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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\frac{1}{2} x - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\frac{1}{2} x - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (\frac{1}{2} x - 3) \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $- 6 (\frac{1}{2} x - 3) \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 3 (\frac{1}{2} x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{- 3} \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- \frac{2}{3} x + 5)}^{3}} \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{{(- \frac{2}{3} x + 5)}^{3}} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{3 {(- \frac{2}{3} x + 5)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{2 x - 1}$

= $- 2 {(2 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(2 x - 1)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot (2)$

= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|3) und Q₂(-1|3), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 1$ ) = $- 1,5$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = -3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 2) \cdot \sin (x) + (3 x^{5} - 2 x) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- x - 3}$

= $- 2 {(- x - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- x - 3)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- x - 3)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{2}{{(- x - 3)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{{(- x - 3)}^{2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2} - 1}$

= $- {(2 x^{2} - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} - 1)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 2.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 1 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (1) ⋅ g'(-1) ≈ 1 ⋅ -1 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 3)$	=	0
$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung