Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 20\\ 20\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}680\\ 1100\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(680|1100|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-700\\ 730\\ 680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-700|730|680\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-40|20\right)$ nach P$\left(-700|730|680\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-660\\ 770\\ 660\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-660)}}^2+{770}^2+{660}^2}=\sqrt{1464100}=1210$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 150m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{3136}=56$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{56}}{7}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{36}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4788\\ -4776\\ 2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4788|-4776|2400\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2400 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 17\\ 123\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 7\\ -158\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 17\\ 123\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 9\\ -37\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 121.17 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}28\\ -98\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}9\\ 28\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 28\\ 0.9\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 2.7\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.7 - 1 = 1.7 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 250\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3750\\ -2900\\ 3250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3750|-2900|3250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 84\\ -72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 84\\ -72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.26 km braucht es also $\frac{\mathrm{7260}}{\mathrm{33}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 21\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3960\\ 4626\\ -3960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3960|4626|-3960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -3960 (in m).