Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -150\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1250\\ 1050\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1250|1050|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 20\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-140\\ -200\\ 50\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-140|-200|50\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|40|20\right)$ nach P$\left(-140|-200|50\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-120)}}^2+{\mathrm{(-240)}}^2+{30}^2}=\sqrt{72900}=270$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{90}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 550m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{30}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 36\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{36}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{1936}=44$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{44}}{\mathrm{11}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 96\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 96\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{48}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 12.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{12960}}{\mathrm{54}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5760\\ 11532\\ 1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5760|11532|1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-33\\ 4\\ 33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ -9\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}45\\ -17\\ -39\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-33\\ 4\\ 33\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ -7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 44.15 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ -30\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ -30\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}45\\ 40\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,2}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -45\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -45\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}34\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 0.9\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ -5\\ 1.3\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}34\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 0.6 = 0.7 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-440\\ -200\\ 50\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-440|-200|50\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 30\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}760\\ -360\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(760|-360|130\right)$.