Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -10\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}740\\ 390\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(740|390|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-210\\ 300\\ 270\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-210|300|270\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|20|30\right)$ nach P$\left(-210|300|270\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 280\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{280}^2+{240}^2}=\sqrt{193600}=440$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 140m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{20}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{30}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -72\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ -72\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{42}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 30\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1782\\ -3570\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1782|-3570|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 25\\ -23\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -20\\ 29\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -104\\ 146\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ 25\\ -23\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -75\\ 127\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 37.03 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-53\\ -56\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,4}\cdot 9+\mathrm{1,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ -45\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ -45\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-61\\ -31\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-61\\ -31\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0.9\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ -40\\ 1.7\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}-61\\ -31\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ -40\\ 0.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 0.2 = 1.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -200\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4550\\ 2200\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4550|2200|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 1000m (also 900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{150}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).