Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-510\\ -250\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-510|-250|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-640\\ 600\\ 330\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-640|600|330\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-40|10\right)$ nach P$\left(-640|600|330\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-640\\ 640\\ 320\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-640)}}^2+{640}^2+{320}^2}=\sqrt{921600}=960$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 900m (also 700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{700}}{\mathrm{100}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-630\\ -540\\ 540\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-630)}}^2+{\mathrm{(-540)}}^2+{540}^2}=\sqrt{980100}=990$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{990}}{\mathrm{110}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 24 km braucht es also $\frac{\mathrm{24000}}{\mathrm{120}}$s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 30\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16020\\ 16000\\ 8030\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-16020|16000|8030\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 8030 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 21\\ -9\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 15\\ -5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 18.47 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -45\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -45\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}82\\ 58\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{0,7}$ = 3.1 = $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{2,3}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 28\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 28\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}47\\ -16\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}47\\ -16\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 32\\ 1.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 32\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.5 = 0.3 km

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -25\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -25\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -17\\ 15\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}3\\ -9\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -4\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}9\\ -17\\ 15\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -11\\ 10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.16 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ 63\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ 63\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{21}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{5400}}{\mathrm{27}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2403\\ 4200\\ -2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2403|4200|-2400\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2400 (in m).