nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 9 f(x) x .

Lösung einblenden

0 9 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 2 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I4 = 7 9 f(x) x : Trapezfläche I4 = (9 - 7) ⋅ -2 + ( - 3 ) 2 = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

0 9 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 2 f(x) x + 2 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 9 f(x) x = 4 -3 -4 -5 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -3 0 ( x -3 ) x .

Lösung einblenden
-3 0 ( x -3 ) x

= [ 1 2 x 2 -3x ] -3 0

= 1 2 0 2 -30 - ( 1 2 ( -3 ) 2 -3( -3 ) )

= 1 2 0 +0 - ( 1 2 9 +9 )

= 0+0 - ( 9 2 +9 )

= 0 - ( 9 2 + 18 2 )

= -1 · 27 2

= - 27 2


= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral π 2π ( 1 3 sin( x ) - 1 x 4 ) x .

Lösung einblenden
π 2π ( 1 3 sin( x ) - 1 x 4 ) x
= π 2π ( 1 3 sin( x ) - x -4 ) x

= [ - 1 3 cos( x ) + 1 3 x -3 ] π 2π

= [ - 1 3 cos( x ) + 1 3 x 3 ] π 2π

= - 1 3 cos( 2π ) + 1 3 ( 2π ) 3 - ( - 1 3 cos( π ) + 1 3 π 3 )

= - 1 3 1 + 1 3 ( 2π ) 3 - ( - 1 3 ( -1 ) + 1 3 π 3 )

= - 1 3 + 1 3 ( 2π ) 3 - ( 1 3 + 1 3 π 3 )

= - 1 3 + 1 24 π 3 - ( 1 3 + 1 3 π 3 )

= - 1 3 + 1 24 π 3 -1 · 1 3 -1 · 1 3 π 3

= - 1 3 + 1 24 π 3 - 1 3 - 1 3 π 3

= - 1 3 - 1 3 + 1 24 π 3 - 1 3 π 3

= - 2 3 - 7 24 π 3


≈ -0,676

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -2 cos( -2x - 1 2 π) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π -2 cos( -2x - 1 2 π) x

= [ sin( -2x - 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= sin( -2( 3 2 π ) - 1 2 π) - sin( -2( 1 2 π ) - 1 2 π)

= sin( - 7 2 π) - sin( - 3 2 π)

= 1 - 1

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( -5 sin( x ) + 1 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( -5 sin( x ) + 1 2 cos( x ) ) x

= [ 5 cos( x ) + 1 2 sin( x ) ] 0 1 2 π

= 5 cos( 1 2 π ) + 1 2 sin( 1 2 π ) - ( 5 cos( 0 ) + 1 2 sin( 0 ) )

= 50 + 1 2 1 - ( 51 + 1 2 0 )

= 0 + 1 2 - ( 5 +0)

= 0 + 1 2 -5

= 1 2 -5

= 1 2 - 10 2

= - 9 2


= -4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 3 4 2 2x -2 x .

Lösung einblenden
3 4 2 2x -2 x
= 3 4 2 ( 2x -2 ) -1 x

= [ ln( | 2x -2 | ) ] 3 4

= ln( | 24 -2 | ) - ln( | 23 -2 | )

= ln( | 8 -2 | ) - ln( | 6 -2 | )

= ln( 6 ) - ln( | 6 -2 | )

= ln( 6 ) - ln( 4 )


≈ 0,405