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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 +1 = -12.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (5 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (5 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{2} \cdot 16 - (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{320}{3} - 40 - (\frac{5}{3} - \frac{5}{2})$

= $\frac{320}{3} - \frac{120}{3} - (\frac{10}{6} - \frac{15}{6})$

= $\frac{200}{3} - 1 \cdot (- \frac{5}{6})$

= $\frac{200}{3} + \frac{5}{6}$

= $\frac{400}{6} + \frac{5}{6}$

= $\frac{135}{2}$

= 67,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot 0 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $\frac{5}{3} + 0 - (- \frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot π - π) + \cos (- 3 \cdot (0) - π)$

= $- \cos (- 4 π) + \cos (- π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 e^{x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 4 e^{x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - 4 e^{π} - (- 4 \cdot \sin (0) - 4 e^{0})$

= $- 4 \cdot 0 - 4 e^{π} - (- 4 \cdot 0 - 4)$

= $0 - 4 e^{π} - (0 - 4)$

= $- 4 e^{π} + 4$

≈ -88,563

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (2 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel