Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-510\\ -310\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-510|-310|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-320\\ -190\\ 110\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-320|-190|110\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-40|10\right)$ nach P$\left(-320|-190|110\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{\mathrm{(-150)}}^2+{100}^2}=\sqrt{122500}=350$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{s}$ = 216$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 2850m (also 2600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2600}}{\mathrm{200}}$s = 13s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1260000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 350$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ -2100\\ 700\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1050}^2+{\mathrm{(-2100)}}^2+{700}^2}=\sqrt{6002500}=2450$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2450}}{\mathrm{350}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+9^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$.
Die Geschwindigkeit ist also v=21$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.94 km braucht es also $\frac{\mathrm{2940}}{\mathrm{21}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2535\\ 1266\\ -840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2535|1266|-840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -840 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}45\\ 18\\ -29\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-43\\ -8\\ 54\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}45\\ 18\\ -29\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 31\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 44.82 km.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}67\\ -66\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ 27\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}21\\ 27\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-42\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-42\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 1.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ 19\\ 1.9\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}-42\\ 10\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ 19\\ 0.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.9 - 0.3 = 1.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-900\\ -440\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-900|-440|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|0|10\right)$ nach P$\left(-900|-440|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-880\\ -440\\ 110\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-880)}}^2+{\mathrm{(-440)}}^2+{110}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-370\\ 260\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-370|260|190\right)$.