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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen?
: 8
⋅ 8
1 Lastwagen56 Fuhren
8 Lastwagen7 Fuhren
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 7 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 7 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 14 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Gäste7 Spezi-Flaschen
??
14 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?
⋅ 4
: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste4 Spezi-Flaschen
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Helfer:innen60 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?
⋅ 4
: 4

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in240 € Lohn
3 Helfer:innen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in240 € Lohn
3 Helfer:innen?
⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Helfer:innen60 € Lohn
1 Helfer:in240 € Lohn
3 Helfer:innen80 € Lohn
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 80 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Personen8 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen10 h
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 10 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
8 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


8 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 8 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 8

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h8 Personen
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 8 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 40 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 5

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis200 Lose
15 € Lospreis40 Lose
⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 40 Lose(für 15 € Lospreis) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 11 Lose den 75 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 25

12 € Lospreis50 Lose
3 € Lospreis200 Lose
75 € Lospreis8 Lose
⋅ 4
: 25

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 Lose (für 75 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 8 Lose gewesen.