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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.
Wie oft müssten 8 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 7 Fuhren
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 20 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 300 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "30 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Liter pro 100km:
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Um von 20 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 300 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Liter pro 100km entspricht: 200 km
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 9 Helfer:innen | 50 € Lohn |
| ? | ? |
| 15 Helfer:innen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Helfer:innen:
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Um von 9 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 150 € Lohn in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn
Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 80 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 80 und von 25 sein, also der ggT(80,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lohn:
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Um von 80 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 16 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Helfer:innen nicht durch 16 teilen, sondern mit 16 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn links entspricht:
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: 16
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⋅ 16
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lohn in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 16
⋅ 5
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⋅ 16
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lohn entspricht: 16 Helfer:innen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 7 ms den 12 CPU-Kerne entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 ms (für 12 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 20 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.
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: 10
⋅ 3
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⋅ 10
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 ms (für 3 CPU-Kerne) war also korrekt.