Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 250\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4800\\ -2600\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4800|-2600|850\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 50\\ 250\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -450\\ 500\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(350|-450|500\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|50|250\right)$ nach P$\left(350|-450|500\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}500\\ -500\\ 250\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{500}^2+{\mathrm{(-500)}}^2+{250}^2}=\sqrt{562500}=750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1090m (also 1080m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1080}}{\mathrm{60}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{120}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{40}^2}=\sqrt{19600}=140$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{140}}{\mathrm{70}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}192\\ -192\\ 96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}192\\ -192\\ 96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 17.28 km braucht es also $\frac{\mathrm{17280}}{\mathrm{72}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11490\\ -11526\\ 5760\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(11490|-11526|5760\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5760 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ 0\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-42\\ 0\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}28\\ -3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ -7\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-55\\ -12\\ 42\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}28\\ -3\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ -3\\ 41\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.84 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{1,8}$ = 2.7 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+0$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -15\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -15\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 2 = 0.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 860m (also 810m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{810}}{\mathrm{30}}$min = 27min lang steigen (bzw. sinken).

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}127\\ -4\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 3+\mathrm{0,5}$ = 2 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{1,1}$