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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-1 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -1.5 -3 -4 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 10 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 + 15)$

= $- 10 + 10 - (- \frac{45}{2} + 15)$

= $0 - (- \frac{45}{2} + \frac{30}{2})$

= $0 - 1 \cdot (- \frac{15}{2})$

= $0 + \frac{15}{2}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - e^{- x}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + e^{- x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + e^{- (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot \sin (0) + e^{- (0)})$

= $2 \cdot (- 1) + e^{- (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot 0 + e^{0})$

= $- 2 + e^{- (\frac{3}{2} π)} - (0 + 1)$

= $e^{- (\frac{3}{2} π)} - 2 - 1$

= $e^{- \frac{3}{2} π} - 3$

≈ -2,991

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 3 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- x^{3} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- x^{3} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{4} - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} - 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} - 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} + 0 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4} + 0$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{4}$

≈ -24,352

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \sin (π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel