Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-410\\ -430\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-410|-430|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -320\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-320|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|-40|20\right)$ nach P$\left(250|-320|160\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -280\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{280}^2+{\mathrm{(-280)}}^2+{140}^2}=\sqrt{176400}=420$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 190m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{20}}$s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{48}^2+{24}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{3136}=56$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{56}}{7}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{27}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2886\\ 2895\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2886|2895|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 41\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -21\\ 0\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 41\\ 9\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 26\\ 7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.77 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 112\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 15\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 15\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-23\\ -91\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -91\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ 0.9\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -88\\ 1.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-23\\ -91\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -88\\ 0.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 0.8 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1060\\ -740\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1060|-740|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-20|40\right)$ nach P$\left(1060|-740|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1080\\ -720\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1080}^2+{\mathrm{(-720)}}^2+{240}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-49\\ 15\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{1,2}$