Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-680\\ 540\\ 540\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-680|540|540\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}180\\ 160\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(180|160|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-40|50\right)$ nach P$\left(180|160|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{200}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 750m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{20}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{120}^2+{\mathrm{(-180)}}^2+{40}^2}=\sqrt{48400}=220$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{110}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{9^2+{18}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$.
Die Geschwindigkeit ist also v=21$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.68 km braucht es also $\frac{\mathrm{1680}}{\mathrm{21}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}726\\ 1452\\ -480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(726|1452|-480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -480 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}81\\ -47\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 16\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-115\\ 58\\ -5\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}81\\ -47\\ 3\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 17\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 93.81 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -15\\ 2.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{0,7}$ = 3.7 = $\mathrm{0,1}\cdot 10+\mathrm{2,7}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-64\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-64\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 1.2\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -18\\ 1.9\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-64\\ -12\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.9 - 0.6 = 1.3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-270\\ 210\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-270|210|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 50\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-140\\ -60\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-140|-60|110\right)$.