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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 36 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast36 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Spezi-Flaschen durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste entspricht:

⋅ 3
1 Gast36 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
: 3
⋅ 3
1 Gast36 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 12 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 90 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 € Lospreis90 Lose
??
3 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis150 Lose

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen5 h
??
10 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

⋅ 4
: 4

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen4 h

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 20 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 300 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "30 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 1200 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


20 Liter pro 100km300 km
??
30 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Liter pro 100km:


20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km?
30 Liter pro 100km?

Um von 20 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 300 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km links entspricht:

: 2

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km600 km
30 Liter pro 100km?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km600 km
30 Liter pro 100km200 km

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Liter pro 100km entspricht: 200 km



Um von 300 km in der ersten Zeile auf 1200 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 20 Liter pro 100km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1200 km entspricht:

⋅ 4
300 km20 Liter pro 100km
1200 km?
: 4
⋅ 4
300 km20 Liter pro 100km
1200 km5 Liter pro 100km
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1200 km entspricht: 5 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Spezi-Flaschen den 2 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
2 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Spezi-Flaschen(für 2 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Spezi-Flaschen den 10 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 10

3 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gäste30 Spezi-Flaschen
10 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Spezi-Flaschen (für 10 Gäste) war also falsch, richtig wäre 3 Spezi-Flaschen gewesen.