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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{4} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{5}{3} {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{6} {(- \frac{1}{2} x + 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- \frac{2}{3} x - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- \frac{2}{3} x - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (- \frac{2}{3} x - 3) \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- 2 (- \frac{2}{3} x - 3) \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{4}{3} (- \frac{2}{3} x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 x - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(3 x - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(3 x - 4)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $- 8 {(3 x - 4)}^{3} \cdot (3)$

= $- 24 {(3 x - 4)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(0)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(3|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- 1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 0 + ( - 1 ) = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{2}}$

= $\sin (x) \cdot x^{- 2}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{- 2} + \sin (x) \cdot (- 2 x^{- 3})$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \frac{1}{x^{2}} + \sin (x) \cdot (- \frac{2}{x^{3}})$

= $\frac{\cos (x)}{x^{2}} - 2 \frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{2 x - 3}$

= $x^{3} \cdot {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{2 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2)$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}$

= $3 x^{2} \sqrt{2 x - 3} + \frac{x^{3}}{\sqrt{2 x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(x - 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 5) \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 1 entnommen.

f '(g(2)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (1) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (1) ⋅ g'(2) ≈ -1 ⋅ -0.5 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 1)$	=	0
$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung