Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ -280\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|-280|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-330\\ -530\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-330|-530|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|30|20\right)$ nach P$\left(-330|-530|90\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -560\\ 70\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-280)}}^2+{\mathrm{(-560)}}^2+{70}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 730m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{40}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ ist $\sqrt{6^2+3^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{7}{7}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{1620}}{\mathrm{27}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1080\\ -1089\\ -540\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1080|-1089|-540\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -540 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -17\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ -1\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ -17\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -11\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.16 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -27\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -27\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 53\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 4+\mathrm{0,5}$ = 2.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,9}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-50\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}143\\ -35\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}143\\ -35\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 8s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 2\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}63\\ -75\\ 3.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}143\\ -35\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}63\\ -75\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 3.2 = 0.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 250\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3050\\ 2350\\ 950\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3050|2350|950\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$