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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 24 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Tage durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 4
1 Minute pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?
: 4
⋅ 4
1 Minute pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag6 Tage
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 6 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 CPU-Kerne9 ms
??
3 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?
⋅ 5
: 5

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern45 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern45 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern45 ms
3 CPU-Kerne15 ms
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 15 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 3 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 10 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 Lastwagen3 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:


10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 2

10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen6 Fuhren
15 Lastwagen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen6 Fuhren
15 Lastwagen2 Fuhren
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 10 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
3 Fuhren10 Lastwagen
??
10 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 10 sein, also der ggT(3,10) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre?
10 Fuhren?

Um von 3 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Lastwagen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 3

3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre30 Lastwagen
10 Fuhren?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 10 multiplizieren, um auf die 10 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 10

3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre30 Lastwagen
10 Fuhren3 Lastwagen
⋅ 3
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Fuhren entspricht: 3 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 998 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 998 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1000 km gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 500 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km500 km
⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 500 km (für 8 Liter pro 100km) war also korrekt.