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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(200 | 250 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-200 | -150 | 450)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 3s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 200 \\ 250 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 200 \\ 250 \\ 250 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -350 \\ 550 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-400 | -350 | 550)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 10 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(70 | -30 | 60)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 10min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 10 \\ 40 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 430 \\ -390 \\ 240 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(430 | -390 | 240)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(30 | 10 | 40)$ nach P $(430 | -390 | 240)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{400^{2} + {(-400)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-40 | -150 | 70)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -160 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ -160 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-40)}^{2} + {(-80)}^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$ = 324 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | -30 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(270 | 90 | 100)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1060m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 120 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 240 \\ 120 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ -30 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 1060m (also 1040m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1040}{20}$ s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | -100 | 100)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2160km/h in Richtung des Punktes B $(-950 | -900 | 500)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{2160000 m}{3600 s}$ = 600 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -800 \\ -800 \\ 400 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-800)}^{2} + {(-800)}^{2} + 400^{2}} = \sqrt{1440000} = 1200$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1200}{600}$ s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-280 | -140 | 180)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 16,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -280 \\ -160 \\ 160 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -280 \\ -160 \\ 160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ -40 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -40 \\ 40 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-70)}^{2} + {(-40)}^{2} + 40^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 16.2 km braucht es also $\frac{16200}{90}$ s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) + 180 \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -40 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -12600 \\ -7180 \\ 7220 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-12600 | -7180 | 7220)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7220 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-120 | 1 | 91)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(60 | 1 | -29)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ -1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 59 \\ 3 \\ -40 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ 0 \\ -120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ 0 \\ -120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ -40 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -120 \\ 1 \\ 91 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ -40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -6 \\ -1 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 59 \\ 3 \\ -40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 53 \\ 2 \\ -38 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -120 \\ 1 \\ 91 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ -40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 1 \\ 51 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(53 | 2 | -38)

und P₂

(-60 | 1 | 51)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -60 - 53 \\ 1 - 2 \\ 51 - (-38) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -113 \\ -1 \\ 89 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -113 \\ -1 \\ 89 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-113)}^{2} + {(-1)}^{2} + 89^{2}}

=

\sqrt{20691}

≈ 143.84366513684

Der Abstand ist also ca. 143.84 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ -6 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -8 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(32 | 2 | 2,2)$ . Nach 3h ist er im Punkt B $(11 | -16 | 2,8)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -21 \\ -18 \\ 0.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -21 \\ -18 \\ 0.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ -6 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 32 \\ 2 \\ 2.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -6 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,2 t + 2,2$	\| $- 0,6$ $- 0,2 t$
$0,2 t$	=	$1,6$	\|: $0,2$
$t$	=	$8$

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 8 + 0,6$ = 3.8 = $0,2 \cdot 8 + 2,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(36 | 19 | 0)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(32 | 27 | 1,6)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ 1.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ 1.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 36 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 36 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 10 & +4 s & = & 36 & -1 t \\ -1 & +4 s & = & 19 & +2 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 4 s & + t & = & 26 & (I) \\ 4 s & - 2 t & = & 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 4 s & + t & = & 26 & (I) \\ 4 s & - 2 t & = & 20 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 4 s & 1 t & = & 26 & (I) \\ (4 - 4) s & + (1 + 2) t & = & (26 - 20) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 4 s & + t & = & 26 & (I) \\ + 3 t & = & 6 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 3 t & = & 6 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 4 s & + (2) & = & 26 \end{matrix}

| -

2

4

s =

24

| : 4

s = $6$

$L = {(6 | 2)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $(\begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 34 \\ 23 \\ 2.2 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 2s bei $(\begin{matrix} 36 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 34 \\ 23 \\ 0.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 0.8 = 1.4 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(16 | 19 | -22)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-4 | -11 | 18)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -30 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -20 \\ -30 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 16 \\ 19 \\ -22 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -15 \\ 15 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 16 \\ 19 \\ -22 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -6 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-2 | -15 | 15)

und P₂

(8 | 7 | -6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 8 - (-2) \\ 7 - (-15) \\ -6 - 15 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 10 \\ 22 \\ -21 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 10 \\ 22 \\ -21 \end{matrix}) |

=

\sqrt{10^{2} + 22^{2} + {(-21)}^{2}}

=

\sqrt{1025}

≈ 32.015621187164

Der Abstand ist also ca. 32.02 km.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | 40 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-330 | -200 | 120)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-90)}^{2} + {(-60)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$ = 396 $\frac{km}{h}$

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Geschwindigkeit in km/h