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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-4 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 -8 -6 = -15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 2 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 2 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 18 + \frac{27}{2} - (- \frac{2}{3} + \frac{3}{2})$

= $- \frac{36}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{4}{6} + \frac{9}{6})$

= $- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{9}{2} - \frac{5}{6}$

= $- \frac{27}{6} - \frac{5}{6}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 x^{3} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 x^{3} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{4} + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot π^{4} + \cos (π) - (\frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} + \cos (0))$

= $\frac{3}{4} \cdot π^{4} - 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 1)$

= $- 1 + \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (0 + 1)$

= $- 1 + \frac{3}{4} \cdot π^{4} - 1$

= $- 1 - 1 + \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

= $- 2 + \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

≈ 71,057

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \sin (- 2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{3}{2} π) + \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) - \frac{5}{3} \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 - \frac{5}{3})$

= $2 - (0 - \frac{5}{3})$

= $2 + \frac{5}{3}$

= $\frac{6}{3} + \frac{5}{3}$

= $\frac{11}{3}$

≈ 3,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{3}{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} \frac{3}{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(- 3 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 3 x + 5 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $- \ln (| - 3 \cdot 4 + 5 |) + \ln (| - 3 \cdot 3 + 5 |)$

= $- \ln (| - 12 + 5 |) + \ln (| - 9 + 5 |)$

= $- \ln (7) + \ln (| - 9 + 5 |)$

= $- \ln (7) + \ln (4)$

≈ -0,56

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel