$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-2x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-2x+5\right)·\left(-2+0\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-2x+5\right)·\left(-2\right)$

= $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(-2x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{1}{2}x-4}$

= $-\frac{1}{2}{\left(-\frac{1}{2}x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{\left(-\frac{1}{2}x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{-\frac{1}{2}x-4}}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{1}{4\sqrt{-\frac{1}{2}x-4}}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{8\sqrt{-\frac{1}{2}x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x^3-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(x^3-3\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $-6\left(x^3-3\right)·\left(3x^2\right)$

= $-18\left(x^3-3\right)x^2$

= $-18x^2\left(x^3-3\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|3) und Q₂(-1|3), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\frac{1}{x^2}$

= $\sin \left(x\right)·x^{-2}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·x^{-2}+\sin \left(x\right)·\left(-2x^{-3}\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\frac{1}{x^2}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{2}{x^3}\right)$

= $\frac{\cos \left(x\right)}{x^2}-2\frac{\sin \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{-5x-4}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(-5x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(-5x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-5x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-5x-4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x-4}}·\left(-5+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x-4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x-4}}·\left(-5\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x-4}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x-4}}\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x-4}-\frac{5}{2}\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{-5x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(2x-7\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)+\left(2x-7\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(2x-7\right)·\sin \left(3x\right)$

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(1) = -1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (1) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (1) ⋅ g'(-2) ≈ -1 ⋅ -2 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-8$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 1.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-3$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -1, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + 0⋅g'(-1) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.