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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 40 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(120 | -80 | 100)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 4min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 240 \\ -200 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(240 | -200 | 160)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -30 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-70 | 130 | 20)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 4min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 160 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 160 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -150 \\ 290 \\ 40 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-150 | 290 | 40)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | -30 | 0)$ nach P $(-150 | 290 | 40)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 320 \\ 40 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-160)}^{2} + 320^{2} + 40^{2}} = \sqrt{129600} = 360$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 250 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-450 | 1450 | 350)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -600 \\ 1200 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -600 \\ 1200 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 400 \\ 50 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-200)}^{2} + 400^{2} + 50^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(100 | 100 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(1300 | 1300 | 750)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 7950m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1200 \\ 1200 \\ 600 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1200 \\ 1200 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 7950m (also 7800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{7800}{200}$ s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-1 | 5 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25,2km/h in Richtung des Punktes B $(29 | 20 | 644)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{25200 m}{3600 s}$ = 7 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 15 \\ -10 \end{matrix})$ ist $\sqrt{30^{2} + 15^{2} + {(-10)}^{2}} = \sqrt{1225} = 35$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{35}{7}$ s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(12 | 0 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(18 | 6 | -3)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 0,9 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{6^{2} + 6^{2} + {(-3)}^{2}} = \sqrt{81} = 9$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=9 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 0.9 km braucht es also $\frac{900}{9}$ min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 100 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 612 \\ 600 \\ -300 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(612 | 600 | -300)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -300 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 29 \\ 3 \\ -20 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-84 | 3 | 71)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-24 | 3 | 31)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?

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F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ -40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ -40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ -20 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -84 \\ 3 \\ 71 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ -20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 29 \\ 3 \\ -20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 87 \\ 10 \\ -58 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -84 \\ 3 \\ 71 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ -20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 11 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(87 | 10 | -58)

und P₂

(6 | 3 | 11)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 6 - 87 \\ 3 - 10 \\ 11 - (-58) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -81 \\ -7 \\ 69 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -81 \\ -7 \\ 69 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-81)}^{2} + {(-7)}^{2} + 69^{2}}

=

\sqrt{11371}

≈ 106.63489110043

Der Abstand ist also ca. 106.63 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(93 | 11 | 1,2)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(48 | 6 | 3,2)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -45 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -45 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 93 \\ 11 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,4 t + 1,2$	\| $- 0,5$ $- 0,4 t$
$0,1 t$	=	$0,7$	\|: $0,1$
$t$	=	$7$

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 7 + 0,5$ = 4 = $0,4 \cdot 7 + 1,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 42 \\ 53 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(7 | -7 | 1)$ . Nach 3h ist er im Punkt B $(1 | 2 | 1,3)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 9 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 9 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -7 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 42 \\ 53 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 \\ -7 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 42 & -5 s & = & 7 & -2 t \\ 53 & -5 s & = & -7 & +3 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & + 2 t & = & - 35 & (I) \\ - 5 s & - 3 t & = & - 60 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 2 t & = & - 35 & (I) \\ - 5 s & - 3 t & = & - 60 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & 2 t & = & - 35 & (I) \\ (- 5 + 5) s & + (2 + 3) t & = & (- 35 + 60) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 2 t & = & - 35 & (I) \\ + 5 t & = & 25 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 5 t & = & 25 \end{matrix}

t = $5$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & + 2 \cdot (5) & = & - 35 \end{matrix}

| -

10

- 5

s =

- 45

| :

(-5)

s = $9$

$L = {(9 | 5)}$

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $(\begin{matrix} 42 \\ 53 \\ 0 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ 1.8 \end{matrix})$ , während der Heißluftballon F2 nach 5h bei $(\begin{matrix} 7 \\ -7 \\ 1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ 1.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.5 = 0.3 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -20 \\ 29 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 53 | -52)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(10 | -27 | 68)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -80 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -80 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 53 \\ -52 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -20 \\ 29 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -76 \\ 118 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 10 \\ 53 \\ -52 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -27 \\ 68 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(20 | -76 | 118)

und P₂

(10 | -27 | 68)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 10 - 20 \\ -27 - (-76) \\ 68 - 118 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -10 \\ 49 \\ -50 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -10 \\ 49 \\ -50 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-10)}^{2} + 49^{2} + {(-50)}^{2}}

=

\sqrt{5001}

≈ 70.717748832949

Der Abstand ist also ca. 70.72 km.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 20 | 20)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 108km/h in Richtung des Punktes B $(60 | 80 | 50)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{108000 m}{3600 s}$ = 30 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ ist $\sqrt{60^{2} + 60^{2} + 30^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{90}{30}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Geschwindigkeit rückwärts