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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +2 +6 +7.5 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[x^{3} - 4 x]}_{1}^{2}$

$=$ $2^{3} - 4 \cdot 2 - (1^{3} - 4 \cdot 1)$

= $8 - 8 - (1 - 4)$

= $8 - 8 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 4)$

= $8 - 8 - 1 + 4$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 6 \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} \cdot \cos (0))$

= $- 6 \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot 0 - (- 6 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $6 + 0 - (0 + \frac{2}{3})$

= $6 - (0 + \frac{2}{3})$

= $6 - \frac{2}{3}$

= $\frac{18}{3} - \frac{2}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(8 - 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot (- 8)$

= $\frac{32}{3} + \frac{4}{3}$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot 0 - 5 \cdot 1 - (5 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $0 - 5 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot π + π) + \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \cos (- π) + \cos (0)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel