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cosh
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Ort nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 8s?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Strecke nach t Zeiteinheiten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 12min geflogen?
Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist m.
Geschwindigkeit in km/h
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=110
= 396
Zeit zu gegebener Höhe gesucht
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 1110m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 30 auf 1110m (also 1080m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also min = 18min lang steigen (bzw. sinken).
Geschwindigkeit rückwärts
Beispiel:
Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 21,6km/h in Richtung des Punktes B (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in um: v=
= 6.
Die Länge des Vektors = ist m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6. braucht er für diese Strecke
s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 0,9 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor = zurück.
In 1min legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Die Geradengleichung
beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also v=9
Für die Strecke von 0.9 km braucht es also min
= 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -300 (in m).
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A . Nach 1min ist es im Punkt B angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?
F2 legt in 1min den Vektor = zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.
F1 ist nach 3min an der Stelle P1 = ; F2 an der Stelle P2 = .
= =
d=|| = =
Der Abstand ist also ca. 11.22 km.
Gleiche Höhe bei 2 Objekten
Beispiel:
Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?
Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
nach 8 min sind also beide auf gleicher
Höhe:
Höhendifferenz der Flugbahnen
Beispiel:
Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?
Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor
In 1h legt es also den Vektor
Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 8h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.2 - 1.7 = 0.5 km
Abstand zweier Objekte
Beispiel:
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 15.84 m.
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 21,6 km zurückgelegt hat?
Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=90
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 9630 (in m).