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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | -50 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(20 | -90 | 40)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 7s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ -50 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -50 \\ 20 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 260 \\ -330 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(260 | -330 | 160)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-100 | 90 | 80)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 5s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -140 \\ 130 \\ 100 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-140 | 130 | 100)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-40 | 30 | 50)$ nach P $(-140 | 130 | 100)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -100 \\ 100 \\ 50 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-100)}^{2} + 100^{2} + 50^{2}} = \sqrt{22500} = 150$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(70 | -70 | 60)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{80^{2} + {(-40)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -40 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(140 | 80 | 60)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 380m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 380m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{360}{20}$ min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(2 | 1 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(10 | -3 | 653)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{matrix})$ ist $\sqrt{8^{2} + {(-4)}^{2} + {(-1)}^{2}} = \sqrt{81} = 9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(24 | -24 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 1min ist er im Punkt B $(0 | -66 | 24)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 4,32 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ -42 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 24 \\ -24 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ -42 \\ 24 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-24)}^{2} + {(-42)}^{2} + 24^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{4320}{54}$ min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -24 \\ 0 \end{matrix}) + 80 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ -42 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1896 \\ -3384 \\ 1920 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1896 | -3384 | 1920)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(11 | 6 | 0)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(1 | 2 | 12)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 11 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 11 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-7 | 0 | 3)

und P₂

(6 | 4 | 6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 6 - (-7) \\ 4 - 0 \\ 6 - 3 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 13 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 13 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) |

=

\sqrt{13^{2} + 4^{2} + 3^{2}}

=

\sqrt{194}

≈ 13.928388277184

Der Abstand ist also ca. 13.93 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ -7 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-96 | -83 | 2,5)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-46 | -48 | 4)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ 35 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 50 \\ 35 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 7 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -96 \\ -83 \\ 2.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 7 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,3 t + 2,5$	\| $- 0,5$ $- 0,3 t$
$0,2 t$	=	$2$	\|: $0,2$
$t$	=	$10$

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 10 + 0,5$ = 5.5 = $0,3 \cdot 10 + 2,5$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-36 | 63 | 0)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(-32 | 27 | 1,6)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -9 \\ 1,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -36 \\ 1.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 4 \\ -36 \\ 1.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -36 \\ 63 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 0 \\ -9 \\ 1.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -36 \\ 63 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 0 & -5 s & = & -36 & +1 t \\ -9 & +9 s & = & 63 & -9 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & - 1 t & = & - 36 & (I) \\ 9 s & + 9 t & = & 72 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 1 t & = & - 36 & (I) \\ 9 s & + 9 t & = & 72 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $9$ ·(I) + $5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & - 1 t & = & - 36 & (I) \\ (- 45 + 45) s & + (- 9 + 45) t & = & (- 324 + 360) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 1 t & = & - 36 & (I) \\ + 36 t & = & 36 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 36 t & = & 36 \end{matrix}

t = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & - 1 (1) & = & - 36 \end{matrix}

| +

1

- 5

s =

- 35

| :

(-5)

s = $7$

$L = {(7 | 1)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $(\begin{matrix} 0 \\ -9 \\ 1.6 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -35 \\ 54 \\ 3 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 1s bei $(\begin{matrix} -36 \\ 63 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -35 \\ 54 \\ 0.4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 0.4 = 2.6 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 59 \\ -40 \\ 3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-59 | 41 | 0)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(121 | -79 | 0)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ -120 \\ 0 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ -120 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -40 \\ 0 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -59 \\ 41 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -40 \\ 0 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ -2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 59 \\ -40 \\ 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 54 \\ -48 \\ 1 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -59 \\ 41 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -40 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(54 | -48 | 1)

und P₂

(1 | 1 | 0)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 1 - 54 \\ 1 - (-48) \\ 0 - 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -53 \\ 49 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -53 \\ 49 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-53)}^{2} + 49^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{5211}

≈ 72.187256493096

Der Abstand ist also ca. 72.19 m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-120 | -170 | 70)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -90 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -90 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-30)}^{2} + {(-60)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{4900} = 70$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=70 $\frac{m}{\min}$ = 4.2 $\frac{km}{h}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Geschwindigkeit in km/h