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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -1 -3 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 - 4 - (\frac{4}{3} \cdot (- 1) - 1)$

= $\frac{32}{3} - 4 - (- \frac{4}{3} - 1)$

= $\frac{32}{3} - \frac{12}{3} - (- \frac{4}{3} - \frac{3}{3})$

= $\frac{20}{3} - 1 \cdot (- \frac{7}{3})$

= $\frac{20}{3} + \frac{7}{3}$

= $9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- 8 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- 8 \cdot \cos (2 π) - \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (- 8 \cdot \cos (π) - \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 8 \cdot 1 - \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (- 8 \cdot (- 1) - \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 8 - \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (8 - \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 8 - \frac{1}{16 π^{2}} - (8 - \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 8 - \frac{1}{16 π^{2}} - 1 \cdot 8 - 1 \cdot (- \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 8 - \frac{1}{16 π^{2}} - 8 + \frac{1}{4 π^{2}}$

= $- 8 - 8 - \frac{1}{16 π^{2}} + \frac{1}{4 π^{2}}$

= $- 16 + \frac{3}{16 π^{2}}$

≈ -15,981

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{\frac{17}{2}} - \sqrt{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{\frac{17}{2}} - \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{\frac{17}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{\frac{17}{2}}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{\frac{17}{2}}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{64}{3} + \frac{1}{3}$

= $- 21$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) + 2 \cdot 0 - (- 1 + 2 \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π + \frac{3}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (\frac{5}{2} π) + \sin (2 π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel