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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 2400 km weit kommen.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "6 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 6 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 2400 km durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Liter pro 100km entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Liter pro 100km entspricht: 400 km
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 4 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.
Wie oft müssten 3 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Minuten pro Tag | 5 Tage |
| ? | ? |
| 10 Minuten pro Tag | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:
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Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Tage in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 600 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "12 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Liter pro 100km:
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Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 4 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 600 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Liter pro 100km links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Liter pro 100km entspricht: 400 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 600 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 600 und von 800 sein, also der ggT(600,800) = 200.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 200 km:
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Um von 600 km in der ersten Zeile auf 200 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Liter pro 100km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 200 km links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 200 km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 800 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 km entspricht: 6 Liter pro 100km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage(für 2 Minuten pro Tag) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 1
⋅ 2
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⋅ 1
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.