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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -9 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (5 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (5 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 3 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{3} \cdot (- 8) + 6)$

= $0 + 0 - (- \frac{40}{3} + 6)$

= $0 - (- \frac{40}{3} + \frac{18}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{22}{3})$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- \frac{4}{x^{3}} - 2 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- \frac{4}{x^{3}} - 2 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (- 4 x^{- 3} - 2 x^{5}) ⅆ x

= ${[2 x^{- 2} - \frac{1}{3} x^{6}]}_{1}^{3}$

= ${[\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3} x^{6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3^{2}} - \frac{1}{3} \cdot 3^{6} - (\frac{2}{1^{2}} - \frac{1}{3} \cdot 1^{6})$

= $2 \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{1}{3} \cdot 729 - (2 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{9} - 243 - (2 - \frac{1}{3})$

= $\frac{2}{9} - \frac{2187}{9} - (\frac{6}{3} - \frac{1}{3})$

= $- \frac{2185}{9} - 1 \cdot \frac{5}{3}$

= $- \frac{2185}{9} - \frac{5}{3}$

= $- \frac{2185}{9} - \frac{15}{9}$

= $- \frac{2200}{9}$

≈ -244,444

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 4} - \frac{2}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{11} - \frac{2}{3} e^{2}$

≈ 39911,168

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{2} \cdot \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 3 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} + 0 - (0 + 3)$

= $\frac{1}{2} + 0 - 3$

= $\frac{1}{2} - 3$

= $\frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 23}^{- 14} 3 \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 23}^{- 14} 3 \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 23}^{- 14} 3 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 23}^{- 14}$

= ${[- 2 {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 23}^{- 14}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{- (- 14) + 2})}^{3} + 2 {(\sqrt{- (- 23) + 2})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{14 + 2})}^{3} + 2 {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{16})}^{3} + 2 {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- 2 \cdot 4^{3} + 2 \cdot 5^{3}$

= $- 2 \cdot 64 + 2 \cdot 125$

= $- 128 + 250$

= $122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel