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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(340 | -210 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 8s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 700 \\ -450 \\ 210 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(700 | -450 | 210)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-110 | -50 | 80)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 7min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ -60 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ -60 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -410 \\ -200 \\ 180 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-410 | -200 | 180)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | 10 | 40)$ nach P $(-410 | -200 | 180)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -420 \\ -210 \\ 140 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-420)}^{2} + {(-210)}^{2} + 140^{2}} = \sqrt{240100} = 490$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-210 | 120 | 50)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -180 \\ 120 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-90)}^{2} + 60^{2} + 20^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{\min}$ = 6.6 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(100 | 50 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-200 | -250 | 350)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1100m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -300 \\ -300 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -100 \\ -100 \\ 50 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 100 \\ 50 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -100 \\ -100 \\ 50 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 1100m (also 900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{900}{50}$ s = 18s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(2 | 0 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-26 | -16 | 638)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -28 \\ -16 \\ -16 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-28)}^{2} + {(-16)}^{2} + {(-16)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{36}{9}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | -10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-300 | 230 | 280)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 24,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -280 \\ 240 \\ 240 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -280 \\ 240 \\ 240 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ -10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-70)}^{2} + 60^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 24.2 km braucht es also $\frac{24200}{110}$ s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -10 \\ 40 \end{matrix}) + 220 \cdot (\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15420 \\ 13190 \\ 13240 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-15420 | 13190 | 13240)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 13240 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-3 | 12 | -3)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-18 | 2 | 17)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -15 \\ -10 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -15 \\ -10 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 12 \\ -3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -10 \\ 10 \\ -2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 8 \\ 6 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -3 \\ 12 \\ -3 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 8 \\ 5 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-16 | 8 | 6)

und P₂

(-9 | 8 | 5)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -9 - (-16) \\ 8 - 8 \\ 5 - 6 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{7^{2} + 0^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{50}

≈ 7.0710678118655

Der Abstand ist also ca. 7.07 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ -2 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-60 | 42 | 2,3)$ . Nach 3h ist er im Punkt B $(-30 | 18 | 3,2)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -24 \\ 0.9 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 30 \\ -24 \\ 0.9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -60 \\ 42 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,3 t + 2,3$	\| $- 0,5$ $- 0,3 t$
$0,2 t$	=	$1,8$	\|: $0,2$
$t$	=	$9$

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 9 + 0,5$ = 5 = $0,3 \cdot 9 + 2,3$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(1 | 46 | 2,3)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(17 | 44 | 2,5)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 16 \\ -2 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 16 \\ -2 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 46 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0.7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 46 \\ 2.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 1 & +8 s & = & 1 & +8 t \\ 1 & +4 s & = & 46 & -1 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 8 s & - 8 t & = & 0 & (I) \\ 4 s & + t & = & 45 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & - 8 t & = & 0 & (I) \\ 4 s & + t & = & 45 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 2$ ·(II)

\begin{matrix} 8 s & - 8 t & = & 0 & (I) \\ (8 - 8) s & + (- 8 - 2) t & = & (0 - 90) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & - 8 t & = & 0 & (I) \\ - 10 t & = & - 90 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 10 t & = & - 90 \end{matrix}

t = $9$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 8 s & - 8 \cdot (9) & = & 0 \end{matrix}

| +

72

8

s =

72

| : 8

s = $9$

$L = {(9 | 9)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 9min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0.7 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 73 \\ 37 \\ 3.4 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 9min bei $(\begin{matrix} 1 \\ 46 \\ 2.3 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 73 \\ 37 \\ 3.2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 3.2 = 0.2 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -27 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(2 | -17 | 62)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(2 | 31 | -22)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 48 \\ -84 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 48 \\ -84 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ -17 \\ 62 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -27 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 40 \\ -52 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 2 \\ -17 \\ 62 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 15 \\ 6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-4 | 40 | -52)

und P₂

(2 | 15 | 6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 2 - (-4) \\ 15 - 40 \\ 6 - (-52) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 6 \\ -25 \\ 58 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 6 \\ -25 \\ 58 \end{matrix}) |

=

\sqrt{6^{2} + {(-25)}^{2} + 58^{2}}

=

\sqrt{4025}

≈ 63.442887702248

Der Abstand ist also ca. 63.44 m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -40 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-150 | 40 | 40)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 80 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ 80 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-80)}^{2} + 40^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{\min}$ = 5.4 $\frac{km}{h}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Geschwindigkeit in km/h