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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -1 -3 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (3 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (3 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[x^{3} - x]}_{-2}^{2}$

$=$ $2^{3} - 2 - ({(- 2)}^{3} - (- 2))$

= $8 - 2 - ((- 8) + 2)$

= $8 - 2 - 1 \cdot (- 8) - 1 \cdot 2$

= $8 - 2 + 8 - 2$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $7 \cdot \sin (π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - (7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $7 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (7 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{4}{3} - (7 + 0)$

= $0 + \frac{4}{3} - 7$

= $\frac{4}{3} - 7$

= $\frac{4}{3} - \frac{21}{3}$

= $- \frac{17}{3}$

≈ -5,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (6 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{4} x^{2} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{4} x^{2} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{12} x^{3} - 8 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - 8 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{12} \cdot {(0)}^{3} - 8 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - 8 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{12} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 8 - (0 + 0)$

= $8 - \frac{45}{32} \cdot π^{3} + 0$

= $8 - \frac{45}{32} \cdot π^{3}$

≈ -35,603

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 4)}^{3} - 1) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 4)}^{3} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 4)}^{4} - x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{4} - 2 - (\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 0 - 4)}^{4} - 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(6 - 4)}^{4} - 2 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 - 4)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot 2^{4} - 2 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot 16 - 2 - (\frac{1}{6} \cdot 256 + 0)$

= $\frac{8}{3} - 2 - (\frac{128}{3} + 0)$

= $\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{128}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} - \frac{128}{3}$

= $- 42$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel