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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +8 +10.5 = 19.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 2 - (- 2 \cdot 0^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot 4 + 2 - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 8 + 2 - (0 + 0)$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} + 0 - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (- {(- 3 x + 5)}^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (- {(- 3 x + 5)}^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(- 3 x + 5)}^{3} - 4 x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 5)}^{3} - 4 \cdot 4 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 5)}^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 12 + 5)}^{3} - 16 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 5)}^{3} - 8)$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 7)}^{3} - 16 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{3} - 8)$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 343) - 16 - (\frac{1}{9} \cdot (- 1) - 8)$

= $- \frac{343}{9} - 16 - (- \frac{1}{9} - 8)$

= $- \frac{343}{9} - \frac{144}{9} - (- \frac{1}{9} - \frac{72}{9})$

= $- \frac{487}{9} - 1 \cdot (- \frac{73}{9})$

= $- \frac{487}{9} + \frac{73}{9}$

= $- 46$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- 2 x^{- 3} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[x^{- 2} - \frac{1}{8} x^{4}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{8} x^{4}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5^{2}} - \frac{1}{8} \cdot 5^{4} - (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{8} \cdot 1^{4})$

= $\frac{1}{25} - \frac{1}{8} \cdot 625 - (1 - \frac{1}{8} \cdot 1)$

= $\frac{1}{25} - \frac{625}{8} - (1 - \frac{1}{8})$

= $\frac{8}{200} - \frac{15625}{200} - (\frac{8}{8} - \frac{1}{8})$

= $- \frac{15617}{200} - 1 \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{15617}{200} - \frac{7}{8}$

= $- \frac{15617}{200} - \frac{175}{200}$

= $- \frac{1974}{25}$

= -78,96

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 2} - e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $e^{6 - 2} - e^{0 - 2}$

= $e^{4} - e^{- 2}$

≈ 54,463

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel