$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{\left(-2x-5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{3}{\left(-2x-5\right)}^4·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{10}{3}{\left(-2x-5\right)}^4·\left(-2\right)$

= $\frac{20}{3}{\left(-2x-5\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}$

= $-\frac{1}{2}{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^{-2}·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^2}·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $\frac{1}{2{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^2}·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= $-\frac{3}{8{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2x^2+1}$

= $-3{\left(2x^2+1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(2x^2+1\right)}^{-2}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(2x^2+1\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|1) und Q₂(-3|1), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(3) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(3)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(3)) = f($2$) = $-\frac{7}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(3) = -2.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-1}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-x^{-2}·\cos \left(x\right)+x^{-1}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-\frac{\cos \left(x\right)}{x^2}-\frac{\sin \left(x\right)}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·{\left(3x-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(3x-5\right)}^4+\sin \left(x\right)·4{\left(3x-5\right)}^3·\left(3+0\right)$

= $\cos \left(x\right){\left(3x-5\right)}^4+\sin \left(x\right)·4{\left(3x-5\right)}^3·\left(3\right)$

= $\cos \left(x\right){\left(3x-5\right)}^4+\sin \left(x\right)·12{\left(3x-5\right)}^3$

= $\cos \left(x\right){\left(3x-5\right)}^4+12\sin \left(x\right){\left(3x-5\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^9·\cos \left(x^3\right)$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-2) = 1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-2) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-2) ⋅ g'(1) ≈ 1 ⋅ 2 ≈ 2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-15$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-15$ = 0

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-15$ gilt: f'(x)= $2x+2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -1, wodurch mit f'(-1)=0 und g'(-1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = 0⋅g(-1) + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.