Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 50\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4600\\ -4750\\ 2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4600|-4750|2400\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-620\\ 350\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-620|350|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|20|40\right)$ nach P$\left(-620|350|260\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-660\\ 330\\ 220\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-660)}}^2+{330}^2+{220}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 3170m (also 3120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3120}}{\mathrm{60}}$min = 52min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{216000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 60$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{60}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-192\\ -96\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-192\\ -96\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9612\\ -4806\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-9612|-4806|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -20\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -20\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ 48\\ 15\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 10\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}64\\ -40\\ -11\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-19\\ 48\\ 15\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}41\\ -2\\ -5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 44.82 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ 28\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{1,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -15\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -15\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}16\\ -19\\ 1.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}16\\ -19\\ 1.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -4\\ 2.3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -4\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.3 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 100\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1500\\ 1550\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1500|1550|850\right)$.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}61\\ 120\\ 2.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{0,7}$ = 3.4 = $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{2,5}$