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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 600 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 20 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in600 € Lohn
20 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 20 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 20 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 € Lohn durch 20 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 Helfer:innen entspricht:

⋅ 20
1 Helfer:in600 € Lohn
20 Helfer:innen?
: 20
⋅ 20
1 Helfer:in600 € Lohn
20 Helfer:innen30 € Lohn
: 20

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
6 Personen6 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen6 h
2 Personen?
4 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen6 h
2 Personen?
4 Personen?
⋅ 3
: 3

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen?
⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Personen6 h
2 Personen18 h
4 Personen9 h
⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 9 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?
⋅ 5
: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen10 Fuhren
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 7 mal fahren.

Wie oft müssten 14 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Lastwagen7 Fuhren
??
14 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
7 Fuhren8 Lastwagen
??
8 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 8 sein, also der ggT(7,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre?
8 Fuhren?

Um von 7 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 7

7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
8 Fuhren?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 8

7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
8 Fuhren7 Lastwagen
⋅ 7
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 7 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 79 Lose den 3 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis80 Lose
⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 79 Lose (für 3 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 80 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 25 Lose den 10 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 5

4 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis120 Lose
10 € Lospreis24 Lose
⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 Lose (für 10 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 24 Lose gewesen.