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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -20 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(120 | -180 | 120)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 6min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 200 \\ -260 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(200 | -260 | 160)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | 100 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-1100 | -800 | 550)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 8s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -900 \\ -900 \\ 450 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -900 \\ -900 \\ 450 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ 100 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 100 \\ 100 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2600 \\ -2300 \\ 1300 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-2600 | -2300 | 1300)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-200 | 100 | 100)$ nach P $(-2600 | -2300 | 1300)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -2400 \\ -2400 \\ 1200 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-2400)}^{2} + {(-2400)}^{2} + 1200^{2}} = \sqrt{12960000} = 3600$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(250 | 50 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-350 | -1000 | 700)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -600 \\ -1050 \\ 600 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -600 \\ -1050 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -350 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-200)}^{2} + {(-350)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | 50 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(200 | -250 | 550)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 3850m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -150 \\ 50 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 3850m (also 3600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{3600}{300}$ s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | -150 | 150)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B $(-1450 | -750 | 550)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1260000 m}{3600 s}$ = 350 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ -600 \\ 400 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1200)}^{2} + {(-600)}^{2} + 400^{2}} = \sqrt{1960000} = 1400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1400}{350}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(18 | 18 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 2min ist er im Punkt B $(66 | 66 | 24)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 5,76 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 48 \\ 48 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 48 \\ 48 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 18 \\ 18 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{24^{2} + 24^{2} + 12^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=36 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also $\frac{5760}{36}$ min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 18 \\ 0 \end{matrix}) + 160 \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3858 \\ 3858 \\ 1920 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3858 | 3858 | 1920)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(8 | -9 | 79)$ (alle Angaben in Meter). Nach 5min ist er im Punkt B $(-12 | 51 | -321)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -80 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 60 \\ -400 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -20 \\ 60 \\ -400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ -9 \\ 79 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ -2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 50 \\ -402 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 8 \\ -9 \\ 79 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -12 \\ 51 \\ -321 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-10 | 50 | -402)

und P₂

(-12 | 51 | -321)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -12 - (-10) \\ 51 - 50 \\ -321 - (-402) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 81 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 81 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-2)}^{2} + 1^{2} + 81^{2}}

=

\sqrt{6566}

≈ 81.030858319532

Der Abstand ist also ca. 81.03 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -5 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -1 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-113 | 28 | 2,3)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-73 | -12 | 2,7)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -10 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -113 \\ 28 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -10 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,1 t + 2,3$	\| $- 0,7$ $- 0,1 t$
$0,2 t$	=	$1,6$	\|: $0,2$
$t$	=	$8$

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 8 + 0,7$ = 3.1 = $0,1 \cdot 8 + 2,3$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-95 | -87 | 0)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-85 | -77 | 0,3)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -95 \\ -87 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -95 \\ -87 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 5 & -5 s & = & -95 & +10 t \\ -5 & -2 s & = & -87 & +10 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & - 10 t & = & - 100 & (I) \\ - 2 s & - 10 t & = & - 82 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 10 t & = & - 100 & (I) \\ - 2 s & - 10 t & = & - 82 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & - 10 t & = & - 100 & (I) \\ (- 10 + 10) s & + (- 20 + 50) t & = & (- 200 + 410) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 10 t & = & - 100 & (I) \\ + 30 t & = & 210 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 30 t & = & 210 \end{matrix}

t = $7$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & - 10 \cdot (7) & = & - 100 \end{matrix}

| +

70

- 5

s =

- 30

| :

(-5)

s = $6$

$L = {(6 | 7)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -25 \\ -17 \\ 2.6 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 7min bei $(\begin{matrix} -95 \\ -87 \\ 0 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -25 \\ -17 \\ 2.1 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2.1 = 0.5 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(120 | 17 | -8)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-40 | 9 | 16)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ -8 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ -8 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 120 \\ 17 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -41 \\ 7 \\ 7 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 120 \\ 17 \\ -8 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -2 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 15 \\ -2 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-41 | 7 | 7)

und P₂

(80 | 15 | -2)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 80 - (-41) \\ 15 - 7 \\ -2 - 7 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 121 \\ 8 \\ -9 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 121 \\ 8 \\ -9 \end{matrix}) |

=

\sqrt{121^{2} + 8^{2} + {(-9)}^{2}}

=

\sqrt{14786}

≈ 121.59769734662

Der Abstand ist also ca. 121.6 km.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -5 \\ 4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(19 | 5 | -2)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(4 | -25 | 18)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -15 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 19 \\ 5 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 5 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -5 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ -27 \\ 16 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 19 \\ 5 \\ -2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -19 \\ 14 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-7 | -27 | 16)

und P₂

(7 | -19 | 14)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 7 - (-7) \\ -19 - (-27) \\ 14 - 16 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 14 \\ 8 \\ -2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 14 \\ 8 \\ -2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{14^{2} + 8^{2} + {(-2)}^{2}}

=

\sqrt{264}

≈ 16.248076809272

Der Abstand ist also ca. 16.25 km.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Abstand zweier Objekte