nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|40|10) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-300|-120|170) angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 6min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -280 -160 160 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -280 -160 160 ) = ( -70 -40 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -20 40 10 ) +t ( -70 -40 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -20 40 10 ) +6 ( -70 -40 40 ) = ( -440 -200 250 ) , also im Punkt P(-440|-200|250).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-150|-150|250) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-350|250|300) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 5s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -200 400 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -150 -150 250 ) +t ( -200 400 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -150 -150 250 ) +5 ( -200 400 50 ) = ( -1150 1850 500 ) , also im Punkt P(-1150|1850|500).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-150|-150|250) nach P(-1150|1850|500) bewegt, also um den Vektor AP = ( -1000 2000 250 ) . Dessen Länge ist (-1000) 2 + 20002 + 250 2 = 5062500 = 2250m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|20|30) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (60|160|110) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 80 140 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 80 140 80 ) = ( 40 70 40 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 40 2 + 702 + 40 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m min = 5.4 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|0|40) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (260|120|70) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 400m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 240 120 30 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 240 120 30 ) = ( 80 40 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 0 40 ) +t ( 80 40 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 400m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 360 10 s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-30|-40|10) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (-390|-280|90) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 396000 m 3600 s = 110 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -360 -240 80 ) ist (-360) 2 + (-240)2 + 80 2 = 193600 = 440 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 m s . braucht er für diese Strecke 440 110 s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-9|-15|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-63|48|-54) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 5,94 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( -54 63 -54 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -54 63 -54 ) = ( -18 21 -18 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -9 -15 0 ) +t ( -18 21 -18 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-18) 2 + 212 + (-18) 2 = 1089 = 33.
Die Geschwindigkeit ist also v=33 m min
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also 5940 33 min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -9 -15 0 ) +180 ( -18 21 -18 ) = ( -3249 3765 -3240 ) , also im Punkt P(-3249|3765|-3240).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -3240 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 6 2 2 ) +t ( -40 0 5 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (87|10|-2) . Nach 1s ist sie im Punkt B (47|8|4) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( -40 -2 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 87 10 -2 ) +t ( -40 -2 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 ( 6 2 2 ) +1 ( -40 0 5 ) = ( -34 2 7 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 87 10 -2 ) +1 ( -40 -2 6 ) = ( 47 8 4 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-34|2|7) und P2(47|8|4):
P1P2 = ( 47-( - 34 ) 8-2 4-7 ) = ( 81 6 -3 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 81 6 -3 ) | = 81 2 + 62 + (-3) 2 = 6606 ≈ 81.277303104864

Der Abstand ist also ca. 81.28 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 -1 0,6 ) +t ( -5 -8 0,4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-107|8|1,1) . Nach 4h ist er im Punkt B (-79|-28|2,3) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor AB = ( 28 -36 1.2 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 4 ( 28 -36 1.2 ) = ( 7 -9 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -107 8 1.1 ) +t ( 7 -9 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,4t +0,6 = 0,3t +1,1 | -0,6 -0,3t
0,1t = 0,5 |:0,1
t = 5

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,45 +0,6 = 2.6 = 0,35 +1,1


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-52|-44|0) . Nach 1s ist sie im Punkt B (-49|-37|0,3) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -4 1,6 ) +t ( -5 -2 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( 3 7 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -52 -44 0 ) +t ( 3 7 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -10 -4 1.6 ) +s ( -5 -2 0.1 ) = ( -52 -44 0 ) +t ( 3 7 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10-5s= -52+3t-4-2s= -44+7t

-5s -3t = -42 (I) -2s -7t = -40 (II)
-5s -3t = -42 (I) -2s -7t = -40 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -5·(II)

-5s -3t = -42 (I) ( -10 +10 )s +( -6 +35 )t = ( -84 +200 ) (II)
-5s -3t = -42 (I) +29t = 116 (II)
Zeile (II): +29t = 116

t = 4

eingesetzt in Zeile (I):

-5s -3·(4 ) = -42 | +12
-5 s = -30 | : (-5)

s = 6

L={(6 |4 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei ( -10 -4 1.6 ) +6 ( -5 -2 0.1 ) = ( -40 -16 2.2 ) , während die Seilbahngondel nach 4s bei ( -52 -44 0 ) +4 ( 3 7 0.3 ) = ( -40 -16 1.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.2 = 1 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-8|9|18) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (24|-23|-6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 -7 2 ) +t ( 8 -7 -6 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor AB = ( 32 -32 -24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 32 -32 -24 ) = ( 8 -8 -6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -8 9 18 ) +t ( 8 -8 -6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P1 ( 5 -7 2 ) +1 ( 8 -7 -6 ) = ( 13 -14 -4 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( -8 9 18 ) +1 ( 8 -8 -6 ) = ( 0 1 12 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(13|-14|-4) und P2(0|1|12):
P1P2 = ( 0-13 1-( - 14 ) 12-( - 4 ) ) = ( -13 15 16 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -13 15 16 ) | = (-13) 2 + 152 + 16 2 = 650 ≈ 25.495097567964

Der Abstand ist also ca. 25.5 m.

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (3|2|0,8) . Nach 4s ist sie im Punkt B (-1|-14|1,6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 18 -16 0,1 ) +t ( -3 1 0,3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor AB = ( -4 -16 0.8 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -4 -16 0.8 ) = ( -1 -4 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 3 2 0.8 ) +t ( -1 -4 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 18 -16 0.1 ) +s ( -3 1 0.3 ) = ( 3 2 0.8 ) +t ( -1 -4 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

18-3s= 3-1t-16+1s= 2-4t

-3s +t = -15 (I) s +4t = 18 (II)
-3s +t = -15 (I) s +4t = 18 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 3·(II)

-3s 1t = -15 (I) ( -3 +3 )s +( 1 +12 )t = ( -15 +54 ) (II)
-3s +t = -15 (I) +13t = 39 (II)
Zeile (II): +13t = 39

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

-3s +(3 ) = -15 | -3
-3 s = -18 | : (-3)

s = 6

L={(6 |3 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei ( 18 -16 0.1 ) +6 ( -3 1 0.3 ) = ( 0 -10 1.9 ) , während die Seilbahngondel nach 3s bei ( 3 2 0.8 ) +3 ( -1 -4 0.2 ) = ( 0 -10 1.4 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.9 - 1.4 = 0.5 m