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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} {(\frac{2}{3} x - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} {(\frac{2}{3} x - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x - 5) \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x - 5) \cdot (\frac{2}{3})$

= $- \frac{8}{9} (\frac{2}{3} x - 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- \frac{3}{4} x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- \frac{3}{4} x - 5}$

= $- 2 {(- \frac{3}{4} x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- \frac{3}{4} x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- \frac{3}{4} x - 5}} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- \frac{3}{4} x - 5}} \cdot (- \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4 \sqrt{- \frac{3}{4} x - 5}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 1}$

= ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot (2 x)$

= $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(2) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|2) und Q₂(3|2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = 3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 10 x) \cdot \sin (x) + (2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sqrt{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sqrt{- 5 x - 2}$

= $x^{4} \cdot {(- 5 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4 x^{3} \cdot {(- 5 x - 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{4} \cdot \frac{1}{2} {(- 5 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sqrt{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x - 2}} \cdot (- 5 + 0)$

= $4 x^{3} \sqrt{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x - 2}} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \sqrt{- 5 x - 2} + x^{4} \cdot (- \frac{5}{2 \sqrt{- 5 x - 2}})$

= $4 x^{3} \sqrt{- 5 x - 2} - \frac{5}{2} \frac{x^{4}}{\sqrt{- 5 x - 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 3 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 3 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\cos (- 3 x^{3} + 3) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\cos (- 3 x^{3} + 3) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cos (- 3 x^{3} + 3) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (- 3 x^{3} + 3)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(3) = -1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 3 entnommen.

f '(g(1)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (3) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (3) ⋅ g'(1) ≈ -4 ⋅ -2 ≈ 8.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x + 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$ gilt: f'(x)= $2 x - 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):