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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 +6 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 8 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $2 + 8 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $10 - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $10 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $10 + \frac{7}{2}$

= $\frac{20}{2} + \frac{7}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} e^{- x} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} e^{- x} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- x} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} + 4 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 0,099

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{9}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - \cos (π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - (- 1) - (2 \cdot 1 - 0)$

= $0 + 1 - (2 + 0)$

= $1 - 2$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(4 - 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(1 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot (- 8)$

= $\frac{1}{3} + \frac{8}{3}$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel