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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-100|100|100) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (1500|-1500|900) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 9s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 1600 -1600 800 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 1600 -1600 800 ) = ( 400 -400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -100 100 100 ) +t ( 400 -400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -100 100 100 ) +9 ( 400 -400 200 ) = ( 3500 -3500 1900 ) , also im Punkt P(3500|-3500|1900).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|-30|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-330|210|280) angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 11s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -280 240 240 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -280 240 240 ) = ( -70 60 60 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 -30 40 ) +t ( -70 60 60 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 -30 40 ) +11 ( -70 60 60 ) = ( -820 630 700 ) , also im Punkt P(-820|630|700).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|-30|40) nach P(-820|630|700) bewegt, also um den Vektor AP = ( -770 660 660 ) . Dessen Länge ist (-770) 2 + 6602 + 660 2 = 1464100 = 1210m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (200|100|150) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (400|-250|350) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 200 -350 200 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 200 2 + (-350)2 + 200 2 = 202500 = 450.
Die Geschwindigkeit ist also v=450 m s = 1620 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|30|40) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (-170|-150|130) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 760m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor AB = ( -180 -180 90 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -180 -180 90 ) = ( -60 -60 30 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 10 30 40 ) +t ( -60 -60 30 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 760m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 720 30 min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (40|40|40) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 432km/h in Richtung des Punktes B (-120|200|120) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 432000 m 3600 s = 120 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -160 160 80 ) ist (-160) 2 + 1602 + 80 2 = 57600 = 240 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 120 m s . braucht er für diese Strecke 240 120 s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-10|30|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-250|270|170) angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 21,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor AB = ( -240 240 120 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -240 240 120 ) = ( -80 80 40 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( -10 30 50 ) +t ( -80 80 40 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = (-80) 2 + 802 + 40 2 = 14400 = 120.
Die Geschwindigkeit ist also v=120 m s
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also 21600 120 s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -10 30 50 ) +180 ( -80 80 40 ) = ( -14410 14430 7250 ) , also im Punkt P(-14410|14430|7250).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 7250 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -5 7 1 ) +t ( 8 -9 -6 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-7|17|15) . Nach 1s ist sie im Punkt B (1|7|9) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( 8 -10 -6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -7 17 15 ) +t ( 8 -10 -6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P1 ( -5 7 1 ) +3 ( 8 -9 -6 ) = ( 19 -20 -17 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( -7 17 15 ) +3 ( 8 -10 -6 ) = ( 17 -13 -3 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(19|-20|-17) und P2(17|-13|-3):
P1P2 = ( 17-19 -13-( - 20 ) -3-( - 17 ) ) = ( -2 7 14 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -2 7 14 ) | = (-2) 2 + 72 + 14 2 = 249 ≈ 15.779733838059

Der Abstand ist also ca. 15.78 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-68|49|0) . Nach 3s ist sie im Punkt B (-44|28|0,9) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 10 -5 1,6 ) +t ( -6 -9 0,1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( 24 -21 0.9 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 24 -21 0.9 ) = ( 8 -7 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -68 49 0 ) +t ( 8 -7 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,1t +1,6 = 0,3t +0
0,1t +1,6 = 0,3t | -1,6 -0,3t
-0,2t = -1,6 |:(-0,2 )
t = 8

nach 8 s sind also beide auf gleicher Höhe: 0,18 +1,6 = 2.4 = 0,38 +0


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 0 -67 1,6 ) +t ( -1 6 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (6|-7|0,6) . Nach 1h ist er im Punkt B (2|-15|1) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor AB = ( -4 -8 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 6 -7 0.6 ) +t ( -4 -8 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 0 -67 1.6 ) +s ( -1 6 0.2 ) = ( 6 -7 0.6 ) +t ( -4 -8 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

0-1s= 6-4t-67+6s= -7-8t

-1s +4t = 6 (I) 6s +8t = 60 (II)
-1s +4t = 6 (I) 6s +8t = 60 (II)

langsame Rechnung einblenden6·(I) + 1·(II)

-1s 4t = 6 (I) ( -6 +6 )s +( 24 +8 )t = ( 36 +60 ) (II)
-1s +4t = 6 (I) +32t = 96 (II)
Zeile (II): +32t = 96

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

-1s +4·(3 ) = 6 | -12
-1 s = -6 | : (-1)

s = 6

L={(6 |3 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei ( 0 -67 1.6 ) +6 ( -1 6 0.2 ) = ( -6 -31 2.8 ) , während der Heißluftballon F2 nach 3h bei ( 6 -7 0.6 ) +3 ( -4 -8 0.4 ) = ( -6 -31 1.8 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.8 = 1 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|10|20) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (-170|130|80) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 12min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor AB = ( -120 120 60 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -120 120 60 ) = ( -40 40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 10 20 ) +t ( -40 40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 10 20 ) +12 ( -40 40 20 ) = ( -530 490 260 ) , also im Punkt P(-530|490|260).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|10|20) nach P(-530|490|260) bewegt, also um den Vektor AP = ( -480 480 240 ) . Dessen Länge ist (-480) 2 + 4802 + 240 2 = 518400 = 720m.

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|10|10) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (100|-50|50) angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 11min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 120 -60 40 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 120 -60 40 ) = ( 60 -30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -20 10 10 ) +t ( 60 -30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -20 10 10 ) +11 ( 60 -30 20 ) = ( 640 -320 230 ) , also im Punkt P(640|-320|230).