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Kursstufe
cosh
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,105
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 130,667
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 4,31
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 4,31 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 4,31 m³ ≈ 50,69 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 50,69 m³.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen und .
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 15,2
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) = → = ≈ -0.067
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.067
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
- Der geringste Inhalt an Litern Wasser im abgebildeten Zeitraum sind ca. 13,1. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
- Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 2 Minuten in den Tank hinein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.
- Anfangsbestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.1+10.9 = 24 Liter betragen haben.
- reiner Zuwachs nach 2 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z2 = 5.9 Liter .