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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 600 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 15 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 15 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 Lose durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 € Lospreis entspricht:
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⋅ 15
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: 15
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⋅ 15
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: 15
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 40 Lose
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 7 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 14 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:
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Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 3 € Lospreis | 100 Lose |
| ? | ? |
| 2 € Lospreis | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
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Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 150 Lose
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 6 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:
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Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 5 ms
Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:
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Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 ms entspricht: 15 CPU-Kerne
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 147 Lose den 3 € Lospreis entsprechen.
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 147 Lose (für 3 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 150 Lose gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 2 Lose den 150 € Lospreis entsprechen.
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: 1
⋅ 30
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⋅ 1
: 30
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Lose (für 150 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 3 Lose gewesen.