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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 +2 +6 +5 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 4 x - 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 2 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- 2 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 - (- 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot 25 - 10 - (- 2 \cdot 1 - 2)$

= $- 50 - 10 - (- 2 - 2)$

= $- 60 - 1 \cdot (- 4)$

= $- 60 + 4$

= $- 56$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 e^{- x} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 e^{- x} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x} + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 e^{- π} + \cos (π) - (- 3 e^{- (0)} + \cos (0))$

= $- 3 e^{- π} - 1 - (- 3 e^{0} + 1)$

= $- 3 e^{- π} - 1 - (- 3 + 1)$

= $- 3 e^{- π} - 1 - 1 \cdot (- 2)$

= $- 3 e^{- π} - 1 + 2$

= $- 3 e^{- π} + 1$

≈ 0,87

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 0,032

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 8 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 8 x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} x^{6}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (\frac{1}{2} \cdot \cos (0) + \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{6})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot π^{6}$

= $- 1 + \frac{4}{3} \cdot π^{6}$

≈ 1280,852

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 2} + 3 e^{- 1 + 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e$

= $- 3 + 3 e$

≈ 5,155

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel