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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 40 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 8 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 8 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 ms durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 8
1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne?
: 8
⋅ 8
1 CPU-Kern40 ms
8 CPU-Kerne5 ms
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 5 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 3 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Helfer:innen100 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


3 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 3 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 3

3 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

⋅ 3
: 3

3 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in300 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in300 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in300 € Lohn
2 Helfer:innen150 € Lohn

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Personen6 h
??
3 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


4 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

⋅ 4
: 4

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen8 h

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 7€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 8 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 7 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 7

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 140 Lose



Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 8 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 7 € Lospreis mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lose entspricht:

: 10
80 Lose7 € Lospreis
8 Lose?
⋅ 10
: 10
80 Lose7 € Lospreis
8 Lose70 € Lospreis
⋅ 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lose entspricht: 70 € Lospreis

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 10 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 ms(für 4 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kerne40 ms
8 CPU-Kerne5 ms

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms (für 8 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.