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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 +4 +8 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6)$

= $0 + 0 - (\frac{9}{2} + 6)$

= $0 - (\frac{9}{2} + \frac{12}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{21}{2}$

= $- \frac{21}{2}$

= -10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (e^{- 2 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (e^{- 2 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)} + 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} e^{0} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} + \frac{5}{2}$

≈ 2,478

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (- 2 π) + 3 \cdot \cos (- π)$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) + \frac{5}{3} \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{5}{3} \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 + \frac{5}{3})$

= $2 - (0 + \frac{5}{3})$

= $2 - \frac{5}{3}$

= $\frac{6}{3} - \frac{5}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 3 {(- 3 x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(- 3 x + 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{1}{- 3 x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{- 3 \cdot 3 + 3} - \frac{1}{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{1}{- 9 + 3} - \frac{1}{- 6 + 3}$

= $\frac{1}{(- 6)} - \frac{1}{(- 3)}$

= $(- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel