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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -2 -4 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (5 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (5 x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 + 1 - (\frac{5}{2} \cdot 9 + 3)$

= $\frac{5}{2} + 1 - (\frac{45}{2} + 3)$

= $\frac{5}{2} + \frac{2}{2} - (\frac{45}{2} + \frac{6}{2})$

= $\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{51}{2}$

= $\frac{7}{2} - \frac{51}{2}$

= $- 22$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3} \cdot \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - (0 + 3)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - 3$

= $- \frac{4}{3} - 3$

= $- \frac{4}{3} - \frac{9}{3}$

= $- \frac{13}{3}$

≈ -4,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} \frac{1}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(7 - 2)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{25}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{50} + \frac{1}{8}$

= $- \frac{4}{200} + \frac{25}{200}$

= $\frac{21}{200}$

= 0,105

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 - (1 + \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 23}^{- 14} 3 \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 23}^{- 14} 3 \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 23}^{- 14} 3 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 23}^{- 14}$

= ${[- 2 {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 23}^{- 14}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{- (- 14) + 2})}^{3} + 2 {(\sqrt{- (- 23) + 2})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{14 + 2})}^{3} + 2 {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{16})}^{3} + 2 {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- 2 \cdot 4^{3} + 2 \cdot 5^{3}$

= $- 2 \cdot 64 + 2 \cdot 125$

= $- 128 + 250$

= $122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel