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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 2 -6 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 8 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12)$

= $2 + 8 - (\frac{9}{2} + 12)$

= $10 - (\frac{9}{2} + \frac{24}{2})$

= $10 - 1 \cdot \frac{33}{2}$

= $10 - \frac{33}{2}$

= $\frac{20}{2} - \frac{33}{2}$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 x^{2} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 x^{2} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot π^{3} + \frac{7}{4} \cdot \sin (π) - (- \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{7}{4} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3} + \frac{7}{4} \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0 - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3}$

≈ -20,671

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (2 {(3 x - 4)}^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (2 {(3 x - 4)}^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{3} - x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 4)}^{3} - 4 - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3} - 2)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(12 - 4)}^{3} - 4 - (\frac{2}{9} \cdot {(6 - 4)}^{3} - 2)$

= $\frac{2}{9} \cdot 8^{3} - 4 - (\frac{2}{9} \cdot 2^{3} - 2)$

= $\frac{2}{9} \cdot 512 - 4 - (\frac{2}{9} \cdot 8 - 2)$

= $\frac{1024}{9} - 4 - (\frac{16}{9} - 2)$

= $\frac{1024}{9} - \frac{36}{9} - (\frac{16}{9} - \frac{18}{9})$

= $\frac{988}{9} - 1 \cdot (- \frac{2}{9})$

= $\frac{988}{9} + \frac{2}{9}$

= $110$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 3 x]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot (- 1) - 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot 1 - 3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $4 - 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - (- 4 - 3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $4 - \frac{9}{2} π - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- \frac{3}{2} π)$

= $4 - \frac{9}{2} π + 4 + \frac{3}{2} π$

= $4 + 4 + \frac{3}{2} π - \frac{9}{2} π$

= $8 - 3 π$

≈ -1,425

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel