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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-3 +(-4)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 -7 = -17.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $- \frac{1}{3} - 1 - (9 - 9)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{3}{3} - 1 \cdot 0$

= $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- x^{3} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- x^{3} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{4} + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} + 5 \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} + 5 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} + 5 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} - 5 - (0 + 5)$

= $- 5 - \frac{1}{4} \cdot π^{4} - 5$

= $- 5 - 5 - \frac{1}{4} \cdot π^{4}$

= $- 10 - \frac{1}{4} \cdot π^{4}$

≈ -34,352

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 1 + 4} - e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $e^{- 3 + 4} - e^{0 + 4}$

= $e - e^{4}$

≈ -51,88

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 8 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 8 \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- 8 \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $8 + 0 - (- 8 + 0)$

= $8 + 8$

= $16$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{25})}^{3} + 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 2 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 4^{3}$

= $- 2 \cdot 125 + 2 \cdot 64$

= $- 250 + 128$

= $- 122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel