Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -280\\ 140\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-280|140\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 100\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3700\\ 1650\\ 1300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3700|1650|1300\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|-150|100\right)$ nach P$\left(3700|1650|1300\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3600\\ 1800\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3600}^2+{1800}^2+{1200}^2}=\sqrt{17640000}=4200$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 3450m (also 3200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3200}}{\mathrm{100}}$s = 32s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}630\\ 360\\ 360\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{630}^2+{360}^2+{360}^2}=\sqrt{656100}=810$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{810}}{\mathrm{90}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}54\\ 63\\ -54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}54\\ 63\\ -54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{2640}}{\mathrm{33}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1428\\ 1677\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1428|1677|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 23\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ -9\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 23\\ 12\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 20.15 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ 12\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-36\\ 12\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}51\\ -20\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{1,4}$ = 2.1 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+0$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ -15\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ -15\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}47\\ -71\\ 2.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}47\\ -71\\ 2.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -7\\ 4.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -7\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 1.8 = 2.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1300\\ 1250\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1300|1250|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|50|50\right)$ nach P$\left(1300|1250|650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1200}^2+{1200}^2+{600}^2}=\sqrt{3240000}=1800$m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 30\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 30\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -78\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,7}$ = 1.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+1$