Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ 240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 40\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}570\\ 470\\ 520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(570|470|520\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -600\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -600\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4450\\ -2300\\ 800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4450|-2300|800\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-100|250\right)$ nach P$\left(-4450|-2300|800\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4400\\ -2200\\ 550\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4400)}}^2+{\mathrm{(-2200)}}^2+{550}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 410m (also 390m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{390}}{\mathrm{10}}$min = 39min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3200\\ 1600\\ 400\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-3200)}}^2+{1600}^2+{400}^2}=\sqrt{12960000}=3600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{450}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 210\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{14400}}{\mathrm{90}}$s = 160s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -30\\ 20\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6430\\ 11170\\ 6420\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-6430|11170|6420\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6420 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -19\\ 14\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -17\\ 16\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.36 m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ -40\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ -40\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 35\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}80\\ 3\\ 2.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 5h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}80\\ 3\\ 2.3\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}35\\ -2\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}35\\ -2\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 2.2 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}550\\ -270\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(550|-270|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|0|10\right)$ nach P$\left(550|-270|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}540\\ -270\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{540}^2+{\mathrm{(-270)}}^2+{180}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}71\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,2}$