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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 40 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 8
1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag?
: 8
⋅ 8
1 Minute pro Tag40 Tage
8 Minuten pro Tag5 Tage
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 9 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "15 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Liter pro 100km500 km
??
15 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:


9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1500 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Liter pro 100km entspricht: 300 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen6 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

⋅ 2
: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 25 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 CPU-Kerne5 ms
??
25 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 CPU-Kerne entspricht: 2 ms



Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 10 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 CPU-Kerne durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 ms entspricht:

⋅ 2
5 ms10 CPU-Kerne
10 ms?
: 2
⋅ 2
5 ms10 CPU-Kerne
10 ms5 CPU-Kerne
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 16 Spezi-Flaschen den 3 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast48 Spezi-Flaschen
3 Gäste16 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 16 Spezi-Flaschen(für 3 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Spezi-Flaschen den 12 Gäste entsprechen.

: 1
⋅ 3

4 Gäste12 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen
12 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 1
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Spezi-Flaschen (für 12 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.