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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (3 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (3 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 4 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 + 4 - (\frac{3}{2} \cdot 4 + 8)$

= $\frac{3}{2} + 4 - (6 + 8)$

= $\frac{3}{2} + \frac{8}{2} - 1 \cdot 14$

= $\frac{11}{2} - 14$

= $\frac{11}{2} - \frac{28}{2}$

= $- \frac{17}{2}$

= -8,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (7 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x

= ${[- 7 \cdot \cos (x) + \frac{1}{12} x^{6}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 7 \cdot \cos (0) + \frac{1}{12} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 7 \cdot 0 + \frac{1}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 7 \cdot 1 + \frac{1}{12} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 7 + 0)$

= $\frac{1}{768} \cdot π^{6} + 7$

≈ 8,252

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (e^{- 2 x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (e^{- 2 x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x} - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)} - \cos (0))$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 0 - (- \frac{1}{2} e^{0} - 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0 - (- \frac{1}{2} - 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} - (- \frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} + \frac{3}{2}$

≈ 1,478

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{11}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel