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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in560 € Lohn
8 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8
1 Helfer:in560 € Lohn
8 Helfer:innen?
: 8
⋅ 8
1 Helfer:in560 € Lohn
8 Helfer:innen70 € Lohn
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 70 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 600 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km600 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 600 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 3000 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1000 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen10 Fuhren
??
2 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

⋅ 5
: 5

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen25 Fuhren

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 25 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 7€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 16 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 7 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 7

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 140 Lose



Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 16 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 7 € Lospreis mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 16 Lose entspricht:

: 5
80 Lose7 € Lospreis
16 Lose?
⋅ 5
: 5
80 Lose7 € Lospreis
16 Lose35 € Lospreis
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Lose entspricht: 35 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 10 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 CPU-Kerne6 ms
1 CPU-Kern30 ms
3 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 ms(für 3 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 ms den 6 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 6

5 CPU-Kerne6 ms
1 CPU-Kerne30 ms
6 CPU-Kerne5 ms

⋅ 5
: 6

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 ms (für 6 CPU-Kerne) war also korrekt.