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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|-50|200) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (1450|-1250|1400) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 12s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 1400 -1200 1200 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 1400 -1200 1200 ) = ( 350 -300 300 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 50 -50 200 ) +t ( 350 -300 300 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 50 -50 200 ) +12 ( 350 -300 300 ) = ( 4250 -3650 3800 ) , also im Punkt P(4250|-3650|3800).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|40|40) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-130|-40|80) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 3min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -80 -80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 40 40 ) +t ( -80 -80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 40 40 ) +3 ( -80 -80 40 ) = ( -290 -200 160 ) , also im Punkt P(-290|-200|160).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|40|40) nach P(-290|-200|160) bewegt, also um den Vektor AP = ( -240 -240 120 ) . Dessen Länge ist (-240) 2 + (-240)2 + 120 2 = 129600 = 360m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (40|20|20) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (100|80|50) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( 60 60 30 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 60 2 + 602 + 30 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m min = 5.4 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-20|50|10) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-300|210|170) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 1770m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -280 160 160 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -280 160 160 ) = ( -70 40 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -20 50 10 ) +t ( -70 40 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 10 auf 1770m (also 1760m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1760 40 min = 44min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|-30|30) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (-400|270|130) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 396000 m 3600 s = 110 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -450 300 100 ) ist (-450) 2 + 3002 + 100 2 = 302500 = 550 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 m s . braucht er für diese Strecke 550 110 s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (3|0|0) (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-3|-6|-3) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 1,08 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor AB = ( -6 -6 -3 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 3 0 0 ) +t ( -6 -6 -3 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-6) 2 + (-6)2 + (-3) 2 = 81 = 9.
Die Geschwindigkeit ist also v=9 m min
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also 1080 9 min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 3 0 0 ) +120 ( -6 -6 -3 ) = ( -717 -720 -360 ) , also im Punkt P(-717|-720|-360).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -360m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -3 1 ) +t ( -10 11 -2 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (26|-33|16) . Nach 1s ist sie im Punkt B (16|-21|12) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 2s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( -10 12 -4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 26 -33 16 ) +t ( -10 12 -4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P1 ( -10 -3 1 ) +2 ( -10 11 -2 ) = ( -30 19 -3 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 26 -33 16 ) +2 ( -10 12 -4 ) = ( 6 -9 8 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-30|19|-3) und P2(6|-9|8):
P1P2 = ( 6-( - 30 ) -9-19 8-( - 3 ) ) = ( 36 -28 11 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 36 -28 11 ) | = 36 2 + (-28)2 + 11 2 = 2201 ≈ 46.91481642296

Der Abstand ist also ca. 46.91 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 8 -3 0,6 ) +t ( 1 2 0,4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-8|5|1,3) . Nach 4min ist es im Punkt B (8|5|2,5) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor AB = ( 16 0 1.2 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 16 0 1.2 ) = ( 4 0 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -8 5 1.3 ) +t ( 4 0 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,4t +0,6 = 0,3t +1,3 | -0,6 -0,3t
0,1t = 0,7 |:0,1
t = 7

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,47 +0,6 = 3.4 = 0,37 +1,3


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -39 64 1,5 ) +t ( 7 -3 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-7|10|0,8) . Nach 1h ist er im Punkt B (1|20|1) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor AB = ( 8 10 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -7 10 0.8 ) +t ( 8 10 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -39 64 1.5 ) +s ( 7 -3 0.1 ) = ( -7 10 0.8 ) +t ( 8 10 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-39+7s= -7+8t64-3s= 10+10t

7 s -8 t = 32 (I) -3 s -10 t = -54 (II)
7 s -8 t = 32 (I) -3 s -10 t = -54 (II)

langsame Rechnung einblenden3·(I) + 7·(II)

7 s -8 t = 32 (I) ( 21 -21 )s +( -24 -70 )t = ( 96 -378 ) (II)
7 s -8 t = 32 (I) -94 t = -282 (II)
Zeile (II): -94 t = -282

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

7 s -8 ·(3 ) = 32 | +24
7 s = 56 | : 7

s = 8

L={(8 |3 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei ( -39 64 1.5 ) +8 ( 7 -3 0.1 ) = ( 17 40 2.3 ) , während der Heißluftballon F2 nach 3h bei ( -7 10 0.8 ) +3 ( 8 10 0.2 ) = ( 17 40 1.4 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 1.4 = 0.9 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-25|51|6) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-17|37|6) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -8 5 2 ) +t ( 8 -13 -1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor AB = ( 8 -14 0 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -25 51 6 ) +t ( 8 -14 0 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P1 ( -8 5 2 ) +5 ( 8 -13 -1 ) = ( 32 -60 -3 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( -25 51 6 ) +5 ( 8 -14 0 ) = ( 15 -19 6 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(32|-60|-3) und P2(15|-19|6):
P1P2 = ( 15-32 -19-( - 60 ) 6-( - 3 ) ) = ( -17 41 9 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -17 41 9 ) | = (-17) 2 + 412 + 9 2 = 2051 ≈ 45.287967496897

Der Abstand ist also ca. 45.29 m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-3|20|8) (alle Angaben in Meter). Nach 5min ist er im Punkt B (17|5|-2) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 3 3 2 ) +t ( 4 -3 -1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor AB = ( 20 -15 -10 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( 20 -15 -10 ) = ( 4 -3 -2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -3 20 8 ) +t ( 4 -3 -2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P1 ( 3 3 2 ) +5 ( 4 -3 -1 ) = ( 23 -12 -3 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( -3 20 8 ) +5 ( 4 -3 -2 ) = ( 17 5 -2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(23|-12|-3) und P2(17|5|-2):
P1P2 = ( 17-23 5-( - 12 ) -2-( - 3 ) ) = ( -6 17 1 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -6 17 1 ) | = (-6) 2 + 172 + 1 2 = 326 ≈ 18.055470085268

Der Abstand ist also ca. 18.06 m.