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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 48 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen48 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen48 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen48 Fuhren
8 Lastwagen6 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 6 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 9 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
15 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:


9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?
⋅ 3
: 3

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste3 Spezi-Flaschen
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen9 h
??
3 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen9 h
1 Person?
3 Personen?
⋅ 5
: 5

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen15 h
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 15 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 4 Lastwagen müssten dafür 12 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 4 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
4 Lastwagen12 Fuhren
??
3 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


4 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen48 Fuhren
3 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen48 Fuhren
3 Lastwagen16 Fuhren
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 16 Fuhren


Um von 12 Fuhren in der ersten Zeile auf 4 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Lastwagen mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Fuhren entspricht:

: 3
12 Fuhren4 Lastwagen
4 Fuhren?
⋅ 3
: 3
12 Fuhren4 Lastwagen
4 Fuhren12 Lastwagen
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Fuhren entspricht: 12 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 180 € Lohn den 2 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:in360 € Lohn
2 Helfer:innen180 € Lohn
⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 180 € Lohn(für 2 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 72 € Lohn den 5 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 5

3 Helfer:innen120 € Lohn
1 Helfer:innen360 € Lohn
5 Helfer:innen72 € Lohn
⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 72 € Lohn (für 5 Helfer:innen) war also korrekt.