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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +6 +7.5 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{5}{2} \cdot 4 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{16}{3} + 10 - (0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{30}{3} + 0$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{3} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{3} x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (- 3 x^{- 3} + \frac{4}{3} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{- 2} + \frac{1}{3} x^{4}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{1}{3} x^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2 \cdot 5^{2}} + \frac{1}{3} \cdot 5^{4} - (\frac{3}{2 \cdot 2^{2}} + \frac{1}{3} \cdot 2^{4})$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{25}) + \frac{1}{3} \cdot 625 - (\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 16)$

= $\frac{3}{50} + \frac{625}{3} - (\frac{3}{8} + \frac{16}{3})$

= $\frac{9}{150} + \frac{31250}{150} - (\frac{9}{24} + \frac{128}{24})$

= $\frac{31259}{150} - 1 \cdot \frac{137}{24}$

= $\frac{31259}{150} - \frac{137}{24}$

= $\frac{125036}{600} - \frac{3425}{600}$

= $\frac{40537}{200}$

= 202,685

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{- 2 + 3} - 3 e^{- 0 + 3}$

= $3 e - 3 e^{3}$

≈ -52,102

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (6 x^{4} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (6 x^{4} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{6}{5} x^{5} - 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{6}{5} \cdot 3^{5} - 3 \cdot 3 - (\frac{6}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{6}{5} \cdot 243 - 9 - (\frac{6}{5} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1458}{5} - 9 - (0 + 0)$

= $\frac{1458}{5} - \frac{45}{5} + 0$

= $\frac{1413}{5}$

= 282,6

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 4} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 4}$

= $\frac{1}{2} e^{- 6 + 4} - \frac{1}{2} e^{0 + 4}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2} - \frac{1}{2} e^{4}$

≈ -27,231

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel