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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4.5 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (2 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (2 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) - 3)$

= $- \frac{2}{3} - 1 - (- 18 - 3)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{3}{3} - 1 \cdot (- 21)$

= $- \frac{5}{3} + 21$

= $- \frac{5}{3} + \frac{63}{3}$

= $\frac{58}{3}$

≈ 19,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{4} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{4} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{5} x^{5} - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - 9 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 9 \cdot 0 - (\frac{1}{5} \cdot 0 - 9 \cdot 1)$

= $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0 - (0 - 9)$

= $\frac{1}{160} \cdot π^{5} + 9$

≈ 10,913

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 5} + e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- e^{4 - 5} + e^{0 - 5}$

= $- e^{- 1} + e^{- 5}$

≈ -0,361

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (- x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - π) - 3 \cdot \cos (- (0) - π)$

= $3 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (- π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1)$

= $0 + 3$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel