Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -10\\ 50\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-530\\ -430\\ 470\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-530|-430|470\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -100\\ 250\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2450\\ 4100\\ 2650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2450|4100|2650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-50|-100|250\right)$ nach P$\left(-2450|4100|2650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2400\\ 4200\\ 2400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2400)}}^2+{4200}^2+{2400}^2}=\sqrt{29160000}=5400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1490m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{40}}$s = 36s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+4^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ 72\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$.
Die Geschwindigkeit ist also v=36$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 5.04 km braucht es also $\frac{\mathrm{5040}}{\mathrm{36}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3360\\ 3348\\ -1680\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3360|3348|-1680\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1680 (in m).

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -30\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ -30\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-33\\ 28\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ -50\\ -6\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-33\\ 28\\ 18\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 45.65 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 6\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}51\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,8}$ = 1.6 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{0,4}$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 3\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-30\\ 4\\ 1.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 1s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-30\\ 4\\ 1.7\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 1.8\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 1.6 = 0.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 250\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -350\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3150\\ -3750\\ 3550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3150|-3750|3550\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1400\\ -1200\\ 1200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$