Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 150\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5050\\ 4850\\ 2550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(5050|4850|2550\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1800\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 100\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4650\\ -3000\\ 1100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4650|-3000|1100\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|0|100\right)$ nach P$\left(-4650|-3000|1100\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4500\\ -3000\\ 1000\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-4500)}}^2+{\mathrm{(-3000)}}^2+{1000}^2}=\sqrt{30250000}=5500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}180\\ -270\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ -90\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{\mathrm{(-90)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 1480m (also 1440m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1440}}{\mathrm{40}}$min = 36min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{2160000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 600$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{400}^2+{\mathrm{(-400)}}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 600$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{600}}{\mathrm{600}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{48}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$.
Die Geschwindigkeit ist also v=72$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 14.4 km braucht es also $\frac{\mathrm{14400}}{\mathrm{72}}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9576\\ 9606\\ 4800\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(9576|9606|4800\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4800 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -32\\ 58\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 16\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 9\\ -29\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}8\\ -32\\ 58\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -28\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ 30\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 64.27 m.

Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ -44\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 9+\mathrm{1,8}$ = 3.6 = $\mathrm{0,4}\cdot 9+0$

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -37\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -37\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 4min und das Flugzeug F2 nach 2min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 4min bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -3\\ 0.5\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -31\\ 2.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 2min bei $\left(\begin{array}{c}20\\ -37\\ 1.1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -31\\ 1.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 1.9 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 40\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 990m (also 960m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{960}}{\mathrm{40}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 730m (also 720m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{20}}$min = 36min lang steigen (bzw. sinken).