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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -1 -2 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{32}{3} + 6)$

= $0 - (- \frac{32}{3} + \frac{18}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 4 \cdot 0 - (- 1 - 4 \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- \frac{3}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel