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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 -9 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (2 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (2 x + 5) ⅆ x

= ${[x^{2} + 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $1^{2} + 5 \cdot 1 - ({(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1))$

= $1 + 5 - (1 - 5)$

= $1 + 5 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 5)$

= $1 + 5 - 1 + 5$

= $10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} x^{3} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} x^{3} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{8} x^{4} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 4 \cdot 0 - (\frac{5}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{5}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 0 - (\frac{5}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $\frac{405}{128} \cdot π^{4} - \frac{5}{128} \cdot π^{4}$

= $\frac{25}{8} \cdot π^{4}$

≈ 304,403

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{10} - 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{10} - 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{10} - 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{10}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{10}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3} + 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{9})}^{3} + 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $- 2 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 2^{3}$

= $- 2 \cdot 27 + 2 \cdot 8$

= $- 54 + 16$

= $- 38$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 5 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 5 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (3 \cdot \sin (0) - \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $3 \cdot 1 - \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (3 \cdot 0 - \frac{5}{2} e^{0})$

= $3 - \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - \frac{5}{2})$

= $- \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 - (0 - \frac{5}{2})$

= $- \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} e^{- π} + \frac{11}{2}$

≈ 5,392

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{29 - 4})}^{3} - {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{16})}^{3}$

= $5^{3} - 4^{3}$

= $125 - 64$

= $61$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel