Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -1.5 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (2 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (2 x - 4) ⅆ x

= ${[x^{2} - 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $5^{2} - 4 \cdot 5 - (1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $25 - 20 - (1 - 4)$

= $25 - 20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 4)$

= $25 - 20 - 1 + 4$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- e^{x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- e^{x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- e^{x} - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- e^{π} - 3 \cdot \sin (π) - (- e^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- e^{π} - 3 \cdot 0 - (- e^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot 1)$

= $- e^{π} + 0 - (- e^{\frac{1}{2} π} - 3)$

= $- e^{π} - (- e^{\frac{1}{2} π} - 3)$

= $- e^{π} + e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- 3)$

= $- e^{π} + e^{\frac{1}{2} π} + 3$

≈ -15,33

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4 + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2} + \frac{3}{2} e^{0}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2} + \frac{3}{2}$

≈ 1,297

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (2 \sqrt{x} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (2 \sqrt{x} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (2 x^{\frac{1}{2}} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - 8 \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - 8 \cdot \sin (16) - (\frac{4}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - 8 \cdot \sin (1))$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - 8 \cdot \sin (16) - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 8 \cdot \sin (1))$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - 8 \cdot \sin (16) - (\frac{4}{3} \cdot 1 - 8 \cdot \sin (1))$

= $\frac{256}{3} - 8 \cdot \sin (16) - (\frac{4}{3} - 8 \cdot \sin (1))$

= $- 8 \cdot \sin (16) + \frac{256}{3} - (- 8 \cdot \sin (1) + \frac{4}{3})$

= $- 8 \cdot \sin (16) + \frac{256}{3} - 1 \cdot (- 8 \cdot \sin (1)) - 1 \cdot \frac{4}{3}$

= $- 8 \cdot \sin (16) + \frac{256}{3} + 8 \cdot \sin (1) - \frac{4}{3}$

= $- 8 \cdot \sin (16) + 8 \cdot \sin (1) + \frac{256}{3} - \frac{4}{3}$

= $- 8 \cdot \sin (16) + 8 \cdot \sin (1) + 84$

= 93,032

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $- e^{3 \cdot 4 - 7} + e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $- e^{12 - 7} + e^{6 - 7}$

= $- e^{5} + e^{- 1}$

≈ -148,045

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel