Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 150\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2950\\ 3250\\ 2850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2950|3250|2850\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-590\\ -320\\ 180\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-590|-320|180\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-50|0\right)$ nach P$\left(-590|-320|180\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-540\\ -270\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-540)}}^2+{\mathrm{(-270)}}^2+{180}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{450}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1200m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{30}}$s = 40s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{10800\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 3$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{324}=18$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{18}}{3}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-63\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-63\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{27}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -9\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5055\\ -2889\\ -2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5055|-2889|-2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 16\\ -8\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 14\\ -6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.28 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -64\\ 2.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{0,7}$ = 2.8 = $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{2,1}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 20\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-41\\ 53\\ 1.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-41\\ 53\\ 1.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 11\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 11\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.2 = 1.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}490\\ 570\\ 300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(490|570|300\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}84\\ 48\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}84\\ 48\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{54}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 24\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5010\\ 2910\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5010|2910|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).