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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-240 | -110 | 70)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -800 \\ -390 \\ 140 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-800 | -390 | 140)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 50 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-270 | 410 | 120)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 7s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 360 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 360 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 90 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 50 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 90 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 50 \\ 40 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 90 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -450 \\ 680 \\ 180 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-450 | 680 | 180)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-30 | 50 | 40)$ nach P $(-450 | 680 | 180)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -420 \\ 630 \\ 140 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-420)}^{2} + 630^{2} + 140^{2}} = \sqrt{592900} = 770$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 30 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-110 | -150 | 70)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -90 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -90 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-30)}^{2} + {(-60)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{4900} = 70$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=70 $\frac{m}{\min}$ = 4.2 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -20 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-190 | -140 | 120)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1560m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -140 \\ -120 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -140 \\ -120 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -20 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1560m (also 1560m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1560}{60}$ s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | 100 | 150)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 540km/h in Richtung des Punktes B $(-600 | 500 | 350)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{540000 m}{3600 s}$ = 150 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-400)}^{2} + 400^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{600}{150}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-6 | 12 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(30 | -42 | -12)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 7,26 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ -54 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ -54 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 18 \\ -27 \\ -6 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 18 \\ -27 \\ -6 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{18^{2} + {(-27)}^{2} + {(-6)}^{2}} = \sqrt{1089} = 33$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=33 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 7.26 km braucht es also $\frac{7260}{33}$ min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) + 220 \cdot (\begin{matrix} 18 \\ -27 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3954 \\ -5928 \\ -1320 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3954 | -5928 | -1320)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1320 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(7 | 21 | -22)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(7 | -19 | 38)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ -8 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -20 \\ 29 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 2min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -40 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -40 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ 21 \\ -22 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 5 \\ -8 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -20 \\ 29 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ -48 \\ 60 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 7 \\ 21 \\ -22 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -19 \\ 38 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(11 | -48 | 60)

und P₂

(7 | -19 | 38)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 7 - 11 \\ -19 - (-48) \\ 38 - 60 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -4 \\ 29 \\ -22 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -4 \\ 29 \\ -22 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-4)}^{2} + 29^{2} + {(-22)}^{2}}

=

\sqrt{1341}

≈ 36.619666847201

Der Abstand ist also ca. 36.62 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(103 | 57 | 0)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(53 | 82 | 1,5)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ -8 \\ 1,4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ 25 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -50 \\ 25 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 103 \\ 57 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 1,4$	=	$0,3 t + 0$
$0,1 t + 1,4$	=	$0,3 t$	\| $- 1,4$ $- 0,3 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,4$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$7$

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 7 + 1,4$ = 2.1 = $0,3 \cdot 7 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(49 | 104 | 2,6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(47 | 86 | 3)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -18 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -2 \\ -18 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 49 \\ 104 \\ 2.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 0.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 49 \\ 104 \\ 2.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -3 & +5 s & = & 49 & -1 t \\ 5 & +4 s & = & 104 & -9 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 5 s & + t & = & 52 & (I) \\ 4 s & + 9 t & = & 99 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & + t & = & 52 & (I) \\ 4 s & + 9 t & = & 99 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} 5 s & 1 t & = & 52 & (I) \\ (20 - 20) s & + (4 - 45) t & = & (208 - 495) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & + t & = & 52 & (I) \\ - 41 t & = & - 287 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 41 t & = & - 287 \end{matrix}

t = $7$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 5 s & + (7) & = & 52 \end{matrix}

| -

7

5

s =

45

| : 5

s = $9$

$L = {(9 | 7)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $(\begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 0.6 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 42 \\ 41 \\ 4.2 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 7min bei $(\begin{matrix} 49 \\ 104 \\ 2.6 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -9 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 42 \\ 41 \\ 4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 4 = 0.2 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -200 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(1000 | -1100 | 1050)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 7350m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1050 \\ -900 \\ 900 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1050 \\ -900 \\ 900 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -200 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 7350m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{7200}{300}$ s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | 0 | 50)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2160km/h in Richtung des Punktes B $(-3400 | 3200 | 1650)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{2160000 m}{3600 s}$ = 600 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -3200 \\ 3200 \\ 1600 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-3200)}^{2} + 3200^{2} + 1600^{2}} = \sqrt{23040000} = 4800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{4800}{600}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts