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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-200|-150|100) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-2000|-1350|500) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 11s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -1800 -1200 400 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -1800 -1200 400 ) = ( -450 -300 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -200 -150 100 ) +t ( -450 -300 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -200 -150 100 ) +11 ( -450 -300 100 ) = ( -5150 -3450 1200 ) , also im Punkt P(-5150|-3450|1200).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-10|-10|50) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (-170|-90|70) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 11min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( -160 -80 20 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( -160 -80 20 ) = ( -80 -40 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -10 -10 50 ) +t ( -80 -40 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -10 -10 50 ) +11 ( -80 -40 10 ) = ( -890 -450 160 ) , also im Punkt P(-890|-450|160).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-10|-10|50) nach P(-890|-450|160) bewegt, also um den Vektor AP = ( -880 -440 110 ) . Dessen Länge ist (-880) 2 + (-440)2 + 110 2 = 980100 = 990m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-20|10) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-260|220|250) angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -280 240 240 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -280 240 240 ) = ( -70 60 60 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-70) 2 + 602 + 60 2 = 12100 = 110.
Die Geschwindigkeit ist also v=110 m s = 396 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-200|-250|200) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-650|-550|300) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1500m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -450 -300 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -200 -250 200 ) +t ( -450 -300 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 1500m (also 1300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1300 100 s = 13s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-4|-5|654) in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 39,6km/h in Richtung des Punktes B (-58|-41|642) (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 39600 m 3600 s = 11 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -54 -36 -12 ) ist (-54) 2 + (-36)2 + (-12) 2 = 4356 = 66 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11 m s . braucht er für diese Strecke 66 11 s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (15|9|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (21|3|-3) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,08 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor AB = ( 6 -6 -3 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 15 9 0 ) +t ( 6 -6 -3 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 6 2 + (-6)2 + (-3) 2 = 81 = 9.
Die Geschwindigkeit ist also v=9 m min
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also 1080 9 min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 15 9 0 ) +120 ( 6 -6 -3 ) = ( 735 -711 -360 ) , also im Punkt P(735|-711|-360).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -360 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 -7 0 ) +t ( -1 -13 8 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (5|11|-1) . Nach 2s ist sie im Punkt B (5|-17|15) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor AB = ( 0 -28 16 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 0 -28 16 ) = ( 0 -14 8 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 5 11 -1 ) +t ( 0 -14 8 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 ( 1 -7 0 ) +1 ( -1 -13 8 ) = ( 0 -20 8 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 5 11 -1 ) +1 ( 0 -14 8 ) = ( 5 -3 7 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(0|-20|8) und P2(5|-3|7):
P1P2 = ( 5-0 -3-( - 20 ) 7-8 ) = ( 5 17 -1 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 5 17 -1 ) | = 5 2 + 172 + (-1) 2 = 315 ≈ 17.748239349299

Der Abstand ist also ca. 17.75 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -8 4 0,8 ) +t ( 0 -10 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-98|-49|1,5) . Nach 5h ist er im Punkt B (-48|-64|2) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor AB = ( 50 -15 0.5 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 5 ( 50 -15 0.5 ) = ( 10 -3 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -98 -49 1.5 ) +t ( 10 -3 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,2t +0,8 = 0,1t +1,5 | -0,8 -0,1t
0,1t = 0,7 |:0,1
t = 7

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,27 +0,8 = 2.2 = 0,17 +1,5


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-8|4|0,5) . Nach 4s ist sie im Punkt B (-4|44|2,5) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -15 24 2,3 ) +t ( 9 0 0,3 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor AB = ( 4 40 2 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 4 40 2 ) = ( 1 10 0.5 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -8 4 0.5 ) +t ( 1 10 0.5 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -15 24 2.3 ) +s ( 9 0 0.3 ) = ( -8 4 0.5 ) +t ( 1 10 0.5 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-15+9s= -8+1t24+0s= 4+10t

9s -1t = 7 (I) -10t = -20 (II)
9s -1t = 7 (I) -10t = -20 (II)
9 s -1 t = +7 (I) 0 s -10 t = -20 (II)
9s -1t = 7 (I) -10t = -20 (II)
Zeile (II): -10t = -20

t = 2

eingesetzt in Zeile (I):

9s -1(2 ) = 7 | +2
9 s = 9 | : 9

s = 1

L={(1 |2 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 1s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 1s bei ( -15 24 2.3 ) +1 ( 9 0 0.3 ) = ( -6 24 2.6 ) , während die Seilbahngondel nach 2s bei ( -8 4 0.5 ) +2 ( 1 10 0.5 ) = ( -6 24 1.5 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.5 = 1.1 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (150|0|200) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (750|600|500) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 3800m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( 600 600 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 600 600 300 ) = ( 300 300 150 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 150 0 200 ) +t ( 300 300 150 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 3800m (also 3600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 3600 150 s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 4 8 0 ) +t ( 11 -10 -2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-2|24|7) . Nach 3min ist es im Punkt B (34|-6|-5) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

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F2 legt in 3min den Vektor AB = ( 36 -30 -12 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 36 -30 -12 ) = ( 12 -10 -4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -2 24 7 ) +t ( 12 -10 -4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P1 ( 4 8 0 ) +5 ( 11 -10 -2 ) = ( 59 -42 -10 ) ; F2 an der Stelle P2 ( -2 24 7 ) +5 ( 12 -10 -4 ) = ( 58 -26 -13 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(59|-42|-10) und P2(58|-26|-13):
P1P2 = ( 58-59 -26-( - 42 ) -13-( - 10 ) ) = ( -1 16 -3 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -1 16 -3 ) | = (-1) 2 + 162 + (-3) 2 = 266 ≈ 16.3095064303

Der Abstand ist also ca. 16.31 km.