Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}970\\ -480\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(970|-480|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-440\\ 910\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-440|910|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|30|20\right)$ nach P$\left(-440|910|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-440\\ 880\\ 110\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-440)}}^2+{880}^2+{110}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 500m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{40}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-72)}}^2+{72}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{11664}=108$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{108}}{\mathrm{12}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}108\\ -108\\ 54\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 11.88 km braucht es also $\frac{\mathrm{11880}}{\mathrm{54}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7890\\ -7890\\ 3960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(7890|-7890|3960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3960 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 19\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 20\\ -9\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 19\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 17\\ 9\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ 4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-66\\ -16\\ 2.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{2,6}$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ 16\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}16\\ 16\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 21\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 21\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 6h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ 0.5\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 45\\ 5\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 21\\ 0.8\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 45\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 3.2 = 1.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 200\\ 150\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-800\\ -500\\ 500\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-800|-500|500\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$