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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +5}{2}$ = 2 ⋅ 4.5 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +4 +8 +9 = 15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 x + 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 2 x]}_{1}^{4}$

$=$ $2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $2 \cdot 16 + 8 - (2 \cdot 1 + 2)$

= $32 + 8 - (2 + 2)$

= $40 - 1 \cdot 4$

= $40 - 4$

= $36$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 e^{- x} - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - \cos (\frac{3}{2} π) - (- 4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - 0 - (- 4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - 0)$

= $- 4 e^{- \frac{3}{2} π} + 4 e^{- \frac{1}{2} π}$

= $4 e^{- \frac{1}{2} π} - 4 e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ 0,796

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} ({(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} ({(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} - 3 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 - 1)}^{3} - 3 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3} - 3 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 9 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 6)$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 9 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 6)$

= $\frac{8}{3} - 9 - (\frac{1}{3} - 6)$

= $\frac{8}{3} - \frac{27}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{18}{3})$

= $- \frac{19}{3} - 1 \cdot (- \frac{17}{3})$

= $- \frac{19}{3} + \frac{17}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π) - (7 \cdot \sin (0) - \cos (0))$

= $7 \cdot 1 - 0 - (7 \cdot 0 - 1)$

= $7 + 0 - (0 - 1)$

= $7 + 1$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 7} - \frac{2}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 4,681

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel