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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 5 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 5 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 - 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- 10 - 4 - (- \frac{5}{2} + 2)$

= $- 14 - (- \frac{5}{2} + \frac{4}{2})$

= $- 14 - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 14 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{28}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{27}{2}$

= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{2}{9} e^{- 3 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot \sin (0) - \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot 0 - \frac{2}{9} e^{0})$

= $- 2 - \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{2}{9})$

= $- \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 - (0 - \frac{2}{9})$

= $- \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 + \frac{2}{9}$

= $- \frac{2}{9} e^{- \frac{9}{2} π} - \frac{16}{9}$

≈ -1,778

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 4,914

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (0) + \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} - (2 + 0)$

= $0 - \frac{1}{2} - 2$

= $- \frac{1}{2} - 2$

= $- \frac{1}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{9}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel