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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +2 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 - 9)$

= $- 2 - 6 - (- \frac{9}{2} - 9)$

= $- 8 - (- \frac{9}{2} - \frac{18}{2})$

= $- 8 - 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $- 8 + \frac{27}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{27}{2}$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{x^{2}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{x^{2}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (2 x^{- 2} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 1} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{2}{x} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{\frac{3}{2} π} + 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{π} + 5 \cdot \cos (π))$

= $- \frac{2}{\frac{3}{2} π} + 5 \cdot 0 - (- \frac{2}{π} + 5 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{\frac{3}{2} π} + 0 - (- \frac{2}{π} - 5)$

= $- \frac{4}{3 π} - (- 5 - \frac{2}{π})$

= $- 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot (- \frac{2}{π}) - \frac{4}{3 π}$

= $5 + \frac{2}{π} - \frac{4}{3 π}$

= $5 + \frac{2}{3 π}$

≈ 5,212

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 6 \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- 6 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (- 6 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $6 + 0 - (0 + 4)$

= $6 - 4$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 7} + \frac{1}{3} e^{3 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{2} + \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ -2,457

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel