Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 100\\ 100\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1850\\ 3600\\ 2100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1850|3600|2100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -10\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -360\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(250|-360|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|-10|20\right)$ nach P$\left(250|-360|220\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$.
Die Geschwindigkeit ist also v=300$\frac{m}{s}$ = 1080$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 2650m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 1800\\ 900\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{1800}^2+{900}^2}=\sqrt{7290000}=2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{450}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}162\\ 108\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}162\\ 108\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{54}^2+{36}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{66}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}54\\ 36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7566\\ 5022\\ 1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(7566|5022|1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1680 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-115\\ -5\\ 88\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}59\\ 3\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}58\\ -4\\ -41\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-115\\ -5\\ 88\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-55\\ -5\\ 48\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 143.84 m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}27\\ 27\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}27\\ 27\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-54\\ -8\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}95\\ -62\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}95\\ -62\\ 1.4\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ 3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -6\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 1.4 = 1.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}580\\ 680\\ 620\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(580|680|620\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 310m (also 280m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{280}}{\mathrm{10}}$min = 28min lang steigen (bzw. sinken).