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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x - 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x - 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{2 x - 3}$

= ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(0) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-1|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 4$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (x) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (x) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (x))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - \sqrt[4]{x} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 2 x + 4}$

= $x^{3} \cdot {(- 2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(- 2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{- 2 x + 4} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 2 x + 4} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 2 x + 4} + x^{3} \cdot (- \frac{1}{\sqrt{- 2 x + 4}})$

= $3 x^{2} \sqrt{- 2 x + 4} - \frac{x^{3}}{\sqrt{- 2 x + 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x)}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(0) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 0 entnommen.

f '(g(2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (0) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (0) ⋅ g'(2) ≈ -2 ⋅ -1 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung