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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 40 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen5 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4500 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 Minuten pro Tag4 Tage
??
20 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten pro Tag:


15 Minuten pro Tag4 Tage
5 Minuten pro Tag?
20 Minuten pro Tag?

Um von 15 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 5 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

15 Minuten pro Tag4 Tage
5 Minuten pro Tag?
20 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 3

15 Minuten pro Tag4 Tage
5 Minuten pro Tag12 Tage
20 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 Minuten pro Tag4 Tage
5 Minuten pro Tag12 Tage
20 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 Minuten pro Tag4 Tage
5 Minuten pro Tag12 Tage
20 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 400 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km3600 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km3600 km
3 Liter pro 100km1200 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1200 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 400 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


900 km4 Liter pro 100km
??
400 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 900 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 900 und von 400 sein, also der ggT(900,400) = 100.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:


900 km4 Liter pro 100km
100 km?
400 km?

Um von 900 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Liter pro 100km nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:

: 9

900 km4 Liter pro 100km
100 km36 Liter pro 100km
400 km?

⋅ 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 400 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 9
⋅ 4

900 km4 Liter pro 100km
100 km36 Liter pro 100km
400 km9 Liter pro 100km

⋅ 9
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 400 km entspricht: 9 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1396 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
4 Liter pro 100km1400 km

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1396 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1400 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 700 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
8 Liter pro 100km700 km

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 700 km (für 8 Liter pro 100km) war also korrekt.