Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 40\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-160|160|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-280\\ 570\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-280|570|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|10|10\right)$ nach P$\left(-280|570|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ 560\\ 70\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-280)}}^2+{560}^2+{70}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{60}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 150m (also 110m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{110}}{\mathrm{10}}$min = 11min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{300}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{450}}{\mathrm{90}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5736\\ -5772\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5736|-5772|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -20\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -20\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}11\\ 41\\ -28\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 13\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}11\\ 41\\ -28\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 31\\ -16\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.02 m.

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ -12\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-28\\ -12\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ 32\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+0$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -30\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -30\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}37\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}22\\ -8\\ 1.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}37\\ 10\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}22\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.5 - 0.6 = 0.9 km

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -150\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -150\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 24\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -30\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ -68\\ -6\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ 24\\ 5\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -30\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ -36\\ -3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.39 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.88 km braucht es also $\frac{\mathrm{5880}}{\mathrm{42}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -30\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5058\\ -2550\\ 1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5058|-2550|1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1680 (in m).