Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 250\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 250\\ 100\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1200\\ 1450\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1200|1450|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -40\\ 40\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}700\\ -760\\ 400\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(700|-760|400\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-20|-40|40\right)$ nach P$\left(700|-760|400\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}720\\ -720\\ 360\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{720}^2+{\mathrm{(-720)}}^2+{360}^2}=\sqrt{1166400}=1080$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{80}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 200 auf 2800m (also 2600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{2600}}{\mathrm{100}}$s = 26s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{144}=12$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{12}}{6}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -96\\ 12\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ -96\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+6^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 8.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{8640}}{\mathrm{54}}$min = 160min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 0\\ 0\end{array}\right)+160\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3870\\ -7680\\ 960\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3870|-7680|960\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 960 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-20\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}1\\ 9\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 24\\ 1\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 27\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.45 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-21\\ 15\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 8\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 8 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 8+\mathrm{0,8}$ = 2.4 = $\mathrm{0,3}\cdot 8+0$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-35\\ -25\\ 1\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-35\\ -25\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -20\\ 1.7\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 7min bei $\left(\begin{array}{c}50\\ 15\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -20\\ 1.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.7 - 1.4 = 0.3 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -1200\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ -150\\ 50\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-150\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-900\\ -1650\\ 550\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-900|-1650|550\right)$.

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1260000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 350$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ 1200\\ 400\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{600}^2+{1200}^2+{400}^2}=\sqrt{1960000}=1400$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{1400}}{\mathrm{350}}$s = 4s.
Punkt B wird als nach 4s erreicht.