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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|-10|20) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (270|310|180) angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 5s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 320 320 160 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 320 320 160 ) = ( 80 80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 -10 20 ) +t ( 80 80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 -10 20 ) +5 ( 80 80 40 ) = ( 350 390 220 ) , also im Punkt P(350|390|220).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|-40|10) (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B (40|100|90) angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 7min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor AB = ( 80 140 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 80 140 80 ) = ( 40 70 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -40 -40 10 ) +t ( 40 70 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -40 -40 10 ) +7 ( 40 70 40 ) = ( 240 450 290 ) , also im Punkt P(240|450|290).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-40|-40|10) nach P(240|450|290) bewegt, also um den Vektor AP = ( 280 490 280 ) . Dessen Länge ist 280 2 + 4902 + 280 2 = 396900 = 630m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-200|-250|100) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-100|-150|150) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 100 100 50 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 100 2 + 1002 + 50 2 = 22500 = 150.
Die Geschwindigkeit ist also v=150 m s = 540 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (100|50|200) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-300|-750|300) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1400m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -400 -800 100 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -400 -800 100 ) = ( -200 -400 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 100 50 200 ) +t ( -200 -400 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 200 auf 1400m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1200 50 s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (50|-50|50) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 396km/h in Richtung des Punktes B (540|-470|470) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 396000 m 3600 s = 110 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 490 -420 420 ) ist 490 2 + (-420)2 + 420 2 = 592900 = 770 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110 m s . braucht er für diese Strecke 770 110 s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (12|12|0) (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-12|60|-6) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 2,7 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor AB = ( -24 48 -6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( -24 48 -6 ) = ( -12 24 -3 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 12 12 0 ) +t ( -12 24 -3 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-12) 2 + 242 + (-3) 2 = 729 = 27.
Die Geschwindigkeit ist also v=27 m min
Für die Strecke von 2.7 km braucht es also 2700 27 min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 12 12 0 ) +100 ( -12 24 -3 ) = ( -1188 2412 -300 ) , also im Punkt P(-1188|2412|-300).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -300 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -3 3 1 ) +t ( -13 8 -1 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (15|2|5) . Nach 3s ist sie im Punkt B (-27|26|5) angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( -42 24 0 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -42 24 0 ) = ( -14 8 0 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 15 2 5 ) +t ( -14 8 0 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P1 ( -3 3 1 ) +1 ( -13 8 -1 ) = ( -16 11 0 ) ; Die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( 15 2 5 ) +1 ( -14 8 0 ) = ( 1 10 5 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-16|11|0) und P2(1|10|5):
P1P2 = ( 1-( - 16 ) 10-11 5-0 ) = ( 17 -1 5 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 17 -1 5 ) | = 17 2 + (-1)2 + 5 2 = 315 ≈ 17.748239349299

Der Abstand ist also ca. 17.75 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 6 0,5 ) +t ( -7 7 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (19|13|1,5) . Nach 4h ist er im Punkt B (-13|33|2,7) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor AB = ( -32 20 1.2 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 4 ( -32 20 1.2 ) = ( -8 5 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 19 13 1.5 ) +t ( -8 5 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,3t +1,5 | -0,5 -0,3t
0,2t = 1 |:0,2
t = 5

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: 0,55 +0,5 = 3 = 0,35 +1,5


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -4 1 0,9 ) +t ( 1 0 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (14|-9|0) . Nach 3h ist er im Punkt B (-13|21|0,6) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor AB = ( -27 30 0.6 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 3 ( -27 30 0.6 ) = ( -9 10 0.2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 14 -9 0 ) +t ( -9 10 0.2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -4 1 0.9 ) +s ( 1 0 0.1 ) = ( 14 -9 0 ) +t ( -9 10 0.2 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-4+1s= 14-9t1+0s= -9+10t

s +9t = 18 (I) -10t = -10 (II)
s +9t = 18 (I) -10t = -10 (II)
1 s +9 t = +18 (I) 0 s -10 t = -10 (II)
s +9t = 18 (I) -10t = -10 (II)
Zeile (II): -10t = -10

t = 1

eingesetzt in Zeile (I):

s +9·(1 ) = 18 | -9
1 s = 9 | : 1

s = 9

L={(9 |1 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei ( -4 1 0.9 ) +9 ( 1 0 0.1 ) = ( 5 1 1.8 ) , während der Heißluftballon F2 nach 1h bei ( 14 -9 0 ) +1 ( -9 10 0.2 ) = ( 5 1 0.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 0.2 = 1.6 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|-150|150) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-350|-750|450) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 8s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -600 -600 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -600 -600 300 ) = ( -300 -300 150 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 250 -150 150 ) +t ( -300 -300 150 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 250 -150 150 ) +8 ( -300 -300 150 ) = ( -2150 -2550 1350 ) , also im Punkt P(-2150|-2550|1350).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(250|-150|150) nach P(-2150|-2550|1350) bewegt, also um den Vektor AP = ( -2400 -2400 1200 ) . Dessen Länge ist (-2400) 2 + (-2400)2 + 1200 2 = 12960000 = 3600m.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|0|20) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-240|-180|80) angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 11 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor AB = ( -270 -180 60 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -270 -180 60 ) = ( -90 -60 20 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 30 0 20 ) +t ( -90 -60 20 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = (-90) 2 + (-60)2 + 20 2 = 12100 = 110.
Die Geschwindigkeit ist also v=110 m s
Für die Strecke von 11 km braucht es also 11000 110 s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 30 0 20 ) +100 ( -90 -60 20 ) = ( -8970 -6000 2020 ) , also im Punkt P(-8970|-6000|2020).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2020 (in m).