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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 4 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + 4 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 4)$

= $- \frac{2}{3} + 4 - (\frac{2}{3} - 4)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{12}{3} - (\frac{2}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{10}{3} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $\frac{10}{3} + \frac{10}{3}$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} x^{2}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) + \frac{1}{4} \cdot π^{3} - (4 \cdot \sin (0) + \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{3})$

= $4 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot π^{3} - (4 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{4} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{4} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{1}{4} \cdot π^{3}$

≈ 7,752

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{6 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(3 \cdot 5 - 4)}^{2}} + \frac{1}{6 {(3 \cdot 2 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(15 - 4)}^{2}} + \frac{1}{6 {(6 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 \cdot 11^{2}} + \frac{1}{6 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{121}) + \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{726} + \frac{1}{24}$

= $- \frac{4}{2904} + \frac{121}{2904}$

= $\frac{39}{968}$

≈ 0,04

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + \sin (π) - (- 2 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 0 - (- 2 \cdot 1 + 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (π) - \sin (0)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel