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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 560 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:

⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?
: 8
⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis70 Lose
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 70 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 7 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 14 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Minuten pro Tag7 Tage
??
14 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag?
14 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag?
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Tage in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Liter pro 100km500 km
??
15 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:


9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1500 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Liter pro 100km entspricht: 300 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 3 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 20 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 5 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Minuten pro Tag20 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 3 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag20 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
2 Minuten pro Tag30 Tage

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 30 Tage



Um von 20 Tage in der ersten Zeile auf 5 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Minuten pro Tag mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Tage entspricht:

: 4
20 Tage3 Minuten pro Tag
5 Tage?
⋅ 4
: 4
20 Tage3 Minuten pro Tag
5 Tage12 Minuten pro Tag
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Tage entspricht: 12 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 10 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also falsch, richtig wäre 12 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 2 Spezi-Flaschen den 12 Gäste entsprechen.

: 1
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
6 Gäste8 Spezi-Flaschen
12 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Spezi-Flaschen (für 12 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.