Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-260\\ 160\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-260|160|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 150\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 150\\ 0\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2850\\ -1650\\ 600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2850|-1650|600\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|150|0\right)$ nach P$\left(-2850|-1650|600\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2700\\ -1800\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2700)}}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{600}^2}=\sqrt{10890000}=3300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$.
Die Geschwindigkeit ist also v=300$\frac{m}{s}$ = 1080$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 370m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{20}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{3136}=56$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{56}}{7}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{1620}}{9}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1071\\ 1068\\ -540\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1071|1068|-540\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -540 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}33\\ 2\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 13\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 47\\ 45\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}33\\ 2\\ -10\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-39\\ 38\\ 38\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33.03 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 41\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,5}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}55\\ 71\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}55\\ 71\\ 1\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ 2.6\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.3 = 1.3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 120m (also 70m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{70}}{\mathrm{10}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}620\\ 380\\ 380\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(620|380|380\right)$.