Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}740\\ -670\\ 360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(740|-670|360\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}470\\ -440\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(470|-440|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-20|30\right)$ nach P$\left(470|-440|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}490\\ -420\\ 420\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{490}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{420}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 11950m (also 11700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{11700}}{\mathrm{300}}$s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{11}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{36}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2865\\ 2874\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2865|2874|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ 5\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 22\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}19\\ 5\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 24\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 10.05 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}25\\ -23\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 3+\mathrm{0,5}$ = 2 = $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,8}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -45\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -45\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-54\\ 58\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ 58\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ 40\\ 1.7\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-54\\ 58\\ 0.5\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ 40\\ 0.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 0.9 = 0.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 590m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{20}}$s = 27s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{6^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{9}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1449\\ 1443\\ -720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1449|1443|-720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -720 (in m).