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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 2 x - 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 3 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- 1^{2} - 3 \cdot 1 - (- {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $- 1 - 3 - (- 4 + 6)$

= $- 1 - 3 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot 6$

= $- 1 - 3 + 4 - 6$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{- 3 x} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{- 3 x} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{- 3 x} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot π} - \frac{3}{4} \cdot \cos (π) - (\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot π} - \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot π} + \frac{3}{4} - (\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $\frac{5}{3} e^{- 3 \cdot π} + \frac{3}{4} - \frac{5}{3} e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ 0,735

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} - {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} {(2 x - 3)}^{4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 3 - 3)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(6 - 3)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(0 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 3^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(- 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 81 + \frac{1}{8} \cdot 81$

= $- \frac{81}{8} + \frac{81}{8}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{4 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{4 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \frac{3}{8} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \frac{3}{8 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) + \frac{3}{8 {(2 π)}^{2}} - (\frac{2}{3} \cdot \sin (π) + \frac{3}{8 π^{2}})$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{8 {(2 π)}^{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{8 π^{2}})$

= $0 + \frac{3}{8 {(2 π)}^{2}} - (0 + \frac{3}{8 π^{2}})$

= $\frac{3}{32 π^{2}} - \frac{3}{8 π^{2}}$

= $\frac{3}{32 π^{2}} - \frac{12}{32 π^{2}}$

= $- \frac{9}{32 π^{2}}$

≈ -0,028

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (0 + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \cos (2 π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel