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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 60 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person60 h
3 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 h durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen entspricht:

⋅ 3
1 Person60 h
3 Personen?
: 3
⋅ 3
1 Person60 h
3 Personen20 h
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 20 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 25 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 Personen5 h
??
25 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:


10 Personen5 h
5 Personen?
25 Personen?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen5 h
5 Personen?
25 Personen?
⋅ 2
: 2

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen?
⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen2 h
⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Personen entspricht: 2 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 € Lospreis200 Lose
??
2 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


3 € Lospreis200 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 200 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 3

3 € Lospreis200 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?
⋅ 3
: 3

3 € Lospreis200 Lose
1 € Lospreis600 Lose
2 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis200 Lose
1 € Lospreis600 Lose
2 € Lospreis?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis200 Lose
1 € Lospreis600 Lose
2 € Lospreis300 Lose
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 300 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 7 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 7 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
7 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 7 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 7

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne14 ms
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 14 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 7 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
8 ms7 CPU-Kerne
??
7 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


8 ms7 CPU-Kerne
1 ms?
7 ms?

Um von 8 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 CPU-Kerne nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 8

8 ms7 CPU-Kerne
1 ms56 CPU-Kerne
7 ms?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 7

8 ms7 CPU-Kerne
1 ms56 CPU-Kerne
7 ms8 CPU-Kerne
⋅ 8
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 ms entspricht: 8 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 16 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage
⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 16 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 15 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 9 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minuten pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 9 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.