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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x + 1) \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x + 1) \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x + 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 (2 x - 2)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 (2 x - 2)}$

= $- \frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 {(2 x - 2)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{2}{3 {(2 x - 2)}^{2}} \cdot (2)$

= $\frac{4}{3 {(2 x - 2)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 2 x^{3} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 2 x^{3} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(- 2 x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- 3 {(- 2 x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 {(- 2 x^{3} + 5)}^{2} x^{2}$

= $18 {((- 2 x^{3} + 5) x)}^{2}$

= $18 {(x (- 2 x^{3} + 5))}^{2}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- 1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -1 + 0 = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot x^{5} + \cos (x) \cdot 5 x^{4}$

= $- \sin (x) x^{5} + 5 \cos (x) x^{4}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(4 x + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(4 x + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot {(4 x + 3)}^{2} + \cos (x) \cdot (2 (4 x + 3) \cdot (4 + 0))$

= $- \sin (x) {(4 x + 3)}^{2} + \cos (x) \cdot (2 (4 x + 3) \cdot (4))$

= $- \sin (x) {(4 x + 3)}^{2} + \cos (x) \cdot (8 (4 x + 3))$

= $- \sin (x) {(4 x + 3)}^{2} + 8 \cos (x) (4 x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x + 8) \sin (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(1) = 2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 1 entnommen.

f '(g(3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (1) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (1) ⋅ g'(3) ≈ -2 ⋅ -2 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 1)$	=	0
$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2.
(also gilt g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + 0⋅g'(-2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):