Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}650\\ 600\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(650|600|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 100\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-400|200|300\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-200|100\right)$ nach P$\left(-400|200|300\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ 450\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -200\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 2400m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}56\\ 28\\ -7\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{56}^2+{28}^2+{\mathrm{(-7)}}^2}=\sqrt{3969}=63$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{63}}{9}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}162\\ 108\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}162\\ 108\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{54}^2+{36}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{\mathrm{7920}}{\mathrm{66}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6450\\ 4290\\ 1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6450|4290|1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1440 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 10\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -1\\ -18\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 10\\ 18\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ -2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.76 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-102\\ -62\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{1,2}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 36\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 36\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-47\\ -33\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-47\\ -33\\ 1.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 15\\ 4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 15\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 1 = 3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 40\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}640\\ 400\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(640|400|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|40|50\right)$ nach P$\left(640|400|410\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}630\\ 360\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{630}^2+{360}^2+{360}^2}=\sqrt{656100}=810$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 80m (also 70m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{70}}{\mathrm{10}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).