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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4500 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "5 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km4500 km
5 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4500 km durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 5
1 Liter pro 100km4500 km
5 Liter pro 100km?
: 5
⋅ 5
1 Liter pro 100km4500 km
5 Liter pro 100km900 km
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Liter pro 100km entspricht: 900 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 3 CPU-Kernen 10 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 CPU-Kerne10 ms
??
2 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


3 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 3 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

3 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

3 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern30 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern30 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern30 ms
2 CPU-Kerne15 ms
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 15 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen7 h
??
14 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?
⋅ 4
: 4

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen4 h
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 100 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 2 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 50 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 € Lospreis100 Lose
??
2 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis250 Lose
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 250 Lose


Um von 100 Lose in der ersten Zeile auf 50 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 € Lospreis mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 50 Lose entspricht:

: 2
100 Lose5 € Lospreis
50 Lose?
⋅ 2
: 2
100 Lose5 € Lospreis
50 Lose10 € Lospreis
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 50 Lose entspricht: 10 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 14 h den 4 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen10 h
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 h (für 4 Personen) war also falsch, richtig wäre 10 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 h den 8 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Personen8 h
1 Personen40 h
8 Personen5 h
⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 h (für 8 Personen) war also korrekt.