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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 30 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person30 h
10 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 10 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 h durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Personen entspricht:

⋅ 10
1 Person30 h
10 Personen?
: 10
⋅ 10
1 Person30 h
10 Personen3 h
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 3 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
5 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?
⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen?
⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 400 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in400 € Lohn
4 Helfer:innen100 € Lohn
⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen7 h
??
14 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?
⋅ 4
: 4

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen4 h
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 12 Lastwagen müssten dafür 3 mal fahren.

Wie oft müssten 18 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
12 Lastwagen3 Fuhren
??
18 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Lastwagen:


12 Lastwagen3 Fuhren
6 Lastwagen?
18 Lastwagen?

Um von 12 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen links entspricht:

: 2

12 Lastwagen3 Fuhren
6 Lastwagen6 Fuhren
18 Lastwagen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Lastwagen3 Fuhren
6 Lastwagen6 Fuhren
18 Lastwagen2 Fuhren
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren


Um von 3 Fuhren in der ersten Zeile auf 6 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Lastwagen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Fuhren entspricht:

⋅ 2
3 Fuhren12 Lastwagen
6 Fuhren?
: 2
⋅ 2
3 Fuhren12 Lastwagen
6 Fuhren6 Lastwagen
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Fuhren entspricht: 6 Lastwagen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 1501 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 Liter pro 100km1200 km
1 Liter pro 100km6000 km
4 Liter pro 100km1500 km
⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1501 km (für 4 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1500 km gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 600 km den 10 Liter pro 100km entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Liter pro 100km1200 km
5 Liter pro 100km1200 km
10 Liter pro 100km600 km
⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 600 km (für 10 Liter pro 100km) war also korrekt.