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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -3 -6 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{2} - 1 - (- 0^{2} - 0)$

= $- 1 - 1 - (- 0 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} e^{3 x} - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} e^{3 x} - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{3 x} + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} + \frac{8}{3} \cdot \cos (π) - (- \frac{3}{2} e^{3 \cdot (0)} + \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} + \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{3}{2} e^{0} + \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} - \frac{8}{3} - (- \frac{3}{2} + \frac{8}{3})$

= $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} - \frac{8}{3} - (- \frac{9}{6} + \frac{16}{6})$

= $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{3}{2} e^{3 \cdot π} - \frac{8}{3} - \frac{7}{6}$

= $- \frac{3}{2} e^{3 π} - \frac{23}{6}$

≈ -18591,305

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \sin (\frac{11}{2} π) + \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 7 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 7 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 7 \cdot 0 - (1 + 7 \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 5)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 5)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 + 5)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 2^{4} + \frac{1}{6} \cdot 5^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 16 + \frac{1}{6} \cdot 625$

= $- \frac{8}{3} + \frac{625}{6}$

= $- \frac{16}{6} + \frac{625}{6}$

= $\frac{203}{2}$

= 101,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel