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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 1 - 5)$

= $8 + 10 - (2 - 5)$

= $18 - 1 \cdot (- 3)$

= $18 + 3$

= $21$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 98,697

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} e^{- x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $3 \cdot 0 + \frac{3}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot 0 + \frac{3}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{3}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{3}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{3}{2} e^{- \frac{3}{2} π} - \frac{3}{2} e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ -0,298

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 1} - e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $e^{8 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{7} - e$

≈ 1093,915

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel