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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 +4.5 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 - 15 - (\frac{4}{3} \cdot (- 1) + 5)$

= $36 - 15 - (- \frac{4}{3} + 5)$

= $21 - (- \frac{4}{3} + \frac{15}{3})$

= $21 - 1 \cdot \frac{11}{3}$

= $21 - \frac{11}{3}$

= $\frac{63}{3} - \frac{11}{3}$

= $\frac{52}{3}$

≈ 17,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (- \frac{8}{3 x^{4}} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (- \frac{8}{3 x^{4}} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (- \frac{8}{3} x^{- 4} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} x^{- 3} - \frac{1}{8} x^{4}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{8}{9 x^{3}} - \frac{1}{8} x^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{8}{9 \cdot 4^{3}} - \frac{1}{8} \cdot 4^{4} - (\frac{8}{9 \cdot 2^{3}} - \frac{1}{8} \cdot 2^{4})$

= $\frac{8}{9} \cdot (\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} \cdot 256 - (\frac{8}{9} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{1}{8} \cdot 16)$

= $\frac{1}{72} - 32 - (\frac{1}{9} - 2)$

= $\frac{1}{72} - \frac{2304}{72} - (\frac{1}{9} - \frac{18}{9})$

= $- \frac{2303}{72} - 1 \cdot (- \frac{17}{9})$

= $- \frac{2303}{72} + \frac{17}{9}$

= $- \frac{2303}{72} + \frac{136}{72}$

= $- \frac{2167}{72}$

≈ -30,097

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1)$

= $0 + 3$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) - 2 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) - 2 x^{4}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{2}{5} x^{5}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (π) - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- 5 \cdot \sin (0) - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $- 5 \cdot 0 - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- 5 \cdot 0 - \frac{2}{5} \cdot 0)$

= $0 - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{5} \cdot π^{5} + 0$

= $- \frac{2}{5} \cdot π^{5}$

≈ -122,408

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 8 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 30,054

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel