nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 9 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
9 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 9 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Helfer:innen entspricht:

⋅ 9
1 Helfer:in360 € Lohn
9 Helfer:innen?
: 9
⋅ 9
1 Helfer:in360 € Lohn
9 Helfer:innen40 € Lohn
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 CPU-Kerne6 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 5

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne30 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne30 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 ms in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne30 ms
12 CPU-Kerne5 ms

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 5 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Minuten pro Tag5 Tage
??
25 Minuten pro Tag?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten pro Tag:


10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag?
25 Minuten pro Tag?

Um von 10 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 5 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten pro Tag links entspricht:

: 2

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag?
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 2

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Tage in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag2 Tage

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Minuten pro Tag entspricht: 2 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 4 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


4 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast48 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast48 Spezi-Flaschen
3 Gäste16 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 16 Spezi-Flaschen



Um von 12 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 4 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Gäste mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Spezi-Flaschen entspricht:

: 3
12 Spezi-Flaschen4 Gäste
4 Spezi-Flaschen?
⋅ 3
: 3
12 Spezi-Flaschen4 Gäste
4 Spezi-Flaschen12 Gäste
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Spezi-Flaschen entspricht: 12 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 2 Tage den 18 Minuten pro Tag entsprechen.

: 2
⋅ 3

12 Minuten pro Tag3 Tage
6 Minuten pro Tag6 Tage
18 Minuten pro Tag2 Tage

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Tage(für 18 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 9 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4
⋅ 3

12 Minuten pro Tag3 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
9 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 9 Minuten pro Tag) war also korrekt.