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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (- \frac{3}{4} x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (- \frac{3}{4} x - 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{4} \cdot \sin (- \frac{3}{4} x - 3) \cdot (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{4} \cdot \sin (- \frac{3}{4} x - 3) \cdot (- \frac{3}{4})$

= $\frac{9}{16} \cdot \sin (- \frac{3}{4} x - 3)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $\sin (2 x + 4) \cdot (2 + 0)$

= $\sin (2 x + 4) \cdot (2)$

= $2 \cdot \sin (2 x + 4)$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

= $2 {(2 x - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(2 x - 3)}^{- 3} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(2 x - 3)}^{3}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{4}{{(2 x - 3)}^{3}} \cdot (2)$

= $- \frac{8}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(0)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot x^{5} + \cos (x) \cdot 5 x^{4}$

= $- \sin (x) x^{5} + 5 \cos (x) x^{4}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (4 x + 4) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (4 x + 4) \cdot (4 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (4 x + 4) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (4 x + 4) \cdot (4)$

= $2 x \cdot \sin (4 x + 4) + (x^{2} - 3) \cdot 4 \cdot \cos (4 x + 4)$

= $2 x \cdot \sin (4 x + 4) + 4 (x^{2} - 3) \cdot \cos (4 x + 4)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x + 4}$

= $3 {(- 2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 2 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 4}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 2 x + 4}}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-1) = -2.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-1) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-1) ⋅ g'(0) ≈ -2 ⋅ 2 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung