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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 56 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 7 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern56 ms
7 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 7 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 ms durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 7
1 CPU-Kern56 ms
7 CPU-Kerne?
: 7
⋅ 7
1 CPU-Kern56 ms
7 CPU-Kerne8 ms
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 8 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Minuten pro Tag8 Tage
??
4 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag10 Tage

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

⋅ 4
: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 6 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 € Lospreis40 Lose
??
8 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis?
8 € Lospreis?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis120 Lose
8 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis120 Lose
8 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 30 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 6 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


40 Lose6 € Lospreis
??
6 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 40 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 40 und von 6 sein, also der ggT(40,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lose:


40 Lose6 € Lospreis
2 Lose?
6 Lose?

Um von 40 Lose in der ersten Zeile auf 2 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 20 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 € Lospreis nicht durch 20 teilen, sondern mit 20 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lose links entspricht:

: 20

40 Lose6 € Lospreis
2 Lose120 € Lospreis
6 Lose?

⋅ 20

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 20
⋅ 3

40 Lose6 € Lospreis
2 Lose120 € Lospreis
6 Lose40 € Lospreis

⋅ 20
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lose entspricht: 40 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 4 ms den 10 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms(für 10 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
1 CPU-Kerne40 ms
5 CPU-Kerne8 ms

⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 8 ms gewesen.