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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 -4 -8 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{5}{3}$

≈ -1,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 \sqrt{x} - 9 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 \sqrt{x} - 9 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- 3 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{5}) ⅆ x

= ${[- 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{6}]}_{0}^{1}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{3}{2} x^{6}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{6} - (- 2 {(\sqrt{0})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{6})$

= $- 2 \cdot 1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1 - (- 2 \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- 2 \cdot 1 - \frac{3}{2} - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 - \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{2} - \frac{3}{2} + 0$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 1 + 3} - e^{- 2 \cdot 0 + 3}$

= $e^{- 2 + 3} - e^{0 + 3}$

= $e - e^{3}$

≈ -17,367

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} x^{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{18} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{18} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (0) - \frac{5}{18} \cdot {(0)}^{6})$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{5}{18} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{5}{18} \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{5}{18} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{405}{128} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{1}{2} - \frac{405}{128} \cdot π^{6}$

≈ -3041,395

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{1}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel