nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 56 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 8 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 ms durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 8
1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne?
: 8
⋅ 8
1 CPU-Kern56 ms
8 CPU-Kerne7 ms
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 7 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 10 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 30 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 15 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Helfer:innen30 € Lohn
??
15 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

⋅ 2
: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Helfer:innen60 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in240 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in240 € Lohn
3 Helfer:innen80 € Lohn

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 80 € Lohn



Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:


60 € Lohn4 Helfer:innen
??
8 € Lohn?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 8 sein, also der ggT(60,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lohn:


60 € Lohn4 Helfer:innen
4 € Lohn?
8 € Lohn?

Um von 60 € Lohn in der ersten Zeile auf 4 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Helfer:innen nicht durch 15 teilen, sondern mit 15 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lohn links entspricht:

: 15

60 € Lohn4 Helfer:innen
4 € Lohn60 Helfer:innen
8 € Lohn?

⋅ 15

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lohn in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 15
⋅ 2

60 € Lohn4 Helfer:innen
4 € Lohn60 Helfer:innen
8 € Lohn30 Helfer:innen

⋅ 15
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lohn entspricht: 30 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1 Spezi-Flaschen den 25 Gäste entsprechen.

: 2
⋅ 5

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
25 Gäste2 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 Spezi-Flaschen (für 25 Gäste) war also falsch, richtig wäre 2 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 10 Spezi-Flaschen den 5 Gäste entsprechen.

: 2
⋅ 1

10 Gäste5 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Spezi-Flaschen (für 5 Gäste) war also korrekt.