Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 210\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -40\\ 20\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}590\\ 590\\ 560\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(590|590|560\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ 280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ 280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -50\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-180\\ 300\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-180|300|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-50|20\right)$ nach P$\left(-180|300|220\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 350\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{350}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{400}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$.
Die Geschwindigkeit ist also v=600$\frac{m}{s}$ = 2160$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ -50\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 800m (also 700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{700}}{\mathrm{100}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{39600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 11$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -28\\ -24\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-28)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1936}=44$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{44}}{\mathrm{11}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-54\\ 54\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.7 km braucht es also $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{27}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1788\\ 1788\\ -900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1788|1788|-900\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -900 (in m).

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -30\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ 9\\ -14\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ -1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-46\\ -37\\ 39\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}19\\ 9\\ -14\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -21\\ 26\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 25.5 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -36\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 5+\mathrm{0,5}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-28\\ 20\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-28\\ 20\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ 6\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}7\\ -10\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 6\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 8h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}7\\ -10\\ 0.8\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-41\\ 46\\ 2.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}15\\ 6\\ 1.1\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-41\\ 46\\ 1.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.9 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 320\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}220\\ 530\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(220|530|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|50|30\right)$ nach P$\left(220|530|90\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 480\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{240}^2+{480}^2+{60}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ 25\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ 25\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}99\\ 30\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 6min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}99\\ 30\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 22\\ 3.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 6min bei $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 1\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 22\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 2.2 = 1 km