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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -40 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-30 | 40 | 60)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 7min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ 100 \\ 90 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-90 | 100 | 90)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | -40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(120 | -200 | 110)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 8s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 30 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 600 \\ -680 \\ 350 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(600 | -680 | 350)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-40 | -40 | 30)$ nach P $(600 | -680 | 350)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 640 \\ -640 \\ 320 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{640^{2} + {(-640)}^{2} + 320^{2}} = \sqrt{921600} = 960$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 40 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-220 | 220 | 190)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -210 \\ 180 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -210 \\ 180 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-70)}^{2} + 60^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$ = 396 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 50 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(90 | 110 | 60)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 540m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 50 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 540m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{540}{60}$ s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(1 | -5 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-29 | -35 | 639)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -30 \\ -15 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-30)}^{2} + {(-30)}^{2} + {(-15)}^{2}} = \sqrt{2025} = 45$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{45}{9}$ s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-15 | -3 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(21 | 15 | -12)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 4,2 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ 18 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ 18 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -15 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{18^{2} + 9^{2} + {(-6)}^{2}} = \sqrt{441} = 21$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=21 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 4.2 km braucht es also $\frac{4200}{21}$ min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3585 \\ 1797 \\ -1200 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3585 | 1797 | -1200)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1200 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 0 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 29 | 6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(2 | 19 | 2)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

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F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -10 \\ -4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -10 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 29 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -10 \\ -2 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -10 \\ 29 \\ 6 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 14 \\ 9 \\ -2 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(24 | -10 | -2)

und P₂

(14 | 9 | -2)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 14 - 24 \\ 9 - (-10) \\ -2 - (-2) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -10 \\ 19 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -10 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-10)}^{2} + 19^{2} + 0^{2}}

=

\sqrt{461}

≈ 21.470910553584

Der Abstand ist also ca. 21.47 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-57 | 127 | 0,2)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-63 | 111 | 1)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -16 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ -16 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -57 \\ 127 \\ 0.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,4 t + 0,2$	\| $- 0,7$ $- 0,4 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,5$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$5$

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 5 + 0,7$ = 2.2 = $0,4 \cdot 5 + 0,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 22 \\ -78 \\ 0,1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 10 | 0,9)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(2 | -6 | 1,3)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -16 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -8 \\ -16 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 22 \\ -78 \\ 0.1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 22 & -3 s & = & 10 & -2 t \\ -78 & +8 s & = & 10 & -4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 3 s & + 2 t & = & - 12 & (I) \\ 8 s & + 4 t & = & 88 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 3 s & + 2 t & = & - 12 & (I) \\ 8 s & + 4 t & = & 88 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $8$ ·(I) + $3$ ·(II)

\begin{matrix} - 3 s & 2 t & = & - 12 & (I) \\ (- 24 + 24) s & + (16 + 12) t & = & (- 96 + 264) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 3 s & + 2 t & = & - 12 & (I) \\ + 28 t & = & 168 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 28 t & = & 168 \end{matrix}

t = $6$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 3 s & + 2 \cdot (6) & = & - 12 \end{matrix}

| -

12

- 3

s =

- 24

| :

(-3)

s = $8$

$L = {(8 | 6)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $(\begin{matrix} 22 \\ -78 \\ 0.1 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -14 \\ 1.7 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 6min bei $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.9 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -14 \\ 1.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1.5 = 0.2 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(360 | -290 | 210)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 1810m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 320 \\ -320 \\ 160 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 320 \\ -320 \\ 160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1810m (also 1760m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1760}{40}$ min = 44min lang steigen (bzw. sinken).

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-290 | 80 | 60)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 14,4 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-80)}^{2} + 40^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{14400}{90}$ s = 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -40 \\ 30 \end{matrix}) + 160 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -12850 \\ 6360 \\ 1630 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-12850 | 6360 | 1630)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1630 (in m).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Höhe nach x Kilometern