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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{0 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 3}$

≈ 1,909

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 16 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 3}$ ≈ 17.91

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} \frac{6}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{4} 6 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{4}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 4 - 1 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |)$

= $3 \ln (| 8 - 1 |) - 3 \ln (| 2 - 1 |)$

= $3 \ln (7) - 3 \ln (| 2 - 1 |)$

= $3 \ln (7) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (7) + 0$

= $3 \ln (7)$

≈ 5,838

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 5 + $3 \ln (7)$ ≈ 10.84

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 31,25$

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\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0$

= $- 5 u^{2} + 0$

= $- 5 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 31,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2}$	=	$- 31,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$6,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{6,25}$	= $- 2,5$
u₂	=	$\sqrt{6,25}$	= $2,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{3} t^{2} + 3

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{3} t^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} t^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 3)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{3} t^{2} + 3) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{9} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 27 + 9 - (- \frac{1}{9} \cdot 0 + 0)$

= $- 3 + 9 - (0 + 0)$

= $6 + 0$

= $6$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 6 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 45 m ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m - 6 m ≈ 39 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 39 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (e^{2 \cdot 3 - 1} - e^{2 \cdot 0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (e^{6 - 1} - e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (e^{5} - e^{- 1})$

≈ 49,348

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(- x + 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- x + 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- x + 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 {(- x + 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 3 + 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{8}$ → $0 + \frac{3}{8}$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Liter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Liter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.
Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 min.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)