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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 24 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 6 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern24 ms
6 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 6 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 ms durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 6
1 CPU-Kern24 ms
6 CPU-Kerne?
: 6
⋅ 6
1 CPU-Kern24 ms
6 CPU-Kerne4 ms
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 150 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Helfer:innen150 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


4 Helfer:innen150 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 150 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen150 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

⋅ 4
: 4

4 Helfer:innen150 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen150 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen150 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
3 Helfer:innen200 € Lohn

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 200 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4500 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 6 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 4 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Helfer:innen40 € Lohn
??
8 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen?
8 Helfer:innen?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn



Um von 40 € Lohn in der ersten Zeile auf 4 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 Helfer:innen mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lohn entspricht:

: 10
40 € Lohn6 Helfer:innen
4 € Lohn?
⋅ 10
: 10
40 € Lohn6 Helfer:innen
4 € Lohn60 Helfer:innen
⋅ 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lohn entspricht: 60 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Fuhren den 3 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Fuhren(für 3 Lastwagen) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Fuhren den 9 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
9 Lastwagen5 Fuhren

⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Fuhren (für 9 Lastwagen) war also korrekt.