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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 2 ( -2x -5 ) 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 3 2 ( -2x -5 ) 4

f'(x)= -6 ( -2x -5 ) 3 · ( -2 +0 )

= -6 ( -2x -5 ) 3 · ( -2 )

= 12 ( -2x -5 ) 3

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( - 1 2 x +3 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( - 1 2 x +3 ) 2

= 2 ( - 1 2 x +3 ) -2

=> f'(x) = -4 ( - 1 2 x +3 ) -3 · ( - 1 2 +0 )

f'(x)= - 4 ( - 1 2 x +3 ) 3 · ( - 1 2 +0 )

= - 4 ( - 1 2 x +3 ) 3 · ( - 1 2 )

= 2 ( - 1 2 x +3 ) 3

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 cos( -x +4 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 cos( -x +4 )

f'(x)= 2 sin( -x +4 ) · ( -1 +0 )

= 2 sin( -x +4 ) · ( -1 )

= -2 sin( -x +4 )

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(1)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(1|1) und Q2(-3|1), also bei
x1 = 1 und x2 = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = 0 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f(0).

f(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f(0) = -4 .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = 0 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 0 + 0 = 0.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( -5 x 3 -2 x 2 ) · sin( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( -5 x 3 -2 x 2 ) · sin( x )

f'(x)= ( -15 x 2 -4x ) · sin( x ) + ( -5 x 3 -2 x 2 ) · cos( x )

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= cos( x ) · ( -3x -1 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= cos( x ) · ( -3x -1 ) 2

f'(x)= - sin( x ) · ( -3x -1 ) 2 + cos( x ) · ( 2( -3x -1 ) · ( -3 +0 ) )

= - sin( x ) ( -3x -1 ) 2 + cos( x ) · ( 2( -3x -1 ) · ( -3 ) )

= - sin( x ) ( -3x -1 ) 2 + cos( x ) · ( -6( -3x -1 ) )

= - sin( x ) ( -3x -1 ) 2 -6 cos( x ) · ( -3x -1 )

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 2x -6 ) · sin( x 2 ) und vereinfache:

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f(x)= ( 2x -6 ) · sin( x 2 )

f'(x)= ( 2 +0 ) · sin( x 2 ) + ( 2x -6 ) · cos( x 2 ) · 2x

= 2 sin( x 2 ) + ( 2x -6 ) · 2 cos( x 2 ) x

= 2 sin( x 2 ) +2 ( 2x -6 ) cos( x 2 ) x

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

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Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(0) = 2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 0 entnommen.

f '(g(1)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (0) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (0) ⋅ g'(1) ≈ -2 ⋅ 0.5 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 2( x +3 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

2( x +3 ) = 0
2x +6 = 0 | -6
2x = -6 |:2
x = -3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 +8x +16
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x +8 )⋅g(x) + ( x 2 +8x +16 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 +8x +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = -8 ± 64 -64 2

x1,2 = -8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -4 ± 0 = -4

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit f(x)= x 2 +8x +16 gilt: f'(x)= 2x +8 . Diese setzen wir = 0:

2x +8 = 0 | -8
2x = -8 |:2
x = -4

Es gilt also f(-4) = f'(-4) = 0, somit gilt h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = 0⋅g(-4) + 0⋅g'(-4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -15
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x +2 )⋅g(x) + ( x 2 +2x -15 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.