Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 40\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ 280\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|280|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -440\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(200|-440|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-40|50\right)$ nach P$\left(200|-440|100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{300}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 6000m (also 5850m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{5850}}{\mathrm{150}}$s = 39s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ 1400\\ 800\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-800)}}^2+{1400}^2+{800}^2}=\sqrt{3240000}=1800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1800}}{\mathrm{450}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 16.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{16800}}{\mathrm{120}}$s = 140s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 40\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11200\\ -11240\\ 5640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(11200|-11240|5640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 5640 (in m).

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 151\\ -16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -80\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -410\\ 55\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}10\\ 151\\ -16\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -80\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -249\\ 44\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 161.39 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 0\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ 0\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-26\\ 42\\ 2.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 10+\mathrm{0,5}$ = 5.5 = $\mathrm{0,3}\cdot 10+\mathrm{2,5}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-31\\ 86\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 6s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 6s bei $\left(\begin{array}{c}-31\\ 86\\ 1.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 38\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}9\\ -7\\ 0.6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 38\\ 2.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 2.6 = 0.8 m

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -9\\ 53\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ 13\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ 35\\ -50\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -9\\ 53\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 15\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 63.25 km.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{11}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.