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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 50 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person50 h
10 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 10 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 h durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Personen entspricht:

⋅ 10
1 Person50 h
10 Personen?
: 10
⋅ 10
1 Person50 h
10 Personen5 h
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 5 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 4 Flaschen, wenn insgesamt 6 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 8 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Gäste4 Spezi-Flaschen
??
8 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
8 Gäste?

Um von 6 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 3

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
8 Gäste?
⋅ 3
: 3

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste3 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen6 h
??
3 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen10 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 10 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen10 Fuhren
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 5 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
8 Fuhren5 Lastwagen
??
5 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


8 Fuhren5 Lastwagen
1 Fuhre?
5 Fuhren?

Um von 8 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Lastwagen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 8

8 Fuhren5 Lastwagen
1 Fuhre40 Lastwagen
5 Fuhren?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 Fuhren5 Lastwagen
1 Fuhre40 Lastwagen
5 Fuhren8 Lastwagen
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Fuhren entspricht: 8 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 10 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 ms(für 4 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 1 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kerne40 ms
8 CPU-Kerne5 ms
⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 ms (für 8 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.