Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5350\\ -3700\\ 1450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5350|-3700|1450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1500\\ -1000\\ 1050\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1500|-1000|1050\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-250|0|50\right)$ nach P$\left(1500|-1000|1050\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1750\\ -1000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1750}^2+{\mathrm{(-1000)}}^2+{1000}^2}=\sqrt{5062500}=2250$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{400}^2+{200}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 3250m (also 3000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3000}}{\mathrm{150}}$s = 20s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1600)}}^2+{1600}^2+{800}^2}=\sqrt{5760000}=2400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{300}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{\mathrm{36}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1452\\ -1431\\ -720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1452|-1431|-720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -720 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-37\\ 9\\ 33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ -8\\ -19\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-37\\ 9\\ 33\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 1\\ 13\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 46.14 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-57\\ -76\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,9}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 15\\ 2.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ 15\\ 2.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}67\\ -51\\ 1.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}67\\ -51\\ 1.3\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 19\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 19\\ 2.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.5 = 0.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -370\\ 390\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(350|-370|390\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|50|30\right)$ nach P$\left(350|-370|390\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -420\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{360}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{360}^2}=\sqrt{435600}=660$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-90)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$