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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

I3 = 6 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I4 = 8 10 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = 12 +6 -4 -8 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( -2 x 2 -1 ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( -2 x 2 -1 ) x

= [ - 2 3 x 3 - x ] 0 1

= - 2 3 1 3 - 1 - ( - 2 3 0 3 - 0 )

= - 2 3 1 -1 - ( - 2 3 0 +0)

= - 2 3 -1 - (0+0)

= - 2 3 - 3 3 +0

= - 5 3


≈ -1,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( -3 x -9 x 5 ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( -3 x -9 x 5 ) x
= 0 1 ( -3 x 1 2 -9 x 5 ) x

= [ -2 x 3 2 - 3 2 x 6 ] 0 1

= [ -2 ( x ) 3 - 3 2 x 6 ] 0 1

= -2 ( 1 ) 3 - 3 2 1 6 - ( -2 ( 0 ) 3 - 3 2 0 6 )

= -2 1 3 - 3 2 1 - ( -2 0 3 - 3 2 0 )

= -21 - 3 2 - ( -20 +0)

= -2 - 3 2 - (0+0)

= - 4 2 - 3 2 +0

= - 7 2


= -3,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 -2 e -2x +3 x .

Lösung einblenden
0 1 -2 e -2x +3 x

= [ e -2x +3 ] 0 1

= e -21 +3 - e -20 +3

= e -2 +3 - e 0 +3

= e - e 3

= e - e 3


≈ -17,367

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π ( - 1 2 cos( x ) - 5 3 x 5 ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π ( - 1 2 cos( x ) - 5 3 x 5 ) x

= [ - 1 2 sin( x ) - 5 18 x 6 ] 0 3 2 π

= - 1 2 sin( 3 2 π ) - 5 18 ( 3 2 π ) 6 - ( - 1 2 sin( 0 ) - 5 18 ( 0 ) 6 )

= - 1 2 ( -1 ) - 5 18 ( 3 2 π ) 6 - ( - 1 2 0 - 5 18 0 )

= 1 2 - 5 18 ( 3 2 π ) 6 - (0+0)

= 1 2 - 405 128 π 6 +0

= 1 2 - 405 128 π 6


≈ -3041,395

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π 2 cos( 2x - 1 2 π) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π 2 cos( 2x - 1 2 π) x

= [ sin( 2x - 1 2 π) ] 0 1 2 π

= sin( 2( 1 2 π ) - 1 2 π) - sin( 2( 0 ) - 1 2 π)

= sin( 1 2 π) - sin( - 1 2 π)

= 1 - ( -1 )

= 1 +1

= 2