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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen7 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 7 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 3 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 2000 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "2 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Liter pro 100km2000 km
??
2 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


3 Liter pro 100km2000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 3 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 2000 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

3 Liter pro 100km2000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

3 Liter pro 100km2000 km
1 Liter pro 100km6000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Liter pro 100km2000 km
1 Liter pro 100km6000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6000 km in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Liter pro 100km2000 km
1 Liter pro 100km6000 km
2 Liter pro 100km3000 km

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 3000 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 12 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 9 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 3 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 CPU-Kerne9 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern36 ms
3 CPU-Kerne12 ms

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 12 ms



Um von 9 ms in der ersten Zeile auf 3 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 CPU-Kerne mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 ms entspricht:

: 3
9 ms4 CPU-Kerne
3 ms?
⋅ 3
: 3
9 ms4 CPU-Kerne
3 ms12 CPU-Kerne
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 ms entspricht: 12 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
2 Minuten pro Tag18 Tage

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage (für 2 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 18 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 12 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 4

3 Minuten pro Tag12 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 1
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 12 Minuten pro Tag) war also korrekt.