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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 -6 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} + \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{8}{6} + \frac{9}{6} + 0$

= $\frac{17}{6}$

≈ 2,833

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{2} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 3 x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 3 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{16}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (16) - 3 {(\sqrt{16})}^{3} - (- 3 \cdot \sin (4) - 3 {(\sqrt{4})}^{3})$

= $- 3 \cdot \sin (16) - 3 \cdot 4^{3} - (- 3 \cdot \sin (4) - 3 \cdot 2^{3})$

= $- 3 \cdot \sin (16) - 3 \cdot 64 - (- 3 \cdot \sin (4) - 3 \cdot 8)$

= $- 3 \cdot \sin (16) - 192 - (- 3 \cdot \sin (4) - 24)$

= $- 3 \cdot \sin (16) - 192 - 1 \cdot (- 3 \cdot \sin (4)) - 1 \cdot (- 24)$

= $- 3 \cdot \sin (16) - 192 + 3 \cdot \sin (4) + 24$

= $- 3 \cdot \sin (16) + 3 \cdot \sin (4) - 192 + 24$

= $- 3 \cdot \sin (16) + 3 \cdot \sin (4) - 168$

= -169,407

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot π + π) + \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \sin (- π) + \sin (π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 e^{3 x} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 e^{3 x} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x} + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 5 \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3} e^{3 \cdot (0)} + 5 \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 5 \cdot 0 - (\frac{2}{3} e^{0} + 5 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 0 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} e^{3 π} - (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} e^{3 π} - \frac{2}{3}$

≈ 8260,432

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- \frac{5}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel