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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 48 mal fahren.

Wie oft müssten 12 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen48 Fuhren
12 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 12 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Fuhren durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Lastwagen entspricht:

⋅ 12
1 Lastwagen48 Fuhren
12 Lastwagen?
: 12
⋅ 12
1 Lastwagen48 Fuhren
12 Lastwagen4 Fuhren
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 400 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis400 Lose
4 € Lospreis100 Lose

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Gäste10 Spezi-Flaschen
??
5 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


6 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
5 Gäste?

Um von 6 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 6

6 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
5 Gäste?

⋅ 6
: 6

6 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
5 Gäste?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
5 Gäste?

⋅ 6
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6
⋅ 5

6 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
5 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Gäste entspricht: 12 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1200 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km1200 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1200 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km4800 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km4800 km
3 Liter pro 100km1600 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1600 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


1200 km4 Liter pro 100km
??
800 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 1200 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 1200 und von 800 sein, also der ggT(1200,800) = 400.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 400 km:


1200 km4 Liter pro 100km
400 km?
800 km?

Um von 1200 km in der ersten Zeile auf 400 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Liter pro 100km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 400 km links entspricht:

: 3

1200 km4 Liter pro 100km
400 km12 Liter pro 100km
800 km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 400 km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 800 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

1200 km4 Liter pro 100km
400 km12 Liter pro 100km
800 km6 Liter pro 100km

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 km entspricht: 6 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 33 € Lohn den 15 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Helfer:innen50 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn
15 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 33 € Lohn (für 15 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 30 € Lohn gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 9 € Lohn den 50 Helfer:innen entsprechen.

: 9
⋅ 50

9 Helfer:innen50 € Lohn
1 Helfer:innen450 € Lohn
50 Helfer:innen9 € Lohn

⋅ 9
: 50

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 € Lohn (für 50 Helfer:innen) war also korrekt.