Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 30\\ 40\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}280\\ -210\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(280|-210|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}380\\ -330\\ 310\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(380|-330|310\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-30|10\right)$ nach P$\left(380|-330|310\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 120\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 900m (also 880m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{880}}{\mathrm{20}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3600\\ 2400\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{3600}^2+{2400}^2+{800}^2}=\sqrt{19360000}=4400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{4400}}{\mathrm{550}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 6.72 km braucht es also $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{42}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5784\\ -2910\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5784|-2910|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 122\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -39\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 122\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 82\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 121.6 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -14\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,9}$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -50\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -50\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ 47\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 47\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 8h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -33\\ 4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}9\\ 47\\ 0.8\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -33\\ 4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 4 = 0 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -50\\ 10\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 30\\ 50\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(90|30|50\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-50|10\right)$ nach P$\left(90|30|50\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 30\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-420\\ 410\\ 230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-420|410|230\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|10|30\right)$ nach P$\left(-420|410|230\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-400)}}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.