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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 2 \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{8}{3} + 8)$

= $0 - (- \frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot \cos (0) + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot 1 + \frac{5}{2} e^{0})$

= $0 + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 + \frac{5}{2})$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π} - (- \frac{4}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π} - \frac{1}{2}$

≈ -0,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 3 e^{3 - 1} + 3 e^{1 - 1}$

= $- 3 e^{2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{2} + 3$

≈ -19,167

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{2} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{2} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{7}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + \frac{7}{2} \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 0 - (0 + \frac{7}{2})$

= $\frac{9}{2} \cdot π^{3} - (0 + \frac{7}{2})$

= $\frac{9}{2} \cdot π^{3} - \frac{7}{2}$

≈ 136,028

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 2} - 2 e^{- 0 + 2}$

= $2 e^{0} - 2 e^{2}$

= $2 - 2 e^{2}$

≈ -12,778

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel