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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 9 +3 -3 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{2} - 0 - (- {(- 1)}^{2} - (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- 1 + 1)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1$

= $1 - 1$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $6 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (6 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $- 6 + 0 - (6 + 0)$

= $- 6 - 6$

= $- 12$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{2}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{2}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - 2 {(2 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[\frac{1}{3 {(2 x - 3)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3 {(2 \cdot 6 - 3)}^{3}} - \frac{1}{3 {(2 \cdot 3 - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(12 - 3)}^{3}} - \frac{1}{3 {(6 - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 \cdot 9^{3}} - \frac{1}{3 \cdot 3^{3}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{729}) - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27})$

= $\frac{1}{2187} - \frac{1}{81}$

= $\frac{1}{2187} - \frac{27}{2187}$

= $- \frac{26}{2187}$

≈ -0,012

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (- 3 \sqrt{x} + \frac{1}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (- 3 \sqrt{x} + \frac{1}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{9} e^{- 3 x}]}_{0}^{9}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 x}]}_{0}^{9}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot 9} - (- 2 {(\sqrt{0})}^{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 \cdot 0})$

= $- 2 \cdot 3^{3} - \frac{1}{9} e^{- 27} - (- 2 \cdot 0^{3} - \frac{1}{9} e^{0})$

= $- 2 \cdot 27 - \frac{1}{9} e^{- 27} - (- 2 \cdot 0 - \frac{1}{9})$

= $- 54 - \frac{1}{9} e^{- 27} - (0 - \frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{9} e^{- 27} - 54 - (0 - \frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{9} e^{- 27} - 54 + \frac{1}{9}$

= $- \frac{1}{9} e^{- 27} - \frac{485}{9}$

≈ -53,889

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{- 1} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 0,233

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel