Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-4)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -9 -7 = -17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 + 3)$

= $- 2 + 2 - (- \frac{9}{2} + 3)$

= $0 - (- \frac{9}{2} + \frac{6}{2})$

= $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $0 + \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- \sqrt[4]{x} - 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- \sqrt[4]{x} - 5 x^{2}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (- x^{\frac{1}{4}} - 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{5}{3} x^{3}]}_{0}^{4}$

= ${[- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} - \frac{5}{3} x^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{4})}^{5} - \frac{5}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{0})}^{5} - \frac{5}{3} \cdot 0^{3})$

= $- \frac{4}{5} \cdot 1^{5} - \frac{5}{3} \cdot 64 - (- \frac{4}{5} \cdot 0^{5} - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{5} \cdot 1 - \frac{320}{3} - (- \frac{4}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{4}{5} - \frac{320}{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{12}{15} - \frac{1600}{15} + 0$

= $- \frac{1612}{15}$

≈ -111,192

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (- π + \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (π)$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[8 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (8 \cdot \cos (0) + \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $8 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (8 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} - (8 + 0)$

= $0 - \frac{1}{2} - 8$

= $- \frac{1}{2} - 8$

= $- \frac{1}{2} - \frac{16}{2}$

= $- \frac{17}{2}$

= -8,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} \frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} {(- 2 x + 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 2)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{1}{2 (- 2 x + 2)}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2 (- 2 \cdot 3 + 2)} - \frac{1}{2 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

= $\frac{1}{2 (- 6 + 2)} - \frac{1}{2 (- 4 + 2)}$

= $\frac{1}{2 (- 4)} - \frac{1}{2 (- 2)}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

= $\frac{1}{8}$

= 0,125

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel