$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-15{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-10{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3x+2}$

= $-{\left(3x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(3x+2\right)}^{-2}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{{\left(3x+2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-x-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(-x-1\right)·\left(-1+0\right)$

= $4\left(-x-1\right)·\left(-1\right)$

= $-4\left(-x-1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(3)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|3) und Q₂(2|3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(2) = 1.

$\text{f(x)}=$ $x^5·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\cos \left(x\right)+x^5·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5x^4·\cos \left(x\right)-x^5·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sqrt{-4x+5}$

= $x^2·{\left(-4x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x·{\left(-4x+5\right)}^{\frac{1}{2}}+x^2·\frac{1}{2}{\left(-4x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sqrt{-4x+5}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-4x+5}}·\left(-4+0\right)$

= $2x\sqrt{-4x+5}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-4x+5}}·\left(-4\right)$

= $2x\sqrt{-4x+5}+x^2·\left(-\frac{2}{\sqrt{-4x+5}}\right)$

= $2x\sqrt{-4x+5}-2\frac{x^2}{\sqrt{-4x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(x^2-6\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $2x·\cos \left(-2x\right)+\left(x^2-6\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $2x·\cos \left(-2x\right)+2\left(x^2-6\right)·\sin \left(-2x\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.