Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}390\\ 380\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(390|380|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -200\\ 100\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3950\\ -2400\\ 2300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3950|-2400|2300\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|-200|100\right)$ nach P$\left(3950|-2400|2300\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3850\\ -2200\\ 2200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3850}^2+{\mathrm{(-2200)}}^2+{2200}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 700\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ 700\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 5350m (also 5200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{5200}}{\mathrm{200}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{18}^2+{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{27}}{9}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{90}}$s = 80s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 50\\ 30\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3210\\ 5650\\ 3230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3210|5650|3230\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3230 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -50\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -50\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 31\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ -35\\ -5\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 31\\ 16\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.89 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 34\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 24\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 24\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 28\\ 1.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 28\\ 1.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0.7\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 58\\ 3.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}3\\ 28\\ 1.9\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 58\\ 2.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.4 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 250m (also 210m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{210}}{\mathrm{10}}$min = 21min lang steigen (bzw. sinken).

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}32\\ -75\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}32\\ -75\\ 1.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ 2.3\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.8\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.2 = 1.1 km