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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 56 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 7 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 7 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Tage durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Minuten pro Tag entspricht:
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⋅ 7
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: 7
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⋅ 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 9€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 15 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:
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Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 150 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 30 Lose
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 CPU-Kerne | 7 ms |
| ? | ? |
| 14 CPU-Kerne | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:
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Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 ms in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 CPU-Kerne entspricht: 4 ms
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 7 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.
Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 7 Fuhren für jeden reicht?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 7
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⋅ 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 7
⋅ 4
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⋅ 7
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren
Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 7 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:
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Um von 8 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Lastwagen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:
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: 8
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⋅ 8
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 8
⋅ 7
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⋅ 8
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Fuhren entspricht: 8 Lastwagen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 78 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 78 € Lohn (für 3 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 80 € Lohn gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 10 € Lohn den 24 Helfer:innen entsprechen.
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: 1
⋅ 6
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⋅ 1
: 6
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 € Lohn (für 24 Helfer:innen) war also korrekt.