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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -2 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (5 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (5 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{3} \cdot 8 + 8 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 4)$

= $\frac{40}{3} + 8 - (- \frac{5}{3} - 4)$

= $\frac{40}{3} + \frac{24}{3} - (- \frac{5}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{64}{3} - 1 \cdot (- \frac{17}{3})$

= $\frac{64}{3} + \frac{17}{3}$

= $27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - 2 e^{- π} - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 - 2 e^{- π} - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - 2 e^{- π} - (- \frac{1}{2} - 2 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 2 e^{- π} - (- 2 e^{- \frac{1}{2} π} - \frac{1}{2})$

= $- 2 e^{- π} + 2 e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 2 e^{- π} + 2 e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{1}{2}$

= $2 e^{- \frac{1}{2} π} - 2 e^{- π} + \frac{1}{2}$

≈ 0,829

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (4 π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $\frac{1}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{3} \cdot \sin (0) + \frac{7}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 1) + \frac{7}{4} \cdot 0 - (\frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{7}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} + 0 - (0 + \frac{7}{4})$

= $- \frac{5}{3} - \frac{7}{4}$

= $- \frac{20}{12} - \frac{21}{12}$

= $- \frac{41}{12}$

≈ -3,417

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (0)$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel