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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - ({(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $1 + 3 - (4 + 6)$

= $1 + 3 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 6$

= $1 + 3 - 4 - 6$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (2 e^{2 x} - \frac{1}{4} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (2 e^{2 x} - \frac{1}{4} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (2 e^{2 x} - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[e^{2 x} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4}$

= ${[e^{2 x} - \frac{1}{6} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4} - \frac{1}{6} {(\sqrt{4})}^{3} - (e^{2 \cdot 0} - \frac{1}{6} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $e^{8} - \frac{1}{6} \cdot 2^{3} - (e^{0} - \frac{1}{6} \cdot 0^{3})$

= $e^{8} - \frac{1}{6} \cdot 8 - (1 - \frac{1}{6} \cdot 0)$

= $e^{8} - \frac{4}{3} - (1 + 0)$

= $e^{8} - \frac{4}{3} - 1$

= $e^{8} - \frac{7}{3}$

≈ 2978,625

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 6 e^{- 3 x} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 6 e^{- 3 x} - 3 x) ⅆ x

= ${[2 e^{- 3 x} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (2 e^{- 3 \cdot 1} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $2 e^{- 9} - \frac{3}{2} \cdot 9 - (2 e^{- 3} - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $2 e^{- 9} - \frac{27}{2} - (2 e^{- 3} - \frac{3}{2})$

= $- 2 e^{- 3} - 1 \cdot (- \frac{3}{2}) + 2 e^{- 9} - \frac{27}{2}$

= $- 2 e^{- 3} + \frac{3}{2} + 2 e^{- 9} - \frac{27}{2}$

= $- 2 e^{- 3} + 2 e^{- 9} + \frac{3}{2} - \frac{27}{2}$

= $- 2 e^{- 3} + 2 e^{- 9} - 12$

≈ -12,099

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{8 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{4} - e^{0}$

= $e^{4} - 1$

≈ 53,598

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel