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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 9 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 9 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Helfer:innen entspricht:

⋅ 9
1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen?
: 9
⋅ 9
1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen50 € Lohn
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 9 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
15 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:


9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

⋅ 3
: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 € Lospreis50 Lose
??
15 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:


9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 3

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

⋅ 3
: 3

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 150 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 5 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis100 Lose

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose



Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 5 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 16 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 € Lospreis mit 16 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lose entspricht:

: 16
80 Lose5 € Lospreis
5 Lose?
⋅ 16
: 16
80 Lose5 € Lospreis
5 Lose80 € Lospreis
⋅ 16

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lose entspricht: 80 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag10 Tage

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 10 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 10 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Minuten pro Tag6 Tage
5 Minuten pro Tag6 Tage
10 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 10 Minuten pro Tag) war also korrekt.