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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|50|250) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (1050|-750|650) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 9s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( 800 -800 400 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 800 -800 400 ) = ( 400 -400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 250 50 250 ) +t ( 400 -400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 250 50 250 ) +9 ( 400 -400 200 ) = ( 3850 -3550 2050 ) , also im Punkt P(3850|-3550|2050).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|0|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-40|-30|20) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 11min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -60 -30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 0 0 ) +t ( -60 -30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 0 0 ) +11 ( -60 -30 20 ) = ( -640 -330 220 ) , also im Punkt P(-640|-330|220).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(20|0|0) nach P(-640|-330|220) bewegt, also um den Vektor AP = ( -660 -330 220 ) . Dessen Länge ist (-660) 2 + (-330)2 + 220 2 = 592900 = 770m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|10|40) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (60|50|60) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 40 40 20 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 40 40 20 ) = ( 20 20 10 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 20 2 + 202 + 10 2 = 900 = 30.
Die Geschwindigkeit ist also v=30 m min = 1.8 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-30|50|30) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-110|130|70) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 310m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -80 80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -30 50 30 ) +t ( -80 80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 30 auf 310m (also 280m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 280 40 min = 7min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-4|-5|654) in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25,2km/h in Richtung des Punktes B (-31|-59|636) (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 25200 m 3600 s = 7 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -27 -54 -18 ) ist (-27) 2 + (-54)2 + (-18) 2 = 3969 = 63 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7 m s . braucht er für diese Strecke 63 7 s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-30|-30|40) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-50|-10|50) angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor AB = ( -20 20 10 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -30 -30 40 ) +t ( -20 20 10 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = (-20) 2 + 202 + 10 2 = 900 = 30.
Die Geschwindigkeit ist also v=30 m s
Für die Strecke von 6 km braucht es also 6000 30 s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -30 -30 40 ) +200 ( -20 20 10 ) = ( -4030 3970 2040 ) , also im Punkt P(-4030|3970|2040).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2040 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 -9 2 ) +t ( 0 -5 5 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|7|-4) . Nach 1s ist sie im Punkt B (7|2|2) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( -2 -5 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 9 7 -4 ) +t ( -2 -5 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 ( 2 -9 2 ) +1 ( 0 -5 5 ) = ( 2 -14 7 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 9 7 -4 ) +1 ( -2 -5 6 ) = ( 7 2 2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(2|-14|7) und P2(7|2|2):
P1P2 = ( 7-2 2-( - 14 ) 2-7 ) = ( 5 16 -5 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 5 16 -5 ) | = 5 2 + 162 + (-5) 2 = 306 ≈ 17.492855684536

Der Abstand ist also ca. 17.49 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 8 9 0,5 ) +t ( -8 4 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|43|1,5) . Nach 4h ist er im Punkt B (-24|15|3,1) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor AB = ( 16 -28 1.6 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 4 ( 16 -28 1.6 ) = ( 4 -7 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -40 43 1.5 ) +t ( 4 -7 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,4t +1,5 | -0,5 -0,4t
0,1t = 1 |:0,1
t = 10

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,510 +0,5 = 5.5 = 0,410 +1,5


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-59|28|0) . Nach 1s ist sie im Punkt B (-50|18|0,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -2 2 1 ) +t ( -3 -6 0,3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( 9 -10 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -59 28 0 ) +t ( 9 -10 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -2 2 1 ) +s ( -3 -6 0.3 ) = ( -59 28 0 ) +t ( 9 -10 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-2-3s= -59+9t2-6s= 28-10t

-3s -9t = -57 (I) -6s +10t = 26 (II)
-3s -9t = -57 (I) -6s +10t = 26 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

-3s -9t = -57 (I) ( -6 +6 )s +( -18 -10 )t = ( -114 -26 ) (II)
-3s -9t = -57 (I) -28t = -140 (II)
Zeile (II): -28t = -140

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

-3s -9·(5 ) = -57 | +45
-3 s = -12 | : (-3)

s = 4

L={(4 |5 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei ( -2 2 1 ) +4 ( -3 -6 0.3 ) = ( -14 -22 2.2 ) , während die Seilbahngondel nach 5s bei ( -59 28 0 ) +5 ( 9 -10 0.4 ) = ( -14 -22 2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 2 = 0.2 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|-250|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (200|-550|200) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 950m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 300 -300 150 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 300 -300 150 ) = ( 100 -100 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -100 -250 50 ) +t ( 100 -100 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 950m (also 900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 900 50 s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|50|10) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (240|-130|190) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1450m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 210 -180 180 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 210 -180 180 ) = ( 70 -60 60 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 30 50 10 ) +t ( 70 -60 60 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 10 auf 1450m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1440 60 s = 24s lang steigen (bzw. sinken).