Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 40\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-170\\ -150\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-170|-150|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}470\\ 220\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(470|220|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|10|20\right)$ nach P$\left(470|220|160\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}420\\ 210\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{420}^2+{210}^2+{140}^2}=\sqrt{240100}=490$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{400}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$.
Die Geschwindigkeit ist also v=600$\frac{m}{s}$ = 2160$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 520m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{40}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ -1800\\ 900\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1800}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{900}^2}=\sqrt{7290000}=2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{450}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 12.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{12600}}{\mathrm{90}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 50\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8410\\ -8350\\ 4250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8410|-8350|4250\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4250 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ -10\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 10\\ -2\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.14 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-47\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+1$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 10+0$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-45\\ -24\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-45\\ -24\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2.7\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.7 - 1.3 = 1.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}560\\ -280\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(560|-280|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 250\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2350\\ 1250\\ 1450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2350|1250|1450\right)$.