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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1 -2 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (5 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 + 8 - (\frac{5}{2} \cdot 9 + 12)$

= $10 + 8 - (\frac{45}{2} + 12)$

= $18 - (\frac{45}{2} + \frac{24}{2})$

= $18 - 1 \cdot \frac{69}{2}$

= $18 - \frac{69}{2}$

= $\frac{36}{2} - \frac{69}{2}$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 4 x^{5} + 5 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 4 x^{5} + 5 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{6} - 5 e^{- x}]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{6} - 5 e^{- 1} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{6} - 5 e^{- (- 2)})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 e^{- 1} - (- \frac{2}{3} \cdot 64 - 5 e^{2})$

= $- \frac{2}{3} - 5 e^{- 1} - (- \frac{128}{3} - 5 e^{2})$

= $- 5 e^{- 1} - \frac{2}{3} - (- 5 e^{2} - \frac{128}{3})$

= $5 e^{2} - 1 \cdot (- \frac{128}{3}) - 5 e^{- 1} - \frac{2}{3}$

= $5 e^{2} + \frac{128}{3} - 5 e^{- 1} - \frac{2}{3}$

= $5 e^{2} - 5 e^{- 1} + \frac{128}{3} - \frac{2}{3}$

= $5 e^{2} - 5 e^{- 1} + 42$

≈ 77,106

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 1 + 2} + e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $- e^{- 2 + 2} + e^{0 + 2}$

= $- e^{0} + e^{2}$

= $- 1 + e^{2}$

≈ 6,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} e^{- 2 x} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} e^{- 2 x} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{6} e^{- 2 x} - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 \cdot 0 - (- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{7}{6} e^{- 3 π} + \frac{7}{6} e^{- π}$

≈ 0,05

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{12 - 7} + \frac{1}{3} e^{6 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{5} + \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ -49,348

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel