Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ -240\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 50\\ 30\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}680\\ -550\\ 630\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(680|-550|630\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}360\\ -240\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}910\\ -590\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(910|-590|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(10|10|40\right)$ nach P$\left(910|-590|240\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{900}^2+{\mathrm{(-600)}}^2+{200}^2}=\sqrt{1210000}=1100$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-40)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{20}^2}=\sqrt{3600}=60$.
Die Geschwindigkeit ist also v=60$\frac{m}{\min }$ = 3.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -140\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 0\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ -70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 1130m (also 1080m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1080}}{\mathrm{60}}$min = 18min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -28\\ -16\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{16}^2+{\mathrm{(-28)}}^2+{\mathrm{(-16)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{36}}{9}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}144\\ -216\\ 48\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}144\\ -216\\ 48\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-54)}}^2+{12}^2}=\sqrt{4356}=66$.
Die Geschwindigkeit ist also v=66$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 14.52 km braucht es also $\frac{\mathrm{14520}}{\mathrm{66}}$min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 0\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ -54\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7902\\ -11892\\ 2640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(7902|-11892|2640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2640 (in m).

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -30\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -30\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ 39\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -15\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -38\\ 10\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}15\\ 39\\ -12\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 9\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.31 km.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 8\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}56\\ -46\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{0,9}$ = 1.8 = $\mathrm{0,2}\cdot 9+0$

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 5s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 5s bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ -20\\ 2.5\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}15\\ 10\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ -20\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 1.2 = 1.3 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 0\\ 10\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ -180\\ 190\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|-180|190\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|0|10\right)$ nach P$\left(230|-180|190\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -180\\ 180\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{210}^2+{\mathrm{(-180)}}^2+{180}^2}=\sqrt{108900}=330$m.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -10\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{0,5}$ = 4 = $\mathrm{0,4}\cdot 7+\mathrm{1,2}$