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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +2 = 3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (2 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (2 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) - \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $\frac{2}{3} - \frac{5}{2} - (- 18 - \frac{45}{2})$

= $\frac{4}{6} - \frac{15}{6} - (- \frac{36}{2} - \frac{45}{2})$

= $- \frac{11}{6} - 1 \cdot (- \frac{81}{2})$

= $- \frac{11}{6} + \frac{81}{2}$

= $- \frac{11}{6} + \frac{243}{6}$

= $\frac{116}{3}$

≈ 38,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 4 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 4 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{8}{2} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 2 + 5} - e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 4 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e - e^{5}$

≈ -145,695

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 - 2)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 {(- 2 x + 3)}^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 {(- 2 x + 3)}^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 3)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 4 + 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 10 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 10 - (\frac{1}{3} \cdot 27 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - 10 - (9 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{30}{3} - 9$

= $- \frac{31}{3} - 9$

= $- \frac{31}{3} - \frac{27}{3}$

= $- \frac{31}{3} - 9$

= $- \frac{31}{3} - \frac{27}{3}$

= $- \frac{58}{3}$

≈ -19,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel