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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +2 +6 +7.5 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 10 - (\frac{1}{2} \cdot 9 - 15)$

= $2 - 10 - (\frac{9}{2} - 15)$

= $- 8 - (\frac{9}{2} - \frac{30}{2})$

= $- 8 - 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $- 8 + \frac{21}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{21}{2}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (3 x^{3} - 2 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (3 x^{3} - 2 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{4} + \frac{2}{3} e^{- 3 x}]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0} - (\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (- 1)})$

= $\frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{2}{3} e^{0} - (\frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{2}{3} e^{3})$

= $0 + \frac{2}{3} - (\frac{3}{4} + \frac{2}{3} e^{3})$

= $0 + \frac{2}{3} - (\frac{2}{3} e^{3} + \frac{3}{4})$

= $\frac{2}{3} - (\frac{2}{3} e^{3} + \frac{3}{4})$

= $- \frac{2}{3} e^{3} - 1 \cdot \frac{3}{4} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{3} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{3} - \frac{1}{12}$

≈ -13,474

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (2 {(- 3 x + 6)}^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (2 {(- 3 x + 6)}^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 6)}^{3} + x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 6)}^{3} + 5 - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3} + 2)$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 15 + 6)}^{3} + 5 - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3} + 2)$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 9)}^{3} + 5 - (- \frac{2}{9} \cdot 0^{3} + 2)$

= $- \frac{2}{9} \cdot (- 729) + 5 - (- \frac{2}{9} \cdot 0 + 2)$

= $162 + 5 - (0 + 2)$

= $167 - 2$

= $165$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (0) - 9 \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot (- 1) - 9 \cdot 0 - (2 \cdot 0 - 9 \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 - 9)$

= $- 2 + 9$

= $7$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{3 - 5} + \frac{1}{3} e^{0 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 2} + \frac{1}{3} e^{- 5}$

≈ -0,043

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel