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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|30|40) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-50|-30|70) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 3s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -60 -60 30 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 10 30 40 ) +t ( -60 -60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 10 30 40 ) +3 ( -60 -60 30 ) = ( -170 -150 130 ) , also im Punkt P(-170|-150|130).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|10|20) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (290|130|100) angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 7s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 240 120 80 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 240 120 80 ) = ( 60 30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 50 10 20 ) +t ( 60 30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 50 10 20 ) +7 ( 60 30 20 ) = ( 470 220 160 ) , also im Punkt P(470|220|160).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(50|10|20) nach P(470|220|160) bewegt, also um den Vektor AP = ( 420 210 140 ) . Dessen Länge ist 420 2 + 2102 + 140 2 = 240100 = 490m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (100|100|200) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (1300|1300|800) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 1200 1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 1200 1200 600 ) = ( 400 400 200 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 400 2 + 4002 + 200 2 = 360000 = 600.
Die Geschwindigkeit ist also v=600 m s = 2160 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-10|40) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (100|130|120) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 520m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 80 140 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 80 140 80 ) = ( 40 70 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 -10 40 ) +t ( 40 70 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 520m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 480 40 min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-250|-250|50) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B (1550|-2050|950) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1620000 m 3600 s = 450 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 1800 -1800 900 ) ist 1800 2 + (-1800)2 + 900 2 = 7290000 = 2700 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 m s . braucht er für diese Strecke 2700 450 s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|50|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (190|-130|140) angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 12,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor AB = ( 180 -180 90 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 180 -180 90 ) = ( 60 -60 30 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 10 50 50 ) +t ( 60 -60 30 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = 60 2 + (-60)2 + 30 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m s
Für die Strecke von 12.6 km braucht es also 12600 90 s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 10 50 50 ) +140 ( 60 -60 30 ) = ( 8410 -8350 4250 ) , also im Punkt P(8410|-8350|4250).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 4250 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -6 -6 2 ) +t ( -3 4 -1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (8|-8|6) . Nach 5s ist sie im Punkt B (-7|12|-4) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 4s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor AB = ( -15 20 -10 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 5 ( -15 20 -10 ) = ( -3 4 -2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 8 -8 6 ) +t ( -3 4 -2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P1 ( -6 -6 2 ) +4 ( -3 4 -1 ) = ( -18 10 -2 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 8 -8 6 ) +4 ( -3 4 -2 ) = ( -4 8 -2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-18|10|-2) und P2(-4|8|-2):
P1P2 = ( -4-( - 18 ) 8-10 -2-( - 2 ) ) = ( 14 -2 0 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 14 -2 0 ) | = 14 2 + (-2)2 + 0 2 = 200 ≈ 14.142135623731

Der Abstand ist also ca. 14.14 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 9 6 1 ) +t ( 8 -6 0,3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-47|30|0) . Nach 4min ist es im Punkt B (-15|14|1,6) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor AB = ( 32 -16 1.6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 32 -16 1.6 ) = ( 8 -4 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -47 30 0 ) +t ( 8 -4 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,3t +1 = 0,4t +0
0,3t +1 = 0,4t | -1 -0,4t
-0,1t = -1 |:(-0,1 )
t = 10

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,310 +1 = 4 = 0,410 +0


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|6|1) . Nach 5s ist sie im Punkt B (9|-14|1,5) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -45 -24 0 ) +t ( 6 2 0,3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor AB = ( 0 -20 0.5 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 5 ( 0 -20 0.5 ) = ( 0 -4 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 9 6 1 ) +t ( 0 -4 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -45 -24 0 ) +s ( 6 2 0.3 ) = ( 9 6 1 ) +t ( 0 -4 0.1 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-45+6s= 9+0t-24+2s= 6-4t

6s = 54 (I) 2s +4t = 30 (II)
6s = 54 (I) 2s +4t = 30 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -3·(II)

6s = 54 (I) ( 6 -6 )s +(0 -12 )t = ( 54 -90 ) (II)
6s = 54 (I) -12t = -36 (II)
Zeile (II): -12t = -36

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

6s = 54

s = 9

L={(9 |3 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei ( -45 -24 0 ) +9 ( 6 2 0.3 ) = ( 9 -6 2.7 ) , während die Seilbahngondel nach 3s bei ( 9 6 1 ) +3 ( 0 -4 0.1 ) = ( 9 -6 1.3 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.7 - 1.3 = 1.4 m

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-10|30) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (260|-130|110) angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 9min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( 240 -120 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 240 -120 80 ) = ( 60 -30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 -10 30 ) +t ( 60 -30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 -10 30 ) +9 ( 60 -30 20 ) = ( 560 -280 210 ) , also im Punkt P(560|-280|210).

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|50|250) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (600|250|450) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 6s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 350 200 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 250 50 250 ) +t ( 350 200 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 250 50 250 ) +6 ( 350 200 200 ) = ( 2350 1250 1450 ) , also im Punkt P(2350|1250|1450).