Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 410\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-350|410|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1000\\ -950\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1000|-950|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|150|200\right)$ nach P$\left(1000|-950|750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1100\\ -1100\\ 550\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1100}^2+{\mathrm{(-1100)}}^2+{550}^2}=\sqrt{2722500}=1650$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ -200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 2250m (also 2000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2000}}{\mathrm{50}}$s = 40s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-63\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-63)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{6561}=81$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{81}}{9}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{5400}}{\mathrm{54}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 24\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4800\\ -2376\\ 600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4800|-2376|600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 600 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -20\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -20\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}35\\ -31\\ -2\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -24\\ -9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 9.95 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-46\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,5}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-37\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-37\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 16\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-37\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 16\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2 = 1 km

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ 0\\ -56\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ 0\\ -56\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -14\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 7\\ 45\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -14\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ -13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ -14\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 7\\ 45\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -14\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 31\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.36 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -15\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -15\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}41\\ -17\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 8+\mathrm{0,5}$ = 4.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 8+\mathrm{1,3}$