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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} {(2 x + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} {(2 x + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 2 {(2 x + 4)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $- 2 {(2 x + 4)}^{2} \cdot (2)$

= $- 4 {(2 x + 4)}^{2}$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4 (- 3 x + 3)}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4 (- 3 x + 3)}$

= $\frac{1}{4} {(- 3 x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} {(- 3 x + 3)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 {(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{4 {(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{4 {(- 3 x + 3)}^{2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $- \sin (- x^{2} + 1) \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \sin (- x^{2} + 1) \cdot (- 2 x)$

= $2 \sin (- x^{2} + 1) x$

= $2 x \cdot \sin (- x^{2} + 1)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(0) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(2)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|2) und Q₂(-1|2), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $1$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 2 = $3$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 8 x) \cdot \cos (x) + (- 5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot (- \sin (x))$

= $(- 20 x^{3} - 8 x) \cdot \cos (x) - (- 5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{x - 2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{x - 2}$

= $x^{2} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} \cdot \frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sqrt{x - 2} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} \cdot (1 + 0)$

= $2 x \sqrt{x - 2} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} \cdot (1)$

= $2 x \sqrt{x - 2} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}}$

= $2 x \sqrt{x - 2} + \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 2}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 2) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (x^{2} - 2) \cdot \sin (- 3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(3) und h '(3).

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Berechnung von h(3) = f(g(3))

Wir können der Zeichnung rechts g(3) = -2 entnehmen.

Also gilt h(3) = f(g(3)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = f(g(3)) = f(-2) = -1.

Berechnung von h '(3)

Um h '(3) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(3) = f '(g(3)) ⋅ g'(3)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(3) = -2 entnommen.

f '(g(3)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(3)) = f' (-2) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(3), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (3) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(3) = = f '(g(3)) ⋅ g'(3) = f' (-2) ⋅ g'(3) ≈ 4 ⋅ 0.5 ≈ 2.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 4)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 4)$	=	0
$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 15$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 25$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = f'(5)⋅0 + 0⋅g'(5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(3) = f(g(3))

Berechnung von h '(3)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung