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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | -150 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-2000 | -1350 | 500)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 11s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1800 \\ -1200 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1800 \\ -1200 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ -150 \\ 100 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -200 \\ -150 \\ 100 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5150 \\ -3450 \\ 1200 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-5150 | -3450 | 1200)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(-170 | -90 | 70)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 11min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ -80 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -10 \\ 50 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ -40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -890 \\ -450 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-890 | -450 | 160)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | -10 | 50)$ nach P $(-890 | -450 | 160)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -880 \\ -440 \\ 110 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-880)}^{2} + {(-440)}^{2} + 110^{2}} = \sqrt{980100} = 990$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -20 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-260 | 220 | 250)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -280 \\ 240 \\ 240 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -280 \\ 240 \\ 240 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-70)}^{2} + 60^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$ = 396 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | -250 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-650 | -550 | 300)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1500m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -200 \\ -250 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 1500m (also 1300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1300}{100}$ s = 13s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-4 | -5 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 39,6km/h in Richtung des Punktes B $(-58 | -41 | 642)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{39600 m}{3600 s}$ = 11 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -54 \\ -36 \\ -12 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-54)}^{2} + {(-36)}^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{4356} = 66$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{66}{11}$ s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(15 | 9 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(21 | 3 | -3)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,08 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 15 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{6^{2} + {(-6)}^{2} + {(-3)}^{2}} = \sqrt{81} = 9$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=9 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also $\frac{1080}{9}$ min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 15 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + 120 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 735 \\ -711 \\ -360 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(735 | -711 | -360)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -360 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -13 \\ 8 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 11 | -1)$ . Nach 2s ist sie im Punkt B $(5 | -17 | 15)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -28 \\ 16 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -28 \\ 16 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -14 \\ 8 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 11 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -14 \\ 8 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -13 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 8 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 5 \\ 11 \\ -1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -14 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 7 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(0 | -20 | 8)

und P₂

(5 | -3 | 7)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 5 - 0 \\ -3 - (-20) \\ 7 - 8 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 5 \\ 17 \\ -1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 5 \\ 17 \\ -1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{5^{2} + 17^{2} + {(-1)}^{2}}

=

\sqrt{315}

≈ 17.748239349299

Der Abstand ist also ca. 17.75 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -10 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-98 | -49 | 1,5)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(-48 | -64 | 2)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ -15 \\ 0.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 50 \\ -15 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -98 \\ -49 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -3 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 0,8$	=	$0,1 t + 1,5$	\| $- 0,8$ $- 0,1 t$
$0,1 t$	=	$0,7$	\|: $0,1$
$t$	=	$7$

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 7 + 0,8$ = 2.2 = $0,1 \cdot 7 + 1,5$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-8 | 4 | 0,5)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(-4 | 44 | 2,5)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -15 \\ 24 \\ 2,3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 40 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 4 \\ 40 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -15 \\ 24 \\ 2.3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -15 & +9 s & = & -8 & +1 t \\ 24 & +0 s & = & 4 & +10 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 9 s & - 1 t & = & 7 & (I) \\ - 10 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & - 1 t & = & 7 & (I) \\ - 10 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & - 1 t & = & + 7 & (I) \\ 0 s & - 10 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & - 1 t & = & 7 & (I) \\ - 10 t & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 10 t & = & - 20 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 9 s & - 1 (2) & = & 7 \end{matrix}

| +

2

9

s =

9

| : 9

s = $1$

$L = {(1 | 2)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 1s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 1s bei $(\begin{matrix} -15 \\ 24 \\ 2.3 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 24 \\ 2.6 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 2s bei $(\begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 0.5 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 10 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 24 \\ 1.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 1.5 = 1.1 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 0 | 200)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(750 | 600 | 500)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 3800m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 600 \\ 600 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 600 \\ 600 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 150 \\ 0 \\ 200 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 300 \\ 300 \\ 150 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 3800m (also 3600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{3600}{150}$ s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -10 \\ -2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | 24 | 7)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(34 | -6 | -5)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

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F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ -30 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ -30 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -10 \\ -4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ 24 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -10 \\ -4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 11 \\ -10 \\ -2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 59 \\ -42 \\ -10 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -2 \\ 24 \\ 7 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -10 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 58 \\ -26 \\ -13 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(59 | -42 | -10)

und P₂

(58 | -26 | -13)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 58 - 59 \\ -26 - (-42) \\ -13 - (-10) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -3 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -3 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-1)}^{2} + 16^{2} + {(-3)}^{2}}

=

\sqrt{266}

≈ 16.3095064303

Der Abstand ist also ca. 16.31 km.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Abstand zweier Objekte