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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +4 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (3 x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 + 5 - (\frac{3}{2} \cdot 9 - 15)$

= $\frac{3}{2} + 5 - (\frac{27}{2} - 15)$

= $\frac{3}{2} + \frac{10}{2} - (\frac{27}{2} - \frac{30}{2})$

= $\frac{13}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $\frac{13}{2} + \frac{3}{2}$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + \sin (π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 1)$

= $\frac{1}{2} + 0 - (0 + 1)$

= $\frac{1}{2} + 0 - 1$

= $\frac{1}{2} - 1$

= $\frac{1}{2} - \frac{2}{2}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{10}^{\frac{29}{2}} - 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{10}^{\frac{29}{2}} - 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} - 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[- {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $- {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} + {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $- {(\sqrt{29 - 4})}^{3} + {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $- {(\sqrt{25})}^{3} + {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 5^{3} + 4^{3}$

= $- 125 + 64$

= $- 61$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 5 \cdot 0 - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 5 \cdot 0 - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{5}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{5}{4} e^{- 3 π} + \frac{5}{4} e^{- π}$

≈ 0,054

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 5} + \frac{1}{3} e^{6 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{4} + \frac{1}{3} e$

≈ -17,293

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel