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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 +4.5 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 1 - 4 - (2 \cdot 9 - 12)$

= $2 - 4 - (18 - 12)$

= $- 2 - 1 \cdot 6$

= $- 2 - 6$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \frac{5}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \frac{5}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 5 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + 5 x^{- 1}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \frac{5}{x}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{\frac{3}{2} π} - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + \frac{5}{π})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{5}{\frac{3}{2} π} - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{5}{π})$

= $0 + \frac{5}{\frac{3}{2} π} - (\frac{1}{3} + \frac{5}{π})$

= $\frac{10}{3 π} - (\frac{1}{3} + \frac{5}{π})$

= $- 1 \cdot \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{5}{π} + \frac{10}{3 π}$

= $- \frac{1}{3} - \frac{5}{π} + \frac{10}{3 π}$

= $- \frac{1}{3} - \frac{5}{3 π}$

≈ -0,864

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (4 π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 4 \sqrt{x} + 5 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 4 \sqrt{x} + 5 x^{4}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{5}]}_{0}^{1}$

= ${[- \frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + x^{5}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{8}{3} {(\sqrt{1})}^{3} + 1^{5} - (- \frac{8}{3} {(\sqrt{0})}^{3} + 0^{5})$

= $- \frac{8}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (- \frac{8}{3} \cdot 0^{3} + 0)$

= $- \frac{8}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{8}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{5}{3}$

≈ -1,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} {(- 2 x + 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} {(- 2 x + 5)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} {(- 2 x + 5)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{8} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 5)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(- 4 + 5)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 1^{4} + \frac{1}{8} \cdot 5^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 625$

= $- \frac{1}{8} + \frac{625}{8}$

= $78$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel