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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4 +4 +8 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 4 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 4 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $- \frac{4}{3} - 1 - (\frac{32}{3} - 4)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{3}{3} - (\frac{32}{3} - \frac{12}{3})$

= $- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{20}{3}$

= $- \frac{7}{3} - \frac{20}{3}$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} e^{x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (π) + \frac{9}{4} e^{π} - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (0) + \frac{9}{4} e^{0})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{9}{4} e^{π} - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{9}{4})$

= $0 + \frac{9}{4} e^{π} - (0 + \frac{9}{4})$

= $\frac{9}{4} e^{π} - (0 + \frac{9}{4})$

= $\frac{9}{4} e^{π} - \frac{9}{4}$

≈ 49,817

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{3} \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{3} \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \cos (π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (π) - (- \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 0 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{5}{3} + 0 - (0 - \frac{3}{2})$

= $\frac{5}{3} + \frac{3}{2}$

= $\frac{10}{6} + \frac{9}{6}$

= $\frac{19}{6}$

≈ 3,167

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $- 3 e^{- 4 + 2} + 3 e^{- 1 + 2}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e$

≈ 7,749

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel