Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1100\\ 710\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1100|710|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}170\\ 120\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(170|120|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-20|30\right)$ nach P$\left(170|120|100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 140\\ 70\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{140}^2+{140}^2+{70}^2}=\sqrt{44100}=210$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 960m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{40}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1200)}}^2+{\mathrm{(-1200)}}^2+{600}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{300}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{12}^2+6^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{18}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 24\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1194\\ 1224\\ 600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1194|1224|600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 600 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ -2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 16\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ 23\\ 0\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}26\\ -2\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 14\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.66 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}29\\ -43\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{0,8}$ = 2.8 = $\mathrm{0,1}\cdot 10+\mathrm{1,8}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ 0\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ 0\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 1.4\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 9\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 9\\ 1.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.9 = 0.5 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}530\\ -590\\ 330\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(530|-590|330\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|-30|50\right)$ nach P$\left(530|-590|330\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}560\\ -560\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{560}^2+{\mathrm{(-560)}}^2+{280}^2}=\sqrt{705600}=840$m.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{450}^2+{300}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{110}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.