Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}760\\ 800\\ 440\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(760|800|440\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -20\\ 20\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}130\\ 100\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(130|100|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|-20|20\right)$ nach P$\left(130|100|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{120}^2+{120}^2+{60}^2}=\sqrt{32400}=180$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -1200\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{200}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{50}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 1050\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ 1050\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ 100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 9000m (also 9000m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{9000}}{\mathrm{300}}$s = 30s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{216000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 60$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{60}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.08 km braucht es also $\frac{\mathrm{1080}}{\mathrm{27}}$min = 40min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 0\end{array}\right)+40\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-828\\ 486\\ -480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-828|486|-480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -480 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -42\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -42\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 13\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -13\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -14\\ 9\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}4\\ 13\\ -4\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -14\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.15 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 5h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-62\\ 115\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 8+\mathrm{0,5}$ = 4.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 8+\mathrm{1,3}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ -24\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}15\\ 15\\ 0.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}15\\ 15\\ 0.4\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -9\\ 1.2\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0.9\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -9\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.2 - 1 = 0.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 40\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}640\\ -950\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(640|-950|260\right)$.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ -20\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ -20\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-91\\ -23\\ 0.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-91\\ -23\\ 0.2\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -7\\ 3.4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0.8\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -7\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 1 = 2.4 m