Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -1.5 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2) - (- {(- 3)}^{3} + 4 \cdot (- 3))$

= $- (- 8) - 8 - (- (- 27) - 12)$

= $8 - 8 - (27 - 12)$

= $0 - 1 \cdot 15$

= $0 - 15$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 3 e^{- x} - \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 3 e^{- x} - \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- 3 e^{- x} - x^{- 3}) ⅆ x

= ${[3 e^{- x} + \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{1}^{5}$

= ${[3 e^{- x} + \frac{1}{2 x^{2}}]}_{1}^{5}$

$=$ $3 e^{- 5} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}} - (3 e^{- 1} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

= $3 e^{- 5} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{25}) - (3 e^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $3 e^{- 5} + \frac{1}{50} - (3 e^{- 1} + \frac{1}{2})$

= $- 3 e^{- 1} - 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 e^{- 5} + \frac{1}{50}$

= $- 3 e^{- 1} - \frac{1}{2} + 3 e^{- 5} + \frac{1}{50}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e^{- 5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{50}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e^{- 5} - \frac{12}{25}$

≈ -1,563

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- 8 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 0 - (- 0 - 1)$

= $1 + 0 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(- 3 x + 7)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 12 + 7)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 7)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 5)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot 1^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 125) - \frac{1}{9} \cdot 1$

= $- \frac{125}{9} - \frac{1}{9}$

= $- 14$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel