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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 24 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern24 ms
4 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 ms durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 4
1 CPU-Kern24 ms
4 CPU-Kerne?
: 4
⋅ 4
1 CPU-Kern24 ms
4 CPU-Kerne6 ms
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 6 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Lastwagen4 Fuhren
??
8 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Lastwagen4 Fuhren
??
12 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


9 Lastwagen4 Fuhren
3 Lastwagen?
12 Lastwagen?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen4 Fuhren
3 Lastwagen?
12 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

9 Lastwagen4 Fuhren
3 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Lastwagen4 Fuhren
3 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Lastwagen4 Fuhren
3 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 3 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Lastwagen6 Fuhren
??
3 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen30 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen30 Fuhren
3 Lastwagen10 Fuhren

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren



Um von 6 Fuhren in der ersten Zeile auf 3 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Lastwagen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Fuhren entspricht:

: 2
6 Fuhren5 Lastwagen
3 Fuhren?
⋅ 2
: 2
6 Fuhren5 Lastwagen
3 Fuhren10 Lastwagen
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Fuhren entspricht: 10 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 20 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 3

10 € Lospreis30 Lose
5 € Lospreis60 Lose
15 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 Lose(für 15 € Lospreis) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Lose den 100 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 10

10 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis30 Lose
100 € Lospreis3 Lose

⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Lose (für 100 € Lospreis) war also korrekt.