Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}330\\ -610\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(330|-610|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 50\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}290\\ -310\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(290|-310|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|10|50\right)$ nach P$\left(290|-310|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{320}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{160}^2}=\sqrt{230400}=480$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1350\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1350\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 2450m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{2160000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 600$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2000\\ 2000\\ 1000\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-2000)}}^2+{2000}^2+{1000}^2}=\sqrt{9000000}=3000$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3000}}{\mathrm{600}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}168\\ 96\\ 96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}168\\ 96\\ 96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{54}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5016\\ 2868\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5016|2868|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -60\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -60\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 49\\ -55\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -20\\ 29\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -80\\ 115\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 49\\ -55\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -31\\ 65\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 70.72 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -30\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -30\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ -43\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{0,6}$ = 3.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{1,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-27\\ -21\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-27\\ -21\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.8\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 22\\ 1.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}16\\ 50\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 22\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 1.2 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 250\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1000\\ -1150\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1000|-1150|850\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|50|250\right)$ nach P$\left(1000|-1150|850\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1200}^2+{\mathrm{(-1200)}}^2+{600}^2}=\sqrt{3240000}=1800$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 0\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-210\\ 220\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-210|220|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-20|0\right)$ nach P$\left(-210|220|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{240}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.