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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{3 +1}{2}$ = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +6 +4 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 3 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 3 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 2 x^{2}]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- {(- 3)}^{3} + 2 \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- (- 1) + 2 \cdot 1 - (- (- 27) + 2 \cdot 9)$

= $1 + 2 - (27 + 18)$

= $3 - 1 \cdot 45$

= $3 - 45$

= $- 42$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (0) + \frac{9}{4} \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot (- 1) + \frac{9}{4} \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $3 + 0 - (0 + \frac{9}{4})$

= $3 - (0 + \frac{9}{4})$

= $3 - \frac{9}{4}$

= $\frac{12}{4} - \frac{9}{4}$

= $\frac{3}{4}$

= 0,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{3 \cdot 3 - 4} + e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $- e^{9 - 4} + e^{6 - 4}$

= $- e^{5} + e^{2}$

≈ -141,024

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) - \cos (0))$

= $- 2 \cdot 1 - 0 - (- 2 \cdot 0 - 1)$

= $- 2 + 0 - (0 - 1)$

= $- 2 + 1$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{19}{3}}^{- 1} - 2 \sqrt{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{19}{3}}^{- 1} - 2 \sqrt{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{- \frac{19}{3}}^{- 1} - 2 {(- 3 x + 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(- 3 x + 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{19}{3}}^{- 1}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 x + 6})}^{3}]}_{- \frac{19}{3}}^{- 1}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{19}{3}) + 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 + 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{19 + 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 3^{3} - \frac{4}{9} \cdot 5^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 27 - \frac{4}{9} \cdot 125$

= $12 - \frac{500}{9}$

= $\frac{108}{9} - \frac{500}{9}$

= $- \frac{392}{9}$

≈ -43,556

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel