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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -200 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-850 | -650 | 400)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -900 \\ -450 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -900 \\ -450 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -200 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ -200 \\ 100 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1450 \\ -950 \\ 600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1450 | -950 | 600)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -30 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(180 | 150 | 90)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 4min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 180 \\ 90 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ 180 \\ 90 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -30 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 210 \\ 120 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(240 | 210 | 120)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(0 | -30 | 0)$ nach P $(240 | 210 | 120)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{240^{2} + 240^{2} + 120^{2}} = \sqrt{129600} = 360$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(100 | 70 | 30)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{90^{2} + 60^{2} + 20^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{\min}$ = 6.6 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | 0 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-400 | 600 | 500)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 2300m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -600 \\ 600 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -600 \\ 600 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 200 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ 0 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -200 \\ 200 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2300m (also 2100m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{2100}{100}$ s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 0 | 100)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B $(-150 | 150 | 200)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1260000 m}{3600 s}$ = 350 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-300)}^{2} + 150^{2} + 100^{2}} = \sqrt{122500} = 350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{350}{350}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-300 | -170 | 80)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 18 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -320 \\ -160 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -320 \\ -160 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ -10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-80)}^{2} + {(-40)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 18 km braucht es also $\frac{18000}{90}$ s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -10 \\ 40 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15980 \\ -8010 \\ 2040 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-15980 | -8010 | 2040)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2040 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-4 | 6 | 17)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(20 | -2 | -3)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -10 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -8 \\ -20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 24 \\ -8 \\ -20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ 6 \\ 17 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 13 \\ -3 \\ -9 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -4 \\ 6 \\ 17 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(13 | -3 | -9)

und P₂

(8 | 2 | 7)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 8 - 13 \\ 2 - (-3) \\ 7 - (-9) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 16 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ 16 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-5)}^{2} + 5^{2} + 16^{2}}

=

\sqrt{306}

≈ 17.492855684536

Der Abstand ist also ca. 17.49 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ -5 \\ 1,2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(9 | 103 | 0)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(6 | 94 | 0,3)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -9 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ 103 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -9 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 1,2$	=	$0,3 t + 0$
$0,1 t + 1,2$	=	$0,3 t$	\| $- 1,2$ $- 0,3 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$6$

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 6 + 1,2$ = 1.8 = $0,3 \cdot 6 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(92 | -16 | 0)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(83 | -40 | 0,6)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -8 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -8 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -24 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -9 \\ -24 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 92 \\ -16 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 7 \\ -8 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 92 \\ -16 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 7 & +8 s & = & 92 & -3 t \\ -8 & -8 s & = & -16 & -8 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 8 s & + 3 t & = & 85 & (I) \\ - 8 s & + 8 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & + 3 t & = & 85 & (I) \\ - 8 s & + 8 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) + $1$ ·(II)

\begin{matrix} 8 s & 3 t & = & 85 & (I) \\ (8 - 8) s & + (3 + 8) t & = & (85 - 8) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & + 3 t & = & 85 & (I) \\ + 11 t & = & 77 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 11 t & = & 77 \end{matrix}

t = $7$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 8 s & + 3 \cdot (7) & = & 85 \end{matrix}

| -

21

8

s =

64

| : 8

s = $8$

$L = {(8 | 7)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 7s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $(\begin{matrix} 7 \\ -8 \\ 1 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 71 \\ -72 \\ 1.8 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 7s bei $(\begin{matrix} 92 \\ -16 \\ 0 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -8 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 71 \\ -72 \\ 1.4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.4 = 0.4 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-40 | -10 | 60)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 160m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 160m (also 110m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{110}{10}$ s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | -250 | 250)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1080km/h in Richtung des Punktes B $(-1900 | 1550 | 1150)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1080000 m}{3600 s}$ = 300 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1800 \\ 1800 \\ 900 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1800)}^{2} + 1800^{2} + 900^{2}} = \sqrt{7290000} = 2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{2700}{300}$ s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts