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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +4 +8 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $- 1^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (- {(- 2)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- 1 + \frac{5}{2} \cdot 1 - (- (- 8) + \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $- 1 + \frac{5}{2} - (8 + 10)$

= $- \frac{2}{2} + \frac{5}{2} - 1 \cdot 18$

= $\frac{3}{2} - 18$

= $\frac{3}{2} - \frac{36}{2}$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} \cdot \cos (x) - \frac{1}{9} e^{- 3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (π) - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot π} - (\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{3}{4} \cdot (- 1) - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot π} - (\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{3}{4} - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot π} - (0 - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot π} - \frac{3}{4} + \frac{1}{9} e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -0,749

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (6 \cdot \cos (0) + 7 \cdot \sin (0))$

= $6 \cdot 0 + 7 \cdot 1 - (6 \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $0 + 7 - (6 + 0)$

= $7 - 6$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 3}^{- \frac{2}{3}} \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 3}^{- \frac{2}{3}} \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{- 3}^{- \frac{2}{3}} {(- 3 x + 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 3}^{- \frac{2}{3}}$

= ${[- \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 x + 7})}^{3}]}_{- 3}^{- \frac{2}{3}}$

$=$ $- \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{2}{3}) + 7})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 3) + 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{2 + 7})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{9 + 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 3^{3} + \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 27 + \frac{2}{9} \cdot 64$

= $- 6 + \frac{128}{9}$

= $- \frac{54}{9} + \frac{128}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel