Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 20\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}260\\ 310\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(260|310|260\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3650\\ 2000\\ 2050\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3650|2000|2050\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(150|0|50\right)$ nach P$\left(3650|2000|2050\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3500\\ 2000\\ 2000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3500}^2+{2000}^2+{2000}^2}=\sqrt{20250000}=4500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 600m (also 560m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{560}}{\mathrm{40}}$s = 14s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 24\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{48}^2+{24}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{3136}=56$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{56}}{7}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 9.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{9800}}{\mathrm{70}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 50\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8450\\ -4250\\ 2850\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8450|-4250|2850\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2850 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ 10\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}22\\ 10\\ -6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 8\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ 15\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ 15\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -23\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{1,6}$ = 3.2 = $\mathrm{0,4}\cdot 8+0$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -18\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -18\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.9\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -15\\ 1.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}50\\ -18\\ 0.3\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -15\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.6 - 1.2 = 0.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-500\\ -650\\ 570\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-500|-650|570\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|-20|30\right)$ nach P$\left(-500|-650|570\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-540\\ -630\\ 540\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-540)}}^2+{\mathrm{(-630)}}^2+{540}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -280\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 40\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}370\\ -440\\ 460\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(370|-440|460\right)$.