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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty 60 Flaschen Spezi bekommen.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Spezi-Flaschen durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste entspricht:
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 20 Spezi-Flaschen
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 7 h.
Wie lange bräuchten 14 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:
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Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 3 € Lospreis | 200 Lose |
| ? | ? |
| 2 € Lospreis | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
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Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 200 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 300 Lose
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 9 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 400 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "12 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:
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Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Liter pro 100km entspricht: 300 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 400 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 400 und von 600 sein, also der ggT(400,600) = 200.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 200 km:
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Um von 400 km in der ersten Zeile auf 200 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Liter pro 100km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 200 km links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 200 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 600 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 km entspricht: 6 Liter pro 100km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 200 km den 25 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 200 km(für 25 Liter pro 100km) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 1000 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 1
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⋅ 2
: 1
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1000 km (für 5 Liter pro 100km) war also korrekt.