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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 40 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 8 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 ms durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 CPU-Kerne entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 5 ms
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 3 CPU-Kernen 10 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:
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Um von 3 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 15 ms
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 10 € Lospreis | 50 Lose |
| ? | ? |
| 25 € Lospreis | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:
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Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 100 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lospreis entspricht: 20 Lose
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:
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Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 900 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 900 und von 500 sein, also der ggT(900,500) = 100.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:
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Um von 900 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Liter pro 100km nicht durch 9 teilen, sondern mit 9 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:
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: 9
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⋅ 9
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Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 500 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 9
⋅ 5
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⋅ 9
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 9 Liter pro 100km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 27 Lose den 8 € Lospreis entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 27 Lose (für 8 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 30 Lose gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 14 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Lose (für 15 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 16 Lose gewesen.