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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 45 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 9 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern45 ms
9 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 9 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 ms durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 9
1 CPU-Kern45 ms
9 CPU-Kerne?
: 9
⋅ 9
1 CPU-Kern45 ms
9 CPU-Kerne5 ms
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 CPU-Kerne entspricht: 5 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 4 Flaschen, wenn insgesamt 15 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 20 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 Gäste4 Spezi-Flaschen
??
20 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:


15 Gäste4 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
20 Gäste?

Um von 15 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:

: 3

15 Gäste4 Spezi-Flaschen
5 Gäste?
20 Gäste?
⋅ 3
: 3

15 Gäste4 Spezi-Flaschen
5 Gäste12 Spezi-Flaschen
20 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 Gäste4 Spezi-Flaschen
5 Gäste12 Spezi-Flaschen
20 Gäste?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 Gäste4 Spezi-Flaschen
5 Gäste12 Spezi-Flaschen
20 Gäste3 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Personen6 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


10 Personen6 h
2 Personen?
12 Personen?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 5

10 Personen6 h
2 Personen?
12 Personen?
⋅ 5
: 5

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen?
⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 Personen6 h
2 Personen30 h
12 Personen5 h
⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 5 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen6 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen6 h
1 Person30 h
3 Personen10 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 10 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
6 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


6 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 6 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 6

6 h5 Personen
1 h30 Personen
5 h?
⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 h5 Personen
1 h30 Personen
5 h6 Personen
⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 6 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Fuhren den 4 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen10 Fuhren
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Fuhren (für 4 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 10 Fuhren gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Fuhren den 8 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
8 Lastwagen5 Fuhren
⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Fuhren (für 8 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 5 Fuhren gewesen.