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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(100 | -100 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1100 | 500 | 650)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 100 \\ -100 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 100 \\ -100 \\ 250 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1400 \\ 650 \\ 750 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1400 | 650 | 750)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | 50 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-130 | -90 | 110)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 9s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -140 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ -140 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ 50 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ 50 \\ 30 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -410 \\ -580 \\ 390 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-410 | -580 | 390)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-50 | 50 | 30)$ nach P $(-410 | -580 | 390)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -360 \\ -630 \\ 360 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-360)}^{2} + {(-630)}^{2} + 360^{2}} = \sqrt{656100} = 810$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -250 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1250 | 350 | 650)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ 600 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 150 \\ 100 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-300)}^{2} + 150^{2} + 100^{2}} = \sqrt{122500} = 350$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=350 $\frac{m}{s}$ = 1260 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | 50 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1450 | -1150 | 1300)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 13300m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1400 \\ -1200 \\ 1200 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1400 \\ -1200 \\ 1200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ 50 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 13300m (also 13200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{13200}{300}$ s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 3 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 39,6km/h in Richtung des Punktes B $(61 | 51 | 606)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{39600 m}{3600 s}$ = 11 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 56 \\ 48 \\ -48 \end{matrix})$ ist $\sqrt{56^{2} + 48^{2} + {(-48)}^{2}} = \sqrt{7744} = 88$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{88}{11}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | -50 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-110 | -10 | 50)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 16,2 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ -50 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-80)}^{2} + 40^{2} + 10^{2}} = \sqrt{8100} = 90$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=90 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 16.2 km braucht es also $\frac{16200}{90}$ s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -50 \\ 40 \end{matrix}) + 180 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14430 \\ 7150 \\ 1840 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-14430 | 7150 | 1840)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1840 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -10 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 15 | 25)$ . Nach 1s ist sie im Punkt B $(-8 | 11 | 15)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 4s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 15 \\ 25 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -2 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 42 \\ -4 \\ -41 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -20 \\ 15 \\ 25 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 28 \\ -1 \\ -15 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(42 | -4 | -41)

und P₂

(28 | -1 | -15)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 28 - 42 \\ -1 - (-4) \\ -15 - (-41) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -14 \\ 3 \\ 26 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -14 \\ 3 \\ 26 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-14)}^{2} + 3^{2} + 26^{2}}

=

\sqrt{881}

≈ 29.681644159312

Der Abstand ist also ca. 29.68 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0,9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 1 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-12 | -49 | 0,1)$ . Nach 3h ist er im Punkt B $(-15 | -19 | 1)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 30 \\ 0.9 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -3 \\ 30 \\ 0.9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -12 \\ -49 \\ 0.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,1 t + 0,9$	=	$0,3 t + 0,1$	\| $- 0,9$ $- 0,3 t$
$- 0,2 t$	=	$- 0,8$	\|:( $- 0,2$ )
$t$	=	$4$

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,1 \cdot 4 + 0,9$ = 1.3 = $0,3 \cdot 4 + 0,1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(2 | -1 | 0,6)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(-18 | 44 | 2,6)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 35 \\ 80 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 45 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -20 \\ 45 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 9 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 9 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 35 \\ 80 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 9 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 35 & -5 s & = & 2 & -4 t \\ 80 & -6 s & = & -1 & +9 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & + 4 t & = & - 33 & (I) \\ - 6 s & - 9 t & = & - 81 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 4 t & = & - 33 & (I) \\ - 6 s & - 9 t & = & - 81 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $6$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & 4 t & = & - 33 & (I) \\ (- 30 + 30) s & + (24 + 45) t & = & (- 198 + 405) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 4 t & = & - 33 & (I) \\ + 69 t & = & 207 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 69 t & = & 207 \end{matrix}

t = $3$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & + 4 \cdot (3) & = & - 33 \end{matrix}

| -

12

- 5

s =

- 45

| :

(-5)

s = $9$

$L = {(9 | 3)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $(\begin{matrix} 35 \\ 80 \\ 1 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -6 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 26 \\ 3.7 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 3s bei $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0.6 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 9 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 26 \\ 1.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.7 - 1.8 = 1.9 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | -1 | 81)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-10 | 23 | -79)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -80 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 24 \\ -160 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -8 \\ 24 \\ -160 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 81 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -10 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 11 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ 25 \\ -160 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 81 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 12 \\ -80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 23 \\ -79 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-14 | 25 | -160)

und P₂

(-10 | 23 | -79)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -10 - (-14) \\ 23 - 25 \\ -79 - (-160) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 81 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 81 \end{matrix}) |

=

\sqrt{4^{2} + {(-2)}^{2} + 81^{2}}

=

\sqrt{6581}

≈ 81.123362849428

Der Abstand ist also ca. 81.12 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-43 | -41 | 0,1)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(-23 | -25 | 1,7)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -6 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -1 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 16 \\ 1.6 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 20 \\ 16 \\ 1.6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -43 \\ -41 \\ 0.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,7$	=	$0,4 t + 0,1$	\| $- 0,7$ $- 0,4 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,6$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$6$

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 6 + 0,7$ = 2.5 = $0,4 \cdot 6 + 0,1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten