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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (2 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (2 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{16}{3} + 8 - (\frac{2}{3} + 2)$

= $\frac{16}{3} + \frac{24}{3} - (\frac{2}{3} + \frac{6}{3})$

= $\frac{40}{3} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $\frac{40}{3} - \frac{8}{3}$

= $\frac{32}{3}$

≈ 10,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 0 - (- 0 - 1)$

= $1 + 0 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- 2 π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (π) + 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (0) + 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{9}{4} \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- \frac{9}{4} \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $\frac{9}{4} + 0 - (- \frac{9}{4} + 0)$

= $\frac{9}{4} + \frac{9}{4}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{3 \cdot 5 - 5} - e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $e^{15 - 5} - e^{6 - 5}$

= $e^{10} - e$

≈ 22023,748

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel