$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}x+5\right)·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}x+5\right)·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\sin \left(\frac{1}{2}x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\sqrt{x-4}$

= $-\frac{3}{2}{\left(x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{\left(x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4\sqrt{x-4}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{4\sqrt{x-4}}·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{4\sqrt{x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(3x^2-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(3x^2-1\right)·\left(6x+0\right)$

= $-2\left(3x^2-1\right)·\left(6x\right)$

= $-12\left(3x^2-1\right)x$

= $-12x\left(3x^2-1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(-2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(3|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+4x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)+\left(4x^4+4x^2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(16x^3+8x\right)·\cos \left(x\right)-\left(4x^4+4x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sqrt{3x-4}$

= $x^4·{\left(3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x^3·{\left(3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+x^4·\frac{1}{2}{\left(3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sqrt{3x-4}+x^4·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x-4}}·\left(3+0\right)$

= $4x^3\sqrt{3x-4}+x^4·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x-4}}·\left(3\right)$

= $4x^3\sqrt{3x-4}+x^4·\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x-4}}$

= $4x^3\sqrt{3x-4}+\frac{3}{2}\frac{x^4}{\sqrt{3x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^3\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}\sin \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\sin \left(x^3\right)$

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(2) = 2.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 2 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (2) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (2) ⋅ g'(-1) ≈ -1 ⋅ -1 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 2.
(also gilt g(0) = g(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + 0⋅g'(2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-15$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-15$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-15$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.