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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1) - (- {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $- (- 1) - 2 - (- (- 8) - 4)$

= $1 - 2 - (8 - 4)$

= $- 1 - 1 \cdot 4$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 3 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 3 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (0)} + 2 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} e^{0} + 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{- \frac{9}{2} π} - \frac{7}{3}$

≈ -2,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- 3 {(3 x - 7)}^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- 3 {(3 x - 7)}^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{3} + x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 5 - 7)}^{3} + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(15 - 7)}^{3} + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(6 - 7)}^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8^{3} + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 512 + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + 2)$

= $- \frac{512}{3} + 5 - (\frac{1}{3} + 2)$

= $- \frac{512}{3} + \frac{15}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{6}{3})$

= $- \frac{497}{3} - 1 \cdot \frac{7}{3}$

= $- \frac{497}{3} - \frac{7}{3}$

= $- 168$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 5 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 5 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 5 e^{- x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (0) - 5 e^{- (0)})$

= $- \frac{5}{2} \cdot (- 1) - 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0})$

= $\frac{5}{2} - 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (0 - 5)$

= $- 5 e^{- (\frac{3}{2} π)} + \frac{5}{2} + 5$

= $- 5 e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{15}{2}$

≈ 7,455

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $\frac{1}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel