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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 48 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 8
1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag?
: 8
⋅ 8
1 Minute pro Tag48 Tage
8 Minuten pro Tag6 Tage
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 6 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 15 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 20 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 CPU-Kerne4 ms
??
20 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 € Lospreis50 Lose
??
15 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:


12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 4

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?
⋅ 4
: 4

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis200 Lose
15 € Lospreis?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis200 Lose
15 € Lospreis?
⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 200 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis200 Lose
15 € Lospreis40 Lose
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 12 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 CPU-Kerne6 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne4 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 4 ms


Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 12 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 CPU-Kerne durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 ms entspricht:

⋅ 2
6 ms8 CPU-Kerne
12 ms?
: 2
⋅ 2
6 ms8 CPU-Kerne
12 ms4 CPU-Kerne
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 ms entspricht: 4 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12 h den 4 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Personen8 h
2 Personen24 h
4 Personen12 h
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 h(für 4 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 8 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Personen8 h
2 Personen24 h
8 Personen6 h
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 8 Personen) war also falsch, richtig wäre 6 h gewesen.