Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -20\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-700\\ -420\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-700|-420|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-450\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-450\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 250\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-650\\ -2050\\ 850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-650|-2050|850\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-250|250\right)$ nach P$\left(-650|-2050|850\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -1800\\ 600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-900)}}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{600}^2}=\sqrt{4410000}=2100$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 200\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 4450m (also 4400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4400}}{\mathrm{100}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}56\\ -48\\ -48\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{7744}=88$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{88}}{\mathrm{11}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.78 km braucht es also $\frac{\mathrm{3780}}{\mathrm{27}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2943\\ -1680\\ -1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2943|-1680|-1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1680 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -30\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -30\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ 11\\ -14\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -27\\ 15\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}23\\ 11\\ -14\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -10\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -9\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 27.37 m.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}14\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-74\\ 33\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 5+\mathrm{0,9}$ = 1.4 = $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,4}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-146\\ 69\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 8h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}-146\\ 69\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ 78\\ 3.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.7\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-56\\ 78\\ 3.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 3.1 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1000m (also 990m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{990}}{\mathrm{30}}$min = 33min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$ = 216$\frac{\mathrm{km}}{h}$