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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} {(- x - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} {(- x - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{2}{3} (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{3} (- x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- \frac{1}{2} x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- \frac{1}{2} x - 1}$

= $- {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- \frac{1}{2} x - 1)}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{{(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2 {(- \frac{1}{2} x - 1)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- x^{2} - 4)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sin (- x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\cos (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x + 0)$

= $\cos (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cos (- x^{2} - 4) x$

= $- 2 x \cdot \cos (- x^{2} - 4)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot \cos (x) + (- 5 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot (- \sin (x))$

= $(- 25 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot \cos (x) - (- 5 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sqrt{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sqrt{- 4 x + 1}$

= $(3 x + 2) \cdot {(- 4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(3 + 0) \cdot {(- 4 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (3 x + 2) \cdot \frac{1}{2} {(- 4 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sqrt{- 4 x + 1} + (3 x + 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x + 1}} \cdot (- 4 + 0)$

= $3 \sqrt{- 4 x + 1} + (3 x + 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 4 x + 1}} \cdot (- 4)$

= $3 \sqrt{- 4 x + 1} + (3 x + 2) \cdot (- \frac{2}{\sqrt{- 4 x + 1}})$

= $3 \sqrt{- 4 x + 1} - 2 \frac{3 x + 2}{\sqrt{- 4 x + 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(3 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} + 6) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

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Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(2) = 0.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 2 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (2) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (2) ⋅ g'(-2) ≈ -2 ⋅ -2 ≈ 4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 2$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung