Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 30\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}160\\ 70\\ 70\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(160|70|70\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-280\\ 350\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-280|350|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|0|50\right)$ nach P$\left(-280|350|350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{350}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -700\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ -700\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 910m (also 900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{30}}$min = 30min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-490\\ -280\\ 280\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-490)}}^2+{\mathrm{(-280)}}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{630}}{\mathrm{90}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{21600}}{\mathrm{120}}$s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 10\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14450\\ -14440\\ 7210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(14450|-14440|7210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7210 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}36\\ 10\\ -33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -8\\ 21\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}36\\ 10\\ -33\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 46.43 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 21\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 21\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}31\\ 13\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{1,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -16\\ 0.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ -16\\ 0.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-38\\ 12\\ 2.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-38\\ 12\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.4 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 250\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 250\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2500\\ -1850\\ 2100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2500|-1850|2100\right)$.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ -20\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ -20\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}121\\ 153\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{0,8}$ = 2.6 = $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{1,7}$