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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
Kettenregel ohne e-Fktn (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).
Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.
Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)
g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 4.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(1|0) und Q2(-3|0), also bei
x1 = 1 und x2 = -3
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(1)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(1)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(1)) = f() = .
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(1|3) und Q2(-3|3), also bei
x1 = 1 und x2 = -3
nur Produktregel ohne e-Fktn
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ketten- und Produktregel (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
Ketten- und Produktregel (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
Kettenregel graphisch
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).
Berechnung von h(3) = f(g(3))
Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -3 entnehmen.
Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-3)
g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-3) = -1.
Berechnung von h '(3)
Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden
h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)
Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -3 entnommen.
f '(g(3)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):
f '(g(3)) = f' (-3) ≈ 4
Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).
g' (3) = m = 2
Somit erhalten wir:
h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-3) ⋅ g'(3) ≈ 4 ⋅ 2 ≈ 8.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
| = | | | ||
|
|
= |
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass
h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = (
gilt.
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.
Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:
Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte
Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.
Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) =
f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.
Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
|
|
= | ||
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|
= | |
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= |
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|: |
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= |
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Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
