Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -80\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}500\\ -280\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(500|-280|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -20\\ 30\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ -200\\ 120\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|-200|120\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-10|-20|30\right)$ nach P$\left(-190|-200|120\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ -180\\ 90\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-180)}}^2+{\mathrm{(-180)}}^2+{90}^2}=\sqrt{72900}=270$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -200\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 2450m (also 2200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2200}}{\mathrm{200}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{160}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{40}^2}=\sqrt{129600}=360$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{90}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 13.2 km braucht es also $\frac{\mathrm{13200}}{\mathrm{110}}$s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -20\\ 10\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8370\\ -7220\\ 7210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8370|-7220|7210\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7210 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -15\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -13\\ 22\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ -9\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}1\\ -13\\ 22\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 12\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 23.79 km.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ -36\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-28\\ -36\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 41\\ 2.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{2,6}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -17\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -17\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 1.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ -17\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 0.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.6 - 0.4 = 1.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1200|-1200|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-470\\ -320\\ 310\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-470|-320|310\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-40|30\right)$ nach P$\left(-470|-320|310\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-490\\ -280\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-490)}}^2+{\mathrm{(-280)}}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$m.