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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 4 cos( -x +2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 4 cos( -x +2 )

f'(x)= 1 4 sin( -x +2 ) · ( -1 +0 )

= 1 4 sin( -x +2 ) · ( -1 )

= - 1 4 sin( -x +2 )

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 ( - 1 2 x -4 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2 ( - 1 2 x -4 ) 3

= 1 2 ( - 1 2 x -4 ) -3

=> f'(x) = - 3 2 ( - 1 2 x -4 ) -4 · ( - 1 2 +0 )

f'(x)= - 3 2 ( - 1 2 x -4 ) 4 · ( - 1 2 +0 )

= - 3 2 ( - 1 2 x -4 ) 4 · ( - 1 2 )

= 3 4 ( - 1 2 x -4 ) 4

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 3 x 3 -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 2 3 x 3 -4

= -2 ( 3 x 3 -4 ) -1

=> f'(x) = 2 ( 3 x 3 -4 ) -2 · ( 9 x 2 +0 )

f'(x)= 2 ( 3 x 3 -4 ) 2 · ( 9 x 2 +0 )

= 2 ( 3 x 3 -4 ) 2 · ( 9 x 2 )

= 18 x 2 ( 3 x 3 -4 ) 2

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = 2.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = -1 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q1(2|1) und Q2(-2|1), also bei
x1 = 2 und x2 = -2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-3)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = -2 entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f(-2).

f(-2) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f(-2) = - 7 2 .

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(2).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = 2.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= cos( x ) · 1 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= cos( x ) · 1 x 3

= cos( x ) · x -3

=> f'(x) = - sin( x ) · x -3 + cos( x ) · ( -3 x -4 )

f'(x)= - sin( x ) · 1 x 3 + cos( x ) · ( - 3 x 4 )

= - sin( x ) x 3 -3 cos( x ) x 4

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · ( -3x -3 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x · ( -3x -3 ) 3

= x 1 2 · ( -3x -3 ) 3

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · ( -3x -3 ) 3 + x 1 2 · 3 ( -3x -3 ) 2 · ( -3 +0 )

f'(x)= 1 2 x · ( -3x -3 ) 3 + x · 3 ( -3x -3 ) 2 · ( -3 +0 )

= 1 2 ( -3x -3 ) 3 x + x · 3 ( -3x -3 ) 2 · ( -3 )

= 1 2 ( -3x -3 ) 3 x + x · ( -9 ( -3x -3 ) 2 )

= 1 2 ( -3x -3 ) 3 x -9 x ( -3x -3 ) 2

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 3x +6 ) · sin( 2x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 3x +6 ) · sin( 2x )

f'(x)= ( 3 +0 ) · sin( 2x ) + ( 3x +6 ) · cos( 2x ) · 2

= 3 sin( 2x ) + ( 3x +6 ) · 2 cos( 2x )

= 3 sin( 2x ) +2 ( 3x +6 ) · cos( 2x )

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= ( x -4 ) 3 und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

( x -4 ) 3 = 0 | 3
x -4 = 0
x -4 = 0 | +4
x = 4
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= x 3 + x +4
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-2) = f'(g(-2))⋅g'(-2) = f'(g(-2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= ( x +4 ) 3 und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

( x +4 ) 3 = 0 | 3
x +4 = 0
x +4 = 0 | -4
x = -4
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.