$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 4)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -8 -4 +3 +6 = -3

= ${\left[\frac{5}{2}{x}^2+4x\right]}_{-2}^1$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1-\left(\frac{5}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot 1+4-\left(\frac{5}{2}\cdot 4-8\right)$

= $\frac{5}{2}+4-\left(10-8\right)$

= $\frac{5}{2}+\frac{8}{2}-1·2$

= $\frac{13}{2}-2$

= $\frac{13}{2}-\frac{4}{2}$

= $\frac{9}{2}$

= ${\left[-\frac{4}{3}{x}^3-2\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3-2\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(-\frac{4}{3}\cdot {\left(0\right)}^3-2\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3-2\cdot 0-\left(-\frac{4}{3}\cdot 0-2\cdot 0\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3+0-\left(0+0\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3+0$

= $-\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-1}\right]}_1^2$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-1}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 1-1}$

= $\frac{3}{2}{e}^{4-1}-\frac{3}{2}{e}^{2-1}$

= $\frac{3}{2}{e}^3-\frac{3}{2}e$

= $\frac{3}{2}{e}^3-\frac{3}{2}e$

= ${\left[\frac{1}{9}{e}^{-3x}+\frac{10}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^{16}$

= ${\left[\frac{1}{9}{e}^{-3x}+\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_1^{16}$

$=$ $\frac{1}{9}{e}^{-3\cdot 16}+\frac{10}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\left(\frac{1}{9}{e}^{-3\cdot 1}+\frac{10}{3}{\left(\sqrt{1}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{9}{e}^{-48}+\frac{10}{3}\cdot 4^3-\left(\frac{1}{9}{e}^{-3}+\frac{10}{3}\cdot 1^3\right)$

= $\frac{1}{9}{e}^{-48}+\frac{10}{3}\cdot 64-\left(\frac{1}{9}{e}^{-3}+\frac{10}{3}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{9}{e}^{-48}+\frac{640}{3}-\left(\frac{1}{9}{e}^{-3}+\frac{10}{3}\right)$

= $-\frac{1}{9}{e}^{-3}-1·\frac{10}{3}+\frac{1}{9}{e}^{-48}+\frac{640}{3}$

= $-\frac{1}{9}{e}^{-3}-\frac{10}{3}+\frac{1}{9}{e}^{-48}+\frac{640}{3}$

= $-\frac{1}{9}{e}^{-3}+\frac{1}{9}{e}^{-48}-\frac{10}{3}+\frac{640}{3}$

= $-\frac{1}{9}{e}^{-3}+\frac{1}{9}{e}^{-48}+210$

= ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{2x-5}\right]}_2^5$

$=$ $-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 5-5}+\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2-5}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{10-5}+\frac{1}{2}{e}^{4-5}$

= $-\frac{1}{2}{e}^5+\frac{1}{2}{e}^{-1}$