Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3400\\ 2150\\ 2200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3400|2150|2200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-880\\ -670\\ 760\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-880|-670|760\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|50|40\right)$ nach P$\left(-880|-670|760\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-840\\ -720\\ 720\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-840)}}^2+{\mathrm{(-720)}}^2+{720}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 5350m (also 5200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{5200}}{\mathrm{100}}$s = 52s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{30}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-168\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{66}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5886\\ -5028\\ 5040\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5886|-5028|5040\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5040 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -80\\ -4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ -80\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -40\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 119\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -40\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -40\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -122\\ -2\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-11\\ 119\\ 8\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -40\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 121.27 km.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}44\\ -46\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,9}$ = 1.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,3}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}41\\ 91\\ 1.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 8s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}41\\ 91\\ 1.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 19\\ 3.9\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 19\\ 3.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.9 - 3.8 = 0.1 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-560\\ -810\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-560|-810|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$