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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 50 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 5 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern50 ms
5 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 ms durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 5
1 CPU-Kern50 ms
5 CPU-Kerne?
: 5
⋅ 5
1 CPU-Kern50 ms
5 CPU-Kerne10 ms
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 CPU-Kerne entspricht: 10 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 9 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

⋅ 5
: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Helfer:innen100 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen250 € Lohn

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 CPU-Kerne4 ms
??
8 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne?
8 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 3 ms



Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 6 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:


4 ms6 CPU-Kerne
??
6 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 6 sein, also der ggT(4,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


4 ms6 CPU-Kerne
2 ms?
6 ms?

Um von 4 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 CPU-Kerne nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 2

4 ms6 CPU-Kerne
2 ms12 CPU-Kerne
6 ms?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

4 ms6 CPU-Kerne
2 ms12 CPU-Kerne
6 ms4 CPU-Kerne

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 ms entspricht: 4 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 31 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 31 Lose (für 15 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 30 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 25 Lose den 18 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 2

9 € Lospreis50 Lose
9 € Lospreis50 Lose
18 € Lospreis25 Lose

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 Lose (für 18 € Lospreis) war also korrekt.