Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3650\\ -2000\\ 2000\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3650|-2000|2000\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 150\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1000\\ 2150\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1000|2150|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|150|150\right)$ nach P$\left(-1000|2150|400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1000\\ 2000\\ 250\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1000)}}^2+{2000}^2+{250}^2}=\sqrt{5062500}=2250$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 850m (also 800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{800}}{\mathrm{100}}$s = 8s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -600\\ 150\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1200)}}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{150}^2}=\sqrt{1822500}=1350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1350}}{\mathrm{450}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{90}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8370\\ 4780\\ 4810\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8370|4780|4810\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4810 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}17\\ -25\\ 43\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 1\\ -12\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}17\\ -25\\ 43\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -14\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -17\\ 29\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 51.78 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 41\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 8+\mathrm{0,6}$ = 3.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{2,2}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}14\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-101\\ -10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-101\\ -10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1.2\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ -35\\ 2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-101\\ -10\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ -35\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.5 = 0.5 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3800\\ -3550\\ 1850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3800|-3550|1850\right)$.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}57\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}57\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 14\\ 4.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}57\\ 6\\ 1.3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 14\\ 1.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.5 - 1.9 = 2.6 km