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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (2 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (2 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 2 \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 8) - 2 \cdot 4 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) - 2 \cdot 9)$

= $- \frac{16}{3} - 8 - (- 18 - 18)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{24}{3} - 1 \cdot (- 36)$

= $- \frac{40}{3} + 36$

= $- \frac{40}{3} + \frac{108}{3}$

= $\frac{68}{3}$

≈ 22,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- \frac{7}{3} e^{- 3 x} + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- \frac{7}{3} e^{- 3 x} + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{9} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{7}{9} e^{- 3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{7}{9} e^{- 3 \cdot 0} + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{7}{9} e^{- 3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{7}{9} e^{0} + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{7}{9} e^{- 3} + \frac{2}{3} - (\frac{7}{9} + 0)$

= $\frac{7}{9} e^{- 3} + \frac{2}{3} - \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{- 3} - \frac{1}{9}$

≈ -0,072

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 4 + 5} - \frac{3}{2} e^{0 + 5}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{5}$

≈ -218,542

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{x^{3}} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{x^{3}} - \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- x^{- 3} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 2} - \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{2 x^{2}} - \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - \sin (2 π) - (\frac{1}{2 π^{2}} - \sin (π))$

= $\frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - 0 - (\frac{1}{2 π^{2}} - 0)$

= $\frac{1}{8 π^{2}} - \frac{1}{2 π^{2}}$

= $- \frac{3}{8 π^{2}}$

≈ -0,038

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(9 - 4)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(6 - 4)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 5^{3} + \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 125 + \frac{2}{9} \cdot 8$

= $- \frac{250}{9} + \frac{16}{9}$

= $- 26$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel