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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-4 +(-1)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -12 -5 = -20

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 1 + 5 - (2 \cdot 9 + 15)$

= $2 + 5 - (18 + 15)$

= $7 - 1 \cdot 33$

= $7 - 33$

= $- 26$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot \cos (0) - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 + 0)$

= $- \frac{9}{2} \cdot π^{3} + 2$

≈ -137,528

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 74,023

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 e^{3 x} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 e^{3 x} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[e^{3 x} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (e^{3 \cdot (0)} + \frac{3}{4} \cdot \sin (0))$

= $e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{3}{4} \cdot 1 - (e^{0} + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{3}{4} - (1 + 0)$

= $e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{3}{4} - 1$

= $e^{\frac{3}{2} π} - \frac{1}{4}$

≈ 111,068

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel