$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(3\; -\; 0)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-3}}{2}$ = -1.5.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 -1.5 -2 = -0.5

= ${\left[-\frac{5}{3}{x}^3+4x\right]}_1^4$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot 4^3+4\cdot 4-\left(-\frac{5}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 64+16-\left(-\frac{5}{3}\cdot 1+4\right)$

= $-\frac{320}{3}+16-\left(-\frac{5}{3}+4\right)$

= $-\frac{320}{3}+\frac{48}{3}-\left(-\frac{5}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $-\frac{272}{3}-1·\frac{7}{3}$

= $-\frac{272}{3}-\frac{7}{3}$

= $-93$

= ${\left[-\cos \left(x\right)-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-0-\frac{7}{4}\cdot \left(-1\right)-\left(-0-\frac{7}{4}\cdot 1\right)$

= $0+\frac{7}{4}-\left(0-\frac{7}{4}\right)$

= $0+\frac{7}{4}-\left(0-\frac{7}{4}\right)$

= $\frac{7}{4}+\frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2}$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x+5}\right]}_1^3$

$=$ $-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 3+5}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1+5}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-9+5}+\frac{1}{3}{e}^{-3+5}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-4}+\frac{1}{3}{e}^2$

= ${\left[-\frac{4}{3}{e}^{3x}-3\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \pi }-3\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \pi }-3\cdot 0-\left(-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-3\cdot 1\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \pi }+0-\left(-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-3\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{3\pi }-\left(-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-3\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{3\pi }+\frac{4}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }-1·\left(-3\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{3\pi }+\frac{4}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }+3$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-2}\right]}_2^3$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 3-2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^{6-2}-\frac{1}{2}{e}^{4-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^4-\frac{1}{2}{e}^2$