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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 480 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis480 Lose
4 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 480 Lose durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis entspricht:

⋅ 4
1 € Lospreis480 Lose
4 € Lospreis?
: 4
⋅ 4
1 € Lospreis480 Lose
4 € Lospreis120 Lose
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 120 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Minuten pro Tag10 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 € Lospreis90 Lose
??
3 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


4 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

⋅ 4
: 4

4 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 360 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis360 Lose
3 € Lospreis120 Lose

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 120 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 12 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 30 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 18 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 Helfer:innen30 € Lohn
??
18 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Helfer:innen:


12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen?
18 Helfer:innen?

Um von 12 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen links entspricht:

: 2

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn



Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:


30 € Lohn12 Helfer:innen
??
8 € Lohn?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 8 sein, also der ggT(30,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lohn:


30 € Lohn12 Helfer:innen
2 € Lohn?
8 € Lohn?

Um von 30 € Lohn in der ersten Zeile auf 2 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Helfer:innen nicht durch 15 teilen, sondern mit 15 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lohn links entspricht:

: 15

30 € Lohn12 Helfer:innen
2 € Lohn180 Helfer:innen
8 € Lohn?

⋅ 15

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lohn in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 15
⋅ 4

30 € Lohn12 Helfer:innen
2 € Lohn180 Helfer:innen
8 € Lohn45 Helfer:innen

⋅ 15
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lohn entspricht: 45 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 5 Fuhren den 15 Lastwagen entsprechen.

: 2
⋅ 3

10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen6 Fuhren
15 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Fuhren (für 15 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 2 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Fuhren den 6 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 3

10 Lastwagen3 Fuhren
2 Lastwagen15 Fuhren
6 Lastwagen5 Fuhren

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Fuhren (für 6 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 5 Fuhren gewesen.