Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 20\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -460\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(400|-460|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}440\\ 300\\ 310\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(440|300|310\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|20|30\right)$ nach P$\left(440|300|310\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}490\\ 280\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{490}^2+{280}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 800m (also 650m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{650}}{\mathrm{50}}$s = 13s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{240}^2+{360}^2+{80}^2}=\sqrt{193600}=440$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{440}}{\mathrm{110}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-54)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 15.84 km braucht es also $\frac{\mathrm{15840}}{\mathrm{66}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12960\\ -8622\\ 2880\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-12960|-8622|2880\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2880 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 11\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -12\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ -56\\ 27\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ 11\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ -37\\ 23\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.52 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ 10\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ 10\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{1,4}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}94\\ -38\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}94\\ -38\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ -20\\ 2.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}94\\ -38\\ 1.2\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ -20\\ 2.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.4 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}570\\ 640\\ 320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(570|640|320\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -250\\ 250\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}850\\ -850\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(850|-850|550\right)$.