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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 +6 +8 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 3 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 - 9 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- \frac{27}{2} - 9 - (- \frac{3}{2} + 3)$

= $- \frac{27}{2} - \frac{18}{2} - (- \frac{3}{2} + \frac{6}{2})$

= $- \frac{45}{2} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $- \frac{45}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (\frac{3}{2} \cdot 0 + 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (0 + 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $2 e^{- \frac{3}{2} π} - 2 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ -0,398

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (3 {(- x + 3)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (3 {(- x + 3)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- {(- x + 3)}^{3} - 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- {(- 2 + 3)}^{3} - 3 \cdot 2 - (- {(- 0 + 3)}^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- 1^{3} - 6 - (- {(0 + 3)}^{3} + 0)$

= $- 1 - 6 - (- 3^{3} + 0)$

= $- 1 - 6 - (- 27 + 0)$

= $- 7 - (- 27 + 0)$

= $- 7 + 27$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 7 \cdot \cos (x) - 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 7 \cdot \cos (x) - 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[- 7 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3} x^{6}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 7 \cdot \sin (0) - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 7 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 7 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $- 7 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (0 + 0)$

= $- 7 - \frac{1}{96} \cdot π^{6} + 0$

= $- 7 - \frac{1}{96} \cdot π^{6}$

≈ -17,014

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{4 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{- 1} - \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ 0,159

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel