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Kursstufe
cosh
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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 5s?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 7min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=150
= 540
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1400m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 1400m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also s = 24s lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 110.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110. braucht er für diese Strecke
s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 2,7 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=27
Für die Strecke von 2.7 km braucht es also min
= 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -300 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A . Nach 3s ist sie im Punkt B angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?
Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 = ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 17.75 m.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 5 h sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
1.8 - 0.2 = 1.6 km
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie weit ist die Rakete nach 8s geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 11 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=110
Für die Strecke von 11 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2020 (in m).