Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-800\\ -2000\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-800|-2000|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-680\\ -390\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-680|-390|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|30|10\right)$ nach P$\left(-680|-390|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-630\\ -420\\ 140\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-630)}}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{140}^2}=\sqrt{592900}=770$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{\mathrm{(-100)}}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 140m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$min = 12min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{550}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-216\\ -144\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-54)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{66}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-54\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7584\\ -5034\\ 1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7584|-5034|1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1680 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 48\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 48\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}47\\ -21\\ -16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 15\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-104\\ 65\\ 54\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}47\\ -21\\ -16\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-49\\ 43\\ 32\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 63.19 m.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-32\\ -71\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 5+\mathrm{0,6}$ = 2.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{1,1}$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 22\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 2s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ 22\\ 1.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 12\\ 2.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 12\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.4 = 0.8 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 130m (also 80m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{10}}$min = 8min lang steigen (bzw. sinken).

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}101\\ -104\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}101\\ -104\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 0.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}59\\ -48\\ 3.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}101\\ -104\\ 1.4\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}59\\ -48\\ 3.5\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 3.5 = 0.3 km