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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{3} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $- 12 {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $4 {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

= $2 {(x + 3)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(x + 3)}^{- 4} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(x + 3)}^{4}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{6}{{(x + 3)}^{4}} \cdot (1)$

= $- \frac{6}{{(x + 3)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 4}$

= $- {(- x + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- x + 4)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{{(- x + 4)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-2) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|2) und Q₂(1|2), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-2) und Q₂(1|-2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x) + x^{2} \cdot \cos (x)$

= $2 x \cdot \sin (x) + x^{2} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sqrt{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sqrt{3 x - 2}$

= $(3 x - 5) \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(3 + 0) \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 5) \cdot \frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sqrt{3 x - 2} + (3 x - 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3 + 0)$

= $3 \sqrt{3 x - 2} + (3 x - 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3)$

= $3 \sqrt{3 x - 2} + (3 x - 5) \cdot \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}}$

= $3 \sqrt{3 x - 2} + \frac{3}{2} \frac{3 x - 5}{\sqrt{3 x - 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x + 9) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) + (3 x + 9) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x + 9) \sin (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-2) = -2.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-2) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-2) ⋅ g'(1) ≈ 0.5 ⋅ 2 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 2)$	=	0
$3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung