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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 560 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:

⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?
: 8
⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis70 Lose
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 70 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

⋅ 5
: 5

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
4 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 3 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1200 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "2 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Liter pro 100km1200 km
??
2 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


3 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 3 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1200 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

3 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km3600 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km3600 km
2 Liter pro 100km1800 km

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 1800 km



Um von 1200 km in der ersten Zeile auf 600 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Liter pro 100km mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 600 km entspricht:

: 2
1200 km3 Liter pro 100km
600 km?
⋅ 2
: 2
1200 km3 Liter pro 100km
600 km6 Liter pro 100km
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 km entspricht: 6 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 150 Lose den 2 € Lospreis entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis300 Lose
2 € Lospreis150 Lose

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 150 Lose(für 2 € Lospreis) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Lose den 30 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 10

3 € Lospreis100 Lose
3 € Lospreis100 Lose
30 € Lospreis10 Lose

⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Lose (für 30 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 10 Lose gewesen.