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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 56 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 8 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast56 Spezi-Flaschen
8 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 8 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Spezi-Flaschen durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Gäste entspricht:

⋅ 8
1 Gast56 Spezi-Flaschen
8 Gäste?
: 8
⋅ 8
1 Gast56 Spezi-Flaschen
8 Gäste7 Spezi-Flaschen
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Gäste entspricht: 7 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Minuten pro Tag10 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Liter pro 100km1000 km
??
2 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 5000 km in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km2500 km

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 2500 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 10€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 25 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 125 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 € Lospreis50 Lose
??
25 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:


10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis?
25 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 2

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lospreis entspricht: 20 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 125 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


50 Lose10 € Lospreis
??
125 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 50 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 50 und von 125 sein, also der ggT(50,125) = 25.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 25 Lose:


50 Lose10 € Lospreis
25 Lose?
125 Lose?

Um von 50 Lose in der ersten Zeile auf 25 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 € Lospreis nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 25 Lose links entspricht:

: 2

50 Lose10 € Lospreis
25 Lose20 € Lospreis
125 Lose?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 25 Lose in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 125 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

50 Lose10 € Lospreis
25 Lose20 € Lospreis
125 Lose4 € Lospreis

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 125 Lose entspricht: 4 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
4 Minuten pro Tag15 Tage

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage(für 4 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 15 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 3

5 Minuten pro Tag12 Tage
5 Minuten pro Tag12 Tage
15 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 1
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 15 Minuten pro Tag) war also korrekt.