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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 40 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 5 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Spezi-Flaschen durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste entspricht:

⋅ 5
1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
: 5
⋅ 5
1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste8 Spezi-Flaschen
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 7 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
7 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 7 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?
⋅ 7
: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 560 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen140 € Lohn
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 140 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 CPU-Kerne10 ms
??
2 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?
⋅ 5
: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne25 ms
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 4 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
4 Personen6 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


4 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen8 h
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 8 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 4 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
6 h4 Personen
??
4 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 h:


6 h4 Personen
2 h?
4 h?

Um von 6 h in der ersten Zeile auf 2 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Personen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 h links entspricht:

: 3

6 h4 Personen
2 h12 Personen
4 h?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 h in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 h4 Personen
2 h12 Personen
4 h6 Personen
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 h entspricht: 6 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 8 h den 3 Personen entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen8 h
⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 h(für 3 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 6 Personen entsprechen.

: 2
⋅ 3

4 Personen6 h
2 Personen12 h
6 Personen4 h
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 6 Personen) war also korrekt.