$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{\left(3x+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\left(3x+4\right)·\left(3+0\right)$

= $-\frac{3}{2}\left(3x+4\right)·\left(3\right)$

= $-\frac{9}{2}\left(3x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-2x+3}$

= ${\left(-2x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-2x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-2x+3}}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-2x+3}}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-2x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(x-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(x-1\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $12{\left(x-1\right)}^3·\left(1\right)$

= $12{\left(x-1\right)}^3$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|0) und Q₂(-1|0), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

= $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sqrt{-2x-1}$

= $x^2·{\left(-2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x·{\left(-2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}+x^2·\frac{1}{2}{\left(-2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sqrt{-2x-1}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-2x-1}}·\left(-2+0\right)$

= $2x\sqrt{-2x-1}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-2x-1}}·\left(-2\right)$

= $2x\sqrt{-2x-1}+x^2·\left(-\frac{1}{\sqrt{-2x-1}}\right)$

= $2x\sqrt{-2x-1}-\frac{x^2}{\sqrt{-2x-1}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^3\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}\sin \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\sin \left(x^3\right)$

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(0) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 0 entnommen.

f '(g(3)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (0) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (0) ⋅ g'(3) ≈ 1 ⋅ 1 ≈ 1.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-1$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-9$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.