Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-390\\ 390\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-390|390|250\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 40\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-220\\ 250\\ 150\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-220|250|150\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(0|30|40\right)$ nach P$\left(-220|250|150\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-220\\ 220\\ 110\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-220)}}^2+{220}^2+{110}^2}=\sqrt{108900}=330$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$ = 324$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 250m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{20}}$s = 11s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1980000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 550$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3150\\ -2100\\ 700\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{3150}^2+{\mathrm{(-2100)}}^2+{700}^2}=\sqrt{14822500}=3850$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{3850}}{\mathrm{550}}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 7.56 km braucht es also $\frac{\mathrm{7560}}{\mathrm{54}}$min = 140min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -30\\ 0\end{array}\right)+140\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5064\\ -5070\\ 2520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-5064|-5070|2520\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2520 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -60\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -60\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 49\\ 11\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -43\\ 2\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 49\\ 11\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.95 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -31\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 3+\mathrm{0,6}$ = 1.8 = $\mathrm{0,3}\cdot 3+\mathrm{0,9}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}34\\ 81\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 3h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}34\\ 81\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 33\\ 2.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0.8\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 33\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.4 = 1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ -600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 200\\ 200\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ -300\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3750\\ -2800\\ 3200\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3750|-2800|3200\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(250|200|200\right)$ nach P$\left(3750|-2800|3200\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3500\\ -3000\\ 3000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3500}^2+{\mathrm{(-3000)}}^2+{3000}^2}=\sqrt{30250000}=5500$m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}125\\ 109\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 4 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 4+\mathrm{0,6}$ = 2.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 4+1$