Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}820\\ -790\\ 440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(820|-790|440\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1100\\ -850\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1100|-850|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|150|200\right)$ nach P$\left(1100|-850|700\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1000\\ -1000\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1000}^2+{\mathrm{(-1000)}}^2+{500}^2}=\sqrt{2250000}=1500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 9700m (also 9600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{9600}}{\mathrm{200}}$s = 48s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{72}}{9}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}42\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}42\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also $\frac{\mathrm{5940}}{\mathrm{33}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3777\\ -3240\\ -3240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3777|-3240|-3240\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -3240 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 27\\ -161\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 40\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 33\\ -120\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 41.48 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -13\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{0,7}$ = 2.2 = $\mathrm{0,4}\cdot 5+\mathrm{0,2}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ -20\\ 2.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ -20\\ 2.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 1\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ 2.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.5 = 0.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ 190\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|190|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-590\\ 670\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-590|670|350\right)$.