Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 30\\ 30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-320\\ 270\\ 270\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-320|270|270\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-520\\ 330\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-520|330|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|50|10\right)$ nach P$\left(-520|330|290\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-490\\ 280\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-490)}}^2+{280}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 1780m (also 1760m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1760}}{\mathrm{40}}$min = 44min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{450}}{\mathrm{90}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{36}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4791\\ -4797\\ -2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4791|-4797|-2400\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2400 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -30\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 20\\ 91\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ 1\\ -61\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 20\\ 91\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 31\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 96.79 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}67\\ -103\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{1,4}$ = 2.8 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+0$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 30\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 30\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}51\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}51\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0.5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}55\\ 46\\ 3.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}51\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}55\\ 46\\ 2.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.5 - 2.5 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 740m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{60}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$