Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}520\\ 520\\ 270\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(520|520|270\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}860\\ 760\\ 770\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(860|760|770\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|40|50\right)$ nach P$\left(860|760|770\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}840\\ 720\\ 720\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{840}^2+{720}^2+{720}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1930m (also 1920m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1920}}{\mathrm{60}}$s = 32s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{10800\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 3$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{9}=3$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{3}{3}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.88 km braucht es also $\frac{\mathrm{5880}}{\mathrm{42}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5052\\ -2538\\ 1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5052|-2538|1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1680 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ -16\\ -9\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 11\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -14\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.36 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 25\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 25\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 26\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{0,7}$ = 2.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{1,4}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -20\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -20\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}88\\ -3\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}88\\ -3\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}58\\ -27\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}88\\ -3\\ 1.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}58\\ -27\\ 2.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.8 = 0.2 km

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -120\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -120\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}11\\ 53\\ -54\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -40\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -76\\ 118\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}11\\ 53\\ -54\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -27\\ 66\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 71.56 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -61\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -61\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.8\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}46\\ -55\\ 2.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}50\\ -61\\ 1.4\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}46\\ -55\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.6 = 0.6 m