nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 5000 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5000 km durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 10
1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km?
: 10
⋅ 10
1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km500 km
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 500 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 120 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen120 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in600 € Lohn
4 Helfer:innen150 € Lohn

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen10 h
??
2 Personen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

⋅ 5
: 5

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen25 h

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 12€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 16 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 24 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 € Lospreis40 Lose
??
16 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lospreis:


12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis?
16 € Lospreis?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis links entspricht:

: 3

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 € Lospreis entspricht: 30 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 24 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


40 Lose12 € Lospreis
??
24 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 40 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 40 und von 24 sein, also der ggT(40,24) = 8.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 8 Lose:


40 Lose12 € Lospreis
8 Lose?
24 Lose?

Um von 40 Lose in der ersten Zeile auf 8 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 € Lospreis nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lose links entspricht:

: 5

40 Lose12 € Lospreis
8 Lose60 € Lospreis
24 Lose?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 8 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 24 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

40 Lose12 € Lospreis
8 Lose60 € Lospreis
24 Lose20 € Lospreis

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Lose entspricht: 20 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 11 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne12 ms

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 12 ms gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 ms den 9 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 9

4 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kerne36 ms
9 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms (für 9 CPU-Kerne) war also korrekt.