Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-380\\ -680\\ 380\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-380|-680|380\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -200\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2050\\ -3800\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2050|-3800|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-200|50\right)$ nach P$\left(2050|-3800|1250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ -3600\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1800}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{1200}^2}=\sqrt{17640000}=4200$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 9250m (also 9000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{9000}}{\mathrm{300}}$s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-16)}}^2+8^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{324}=18$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{18}}{9}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{27}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3828\\ 1905\\ -480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3828|1905|-480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -480 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 48\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -193\\ 25\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 48\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -40\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -152\\ 32\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 41.79 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -90\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{1,1}$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 9\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 9\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-48\\ -11\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 10\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ -11\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 10\\ 0.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-88\\ 1\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-48\\ -11\\ 0.1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-88\\ 1\\ 1.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1.7 = 1.7 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 40\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}480\\ 440\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(480|440|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-40|40\right)$ nach P$\left(480|440|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ 480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{480}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{144}=12$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{12}}{6}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.