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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 2)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 4 - 2)}^{2}} + \frac{1}{{(2 \cdot 2 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}} + \frac{1}{{(4 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$

= $- (\frac{1}{36}) + \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{36} + \frac{9}{36}$

= $\frac{2}{9}$

≈ 0,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 5 + $\frac{2}{9}$ = $\frac{47}{9}$ ≈ 5.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{2}$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{2}

und

14

:

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{2}

und

14

zusammen:

B = 15 + $122$ = $137$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,4} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,4} ⅆ x

= ${[6 e^{0,5 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{0,5 \cdot 0 - 0,4}$

= $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{0 - 0,4}$

= $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{- 0,4}$	=	$5$	\| $+ 6 e^{- 0,4}$
$6 e^{0,5 u - 0,4}$	=	$6 e^{- 0,4} + 5$
$6 e^{0,5 u - 0,4}$	=	$9,0219$	\|: $6$
$e^{0,5 u - 0,4}$	=	$1,5037$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,4$	=	$\ln (1,5037)$

$0,5 u - 0,4$	=	$0,4079$	\| $+ 0,4$
$0,5 u$	=	$0,8079$	\|: $0,5$
$u$	=	$1,6158$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{3} t^{2} + 3

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{3} t^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} t^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 3)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{3} t^{2} + 3) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{9} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 27 + 9 - (- \frac{1}{9} \cdot 0 + 0)$

= $- 3 + 9 - (0 + 0)$

= $6 + 0$

= $6$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 6 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 6 m ≈ 54 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 54 m.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 e^{x - 2}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (4 e^{3 - 2} - 4 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (4 e - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (- 4 e^{- 2} + 4 e)$

≈ 3,444

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 5 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 5 |) + \ln (| 2 \cdot 3 - 5 |)$

= $- \ln (| 2 u - 5 |) + \ln (| 6 - 5 |)$

= $- \ln (| 2 u - 5 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| 2 u - 5 |) + 0$

= $- \ln (| 2 x - 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| 2 x - 5 |)$ → $\infty$

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
2 Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist Radfahrer1 ca. 34,3 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 2 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 4 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 4 bis 8 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 8 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 4: ca. 5.3 Meter
von 4 bis 8: ca. -1.1 Meter
von 8 bis 10: ca. 1.1 Meter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 4 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 4 und 8, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 s.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 4.3 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um 4.3 Meter niedriger als die 34.3 nach 2 s gewesen sein:
B₀ = 34.3 - 4.3 = 30 Meter .
reiner Zuwachs nach 2 s
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 12.1 Meter .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Maximaler Bestand rückwärts

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)