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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -1.5 = 2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (5 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (5 x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2)$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 + 1 - (\frac{5}{2} \cdot 4 - 2)$

= $\frac{5}{2} + 1 - (10 - 2)$

= $\frac{5}{2} + \frac{2}{2} - 1 \cdot 8$

= $\frac{7}{2} - 8$

= $\frac{7}{2} - \frac{16}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{8}{3} x^{4} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{8}{3} x^{4} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{15} x^{5} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{15} \cdot π^{5} + \frac{7}{4} \cdot \cos (π) - (- \frac{8}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{8}{15} \cdot π^{5} + \frac{7}{4} \cdot (- 1) - (- \frac{8}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{8}{15} \cdot π^{5} - \frac{7}{4} - (- \frac{8}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $- \frac{7}{4} - \frac{8}{15} \cdot π^{5} + \frac{1}{60} \cdot π^{5}$

= $- \frac{7}{4} - \frac{31}{60} \cdot π^{5}$

≈ -159,86

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (3 {(- 3 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{4} (3 {(- 3 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{3} - 2 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 4)}^{3} - 2 \cdot 4^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 12 + 4)}^{3} - 2 \cdot 16 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 32 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 512) - 32 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - 2)$

= $\frac{512}{3} - 32 - (- \frac{1}{3} - 2)$

= $\frac{512}{3} - \frac{96}{3} - (- \frac{1}{3} - \frac{6}{3})$

= $\frac{416}{3} - 1 \cdot (- \frac{7}{3})$

= $\frac{416}{3} + \frac{7}{3}$

= $141$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[9 \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $9 \cdot 0 + 7 \cdot (- 1) - (9 \cdot 0 + 7 \cdot 1)$

= $0 - 7 - (0 + 7)$

= $- 7 - 7$

= $- 14$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (- 3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (0) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel