Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-650\\ -710\\ 640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-650|-710|640\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 1050\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 1050\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1350\\ 2400\\ 1600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1350|2400|1600\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-50|200\right)$ nach P$\left(-1350|2400|1600\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ 2450\\ 1400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1400)}}^2+{2450}^2+{1400}^2}=\sqrt{9922500}=3150$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 3200m (also 3000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3000}}{\mathrm{100}}$s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 15\\ -10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{15}^2+{\mathrm{(-10)}}^2}=\sqrt{1225}=35$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{35}}{7}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 24.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{24200}}{\mathrm{110}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 10\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15350\\ -13250\\ 13210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(15350|-13250|13210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 13210 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -60\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -60\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -15\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -50\\ 17\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -33\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.29 km.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -17\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 10+1$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 10+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}65\\ 25\\ 1.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}65\\ 25\\ 1.1\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ 2.9\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.9 - 1 = 1.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 20\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}240\\ -470\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(240|-470|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|10|20\right)$ nach P$\left(240|-470|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -480\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{60}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}39\\ 72\\ 2.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}39\\ 72\\ 2.2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 57\\ 3.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}29\\ 57\\ 3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 3 = 0.2 km