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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +1 +2 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 8 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $2 + 8 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $10 - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $10 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $10 + \frac{7}{2}$

= $\frac{20}{2} + \frac{7}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 9 x^{5} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 9 x^{5} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{6} - \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{6} - \frac{5}{3} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \frac{5}{3} \cdot 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0 - (0 - \frac{5}{3})$

= $- \frac{3}{128} \cdot π^{6} - (0 - \frac{5}{3})$

= $- \frac{3}{128} \cdot π^{6} + \frac{5}{3}$

≈ -20,866

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- π - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (0) - \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- \frac{5}{2} π) - 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (π) + \frac{8}{3} \cdot \sin (π) - (- 4 \cdot \cos (0) + \frac{8}{3} \cdot \sin (0))$

= $- 4 \cdot (- 1) + \frac{8}{3} \cdot 0 - (- 4 \cdot 1 + \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $4 + 0 - (- 4 + 0)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 2 e^{- 4 + 1} + 2 e^{- 2 + 1}$

= $- 2 e^{- 3} + 2 e^{- 1}$

≈ 0,636

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel