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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 1} - 2 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $2 e^{6 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{5} - 2 e^{- 1}$

≈ 296,091

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 16 + $2 e^{5} - 2 e^{- 1}$ ≈ 312.09

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{1}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 6 - 6 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 18 - 6 |) - \frac{1}{3} \ln (| 12 - 6 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (12) - \frac{1}{3} \ln (| 12 - 6 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (12) - \frac{1}{3} \ln (6)$

≈ 0,231

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 16 + $\frac{1}{3} \ln (| 12 |) - \frac{1}{3} \ln (| 6 |)$ ≈ 16.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,1 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,1 u + 0,6} + 9 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 9 e^{- 0,1 u + 0,6} + 9 e^{0 + 0,6}$

= $- 9 e^{- 0,1 u + 0,6} + 9 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,1 u + 0,6} + 9 e^{0,6}$	=	$6$	\| $- 9 e^{0,6}$
$- 9 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 9 e^{0,6} + 6$
$- 9 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 10,3991$	\|: $- 9$
$e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$1,1555$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,6$	=	$\ln (1,1555)$

$- 0,1 u + 0,6$	=	$0,1445$	\| $- 0,6$
$- 0,1 u$	=	$- 0,4555$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$4,555$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 \cdot \sin (\frac{1}{4} π t)

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2 π}{\frac{1}{4} π}$ = 8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} 2 \cdot \sin (\frac{1}{4} π t) ⅆ t

= ${[- \frac{2}{0,7854} \cdot \cos (\frac{1}{4} π t)]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{0,7854} \cdot \cos (\frac{1}{4} π \cdot 4) + \frac{2}{0,7854} \cdot \cos (\frac{1}{4} π \cdot 0)$

= $- \frac{2}{0,7854} \cdot \cos (π) + \frac{2}{0,7854} \cdot \cos (0)$

= $- \frac{2}{0,7854} \cdot (- 1) + \frac{2}{0,7854} \cdot 1$

= $2,5465 + 2,5465$

= $5,093$

≈ 5,093

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,093 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 5,093 m³ ≈ 39,907 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 39,907 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{6}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 6 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 6 {(x - 2)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= $1$ ${[- \frac{6}{x - 2}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{6}{5 - 2} + \frac{6}{4 - 2}$

= $- \frac{6}{3} + \frac{6}{2}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{3}) + 6 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 2 + 3$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 1}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{2}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 2 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 1 |)]}_{u}^{4}$

$=$ $- 2 \ln (| 4 - 1 |) + 2 \ln (| u - 1 |)$

= $- 2 \ln (3) + 2 \ln (| u - 1 |)$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \ln (| x - 1 |) - 2 \ln (3)$ → $- \infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 2 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 2 bis 4 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 4 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 2: ca. 6.7 Meter
von 2 bis 4: ca. -1.3 Meter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 2 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 2 und t = 4 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 4 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.
Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 2 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 2 und 4, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 s.

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Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)