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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 = -18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (4 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (4 x + 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 2 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 4 + 4 - (2 \cdot 1 - 2)$

= $8 + 4 - (2 - 2)$

= $12 - 1 \cdot 0$

= $12 + 0$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 x^{2} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 x^{2} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} - 4 \cdot \sin (π) - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} - 4 \cdot 0 - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 4 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} + 0 - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 4)$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (- 4 - \frac{1}{6} \cdot π^{3})$

= $- 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- \frac{1}{6} \cdot π^{3}) - \frac{4}{3} \cdot π^{3}$

= $4 + \frac{1}{6} \cdot π^{3} - \frac{4}{3} \cdot π^{3}$

= $4 - \frac{7}{6} \cdot π^{3}$

≈ -32,174

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x$ .

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\int_{3}^{6} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 \cdot 6 - 2)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(12 - 2)}^{2}} + \frac{1}{4 {(6 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 \cdot 10^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{100}) + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{400} + \frac{1}{64}$

= $- \frac{4}{1600} + \frac{25}{1600}$

= $\frac{21}{1600}$

≈ 0,013

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 6 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{4} \cdot \cos (0) - 6 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{4} \cdot 0 - 6 \cdot 1 - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 6 \cdot 0)$

= $0 - 6 - (\frac{1}{4} + 0)$

= $- 6 - (\frac{1}{4} + 0)$

= $- 6 - \frac{1}{4}$

= $- \frac{24}{4} - \frac{1}{4}$

= $- \frac{25}{4}$

= -6,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 3 + 1} - e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $e^{- 6 + 1} - e^{- 4 + 1}$

= $e^{- 5} - e^{- 3}$

≈ -0,043

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel