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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 6 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen entspricht:

⋅ 6
1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen?
: 6
⋅ 6
1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Helfer:innen entspricht: 60 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 9 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen9 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen15 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 15 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Lastwagen5 Fuhren
??
15 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?
⋅ 3
: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen3 Fuhren
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 20 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 CPU-Kerne6 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne30 ms
12 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne30 ms
12 CPU-Kerne5 ms
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 5 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 20 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
6 ms10 CPU-Kerne
??
20 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 20 sein, also der ggT(6,20) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


6 ms10 CPU-Kerne
2 ms?
20 ms?

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 3

6 ms10 CPU-Kerne
2 ms30 CPU-Kerne
20 ms?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 10 multiplizieren, um auf die 20 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 10

6 ms10 CPU-Kerne
2 ms30 CPU-Kerne
20 ms3 CPU-Kerne
⋅ 3
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 ms entspricht: 3 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 30 € Lohn den 16 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 4

12 Helfer:innen40 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
16 Helfer:innen30 € Lohn
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 30 € Lohn(für 16 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 € Lohn den 120 Helfer:innen entsprechen.

: 1
⋅ 10

12 Helfer:innen40 € Lohn
12 Helfer:innen40 € Lohn
120 Helfer:innen4 € Lohn
⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 € Lohn (für 120 Helfer:innen) war also korrekt.