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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 5 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 5 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 8) - \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $\frac{5}{3} - \frac{5}{2} - (\frac{40}{3} - 10)$

= $\frac{10}{6} - \frac{15}{6} - (\frac{40}{3} - \frac{30}{3})$

= $- \frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{5}{6} - \frac{10}{3}$

= $- \frac{5}{6} - \frac{20}{6}$

= $- \frac{25}{6}$

≈ -4,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (π) + \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (\frac{1}{2} \cdot \cos (0) + \frac{5}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \cdot π^{2} - \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \cdot π^{2}$

= $- 1 + \frac{5}{2} \cdot π^{2}$

≈ 23,674

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 7)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 9 + 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 + 7)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{3} \cdot 343$

= $- \frac{8}{3} - \frac{343}{3}$

= $- 117$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $1 - 3 \cdot 0 - (0 - 3 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 - 3)$

= $1 + 3$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 4} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 4}$

= $\frac{1}{2} e^{- 4 + 4} - \frac{1}{2} e^{0 + 4}$

= $\frac{1}{2} e^{0} - \frac{1}{2} e^{4}$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{4}$

≈ -26,799

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel