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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(200 | -130 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 440 \\ -370 \\ 250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(440 | -370 | 250)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 250 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(750 | -450 | 750)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 12s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 600 \\ -700 \\ 600 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 600 \\ -700 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ -350 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 250 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ -350 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 150 \\ 250 \\ 150 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 300 \\ -350 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3750 \\ -3950 \\ 3750 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3750 | -3950 | 3750)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(150 | 250 | 150)$ nach P $(3750 | -3950 | 3750)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 3600 \\ -4200 \\ 3600 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{3600^{2} + {(-4200)}^{2} + 3600^{2}} = \sqrt{43560000} = 6600$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-80 | -140 | 130)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -140 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -140 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + {(-70)}^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$ = 396 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(40 | -30 | 70)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 310m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 310m (also 260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{260}{20}$ min = 13min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-5 | 2 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-29 | -22 | 642)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ -24 \\ -12 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-24)}^{2} + {(-24)}^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{36}{9}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-3 | -15 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(81 | 33 | -48)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 4,86 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 84 \\ 48 \\ -48 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 84 \\ 48 \\ -48 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{21^{2} + 12^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{729} = 27$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=27 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 4.86 km braucht es also $\frac{4860}{27}$ min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + 180 \cdot (\begin{matrix} 21 \\ 12 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3777 \\ 2145 \\ -2160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(3777 | 2145 | -2160)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2160 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(16 | 31 | -4)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(12 | 1 | 8)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -30 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 4min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 16 \\ 31 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 9 \\ -1 \\ 2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -30 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -121 \\ 46 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 16 \\ 31 \\ -4 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -30 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -89 \\ 44 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(1 | -121 | 46)

und P₂

(0 | -89 | 44)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 0 - 1 \\ -89 - (-121) \\ 44 - 46 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -1 \\ 32 \\ -2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -1 \\ 32 \\ -2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-1)}^{2} + 32^{2} + {(-2)}^{2}}

=

\sqrt{1029}

≈ 32.078029864691

Der Abstand ist also ca. 32.08 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ -6 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 9 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(14 | 77 | 2,6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(8 | 67 | 3)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -10 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ -10 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -5 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 14 \\ 77 \\ 2.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -5 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,2 t + 2,6$	\| $- 0,6$ $- 0,2 t$
$0,2 t$	=	$2$	\|: $0,2$
$t$	=	$10$

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 10 + 0,6$ = 4.6 = $0,2 \cdot 10 + 2,6$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-86 | -42 | 2,3)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(-54 | -18 | 2,7)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -6 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 24 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 32 \\ 24 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -86 \\ -42 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 10 \\ -6 \\ 0.7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -86 \\ -42 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 10 & -6 s & = & -86 & +8 t \\ -6 & +0 s & = & -42 & +6 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 6 s & - 8 t & = & - 96 & (I) \\ - 6 t & = & - 36 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 6 s & - 8 t & = & - 96 & (I) \\ - 6 t & = & - 36 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 6 s & - 8 t & = & - 96 & (I) \\ 0 s & - 6 t & = & - 36 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 6 s & - 8 t & = & - 96 & (I) \\ - 6 t & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 6 t & = & - 36 \end{matrix}

t = $6$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 6 s & - 8 \cdot (6) & = & - 96 \end{matrix}

| +

48

- 6

s =

- 48

| :

(-6)

s = $8$

$L = {(8 | 6)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 6s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $(\begin{matrix} 10 \\ -6 \\ 0.7 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -38 \\ -6 \\ 3.1 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 6s bei $(\begin{matrix} -86 \\ -42 \\ 2.3 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -38 \\ -6 \\ 2.9 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.1 - 2.9 = 0.2 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(290 | -110 | 70)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 430m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ -120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 430m (also 390m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{390}{10}$ min = 39min lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 3 \\ 59 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(135 | 10 | -176)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(-65 | 10 | 124)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 0 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -200 \\ 0 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 60 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 135 \\ 10 \\ -176 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 3 \\ 59 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -34 \\ 11 \\ 57 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 135 \\ 10 \\ -176 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 95 \\ 10 \\ -116 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-34 | 11 | 57)

und P₂

(95 | 10 | -116)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 95 - (-34) \\ 10 - 11 \\ -116 - 57 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 129 \\ -1 \\ -173 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 129 \\ -1 \\ -173 \end{matrix}) |

=

\sqrt{129^{2} + {(-1)}^{2} + {(-173)}^{2}}

=

\sqrt{46571}

≈ 215.8031510428

Der Abstand ist also ca. 215.8 m.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

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Geschwindigkeit rückwärts

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Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Abstand zweier Objekte