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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 60 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 15 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag60 Tage
15 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 15 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Tage durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 15
1 Minute pro Tag60 Tage
15 Minuten pro Tag?
: 15
⋅ 15
1 Minute pro Tag60 Tage
15 Minuten pro Tag4 Tage
: 15

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 12 CPU-Kernen 4 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 16 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
12 CPU-Kerne4 ms
??
16 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:


12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne?
16 CPU-Kerne?

Um von 12 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne?
16 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 3

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne12 ms
16 CPU-Kerne?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne12 ms
16 CPU-Kerne?
⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

12 CPU-Kerne4 ms
4 CPU-Kerne12 ms
16 CPU-Kerne3 ms
⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 CPU-Kerne3 ms
??
18 CPU-Kerne?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 CPU-Kerne:


12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne?
18 CPU-Kerne?

Um von 12 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 6 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne?
18 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 2

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 20 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 30 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
20 CPU-Kerne3 ms
??
30 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 CPU-Kerne:


20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne?
30 CPU-Kerne?

Um von 20 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

20 CPU-Kerne3 ms
10 CPU-Kerne6 ms
30 CPU-Kerne2 ms
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 CPU-Kerne entspricht: 2 ms


Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
3 ms20 CPU-Kerne
??
10 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 10 sein, also der ggT(3,10) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:


3 ms20 CPU-Kerne
1 ms?
10 ms?

Um von 3 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 3

3 ms20 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
10 ms?
⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 10 multiplizieren, um auf die 10 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 10

3 ms20 CPU-Kerne
1 ms60 CPU-Kerne
10 ms6 CPU-Kerne
⋅ 3
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 25 Spezi-Flaschen den 2 Gäste entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste25 Spezi-Flaschen
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 Spezi-Flaschen(für 2 Gäste) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 6 Spezi-Flaschen den 10 Gäste entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
5 Gäste10 Spezi-Flaschen
10 Gäste5 Spezi-Flaschen
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Spezi-Flaschen (für 10 Gäste) war also falsch, richtig wäre 5 Spezi-Flaschen gewesen.