Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1450\\ 2400\\ 1600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1450|2400|1600\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-900\\ 580\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-900|580|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-20|10\right)$ nach P$\left(-900|580|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-900)}}^2+{600}^2+{200}^2}=\sqrt{1210000}=1100$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1250m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{200}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{216000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 60$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{120}^2+{\mathrm{(-120)}}^2+{60}^2}=\sqrt{32400}=180$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{60}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{18}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2871\\ -2886\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2871|-2886|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}168\\ -10\\ 13\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-233\\ 39\\ -5\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}168\\ -10\\ 13\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-72\\ 26\\ 1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 161.64 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 14\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 14\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}41\\ -14\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}74\\ 25\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}74\\ 25\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}47\\ 10\\ 1.5\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}74\\ 25\\ 0.3\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}47\\ 10\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.5 - 1.2 = 0.3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}300\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 200\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1150\\ -2200\\ 900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1150|-2200|900\right)$.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -25\\ 1.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{0,5}$ = 4 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{1,9}$