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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +2 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{2} - 4 - (- 0^{2} - 0)$

= $- 16 - 4 - (- 0 + 0)$

= $- 16 - 4$

= $- 20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 5 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 5 x^{5}) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{5}{6} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) + \frac{5}{6} \cdot π^{6} - (\sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 + \frac{5}{6} \cdot π^{6} - (1 + \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $\frac{5}{6} \cdot π^{6} - (1 + \frac{5}{384} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{5}{384} \cdot π^{6} + \frac{5}{6} \cdot π^{6}$

= $- 1 - \frac{5}{384} \cdot π^{6} + \frac{5}{6} \cdot π^{6}$

= $- 1 + \frac{105}{128} \cdot π^{6}$

≈ 787,64

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 3} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9 + 3} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 6} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 6} + \frac{2}{3}$

≈ 0,665

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 1) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - x]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - π - (- \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - π - (- 0 - (\frac{1}{2} π))$

= $1 - π - (0 - (\frac{1}{2} π))$

= $1 - π + \frac{1}{2} π$

= $1 + \frac{1}{2} π - π$

= $1 - \frac{1}{2} π$

≈ -0,571

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 3} - \frac{1}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ 127,781