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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -8 -4 +3 +9 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (2 x + 3) ⅆ x

= ${[x^{2} + 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $1^{2} + 3 \cdot 1 - ({(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $1 + 3 - (1 - 3)$

= $1 + 3 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 3)$

= $1 + 3 - 1 + 3$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{4} x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{4} x^{4}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 4 x^{- 2} - \frac{1}{4} x^{4}) ⅆ x

= ${[4 x^{- 1} - \frac{1}{20} x^{5}]}_{1}^{4}$

= ${[\frac{4}{x} - \frac{1}{20} x^{5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{4} - \frac{1}{20} \cdot 4^{5} - (\frac{4}{1} - \frac{1}{20} \cdot 1^{5})$

= $4 \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{1}{20} \cdot 1024 - (4 \cdot 1 - \frac{1}{20} \cdot 1)$

= $1 - \frac{256}{5} - (4 - \frac{1}{20})$

= $\frac{5}{5} - \frac{256}{5} - (\frac{80}{20} - \frac{1}{20})$

= $- \frac{251}{5} - 1 \cdot \frac{79}{20}$

= $- \frac{251}{5} - \frac{79}{20}$

= $- \frac{1004}{20} - \frac{79}{20}$

= $- \frac{1083}{20}$

= -54,15

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (- 3 π) + \sin (0)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (π) + \frac{1}{4} \cdot \cos (π) - (\frac{9}{2} \cdot \sin (0) + \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot (- 1) - (\frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{4} - (0 + \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 4 - 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(12 - 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(6 - 7)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{125}{3} + \frac{1}{3}$

= $42$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel