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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -2 -4 -7.5 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 5 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 - 15 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} - 15 - (0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} - \frac{30}{2} + 0$

= $- \frac{75}{2}$

= -37,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{4} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{4} x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{12} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (π) + \frac{5}{12} \cdot π^{3} - (- \frac{9}{2} \cdot \cos (0) + \frac{5}{12} \cdot {(0)}^{3})$

= $- \frac{9}{2} \cdot (- 1) + \frac{5}{12} \cdot π^{3} - (- \frac{9}{2} \cdot 1 + \frac{5}{12} \cdot 0)$

= $\frac{9}{2} + \frac{5}{12} \cdot π^{3} - (- \frac{9}{2} + 0)$

= $\frac{9}{2} + \frac{5}{12} \cdot π^{3} + \frac{9}{2}$

= $\frac{9}{2} + \frac{9}{2} + \frac{5}{12} \cdot π^{3}$

= $9 + \frac{5}{12} \cdot π^{3}$

≈ 21,919

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{5 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- \cos (x) - \frac{1}{2} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- \cos (x) - \frac{1}{2} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- \cos (x) - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \sin (16) - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - (- \sin (0) - \frac{1}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- \sin (16) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - (- 0 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

= $- \sin (16) - \frac{1}{3} \cdot 64 - (0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- \sin (16) - \frac{64}{3} - (0 + 0)$

= $- \sin (16) - \frac{64}{3} + 0$

= $- \sin (16) - \frac{64}{3}$

≈ -21,045

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[{(x - 2)}^{3} + 6 x]}_{2}^{4}$

$=$ ${(4 - 2)}^{3} + 6 \cdot 4 - ({(2 - 2)}^{3} + 6 \cdot 2)$

= $2^{3} + 24 - (0^{3} + 12)$

= $8 + 24 - (0 + 12)$

= $8 + 24 - 12$

= $20$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel