$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 6)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₄ = $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 9 +4.5 -3 -6 = 4.5

= ${\left[x^2+4x\right]}_{-3}^1$

$=$ $1^2+4\cdot 1-\left({\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)\right)$

= $1+4-\left(9-12\right)$

= $1+4-1·9-1·\left(-12\right)$

= $1+4-9+12$

= $8$

= ${\left[-\frac{5}{3}{e}^{-3x}-\frac{7}{3}{x}^3\right]}_{-3}^{-1}$

$=$ $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(-1\right)}-\frac{7}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\left(-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(-3\right)}-\frac{7}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^3-\frac{7}{3}\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{5}{3}{e}^9-\frac{7}{3}\cdot \left(-27\right)\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^3+\frac{7}{3}-\left(-\frac{5}{3}{e}^9+63\right)$

= $\frac{5}{3}{e}^9-1·63-\frac{5}{3}{e}^3+\frac{7}{3}$

= $\frac{5}{3}{e}^9-63-\frac{5}{3}{e}^3+\frac{7}{3}$

= $\frac{5}{3}{e}^9-\frac{5}{3}{e}^3-63+\frac{7}{3}$

= $\frac{5}{3}{e}^9-\frac{5}{3}{e}^3-\frac{182}{3}$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos (-2x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos (-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\pi )-\frac{1}{2}\cdot \cos (-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-2\pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

= 0

= ${\left[-\frac{8}{9}{e}^{-3x}-\frac{10}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1$

= ${\left[-\frac{8}{9}{e}^{-3x}-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $-\frac{8}{9}{e}^{-3\cdot 1}-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{1}\right)}^3-\left(-\frac{8}{9}{e}^{-3\cdot 0}-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{0}\right)}^3\right)$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}\cdot 1^3-\left(-\frac{8}{9}{e}^0-\frac{10}{3}\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}\cdot 1-\left(-\frac{8}{9}-\frac{10}{3}\cdot 0\right)$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}-\left(-\frac{8}{9}+0\right)$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}-\left(-\frac{8}{9}+0\right)$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}+\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{-3}-\frac{22}{9}$

= ${\left[e^{3x-3}\right]}_0^1$

$=$ $e^{3\cdot 1-3}-e^{3\cdot 0-3}$

= $e^{3-3}-e^{0-3}$

= $e^0-e^{-3}$

= $1-e^{-3}$