Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 5 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 5 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 27) + \frac{3}{2} \cdot 9)$

= $\frac{40}{3} + 6 - (45 + \frac{27}{2})$

= $\frac{40}{3} + \frac{18}{3} - (\frac{90}{2} + \frac{27}{2})$

= $\frac{58}{3} - 1 \cdot \frac{117}{2}$

= $\frac{58}{3} - \frac{117}{2}$

= $\frac{116}{6} - \frac{351}{6}$

= $- \frac{235}{6}$

≈ -39,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 e^{- x} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 5 e^{- (\frac{1}{2} π)} + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} + \frac{1}{2} \cdot 0 - (- 5 e^{- (\frac{1}{2} π)} + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- 5 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- 5 e^{- \frac{3}{2} π} + 5 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 0,994

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π + π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 2 π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 - \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{2} \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (- \frac{7}{2} \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $0 - 5 - (0 + 5)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot π + π) + \cos (- 3 \cdot (0) + π)$

= $- \cos (- 2 π) + \cos (π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel