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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +1 +3 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (5 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (5 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 + 3 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 3)$

= $\frac{5}{3} + 3 - (- \frac{5}{3} - 3)$

= $\frac{5}{3} + \frac{9}{3} - (- \frac{5}{3} - \frac{9}{3})$

= $\frac{14}{3} - 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $\frac{14}{3} + \frac{14}{3}$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (4 \cdot \sin (0) + {(0)}^{4})$

= $4 \cdot (- 1) + {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 + {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- 4 + \frac{81}{16} \cdot π^{4} + 0$

= $- 4 + \frac{81}{16} \cdot π^{4}$

≈ 489,134

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (3 {(x - 1)}^{3} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (3 {(x - 1)}^{3} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x^{2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(4 - 1)}^{4} + 2 \cdot 4^{2} - (\frac{3}{4} \cdot {(2 - 1)}^{4} + 2 \cdot 2^{2})$

= $\frac{3}{4} \cdot 3^{4} + 2 \cdot 16 - (\frac{3}{4} \cdot 1^{4} + 2 \cdot 4)$

= $\frac{3}{4} \cdot 81 + 32 - (\frac{3}{4} \cdot 1 + 8)$

= $\frac{243}{4} + 32 - (\frac{3}{4} + 8)$

= $\frac{243}{4} + \frac{128}{4} - (\frac{3}{4} + \frac{32}{4})$

= $\frac{371}{4} - 1 \cdot \frac{35}{4}$

= $\frac{371}{4} - \frac{35}{4}$

= $84$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 e^{3 x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 e^{3 x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} e^{3 x} - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - 5 \cdot 0 - (- \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} + 0 - (- \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5)$

= $- \frac{4}{3} e^{3 π} - (- \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5)$

= $- \frac{4}{3} e^{3 π} + \frac{4}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- 5)$

= $- \frac{4}{3} e^{3 π} + \frac{4}{3} e^{\frac{3}{2} π} + 5$

≈ -16368,773

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - \frac{2}{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - \frac{2}{- 2 x + 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{4} - 2 {(- 2 x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - 2 x + 1 |)]}_{1}^{4}$

$=$ $\ln (| - 2 \cdot 4 + 1 |) - \ln (| - 2 \cdot 1 + 1 |)$

= $\ln (| - 8 + 1 |) - \ln (| - 2 + 1 |)$

= $\ln (7) - \ln (| - 2 + 1 |)$

= $\ln (7) - \ln (1)$

= $\ln (7) + 0$

= $\ln (7)$

≈ 1,946

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel