Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-580\\ -260\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-580|-260|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 200\\ 200\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-550\\ -200\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-550|-200|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|200|200\right)$ nach P$\left(-550|-200|400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-450)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 260m (also 260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{260}}{\mathrm{10}}$min = 26min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ 180\\ 120\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-360)}}^2+{180}^2+{120}^2}=\sqrt{176400}=420$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{420}}{\mathrm{70}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 9 km braucht es also $\frac{\mathrm{9000}}{\mathrm{90}}$s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -30\\ 20\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6050\\ -6030\\ 3020\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6050|-6030|3020\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3020 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -150\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -150\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-28\\ 61\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -30\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -31\\ -3\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-28\\ 61\\ 10\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 31\\ 6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 64.92 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ 0\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}37\\ -81\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,7}$ = 1.9 = $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ 3\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ 3\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 89\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 10\\ 1.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 89\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ 10\\ 1.8\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 90\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}-32\\ 89\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 90\\ 0.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 0.4 = 3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 20\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}320\\ 360\\ 180\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(320|360|180\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|40|20\right)$ nach P$\left(320|360|180\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{320}^2+{320}^2+{160}^2}=\sqrt{230400}=480$m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -88\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 5+\mathrm{0,5}$ = 3 = $\mathrm{0,4}\cdot 5+1$