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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{2} - 5 \cdot 0 - (- {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- 1 + 5)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 5$

= $1 - 5$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{5} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $3 \cdot (- 1) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (3 \cdot 1 - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- 3 - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (3 - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- 3 - \frac{729}{160} \cdot π^{5} - (3 - \frac{3}{160} \cdot π^{5})$

= $- 3 - \frac{729}{160} \cdot π^{5} - 1 \cdot 3 - 1 \cdot (- \frac{3}{160} \cdot π^{5})$

= $- 3 - \frac{729}{160} \cdot π^{5} - 3 + \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

= $- 3 - 3 - \frac{729}{160} \cdot π^{5} + \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

= $- 6 - \frac{363}{80} \cdot π^{5}$

≈ -1394,564

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[{(- x + 3)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ ${(- 2 + 3)}^{3} - {(- 1 + 3)}^{3}$

= $1^{3} - 2^{3}$

= $1 - 8$

= $- 7$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- \frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{1}{3} e^{\frac{9}{2} π} + \frac{1}{3} e^{\frac{3}{2} π}$

≈ -459766,463

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 1} - e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $e^{8 - 1} - e^{4 - 1}$

= $e^{7} - e^{3}$

≈ 1076,548

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel