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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-10|30) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (140|-130|90) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 120 -120 60 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 120 -120 60 ) = ( 40 -40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 -10 30 ) +t ( 40 -40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 -10 30 ) +5 ( 40 -40 20 ) = ( 220 -210 130 ) , also im Punkt P(220|-210|130).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|0|200) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-350|350|500) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 11s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -300 350 300 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 0 200 ) +t ( -300 350 300 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 0 200 ) +11 ( -300 350 300 ) = ( -3350 3850 3500 ) , also im Punkt P(-3350|3850|3500).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|0|200) nach P(-3350|3850|3500) bewegt, also um den Vektor AP = ( -3300 3850 3300 ) . Dessen Länge ist (-3300) 2 + 38502 + 3300 2 = 36602500 = 6050m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|200|150) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-950|1400|750) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -1200 1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -1200 1200 600 ) = ( -300 300 150 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-300) 2 + 3002 + 150 2 = 202500 = 450.
Die Geschwindigkeit ist also v=450 m s = 1620 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|-10|20) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (20|-70|50) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 380m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 60 -60 30 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 60 -60 30 ) = ( 20 -20 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -40 -10 20 ) +t ( 20 -20 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 20 auf 380m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 360 10 s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-5|-2|654) in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10,8km/h in Richtung des Punktes B (-15|-12|649) (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 10800 m 3600 s = 3 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -10 -10 -5 ) ist (-10) 2 + (-10)2 + (-5) 2 = 225 = 15 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3 m s . braucht er für diese Strecke 15 3 s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-6|12|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (6|33|-12) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,08 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor AB = ( 12 21 -12 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -6 12 0 ) +t ( 12 21 -12 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 12 2 + 212 + (-12) 2 = 729 = 27.
Die Geschwindigkeit ist also v=27 m min
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also 1080 27 min = 40min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -6 12 0 ) +40 ( 12 21 -12 ) = ( 474 852 -480 ) , also im Punkt P(474|852|-480).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -480 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-14|23) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (14|-6|17) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 7 1 ) +t ( -5 8 -6 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 4min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor AB = ( -6 8 -6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 20 -14 23 ) +t ( -6 8 -6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P1 ( 2 7 1 ) +4 ( -5 8 -6 ) = ( -18 39 -23 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( 20 -14 23 ) +4 ( -6 8 -6 ) = ( -4 18 -1 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-18|39|-23) und P2(-4|18|-1):
P1P2 = ( -4-( - 18 ) 18-39 -1-( - 23 ) ) = ( 14 -21 22 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 14 -21 22 ) | = 14 2 + (-21)2 + 22 2 = 1121 ≈ 33.481338085566

Der Abstand ist also ca. 33.48 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 9 -3 0,5 ) +t ( 4 -7 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (68|4|1,9) . Nach 4min ist es im Punkt B (48|-24|3,1) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor AB = ( -20 -28 1.2 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -20 -28 1.2 ) = ( -5 -7 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 68 4 1.9 ) +t ( -5 -7 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,3t +1,9 | -0,5 -0,3t
0,2t = 1,4 |:0,2
t = 7

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,57 +0,5 = 4 = 0,37 +1,9


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 10 -6 0,8 ) +t ( 2 8 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (18|37|1,1) . Nach 1h ist er im Punkt B (22|42|1,2) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor AB = ( 4 5 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 18 37 1.1 ) +t ( 4 5 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 10 -6 0.8 ) +s ( 2 8 0.2 ) = ( 18 37 1.1 ) +t ( 4 5 0.1 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

10+2s= 18+4t-6+8s= 37+5t

2s -4t = 8 (I) 8s -5t = 43 (II)
2s -4t = 8 (I) 8s -5t = 43 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

2s -4t = 8 (I) ( 8 -8 )s +( -16 +5 )t = ( 32 -43 ) (II)
2s -4t = 8 (I) -11t = -11 (II)
Zeile (II): -11t = -11

t = 1

eingesetzt in Zeile (I):

2s -4·(1 ) = 8 | +4
2 s = 12 | : 2

s = 6

L={(6 |1 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei ( 10 -6 0.8 ) +6 ( 2 8 0.2 ) = ( 22 42 2 ) , während der Heißluftballon F2 nach 1h bei ( 18 37 1.1 ) +1 ( 4 5 0.1 ) = ( 22 42 1.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.2 = 0.8 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-20|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (160|-180|120) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 1080m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( 160 -160 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 160 -160 80 ) = ( 40 -40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -20 40 ) +t ( 40 -40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 1080m (also 1040m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1040 20 min = 52min lang steigen (bzw. sinken).

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|30|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-50|-50|80) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 280m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -80 -80 40 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -80 -80 40 ) = ( -20 -20 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 30 30 40 ) +t ( -20 -20 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 280m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 240 10 min = 24min lang steigen (bzw. sinken).