$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-\frac{3}{4}x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-\frac{3}{4}x+4\right)·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-\frac{3}{4}x+4\right)·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(-\frac{3}{4}x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2\left(-3x+4\right)}$

= $\frac{1}{2}{\left(-3x+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-3x+4\right)}^{-2}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(-3x+4\right)}^2}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(-3x+4\right)}^2}·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{2{\left(-3x+4\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(2x^3-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(2x^3-4\right)}^4·\left(6x^2+0\right)$

= $10{\left(2x^3-4\right)}^4·\left(6x^2\right)$

= $60{\left(2x^3-4\right)}^4{x}^2$

= $60x^2{\left(2x^3-4\right)}^4$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{x}$

= $\sin \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{x}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{x}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sqrt{-2x+1}$

= $x^5·{\left(-2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $5x^4·{\left(-2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}+x^5·\frac{1}{2}{\left(-2x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sqrt{-2x+1}+x^5·\frac{1}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2+0\right)$

= $5x^4\sqrt{-2x+1}+x^5·\frac{1}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2\right)$

= $5x^4\sqrt{-2x+1}+x^5·\left(-\frac{1}{\sqrt{-2x+1}}\right)$

= $5x^4\sqrt{-2x+1}-\frac{x^5}{\sqrt{-2x+1}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x^2\right)$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-2) = -1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-2) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-2) ⋅ g'(1) ≈ -4 ⋅ 2 ≈ -8.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -5 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x+4$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4x+4$ gilt: f'(x)= $2x-4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(2) = f'(2) = 0, somit gilt h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + 0⋅g'(2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-10$)⋅g(x) + ( $x^2-10x+25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-10x+25$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-10x+25$ gilt: f'(x)= $2x-10$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(5) = f'(5) = 0, somit gilt h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = 0⋅g(5) + 0⋅g'(5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =5 eine waagrechte Tangente.