Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 150\\ 250\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3250\\ 4650\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3250|4650|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ -50\\ 250\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4350\\ 2950\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4350|2950|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(150|-50|250\right)$ nach P$\left(-4350|2950|1250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4500\\ 3000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4500)}}^2+{3000}^2+{1000}^2}=\sqrt{30250000}=5500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{20}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{\min }$ = 1.8$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 130m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -420\\ 140\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{210}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{140}^2}=\sqrt{240100}=490$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{490}}{\mathrm{70}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$.
Die Geschwindigkeit ist also v=21$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.1 km braucht es also $\frac{\mathrm{2100}}{\mathrm{21}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-906\\ 1803\\ -600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-906|1803|-600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -600 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -80\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 40\\ -53\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -40\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -129\\ 178\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 40\\ -53\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -80\\ 127\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 71.07 m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ -2\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{1,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-17\\ -22\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 2min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-17\\ -22\\ 1.4\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -6\\ 1.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -6\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.4 = 0.4 km

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 12\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ -16\\ -3\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 12\\ 8\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -3\\ -2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15.84 km.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -40\\ 40\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-570\\ 770\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-570|770|220\right)$.