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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | 20 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(220 | 200 | 70)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 10min?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 270 \\ 180 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 270 \\ 180 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ 20 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ 20 \\ 10 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 850 \\ 620 \\ 210 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(850 | 620 | 210)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 30 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(170 | -60 | 100)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 6min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 180 \\ -90 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 180 \\ -90 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 30 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 30 \\ 40 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 60 \\ -30 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 350 \\ -150 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(350 | -150 | 160)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | 30 | 40)$ nach P $(350 | -150 | 160)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 360 \\ -180 \\ 120 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{360^{2} + {(-180)}^{2} + 120^{2}} = \sqrt{176400} = 420$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | -150 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-450 | 200 | 300)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -300 \\ 350 \\ 300 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-300)}^{2} + 350^{2} + 300^{2}} = \sqrt{302500} = 550$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=550 $\frac{m}{s}$ = 1980 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | 30 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(90 | -90 | 160)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 760m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 140 \\ -120 \\ 120 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 140 \\ -120 \\ 120 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ 30 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 760m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{720}{60}$ min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-1 | -3 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(-17 | 5 | 652)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ 8 \\ -2 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-16)}^{2} + 8^{2} + {(-2)}^{2}} = \sqrt{324} = 18$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{18}{9}$ s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | 40 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(110 | 100 | 110)$ angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 6,6 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{70^{2} + 60^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also $\frac{6600}{110}$ s = 60s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \\ 50 \end{matrix}) + 60 \cdot (\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4240 \\ 3640 \\ 3650 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(4240 | 3640 | 3650)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3650 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 31 | -11)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(2 | 11 | 13)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -20 \\ 24 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -8 \\ -20 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 31 \\ -11 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ -1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 9 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 10 \\ 31 \\ -11 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 21 \\ 1 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(0 | -2 | 9)

und P₂

(6 | 21 | 1)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 6 - 0 \\ 21 - (-2) \\ 1 - 9 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 6 \\ 23 \\ -8 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 6 \\ 23 \\ -8 \end{matrix}) |

=

\sqrt{6^{2} + 23^{2} + {(-8)}^{2}}

=

\sqrt{629}

≈ 25.079872407969

Der Abstand ist also ca. 25.08 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 6 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(70 | -14 | 1,1)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(45 | 36 | 3,1)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -25 \\ 50 \\ 2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -25 \\ 50 \\ 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 10 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 70 \\ -14 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 10 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,4 t + 1,1$	\| $- 0,5$ $- 0,4 t$
$0,1 t$	=	$0,6$	\|: $0,1$
$t$	=	$6$

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 6 + 0,5$ = 3.5 = $0,4 \cdot 6 + 1,1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -14 \\ 27 \\ 1,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -7 | 0,5)$ . Nach 5h ist er im Punkt B $(-45 | -2 | 3)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -35 \\ 5 \\ 2.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -35 \\ 5 \\ 2.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -7 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -14 \\ 27 \\ 1.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -7 \\ 0.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -14 & -5 s & = & -10 & -7 t \\ 27 & -3 s & = & -7 & +1 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 5 s & + 7 t & = & 4 & (I) \\ - 3 s & - 1 t & = & - 34 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 7 t & = & 4 & (I) \\ - 3 s & - 1 t & = & - 34 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $3$ ·(I) $- 5$ ·(II)

\begin{matrix} - 5 s & 7 t & = & 4 & (I) \\ (- 15 + 15) s & + (21 + 5) t & = & (12 + 170) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 5 s & + 7 t & = & 4 & (I) \\ + 26 t & = & 182 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 26 t & = & 182 \end{matrix}

t = $7$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 5 s & + 7 \cdot (7) & = & 4 \end{matrix}

| -

49

- 5

s =

- 45

| :

(-5)

s = $9$

$L = {(9 | 7)}$

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 7h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $(\begin{matrix} -14 \\ 27 \\ 1.5 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -5 \\ -3 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -59 \\ 0 \\ 4.2 \end{matrix})$ , während der Heißluftballon F2 nach 7h bei $(\begin{matrix} -10 \\ -7 \\ 0.5 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -7 \\ 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -59 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 4 = 0.2 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -13 \\ 8 \\ -1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(52 | -23 | 6)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(38 | -15 | 6)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -14 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 52 \\ -23 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -14 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -13 \\ 8 \\ -1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -59 \\ 34 \\ -3 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 52 \\ -23 \\ 6 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -14 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -18 \\ 17 \\ 6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-59 | 34 | -3)

und P₂

(-18 | 17 | 6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -18 - (-59) \\ 17 - 34 \\ 6 - (-3) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 41 \\ -17 \\ 9 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 41 \\ -17 \\ 9 \end{matrix}) |

=

\sqrt{41^{2} + {(-17)}^{2} + 9^{2}}

=

\sqrt{2051}

≈ 45.287967496897

Der Abstand ist also ca. 45.29 km.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 30 | 40)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 216km/h in Richtung des Punktes B $(320 | 350 | 200)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{216000 m}{3600 s}$ = 60 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 320 \\ 320 \\ 160 \end{matrix})$ ist $\sqrt{320^{2} + 320^{2} + 160^{2}} = \sqrt{230400} = 480$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{480}{60}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Abstand zweier Objekte

Geschwindigkeit rückwärts