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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1))$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 1)$

= $\frac{8}{3} - 2 - (- \frac{1}{3} + 1)$

= $\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - \frac{3}{4} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - \frac{3}{4} e^{- x}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + \frac{3}{4} e^{- x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} - (\cos (0) + \frac{3}{4} e^{- (0)})$

= $0 + \frac{3}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} - (1 + \frac{3}{4} e^{0})$

= $\frac{3}{4} e^{- \frac{1}{2} π} - (1 + \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4} e^{- \frac{1}{2} π} - (\frac{4}{4} + \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4} e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{- \frac{1}{2} π} - \frac{7}{4}$

≈ -1,594

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} ({(- x + 2)}^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} ({(- x + 2)}^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- x + 2)}^{3} + x]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 4 + 2)}^{3} + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 2)}^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 2)$

= $\frac{8}{3} + 4 - (0 + 2)$

= $\frac{8}{3} + \frac{12}{3} - 2$

= $\frac{20}{3} - 2$

= $\frac{20}{3} - \frac{6}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - \frac{9}{2} \cdot 0 - (3 \cdot 1 - \frac{9}{2} \cdot 0)$

= $- 3 + 0 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{1}{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} \frac{1}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - x + 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $- \ln (| - 4 + 2 |) + \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- \ln (| - 4 + 2 |) + \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- \ln (2) + \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- \ln (2) + \ln (1)$

= $- \ln (2) + 0$

= $- \ln (2)$

≈ -0,693

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel