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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|10|50) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (50|50|90) angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 2min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( 70 40 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -20 10 50 ) +t ( 70 40 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -20 10 50 ) +2 ( 70 40 40 ) = ( 120 90 130 ) , also im Punkt P(120|90|130).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|50|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (60|90|20) angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 3s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 40 40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 50 0 ) +t ( 40 40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 50 0 ) +3 ( 40 40 20 ) = ( 140 170 60 ) , also im Punkt P(140|170|60).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(20|50|0) nach P(140|170|60) bewegt, also um den Vektor AP = ( 120 120 60 ) . Dessen Länge ist 120 2 + 1202 + 60 2 = 32400 = 180m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|0|20) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (30|-40|30) angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 80 -40 10 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 80 2 + (-40)2 + 10 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m s = 324 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|30|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (80|-90|60) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 780m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor AB = ( 120 -120 60 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 120 -120 60 ) = ( 40 -40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -40 30 0 ) +t ( 40 -40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 0 auf 780m (also 780m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 780 20 min = 39min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|-10|0) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (160|110|40) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 396000 m 3600 s = 110 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 180 120 40 ) ist 180 2 + 1202 + 40 2 = 48400 = 220 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 m s . braucht er für diese Strecke 220 110 s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|9|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (36|-27|-18) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 3,6 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( 36 -36 -18 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 36 -36 -18 ) = ( 12 -12 -6 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 0 9 0 ) +t ( 12 -12 -6 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 12 2 + (-12)2 + (-6) 2 = 324 = 18.
Die Geschwindigkeit ist also v=18 m min
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also 3600 18 min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 9 0 ) +200 ( 12 -12 -6 ) = ( 2400 -2391 -1200 ) , also im Punkt P(2400|-2391|-1200).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -1200 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 7 3 0 ) +t ( -24 13 15 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (38|-3|-10) . Nach 4s ist sie im Punkt B (-58|45|54) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor AB = ( -96 48 64 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -96 48 64 ) = ( -24 12 16 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 38 -3 -10 ) +t ( -24 12 16 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 ( 7 3 0 ) +1 ( -24 13 15 ) = ( -17 16 15 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 38 -3 -10 ) +1 ( -24 12 16 ) = ( 14 9 6 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-17|16|15) und P2(14|9|6):
P1P2 = ( 14-( - 17 ) 9-16 6-15 ) = ( 31 -7 -9 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 31 -7 -9 ) | = 31 2 + (-7)2 + (-9) 2 = 1091 ≈ 33.030289129827

Der Abstand ist also ca. 33.03 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 4 0,7 ) +t ( 6 3 0,3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (19|16|2,1) . Nach 1h ist er im Punkt B (23|17|2,2) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor AB = ( 4 1 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 19 16 2.1 ) +t ( 4 1 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,3t +0,7 = 0,1t +2,1 | -0,7 -0,1t
0,2t = 1,4 |:0,2
t = 7

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,37 +0,7 = 2.8 = 0,17 +2,1


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-5|-19|0,4) . Nach 5s ist sie im Punkt B (-20|-9|1,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -8 3 0,9 ) +t ( -3 -8 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor AB = ( -15 10 1 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 5 ( -15 10 1 ) = ( -3 2 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -5 -19 0.4 ) +t ( -3 2 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -8 3 0.9 ) +s ( -3 -8 0.1 ) = ( -5 -19 0.4 ) +t ( -3 2 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-8-3s= -5-3t3-8s= -19+2t

-3s +3t = 3 (I) -8s -2t = -22 (II)
-3s +3t = 3 (I) -8s -2t = -22 (II)

langsame Rechnung einblenden8·(I) -3·(II)

-3s 3t = 3 (I) ( -24 +24 )s +( 24 +6 )t = ( 24 +66 ) (II)
-3s +3t = 3 (I) +30t = 90 (II)
Zeile (II): +30t = 90

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

-3s +3·(3 ) = 3 | -9
-3 s = -6 | : (-3)

s = 2

L={(2 |3 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei ( -8 3 0.9 ) +2 ( -3 -8 0.1 ) = ( -14 -13 1.1 ) , während die Seilbahngondel nach 3s bei ( -5 -19 0.4 ) +3 ( -3 2 0.2 ) = ( -14 -13 1 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.1 - 1 = 0.1 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-30|50) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (40|10|70) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 230m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 40 40 20 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 40 40 20 ) = ( 20 20 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -30 50 ) +t ( 20 20 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 230m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 180 10 min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-30|-50|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-270|190|170) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 12s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -240 240 120 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -240 240 120 ) = ( -60 60 30 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -30 -50 50 ) +t ( -60 60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -30 -50 50 ) +12 ( -60 60 30 ) = ( -750 670 410 ) , also im Punkt P(-750|670|410).