Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -450\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -450\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3700\\ -1750\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3700|-1750|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 200\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2600\\ -1600\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2600|-1600|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|200|50\right)$ nach P$\left(-2600|-1600|650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2700\\ -1800\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2700)}}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{600}^2}=\sqrt{10890000}=3300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{80}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 630m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{30}}$min = 20min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}640\\ -320\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{640}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{90}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-84\\ 72\\ -72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-84\\ 72\\ -72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{4620}}{\mathrm{33}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -15\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2940\\ 2505\\ -2520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2940|2505|-2520\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2520 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}31\\ -6\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-151\\ 55\\ -9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}31\\ -6\\ 8\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-119\\ 54\\ -12\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.16 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-67\\ -64\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 2.7 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+0$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}16\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}16\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -15\\ 2.9\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ 0.8\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -15\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 1.6 = 1.3 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}410\\ -400\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(410|-400|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-40|50\right)$ nach P$\left(410|-400|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -360\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{360}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{180}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 260m (also 210m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{210}}{\mathrm{10}}$min = 21min lang steigen (bzw. sinken).