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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -2 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (4 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (4 x - 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - x]}_{0}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} - 2 - (2 \cdot 0^{2} - 0)$

= $2 \cdot 4 - 2 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $8 - 2 - (0 + 0)$

= $6 + 0$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} e^{3 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} e^{3 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{12} e^{3 x} + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{12} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{7}{12} e^{3 \cdot (0)} + 3 \cdot \sin (0))$

= $\frac{7}{12} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot (- 1) - (\frac{7}{12} e^{0} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{7}{12} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 - (\frac{7}{12} + 0)$

= $\frac{7}{12} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 - \frac{7}{12}$

= $\frac{7}{12} e^{\frac{9}{2} π} - \frac{43}{12}$

≈ 804652,662

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) - \cos (3 \cdot (0) + π)$

= $\cos (\frac{5}{2} π) - \cos (π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - 4 \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (2 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (2 + 0)$

= $4 - 2$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4 + 1} + \frac{3}{2} e^{0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e$

≈ 4,003

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel