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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 40 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 8
1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag?
: 8
⋅ 8
1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag5 Tage
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 25 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
10 Personen5 h
??
25 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:


10 Personen5 h
5 Personen?
25 Personen?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen5 h
5 Personen?
25 Personen?
⋅ 2
: 2

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen?
⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Personen5 h
5 Personen10 h
25 Personen2 h
⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Personen entspricht: 2 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen10 h
??
5 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


6 Personen10 h
1 Person?
5 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 6

6 Personen10 h
1 Person?
5 Personen?
⋅ 6
: 6

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen?
⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen?
⋅ 6
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6
⋅ 5

6 Personen10 h
1 Person60 h
5 Personen12 h
⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 12 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 15 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 20 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 20 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
15 CPU-Kerne4 ms
??
20 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms


Um von 4 ms in der ersten Zeile auf 20 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 15 CPU-Kerne durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 ms entspricht:

⋅ 5
4 ms15 CPU-Kerne
20 ms?
: 5
⋅ 5
4 ms15 CPU-Kerne
20 ms3 CPU-Kerne
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 ms entspricht: 3 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 22 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 3

10 € Lospreis30 Lose
5 € Lospreis60 Lose
15 € Lospreis20 Lose
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 22 Lose (für 15 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 20 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 Lose den 30 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 3

10 € Lospreis30 Lose
10 € Lospreis30 Lose
30 € Lospreis10 Lose
⋅ 1
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Lose (für 30 € Lospreis) war also korrekt.