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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-170 | 90 | 90)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 4min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ 60 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ 60 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 30 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -290 \\ 150 \\ 130 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-290 | 150 | 130)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -20 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-130 | 60 | 80)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 11s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -930 \\ 860 \\ 480 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-930 | 860 | 480)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-50 | -20 | 40)$ nach P $(-930 | 860 | 480)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -880 \\ 880 \\ 440 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-880)}^{2} + 880^{2} + 440^{2}} = \sqrt{1742400} = 1320$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 50 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-10 | 10 | 40)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-20)}^{2} + {(-20)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{900} = 30$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=30 $\frac{m}{s}$ = 108 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | 200 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(650 | -850 | 950)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 9950m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 900 \\ -1050 \\ 900 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 900 \\ -1050 \\ 900 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ -350 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -250 \\ 200 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ -350 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 9950m (also 9900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{9900}{300}$ s = 33s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | 200 | 250)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B $(-450 | -100 | 400)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1620000 m}{3600 s}$ = 450 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-300)}^{2} + {(-300)}^{2} + 150^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{450}{450}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | -15 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(-21 | 9 | -12)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 7,92 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-24)}^{2} + 24^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=36 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{7920}{36}$ min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + 220 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5277 \\ 5265 \\ -2640 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-5277 | 5265 | -2640)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2640 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(1 | -7 | 10)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-15 | 25 | -14)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 32 \\ -24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -16 \\ 32 \\ -24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ -7 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15 \\ 30 \\ -24 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 1 \\ -7 \\ 10 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15 \\ 25 \\ -14 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-15 | 30 | -24)

und P₂

(-15 | 25 | -14)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -15 - (-15) \\ 25 - 30 \\ -14 - (-24) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 10 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 10 \end{matrix}) |

=

\sqrt{0^{2} + {(-5)}^{2} + 10^{2}}

=

\sqrt{125}

≈ 11.180339887499

Der Abstand ist also ca. 11.18 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(7 | 58 | 1,6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(17 | 42 | 1,8)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -16 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 10 \\ -16 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ 58 \\ 1.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 0,8$	=	$0,1 t + 1,6$	\| $- 0,8$ $- 0,1 t$
$0,1 t$	=	$0,8$	\|: $0,1$
$t$	=	$8$

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 8 + 0,8$ = 2.4 = $0,1 \cdot 8 + 1,6$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | 5 | 0,7)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(-14 | -7 | 1,3)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -12 \\ 13 \\ 1,3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -10 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -12 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -12 \\ -12 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 5 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -12 \\ 13 \\ 1.3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -10 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 5 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -12 & -1 s & = & -2 & -6 t \\ 13 & -10 s & = & 5 & -6 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 1 s & + 6 t & = & 10 & (I) \\ - 10 s & + 6 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 1 s & + 6 t & = & 10 & (I) \\ - 10 s & + 6 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $10$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} - 1 s & 6 t & = & 10 & (I) \\ (- 10 + 10) s & + (60 - 6) t & = & (100 + 8) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 1 s & + 6 t & = & 10 & (I) \\ + 54 t & = & 108 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 54 t & = & 108 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 1 s & + 6 \cdot (2) & = & 10 \end{matrix}

| -

12

- 1

s =

- 2

| :

(-1)

s = $2$

$L = {(2 | 2)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei $(\begin{matrix} -12 \\ 13 \\ 1.3 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -10 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -7 \\ 1.5 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 2s bei $(\begin{matrix} -2 \\ 5 \\ 0.7 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -7 \\ 1.3 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.5 - 1.3 = 0.2 m

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-70 | 260 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 12s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ 240 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ 240 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -30 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ 20 \\ 50 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} -30 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -310 \\ 740 \\ 290 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-310 | 740 | 290)$ .

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | -5 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(51 | -53 | 630)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 48 \\ -48 \\ -24 \end{matrix})$ ist $\sqrt{48^{2} + {(-48)}^{2} + {(-24)}^{2}} = \sqrt{5184} = 72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{72}{9}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts