nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|-20|30) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-120|-230|150) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 11s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -120 -210 120 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -120 -210 120 ) = ( -40 -70 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 -20 30 ) +t ( -40 -70 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 -20 30 ) +11 ( -40 -70 40 ) = ( -440 -790 470 ) , also im Punkt P(-440|-790|470).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (100|100|50) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (1300|1300|650) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 11s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( 1200 1200 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 1200 1200 600 ) = ( 400 400 200 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 100 100 50 ) +t ( 400 400 200 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 100 100 50 ) +11 ( 400 400 200 ) = ( 4500 4500 2250 ) , also im Punkt P(4500|4500|2250).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(100|100|50) nach P(4500|4500|2250) bewegt, also um den Vektor AP = ( 4400 4400 2200 ) . Dessen Länge ist 4400 2 + 44002 + 2200 2 = 43560000 = 6600m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|10|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (-280|250|290) angelangt.
Gib die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h an?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -280 240 240 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -280 240 240 ) = ( -70 60 60 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-70) 2 + 602 + 60 2 = 12100 = 110.
Die Geschwindigkeit ist also v=110 m min = 6.6 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (10|-10|40) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-20|-70|60) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 200m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -30 -60 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 10 -10 40 ) +t ( -30 -60 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 200m (also 160m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 160 20 min = 8min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|10|10) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 216km/h in Richtung des Punktes B (70|50|30) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 216000 m 3600 s = 60 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 40 40 20 ) ist 40 2 + 402 + 20 2 = 3600 = 60 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 60 m s . braucht er für diese Strecke 60 60 s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|10|0) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-60|-70|40) angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 12 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor AB = ( -80 -80 40 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -80 -80 40 ) = ( -40 -40 20 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 20 10 0 ) +t ( -40 -40 20 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = (-40) 2 + (-40)2 + 20 2 = 3600 = 60.
Die Geschwindigkeit ist also v=60 m s
Für die Strecke von 12 km braucht es also 12000 60 s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 10 0 ) +200 ( -40 -40 20 ) = ( -7980 -7990 4000 ) , also im Punkt P(-7980|-7990|4000).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 4000m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 8 1 ) +t ( 11 -2 -10 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-27|24|39) . Nach 3s ist sie im Punkt B (9|12|9) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( 36 -12 -30 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 36 -12 -30 ) = ( 12 -4 -10 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -27 24 39 ) +t ( 12 -4 -10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P1 ( 1 8 1 ) +3 ( 11 -2 -10 ) = ( 34 2 -29 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( -27 24 39 ) +3 ( 12 -4 -10 ) = ( 9 12 9 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(34|2|-29) und P2(9|12|9):
P1P2 = ( 9-34 12-2 9-( - 29 ) ) = ( -25 10 38 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -25 10 38 ) | = (-25) 2 + 102 + 38 2 = 2169 ≈ 46.57252408878

Der Abstand ist also ca. 46.57 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 10 6 0,8 ) +t ( 1 1 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (47|53|1,5) . Nach 1min ist es im Punkt B (41|45|1,6) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor AB = ( -6 -8 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 47 53 1.5 ) +t ( -6 -8 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,2t +0,8 = 0,1t +1,5 | -0,8 -0,1t
0,1t = 0,7 |:0,1
t = 7

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,27 +0,8 = 2.2 = 0,17 +1,5


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 2 2 1 ) +t ( 8 4 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-6|2|0) . Nach 3min ist es im Punkt B (12|8|0,6) angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor AB = ( 18 6 0.6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 18 6 0.6 ) = ( 6 2 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -6 2 0 ) +t ( 6 2 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 2 2 1 ) +s ( 8 4 0.1 ) = ( -6 2 0 ) +t ( 6 2 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

2+8s= -6+6t2+4s= 2+2t

8 s -6 t = -8 (I) 4 s -2 t = 0 (II)
8 s -6 t = -8 (I) 4 s -2 t = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -2·(II)

8 s -6 t = -8 (I) ( 8 -8 )s +( -6 +4 )t = ( -8 +0 ) (II)
8 s -6 t = -8 (I) -2 t = -8 (II)
Zeile (II): -2 t = -8

t = 4

eingesetzt in Zeile (I):

8 s -6 ·(4 ) = -8 | +24
8 s = 16 | : 8

s = 2

L={(2 |4 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 2min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 2min bei ( 2 2 1 ) +2 ( 8 4 0.1 ) = ( 18 10 1.2 ) , während das Flugzeug F2 nach 4min bei ( -6 2 0 ) +4 ( 6 2 0.2 ) = ( 18 10 0.8 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.2 - 0.8 = 0.4 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 9 -10 -1 ) +t ( -10 -2 11 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (23|-4|-9) . Nach 2min ist es im Punkt B (3|-12|15) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 3min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 2min den Vektor AB = ( -20 -8 24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( -20 -8 24 ) = ( -10 -4 12 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 23 -4 -9 ) +t ( -10 -4 12 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P1 ( 9 -10 -1 ) +3 ( -10 -2 11 ) = ( -21 -16 32 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 23 -4 -9 ) +3 ( -10 -4 12 ) = ( -7 -16 27 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-21|-16|32) und P2(-7|-16|27):
P1P2 = ( -7-( - 21 ) -16-( - 16 ) 27-32 ) = ( 14 0 -5 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 14 0 -5 ) | = 14 2 + 02 + (-5) 2 = 221 ≈ 14.866068747319

Der Abstand ist also ca. 14.87 km.

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|250|200) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-200|450|300) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 4s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -200 200 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 250 200 ) +t ( -200 200 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 250 200 ) +4 ( -200 200 100 ) = ( -800 1050 600 ) , also im Punkt P(-800|1050|600).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(0|250|200) nach P(-800|1050|600) bewegt, also um den Vektor AP = ( -800 800 400 ) . Dessen Länge ist (-800) 2 + 8002 + 400 2 = 1440000 = 1200m.