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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +1 +2 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 + 8 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- 24 + 8 - (- \frac{3}{2} + 2)$

= $- 16 - (- \frac{3}{2} + \frac{4}{2})$

= $- 16 - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- 16 - \frac{1}{2}$

= $- \frac{32}{2} - \frac{1}{2}$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) - 4 x) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) - 2 x^{2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $7 \cdot \sin (π) - 2 \cdot π^{2} - (7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $7 \cdot 0 - 2 \cdot π^{2} - (7 \cdot 1 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $0 - 2 \cdot π^{2} - (7 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $- 2 \cdot π^{2} - (7 - \frac{1}{2} \cdot π^{2})$

= $- 1 \cdot 7 - 1 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot π^{2}) - 2 \cdot π^{2}$

= $- 7 + \frac{1}{2} \cdot π^{2} - 2 \cdot π^{2}$

= $- 7 - \frac{3}{2} \cdot π^{2}$

≈ -21,804

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 5} - e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $e^{6 - 5} - e^{4 - 5}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 4 e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 4 e^{3 x}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} e^{3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - (5 \cdot 0 + \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 5 + \frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - (0 + \frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{4}{3} e^{3 \cdot π} - 5 - \frac{4}{3} e^{\frac{3}{2} π}$

= $\frac{4}{3} e^{3 π} - \frac{4}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 5$

≈ 16368,773

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel