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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 2 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - 3 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{9}{3} + 0$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + 5 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + 5 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) + \frac{5}{4} \cdot π^{4} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 3 \cdot (- 1) + \frac{5}{4} \cdot π^{4} - (- 3 \cdot 0 + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $3 + \frac{5}{4} \cdot π^{4} - (0 + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $3 + \frac{5}{4} \cdot π^{4} - \frac{5}{64} \cdot π^{4}$

= $3 + \frac{75}{64} \cdot π^{4}$

≈ 117,151

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 4 + 1} + e^{- 1 + 1}$

= $- e^{- 3} + e^{0}$

= $- e^{- 3} + 1$

≈ 0,95

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - 5 \cdot \sin (π) - (- 3 \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $- 3 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 2 + 4} + e^{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $- e^{- 6 + 4} + e^{- 3 + 4}$

= $- e^{- 2} + e$

≈ 2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel