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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - 5 \cdot 4 - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - 20 - (\frac{4}{3} \cdot 1 - 5)$

= $\frac{256}{3} - 20 - (\frac{4}{3} - 5)$

= $\frac{256}{3} - \frac{60}{3} - (\frac{4}{3} - \frac{15}{3})$

= $\frac{196}{3} - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $\frac{196}{3} + \frac{11}{3}$

= $69$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 5 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (- 5 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $5 + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $5 + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - \frac{1}{6} \cdot π^{3}$

= $5 + \frac{7}{6} \cdot π^{3}$

≈ 41,174

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (- 6 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 0 - (- 0 - 1)$

= $1 + 0 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel