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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +3 +4 = 2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 8 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4)$

= $2 - 8 - (\frac{1}{2} + 4)$

= $- 6 - (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})$

= $- 6 - 1 \cdot \frac{9}{2}$

= $- 6 - \frac{9}{2}$

= $- \frac{12}{2} - \frac{9}{2}$

= $- \frac{21}{2}$

= -10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{3}{x^{4}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{3}{x^{4}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- 3 x^{- 4} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[x^{- 3} - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{x^{3}} - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{{(2 π)}^{3}} - 2 \cdot \sin (2 π) - (\frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{{(2 π)}^{3}} - 2 \cdot 0 - (\frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{{(2 π)}^{3}} + 0 - (\frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 2)$

= $\frac{1}{8 π^{3}} - (- 2 + \frac{8}{π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot \frac{8}{π^{3}} + \frac{1}{8 π^{3}}$

= $2 - \frac{8}{π^{3}} + \frac{1}{8 π^{3}}$

= $2 - \frac{63}{8 π^{3}}$

≈ 1,746

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - π) - 3 \cdot \sin (0 - π)$

= $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{9}{2} \cdot \sin (0) - 9 \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{2} \cdot 1 - 9 \cdot 0 - (\frac{9}{2} \cdot 0 - 9 \cdot 1)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (0 - 9)$

= $\frac{9}{2} + 0 + 9$

= $\frac{9}{2} + 9$

= $\frac{9}{2} + \frac{18}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{- 1} - e^{- 3}$

≈ 0,318

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel