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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\frac{3}{2} x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\frac{3}{2} x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(\frac{3}{2} x - 2)}^{3} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $- 4 {(\frac{3}{2} x - 2)}^{3} \cdot (\frac{3}{2})$

= $- 6 {(\frac{3}{2} x - 2)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{\frac{3}{2} x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{\frac{3}{2} x + 3}$

= ${(\frac{3}{2} x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(\frac{3}{2} x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 3}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 3}} \cdot (\frac{3}{2})$

= $\frac{3}{4 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $- \sin (3 x - 1) \cdot (3 + 0)$

= $- \sin (3 x - 1) \cdot (3)$

= $- 3 \cdot \sin (3 x - 1)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|3) und Q₂(-2|3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(0) + f '(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(0) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(0) + f '(0) = -3 + 0 = $- 3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x)$

= $x^{- 2} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 3} \cdot \cos (x) + x^{- 2} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 \frac{\cos (x)}{x^{3}} - \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x - 3) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x - 3) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x - 3) + x^{4} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 3))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x - 3) - 3 x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 3)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (3 x^{3} + 5) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (3 x^{3} + 5) \cdot (9 x^{2})$

= $27 \sin (3 x^{3} + 5) x^{2}$

= $27 x^{2} \cdot \sin (3 x^{3} + 5)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(0) = 2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 0 entnommen.

f '(g(3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (0) ≈ -0.5

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (0) ⋅ g'(3) ≈ -0.5 ⋅ 1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x - 3)$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 3$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-5) = g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung