Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{1 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +1 +3 +6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - (2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $2 \cdot 1 + 5 - (2 \cdot 4 + 10)$

= $2 + 5 - (8 + 10)$

= $7 - 1 \cdot 18$

= $7 - 18$

= $- 11$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} x^{5} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} x^{5} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{24} x^{6} - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{7}{24} \cdot π^{6} - 2 \cdot \cos (π) - (\frac{7}{24} \cdot {(0)}^{6} - 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{7}{24} \cdot π^{6} - 2 \cdot (- 1) - (\frac{7}{24} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $\frac{7}{24} \cdot π^{6} + 2 - (0 - 2)$

= $2 + \frac{7}{24} \cdot π^{6} + 2$

= $2 + 2 + \frac{7}{24} \cdot π^{6}$

= $4 + \frac{7}{24} \cdot π^{6}$

≈ 284,405

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 7}^{- \frac{5}{3}} 3 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 7}^{- \frac{5}{3}} 3 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x

=

\int_{- 7}^{- \frac{5}{3}} 3 {(- 3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 3 x + 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 7}^{- \frac{5}{3}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 x + 4})}^{3}]}_{- 7}^{- \frac{5}{3}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{5}{3}) + 4})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 7) + 4})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{5 + 4})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{21 + 4})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{2}{3} \cdot 125$

= $- 18 + \frac{250}{3}$

= $- \frac{54}{3} + \frac{250}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} x^{- 1}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3 x}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (2 π) - \frac{8}{3 \cdot 2 π} - (- 3 \cdot \cos (π) - \frac{8}{3 π})$

= $- 3 \cdot 1 - \frac{8}{3 \cdot 2 π} - (- 3 \cdot (- 1) - \frac{8}{3 π})$

= $- 3 - \frac{8}{3 \cdot 2 π} - (3 - \frac{8}{3 π})$

= $- 3 - \frac{4}{3 π} - (3 - \frac{8}{3 π})$

= $- 3 - \frac{4}{3 π} - 1 \cdot 3 - 1 \cdot (- \frac{8}{3 π})$

= $- 3 - \frac{4}{3 π} - 3 + \frac{8}{3 π}$

= $- 3 - 3 - \frac{4}{3 π} + \frac{8}{3 π}$

= $- 6 + \frac{4}{3 π}$

≈ -5,576

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} - \frac{3}{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} - \frac{3}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} - 3 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $- \ln (| 3 \cdot 4 - 4 |) + \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |)$

= $- \ln (| 12 - 4 |) + \ln (| 9 - 4 |)$

= $- \ln (8) + \ln (| 9 - 4 |)$

= $- \ln (8) + \ln (5)$

≈ -0,47

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel