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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 60 mal fahren.

Wie oft müssten 5 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen60 Fuhren
5 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Fuhren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen entspricht:

⋅ 5
1 Lastwagen60 Fuhren
5 Lastwagen?
: 5
⋅ 5
1 Lastwagen60 Fuhren
5 Lastwagen12 Fuhren
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lastwagen entspricht: 12 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Personen6 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen6 h
2 Personen?
4 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen6 h
2 Personen?
4 Personen?
⋅ 3
: 3

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen9 h
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 9 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 € Lospreis90 Lose
??
3 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?
⋅ 5
: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis150 Lose
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 3 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 3 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 3 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 3

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste18 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 18 Spezi-Flaschen


Um von 12 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 3 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Gäste mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht:

: 4
12 Spezi-Flaschen3 Gäste
3 Spezi-Flaschen?
⋅ 4
: 4
12 Spezi-Flaschen3 Gäste
3 Spezi-Flaschen12 Gäste
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht: 12 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 28 Lose den 12 € Lospreis entsprechen.

: 3
⋅ 4

9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis120 Lose
12 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 28 Lose (für 12 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 30 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 19 Lose den 18 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 2

9 € Lospreis40 Lose
9 € Lospreis40 Lose
18 € Lospreis20 Lose
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 19 Lose (für 18 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 20 Lose gewesen.