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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 1 2 = 3 2 = 1.5.

I3 = 6 8 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I4 = 8 10 f(x) x : Trapezfläche I4 = (10 - 8) ⋅ 1 + 2 2 = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = -6 +1.5 +2 +3 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 ( -4x -4 ) x .

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0 3 ( -4x -4 ) x

= [ -2 x 2 -4x ] 0 3

= -2 3 2 -43 - ( -2 0 2 -40 )

= -29 -12 - ( -20 +0)

= -18 -12 - (0+0)

= -30 +0

= -30

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( cos( x ) - 2 3 x 5 ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( cos( x ) - 2 3 x 5 ) x

= [ sin( x ) - 1 9 x 6 ] 1 2 π π

= sin( π ) - 1 9 π 6 - ( sin( 1 2 π ) - 1 9 ( 1 2 π ) 6 )

= 0 - 1 9 π 6 - ( 1 - 1 9 ( 1 2 π ) 6 )

= - 1 9 π 6 - ( 1 - 1 576 π 6 )

= -1 · 1 -1 · ( - 1 576 π 6 ) - 1 9 π 6

= -1 + 1 576 π 6 - 1 9 π 6

= -1 - 7 64 π 6


≈ -106,152

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 2 - e -x +1 x .

Lösung einblenden
0 2 - e -x +1 x

= [ e -x +1 ] 0 2

= e -2 +1 - e -0 +1

= e -1 - e

= e -1 - e


≈ -2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( 4 3 sin( x ) +5 e x ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( 4 3 sin( x ) +5 e x ) x

= [ - 4 3 cos( x ) +5 e x ] 0 1 2 π

= - 4 3 cos( 1 2 π ) +5 e 1 2 π - ( - 4 3 cos( 0 ) +5 e 0 )

= - 4 3 0 +5 e 1 2 π - ( - 4 3 1 +5 )

= 0 +5 e 1 2 π - ( - 4 3 +5 )

= 5 e 1 2 π - ( - 4 3 + 15 3 )

= 5 e 1 2 π -1 · 11 3

= 5 e 1 2 π - 11 3


≈ 20,386

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 - 1 -2x +3 x .

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2 5 - 1 -2x +3 x
= 2 5 - ( -2x +3 ) -1 x

= [ 1 2 ln( | -2x +3 | ) ] 2 5

= 1 2 ln( | -25 +3 | ) - 1 2 ln( | -22 +3 | )

= 1 2 ln( | -10 +3 | ) - 1 2 ln( | -4 +3 | )

= 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( | -4 +3 | )

= 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( 1 )

= 1 2 ln( 7 ) +0

= 1 2 ln( 7 )


≈ 0,973