$\text{f(x)}=$ ${\left(\frac{3}{4}x-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(\frac{3}{4}x-2\right)}^2·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $3{\left(\frac{3}{4}x-2\right)}^2·\left(\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{9}{4}{\left(\frac{3}{4}x-2\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^3}$

= $\frac{2}{3}{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-2{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^{-4}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^4}·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^4}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-3x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-3x+5\right)·\left(-3+0\right)$

= $\cos \left(-3x+5\right)·\left(-3\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-3x+5\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-3}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-3x^{-4}·\sin \left(x\right)+x^{-3}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x^3}·\cos \left(x\right)$

= $-3\frac{\sin \left(x\right)}{x^4}+\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{2x+3}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(2x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(2x+3\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(2x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{2x+3}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+3}}·\left(2+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{2x+3}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+3}}·\left(2\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{2x+3}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{2x+3}+\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{2x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(2x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(2x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(2x\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(2x\right)·2)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(2x\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(2x\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(2x\right)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·\sin \left(2x\right)$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-1) = 0.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -1 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-1) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+6$)⋅g(x) + ( $x^2+6x+9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+6x+9$ = 0

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+6x+9$ gilt: f'(x)= $2x+6$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-3) = f'(-3) = 0, somit gilt h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = 0⋅g(-3) + 0⋅g'(-3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-3 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-15$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.