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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 56 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 8 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 ms durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 8
1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne?
: 8
⋅ 8
1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne7 ms
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 7 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 CPU-Kerne6 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne9 ms

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 9 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 CPU-Kerne5 ms
??
25 CPU-Kerne?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 6 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Personen8 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen8 h
2 Personen?
4 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen8 h
2 Personen24 h
4 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Personen8 h
2 Personen24 h
4 Personen12 h

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 12 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 6 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


8 h6 Personen
??
6 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 6 sein, also der ggT(8,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 h:


8 h6 Personen
2 h?
6 h?

Um von 8 h in der ersten Zeile auf 2 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Personen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 h links entspricht:

: 4

8 h6 Personen
2 h24 Personen
6 h?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 h in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

8 h6 Personen
2 h24 Personen
6 h8 Personen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 h entspricht: 8 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 250 Lose den 2 € Lospreis entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis250 Lose

⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 250 Lose(für 2 € Lospreis) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 23 Lose den 20 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 4

5 € Lospreis100 Lose
5 € Lospreis100 Lose
20 € Lospreis25 Lose

⋅ 1
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 23 Lose (für 20 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 25 Lose gewesen.