Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 30\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}210\\ 310\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(210|310|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 20\\ 30\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(80|160|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|20|30\right)$ nach P$\left(80|160|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 140\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{120}^2+{140}^2+{120}^2}=\sqrt{48400}=220$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2200m (also 2000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2000}}{\mathrm{50}}$s = 40s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -20\\ -5\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-5)}}^2}=\sqrt{2025}=45$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{45}}{9}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{14400}}{\mathrm{90}}$s = 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11150\\ 6440\\ 6440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-11150|6440|6440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6440 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -400\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -400\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ 233\\ -28\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -80\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -168\\ 22\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}16\\ 233\\ -28\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 73\\ -4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 242.7 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 25\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 25\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}44\\ -12\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 9+\mathrm{0,6}$ = 4.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ -30\\ 2.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -30\\ 2.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ -18\\ 3.5\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}13\\ -30\\ 2.1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ -18\\ 3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.5 - 3 = 0.5 km

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -2\\ 19\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 40\\ -25\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}20\\ -2\\ 19\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 30\\ -5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 23.75 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}106\\ 46\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}106\\ 46\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}66\\ 51\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}106\\ 46\\ 1.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}66\\ 51\\ 3.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 3.1 = 0.3 km