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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{14}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{14}{3}

:

\int_{3}^{\frac{14}{3}} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{14}{3}} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 3^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 27 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $6 - \frac{16}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{16}{9}$

= $\frac{38}{9}$

≈ 4,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{14}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{38}{9}$ = $\frac{128}{9}$ ≈ 14.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{6}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 6 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 6 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |)$

= $2 \ln (| 15 - 6 |) - 2 \ln (| 12 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (| 12 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (6)$

≈ 0,811

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 4 + $2 \ln (| 9 |) - 2 \ln (| 6 |)$ ≈ 4.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,1 x + 0,3} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,1 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,1 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,1 u + 0,3} + 4 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 4 e^{- 0,1 u + 0,3} + 4 e^{0 + 0,3}$

= $- 4 e^{- 0,1 u + 0,3} + 4 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,1 u + 0,3} + 4 e^{0,3}$	=	$3$	\| $- 4 e^{0,3}$
$- 4 e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$- 4 e^{0,3} + 3$
$- 4 e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$- 2,3994$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$0,5999$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,3$	=	$\ln (0,5999)$

$- 0,1 u + 0,3$	=	$- 0,511$	\| $- 0,3$
$- 0,1 u$	=	$- 0,811$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$8,11$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{8} t^{2} + 8

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{8} t^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{8} t^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 8)$
$t^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
t₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{8} (- \frac{1}{8} t^{2} + 8) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{24} x^{3} + 8 x]}_{0}^{8}$

$=$ $- \frac{1}{24} \cdot 8^{3} + 8 \cdot 8 - (- \frac{1}{24} \cdot 0^{3} + 8 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{24} \cdot 512 + 64 - (- \frac{1}{24} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + 64 - (0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{192}{3} + 0$

= $\frac{128}{3}$

≈ 42,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 42,667 m³ ≈ 2,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 2,333 m³.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[4 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (4 e^{3 - 1} - 4 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (4 e^{2} - 4 e^{- 1})$

≈ 9,362

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{x - 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{u - 3} + \frac{1}{4 - 3}$

= $- \frac{1}{u - 3} + \frac{1}{1}$

= $- \frac{1}{u - 3} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{u - 3} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 30,9 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
kleinster Bestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₇ = 30.9+1.1-12 = 20 Hundert Personen .

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Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)