$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4 -3 +3 = -4

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3-2x\right]}_1^2$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2-\left(-\frac{2}{3}\cdot 1^3-2\cdot 1\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 8-4-\left(-\frac{2}{3}\cdot 1-2\right)$

= $-\frac{16}{3}-4-\left(-\frac{2}{3}-2\right)$

= $-\frac{16}{3}-\frac{12}{3}-\left(-\frac{2}{3}-\frac{6}{3}\right)$

= $-\frac{28}{3}-1·\left(-\frac{8}{3}\right)$

= $-\frac{28}{3}+\frac{8}{3}$

= $-\frac{20}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{2x}+5\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\left(-\frac{1}{4}{e}^{2\cdot \left(0\right)}+5\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+5\cdot 0-\left(-\frac{1}{4}{e}^0+5\cdot 1\right)$

= $-\frac{1}{4}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+0-\left(-\frac{1}{4}+5\right)$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\pi }-\left(-\frac{1}{4}+\frac{20}{4}\right)$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\pi }-1·\frac{19}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\pi }-\frac{19}{4}$

= ${\left[\frac{1}{4}{\left(-x+3\right)}^4-2x^2\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{4}\cdot {\left(-4+3\right)}^4-2\cdot 4^2-\left(\frac{1}{4}\cdot {\left(-2+3\right)}^4-2\cdot 2^2\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4-2\cdot 16-\left(\frac{1}{4}\cdot 1^4-2\cdot 4\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot 1-32-\left(\frac{1}{4}\cdot 1-8\right)$

= $\frac{1}{4}-32-\left(\frac{1}{4}-8\right)$

= $\frac{1}{4}-\frac{128}{4}-\left(\frac{1}{4}-\frac{32}{4}\right)$

= $-\frac{127}{4}-1·\left(-\frac{31}{4}\right)$

= $-\frac{127}{4}+\frac{31}{4}$

= $-24$

= ${\left[2e^{2x}+\frac{5}{4}{x}^4\right]}_{-3}^1$

$=$ $2e^{2\cdot 1}+\frac{5}{4}\cdot 1^4-\left(2e^{2\cdot \left(-3\right)}+\frac{5}{4}\cdot {\left(-3\right)}^4\right)$

= $2e^2+\frac{5}{4}\cdot 1-\left(2e^{-6}+\frac{5}{4}\cdot 81\right)$

= $2e^2+\frac{5}{4}-\left(2e^{-6}+\frac{405}{4}\right)$

= $2e^2+\frac{5}{4}-2e^{-6}-1·\frac{405}{4}$

= $2e^2+\frac{5}{4}-2e^{-6}-\frac{405}{4}$

= $2e^2-2e^{-6}+\frac{5}{4}-\frac{405}{4}$

= $2e^2-2e^{-6}-100$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_1^4$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 4-3}+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 1-3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{8-3}+\frac{3}{2}{e}^{2-3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^5+\frac{3}{2}{e}^{-1}$