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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 +1 = -17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $\frac{1}{3} + 2 - (- \frac{8}{3} - 4)$

= $\frac{1}{3} + \frac{6}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{7}{3} - 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $\frac{7}{3} + \frac{20}{3}$

= $9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 x^{3} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 x^{3} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{4} - \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot π^{4} - \frac{5}{3} \cdot \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{4} - \frac{5}{3} \cdot (- 1) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{4} + \frac{5}{3} - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $\frac{5}{3} + \frac{1}{2} \cdot π^{4} - \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $\frac{5}{3} + \frac{15}{32} \cdot π^{4}$

≈ 47,327

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π + \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (0 + \frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - (- 1) - (5 \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (3 {(- x + 2)}^{3} - 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (3 {(- x + 2)}^{3} - 6) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(- x + 2)}^{4} - 6 x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot {(- 5 + 2)}^{4} - 6 \cdot 5 - (- \frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 2)}^{4} - 6 \cdot 2)$

= $- \frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} - 30 - (- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - 12)$

= $- \frac{3}{4} \cdot 81 - 30 - (- \frac{3}{4} \cdot 0 - 12)$

= $- \frac{243}{4} - 30 - (0 - 12)$

= $- \frac{243}{4} - \frac{120}{4} + 12$

= $- \frac{363}{4} + 12$

= $- \frac{363}{4} + \frac{48}{4}$

= $- \frac{315}{4}$

= -78,75

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel