nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 10 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Helfer:innen entspricht:

⋅ 10
1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen?
: 10
⋅ 10
1 Helfer:in300 € Lohn
10 Helfer:innen30 € Lohn
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 12 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 4 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 16 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 Minuten pro Tag4 Tage
??
16 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten pro Tag:


12 Minuten pro Tag4 Tage
4 Minuten pro Tag?
16 Minuten pro Tag?

Um von 12 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

12 Minuten pro Tag4 Tage
4 Minuten pro Tag?
16 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 3

12 Minuten pro Tag4 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
16 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 Minuten pro Tag4 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
16 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

12 Minuten pro Tag4 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
16 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

Um von 7 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 7

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

⋅ 7
: 7

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast56 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast56 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast56 Spezi-Flaschen
4 Gäste14 Spezi-Flaschen

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 14 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Personen5 h
??
10 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen4 h

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


5 h8 Personen
??
8 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


5 h8 Personen
1 h?
8 h?

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Personen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 5

5 h8 Personen
1 h40 Personen
8 h?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

5 h8 Personen
1 h40 Personen
8 h5 Personen

⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 h entspricht: 5 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1501 km den 3 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1501 km (für 3 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1500 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 498 km den 9 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
9 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 498 km (für 9 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.