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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 500 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 500 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:

⋅ 5
1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen?
: 5
⋅ 5
1 Helfer:in500 € Lohn
5 Helfer:innen100 € Lohn
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 5 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 10 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Minuten pro Tag5 Tage
??
10 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag?
10 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag?
10 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Tage in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Minuten pro Tag5 Tage
2 Minuten pro Tag20 Tage
10 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Lastwagen6 Fuhren
??
3 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

⋅ 4
: 4

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen6 Fuhren
1 Lastwagen24 Fuhren
3 Lastwagen8 Fuhren

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 9 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 4 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 12 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 9 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Minuten pro Tag4 Tage
??
12 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Minuten pro Tag:


9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag?
12 Minuten pro Tag?

Um von 9 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 9 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


4 Tage9 Minuten pro Tag
??
9 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 9 sein, also der ggT(4,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:


4 Tage9 Minuten pro Tag
1 Tag?
9 Tage?

Um von 4 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Minuten pro Tag nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:

: 4

4 Tage9 Minuten pro Tag
1 Tag36 Minuten pro Tag
9 Tage?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 9

4 Tage9 Minuten pro Tag
1 Tag36 Minuten pro Tag
9 Tage4 Minuten pro Tag

⋅ 4
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Tage entspricht: 4 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 25 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
1 Minute pro Tag50 Tage
2 Minuten pro Tag25 Tage

⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 Tage(für 2 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 10 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Minuten pro Tag10 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
10 Minuten pro Tag5 Tage

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 10 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.