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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(320 | -330 | 170)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 8min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 320 \\ -320 \\ 160 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 320 \\ -320 \\ 160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 640 \\ -650 \\ 330 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(640 | -650 | 330)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(130 | -40 | 50)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 12min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 930 \\ -440 \\ 150 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(930 | -440 | 150)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-30 | 40 | 30)$ nach P $(930 | -440 | 150)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 960 \\ -480 \\ 120 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{960^{2} + {(-480)}^{2} + 120^{2}} = \sqrt{1166400} = 1080$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -30 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(110 | -150 | 80)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{40^{2} + {(-40)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{3600} = 60$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=60 $\frac{m}{s}$ = 216 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -10 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-90 | 70 | 100)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 500m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -140 \\ 80 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -140 \\ 80 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -10 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 500m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{480}{40}$ min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | 150 | 100)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B $(2200 | -1950 | 2200)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1980000 m}{3600 s}$ = 550 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2450 \\ -2100 \\ 2100 \end{matrix})$ ist $\sqrt{2450^{2} + {(-2100)}^{2} + 2100^{2}} = \sqrt{14822500} = 3850$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{3850}{550}$ s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -3 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(24 | -15 | -3)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 3,24 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{24^{2} + {(-12)}^{2} + {(-3)}^{2}} = \sqrt{729} = 27$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=27 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 3.24 km braucht es also $\frac{3240}{27}$ min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}) + 120 \cdot (\begin{matrix} 24 \\ -12 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2880 \\ -1443 \\ -360 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2880 | -1443 | -360)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -360 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -27 \\ -1 \\ 16 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(84 | -6 | -40)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(0 | -6 | 8)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -84 \\ 0 \\ 48 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -84 \\ 0 \\ 48 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -28 \\ 0 \\ 16 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 84 \\ -6 \\ -40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -28 \\ 0 \\ 16 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -4 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -27 \\ -1 \\ 16 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -58 \\ -12 \\ 33 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 84 \\ -6 \\ -40 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -28 \\ 0 \\ 16 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 28 \\ -6 \\ -8 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-58 | -12 | 33)

und P₂

(28 | -6 | -8)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 28 - (-58) \\ -6 - (-12) \\ -8 - 33 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 86 \\ 6 \\ -41 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 86 \\ 6 \\ -41 \end{matrix}) |

=

\sqrt{86^{2} + 6^{2} + {(-41)}^{2}}

=

\sqrt{9113}

≈ 95.462034338265

Der Abstand ist also ca. 95.46 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(4 | -123 | 2,3)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(34 | -73 | 3,8)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -7 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -8 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 50 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 30 \\ 50 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ -123 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,3 t + 2,3$	\| $- 0,5$ $- 0,3 t$
$0,2 t$	=	$1,8$	\|: $0,2$
$t$	=	$9$

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 9 + 0,5$ = 5 = $0,3 \cdot 9 + 2,3$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -49 \\ 16 \\ 0,2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 2 | 0,9)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(19 | -6 | 1,3)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 16 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -49 \\ 16 \\ 0.2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -49 & +10 s & = & 3 & +4 t \\ 16 & -3 s & = & 2 & -2 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 10 s & - 4 t & = & 52 & (I) \\ - 3 s & + 2 t & = & - 14 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 10 s & - 4 t & = & 52 & (I) \\ - 3 s & + 2 t & = & - 14 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $3$ ·(I) + $10$ ·(II)

\begin{matrix} 10 s & - 4 t & = & 52 & (I) \\ (30 - 30) s & + (- 12 + 20) t & = & (156 - 140) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 10 s & - 4 t & = & 52 & (I) \\ + 8 t & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 8 t & = & 16 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 10 s & - 4 \cdot (2) & = & 52 \end{matrix}

| +

8

10

s =

60

| : 10

s = $6$

$L = {(6 | 2)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $(\begin{matrix} -49 \\ 16 \\ 0.2 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ 1.4 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 2min bei $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0.9 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ 1.1 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 1.1 = 0.3 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 200 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-450 | -100 | 450)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 11s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -600 \\ -300 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -600 \\ -300 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 200 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 150 \\ 200 \\ 250 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3150 \\ -1450 \\ 1350 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-3150 | -1450 | 1350)$ .

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -2 | 9)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-2 | 14 | -11)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 16 \\ -20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -12 \\ 16 \\ -20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ 9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15 \\ 23 \\ -21 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ 9 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 18 \\ -16 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-15 | 23 | -21)

und P₂

(-5 | 18 | -16)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -5 - (-15) \\ 18 - 23 \\ -16 - (-21) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 5 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 5 \end{matrix}) |

=

\sqrt{10^{2} + {(-5)}^{2} + 5^{2}}

=

\sqrt{150}

≈ 12.247448713916

Der Abstand ist also ca. 12.25 m.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Abstand zweier Objekte