$\text{f(x)}=$ $3{\left(3x-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(3x-3\right)·\left(3+0\right)$

= $6\left(3x-3\right)·\left(3\right)$

= $18\left(3x-3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{-\frac{1}{2}x+4}$

= $-\frac{1}{4}{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{\left(-\frac{1}{2}x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{-\frac{1}{2}x+4}}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{1}{8\sqrt{-\frac{1}{2}x+4}}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{16\sqrt{-\frac{1}{2}x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x^2+3\right)·\left(2x+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(x^2+3\right)·\left(2x\right)$

= $-6\cos \left(x^2+3\right)x$

= $-6x·\cos \left(x^2+3\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|2) und Q₂(-1|2), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = $-2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^5-2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^4+0\right)·\sin \left(x\right)+\left(4x^5-2\right)·\cos \left(x\right)$

= $\left(4x^5-2\right)·\cos \left(x\right)+20x^4·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(5x-1\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(5x-1\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(5x-1\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(5x-1\right)·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(5x-1\right)+\sqrt{x}·\cos \left(5x-1\right)·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(5x-1\right)·\left(5\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-1\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·5\cdot \cos \left(5x-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(5x-1\right)}{\sqrt{x}}+5\sqrt{x}·\cos \left(5x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(1) = 0.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 1 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (1) ≈ -0.5

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (1) ⋅ g'(-3) ≈ -0.5 ⋅ -0.5 ≈ 0.25.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2.
(also gilt g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + 0⋅g'(-2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.