Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 40\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ -280\\ 200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|-280|200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -50\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-480\\ 430\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-480|430|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-50|50\right)$ nach P$\left(-480|430|290\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-480\\ 480\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-480)}}^2+{480}^2+{240}^2}=\sqrt{518400}=720$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 1060m (also 1040m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1040}}{\mathrm{20}}$min = 52min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{43200\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 12$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{72}}{\mathrm{12}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.16 km braucht es also $\frac{\mathrm{2160}}{\mathrm{36}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1410\\ -1440\\ 720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1410|-1440|720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 720 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 78\\ -30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ -24\\ 13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -97\\ 52\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 78\\ -30\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ -18\\ 18\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 94.03 km.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -59\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 7+\mathrm{0,8}$ = 2.2 = $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{1,5}$

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -14\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -14\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-55\\ 27\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}-55\\ 27\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -22\\ 2.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -22\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.6 = 1.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 4950m (also 4800m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4800}}{\mathrm{200}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 2.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 2.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-26\\ 70\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-26\\ 70\\ 1.4\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 16\\ 3.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 16\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 2 = 1.8 km