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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 30 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 Tage durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 3
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag?
: 3
⋅ 3
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag10 Tage
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 5

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 10 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Liter pro 100km800 km
??
4 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

Um von 7 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 800 km nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 7

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

⋅ 7
: 7

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 5600 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
4 Liter pro 100km1400 km

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 1400 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 10 ms



Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:


8 ms5 CPU-Kerne
??
5 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


8 ms5 CPU-Kerne
1 ms?
5 ms?

Um von 8 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 CPU-Kerne nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 8

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms?

⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms8 CPU-Kerne

⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 8 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 99 € Lohn den 4 Helfer:innen entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen100 € Lohn

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 99 € Lohn (für 4 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 100 € Lohn gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 44 € Lohn den 10 Helfer:innen entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Helfer:innen80 € Lohn
5 Helfer:innen80 € Lohn
10 Helfer:innen40 € Lohn

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 44 € Lohn (für 10 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 40 € Lohn gewesen.