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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +5 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x +5 ) 2

f'(x)= 2( x +5 ) · ( 1 +0 )

= 2( x +5 ) · ( 1 )

= 2( x +5 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 2x +2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 2 2x +2

= -2 ( 2x +2 ) -1

=> f'(x) = 2 ( 2x +2 ) -2 · ( 2 +0 )

f'(x)= 2 ( 2x +2 ) 2 · ( 2 +0 )

= 2 ( 2x +2 ) 2 · ( 2 )

= 4 ( 2x +2 ) 2

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - ( cos( x ) +2 ) 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - ( cos( x ) +2 ) 5

f'(x)= -5 ( cos( x ) +2 ) 4 · ( - sin( x ) +0 )

= -5 ( cos( x ) +2 ) 4 · ( - sin( x ) )

= 5 ( cos( x ) +2 ) 4 · sin( x )

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(2|0) und Q2(0|0), also bei
x1 = 2 und x2 = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = 0 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f(0).

f(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f(0) = -1 .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = -3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( -5x -1 ) · sin( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( -5x -1 ) · sin( x )

f'(x)= ( -5 +0 ) · sin( x ) + ( -5x -1 ) · cos( x )

= -5 sin( x ) + ( -5x -1 ) · cos( x )

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin( x ) · 4x -4 und vereinfache:

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f(x)= sin( x ) · 4x -4

= sin( x ) · ( 4x -4 ) 1 2

=> f'(x) = cos( x ) · ( 4x -4 ) 1 2 + sin( x ) · 1 2 ( 4x -4 ) - 1 2 · ( 4 +0 )

f'(x)= cos( x ) · 4x -4 + sin( x ) · 1 2 4x -4 · ( 4 +0 )

= cos( x ) 4x -4 + sin( x ) · 1 2 4x -4 · ( 4 )

= cos( x ) 4x -4 + sin( x ) · 2 4x -4

= cos( x ) 4x -4 +2 sin( x ) 4x -4

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x -3 ) · sin( x 3 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x -3 ) · sin( x 3 )

f'(x)= ( 1 +0 ) · sin( x 3 ) + ( x -3 ) · cos( x 3 ) · 3 x 2

= sin( x 3 ) + ( x -3 ) · 3 cos( x 3 ) x 2

= sin( x 3 ) +3 ( x -3 ) cos( x 3 ) x 2

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

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Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-1) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -1 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-1) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-1) ⋅ g'(2) ≈ -2 ⋅ 1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 2( x +3 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

2( x +3 ) = 0
2x +6 = 0 | -6
2x = -6 |:2
x = -3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -16
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

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Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x )⋅g(x) + ( x 2 -16 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 3( x +1 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

3( x +1 ) = 0
3x +3 = 0 | -3
3x = -3 |:3
x = -1
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.