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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $\frac{16}{3} - 2 - (18 - \frac{9}{2})$

= $\frac{16}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{36}{2} - \frac{9}{2})$

= $\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{27}{2}$

= $\frac{10}{3} - \frac{27}{2}$

= $\frac{20}{6} - \frac{81}{6}$

= $- \frac{61}{6}$

≈ -10,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{3} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} x^{3} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{12} x^{4} + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} + 2 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{12} \cdot π^{4} - 2 - (- \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $- 2 - \frac{5}{12} \cdot π^{4} + \frac{5}{192} \cdot π^{4}$

= $- 2 - \frac{25}{64} \cdot π^{4}$

≈ -40,05

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{- 3 + 1} + 3 e^{- 2 + 1}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{- 1}$

≈ 0,698

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{9}{2} \cdot \sin (0) - 5 \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 0 - (\frac{9}{2} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (0 - 5)$

= $\frac{9}{2} + 0 + 5$

= $\frac{9}{2} + 5$

= $\frac{9}{2} + \frac{10}{2}$

= $\frac{19}{2}$

= 9,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{2 \cdot 1 - 2} + e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $- e^{2 - 2} + e^{0 - 2}$

= $- e^{0} + e^{- 2}$

= $- 1 + e^{- 2}$

≈ -0,865

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel