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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -9 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 5 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 5 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 4 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{40}{3} + 2 - (- \frac{5}{3} + \frac{1}{2})$

= $- \frac{40}{3} + \frac{6}{3} - (- \frac{10}{6} + \frac{3}{6})$

= $- \frac{34}{3} - 1 \cdot (- \frac{7}{6})$

= $- \frac{34}{3} + \frac{7}{6}$

= $- \frac{68}{6} + \frac{7}{6}$

= $- \frac{61}{6}$

≈ -10,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $3 \cdot 0 - e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot 0 - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- e^{3 π} + e^{π}$

≈ -12368,507

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π + π) + 3 \cdot \sin (0 + π)$

= $- 3 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot \sin (π)$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 x^{5}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $7 \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (7 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 7 + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (7 + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6} - (7 + \frac{1}{192} \cdot π^{6})$

= $- 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6} - 1 \cdot 7 - 1 \cdot \frac{1}{192} \cdot π^{6}$

= $- 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6} - 7 - \frac{1}{192} \cdot π^{6}$

= $- 7 - 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6} - \frac{1}{192} \cdot π^{6}$

= $- 14 + \frac{91}{24} \cdot π^{6}$

≈ 3631,267

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (5 π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel