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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 7min?
Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 3min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=110
= 396
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1200m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 30 auf 1200m (also 1170m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also s = 39s lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 9.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9. braucht er für diese Strecke
s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 4,86 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=27
Für die Strecke von 4.86 km braucht es also min
= 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -1620 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?
Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P1 = ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 47.27 m.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
nach 4 h sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
3 - 2.8 = 0.2 km
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?
F2 legt in 3min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 4min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 18 km.
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1960m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 40 auf 1960m (also 1920m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
