Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -900\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -150\\ 150\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3200\\ -4650\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3200|-4650|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -100\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4750\\ 3200\\ 1150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4750|3200|1150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(200|-100|50\right)$ nach P$\left(-4750|3200|1150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4950\\ 3300\\ 1100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4950)}}^2+{3300}^2+{1100}^2}=\sqrt{36602500}=6050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 450m (also 440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{440}}{\mathrm{40}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-54\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-54\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-27)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.94 km braucht es also $\frac{\mathrm{5940}}{\mathrm{33}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4860\\ 3240\\ -1080\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4860|3240|-1080\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1080 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 21\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 21\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 16\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 24.72 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}33\\ 0\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{0,7}$ = 3.1 = $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{1,5}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}45\\ 15\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}45\\ 15\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}16\\ -51\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 6s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}16\\ -51\\ 1.4\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}64\\ 21\\ 3.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}64\\ 21\\ 3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 3 = 0.8 m

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}77\\ -83\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 29\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 30\\ 3\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}77\\ -83\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 30\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}57\\ -53\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 107.94 m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 18\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}77\\ -82\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}77\\ -82\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 8s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ -34\\ 3.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}77\\ -82\\ 1.2\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}37\\ -34\\ 3.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 3.6 = 0.2 m