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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $- \sin (3 x + 1) \cdot (3 + 0)$

= $- \sin (3 x + 1) \cdot (3)$

= $- 3 \cdot \sin (3 x + 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{{(- \frac{3}{4} x - 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{{(- \frac{3}{4} x - 4)}^{2}}$

= ${(- \frac{3}{4} x - 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 {(- \frac{3}{4} x - 4)}^{- 3} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- \frac{3}{4} x - 4)}^{3}} \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{2}{{(- \frac{3}{4} x - 4)}^{3}} \cdot (- \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{2 {(- \frac{3}{4} x - 4)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x^{2} - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x^{2} - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x + 0)$

= $2 (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x)$

= $- 4 (- x^{2} - 4) x$

= $- 4 x (- x^{2} - 4)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-2) und Q₂(2|-2), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $1$ ).

f( $1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $1$ ) = $- 1,5$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 2.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot (- \sin (x))$

= ${(\cos (x))}^{2} - \sin (x) \cdot \sin (x)$

= ${(\cos (x))}^{2} - {(\sin (x))}^{2}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x + 5)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x + 5)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

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Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(1) = -1.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (1) ⋅ g'(-2) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

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Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 2)$	=	0
$3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x + 1$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$ gilt: f'(x)= $2 x - 2$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):