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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4 +2 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 2 \cdot 3^{2} + 3 - (- 2 \cdot 0^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot 9 + 3 - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 18 + 3 - (0 + 0)$

= $- 15 + 0$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[\cos (x) - \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (π) - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (\cos (0) - \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 1 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (1 - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- 1 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (1 + 0)$

= $- 1 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - 1$

= $- 1 - 1 - \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

= $- 2 - \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

≈ -75,057

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{11}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{2} e^{- x} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{2} e^{- x} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- x} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{2} e^{- (0)} - \frac{3}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{0} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0 - (\frac{1}{2} - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} π} - (\frac{2}{4} - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{1}{4}$

≈ 0,354

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- {(2 x - 5)}^{2} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- {(2 x - 5)}^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(2 x - 5)}^{3} + 3 x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 3 - 5)}^{3} + 3 \cdot 3^{2} - (- \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 2 - 5)}^{3} + 3 \cdot 2^{2})$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(6 - 5)}^{3} + 3 \cdot 9 - (- \frac{1}{6} \cdot {(4 - 5)}^{3} + 3 \cdot 4)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 27 - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{3} + 12)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 1 + 27 - (- \frac{1}{6} \cdot (- 1) + 12)$

= $- \frac{1}{6} + 27 - (\frac{1}{6} + 12)$

= $- \frac{1}{6} + \frac{162}{6} - (\frac{1}{6} + \frac{72}{6})$

= $\frac{161}{6} - 1 \cdot \frac{73}{6}$

= $\frac{161}{6} - \frac{73}{6}$

= $\frac{44}{3}$

≈ 14,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel