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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 50 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person50 h
5 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 h durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen entspricht:

⋅ 5
1 Person50 h
5 Personen?
: 5
⋅ 5
1 Person50 h
5 Personen10 h
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 10 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen100 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen250 € Lohn

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Liter pro 100km300 km
??
30 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Liter pro 100km:


20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km?
30 Liter pro 100km?

Um von 20 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 300 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km links entspricht:

: 2

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km?
30 Liter pro 100km?

⋅ 2
: 2

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km600 km
30 Liter pro 100km?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km600 km
30 Liter pro 100km?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

20 Liter pro 100km300 km
10 Liter pro 100km600 km
30 Liter pro 100km200 km

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Liter pro 100km entspricht: 200 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 3 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 20 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 15 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Minuten pro Tag20 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 3 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag30 Tage

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 30 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 15 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


20 Tage3 Minuten pro Tag
??
15 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 15 sein, also der ggT(20,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Tage:


20 Tage3 Minuten pro Tag
5 Tage?
15 Tage?

Um von 20 Tage in der ersten Zeile auf 5 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Minuten pro Tag nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Tage links entspricht:

: 4

20 Tage3 Minuten pro Tag
5 Tage12 Minuten pro Tag
15 Tage?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Tage in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

20 Tage3 Minuten pro Tag
5 Tage12 Minuten pro Tag
15 Tage4 Minuten pro Tag

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Tage entspricht: 4 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Fuhren den 10 Lastwagen entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Fuhren (für 10 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 4 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
5 Lastwagen8 Fuhren

⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 8 Fuhren gewesen.