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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 7 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in560 € Lohn
7 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 7 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Helfer:innen entspricht:

⋅ 7
1 Helfer:in560 € Lohn
7 Helfer:innen?
: 7
⋅ 7
1 Helfer:in560 € Lohn
7 Helfer:innen80 € Lohn
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Helfer:innen entspricht: 80 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 12 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.

Wie lange bräuchten 16 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
12 Personen4 h
??
16 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


12 Personen4 h
4 Personen?
16 Personen?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 3

12 Personen4 h
4 Personen?
16 Personen?
⋅ 3
: 3

12 Personen4 h
4 Personen12 h
16 Personen?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 Personen4 h
4 Personen12 h
16 Personen?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

12 Personen4 h
4 Personen12 h
16 Personen3 h
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Lastwagen5 Fuhren
??
10 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen?
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 4

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen?
⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 Lastwagen5 Fuhren
2 Lastwagen20 Fuhren
10 Lastwagen4 Fuhren
⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 7 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 7 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
7 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 7 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 7

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen?
⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen56 Fuhren
4 Lastwagen14 Fuhren
⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 14 Fuhren


Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 7 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
8 Fuhren7 Lastwagen
??
7 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


8 Fuhren7 Lastwagen
1 Fuhre?
7 Fuhren?

Um von 8 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Lastwagen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 8

8 Fuhren7 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
7 Fuhren?
⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 7

8 Fuhren7 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
7 Fuhren8 Lastwagen
⋅ 8
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Fuhren entspricht: 8 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 8 Spezi-Flaschen den 10 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 5

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
2 Gäste20 Spezi-Flaschen
10 Gäste4 Spezi-Flaschen
⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 10 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Spezi-Flaschen den 5 Gäste entsprechen.

: 8
⋅ 5

8 Gäste5 Spezi-Flaschen
1 Gäste40 Spezi-Flaschen
5 Gäste8 Spezi-Flaschen
⋅ 8
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Spezi-Flaschen (für 5 Gäste) war also falsch, richtig wäre 8 Spezi-Flaschen gewesen.