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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +3 +9 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (4 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) + \frac{3}{2} \cdot 9)$

= $0 + 0 - (- 36 + \frac{27}{2})$

= $0 - (- \frac{72}{2} + \frac{27}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{45}{2})$

= $\frac{45}{2}$

= 22,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (- \frac{8}{3} \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{8}{3} \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{8}{3} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 0 + 3 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 + 3)$

= $1 - 3$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 + \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 1$

= $0 - 3$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel