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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 48 h.

Wie lange bräuchten 6 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person48 h
6 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 6 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 h durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Personen entspricht:

⋅ 6
1 Person48 h
6 Personen?
: 6
⋅ 6
1 Person48 h
6 Personen8 h
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 15 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?
⋅ 4
: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
12 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
12 Gäste?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 5

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
12 Gäste?
⋅ 5
: 5

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste?
⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste5 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 3 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 6 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 Minuten pro Tag10 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


3 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 3 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

3 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag30 Tage
2 Minuten pro Tag?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag30 Tage
2 Minuten pro Tag15 Tage
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 15 Tage


Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 6 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:
10 Tage3 Minuten pro Tag
??
6 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 6 sein, also der ggT(10,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


10 Tage3 Minuten pro Tag
2 Tage?
6 Tage?

Um von 10 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Minuten pro Tag nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 5

10 Tage3 Minuten pro Tag
2 Tage15 Minuten pro Tag
6 Tage?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

10 Tage3 Minuten pro Tag
2 Tage15 Minuten pro Tag
6 Tage5 Minuten pro Tag
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Tage entspricht: 5 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 12 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 4

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms(für 12 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 11 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 1

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne12 ms
3 CPU-Kerne12 ms
⋅ 3
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 12 ms gewesen.