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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -1.5 = 14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 4 - 4 - (- 2 \cdot 9 - 6)$

= $- 8 - 4 - (- 18 - 6)$

= $- 12 - 1 \cdot (- 24)$

= $- 12 + 24$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (2 \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (2 \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \sin (x)]}_{0}^{4}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + \sin (x)]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + \sin (4) - (\frac{4}{3} {(\sqrt{0})}^{3} + \sin (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} + \sin (4) - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 + \sin (4) - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{32}{3} + \sin (4) - (0 + 0)$

= $\sin (4) + \frac{32}{3} + 0$

= $\sin (4) + \frac{32}{3}$

≈ 9,91

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (- π) - 2 \cdot \cos (0)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{7}{4} \cdot 0 - (5 \cdot 1 + \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $- 5 + 0 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} - {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{1}{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5 - 1} - \frac{1}{2 - 1}$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{1}$

= $\frac{1}{4} - 1$

= $\frac{1}{4} - \frac{4}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

= -0,75

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel