Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -30\\ 40\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-550\\ -390\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-550|-390|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -250\\ 150\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2400\\ 1250\\ 650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2400|1250|650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|-250|150\right)$ nach P$\left(-2400|1250|650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2250\\ 1500\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2250)}}^2+{1500}^2+{500}^2}=\sqrt{7562500}=2750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{80}^2+{10}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 120m (also 110m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{110}}{\mathrm{10}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{550}}{\mathrm{110}}$s = 5s.
Punkt B wird als nach 5s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}72\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}72\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{441}=21$.
Die Geschwindigkeit ist also v=21$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{4620}}{\mathrm{21}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3966\\ -1971\\ -1320\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3966|-1971|-1320\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1320 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}90\\ 18\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 10\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-151\\ 10\\ 20\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}90\\ 18\\ -4\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 10\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 31\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,2}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ 50\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-23\\ -39\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 1.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -39\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 1.8\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}-23\\ -39\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.2 = 0.8 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2050\\ 1950\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2050|1950|1200\right)$.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -20\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -10\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -20\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ -10\\ 0.8\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -4\\ 2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ -20\\ 1.6\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 2 = 0 km