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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 5 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) - 15)$

= $- \frac{1}{3} - 5 - (- 9 - 15)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{15}{3} - 1 \cdot (- 24)$

= $- \frac{16}{3} + 24$

= $- \frac{16}{3} + \frac{72}{3}$

= $\frac{56}{3}$

≈ 18,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 e^{x} - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 e^{\frac{3}{2} π} - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 e^{0} - 5 \cdot \sin (0))$

= $2 e^{\frac{3}{2} π} - 5 \cdot (- 1) - (2 - 5 \cdot 0)$

= $2 e^{\frac{3}{2} π} + 5 - (2 + 0)$

= $2 e^{\frac{3}{2} π} + 5 - 2$

= $2 e^{\frac{3}{2} π} + 3$

≈ 225,636

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (0)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{2} x^{4} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{2} x^{4} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{5} - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot π^{5} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{5} - (- 1) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{5} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $1 + \frac{1}{2} \cdot π^{5} - \frac{1}{64} \cdot π^{5}$

= $1 + \frac{31}{64} \cdot π^{5}$

≈ 149,228

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} - \sqrt{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} - \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} - {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{64}{3} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{56}{3}$

≈ -18,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel