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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (4 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (4 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} - 2 - (- \frac{4}{3} - 2)$

= $\frac{4}{3} - \frac{6}{3} - (- \frac{4}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{2}{3} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $- \frac{2}{3} + \frac{10}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (x^{5} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (x^{5} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 0 - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0)$

= $\frac{243}{128} \cdot π^{6} - \frac{1}{384} \cdot π^{6}$

= $\frac{729}{384} \cdot π^{6} - \frac{1}{384} \cdot π^{6}$

= $\frac{91}{48} \cdot π^{6}$

≈ 1822,634

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 4} + e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- e^{- 9 + 4} + e^{0 + 4}$

= $- e^{- 5} + e^{4}$

≈ 54,591

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - 1 - (- 2 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (- 2 + 0)$

= $- 1 + 2$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 4 π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel