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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(3 x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(3 x + 4)}^{4} \cdot (3 + 0)$

= $5 {(3 x + 4)}^{4} \cdot (3)$

= $15 {(3 x + 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 (- 2 x + 1)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 (- 2 x + 1)}$

= $\frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3 {(- 2 x + 1)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{3 {(- 2 x + 1)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{3 {(- 2 x + 1)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$

= ${(- 3 x - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 3 x - 2)}^{- 4} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{{(- 3 x - 2)}^{4}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(0|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $- 2$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(-2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (x) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (x) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (x))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - \sqrt[4]{x} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (4 x + 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (4 x + 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (4 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (4 x + 3) \cdot (4 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (4 x + 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (4 x + 3) \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (4 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (4 x + 3) \cdot (4)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (4 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 \cdot \cos (4 x + 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (4 x + 3)}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot \cos (4 x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 6) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(2) = -2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 2 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (2) ≈ -0.5

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (2) ⋅ g'(-2) ≈ -0.5 ⋅ -1 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung