Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-590\\ 500\\ 510\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-590|500|510\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}220\\ 560\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(220|560|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|20|30\right)$ nach P$\left(220|560|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ 540\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{270}^2+{540}^2+{180}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 210m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{10}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{110}}{\mathrm{110}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{27}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{\mathrm{7920}}{\mathrm{33}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6471\\ -4308\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6471|-4308|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -40\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -40\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 24\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -12\\ -4\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}2\\ 24\\ 7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 4\\ -1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.76 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}95\\ -53\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 8+\mathrm{0,6}$ = 3.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{1,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-15\\ -18\\ 2.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 7h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-15\\ -18\\ 2.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -38\\ 2.9\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -38\\ 2.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 2.8 = 0.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-510\\ -450\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-510|-450|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|30|10\right)$ nach P$\left(-510|-450|250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-480\\ -480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-480)}}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1000\\ -1000\\ 500\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1000)}}^2+{\mathrm{(-1000)}}^2+{500}^2}=\sqrt{2250000}=1500$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1500}}{\mathrm{300}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.