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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -4.5 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $- 0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - (- {(- 2)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 - (- (- 8) + \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (8 + 10)$

= $0 - 1 \cdot 18$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + e^{2 x}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $6 \cdot (- 1) + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (6 \cdot 1 + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 6 + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (6 + \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 6 - (\frac{1}{2} e^{π} + 6)$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - 6 - \frac{1}{2} e^{π} - 1 \cdot 6$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - 6 - \frac{1}{2} e^{π} - 6$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - \frac{1}{2} e^{π} - 6 - 6$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - \frac{1}{2} e^{π} - 12$

≈ 6172,254

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(- 2 x + 4)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(- 2 x + 4)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{8} {(- 2 x + 4)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{4} + \frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 4)}^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(- 2 + 4)}^{4} + \frac{3}{8} \cdot {(0 + 4)}^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot 2^{4} + \frac{3}{8} \cdot 4^{4}$

= $- \frac{3}{8} \cdot 16 + \frac{3}{8} \cdot 256$

= $- 6 + 96$

= $90$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - 8 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (π) - 8 \cdot \cos (π) - (- 5 \cdot \sin (0) - 8 \cdot \cos (0))$

= $- 5 \cdot 0 - 8 \cdot (- 1) - (- 5 \cdot 0 - 8 \cdot 1)$

= $0 + 8 - (0 - 8)$

= $8 + 8$

= $16$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 3 + 2} - e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $e^{- 6 + 2} - e^{- 4 + 2}$

= $e^{- 4} - e^{- 2}$

≈ -0,117

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel