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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 24 mal fahren.

Wie oft müssten 6 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:

⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?
: 6
⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen4 Fuhren
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 7 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
7 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 7 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 7

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?
⋅ 7
: 7

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne14 ms
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 14 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen7 h
??
14 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?
⋅ 4
: 4

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen4 h
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 20 Flaschen, wenn insgesamt 3 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 10 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 Gäste20 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


3 Gäste20 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 3 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 3

3 Gäste20 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Gäste20 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 30 Spezi-Flaschen


Um von 20 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 10 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2
20 Spezi-Flaschen3 Gäste
10 Spezi-Flaschen?
⋅ 2
: 2
20 Spezi-Flaschen3 Gäste
10 Spezi-Flaschen6 Gäste
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Spezi-Flaschen entspricht: 6 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 6 ms den 14 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
2 CPU-Kerne28 ms
14 CPU-Kerne4 ms
⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 ms (für 14 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 4 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 7 CPU-Kerne entsprechen.

: 8
⋅ 7

8 CPU-Kerne7 ms
1 CPU-Kerne56 ms
7 CPU-Kerne8 ms
⋅ 8
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 7 CPU-Kerne) war also korrekt.