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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 40 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen5 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 3 CPU-Kernen 12 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 CPU-Kerne12 ms
??
2 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


3 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 3 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

3 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

3 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern36 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern36 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern36 ms
2 CPU-Kerne18 ms
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 18 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Gäste15 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


4 Gäste15 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste15 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?
⋅ 4
: 4

4 Gäste15 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Gäste15 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Gäste15 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
3 Gäste20 Spezi-Flaschen
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 20 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 CPU-Kerne4 ms
??
8 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne?
8 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 3 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
4 ms6 CPU-Kerne
??
6 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 6 sein, also der ggT(4,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


4 ms6 CPU-Kerne
2 ms?
6 ms?

Um von 4 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 CPU-Kerne nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 2

4 ms6 CPU-Kerne
2 ms12 CPU-Kerne
6 ms?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

4 ms6 CPU-Kerne
2 ms12 CPU-Kerne
6 ms4 CPU-Kerne
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 ms entspricht: 4 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 13 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag48 Tage
3 Minuten pro Tag16 Tage
⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 13 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 16 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.

: 2
⋅ 3

4 Minuten pro Tag12 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
6 Minuten pro Tag8 Tage
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also korrekt.