$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{\frac{1}{2}x-3}$

= $2{\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}x-3}}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}x-3}}·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1}{2}x-3}}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x^2-5\right)·\left(-4x+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x^2-5\right)·\left(-4x\right)$

= $-8\cos \left(-2x^2-5\right)x$

= $-8x·\cos \left(-2x^2-5\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $-\mathrm{2,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -3 + ( - 1 ) = $-4$.

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-2x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2-4x\right)·\sin \left(x\right)+\left(-4x^3-2x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·\sqrt{3x+2}$

= $\left(3x-4\right)·{\left(3x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(3+0\right)·{\left(3x+2\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(3x-4\right)·\frac{1}{2}{\left(3x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sqrt{3x+2}+\left(3x-4\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+2}}·\left(3+0\right)$

= $3\sqrt{3x+2}+\left(3x-4\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+2}}·\left(3\right)$

= $3\sqrt{3x+2}+\left(3x-4\right)·\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x+2}}$

= $3\sqrt{3x+2}+\frac{3}{2}\frac{3x-4}{\sqrt{3x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^9·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(-1) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = -1 entnommen.

f '(g(2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (-1) ⋅ g'(2) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-12$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.