$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4 -12 = -16

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-5x\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot 2^3-5\cdot 2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3-5\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 8-10-\left(\frac{1}{3}\cdot 0+0\right)$

= $\frac{8}{3}-10-\left(0+0\right)$

= $\frac{8}{3}-\frac{30}{3}+0$

= $-\frac{22}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)+e^{-3x}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\pi \right)+e^{-3\cdot \pi }-\left(-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+e^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+e^{-3\cdot \pi }-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0+e^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $\frac{1}{3}+e^{-3\cdot \pi }-\left(0+e^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $e^{-3\cdot \pi }+\frac{1}{3}-e^{-\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(-x+1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{-15}^{-8}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{-x+1}\right)}^3\right]}_{-15}^{-8}$

$=$ $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{-\left(-8\right)+1}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{-\left(-15\right)+1}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{8+1}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{15+1}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{4}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{4}{3}\cdot 64$

= $36-\frac{256}{3}$

= $\frac{108}{3}-\frac{256}{3}$

= $-\frac{148}{3}$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x\right)+\frac{3}{2}{e}^{2x}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\pi \right)+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \pi }-\left(5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $5\cdot 0+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \pi }-\left(5\cdot 1+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $0+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \pi }-\left(5+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $\frac{3}{2}{e}^{2\pi }-\left(\frac{3}{2}{e}^{\pi }+5\right)$

= $\frac{3}{2}{e}^{2\pi }-\frac{3}{2}{e}^{\pi }-1·5$

= $\frac{3}{2}{e}^{2\pi }-\frac{3}{2}{e}^{\pi }-5$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-4}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 3-4}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{6-4}-\frac{1}{2}{e}^{0-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}{e}^{-4}$