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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -1 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3 - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 0)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 27 + 3 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- 45 + 3 - (0 + 0)$

= $- 42 + 0$

= $- 42$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 8 \cdot \sin (0) + \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 8 \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 8 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $8 + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $8 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} + 0$

= $8 + \frac{81}{32} \cdot π^{4}$

≈ 254,567

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} - \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} - \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} - 3 {(- 2 x + 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 2 x + 5)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 7 + 5)}^{3}} + \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 4 + 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 14 + 5)}^{3}} + \frac{1}{2 {(- 8 + 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 9)}^{3}} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{729}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{27})$

= $\frac{1}{1458} - \frac{1}{54}$

= $\frac{1}{1458} - \frac{27}{1458}$

= $- \frac{13}{729}$

≈ -0,018

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot \sin (π) - (- \frac{8}{3} \cdot \cos (0) + \frac{4}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{8}{3} \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot 0 - (- \frac{8}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $\frac{8}{3} + 0 - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{8} {(2 x - 2)}^{4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{4} + \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(6 - 2)}^{4} + \frac{3}{8} \cdot {(4 - 2)}^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot 4^{4} + \frac{3}{8} \cdot 2^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot 256 + \frac{3}{8} \cdot 16$

= $- 96 + 6$

= $- 90$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel