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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(- x - 1)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 3 {(- x - 1)}^{2} \cdot (- 1)$

= $3 {(- x - 1)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x + 3}$

= $2 {(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 2 x + 3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x + 3}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{\sqrt{- 2 x + 3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x^{2} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 2 x^{2} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(- 2 x^{2} - 1)}^{3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 8 {(- 2 x^{2} - 1)}^{3} \cdot (- 4 x)$

= $32 {(- 2 x^{2} - 1)}^{3} x$

= $32 x {(- 2 x^{2} - 1)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-3).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(-1)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(-2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = 0.

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot (2 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot (2 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot (2 x^{2} + 1) + \sin (x) \cdot (4 x + 0)$

= $\cos (x) \cdot (2 x^{2} + 1) + \sin (x) \cdot (4 x)$

= $\cos (x) \cdot (2 x^{2} + 1) + 4 \sin (x) x$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x + 1)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x + 1)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x + 1) + x^{2} \cdot \cos (x + 1)$

= $2 x \cdot \sin (x + 1) + x^{2} \cdot \cos (x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 1) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 1) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x - 1) \cdot \cos (- 2 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(0) und h '(0).

Lösung einblenden

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = 1 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(1) = 2.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = 1 entnommen.

f '(g(0)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (1) ≈ 2

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (1) ⋅ g'(0) ≈ 2 ⋅ -0.5 ≈ -1.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x + 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Berechnung von h '(0)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Anzahl Nullstellen bei Verkettung