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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -1 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 x + 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} + x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 2 - (- 0^{2} + 0)$

= $- 4 + 2 - (- 0 + 0)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + x^{2}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (π) + \frac{1}{3} \cdot π^{3} - (\frac{7}{2} \cdot \cos (0) + \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $\frac{7}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot π^{3} - (\frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{7}{2} + \frac{1}{3} \cdot π^{3} - (\frac{7}{2} + 0)$

= $- \frac{7}{2} + \frac{1}{3} \cdot π^{3} - \frac{7}{2}$

= $- \frac{7}{2} - \frac{7}{2} + \frac{1}{3} \cdot π^{3}$

= $- 7 + \frac{1}{3} \cdot π^{3}$

≈ 3,335

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (0) + 2 \cdot \cos (π)$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $0 + 2 - (0 - 2)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 {(- 3 x + 4)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 {(- 3 x + 4)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 4)}^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 4)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 12 + 4)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3 + 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot 1^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 4 096 + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{2048}{3} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{4096}{6} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{1365}{2}$

= -682,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel