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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 +12 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 4 + 4 - (- 2 \cdot 9 + 6)$

= $- 8 + 4 - (- 18 + 6)$

= $- 4 - 1 \cdot (- 12)$

= $- 4 + 12$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (7 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (7 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} e^{- 2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $7 \cdot \sin (π) + \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (7 \cdot \sin (0) + \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $7 \cdot 0 + \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (7 \cdot 0 + \frac{1}{4} e^{0})$

= $0 + \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (0 + \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} e^{- 2 π} - (0 + \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} e^{- 2 π} - \frac{1}{4}$

≈ -0,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 {(2 x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 {(2 x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 4 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(8 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 5^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 125 + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{125}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 63$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{5}{4} x^{5} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{5}{4} x^{5} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{24} x^{6} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{24} \cdot π^{6} - \frac{7}{4} \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{24} \cdot {(0)}^{6} - \frac{7}{4} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{5}{24} \cdot π^{6} - \frac{7}{4} \cdot (- 1) - (- \frac{5}{24} \cdot 0 - \frac{7}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{24} \cdot π^{6} + \frac{7}{4} - (0 - \frac{7}{4})$

= $\frac{7}{4} - \frac{5}{24} \cdot π^{6} - (0 - \frac{7}{4})$

= $\frac{7}{4} - \frac{5}{24} \cdot π^{6} + \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4} + \frac{7}{4} - \frac{5}{24} \cdot π^{6}$

= $\frac{7}{2} - \frac{5}{24} \cdot π^{6}$

≈ -196,789

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - {(- x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - {(- x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- x + 1)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1 + 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{8}{3} + 0$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel