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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -4 = -7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- 10 + 4 - (- \frac{5}{2} + 2)$

= $- 6 - (- \frac{5}{2} + \frac{4}{2})$

= $- 6 - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- 6 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{12}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{11}{2}$

= -5,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 x^{4} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 6 x^{4} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{6}{5} x^{5} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{6}{5} \cdot {(0)}^{5} + 2 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 2 \cdot 0 - (- \frac{6}{5} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{6}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - (0 + 2)$

= $- \frac{729}{80} \cdot π^{5} - 2$

≈ -2790,604

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + \cos (0 + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (2 π) + \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot 0 - 3 \cdot 1 - (5 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (5 + 0)$

= $- 3 - 5$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{3 \cdot 5 - 3} - e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $e^{15 - 3} - e^{6 - 3}$

= $e^{12} - e^{3}$

≈ 162734,706

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel