Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 100\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1300\\ -1000\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1300|-1000|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 20\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}480\\ 500\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(480|500|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|20|20\right)$ nach P$\left(480|500|260\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ 480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{480}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{90}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 400m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{20}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 640\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-320)}}^2+{640}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{90}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{12}^2+6^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{3960}}{\mathrm{18}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -18\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2664\\ 2622\\ 1320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2664|2622|1320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1320 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -200\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 30\\ -200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 80\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -41\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}3\\ -10\\ 80\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 40\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81.28 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -16\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,2}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -48\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -48\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -54\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -48\\ 0.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -54\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1 = 1.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1750\\ 1150\\ 600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1750|1150|600\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-50|200\right)$ nach P$\left(-1750|1150|600\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{1200}^2+{400}^2}=\sqrt{4840000}=2200$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.56 km braucht es also $\frac{\mathrm{10560}}{\mathrm{66}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6714\\ -5778\\ 5760\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-6714|-5778|5760\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5760 (in m).