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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 14 3 Sekunden?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 14 3 :
3 14 3 3x -5 x
= 3 14 3 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 14 3

= [ 2 9 ( 3x -5 ) 3 ] 3 14 3

= 2 9 ( 3( 14 3 ) -5 ) 3 - 2 9 ( 33 -5 ) 3

= 2 9 ( 14 -5 ) 3 - 2 9 ( 9 -5 ) 3

= 2 9 ( 9 ) 3 - 2 9 ( 4 ) 3

= 2 9 3 3 - 2 9 2 3

= 2 9 27 - 2 9 8

= 6 - 16 9

= 54 9 - 16 9

= 38 9


≈ 4,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 14 3 zusammen:
B = 10 + 38 9 = 128 9 ≈ 14.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 6 3x -6 x
= 4 5 6 ( 3x -6 ) -1 x

= [ 2 ln( | 3x -6 | ) ] 4 5

= 2 ln( | 35 -6 | ) -2 ln( | 34 -6 | )

= 2 ln( | 15 -6 | ) -2 ln( | 12 -6 | )

= 2 ln( 9 ) -2 ln( | 12 -6 | )

= 2 ln( 9 ) -2 ln( 6 )


≈ 0,811
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 4 + 2 ln( | 9 | ) -2 ln( | 6 | ) ≈ 4.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,4 e -0,1x +0,3 x = 3

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0 u 0,4 e -0,1x +0,3 x

= [ -4 e -0,1x +0,3 ] 0 u

= -4 e -0,1u +0,3 +4 e -0,10 +0,3

= -4 e -0,1u +0,3 +4 e 0 +0,3

= -4 e -0,1u +0,3 +4 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 3 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 e -0,1u +0,3 +4 e 0,3 = 3 | -4 e 0,3
-4 e -0,1u +0,3 = -4 e 0,3 +3
-4 e -0,1u +0,3 = -2,3994 |:-4
e -0,1u +0,3 = 0,5999 |ln(⋅)
-0,1u +0,3 = ln( 0,5999 )
-0,1u +0,3 = -0,511 | -0,3
-0,1u = -0,811 |:(-0,1 )
u = 8,11

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= - 1 8 t 2 +8 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

- 1 8 t 2 +8 = 0 | -8
- 1 8 t 2 = -8 |⋅ ( -8 )
t 2 = 64 | 2
t1 = - 64 = -8
t2 = 64 = 8

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 8 ( - 1 8 t 2 +8 ) t

= [ - 1 24 x 3 +8x ] 0 8

= - 1 24 8 3 +88 - ( - 1 24 0 3 +80 )

= - 1 24 512 +64 - ( - 1 24 0 +0)

= - 64 3 +64 - (0+0)

= - 64 3 + 192 3 +0

= 128 3


≈ 42,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 42,667 m³ ≈ 2,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 2,333 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 4 e x -1 x

= 1 3 [ 4 e x -1 ] 0 3

= 1 3 ( 4 e 3 -1 -4 e 0 -1 )

= 1 3 ( 4 e 2 -4 e -1 )


≈ 9,362

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u 1 ( x -3 ) 2 x
= 4 u ( x -3 ) -2 x

= [ - ( x -3 ) -1 ] 4 u

= [ - 1 x -3 ] 4 u

= - 1 u -3 + 1 4 -3

= - 1 u -3 + 1 1

= - 1 u -3 + 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 u -3 +1 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 30,9 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.

  2. kleinster Bestand

    Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
    B7 = 30.9+1.1-12 = 20 Hundert Personen .