Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}650\\ 950\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(650|950|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}720\\ 720\\ 380\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(720|720|380\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|0|20\right)$ nach P$\left(720|720|380\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}720\\ 720\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{720}^2+{720}^2+{360}^2}=\sqrt{1166400}=1080$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}450\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2000m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{100}}$s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ ist $\sqrt{4^2+8^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 4.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{30}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 50\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2820\\ 2780\\ 1450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2820|2780|1450\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1450 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}17\\ 5\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -7\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -11\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -18\\ 10\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}17\\ 5\\ -3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -7\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.68 km.

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ 36\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-28\\ 36\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ -25\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,1}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 19\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 19\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.7\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ 16\\ 3.1\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}18\\ 19\\ 0.2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ 16\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.1 - 1.4 = 1.7 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -250\\ 150\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2950\\ -2950\\ 2850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2950|-2950|2850\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1850\\ -2350\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1850|-2350|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-250|50\right)$ nach P$\left(-1850|-2350|1100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2100\\ -2100\\ 1050\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2100)}}^2+{\mathrm{(-2100)}}^2+{1050}^2}=\sqrt{9922500}=3150$m.