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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 36 mal fahren.

Wie oft müssten 6 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen36 Fuhren
6 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:

⋅ 6
1 Lastwagen36 Fuhren
6 Lastwagen?
: 6
⋅ 6
1 Lastwagen36 Fuhren
6 Lastwagen6 Fuhren
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 6 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 9 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
15 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:


9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?
⋅ 3
: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste3 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 € Lospreis30 Lose
??
18 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 € Lospreis:


12 € Lospreis30 Lose
6 € Lospreis?
18 € Lospreis?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis links entspricht:

: 2

12 € Lospreis30 Lose
6 € Lospreis?
18 € Lospreis?
⋅ 2
: 2

12 € Lospreis30 Lose
6 € Lospreis60 Lose
18 € Lospreis?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 € Lospreis30 Lose
6 € Lospreis60 Lose
18 € Lospreis?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 € Lospreis30 Lose
6 € Lospreis60 Lose
18 € Lospreis20 Lose
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 € Lospreis entspricht: 20 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 9 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen9 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen15 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 15 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
9 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 5 sein, also der ggT(9,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


9 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 9 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 9

9 h5 Personen
1 h45 Personen
5 h?
⋅ 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 9
⋅ 5

9 h5 Personen
1 h45 Personen
5 h9 Personen
⋅ 9
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 9 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 252 € Lohn den 2 Helfer:innen entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen250 € Lohn
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 252 € Lohn (für 2 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 250 € Lohn gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 101 € Lohn den 5 Helfer:innen entsprechen.

: 1
⋅ 1

5 Helfer:innen100 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
⋅ 1
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 101 € Lohn (für 5 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 100 € Lohn gewesen.