Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +2 +6 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 8) + 6 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 27) + 9)$

= $\frac{32}{3} + 6 - (36 + 9)$

= $\frac{32}{3} + \frac{18}{3} - 1 \cdot 45$

= $\frac{50}{3} - 45$

= $\frac{50}{3} - \frac{135}{3}$

= $- \frac{85}{3}$

≈ -28,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- e^{- x} + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- e^{- x} + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (- e^{- x} + 3 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[e^{- x} - x^{- 3}]}_{1}^{3}$

= ${[e^{- x} - \frac{1}{x^{3}}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{- 3} - \frac{1}{3^{3}} - (e^{- 1} - \frac{1}{1^{3}})$

= $e^{- 3} - (\frac{1}{27}) - (e^{- 1} - 1)$

= $e^{- 3} - \frac{1}{27} - e^{- 1} - 1 \cdot (- 1)$

= $e^{- 3} - \frac{1}{27} - e^{- 1} + 1$

= $- e^{- 1} + e^{- 3} - \frac{1}{27} + 1$

= $- e^{- 1} + e^{- 3} + \frac{26}{27}$

≈ 0,645

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $0 + \frac{1}{2} - (0 - \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 4} - \frac{3}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$

≈ 80,397

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel