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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x + 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x + 1)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$

= $3 {(3 x - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(3 x - 3)}^{- 3} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(3 x - 3)}^{3}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{6}{{(3 x - 3)}^{3}} \cdot (3)$

= $- \frac{18}{{(3 x - 3)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2})$

= $- 12 \sin (2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $- 12 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} + 1)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = 0.

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 1 + ( - 2 ) = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x) + (2 x - 1) \cdot (- \sin (x))$

= $2 \cdot \cos (x) - (2 x - 1) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt{x + 4}$

= $\cos (x) \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \sin (x) \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \sin (x) \cdot \sqrt{x + 4} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot (1 + 0)$

= $- \sin (x) \sqrt{x + 4} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot (1)$

= $- \sin (x) \sqrt{x + 4} + \cos (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$

= $- \sin (x) \sqrt{x + 4} + \frac{1}{2} \frac{\cos (x)}{\sqrt{x + 4}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x^{2} + 3) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(0) = 2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 0 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(0) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 0 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (0) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (0) ⋅ g'(-2) ≈ -1 ⋅ -1 ≈ 1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 2)$	=	0
$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 9$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$ gilt: f'(x)= $2 x$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x - 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x - 1)$	=	0
$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung