Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -50\\ 40\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-550\\ -680\\ 580\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-550|-680|580\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ -100\\ 250\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2950\\ 1250\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2950|1250|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-250|-100|250\right)$ nach P$\left(-2950|1250|1150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2700\\ 1350\\ 900\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2700)}}^2+{1350}^2+{900}^2}=\sqrt{9922500}=3150$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{\mathrm{(-100)}}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 2650m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 2100\\ 1800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{2100}^2+{1800}^2}=\sqrt{10890000}=3300$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3300}}{\mathrm{550}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 12.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{12600}}{\mathrm{90}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5610\\ -9840\\ 5640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5610|-9840|5640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5640 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -10\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-83\\ -10\\ 24\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-51\\ -13\\ 23\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.16 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+1$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 10+0$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}75\\ 50\\ 1.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}75\\ 50\\ 1.1\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 3.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 2.2 = 1.6 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}870\\ -610\\ 200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(870|-610|200\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|-10|0\right)$ nach P$\left(870|-610|200\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{900}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{200}^2}=\sqrt{1210000}=1100$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{300}^2+{300}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$