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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-3 +(-4)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -6 -7 = -13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 5 x + 4) ⅆ x$ .

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\int_{-1}^{1} (- 5 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 4)$

= $- \frac{5}{2} + 4 - (- \frac{5}{2} - 4)$

= $- \frac{5}{2} + \frac{8}{2} - (- \frac{5}{2} - \frac{8}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{13}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{13}{2}$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 4 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 2 x^{- 2}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{2}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 4 \cdot \sin (π) - \frac{2}{π^{2}})$

= $- 4 \cdot (- 1) - \frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 4 \cdot 0 - \frac{2}{π^{2}})$

= $4 - \frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (0 - \frac{2}{π^{2}})$

= $4 - \frac{8}{9 π^{2}} + \frac{2}{π^{2}}$

= $4 + \frac{10}{9 π^{2}}$

≈ 4,113

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 4 π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 e^{x} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 e^{x} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 e^{x} - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 e^{0} - \frac{9}{2} \cdot \cos (0))$

= $- 4 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{9}{2} \cdot 0 - (- 4 - \frac{9}{2} \cdot 1)$

= $- 4 e^{\frac{1}{2} π} + 0 - (- 4 - \frac{9}{2})$

= $- 4 e^{\frac{1}{2} π} - (- \frac{8}{2} - \frac{9}{2})$

= $- 4 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{17}{2})$

= $- 4 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{17}{2}$

≈ -10,742

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 {(x - 2)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 {(x - 2)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 2)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(4 - 2)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 2)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $- 8 + 0$

= $- 8$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel