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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 56 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 7 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast56 Spezi-Flaschen
7 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 7 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Spezi-Flaschen durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Gäste entspricht:

⋅ 7
1 Gast56 Spezi-Flaschen
7 Gäste?
: 7
⋅ 7
1 Gast56 Spezi-Flaschen
7 Gäste8 Spezi-Flaschen
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 6 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 4 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Minuten pro Tag4 Tage
??
8 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


6 Minuten pro Tag4 Tage
2 Minuten pro Tag?
8 Minuten pro Tag?

Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

6 Minuten pro Tag4 Tage
2 Minuten pro Tag?
8 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 3

6 Minuten pro Tag4 Tage
2 Minuten pro Tag12 Tage
8 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Minuten pro Tag4 Tage
2 Minuten pro Tag12 Tage
8 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Minuten pro Tag4 Tage
2 Minuten pro Tag12 Tage
8 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Personen8 h
??
4 Personen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


7 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 7 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 7

7 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

⋅ 7
: 7

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen14 h

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 14 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 7 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 8 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 7 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 Minuten pro Tag8 Tage
??
4 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


7 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

Um von 7 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 7

7 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag56 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag56 Tage
4 Minuten pro Tag14 Tage

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 14 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 7 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


8 Tage7 Minuten pro Tag
??
7 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:


8 Tage7 Minuten pro Tag
1 Tag?
7 Tage?

Um von 8 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Minuten pro Tag nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:

: 8

8 Tage7 Minuten pro Tag
1 Tag56 Minuten pro Tag
7 Tage?

⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 7

8 Tage7 Minuten pro Tag
1 Tag56 Minuten pro Tag
7 Tage8 Minuten pro Tag

⋅ 8
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Tage entspricht: 8 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 28 € Lohn den 15 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Helfer:innen50 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn
15 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 28 € Lohn (für 15 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 30 € Lohn gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 € Lohn den 90 Helfer:innen entsprechen.

: 1
⋅ 10

9 Helfer:innen50 € Lohn
9 Helfer:innen50 € Lohn
90 Helfer:innen5 € Lohn

⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 € Lohn (für 90 Helfer:innen) war also korrekt.