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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 450 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 9 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 9 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 Lose durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 € Lospreis entspricht:
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⋅ 9
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: 9
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⋅ 9
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: 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 € Lospreis entspricht: 50 Lose
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 4 CPU-Kerne | 15 ms |
| ? | ? |
| 3 CPU-Kerne | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:
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Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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|
⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 4 Flaschen reicht?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:
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Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen
Für die andere Frage (Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 4 Flaschen reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Spezi-Flaschen"-Werte haben und nach einem "Gäste"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Spezi-Flaschen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Spezi-Flaschen:
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Um von 6 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 2 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Gäste nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Spezi-Flaschen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Spezi-Flaschen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Spezi-Flaschen entspricht: 15 Gäste
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 117 Lose den 4 € Lospreis entsprechen.
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 117 Lose (für 4 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 120 Lose gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Lose den 80 € Lospreis entsprechen.
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: 3
⋅ 40
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⋅ 3
: 40
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Lose (für 80 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 6 Lose gewesen.