Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-610\\ 590\\ 300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-610|590|300\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -210\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-150|-210|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-10|30\right)$ nach P$\left(-150|-210|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 240m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{10}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-450)}}^2+{300}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{550}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}168\\ 144\\ 144\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}168\\ 144\\ 144\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{36}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.56 km braucht es also $\frac{\mathrm{10560}}{\mathrm{66}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6732\\ 5754\\ 5760\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6732|5754|5760\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5760 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 32\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ 32\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 0\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 10\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-87\\ 70\\ 52\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}40\\ 0\\ -6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ 64\\ 42\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33.12 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ -41\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 4+\mathrm{0,5}$ = 2.5 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{1,3}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 37\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 37\\ 0\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 1.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.8 = 0.6 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ 800\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ 800\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 250\\ 250\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3100\\ 1850\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3100|1850|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|250|250\right)$ nach P$\left(3100|1850|650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3200\\ 1600\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3200}^2+{1600}^2+{400}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 1200m (also 1170m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1170}}{\mathrm{30}}$min = 39min lang steigen (bzw. sinken).