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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen7 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 7 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 12 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 Lastwagen5 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 12 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 4

12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

⋅ 4
: 4

12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen20 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen20 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

12 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen20 Fuhren
15 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen6 Fuhren
??
12 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Lastwagen:


8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen?
12 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 4 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lastwagen links entspricht:

: 2

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen?
12 Lastwagen?

⋅ 2
: 2

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen25 h

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h



Um von 10 h in der ersten Zeile auf 5 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Personen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 h entspricht:

: 2
10 h5 Personen
5 h?
⋅ 2
: 2
10 h5 Personen
5 h10 Personen
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 10 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 38 Lose den 10 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 € Lospreis50 Lose
2 € Lospreis200 Lose
10 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 38 Lose (für 10 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 10 Lose den 40 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 5

8 € Lospreis50 Lose
8 € Lospreis50 Lose
40 € Lospreis10 Lose

⋅ 1
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Lose (für 40 € Lospreis) war also korrekt.