Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1750\\ 1050\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1750|1050|1200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 30\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}600\\ -330\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(600|-330|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-10|30\right)$ nach P$\left(600|-330|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}640\\ -320\\ 80\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{640}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$ = 216$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 700\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 700\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 6150m (also 6000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{6000}}{\mathrm{300}}$s = 20s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -45\\ -10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{\mathrm{(-45)}}^2+{\mathrm{(-10)}}^2}=\sqrt{3025}=55$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{11}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also $\frac{\mathrm{5760}}{\mathrm{36}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3834\\ 3834\\ -1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3834|3834|-1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1920 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-56\\ 32\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -1\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 4\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.75 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ -18\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 99\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-28\\ 0\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 9h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}-28\\ 0\\ 0.6\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 0.9\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.8 = 0.2 km

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-84\\ 0\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-84\\ 0\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}82\\ 5\\ -41\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ -1\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ 0\\ 16\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}82\\ 5\\ -41\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}54\\ 5\\ -25\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 96.31 km.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-25\\ 24\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 24\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 9s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 87\\ 4.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-25\\ 24\\ 1.4\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 87\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.2 - 3.2 = 1 m