Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-100|100|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 150\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1950\\ -2000\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1950|-2000|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|0|150\right)$ nach P$\left(-1950|-2000|1150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2000\\ -2000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2000)}}^2+{\mathrm{(-2000)}}^2+{1000}^2}=\sqrt{9000000}=3000$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -150\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1800m (also 1800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{50}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -400\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-800)}}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{100}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{450}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{\mathrm{36}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1446\\ -1422\\ 720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1446|-1422|720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 720 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-150\\ -20\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -20\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}36\\ 4\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-146\\ -13\\ 56\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}36\\ 4\\ -5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-114\\ -16\\ 55\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 32.16 m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{0,7}$ = 3.1 = $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{2,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 18\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 18\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 6\\ 2.5\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-20\\ 18\\ 0.1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 6\\ 0.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 0.9 = 1.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 150\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3350\\ 5100\\ 1350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3350|5100|1350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|150|250\right)$ nach P$\left(3350|5100|1350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3300\\ 4950\\ 1100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3300}^2+{4950}^2+{1100}^2}=\sqrt{36602500}=6050$m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-84\\ 46\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$