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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 45 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 5 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern45 ms
5 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 ms durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 5
1 CPU-Kern45 ms
5 CPU-Kerne?
: 5
⋅ 5
1 CPU-Kern45 ms
5 CPU-Kerne9 ms
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 CPU-Kerne entspricht: 9 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 6 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Helfer:innen60 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


6 Helfer:innen60 € Lohn
2 Helfer:innen?
4 Helfer:innen?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen60 € Lohn
2 Helfer:innen?
4 Helfer:innen?
⋅ 3
: 3

6 Helfer:innen60 € Lohn
2 Helfer:innen180 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Helfer:innen60 € Lohn
2 Helfer:innen180 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 180 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Helfer:innen60 € Lohn
2 Helfer:innen180 € Lohn
4 Helfer:innen90 € Lohn
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?
⋅ 7
: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 15 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 20 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 12 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 Lastwagen4 Fuhren
??
20 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:


15 Lastwagen4 Fuhren
5 Lastwagen?
20 Lastwagen?

Um von 15 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 3

15 Lastwagen4 Fuhren
5 Lastwagen12 Fuhren
20 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 Lastwagen4 Fuhren
5 Lastwagen12 Fuhren
20 Lastwagen3 Fuhren
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren


Um von 4 Fuhren in der ersten Zeile auf 12 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 15 Lastwagen durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Fuhren entspricht:

⋅ 3
4 Fuhren15 Lastwagen
12 Fuhren?
: 3
⋅ 3
4 Fuhren15 Lastwagen
12 Fuhren5 Lastwagen
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 h den 15 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h(für 15 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 5 Personen entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Personen5 h
1 Personen45 h
5 Personen9 h
⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 5 Personen) war also falsch, richtig wäre 9 h gewesen.