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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +1 +3 +3 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (4 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (4 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) + 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{32}{3} + 4)$

= $0 - (- \frac{32}{3} + \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x

= ${[9 \cdot \cos (x) + e^{x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + e^{\frac{3}{2} π} - (9 \cdot \cos (0) + e^{0})$

= $9 \cdot 0 + e^{\frac{3}{2} π} - (9 \cdot 1 + 1)$

= $0 + e^{\frac{3}{2} π} - (9 + 1)$

= $e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot 10$

= $e^{\frac{3}{2} π} - 10$

≈ 101,318

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (\frac{4}{3 x^{4}} - \frac{7}{2} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (\frac{4}{3 x^{4}} - \frac{7}{2} e^{2 x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (\frac{4}{3} x^{- 4} - \frac{7}{2} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} x^{- 3} - \frac{7}{4} e^{2 x}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{4}{9 x^{3}} - \frac{7}{4} e^{2 x}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{9 \cdot 5^{3}} - \frac{7}{4} e^{2 \cdot 5} - (- \frac{4}{9 \cdot 2^{3}} - \frac{7}{4} e^{2 \cdot 2})$

= $- \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{125}) - \frac{7}{4} e^{10} - (- \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{7}{4} e^{4})$

= $- \frac{4}{1125} - \frac{7}{4} e^{10} - (- \frac{1}{18} - \frac{7}{4} e^{4})$

= $- \frac{7}{4} e^{10} - \frac{4}{1125} - (- \frac{7}{4} e^{4} - \frac{1}{18})$

= $- \frac{7}{4} e^{10} - \frac{4}{1125} + \frac{7}{4} e^{4} - 1 \cdot (- \frac{1}{18})$

= $- \frac{7}{4} e^{10} - \frac{4}{1125} + \frac{7}{4} e^{4} + \frac{1}{18}$

= $- \frac{7}{4} e^{10} + \frac{7}{4} e^{4} - \frac{4}{1125} + \frac{1}{18}$

= $- \frac{7}{4} e^{10} + \frac{7}{4} e^{4} + \frac{13}{250}$

≈ -38450,716

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{8 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{4} - e^{0}$

= $e^{4} - 1$

≈ 53,598

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel