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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 60 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag60 Tage
3 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Tage durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 3
1 Minute pro Tag60 Tage
3 Minuten pro Tag?
: 3
⋅ 3
1 Minute pro Tag60 Tage
3 Minuten pro Tag20 Tage
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 20 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4500 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Personen3 h
??
18 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Personen:


12 Personen3 h
6 Personen?
18 Personen?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 6 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Personen links entspricht:

: 2

12 Personen3 h
6 Personen?
18 Personen?

⋅ 2
: 2

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen2 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Personen entspricht: 2 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 3 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 20 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Minuten pro Tag20 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 3 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag30 Tage

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 30 Tage



Um von 20 Tage in der ersten Zeile auf 4 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Minuten pro Tag mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Tage entspricht:

: 5
20 Tage3 Minuten pro Tag
4 Tage?
⋅ 5
: 5
20 Tage3 Minuten pro Tag
4 Tage15 Minuten pro Tag
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Tage entspricht: 15 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 25 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 Tage(für 2 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 10 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
10 Minuten pro Tag5 Tage

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 10 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.