Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 150\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2400\\ 2500\\ 1350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2400|2500|1350\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-570\\ -220\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-570|-220|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|50|30\right)$ nach P$\left(-570|-220|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-540\\ -270\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-540)}}^2+{\mathrm{(-270)}}^2+{180}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 560m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{60}}$s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{72}}{9}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.98 km braucht es also $\frac{\mathrm{1980}}{9}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1326\\ -1332\\ -660\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1326|-1332|-660\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -660 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -28\\ 16\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 56\\ -25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -28\\ 16\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -27\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -31\\ 16\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ 56\\ -25\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -28\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 28\\ -9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 64.27 m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ -3\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 5+\mathrm{0,6}$ = 2.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{1,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 16\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 16\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-13\\ 17\\ 2.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-13\\ 17\\ 2.5\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 35\\ 2.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 35\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.2 = 0.6 km

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}25\\ 10\\ -7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -1\\ 21\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}25\\ 10\\ -7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 17\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.76 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-28\\ -77\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{0,5}$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{1,2}$