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Kursstufe
cosh
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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Kettenregel ohne e-Fktn (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
=
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).
Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.
Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)
g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -3.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(-1|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-1)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(0|-1) und Q2(-2|-1), also bei
x1 = 0 und x2 = -2
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-2)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-2)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-2)) = f() = .
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(0|-1) und Q2(-2|-1), also bei
x1 = 0 und x2 = -2
nur Produktregel ohne e-Fktn
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ketten- und Produktregel (BF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
=
=
=
Ketten- und Produktregel (LF)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
= | | | ||
|
= |
|
= | |
|
|
|
= |
|
Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.
waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).
Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).
Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.
Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass
h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = (
gilt.
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.
Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:
Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).
Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Für die Ableitung von f mit
|
= | |: |
|
|
= |
Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der
Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) =
f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.
Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.
Anzahl Nullstellen bei Verkettung
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit
Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:
|
= | ||
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= | |
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= |
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|: |
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= |
|
Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch
gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.
Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.
Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.
Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.