Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-240\\ 430\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-240|430|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 10\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1000\\ 660\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1000|660|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|0|10\right)$ nach P$\left(1000|660|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}990\\ 660\\ 220\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{990}^2+{660}^2+{220}^2}=\sqrt{1464100}=1210$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 1300m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{100}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{72}}{\mathrm{12}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{70}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 24.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{24200}}{\mathrm{110}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 10\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13190\\ 15370\\ 13210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(13190|15370|13210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 13210 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}125\\ 11\\ -175\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 3\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-44\\ 12\\ 58\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}125\\ 11\\ -175\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}85\\ 11\\ -115\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 215.8 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}45\\ 10\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}45\\ 10\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,9}$ = 1.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,3}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-34\\ 45\\ 2.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 4min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}-34\\ 45\\ 2.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 5\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 0.6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1 = 2.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 20\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}510\\ -220\\ 180\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(510|-220|180\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 50\\ 100\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4200\\ 4450\\ 2300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4200|4450|2300\right)$.