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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 450 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 9 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 9 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 Lose durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 € Lospreis entspricht:

⋅ 9
1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis?
: 9
⋅ 9
1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis50 Lose
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 € Lospreis entspricht: 50 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Minuten pro Tag10 Tage
??
2 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag?
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 5

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Helfer:innen70 € Lohn
??
14 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen?
14 Helfer:innen?

⋅ 4
: 4

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 € Lohn in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Helfer:innen70 € Lohn
2 Helfer:innen280 € Lohn
14 Helfer:innen40 € Lohn

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 25 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 10 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Lastwagen5 Fuhren
??
25 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:


10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen?
25 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 2

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Lastwagen5 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
25 Lastwagen2 Fuhren

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren



Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 10 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Lastwagen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Fuhren entspricht:

⋅ 2
5 Fuhren10 Lastwagen
10 Fuhren?
: 2
⋅ 2
5 Fuhren10 Lastwagen
10 Fuhren5 Lastwagen
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Spezi-Flaschen den 15 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Spezi-Flaschen(für 15 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Spezi-Flaschen den 5 Gäste entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
1 Gäste45 Spezi-Flaschen
5 Gäste9 Spezi-Flaschen

⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Spezi-Flaschen (für 5 Gäste) war also korrekt.