Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -200\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ -200\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3850\\ 1600\\ 450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3850|1600|450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 150\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2450\\ 2550\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2450|2550|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|150|50\right)$ nach P$\left(-2450|2550|1250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2400\\ 2400\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2400)}}^2+{2400}^2+{1200}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-700\\ -400\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-700\\ -400\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 2450m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{200}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{90}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 12.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{12960}}{\mathrm{54}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -24\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8670\\ -8664\\ 4320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8670|-8664|4320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4320 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -80\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -80\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-34\\ 19\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}29\\ -20\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -30\\ 1\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-34\\ 19\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 37.03 km.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 35\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 35\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}61\\ -74\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{0,8}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{0,1}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-34\\ 70\\ 2.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-34\\ 70\\ 2.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 3.3\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 1.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.3 - 1.9 = 1.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 0\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3950\\ -2100\\ 2200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3950|-2100|2200\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|100|0\right)$ nach P$\left(-3950|-2100|2200\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3850\\ -2200\\ 2200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3850)}}^2+{\mathrm{(-2200)}}^2+{2200}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1090m (also 1080m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1080}}{\mathrm{40}}$s = 27s lang steigen (bzw. sinken).