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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 2)$

= $2 - 2 - (2 + 2)$

= $0 - 1 \cdot 4$

= $0 - 4$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{2}{3 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{2}{3 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{2}{3} x^{- 2} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{- 1} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \frac{2}{3 x} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 2 π} + \frac{1}{4} \cdot \cos (2 π) - (- \frac{2}{3 \cdot \frac{1}{2} π} + \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3 \cdot 2 π} + \frac{1}{4} \cdot 1 - (- \frac{2}{3 \cdot \frac{1}{2} π} + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3 \cdot 2 π} + \frac{1}{4} - (- \frac{2}{3 \cdot \frac{1}{2} π} + 0)$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{3 π} + \frac{4}{3 π}$

= $\frac{1}{4} + \frac{1}{π}$

≈ 0,568

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (x + π) ⅆ x

= ${[\sin (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π + π) - \sin (\frac{1}{2} π + π)$

= $\sin (2 π) - \sin (\frac{3}{2} π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{8}{3} \cdot \cos (0) - \frac{8}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{8}{3} \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot 1 - (- \frac{8}{3} \cdot 1 - \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{8}{3} - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- x + 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 4 + 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{1}{3} - \frac{8}{3}$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel