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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 24 h.

Wie lange bräuchten 6 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person24 h
6 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 6 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 h durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Personen entspricht:

⋅ 6
1 Person24 h
6 Personen?
: 6
⋅ 6
1 Person24 h
6 Personen4 h
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Helfer:innen50 € Lohn
??
25 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen?
25 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen?
25 Helfer:innen?

⋅ 2
: 2

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
25 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
25 Helfer:innen?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 100 € Lohn in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Helfer:innen50 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
25 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 3 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast60 Spezi-Flaschen
4 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen



Um von 12 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 3 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Gäste mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht:

: 4
12 Spezi-Flaschen5 Gäste
3 Spezi-Flaschen?
⋅ 4
: 4
12 Spezi-Flaschen5 Gäste
3 Spezi-Flaschen20 Gäste
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht: 20 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 30 € Lohn den 8 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 30 € Lohn(für 8 Helfer:innen) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 13 € Lohn den 15 Helfer:innen entsprechen.

: 2
⋅ 5

6 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen80 € Lohn
15 Helfer:innen16 € Lohn

⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 13 € Lohn (für 15 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 16 € Lohn gewesen.