Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}450\\ 900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 200\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1100\\ 2700\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1100|2700|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 270\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|270|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|30|50\right)$ nach P$\left(250|270|170\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{240}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 260m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{10}}$min = 22min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{400}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{300}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also $\frac{\mathrm{5760}}{\mathrm{36}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3834\\ 3858\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3834|3858|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -320\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 48\\ -320\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ -31\\ 242\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 30\\ -239\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}21\\ -31\\ 242\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 242.5 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-35\\ -50\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-35\\ -50\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 32\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,8}$ = 1.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,4}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 19\\ 2.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 1.4\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 19\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 2 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ 1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 10900m (also 10800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{300}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 50\\ 100\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3650\\ -2950\\ 3100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3650|-2950|3100\right)$.