Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 +2 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + 3 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $- \frac{2}{3} + 3 - (18 - 9)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{9}{3} - 1 \cdot 9$

= $\frac{7}{3} - 9$

= $\frac{7}{3} - \frac{27}{3}$

= $- \frac{20}{3}$

≈ -6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- e^{- 2 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- e^{- 2 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 \cdot \sin (π) - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 0 - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 π} - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 π} - \frac{1}{2} e^{- π} - 1 \cdot 3$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 π} - \frac{1}{2} e^{- π} - 3$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} + \frac{1}{2} e^{- 2 π} - 3$

≈ -3,021

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 1 + 2} - e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $e^{- 2 + 2} - e^{0 + 2}$

= $e^{0} - e^{2}$

= $1 - e^{2}$

≈ -6,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (\frac{9}{2} \cdot \cos (0) - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $\frac{9}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (\frac{9}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (\frac{9}{2} + 0)$

= $- \frac{27}{8} \cdot π^{2} - (\frac{9}{2} + 0)$

= $- \frac{27}{8} \cdot π^{2} - \frac{9}{2}$

≈ -37,81

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{- 5 + 3} - 2 e^{- 2 + 3}$

= $2 e^{- 2} - 2 e$

≈ -5,166

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel