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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 5 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 5 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 - 6 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{45}{2} - 6 - (- \frac{5}{2} - 2)$

= $- \frac{45}{2} - \frac{12}{2} - (- \frac{5}{2} - \frac{4}{2})$

= $- \frac{57}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- \frac{57}{2} + \frac{9}{2}$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (2 x^{4} - 4 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (2 x^{4} - 4 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{5} x^{5} - 2 e^{2 x}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{5} \cdot 4^{5} - 2 e^{2 \cdot 4} - (\frac{2}{5} \cdot 1^{5} - 2 e^{2 \cdot 1})$

= $\frac{2}{5} \cdot 1024 - 2 e^{8} - (\frac{2}{5} \cdot 1 - 2 e^{2})$

= $\frac{2048}{5} - 2 e^{8} - (\frac{2}{5} - 2 e^{2})$

= $- 2 e^{8} + \frac{2048}{5} - (- 2 e^{2} + \frac{2}{5})$

= $- 2 e^{8} + \frac{2048}{5} + 2 e^{2} - 1 \cdot \frac{2}{5}$

= $- 2 e^{8} + \frac{2048}{5} + 2 e^{2} - \frac{2}{5}$

= $- 2 e^{8} + 2 e^{2} + \frac{2048}{5} - \frac{2}{5}$

= $- 2 e^{8} + 2 e^{2} + \frac{2046}{5}$

≈ -5537,938

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (π) + 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1)$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 3) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 3 x]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) - 3 \cdot π - (- 2 \cdot \cos (0) - 3 \cdot (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) - 3 \cdot π - (- 2 \cdot 1 + 0)$

= $2 - 3 \cdot π - (- 2 + 0)$

= $2 - 3 \cdot π + 2$

= $2 + 2 - 3 π$

= $4 - 3 π$

≈ -5,425

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- x + 3)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 27$

= $- \frac{1}{3} + 9$

= $- \frac{1}{3} + \frac{27}{3}$

= $\frac{26}{3}$

≈ 8,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel