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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-2 +(-1)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 1.5 ) = -3.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -2 -4 -3 -2 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 5 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 5 x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 1)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 - 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 1)$

= $- 10 - 2 - (- \frac{5}{2} - 1)$

= $- 12 - (- \frac{5}{2} - \frac{2}{2})$

= $- 12 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- 12 + \frac{7}{2}$

= $- \frac{24}{2} + \frac{7}{2}$

= $- \frac{17}{2}$

= -8,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{2}{x^{2}} + 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{2}{x^{2}} + 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (2 x^{- 2} + 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 1} - 7 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{2}{x} - 7 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{2}{2 π} - 7 \cdot \cos (2 π) - (- \frac{2}{π} - 7 \cdot \cos (π))$

= $- \frac{2}{2 π} - 7 \cdot 1 - (- \frac{2}{π} - 7 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{2 π} - 7 - (- \frac{2}{π} + 7)$

= $- 7 - \frac{1}{π} - (7 - \frac{2}{π})$

= $- 7 - \frac{1}{π} - 1 \cdot 7 - 1 \cdot (- \frac{2}{π})$

= $- 7 - \frac{1}{π} - 7 + \frac{2}{π}$

= $- 7 - 7 - \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

= $- 14 + \frac{1}{π}$

≈ -13,682

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 1 + 5} - e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 2 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{3} - e^{5}$

≈ -128,328

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (3 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (3 + 0)$

= $4 - 3$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ 49,348

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel