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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 450 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 5 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 Lose durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis entspricht:

⋅ 5
1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis?
: 5
⋅ 5
1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis90 Lose
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lospreis entspricht: 90 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne8 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne8 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne8 ms
2 CPU-Kerne24 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne8 ms
2 CPU-Kerne24 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne8 ms
2 CPU-Kerne24 ms
4 CPU-Kerne12 ms
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 12 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen7 h
??
14 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?
⋅ 4
: 4

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen4 h
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 25 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 10 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 Personen5 h
??
25 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:


10 Personen5 h
5 Personen?
25 Personen?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen2 h
⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Personen entspricht: 2 h


Um von 5 h in der ersten Zeile auf 10 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 h entspricht:

⋅ 2
5 h10 Personen
10 h?
: 2
⋅ 2
5 h10 Personen
10 h5 Personen
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 h entspricht: 5 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste3 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also falsch, richtig wäre 3 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
4 Gäste6 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also korrekt.