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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (5 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (5 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} + 5^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 + 25 - (\frac{5}{3} \cdot 1 + 1)$

= $\frac{625}{3} + 25 - (\frac{5}{3} + 1)$

= $\frac{625}{3} + \frac{75}{3} - (\frac{5}{3} + \frac{3}{3})$

= $\frac{700}{3} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $\frac{700}{3} - \frac{8}{3}$

= $\frac{692}{3}$

≈ 230,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 x^{4} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 x^{4} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- x^{5} - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- {(0)}^{5} - 2 \cdot \sin (0))$

= $- {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 2 \cdot (- 1) - (- 0 - 2 \cdot 0)$

= $- {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 2 - (0 + 0)$

= $2 - \frac{243}{32} \cdot π^{5} + 0$

= $2 - \frac{243}{32} \cdot π^{5}$

≈ -2321,837

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 7} - e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $e^{- 9 + 7} - e^{0 + 7}$

= $e^{- 2} - e^{7}$

≈ -1096,498

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{9} e^{- 3 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - (4 \cdot \cos (0) + \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - (4 \cdot 1 + \frac{8}{9} e^{0})$

= $- 4 + \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - (4 + \frac{8}{9})$

= $\frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - 4 - (\frac{36}{9} + \frac{8}{9})$

= $\frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - 4 - 1 \cdot \frac{44}{9}$

= $\frac{8}{9} e^{- 3 \cdot π} - 4 - \frac{44}{9}$

= $\frac{8}{9} e^{- 3 π} - \frac{80}{9}$

≈ -8,889

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} ({(x - 2)}^{3} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} ({(x - 2)}^{3} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(x - 2)}^{4} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(1 - 2)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(0 - 2)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 1 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{5}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 0)$

= $\frac{1}{4} - \frac{5}{2} - (4 + 0)$

= $\frac{1}{4} - \frac{10}{4} - 4$

= $- \frac{9}{4} - 4$

= $- \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

= $- \frac{25}{4}$

= -6,25

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel