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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 56 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag56 Tage
8 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 8
1 Minute pro Tag56 Tage
8 Minuten pro Tag?
: 8
⋅ 8
1 Minute pro Tag56 Tage
8 Minuten pro Tag7 Tage
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 7 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Personen5 h
??
10 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

⋅ 4
: 4

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen4 h

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Gäste4 Spezi-Flaschen
??
12 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:


9 Gäste4 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
12 Gäste?

Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 3

9 Gäste4 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
12 Gäste?

⋅ 3
: 3

9 Gäste4 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Gäste4 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Gäste4 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
12 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 20 Lastwagen müssten dafür 3 mal fahren.

Wie oft müssten 30 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 12 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


20 Lastwagen3 Fuhren
??
30 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Lastwagen:


20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen?
30 Lastwagen?

Um von 20 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen links entspricht:

: 2

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
30 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 Lastwagen3 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
30 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren



Um von 3 Fuhren in der ersten Zeile auf 12 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 20 Lastwagen durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Fuhren entspricht:

⋅ 4
3 Fuhren20 Lastwagen
12 Fuhren?
: 4
⋅ 4
3 Fuhren20 Lastwagen
12 Fuhren5 Lastwagen
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 96 € Lohn den 4 Helfer:innen entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen100 € Lohn

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 96 € Lohn (für 4 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 100 € Lohn gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 € Lohn den 50 Helfer:innen entsprechen.

: 1
⋅ 10

5 Helfer:innen80 € Lohn
5 Helfer:innen80 € Lohn
50 Helfer:innen8 € Lohn

⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 € Lohn (für 50 Helfer:innen) war also korrekt.