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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (40|-50|50) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (220|-170|90) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 4s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( 180 -120 40 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( 180 -120 40 ) = ( 90 -60 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 40 -50 50 ) +t ( 90 -60 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 40 -50 50 ) +4 ( 90 -60 20 ) = ( 400 -290 130 ) , also im Punkt P(400|-290|130).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|100|0) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-750|500|400) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 10s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -700 400 400 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -700 400 400 ) = ( -350 200 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 100 0 ) +t ( -350 200 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 100 0 ) +10 ( -350 200 200 ) = ( -3550 2100 2000 ) , also im Punkt P(-3550|2100|2000).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|100|0) nach P(-3550|2100|2000) bewegt, also um den Vektor AP = ( -3500 2000 2000 ) . Dessen Länge ist (-3500) 2 + 20002 + 2000 2 = 20250000 = 4500m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (100|200|50) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-500|800|350) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -600 600 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -600 600 300 ) = ( -300 300 150 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-300) 2 + 3002 + 150 2 = 202500 = 450.
Die Geschwindigkeit ist also v=450 m s = 1620 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-150|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-1050|450|650) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 6050m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -1050 600 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -1050 600 600 ) = ( -350 200 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -150 50 ) +t ( -350 200 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 50 auf 6050m (also 6000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 6000 200 s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (100|-250|200) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1620km/h in Richtung des Punktes B (-2600|-2950|1550) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1620000 m 3600 s = 450 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -2700 -2700 1350 ) ist (-2700) 2 + (-2700)2 + 1350 2 = 16402500 = 4050 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450 m s . braucht er für diese Strecke 4050 450 s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (24|30|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 4min ist er im Punkt B (168|174|72) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 10,8 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor AB = ( 144 144 72 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 144 144 72 ) = ( 36 36 18 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 24 30 0 ) +t ( 36 36 18 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 36 2 + 362 + 18 2 = 2916 = 54.
Die Geschwindigkeit ist also v=54 m min
Für die Strecke von 10.8 km braucht es also 10800 54 min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 24 30 0 ) +200 ( 36 36 18 ) = ( 7224 7230 3600 ) , also im Punkt P(7224|7230|3600).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 3600 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -4 -5 -2 ) +t ( 4 -4 -3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-2|0|9) . Nach 4min ist es im Punkt B (14|-20|-3) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 2min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor AB = ( 16 -20 -12 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 16 -20 -12 ) = ( 4 -5 -3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -2 0 9 ) +t ( 4 -5 -3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P1 ( -4 -5 -2 ) +2 ( 4 -4 -3 ) = ( 4 -13 -8 ) ; F2 an der Stelle P2 ( -2 0 9 ) +2 ( 4 -5 -3 ) = ( 6 -10 3 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(4|-13|-8) und P2(6|-10|3):
P1P2 = ( 6-4 -10-( - 13 ) 3-( - 8 ) ) = ( 2 3 11 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 2 3 11 ) | = 2 2 + 32 + 11 2 = 134 ≈ 11.57583690279

Der Abstand ist also ca. 11.58 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 10 -9 1 ) +t ( -10 3 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-6|-20|0) . Nach 1min ist es im Punkt B (-13|-10|0,3) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor AB = ( -7 10 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -6 -20 0 ) +t ( -7 10 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,2t +1 = 0,3t +0
0,2t +1 = 0,3t | -1 -0,3t
-0,1t = -1 |:(-0,1 )
t = 10

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,210 +1 = 3 = 0,310 +0


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-27|30|0) . Nach 1s ist sie im Punkt B (-21|30|0,4) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -3 -6 1,6 ) +t ( 3 6 0,2 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor AB = ( 6 0 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -27 30 0 ) +t ( 6 0 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -3 -6 1.6 ) +s ( 3 6 0.2 ) = ( -27 30 0 ) +t ( 6 0 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-3+3s= -27+6t-6+6s= 30+0t

3s -6t = -24 (I) 6s = 36 (II)
3s -6t = -24 (I) 6s = 36 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

3s -6t = -24 (I) ( 6 -6 )s +( -12 +0)t = ( -48 -36 ) (II)
3s -6t = -24 (I) -12t = -84 (II)
Zeile (II): -12t = -84

t = 7

eingesetzt in Zeile (I):

3s -6·(7 ) = -24 | +42
3 s = 18 | : 3

s = 6

L={(6 |7 )}

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 7s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei ( -3 -6 1.6 ) +6 ( 3 6 0.2 ) = ( 15 30 2.8 ) , während die Seilbahngondel nach 7s bei ( -27 30 0 ) +7 ( 6 0 0.4 ) = ( 15 30 2.8 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.8 = 0 m

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (8|14|-11) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (4|4|1) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 3 2 -1 ) +t ( -2 -10 11 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 3min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor AB = ( -4 -10 12 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 8 14 -11 ) +t ( -4 -10 12 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P1 ( 3 2 -1 ) +3 ( -2 -10 11 ) = ( -3 -28 32 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( 8 14 -11 ) +3 ( -4 -10 12 ) = ( -4 -16 25 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-3|-28|32) und P2(-4|-16|25):
P1P2 = ( -4-( - 3 ) -16-( - 28 ) 25-32 ) = ( -1 12 -7 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -1 12 -7 ) | = (-1) 2 + 122 + (-7) 2 = 194 ≈ 13.928388277184

Der Abstand ist also ca. 13.93 m.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|30|0) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (630|450|140) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 396000 m 3600 s = 110 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 630 420 140 ) ist 630 2 + 4202 + 140 2 = 592900 = 770 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 m s . braucht er für diese Strecke 770 110 s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.