Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -260\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-260|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-580\\ 410\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-580|410|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-10|50\right)$ nach P$\left(-580|410|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-630\\ 420\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-630)}}^2+{420}^2+{140}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 690m (also 640m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{640}}{\mathrm{20}}$min = 32min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ 360\\ 180\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-360)}}^2+{360}^2+{180}^2}=\sqrt{291600}=540$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{90}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{36}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4782\\ -4782\\ 2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4782|-4782|2400\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2400 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ -19\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 53\\ -38\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}22\\ -19\\ 40\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 29\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.65 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}61\\ -16\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{2,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 9\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 9\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-68\\ 49\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}-40\\ 9\\ 1.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-68\\ 49\\ 2.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.7 = 0.7 km

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -20\\ -400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -20\\ -400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 13\\ 243\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ -78\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 13\\ 243\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 163\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 242.91 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -1400\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -1400\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 150\\ 100\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1500\\ -2300\\ 1500\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1500|-2300|1500\right)$.