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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +1.5 +2 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (4 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (4 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 4 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 + 4 - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) - 12)$

= $\frac{4}{3} + 4 - (- 36 - 12)$

= $\frac{4}{3} + \frac{12}{3} - 1 \cdot (- 48)$

= $\frac{16}{3} + 48$

= $\frac{16}{3} + \frac{144}{3}$

= $\frac{160}{3}$

≈ 53,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 π) - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (\frac{1}{2} \cdot \cos (π) - \frac{1}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{2} - \frac{1}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{4 π^{2}} - (- \frac{1}{2} - \frac{1}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{4 π^{2}} - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot (- \frac{1}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{π^{2}}$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{π^{2}}$

= $1 + \frac{3}{4 π^{2}}$

≈ 1,076

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 1$

= $0 - 3$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \sin (π) - \frac{1}{4} \cdot \cos (π) - (\frac{8}{3} \cdot \sin (0) - \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{8}{3} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot (- 1) - (\frac{8}{3} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $0 + \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 2} - e^{- 1 + 2}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel