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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 5 f(x) x .

Lösung einblenden

0 5 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

Somit gilt:

0 5 f(x) x = I1 + I2 = 0 2 f(x) x + 2 5 f(x) x = -4 +6 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 2 ( 5x -4 ) x .

Lösung einblenden
-2 2 ( 5x -4 ) x

= [ 5 2 x 2 -4x ] -2 2

= 5 2 2 2 -42 - ( 5 2 ( -2 ) 2 -4( -2 ) )

= 5 2 4 -8 - ( 5 2 4 +8 )

= 10 -8 - ( 10 +8 )

= 2 -1 · 18

= 2 -18

= -16

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π ( 5 x 5 +3 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π ( 5 x 5 +3 sin( x ) ) x

= [ 5 6 x 6 -3 cos( x ) ] 0 3 2 π

= 5 6 ( 3 2 π ) 6 -3 cos( 3 2 π ) - ( 5 6 ( 0 ) 6 -3 cos( 0 ) )

= 5 6 ( 3 2 π ) 6 -30 - ( 5 6 0 -31 )

= 5 6 ( 3 2 π ) 6 +0 - (0 -3 )

= 1215 128 π 6 +3


≈ 9128,686

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 - e -x +1 x .

Lösung einblenden
2 4 - e -x +1 x

= [ e -x +1 ] 2 4

= e -4 +1 - e -2 +1

= e -3 - e -1


≈ -0,318

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( - x +4 e -3x ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( - x +4 e -3x ) x
= 0 1 ( - x 1 2 +4 e -3x ) x

= [ - 2 3 x 3 2 - 4 3 e -3x ] 0 1

= [ - 2 3 ( x ) 3 - 4 3 e -3x ] 0 1

= - 2 3 ( 1 ) 3 - 4 3 e -31 - ( - 2 3 ( 0 ) 3 - 4 3 e -30 )

= - 2 3 1 3 - 4 3 e -3 - ( - 2 3 0 3 - 4 3 e 0 )

= - 2 3 1 - 4 3 e -3 - ( - 2 3 0 - 4 3 )

= - 2 3 - 4 3 e -3 - (0 - 4 3 )

= - 4 3 e -3 - 2 3 - (0 - 4 3 )

= - 4 3 e -3 - 2 3 + 4 3

= - 4 3 e -3 + 2 3


≈ 0,6

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 - 2 -x +1 x .

Lösung einblenden
2 5 - 2 -x +1 x
= 2 5 -2 ( -x +1 ) -1 x

= [ 2 ln( | -x +1 | ) ] 2 5

= 2 ln( | -5 +1 | ) -2 ln( | -2 +1 | )

= 2 ln( | -5 +1 | ) -2 ln( | -2 +1 | )

= 2 ln( 4 ) -2 ln( | -2 +1 | )

= 2 ln( 4 ) -2 ln( 1 )

= 2 ln( 4 ) +0

= 2 ln( 4 )


≈ 2,773