nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 56 h.

Wie lange bräuchten 7 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person56 h
7 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 7 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 h durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Personen entspricht:

⋅ 7
1 Person56 h
7 Personen?
: 7
⋅ 7
1 Person56 h
7 Personen8 h
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 5 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 800 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "4 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Liter pro 100km800 km
??
4 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 800 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km?
4 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4000 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 1000 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Liter pro 100km500 km
??
15 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:


9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1500 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km1500 km
15 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Liter pro 100km entspricht: 300 km

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 9 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 3 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage



Um von 9 Tage in der ersten Zeile auf 3 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Minuten pro Tag mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Tage entspricht:

: 3
9 Tage4 Minuten pro Tag
3 Tage?
⋅ 3
: 3
9 Tage4 Minuten pro Tag
3 Tage12 Minuten pro Tag
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Tage entspricht: 12 Minuten pro Tag

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1004 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
4 Liter pro 100km1000 km

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1004 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1000 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 499 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 Liter pro 100km800 km
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 499 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.