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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 6 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 12 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.
Wie lange bräuchten 16 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:
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Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Personen entspricht: 3 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Lastwagen | 4 Fuhren |
| ? | ? |
| 8 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 7 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 7 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 7
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⋅ 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 7
⋅ 4
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⋅ 7
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 140 € Lohn
Um von 80 € Lohn in der ersten Zeile auf 8 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 7 Helfer:innen mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lohn entspricht:
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: 10
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⋅ 10
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: 10
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⋅ 10
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lohn entspricht: 70 Helfer:innen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 898 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 898 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 900 km gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 400 km den 9 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 400 km (für 9 Liter pro 100km) war also korrekt.