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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} {(2 x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} {(2 x + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} {(2 x + 5)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{4}{3} {(2 x + 5)}^{3} \cdot (2)$

= $- \frac{8}{3} {(2 x + 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(\frac{1}{2} x - 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(\frac{1}{2} x - 2)}^{2}}$

= $- 3 {(\frac{1}{2} x - 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(\frac{1}{2} x - 2)}^{- 3} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(\frac{1}{2} x - 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(\frac{1}{2} x - 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{3}{{(\frac{1}{2} x - 2)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x^{2} + 3) \cdot (- 4 x + 0)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x^{2} + 3) \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \sin (- 2 x^{2} + 3) x$

= $- 12 x \cdot \sin (- 2 x^{2} + 3)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = 0.

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 3) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 3) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot \sin (x) + (- 5 x + 3) \cdot \cos (x)$

= $- 5 \cdot \sin (x) + (- 5 x + 3) \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sqrt{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sqrt{- 4 x + 1}$

= $(2 x + 1) \cdot {(- 4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(2 + 0) \cdot {(- 4 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (2 x + 1) \cdot \frac{1}{2} {(- 4 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sqrt{- 4 x + 1} + (2 x + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x + 1}} \cdot (- 4 + 0)$

= $2 \sqrt{- 4 x + 1} + (2 x + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x + 1}} \cdot (- 4)$

= $2 \sqrt{- 4 x + 1} + (2 x + 1) \cdot (- \frac{2}{\sqrt{- 4 x + 1}})$

= $2 \sqrt{- 4 x + 1} - 2 \frac{2 x + 1}{\sqrt{- 4 x + 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(x + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(x + 5)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $9 {(x + 5)}^{2} \cdot (1)$

= $9 {(x + 5)}^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(-2) = 1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = -2 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (-2) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (-2) ⋅ g'(-1) ≈ 2 ⋅ 2 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 4)$	=	0
$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung