Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3600\\ -4150\\ 3600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3600|-4150|3600\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 200\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-600\\ 400\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-600|400|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|0|200\right)$ nach P$\left(-600|400|400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{300}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 1020m (also 990m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{990}}{\mathrm{30}}$min = 33min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{450}}{\mathrm{450}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ 72\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ 72\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{24}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9576\\ 4824\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9576|4824|1200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1200 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -30\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -30\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -52\\ 57\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ -6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -38\\ 54\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.87 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ -14\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ -14\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -17\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,9}$ = 1.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 30\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 30\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}54\\ 84\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}54\\ 84\\ 0.8\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 49\\ 3.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 49\\ 2.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 2.5 = 1.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 760m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{40}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}45\\ 45\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}45\\ 45\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}55\\ 97\\ 2.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}55\\ 97\\ 2.2\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}62\\ 62\\ 3.6\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}62\\ 62\\ 3.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 3.4 = 0.2 km