Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3800\\ -3750\\ 2000\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3800|-3750|2000\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}680\\ -660\\ 330\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(680|-660|330\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|-20|10\right)$ nach P$\left(680|-660|330\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}640\\ -640\\ 320\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{640}^2+{\mathrm{(-640)}}^2+{320}^2}=\sqrt{921600}=960$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 2500m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ 1800\\ 900\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1800}^2+{1800}^2+{900}^2}=\sqrt{7290000}=2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{450}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 12.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{12960}}{\mathrm{54}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8646\\ -8610\\ 4320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8646|-8610|4320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4320 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -13\\ 12\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ -2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.46 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 6\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,4}\cdot 9+\mathrm{1,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 72\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 72\\ 1\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 0\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 0\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.2 = 1.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-500\\ 380\\ 440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-500|380|440\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-40|20\right)$ nach P$\left(-500|380|440\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-490\\ 420\\ 420\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-490)}}^2+{420}^2+{420}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 3s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.8\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 1.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}23\\ -6\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 0.6 = 0.8 m