Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ -530\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|-530|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -100\\ 150\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4750\\ -3100\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4750|-3100|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-100|150\right)$ nach P$\left(4750|-3100|1150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}4500\\ -3000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{4500}^2+{\mathrm{(-3000)}}^2+{1000}^2}=\sqrt{30250000}=5500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 170m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{600}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{450}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{14400}}{\mathrm{60}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 40\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9560\\ 9590\\ 4840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9560|9590|4840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4840 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 19\\ 2\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 24\\ -3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 13.08 m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-68\\ -29\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{0,5}$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{1,2}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -12\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -12\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}109\\ 111\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}109\\ 111\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 6s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 0.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}49\\ 75\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}109\\ 111\\ 1.1\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}49\\ 75\\ 2.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.3 = 1.1 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-650\\ -720\\ 670\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-650|-720|670\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.86 km braucht es also $\frac{\mathrm{4860}}{\mathrm{27}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3249\\ 3228\\ -1620\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3249|3228|-1620\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1620 (in m).