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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{4} x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{4} x - 2)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{4} x - 2) \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{4} x - 2) \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{4} x - 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 (\frac{1}{2} x + 2)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 (\frac{1}{2} x + 2)}$

= $\frac{2}{3} {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 2} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x + 3}$

= $- 2 {(- x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- x + 3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x + 3}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x + 3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(3) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(-2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 3$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 0 = $1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \frac{1}{x^{2}}$

= $\sin (x) \cdot x^{- 2}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{- 2} + \sin (x) \cdot (- 2 x^{- 3})$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \frac{1}{x^{2}} + \sin (x) \cdot (- \frac{2}{x^{3}})$

= $\frac{\cos (x)}{x^{2}} - 2 \frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- x + 2)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- x + 2) + x^{5} \cdot (- \sin (- x + 2) \cdot (- 1 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- x + 2) + x^{5} \cdot (- \sin (- x + 2) \cdot (- 1))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- x + 2) + x^{5} \cdot \sin (- x + 2)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(- 2 x + 2)}^{2} \cdot (- 2 + 0)$

= $3 {(- 2 x + 2)}^{2} \cdot (- 2)$

= $- 6 {(- 2 x + 2)}^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(3) = 1.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = 3 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (3) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (3) ⋅ g'(-3) ≈ -1 ⋅ -2 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 2)$	=	0
$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = f'(5)⋅0 + 0⋅g'(5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):