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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|-200|100) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-850|-650|400) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -900 -450 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -900 -450 300 ) = ( -300 -150 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 50 -200 100 ) +t ( -300 -150 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 50 -200 100 ) +5 ( -300 -150 100 ) = ( -1450 -950 600 ) , also im Punkt P(-1450|-950|600).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-30|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (180|150|90) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 4min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor AB = ( 180 180 90 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 180 180 90 ) = ( 60 60 30 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -30 0 ) +t ( 60 60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 -30 0 ) +4 ( 60 60 30 ) = ( 240 210 120 ) , also im Punkt P(240|210|120).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(0|-30|0) nach P(240|210|120) bewegt, also um den Vektor AP = ( 240 240 120 ) . Dessen Länge ist 240 2 + 2402 + 120 2 = 129600 = 360m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|10|10) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (100|70|30) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( 90 60 20 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 90 2 + 602 + 20 2 = 12100 = 110.
Die Geschwindigkeit ist also v=110 m min = 6.6 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (200|0|200) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-400|600|500) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 2300m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -600 600 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -600 600 300 ) = ( -200 200 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 200 0 200 ) +t ( -200 200 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 2300m (also 2100m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 2100 100 s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (150|0|100) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B (-150|150|200) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1260000 m 3600 s = 350 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -300 150 100 ) ist (-300) 2 + 1502 + 100 2 = 122500 = 350 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 m s . braucht er für diese Strecke 350 350 s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|-10|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-300|-170|80) angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 18 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor AB = ( -320 -160 40 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -320 -160 40 ) = ( -80 -40 10 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 20 -10 40 ) +t ( -80 -40 10 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = (-80) 2 + (-40)2 + 10 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m s
Für die Strecke von 18 km braucht es also 18000 90 s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 -10 40 ) +200 ( -80 -40 10 ) = ( -15980 -8010 2040 ) , also im Punkt P(-15980|-8010|2040).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2040 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-4|6|17) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (20|-2|-3) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 -1 1 ) +t ( 11 -2 -10 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor AB = ( 24 -8 -20 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 24 -8 -20 ) = ( 12 -4 -10 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -4 6 17 ) +t ( 12 -4 -10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P1 ( 2 -1 1 ) +1 ( 11 -2 -10 ) = ( 13 -3 -9 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( -4 6 17 ) +1 ( 12 -4 -10 ) = ( 8 2 7 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(13|-3|-9) und P2(8|2|7):
P1P2 = ( 8-13 2-( - 3 ) 7-( - 9 ) ) = ( -5 5 16 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -5 5 16 ) | = (-5) 2 + 52 + 16 2 = 306 ≈ 17.492855684536

Der Abstand ist also ca. 17.49 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -6 -5 1,2 ) +t ( 1 10 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|103|0) . Nach 1min ist es im Punkt B (6|94|0,3) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor AB = ( -3 -9 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 9 103 0 ) +t ( -3 -9 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,1t +1,2 = 0,3t +0
0,1t +1,2 = 0,3t | -1,2 -0,3t
-0,2t = -1,2 |:(-0,2 )
t = 6

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,16 +1,2 = 1.8 = 0,36 +0


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (92|-16|0) . Nach 3s ist sie im Punkt B (83|-40|0,6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 7 -8 1 ) +t ( 8 -8 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( -9 -24 0.6 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -9 -24 0.6 ) = ( -3 -8 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 92 -16 0 ) +t ( -3 -8 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 7 -8 1 ) +s ( 8 -8 0.1 ) = ( 92 -16 0 ) +t ( -3 -8 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

7+8s= 92-3t-8-8s= -16-8t

8s +3t = 85 (I) -8s +8t = -8 (II)
8s +3t = 85 (I) -8s +8t = -8 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

8s 3t = 85 (I) ( 8 -8 )s +( 3 +8 )t = ( 85 -8 ) (II)
8s +3t = 85 (I) +11t = 77 (II)
Zeile (II): +11t = 77

t = 7

eingesetzt in Zeile (I):

8s +3·(7 ) = 85 | -21
8 s = 64 | : 8

s = 8

L={(8 |7 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 7s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei ( 7 -8 1 ) +8 ( 8 -8 0.1 ) = ( 71 -72 1.8 ) , während die Seilbahngondel nach 7s bei ( 92 -16 0 ) +7 ( -3 -8 0.2 ) = ( 71 -72 1.4 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.4 = 0.4 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|10|50) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-40|-10|60) angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 160m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -20 -20 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -20 10 50 ) +t ( -20 -20 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 160m (also 110m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 110 10 s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|-250|250) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1080km/h in Richtung des Punktes B (-1900|1550|1150) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1080000 m 3600 s = 300 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -1800 1800 900 ) ist (-1800) 2 + 18002 + 900 2 = 7290000 = 2700 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300 m s . braucht er für diese Strecke 2700 300 s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.