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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 -6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 8)$

= $- \frac{16}{3} - 8 - (\frac{16}{3} + 8)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{24}{3} - (\frac{16}{3} + \frac{24}{3})$

= $- \frac{40}{3} - 1 \cdot \frac{40}{3}$

= $- \frac{40}{3} - \frac{40}{3}$

= $- \frac{80}{3}$

≈ -26,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} e^{x} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} e^{x} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} e^{x} - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot 0 - (- \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} + 0 - (- \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π} + 0)$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} + \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π}$

≈ -177,512

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{5}{4} x^{4} - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{5}{4} x^{4} - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{5} + 7 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot π^{5} + 7 \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{5} + 7 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{5} + 7 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + 7 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{4} \cdot π^{5} - 7 - (0 + 7)$

= $- 7 - \frac{1}{4} \cdot π^{5} - 7$

= $- 7 - 7 - \frac{1}{4} \cdot π^{5}$

= $- 14 - \frac{1}{4} \cdot π^{5}$

≈ -90,505

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 5 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 10 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6} + \frac{1}{2} e^{0}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6} + \frac{1}{2}$

≈ 0,499

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel