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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 45 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 9 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 9 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Tage durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?
: 9
⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 25 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Lastwagen5 Fuhren
??
25 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:


10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen?
25 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 2

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen?
25 Lastwagen?

⋅ 2
: 2

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
25 Gäste?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:


10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
25 Gäste?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:

: 2

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
25 Gäste?

⋅ 2
: 2

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
25 Gäste?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
25 Gäste?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
25 Gäste2 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 9 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen



Für die andere Frage (Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Spezi-Flaschen"-Werte haben und nach einem "Gäste"-Wert gesucht wird:


9 Spezi-Flaschen5 Gäste
??
5 Spezi-Flaschen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Spezi-Flaschen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 5 sein, also der ggT(9,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Spezi-Flaschen:


9 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche?
5 Spezi-Flaschen?

Um von 9 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 1 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Gäste nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Spezi-Flaschen links entspricht:

: 9

9 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche45 Gäste
5 Spezi-Flaschen?

⋅ 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Spezi-Flaschen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 9
⋅ 5

9 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche45 Gäste
5 Spezi-Flaschen9 Gäste

⋅ 9
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht: 9 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 40 Lose den 12 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 3

8 € Lospreis60 Lose
4 € Lospreis120 Lose
12 € Lospreis40 Lose

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 40 Lose(für 12 € Lospreis) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 32 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 8
⋅ 15

8 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis480 Lose
15 € Lospreis32 Lose

⋅ 8
: 15

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 32 Lose (für 15 € Lospreis) war also korrekt.