Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 -12 = -13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4)$

= $9 - 12 - (\frac{1}{3} - 4)$

= $- 3 - (\frac{1}{3} - \frac{12}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $- 3 + \frac{11}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{11}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 e^{x} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 e^{x} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (- 3 e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 3 e^{x} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4}$

= ${[- 3 e^{x} - \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $- 3 e^{4} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - (- 3 e^{0} - \frac{4}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- 3 e^{4} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - (- 3 - \frac{4}{3} \cdot 0^{3})$

= $- 3 e^{4} - \frac{4}{3} \cdot 8 - (- 3 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- 3 e^{4} - \frac{32}{3} - (- 3 + 0)$

= $- 3 e^{4} - \frac{32}{3} + 3$

= $- 3 e^{4} - \frac{23}{3}$

≈ -171,461

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \sin (- 2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{7}{2} π) + \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) + 4 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) + 4 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{4}{5} x^{5}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- \cos (0) + \frac{4}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $- 0 + \frac{4}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- 1 + \frac{4}{5} \cdot 0)$

= $0 + \frac{4}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{40} \cdot π^{5} + 1$

≈ 8,65

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 5 + 7} + e^{- 3 \cdot 2 + 7}$

= $- e^{- 15 + 7} + e^{- 6 + 7}$

= $- e^{- 8} + e$

≈ 2,718

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel