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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4800 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "8 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 8 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4800 km durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 8
1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km?
: 8
⋅ 8
1 Liter pro 100km4800 km
8 Liter pro 100km600 km
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Liter pro 100km entspricht: 600 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 15 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
4 CPU-Kerne15 ms
??
3 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern?
3 CPU-Kerne?
⋅ 4
: 4

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne?
⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 20 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 CPU-Kerne3 ms
??
30 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 CPU-Kerne:


20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne?
30 CPU-Kerne?

Um von 20 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne?
30 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 2

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 20 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 30 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
20 CPU-Kerne3 ms
??
30 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 CPU-Kerne:


20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne?
30 CPU-Kerne?

Um von 20 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 CPU-Kerne entspricht: 2 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
3 ms20 CPU-Kerne
??
10 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 10 sein, also der ggT(3,10) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


3 ms20 CPU-Kerne
1 ms?
10 ms?

Um von 3 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 3

3 ms20 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
10 ms?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 10 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 10

3 ms20 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
10 ms6 CPU-Kerne
⋅ 3
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 302 km den 15 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km300 km
⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 302 km (für 15 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 300 km gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 900 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
1 Liter pro 100km4500 km
5 Liter pro 100km900 km
⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 900 km (für 5 Liter pro 100km) war also korrekt.