Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (2 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (2 x + 1) ⅆ x

= ${[x^{2} + x]}_{-2}^{0}$

$=$ $0^{2} + 0 - ({(- 2)}^{2} - 2)$

= $0 + 0 - (4 - 2)$

= $- 1 \cdot 4 - 1 \cdot (- 2)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (4 x^{2} - 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (4 x^{2} - 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (4 x^{2} - 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{9}$

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{9}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 9^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 2 {(\sqrt{0})}^{3})$

= $\frac{4}{3} \cdot 729 - 2 \cdot 3^{3} - (\frac{4}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3})$

= $972 - 2 \cdot 27 - (0 - 2 \cdot 0)$

= $972 - 54 - (0 + 0)$

= $918 + 0$

= $918$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{7}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 2) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - 2 x]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (π) - 2 \cdot π - (\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - 2 \cdot π - (\frac{3}{2} \cdot 0 - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{2} - 2 \cdot π - (0 - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{2} - 2 \cdot π + π$

= $- \frac{3}{2} + π - 2 π$

= $- \frac{3}{2} - π$

≈ -4,642

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 {(x - 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 {(x - 1)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- 8 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel