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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | -10 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-110 | 70 | 40)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 8s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 80 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ 80 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ -10 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 50 \\ -10 \\ 20 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -80 \\ 40 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -590 \\ 310 \\ 100 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-590 | 310 | 100)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-30 | -20 | 20)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 4s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ -80 \\ 50 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-90 | -80 | 50)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-10 | 0 | 10)$ nach P $(-90 | -80 | 50)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-80)}^{2} + {(-80)}^{2} + 40^{2}} = \sqrt{14400} = 120$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | -40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(140 | -200 | 110)$ angelangt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 160 \\ -160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{80^{2} + {(-80)}^{2} + 40^{2}} = \sqrt{14400} = 120$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=120 $\frac{m}{s}$ = 432 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(120 | -120 | 70)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 390m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ -80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ -40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 390m (also 360m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{360}{10}$ s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-2 | -1 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 32,4km/h in Richtung des Punktes B $(30 | 15 | 650)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{32400 m}{3600 s}$ = 9 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 16 \\ -4 \end{matrix})$ ist $\sqrt{32^{2} + 16^{2} + {(-4)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{36}{9}$ s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(24 | 18 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 4min ist er im Punkt B $(-120 | 162 | 72)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 5,4 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -144 \\ 144 \\ 72 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -144 \\ 144 \\ 72 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 24 \\ 18 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-36)}^{2} + 36^{2} + 18^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 5.4 km braucht es also $\frac{5400}{54}$ min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 18 \\ 0 \end{matrix}) + 100 \cdot (\begin{matrix} -36 \\ 36 \\ 18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3576 \\ 3618 \\ 1800 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-3576 | 3618 | 1800)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1800 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -6 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(23 | 1 | -8)$ . Nach 5min ist es im Punkt B $(-27 | -19 | 52)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

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F2 legt in 5min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -20 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} -50 \\ -20 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 23 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 7 \\ -6 \\ -2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -2 \\ 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -33 \\ -14 \\ 42 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 23 \\ 1 \\ -8 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ -4 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -17 \\ -15 \\ 40 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-33 | -14 | 42)

und P₂

(-17 | -15 | 40)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -17 - (-33) \\ -15 - (-14) \\ 40 - 42 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 16 \\ -1 \\ -2 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 16 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}) |

=

\sqrt{16^{2} + {(-1)}^{2} + {(-2)}^{2}}

=

\sqrt{261}

≈ 16.155494421404

Der Abstand ist also ca. 16.16 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(102 | -85 | 1,2)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(93 | -73 | 2,1)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 12 \\ 0.9 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -9 \\ 12 \\ 0.9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 102 \\ -85 \\ 1.2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,4 t + 0,6$	=	$0,3 t + 1,2$	\| $- 0,6$ $- 0,3 t$
$0,1 t$	=	$0,6$	\|: $0,1$
$t$	=	$6$

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,4 \cdot 6 + 0,6$ = 3 = $0,3 \cdot 6 + 1,2$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0,6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-27 | -15 | 0,9)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-51 | 5 | 2,1)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 20 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -24 \\ 20 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -27 \\ -15 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0.6 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -27 \\ -15 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} 10 & -7 s & = & -27 & -6 t \\ 2 & -1 s & = & -15 & +5 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 7 s & + 6 t & = & - 37 & (I) \\ - 1 s & - 5 t & = & - 17 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & + 6 t & = & - 37 & (I) \\ - 1 s & - 5 t & = & - 17 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $1$ ·(I) $- 7$ ·(II)

\begin{matrix} - 7 s & 6 t & = & - 37 & (I) \\ (- 7 + 7) s & + (6 + 35) t & = & (- 37 + 119) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & + 6 t & = & - 37 & (I) \\ + 41 t & = & 82 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 41 t & = & 82 \end{matrix}

t = $2$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 7 s & + 6 \cdot (2) & = & - 37 \end{matrix}

| -

12

- 7

s =

- 49

| :

(-7)

s = $7$

$L = {(7 | 2)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \\ 0.6 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -1 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -39 \\ -5 \\ 3.4 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 2min bei $(\begin{matrix} -27 \\ -15 \\ 0.9 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -39 \\ -5 \\ 1.5 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1.5 = 1.9 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -250 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(350 | -650 | 350)$ angelangt.
Wo ist die Rakete nach 6s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -50 \\ -250 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -50 \\ -250 \\ 150 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2350 \\ -2650 \\ 1350 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2350 | -2650 | 1350)$ .

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-50 | -10 | 20)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 324km/h in Richtung des Punktes B $(-230 | -190 | 110)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{324000 m}{3600 s}$ = 90 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-180)}^{2} + {(-180)}^{2} + 90^{2}} = \sqrt{72900} = 270$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{270}{90}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

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Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts