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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $3 {(\frac{1}{2} x + 1)}^{3} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $3 {(\frac{1}{2} x + 1)}^{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- x + 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- x + 2) \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- x + 2) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- x + 2)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(3 x^{2} + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(3 x^{2} + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (3 x^{2} + 3) \cdot (6 x + 0)$

= $6 (3 x^{2} + 3) \cdot (6 x)$

= $36 (3 x^{2} + 3) x$

= $36 x (3 x^{2} + 3)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-1) und Q₂(-1|-1), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(3) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(3)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(3)) = f( $2$ ) = $- \frac{5}{2}$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 1 + ( - 2 ) = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot x^{3} + \cos (x) \cdot 3 x^{2}$

= $- \sin (x) x^{3} + 3 \cos (x) x^{2}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot \sqrt{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot \sqrt{- x + 4}$

= $(3 x - 2) \cdot {(- x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(3 + 0) \cdot {(- x + 4)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 2) \cdot \frac{1}{2} {(- x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sqrt{- x + 4} + (3 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \sqrt{- x + 4} + (3 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1)$

= $3 \sqrt{- x + 4} + (3 x - 2) \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{- x + 4}})$

= $3 \sqrt{- x + 4} - \frac{1}{2} \frac{3 x - 2}{\sqrt{- x + 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x - 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x - 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x - 2) \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(1) und h '(1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Wir können der Zeichnung rechts g(1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(1) = f(g(1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = f(g(1)) = f(2) = -1.

Berechnung von h '(1)

Um h '(1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(1) = f '(g(1)) ⋅ g'(1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(1) = 2 entnommen.

f '(g(1)) = f '(2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(1)) = f' (2) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (1) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(1) = = f '(g(1)) ⋅ g'(1) = f' (2) ⋅ g'(1) ≈ 0.5 ⋅ -2 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 2)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(1) = g'(1) = 0.

Somit ist bei x = 1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = f'(1)⋅0 + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 12$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4 x - 12$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 12$ gilt: f'(x)= $2 x - 4$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 2, wodurch mit f'(2)=0 und g'(2)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(1) = f(g(1))

Berechnung von h '(1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):