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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +3 +9 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (5 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (5 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 + 9 - (\frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $45 + 9 - (0 + 0)$

= $54 + 0$

= $54$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 4 \cdot 0 - (- 1 - 4 \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{2 \cdot 3 - 2} + e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $- e^{6 - 2} + e^{4 - 2}$

= $- e^{4} + e^{2}$

≈ -47,209

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 6 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 6 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \frac{6}{5} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $\frac{1}{2} + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- \frac{1}{2} + \frac{6}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $\frac{1}{2} + \frac{729}{80} \cdot π^{5} - (- \frac{1}{2} + \frac{3}{80} \cdot π^{5})$

= $\frac{1}{2} + \frac{729}{80} \cdot π^{5} - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot \frac{3}{80} \cdot π^{5}$

= $\frac{1}{2} + \frac{729}{80} \cdot π^{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{80} \cdot π^{5}$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{729}{80} \cdot π^{5} - \frac{3}{80} \cdot π^{5}$

= $1 + \frac{363}{40} \cdot π^{5}$

≈ 2778,129

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 8 + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 7} + \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 0,183

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel