Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 20\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(210|-180|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 30\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}630\\ 570\\ 330\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(630|570|330\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-30|30\right)$ nach P$\left(630|570|330\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 600\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{600}^2+{600}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 650m (also 550m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{50}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-420\\ 420\\ 210\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-420)}}^2+{420}^2+{210}^2}=\sqrt{396900}=630$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{630}}{\mathrm{90}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{27}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3357\\ 1923\\ -1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3357|1923|-1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1920 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -15\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ -1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -9\\ -6\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 10\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.45 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 25\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 25\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -9\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{0,8}$ = 2.2 = $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{1,5}$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}27\\ 4\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ 4\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ 8\\ 1.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}27\\ 4\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ 8\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.6 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ 50\\ 200\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3050\\ -1550\\ 1800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3050|-1550|1800\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-250|50|200\right)$ nach P$\left(-3050|-1550|1800\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2800\\ -1600\\ 1600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2800)}}^2+{\mathrm{(-1600)}}^2+{1600}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 5050m (also 4950m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4950}}{\mathrm{150}}$s = 33s lang steigen (bzw. sinken).