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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 30 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen30 Fuhren
10 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10
1 Lastwagen30 Fuhren
10 Lastwagen?
: 10
⋅ 10
1 Lastwagen30 Fuhren
10 Lastwagen3 Fuhren
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 7 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

⋅ 5
: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag6 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag8 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


6 Tage4 Minuten pro Tag
??
4 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage?
4 Tage?

Um von 6 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 3

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12 h den 4 Personen entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 Personen8 h
1 Person56 h
4 Personen14 h

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 h (für 4 Personen) war also falsch, richtig wäre 14 h gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 h den 8 Personen entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 Personen8 h
1 Personen56 h
8 Personen7 h

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 h (für 8 Personen) war also korrekt.