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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 9 +3 -2 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 4 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 0^{3} + 4 \cdot 0 - (- {(- 3)}^{3} + 4 \cdot (- 3))$

= $- 0 + 0 - (- (- 27) - 12)$

= $0 + 0 - (27 - 12)$

= $0 - 1 \cdot 15$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{2}} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{2}} + \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 2 x^{- 2} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{2}{x} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{2}{2 π} - \cos (2 π) - (\frac{2}{π} - \cos (π))$

= $\frac{2}{2 π} - 1 - (\frac{2}{π} - (- 1))$

= $\frac{2}{2 π} - 1 - (\frac{2}{π} + 1)$

= $- 1 + \frac{1}{π} - (1 + \frac{2}{π})$

= $- 1 + \frac{1}{π} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{2}{π}$

= $- 1 + \frac{1}{π} - 1 - \frac{2}{π}$

= $- 1 - 1 + \frac{1}{π} - \frac{2}{π}$

= $- 2 - \frac{1}{π}$

≈ -2,318

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 3} - 2 e^{- 0 + 3}$

= $2 e^{0} - 2 e^{3}$

= $2 - 2 e^{3}$

≈ -38,171

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - \frac{1}{4} \cdot \sin (π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - \frac{1}{4} \cdot 0 - (3 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 - \frac{1}{4})$

= $- 3 - (0 - \frac{1}{4})$

= $- 3 + \frac{1}{4}$

= $- \frac{12}{4} + \frac{1}{4}$

= $- \frac{11}{4}$

= -2,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 1} - 3 e^{1 - 1}$

= $3 e^{3} - 3 e^{0}$

= $3 e^{3} - 3$

≈ 57,257

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel