Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 150\\ 200\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2150\\ -2250\\ 1400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2150|-2250|1400\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 0\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ -500\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|-500|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-20|0\right)$ nach P$\left(-460|-500|240\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-480\\ -480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-480)}}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2300m (also 2100m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2100}}{\mathrm{100}}$s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{800}^2+{1400}^2+{800}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{450}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-63\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-63\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{\mathrm{27}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -15\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1671\\ -975\\ -960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1671|-975|-960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -960 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ 9\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 3\\ 27\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}13\\ 9\\ -6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -1\\ 24\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.87 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}34\\ 14\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{0,9}$ = 1.5 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,3}$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -27\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -27\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}33\\ -32\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 1s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}33\\ -32\\ 1.4\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ -23\\ 1.7\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ -23\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1.4 = 0.3 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 30\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}130\\ -280\\ 60\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(130|-280|60\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 40\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ -190\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|-190|90\right)$.