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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 8 f(x) x .

Lösung einblenden

2 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ 3 2 = 9 2 = 4.5.

I3 = 5 8 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

2 8 f(x) x = I2 + I3 = 2 5 f(x) x + 5 8 f(x) x = 4.5 +9 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -3 -2 ( -5x -5 ) x .

Lösung einblenden
-3 -2 ( -5x -5 ) x

= [ - 5 2 x 2 -5x ] -3 -2

= - 5 2 ( -2 ) 2 -5( -2 ) - ( - 5 2 ( -3 ) 2 -5( -3 ) )

= - 5 2 4 +10 - ( - 5 2 9 +15 )

= -10 +10 - ( - 45 2 +15 )

= 0 - ( - 45 2 + 30 2 )

= 0 -1 · ( - 15 2 )

= 0 + 15 2

= 0 + 15 2

= 15 2


= 7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 2 x 5 -5 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 2 x 5 -5 sin( x ) ) x

= [ 1 3 x 6 +5 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 3 ( 3 2 π ) 6 +5 cos( 3 2 π ) - ( 1 3 ( 1 2 π ) 6 +5 cos( 1 2 π ) )

= 1 3 ( 3 2 π ) 6 +50 - ( 1 3 ( 1 2 π ) 6 +50 )

= 1 3 ( 3 2 π ) 6 +0 - ( 1 3 ( 1 2 π ) 6 +0)

= 243 64 π 6 - 1 192 π 6

= 729 192 π 6 - 1 192 π 6

= 91 24 π 6


≈ 3645,267

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 -3 e -3x +4 x .

Lösung einblenden
0 3 -3 e -3x +4 x

= [ e -3x +4 ] 0 3

= e -33 +4 - e -30 +4

= e -9 +4 - e 0 +4

= e -5 - e 4


≈ -54,591

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 1 2 sin( x ) - x ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 1 2 sin( x ) - x ) x

= [ - 1 2 cos( x ) - 1 2 x 2 ] 1 2 π π

= - 1 2 cos( π ) - 1 2 π 2 - ( - 1 2 cos( 1 2 π ) - 1 2 ( 1 2 π ) 2 )

= - 1 2 ( -1 ) - 1 2 π 2 - ( - 1 2 0 - 1 2 ( 1 2 π ) 2 )

= 1 2 - 1 2 π 2 - (0 - 1 2 ( 1 2 π ) 2 )

= 1 2 - 1 2 π 2 + 1 8 π 2

= 1 2 - 3 8 π 2


≈ -3,201

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 ( 3 ( -3x +7 ) 2 -5 ) x .

Lösung einblenden
0 3 ( 3 ( -3x +7 ) 2 -5 ) x

= [ - 1 3 ( -3x +7 ) 3 -5x ] 0 3

= - 1 3 ( -33 +7 ) 3 -53 - ( - 1 3 ( -30 +7 ) 3 -50 )

= - 1 3 ( -9 +7 ) 3 -15 - ( - 1 3 ( 0 +7 ) 3 +0)

= - 1 3 ( -2 ) 3 -15 - ( - 1 3 7 3 +0)

= - 1 3 ( -8 ) -15 - ( - 1 3 343 +0)

= 8 3 -15 - ( - 343 3 +0)

= 8 3 - 45 3 - ( - 343 3 +0)

= - 37 3 + 343 3

= 102