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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(x - 3)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $4 {(x - 3)}^{3} \cdot (1)$

= $4 {(x - 3)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} x + 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} x + 3) \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} x + 3) \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{8} \cdot \sin (\frac{1}{2} x + 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2} - 5}$

= $- 3 {(2 x^{2} - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(2 x^{2} - 5)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{3}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $12 \frac{x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $1$ ) = $- 2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(3) = 4.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 1) \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 1) \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot \sin (x) + (2 x^{3} - 1) \cdot \cos (x)$

= $(2 x^{3} - 1) \cdot \cos (x) + 6 x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \cos (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \cos (x + 1)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x + 1) + (x + 1) \cdot (- \sin (x + 1))$

= $\cos (x + 1) - (x + 1) \cdot \sin (x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x + 1) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x + 1) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x + 1) \cdot \cos (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(0) = 2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 0 entnommen.

f '(g(3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (0) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (0) ⋅ g'(3) ≈ 1 ⋅ -1 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 3)$	=	0
$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung