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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 6 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in300 € Lohn
6 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen entspricht:

⋅ 6
1 Helfer:in300 € Lohn
6 Helfer:innen?
: 6
⋅ 6
1 Helfer:in300 € Lohn
6 Helfer:innen50 € Lohn
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 CPU-Kerne4 ms
??
8 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne?
8 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne?
8 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 CPU-Kerne4 ms
2 CPU-Kerne12 ms
8 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 56 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.

Wie oft müssten 12 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 3 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Lastwagen6 Fuhren
??
12 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen?
12 Lastwagen?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 5

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen30 Fuhren
12 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Lastwagen6 Fuhren
2 Lastwagen30 Fuhren
12 Lastwagen5 Fuhren

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren



Um von 6 Fuhren in der ersten Zeile auf 3 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Lastwagen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Fuhren entspricht:

: 2
6 Fuhren10 Lastwagen
3 Fuhren?
⋅ 2
: 2
6 Fuhren10 Lastwagen
3 Fuhren20 Lastwagen
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Fuhren entspricht: 20 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 1 h den 8 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen3 h

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 h (für 8 Personen) war also falsch, richtig wäre 3 h gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 6 h den 4 Personen entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Personen4 h
2 Personen12 h
4 Personen6 h

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 h (für 4 Personen) war also korrekt.