Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}390\\ -230\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(390|-230|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1000\\ 1200\\ 800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1000|1200|800\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|100|250\right)$ nach P$\left(1000|1200|800\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1100\\ 1100\\ 550\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1100}^2+{1100}^2+{550}^2}=\sqrt{2722500}=1650$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{60}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 910m (also 880m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{880}}{\mathrm{20}}$min = 44min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{12}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}162\\ -108\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}162\\ -108\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{54}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{\mathrm{7920}}{\mathrm{66}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6504\\ -4344\\ 1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6504|-4344|1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 20\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -12\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -35\\ 22\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 20\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -16\\ 23\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.26 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -30\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -30\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 56\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{1,6}$ = 3.2 = $\mathrm{0,4}\cdot 8+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -20\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -20\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}12\\ 10\\ 2.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}12\\ 10\\ 2.4\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -46\\ 4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -46\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 2.2 = 1.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-740\\ 1060\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-740|1060|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-20|40\right)$ nach P$\left(-740|1060|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-720\\ 1080\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-720)}}^2+{1080}^2+{240}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-630\\ 420\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-630|420|150\right)$.