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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 50 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern50 ms
10 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 ms durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 10
1 CPU-Kern50 ms
10 CPU-Kerne?
: 10
⋅ 10
1 CPU-Kern50 ms
10 CPU-Kerne5 ms
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 5 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 800 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "4 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km800 km
??
4 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 800 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4000 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 1000 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 18 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Helfer:innen90 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


4 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in360 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in360 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn



Um von 90 € Lohn in der ersten Zeile auf 18 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Helfer:innen mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 18 € Lohn entspricht:

: 5
90 € Lohn4 Helfer:innen
18 € Lohn?
⋅ 5
: 5
90 € Lohn4 Helfer:innen
18 € Lohn20 Helfer:innen
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 € Lohn entspricht: 20 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9 h den 3 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen10 h

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 h (für 3 Personen) war also falsch, richtig wäre 10 h gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 6 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 6

5 Personen6 h
1 Personen30 h
6 Personen5 h

⋅ 5
: 6

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 6 Personen) war also falsch, richtig wäre 5 h gewesen.