Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 100\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4350\\ -4300\\ 2450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4350|-4300|2450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 30\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}390\\ 490\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(390|490|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|50|30\right)$ nach P$\left(390|490|250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}440\\ 440\\ 220\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{440}^2+{440}^2+{220}^2}=\sqrt{435600}=660$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 1590m (also 1560m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1560}}{\mathrm{30}}$s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{144}=12$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{12}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{36}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -24\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2400\\ 2376\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2400|2376|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 11\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 12\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}21\\ 11\\ -3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 7\\ 9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-56\\ -39\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,8}$ = 1.6 = $\mathrm{0,4}\cdot 4+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ 28\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 28\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}43\\ -26\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}43\\ -26\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 9\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1.8\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 9\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.2 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}710\\ -610\\ 610\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(710|-610|610\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-10|10\right)$ nach P$\left(710|-610|610\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{700}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{600}^2}=\sqrt{1210000}=1100$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-144\\ -72\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-144\\ -72\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{9720}}{\mathrm{54}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 12\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8610\\ -4308\\ 1080\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8610|-4308|1080\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1080 (in m).