Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -10\\ 20\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 390\\ 220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(350|390|220\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 140\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}240\\ 450\\ 290\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(240|450|290\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-40|10\right)$ nach P$\left(240|450|290\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}280\\ 490\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{280}^2+{490}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{100}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-400\\ -800\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 50\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -400\\ 50\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 1400m (also 1200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1200}}{\mathrm{50}}$s = 24s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{396000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 110$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}490\\ -420\\ 420\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{490}^2+{\mathrm{(-420)}}^2+{420}^2}=\sqrt{592900}=770$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 110$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{770}}{\mathrm{110}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 48\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 48\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.7 km braucht es also $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{27}}$min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1188\\ 2412\\ -300\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1188|2412|-300\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -300 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ 24\\ 0\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-42\\ 24\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}15\\ 2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 11\\ 0\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}15\\ 2\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 17.75 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-32\\ 20\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-32\\ 20\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}19\\ 13\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 5+\mathrm{0,5}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 5+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-27\\ 30\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-27\\ 30\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -9\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 9h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 9h bei $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1.8\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}14\\ -9\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 10\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.8 - 0.2 = 1.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ -150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ -150\\ 150\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2150\\ -2550\\ 1350\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2150|-2550|1350\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|-150|150\right)$ nach P$\left(-2150|-2550|1350\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-2400\\ -2400\\ 1200\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-2400)}}^2+{\mathrm{(-2400)}}^2+{1200}^2}=\sqrt{12960000}=3600$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 11 km braucht es also $\frac{\mathrm{11000}}{\mathrm{110}}$s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 0\\ 20\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8970\\ -6000\\ 2020\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-8970|-6000|2020\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2020 (in m).