Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-240\\ -210\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-240|-210|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -210\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-200|-210|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-10|20\right)$ nach P$\left(-200|-210|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{90}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 140m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}42\\ 63\\ -14\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{42}^2+{63}^2+{\mathrm{(-14)}}^2}=\sqrt{5929}=77$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{77}}{\mathrm{11}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{12}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{3960}}{\mathrm{18}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2643\\ 2628\\ -1320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2643|2628|-1320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1320 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -15\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 1\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ -4\\ -26\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 1\\ 11\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ -9\\ -14\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 13.93 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}35\\ 35\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}35\\ 35\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-67\\ -37\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}96\\ -16\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}96\\ -16\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}56\\ -24\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}96\\ -16\\ 1.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}56\\ -24\\ 2.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.4 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 100\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1600\\ -2450\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1600|-2450|700\right)$.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}61\\ -39\\ 0.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}61\\ -39\\ 0.1\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -11\\ 2.9\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -11\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 2.2 = 0.7 km