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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- \frac{1}{2} x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- \frac{1}{2} x + 1)$

$f'(x) =$ $- \cos (- \frac{1}{2} x + 1) \cdot (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \cos (- \frac{1}{2} x + 1) \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} x + 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 (\frac{1}{2} x - 1)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 (\frac{1}{2} x - 1)}$

= $- \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{- 2} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{1}{6 {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x - 4)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x - 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- x - 4) \cdot (- 1)$

= $3 \cdot \cos (- x - 4)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = $- 2$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-2) = -3.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (5 x - 1)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (5 x - 1) + \sin (x) \cdot (5 + 0)$

= $\cos (x) (5 x - 1) + \sin (x) \cdot (5)$

= $\cos (x) (5 x - 1) + 5 \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt{2 x - 3}$

= $\sin (x) \cdot {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{2 x - 3} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2 + 0)$

= $\cos (x) \sqrt{2 x - 3} + \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2)$

= $\cos (x) \sqrt{2 x - 3} + \sin (x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}$

= $\cos (x) \sqrt{2 x - 3} + \frac{\sin (x)}{\sqrt{2 x - 3}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x + 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$3 (x + 3)$	=	0
$3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x + 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung