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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (150|50|200) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-1050|-1150|800) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -1200 -1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -1200 -1200 600 ) = ( -300 -300 150 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 150 50 200 ) +t ( -300 -300 150 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 150 50 200 ) +5 ( -300 -300 150 ) = ( -1350 -1450 950 ) , also im Punkt P(-1350|-1450|950).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|50|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-1700|1650|850) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 6s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -1600 1600 800 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -1600 1600 800 ) = ( -400 400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -100 50 50 ) +t ( -400 400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -100 50 50 ) +6 ( -400 400 200 ) = ( -2500 2450 1250 ) , also im Punkt P(-2500|2450|1250).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-100|50|50) nach P(-2500|2450|1250) bewegt, also um den Vektor AP = ( -2400 2400 1200 ) . Dessen Länge ist (-2400) 2 + 24002 + 1200 2 = 12960000 = 3600m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|-10|50) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-60|50|70) angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -90 60 20 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-90) 2 + 602 + 20 2 = 12100 = 110.
Die Geschwindigkeit ist also v=110 m s = 396 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|20|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-290|-220|170) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 1010m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -240 -240 120 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -240 -240 120 ) = ( -60 -60 30 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 20 50 ) +t ( -60 -60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 1010m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 960 30 min = 32min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|10|30) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 252km/h in Richtung des Punktes B (-260|-110|110) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 252000 m 3600 s = 70 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -240 -120 80 ) ist (-240) 2 + (-120)2 + 80 2 = 78400 = 280 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70 m s . braucht er für diese Strecke 280 70 s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|40|50) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (50|80|70) angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 2,4 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor AB = ( 40 40 20 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 10 40 50 ) +t ( 40 40 20 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = 40 2 + 402 + 20 2 = 3600 = 60.
Die Geschwindigkeit ist also v=60 m s
Für die Strecke von 2.4 km braucht es also 2400 60 s = 40s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 10 40 50 ) +40 ( 40 40 20 ) = ( 1610 1640 850 ) , also im Punkt P(1610|1640|850).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 850m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 0 -7 -2 ) +t ( -10 -2 11 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (38|9|-30) . Nach 3s ist sie im Punkt B (8|-3|6) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( -30 -12 36 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -30 -12 36 ) = ( -10 -4 12 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 38 9 -30 ) +t ( -10 -4 12 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P1 ( 0 -7 -2 ) +2 ( -10 -2 11 ) = ( -20 -11 20 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 38 9 -30 ) +2 ( -10 -4 12 ) = ( 18 1 -6 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-20|-11|20) und P2(18|1|-6):
P1P2 = ( 18-( - 20 ) 1-( - 11 ) -6-20 ) = ( 38 12 -26 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 38 12 -26 ) | = 38 2 + 122 + (-26) 2 = 2264 ≈ 47.581509013481

Der Abstand ist also ca. 47.58 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 6 0,9 ) +t ( 7 -7 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (142|-140|0,6) . Nach 5h ist er im Punkt B (97|-90|1,6) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor AB = ( -45 50 1 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 5 ( -45 50 1 ) = ( -9 10 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 142 -140 0.6 ) +t ( -9 10 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,1t +0,9 = 0,2t +0,6 | -0,9 -0,2t
-0,1t = -0,3 |:(-0,1 )
t = 3

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,13 +0,9 = 1.2 = 0,23 +0,6


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 3 2 ) +t ( 6 -3 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (12|15|0) . Nach 2min ist es im Punkt B (14|9|0,6) angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor AB = ( 2 -6 0.6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 2 -6 0.6 ) = ( 1 -3 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 12 15 0 ) +t ( 1 -3 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 1 3 2 ) +s ( 6 -3 0.1 ) = ( 12 15 0 ) +t ( 1 -3 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

1+6s= 12+1t3-3s= 15-3t

6s -1t = 11 (I) -3s +3t = 12 (II)
6s -1t = 11 (I) -3s +3t = 12 (II)

1·(I) + 2·(II)

6s -1t = 11 (I) +5t = 35 (II)
Zeile (II): +5t = 35

t = 7

eingesetzt in Zeile (I):

6s -1(7) = 11 | +7
6s = 18 | : 6

s = 3

L={( 3|7)}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei ( 1 3 2 ) +3 ( 6 -3 0.1 ) = ( 19 -6 2.3 ) , während das Flugzeug F2 nach 7min bei ( 12 15 0 ) +7 ( 1 -3 0.3 ) = ( 19 -6 2.1 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 2.1 = 0.2 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|-50|20) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-70|-130|60) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 540m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -80 -80 40 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -80 -80 40 ) = ( -20 -20 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 10 -50 20 ) +t ( -20 -20 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 20 auf 540m (also 520m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 520 10 min = 52min lang steigen (bzw. sinken).

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-5|-9|0,6) . Nach 2s ist sie im Punkt B (-1|-3|1,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -17 18 1,3 ) +t ( 6 -6 0,3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( 4 6 0.8 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 4 6 0.8 ) = ( 2 3 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -5 -9 0.6 ) +t ( 2 3 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -17 18 1.3 ) +s ( 6 -6 0.3 ) = ( -5 -9 0.6 ) +t ( 2 3 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-17+6s= -5+2t18-6s= -9+3t

6s -2t = 12 (I) -6s -3t = -27 (II)
6s -2t = 12 (I) -6s -3t = -27 (II)

1·(I) + 1·(II)

6s -2t = 12 (I) -5t = -15 (II)
Zeile (II): -5t = -15

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

6s -2·(3) = 12 | +6
6s = 18 | : 6

s = 3

L={( 3|3)}

Das heißt also, dass die Drohne nach 3s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 3s bei ( -17 18 1.3 ) +3 ( 6 -6 0.3 ) = ( 1 0 2.2 ) , während die Seilbahngondel nach 3s bei ( -5 -9 0.6 ) +3 ( 2 3 0.4 ) = ( 1 0 1.8 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.8 = 0.4 m