Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-310\\ 450\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-310|450|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -30\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}670\\ 330\\ 360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(670|330|360\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|-30|0\right)$ nach P$\left(670|330|360\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}630\\ 360\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{630}^2+{360}^2+{360}^2}=\sqrt{656100}=810$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{30}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 650m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{100}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}49\\ 28\\ -28\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{49}^2+{28}^2+{\mathrm{(-28)}}^2}=\sqrt{3969}=63$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{63}}{9}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5772\\ -5754\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5772|-5754|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}36\\ -11\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 62\\ -9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}36\\ -11\\ 12\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 49\\ -8\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 29.09 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -27\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -27\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-85\\ 50\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,7}$ = 2.5 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}24\\ -49\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}24\\ -49\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 2.1\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 1.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.1 = 1 km

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -10\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -10\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ -3\\ 23\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -9\\ 26\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.22 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5778\\ -5742\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5778|-5742|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).