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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -2 +6 +12 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 5 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 10)$

= $- \frac{1}{3} - 5 - (- \frac{8}{3} - 10)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{15}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{30}{3})$

= $- \frac{16}{3} - 1 \cdot (- \frac{38}{3})$

= $- \frac{16}{3} + \frac{38}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $3 \cdot 0 - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot 0 - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{1}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{4} e^{3 π} + \frac{1}{4} e^{π}$

≈ -3092,127

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} \frac{2}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} \frac{2}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 2 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 \cdot 5 - 3)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{2}{3 (15 - 3)} + \frac{2}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 12} + \frac{2}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{18} + \frac{2}{9}$

= $- \frac{1}{18} + \frac{4}{18}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (0) + \sin (π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel