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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{4} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{4} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $- \frac{5}{4} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{4} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{5}{12} {(- \frac{1}{3} x + 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{- 2 x - 3}$

= $\frac{1}{2} {(- 2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} {(- 2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{4 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x^{3} + 5}$

= $- 3 {(- 2 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 2 x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 5}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 5}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} + 5}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(0) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x) + x^{4} \cdot \cos (x)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x) + x^{4} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (3 x + 1) \cdot (3 + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (3 x + 1) \cdot (3)$

= $- 6 \cdot \sin (3 x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\cos (x) + 1) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 (\cos (x) + 1) \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 (\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -3 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-3) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -3 entnommen.

f '(g(3)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (-3) ≈ -4

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-3) ⋅ g'(3) ≈ -4 ⋅ 1 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 3)$	=	0
$3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 16$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung