Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -20\\ 40\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 280\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(350|280|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -250\\ 150\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1850\\ -2050\\ 1050\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1850|-2050|1050\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-250|150\right)$ nach P$\left(-1850|-2050|1050\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ -1800\\ 900\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{900}^2}=\sqrt{7290000}=2700$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 1250m (also 1050m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1050}}{\mathrm{50}}$s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{11}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{48}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -6\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4830\\ 9594\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4830|9594|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 7\\ 121\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -3\\ -80\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 7\\ 121\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 41\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 121.41 km.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 20\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 20\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}57\\ -68\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 10+1$ = 2 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+0$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-37\\ -13\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-37\\ -13\\ 1.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 2\\ 2.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 2\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.8 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 5050m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1050\\ 1550\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1050|1550|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|-250|150\right)$ nach P$\left(-1050|1550|750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 1800\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-900)}}^2+{1800}^2+{600}^2}=\sqrt{4410000}=2100$m.