Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 10\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-950\\ 990\\ 490\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-950|990|490\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -250\\ 150\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3800\\ -3850\\ 1950\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3800|-3850|1950\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-200|-250|150\right)$ nach P$\left(-3800|-3850|1950\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3600\\ -3600\\ 1800\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3600)}}^2+{\mathrm{(-3600)}}^2+{1800}^2}=\sqrt{29160000}=5400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 170m (also 140m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{140}}{\mathrm{20}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{10800\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 3$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 3$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{27}}{3}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-96\\ -168\\ 96\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-96\\ -168\\ 96\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -42\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -42\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-42)}}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.56 km braucht es also $\frac{\mathrm{7560}}{\mathrm{54}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -42\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3378\\ -5880\\ 3360\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3378|-5880|3360\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3360 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -7\\ 19\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -6\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 14\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.22 km.

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 14\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 14\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-64\\ -13\\ 1.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{0,7}$ = 3.4 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{1,6}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-68\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}-68\\ 5\\ 0.6\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-38\\ 29\\ 1.8\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-38\\ 29\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.6 = 0.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 240m (also 210m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{210}}{\mathrm{30}}$min = 7min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 0\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}380\\ -350\\ 200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(380|-350|200\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|50|0\right)$ nach P$\left(380|-350|200\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{400}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$m.