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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | -40 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(20 | -80 | 30)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 180 \\ -240 \\ 110 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(180 | -240 | 110)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 30 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(70 | -30 | 60)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 7s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 40 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 610 \\ -390 \\ 180 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(610 | -390 | 180)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-20 | 30 | 40)$ nach P $(610 | -390 | 180)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 630 \\ -420 \\ 140 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{630^{2} + {(-420)}^{2} + 140^{2}} = \sqrt{592900} = 770$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(130 | -10 | 60)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{80^{2} + {(-40)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -40 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-190 | 140 | 230)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 2030m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -210 \\ 180 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -210 \\ 180 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -40 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 2030m (also 1980m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1980}{60}$ min = 33min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | 100 | 0)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2160km/h in Richtung des Punktes B $(1400 | 1300 | 600)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{2160000 m}{3600 s}$ = 600 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1200 \\ 1200 \\ 600 \end{matrix})$ ist $\sqrt{1200^{2} + 1200^{2} + 600^{2}} = \sqrt{3240000} = 1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1800}{600}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-18 | 6 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 1min ist er im Punkt B $(24 | 42 | 36)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 13,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 42 \\ 36 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -18 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 42 \\ 36 \\ 36 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{42^{2} + 36^{2} + 36^{2}} = \sqrt{4356} = 66$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=66 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 13.2 km braucht es also $\frac{13200}{66}$ min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -18 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 42 \\ 36 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8382 \\ 7206 \\ 7200 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(8382 | 7206 | 7200)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7200 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(17 | -13 | 27)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(13 | -1 | 17)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -10 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 17 \\ -13 \\ 27 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 60 \\ -49 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 17 \\ -13 \\ 27 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 47 \\ -23 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-4 | 60 | -49)

und P₂

(-3 | 47 | -23)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -3 - (-4) \\ 47 - 60 \\ -23 - (-49) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -13 \\ 26 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 1 \\ -13 \\ 26 \end{matrix}) |

=

\sqrt{1^{2} + {(-13)}^{2} + 26^{2}}

=

\sqrt{846}

≈ 29.086079144498

Der Abstand ist also ca. 29.09 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -9 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 9 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(44 | 48 | 1)$ . Nach 2h ist er im Punkt B $(46 | 40 | 1,4)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 2 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 44 \\ 48 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,2 t + 1$	\| $- 0,7$ $- 0,2 t$
$0,1 t$	=	$0,3$	\|: $0,1$
$t$	=	$3$

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 3 + 0,7$ = 1.6 = $0,2 \cdot 3 + 1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-3 | 10 | 0,9)$ . Nach 1s ist sie im Punkt B $(-5 | 3 | 1)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -43 \\ -76 \\ 0,3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -43 \\ -76 \\ 0.3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -43 & +4 s & = & -3 & -2 t \\ -76 & +5 s & = & 10 & -7 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 4 s & + 2 t & = & 40 & (I) \\ 5 s & + 7 t & = & 86 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 4 s & + 2 t & = & 40 & (I) \\ 5 s & + 7 t & = & 86 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $5$ ·(I) $- 4$ ·(II)

\begin{matrix} 4 s & 2 t & = & 40 & (I) \\ (20 - 20) s & + (10 - 28) t & = & (200 - 344) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 4 s & + 2 t & = & 40 & (I) \\ - 18 t & = & - 144 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 18 t & = & - 144 \end{matrix}

t = $8$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 4 s & + 2 \cdot (8) & = & 40 \end{matrix}

| -

16

4

s =

24

| : 4

s = $6$

$L = {(6 | 8)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 8s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $(\begin{matrix} -43 \\ -76 \\ 0.3 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -19 \\ -46 \\ 2.1 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 8s bei $(\begin{matrix} -3 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -19 \\ -46 \\ 1.7 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.7 = 0.4 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -30 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-170 | -210 | 50)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 530m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -180 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -180 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -90 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -30 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -90 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 530m (also 520m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{520}{20}$ s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | 0 | 50)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B $(-500 | -700 | 450)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1620000 m}{3600 s}$ = 450 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -700 \\ 400 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-400)}^{2} + {(-700)}^{2} + 400^{2}} = \sqrt{810000} = 900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{900}{450}$ s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts