Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 4 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 4 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 - 0)$

= $- \frac{4}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{7}{3}$

≈ -2,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (π) - 5 \cdot \sin (π) - (- 5 \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $- 5 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 5 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $5 + 0 - (- 5 + 0)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 5)}^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 5)}^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{3} - 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{3} - 2 \cdot 2 - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3} - 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(6 - 5)}^{3} - 4 - (\frac{2}{9} \cdot {(0 - 5)}^{3} + 0)$

= $\frac{2}{9} \cdot 1^{3} - 4 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 5)}^{3} + 0)$

= $\frac{2}{9} \cdot 1 - 4 - (\frac{2}{9} \cdot (- 125) + 0)$

= $\frac{2}{9} - 4 - (- \frac{250}{9} + 0)$

= $\frac{2}{9} - \frac{36}{9} - (- \frac{250}{9} + 0)$

= $- \frac{34}{9} + \frac{250}{9}$

= $24$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 e^{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 e^{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot π} - \frac{3}{2} \cdot \sin (π) - (\frac{3}{2} e^{2 \cdot (0)} - \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{3}{2} e^{2 \cdot π} - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{3}{2} e^{0} - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{2} e^{2 \cdot π} + 0 - (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{3}{2} e^{2 π} - (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{3}{2} e^{2 π} - \frac{3}{2}$

≈ 801,737

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 2 + 2} - e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $e^{- 4 + 2} - e^{0 + 2}$

= $e^{- 2} - e^{2}$

≈ -7,254

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel