Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}650\\ -1850\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(650|-1850|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-290\\ 290\\ 140\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-290|290|140\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|50|20\right)$ nach P$\left(-290|290|140\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{240}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 210m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{10}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{10800\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 3$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{27}}{3}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{9}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1431\\ -1437\\ -720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1431|-1437|-720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -720 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -23\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -7\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 37\\ -38\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}9\\ -23\\ 30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 25\\ -10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 30.72 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}57\\ -11\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 6+\mathrm{0,5}$ = 3.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{1,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ -63\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -63\\ 1.4\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 0\\ 3.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}3\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 0\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 1.4 = 1.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 310m (also 260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{260}}{\mathrm{10}}$min = 26min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$