Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 40\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 190\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-90|190|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2800\\ 2800\\ 1450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2800|2800|1450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|100|100\right)$ nach P$\left(2800|2800|1450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}2700\\ 2700\\ 1350\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{2700}^2+{2700}^2+{1350}^2}=\sqrt{16402500}=4050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2+{100}^2}=\sqrt{122500}=350$.
Die Geschwindigkeit ist also v=350$\frac{m}{s}$ = 1260$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 570m (also 520m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{520}}{\mathrm{20}}$min = 26min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1260000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 350$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2100\\ -1050\\ 700\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{2100}^2+{\mathrm{(-1050)}}^2+{700}^2}=\sqrt{6002500}=2450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2450}}{\mathrm{350}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7188\\ 7224\\ 3600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7188|7224|3600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3600 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 92\\ -112\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -40\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -77\\ 120\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}2\\ 92\\ -112\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 12\\ 8\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 143.11 km.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}43\\ -53\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 9+\mathrm{0,5}$ = 5 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{2,3}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-42\\ 46\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ 46\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 6s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ 76\\ 4.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}-42\\ 46\\ 1.4\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-66\\ 76\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 3.2 = 1 m

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 36\\ -30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 36\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ -27\\ 33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 7\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 29\\ -19\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}22\\ -27\\ 33\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -3\\ 13\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 46.14 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 5000m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).