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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 36 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 9 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast36 Spezi-Flaschen
9 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 9 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Spezi-Flaschen durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Gäste entspricht:

⋅ 9
1 Gast36 Spezi-Flaschen
9 Gäste?
: 9
⋅ 9
1 Gast36 Spezi-Flaschen
9 Gäste4 Spezi-Flaschen
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 8 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 50 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Helfer:innen50 € Lohn
??
10 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


8 Helfer:innen50 € Lohn
2 Helfer:innen?
10 Helfer:innen?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen50 € Lohn
2 Helfer:innen?
10 Helfer:innen?

⋅ 4
: 4

8 Helfer:innen50 € Lohn
2 Helfer:innen200 € Lohn
10 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Helfer:innen50 € Lohn
2 Helfer:innen200 € Lohn
10 Helfer:innen?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 200 € Lohn in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Helfer:innen50 € Lohn
2 Helfer:innen200 € Lohn
10 Helfer:innen40 € Lohn

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Gäste3 Spezi-Flaschen
??
30 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Gäste:


20 Gäste3 Spezi-Flaschen
10 Gäste?
30 Gäste?

Um von 20 Gäste in der ersten Zeile auf 10 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Gäste links entspricht:

: 2

20 Gäste3 Spezi-Flaschen
10 Gäste?
30 Gäste?

⋅ 2
: 2

20 Gäste3 Spezi-Flaschen
10 Gäste6 Spezi-Flaschen
30 Gäste?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 Gäste3 Spezi-Flaschen
10 Gäste6 Spezi-Flaschen
30 Gäste?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

20 Gäste3 Spezi-Flaschen
10 Gäste6 Spezi-Flaschen
30 Gäste2 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 15 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms



Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:


15 ms4 CPU-Kerne
??
10 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 10 sein, also der ggT(15,10) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 ms:


15 ms4 CPU-Kerne
5 ms?
10 ms?

Um von 15 ms in der ersten Zeile auf 5 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 ms links entspricht:

: 3

15 ms4 CPU-Kerne
5 ms12 CPU-Kerne
10 ms?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 ms in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

15 ms4 CPU-Kerne
5 ms12 CPU-Kerne
10 ms6 CPU-Kerne

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 998 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 998 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1000 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 502 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 502 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.