Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -1400\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -1400\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 150\\ 200\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1250\\ -2300\\ 1600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1250|-2300|1600\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 120\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(50|120|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|-20|0\right)$ nach P$\left(50|120|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{80}^2+{140}^2+{80}^2}=\sqrt{32400}=180$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1100m (also 1050m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1050}}{\mathrm{50}}$s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{30}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also $\frac{\mathrm{5940}}{\mathrm{27}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4605\\ 2652\\ -2640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4605|2652|-2640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2640 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -40\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -40\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 33\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -35\\ -10\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 33\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}38\\ -7\\ -6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 30.72 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -102\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{2,3}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ -50\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ -50\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}41\\ -18\\ 0.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}41\\ -18\\ 0.2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 2.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0.8\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1 = 1.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 650m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{20}}$min = 30min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}660\\ -530\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(660|-530|550\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|10|10\right)$ nach P$\left(660|-530|550\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}630\\ -540\\ 540\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{630}^2+{\mathrm{(-540)}}^2+{540}^2}=\sqrt{980100}=990$m.