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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 24 mal fahren.

Wie oft müssten 6 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:

⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?
: 6
⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen4 Fuhren
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 9 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Helfer:innen40 € Lohn
??
12 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Helfer:innen:


9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen?
12 Helfer:innen?

Um von 9 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen links entspricht:

: 3

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen?
12 Helfer:innen?
⋅ 3
: 3

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen12 h
??
4 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen12 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen12 h
1 Person?
4 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen?
⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen15 h
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 15 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen8 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen10 h
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 10 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
8 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


8 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 8 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 8

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h8 Personen
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 8 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
2 Minuten pro Tag18 Tage
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage (für 2 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 18 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 9 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 3

3 Minuten pro Tag12 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
9 Minuten pro Tag4 Tage
⋅ 1
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 9 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 4 Tage gewesen.