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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -3 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 2 - (- 2 \cdot 1^{2} + 1)$

= $- 2 \cdot 4 + 2 - (- 2 \cdot 1 + 1)$

= $- 8 + 2 - (- 2 + 1)$

= $- 6 - 1 \cdot (- 1)$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 e^{- x} + \frac{7}{3} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 e^{- x} + \frac{7}{3} x^{2}) ⅆ x

= ${[4 e^{- x} + \frac{7}{9} x^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 e^{- 3} + \frac{7}{9} \cdot 3^{3} - (4 e^{- 1} + \frac{7}{9} \cdot 1^{3})$

= $4 e^{- 3} + \frac{7}{9} \cdot 27 - (4 e^{- 1} + \frac{7}{9} \cdot 1)$

= $4 e^{- 3} + 21 - (4 e^{- 1} + \frac{7}{9})$

= $- 4 e^{- 1} - 1 \cdot \frac{7}{9} + 4 e^{- 3} + 21$

= $- 4 e^{- 1} - \frac{7}{9} + 4 e^{- 3} + 21$

= $- 4 e^{- 1} + 4 e^{- 3} - \frac{7}{9} + 21$

= $- 4 e^{- 1} + 4 e^{- 3} + \frac{182}{9}$

≈ 18,95

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (6 π) + \cos (3 π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (π) + 5 \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{4} \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $0 - 5 - (0 + 5)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel