Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3500\\ -5000\\ 1350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3500|-5000|1350\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-140\\ -210\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-140|-210|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-50|30\right)$ nach P$\left(-140|-210|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-160)}}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 930m (also 880m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{880}}{\mathrm{20}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{900}^2+{900}^2+{450}^2}=\sqrt{1822500}=1350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1350}}{\mathrm{150}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 19.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{19800}}{\mathrm{90}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 50\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17560\\ 8780\\ 2250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-17560|8780|2250\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2250 (in m).

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -200\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 80\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -81\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 80\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81.12 m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -61\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ 8\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-28\\ 8\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}27\\ -33\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ -33\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 3\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}27\\ -33\\ 1.2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 2.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.1 = 0.9 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 400m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{20}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 670m (also 660m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{660}}{\mathrm{20}}$s = 33s lang steigen (bzw. sinken).