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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 45 mal fahren.

Wie oft müssten 5 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen45 Fuhren
5 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Fuhren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen entspricht:

⋅ 5
1 Lastwagen45 Fuhren
5 Lastwagen?
: 5
⋅ 5
1 Lastwagen45 Fuhren
5 Lastwagen9 Fuhren
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lastwagen entspricht: 9 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 CPU-Kerne6 ms
??
4 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne?
4 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 CPU-Kerne6 ms
2 CPU-Kerne18 ms
4 CPU-Kerne9 ms

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 9 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 € Lospreis60 Lose
??
12 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
12 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 5

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
12 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis?

⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 Lose in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis50 Lose

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € Lospreis entspricht: 50 Lose

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1000 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "2 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km1000 km
??
2 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
2 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km5000 km
2 Liter pro 100km2500 km

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 2500 km



Um von 1000 km in der ersten Zeile auf 500 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Liter pro 100km mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 500 km entspricht:

: 2
1000 km5 Liter pro 100km
500 km?
⋅ 2
: 2
1000 km5 Liter pro 100km
500 km10 Liter pro 100km
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 10 Liter pro 100km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 401 km den 12 Liter pro 100km entsprechen.

: 2
⋅ 3

8 Liter pro 100km600 km
4 Liter pro 100km1200 km
12 Liter pro 100km400 km

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 401 km (für 12 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 400 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 802 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.

: 4
⋅ 3

8 Liter pro 100km600 km
2 Liter pro 100km2400 km
6 Liter pro 100km800 km

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 802 km (für 6 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 800 km gewesen.