Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}930\\ 600\\ 200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(930|600|200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-570\\ 290\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-570|290|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-30|30\right)$ nach P$\left(-570|290|350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-560\\ 320\\ 320\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-560)}}^2+{320}^2+{320}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-350)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 450m (also 400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{400}}{\mathrm{50}}$s = 8s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-900)}}^2+{\mathrm{(-900)}}^2+{450}^2}=\sqrt{1822500}=1350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1350}}{\mathrm{450}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{18}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2394\\ -2403\\ -1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2394|-2403|-1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1200 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}52\\ -25\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-59\\ 32\\ -6\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}52\\ -25\\ 3\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 15\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.29 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -15\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-23\\ 21\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+0$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-51\\ -43\\ 2.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-51\\ -43\\ 2.4\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ -11\\ 4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ -11\\ 3.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 3.4 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 250\\ 200\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2250\\ 2250\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2250|2250|1200\right)$.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ -20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2}=\sqrt{3600}=60$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{12}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.