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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 500 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 500 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:

⋅ 5
1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen?
: 5
⋅ 5
1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 100 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 2 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 € Lospreis100 Lose
??
2 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis250 Lose

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 250 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 € Lospreis100 Lose
??
2 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis250 Lose

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 250 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 7 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 7 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen140 € Lohn

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 140 € Lohn



Um von 80 € Lohn in der ersten Zeile auf 8 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 7 Helfer:innen mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lohn entspricht:

: 10
80 € Lohn7 Helfer:innen
8 € Lohn?
⋅ 10
: 10
80 € Lohn7 Helfer:innen
8 € Lohn70 Helfer:innen
⋅ 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lohn entspricht: 70 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also falsch, richtig wäre 3 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
4 Gäste6 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also korrekt.