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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 45 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 9 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 9 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Tage durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?
: 9
⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 € Lospreis40 Lose
??
8 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis?
8 € Lospreis?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis?
8 € Lospreis?
⋅ 3
: 3

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis120 Lose
8 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis120 Lose
8 € Lospreis?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 € Lospreis40 Lose
2 € Lospreis120 Lose
8 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Personen4 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen4 h
3 Personen?
12 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen4 h
3 Personen?
12 Personen?
⋅ 3
: 3

9 Personen4 h
3 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Personen4 h
3 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Personen4 h
3 Personen12 h
12 Personen3 h
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 3 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 CPU-Kerne3 ms
??
15 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 2 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
3 ms10 CPU-Kerne
??
10 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 10 sein, also der ggT(3,10) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


3 ms10 CPU-Kerne
1 ms?
10 ms?

Um von 3 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 3

3 ms10 CPU-Kerne
1 ms30 CPU-Kerne
10 ms?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 10 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 10

3 ms10 CPU-Kerne
1 ms30 CPU-Kerne
10 ms3 CPU-Kerne
⋅ 3
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 3 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 23 ms den 2 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne25 ms
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 23 ms (für 2 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 25 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 3 ms den 10 CPU-Kerne entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
5 CPU-Kerne10 ms
10 CPU-Kerne5 ms
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms (für 10 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.