Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 250\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1700\\ 1000\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1700|1000|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-690\\ -630\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-690|-630|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|10|30\right)$ nach P$\left(-690|-630|350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-640\\ -640\\ 320\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-640)}}^2+{\mathrm{(-640)}}^2+{320}^2}=\sqrt{921600}=960$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 970m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{40}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 640\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-320)}}^2+{640}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{90}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}84\\ 72\\ 72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}84\\ 72\\ 72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{36}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.28 km braucht es also $\frac{\mathrm{5280}}{\mathrm{66}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3378\\ 2880\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3378|2880|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 53\\ -13\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -15\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 9\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}3\\ 53\\ -13\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 23\\ -1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.31 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}95\\ -58\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 10+1$ = 2 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+0$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-25\\ 120\\ 2.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-25\\ 120\\ 2.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 50\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 50\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.2 = 0.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 0\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}720\\ -410\\ 440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(720|-410|440\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{54}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -24\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4350\\ -4344\\ 2160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4350|-4344|2160\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2160 (in m).