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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 e 3x -4 x

= [ 1 3 e 3x -4 ] 2 5

= 1 3 e 35 -4 - 1 3 e 32 -4

= 1 3 e 15 -4 - 1 3 e 6 -4

= 1 3 e 11 - 1 3 e 2


≈ 19955,584
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 15 + 1 3 e 11 - 1 3 e 2 ≈ 19970.58

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 3 e 3x -4 x

= [ e 3x -4 ] 2 5

= e 35 -4 - e 32 -4

= e 15 -4 - e 6 -4

= e 11 - e 2


≈ 59866,753
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 27 + e 11 - e 2 ≈ 59893.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4 e 0,5x -0,4 x = 18

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0 u 4 e 0,5x -0,4 x

= [ 8 e 0,5x -0,4 ] 0 u

= 8 e 0,5u -0,4 -8 e 0,50 -0,4

= 8 e 0,5u -0,4 -8 e 0 -0,4

= 8 e 0,5u -0,4 -8 e -0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

8 e 0,5u -0,4 -8 e -0,4 = 18 | +8 e -0,4
8 e 0,5u -0,4 = 8 e -0,4 +18
8 e 0,5u -0,4 = 23,3626 |:8
e 0,5u -0,4 = 2,9203 |ln(⋅)
0,5u -0,4 = ln( 2,9203 )
0,5u -0,4 = 1,0717 | +0,4
0,5u = 1,4717 |:0,5
u = 2,9434

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 cos( 3x - π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 3 cos( 3x - π) x

= 1 π [ sin( 3x - π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( sin( 3( 3 2 π ) - π) - sin( 3( 1 2 π ) - π) )

= 1 π · ( sin( 7 2 π) - sin( 1 2 π) )

= 1 π · ( -1 - 1 )

= -1 -1 π

= -2 π

= - 2 π


≈ -0,637

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= - 1 2 t 2 +2 beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

- 1 2 t 2 +2 = 0 | -2
- 1 2 t 2 = -2 |⋅ ( -2 )
t 2 = 4 | 2
t1 = - 4 = -2
t2 = 4 = 2

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
I = 0 2 ( - 1 2 t 2 +2 ) t

= [ - 1 6 x 3 +2x ] 0 2

= - 1 6 2 3 +22 - ( - 1 6 0 3 +20 )

= - 1 6 8 +4 - ( - 1 6 0 +0)

= - 4 3 +4 - (0+0)

= - 4 3 + 12 3 +0

= 8 3


≈ 2,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m - 2,667 m ≈ 37,333 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 37,333 m.

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
A(u)= 4 u 1 ( x -2 ) 3 x
= 4 u ( x -2 ) -3 x

= [ - 1 2 ( x -2 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 2 ( x -2 ) 2 ] 4 u

= - 1 2 ( u -2 ) 2 + 1 2 ( 4 -2 ) 2

= - 1 2 ( u -2 ) 2 + 1 2 2 2

= - 1 2 ( u -2 ) 2 + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 2 ( u -2 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( u -2 ) 2 + 1 8 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125