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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 -3 = 15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (5 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 16 - 12 - (\frac{5}{2} \cdot 1 - 3)$

= $40 - 12 - (\frac{5}{2} - 3)$

= $28 - (\frac{5}{2} - \frac{6}{2})$

= $28 - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $28 + \frac{1}{2}$

= $\frac{56}{2} + \frac{1}{2}$

= $\frac{57}{2}$

= 28,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (- \frac{4}{x^{4}} + 4 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (- \frac{4}{x^{4}} + 4 x^{4}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (- 4 x^{- 4} + 4 x^{4}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{- 3} + \frac{4}{5} x^{5}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{4}{3 x^{3}} + \frac{4}{5} x^{5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{4}{5} \cdot 4^{5} - (\frac{4}{3 \cdot 2^{3}} + \frac{4}{5} \cdot 2^{5})$

= $\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{4}{5} \cdot 1024 - (\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{4}{5} \cdot 32)$

= $\frac{1}{48} + \frac{4096}{5} - (\frac{1}{6} + \frac{128}{5})$

= $\frac{5}{240} + \frac{196608}{240} - (\frac{5}{30} + \frac{768}{30})$

= $\frac{196613}{240} - 1 \cdot \frac{773}{30}$

= $\frac{196613}{240} - \frac{773}{30}$

= $\frac{196613}{240} - \frac{6184}{240}$

= $\frac{190429}{240}$

≈ 793,454

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{- 5 + 2} - 3 e^{- 2 + 2}$

= $3 e^{- 3} - 3 e^{0}$

= $3 e^{- 3} - 3$

≈ -2,851

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $- 5 \cdot 0 - (- 1) - (- 5 \cdot 1 - 0)$

= $0 + 1 - (- 5 + 0)$

= $1 + 5$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{\frac{17}{2}} 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{\frac{17}{2}} 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{17}{2}} 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{17}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{\frac{17}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{17 - 1})}^{3} - {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4^{3} - 3^{3}$

= $64 - 27$

= $37$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel