Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 150\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3450\\ 3050\\ 3150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3450|3050|3150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-210\\ 230\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-210|230|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|30|20\right)$ nach P$\left(-210|230|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 800m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{50}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ -32\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-32)}}^2+{\mathrm{(-32)}}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{2304}=48$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{12}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{36}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5748\\ -5760\\ -2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5748|-5760|-2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2880 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -27\\ 17\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 36\\ -4\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}40\\ -27\\ 17\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.89 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -20\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ -20\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-74\\ 77\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 10+1$ = 2 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+0$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}28\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}28\\ 4\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-109\\ -96\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-109\\ -96\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 8min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-53\\ -88\\ 5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-109\\ -96\\ 1.3\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-53\\ -88\\ 4.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 4.5 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-340\\ -380\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-340|-380|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-20|30\right)$ nach P$\left(-340|-380|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ -360\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-360)}}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{180}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 5450m (also 5200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{5200}}{\mathrm{200}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).