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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 +6 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 5 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2))$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + 5 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 8) + 10)$

= $\frac{4}{3} + 5 - (\frac{32}{3} + 10)$

= $\frac{4}{3} + \frac{15}{3} - (\frac{32}{3} + \frac{30}{3})$

= $\frac{19}{3} - 1 \cdot \frac{62}{3}$

= $\frac{19}{3} - \frac{62}{3}$

= $- \frac{43}{3}$

≈ -14,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (π) + 4 \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{9}{4} \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (- \frac{9}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $\frac{9}{4} + 0 - (0 + 4)$

= $\frac{9}{4} + 0 - 4$

= $\frac{9}{4} - 4$

= $\frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

= $- \frac{7}{4}$

= -1,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 2} - 2 e^{- 0 + 2}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{2}$

≈ -14,042

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} e^{- 3 x} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} e^{- 3 x} + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} e^{- 3 x} - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} - 9 \cdot \cos (π) - (\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot (0)} - 9 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} - 9 \cdot (- 1) - (\frac{1}{6} e^{0} - 9 \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 9 - (\frac{1}{6} - 9)$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 9 - (\frac{1}{6} - \frac{54}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 9 - 1 \cdot (- \frac{53}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 9 + \frac{53}{6}$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 π} + \frac{107}{6}$

≈ 17,833

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π + π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel