Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-290\\ -320\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-290|-320|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -50\\ 0\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1450\\ 3250\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1450|3250|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(200|-50|0\right)$ nach P$\left(-1450|3250|1100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1650\\ 3300\\ 1100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1650)}}^2+{3300}^2+{1100}^2}=\sqrt{14822500}=3850$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-350)}}^2+{300}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1370m (also 1320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1320}}{\mathrm{30}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{2160000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 600$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1200}^2+{\mathrm{(-1200)}}^2+{600}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{600}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{5400}}{\mathrm{90}}$s = 60s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3620\\ -3550\\ 1830\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3620|-3550|1830\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1830 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 20\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -16\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 9\\ -14\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}14\\ -16\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.72 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-62\\ 61\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 4+\mathrm{0,5}$ = 2.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,9}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}35\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}35\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}43\\ 74\\ 0.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}43\\ 74\\ 0.2\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ 2.9\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 1 = 1.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}210\\ -230\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(210|-230|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-30|50\right)$ nach P$\left(210|-230|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$