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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -1 -2 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (2 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (2 x + 1) ⅆ x

= ${[x^{2} + x]}_{1}^{3}$

$=$ $3^{2} + 3 - (1^{2} + 1)$

= $9 + 3 - (1 + 1)$

= $9 + 3 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

= $9 + 3 - 1 - 1$

= $10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- \frac{5}{x^{4}} + e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- \frac{5}{x^{4}} + e^{- x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (- 5 x^{- 4} + e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{- 3} - e^{- x}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{5}{3 x^{3}} - e^{- x}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{3 \cdot 5^{3}} - e^{- 5} - (\frac{5}{3 \cdot 2^{3}} - e^{- 2})$

= $\frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{125}) - e^{- 5} - (\frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - e^{- 2})$

= $\frac{1}{75} - e^{- 5} - (\frac{5}{24} - e^{- 2})$

= $- e^{- 5} + \frac{1}{75} - (- e^{- 2} + \frac{5}{24})$

= $e^{- 2} - 1 \cdot \frac{5}{24} - e^{- 5} + \frac{1}{75}$

= $e^{- 2} - \frac{5}{24} - e^{- 5} + \frac{1}{75}$

= $e^{- 2} - e^{- 5} - \frac{5}{24} + \frac{1}{75}$

= $e^{- 2} - e^{- 5} - \frac{39}{200}$

≈ -0,066

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 3 {(- 3 x + 7)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 7)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 \cdot 7 + 7)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 21 + 7)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 12 + 7)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 14)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2744}) - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

= $- \frac{1}{8232} + \frac{1}{375}$

= $- \frac{125}{1029000} + \frac{2744}{1029000}$

= $\frac{873}{343000}$

≈ 0,003

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - e^{x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - e^{x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - e^{\frac{3}{2} π} - (- 4 \cdot \sin (0) - e^{0})$

= $- 4 \cdot (- 1) - e^{\frac{3}{2} π} - (- 4 \cdot 0 - 1)$

= $4 - e^{\frac{3}{2} π} - (0 - 1)$

= $- e^{\frac{3}{2} π} + 4 + 1$

= $- e^{\frac{3}{2} π} + 5$

≈ -106,318

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- \frac{7}{2} π) - \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel