Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1350\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 150\\ 250\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3300\\ -1950\\ 950\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3300|-1950|950\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1850\\ -3650\\ 1400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1850|-3650|1400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-50|200\right)$ nach P$\left(-1850|-3650|1400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ -3600\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{1200}^2}=\sqrt{17640000}=4200$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 280m (also 240m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{10}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -28\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-28)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1936}=44$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{44}}{\mathrm{11}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -144\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -144\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{\mathrm{6480}}{\mathrm{54}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2874\\ -5730\\ 720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2874|-5730|720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 720 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -16\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 14\\ -33\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-34\\ -6\\ 32\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}30\\ 14\\ -33\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.4 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ -40\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ -40\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 73\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{1,6}$ = 3.2 = $\mathrm{0,4}\cdot 8+0$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}85\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}85\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 0.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 64\\ 4.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}85\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}43\\ 64\\ 3.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.5 - 3.6 = 0.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ 240\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|240|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|0|30\right)$ nach P$\left(230|240|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{240}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-240\\ -270\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-240|-270|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|10|50\right)$ nach P$\left(-240|-270|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -280\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-280)}}^2+{\mathrm{(-280)}}^2+{140}^2}=\sqrt{176400}=420$m.