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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -30 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(220 | 180 | 210)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 9min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ -30 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -30 \\ 30 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 580 \\ 600 \\ 570 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(580 | 600 | 570)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 0 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-220 | -180 | 220)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 4s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -210 \\ -180 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -210 \\ -180 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -290 \\ -240 \\ 280 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-290 | -240 | 280)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | 0 | 40)$ nach P $(-290 | -240 | 280)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -280 \\ -240 \\ 240 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-280)}^{2} + {(-240)}^{2} + 240^{2}} = \sqrt{193600} = 440$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -50 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(160 | 70 | 90)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{40^{2} + 40^{2} + 20^{2}} = \sqrt{3600} = 60$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=60 $\frac{m}{\min}$ = 3.6 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -200 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-400 | 200 | 350)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1950m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -200 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 1950m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1800}{200}$ s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | -150 | 200)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B $(2850 | -1500 | 1100)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1260000 m}{3600 s}$ = 350 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2700 \\ -1350 \\ 900 \end{matrix})$ ist $\sqrt{2700^{2} + {(-1350)}^{2} + 900^{2}} = \sqrt{9922500} = 3150$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{3150}{350}$ s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(9 | 15 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(21 | 3 | -6)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,26 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ 15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{6^{2} + {(-6)}^{2} + {(-3)}^{2}} = \sqrt{81} = 9$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=9 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 1.26 km braucht es also $\frac{1260}{9}$ min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 15 \\ 0 \end{matrix}) + 140 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 849 \\ -825 \\ -420 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(849 | -825 | -420)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -420 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(23 | -12 | 13)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(17 | -4 | 1)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 23 \\ -12 \\ 13 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 9 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -9 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 23 \\ -12 \\ 13 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 17 \\ -4 \\ 1 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(3 | -2 | -9)

und P₂

(17 | -4 | 1)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 17 - 3 \\ -4 - (-2) \\ 1 - (-9) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 14 \\ -2 \\ 10 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 14 \\ -2 \\ 10 \end{matrix}) |

=

\sqrt{14^{2} + {(-2)}^{2} + 10^{2}}

=

\sqrt{300}

≈ 17.320508075689

Der Abstand ist also ca. 17.32 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 1,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -69 | 0)$ . Nach 2h ist er im Punkt B $(20 | -53 | 0,8)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 16 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 10 \\ 16 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -69 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 1,8$	=	$0,4 t + 0$
$0,2 t + 1,8$	=	$0,4 t$	\| $- 1,8$ $- 0,4 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,8$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$9$

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 9 + 1,8$ = 3.6 = $0,4 \cdot 9 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 6 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(55 | -53 | 1,3)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(90 | -13 | 2,8)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 35 \\ 40 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 35 \\ 40 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 55 \\ -53 \\ 1.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -7 \\ 6 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 55 \\ -53 \\ 1.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -7 & +10 s & = & 55 & +7 t \\ 6 & -3 s & = & -53 & +8 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 10 s & - 7 t & = & 62 & (I) \\ - 3 s & - 8 t & = & - 59 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 10 s & - 7 t & = & 62 & (I) \\ - 3 s & - 8 t & = & - 59 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $3$ ·(I) + $10$ ·(II)

\begin{matrix} 10 s & - 7 t & = & 62 & (I) \\ (30 - 30) s & + (- 21 - 80) t & = & (186 - 590) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 10 s & - 7 t & = & 62 & (I) \\ - 101 t & = & - 404 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 101 t & = & - 404 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 10 s & - 7 \cdot (4) & = & 62 \end{matrix}

| +

28

10

s =

90

| : 10

s = $9$

$L = {(9 | 4)}$

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $(\begin{matrix} -7 \\ 6 \\ 0.5 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 83 \\ -21 \\ 5 \end{matrix})$ , während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $(\begin{matrix} 55 \\ -53 \\ 1.3 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 83 \\ -21 \\ 2.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 2.5 = 2.5 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 40 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-210 | -80 | 120)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 760m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ -120 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ -120 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 760m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{720}{20}$ s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -40 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | 80 | -6)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(-6 | 0 | 6)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 5s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -80 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ -80 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -40 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 80 \\ -6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -40 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -10 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -40 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -201 \\ 23 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -2 \\ 80 \\ -6 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -40 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -12 \\ -120 \\ 24 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-10 | -201 | 23)

und P₂

(-12 | -120 | 24)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -12 - (-10) \\ -120 - (-201) \\ 24 - 23 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ 81 \\ 1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -2 \\ 81 \\ 1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-2)}^{2} + 81^{2} + 1^{2}}

=

\sqrt{6566}

≈ 81.030858319532

Der Abstand ist also ca. 81.03 m.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Abstand zweier Objekte