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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - sin( -x +4 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - sin( -x +4 )

f'(x)= - cos( -x +4 ) · ( -1 +0 )

= - cos( -x +4 ) · ( -1 )

= cos( -x +4 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 2 1 2 x -1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 2 1 2 x -1

= - 1 2 ( 1 2 x -1 ) 1 2

=> f'(x) = - 1 4 ( 1 2 x -1 ) - 1 2 · ( 1 2 +0 )

f'(x)= - 1 4 1 2 x -1 · ( 1 2 +0 )

= - 1 4 1 2 x -1 · ( 1 2 )

= - 1 8 1 2 x -1

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - ( cos( x ) -4 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - ( cos( x ) -4 ) 3

f'(x)= -3 ( cos( x ) -4 ) 2 · ( - sin( x ) +0 )

= -3 ( cos( x ) -4 ) 2 · ( - sin( x ) )

= 3 ( cos( x ) -4 ) 2 · sin( x )

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(1|0) und Q2(-1|0), also bei
x1 = 1 und x2 = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = -2 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f(-2).

f(-2) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f(-2) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(-2|-2) und Q2(0|-2), also bei
x1 = -2 und x2 = 0

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= cos( x ) · x 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= cos( x ) · x 5

f'(x)= - sin( x ) · x 5 + cos( x ) · 5 x 4

= - sin( x ) x 5 +5 cos( x ) x 4

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 2 · cos( -2x -5 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 2 · cos( -2x -5 )

f'(x)= 2x · cos( -2x -5 ) + x 2 · ( - sin( -2x -5 ) · ( -2 +0 ) )

= 2 x · cos( -2x -5 ) + x 2 · ( - sin( -2x -5 ) · ( -2 ) )

= 2 x · cos( -2x -5 ) + x 2 · 2 sin( -2x -5 )

= 2 x · cos( -2x -5 ) +2 x 2 · sin( -2x -5 )

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 2x -5 ) · cos( x 3 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 2x -5 ) · cos( x 3 )

f'(x)= ( 2 +0 ) · cos( x 3 ) + ( 2x -5 ) · ( - sin( x 3 ) · 3 x 2 )

= 2 cos( x 3 ) + ( 2x -5 ) · ( -3 sin( x 3 ) x 2 )

= 2 cos( x 3 ) -3 ( 2x -5 ) sin( x 3 ) x 2

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(-3) = -1.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = -3 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(-3) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -3 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (-3) ≈ -2

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = 1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (-3) ⋅ g'(-1) ≈ -2 ⋅ 1 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= ( x -2 ) 2 und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

( x -2 ) 2 = 0 | 2
x -2 = 0
x -2 = 0 | +2
x = 2
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -24
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x -2 )⋅g(x) + ( x 2 -2x -24 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -3
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x +2 )⋅g(x) + ( x 2 +2x -3 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 +2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +12 2

x1,2 = -2 ± 16 2

x1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

x2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.