Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ -50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -50\\ 100\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-700\\ -650\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-700|-650|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 40\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}510\\ 450\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(510|450|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-30|40\right)$ nach P$\left(510|450|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ 480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{480}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 980m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{20}}$s = 48s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ 16\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{16}^2+{16}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{576}=24$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{24}}{6}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ -54\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ -54\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{42}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7902\\ -3936\\ 2640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7902|-3936|2640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2640 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -160\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -160\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 136\\ -173\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -40\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -193\\ 296\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ 136\\ -173\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -64\\ 127\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 213 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,7}$ = 1.9 = $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}11\\ 61\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 61\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 5h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 34\\ 2.2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}11\\ 61\\ 1.1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 34\\ 1.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.7 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}470\\ -260\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(470|-260|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also $\frac{\mathrm{1080}}{9}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-723\\ -720\\ -360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-723|-720|-360\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -360 (in m).