Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}770\\ 760\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(770|760|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -20\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}690\\ 380\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(690|380|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-20|10\right)$ nach P$\left(690|380|410\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{700}^2+{400}^2+{400}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1300m (also 1300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1300}}{\mathrm{50}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{3136}=56$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{56}}{7}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-108\\ -72\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-108\\ -72\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-54)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{\mathrm{7920}}{\mathrm{66}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6480\\ -4308\\ 1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-6480|-4308|1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1440 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 32\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 32\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 8\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ 40\\ -18\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}21\\ -10\\ 20\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 22\\ -4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 34.58 m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}45\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}45\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{0,8}$ = 2.2 = $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 2.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 2.1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 2.3\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.6 = 0.7 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 30\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-470\\ 810\\ 470\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-470|810|470\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{60}}$s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 10\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7200\\ -7170\\ 3610\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(7200|-7170|3610\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3610 (in m).