Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 100\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-950\\ 2200\\ 1250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-950|2200|1250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}450\\ -900\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -150\\ 200\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1300\\ -2250\\ 900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1300|-2250|900\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-150|200\right)$ nach P$\left(1300|-2250|900\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ -2100\\ 700\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1050}^2+{\mathrm{(-2100)}}^2+{700}^2}=\sqrt{6002500}=2450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ 240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ -320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 1120m (also 1120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1120}}{\mathrm{40}}$s = 28s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{540000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 150$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -900\\ 450\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{900}^2+{\mathrm{(-900)}}^2+{450}^2}=\sqrt{1822500}=1350$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1350}}{\mathrm{150}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{12}^2+6^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.88 km braucht es also $\frac{\mathrm{2880}}{\mathrm{18}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1932\\ 1914\\ 960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1932|1914|960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 960 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -12\\ -240\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ -12\\ -240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 81\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}35\\ -16\\ -240\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 81\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ -14\\ -159\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 81.03 km.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -14\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -14\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}71\\ 63\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,2}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}21\\ -18\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 4h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 4h bei $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 2.5\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-13\\ 16\\ 1.2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 2.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 2.4 = 0.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 50\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}260\\ -340\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(260|-340|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|20|50\right)$ nach P$\left(260|-340|130\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -360\\ 80\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{\mathrm{(-360)}}^2+{80}^2}=\sqrt{193600}=440$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-580\\ -290\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-580|-290|210\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|10|10\right)$ nach P$\left(-580|-290|210\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-600)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{200}^2}=\sqrt{490000}=700$m.