Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-110\\ -200\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-110|-200|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}480\\ 240\\ 180\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(480|240|180\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|0|20\right)$ nach P$\left(480|240|180\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ 240\\ 160\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{240}^2+{160}^2}=\sqrt{313600}=560$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 440m (also 420m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{420}}{\mathrm{20}}$min = 21min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{2160000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 600$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2400\\ 2400\\ 1200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-2400)}}^2+{2400}^2+{1200}^2}=\sqrt{12960000}=3600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{600}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{6^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{1620}}{9}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1092\\ -1074\\ -540\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1092|-1074|-540\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -540 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}167\\ 10\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-234\\ -8\\ 31\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}167\\ 10\\ -18\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-73\\ -2\\ 18\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 161.64 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ 25\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 25\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}63\\ -52\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{2,3}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 49\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 49\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 0.8\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}22\\ 29\\ 2.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-14\\ 49\\ 1.3\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -5\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}22\\ 29\\ 1.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.7 = 0.9 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -50\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 720\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(400|720|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-50|10\right)$ nach P$\left(400|720|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}440\\ 770\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{440}^2+{770}^2+{440}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 840m (also 800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{800}}{\mathrm{40}}$s = 20s lang steigen (bzw. sinken).