Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 50\\ 100\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2450\\ 2450\\ 1300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2450|2450|1300\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}310\\ 140\\ 70\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(310|140|70\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|-40|10\right)$ nach P$\left(310|140|70\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ 180\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{270}^2+{180}^2+{60}^2}=\sqrt{108900}=330$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{\min }$ = 4.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 930m (also 900m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{30}}$s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{600}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{300}^2}=\sqrt{810000}=900$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{150}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{7200}}{\mathrm{36}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4788\\ 4791\\ -2400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4788|4791|-2400\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2400 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ -16\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ 4\\ 15\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}22\\ -16\\ -9\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 33 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}17\\ 0\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,8}$ = 1.4 = $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{1,1}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}33\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 9s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}33\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 32\\ 2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 32\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 1.8 = 0.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 50\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}360\\ -640\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(360|-640|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$.
Die Geschwindigkeit ist also v=300$\frac{m}{s}$ = 1080$\frac{\mathrm{km}}{h}$