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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 19955,584
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 15 +
≈ 19970.58
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
≈ -0,637
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Die Funktion f mit beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
=
0
|
=
|⋅
=
|
t1
=
-4
=
-2
t2
=
4
=
2
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
I =
∫02(-12t2+2) ⅆ t
=
[ -16x3+2x ] 02
=-16⋅23+2⋅2 - (-16⋅03+2⋅0)
=
-16⋅8+4 - (-16⋅0+0)
=
-43+4 - (0+0)
=
-43+123+0
=
83
≈ 2,667
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,667 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m -
2,667 m ≈ 37,333 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 37,333 m.
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1(x-2)3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein. Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.