$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+2\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+2\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-2\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2\left(-x+5\right)}$

= $\frac{1}{2}{\left(-x+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-x+5\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(-x+5\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(-x+5\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2{\left(-x+5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-2x+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(-2x+5\right)}^4·\left(-2+0\right)$

= $-5{\left(-2x+5\right)}^4·\left(-2\right)$

= $10{\left(-2x+5\right)}^4$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(3) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-3|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 1 + ( - 2 ) = $-1$.

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+5\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·\sin \left(x\right)+\left(5x+5\right)·\cos \left(x\right)$

= $5\cdot \sin \left(x\right)+\left(5x+5\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+7\right)·\sqrt{4x+4}$

= $\left(2x^2+7\right)·{\left(4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(4x+0\right)·{\left(4x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(2x^2+7\right)·\frac{1}{2}{\left(4x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sqrt{4x+4}+\left(2x^2+7\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x+4}}·\left(4+0\right)$

= $4x·\sqrt{4x+4}+\left(2x^2+7\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x+4}}·\left(4\right)$

= $4x\sqrt{4x+4}+\left(2x^2+7\right)·\frac{2}{\sqrt{4x+4}}$

= $4x\sqrt{4x+4}+2\frac{2x^2+7}{\sqrt{4x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x^2\right)$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-2) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-2) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ 0.5 ≈ -1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-8$)⋅g(x) + ( $x^2-8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-8x+16$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-8x+16$ gilt: f'(x)= $2x-8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(4) = f'(4) = 0, somit gilt h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = 0⋅g(4) + 0⋅g'(4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =4 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+8$)⋅g(x) + ( $x^2+8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+8x+16$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+8x+16$ gilt: f'(x)= $2x+8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-4) = f'(-4) = 0, somit gilt h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = 0⋅g(-4) + 0⋅g'(-4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-4 eine waagrechte Tangente.