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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 7 f(x) x .

Lösung einblenden

0 7 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) 2 = -6 2 = -3.

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 3 2 = 6 2 = 3.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

0 7 f(x) x = I1 + I2 + I3 = 0 3 f(x) x + 3 5 f(x) x + 5 7 f(x) x = -3 +3 +6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -1 2 ( 5x +3 ) x .

Lösung einblenden
-1 2 ( 5x +3 ) x

= [ 5 2 x 2 +3x ] -1 2

= 5 2 2 2 +32 - ( 5 2 ( -1 ) 2 +3( -1 ) )

= 5 2 4 +6 - ( 5 2 1 -3 )

= 10 +6 - ( 5 2 -3 )

= 16 - ( 5 2 - 6 2 )

= 16 -1 · ( - 1 2 )

= 16 + 1 2

= 32 2 + 1 2

= 33 2


= 16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 16 ( -5 x 2 +4 x ) x .

Lösung einblenden
0 16 ( -5 x 2 +4 x ) x
= 0 16 ( -5 x 2 +4 x 1 2 ) x

= [ - 5 3 x 3 + 8 3 x 3 2 ] 0 16

= [ - 5 3 x 3 + 8 3 ( x ) 3 ] 0 16

= - 5 3 16 3 + 8 3 ( 16 ) 3 - ( - 5 3 0 3 + 8 3 ( 0 ) 3 )

= - 5 3 4096 + 8 3 4 3 - ( - 5 3 0 + 8 3 0 3 )

= - 20480 3 + 8 3 64 - (0 + 8 3 0 )

= - 20480 3 + 512 3 - (0+0)

= -6656 +0

= -6656

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 4 6 - 3 ( 2x -5 ) 4 x .

Lösung einblenden
4 6 - 3 ( 2x -5 ) 4 x
= 4 6 -3 ( 2x -5 ) -4 x

= [ 1 2 ( 2x -5 ) -3 ] 4 6

= [ 1 2 ( 2x -5 ) 3 ] 4 6

= 1 2 ( 26 -5 ) 3 - 1 2 ( 24 -5 ) 3

= 1 2 ( 12 -5 ) 3 - 1 2 ( 8 -5 ) 3

= 1 2 7 3 - 1 2 3 3

= 1 2 ( 1 343 ) - 1 2 ( 1 27 )

= 1 686 - 1 54

= 27 18522 - 343 18522

= - 158 9261


≈ -0,017

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 1 3 sin( x ) -4 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 1 3 sin( x ) -4 cos( x ) ) x

= [ - 1 3 cos( x ) -4 sin( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 1 3 cos( 3 2 π ) -4 sin( 3 2 π ) - ( - 1 3 cos( 1 2 π ) -4 sin( 1 2 π ) )

= - 1 3 0 -4( -1 ) - ( - 1 3 0 -41 )

= 0 +4 - (0 -4 )

= 4 +4

= 8

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 e 3x -7 x .

Lösung einblenden
2 4 e 3x -7 x

= [ 1 3 e 3x -7 ] 2 4

= 1 3 e 34 -7 - 1 3 e 32 -7

= 1 3 e 12 -7 - 1 3 e 6 -7

= 1 3 e 5 - 1 3 e -1


≈ 49,348