Mathebattle EduRandomtasks

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(3 x - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(3 x - 5)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $- 4 {(3 x - 5)}^{3} \cdot (3)$

= $- 12 {(3 x - 5)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 3}$

= $- 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(3 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 3}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 3}} \cdot (3)$

= $- \frac{9}{2 \cdot \sqrt{3 x - 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $8 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $8 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot \cos (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(2) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 4 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|3) und Q₂(2|3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 1$ ) = $- 0,5$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -4 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -4 + 0 = $- 4$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x)$

= $x^{- 2} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 3} \cdot \cos (x) + x^{- 2} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 \frac{\cos (x)}{x^{3}} - \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sqrt{- 5 x + 3}$

= $x^{3} \cdot {(- 5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{2} \cdot {(- 5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + x^{3} \cdot \frac{1}{2} {(- 5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sqrt{- 5 x + 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x + 3}} \cdot (- 5 + 0)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x + 3} + x^{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 5 x + 3}} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x + 3} + x^{3} \cdot (- \frac{5}{2 \sqrt{- 5 x + 3}})$

= $3 x^{2} \sqrt{- 5 x + 3} - \frac{5}{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{- 5 x + 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot \sin (x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = 0.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ 1 ⋅ 0.5 ≈ 0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 1)$	=	0
$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 6$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 6 x + 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 9$ gilt: f'(x)= $2 x - 6$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Es gilt also f(3) = f'(3) = 0, somit gilt h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = 0⋅g(3) + 0⋅g'(3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =3 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 3)$	=	0
$3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung