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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} {(\frac{1}{3} x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} {(\frac{1}{3} x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2} {(\frac{1}{3} x + 4)}^{4} \cdot (\frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{5}{2} {(\frac{1}{3} x + 4)}^{4} \cdot (\frac{1}{3})$

= $\frac{5}{6} {(\frac{1}{3} x + 4)}^{4}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$

= $- {(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x - 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(- x^{2} + 4)}^{3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 8 {(- x^{2} + 4)}^{3} \cdot (- 2 x)$

= $16 {(- x^{2} + 4)}^{3} x$

= $16 x {(- x^{2} + 4)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 1 + 0 = $1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (- 4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x - 4) + \sin (x) \cdot (- 4 + 0)$

= $\cos (x) \cdot (- 4 x - 4) + \sin (x) \cdot (- 4)$

= $\cos (x) \cdot (- 4 x - 4) - 4 \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x + 1) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (2 x + 1) \cdot (2 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (2 x + 1) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (2 x + 1) \cdot (2)$

= $2 x \cdot \sin (2 x + 1) + (x^{2} + 7) \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 1)$

= $2 x \cdot \sin (2 x + 1) + 2 (x^{2} + 7) \cdot \cos (2 x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 5)}^{4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 5)}^{4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 5)}^{4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 {(- 3 x + 5)}^{3} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 3 x + 5)}^{4} + \sqrt{x} \cdot 4 {(- 3 x + 5)}^{3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 5)}^{4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 {(- 3 x + 5)}^{3} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 5)}^{4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 12 {(- 3 x + 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 5)}^{4}}{\sqrt{x}} - 12 \sqrt{x} {(- 3 x + 5)}^{3}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(1) = -1.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (1) ⋅ g'(0) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 3)$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung