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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -2 +4.5 +9 = 11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- 4 + 8 - (- 4 - 8)$

= $- 4 + 8 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- 8)$

= $- 4 + 8 + 4 + 8$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) - 8 e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) - 8 e^{3 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} e^{3 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- \frac{9}{2} \cdot \sin (0) - \frac{8}{3} e^{3 \cdot (0)})$

= $- \frac{9}{2} \cdot 1 - \frac{8}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- \frac{9}{2} \cdot 0 - \frac{8}{3} e^{0})$

= $- \frac{9}{2} - \frac{8}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - \frac{8}{3})$

= $- \frac{8}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{9}{2} - (0 - \frac{8}{3})$

= $- \frac{8}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{9}{2} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{8}{3} e^{\frac{3}{2} π} - \frac{11}{6}$

≈ -298,681

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot π + π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \cos (3 π) + \cos (2 π)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + 7 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 + 7 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $0 - 7 - (- 4 + 0)$

= $- 7 + 4$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (3 {(3 x - 4)}^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (3 {(3 x - 4)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{3} + 2 x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{3} + 2 \cdot 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3} + 2 \cdot 2^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot {(9 - 4)}^{3} + 2 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 4)}^{3} + 2 \cdot 4)$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 8)$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 8)$

= $\frac{125}{3} + 18 - (\frac{8}{3} + 8)$

= $\frac{125}{3} + \frac{54}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $\frac{179}{3} - 1 \cdot \frac{32}{3}$

= $\frac{179}{3} - \frac{32}{3}$

= $49$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel