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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +1.5 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (5 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (5 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{5}{2} \cdot 9 + 6)$

= $\frac{5}{2} - 2 - (\frac{45}{2} + 6)$

= $\frac{5}{2} - \frac{4}{2} - (\frac{45}{2} + \frac{12}{2})$

= $\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{57}{2}$

= $\frac{1}{2} - \frac{57}{2}$

= $- 28$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{3}{x^{3}} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{3}{x^{3}} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (3 x^{- 3} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{- 2} - 3 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{3}{2 x^{2}} - 3 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - 3 \cdot \cos (2 π) - (- \frac{3}{2 π^{2}} - 3 \cdot \cos (π))$

= $- \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - 3 \cdot 1 - (- \frac{3}{2 π^{2}} - 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - 3 - (- \frac{3}{2 π^{2}} + 3)$

= $- 3 - \frac{3}{8 π^{2}} - (3 - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 3 - \frac{3}{8 π^{2}} - 1 \cdot 3 - 1 \cdot (- \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 3 - \frac{3}{8 π^{2}} - 3 + \frac{3}{2 π^{2}}$

= $- 3 - 3 - \frac{3}{8 π^{2}} + \frac{3}{2 π^{2}}$

= $- 6 + \frac{9}{8 π^{2}}$

≈ -5,886

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 6 + 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 5)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 125) - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{125}{3} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{124}{3}$

≈ -41,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (3 \cdot π - π) - \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\cos (2 π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $1 - 0$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel