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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 20 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 3} - 3 e^{1 - 3}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$

≈ 0,698

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 20 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$ ≈ 20.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{1}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 12 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (7) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (7) - \frac{1}{3} \ln (4)$

≈ 0,187

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 16 + $\frac{1}{3} \ln (| 7 |) - \frac{1}{3} \ln (| 4 |)$ ≈ 16.19

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2^{2}$

= $u^{2} - 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$u^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
u₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da u= $- 4$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{7} t^{2} + 7

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{7} t^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- \frac{1}{7} t^{2}$	=	$- 7$	\|⋅ $(- 7)$
$t^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
t₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 7 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{7} (- \frac{1}{7} t^{2} + 7) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{21} x^{3} + 7 x]}_{0}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{21} \cdot 7^{3} + 7 \cdot 7 - (- \frac{1}{21} \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{21} \cdot 343 + 49 - (- \frac{1}{21} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{49}{3} + 49 - (0 + 0)$

= $- \frac{49}{3} + \frac{147}{3} + 0$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 32,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 32,667 m ≈ 17,333 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 17,333 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 4)}^{2} + 6$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} (2 {(3 x - 4)}^{2} + 6) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{3} + 6 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{3} + 6 \cdot 3 - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 4)}^{3} + 6 \cdot 1))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(9 - 4)}^{3} + 18 - (\frac{2}{9} \cdot {(3 - 4)}^{3} + 6))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot 5^{3} + 18 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 1)}^{3} + 6))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot 125 + 18 - (\frac{2}{9} \cdot (- 1) + 6))$

= $\frac{1}{2} (\frac{250}{9} + 18 - (- \frac{2}{9} + 6))$

= $\frac{1}{2} (\frac{250}{9} + \frac{162}{9} - (- \frac{2}{9} + \frac{54}{9}))$

= $\frac{1}{2} (\frac{412}{9} - 1 \cdot \frac{52}{9})$

= $\frac{1}{2} (\frac{412}{9} - \frac{52}{9})$

= $\frac{1}{2} \cdot 40$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(2 x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{1}{{(2 x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - \frac{1}{8 x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - \frac{1}{8} x^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{16} x^{- 2}]}_{u}^{4}$

= ${[\frac{1}{16 x^{2}}]}_{u}^{4}$

$=$ $\frac{1}{16 \cdot 4^{2}} - \frac{1}{16 u^{2}}$

= $\frac{1}{16} \cdot (\frac{1}{16}) - \frac{1}{16 u^{2}}$

= $\frac{1}{256} - \frac{1}{16 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{256} - \frac{1}{16 u^{2}}$ → $- \infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 3 Sekunden gefahren?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.
Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 s.
reiner Zuwachs nach 3 s
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z₃ = 9.4 Meter .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)