Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 900\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 900\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 150\\ 100\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3350\\ 5100\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3350|5100|1200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 40\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ -180\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|-180|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|40|50\right)$ nach P$\left(-190|-180|160\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-220\\ -220\\ 110\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-220)}}^2+{\mathrm{(-220)}}^2+{110}^2}=\sqrt{108900}=330$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 260m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{20}}$min = 11min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-160)}}^2+{80}^2+{20}^2}=\sqrt{32400}=180$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{90}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-144\\ 72\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-144\\ 72\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.08 km braucht es also $\frac{\mathrm{10080}}{\mathrm{42}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 24\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8658\\ 4344\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8658|4344|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ -10\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ -22\\ -9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -8\\ -7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.28 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -27\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{0,7}$ = 3.7 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{1,7}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-36\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}31\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 2min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 1.3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}31\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 1.3 = 0 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -150\\ 150\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2350\\ -2350\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2350|-2350|1250\right)$.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}81\\ 41\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}81\\ 41\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 9s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ 41\\ 2.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}81\\ 41\\ 1.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ 41\\ 2.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.6 = 0.2 m