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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (4 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (4 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) - \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $\frac{32}{3} - 10 - (- \frac{32}{3} - 10)$

= $\frac{32}{3} - \frac{30}{3} - (- \frac{32}{3} - \frac{30}{3})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot (- \frac{62}{3})$

= $\frac{2}{3} + \frac{62}{3}$

= $\frac{64}{3}$

≈ 21,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 e^{- 2 x} - \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 e^{- 2 x} - \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (2 e^{- 2 x} - x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1}$

= ${[- e^{- 2 x} - \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 1} - \frac{2}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - (- e^{- 2 \cdot 0} - \frac{2}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- e^{- 2} - \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - (- e^{0} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

= $- e^{- 2} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (- 1 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $- e^{- 2} - \frac{2}{3} - (- 1 + 0)$

= $- e^{- 2} - \frac{2}{3} + 1$

= $- e^{- 2} + \frac{1}{3}$

≈ 0,198

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 4 + 2} + e^{- 2 \cdot 1 + 2}$

= $- e^{- 8 + 2} + e^{- 2 + 2}$

= $- e^{- 6} + e^{0}$

= $- e^{- 6} + 1$

≈ 0,998

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} - 2 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} - 2 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} - 2 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[- \frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $- \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} \cdot 5^{3} + \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{4}{9} \cdot 125 + \frac{4}{9} \cdot 64$

= $- \frac{500}{9} + \frac{256}{9}$

= $- \frac{244}{9}$

≈ -27,111

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel