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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x - 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{4} x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{4} x - 1}$

= $- \frac{3}{4} {(\frac{1}{4} x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{8} {(\frac{1}{4} x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{8 \cdot \sqrt{\frac{1}{4} x - 1}} \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{8 \cdot \sqrt{\frac{1}{4} x - 1}} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{32 \cdot \sqrt{\frac{1}{4} x - 1}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- x + 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- \sin (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $\sin (- x + 3)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = $1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot \cos (x) + (5 x^{3} - 2) \cdot (- \sin (x))$

= $15 x^{2} \cdot \cos (x) - (5 x^{3} - 2) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \cos (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \cos (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (4 x - 1) + (2 x + 4) \cdot (- \sin (4 x - 1) \cdot (4 + 0))$

= $2 \cdot \cos (4 x - 1) + (2 x + 4) \cdot (- \sin (4 x - 1) \cdot (4))$

= $2 \cdot \cos (4 x - 1) + (2 x + 4) \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x - 1))$

= $2 \cdot \cos (4 x - 1) - 4 (2 x + 4) \cdot \sin (4 x - 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 6) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 6) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x + 6) \sin (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(2) und h '(2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Wir können der Zeichnung rechts g(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = f(g(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = f(g(2)) = f(0) = 1.

Berechnung von h '(2)

Um h '(2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(2) = f '(g(2)) ⋅ g'(2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(2) = 0 entnommen.

f '(g(2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(2)) = f' (0) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (2) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(2) = = f '(g(2)) ⋅ g'(2) = f' (0) ⋅ g'(2) ≈ 0.5 ⋅ -0.5 ≈ -0.25.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 5$ gilt: f'(x)= $2 x - 4$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 2, wodurch mit f'(2)=0 und g'(2)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(2) = f(g(2))

Berechnung von h '(2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):