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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 30 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-250 | -250 | 250)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 6min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ -280 \\ 240 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ -280 \\ 240 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 30 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -70 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 30 \\ 10 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -70 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -370 \\ -390 \\ 370 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-370 | -390 | 370)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 30 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(-80 | 70 | 40)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 2min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 30 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 30 \\ 30 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 110 \\ 50 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-160 | 110 | 50)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(0 | 30 | 30)$ nach P $(-160 | 110 | 50)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 80 \\ 20 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-160)}^{2} + 80^{2} + 20^{2}} = \sqrt{32400} = 180$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -10 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-360 | 150 | 60)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -320 \\ 160 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -320 \\ 160 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-80)}^{2} + 40^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(100 | -50 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-200 | 250 | 350)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 2000m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 100 \\ -50 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2000m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1800}{150}$ s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 3 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10,8km/h in Richtung des Punktes B $(-16 | 19 | 646)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{10800 m}{3600 s}$ = 3 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 16 \\ -8 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-16)}^{2} + 16^{2} + {(-8)}^{2}} = \sqrt{576} = 24$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{24}{3}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(60 | 30 | 20)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 1,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 10 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{20^{2} + 20^{2} + 10^{2}} = \sqrt{900} = 30$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=30 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 1.2 km braucht es also $\frac{1200}{30}$ s = 40s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 10 \\ 10 \end{matrix}) + 40 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 840 \\ 810 \\ 410 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(840 | 810 | 410)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 410 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -10 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-3 | -4 | 12)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(-15 | 32 | -18)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 36 \\ -30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -12 \\ 36 \\ -30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 12 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -8 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 28 \\ -20 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 12 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -11 \\ 20 \\ -8 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-12 | 28 | -20)

und P₂

(-11 | 20 | -8)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -11 - (-12) \\ 20 - 28 \\ -8 - (-20) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 12 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 12 \end{matrix}) |

=

\sqrt{1^{2} + {(-8)}^{2} + 12^{2}}

=

\sqrt{209}

≈ 14.456832294801

Der Abstand ist also ca. 14.46 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-31 | 15 | 0)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(-16 | 6 | 1,2)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 2 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 15 \\ -9 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 15 \\ -9 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -31 \\ 15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 2$	=	$0,4 t + 0$
$0,2 t + 2$	=	$0,4 t$	\| $- 2$ $- 0,4 t$
$- 0,2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$10$

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 10 + 2$ = 4 = $0,4 \cdot 10 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -86 \\ -67 \\ 0,4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -3 | 0,8)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-20 | -19 | 1,2)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -16 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -10 \\ -16 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -86 \\ -67 \\ 0.4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -86 & +7 s & = & -10 & -5 t \\ -67 & +4 s & = & -3 & -8 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 7 s & + 5 t & = & 76 & (I) \\ 4 s & + 8 t & = & 64 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 7 s & + 5 t & = & 76 & (I) \\ 4 s & + 8 t & = & 64 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 7$ ·(II)

\begin{matrix} 7 s & 5 t & = & 76 & (I) \\ (28 - 28) s & + (20 - 56) t & = & (304 - 448) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 7 s & + 5 t & = & 76 & (I) \\ - 36 t & = & - 144 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 36 t & = & - 144 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 7 s & + 5 \cdot (4) & = & 76 \end{matrix}

| -

20

7

s =

56

| : 7

s = $8$

$L = {(8 | 4)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $(\begin{matrix} -86 \\ -67 \\ 0.4 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -35 \\ 2.8 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 4min bei $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.8 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -35 \\ 1.6 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.6 = 1.2 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -10 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(8 | 20 | -2)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-4 | -10 | 34)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ -30 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -12 \\ -30 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -10 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ 20 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -10 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -10 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -18 \\ 24 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 8 \\ 20 \\ -2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -10 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 22 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-4 | -18 | 24)

und P₂

(0 | 0 | 22)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 0 - (-4) \\ 0 - (-18) \\ 22 - 24 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 4 \\ 18 \\ -2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 4 \\ 18 \\ -2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{4^{2} + 18^{2} + {(-2)}^{2}}

=

\sqrt{344}

≈ 18.547236990991

Der Abstand ist also ca. 18.55 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 1,4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 3 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(59 | 32 | 0)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(59 | 30 | 0,3)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 59 \\ 32 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 1,4$	=	$0,3 t + 0$
$0,1 t + 1,4$	=	$0,3 t$	\| $- 1,4$ $- 0,3 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,4$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$7$

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 7 + 1,4$ = 2.1 = $0,3 \cdot 7 + 0$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten