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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 3} - 2 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $2 e^{6 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$

≈ 40,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 6 + $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$ ≈ 46.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 1)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 3 - 1)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 (6 - 1)} + \frac{1}{2 (4 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{10} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{3}{30} + \frac{5}{30}$

= $\frac{1}{15}$

≈ 0,067

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 9 + $\frac{1}{15}$ = $\frac{136}{15}$ ≈ 9.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (8 x + 4) ⅆ x$ = $336$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (8 x + 4) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2)$

= $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 4 + 8)$

= $4 u^{2} + 4 u - (16 + 8)$

= $4 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 24$

= $4 u^{2} + 4 u - 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $336$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 4 u - 24

=

336

|

- 336

4 u^{2} + 4 u - 360

= 0 |:4

$u^{2} + u - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1+19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1-19}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Da u= $- 10$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t)

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 55 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2 π}{\frac{1}{2} π}$ = 4. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 2.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{2} 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t) ⅆ t

= ${[- \frac{2}{1,5708} \cdot \cos (\frac{1}{2} π t)]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{1,5708} \cdot \cos (\frac{1}{2} π \cdot 2) + \frac{2}{1,5708} \cdot \cos (\frac{1}{2} π \cdot 0)$

= $- \frac{2}{1,5708} \cdot \cos (π) + \frac{2}{1,5708} \cdot \cos (0)$

= $- \frac{2}{1,5708} \cdot (- 1) + \frac{2}{1,5708} \cdot 1$

= $1,2732 + 1,2732$

= $2,5465$

≈ 2,546

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,546 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 2,546 m³ ≈ 52,454 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 52,454 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[5 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (5 e^{2 - 2} - 5 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (5 e^{0} - 5 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (5 - 5 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (- 5 e^{- 2} + 5)$

≈ 2,162

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| - x + 2 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| - (u) + 2 |) + 2 \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- 2 \ln (| - u + 2 |) + 2 \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- 2 \ln (| - u + 2 |) + 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (| - x + 2 |) + 2 \ln (| 2 |)$ → $\infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 39,2 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.
Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Wie viele Hundert Personen treten in den ersten 4 Stunden in das Festival-Gelände ein?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Hundert Personen
von 1 bis 9: ca. -10.7 Hundert Personen
von 9 bis 10: ca. 0.5 Hundert Personen

kleinster Bestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 9 erst 0.5 Hundert Personen zu- und dann wieder 10.7 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =9 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₉ = 39.2+0.5-10.7 = 29 Hundert Personen .
Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 1 Stunden maximal.
reiner Zuwachs nach 4 Stunden
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;4] ablesen. Diese ist ca. Z₄ = 17.6 Hundert Personen .

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Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)