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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x - 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{\frac{3}{2} x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{\frac{3}{2} x + 2}$

= $3 {(\frac{3}{2} x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(\frac{3}{2} x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 2}} \cdot (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 2}} \cdot (\frac{3}{2})$

= $\frac{9}{4 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} x + 2}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 2 x^{3} - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 2 x^{3} - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(- 2 x^{3} - 2)}^{3} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- 4 {(- 2 x^{3} - 2)}^{3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $24 {(- 2 x^{3} - 2)}^{3} x^{2}$

= $24 x^{2} {(- 2 x^{3} - 2)}^{3}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -2 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(0)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f( $2$ ).

f( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f( $2$ ) = $2$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 1 = $2$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5) \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5) \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot \cos (x) + (- 4 x^{3} - 5) \cdot (- \sin (x))$

= $- 12 x^{2} \cdot \cos (x) - (- 4 x^{3} - 5) \cdot \sin (x)$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$

= $x^{2} \cdot {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x \cdot {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} \cdot \frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sqrt{2 x + 1} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 1}} \cdot (2 + 0)$

= $2 x \sqrt{2 x + 1} + x^{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 1}} \cdot (2)$

= $2 x \sqrt{2 x + 1} + x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$

= $2 x \sqrt{2 x + 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x + 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 1) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 1) \sin (x^{3}) x^{2}$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-1) und h '(-1).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Wir können der Zeichnung rechts g(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = f(g(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = f(g(-1)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(-1)

Um h '(-1) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-1) = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-1) = 1 entnommen.

f '(g(-1)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-1)) = f' (1) ≈ 4

Damit fehlt nur g'(-1), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-1) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-1) = = f '(g(-1)) ⋅ g'(-1) = f' (1) ⋅ g'(-1) ≈ 4 ⋅ -1 ≈ -4.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x - 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x$ )⋅g(x) + ( $x^{2} - 4$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -2, bei x = 4 und bei x = 0.
(also gilt g(-2) = g(-2) = g(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -2, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + 0⋅g'(-2) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-1) = f(g(-1))

Berechnung von h '(-1)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung