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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 + 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{27}{2} + 6 - (- \frac{3}{2} - 2)$

= $- \frac{27}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{3}{2} - \frac{4}{2})$

= $- \frac{15}{2} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- \frac{15}{2} + \frac{7}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{1}{x^{4}} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{1}{x^{4}} - \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- x^{- 4} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{- 3} - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{3 x^{3}} - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - \sin (2 π) - (\frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - 0 - (\frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 1)$

= $\frac{1}{24 π^{3}} - 1 \cdot \frac{8}{3 π^{3}} - 1 \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{24 π^{3}} - \frac{8}{3 π^{3}} + 1$

= $1 + \frac{1}{24 π^{3}} - \frac{8}{3 π^{3}}$

= $1 - \frac{21}{8 π^{3}}$

≈ 0,915

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 {(- 2 x + 4)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 {(- 2 x + 4)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 4)}^{4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 6 + 4)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(0 + 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot 4^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 256$

= $- 4 + 64$

= $60$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 3 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{3}{2 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (π) + \frac{3}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{7}{2} \cdot (- 1) + \frac{3}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{7}{2} + \frac{3}{2 π^{2}} - (0 + \frac{3}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{7}{2} + \frac{3}{2 π^{2}} - \frac{6}{π^{2}}$

= $\frac{7}{2} - \frac{9}{2 π^{2}}$

≈ 3,044

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \cos (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\cos (- \frac{1}{2} π) - \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel