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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 2 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 2 x - 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 4 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{2} - 4 \cdot 3 - (- {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1))$

= $- 9 - 12 - (- 1 + 4)$

= $- 9 - 12 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 4$

= $- 9 - 12 + 1 - 4$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 4 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 4 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} e^{- 3 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot \sin (0) + \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $3 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot 0 + \frac{4}{3} e^{0})$

= $- 3 + \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 - (0 + \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 - \frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3} e^{- \frac{9}{2} π} - \frac{13}{3}$

≈ -4,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 1} - e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $e^{4 - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{3} - e^{- 1}$

≈ 19,718

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel