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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x - 4)$

$f'(x) =$ $- \cos (x - 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 (3 x + 4)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 (3 x + 4)}$

= $\frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(3 x + 4)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{2}{3 {(3 x + 4)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{2}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{3 x + 5}$

= $3 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}} \cdot (3)$

= $\frac{9}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-2) und Q₂(-1|-2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -2 + 0 = $- 2$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (- x^{2} + 5) + \cos (x) \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (- x^{2} + 5) + \cos (x) \cdot (- 2 x)$

= $- \sin (x) \cdot (- x^{2} + 5) - 2 \cos (x) x$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + 2)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + 2) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x + 2) \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot \sin (- x + 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x + 3}$

= $- 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x + 3}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x + 3}} \cdot (1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -2 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-2) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -2 entnommen.

f '(g(3)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (-2) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-2) ⋅ g'(3) ≈ -4 ⋅ 0.5 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 2)$	=	0
$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 6$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 6 x + 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 9$ gilt: f'(x)= $2 x + 6$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Es gilt also f(-3) = f'(-3) = 0, somit gilt h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = 0⋅g(-3) + 0⋅g'(-3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung