Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}230\\ 470\\ 160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(230|470|160\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1400\\ -800\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 150\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-350\\ -200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3750\\ -1950\\ 2350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3750|-1950|2350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|250|150\right)$ nach P$\left(-3750|-1950|2350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3850\\ -2200\\ 2200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-3850)}}^2+{\mathrm{(-2200)}}^2+{2200}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ 180\\ 180\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 1630m (also 1620m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1620}}{\mathrm{60}}$s = 27s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ 3600\\ 450\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-1800)}}^2+{3600}^2+{450}^2}=\sqrt{16402500}=4050$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{4050}}{\mathrm{450}}$s = 9s.
Punkt B wird als nach 9s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{21600}}{\mathrm{90}}$s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)+240\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14430\\ 14420\\ 7230\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(14430|14420|7230\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7230 (in m).

Der Heißluftballon legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ 27\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}48\\ -7\\ -41\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ 27\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}36\\ -3\\ -13\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 30.72 m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}21\\ 3\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-57\\ 14\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 8+\mathrm{1,6}$ = 2.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 8+0$

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -30\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -30\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-43\\ 44\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-43\\ 44\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 0.7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-51\\ 4\\ 2.2\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}-43\\ 44\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-51\\ 4\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.2 - 1.8 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1110\\ -720\\ 260\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1110|-720|260\right)$.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-66\\ 22\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,7}$ = 1.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+1$