Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 250\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3100\\ -1750\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3100|-1750|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}800\\ -390\\ 460\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(800|-390|460\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|50|20\right)$ nach P$\left(800|-390|460\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}770\\ -440\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{770}^2+{\mathrm{(-440)}}^2+{440}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 520m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{20}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{432000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 120$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-160)}}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 120$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{120}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{54}^2+{36}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{6600}}{\mathrm{66}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5394\\ 3630\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5394|3630|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -320\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -320\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -33\\ 239\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ -2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 28\\ -242\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ -33\\ 239\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 242.5 km.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 16\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 16\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-89\\ -51\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 5+1$ = 2 = $\mathrm{0,4}\cdot 5+0$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -50\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ -9\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -50\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -9\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -23\\ 2.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ -50\\ 1.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -23\\ 2.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.3 = 0.5 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ 900\\ 450\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 150\\ 200\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3150\\ 3450\\ 1850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3150|3450|1850\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}390\\ 560\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(390|560|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|20|30\right)$ nach P$\left(390|560|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ 540\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{360}^2+{540}^2+{120}^2}=\sqrt{435600}=660$m.