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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 36 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 ms durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 3
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne?
: 3
⋅ 3
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne12 ms
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 12 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 7 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
7 Personen8 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


7 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 7 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 7

7 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?
⋅ 7
: 7

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen?
⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen14 h
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 14 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?
⋅ 5
: 5

5 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
3 Gäste10 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 10 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 15€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 20 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 12 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 € Lospreis40 Lose
??
20 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:


15 € Lospreis40 Lose
5 € Lospreis?
20 € Lospreis?

Um von 15 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 3

15 € Lospreis40 Lose
5 € Lospreis120 Lose
20 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 € Lospreis40 Lose
5 € Lospreis120 Lose
20 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 € Lospreis entspricht: 30 Lose


Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 12 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:
40 Lose15 € Lospreis
??
12 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 40 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 40 und von 12 sein, also der ggT(40,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Lose:


40 Lose15 € Lospreis
4 Lose?
12 Lose?

Um von 40 Lose in der ersten Zeile auf 4 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 € Lospreis nicht durch 10 teilen, sondern mit 10 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lose links entspricht:

: 10

40 Lose15 € Lospreis
4 Lose150 € Lospreis
12 Lose?
⋅ 10

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 10
⋅ 3

40 Lose15 € Lospreis
4 Lose150 € Lospreis
12 Lose50 € Lospreis
⋅ 10
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lose entspricht: 50 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 8 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne6 ms
1 CPU-Kern24 ms
3 CPU-Kerne8 ms
⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms(für 3 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 ms den 6 CPU-Kerne entsprechen.

: 2
⋅ 3

4 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne12 ms
6 CPU-Kerne4 ms
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms (für 6 CPU-Kerne) war also korrekt.