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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-210 | 130 | 70)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 10min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 120 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 120 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -770 \\ 410 \\ 140 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-770 | 410 | 140)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-60 | 50 | 90)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 2s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 40 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -130 \\ 90 \\ 130 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-130 | 90 | 130)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | 10 | 50)$ nach P $(-130 | 90 | 130)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -140 \\ 80 \\ 80 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-140)}^{2} + 80^{2} + 80^{2}} = \sqrt{32400} = 180$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | -200 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-600 | -1000 | 550)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -800 \\ -800 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -800 \\ -800 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-400)}^{2} + {(-400)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=600 $\frac{m}{s}$ = 2160 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -20 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(280 | -200 | 100)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 400m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 270 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 270 \\ -180 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 400m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{360}{20}$ min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | 200 | 50)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B $(-1450 | 800 | 200)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1620000 m}{3600 s}$ = 450 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ 600 \\ 150 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1200)}^{2} + 600^{2} + 150^{2}} = \sqrt{1822500} = 1350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1350}{450}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-9 | 9 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(-27 | -9 | -9)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,08 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -18 \\ -18 \\ -9 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -18 \\ -18 \\ -9 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-18)}^{2} + {(-18)}^{2} + {(-9)}^{2}} = \sqrt{729} = 27$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=27 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also $\frac{1080}{27}$ min = 40min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + 40 \cdot (\begin{matrix} -18 \\ -18 \\ -9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -729 \\ -711 \\ -360 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-729 | -711 | -360)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -360 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 2 | 18)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(17 | -2 | 8)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -6 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 9 \\ -6 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 14 \\ -6 \\ -5 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 18 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 0 \\ 13 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(14 | -6 | -5)

und P₂

(11 | 0 | 13)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 11 - 14 \\ 0 - (-6) \\ 13 - (-5) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -3 \\ 6 \\ 18 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -3 \\ 6 \\ 18 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-3)}^{2} + 6^{2} + 18^{2}}

=

\sqrt{369}

≈ 19.209372712299

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 4 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(33 | 8 | 2,7)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(-7 | 23 | 3,2)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 15 \\ 0.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -40 \\ 15 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 33 \\ 8 \\ 2.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ 3 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,1 t + 2,7$	\| $- 0,7$ $- 0,1 t$
$0,2 t$	=	$2$	\|: $0,2$
$t$	=	$10$

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 10 + 0,7$ = 3.7 = $0,1 \cdot 10 + 2,7$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-28 | 15 | 1,1)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(-12 | 9 | 1,7)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 16 \\ -6 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ -6 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -28 \\ 15 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -28 \\ 15 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -5 & -5 s & = & -28 & +8 t \\ 9 & +1 s & = & 15 & -3 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & - 8 t & = & - 23 & (I) \\ s & + 3 t & = & 6 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 8 t & = & - 23 & (I) \\ s & + 3 t & = & 6 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) + $5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & - 8 t & = & - 23 & (I) \\ (- 5 + 5) s & + (- 8 + 15) t & = & (- 23 + 30) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & - 8 t & = & - 23 & (I) \\ + 7 t & = & 7 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 7 t & = & 7 \end{matrix}

t = $1$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & - 8 \cdot (1) & = & - 23 \end{matrix}

| +

8

- 5

s =

- 15

| :

(-5)

s = $3$

$L = {(3 | 1)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 3s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 3s bei $(\begin{matrix} -5 \\ 9 \\ 0.6 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 12 \\ 1.8 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 1s bei $(\begin{matrix} -28 \\ 15 \\ 1.1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 12 \\ 1.4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.4 = 0.4 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-18 | 35 | 21)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-2 | 7 | 9)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -13 \\ -6 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 16 \\ -28 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ -28 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -18 \\ 35 \\ 21 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -8 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -13 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -19 \\ -11 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -18 \\ 35 \\ 21 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -14 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 9 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(8 | -19 | -11)

und P₂

(-2 | 7 | 9)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -2 - 8 \\ 7 - (-19) \\ 9 - (-11) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -10 \\ 26 \\ 20 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -10 \\ 26 \\ 20 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-10)}^{2} + 26^{2} + 20^{2}}

=

\sqrt{1176}

≈ 34.292856398964

Der Abstand ist also ca. 34.29 m.

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | -40 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(-210 | 200 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 11min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 240 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -40 \\ 10 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -630 \\ 620 \\ 340 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-630 | 620 | 340)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Ort nach t Zeiteinheiten