Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}930\\ -480\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(930|-480|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 50\\ 250\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1400\\ 2300\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1400|2300|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-100|50|250\right)$ nach P$\left(1400|2300|750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1500\\ 2250\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1500}^2+{2250}^2+{500}^2}=\sqrt{7562500}=2750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 900\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 900\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 450\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{450}^2+{100}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 750m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{30}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{432000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 120$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{160}^2+{\mathrm{(-160)}}^2+{80}^2}=\sqrt{57600}=240$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 120$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{240}}{\mathrm{120}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 19.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{19800}}{\mathrm{90}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 10\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13170\\ 13230\\ 6610\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-13170|13230|6610\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6610 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 16\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 13\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 15 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-50\\ 15\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 15\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,8}$ = 1.8 = $\mathrm{0,1}\cdot 5+\mathrm{1,3}$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -21\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -21\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}45\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}45\\ -15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ -43\\ 2.1\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}45\\ -15\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ -43\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.2 = 0.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 4850m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-89\\ 96\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 8s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-89\\ 96\\ 0.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-49\\ 16\\ 2.1\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.9\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-49\\ 16\\ 1.7\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.7 = 0.4 m