Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}500\\ -460\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(500|-460|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ -800\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ -800\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ -150\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3050\\ -1750\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3050|-1750|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(150|-150|50\right)$ nach P$\left(-3050|-1750|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3200\\ -1600\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3200)}}^2+{\mathrm{(-1600)}}^2+{400}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 370m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{320}}{\mathrm{10}}$s = 32s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{300}^2+{\mathrm{(-450)}}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{110}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}63\\ -54\\ -54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}63\\ -54\\ -54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.28 km braucht es also $\frac{\mathrm{5280}}{\mathrm{33}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3360\\ -2892\\ -2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3360|-2892|-2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -1\\ -2\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 7.68 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -32\\ 2.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 9+\mathrm{0,6}$ = 4.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{2,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 83\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 83\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 7h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 27\\ 2.3\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 83\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 27\\ 2.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 2.1 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-210\\ -230\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-210|-230|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-30|30\right)$ nach P$\left(-210|-230|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 200\\ 50\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}750\\ 600\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(750|600|150\right)$.