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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 48 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 8
1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag?
: 8
⋅ 8
1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag6 Tage
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 6 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Personen5 h
??
10 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?
⋅ 3
: 3

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 CPU-Kerne4 ms
??
20 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 50 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis100 Lose
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose


Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 50 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:
80 Lose5 € Lospreis
??
50 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 80 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 80 und von 50 sein, also der ggT(80,50) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Lose:


80 Lose5 € Lospreis
10 Lose?
50 Lose?

Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 10 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 € Lospreis nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lose links entspricht:

: 8

80 Lose5 € Lospreis
10 Lose40 € Lospreis
50 Lose?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Lose in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 50 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

80 Lose5 € Lospreis
10 Lose40 € Lospreis
50 Lose8 € Lospreis
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 50 Lose entspricht: 8 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 14 h den 2 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen15 h
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 h (für 2 Personen) war also falsch, richtig wäre 15 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 6 Personen entsprechen.

: 1
⋅ 2

3 Personen10 h
3 Personen10 h
6 Personen5 h
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 6 Personen) war also falsch, richtig wäre 5 h gewesen.