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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | -150 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-650 | 250 | 200)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 3s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -250 \\ -150 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -250 \\ -150 \\ 0 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1450 \\ 1050 \\ 600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1450 | 1050 | 600)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(20 | 40 | 60)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 7min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 140 \\ 160 \\ 120 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(140 | 160 | 120)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(0 | 20 | 50)$ nach P $(140 | 160 | 120)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 140 \\ 140 \\ 70 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{140^{2} + 140^{2} + 70^{2}} = \sqrt{44100} = 210$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(160 | 80 | 90)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 140 \\ 80 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 140 \\ 80 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{70^{2} + 40^{2} + 40^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$ = 324 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-100 | 100 | 90)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 290m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 290m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{240}{10}$ s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 30 | 30)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B $(-440 | -530 | 510)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{396000 m}{3600 s}$ = 110 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -480 \\ -560 \\ 480 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-480)}^{2} + {(-560)}^{2} + 480^{2}} = \sqrt{774400} = 880$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{880}{110}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-24 | -12 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 3min ist er im Punkt B $(84 | -66 | 36)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 8,4 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 108 \\ -54 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 108 \\ -54 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 36 \\ -18 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -24 \\ -12 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 36 \\ -18 \\ 12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{36^{2} + {(-18)}^{2} + 12^{2}} = \sqrt{1764} = 42$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=42 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 8.4 km braucht es also $\frac{8400}{42}$ min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ -12 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 36 \\ -18 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7176 \\ -3612 \\ 2400 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(7176 | -3612 | 2400)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2400 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(4 | 13 | 2)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-16 | 5 | 26)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -8 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -20 \\ -8 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 13 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -9 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ 7 \\ 5 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 4 \\ 13 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 11 \\ 8 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-14 | 7 | 5)

und P₂

(-1 | 11 | 8)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -1 - (-14) \\ 11 - 7 \\ 8 - 5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 13 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 13 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) |

=

\sqrt{13^{2} + 4^{2} + 3^{2}}

=

\sqrt{194}

≈ 13.928388277184

Der Abstand ist also ca. 13.93 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(65 | -42 | 0)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(69 | -40 | 0,4)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 0,9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 65 \\ -42 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 0,9$	=	$0,2 t + 0$
$0,1 t + 0,9$	=	$0,2 t$	\| $- 0,9$ $- 0,2 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,9$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$9$

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 9 + 0,9$ = 1.8 = $0,2 \cdot 9 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-52 | -8 | 1,2)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(-54 | -4 | 2)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -52 \\ -8 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -52 \\ -8 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 0 & -7 s & = & -52 & -1 t \\ 8 & -1 s & = & -8 & +2 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 7 s & + t & = & - 52 & (I) \\ - 1 s & - 2 t & = & - 16 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & + t & = & - 52 & (I) \\ - 1 s & - 2 t & = & - 16 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 7$ ·(II)

\begin{matrix} - 7 s & 1 t & = & - 52 & (I) \\ (- 7 + 7) s & + (1 + 14) t & = & (- 52 + 112) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & + t & = & - 52 & (I) \\ + 15 t & = & 60 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 15 t & = & 60 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 7 s & + (4) & = & - 52 \end{matrix}

| -

4

- 7

s =

- 56

| :

(-7)

s = $8$

$L = {(8 | 4)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0.5 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -56 \\ 0 \\ 4.5 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 4s bei $(\begin{matrix} -52 \\ -8 \\ 1.2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -56 \\ 0 \\ 2.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.5 - 2.8 = 1.7 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | 9 | 13)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(10 | 5 | 3)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 9 \\ 13 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 3 \\ -16 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -2 \\ 9 \\ 13 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 16 \\ 3 \\ -2 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(21 | 3 | -16)

und P₂

(16 | 3 | -2)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 16 - 21 \\ 3 - 3 \\ -2 - (-16) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 14 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 14 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-5)}^{2} + 0^{2} + 14^{2}}

=

\sqrt{221}

≈ 14.866068747319

Der Abstand ist also ca. 14.87 m.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-9 | -9 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(33 | 15 | -24)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,62 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 42 \\ 24 \\ -24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 42 \\ 24 \\ -24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{21^{2} + 12^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{729} = 27$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=27 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 1.62 km braucht es also $\frac{1620}{27}$ min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 0 \end{matrix}) + 60 \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1251 \\ 711 \\ -720 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(1251 | 711 | -720)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -720 (in m).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Höhe nach x Kilometern