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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 8 +6 -2 -4 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $8 + 8 - (0 + 0)$

= $16 + 0$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $\frac{5}{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{5}{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $\frac{5}{3} - \frac{81}{32} \cdot π^{4} - (- \frac{5}{3} - \frac{1}{32} \cdot π^{4})$

= $\frac{5}{3} - \frac{81}{32} \cdot π^{4} - 1 \cdot (- \frac{5}{3}) - 1 \cdot (- \frac{1}{32} \cdot π^{4})$

= $\frac{5}{3} - \frac{81}{32} \cdot π^{4} + \frac{5}{3} + \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $\frac{5}{3} + \frac{5}{3} - \frac{81}{32} \cdot π^{4} + \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $\frac{10}{3} - \frac{5}{2} \cdot π^{4}$

≈ -240,189

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 6} - e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $e^{- 6 + 6} - e^{- 3 + 6}$

= $e^{0} - e^{3}$

= $1 - e^{3}$

≈ -19,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 e^{x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 4 e^{0} + 2 \cdot \cos (0))$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 2 \cdot 0 - (- 4 + 2 \cdot 1)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 0 - (- 4 + 2)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 2$

≈ -443,271

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \sin (- \frac{11}{2} π) + \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel