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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(3 x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(3 x - 3)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $- 4 {(3 x - 3)}^{3} \cdot (3)$

= $- 12 {(3 x - 3)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- 3 x - 4}$

= $- {(- 3 x - 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- 3 x - 4)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{{(- 3 x - 4)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{3 x^{3} + 2}$

= $3 {(3 x^{3} + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(3 x^{3} + 2)}^{- 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x^{3} + 2)}^{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{{(3 x^{3} + 2)}^{2}} \cdot (9 x^{2})$

= $- 27 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 2)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 1$ ) = $- 4,5$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 4 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 4 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x^{3} + 2 x^{2}) + \sin (x) \cdot (- 12 x^{2} + 4 x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 5 x - 2}$

= $x^{3} \cdot {(- 5 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(- 5 x - 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(- 5 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{- 5 x - 2} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x - 2}} \cdot (- 5 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x - 2} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x - 2}} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x - 2} + x^{3} \cdot (- \frac{5}{2 \sqrt{- 5 x - 2}})$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x - 2} - \frac{5}{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{- 5 x - 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) + x^{4} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) + x^{4} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{4} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{6} \cdot \sin (x^{3})$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(0) = 0.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 0 entnommen.

f '(g(2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (0) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (0) ⋅ g'(2) ≈ 2 ⋅ -1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 6$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 6 x + 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 9$ gilt: f'(x)= $2 x - 6$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Es gilt also f(3) = f'(3) = 0, somit gilt h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = 0⋅g(3) + 0⋅g'(3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung