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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 8 f(x) x .

Lösung einblenden

0 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I3 = 6 8 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

0 8 f(x) x = I1 + I2 + I3 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x = 6 -6 -8 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( 3x -1 ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( 3x -1 ) x

= [ 3 2 x 2 - x ] 1 4

= 3 2 4 2 - 4 - ( 3 2 1 2 - 1 )

= 3 2 16 -4 - ( 3 2 1 -1 )

= 24 -4 - ( 3 2 -1 )

= 20 - ( 3 2 - 2 2 )

= 20 -1 · 1 2

= 20 - 1 2

= 40 2 - 1 2

= 39 2


= 19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 9 ( - x 4 - 3 2 x 3 ) x .

Lösung einblenden
0 9 ( - x 4 - 3 2 x 3 ) x
= 0 9 ( - x 1 4 - 3 2 x 3 ) x

= [ - 4 5 x 5 4 - 3 8 x 4 ] 0 9

= [ - 4 5 ( x 4 ) 5 - 3 8 x 4 ] 0 9

= - 4 5 ( 9 4 ) 5 - 3 8 9 4 - ( - 4 5 ( 0 4 ) 5 - 3 8 0 4 )

= - 4 5 1 5 - 3 8 6561 - ( - 4 5 0 5 - 3 8 0 )

= - 4 5 1 - 19683 8 - ( - 4 5 0 +0)

= - 4 5 - 19683 8 - (0+0)

= - 32 40 - 98415 40 +0

= - 98447 40


≈ -2472,846

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 3 2 e -3x +5 x .

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1 3 2 e -3x +5 x

= [ - 2 3 e -3x +5 ] 1 3

= - 2 3 e -33 +5 + 2 3 e -31 +5

= - 2 3 e -9 +5 + 2 3 e -3 +5

= - 2 3 e -4 + 2 3 e 2


≈ 4,914

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( -5 x 5 -3 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( -5 x 5 -3 sin( x ) ) x

= [ - 5 6 x 6 +3 cos( x ) ] 0 π

= - 5 6 π 6 +3 cos( π ) - ( - 5 6 ( 0 ) 6 +3 cos( 0 ) )

= - 5 6 π 6 +3( -1 ) - ( - 5 6 0 +31 )

= - 5 6 π 6 -3 - (0 +3 )

= -3 - 5 6 π 6 -3

= -3 -3 - 5 6 π 6

= -6 - 5 6 π 6


≈ -807,158

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 3 4 - 3 ( 2x -3 ) 2 x .

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3 4 - 3 ( 2x -3 ) 2 x
= 3 4 -3 ( 2x -3 ) -2 x

= [ 3 2 ( 2x -3 ) -1 ] 3 4

= [ 3 2( 2x -3 ) ] 3 4

= 3 2( 24 -3 ) - 3 2( 23 -3 )

= 3 2( 8 -3 ) - 3 2( 6 -3 )

= 3 2 5 - 3 2 3

= 3 2 ( 1 5 ) - 3 2 ( 1 3 )

= 3 10 - 1 2

= 3 10 - 5 10

= - 1 5


= -0,2