Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 400\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2050\\ 4000\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2050|4000|550\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1400\\ 3100\\ 1050\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1400|3100|1050\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|100|50\right)$ nach P$\left(1400|3100|1050\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1500\\ 3000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1500}^2+{3000}^2+{1000}^2}=\sqrt{12250000}=3500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-30)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$ = 252$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 880m (also 840m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{840}}{\mathrm{40}}$min = 21min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{80}^2+{160}^2+{20}^2}=\sqrt{32400}=180$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{90}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{42}^2+{36}^2+{36}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 9.24 km braucht es also $\frac{\mathrm{9240}}{\mathrm{66}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 30\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5886\\ 5070\\ 5040\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5886|5070|5040\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5040 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}90\\ 8\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 0\\ 7\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}90\\ 8\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 6\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81.28 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}21\\ 21\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-33\\ -73\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 4+\mathrm{0,9}$ = 1.3 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}26\\ 11\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 11\\ 2.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}76\\ -4\\ 3.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}26\\ 11\\ 2.2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}76\\ -4\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 3.2 = 0.6 km

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -50\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 22\\ -10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ -2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -42\\ 53\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}3\\ 22\\ -10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -28\\ 50\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 14.87 m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -50\\ 250\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1150\\ -500\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1150|-500|550\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-50|250\right)$ nach P$\left(1150|-500|550\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -450\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{900}^2+{\mathrm{(-450)}}^2+{300}^2}=\sqrt{1102500}=1050$m.