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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4 -4.5 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 3 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 3 x + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 2 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 4 + 2 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 1)$

= $- 6 + 2 - (- \frac{3}{2} + 1)$

= $- 4 - (- \frac{3}{2} + \frac{2}{2})$

= $- 4 - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 4 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{8}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{12} x^{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} + \frac{3}{2} - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $\frac{3}{2} - \frac{5}{12} \cdot π^{4} + \frac{5}{192} \cdot π^{4}$

= $\frac{3}{2} - \frac{25}{64} \cdot π^{4}$

≈ -36,55

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 5} + \frac{1}{3} e^{6 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{4} + \frac{1}{3} e$

≈ -17,293

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 4} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $\frac{2}{3} e^{- 15 + 4} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 4}$

= $\frac{2}{3} e^{- 11} - \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ -0,09

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel