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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 30 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 Tage durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 3
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag?
: 3
⋅ 3
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag10 Tage
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 9€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 12 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
9 € Lospreis40 Lose
??
12 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:


9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis?
12 € Lospreis?

Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 3

9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis?
12 € Lospreis?
⋅ 3
: 3

9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis120 Lose
12 € Lospreis?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis120 Lose
12 € Lospreis?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 € Lospreis40 Lose
3 € Lospreis120 Lose
12 € Lospreis30 Lose
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 CPU-Kerne8 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern?
4 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 10 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
8 ms5 CPU-Kerne
??
5 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


8 ms5 CPU-Kerne
1 ms?
5 ms?

Um von 8 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 CPU-Kerne nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 8

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 ms5 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
5 ms8 CPU-Kerne
⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 8 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12 h den 3 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Personen9 h
1 Person45 h
3 Personen15 h
⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 h (für 3 Personen) war also falsch, richtig wäre 15 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 h den 9 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Personen9 h
1 Personen45 h
9 Personen5 h
⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 h (für 9 Personen) war also korrekt.