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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 5} - \frac{1}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 1,175

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 3 + $- \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e$ ≈ 4.18

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 4 - 3)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{3}{2 (8 - 3)} + \frac{3}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{10} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{10} + \frac{15}{10}$

= $\frac{6}{5}$

= 1,2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 2 + $\frac{6}{5}$ = $\frac{16}{5}$ ≈ 3.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x$ = $- 146,25$

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\int_{0}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 0 + 0)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $- 3 u^{2} + 3 u + 0$

= $- 3 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 146,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + 3 u

=

- 146,25

|

+ 146,25

$- 3 u^{2} + 3 u + 146,25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 146,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 1 755}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1 764}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1 764}}{- 6}$ = $\frac{- 3+42}{- 6}$ = $\frac{39}{- 6}$ = $- 6,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1 764}}{- 6}$ = $\frac{- 3-42}{- 6}$ = $\frac{- 45}{- 6}$ = $7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 u^{2} + 3 u + 146,25$ = 0 |: $- 3$

$u^{2} - u - 48,75$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{146,25}{3})$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{146.25}{3}$ = $\frac{3}{12}$ $+$ $\frac{585}{12}$ = $\frac{588}{12}$ = $49$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $7$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $7$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da u= $- 6,5$ < 0 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,2 t + 1} - 2

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,2 t + 1} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,2 t + 1}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,2 t + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 t + 1$	=	0

$- 0,2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,2 t$	=	$- 1$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$5$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{5} (2 e^{- 0,2 t + 1} - 2) ⅆ t

= ${[- 10 e^{- 0,2 x + 1} - 2 x]}_{0}^{5}$

$=$ $- 10 e^{- 0,2 \cdot 5 + 1} - 2 \cdot 5 - (- 10 e^{- 0,2 \cdot 0 + 1} - 2 \cdot 0)$

= $- 10 e^{- 1 + 1} - 10 - (- 10 e^{0 + 1} + 0)$

= $- 10 e^{0} - 10 - (- 10 e + 0)$

= $- 10 - 10 - (- 10 e + 0)$

= $- 20 + 10 e$

≈ 7,183

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 7,183 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 45 m ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m - 7,183 m ≈ 37,817 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 37,817 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= $1$ ${[3 e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 1 - 1} - 3 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $3 e^{2 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 (u) - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 4 |)$ → $\infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 25,1 Liter Wasser im Tank. Bestimme den kleinstmöglichen Inhalt an Liter Wasser im abgebildeten Zeitraum.
Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 3 Minuten in den Tank hinein?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Liter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Liter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.
kleinster Bestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Liter zu- und dann wieder 5.3 Liter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₅ = 25.1+1.2-5.3 = 21 Liter .
reiner Zuwachs nach 3 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z₃ = 11.7 Liter .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)