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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -200 | 250)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-500 | -1100 | 550)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -900 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -450 \\ -900 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -200 \\ 250 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -200 \\ 250 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1550 \\ -3200 \\ 1250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1550 | -3200 | 1250)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 40 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(50 | 120 | 80)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 6s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 450 \\ 520 \\ 280 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(450 | 520 | 280)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-30 | 40 | 40)$ nach P $(450 | 520 | 280)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 480 \\ 480 \\ 240 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{480^{2} + 480^{2} + 240^{2}} = \sqrt{518400} = 720$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -50 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(50 | -110 | 30)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{30^{2} + {(-60)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{4900} = 70$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=70 $\frac{m}{s}$ = 252 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 20 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(180 | -160 | 180)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1260m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 210 \\ -180 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 210 \\ -180 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1260m (also 1260m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1260}{60}$ s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 20 | 50)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 252km/h in Richtung des Punktes B $(-260 | 500 | 210)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{252000 m}{3600 s}$ = 70 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 480 \\ 160 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-240)}^{2} + 480^{2} + 160^{2}} = \sqrt{313600} = 560$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{560}{70}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-40 | 70 | 80)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 2,4 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-20)}^{2} + 20^{2} + 10^{2}} = \sqrt{900} = 30$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=30 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 2.4 km braucht es also $\frac{2400}{30}$ s = 80s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 50 \end{matrix}) + 80 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1580 \\ 1610 \\ 850 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-1580 | 1610 | 850)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 850 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(8 | -10 | 10)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(2 | -2 | 2)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

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F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -8 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -17 \\ 15 \\ -13 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 8 \\ -10 \\ 10 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ 10 \\ -10 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-17 | 15 | -13)

und P₂

(-7 | 10 | -10)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -7 - (-17) \\ 10 - 15 \\ -10 - (-13) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 3 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 10 \\ -5 \\ 3 \end{matrix}) |

=

\sqrt{10^{2} + {(-5)}^{2} + 3^{2}}

=

\sqrt{134}

≈ 11.57583690279

Der Abstand ist also ca. 11.58 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(39 | -36 | 1,4)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(23 | -20 | 2,2)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -5 \\ 10 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -10 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 16 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -16 \\ 16 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 4 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 39 \\ -36 \\ 1.4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 4 \\ 0.2 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,2 t + 1,4$	\| $- 0,6$ $- 0,2 t$
$0,2 t$	=	$0,8$	\|: $0,2$
$t$	=	$4$

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 4 + 0,6$ = 2.2 = $0,2 \cdot 4 + 1,4$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -41 \\ 12 \\ 0,4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 3 | 0,9)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-2 | 3 | 1,1)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 3 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -41 \\ 12 \\ 0.4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 3 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -41 & +7 s & = & -10 & +4 t \\ 12 & -1 s & = & 3 & +0 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 7 s & - 4 t & = & 31 & (I) \\ - 1 s & = & - 9 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 7 s & - 4 t & = & 31 & (I) \\ - 1 s & = & - 9 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) + $7$ ·(II)

\begin{matrix} 7 s & - 4 t & = & 31 & (I) \\ (7 - 7) s & + (- 4 + 0) t & = & (31 - 63) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 7 s & - 4 t & = & 31 & (I) \\ - 4 t & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 4 t & = & - 32 \end{matrix}

t = $8$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 7 s & - 4 \cdot (8) & = & 31 \end{matrix}

| +

32

7

s =

63

| : 7

s = $9$

$L = {(9 | 8)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 8min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $(\begin{matrix} -41 \\ 12 \\ 0.4 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 3 \\ 2.2 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 8min bei $(\begin{matrix} -10 \\ 3 \\ 0.9 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 3 \\ 1.7 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.7 = 0.5 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-30 | 0 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(50 | -80 | 60)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 8s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -30 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 130 \\ -160 \\ 100 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(130 | -160 | 100)$ .

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ -10 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 16 \\ -1 \\ -27 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-28 | -6 | 60)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(52 | -6 | -80)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 0 \\ -140 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 0 \\ -140 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ -28 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -28 \\ -6 \\ 60 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ -28 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -3 \\ -10 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 16 \\ -1 \\ -27 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 29 \\ -12 \\ -54 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -28 \\ -6 \\ 60 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ -28 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -6 \\ 4 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(29 | -12 | -54)

und P₂

(4 | -6 | 4)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 4 - 29 \\ -6 - (-12) \\ 4 - (-54) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -25 \\ 6 \\ 58 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -25 \\ 6 \\ 58 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-25)}^{2} + 6^{2} + 58^{2}}

=

\sqrt{4025}

≈ 63.442887702248

Der Abstand ist also ca. 63.44 m.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Abstand zweier Objekte