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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -1 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 3 ( 2x -1 ) 3 x
= 2 5 3 ( 2x -1 ) -3 x

= [ - 3 4 ( 2x -1 ) -2 ] 2 5

= [ - 3 4 ( 2x -1 ) 2 ] 2 5

= - 3 4 ( 25 -1 ) 2 + 3 4 ( 22 -1 ) 2

= - 3 4 ( 10 -1 ) 2 + 3 4 ( 4 -1 ) 2

= - 3 4 9 2 + 3 4 3 2

= - 3 4 ( 1 81 ) + 3 4 ( 1 9 )

= - 1 108 + 1 12

= - 1 108 + 9 108

= 2 27


≈ 0,074
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 16 + 2 27 = 434 27 ≈ 16.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 2 e 3x -6 x

= [ 2 3 e 3x -6 ] 0 1

= 2 3 e 31 -6 - 2 3 e 30 -6

= 2 3 e 3 -6 - 2 3 e 0 -6

= 2 3 e -3 - 2 3 e -6


≈ 0,032
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 50 + 2 3 e -3 - 2 3 e -6 ≈ 50.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,7 e 0,7x -0,8 x = 7

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0 u 0,7 e 0,7x -0,8 x

= [ e 0,7x -0,8 ] 0 u

= e 0,7u -0,8 - e 0,70 -0,8

= e 0,7u -0,8 - e 0 -0,8

= e 0,7u -0,8 - e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

e 0,7u -0,8 - e -0,8 = 7 | + e -0,8
e 0,7u -0,8 = e -0,8 +7
e 0,7u -0,8 = 7,4493 |ln(⋅)
0,7u -0,8 = ln( 7,4493 )
0,7u -0,8 = 2,0081 | +0,8
0,7u = 2,8081 |:0,7
u = 4,0116

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= 3 sin( 1 6 π t ) beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 6 π = 12. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 6.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 6 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 6 3 sin( 1 6 π t ) t

= [ - 3 0,5236 cos( 1 6 π t ) ] 0 6

= - 3 0,5236 cos( 1 6 π · 6 ) + 3 0,5236 cos( 1 6 π · 0)

= - 3 0,5236 cos(π) + 3 0,5236 cos(0)

= - 3 0,5236 ( -1 ) + 3 0,5236 1

= 5,7296 +5,7296

= 11,4592


≈ 11,459

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 11,459 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 60 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m³ - 11,459 m³ ≈ 48,541 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 48,541 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 3 6 6 ( 2x -3 ) 2 x
= 1 3 3 6 6 ( 2x -3 ) -2 x

= 1 3 [ -3 ( 2x -3 ) -1 ] 3 6

= 1 3 [ - 3 2x -3 ] 3 6

= 1 3 ( - 3 26 -3 + 3 23 -3 )

= 1 3 ( - 3 12 -3 + 3 6 -3 )

= 1 3 ( - 3 9 + 3 3 )

= 1 3 ( -3( 1 9 ) +3( 1 3 ) )

= 1 3 ( - 1 3 +1 )

= 1 3 ( - 1 3 + 3 3 )

= 1 3 · 2 3

= 2 9


≈ 0,222

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - e 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 1 u - e 3x -7 x

= [ - 1 3 e 3x -7 ] 1 u

= - 1 3 e 3u -7 + 1 3 e 31 -7

= - 1 3 e 3u -7 + 1 3 e 3 -7

= - 1 3 e 3u -7 + 1 3 e -4

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 e 3u -7 + 1 3 e -4 -

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind ca. 19 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.

  2. Anfangsbestand

    Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. -2 erkennen.
    Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um -2 Hundert Personen niedriger als die 19 nach 3 Stunden gewesen sein:
    B0 = 19 - -2 = 21 Hundert Personen .