Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 +5 +4 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (4 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (4 x + 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 1 + 3 - (2 \cdot 1 - 3)$

= $2 + 3 - (2 - 3)$

= $5 - 1 \cdot (- 1)$

= $5 + 1$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \sin (0) + \frac{9}{2} \cdot \cos (0))$

= $- 1 + \frac{9}{2} \cdot 0 - (- 0 + \frac{9}{2} \cdot 1)$

= $- 1 + 0 - (0 + \frac{9}{2})$

= $- 1 - (0 + \frac{9}{2})$

= $- 1 - \frac{9}{2}$

= $- \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

= $- \frac{11}{2}$

= -5,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1)$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{8} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (π) - \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (- \frac{3}{2} - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{5}{8} e^{2 π} - (- \frac{5}{8} e^{π} - \frac{3}{2})$

= $- \frac{5}{8} e^{2 π} + \frac{5}{8} e^{π} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{5}{8} e^{2 π} + \frac{5}{8} e^{π} + \frac{3}{2}$

≈ -318,719

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(1 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 16$

= $- \frac{1}{2} + 8$

= $- \frac{1}{2} + \frac{16}{2}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel