Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
Wo ist die Rakete nach 9s?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 6s geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=120
= 432
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 5000m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 5000m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also s = 24s lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 9.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9. braucht er für diese Strecke
s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 14,4 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=90
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also s
= 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 4800 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 4min von einander entfernt?
Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P1 = ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 19.52 m.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?
Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
nach 10 s sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne ist also nach 8s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
3.3 - 0.8 = 2.5 m
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit ist die Rakete nach 3s geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit ist der Heißluftballon nach 3min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A
