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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 - 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} - 12 - (0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} - \frac{24}{2} + 0$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{2 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{2 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} e^{2 x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} - 5 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} - 5 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} + 5 - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} + 5 + \frac{5}{2} e^{π}$

= $- \frac{5}{2} e^{2 π} + \frac{5}{2} e^{π} + 5$

≈ -1275,877

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + \cos (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (π) + \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 e^{- 3 x} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 e^{- 3 x} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[e^{- 3 x} - 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $e^{- 3 \cdot π} - 9 \cdot \sin (π) - (e^{- 3 \cdot (0)} - 9 \cdot \sin (0))$

= $e^{- 3 \cdot π} - 9 \cdot 0 - (e^{0} - 9 \cdot 0)$

= $e^{- 3 \cdot π} + 0 - (1 + 0)$

= $e^{- 3 π} - 1$

≈ -1

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} 2 \sqrt{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} 2 \sqrt{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} 2 {(- 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 2 x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 x + 2})}^{3}]}_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{7}{2}) + 2})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{23}{2}) + 2})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{7 + 2})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{2}{3} \cdot 125$

= $- 18 + \frac{250}{3}$

= $- \frac{54}{3} + \frac{250}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel