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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 50 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 ms durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne entspricht:
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⋅ 10
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: 10
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⋅ 10
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: 10
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 5 ms
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:
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Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 CPU-Kerne | 5 ms |
| ? | ? |
| 10 CPU-Kerne | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:
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Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 10 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:
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Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms
Um von 10 ms in der ersten Zeile auf 5 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 CPU-Kerne mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 ms entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 10 CPU-Kerne
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 18 h den 3 Personen entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 h (für 3 Personen) war also falsch, richtig wäre 20 h gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 3 h den 20 Personen entsprechen.
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: 1
⋅ 5
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⋅ 1
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h (für 20 Personen) war also korrekt.