Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}910\\ -590\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(910|-590|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}490\\ 540\\ 490\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(490|540|490\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-20|10\right)$ nach P$\left(490|540|490\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ 560\\ 480\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{560}^2+{480}^2}=\sqrt{774400}=880$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ 800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{400}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 360m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{320}}{\mathrm{40}}$min = 8min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1260000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 350$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2700\\ 1350\\ 900\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{2700}^2+{1350}^2+{900}^2}=\sqrt{9922500}=3150$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3150}}{\mathrm{350}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.28 km braucht es also $\frac{\mathrm{5280}}{\mathrm{33}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3369\\ -2874\\ -2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3369|-2874|-2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 17\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -2\\ -9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 17\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 1\\ 8\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 18.28 m.

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ 8\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 8\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}59\\ -38\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,7}$ = 1.9 = $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 1.4\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 4.1\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 3\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.1 - 1.4 = 2.7 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}380\\ -720\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(380|-720|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|0|40\right)$ nach P$\left(380|-720|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -720\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{360}^2+{\mathrm{(-720)}}^2+{240}^2}=\sqrt{705600}=840$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also $\frac{\mathrm{5760}}{\mathrm{72}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3864\\ 3810\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3864|3810|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).