nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 480 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in480 € Lohn
4 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 4 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 480 € Lohn durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Helfer:innen entspricht:

⋅ 4
1 Helfer:in480 € Lohn
4 Helfer:innen?
: 4
⋅ 4
1 Helfer:in480 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 20 Lastwagen müssten dafür 3 mal fahren.

Wie oft müssten 30 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


20 Lastwagen3 Fuhren
??
30 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Lastwagen:


20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen?
30 Lastwagen?

Um von 20 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen links entspricht:

: 2

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen?
30 Lastwagen?

⋅ 2
: 2

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
30 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
30 Lastwagen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
30 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Personen9 h
??
3 Personen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


4 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

⋅ 4
: 4

4 Personen9 h
1 Person36 h
3 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Personen9 h
1 Person36 h
3 Personen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Personen9 h
1 Person36 h
3 Personen12 h

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 12 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne6 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne4 ms

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 4 ms



Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:


6 ms8 CPU-Kerne
??
8 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


6 ms8 CPU-Kerne
2 ms?
8 ms?

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 3

6 ms8 CPU-Kerne
2 ms24 CPU-Kerne
8 ms?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 ms8 CPU-Kerne
2 ms24 CPU-Kerne
8 ms6 CPU-Kerne

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der Wert 15 Spezi-Flaschen war also falsch, richtig wäre 12 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Spezi-Flaschen den 12 Gäste entsprechen.

: 1
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
6 Gäste8 Spezi-Flaschen
12 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 1
: 2

Der Wert 4 Spezi-Flaschen war also korrekt.