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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I3 = 5 7 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 3 2 = 6 2 = 3.

I4 = 7 10 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 2 f(x) x + 2 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 10 f(x) x = -8 -6 +3 +9 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 ( -3 x 2 +1 ) x .

Lösung einblenden
0 3 ( -3 x 2 +1 ) x

= [ - x 3 + x ] 0 3

= - 3 3 +3 - ( - 0 3 +0)

= -27 +3 - ( -0 +0)

= -27 +3

= -24

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( -2 e 3x - 1 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( -2 e 3x - 1 2 cos( x ) ) x

= [ - 2 3 e 3x - 1 2 sin( x ) ] 0 π

= - 2 3 e 3π - 1 2 sin( π ) - ( - 2 3 e 3( 0 ) - 1 2 sin( 0 ) )

= - 2 3 e 3π - 1 2 0 - ( - 2 3 e 0 - 1 2 0 )

= - 2 3 e 3π +0 - ( - 2 3 +0)

= - 2 3 e 3π - ( - 2 3 +0)

= - 2 3 e 3π + 2 3


≈ -8260,432

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 ( ( -x +3 ) 2 +3 ) x .

Lösung einblenden
2 3 ( ( -x +3 ) 2 +3 ) x

= [ - 1 3 ( -x +3 ) 3 +3x ] 2 3

= - 1 3 ( -3 +3 ) 3 +33 - ( - 1 3 ( -2 +3 ) 3 +32 )

= - 1 3 0 3 +9 - ( - 1 3 1 3 +6 )

= - 1 3 0 +9 - ( - 1 3 1 +6 )

= 0 +9 - ( - 1 3 +6 )

= 9 - ( - 1 3 + 18 3 )

= 9 -1 · 17 3

= 9 - 17 3

= 27 3 - 17 3

= 9 - 17 3

= 27 3 - 17 3

= 10 3


≈ 3,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π ( 3 x 4 - 9 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π ( 3 x 4 - 9 2 cos( x ) ) x

= [ 3 5 x 5 - 9 2 sin( x ) ] 0 3 2 π

= 3 5 ( 3 2 π ) 5 - 9 2 sin( 3 2 π ) - ( 3 5 ( 0 ) 5 - 9 2 sin( 0 ) )

= 3 5 ( 3 2 π ) 5 - 9 2 ( -1 ) - ( 3 5 0 - 9 2 0 )

= 3 5 ( 3 2 π ) 5 + 9 2 - (0+0)

= 9 2 + 729 160 π 5 +0

= 9 2 + 729 160 π 5


≈ 1398,802

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 -3 e -3x +4 x .

Lösung einblenden
1 2 -3 e -3x +4 x

= [ e -3x +4 ] 1 2

= e -32 +4 - e -31 +4

= e -6 +4 - e -3 +4

= e -2 - e

= e -2 - e


≈ -2,583