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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(x + 4)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $- 12 {(x + 4)}^{3} \cdot (1)$

= $- 12 {(x + 4)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{- x + 4}$

= $\frac{3}{2} {(- x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} {(- x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 \sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{3}{4 \sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{4 \sqrt{- x + 4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(x + 2)}^{4} \cdot (1 + 0)$

= $- 15 {(x + 2)}^{4} \cdot (1)$

= $- 15 {(x + 2)}^{4}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-3|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f( $0$ ) = $\frac{3}{2}$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|3) und Q₂(-3|3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4 x) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4 x) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 4) \cdot \cos (x) + (2 x^{2} + 4 x) \cdot (- \sin (x))$

= $(4 x + 4) \cdot \cos (x) - (2 x^{2} + 4 x) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (5 x + 4)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (5 x + 4) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (5 x + 4) \cdot (5 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 4) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (5 x + 4) \cdot (5))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 4) + (x^{2} + 7) \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x + 4))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 4) - 5 (x^{2} + 7) \cdot \sin (5 x + 4)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x^{3} - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x^{3} - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 6 (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2})$

= $- 18 (x^{3} - 5) x^{2}$

= $- 18 x^{2} (x^{3} - 5)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -3 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-3) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -3 entnommen.

f '(g(3)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (-3) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-3) ⋅ g'(3) ≈ 4 ⋅ 2 ≈ 8.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 1)$	=	0
$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung