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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 60 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 6 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 6 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Tage durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten pro Tag entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:
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Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 20 Liter pro 100km | 300 km |
| ? | ? |
| 30 Liter pro 100km | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Liter pro 100km:
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Um von 20 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 300 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Liter pro 100km entspricht: 200 km
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.
Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 4 h putzen müsste?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:
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Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 12 h
Um von 8 h in der ersten Zeile auf 4 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 Personen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 h entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 h entspricht: 12 Personen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 400 km den 14 Liter pro 100km entsprechen.
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 400 km(für 14 Liter pro 100km) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 801 km den 7 Liter pro 100km entsprechen.
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: 8
⋅ 7
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⋅ 8
: 7
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 801 km (für 7 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 800 km gewesen.