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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- \frac{3}{2} x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- \frac{3}{2} x + 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} x + 5) \cdot (- \frac{3}{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} x + 5) \cdot (- \frac{3}{2})$

= $3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} x + 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 3} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- 2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- 2 x^{3} + 2}$

= $- 2 {(- 2 x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- 2 x^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- 2 x^{3} + 2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- 2 x^{3} + 2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} + 2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(1)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = $- 1$ .

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -3 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-2) und Q₂(-1|-2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x) + x^{5} \cdot \cos (x)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x) + x^{5} \cdot \cos (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot {(- 3 x + 1)}^{2} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (2 (- 3 x + 1) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 6 (- 3 x + 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{{(- 3 x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} - 6 \sqrt{x} \cdot (- 3 x + 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} + 6) \cos (x^{2}) x$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(-1) = -2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = -1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(-1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (-1) ≈ -1

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = 2

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (-1) ⋅ g'(-2) ≈ -1 ⋅ 2 ≈ -2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 3)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 3)$	=	0
$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x + 3$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-3) = g'(-3) = 0.

Somit ist bei x = -3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + f(-3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung rückwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung