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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + 6 - (0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{18}{3} + 0$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{4} \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} + 0 - (\frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 2} - e^{- 1 + 2}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (0) - \frac{3}{2} \cdot \cos (0))$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 0 - (4 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - \frac{3}{2})$

= $- 4 - (0 - \frac{3}{2})$

= $- 4 + \frac{3}{2}$

= $- \frac{8}{2} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{7}{2}}^{6} 3 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{7}{2}}^{6} 3 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{6} 3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{6}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{6}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{12 - 3})}^{3} - {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3} - {(\sqrt{4})}^{3}$

= $3^{3} - 2^{3}$

= $27 - 8$

= $19$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel