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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +2 = 3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (5 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (5 x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3)$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 1 - (\frac{5}{2} \cdot 9 - 3)$

= $\frac{5}{2} - 1 - (\frac{45}{2} - 3)$

= $\frac{5}{2} - \frac{2}{2} - (\frac{45}{2} - \frac{6}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{39}{2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{39}{2}$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (π) + 2 \cdot \sin (π) - (\frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - (0 + 2)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - 2$

= $- \frac{4}{3} - 2$

= $- \frac{4}{3} - \frac{6}{3}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- {(- 2 x + 1)}^{2} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- {(- 2 x + 1)}^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 1)}^{3} + 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 1)}^{3} + 3 \cdot 2^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3} + 3 \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 1)}^{3} + 3 \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 + 1)}^{3} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{3} + 12 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 27) + 12 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 12 - (\frac{1}{6} + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{24}{2} - (\frac{1}{6} + 0)$

= $\frac{15}{2} - \frac{1}{6}$

= $\frac{45}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{15}{2} - \frac{1}{6}$

= $\frac{45}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \cos (x) + \frac{1}{x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- 0 + \frac{1}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 0 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{4}{9 π^{2}} - \frac{4}{π^{2}}$

= $- \frac{32}{9 π^{2}}$

≈ -0,36

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel