Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 200\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1400\\ -550\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1400|-550|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3200\\ 3350\\ 1650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3200|3350|1650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|150|50\right)$ nach P$\left(3200|3350|1650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3200\\ 3200\\ 1600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3200}^2+{3200}^2+{1600}^2}=\sqrt{23040000}=4800$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{40}^2+{70}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ 800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 200\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 8800m (also 8800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{8800}}{\mathrm{200}}$s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1260000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 350$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2400\\ 1200\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{2400}^2+{1200}^2+{800}^2}=\sqrt{7840000}=2800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2800}}{\mathrm{350}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{18}}$min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2868\\ -2886\\ -1440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2868|-2886|-1440\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-19\\ -10\\ 11\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 11\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 9 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}12\\ 27\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}12\\ 27\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-26\\ -67\\ 2.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 8+\mathrm{0,7}$ = 3.1 = $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{2,3}$

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 0\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 0\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-34\\ 2\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-34\\ 2\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.5\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}-34\\ 2\\ 1.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ 3.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

5 - 3.1 = 1.9 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ -160\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -10\\ 40\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-370\\ -210\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-370|-210|90\right)$.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2800\\ 1600\\ 1600\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-2800)}}^2+{1600}^2+{1600}^2}=\sqrt{12960000}=3600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3600}}{\mathrm{450}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.