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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 40 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 8 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast40 Spezi-Flaschen
8 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 8 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Spezi-Flaschen durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Gäste entspricht:

⋅ 8
1 Gast40 Spezi-Flaschen
8 Gäste?
: 8
⋅ 8
1 Gast40 Spezi-Flaschen
8 Gäste5 Spezi-Flaschen
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 6 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 8 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Minuten pro Tag8 Tage
??
4 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 3

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 7 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 7

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

⋅ 7
: 7

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 560 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 140 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1000 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "2 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km1000 km
??
2 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km2500 km

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 2500 km



Um von 1000 km in der ersten Zeile auf 500 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Liter pro 100km mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 500 km entspricht:

: 2
1000 km5 Liter pro 100km
500 km?
⋅ 2
: 2
1000 km5 Liter pro 100km
500 km10 Liter pro 100km
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 10 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 15 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne15 ms
15 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms(für 15 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
1 CPU-Kerne45 ms
5 CPU-Kerne9 ms

⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 9 ms gewesen.