Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{2 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +4 +6 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (4 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (4 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - (- 2))$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) + 2)$

= $\frac{4}{3} - 1 - (- \frac{32}{3} + 2)$

= $\frac{4}{3} - \frac{3}{3} - (- \frac{32}{3} + \frac{6}{3})$

= $\frac{1}{3} - 1 \cdot (- \frac{26}{3})$

= $\frac{1}{3} + \frac{26}{3}$

= $9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + e^{- x}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - e^{- π} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 3 \cdot (- 1) - e^{- π} - (- 3 \cdot 0 - e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $3 - e^{- π} - (0 - e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- e^{- π} + 3 + e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 3,165

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 + 2} + e^{- 1 + 2}$

= $- e^{- 1} + e$

≈ 2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{5}{x^{4}} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{5}{x^{4}} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 5 x^{- 4} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{- 3} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{5}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 π) - (\frac{5}{3 π^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \cos (π))$

= $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot 1 - (\frac{5}{3 π^{3}} + \frac{1}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} + \frac{1}{2} - (\frac{5}{3 π^{3}} - \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} + \frac{5}{24 π^{3}} - (- \frac{1}{2} + \frac{5}{3 π^{3}})$

= $\frac{1}{2} + \frac{5}{24 π^{3}} - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot \frac{5}{3 π^{3}}$

= $\frac{1}{2} + \frac{5}{24 π^{3}} + \frac{1}{2} - \frac{5}{3 π^{3}}$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5}{24 π^{3}} - \frac{5}{3 π^{3}}$

= $1 - \frac{35}{24 π^{3}}$

≈ 0,953

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 3 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel