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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +2 +4 +5 = 6.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- 4 + 8 - (- 4 - 8)$

= $- 4 + 8 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- 8)$

= $- 4 + 8 + 4 + 8$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (\frac{5}{x^{4}} - 4 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (\frac{5}{x^{4}} - 4 e^{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (5 x^{- 4} - 4 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{- 3} - 4 e^{x}]}_{1}^{5}$

= ${[- \frac{5}{3 x^{3}} - 4 e^{x}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3 \cdot 5^{3}} - 4 e^{5} - (- \frac{5}{3 \cdot 1^{3}} - 4 e)$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{125}) - 4 e^{5} - (- \frac{5}{3} \cdot 1 - 4 e)$

= $- \frac{1}{75} - 4 e^{5} - (- \frac{5}{3} - 4 e)$

= $- 4 e^{5} - \frac{1}{75} - 1 \cdot (- \frac{5}{3}) - 1 \cdot (- 4 e)$

= $- 4 e^{5} - \frac{1}{75} + \frac{5}{3} + 4 e$

= $- 4 e^{5} + \frac{124}{75} + 4 e$

≈ -581,126

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot π - π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \cos (π) + \cos (0)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{5}{4} \cdot \cos (0) + 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{5}{4} \cdot 0 + 5 \cdot 1 - (- \frac{5}{4} \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $0 + 5 - (- \frac{5}{4} + 0)$

= $5 - (- \frac{5}{4} + 0)$

= $5 + \frac{5}{4}$

= $\frac{20}{4} + \frac{5}{4}$

= $\frac{25}{4}$

= 6,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 2 + 3} + e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $- e^{- 6 + 3} + e^{- 3 + 3}$

= $- e^{- 3} + e^{0}$

= $- e^{- 3} + 1$

≈ 0,95

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel