Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 150\\ 250\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}700\\ -1200\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(700|-1200|550\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}830\\ 430\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(830|430|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|30|20\right)$ nach P$\left(830|430|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 400\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{800}^2+{400}^2+{100}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 480m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{30}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{300}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{21600}}{\mathrm{90}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 10\\ 50\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16760\\ -9590\\ 9650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(16760|-9590|9650\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 9650 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-47\\ 38\\ -30\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 28\\ -10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 26.93 km.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -15\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -15\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ -28\\ 1.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,7}$ = 2.5 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,9}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 91\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 91\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 2\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 94\\ 2.9\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-16\\ 91\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 94\\ 0.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 0.3 = 2.6 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-110\\ -90\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-110|-90|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 820m (also 800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{800}}{\mathrm{20}}$min = 40min lang steigen (bzw. sinken).