Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -50\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-690\\ -380\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-690|-380|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 40\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 200\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-150|200|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|40|40\right)$ nach P$\left(-150|200|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-160)}}^2+{160}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{30}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 2400m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{200}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}540\\ 270\\ 180\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{540}^2+{270}^2+{180}^2}=\sqrt{396900}=630$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{630}}{\mathrm{70}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 108\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 108\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{54}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 14.52 km braucht es also $\frac{\mathrm{14520}}{\mathrm{66}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7920\\ 11868\\ 2640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7920|11868|2640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2640 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}85\\ -38\\ -29\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 64\\ 53\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}85\\ -38\\ -29\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 26\\ 19\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 94.03 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 101\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 5+\mathrm{0,5}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}53\\ -55\\ 2.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}53\\ -55\\ 2.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}65\\ -23\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}53\\ -55\\ 2.7\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}65\\ -23\\ 3.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 3.1 = 0.3 km

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -14\\ 81\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ -160\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -14\\ 81\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ -79\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}580\\ 650\\ 340\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(580|650|340\right)$.