Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-590\\ -320\\ 340\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-590|-320|340\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-800\\ 450\\ 460\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-800|450|460\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|10|20\right)$ nach P$\left(-800|450|460\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-770\\ 440\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-770)}}^2+{440}^2+{440}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{400}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 370m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{30}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ 32\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-32)}}^2+{32}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{2304}=48$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{12}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{90}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 15.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{15400}}{\mathrm{110}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8370\\ 12650\\ 2840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8370|12650|2840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2840 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 2\\ 9\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -4\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-46\\ -96\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 1.1\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 0.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.1 - 0.6 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 6050m (also 5850m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{5850}}{\mathrm{150}}$s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-370\\ -410\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-370|-410|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|10|50\right)$ nach P$\left(-370|-410|260\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-420\\ -420\\ 210\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-420)}}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{210}^2}=\sqrt{396900}=630$m.