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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( - 2 3 x +3 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 sin( - 2 3 x +3 )

f'(x)= 3 cos( - 2 3 x +3 ) · ( - 2 3 +0 )

= 3 cos( - 2 3 x +3 ) · ( - 2 3 )

= -2 cos( - 2 3 x +3 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 3 ( x +5 ) 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 3 ( x +5 ) 5

f'(x)= - 5 3 ( x +5 ) 4 · ( 1 +0 )

= - 5 3 ( x +5 ) 4 · ( 1 )

= - 5 3 ( x +5 ) 4

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - ( -3 x 3 +2 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - ( -3 x 3 +2 ) 3

f'(x)= -3 ( -3 x 3 +2 ) 2 · ( -9 x 2 +0 )

= -3 ( -3 x 3 +2 ) 2 · ( -9 x 2 )

= 27 ( -3 x 3 +2 ) 2 x 2

= 27 ( ( -3 x 3 +2 ) x ) 2

= 27 ( x ( -3 x 3 +2 ) ) 2

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-1)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(0|-1) und Q2(-2|-1), also bei
x1 = 0 und x2 = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = -1 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f(-1).

f(-1) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f(-1) = -3,5 .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(0|-1) und Q2(-2|-1), also bei
x1 = 0 und x2 = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 5 x 2 -1 ) · cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= ( 5 x 2 -1 ) · cos( x )

f'(x)= ( 10x +0 ) · cos( x ) + ( 5 x 2 -1 ) · ( - sin( x ) )

= 10x · cos( x ) - ( 5 x 2 -1 ) · sin( x )

= 10 x · cos( x ) - ( 5 x 2 -1 ) · sin( x )

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x 2 +9 ) · 5x -2 und vereinfache:

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f(x)= ( x 2 +9 ) · 5x -2

= ( x 2 +9 ) · ( 5x -2 ) 1 2

=> f'(x) = ( 2x +0 ) · ( 5x -2 ) 1 2 + ( x 2 +9 ) · 1 2 ( 5x -2 ) - 1 2 · ( 5 +0 )

f'(x)= ( 2x +0 ) · 5x -2 + ( x 2 +9 ) · 1 2 5x -2 · ( 5 +0 )

= 2x · 5x -2 + ( x 2 +9 ) · 1 2 5x -2 · ( 5 )

= 2 x 5x -2 + ( x 2 +9 ) · 5 2 5x -2

= 2 x 5x -2 + 5 2 x 2 +9 5x -2

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x 2 -5 ) · sin( -2x ) und vereinfache:

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f(x)= ( x 2 -5 ) · sin( -2x )

f'(x)= ( 2x +0 ) · sin( -2x ) + ( x 2 -5 ) · cos( -2x ) · ( -2 )

= 2x · sin( -2x ) + ( x 2 -5 ) · ( -2 cos( -2x ) )

= 2 x · sin( -2x ) -2 ( x 2 -5 ) · cos( -2x )

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= ( x +3 ) 2 und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

( x +3 ) 2 = 0 | 2
x +3 = 0
x +3 = 0 | -3
x = -3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -4
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x )⋅g(x) + ( x 2 -4 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Für die Ableitung von f mit f(x)= x 2 -4 gilt: f'(x)= 2x . Diese setzen wir = 0:

2x = 0 |:2
x = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 3( x -1 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

3( x -1 ) = 0
3x -3 = 0 | +3
3x = 3 |:3
x = 1
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.