Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}380\\ 670\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(380|670|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}750\\ -430\\ 200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(750|-430|200\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|50|40\right)$ nach P$\left(750|-430|200\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}720\\ -480\\ 160\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{720}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{160}^2}=\sqrt{774400}=880$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$.
Die Geschwindigkeit ist also v=600$\frac{m}{s}$ = 2160$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1350m (also 1300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1300}}{\mathrm{50}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{90}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{5400}}{\mathrm{27}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3594\\ -3615\\ -1800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3594|-3615|-1800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1800 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}64\\ 48\\ -96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}64\\ 48\\ -96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 10\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ 13\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 36\\ -46\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 33\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 28\\ -15\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33 km.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}31\\ 26\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,7}$ = 1.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+1$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 1.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 1.8\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 1 = 2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1400m (also 1400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1400}}{\mathrm{100}}$s = 14s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$