Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -290\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(300|-290|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-700\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-700\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 100\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1150\\ 800\\ 1000\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1150|800|1000\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|-100|100\right)$ nach P$\left(-1150|800|1000\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1050)}}^2+{900}^2+{900}^2}=\sqrt{2722500}=1650$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 7350m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{200}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{216000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 60$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{60}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 18 km braucht es also $\frac{\mathrm{18000}}{\mathrm{90}}$s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12030\\ 12050\\ 6040\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-12030|12050|6040\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6040 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-96\\ 64\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-96\\ 64\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}70\\ -52\\ -28\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-105\\ 50\\ 54\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}70\\ -52\\ -28\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 12\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 94.03 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ 30\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ 30\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ -72\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,4}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 35\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 35\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 31\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-20\\ 35\\ 0.9\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 31\\ 1.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 1.7 = 1.3 km

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 32\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}36\\ -14\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-67\\ 33\\ 35\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}36\\ -14\\ -18\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 22\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.03 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-900\\ 920\\ 480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-900|920|480\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|40|40\right)$ nach P$\left(-900|920|480\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-880\\ 880\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-880)}}^2+{880}^2+{440}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.