Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}310\\ 210\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(310|210|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 200\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 200\\ 150\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 800\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-350|800|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|200|150\right)$ nach P$\left(-350|800|450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-600)}}^2+{600}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 1850m (also 1650m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1650}}{\mathrm{50}}$s = 33s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}49\\ -42\\ -42\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{49}^2+{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-42)}}^2}=\sqrt{5929}=77$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{77}}{\mathrm{11}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-70)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 17.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{17600}}{\mathrm{110}}$s = 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9560\\ -11210\\ 9630\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9560|-11210|9630\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 9630 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -12\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 33\\ -11\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ -12\\ 9\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 20\\ -7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 21 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}73\\ -21\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{0,7}$ = 3.1 = $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{1,5}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 36\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 36\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}41\\ 2\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}41\\ 2\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 29\\ 2.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}41\\ 2\\ 1.1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 29\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2 = 0.6 m

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}98\\ -40\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 16\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 17\\ 0\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}98\\ -40\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -24\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 96.31 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 11.88 km braucht es also $\frac{\mathrm{11880}}{\mathrm{66}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -6\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7536\\ -6486\\ 6480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7536|-6486|6480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6480 (in m).