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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 40 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 8 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 ms durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 8
1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne?
: 8
⋅ 8
1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne5 ms
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 5 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Minuten pro Tag10 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen25 h

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h



Um von 10 h in der ersten Zeile auf 5 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Personen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 h entspricht:

: 2
10 h5 Personen
5 h?
⋅ 2
: 2
10 h5 Personen
5 h10 Personen
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 10 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 ms den 25 CPU-Kerne entsprechen.

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 ms(für 25 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 11 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 2
⋅ 1

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
5 CPU-Kerne10 ms

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 10 ms gewesen.