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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{-1 +(-3)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -1 -2 -6 = -7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $- 36 + 18 - (0 + 0)$

= $- 18 + 0$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 4 x^{3} - 3 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 4 x^{3} - 3 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- x^{4} + \frac{3}{2} e^{- 2 x}]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2^{4} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2} - (- {(- 2)}^{4} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (- 2)})$

= $- 16 + \frac{3}{2} e^{- 4} - (- 16 + \frac{3}{2} e^{4})$

= $- 16 + \frac{3}{2} e^{- 4} - 1 \cdot (- 16) - \frac{3}{2} e^{4}$

= $- 16 + \frac{3}{2} e^{- 4} + 16 - \frac{3}{2} e^{4}$

= $- \frac{3}{2} e^{4} + \frac{3}{2} e^{- 4} - 16 + 16$

= $- \frac{3}{2} e^{4} + \frac{3}{2} e^{- 4} + 0$

≈ -81,87

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 5} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6 + 5} + \frac{1}{2} e^{- 2 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e^{3}$

≈ 9,859

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (π) + \frac{3}{4} e^{- π} - (- 6 \cdot \sin (0) + \frac{3}{4} e^{- (0)})$

= $- 6 \cdot 0 + \frac{3}{4} e^{- π} - (- 6 \cdot 0 + \frac{3}{4} e^{0})$

= $0 + \frac{3}{4} e^{- π} - (0 + \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4} e^{- π} - (0 + \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4} e^{- π} - \frac{3}{4}$

≈ -0,718

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (- π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0$

= $2 + 0$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel