nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 36 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 ms durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 3
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne?
: 3
⋅ 3
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne12 ms
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 12 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 4 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Lastwagen6 Fuhren
??
3 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

⋅ 4
: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen8 Fuhren

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 400 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis100 Lose

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 3 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 12 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Personen12 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


3 Personen12 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 3 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 3

3 Personen12 h
1 Person36 h
2 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Personen12 h
1 Person36 h
2 Personen18 h

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 18 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


12 h3 Personen
??
9 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 9 sein, also der ggT(12,9) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 h:


12 h3 Personen
3 h?
9 h?

Um von 12 h in der ersten Zeile auf 3 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Personen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 h links entspricht:

: 4

12 h3 Personen
3 h12 Personen
9 h?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 h in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

12 h3 Personen
3 h12 Personen
9 h4 Personen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 h entspricht: 4 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 8 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag10 Tage

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage (für 4 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 10 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Tage den 8 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minuten pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag5 Tage

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Tage (für 8 Minuten pro Tag) war also korrekt.