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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 45 mal fahren.

Wie oft müssten 9 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen45 Fuhren
9 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 9 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Fuhren durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Lastwagen entspricht:

⋅ 9
1 Lastwagen45 Fuhren
9 Lastwagen?
: 9
⋅ 9
1 Lastwagen45 Fuhren
9 Lastwagen5 Fuhren
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 600 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km600 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 600 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2400 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km800 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 800 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Minuten pro Tag8 Tage
??
4 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag40 Tage
4 Minuten pro Tag10 Tage

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 10 Flaschen, wenn insgesamt 3 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Gäste10 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


3 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 3 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 3

3 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
2 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast30 Spezi-Flaschen
2 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen



Für die andere Frage (Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Spezi-Flaschen"-Werte haben und nach einem "Gäste"-Wert gesucht wird:


10 Spezi-Flaschen3 Gäste
??
6 Spezi-Flaschen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Spezi-Flaschen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 6 sein, also der ggT(10,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Spezi-Flaschen:


10 Spezi-Flaschen3 Gäste
2 Spezi-Flaschen?
6 Spezi-Flaschen?

Um von 10 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 2 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Gäste nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Spezi-Flaschen links entspricht:

: 5

10 Spezi-Flaschen3 Gäste
2 Spezi-Flaschen15 Gäste
6 Spezi-Flaschen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Spezi-Flaschen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

10 Spezi-Flaschen3 Gäste
2 Spezi-Flaschen15 Gäste
6 Spezi-Flaschen5 Gäste

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht: 5 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 8 Tage den 15 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Minuten pro Tag5 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage
15 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage (für 15 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 3 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Tage den 5 Minuten pro Tag entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Minuten pro Tag5 Tage
1 Minuten pro Tag45 Tage
5 Minuten pro Tag9 Tage

⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Tage (für 5 Minuten pro Tag) war also korrekt.