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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -2 -6 -5 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 4 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 2 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 9 - 6)$

= $0 + 0 - (- 18 - 6)$

= $0 - 1 \cdot (- 24)$

= $24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{16}$

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{16}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (16) - 2 {(\sqrt{16})}^{3} - (- 2 \cdot \sin (1) - 2 {(\sqrt{1})}^{3})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - 2 \cdot 4^{3} - (- 2 \cdot \sin (1) - 2 \cdot 1^{3})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - 2 \cdot 64 - (- 2 \cdot \sin (1) - 2 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot \sin (16) - 128 - (- 2 \cdot \sin (1) - 2)$

= $- 2 \cdot \sin (16) - 128 - 1 \cdot (- 2 \cdot \sin (1)) - 1 \cdot (- 2)$

= $- 2 \cdot \sin (16) - 128 + 2 \cdot \sin (1) + 2$

= $- 2 \cdot \sin (16) + 2 \cdot \sin (1) - 128 + 2$

= $- 2 \cdot \sin (16) + 2 \cdot \sin (1) - 126$

= -123,742

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} - {(2 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(2 x - 5)}^{- 3}]}_{4}^{6}$

= ${[\frac{1}{6 {(2 x - 5)}^{3}}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{6 {(2 \cdot 6 - 5)}^{3}} - \frac{1}{6 {(2 \cdot 4 - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{6 {(12 - 5)}^{3}} - \frac{1}{6 {(8 - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{6 \cdot 7^{3}} - \frac{1}{6 \cdot 3^{3}}$

= $\frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{343}) - \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{27})$

= $\frac{1}{2058} - \frac{1}{162}$

= $\frac{27}{55566} - \frac{343}{55566}$

= $- \frac{158}{27783}$

≈ -0,006

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (π) + 5 \cdot \sin (π) - (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- 5 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $5 + 0 - (0 + 5)$

= $5 - 5$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel