Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}360\\ -770\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(360|-770|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-710\\ -690\\ 380\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-710|-690|380\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-30|50\right)$ nach P$\left(-710|-690|380\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-660\\ -660\\ 330\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-660)}}^2+{\mathrm{(-660)}}^2+{330}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 1460m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{40}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 14\\ -12\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{14}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{484}=22$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{11}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-27)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.98 km braucht es also $\frac{\mathrm{1980}}{\mathrm{33}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1605\\ 1068\\ -360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1605|1068|-360\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -360 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -24\\ 20\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ -9\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -11\\ 11\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.31 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -66\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{1,2}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 27\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 27\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}25\\ 40\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}25\\ 40\\ 1.4\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 16\\ 3.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 0.5\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 16\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 1.5 = 2.3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ 270\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|270|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|30|10\right)$ nach P$\left(230|270|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{240}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-62\\ -48\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-62\\ -48\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 5h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -54\\ 1.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-62\\ -48\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -54\\ 0.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 0.4 = 1 km