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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 2 -4 -8 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (5 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 + 3 - (\frac{5}{2} \cdot 9 + 9)$

= $\frac{5}{2} + 3 - (\frac{45}{2} + 9)$

= $\frac{5}{2} + \frac{6}{2} - (\frac{45}{2} + \frac{18}{2})$

= $\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{63}{2}$

= $\frac{11}{2} - \frac{63}{2}$

= $- 26$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- \frac{5}{4} e^{2 x} + 5 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- \frac{5}{4} e^{2 x} + 5 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{8} e^{2 x} + \frac{5}{4} x^{4}]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{8} e^{2 \cdot 0} + \frac{5}{4} \cdot 0^{4} - (- \frac{5}{8} e^{2 \cdot (- 1)} + \frac{5}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

= $- \frac{5}{8} e^{0} + \frac{5}{4} \cdot 0 - (- \frac{5}{8} e^{- 2} + \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{8} + 0 - (- \frac{5}{8} e^{- 2} + \frac{5}{4})$

= $- \frac{5}{8} - (- \frac{5}{8} e^{- 2} + \frac{5}{4})$

= $\frac{5}{8} e^{- 2} - 1 \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{- 2} - \frac{5}{4} - \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{- 2} - \frac{15}{8}$

≈ -1,79

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 7} + \frac{1}{3} e^{0 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{2} + \frac{1}{3} e^{- 7}$

≈ -2,463

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 7 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 7 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{7}{4} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 0 + \frac{7}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 0 + \frac{7}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $\frac{567}{64} \cdot π^{4} - \frac{7}{64} \cdot π^{4}$

= $\frac{35}{4} \cdot π^{4}$

≈ 852,33

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 1 + 5} - e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 3 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{2} - e^{5}$

≈ -141,024

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel