Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 0\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-440\\ -520\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-440|-520|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-310\\ 710\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-310|710|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|50|20\right)$ nach P$\left(-310|710|240\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-330\\ 660\\ 220\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-330)}}^2+{660}^2+{220}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 830m (also 780m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{780}}{\mathrm{20}}$min = 39min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{70}}{\mathrm{70}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+9^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$.
Die Geschwindigkeit ist also v=21$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.78 km braucht es also $\frac{\mathrm{3780}}{\mathrm{21}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3243\\ 1632\\ -1080\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3243|1632|-1080\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1080 (in m).

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ -70\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ -70\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ -22\\ 28\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ -9\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ -26\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}26\\ -22\\ 28\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33.18 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-58\\ -3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 3+\mathrm{0,5}$ = 2 = $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,8}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -32\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -32\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 130\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 130\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 9min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 58\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 130\\ 1\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 58\\ 2.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.8 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4000\\ 3050\\ 3350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4000|3050|3350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|-250|50\right)$ nach P$\left(-4000|3050|3350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3850\\ 3300\\ 3300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3850)}}^2+{3300}^2+{3300}^2}=\sqrt{36602500}=6050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -30\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-240\\ -270\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-240|-270|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-30|30\right)$ nach P$\left(-240|-270|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{\mathrm{(-240)}}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.