nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|250|50) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (-850|-1350|250) angelangt.
Wo ist die Rakete nach 8s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( -800 -1600 200 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( -800 -1600 200 ) = ( -200 -400 50 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 250 50 ) +t ( -200 -400 50 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 250 50 ) +8 ( -200 -400 50 ) = ( -1650 -2950 450 ) , also im Punkt P(-1650|-2950|450).

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|50|20) (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B (340|-270|180) angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 6s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor AB = ( 320 -320 160 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 320 -320 160 ) = ( 80 -80 40 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 50 20 ) +t ( 80 -80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 50 20 ) +6 ( 80 -80 40 ) = ( 500 -430 260 ) , also im Punkt P(500|-430|260).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(20|50|20) nach P(500|-430|260) bewegt, also um den Vektor AP = ( 480 -480 240 ) . Dessen Länge ist 480 2 + (-480)2 + 240 2 = 518400 = 720m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-150|50|100) (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B (-950|-350|200) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor AB = ( -800 -400 100 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 2 ( -800 -400 100 ) = ( -400 -200 50 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-400) 2 + (-200)2 + 50 2 = 202500 = 450.
Die Geschwindigkeit ist also v=450 m s = 1620 km h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (30|-40|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (270|80|120) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 600m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( 240 120 80 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 240 120 80 ) = ( 60 30 20 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 30 -40 40 ) +t ( 60 30 20 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 600m (also 560m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 560 20 min = 28min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (40|-20|30) und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 252km/h in Richtung des Punktes B (460|-230|170) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt es im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 252000 m 3600 s = 70 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 420 -210 140 ) ist 420 2 + (-210)2 + 140 2 = 240100 = 490 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 70 m s . braucht er für diese Strecke 490 70 s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|0|40) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (60|80|50) angelangt.
Welche (absolute) Höhe hat das Flugzeug, wenn es 21,6 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor AB = ( 40 80 10 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 20 0 40 ) +t ( 40 80 10 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = 40 2 + 802 + 10 2 = 8100 = 90.
Die Geschwindigkeit ist also v=90 m s
Für die Strecke von 21.6 km braucht es also 21600 90 s = 240s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 20 0 40 ) +240 ( 40 80 10 ) = ( 9620 19200 2440 ) , also im Punkt P(9620|19200|2440).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also 2440 (in m).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (48|-8|-13) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (36|0|-7) angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 5 10 -1 ) +t ( -12 7 7 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor AB = ( -12 8 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 48 -8 -13 ) +t ( -12 8 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 4min an der Stelle P1 ( 5 10 -1 ) +4 ( -12 7 7 ) = ( -43 38 27 ) ; Der Heißluftballon an der Stelle P2 ( 48 -8 -13 ) +4 ( -12 8 6 ) = ( 0 24 11 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-43|38|27) und P2(0|24|11):
P1P2 = ( 0-( - 43 ) 24-38 11-27 ) = ( 43 -14 -16 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 43 -14 -16 ) | = 43 2 + (-14)2 + (-16) 2 = 2301 ≈ 47.968739820846

Der Abstand ist also ca. 47.97 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -2 6 0,5 ) +t ( -10 9 0,5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-64|81|2,5) . Nach 2min ist es im Punkt B (-56|69|3,1) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor AB = ( 8 -12 0.6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( 8 -12 0.6 ) = ( 4 -6 0.3 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -64 81 2.5 ) +t ( 4 -6 0.3 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,5t +0,5 = 0,3t +2,5 | -0,5 -0,3t
0,2t = 2 |:0,2
t = 10

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: 0,510 +0,5 = 5.5 = 0,310 +2,5


Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -43 -76 1,9 ) +t ( 9 6 0,3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|8|0,5) . Nach 2h ist er im Punkt B (19|-10|1,5) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor AB = ( 10 -18 1 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 2 ( 10 -18 1 ) = ( 5 -9 0.5 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 9 8 0.5 ) +t ( 5 -9 0.5 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -43 -76 1.9 ) +s ( 9 6 0.3 ) = ( 9 8 0.5 ) +t ( 5 -9 0.5 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-43+9s= 9+5t-76+6s= 8-9t

9s -5t = 52 (I) 6s +9t = 84 (II)
9s -5t = 52 (I) 6s +9t = 84 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -3·(II)

9s -5t = 52 (I) ( 18 -18 )s +( -10 -27 )t = ( 104 -252 ) (II)
9s -5t = 52 (I) -37t = -148 (II)
Zeile (II): -37t = -148

t = 4

eingesetzt in Zeile (I):

9s -5·(4 ) = 52 | +20
9 s = 72 | : 9

s = 8

L={(8 |4 )}

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 4h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei ( -43 -76 1.9 ) +8 ( 9 6 0.3 ) = ( 29 -28 4.3 ) , während der Heißluftballon F2 nach 4h bei ( 9 8 0.5 ) +4 ( 5 -9 0.5 ) = ( 29 -28 2.5 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4.3 - 2.5 = 1.8 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (0|50|200) (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B (-1350|950|500) angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 11s geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor AB = ( -1350 900 300 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( -1350 900 300 ) = ( -450 300 100 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 0 50 200 ) +t ( -450 300 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 0 50 200 ) +11 ( -450 300 100 ) = ( -4950 3350 1300 ) , also im Punkt P(-4950|3350|1300).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(0|50|200) nach P(-4950|3350|1300) bewegt, also um den Vektor AP = ( -4950 3300 1100 ) . Dessen Länge ist (-4950) 2 + 33002 + 1100 2 = 36602500 = 6050m.

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (20|40|20) (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B (-20|-40|30) angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 110m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -40 -80 10 ) zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( 20 40 20 ) +t ( -40 -80 10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 20 auf 110m (also 90m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 90 10 min = 9min lang steigen (bzw. sinken).