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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4800 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "8 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 8 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4800 km durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 8
1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km?
: 8
⋅ 8
1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km600 km
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Liter pro 100km entspricht: 600 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?
⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen25 h
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen7 Fuhren
??
14 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Fuhren in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 10 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
8 ms5 CPU-Kerne
??
5 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


8 ms5 CPU-Kerne
1 ms?
5 ms?

Um von 8 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 CPU-Kerne nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 8

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms8 CPU-Kerne
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 8 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Fuhren den 10 Lastwagen entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Fuhren(für 10 Lastwagen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
5 Lastwagen8 Fuhren
⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 8 Fuhren gewesen.