Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}270\\ -430\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(270|-430|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-910\\ 1000\\ 520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-910|1000|520\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|40|40\right)$ nach P$\left(-910|1000|520\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-960\\ 960\\ 480\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-960)}}^2+{960}^2+{480}^2}=\sqrt{2073600}=1440$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 4900m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ -15\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{30}^2+{30}^2+{\mathrm{(-15)}}^2}=\sqrt{2025}=45$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{45}}{9}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{42}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5772\\ -2892\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5772|-2892|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 32\\ -48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 32\\ -48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-22\\ -27\\ 45\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -9\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 12\\ -34\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-22\\ -27\\ 45\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.95 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ -36\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{0,9}$ = 1.7 = $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{0,1}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-62\\ 66\\ 1.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 5h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}-62\\ 66\\ 1.2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 21\\ 2.2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 21\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.4 = 0.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 500m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{10}}$s = 48s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{270}^2+{\mathrm{(-180)}}^2+{60}^2}=\sqrt{108900}=330$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{330}}{\mathrm{110}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.