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Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-40|-20|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (120|-180|120) angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 6min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( 160 -160 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 160 -160 80 ) = ( 40 -40 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -40 -20 40 ) +t ( 40 -40 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -40 -20 40 ) +6 ( 40 -40 20 ) = ( 200 -260 160 ) , also im Punkt P(200|-260|160).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-200|100|100) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-1100|-800|550) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 8s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -900 -900 450 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -900 -900 450 ) = ( -300 -300 150 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -200 100 100 ) +t ( -300 -300 150 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -200 100 100 ) +8 ( -300 -300 150 ) = ( -2600 -2300 1300 ) , also im Punkt P(-2600|-2300|1300).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-200|100|100) nach P(-2600|-2300|1300) bewegt, also um den Vektor AP = ( -2400 -2400 1200 ) . Dessen Länge ist (-2400) 2 + (-2400)2 + 1200 2 = 12960000 = 3600m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (250|50|100) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-350|-1000|700) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -600 -1050 600 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -600 -1050 600 ) = ( -200 -350 200 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-200) 2 + (-350)2 + 200 2 = 202500 = 450.
Die Geschwindigkeit ist also v=450 m s = 1620 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-150|50|250) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (200|-250|550) angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 3850m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( 350 -300 300 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -150 50 250 ) +t ( 350 -300 300 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 250 auf 3850m (also 3600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 3600 300 s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-250|-150|150) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B (-1450|-750|550) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1260000 m 3600 s = 350 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( -1200 -600 400 ) ist (-1200) 2 + (-600)2 + 400 2 = 1960000 = 1400 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 m s . braucht er für diese Strecke 1400 350 s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (18|18|0) (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 2min ist er im Punkt B (66|66|24) angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 5,76 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor AB = ( 48 48 24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 48 48 24 ) = ( 24 24 12 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 18 18 0 ) +t ( 24 24 12 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 24 2 + 242 + 12 2 = 1296 = 36.
Die Geschwindigkeit ist also v=36 m min
Für die Strecke von 5.76 km braucht es also 5760 36 min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 18 18 0 ) +160 ( 24 24 12 ) = ( 3858 3858 1920 ) , also im Punkt P(3858|3858|1920).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 1920 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (8|-9|79) (alle Angaben in Meter). Nach 5min ist er im Punkt B (-12|51|-321) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 0 -5 -2 ) +t ( -2 11 -80 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor AB = ( -20 60 -400 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( -20 60 -400 ) = ( -4 12 -80 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 8 -9 79 ) +t ( -4 12 -80 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P1 ( 0 -5 -2 ) +5 ( -2 11 -80 ) = ( -10 50 -402 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( 8 -9 79 ) +5 ( -4 12 -80 ) = ( -12 51 -321 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-10|50|-402) und P2(-12|51|-321):
P1P2 = ( -12-( - 10 ) 51-50 -321-( - 402 ) ) = ( -2 1 81 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -2 1 81 ) | = (-2) 2 + 12 + 81 2 = 6566 ≈ 81.030858319532

Der Abstand ist also ca. 81.03 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -5 0,7 ) +t ( -9 -1 0,3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-113|28|2,3) . Nach 4min ist es im Punkt B (-73|-12|2,7) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor AB = ( 40 -40 0.4 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 40 -40 0.4 ) = ( 10 -10 0.1 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -113 28 2.3 ) +t ( 10 -10 0.1 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,3t +0,7 = 0,1t +2,3 | -0,7 -0,1t
0,2t = 1,6 |:0,2
t = 8

nach 8 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,38 +0,7 = 3.1 = 0,18 +2,3


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 -5 2 ) +t ( -5 -2 0,1 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-95|-87|0) . Nach 1min ist es im Punkt B (-85|-77|0,3) angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor AB = ( 10 10 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -95 -87 0 ) +t ( 10 10 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( 5 -5 2 ) +s ( -5 -2 0.1 ) = ( -95 -87 0 ) +t ( 10 10 0.3 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

5-5s= -95+10t-5-2s= -87+10t

-5s -10t = -100 (I) -2s -10t = -82 (II)
-5s -10t = -100 (I) -2s -10t = -82 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -5·(II)

-5s -10t = -100 (I) ( -10 +10 )s +( -20 +50 )t = ( -200 +410 ) (II)
-5s -10t = -100 (I) +30t = 210 (II)
Zeile (II): +30t = 210

t = 7

eingesetzt in Zeile (I):

-5s -10·(7 ) = -100 | +70
-5 s = -30 | : (-5)

s = 6

L={(6 |7 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 6min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 6min bei ( 5 -5 2 ) +6 ( -5 -2 0.1 ) = ( -25 -17 2.6 ) , während das Flugzeug F2 nach 7min bei ( -95 -87 0 ) +7 ( 10 10 0.3 ) = ( -25 -17 2.1 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.6 - 2.1 = 0.5 km

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -1 7 2 ) +t ( -40 0 5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (120|17|-8) . Nach 4min ist es im Punkt B (-40|9|16) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?

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F2 legt in 4min den Vektor AB = ( -160 -8 24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -160 -8 24 ) = ( -40 -2 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 120 17 -8 ) +t ( -40 -2 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P1 ( -1 7 2 ) +1 ( -40 0 5 ) = ( -41 7 7 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 120 17 -8 ) +1 ( -40 -2 6 ) = ( 80 15 -2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-41|7|7) und P2(80|15|-2):
P1P2 = ( 80-( - 41 ) 15-7 -2-7 ) = ( 121 8 -9 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 121 8 -9 ) | = 121 2 + 82 + (-9) 2 = 14786 ≈ 121.59769734662

Der Abstand ist also ca. 121.6 km.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 -7 0 ) +t ( -3 -5 4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (19|5|-2) . Nach 5min ist es im Punkt B (4|-25|18) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

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F2 legt in 5min den Vektor AB = ( -15 -30 20 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 5 ( -15 -30 20 ) = ( -3 -6 4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 19 5 -2 ) +t ( -3 -6 4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P1 ( 5 -7 0 ) +4 ( -3 -5 4 ) = ( -7 -27 16 ) ; F2 an der Stelle P2 ( 19 5 -2 ) +4 ( -3 -6 4 ) = ( 7 -19 14 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-7|-27|16) und P2(7|-19|14):
P1P2 = ( 7-( - 7 ) -19-( - 27 ) 14-16 ) = ( 14 8 -2 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 14 8 -2 ) | = 14 2 + 82 + (-2) 2 = 264 ≈ 16.248076809272

Der Abstand ist also ca. 16.25 km.