Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}250\\ 50\\ 150\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2950\\ -2650\\ 1500\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(2950|-2650|1500\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-160\\ -160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -50\\ 50\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-280\\ -290\\ 170\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-280|-290|170\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-40|-50|50\right)$ nach P$\left(-280|-290|170\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-240\\ -240\\ 120\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-240)}}^2+{\mathrm{(-240)}}^2+{120}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-350)}}^2+{200}^2+{200}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ 600\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 250\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 200m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 50 auf 4250m (also 4200m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{200}}$s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+4^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{9}{9}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.86 km braucht es also $\frac{\mathrm{4860}}{\mathrm{27}}$min = 180min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ 0\end{array}\right)+180\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4314\\ -2148\\ -540\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4314|-2148|-540\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -540 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}30\\ -10\\ -200\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}30\\ -10\\ -200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 42\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -10\\ -119\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 42\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ -78\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 41.3 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 3h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-21\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-21\\ -6\\ 0.9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 7 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 7+\mathrm{1,4}$ = 2.1 = $\mathrm{0,3}\cdot 7+0$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 0.7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 3h und der Heißluftballon F2 nach 2h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 3h bei $\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 0.7\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 1.6\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}-16\\ 1\\ 0.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.6 - 1 = 0.6 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -30\\ 30\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-80\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-470\\ 210\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-470|210|90\right)$.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-74\\ 125\\ 0.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 5 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 5+\mathrm{0,9}$ = 1.4 = $\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,4}$