Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 2 +4 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (3 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (3 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 3 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - 3 - (\frac{3}{2} \cdot 9 + 9)$

= $\frac{3}{2} - 3 - (\frac{27}{2} + 9)$

= $\frac{3}{2} - \frac{6}{2} - (\frac{27}{2} + \frac{18}{2})$

= $- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{45}{2}$

= $- \frac{3}{2} - \frac{45}{2}$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (\frac{1}{x^{4}} + 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (\frac{1}{x^{4}} + 5 x^{2}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (x^{- 4} + 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{- 3} + \frac{5}{3} x^{3}]}_{1}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{5}{3} x^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 5^{3}} + \frac{5}{3} \cdot 5^{3} - (- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}} + \frac{5}{3} \cdot 1^{3})$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{5}{3} \cdot 125 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{375} + \frac{625}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{5}{3})$

= $- \frac{1}{375} + \frac{78125}{375} - 1 \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{78124}{375} - \frac{4}{3}$

= $\frac{78124}{375} - \frac{500}{375}$

= $\frac{77624}{375}$

≈ 206,997

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 7} + e^{- 3 \cdot 2 + 7}$

= $- e^{- 9 + 7} + e^{- 6 + 7}$

= $- e^{- 2} + e$

≈ 2,583

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel