Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -90\\ 60\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(10|-90|60\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1350\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1350\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -50\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3800\\ 2350\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3800|2350|850\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(200|-50|50\right)$ nach P$\left(3800|2350|850\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3600\\ 2400\\ 800\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3600}^2+{2400}^2+{800}^2}=\sqrt{19360000}=4400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1400\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1400\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 15700m (also 15600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{15600}}{\mathrm{300}}$s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 1600\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{800}^2+{1600}^2+{200}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{450}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.7 km braucht es also $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{27}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2388\\ -1188\\ -300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2388|-1188|-300\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -300 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ 42\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -12\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ -61\\ 37\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-19\\ 42\\ -10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.03 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 101\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 10+2$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 10+0$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-28\\ 44\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-28\\ 44\\ 2\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 23\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 23\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1.4 = 2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 9750m (also 9600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{9600}}{\mathrm{200}}$s = 48s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$.
Die Geschwindigkeit ist also v=300$\frac{m}{s}$ = 1080$\frac{\mathrm{km}}{h}$