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cosh
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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 6min?
Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 5s geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
= 5.4
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 400m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 400m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also s = 36s lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 110.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110. braucht er für diese Strecke
s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 5,94 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=33
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also min
= 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -3240 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A . Nach 1s ist sie im Punkt B angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?
Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor = zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 = ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 81.28 m.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 5 h sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne ist also nach 6s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.2 - 1.2 = 1 m
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?
Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 25.5 m.
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne ist also nach 6s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
1.9 - 1.4 = 0.5 m