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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -6 = -7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (- 0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 1 - \frac{5}{2} \cdot 1 - (- 0 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- 1 - \frac{5}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{2} - \frac{5}{2} + 0$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{2}{3} x^{5} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{2}{3} x^{5} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{6} - \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{9} \cdot {(0)}^{6} - \sin (0))$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 1 - (- \frac{1}{9} \cdot 0 - 0)$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 1 - (0 + 0)$

= $- 1 - \frac{1}{576} \cdot π^{6} + 0$

= $- 1 - \frac{1}{576} \cdot π^{6}$

≈ -2,669

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 2} + 2 e^{1 - 2}$

= $- 2 e + 2 e^{- 1}$

≈ -4,701

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $5 \cdot 0 - 1 - (5 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (5 + 0)$

= $- 1 - 5$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - 3 {(- 3 x + 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(- 3 x + 7)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{- 3 x + 7}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{- 3 \cdot 6 + 7} + \frac{1}{- 3 \cdot 3 + 7}$

= $- \frac{1}{- 18 + 7} + \frac{1}{- 9 + 7}$

= $- \frac{1}{(- 11)} + \frac{1}{(- 2)}$

= $- (- \frac{1}{11}) + (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{11} - \frac{1}{2}$

= $\frac{2}{22} - \frac{11}{22}$

= $- \frac{9}{22}$

≈ -0,409

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel