Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 10\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 680\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(350|680|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 100\\ 150\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4250\\ -3500\\ 3750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4250|-3500|3750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|100|150\right)$ nach P$\left(-4250|-3500|3750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4200\\ -3600\\ 3600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4200)}}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{3600}^2}=\sqrt{43560000}=6600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{\mathrm{(-100)}}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 520m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{20}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -360\\ 180\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{360}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{180}^2}=\sqrt{291600}=540$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{90}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{42}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{9720}}{\mathrm{54}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4338\\ 7566\\ 4320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4338|7566|4320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4320 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -14\\ 47\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 23\\ -75\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ -14\\ 47\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 16\\ -28\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.53 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}35\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}35\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-61\\ -7\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,7}$ = 1.9 = $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 32\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 32\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}45\\ -3\\ 1.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}45\\ -3\\ 1.5\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 11\\ 3.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 11\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 1.4 = 2.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-230\\ 210\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-230|210|120\right)$.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ 42\\ -21\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{42}^2+{\mathrm{(-21)}}^2}=\sqrt{3969}=63$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{63}}{9}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.