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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 -6 -5 = -13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (- 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 1 + \frac{1}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + 0$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (5 e^{3 x} + x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (5 e^{3 x} + x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - (\frac{5}{3} e^{3 \cdot (- 2)} + \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4})$

= $\frac{5}{3} e^{3} + \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{5}{3} e^{- 6} + \frac{1}{4} \cdot 16)$

= $\frac{5}{3} e^{3} + \frac{1}{4} - (\frac{5}{3} e^{- 6} + 4)$

= $\frac{5}{3} e^{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{3} e^{- 6} - 1 \cdot 4$

= $\frac{5}{3} e^{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{3} e^{- 6} - 4$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 6} + \frac{1}{4} - 4$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 6} - \frac{15}{4}$

≈ 29,722

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (0) + 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 5} - e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $e^{- 12 + 5} - e^{- 3 + 5}$

= $e^{- 7} - e^{2}$

≈ -7,388

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel