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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 -4 -5 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 9)$

= $0 + 0 - (\frac{9}{2} + 9)$

= $0 - (\frac{9}{2} + \frac{18}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{27}{2}$

= $- \frac{27}{2}$

= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} x^{- 3}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{3 x^{3}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (2 π) + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{24 π^{3}} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{24 π^{3}} - 1 \cdot \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{1}{3 π^{3}}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{24 π^{3}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{24 π^{3}} - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $- \frac{2}{3} - \frac{7}{24 π^{3}}$

≈ -0,676

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- \frac{7}{2} π) - \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $1 - 1$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) + \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (5 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{2} - (5 + 0)$

= $0 + \frac{1}{2} - 5$

= $\frac{1}{2} - 5$

= $\frac{1}{2} - \frac{10}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{2}{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} \frac{2}{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 2 {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 2 x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\ln (| 2 \cdot 4 - 2 |) - \ln (| 2 \cdot 3 - 2 |)$

= $\ln (| 8 - 2 |) - \ln (| 6 - 2 |)$

= $\ln (6) - \ln (| 6 - 2 |)$

= $\ln (6) - \ln (4)$

≈ 0,405

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel