Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 220\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|220|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-470\\ -410\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-470|-410|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|30|10\right)$ nach P$\left(-470|-410|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-440\\ -440\\ 220\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-440)}}^2+{\mathrm{(-440)}}^2+{220}^2}=\sqrt{435600}=660$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 310m (also 260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{260}}{\mathrm{10}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{432000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 120$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 120$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{120}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-54)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{6600}}{\mathrm{66}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5388\\ -3612\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5388|-3612|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ -7\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ 3\\ -2\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}18\\ -7\\ 3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 5\\ -1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.15 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 12\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 12\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 10\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 13\\ 2.6\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 1.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 13\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 3130m (also 3120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3120}}{\mathrm{60}}$s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 17.28 km braucht es also $\frac{\mathrm{17280}}{\mathrm{72}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 18\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11490\\ 11538\\ 5760\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-11490|11538|5760\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5760 (in m).