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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 60 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 12 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag60 Tage
12 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 12 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Tage durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 12
1 Minute pro Tag60 Tage
12 Minuten pro Tag?
: 12
⋅ 12
1 Minute pro Tag60 Tage
12 Minuten pro Tag5 Tage
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Personen5 h
??
15 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?
⋅ 3
: 3

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen10 h
??
5 Personen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


6 Personen10 h
1 Person?
5 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 6

6 Personen10 h
1 Person?
5 Personen?
⋅ 6
: 6

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen?
⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen?
⋅ 6
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6
⋅ 5

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen12 h
⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 12 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 9 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen9 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen15 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 15 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
9 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 5 sein, also der ggT(9,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


9 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 9 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 9

9 h5 Personen
1 h45 Personen
5 h?
⋅ 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 9
⋅ 5

9 h5 Personen
1 h45 Personen
5 h9 Personen
⋅ 9
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 9 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 297 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Liter pro 100km400 km
2 Liter pro 100km1200 km
8 Liter pro 100km300 km
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 297 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 300 km gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 599 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Liter pro 100km400 km
2 Liter pro 100km1200 km
4 Liter pro 100km600 km
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 599 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 600 km gewesen.