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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -4.5 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 1 - 5 - (- 2 \cdot 9 + 15)$

= $- 2 - 5 - (- 18 + 15)$

= $- 7 - 1 \cdot (- 3)$

= $- 7 + 3$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 3 x]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{4} \cdot \sin (0) - 3 \cdot (0))$

= $\frac{1}{4} \cdot 1 - 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{4} - 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - (0 + 0)$

= $\frac{1}{4} - 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + 0$

= $\frac{1}{4} - 3 \cdot (\frac{1}{2} π)$

≈ -4,462

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{9}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (π) + \cos (π) - (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - 1 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (\frac{3}{2} + 0)$

= $- 1 - (\frac{3}{2} + 0)$

= $- 1 - \frac{3}{2}$

= $- \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \cos (0)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel