$\text{f(x)}=$ $3{\left(-3x-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-3x-4\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $9{\left(-3x-4\right)}^2·\left(-3\right)$

= $-27{\left(-3x-4\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3\left(\frac{3}{2}x+3\right)}$

= $\frac{2}{3}{\left(\frac{3}{2}x+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{\left(\frac{3}{2}x+3\right)}^{-2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3{\left(\frac{3}{2}x+3\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $-\frac{2}{3{\left(\frac{3}{2}x+3\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $-\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}x+3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-x^3-4}$

= $-2{\left(-x^3-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-x^3-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-x^3-4}}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-x^3-4}}·\left(-3x^2\right)$

= $3\frac{x^2}{\sqrt{-x^3-4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(1)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-3$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-3) und Q₂(0|-3), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-3}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-3x^{-4}·\cos \left(x\right)+x^{-3}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^3}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-3\frac{\cos \left(x\right)}{x^4}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{4x-4}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(4x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(4x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(4x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{4x-4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x-4}}·\left(4+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{4x-4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{4x-4}}·\left(4\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{4x-4}+\sin \left(x\right)·\frac{2}{\sqrt{4x-4}}$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{4x-4}+2\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{4x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Berechnung von h(0) = f(g(0))

Wir können der Zeichnung rechts g(0) = -2 entnehmen.

Also gilt h(0) = f(g(0)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = f(g(0)) = f(-2) = 0.

Berechnung von h '(0)

Um h '(0) zu berechnen, müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden

h '(0) = f '(g(0)) ⋅ g'(0)

Wir haben ja bereits oben der Zeichnung g(0) = -2 entnommen.

f '(g(0)) = f '(-2) erhalten wir, indem wir die Tangentensteigung an den Graph von f an der Stelle x = -2 ablesen (siehe grüne Tangente):

f '(g(0)) = f' (-2) ≈ 0.5

Damit fehlt nur g'(0), was sich ja einfach als Steigung der blauen Geraden ablesen lässt (weil die Steigung bei dieser Geraden an jeder Stelle gleich ist).

g' (0) = m = 0.5

Somit erhalten wir:

h '(0) = = f '(g(0)) ⋅ g'(0) = f' (-2) ⋅ g'(0) ≈ 0.5 ⋅ 0.5 ≈ 0.25.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4.
(also gilt g(0) = g(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + 0⋅g'(4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.