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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 6 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen entspricht:

⋅ 6
1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen?
: 6
⋅ 6
1 Helfer:in360 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Helfer:innen entspricht: 60 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 9 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 CPU-Kerne4 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:


9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 CPU-Kerne4 ms
3 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Liter pro 100km500 km
??
10 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:


8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km?
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Liter pro 100km500 km
2 Liter pro 100km2000 km
10 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 30 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen90 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in450 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in450 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn



Um von 90 € Lohn in der ersten Zeile auf 30 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Helfer:innen mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 30 € Lohn entspricht:

: 3
90 € Lohn5 Helfer:innen
30 € Lohn?
⋅ 3
: 3
90 € Lohn5 Helfer:innen
30 € Lohn15 Helfer:innen
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 € Lohn entspricht: 15 Helfer:innen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
8 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Spezi-Flaschen(für 8 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Gäste4 Spezi-Flaschen
2 Gäste12 Spezi-Flaschen
4 Gäste6 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also korrekt.