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Kursstufe
cosh
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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 7min?
Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 6s geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=70
= 252
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 2850m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 2850m (also 2800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also s = 14s lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 21,6km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 6.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6. braucht er für diese Strecke
s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 10,8 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=90
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also s
= 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 3610 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A . Nach 5min ist es im Punkt B angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
F2 legt in 5min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
F1 ist nach 3min an der Stelle P1 = ; F2 an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 30.43 km.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
nach 9 h sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
3.7 - 0.4 = 3.3 km
Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 5s?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit ist der Heißluftballon nach 6min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A
