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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 10 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Helfer:innen entspricht:

⋅ 10
1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen?
: 10
⋅ 10
1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen30 € Lohn
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 600 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km600 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 600 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2400 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km800 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 800 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen6 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

⋅ 2
: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 10 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 CPU-Kerne10 ms
??
2 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne25 ms

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms



Um von 10 ms in der ersten Zeile auf 5 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 CPU-Kerne mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 ms entspricht:

: 2
10 ms5 CPU-Kerne
5 ms?
⋅ 2
: 2
10 ms5 CPU-Kerne
5 ms10 CPU-Kerne
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 10 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 CPU-Kerne6 ms
1 CPU-Kern30 ms
3 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 10 ms gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 ms den 10 CPU-Kerne entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 CPU-Kerne6 ms
5 CPU-Kerne6 ms
10 CPU-Kerne3 ms

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms (für 10 CPU-Kerne) war also korrekt.