nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.

Wie oft müssten 7 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 7 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Lastwagen entspricht:

⋅ 7
1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen?
: 7
⋅ 7
1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen8 Fuhren
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 Personen6 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


10 Personen6 h
2 Personen?
12 Personen?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 5

10 Personen6 h
2 Personen?
12 Personen?
⋅ 5
: 5

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen?
⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen5 h
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 5 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 15 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
15 ms4 CPU-Kerne
??
4 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 4 sein, also der ggT(15,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


15 ms4 CPU-Kerne
1 ms?
4 ms?

Um von 15 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 CPU-Kerne nicht durch 15 teilen, sondern mit 15 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 15

15 ms4 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
4 ms?
⋅ 15

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 15
⋅ 4

15 ms4 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
4 ms15 CPU-Kerne
⋅ 15
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 ms entspricht: 15 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 12 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast40 Spezi-Flaschen
4 Gäste10 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also falsch, richtig wäre 10 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gäste40 Spezi-Flaschen
8 Gäste5 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also falsch, richtig wäre 5 Spezi-Flaschen gewesen.