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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -4 +3 = -13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 3 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 3 x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 3 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 3)$

= $- 6 - 6 - (- \frac{3}{2} - 3)$

= $- 12 - (- \frac{3}{2} - \frac{6}{2})$

= $- 12 - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- 12 + \frac{9}{2}$

= $- \frac{24}{2} + \frac{9}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{5} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{5} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{18} x^{6} + 7 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{18} \cdot π^{6} + 7 \cdot \sin (π) - (- \frac{5}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{18} \cdot π^{6} + 7 \cdot 0 - (- \frac{5}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 7 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{18} \cdot π^{6} + 0 - (- \frac{5}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 7)$

= $- \frac{5}{18} \cdot π^{6} - (7 - \frac{5}{1152} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 7 - 1 \cdot (- \frac{5}{1152} \cdot π^{6}) - \frac{5}{18} \cdot π^{6}$

= $- 7 + \frac{5}{1152} \cdot π^{6} - \frac{5}{18} \cdot π^{6}$

= $- 7 - \frac{35}{128} \cdot π^{6}$

≈ -269,88

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 {(- 2 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 {(- 2 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3} - 2 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{3} - 2 \cdot 4^{2} - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1^{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 8 + 4)}^{3} - 2 \cdot 16 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3} - 32 - (\frac{1}{2} \cdot 2^{3} - 2)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 64) - 32 - (\frac{1}{2} \cdot 8 - 2)$

= $- 32 - 32 - (4 - 2)$

= $- 64 - 1 \cdot 2$

= $- 64 - 2$

= $- 66$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 0 - (- 2 \cdot 0 + 1)$

= $2 + 0 - (0 + 1)$

= $2 - 1$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - {(2 x - 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - {(2 x - 5)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} {(2 x - 5)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 1 - 5)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(2 - 5)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(0 - 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(- 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 81 + \frac{1}{8} \cdot 625$

= $- \frac{81}{8} + \frac{625}{8}$

= $68$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel