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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -6 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 - 10 - (\frac{4}{3} \cdot 1 - 5)$

= $\frac{32}{3} - 10 - (\frac{4}{3} - 5)$

= $\frac{32}{3} - \frac{30}{3} - (\frac{4}{3} - \frac{15}{3})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $\frac{2}{3} + \frac{11}{3}$

= $\frac{13}{3}$

≈ 4,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{3}{8} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{1}{2} \cdot \cos (0) - \frac{3}{8} \cdot {(0)}^{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 0)$

= $0 - \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{128} \cdot π^{4} - (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{128} \cdot π^{4} - \frac{1}{2}$

≈ -2,783

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (- 3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (0) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (7 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $7 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \cos (π) - (7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $7 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (7 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (7 + 0)$

= $2 - 7$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{1 - 2}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel