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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 450 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 9 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 9 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 Lose durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 € Lospreis entspricht:

⋅ 9
1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis?
: 9
⋅ 9
1 € Lospreis450 Lose
9 € Lospreis50 Lose
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 € Lospreis entspricht: 50 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Personen5 h
??
10 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?
⋅ 3
: 3

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 Personen5 h
2 Personen15 h
10 Personen3 h
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?
⋅ 7
: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 3 CPU-Kernen 20 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 2 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 5 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
3 CPU-Kerne20 ms
??
2 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 3 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern60 ms
2 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 CPU-Kerne20 ms
1 CPU-Kern60 ms
2 CPU-Kerne30 ms
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 30 ms


Um von 20 ms in der ersten Zeile auf 5 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 CPU-Kerne mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 ms entspricht:

: 4
20 ms3 CPU-Kerne
5 ms?
⋅ 4
: 4
20 ms3 CPU-Kerne
5 ms12 CPU-Kerne
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 ms entspricht: 12 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 252 Lose den 2 € Lospreis entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis500 Lose
2 € Lospreis250 Lose
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 252 Lose (für 2 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 250 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Lose den 50 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 10

5 € Lospreis100 Lose
5 € Lospreis100 Lose
50 € Lospreis10 Lose
⋅ 1
: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Lose (für 50 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 10 Lose gewesen.