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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 30 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 ms durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne entspricht:
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⋅ 10
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: 10
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⋅ 10
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: 10
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 9 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:
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Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 5 Lastwagen | 9 Fuhren |
| ? | ? |
| 3 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 15 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 400 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "20 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 1200 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Liter pro 100km:
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Um von 15 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Liter pro 100km entspricht: 300 km
Um von 400 km in der ersten Zeile auf 1200 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 15 Liter pro 100km durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1200 km entspricht:
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1200 km entspricht: 5 Liter pro 100km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 14 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 16 ms gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 6 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.
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: 1
⋅ 2
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⋅ 1
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 ms (für 8 CPU-Kerne) war also korrekt.