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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +3 +6 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 5 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 5 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 0 - 0 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - 1)$

= $0 + 0 - (\frac{5}{3} - 1)$

= $0 - (\frac{5}{3} - \frac{3}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{2 x} - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{2 x} - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x} - 6 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 6 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 6 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 6 - (- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 6)$

= $- \frac{1}{2} e^{3 π} + 6 + \frac{1}{2} e^{π} - 1 \cdot (- 6)$

= $- \frac{1}{2} e^{3 π} + 6 + \frac{1}{2} e^{π} + 6$

= $- \frac{1}{2} e^{3 π} + \frac{1}{2} e^{π} + 6 + 6$

= $- \frac{1}{2} e^{3 π} + \frac{1}{2} e^{π} + 12$

≈ -6172,254

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $- 2 e^{4 - 2} + 2 e^{1 - 2}$

= $- 2 e^{2} + 2 e^{- 1}$

≈ -14,042

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- 7 \cdot \cos (x) - \frac{7}{\sqrt{x}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- 7 \cdot \cos (x) - \frac{7}{\sqrt{x}}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- 7 \cdot \cos (x) - 7 x^{- \frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 7 \cdot \sin (x) - 14 x^{\frac{1}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[- 7 \cdot \sin (x) - 14 \sqrt{x}]}_{4}^{16}$

$=$ $- 7 \cdot \sin (16) - 14 \sqrt{16} - (- 7 \cdot \sin (4) - 14 \sqrt{4})$

= $- 7 \cdot \sin (16) - 14 \cdot 4 - (- 7 \cdot \sin (4) - 14 \cdot 2)$

= $- 7 \cdot \sin (16) - 56 - (- 7 \cdot \sin (4) - 28)$

= $- 7 \cdot \sin (16) - 56 - 1 \cdot (- 7 \cdot \sin (4)) - 1 \cdot (- 28)$

= $- 7 \cdot \sin (16) - 56 + 7 \cdot \sin (4) + 28$

= $- 7 \cdot \sin (16) + 7 \cdot \sin (4) - 56 + 28$

= $- 7 \cdot \sin (16) + 7 \cdot \sin (4) - 28$

= -31,283

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{0}$

= $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2}$

≈ 201,214

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel