Mathebattle EduRandomtasks

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\frac{1}{4} x + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\frac{1}{4} x + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\frac{1}{4} x + 2) \cdot (\frac{1}{4} + 0)$

= $4 (\frac{1}{4} x + 2) \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} x + 2$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}}$

= $\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- {(x - 1)}^{- 4} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(x - 1)}^{4}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{1}{{(x - 1)}^{4}} \cdot (1)$

= $- \frac{1}{{(x - 1)}^{4}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(\cos (x) - 5)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $10 {(\cos (x) - 5)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $- 10 {(\cos (x) - 5)}^{4} \cdot \sin (x)$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = -1.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-2)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f( $- 2$ ) = 0.

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(0).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = 1.

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \cos (x)$

= $x^{- 1} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- x^{- 2} \cdot \cos (x) + x^{- 1} \cdot (- \sin (x))$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x} \cdot (- \sin (x))$

= $- \frac{\cos (x)}{x^{2}} - \frac{\sin (x)}{x}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (5 x - 1) + x^{4} \cdot \cos (5 x - 1) \cdot (5 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (5 x - 1) + x^{4} \cdot \cos (5 x - 1) \cdot (5)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (5 x - 1) + x^{4} \cdot 5 \cdot \cos (5 x - 1)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (5 x - 1) + 5 x^{4} \cdot \cos (5 x - 1)$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (3 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (3 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (3 x) + 3 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (3 x)$

Kettenregel graphisch

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(g(x)).
Bestimme h(-2) und h '(-2).

Lösung einblenden

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Wir können der Zeichnung rechts g(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = f(g(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = f(g(-2)) = f(1) = -2.

Berechnung von h '(-2)

Um h '(-2) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(-2) = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(-2) = 1 entnommen.

f '(g(-2)) = f '(1) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = 1 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(-2)) = f' (1) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(-2), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (-2) = m = -1

Somit erhalten wir:

h '(-2) = = f '(g(-2)) ⋅ g'(-2) = f' (1) ⋅ g'(-2) ≈ 0.5 ⋅ -1 ≈ -0.5.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 5$
und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 4$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 4 x - 5$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Für die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 5$ gilt: f'(x)= $2 x + 4$ . Diese setzen wir = 0:

$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = -2, wodurch mit f'(-2)=0 und g'(-2)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{3}$ und der Graph einer Funktion g (in der Abbildung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

${(x - 3)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Verkettung vorwärts

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Kettenregel graphisch

Berechnung von h(-2) = f(g(-2))

Berechnung von h '(-2)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Anzahl Nullstellen bei Verkettung