Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -170\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-170|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-430\\ -190\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-430|-190|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|20|50\right)$ nach P$\left(-430|-190|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-420\\ -210\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-420)}}^2+{\mathrm{(-210)}}^2+{140}^2}=\sqrt{240100}=490$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-360\\ 240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1010m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{20}}$s = 48s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{240}^2+{\mathrm{(-120)}}^2+{80}^2}=\sqrt{78400}=280$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{280}}{\mathrm{70}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 8.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{8400}}{\mathrm{70}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ 40\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7230\\ -3560\\ 2440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7230|-3560|2440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2440 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -20\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -20\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 16\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}5\\ 16\\ -3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 9 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 11\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 8+\mathrm{0,6}$ = 3.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{2,2}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2.1\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 0.5\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.5 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 3300m (also 3200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3200}}{\mathrm{200}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 57\\ 2.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 10+\mathrm{0,5}$ = 5.5 = $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{2,5}$