Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-270\\ -210\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-270|-210|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-280\\ -250\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-280|-250|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-10|30\right)$ nach P$\left(-280|-250|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{\mathrm{(-240)}}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 270m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{40}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{450}}{\mathrm{450}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{30}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2420\\ -2380\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2420|-2380|1250\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1250 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 13\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ 27\\ -19\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 13\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 25\\ -5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.78 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}27\\ -38\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,8}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{0,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-32\\ -23\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -23\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 6h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-62\\ -23\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}-32\\ -23\\ 1.5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-62\\ -23\\ 3.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 3.3 = 0.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 190m (also 160m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{160}}{\mathrm{10}}$min = 16min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ -216\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ -216\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-54)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{66}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5070\\ -7530\\ 1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5070|-7530|1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1680 (in m).