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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -2 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 2)$

= $\frac{1}{3} + 1 - (- \frac{8}{3} - 2)$

= $\frac{1}{3} + \frac{3}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{6}{3})$

= $\frac{4}{3} - 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $\frac{4}{3} + \frac{14}{3}$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (- 4 \cdot 1 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (- 4 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{1}{3} e^{2 π} - (\frac{1}{3} e^{π} - 4)$

= $\frac{1}{3} e^{2 π} - \frac{1}{3} e^{π} - 1 \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{3} e^{2 π} - \frac{1}{3} e^{π} + 4$

≈ 174,784

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 23}^{- 7} 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 23}^{- 7} 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 23}^{- 7} 2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 23}^{- 7}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 23}^{- 7}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 7) + 2})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 23) + 2})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{7 + 2})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{4}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{4}{3} \cdot 125$

= $- 36 + \frac{500}{3}$

= $- \frac{108}{3} + \frac{500}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 4 \cdot 0 - (1 + 4 \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (- x + π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (- x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (- π + π) - 3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + π)$

= $3 \cdot \cos (0) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel