Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 50\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1350\\ -1450\\ 950\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1350|-1450|950\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2500\\ 2450\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2500|2450|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|50|50\right)$ nach P$\left(-2500|2450|1250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2400\\ 2400\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2400)}}^2+{2400}^2+{1200}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1010m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{30}}$min = 32min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{\mathrm{(-120)}}^2+{80}^2}=\sqrt{78400}=280$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{280}}{\mathrm{70}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 2.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{60}}$s = 40s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 50\end{array}\right)+40\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1610\\ 1640\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1610|1640|850\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 850m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -12\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -12\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}38\\ 9\\ -30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -11\\ 20\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}38\\ 9\\ -30\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 1\\ -6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.58 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ 50\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 50\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}142\\ -140\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,9}$ = 1.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -6\\ 2.3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -6\\ 2.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 2.1 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 540m (also 520m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{520}}{\mathrm{10}}$min = 52min lang steigen (bzw. sinken).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-17\\ 18\\ 1.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 3s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-17\\ 18\\ 1.3\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.8 = 0.4 m