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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +6 +12 = 15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 0^{2} + 3 \cdot 0 - (- {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $- 0 + 0 - (- 9 - 9)$

= $- 1 \cdot (- 9) - 1 \cdot (- 9)$

= $9 + 9$

= $18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- \frac{2}{x^{2}} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- \frac{2}{x^{2}} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- 2 x^{- 2} + 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} + 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{16}$

= ${[\frac{2}{x} + 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{16}$

$=$ $\frac{2}{16} + 2 {(\sqrt{16})}^{3} - (\frac{2}{1} + 2 {(\sqrt{1})}^{3})$

= $2 \cdot (\frac{1}{16}) + 2 \cdot 4^{3} - (2 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{3})$

= $\frac{1}{8} + 2 \cdot 64 - (2 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{8} + 128 - (2 + 2)$

= $\frac{1}{8} + \frac{1024}{8} - 1 \cdot 4$

= $\frac{1025}{8} - 4$

= $\frac{1025}{8} - \frac{32}{8}$

= $\frac{993}{8}$

= 124,125

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} - 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} - 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} - 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[- \frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $- \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{4}{9} \cdot 5^{3} + \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{4}{9} \cdot 125 + \frac{4}{9} \cdot 64$

= $- \frac{500}{9} + \frac{256}{9}$

= $- \frac{244}{9}$

≈ -27,111

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $7 \cdot \cos (π) - \sin (π) - (7 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $7 \cdot (- 1) - 0 - (7 \cdot 1 - 0)$

= $- 7 + 0 - (7 + 0)$

= $- 7 - 7$

= $- 14$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{3 \cdot 4 - 3} - e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $e^{12 - 3} - e^{6 - 3}$

= $e^{9} - e^{3}$

≈ 8082,998

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel