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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2} {(2 x - 4)}^{4} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{15}{2} {(2 x - 4)}^{4} \cdot (2)$

= $15 {(2 x - 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} x - 2)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} x - 2) \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} x - 2) \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \sin (- \frac{1}{2} x - 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- x + 3}$

= $- 3 {(- x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- x + 3)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(1)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|1) und Q₂(1|1), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $- \frac{5}{2}$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 1 + ( - 2 ) = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt[4]{x}$

= $\sin (x) \cdot x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{\frac{1}{4}} + \sin (x) \cdot \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt[4]{x} + \sin (x) \cdot \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $\cos (x) \sqrt[4]{x} + \frac{1}{4} \frac{\sin (x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 3 x + 2}$

= $x^{3} \cdot {(- 3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(- 3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(- 3 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{- 3 x + 2} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x + 2} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 2}} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x + 2} + x^{3} \cdot (- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 2}})$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x + 2} - \frac{3}{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{- 3 x + 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (3 x) + (2 x - 2) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 \cdot \cos (3 x) + (2 x - 2) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 \cdot \cos (3 x) - 3 (2 x - 2) \cdot \sin (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-2) = 2.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -2 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-2) ⋅ g'(2) ≈ -2 ⋅ 1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -1, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + 0⋅g'(-1) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung