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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + 3)$

= $- \frac{8}{3} + 6 - (- \frac{1}{3} + 3)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{18}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{9}{3})$

= $\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $\frac{10}{3} - \frac{8}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{2}} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{2}} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (x^{- 2} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- x^{- 1} - 9 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{1}{x} - 9 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} - 9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{π} - 9 \cdot \cos (π))$

= $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} - 9 \cdot 0 - (- \frac{1}{π} - 9 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} + 0 - (- \frac{1}{π} + 9)$

= $- \frac{2}{3 π} - (9 - \frac{1}{π})$

= $- 1 \cdot 9 - 1 \cdot (- \frac{1}{π}) - \frac{2}{3 π}$

= $- 9 + \frac{1}{π} - \frac{2}{3 π}$

= $- 9 + \frac{1}{3 π}$

≈ -8,894

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[\sin (- 3 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \sin (- 3 \cdot (0) - π)$

= $\sin (- \frac{11}{2} π) - \sin (- π)$

= $1 - 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (\frac{3}{2 x^{4}} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (\frac{3}{2 x^{4}} + 2) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (\frac{3}{2} x^{- 4} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{- 3} + 2 x]}_{1}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 x^{3}} + 2 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 5^{3}} + 2 \cdot 5 - (- \frac{1}{2 \cdot 1^{3}} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{125}) + 10 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{1}{250} + 10 - (- \frac{1}{2} + 2)$

= $- \frac{1}{250} + \frac{2500}{250} - (- \frac{1}{2} + \frac{4}{2})$

= $\frac{2499}{250} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{2499}{250} - \frac{3}{2}$

= $\frac{2499}{250} - \frac{375}{250}$

= $\frac{1062}{125}$

= 8,496

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \cos (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \cos (0) + \cos (π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel