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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- 0^{3} + 0 - (- {(- 2)}^{3} - 2)$

= $- 0 + 0 - (- (- 8) - 2)$

= $0 + 0 - (8 - 2)$

= $0 - 1 \cdot 6$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (4 x^{3} - \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (4 x^{3} - \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{2} (4 x^{3} - 5 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[x^{4} + \frac{5}{3} x^{- 3}]}_{1}^{2}$

= ${[x^{4} + \frac{5}{3 x^{3}}]}_{1}^{2}$

$=$ $2^{4} + \frac{5}{3 \cdot 2^{3}} - (1^{4} + \frac{5}{3 \cdot 1^{3}})$

= $16 + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - (1 + \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $16 + \frac{5}{24} - (1 + \frac{5}{3})$

= $\frac{384}{24} + \frac{5}{24} - (\frac{3}{3} + \frac{5}{3})$

= $\frac{389}{24} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $\frac{389}{24} - \frac{8}{3}$

= $\frac{389}{24} - \frac{64}{24}$

= $\frac{325}{24}$

≈ 13,542

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{6 - 5} + \frac{1}{2} e^{0 - 5}$

= $- \frac{1}{2} e + \frac{1}{2} e^{- 5}$

≈ -1,356

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (4 \cdot \cos (x) + 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (4 \cdot \cos (x) + 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (4 \cdot \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4}$

= ${[4 \cdot \sin (x) + 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $4 \cdot \sin (4) + 2 {(\sqrt{4})}^{3} - (4 \cdot \sin (0) + 2 {(\sqrt{0})}^{3})$

= $4 \cdot \sin (4) + 2 \cdot 2^{3} - (4 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{3})$

= $4 \cdot \sin (4) + 2 \cdot 8 - (0 + 2 \cdot 0)$

= $4 \cdot \sin (4) + 16 - (0 + 0)$

= $4 \cdot \sin (4) + 16 + 0$

= $4 \cdot \sin (4) + 16$

= 12,972

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel