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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -3 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:
5 7 1 ( x -3 ) 3 x
= 5 7 ( x -3 ) -3 x

= [ - 1 2 ( x -3 ) -2 ] 5 7

= [ - 1 2 ( x -3 ) 2 ] 5 7

= - 1 2 ( 7 -3 ) 2 + 1 2 ( 5 -3 ) 2

= - 1 2 4 2 + 1 2 2 2

= - 1 2 ( 1 16 ) + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 32 + 1 8

= - 1 32 + 4 32

= 3 32


≈ 0,094
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:
B = 20 + 3 32 = 643 32 ≈ 20.09

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 62 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 6 e 2x -2 x

= [ 3 e 2x -2 ] 2 5

= 3 e 25 -2 -3 e 22 -2

= 3 e 10 -2 -3 e 4 -2

= 3 e 8 -3 e 2


≈ 8920,707
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 62 + 3 e 8 -3 e 2 ≈ 8982.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,2 e -0,4x +0,6 x = 2

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0 u 3,2 e -0,4x +0,6 x

= [ -8 e -0,4x +0,6 ] 0 u

= -8 e -0,4u +0,6 +8 e -0,40 +0,6

= -8 e -0,4u +0,6 +8 e 0 +0,6

= -8 e -0,4u +0,6 +8 e 0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,4u +0,6 +8 e 0,6 = 2 | -8 e 0,6
-8 e -0,4u +0,6 = -8 e 0,6 +2
-8 e -0,4u +0,6 = -12,577 |:-8
e -0,4u +0,6 = 1,5721 |ln(⋅)
-0,4u +0,6 = ln( 1,5721 )
-0,4u +0,6 = 0,4524 | -0,6
-0,4u = -0,1476 |:(-0,4 )
u = 0,369

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= 2 sin( 1 2 π t ) beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 2 π = 4. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 2.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 2 2 sin( 1 2 π t ) t

= [ - 2 1,5708 cos( 1 2 π t ) ] 0 2

= - 2 1,5708 cos( 1 2 π · 2 ) + 2 1,5708 cos( 1 2 π · 0)

= - 2 1,5708 cos(π) + 2 1,5708 cos(0)

= - 2 1,5708 ( -1 ) + 2 1,5708 1

= 1,2732 +1,2732

= 2,5465


≈ 2,546

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,546 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 45 m ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m - 2,546 m ≈ 42,454 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 42,454 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 cos( 3x + 3 2 π) zwischen 1 2 π und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 2 cos( 3x + 3 2 π) x

= 2 π [ 2 3 sin( 3x + 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 2 3 sin( 3π + 3 2 π) - 2 3 sin( 3( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 2 π · ( 2 3 sin( 9 2 π) - 2 3 sin(3π) )

= 2 π · ( 2 3 1 - 2 3 0 )

= 2 π · ( 2 3 +0 )

= 2 π · ( 2 3 +0 )

= 2 π · 2 3

= 4 3 π


≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u 2 ( -x +3 ) 2 x
= 4 u 2 ( -x +3 ) -2 x

= [ 2 ( -x +3 ) -1 ] 4 u

= [ 2 -x +3 ] 4 u

= 2 -u +3 - 2 -4 +3

= 2 -u +3 - 2 ( -1 )

= 2 -u +3 -2( -1 )

= 2 -u +3 +2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 -u +3 +2 0 +2 = 2 ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
  2. Der geringste Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 ist im abgebildeten Zeitraum ca. 13,1 Meter. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

  2. Anfangsbestand

    Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Meter zu- und dann wieder 12 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.1+10.9 = 24 Meter betragen haben.