Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 30\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-760\\ -330\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-760|-330|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-710\\ -670\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-710|-670|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|50|40\right)$ nach P$\left(-710|-670|400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-720\\ -720\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-720)}}^2+{\mathrm{(-720)}}^2+{360}^2}=\sqrt{1166400}=1080$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 770m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{60}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-600)}}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{450}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 4.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{30}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2840\\ 2760\\ 1410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2840|2760|1410\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1410 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 27\\ -13\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 7\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 17\\ -9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 22.72 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 38\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 5+\mathrm{0,6}$ = 2.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{1,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -45\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -45\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-35\\ 21\\ 2.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-35\\ 21\\ 2.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -4\\ 3.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 1 = 2.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ -200\\ 100\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2250\\ 1000\\ 900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2250|1000|900\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 15.84 km braucht es also $\frac{\mathrm{15840}}{\mathrm{72}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10536\\ -10536\\ 5280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(10536|-10536|5280\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5280 (in m).