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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\frac{3}{4} x - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\frac{3}{4} x - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (\frac{3}{4} x - 4) \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $- 2 (\frac{3}{4} x - 4) \cdot (\frac{3}{4})$

= $- \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x - 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4 (- 3 x - 2)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4 (- 3 x - 2)}$

= $- \frac{1}{4} {(- 3 x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} {(- 3 x - 2)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(- 3 x - 2)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{4 {(- 3 x - 2)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4 {(- 3 x - 2)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 5)}^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $- 8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot \sin (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $1$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = 2.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot x^{5} + \cos (x) \cdot 5 x^{4}$

= $- \sin (x) x^{5} + 5 \cos (x) x^{4}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \cos (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \cos (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 5 x - 3) + (x + 5) \cdot (- \sin (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0))$

= $\cos (- 5 x - 3) + (x + 5) \cdot (- \sin (- 5 x - 3) \cdot (- 5))$

= $\cos (- 5 x - 3) + (x + 5) \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 3)$

= $\cos (- 5 x - 3) + 5 (x + 5) \cdot \sin (- 5 x - 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (4 x - 3)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{4} \cdot \cos (4 x - 3) \cdot (4 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{4} \cdot \cos (4 x - 3) \cdot (4)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 3) + x^{4} \cdot 4 \cdot \cos (4 x - 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 3) + 4 x^{4} \cdot \cos (4 x - 3)$

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 4)$	=	0
$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung