Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 250\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 250\\ 200\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3050\\ 3250\\ 1700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3050|3250|1700\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 0\\ 150\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3050\\ -3850\\ 3450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3050|-3850|3450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-250|0|150\right)$ nach P$\left(3050|-3850|3450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3300\\ -3850\\ 3300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3300}^2+{\mathrm{(-3850)}}^2+{3300}^2}=\sqrt{36602500}=6050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 400m (also 400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{400}}{\mathrm{40}}$min = 10min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-600)}}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{150}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{36}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2892\\ 2868\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2892|2868|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}33\\ -12\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 35\\ 35\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}33\\ -12\\ -18\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 22\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.03 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}28\\ -16\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}28\\ -16\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-133\\ 4\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{1,2}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}52\\ 23\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}52\\ 23\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 9min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}88\\ 41\\ 4.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}52\\ 23\\ 2.2\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}88\\ 41\\ 4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 4 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 100\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2100\\ -1200\\ 350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2100|-1200|350\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$