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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in300 € Lohn
3 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen entspricht:

⋅ 3
1 Helfer:in300 € Lohn
3 Helfer:innen?
: 3
⋅ 3
1 Helfer:in300 € Lohn
3 Helfer:innen100 € Lohn
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 6 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


6 Helfer:innen80 € Lohn
2 Helfer:innen?
4 Helfer:innen?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen80 € Lohn
2 Helfer:innen?
4 Helfer:innen?

⋅ 3
: 3

6 Helfer:innen80 € Lohn
2 Helfer:innen240 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Helfer:innen80 € Lohn
2 Helfer:innen240 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Helfer:innen80 € Lohn
2 Helfer:innen240 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 3 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 3

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

⋅ 3
: 3

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste18 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 18 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 3 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Lastwagen3 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:


10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 2

10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen6 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Lastwagen3 Fuhren
5 Lastwagen6 Fuhren
15 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren



Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:


3 Fuhren10 Lastwagen
??
5 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 5 sein, also der ggT(3,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre?
5 Fuhren?

Um von 3 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Lastwagen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 3

3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre30 Lastwagen
5 Fuhren?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

3 Fuhren10 Lastwagen
1 Fuhre30 Lastwagen
5 Fuhren6 Lastwagen

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Fuhren entspricht: 6 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 300 km den 12 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 4

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km1200 km
12 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 300 km(für 12 Liter pro 100km) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 1197 km den 3 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 1

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km1200 km
3 Liter pro 100km1200 km

⋅ 3
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1197 km (für 3 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1200 km gewesen.