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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 45 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 9 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 9 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Tage durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?
: 9
⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4500 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 10€ für ein Los verlangen, müssten sie 30 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 15 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 6 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 € Lospreis30 Lose
??
15 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:


10 € Lospreis30 Lose
5 € Lospreis?
15 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 2

10 € Lospreis30 Lose
5 € Lospreis60 Lose
15 € Lospreis?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 € Lospreis30 Lose
5 € Lospreis60 Lose
15 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 20 Lose



Um von 30 Lose in der ersten Zeile auf 6 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 € Lospreis mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lose entspricht:

: 5
30 Lose10 € Lospreis
6 Lose?
⋅ 5
: 5
30 Lose10 € Lospreis
6 Lose50 € Lospreis
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lose entspricht: 50 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 5 Tage den 10 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Tage (für 10 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 4 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Tage den 5 Minuten pro Tag entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 Minuten pro Tag5 Tage
1 Minuten pro Tag40 Tage
5 Minuten pro Tag8 Tage

⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage (für 5 Minuten pro Tag) war also korrekt.