$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{\left(x-2\right)}^2·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{2}{\left(x-2\right)}^2·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{2}{\left(x-2\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3{\left(3x+4\right)}^2}$

= $-\frac{2}{3}{\left(3x+4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3}{\left(3x+4\right)}^{-3}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3{\left(3x+4\right)}^3}·\left(3+0\right)$

= $\frac{4}{3{\left(3x+4\right)}^3}·\left(3\right)$

= $\frac{4}{{\left(3x+4\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $4\cdot \sin \left(2x-2\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{1,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(2) = -1.

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+5x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+5\right)·\cos \left(x\right)+\left(-5x^2+5x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(-10x+5\right)·\cos \left(x\right)-\left(-5x^2+5x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·{\left(-5x-1\right)}^2$

= $x^{-\frac{1}{2}}·{\left(-5x-1\right)}^2$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·{\left(-5x-1\right)}^2+x^{-\frac{1}{2}}·(2\left(-5x-1\right)·\left(-5+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·{\left(-5x-1\right)}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}·(2\left(-5x-1\right)·\left(-5+0\right))$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·(2\left(-5x-1\right)·\left(-5\right))$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·\left(-10\left(-5x-1\right)\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(-5x-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-10\frac{-5x-1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+1\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x^2+1\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $4x·\sin \left(x^3\right)+\left(2x^2+1\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $4x·\sin \left(x^3\right)+3\left(2x^2+1\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(0) = -2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 0 entnommen.

f '(g(3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (0) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (0) ⋅ g'(3) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+6$)⋅g(x) + ( $x^2+6x+9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+6x+9$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+6x+9$ gilt: f'(x)= $2x+6$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-3) = f'(-3) = 0, somit gilt h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = 0⋅g(-3) + 0⋅g'(-3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-3 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x+4$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4x+4$ gilt: f'(x)= $2x-4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(2) = f'(2) = 0, somit gilt h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + 0⋅g'(2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =2 eine waagrechte Tangente.