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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(140 | 100 | 80)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 6s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 260 \\ 220 \\ 140 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(260 | 220 | 140)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(250 | 150 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-200 | 450 | 300)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 4s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ 300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 250 \\ 150 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -450 \\ 300 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 250 \\ 150 \\ 200 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -450 \\ 300 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1550 \\ 1350 \\ 600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1550 | 1350 | 600)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(250 | 150 | 200)$ nach P $(-1550 | 1350 | 600)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -1800 \\ 1200 \\ 400 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-1800)}^{2} + 1200^{2} + 400^{2}} = \sqrt{4840000} = 2200$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-110 | 210 | 90)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ 180 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ 180 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 90 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + 90^{2} + 20^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$ = 396 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -150 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-300 | 200 | 450)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 3450m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -150 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 3450m (also 3300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{3300}{300}$ s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-5 | -4 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-12 | -8 | 650)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -7 \\ -4 \\ -4 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-7)}^{2} + {(-4)}^{2} + {(-4)}^{2}} = \sqrt{81} = 9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 20 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-120 | -140 | 110)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 8,4 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 20 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-40)}^{2} + {(-40)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{3600} = 60$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=60 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 8.4 km braucht es also $\frac{8400}{60}$ s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 20 \\ 30 \end{matrix}) + 140 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5560 \\ -5580 \\ 2830 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-5560 | -5580 | 2830)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2830 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 29 \\ 3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -28 | 2)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-60 | 92 | 2)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 120 \\ 0 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 120 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 0 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -28 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 0 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -9 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 29 \\ 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -89 \\ 112 \\ 12 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 20 \\ -28 \\ 2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 92 \\ 2 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-89 | 112 | 12)

und P₂

(-60 | 92 | 2)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -60 - (-89) \\ 92 - 112 \\ 2 - 12 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 29 \\ -20 \\ -10 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 29 \\ -20 \\ -10 \end{matrix}) |

=

\sqrt{29^{2} + {(-20)}^{2} + {(-10)}^{2}}

=

\sqrt{1341}

≈ 36.619666847201

Der Abstand ist also ca. 36.62 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-25 | 72 | 1,8)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(-52 | 75 | 2,1)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -27 \\ 3 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -27 \\ 3 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 1 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -25 \\ 72 \\ 1.8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ 1 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 0,8$	=	$0,1 t + 1,8$	\| $- 0,8$ $- 0,1 t$
$0,1 t$	=	$1$	\|: $0,1$
$t$	=	$10$

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 10 + 0,8$ = 2.8 = $0,1 \cdot 10 + 1,8$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -2 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-37 | -13 | 1,9)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-35 | -13 | 2,2)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -37 \\ -13 \\ 1.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -2 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -37 \\ -13 \\ 1.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 3 & -6 s & = & -37 & +2 t \\ -1 & -2 s & = & -13 & +0 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 6 s & - 2 t & = & - 40 & (I) \\ - 2 s & = & - 12 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 6 s & - 2 t & = & - 40 & (I) \\ - 2 s & = & - 12 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 3$ ·(II)

\begin{matrix} - 6 s & - 2 t & = & - 40 & (I) \\ (- 6 + 6) s & + (- 2 + 0) t & = & (- 40 + 36) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 6 s & - 2 t & = & - 40 & (I) \\ - 2 t & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 2 t & = & - 4 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 6 s & - 2 \cdot (2) & = & - 40 \end{matrix}

| +

4

- 6

s =

- 36

| :

(-6)

s = $6$

$L = {(6 | 2)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $(\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 0.5 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -2 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -33 \\ -13 \\ 3.5 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 2min bei $(\begin{matrix} -37 \\ -13 \\ 1.9 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -33 \\ -13 \\ 2.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.5 - 2.5 = 1 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 100 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-750 | -800 | 450)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 5s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -900 \\ -900 \\ 450 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -900 \\ -900 \\ 450 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 100 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 150 \\ 100 \\ 0 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1350 \\ -1400 \\ 750 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1350 | -1400 | 750)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(150 | 100 | 0)$ nach P $(-1350 | -1400 | 750)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -1500 \\ -1500 \\ 750 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-1500)}^{2} + {(-1500)}^{2} + 750^{2}} = \sqrt{5062500} = 2250$ m.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -150 | 0)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B $(-2650 | 1650 | 600)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1980000 m}{3600 s}$ = 550 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -2700 \\ 1800 \\ 600 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-2700)}^{2} + 1800^{2} + 600^{2}} = \sqrt{10890000} = 3300$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{3300}{550}$ s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts