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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?
: 12
⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 10 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
10 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
10 Gäste?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 4

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
10 Gäste?

⋅ 4
: 4

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste20 Spezi-Flaschen
10 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste20 Spezi-Flaschen
10 Gäste?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste20 Spezi-Flaschen
10 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 € Lospreis50 Lose
??
15 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:


9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 3

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

⋅ 3
: 3

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 150 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 8€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 10 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 8 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 € Lospreis50 Lose
??
10 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


8 € Lospreis50 Lose
2 € Lospreis?
10 € Lospreis?

Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 4

8 € Lospreis50 Lose
2 € Lospreis200 Lose
10 € Lospreis?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 € Lospreis50 Lose
2 € Lospreis200 Lose
10 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lospreis entspricht: 40 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 8 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


50 Lose8 € Lospreis
??
8 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 50 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 50 und von 8 sein, also der ggT(50,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lose:


50 Lose8 € Lospreis
2 Lose?
8 Lose?

Um von 50 Lose in der ersten Zeile auf 2 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 25 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 € Lospreis nicht durch 25 teilen, sondern mit 25 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lose links entspricht:

: 25

50 Lose8 € Lospreis
2 Lose200 € Lospreis
8 Lose?

⋅ 25

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lose in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 25
⋅ 4

50 Lose8 € Lospreis
2 Lose200 € Lospreis
8 Lose50 € Lospreis

⋅ 25
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lose entspricht: 50 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 41 Lose den 14 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 41 Lose (für 14 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 39 Lose den 14 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 39 Lose (für 14 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.