Mathebattle EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 5} - 2 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{6 - 5} - 2 e^{2 - 5}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 3}$

= $2 e - 2 e^{- 3}$

≈ 5,337

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 16 + $- 2 e^{- 3} + 2 e$ ≈ 21.34

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $e^{6 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{2} - e^{- 4}$

≈ 7,371

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 40 + $e^{2} - e^{- 4}$ ≈ 47.37

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,1 x - 0,4} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,1 x - 0,4} ⅆ x

= ${[8 e^{0,1 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,1 u - 0,4} - 8 e^{0,1 \cdot 0 - 0,4}$

= $8 e^{0,1 u - 0,4} - 8 e^{0 - 0,4}$

= $8 e^{0,1 u - 0,4} - 8 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,1 u - 0,4} - 8 e^{- 0,4}$	=	$9$	\| $+ 8 e^{- 0,4}$
$8 e^{0,1 u - 0,4}$	=	$8 e^{- 0,4} + 9$
$8 e^{0,1 u - 0,4}$	=	$14,3626$	\|: $8$
$e^{0,1 u - 0,4}$	=	$1,7953$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,4$	=	$\ln (1,7953)$

$0,1 u - 0,4$	=	$0,5852$	\| $+ 0,4$
$0,1 u$	=	$0,9852$	\|: $0,1$
$u$	=	$9,852$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= $1$ ${[6 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $6 e^{1 - 2} - 6 e^{0 - 2}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Rotationskörper

Beispiel:

Die Fläche unter dem Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ soll im Intervall [1,2] um die x-Achse rotieren.
Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösung einblenden

=

π

\int_{1}^{2} {(2 e^{- 2 x})}^{2} ⅆ x

=

π

\int_{1}^{2} 4 e^{- 4 x} ⅆ x

= $π$ ${[- e^{- 4 x}]}_{1}^{2}$

$=$ $π \cdot (- e^{- 4 \cdot 2} + e^{- 4 \cdot 1})$

= $π \cdot (- e^{- 8} + e^{- 4})$

= $π \cdot (e^{- 4} - e^{- 8})$

≈ 0,056

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{2}{3}$ → $0 - \frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

Rotationskörper

uneigentliche Integrale