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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-1)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -9 -6 = -15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (3 x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 + 3 - (\frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{3}{2} + 3 - (0 + 0)$

= $\frac{3}{2} + \frac{6}{2} + 0$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (9 \sqrt{x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (9 \sqrt{x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (9 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[6 x^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

= ${[6 {(\sqrt{x})}^{3} - 4 \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

$=$ $6 {(\sqrt{16})}^{3} - 4 \cdot \sin (16) - (6 {(\sqrt{1})}^{3} - 4 \cdot \sin (1))$

= $6 \cdot 4^{3} - 4 \cdot \sin (16) - (6 \cdot 1^{3} - 4 \cdot \sin (1))$

= $6 \cdot 64 - 4 \cdot \sin (16) - (6 \cdot 1 - 4 \cdot \sin (1))$

= $384 - 4 \cdot \sin (16) - (6 - 4 \cdot \sin (1))$

= $- 4 \cdot \sin (16) + 384 - (- 4 \cdot \sin (1) + 6)$

= $- 4 \cdot \sin (16) + 384 - 1 \cdot (- 4 \cdot \sin (1)) - 1 \cdot 6$

= $- 4 \cdot \sin (16) + 384 + 4 \cdot \sin (1) - 6$

= $- 4 \cdot \sin (16) + 4 \cdot \sin (1) + 384 - 6$

= $- 4 \cdot \sin (16) + 4 \cdot \sin (1) + 378$

= 382,516

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(2 x - 5)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 1 - 5)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(2 - 5)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(0 - 5)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 5)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 27) - \frac{1}{6} \cdot (- 125)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{125}{6}$

= $- \frac{27}{6} + \frac{125}{6}$

= $\frac{49}{3}$

≈ 16,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 x^{5} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 x^{5} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{6} - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot π^{6} - 4 \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3} \cdot {(0)}^{6} - 4 \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{6} - 4 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 4 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{6} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{6}$

≈ 640,926

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- {(- x + 2)}^{3} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- {(- x + 2)}^{3} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- x + 2)}^{4} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 3 + 2)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 2)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2})$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{5}{2} \cdot 9 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{45}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0 - 10)$

= $\frac{1}{4} - \frac{45}{2} - (0 - 10)$

= $\frac{1}{4} - \frac{90}{4} + 10$

= $- \frac{89}{4} + 10$

= $- \frac{89}{4} + \frac{40}{4}$

= $- \frac{49}{4}$

= -12,25

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Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel