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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- 2 x + 2)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $4 {(- 2 x + 2)}^{3} \cdot (- 2)$

= $- 8 {(- 2 x + 2)}^{3}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}}$

= ${(2 x + 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 {(2 x + 2)}^{- 3} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(2 x + 2)}^{3}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{2}{{(2 x + 2)}^{3}} \cdot (2)$

= $- \frac{4}{{(2 x + 2)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x^{2} + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x^{2} + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(2 x^{2} + 4)}^{3} \cdot (4 x + 0)$

= $- 4 {(2 x^{2} + 4)}^{3} \cdot (4 x)$

= $- 16 {(2 x^{2} + 4)}^{3} x$

= $- 16 x {(2 x^{2} + 4)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(0) = 4.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|3) und Q₂(2|3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = $1$ .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = -1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) \cdot \sqrt[3]{x}$

= $\sin (x) \cdot x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\cos (x) \cdot x^{\frac{1}{3}} + \sin (x) \cdot \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\cos (x) \cdot \sqrt[3]{x} + \sin (x) \cdot \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $\cos (x) \sqrt[3]{x} + \frac{1}{3} \frac{\sin (x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(3 x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 {(3 x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(3 x - 3)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $- 12 {(3 x - 3)}^{3} \cdot (3)$

= $- 36 {(3 x - 3)}^{3}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x - 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

Lösung einblenden

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(1) = 2.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = 1 entnommen.

f '(g(3)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (1) ≈ 1

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = -0.5

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (1) ⋅ g'(3) ≈ 1 ⋅ -0.5 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 10$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 10 x + 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$ gilt: f'(x)= $2 x + 10$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):