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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 600 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 10 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis600 Lose
10 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 10 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 Lose durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 € Lospreis entspricht:

⋅ 10
1 € Lospreis600 Lose
10 € Lospreis?
: 10
⋅ 10
1 € Lospreis600 Lose
10 € Lospreis60 Lose
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lospreis entspricht: 60 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?
⋅ 3
: 3

6 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen15 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen15 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen15 Fuhren
10 Lastwagen3 Fuhren
⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Lastwagen6 Fuhren
??
3 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?
⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen8 Fuhren
⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne4 ms
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
5 ms8 CPU-Kerne
??
8 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


5 ms8 CPU-Kerne
1 ms?
8 ms?

Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 CPU-Kerne nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 5

5 ms8 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
8 ms?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

5 ms8 CPU-Kerne
1 ms40 CPU-Kerne
8 ms5 CPU-Kerne
⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 25 h den 2 Personen entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Personen10 h
1 Person50 h
2 Personen25 h
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 h(für 2 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 6 h den 10 Personen entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Personen10 h
5 Personen10 h
10 Personen5 h
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 h (für 10 Personen) war also falsch, richtig wäre 5 h gewesen.