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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 48 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag48 Tage
4 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Tage durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 4
1 Minute pro Tag48 Tage
4 Minuten pro Tag?
: 4
⋅ 4
1 Minute pro Tag48 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 CPU-Kerne3 ms
??
15 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne?
15 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 2

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

10 CPU-Kerne3 ms
5 CPU-Kerne6 ms
15 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Liter pro 100km1000 km
??
2 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 5000 km in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km2500 km

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 2500 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 12€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 16 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 10 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 € Lospreis40 Lose
??
16 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lospreis:


12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis?
16 € Lospreis?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis links entspricht:

: 3

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 € Lospreis40 Lose
4 € Lospreis120 Lose
16 € Lospreis30 Lose

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 € Lospreis entspricht: 30 Lose



Um von 40 Lose in der ersten Zeile auf 10 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 € Lospreis mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lose entspricht:

: 4
40 Lose12 € Lospreis
10 Lose?
⋅ 4
: 4
40 Lose12 € Lospreis
10 Lose48 € Lospreis
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lose entspricht: 48 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1398 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
4 Liter pro 100km1400 km

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1398 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1400 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 702 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km5600 km
8 Liter pro 100km700 km

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 702 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 700 km gewesen.