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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (- 2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (- 2 x + 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 2 x + 3) \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 2 x + 3) \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (- 2 x + 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (x - 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (x - 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x^{2} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x^{2} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(- 2 x^{2} + 5)}^{3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $8 {(- 2 x^{2} + 5)}^{3} \cdot (- 4 x)$

= $- 32 {(- 2 x^{2} + 5)}^{3} x$

= $- 32 x {(- 2 x^{2} + 5)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (5 x + 4)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (5 x + 4) + \cos (x) \cdot (5 + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (5 x + 4) + \cos (x) \cdot (5)$

= $- \sin (x) \cdot (5 x + 4) + 5 \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sqrt{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sqrt{4 x - 5}$

= $(x^{2} - 5) \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(2 x + 0) \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (x^{2} - 5) \cdot \frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 + 0)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sqrt{4 x - 5} + (x^{2} - 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x - 5}} \cdot (4 + 0)$

= $2 x \cdot \sqrt{4 x - 5} + (x^{2} - 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4 x - 5}} \cdot (4)$

= $2 x \sqrt{4 x - 5} + (x^{2} - 5) \cdot \frac{2}{\sqrt{4 x - 5}}$

= $2 x \sqrt{4 x - 5} + 2 \frac{x^{2} - 5}{\sqrt{4 x - 5}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 9) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} - 9) \cdot \cos (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(3) = 0.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 3 entnommen.

f '(g(2)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (3) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (3) ⋅ g'(2) ≈ -1 ⋅ -1 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung