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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:

⋅ 5
1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen?
: 5
⋅ 5
1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen90 € Lohn
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Lastwagen4 Fuhren
??
8 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Helfer:innen70 € Lohn
??
14 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?

⋅ 4
: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 € Lohn in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen40 € Lohn

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 5 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 10 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Minuten pro Tag5 Tage
??
10 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag?
10 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


5 Tage8 Minuten pro Tag
??
8 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:


5 Tage8 Minuten pro Tag
1 Tag?
8 Tage?

Um von 5 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Minuten pro Tag nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:

: 5

5 Tage8 Minuten pro Tag
1 Tag40 Minuten pro Tag
8 Tage?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

5 Tage8 Minuten pro Tag
1 Tag40 Minuten pro Tag
8 Tage5 Minuten pro Tag

⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Tage entspricht: 5 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 6 Fuhren den 15 Lastwagen entsprechen.

: 4
⋅ 5

12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen20 Fuhren
15 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Fuhren (für 15 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 4 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 12 Fuhren den 6 Lastwagen entsprechen.

: 2
⋅ 1

12 Lastwagen5 Fuhren
6 Lastwagen10 Fuhren
6 Lastwagen10 Fuhren

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Fuhren (für 6 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 10 Fuhren gewesen.