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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- x - 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} x + 2)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x + 2) \cdot (\frac{3}{4} + 0)$

= $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x + 2) \cdot (\frac{3}{4})$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} x + 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x^{3} + 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x^{3} + 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(- x^{3} + 3)}^{3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $8 {(- x^{3} + 3)}^{3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 24 {(- x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

= $- 24 x^{2} {(- x^{3} + 3)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(0)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|0) und Q₂(-1|0), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $- 2$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-3) + f '(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-3) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-3) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-3) + f '(-3) = -1 + ( - 2 ) = $- 3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (x) + x^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $2 x \cdot \cos (x) - x^{2} \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- x - 2)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- x - 2)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- x - 2)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (- x - 2) \cdot (- 1 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- x - 2)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (- x - 2) \cdot (- 1 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (- x - 2) \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 (- x - 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- x - 2)}^{2}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot (- x - 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 2)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 5 x - 2) + x^{3} \cdot (- \sin (- 5 x - 2) \cdot (- 5 + 0))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 5 x - 2) + x^{3} \cdot (- \sin (- 5 x - 2) \cdot (- 5))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 5 x - 2) + x^{3} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 2)$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 5 x - 2) + 5 x^{3} \cdot \sin (- 5 x - 2)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(2) = 2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 2 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (2) ⋅ g'(-2) ≈ 1 ⋅ -0.5 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x + 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$ gilt: f'(x)= $2 x - 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 2)$	=	0
$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung