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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +1.5 +2 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 3 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 3 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 5 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- 2^{3} - 5 \cdot 2 - (- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot (- 1))$

= $- 8 - 10 - (- (- 1) + 5)$

= $- 8 - 10 - (1 + 5)$

= $- 18 - 1 \cdot 6$

= $- 18 - 6$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} x^{2} + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} x^{2} + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 4 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - 4 - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 4)$

= $- 4 - \frac{9}{16} \cdot π^{3} - (4 - \frac{1}{48} \cdot π^{3})$

= $- 4 - \frac{9}{16} \cdot π^{3} - 1 \cdot 4 - 1 \cdot (- \frac{1}{48} \cdot π^{3})$

= $- 4 - \frac{9}{16} \cdot π^{3} - 4 + \frac{1}{48} \cdot π^{3}$

= $- 4 - 4 - \frac{9}{16} \cdot π^{3} + \frac{1}{48} \cdot π^{3}$

= $- 8 - \frac{13}{24} \cdot π^{3}$

≈ -24,795

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 6 + 5} + \frac{3}{2} e^{0 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 1} + \frac{3}{2} e^{5}$

≈ 222,068

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (6 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $6 \cdot 0 - (- 1) - (6 \cdot 1 - 0)$

= $0 + 1 - (6 + 0)$

= $1 - 6$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 1} + 2 e^{1 - 1}$

= $- 2 e^{2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{2} + 2$

≈ -12,778

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel