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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -3 -9 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $0 + 0 - (\frac{16}{3} - 4)$

= $0 - (\frac{16}{3} - \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{x^{4}} - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{x^{4}} - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 x^{- 4} - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{- 3} - 6 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{2}{3 x^{3}} - 6 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3 π^{3}} - 6 \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π^{3}} - 6 \cdot 0 - (\frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 6 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3 π^{3}} + 0 - (\frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 6)$

= $\frac{2}{3 π^{3}} - (- 6 + \frac{16}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- 6) - 1 \cdot \frac{16}{3 π^{3}} + \frac{2}{3 π^{3}}$

= $6 - \frac{16}{3 π^{3}} + \frac{2}{3 π^{3}}$

= $6 - \frac{14}{3 π^{3}}$

≈ 5,849

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 6 + 1} + \frac{3}{2} e^{0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 5} + \frac{3}{2} e$

≈ 4,067

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 3} - 2 e^{- 2 + 3}$

= $2 e^{0} - 2 e$

= $2 - 2 e$

≈ -3,437

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel