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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 24 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 4 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Spezi-Flaschen durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Gäste entspricht:

⋅ 4
1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?
: 4
⋅ 4
1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste6 Spezi-Flaschen
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 6 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 7 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 14 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne7 ms
??
14 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne?
14 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne?
14 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne28 ms
14 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne28 ms
14 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 ms in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne28 ms
14 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen12 h
??
4 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen12 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen12 h
1 Person?
4 Personen?

⋅ 5
: 5

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Personen12 h
1 Person60 h
4 Personen15 h

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 15 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 12 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Personen6 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h



Um von 6 h in der ersten Zeile auf 12 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 h entspricht:

⋅ 2
6 h8 Personen
12 h?
: 2
⋅ 2
6 h8 Personen
12 h4 Personen
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 h entspricht: 4 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 1000 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1000 km(für 4 Liter pro 100km) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 496 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 496 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.