Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 400\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ 400\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 100\\ 100\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ 200\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4750\\ 2500\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4750|2500|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ -900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1550\\ -1500\\ 1550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1550|-1500|1550\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|0|50\right)$ nach P$\left(1550|-1500|1550\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1750\\ -1500\\ 1500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1750}^2+{\mathrm{(-1500)}}^2+{1500}^2}=\sqrt{7562500}=2750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -50\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 11950m (also 11700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{11700}}{\mathrm{300}}$s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-200)}}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{300}}{\mathrm{150}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-30)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 16.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{16800}}{\mathrm{70}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 40\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7220\\ 14410\\ 4840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-7220|14410|4840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4840 (in m).

Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 32\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}76\\ -23\\ -44\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 13\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-51\\ 33\\ 28\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}76\\ -23\\ -44\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ 1\\ -12\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 94.15 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-45\\ -35\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-45\\ -35\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}43\\ 18\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{0,6}$ = 3.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+\mathrm{1,3}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ -20\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 1.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 1.3\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 1.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ 0.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.6 = 0.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ 250\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1600\\ 3400\\ 1800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1600|3400|1800\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|250|0\right)$ nach P$\left(1600|3400|1800\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ 3150\\ 1800\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1800}^2+{3150}^2+{1800}^2}=\sqrt{16402500}=4050$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -200\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 600m (also 350m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{350}}{\mathrm{50}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).