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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:
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Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 Lastwagen | 5 Fuhren |
| ? | ? |
| 10 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.
Wie oft müssten 3 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren
Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:
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Um von 6 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Lastwagen nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:
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: 6
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⋅ 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 6
⋅ 5
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⋅ 6
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Fuhren entspricht: 6 Lastwagen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 298 km den 16 Liter pro 100km entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 298 km (für 16 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 300 km gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 801 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 1
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⋅ 2
: 1
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 801 km (für 6 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 800 km gewesen.