Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}750\\ -660\\ 710\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(750|-660|710\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 50\\ 250\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-700\\ 950\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-700|950|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(200|50|250\right)$ nach P$\left(-700|950|700\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-900)}}^2+{900}^2+{450}^2}=\sqrt{1822500}=1350$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{200}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 820m (also 800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{800}}{\mathrm{20}}$min = 40min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-600)}}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{150}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{36}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2385\\ -2406\\ -1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2385|-2406|-1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1200 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ -11\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}21\\ -11\\ 9\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 1\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.49 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}64\\ 75\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{1,8}$ = 2.7 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -22\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -22\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ -10\\ 1.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}4\\ -22\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ -10\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 1.2 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 200\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2850\\ -2800\\ 1550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2850|-2800|1550\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(150|200|50\right)$ nach P$\left(-2850|-2800|1550\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3000\\ -3000\\ 1500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3000)}}^2+{\mathrm{(-3000)}}^2+{1500}^2}=\sqrt{20250000}=4500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 450m (also 400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{400}}{\mathrm{40}}$s = 10s lang steigen (bzw. sinken).