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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 60 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast60 Spezi-Flaschen
15 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 15 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Spezi-Flaschen durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 Gäste entspricht:

⋅ 15
1 Gast60 Spezi-Flaschen
15 Gäste?
: 15
⋅ 15
1 Gast60 Spezi-Flaschen
15 Gäste4 Spezi-Flaschen
: 15

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 9 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Lastwagen5 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?
⋅ 3
: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen3 Fuhren
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?
⋅ 5
: 5

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste25 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 25 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 12 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 20 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Lastwagen12 Fuhren
??
4 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen60 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen60 Fuhren
4 Lastwagen15 Fuhren
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 20 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
12 Fuhren5 Lastwagen
??
20 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 20 sein, also der ggT(12,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Fuhren:


12 Fuhren5 Lastwagen
4 Fuhren?
20 Fuhren?

Um von 12 Fuhren in der ersten Zeile auf 4 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Lastwagen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Fuhren links entspricht:

: 3

12 Fuhren5 Lastwagen
4 Fuhren15 Lastwagen
20 Fuhren?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Fuhren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

12 Fuhren5 Lastwagen
4 Fuhren15 Lastwagen
20 Fuhren3 Lastwagen
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Fuhren entspricht: 3 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 4 ms den 14 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne28 ms
14 CPU-Kerne4 ms
⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms(für 14 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 7 CPU-Kerne entsprechen.

: 8
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
1 CPU-Kerne56 ms
7 CPU-Kerne8 ms
⋅ 8
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 7 CPU-Kerne) war also korrekt.