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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -6 -8 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 3 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 - 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{27}{2} - 6 - (0 + 0)$

= $- \frac{27}{2} - \frac{12}{2} + 0$

= $- \frac{39}{2}$

= -19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - x^{3}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 5 \cdot \sin (0) - \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 5 \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 5 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $- 5 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- 5 - \frac{1}{64} \cdot π^{4} + 0$

= $- 5 - \frac{1}{64} \cdot π^{4}$

≈ -6,522

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} ({(x - 2)}^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} ({(x - 2)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 0)$

= $0 + 6 - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $6 - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $6 + \frac{8}{3}$

= $\frac{18}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{26}{3}$

≈ 8,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - (- \frac{5}{4} \cdot \cos (0) - \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{5}{4} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{5}{4} + 0 - (- \frac{5}{4} + 0)$

= $\frac{5}{4} + \frac{5}{4}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{6} \frac{2}{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{6} \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{6} 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{6}$

$=$ $2 \ln (| 6 - 3 |) - 2 \ln (| 5 - 3 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (| 5 - 3 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (2)$

≈ 0,811

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel