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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +3 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

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\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 4 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{3} + 4 \cdot 3 - (- {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1))$

= $- 27 + 12 - (- (- 1) - 4)$

= $- 27 + 12 - (1 - 4)$

= $- 15 - 1 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 3$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} + 0 - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \cos (- 3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $2 \cdot (- 1) + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (2 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (2 + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 + \frac{45}{8} \cdot π^{3} - (2 + \frac{5}{24} \cdot π^{3})$

= $- 2 + \frac{45}{8} \cdot π^{3} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot \frac{5}{24} \cdot π^{3}$

= $- 2 + \frac{45}{8} \cdot π^{3} - 2 - \frac{5}{24} \cdot π^{3}$

= $- 2 - 2 + \frac{45}{8} \cdot π^{3} - \frac{5}{24} \cdot π^{3}$

= $- 4 + \frac{65}{12} \cdot π^{3}$

≈ 163,951

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(2 x - 1)}^{2} + 1) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} (2 {(2 x - 1)}^{2} + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{3} + x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 1)}^{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 1)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(4 - 1)}^{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 0)$

= $9 + 2 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $11 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $11 + \frac{1}{3}$

= $\frac{33}{3} + \frac{1}{3}$

= $11 + \frac{1}{3}$

= $\frac{33}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{34}{3}$

≈ 11,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel