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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 50 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 10 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag50 Tage
10 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 10 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 Tage durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 10
1 Minute pro Tag50 Tage
10 Minuten pro Tag?
: 10
⋅ 10
1 Minute pro Tag50 Tage
10 Minuten pro Tag5 Tage
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 15 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 20 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 CPU-Kerne4 ms
??
20 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Lastwagen6 Fuhren
??
12 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen?
12 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 5

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen?
12 Lastwagen?
⋅ 5
: 5

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen30 Fuhren
12 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen30 Fuhren
12 Lastwagen?
⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Fuhren in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen30 Fuhren
12 Lastwagen5 Fuhren
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 3 Lastwagen müssten dafür 10 mal fahren.

Wie oft müssten 2 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 Lastwagen10 Fuhren
??
2 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


3 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

Um von 3 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 3

3 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen30 Fuhren
2 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen30 Fuhren
2 Lastwagen15 Fuhren
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren


Um von 10 Fuhren in der ersten Zeile auf 5 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Lastwagen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Fuhren entspricht:

: 2
10 Fuhren3 Lastwagen
5 Fuhren?
⋅ 2
: 2
10 Fuhren3 Lastwagen
5 Fuhren6 Lastwagen
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Fuhren entspricht: 6 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag8 Tage
⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 8 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.

: 2
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
2 Minuten pro Tag12 Tage
6 Minuten pro Tag4 Tage
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 4 Tage gewesen.