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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 2400 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "4 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 4 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 2400 km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 4
1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?
: 4
⋅ 4
1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km600 km
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 600 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 9 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Helfer:innen40 € Lohn
??
12 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Helfer:innen:


9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen?
12 Helfer:innen?

Um von 9 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen links entspricht:

: 3

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen?
12 Helfer:innen?

⋅ 3
: 3

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 € Lospreis90 Lose
??
3 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis150 Lose

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


500 km8 Liter pro 100km
??
800 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 500 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 500 und von 800 sein, also der ggT(500,800) = 100.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:


500 km8 Liter pro 100km
100 km?
800 km?

Um von 500 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Liter pro 100km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:

: 5

500 km8 Liter pro 100km
100 km40 Liter pro 100km
800 km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 800 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

500 km8 Liter pro 100km
100 km40 Liter pro 100km
800 km5 Liter pro 100km

⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 km entspricht: 5 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 1203 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.

: 6
⋅ 5

6 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km6000 km
5 Liter pro 100km1200 km

⋅ 6
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1203 km (für 5 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1200 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 2000 km den 3 Liter pro 100km entsprechen.

: 2
⋅ 1

6 Liter pro 100km1000 km
3 Liter pro 100km2000 km
3 Liter pro 100km2000 km

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2000 km (für 3 Liter pro 100km) war also korrekt.