Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 250\\ 100\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3600\\ 2250\\ 2100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3600|2250|2100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -160\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-160|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|0|10\right)$ nach P$\left(250|-160|170\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{280}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{160}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{200}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-90\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 700m (also 660m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{660}}{\mathrm{20}}$min = 33min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}540\\ -360\\ 120\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{540}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{120}^2}=\sqrt{435600}=660$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{660}}{\mathrm{110}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also $\frac{\mathrm{5760}}{\mathrm{36}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3825\\ 3828\\ -1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3825|3828|-1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1920 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -15\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -13\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -13\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}8\\ -13\\ 9\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 7.68 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -61\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-13\\ -3\\ 2.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 1min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-13\\ -3\\ 2.1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 2.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1 = 1.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1450m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{40}}$min = 36min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 490m (also 440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{440}}{\mathrm{20}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).