$\text{f(x)}=$ ${\left(-x+3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

= $2\left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $-2\left(-x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-\frac{3}{2}x-1}$

= $2{\left(-\frac{3}{2}x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-\frac{3}{2}x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-\frac{3}{2}x-1}}·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-\frac{3}{2}x-1}}·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-\frac{3}{2}x-1}}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-x^2+1\right)·\left(-2x+0\right)$

= $\cos \left(-x^2+1\right)·\left(-2x\right)$

= $-2\cos \left(-x^2+1\right)x$

= $-2x·\cos \left(-x^2+1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(2) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{1}{2}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(0)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(0|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{3}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\cos \left(x\right)+\sqrt[3]{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\cos \left(x\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-\sqrt[3]{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\cos \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x-1\right)+\left(x+3\right)·(-\sin \left(-3x-1\right)·\left(-3+0\right))$

= $\cos \left(-3x-1\right)+\left(x+3\right)·(-\sin \left(-3x-1\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x-1\right)+\left(x+3\right)·3\cdot \sin \left(-3x-1\right)$

= $\cos \left(-3x-1\right)+3\left(x+3\right)·\sin \left(-3x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2\sqrt[3]{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4·\cos \left(x^2\right)$

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(-2) = 0.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = -2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (-2) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (-2) ⋅ g'(1) ≈ -1 ⋅ 2 ≈ -2.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 0.
(also gilt g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + 0⋅g'(-2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.