Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ 400\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(450|400|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 10\\ 20\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-740\\ -430\\ 460\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-740|-430|460\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|10|20\right)$ nach P$\left(-740|-430|460\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-770\\ -440\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-770)}}^2+{\mathrm{(-440)}}^2+{440}^2}=\sqrt{980100}=990$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 440m (also 420m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{420}}{\mathrm{30}}$min = 14min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-640\\ -320\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-640)}}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{80}^2}=\sqrt{518400}=720$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{90}}$s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{30}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{4900}=70$.
Die Geschwindigkeit ist also v=70$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 12.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{12600}}{\mathrm{70}}$s = 180s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 40\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5410\\ -10780\\ 3640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5410|-10780|3640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 3640 (in m).

Der Heißluftballon legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 47\\ -52\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 2\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -40\\ 59\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -202\\ 297\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 47\\ -52\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -40\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -153\\ 248\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 70.51 m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -23\\ 1.7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{0,8}$ = 2.6 = $\mathrm{0,1}\cdot 9+\mathrm{1,7}$

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-27\\ 39\\ 1.4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 5min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}-27\\ 39\\ 1.4\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 29\\ 3.4\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 5min bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 0.5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 29\\ 3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.4 - 3 = 0.4 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}620\\ 260\\ 240\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(620|260|240\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-40|40\right)$ nach P$\left(620|260|240\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{600}^2+{300}^2+{200}^2}=\sqrt{490000}=700$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}140\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ 60\\ 60\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{60}^2+{60}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{\min }$ = 6.6$\frac{\mathrm{km}}{h}$