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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 250 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(750 | 550 | 200)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 600 \\ 300 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 600 \\ 300 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 250 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 150 \\ 250 \\ 0 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3150 \\ 1750 \\ 1000 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3150 | 1750 | 1000)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(90 | 140 | 90)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 7min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 290 \\ 490 \\ 290 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(290 | 490 | 290)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | 0 | 10)$ nach P $(290 | 490 | 290)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 280 \\ 490 \\ 280 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{280^{2} + 490^{2} + 280^{2}} = \sqrt{396900} = 630$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 50 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-250 | 290 | 170)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + 60^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | -20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-100 | -60 | 90)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 290m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -70 \\ -40 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ -20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -40 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 290m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{240}{40}$ s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | -40 | 30)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 324km/h in Richtung des Punktes B $(150 | -220 | 120)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{324000 m}{3600 s}$ = 90 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ ist $\sqrt{180^{2} + {(-180)}^{2} + 90^{2}} = \sqrt{72900} = 270$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{270}{90}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 10 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(240 | 250 | 120)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 18 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{60^{2} + 60^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 18 km braucht es also $\frac{18000}{90}$ s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12000 \\ 12010 \\ 6000 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(12000 | 12010 | 6000)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6000 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(7 | 3 | 4)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(15 | -3 | -4)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 4min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ -8 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -12 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 23 \\ -9 \\ -12 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(24 | -16 | -12)

und P₂

(23 | -9 | -12)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 23 - 24 \\ -9 - (-16) \\ -12 - (-12) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -1 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-1)}^{2} + 7^{2} + 0^{2}}

=

\sqrt{50}

≈ 7.0710678118655

Der Abstand ist also ca. 7.07 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-14 | 59 | 0)$ . Nach 4h ist er im Punkt B $(-2 | 23 | 1,6)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -36 \\ 1.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -36 \\ 1.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -14 \\ 59 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -9 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,8$	=	$0,4 t + 0$
$0,3 t + 0,8$	=	$0,4 t$	\| $- 0,8$ $- 0,4 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,8$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$8$

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 8 + 0,8$ = 3.2 = $0,4 \cdot 8 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0,9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-4 | -8 | 0,3)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-4 | -23 | 1,2)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -15 \\ 0.9 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -15 \\ 0.9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -8 \\ 0.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.9 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -8 \\ 0.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 4 & -2 s & = & -4 & +0 t \\ 5 & -7 s & = & -8 & -5 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 2 s & = & - 8 & (I) \\ - 7 s & + 5 t & = & - 13 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 s & = & - 8 & (I) \\ - 7 s & + 5 t & = & - 13 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $7$ ·(I) $- 2$ ·(II)

\begin{matrix} - 2 s & = & - 8 & (I) \\ (- 14 + 14) s & + (0 - 10) t & = & (- 56 + 26) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 s & = & - 8 & (I) \\ - 10 t & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 10 t & = & - 30 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 2 s & = & - 8 \end{matrix}

s = $4$

$L = {(4 | 3)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 4min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 4min bei $(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0.9 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -7 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -23 \\ 1.3 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 3min bei $(\begin{matrix} -4 \\ -8 \\ 0.3 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -23 \\ 1.2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 1.2 = 0.1 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(139 | -176 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 5min ist er im Punkt B $(-61 | 124 | 0)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 59 \\ 3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 300 \\ 0 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -200 \\ 300 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 60 \\ 0 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 139 \\ -176 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 60 \\ 0 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 10 \\ -2 \\ -2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 59 \\ 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 57 \\ 1 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 139 \\ -176 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 60 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 99 \\ -116 \\ 0 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-30 | 57 | 1)

und P₂

(99 | -116 | 0)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 99 - (-30) \\ -116 - 57 \\ 0 - 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 129 \\ -173 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 129 \\ -173 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{129^{2} + {(-173)}^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{46571}

≈ 215.8031510428

Der Abstand ist also ca. 215.8 m.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(100 | 160 | 130)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 18 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{40^{2} + 70^{2} + 40^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 18 km braucht es also $\frac{18000}{90}$ s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8020 \\ 14020 \\ 8050 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(8020 | 14020 | 8050)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 8050 (in m).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Höhe nach x Kilometern