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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -1.5 -2 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 5 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 - 5 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 5)$

= $- \frac{5}{2} - 5 - (- \frac{5}{2} + 5)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{10}{2} - (- \frac{5}{2} + \frac{10}{2})$

= $- \frac{15}{2} - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $- \frac{15}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot π} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot π} - (- 2 \cdot 0 + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $2 + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot π} - (0 + \frac{2}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{2}{3} e^{- 2 \cdot π} + 2 - \frac{2}{3} e^{- π}$

≈ 1,972

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 {(- x + 3)}^{3} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} - 2 {(- x + 3)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 3)}^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 3 + 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1 + 3)}^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 16$

= $0 - 8$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\frac{3}{2} \cdot \cos (0) - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot π^{2} - (\frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot π^{2} - \frac{3}{2}$

≈ -5,201

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel