Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -20\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 80\\ 60\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(60|80|60\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -150\\ 150\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3050\\ 2850\\ 1650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3050|2850|1650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-150|150\right)$ nach P$\left(-3050|2850|1650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3000\\ 3000\\ 1500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3000)}}^2+{3000}^2+{1500}^2}=\sqrt{20250000}=4500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 650m (also 640m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{640}}{\mathrm{40}}$min = 16min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+4^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{36}=6$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{6}{6}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 15.84 km braucht es also $\frac{\mathrm{15840}}{\mathrm{72}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10584\\ 10572\\ 5280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-10584|10572|5280\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5280 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -14\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -14\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -12\\ -6\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 11\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -7\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 12.25 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{0,7}$ = 2.2 = $\mathrm{0,4}\cdot 5+\mathrm{0,2}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-69\\ 33\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-69\\ 33\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 2.7\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.7 - 1.4 = 1.3 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -1350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -1350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -250\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -250\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2650\\ -4300\\ 900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2650|-4300|900\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-250|0\right)$ nach P$\left(-2650|-4300|900\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2700\\ -4050\\ 900\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2700)}}^2+{\mathrm{(-4050)}}^2+{900}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -250\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -250\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3100\\ 2950\\ 1650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3100|2950|1650\right)$.