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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 8 f(x) x .

Lösung einblenden

3 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

I3 = 6 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

Somit gilt:

3 8 f(x) x = I2 + I3 = 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x = 3 -4 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 4 ( -4 x 2 - x ) x .

Lösung einblenden
0 4 ( -4 x 2 - x ) x

= [ - 4 3 x 3 - 1 2 x 2 ] 0 4

= - 4 3 4 3 - 1 2 4 2 - ( - 4 3 0 3 - 1 2 0 2 )

= - 4 3 64 - 1 2 16 - ( - 4 3 0 - 1 2 0 )

= - 256 3 -8 - (0+0)

= - 256 3 - 24 3 +0

= - 280 3


≈ -93,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 6 cos( x ) -2 e -3x ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 6 cos( x ) -2 e -3x ) x

= [ 6 sin( x ) + 2 3 e -3x ] 1 2 π π

= 6 sin( π ) + 2 3 e -3π - ( 6 sin( 1 2 π ) + 2 3 e -3( 1 2 π ) )

= 60 + 2 3 e -3π - ( 61 + 2 3 e -3( 1 2 π ) )

= 0 + 2 3 e -3π - ( 6 + 2 3 e -3( 1 2 π ) )

= 2 3 e -3π - ( 2 3 e - 3 2 π +6 )

= 2 3 e -3π - 2 3 e - 3 2 π -1 · 6

= 2 3 e -3π - 2 3 e - 3 2 π -6

= - 2 3 e - 3 2 π + 2 3 e -3π -6


≈ -6,006

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π cos( 3x - 3 2 π) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π cos( 3x - 3 2 π) x

= [ 1 3 sin( 3x - 3 2 π) ] 0 3 2 π

= 1 3 sin( 3( 3 2 π ) - 3 2 π) - 1 3 sin( 3( 0 ) - 3 2 π)

= 1 3 sin(3π) - 1 3 sin( - 3 2 π)

= 1 3 0 - 1 3 1

= 0 - 1 3

= 0 - 1 3

= - 1 3


≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( -4 cos( x ) + 9 4 x 2 ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( -4 cos( x ) + 9 4 x 2 ) x
= 1 2 π 3 2 π ( -4 cos( x ) + 9 4 x -2 ) x

= [ -4 sin( x ) - 9 4 x -1 ] 1 2 π 3 2 π

= [ -4 sin( x ) - 9 4 x ] 1 2 π 3 2 π

= -4 sin( 3 2 π ) - 9 4 3 2 π - ( -4 sin( 1 2 π ) - 9 4 1 2 π )

= -4( -1 ) - 9 4 3 2 π - ( -41 - 9 4 1 2 π )

= 4 - 9 4 3 2 π - ( -4 - 9 4 1 2 π )

= 4 - 3 2 π - ( -4 - 9 2 π )

= 4 - 3 2 π -1 · ( -4 ) -1 · ( - 9 2 π )

= 4 - 3 2 π +4 + 9 2 π

= 4 +4 - 3 2 π + 9 2 π

= 8 + 3 π


≈ 8,955

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 -3 ( x -1 ) 2 x .

Lösung einblenden
2 4 -3 ( x -1 ) 2 x

= [ - ( x -1 ) 3 ] 2 4

= - ( 4 -1 ) 3 + ( 2 -1 ) 3

= - 3 3 + 1 3

= -27 + 1

= -26