Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 50\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 600\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(400|600|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 190\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-250|190|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-10|30\right)$ nach P$\left(-250|190|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{90}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 100\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 9000m (also 8800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{8800}}{\mathrm{200}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{150}}{\mathrm{30}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{6^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.44 km braucht es also $\frac{\mathrm{1440}}{9}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}966\\ 960\\ -480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(966|960|-480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -480 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ -8\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ -10\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}19\\ -8\\ 12\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 23.96 m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}55\\ -8\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 6+\mathrm{0,5}$ = 3.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{1,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-56\\ 62\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ 62\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-64\\ 38\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}-56\\ 62\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-64\\ 38\\ 2.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.8 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-370\\ -700\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-370|-700|260\right)$.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 24\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ 24\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ -36\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,8}$ = 1.6 = $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{1,2}$