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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1 +3 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 + 6)$

= $- \frac{1}{2} + 2 - (- \frac{9}{2} + 6)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{4}{2} - (- \frac{9}{2} + \frac{12}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{4}{3} x^{2} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{4}{3} x^{2} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} x^{3} - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{9} \cdot π^{3} - 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{4}{9} \cdot {(0)}^{3} - 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3} - 5 \cdot 0 - (- \frac{4}{9} \cdot 0 - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3} + 0 - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3}$

≈ -13,781

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \sin (0) + \sin (π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + \sin (x)]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{x})}^{3} + \sin (x)]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3} + \sin (9) - (\frac{4}{9} {(\sqrt{4})}^{3} + \sin (4))$

= $\frac{4}{9} \cdot 3^{3} + \sin (9) - (\frac{4}{9} \cdot 2^{3} + \sin (4))$

= $\frac{4}{9} \cdot 27 + \sin (9) - (\frac{4}{9} \cdot 8 + \sin (4))$

= $12 + \sin (9) - (\frac{32}{9} + \sin (4))$

= $\sin (9) + 12 - (\sin (4) + \frac{32}{9})$

= $\sin (9) + 12 - 1 \cdot \sin (4) - 1 \cdot \frac{32}{9}$

= $\sin (9) + 12 - \sin (4) - \frac{32}{9}$

= $\sin (9) - \sin (4) + 12 - \frac{32}{9}$

= $\sin (9) - \sin (4) + \frac{76}{9}$

≈ 9,613

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 + 4} + \frac{1}{2} e^{0 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{4}$

≈ 23,605

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel