Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3650\\ -1850\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3650|-1850|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-380\\ -850\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-380|-850|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-50|50\right)$ nach P$\left(-380|-850|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{\mathrm{(-800)}}^2+{100}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-90)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 1360m (also 1320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1320}}{\mathrm{60}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1600}^2+{1600}^2+{800}^2}=\sqrt{5760000}=2400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{300}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ 216\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ 216\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{54}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 15.84 km braucht es also $\frac{\mathrm{15840}}{\mathrm{66}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ 54\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8622\\ 12966\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8622|12966|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -5\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 7.14 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ 97\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,4}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-11\\ 18\\ 1.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-11\\ 18\\ 1.1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 1.7\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1 = 0.7 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 2000m (also 1950m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1950}}{\mathrm{50}}$s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ 126\\ 72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ 126\\ 72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{42}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4788\\ 8382\\ 4800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4788|8382|4800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4800 (in m).