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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 240 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 6 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 240 Lose durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 € Lospreis entspricht: 40 Lose
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 360 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Lastwagen | 4 Fuhren |
| ? | ? |
| 8 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:
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Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 900 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 900 und von 500 sein, also der ggT(900,500) = 100.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:
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Um von 900 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Liter pro 100km nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:
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: 9
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⋅ 9
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Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 500 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 9
⋅ 5
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⋅ 9
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 9 Liter pro 100km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 1500 km den 2 Liter pro 100km entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1500 km(für 2 Liter pro 100km) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 597 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 597 km (für 5 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 600 km gewesen.