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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 56 mal fahren.

Wie oft müssten 7 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 7 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 Fuhren durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Lastwagen entspricht:

⋅ 7
1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen?
: 7
⋅ 7
1 Lastwagen56 Fuhren
7 Lastwagen8 Fuhren
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 9 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Gäste9 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?
⋅ 5
: 5

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast45 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Lastwagen4 Fuhren
??
8 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?
⋅ 3
: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen3 Fuhren
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Personen5 h
??
10 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen5 h
2 Personen?
10 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Personen5 h
2 Personen20 h
10 Personen4 h
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h


Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
5 h8 Personen
??
8 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


5 h8 Personen
1 h?
8 h?

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Personen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 5

5 h8 Personen
1 h40 Personen
8 h?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 8

5 h8 Personen
1 h40 Personen
8 h5 Personen
⋅ 5
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 h entspricht: 5 Personen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 20 € Lohn den 15 Helfer:innen entsprechen.

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen20 € Lohn
⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 € Lohn(für 15 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 1 € Lohn den 75 Helfer:innen entsprechen.

: 2
⋅ 15

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
75 Helfer:innen4 € Lohn
⋅ 2
: 15

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 € Lohn (für 75 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 4 € Lohn gewesen.