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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 2 ( - 1 2 x +4 ) 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 3 2 ( - 1 2 x +4 ) 4

f'(x)= -6 ( - 1 2 x +4 ) 3 · ( - 1 2 +0 )

= -6 ( - 1 2 x +4 ) 3 · ( - 1 2 )

= 3 ( - 1 2 x +4 ) 3

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 ( 3 2 x -4 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( 3 2 x -4 ) 3

= - ( 3 2 x -4 ) -3

=> f'(x) = 3 ( 3 2 x -4 ) -4 · ( 3 2 +0 )

f'(x)= 3 ( 3 2 x -4 ) 4 · ( 3 2 +0 )

= 3 ( 3 2 x -4 ) 4 · ( 3 2 )

= 9 2 ( 3 2 x -4 ) 4

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin( -2 x 2 +4 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= sin( -2 x 2 +4 )

f'(x)= cos( -2 x 2 +4 ) · ( -4x +0 )

= cos( -2 x 2 +4 ) · ( -4x )

= -4 cos( -2 x 2 +4 ) x

= -4 x · cos( -2 x 2 +4 )

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-2) = 0.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(0)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(-2|0) und Q2(2|0), also bei
x1 = -2 und x2 = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = 0 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f(0).

f(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f(0) = 2 .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-1) + f '(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = -2 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 1 + ( - 2 ) = -1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 x · cos( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 x · cos( x )

= x -1 · cos( x )

=> f'(x) = - x -2 · cos( x ) + x -1 · ( - sin( x ) )

f'(x)= - 1 x 2 · cos( x ) + 1 x · ( - sin( x ) )

= - cos( x ) x 2 - sin( x ) x

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · ( x -4 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x · ( x -4 ) 2

= x 1 2 · ( x -4 ) 2

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · ( x -4 ) 2 + x 1 2 · ( 2( x -4 ) · ( 1 +0 ) )

f'(x)= 1 2 x · ( x -4 ) 2 + x · ( 2( x -4 ) · ( 1 +0 ) )

= 1 2 ( x -4 ) 2 x + x · ( 2( x -4 ) · ( 1 ) )

= 1 2 ( x -4 ) 2 x + x · ( 2( x -4 ) )

= 1 2 ( x -4 ) 2 x +2 x ( x -4 )

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 3x +7 ) · sin( -2x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 3x +7 ) · sin( -2x )

f'(x)= ( 3 +0 ) · sin( -2x ) + ( 3x +7 ) · cos( -2x ) · ( -2 )

= 3 sin( -2x ) + ( 3x +7 ) · ( -2 cos( -2x ) )

= 3 sin( -2x ) -2 ( 3x +7 ) · cos( -2x )

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= 3( x +3 ) und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

3( x +3 ) = 0
3x +9 = 0 | -9
3x = -9 |:3
x = -3
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 3 +2x +2
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +1
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( 2x -2 )⋅g(x) + ( x 2 -2x +1 )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

x 2 -2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit f(x)= x 2 -2x +1 gilt: f'(x)= 2x -2 . Diese setzen wir = 0:

2x -2 = 0 | +2
2x = 2 |:2
x = 1

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.