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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +9 +10.5 = 22.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $- 2 \cdot 1 - 3 - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 - 3 - (0 + 0)$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 \sqrt{x} + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 \sqrt{x} + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (4 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} - x^{- 3}]}_{1}^{4}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{1}{x^{3}}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{1}{4^{3}} - (\frac{8}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{1}{1^{3}})$

= $\frac{8}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{64}) - (\frac{8}{3} \cdot 1^{3} - 1)$

= $\frac{8}{3} \cdot 8 - \frac{1}{64} - (\frac{8}{3} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{64}{3} - \frac{1}{64} - (\frac{8}{3} - 1)$

= $\frac{4096}{192} - \frac{3}{192} - (\frac{8}{3} - \frac{3}{3})$

= $\frac{4093}{192} - 1 \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{4093}{192} - \frac{5}{3}$

= $\frac{4093}{192} - \frac{320}{192}$

= $\frac{4093}{192} - \frac{5}{3}$

= $\frac{4093}{192} - \frac{320}{192}$

= $\frac{3773}{192}$

≈ 19,651

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (0) - \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- 2 π) - 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 1$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + 3 \cdot \sin (π) - (- 2 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \sin (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 7} - e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $e^{- 6 + 7} - e^{0 + 7}$

= $e - e^{7}$

≈ -1093,915

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel