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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (4 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (4 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{1}{2} \cdot 9 - (\frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $36 + \frac{9}{2} - (\frac{4}{3} + \frac{1}{2})$

= $\frac{72}{2} + \frac{9}{2} - (\frac{8}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{81}{2} - 1 \cdot \frac{11}{6}$

= $\frac{81}{2} - \frac{11}{6}$

= $\frac{243}{6} - \frac{11}{6}$

= $\frac{116}{3}$

≈ 38,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 x^{4} + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 x^{4} + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot π^{5} - \frac{7}{3} \cdot \cos (π) - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \frac{7}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5} - \frac{7}{3} \cdot (- 1) - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \frac{7}{3} \cdot 0)$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5} + \frac{7}{3} - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $\frac{7}{3} + \frac{3}{5} \cdot π^{5} - \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

= $\frac{7}{3} + \frac{93}{160} \cdot π^{5}$

≈ 180,207

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \cos (- \frac{11}{2} π) + \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $- 2 \cdot 0 - 4 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (- 2 + 0)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (- 6 π) + \cos (- 3 π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel