Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-90\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 260\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-100|260|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-380\\ 450\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-380|450|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|30|20\right)$ nach P$\left(-380|450|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-420\\ 420\\ 210\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-420)}}^2+{420}^2+{210}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 240m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{10}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -16\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-16)}}^2+{\mathrm{(-16)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{576}=24$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{24}}{6}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{60}}$s = 60s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 10\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2410\\ -2430\\ 1210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2410|-2430|1210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1210 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ 21\\ -14\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 18\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}19\\ 21\\ -14\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 1\\ 10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 22.49 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}85\\ 15\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{0,7}$ = 2.2 = $\mathrm{0,1}\cdot 5+\mathrm{1,7}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ 4\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-36\\ 4\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}83\\ 61\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}83\\ 61\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 7s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 68\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}83\\ 61\\ 0.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 68\\ 2.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 2.4 = 0 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ -200\\ 50\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|-200|50\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-40|10\right)$ nach P$\left(-360|-200|50\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-320)}}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{40}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -25\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -25\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -8\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -28\\ 19\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -28\\ 18\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 7.07 km.