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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 2 -1.5 -3 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (x + 5) ⅆ x$ .

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\int_{-3}^{0} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 9 - 15)$

= $0 + 0 - (\frac{9}{2} - 15)$

= $0 - (\frac{9}{2} - \frac{30}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $\frac{21}{2}$

= 10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) + 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) + 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $7 \cdot \cos (π) + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $7 \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (7 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 7 + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 7 + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - \frac{1}{96} \cdot π^{6}$

= $- 7 + \frac{21}{32} \cdot π^{6}$

≈ 623,912

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (π) - 2 \cdot \cos (0)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (π) + \frac{3}{4} \cdot \sin (π) - (\frac{4}{3} \cdot \cos (0) + \frac{3}{4} \cdot \sin (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) + \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - (\frac{4}{3} + 0)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (- π) + 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$

= $0 + 2$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel