Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-990\\ -670\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-990|-670|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}570\\ -850\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(570|-850|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-40|30\right)$ nach P$\left(570|-850|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}540\\ -810\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{540}^2+{\mathrm{(-810)}}^2+{180}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{400}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$.
Die Geschwindigkeit ist also v=600$\frac{m}{s}$ = 2160$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 450m (also 420m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{420}}{\mathrm{20}}$min = 21min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{21}}{7}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{30}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 30\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4850\\ -4760\\ 2430\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4850|-4760|2430\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2430 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ -20\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -24\\ 29\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ -20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 29\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 87\\ -60\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -24\\ 29\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 66\\ -31\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 36.48 km.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ -46\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 10+\mathrm{0,5}$ = 5.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{1,5}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}32\\ 30\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 30\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 42\\ 2.6\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}32\\ 30\\ 1.3\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 42\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2.2 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}210\\ -130\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(210|-130|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -1600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -1600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -100\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ -100\\ 200\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1550\\ -3700\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1550|-3700|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-250|-100|200\right)$ nach P$\left(1550|-3700|650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ -3600\\ 450\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1800}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{450}^2}=\sqrt{16402500}=4050$m.