Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -20\\ 40\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-860\\ 520\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-860|520|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}950\\ 2300\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(950|2300|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|200|50\right)$ nach P$\left(950|2300|750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ 2100\\ 700\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1050}^2+{2100}^2+{700}^2}=\sqrt{6002500}=2450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1250m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{50}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 15\\ -10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{30}^2+{15}^2+{\mathrm{(-10)}}^2}=\sqrt{1225}=35$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{35}}{7}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ 54\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ 54\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{42}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5754\\ 2886\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5754|2886|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ -60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ -60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ 24\\ -37\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 18\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 25\\ -18\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.26 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-14\\ -64\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 5+\mathrm{0,5}$ = 3 = $\mathrm{0,4}\cdot 5+1$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}50\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}50\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}30\\ 57\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}30\\ 57\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}38\\ 9\\ 3.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1.4\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}38\\ 9\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 2.2 = 1 km

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -56\\ 32\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -56\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 20\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -13\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -63\\ 38\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 20\\ -3\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -50\\ 37\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.84 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}180\\ 400\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(180|400|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|0|30\right)$ nach P$\left(180|400|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{200}^2+{400}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$m.