Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 200\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 200\\ 100\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1250\\ 1600\\ 800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1250|1600|800\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ -600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 250\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2250\\ -1650\\ 750\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2250|-1650|750\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|-150|250\right)$ nach P$\left(2250|-1650|750\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}2250\\ -1500\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{2250}^2+{\mathrm{(-1500)}}^2+{500}^2}=\sqrt{7562500}=2750$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{350}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{300}^2}=\sqrt{302500}=550$.
Die Geschwindigkeit ist also v=550$\frac{m}{s}$ = 1980$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 2400m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2400}}{\mathrm{100}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{54}}{6}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+6^2}=\sqrt{324}=18$.
Die Geschwindigkeit ist also v=18$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.52 km braucht es also $\frac{\mathrm{2520}}{\mathrm{18}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1674\\ -1680\\ 840\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1674|-1680|840\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 840 (in m).

F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-30\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 36\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ -20\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ 42\\ -10\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}18\\ -20\\ 9\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 28\\ -7\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 29.68 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 15\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ -27\\ 1.3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,7}$ = 2.5 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,3}$

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 36\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}76\\ 18\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}76\\ 18\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 7h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 7h bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 0.7\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}56\\ 36\\ 2.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}76\\ 18\\ 1.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 9\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}56\\ 36\\ 1.6\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.8 - 1.6 = 1.2 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 180\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 30\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 90\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}770\\ 1110\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(770|1110|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(50|30|40\right)$ nach P$\left(770|1110|280\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}720\\ 1080\\ 240\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{720}^2+{1080}^2+{240}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}280\\ -160\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}380\\ -230\\ 210\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(380|-230|210\right)$.