Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}190\\ -250\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(190|-250|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}370\\ 770\\ 140\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(370|770|140\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|50|50\right)$ nach P$\left(370|770|140\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ 720\\ 90\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{360}^2+{720}^2+{90}^2}=\sqrt{656100}=810$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{30}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 7350m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{200}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}640\\ -320\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{640}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{90}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{\mathrm{27}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 15\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1683\\ -945\\ -960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1683|-945|-960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -960 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -8\\ 18\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ -10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 14\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.7 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 26\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{0,8}$ = 2.6 = $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{1,7}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ -9\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -9\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ -3\\ 5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}19\\ -9\\ 1.5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ -3\\ 3.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 3.9 = 1.1 km

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 60\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 60\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}46\\ -48\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 29\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-43\\ 64\\ 5\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}46\\ -48\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 71.56 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}650\\ 590\\ 340\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(650|590|340\right)$.