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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 -2 -6 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (4 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} + \frac{1}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{8}{6} + \frac{3}{6} + 0$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \cos (0) + \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $- 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- 1 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{2} - (- 1 + 0)$

= $0 + \frac{1}{2} + 1$

= $\frac{1}{2} + 1$

= $\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{- 3 + 1} + 2 e^{- 1 + 1}$

= $- 2 e^{- 2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 2} + 2$

≈ 1,729

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (0) + \frac{3}{2} \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 + \frac{3}{2})$

= $- 3 - (0 + \frac{3}{2})$

= $- 3 - \frac{3}{2}$

= $- \frac{6}{2} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 4} + \frac{1}{3} e^{6 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{5} + \frac{1}{3} e^{2}$

≈ -47,008

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel