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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-40 | 0 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-80 | -40 | 40)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 3s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -40 \\ -40 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -100 \\ -60 \\ 50 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-100 | -60 | 50)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(-80 | -80 | 80)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 5min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -70 \\ -60 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -360 \\ -320 \\ 320 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-360 | -320 | 320)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | -20 | 20)$ nach P $(-360 | -320 | 320)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -350 \\ -300 \\ 300 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-350)}^{2} + {(-300)}^{2} + 300^{2}} = \sqrt{302500} = 550$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-130 | 230 | 200)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -180 \\ 210 \\ 180 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-60)}^{2} + 70^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{\min}$ = 6.6 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -20 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(30 | 50 | 80)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 360m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -20 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 360m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{320}{40}$ min = 8min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | 250 | 0)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B $(2800 | 2650 | 2400)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1980000 m}{3600 s}$ = 550 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2800 \\ 2400 \\ 2400 \end{matrix})$ ist $\sqrt{2800^{2} + 2400^{2} + 2400^{2}} = \sqrt{19360000} = 4400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{4400}{550}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-24 | -24 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 4min ist er im Punkt B $(-168 | -168 | 72)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 10,8 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -144 \\ -144 \\ 72 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -144 \\ -144 \\ 72 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ 18 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -24 \\ -24 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ 18 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-36)}^{2} + {(-36)}^{2} + 18^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also $\frac{10800}{54}$ min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ -24 \\ 0 \end{matrix}) + 200 \cdot (\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ 18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7224 \\ -7224 \\ 3600 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-7224 | -7224 | 3600)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3600 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(6 | -2 | -7)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-4 | -6 | 5)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -28 \\ -12 \\ 23 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -7 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -10 \\ 17 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-28 | -12 | 23)

und P₂

(-14 | -10 | 17)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -14 - (-28) \\ -10 - (-12) \\ 17 - 23 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 14 \\ 2 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 14 \\ 2 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{14^{2} + 2^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{236}

≈ 15.362291495737

Der Abstand ist also ca. 15.36 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-34 | -41 | 1,2)$ . Nach 4s ist sie im Punkt B $(-10 | -5 | 1,6)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -7 \\ 7 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Wann sind die Seilbahngondel und die Drohne auf gleicher Höhe?

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Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 36 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 24 \\ 36 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 9 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -34 \\ -41 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 9 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 0,8$	=	$0,1 t + 1,2$	\| $- 0,8$ $- 0,1 t$
$0,1 t$	=	$0,4$	\|: $0,1$
$t$	=	$4$

nach 4 s sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 4 + 0,8$ = 1.6 = $0,1 \cdot 4 + 1,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 1,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -3 | 0,6)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-8 | -7 | 1)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 1.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 6 & -4 s & = & -10 & +2 t \\ 1 & -4 s & = & -3 & -4 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 4 s & - 2 t & = & - 16 & (I) \\ - 4 s & + 4 t & = & - 4 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 s & - 2 t & = & - 16 & (I) \\ - 4 s & + 4 t & = & - 4 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} - 4 s & - 2 t & = & - 16 & (I) \\ (- 4 + 4) s & + (- 2 - 4) t & = & (- 16 + 4) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 s & - 2 t & = & - 16 & (I) \\ - 6 t & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 6 t & = & - 12 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 4 s & - 2 \cdot (2) & = & - 16 \end{matrix}

| +

4

- 4

s =

- 12

| :

(-4)

s = $3$

$L = {(3 | 2)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $(\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 1.6 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -11 \\ 2.2 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 2min bei $(\begin{matrix} -10 \\ -3 \\ 0.6 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -11 \\ 1.4 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.4 = 0.8 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | -250 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(550 | 550 | 450)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 6s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 800 \\ 800 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 800 \\ 800 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -250 \\ -250 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -250 \\ -250 \\ 50 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 400 \\ 400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2150 \\ 2150 \\ 1250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2150 | 2150 | 1250)$ .

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | -10 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(-10 | 50 | 20)$ angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-30)}^{2} + 60^{2} + 20^{2}} = \sqrt{4900} = 70$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=70 $\frac{m}{\min}$ = 4.2 $\frac{km}{h}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h