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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | 100 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(1000 | 1500 | 1450)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1200 \\ 1400 \\ 1200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1200 \\ 1400 \\ 1200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ 100 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 100 \\ 250 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2800 \\ 3600 \\ 3250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2800 | 3600 | 3250)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -100 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-150 | -300 | 300)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 2s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -100 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ -100 \\ 200 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -350 \\ -500 \\ 400 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-350 | -500 | 400)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(50 | -100 | 200)$ nach P $(-350 | -500 | 400)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-400)}^{2} + {(-400)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 150 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1450 | -1450 | 950)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1600 \\ -1600 \\ 800 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1600 \\ -1600 \\ 800 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-400)}^{2} + {(-400)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=600 $\frac{m}{s}$ = 2160 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -50 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-90 | -90 | 40)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 180m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -50 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 180m (also 160m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{160}{20}$ s = 8s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -40 | 40)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 108km/h in Richtung des Punktes B $(-100 | -160 | 100)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{108000 m}{3600 s}$ = 30 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -120 \\ 60 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-120)}^{2} + {(-120)}^{2} + 60^{2}} = \sqrt{32400} = 180$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{180}{30}$ s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 10 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-120 | -230 | 40)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 7,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -240 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -240 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-40)}^{2} + {(-80)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{7200}{90}$ s = 80s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 10 \end{matrix}) + 80 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3200 \\ -6390 \\ 810 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-3200 | -6390 | 810)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 810 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -30 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-23 | 21 | 93)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(13 | 9 | 3)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ -12 \\ -90 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ -12 \\ -90 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -30 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -23 \\ 21 \\ 93 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 29 \\ 2 \\ -59 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -23 \\ 21 \\ 93 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 13 \\ 33 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(29 | 2 | -59)

und P₂

(1 | 13 | 33)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 1 - 29 \\ 13 - 2 \\ 33 - (-59) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -28 \\ 11 \\ 92 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -28 \\ 11 \\ 92 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-28)}^{2} + 11^{2} + 92^{2}}

=

\sqrt{9369}

≈ 96.79359482941

Der Abstand ist also ca. 96.79 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ -9 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ -5 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-27 | -13 | 0,2)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-21 | -17 | 0,6)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -27 \\ -13 \\ 0.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,4 t + 0,2$	\| $- 0,7$ $- 0,4 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,5$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$5$

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 5 + 0,7$ = 2.2 = $0,4 \cdot 5 + 0,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-29 | 45 | 2,6)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-38 | 33 | 3,2)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -9 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -29 \\ 45 \\ 2.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -29 \\ 45 \\ 2.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 10 & -5 s & = & -29 & -3 t \\ 10 & +3 s & = & 45 & -4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & + 3 t & = & - 39 & (I) \\ 3 s & + 4 t & = & 35 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 3 t & = & - 39 & (I) \\ 3 s & + 4 t & = & 35 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $3$ ·(I) + $5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & 3 t & = & - 39 & (I) \\ (- 15 + 15) s & + (9 + 20) t & = & (- 117 + 175) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 3 t & = & - 39 & (I) \\ + 29 t & = & 58 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 29 t & = & 58 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & + 3 \cdot (2) & = & - 39 \end{matrix}

| -

6

- 5

s =

- 45

| :

(-5)

s = $9$

$L = {(9 | 2)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 0.6 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -35 \\ 37 \\ 4.2 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 2min bei $(\begin{matrix} -29 \\ 45 \\ 2.6 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -35 \\ 37 \\ 3 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 3 = 1.2 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | 14 | 17)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(28 | 4 | -8)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -10 \\ -25 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 30 \\ -10 \\ -25 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 14 \\ 17 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 7 \\ -19 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -2 \\ 14 \\ 17 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(24 | 7 | -19)

und P₂

(22 | 6 | -3)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 22 - 24 \\ 6 - 7 \\ -3 - (-19) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 16 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 16 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-2)}^{2} + {(-1)}^{2} + 16^{2}}

=

\sqrt{261}

≈ 16.155494421404

Der Abstand ist also ca. 16.16 km.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-6 | 9 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(66 | 81 | -36)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 8,64 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 72 \\ 72 \\ -36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 72 \\ 72 \\ -36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{24^{2} + 24^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=36 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{8640}{36}$ min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + 240 \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5754 \\ 5769 \\ -2880 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(5754 | 5769 | -2880)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Höhe nach x Kilometern