Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}470\\ 240\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(470|240|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-690\\ -360\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-690|-360|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|0|20\right)$ nach P$\left(-690|-360|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-720\\ -360\\ 90\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-720)}}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{90}^2}=\sqrt{656100}=810$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-350)}}^2+{300}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 4950m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{400}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{300}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 1.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{30}}$s = 60s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -20\\ 10\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1150\\ 1180\\ 610\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1150|1180|610\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 610 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}61\\ -31\\ -19\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 10\\ 12\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}61\\ -31\\ -19\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ -15\\ -7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 63.33 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}11\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,2}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 2.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 2.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-44\\ -18\\ 1.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-44\\ -18\\ 1.1\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -45\\ 4.7\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -45\\ 3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.7 - 3 = 1.7 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 1900m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{100}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}120\\ 60\\ 70\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(120|60|70\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-40|20\right)$ nach P$\left(120|60|70\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{100}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$m.