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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 +9 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 5^{3} + 5 - (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 1)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 125 + 5 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{250}{3} + 5 - (- \frac{2}{3} + 1)$

= $- \frac{250}{3} + \frac{15}{3} - (- \frac{2}{3} + \frac{3}{3})$

= $- \frac{235}{3} - 1 \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{235}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{236}{3}$

≈ -78,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) + 4 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} x^{- 3}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- 6 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3 x^{3}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (- 6 \cdot \sin (π) - \frac{4}{3 π^{3}})$

= $- 6 \cdot (- 1) - \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (- 6 \cdot 0 - \frac{4}{3 π^{3}})$

= $6 - \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (0 - \frac{4}{3 π^{3}})$

= $6 - \frac{32}{81 π^{3}} + \frac{4}{3 π^{3}}$

= $6 + \frac{76}{81 π^{3}}$

≈ 6,03

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (- π - \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (- \frac{5}{2} π) + 3 \cdot \cos (- 2 π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$

= $0 + 3$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $0 + 2 \cdot 1 - (1 + 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (1 + 0)$

= $2 - 1$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} \frac{1}{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} \frac{1}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - x + 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $- \ln (| - 4 + 1 |) + \ln (| - 2 + 1 |)$

= $- \ln (| - 4 + 1 |) + \ln (| - 2 + 1 |)$

= $- \ln (3) + \ln (| - 2 + 1 |)$

= $- \ln (3) + \ln (1)$

= $- \ln (3) + 0$

= $- \ln (3)$

≈ -1,099

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel