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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 3000 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3000 km durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 3
1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km?
: 3
⋅ 3
1 Liter pro 100km3000 km
3 Liter pro 100km1000 km
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1000 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 7 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 14 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Gäste7 Spezi-Flaschen
??
14 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?
⋅ 4
: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste4 Spezi-Flaschen
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 CPU-Kerne20 ms
??
2 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 3 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern60 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern60 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern60 ms
2 CPU-Kerne30 ms
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 30 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Personen6 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
6 h8 Personen
??
8 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 h:


6 h8 Personen
2 h?
8 h?

Um von 6 h in der ersten Zeile auf 2 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Personen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 h links entspricht:

: 3

6 h8 Personen
2 h24 Personen
8 h?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 h in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 h8 Personen
2 h24 Personen
8 h6 Personen
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 h entspricht: 6 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 4 ms den 16 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 4

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne12 ms
16 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms (für 16 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 3 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 12 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 1

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne12 ms
4 CPU-Kerne12 ms
⋅ 3
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 ms (für 4 CPU-Kerne) war also korrekt.