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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 4 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - 4 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 8)$

= $- \frac{2}{3} - 4 - (\frac{16}{3} + 8)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{12}{3} - (\frac{16}{3} + \frac{24}{3})$

= $- \frac{14}{3} - 1 \cdot \frac{40}{3}$

= $- \frac{14}{3} - \frac{40}{3}$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{- x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{- x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot 0 - (- 2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 0)$

= $- 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- 2 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- 2 e^{- \frac{3}{2} π} + 2 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 0,398

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 4 + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 + 5}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{3}$

≈ -26,051

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) - e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (7 \cdot \sin (0) - e^{- 2 \cdot (0)})$

= $7 \cdot 1 - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (7 \cdot 0 - e^{0})$

= $7 - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - 1)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 7 + 1$

= $- e^{- π} + 8$

≈ 7,957

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π + π) - 3 \cdot \sin (0 + π)$

= $3 \cdot \sin (2 π) - 3 \cdot \sin (π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel