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Kursstufe
cosh
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
=
=
=
=
≈ 38,171
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
=
=
=
=
≈ 1640,872
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
= | |: | ||
= | | | ||
u1 | = |
|
=
|
u2 | = |
|
=
|
Da u=
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p =
Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 10 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 31,831
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 31,831 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 45 m ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m - 31,831 m ≈ 13,169 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 13,169 m.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
≈ 123,371
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 54.598
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
- Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
- Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 3 Minuten in den Tank hinein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 3 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 6
Liter
von 3 bis 5: ca. -0.4 Liter
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 3 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 3 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal. - Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
- reiner Zuwachs nach 3 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z3 = 19.1 Liter .