Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -30\\ 50\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ 210\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|210|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -350\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-350|-350|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-50|40\right)$ nach P$\left(-350|-350|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 300m (also 270m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{270}}{\mathrm{10}}$min = 27min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}500\\ 500\\ 250\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{500}^2+{500}^2+{250}^2}=\sqrt{562500}=750$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{750}}{\mathrm{150}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{30}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 50\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2370\\ -2360\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2370|-2360|1250\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1250 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 13\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 7\\ -16\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ 13\\ 12\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ 7\\ -3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 13.93 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}42\\ -60\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+0$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-94\\ -37\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ -9\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-94\\ -37\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 7s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}4\\ -9\\ 0.8\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-52\\ -44\\ 2.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-94\\ -37\\ 0.1\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-52\\ -44\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 2.2 = 0 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 260m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{10}}$min = 22min lang steigen (bzw. sinken).

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ 1.4\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 11\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 11\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.4 = 1.4 km