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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 40 h.

Wie lange bräuchten 8 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person40 h
8 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 8 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 h durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Personen entspricht:

⋅ 8
1 Person40 h
8 Personen?
: 8
⋅ 8
1 Person40 h
8 Personen5 h
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 5 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 12€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 16 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
12 € Lospreis40 Lose
??
16 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lospreis:


12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis?
16 € Lospreis?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis links entspricht:

: 3

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis?
16 € Lospreis?
⋅ 3
: 3

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen6 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?
⋅ 2
: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 10 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste25 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 25 Spezi-Flaschen


Um von 10 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 5 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2
10 Spezi-Flaschen5 Gäste
5 Spezi-Flaschen?
⋅ 2
: 2
10 Spezi-Flaschen5 Gäste
5 Spezi-Flaschen10 Gäste
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht: 10 Gäste

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 40 € Lohn den 12 Helfer:innen entsprechen.

: 2
⋅ 3

8 Helfer:innen60 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen40 € Lohn
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 40 € Lohn(für 12 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 118 € Lohn den 4 Helfer:innen entsprechen.

: 2
⋅ 1

8 Helfer:innen60 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 118 € Lohn (für 4 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 120 € Lohn gewesen.