Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 100\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2600\\ -2250\\ 1300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2600|-2250|1300\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2500\\ -1750\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2500|-1750|550\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-250|50\right)$ nach P$\left(2500|-1750|550\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}2250\\ -1500\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{2250}^2+{\mathrm{(-1500)}}^2+{500}^2}=\sqrt{7562500}=2750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1330m (also 1320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1320}}{\mathrm{60}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}64\\ 32\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{64}^2+{32}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{72}}{9}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}84\\ -48\\ -48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}84\\ -48\\ -48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{3240}}{\mathrm{27}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2508\\ -1443\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2508|-1443|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}85\\ 10\\ -31\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-37\\ -7\\ 10\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}85\\ 10\\ -31\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}55\\ 6\\ -19\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 97.33 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ -62\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{0,7}$ = 3.7 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{1,7}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-39\\ -51\\ 1.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-39\\ -51\\ 1.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1 = 2.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 150\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5150\\ -3350\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5150|-3350|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|-50|150\right)$ nach P$\left(-5150|-3350|1250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4950\\ -3300\\ 1100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4950)}}^2+{\mathrm{(-3300)}}^2+{1100}^2}=\sqrt{36602500}=6050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 19.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{19800}}{\mathrm{90}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8810\\ -15400\\ 8800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8810|-15400|8800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 8800 (in m).