Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-620\\ 300\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-620|300|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}310\\ -500\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(310|-500|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-50|10\right)$ nach P$\left(310|-500|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{300}^2+{\mathrm{(-450)}}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$ = 216$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 800m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{100}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1500\\ 1500\\ 750\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1500}^2+{1500}^2+{750}^2}=\sqrt{5062500}=2250$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2250}}{\mathrm{450}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{14400}}{\mathrm{120}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9600\\ 9640\\ 4800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9600|9640|4800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4800 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 0\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 0\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}82\\ 6\\ -113\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 3\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-207\\ 19\\ 296\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}82\\ 6\\ -113\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-118\\ 6\\ 187\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 141.32 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}56\\ 25\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,8}$ = 1.8 = $\mathrm{0,1}\cdot 5+\mathrm{1,3}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}61\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}61\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 1.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ 25\\ 2.1\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}61\\ 10\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ 25\\ 0.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 0.9 = 1.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1250m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{200}}$s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{36}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4344\\ -4344\\ 2160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4344|-4344|2160\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2160 (in m).