Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1000\\ 600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1200|1000|600\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 50\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}440\\ -380\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(440|-380|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|20|50\right)$ nach P$\left(440|-380|250\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{400}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 160\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{80}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 360m (also 320m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{320}}{\mathrm{20}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-7)}}^2+4^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{90}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 11 km braucht es also $\frac{\mathrm{11000}}{\mathrm{110}}$s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8990\\ 6000\\ 2030\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(8990|6000|2030\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2030 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 39\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -3\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 17\\ -162\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 39\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 23\\ -121\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 41.48 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ 32\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ 32\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-44\\ 12\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 3+\mathrm{0,5}$ = 2 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{1,1}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}45\\ 45\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}45\\ 45\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}24\\ 23\\ 1.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}24\\ 23\\ 1.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 23\\ 2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 0.7\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 23\\ 1.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.3 = 0.7 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 0\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 800m (also 550m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{50}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 0.54 km braucht es also $\frac{\mathrm{540}}{9}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 15\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-375\\ 375\\ -180\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-375|375|-180\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -180 (in m).