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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-1 +(-4)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -1.5 -2 -7.5 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 2^{2} - (- 1^{3} + 1^{2})$

= $- 8 + 4 - (- 1 + 1)$

= $- 8 + 4 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1$

= $- 8 + 4 + 1 - 1$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 2 e^{x} - 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 2 e^{x} - 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 e^{x} - \frac{4}{3} x^{3}]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- 2 e^{- 1} - \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 2 e^{- 3} - \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $- 2 e^{- 1} - \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (- 2 e^{- 3} - \frac{4}{3} \cdot (- 27))$

= $- 2 e^{- 1} + \frac{4}{3} - (- 2 e^{- 3} + 36)$

= $- 2 e^{- 1} + \frac{4}{3} + 2 e^{- 3} - 1 \cdot 36$

= $- 2 e^{- 1} + \frac{4}{3} + 2 e^{- 3} - 36$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e^{- 3} + \frac{4}{3} - 36$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e^{- 3} - \frac{104}{3}$

≈ -35,303

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{2 - 3} + \frac{1}{2} e^{0 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ -0,159

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 - 5 \cdot 1 - (3 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $0 - 5 - (3 + 0)$

= $- 5 - 3$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{9}{2} π) + \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel