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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 30 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 6 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag30 Tage
6 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 6 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 Tage durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 6
1 Minute pro Tag30 Tage
6 Minuten pro Tag?
: 6
⋅ 6
1 Minute pro Tag30 Tage
6 Minuten pro Tag5 Tage
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 12 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 CPU-Kerne12 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

4 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern48 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern48 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 48 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern48 ms
3 CPU-Kerne16 ms

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 16 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 15 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 10 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 30 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 15 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 5 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Helfer:innen30 € Lohn
??
15 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn



Um von 30 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Helfer:innen mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn entspricht:

: 6
30 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn?
⋅ 6
: 6
30 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn60 Helfer:innen
⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lohn entspricht: 60 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 24 Spezi-Flaschen den 2 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste25 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 24 Spezi-Flaschen (für 2 Gäste) war also falsch, richtig wäre 25 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Spezi-Flaschen den 10 Gäste entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
10 Gäste5 Spezi-Flaschen

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Spezi-Flaschen (für 10 Gäste) war also falsch, richtig wäre 5 Spezi-Flaschen gewesen.