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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 60 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 20 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag60 Tage
20 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 20 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 20 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Tage durch 20 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 20
1 Minute pro Tag60 Tage
20 Minuten pro Tag?
: 20
⋅ 20
1 Minute pro Tag60 Tage
20 Minuten pro Tag3 Tage
: 20

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 8 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 70 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 14 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Helfer:innen70 € Lohn
??
14 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?
⋅ 4
: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 € Lohn in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen40 € Lohn
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen6 h
??
3 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen10 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 10 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 12 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 CPU-Kerne12 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern60 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne12 ms
1 CPU-Kern60 ms
4 CPU-Kerne15 ms
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 15 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
12 ms5 CPU-Kerne
??
10 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 10 sein, also der ggT(12,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


12 ms5 CPU-Kerne
2 ms?
10 ms?

Um von 12 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 CPU-Kerne nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 6

12 ms5 CPU-Kerne
2 ms30 CPU-Kerne
10 ms?
⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

12 ms5 CPU-Kerne
2 ms30 CPU-Kerne
10 ms6 CPU-Kerne
⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 h den 15 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h(für 15 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 h den 5 Personen entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Personen5 h
1 Personen45 h
5 Personen9 h
⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 h (für 5 Personen) war also falsch, richtig wäre 9 h gewesen.