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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 240 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 6 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 240 Lose durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis entspricht:

⋅ 6
1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis?
: 6
⋅ 6
1 € Lospreis240 Lose
6 € Lospreis40 Lose
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 10 mal fahren.

Wie oft müssten 2 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Lastwagen10 Fuhren
??
2 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?
⋅ 5
: 5

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen?
⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen25 Fuhren
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 25 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen?
4 Lastwagen?
⋅ 3
: 3

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Lastwagen8 Fuhren
2 Lastwagen24 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 12 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
5 ms6 CPU-Kerne
??
6 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 6 sein, also der ggT(5,6) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


5 ms6 CPU-Kerne
1 ms?
6 ms?

Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 CPU-Kerne nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 5

5 ms6 CPU-Kerne
1 ms30 CPU-Kerne
6 ms?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

5 ms6 CPU-Kerne
1 ms30 CPU-Kerne
6 ms5 CPU-Kerne
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage
⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage(für 3 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 0 Tage den 9 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minuten pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 0 Tage (für 9 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.