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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 2 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (4 x + 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + x]}_{0}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 2 - (2 \cdot 0^{2} + 0)$

= $2 \cdot 4 + 2 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $8 + 2 - (0 + 0)$

= $10 + 0$

= $10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{6} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (π) + \frac{1}{6} \cdot π^{4} - (\frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $\frac{9}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{6} \cdot π^{4} - (\frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{1}{6} \cdot π^{4} - (0 + \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{1}{6} \cdot π^{4} - \frac{1}{96} \cdot π^{4}$

= $- \frac{9}{2} + \frac{5}{32} \cdot π^{4}$

≈ 10,72

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(- x + 1)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot {(- 1 + 1)}^{4} + \frac{3}{4} \cdot {(- 0 + 1)}^{4}$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} + \frac{3}{4} \cdot {(0 + 1)}^{4}$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 1^{4}$

= $0 + \frac{3}{4} \cdot 1$

= $0 + \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}$

= 0,75

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) + \sin (π) - (3 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $3 \cdot (- 1) + 0 - (3 \cdot 1 + 0)$

= $- 3 + 0 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ 1,334

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel