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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 +6 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 4 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 4 x - 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - x]}_{1}^{4}$

$=$ $- 2 \cdot 4^{2} - 4 - (- 2 \cdot 1^{2} - 1)$

= $- 2 \cdot 16 - 4 - (- 2 \cdot 1 - 1)$

= $- 32 - 4 - (- 2 - 1)$

= $- 36 - 1 \cdot (- 3)$

= $- 36 + 3$

= $- 33$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- \frac{3}{4} e^{- 2 x} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- \frac{3}{4} e^{- 2 x} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- \frac{3}{4} e^{- 2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{8} e^{- 2 x} + 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[\frac{3}{8} e^{- 2 x} + 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{16}$

$=$ $\frac{3}{8} e^{- 2 \cdot 16} + 2 {(\sqrt{16})}^{3} - (\frac{3}{8} e^{- 2 \cdot 4} + 2 {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{3}{8} e^{- 32} + 2 \cdot 4^{3} - (\frac{3}{8} e^{- 8} + 2 \cdot 2^{3})$

= $\frac{3}{8} e^{- 32} + 2 \cdot 64 - (\frac{3}{8} e^{- 8} + 2 \cdot 8)$

= $\frac{3}{8} e^{- 32} + 128 - (\frac{3}{8} e^{- 8} + 16)$

= $- \frac{3}{8} e^{- 8} - 1 \cdot 16 + \frac{3}{8} e^{- 32} + 128$

= $- \frac{3}{8} e^{- 8} - 16 + \frac{3}{8} e^{- 32} + 128$

= $- \frac{3}{8} e^{- 8} + \frac{3}{8} e^{- 32} - 16 + 128$

= $- \frac{3}{8} e^{- 8} + \frac{3}{8} e^{- 32} + 112$

≈ 112

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 2} - e^{- 1 + 2}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (- 2 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (- 2 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (- 2 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot \sin (x)]}_{1}^{9}$

= ${[- \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 3 \cdot \sin (x)]}_{1}^{9}$

$=$ $- \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{9})}^{4} + 3 \cdot \sin (9) - (- \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{1})}^{4} + 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1^{4} + 3 \cdot \sin (9) - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{4} + 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3 \cdot \sin (9) - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{3}{2} + 3 \cdot \sin (9) - (- \frac{3}{2} + 3 \cdot \sin (1))$

= $3 \cdot \sin (9) - \frac{3}{2} - (3 \cdot \sin (1) - \frac{3}{2})$

= $3 \cdot \sin (9) - \frac{3}{2} - 1 \cdot 3 \cdot \sin (1) - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $3 \cdot \sin (9) - \frac{3}{2} - 3 \cdot \sin (1) + \frac{3}{2}$

= $3 \cdot \sin (9) - 3 \cdot \sin (1) - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3 \cdot \sin (9) - 3 \cdot \sin (1) + 0$

≈ -27,868

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{9 - 5} + \frac{2}{3} e^{3 - 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{4} + \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ -36,309

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel