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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?
: 8
⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen50 € Lohn
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 9 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 CPU-Kerne5 ms
??
15 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:


9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne15 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne15 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne15 ms
15 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 15 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 10 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 50 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 25 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 5 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Helfer:innen50 € Lohn
??
25 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen?
25 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
25 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
25 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn



Um von 50 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Helfer:innen mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn entspricht:

: 10
50 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn?
⋅ 10
: 10
50 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn100 Helfer:innen
⋅ 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lohn entspricht: 100 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 402 km den 10 Liter pro 100km entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 402 km (für 10 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 400 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 799 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
1 Liter pro 100km4000 km
5 Liter pro 100km800 km

⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 799 km (für 5 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 800 km gewesen.