Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 40\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1090\\ -680\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1090|-680|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}580\\ -620\\ 330\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(580|-620|330\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-20|30\right)$ nach P$\left(580|-620|330\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{600}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 450m (also 440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{440}}{\mathrm{40}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{900}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{200}^2}=\sqrt{1210000}=1100$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1100}}{\mathrm{550}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 19.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{19800}}{\mathrm{90}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13150\\ -13170\\ 6620\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(13150|-13170|6620\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6620 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 41\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -12\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}38\\ -38\\ 28\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}4\\ 41\\ -10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ -7\\ 22\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33.12 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 74\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 6+\mathrm{0,5}$ = 3.5 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{1,7}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}46\\ 10\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}46\\ 10\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.8\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 4\\ 2.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}46\\ 10\\ 1.2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 4\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.5 = 1.1 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-370\\ -710\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-370|-710|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$