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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 2 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{3} - 2 \cdot 1 - (- 0^{3} - 2 \cdot 0)$

= $- 1 - 2 - (- 0 + 0)$

= $- 1 - 2$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{x^{3}} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{x^{3}} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 x^{- 3} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- x^{- 2} + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{1}{x^{2}} + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{π^{2}} + 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{π^{2}} + 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{π^{2}} + 0 - (- \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 5)$

= $- \frac{1}{π^{2}} - (5 - \frac{4}{π^{2}})$

= $- 1 \cdot 5 - 1 \cdot (- \frac{4}{π^{2}}) - \frac{1}{π^{2}}$

= $- 5 + \frac{4}{π^{2}} - \frac{1}{π^{2}}$

= $- 5 + \frac{3}{π^{2}}$

≈ -4,696

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{- 4 + 2} - 2 e^{- 2 + 2}$

= $2 e^{- 2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{- 2} - 2$

≈ -1,729

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (π) + \frac{8}{3} \cdot \sin (π) - (- \frac{2}{3} \cdot \cos (0) + \frac{8}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{8}{3} \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} + 0 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel