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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 240 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 6 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 240 Lose durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis entspricht:

⋅ 6
1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis?
: 6
⋅ 6
1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis40 Lose
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 10 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "25 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Liter pro 100km500 km
??
25 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Liter pro 100km:


10 Liter pro 100km500 km
5 Liter pro 100km?
25 Liter pro 100km?

Um von 10 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km links entspricht:

: 2

10 Liter pro 100km500 km
5 Liter pro 100km?
25 Liter pro 100km?

⋅ 2
: 2

10 Liter pro 100km500 km
5 Liter pro 100km1000 km
25 Liter pro 100km?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Liter pro 100km500 km
5 Liter pro 100km1000 km
25 Liter pro 100km?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Liter pro 100km500 km
5 Liter pro 100km1000 km
25 Liter pro 100km200 km

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Liter pro 100km entspricht: 200 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen7 Fuhren
??
14 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?

⋅ 4
: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Fuhren in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 6 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


6 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 6 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

6 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km1500 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km1500 km
10 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 300 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


500 km6 Liter pro 100km
??
600 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 500 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 500 und von 600 sein, also der ggT(500,600) = 100.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:


500 km6 Liter pro 100km
100 km?
600 km?

Um von 500 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Liter pro 100km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:

: 5

500 km6 Liter pro 100km
100 km30 Liter pro 100km
600 km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 600 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

500 km6 Liter pro 100km
100 km30 Liter pro 100km
600 km5 Liter pro 100km

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 km entspricht: 5 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 0 h den 8 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen3 h

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 0 h (für 8 Personen) war also falsch, richtig wäre 3 h gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 h den 4 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Personen4 h
2 Personen12 h
4 Personen6 h

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 h (für 4 Personen) war also korrekt.