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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 360 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 Lose durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis entspricht:

⋅ 3
1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis?
: 3
⋅ 3
1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis120 Lose
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 120 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 9 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 € Lospreis30 Lose
??
30 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 € Lospreis:


20 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis?
30 € Lospreis?

Um von 20 € Lospreis in der ersten Zeile auf 10 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 € Lospreis links entspricht:

: 2

20 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis?
30 € Lospreis?

⋅ 2
: 2

20 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis60 Lose
30 € Lospreis?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis60 Lose
30 € Lospreis?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

20 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis60 Lose
30 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 € Lospreis entspricht: 20 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Personen5 h
??
15 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 3 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


5 h9 Personen
??
9 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 9 sein, also der ggT(5,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


5 h9 Personen
1 h?
9 h?

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Personen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 5

5 h9 Personen
1 h45 Personen
9 h?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 9

5 h9 Personen
1 h45 Personen
9 h5 Personen

⋅ 5
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 h entspricht: 5 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 36 Lose den 14 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 36 Lose (für 14 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 18 Lose den 28 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
4 € Lospreis140 Lose
28 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 Lose (für 28 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 20 Lose gewesen.