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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -8 -6 +6 +8 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 2 \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{8}{3} + 8)$

= $0 - (- \frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 e^{π} - \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - (5 e^{0} - \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $5 e^{π} - \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (5 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $5 e^{π} + \frac{5}{2} - (5 - \frac{5}{2})$

= $5 e^{π} + \frac{5}{2} - (\frac{10}{2} - \frac{5}{2})$

= $5 e^{π} + \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $5 e^{π} + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

= $5 e^{π} + 0$

≈ 115,703

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 3} - 2 e^{- 2 + 3}$

= $2 e^{0} - 2 e$

= $2 - 2 e$

≈ -3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $0 - \frac{2}{3} - (0 + \frac{2}{3})$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel