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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (2 x + 4) \cdot (2 + 0)$

= $6 (2 x + 4) \cdot (2)$

= $12 (2 x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} x + 5)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{4} x + 5) \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{4} x + 5) \cdot (\frac{3}{4})$

= $- \frac{9}{8} \cdot \sin (\frac{3}{4} x + 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{2 x^{3} + 5}$

= $3 {(2 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} + 5}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} + 5}} \cdot (6 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} + 5}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(0)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- 2$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot \cos (x) + (- 5 x^{2} + 3) \cdot (- \sin (x))$

= $- 10 x \cdot \cos (x) - (- 5 x^{2} + 3) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 3 x - 3}$

= $x^{3} \cdot {(- 3 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(- 3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(- 3 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{- 3 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 3}} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x - 3} + x^{3} \cdot (- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 3}})$

= $3 x^{2} \sqrt{- 3 x - 3} - \frac{3}{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{- 3 x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- x + 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- x + 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- x + 1) \cdot (- 1 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- x + 1) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- x + 1) \cdot (- 1 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- x + 1) \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \sin (- x + 1)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-1) = 1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -1 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-1) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-1) ⋅ g'(1) ≈ -4 ⋅ 2 ≈ -8.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 2)$	=	0
$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung