Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 40\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}360\\ -370\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(360|-370|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 460\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-450|460|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-20|10\right)$ nach P$\left(-450|460|250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-480\\ 480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-480)}}^2+{480}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{300}^2+{350}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 640m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{20}}$s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{25200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 7$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{784}=28$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 7$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{28}}{7}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 13.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{13200}}{\mathrm{66}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 18\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8370\\ -7182\\ 7200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8370|-7182|7200\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7200 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ 246\\ -27\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -80\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -315\\ 45\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}26\\ 246\\ -27\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -74\\ 21\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 242.32 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -80\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{0,7}$ = 2.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{1,2}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -73\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -73\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -67\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-20\\ -73\\ 1.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -67\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2 = 0.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -1600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -1600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 100\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2100\\ -4250\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2100|-4250|650\right)$.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}19\\ 68\\ 1.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}19\\ 68\\ 1.5\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 14\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 14\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 2.2 = 0.2 m