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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -1 -3 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + 9 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + 1)$

= $- 36 + 9 - (- \frac{4}{3} + 1)$

= $- 27 - (- \frac{4}{3} + \frac{3}{3})$

= $- 27 - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- 27 + \frac{1}{3}$

= $- \frac{81}{3} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{80}{3}$

≈ -26,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3 x^{4}} - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3 x^{4}} - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3} x^{- 4} - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} x^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{2}{9 x^{3}} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{9 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{9 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- \frac{2}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{9 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 0 - (- \frac{2}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 0)$

= $- \frac{16}{243 π^{3}} + \frac{16}{9 π^{3}}$

= $- \frac{16}{243 π^{3}} + \frac{432}{243 π^{3}}$

= $\frac{416}{243 π^{3}}$

≈ 0,055

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1)$

= $0 - 3$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - \frac{7}{2} \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{7}{2} \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 - \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{7}{2} - (- 4 + 0)$

= $0 + \frac{7}{2} + 4$

= $\frac{7}{2} + 4$

= $\frac{7}{2} + \frac{8}{2}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{- 3 + 3} - e^{- 0 + 3}$

= $e^{0} - e^{3}$

= $1 - e^{3}$

≈ -19,086

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel