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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 40 mal fahren.

Wie oft müssten 5 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen40 Fuhren
5 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Fuhren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen entspricht:

⋅ 5
1 Lastwagen40 Fuhren
5 Lastwagen?
: 5
⋅ 5
1 Lastwagen40 Fuhren
5 Lastwagen8 Fuhren
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 8 Flaschen, wenn insgesamt 6 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Gäste8 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
4 Gäste?

Um von 6 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 3

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
4 Gäste?
⋅ 3
: 3

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 12 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?
⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 400 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen100 € Lohn
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 3 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 3 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


3 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 3 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 3

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen15 h
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 15 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 3 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
10 h3 Personen
??
3 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 3 sein, also der ggT(10,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


10 h3 Personen
1 h?
3 h?

Um von 10 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Personen nicht durch 10 teilen, sondern mit 10 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 10

10 h3 Personen
1 h30 Personen
3 h?
⋅ 10

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 10
⋅ 3

10 h3 Personen
1 h30 Personen
3 h10 Personen
⋅ 10
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 h entspricht: 10 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 h den 18 Personen entsprechen.

: 2
⋅ 3

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen2 h
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 h(für 18 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 3 h den 6 Personen entsprechen.

: 2
⋅ 1

12 Personen3 h
6 Personen6 h
6 Personen6 h
⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h (für 6 Personen) war also falsch, richtig wäre 6 h gewesen.