Mathebattle EduRandomtasks

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\frac{1}{2} x - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\frac{1}{2} x - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(\frac{1}{2} x - 4)}^{3} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $- 12 {(\frac{1}{2} x - 4)}^{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 6 {(\frac{1}{2} x - 4)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{3}{2} x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- \frac{3}{2} x + 2}$

= $- {(- \frac{3}{2} x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- \frac{3}{2} x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{3}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{3}{2} x + 2}} \cdot (- \frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{3}{2} x + 2}} \cdot (- \frac{3}{2})$

= $\frac{3}{4 \sqrt{- \frac{3}{2} x + 2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (2 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (2 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $- \sin (2 x^{3} - 5) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \sin (2 x^{3} - 5) \cdot (6 x^{2})$

= $- 6 \sin (2 x^{3} - 5) x^{2}$

= $- 6 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} - 5)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-1) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|2) und Q₂(-2|2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(3) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(3)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(3)) = f( $2$ ) = $- \frac{1}{2}$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (x)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(- 4 x + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(- 4 x + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot {(- 4 x + 5)}^{2} + \cos (x) \cdot (2 (- 4 x + 5) \cdot (- 4 + 0))$

= $- \sin (x) {(- 4 x + 5)}^{2} + \cos (x) \cdot (2 (- 4 x + 5) \cdot (- 4))$

= $- \sin (x) {(- 4 x + 5)}^{2} + \cos (x) \cdot (- 8 (- 4 x + 5))$

= $- \sin (x) {(- 4 x + 5)}^{2} - 8 \cos (x) (- 4 x + 5)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 4) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 4) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x^{2} - 4) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $4 x \cdot \sin (3 x) + (2 x^{2} - 4) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $4 x \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x^{2} - 4) \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-2) = 0.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -2 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-2) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-2) ⋅ g'(2) ≈ 4 ⋅ 0.5 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 2)$	=	0
$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = f'(5)⋅0 + 0⋅g'(5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung