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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:

⋅ 5
1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen?
: 5
⋅ 5
1 Helfer:in450 € Lohn
5 Helfer:innen90 € Lohn
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Personen5 h
??
15 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?
⋅ 3
: 3

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen5 h
??
10 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?
⋅ 3
: 3

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 3 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 9€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 15 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 15 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 € Lospreis50 Lose
??
15 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:


9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis?
15 € Lospreis?

Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 3

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis150 Lose
15 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 30 Lose


Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 15 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:
50 Lose9 € Lospreis
??
15 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 50 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 50 und von 15 sein, also der ggT(50,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lose:


50 Lose9 € Lospreis
5 Lose?
15 Lose?

Um von 50 Lose in der ersten Zeile auf 5 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 € Lospreis nicht durch 10 teilen, sondern mit 10 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lose links entspricht:

: 10

50 Lose9 € Lospreis
5 Lose90 € Lospreis
15 Lose?
⋅ 10

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 10
⋅ 3

50 Lose9 € Lospreis
5 Lose90 € Lospreis
15 Lose30 € Lospreis
⋅ 10
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lose entspricht: 30 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 140 Lose den 4 € Lospreis entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose
⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 140 Lose(für 4 € Lospreis) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 Lose den 56 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 8

7 € Lospreis80 Lose
7 € Lospreis80 Lose
56 € Lospreis10 Lose
⋅ 1
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Lose (für 56 € Lospreis) war also korrekt.