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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 240 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis240 Lose
4 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 240 Lose durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis entspricht:

⋅ 4
1 € Lospreis240 Lose
4 € Lospreis?
: 4
⋅ 4
1 € Lospreis240 Lose
4 € Lospreis60 Lose
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 60 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag6 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag8 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen6 Fuhren
??
12 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Lastwagen:


8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen?
12 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 4 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lastwagen links entspricht:

: 2

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen?
12 Lastwagen?

⋅ 2
: 2

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Lastwagen6 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 10 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 CPU-Kerne10 ms
??
2 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne25 ms

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms



Um von 10 ms in der ersten Zeile auf 5 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 CPU-Kerne mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 ms entspricht:

: 2
10 ms5 CPU-Kerne
5 ms?
⋅ 2
: 2
10 ms5 CPU-Kerne
5 ms10 CPU-Kerne
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 10 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 200 km den 15 Liter pro 100km entsprechen.

: 2
⋅ 3

10 Liter pro 100km300 km
5 Liter pro 100km600 km
15 Liter pro 100km200 km

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 200 km(für 15 Liter pro 100km) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 501 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 3

10 Liter pro 100km300 km
2 Liter pro 100km1500 km
6 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 501 km (für 6 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.