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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (3 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 9 - 6 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{27}{2} - 6 - (\frac{3}{2} + 2)$

= $\frac{27}{2} - \frac{12}{2} - (\frac{3}{2} + \frac{4}{2})$

= $\frac{15}{2} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $\frac{15}{2} - \frac{7}{2}$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (π) + \cos (π) - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 - 1 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 1 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 1 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (- π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0$

= $2 + 0$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 0 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{1}{3} + 0 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel