Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 150\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2100\\ 2100\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2100|2100|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ 360\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|360|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|-40|30\right)$ nach P$\left(-360|360|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 440m (also 400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{400}}{\mathrm{20}}$s = 20s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{216000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 60$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-160)}}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{60}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{27}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5040\\ -2877\\ -2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5040|-2877|-2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ -12\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ 41\\ -26\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}13\\ -12\\ 11\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 28\\ -19\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 21.77 km.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}37\\ -17\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{0,7}$ = 2.8 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}14\\ -26\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 5h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}14\\ -26\\ 1.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 2.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.6 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 30\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}690\\ 560\\ 630\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(690|560|630\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 370m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{320}}{\mathrm{40}}$s = 8s lang steigen (bzw. sinken).