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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x + 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x + 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(x + 3)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $- 12 {(x + 3)}^{3} \cdot (1)$

= $- 12 {(x + 3)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x + 5}$

= $- 3 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 5}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 5}} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{2 \sqrt{- 3 x + 5}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(2 x + 3)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $9 {(2 x + 3)}^{2} \cdot (2)$

= $18 {(2 x + 3)}^{2}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(3) = -2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = $1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-2) und Q₂(-1|-2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot (- 5 x - 4)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot (- 5 x - 4) + \cos (x) \cdot (- 5 + 0)$

= $- \sin (x) \cdot (- 5 x - 4) + \cos (x) \cdot (- 5)$

= $- \sin (x) \cdot (- 5 x - 4) - 5 \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(2 x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot {(2 x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot {(2 x + 4)}^{4} + \cos (x) \cdot 4 {(2 x + 4)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $- \sin (x) {(2 x + 4)}^{4} + \cos (x) \cdot 4 {(2 x + 4)}^{3} \cdot (2)$

= $- \sin (x) {(2 x + 4)}^{4} + \cos (x) \cdot 8 {(2 x + 4)}^{3}$

= $- \sin (x) {(2 x + 4)}^{4} + 8 \cos (x) {(2 x + 4)}^{3}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 8) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 8) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x - 8) \cdot \cos (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 3 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(3) = 2.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 3 entnommen.

f '(g(0)) = f '(3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (3) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (3) ⋅ g'(0) ≈ 2 ⋅ -2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung