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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{1}^{4}$

$=$ $2 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 - (2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $2 \cdot 16 + 16 - (2 \cdot 1 + 4)$

= $32 + 16 - (2 + 4)$

= $48 - 1 \cdot 6$

= $48 - 6$

= $42$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3) ⅆ x

= ${[\sin (x) - 3 x]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) - 3 \cdot π - (\sin (0) - 3 \cdot (0))$

= $0 - 3 \cdot π - (0 + 0)$

= $- 3 π + 0$

= $- 3 π$

≈ -9,425

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 70,814

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 e^{2 x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 e^{2 \cdot π} + 2 \cdot \cos (π) - (- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 e^{2 \cdot π} + 2 \cdot (- 1) - (- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 0)$

= $- 2 e^{2 \cdot π} - 2 - (- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- 2 e^{2 \cdot π} - 2 + 2 e^{π}$

= $- 2 e^{2 π} + 2 e^{π} - 2$

≈ -1026,702

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{15}{2}}^{- 4} \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{15}{2}}^{- 4} \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x

=

\int_{- \frac{15}{2}}^{- 4} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{15}{2}}^{- 4}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 1})}^{3}]}_{- \frac{15}{2}}^{- 4}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{15}{2}) + 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{8 + 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{15 + 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{1}{3} \cdot 64$

= $- 9 + \frac{64}{3}$

= $- \frac{27}{3} + \frac{64}{3}$

= $\frac{37}{3}$

≈ 12,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel