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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 1} - 4 e^{0 - 1}$

= $4 e - 4 e^{- 1}$

≈ 9,402

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 76 + $- 4 e^{- 1} + 4 e$ ≈ 85.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 1 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $3 \ln (| 4 - 1 |) - 3 \ln (| 3 - 1 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (| 3 - 1 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (2)$

≈ 1,216

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 7 + $3 \ln (| 3 |) - 3 \ln (| 2 |)$ ≈ 8.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,8 x - 0,8} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,8 x - 0,8} ⅆ x

= ${[4 e^{0,8 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,8 u - 0,8} - 4 e^{0,8 \cdot 0 - 0,8}$

= $4 e^{0,8 u - 0,8} - 4 e^{0 - 0,8}$

= $4 e^{0,8 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,8 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$	=	$10$	\| $+ 4 e^{- 0,8}$
$4 e^{0,8 u - 0,8}$	=	$4 e^{- 0,8} + 10$
$4 e^{0,8 u - 0,8}$	=	$11,7973$	\|: $4$
$e^{0,8 u - 0,8}$	=	$2,9493$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,8$	=	$\ln (2,9493)$

$0,8 u - 0,8$	=	$1,0816$	\| $+ 0,8$
$0,8 u$	=	$1,8816$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,352$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

4 \cdot \sin (\frac{1}{8} π t)

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2 π}{\frac{1}{8} π}$ = 16. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 8.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{8} 4 \cdot \sin (\frac{1}{8} π t) ⅆ t

= ${[- \frac{4}{0,3927} \cdot \cos (\frac{1}{8} π t)]}_{0}^{8}$

$=$ $- \frac{4}{0,3927} \cdot \cos (\frac{1}{8} π \cdot 8) + \frac{4}{0,3927} \cdot \cos (\frac{1}{8} π \cdot 0)$

= $- \frac{4}{0,3927} \cdot \cos (π) + \frac{4}{0,3927} \cdot \cos (0)$

= $- \frac{4}{0,3927} \cdot (- 1) + \frac{4}{0,3927} \cdot 1$

= $10,1859 + 10,1859$

= $20,3718$

≈ 20,372

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 20,372 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 20,372 m³ ≈ 24,628 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 24,628 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 4}

\int_{4}^{7} \frac{1}{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{4}^{7} {(2 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 5 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 7 - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 5 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 14 - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| 8 - 5 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (9) - \frac{1}{2} \ln (| 8 - 5 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (9) - \frac{1}{2} \ln (3))$

≈ 0,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{1}{{(- x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} {(- x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- x + 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 5 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind ca. 32,1 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 4 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 4 bis 8 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 8 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 4: ca. 5.3 Hundert Personen
von 4 bis 8: ca. -1.1 Hundert Personen
von 8 bis 10: ca. 1.1 Hundert Personen

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 4 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 4 und 8, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. 5.1 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um 5.1 Hundert Personen niedriger als die 32.1 nach 3 Stunden gewesen sein:
B₀ = 32.1 - 5.1 = 27 Hundert Personen .

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Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)