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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (3 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (3 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - ({(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2})$

= $0 + 2 \cdot 0 - ((- 1) + 2 \cdot 1)$

= $0 + 0 - (- 1 + 2)$

= $0 - 1 \cdot 1$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} e^{3 x} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} e^{3 x} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{9} e^{3 x} + \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{9} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{7}{9} e^{3 \cdot (0)} + \cos (0))$

= $\frac{7}{9} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{7}{9} e^{0} + 1)$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{9}{2} π} - (\frac{7}{9} + 1)$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{9}{2} π} - (\frac{7}{9} + \frac{9}{9})$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{9}{2} π} - 1 \cdot \frac{16}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{9}{2} π} - \frac{16}{9}$

≈ 1072873,216

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{3} x^{4} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{3} x^{4} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{5} - 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot π^{5} - 8 \cdot \cos (π) - (\frac{2}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{15} \cdot π^{5} - 8 \cdot (- 1) - (\frac{2}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 8 \cdot 0)$

= $\frac{2}{15} \cdot π^{5} + 8 - (\frac{2}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $8 + \frac{2}{15} \cdot π^{5} - \frac{1}{240} \cdot π^{5}$

= $8 + \frac{31}{240} \cdot π^{5}$

≈ 47,528

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 4} - e^{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $e^{- 6 + 4} - e^{- 3 + 4}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel