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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | 0 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(600 | 400 | 250)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 8s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 50 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ 0 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 50 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 200 \\ 0 \\ 50 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 50 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1000 \\ 800 \\ 450 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(1000 | 800 | 450)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 20 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(110 | -220 | 70)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 9min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 120 \\ -240 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 120 \\ -240 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 20 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 20 \\ 40 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 350 \\ -700 \\ 130 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(350 | -700 | 130)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | 20 | 40)$ nach P $(350 | -700 | 130)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 360 \\ -720 \\ 90 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{360^{2} + {(-720)}^{2} + 90^{2}} = \sqrt{656100} = 810$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -40 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(20 | -60 | 60)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-20)}^{2} + {(-20)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{900} = 30$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=30 $\frac{m}{s}$ = 108 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(230 | -190 | 140)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1130m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1130m (also 1080m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1080}{30}$ s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | -50 | 200)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B $(-1900 | 1450 | 1700)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1980000 m}{3600 s}$ = 550 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1750 \\ 1500 \\ 1500 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1750)}^{2} + 1500^{2} + 1500^{2}} = \sqrt{7562500} = 2750$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{2750}{550}$ s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(24 | 0 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 3min ist er im Punkt B $(-48 | 72 | 36)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 6,48 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -72 \\ 72 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -72 \\ 72 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-24)}^{2} + 24^{2} + 12^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=36 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{6480}{36}$ min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 180 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4296 \\ 4320 \\ 2160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-4296 | 4320 | 2160)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2160 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(1 | 4 | 6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-3 | 16 | -4)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

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F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ -1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 13 \\ -6 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 1 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-2 | 13 | -6)

und P₂

(-1 | 10 | 1)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -1 - (-2) \\ 10 - 13 \\ 1 - (-6) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 7 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 7 \end{matrix}) |

=

\sqrt{1^{2} + {(-3)}^{2} + 7^{2}}

=

\sqrt{59}

≈ 7.6811457478686

Der Abstand ist also ca. 7.68 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 10 \\ 1,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -5 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 10 | 0)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-6 | 7 | 1,2)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -3 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -9 \\ -3 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 1,6$	=	$0,4 t + 0$
$0,2 t + 1,6$	=	$0,4 t$	\| $- 1,6$ $- 0,4 t$
$- 0,2 t$	=	$- 1,6$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$8$

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 8 + 1,6$ = 3.2 = $0,4 \cdot 8 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ -10 \\ 0,9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -8 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-48 | -63 | 0,2)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-38 | -28 | 1,2)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 35 \\ 1 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 10 \\ 35 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -48 \\ -63 \\ 0.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -6 \\ -10 \\ 0.9 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -48 \\ -63 \\ 0.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 0.2 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -6 & -9 s & = & -48 & +2 t \\ -10 & -8 s & = & -63 & +7 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 9 s & - 2 t & = & - 42 & (I) \\ - 8 s & - 7 t & = & - 53 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 9 s & - 2 t & = & - 42 & (I) \\ - 8 s & - 7 t & = & - 53 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $8$ ·(I) $- 9$ ·(II)

\begin{matrix} - 9 s & - 2 t & = & - 42 & (I) \\ (- 72 + 72) s & + (- 16 + 63) t & = & (- 336 + 477) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 9 s & - 2 t & = & - 42 & (I) \\ + 47 t & = & 141 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 47 t & = & 141 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 9 s & - 2 \cdot (3) & = & - 42 \end{matrix}

| +

6

- 9

s =

- 36

| :

(-9)

s = $4$

$L = {(4 | 3)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 4min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 4min bei $(\begin{matrix} -6 \\ -10 \\ 0.9 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -9 \\ -8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -42 \\ -42 \\ 1.3 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 3min bei $(\begin{matrix} -48 \\ -63 \\ 0.2 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -42 \\ -42 \\ 0.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 0.8 = 0.5 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(19 | 0 | -5)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-11 | -12 | 31)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -12 \\ 36 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -30 \\ -12 \\ 36 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 19 \\ 0 \\ -5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ -1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ -10 \\ 10 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 19 \\ 0 \\ -5 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -4 \\ 7 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-9 | -10 | 10)

und P₂

(9 | -4 | 7)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 9 - (-9) \\ -4 - (-10) \\ 7 - 10 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 18 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 18 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}) |

=

\sqrt{18^{2} + 6^{2} + {(-3)}^{2}}

=

\sqrt{369}

≈ 19.209372712299

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 12 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 1min ist er im Punkt B $(-36 | 48 | 18)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 5,4 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-36)}^{2} + 36^{2} + 18^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{5400}{54}$ min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) + 100 \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3600 \\ 3612 \\ 1800 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-3600 | 3612 | 1800)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1800 (in m).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Höhe nach x Kilometern