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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 40 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 5 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Spezi-Flaschen durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste entspricht:

⋅ 5
1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
: 5
⋅ 5
1 Gast40 Spezi-Flaschen
5 Gäste8 Spezi-Flaschen
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 9 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Lastwagen5 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 CPU-Kerne3 ms
??
15 CPU-Kerne?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 2

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 15 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 400 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "20 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


15 Liter pro 100km400 km
??
20 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Liter pro 100km:


15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km?
20 Liter pro 100km?

Um von 15 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km1200 km
20 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km1200 km
20 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Liter pro 100km entspricht: 300 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


400 km15 Liter pro 100km
??
500 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 400 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 400 und von 500 sein, also der ggT(400,500) = 100.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:


400 km15 Liter pro 100km
100 km?
500 km?

Um von 400 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 Liter pro 100km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:

: 4

400 km15 Liter pro 100km
100 km60 Liter pro 100km
500 km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 500 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

400 km15 Liter pro 100km
100 km60 Liter pro 100km
500 km12 Liter pro 100km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 12 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste18 Spezi-Flaschen
4 Gäste9 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Spezi-Flaschen(für 4 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 12 Spezi-Flaschen den 3 Gäste entsprechen.

: 2
⋅ 1

6 Gäste6 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Spezi-Flaschen (für 3 Gäste) war also korrekt.