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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 40 h.

Wie lange bräuchten 8 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person40 h
8 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 8 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 h durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Personen entspricht:

⋅ 8
1 Person40 h
8 Personen?
: 8
⋅ 8
1 Person40 h
8 Personen5 h
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 5 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 12 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 18 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
12 CPU-Kerne3 ms
??
18 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 CPU-Kerne:


12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne?
18 CPU-Kerne?

Um von 12 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 6 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne?
18 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 2

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen9 Fuhren
??
3 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?
⋅ 5
: 5

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
5 Fuhren8 Lastwagen
??
8 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


5 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre?
8 Fuhren?

Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 5

5 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre40 Lastwagen
8 Fuhren?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

5 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre40 Lastwagen
8 Fuhren5 Lastwagen
⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 Fuhren den 25 Lastwagen entsprechen.

: 2
⋅ 5

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen2 Fuhren
⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Fuhren(für 25 Lastwagen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.

: 2
⋅ 1

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also korrekt.