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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 600 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 6 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis600 Lose
6 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 Lose durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis entspricht:

⋅ 6
1 € Lospreis600 Lose
6 € Lospreis?
: 6
⋅ 6
1 € Lospreis600 Lose
6 € Lospreis100 Lose
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 € Lospreis entspricht: 100 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen100 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen250 € Lohn

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag45 Tage
3 Minuten pro Tag15 Tage

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 15 Tage

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 3 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 120 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 24 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Helfer:innen120 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


3 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 3 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 3

3 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in360 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in360 € Lohn
2 Helfer:innen180 € Lohn

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 180 € Lohn



Um von 120 € Lohn in der ersten Zeile auf 24 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Helfer:innen mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 24 € Lohn entspricht:

: 5
120 € Lohn3 Helfer:innen
24 € Lohn?
⋅ 5
: 5
120 € Lohn3 Helfer:innen
24 € Lohn15 Helfer:innen
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 € Lohn entspricht: 15 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 10 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast40 Spezi-Flaschen
4 Gäste10 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Spezi-Flaschen(für 4 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gäste40 Spezi-Flaschen
8 Gäste5 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also korrekt.