Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-470\\ -450\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-470|-450|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 100\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2050\\ 1900\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2050|1900|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-100|100\right)$ nach P$\left(-2050|1900|1100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2000\\ 2000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2000)}}^2+{2000}^2+{1000}^2}=\sqrt{9000000}=3000$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 590m (also 560m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{560}}{\mathrm{40}}$min = 14min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{432000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 120$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{160}^2+{160}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 120$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{120}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ 108\\ 54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ 108\\ 54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5772\\ 5784\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5772|5784|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ 0\\ -56\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ 0\\ -56\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -28\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-29\\ 7\\ 61\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -28\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -1\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ 1\\ -53\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-29\\ 7\\ 61\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -28\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 63.44 m.

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 33\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{0,5}$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{1,2}$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}59\\ -19\\ 1.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}59\\ -19\\ 1.7\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 2.9\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 1.3 = 1.6 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ -190\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|-190|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 7350m (also 7200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{200}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).