Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 0\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 0\\ 100\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1750\\ 2000\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1750|2000|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 40\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}430\\ -450\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(430|-450|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|30|40\right)$ nach P$\left(430|-450|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ -480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{\mathrm{(-480)}}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ 1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{300}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ -400\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ -400\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 5000m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{10800\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 3$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ 14\\ -7\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-14)}}^2+{14}^2+{\mathrm{(-7)}}^2}=\sqrt{441}=21$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{21}}{3}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}168\\ -96\\ 96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}168\\ -96\\ 96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6714\\ -3822\\ 3840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(6714|-3822|3840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3840 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ -4\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ -17\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}13\\ -4\\ 5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 7.35 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 35\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 35\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}75\\ -87\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{0,9}$ = 1.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{0,2}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}21\\ -2\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}21\\ -2\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1 = 1.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ 150\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|150|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-50|10\right)$ nach P$\left(-190|150|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$m.

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}72\\ -6\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-409\\ 53\\ -9\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}72\\ -6\\ 9\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-328\\ 54\\ -11\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81.03 km.