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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-4 +(-2)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 -9 = -21

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{6} - \frac{3}{6} + 0$

= $- \frac{7}{6}$

≈ -1,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 \cdot \cos (0) - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $5 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 + 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot π^{3} - 5$

≈ -10,168

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (- (0) - \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (- 3 π) - 2 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 5 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 5 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 5 e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - 5 e^{π} - (- \cos (\frac{1}{2} π) - 5 e^{\frac{1}{2} π})$

= $- (- 1) - 5 e^{π} - (- 0 - 5 e^{\frac{1}{2} π})$

= $1 - 5 e^{π} - (0 - 5 e^{\frac{1}{2} π})$

= $- 5 e^{π} + 1 + 5 e^{\frac{1}{2} π}$

= $- 5 e^{π} + 5 e^{\frac{1}{2} π} + 1$

≈ -90,651

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot π - π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \sin (- 4 π) + \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $- 0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel