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Kursstufe
cosh
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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
Wo ist die Rakete nach 11s?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 11min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
= 5.4
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 260m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 260m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also min = 11min lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 324km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 90.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90. braucht er für diese Strecke
s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 4min ist er im Punkt B angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 10,08 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=42
Für die Strecke von 10.08 km braucht es also min
= 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2880 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A . Nach 4s ist sie im Punkt B angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 4s von einander entfernt?
Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P1 = ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 14.28 m.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
nach 10 h sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 2min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
das Flugzeug F1 ist also nach 2min bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
1.3 - 1.3 = 0 km
Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wo ist die Rakete nach 11s?
Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 9s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne ist also nach 7s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.8 - 2.6 = 0.2 m
