Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}630\\ -350\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(630|-350|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-210\\ -430\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-210|-430|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|50|30\right)$ nach P$\left(-210|-430|90\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -480\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{60}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$ = 216$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 1460m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{40}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -360\\ 120\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{180}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{120}^2}=\sqrt{176400}=420$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{420}}{\mathrm{70}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-96\\ 168\\ 96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-96\\ 168\\ 96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{42}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{10800}}{\mathrm{54}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 42\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4782\\ 8418\\ 4800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4782|8418|4800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4800 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ -24\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -22\\ 53\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ -24\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ 15\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}59\\ 79\\ -122\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -22\\ 53\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ 58\\ -67\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 63.21 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}46\\ 59\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-48\\ -54\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-48\\ -54\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 2.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.3 = 1.5 km

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ -24\\ -40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ -24\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 18\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ -20\\ -34\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}8\\ 18\\ 12\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -6\\ -28\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.36 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}24\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}24\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -21\\ 3.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -21\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.6 - 1.8 = 1.8 km