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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (5 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (5 x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 1 - (\frac{5}{2} \cdot 9 + 3)$

= $\frac{5}{2} - 1 - (\frac{45}{2} + 3)$

= $\frac{5}{2} - \frac{2}{2} - (\frac{45}{2} + \frac{6}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{51}{2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{51}{2}$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $0 + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (0 + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $\frac{27}{8} \cdot π^{3} - \frac{1}{8} \cdot π^{3}$

= $\frac{13}{4} \cdot π^{3}$

≈ 100,77

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 + 5} + \frac{3}{2} e^{0 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{3} + \frac{3}{2} e^{5}$

≈ 192,491

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - (- 1) - (- 2 \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 2 + 5} + e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $- e^{- 6 + 5} + e^{- 3 + 5}$

= $- e^{- 1} + e^{2}$

≈ 7,021

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel