)}^3+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·3{\left(-3x+4\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}{\left(-3x+4\right)}^3+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·3{\left(-3x+4\right)}^2·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}{\left(-3x+4\right)}^3+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\left(-9{\left(-3x+4\right)}^2\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}{\left(-3x+4\right)}^3-9{\left(\sqrt{x}\right)}^3{\left(-3x+4\right)}^2$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(3) = -2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (3) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (3) ⋅ g'(1) ≈ 4 ⋅ -0.5 ≈ -2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5 und bei x = 1.
(also gilt g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-3$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 1, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + 0⋅g'(1) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.