Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ -810\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|-810|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3450\\ -3600\\ 1850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3450|-3600|1850\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|0|50\right)$ nach P$\left(3450|-3600|1850\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3600\\ -3600\\ 1800\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3600}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{1800}^2}=\sqrt{29160000}=5400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 50\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 1550m (also 1400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1400}}{\mathrm{200}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{550}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{21600}}{\mathrm{90}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14430\\ 14370\\ 7210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-14430|14370|7210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7210 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ -7\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 9.27 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}27\\ 5\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{0,8}$ = 2.4 = $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{1,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ -50\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ -50\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-41\\ -30\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-41\\ -30\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-59\\ -50\\ 2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-41\\ -30\\ 0.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-59\\ -50\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1 = 1 km

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 64\\ -112\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 64\\ -112\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 16\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 21\\ -26\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 33\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.66 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1850m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{100}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).