Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}690\\ -750\\ 360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(690|-750|360\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-840\\ 790\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-840|790|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-10|50\right)$ nach P$\left(-840|790|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-800)}}^2+{800}^2+{400}^2}=\sqrt{1440000}=1200$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 1050\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ 1050\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{350}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1490m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{60}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{300}^2+{350}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{110}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{21600}}{\mathrm{90}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 30\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9580\\ 16820\\ 9630\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9580|16820|9630\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 9630 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ -60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ -60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-21\\ -19\\ 43\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 27\\ -48\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-21\\ -19\\ 43\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ -5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.97 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-23\\ 18\\ 2.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{2,6}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 34\\ 3.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 34\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 2 = 1.8 km

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 49\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 25\\ -43\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 49\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.95 m.

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}29\\ -31\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 29\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 80\\ 11\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}29\\ -31\\ 4\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 59\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 36.48 m.