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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 ( 3x -7 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 3 ( 3x -7 ) 3 x
= 3 4 3 ( 3x -7 ) -3 x

= [ - 1 2 ( 3x -7 ) -2 ] 3 4

= [ - 1 2 ( 3x -7 ) 2 ] 3 4

= - 1 2 ( 34 -7 ) 2 + 1 2 ( 33 -7 ) 2

= - 1 2 ( 12 -7 ) 2 + 1 2 ( 9 -7 ) 2

= - 1 2 5 2 + 1 2 2 2

= - 1 2 ( 1 25 ) + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 50 + 1 8

= - 4 200 + 25 200

= 21 200


= 0,105
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 5 + 21 200 = 1021 200 ≈ 5.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 6 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 14 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 6 und 14:
6 14 4 2x -3 x
= 6 14 4 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 14

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 ] 6 14

= 4 3 ( 214 -3 ) 3 - 4 3 ( 26 -3 ) 3

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 12 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 6 und der Änderung zwischen 6 und 14 zusammen:
B = 16 + 392 3 = 440 3 ≈ 146.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,9 e -0,9x +0,8 x = 1

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0 u 0,9 e -0,9x +0,8 x

= [ - e -0,9x +0,8 ] 0 u

= - e -0,9u +0,8 + e -0,90 +0,8

= - e -0,9u +0,8 + e 0 +0,8

= - e -0,9u +0,8 + e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,9u +0,8 + e 0,8 = 1 | - e 0,8
- e -0,9u +0,8 = - e 0,8 +1
- e -0,9u +0,8 = -1,2255 |:-1
e -0,9u +0,8 = 1,2255 |ln(⋅)
-0,9u +0,8 = ln( 1,2255 )
-0,9u +0,8 = 0,2033 | -0,8
-0,9u = -0,5967 |:(-0,9 )
u = 0,663

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= 3 e -0,5t +1 -3 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 55 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

3 e -0,5t +1 -3 = 0 | +3
3 e -0,5t +1 = 3 |:3
e -0,5t +1 = 1 |ln(⋅)
-0,5t +1 = 0
-0,5t +1 = 0 | -1
-0,5t = -1 |:(-0,5 )
t = 2

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
I = 0 2 ( 3 e -0,5t +1 -3 ) t

= [ -6 e -0,5x +1 -3x ] 0 2

= -6 e -0,52 +1 -32 - ( -6 e -0,50 +1 -30 )

= -6 e -1 +1 -6 - ( -6 e 0 +1 +0)

= -6 e 0 -6 - ( -6e+0)

= -6 -6 - (-6e+0)

= -12 +6e


≈ 4,31

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 4,31 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 4,31 m³ ≈ 50,69 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 50,69 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 3x -4 zwischen 8 3 und 13 3 .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 13 3 - 8 3 8 3 13 3 6 3x -4 x
= 3 5 8 3 13 3 6 ( 3x -4 ) 1 2 x

= 3 5 [ 4 3 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 13 3

= 3 5 [ 4 3 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 13 3

= 3 5 ( 4 3 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3 - 4 3 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3 )

= 3 5 ( 4 3 ( 13 -4 ) 3 - 4 3 ( 8 -4 ) 3 )

= 3 5 ( 4 3 ( 9 ) 3 - 4 3 ( 4 ) 3 )

= 3 5 ( 4 3 3 3 - 4 3 2 3 )

= 3 5 ( 4 3 27 - 4 3 8 )

= 3 5 ( 36 - 32 3 )

= 3 5 ( 108 3 - 32 3 )

= 3 5 · 76 3

= 76 5


= 15,2

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 3x -4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 3 u - 1 ( 3x -4 ) 2 x
= 3 u - ( 3x -4 ) -2 x

= [ 1 3 ( 3x -4 ) -1 ] 3 u

= [ 1 3( 3x -4 ) ] 3 u

= 1 3( 3u -4 ) - 1 3( 33 -4 )

= 1 3( 3u -4 ) - 1 3( 9 -4 )

= 1 3( 3u -4 ) - 1 3 5

= 1 3( 3u -4 ) - 1 3 ( 1 5 )

= 1 3( 3u -4 ) - 1 15

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3( 3u -4 ) - 1 15 0 - 1 15 = - 1 15 ≈ -0.067

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.067

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
  2. Der geringste Inhalt an Litern Wasser im abgebildeten Zeitraum sind ca. 13,1. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
  3. Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 2 Minuten in den Tank hinein?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.

  2. Anfangsbestand

    Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.1+10.9 = 24 Liter betragen haben.

  3. reiner Zuwachs nach 2 min

    Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z2 = 5.9 Liter .