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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{1}{2} + 1 - (\frac{1}{2} - 1)$

= $\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 2 e^{- 2 x} + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 2 e^{- 2 x} + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[e^{- 2 x} + \frac{3}{4} x^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 3} + \frac{3}{4} \cdot 3^{4} - (e^{- 2 \cdot 1} + \frac{3}{4} \cdot 1^{4})$

= $e^{- 6} + \frac{3}{4} \cdot 81 - (e^{- 2} + \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $e^{- 6} + \frac{243}{4} - (e^{- 2} + \frac{3}{4})$

= $- e^{- 2} - 1 \cdot \frac{3}{4} + e^{- 6} + \frac{243}{4}$

= $- e^{- 2} - \frac{3}{4} + e^{- 6} + \frac{243}{4}$

= $- e^{- 2} + e^{- 6} - \frac{3}{4} + \frac{243}{4}$

= $- e^{- 2} + e^{- 6} + 60$

≈ 59,867

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{12 - 6} + \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{6} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{6} + \frac{2}{3}$

≈ -268,286

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot (- 1) - \frac{7}{4} \cdot 0 - (- 5 \cdot 1 - \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $5 + 0 - (- 5 + 0)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (- π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (- π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1)$

= $0 - 3$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel