nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?
: 12
⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Liter pro 100km800 km
??
4 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


6 Liter pro 100km800 km
2 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

Um von 6 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 800 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

6 Liter pro 100km800 km
2 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

6 Liter pro 100km800 km
2 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Liter pro 100km800 km
2 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2400 km in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Liter pro 100km800 km
2 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km1200 km

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 1200 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.

Wie lange bräuchten 8 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 6 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Personen4 h
??
8 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen4 h
2 Personen?
8 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen3 h

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 3 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 6 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


4 h6 Personen
??
6 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 6 sein, also der ggT(4,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 h:


4 h6 Personen
2 h?
6 h?

Um von 4 h in der ersten Zeile auf 2 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Personen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 h links entspricht:

: 2

4 h6 Personen
2 h12 Personen
6 h?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 h in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

4 h6 Personen
2 h12 Personen
6 h4 Personen

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 h entspricht: 4 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms(für 8 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
4 CPU-Kerne6 ms

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 4 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 6 ms gewesen.