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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{2}{3} x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{2}{3} x + 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{2}{3} x + 2) \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{2}{3} x + 2) \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (- \frac{2}{3} x + 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x + 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x + 2)}^{3}}$

= $- 2 {(- x + 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(- x + 2)}^{- 4} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- x + 2)}^{4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{6}{{(- x + 2)}^{4}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{{(- x + 2)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(2 x^{3} - 5)}^{3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 12 {(2 x^{3} - 5)}^{3} \cdot (6 x^{2})$

= $- 72 {(2 x^{3} - 5)}^{3} x^{2}$

= $- 72 x^{2} {(2 x^{3} - 5)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(3) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-1)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $- 1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -4 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -4 + 0 = $- 4$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (- 4 x^{2} + 3) + \cos (x) \cdot (- 8 x + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (- 4 x^{2} + 3) + \cos (x) \cdot (- 8 x)$

= $- \sin (x) \cdot (- 4 x^{2} + 3) - 8 \cos (x) x$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x + 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x + 3) + x^{3} \cdot \cos (x + 3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x + 3) + x^{3} \cdot \cos (x + 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x - 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x - 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x - 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-3) und h '(-3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Wir können der Zeichnung rechts g(-3) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-3) = f(g(-3)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = f(g(-3)) = f(-1) = 2.

Berechnung von h '(-3)

Um h '(-3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-3) = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-3) = -1 entnommen.

f '(g(-3)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-3)) = f' (-1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(-3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-3) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-3) = = f '(g(-3)) ⋅ g'(-3) = f' (-1) ⋅ g'(-3) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 24$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 24$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2, bei x = 6 und bei x = 0.
(also gilt g(-2) = g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 6, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(6) = f'(6)⋅g(6) + f(6)⋅g'(6) = f'(6)⋅0 + 0⋅g'(6) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 6 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-3) = f(g(-3))

Berechnung von h '(-3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):