Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -100\\ 0\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -150\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3750\\ -1900\\ 1200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3750|-1900|1200\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -120\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 10\\ 10\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}530\\ -230\\ 70\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(530|-230|70\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|10|10\right)$ nach P$\left(530|-230|70\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ -240\\ 60\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{\mathrm{(-240)}}^2+{60}^2}=\sqrt{291600}=540$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{s}$ = 432$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ -100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 4450m (also 4400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4400}}{\mathrm{200}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{252000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 70$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 480\\ 160\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{240}^2+{480}^2+{160}^2}=\sqrt{313600}=560$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{560}}{\mathrm{70}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}54\\ -108\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}54\\ -108\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1764}=42$.
Die Geschwindigkeit ist also v=42$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.56 km braucht es also $\frac{\mathrm{7560}}{\mathrm{42}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3234\\ -6462\\ 2160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3234|-6462|2160\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2160 (in m).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}25\\ -1\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -11\\ 11\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}25\\ -1\\ -4\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ 8\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 19.21 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-62\\ 36\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}25\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}25\\ 50\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-65\\ -38\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}7\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-65\\ -38\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 8min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 10\\ 0.5\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 42\\ 4.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}-65\\ -38\\ 0.8\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 42\\ 4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.5 - 4 = 0.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 2500m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{150}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-250\\ -250\\ 150\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 50\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}550\\ -1050\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(550|-1050|550\right)$.