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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-130 | -40 | 60)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 4s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -60 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -60 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -250 \\ -100 \\ 100 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-250 | -100 | 100)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 150 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-750 | 600 | 400)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 5s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -900 \\ 450 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -900 \\ 450 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 150 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 150 \\ 150 \\ 100 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1350 \\ 900 \\ 600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1350 | 900 | 600)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(150 | 150 | 100)$ nach P $(-1350 | 900 | 600)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -1500 \\ 750 \\ 500 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-1500)}^{2} + 750^{2} + 500^{2}} = \sqrt{3062500} = 1750$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | -250 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1450 | 550 | 200)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1600 \\ 800 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1600 \\ 800 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ 200 \\ 50 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-400)}^{2} + 200^{2} + 50^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 0 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(290 | 240 | 150)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 750m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 750m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{720}{30}$ min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -30 | 20)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B $(-100 | -120 | 40)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{396000 m}{3600 s}$ = 110 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -90 \\ 20 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-60)}^{2} + {(-90)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{110}{110}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 30 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 1min ist er im Punkt B $(-42 | 42 | 6)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 1,44 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 12 \\ 6 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -12 \\ 12 \\ 6 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-12)}^{2} + 12^{2} + 6^{2}} = \sqrt{324} = 18$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=18 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 1.44 km braucht es also $\frac{1440}{18}$ min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) + 80 \cdot (\begin{matrix} -12 \\ 12 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -990 \\ 990 \\ 480 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-990 | 990 | 480)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 480 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(4 | 1 | 0)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-11 | -5 | 18)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

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F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -6 \\ 18 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -15 \\ -6 \\ 18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 7 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-10 | -3 | 7)

und P₂

(-1 | -1 | 6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -1 - (-10) \\ -1 - (-3) \\ 6 - 7 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{9^{2} + 2^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{86}

≈ 9.2736184954957

Der Abstand ist also ca. 9.27 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 9 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 24 | 2,7)$ . Nach 2h ist er im Punkt B $(-9 | 32 | 2,9)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 8 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -12 \\ 8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 4 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 24 \\ 2.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 4 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,1 t + 2,7$	\| $- 0,7$ $- 0,1 t$
$0,2 t$	=	$2$	\|: $0,2$
$t$	=	$10$

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 10 + 0,7$ = 3.7 = $0,1 \cdot 10 + 2,7$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 5 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-38 | 21 | 0)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-38 | 25 | 0,8)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -38 \\ 21 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 5 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -38 \\ 21 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -8 & -10 s & = & -38 & +0 t \\ 7 & +5 s & = & 21 & +1 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 10 s & = & - 30 & (I) \\ 5 s & - 1 t & = & 14 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 10 s & = & - 30 & (I) \\ 5 s & - 1 t & = & 14 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) + $2$ ·(II)

\begin{matrix} - 10 s & = & - 30 & (I) \\ (- 10 + 10) s & + (0 - 2) t & = & (- 30 + 28) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 10 s & = & - 30 & (I) \\ - 2 t & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 2 t & = & - 2 \end{matrix}

t = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 10 s & = & - 30 \end{matrix}

s = $3$

$L = {(3 | 1)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $(\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 5 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -38 \\ 22 \\ 1.3 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 1min bei $(\begin{matrix} -38 \\ 21 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -38 \\ 22 \\ 0.2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 0.2 = 1.1 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | -100 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1400 | -700 | 650)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 9s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ -600 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ -600 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ -100 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -100 \\ 250 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2900 \\ -1450 \\ 1150 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-2900 | -1450 | 1150)$ .

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 150 | 100)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B $(1050 | 600 | 400)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1260000 m}{3600 s}$ = 350 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 900 \\ 450 \\ 300 \end{matrix})$ ist $\sqrt{900^{2} + 450^{2} + 300^{2}} = \sqrt{1102500} = 1050$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1050}{350}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts