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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -6 -8 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (3 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (3 x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 4^{2} - 4 - (\frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 1)$

= $\frac{3}{2} \cdot 16 - 4 - (\frac{3}{2} \cdot 1 - 1)$

= $24 - 4 - (\frac{3}{2} - 1)$

= $20 - (\frac{3}{2} - \frac{2}{2})$

= $20 - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $20 - \frac{1}{2}$

= $\frac{40}{2} - \frac{1}{2}$

= $\frac{39}{2}$

= 19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (- \sqrt[4]{x} - \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (- \sqrt[4]{x} - \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (- x^{\frac{1}{4}} - \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{3}{8} x^{4}]}_{0}^{9}$

= ${[- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} - \frac{3}{8} x^{4}]}_{0}^{9}$

$=$ $- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{9})}^{5} - \frac{3}{8} \cdot 9^{4} - (- \frac{4}{5} {(\sqrt[4]{0})}^{5} - \frac{3}{8} \cdot 0^{4})$

= $- \frac{4}{5} \cdot 1^{5} - \frac{3}{8} \cdot 6561 - (- \frac{4}{5} \cdot 0^{5} - \frac{3}{8} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{5} \cdot 1 - \frac{19683}{8} - (- \frac{4}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{4}{5} - \frac{19683}{8} - (0 + 0)$

= $- \frac{32}{40} - \frac{98415}{40} + 0$

= $- \frac{98447}{40}$

≈ -2472,846

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9 + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 4} + \frac{2}{3} e^{2}$

≈ 4,914

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 x^{5} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 x^{5} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{6} + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{6} \cdot π^{6} + 3 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{6} + 3 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{5}{6} \cdot π^{6} + 3 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{6} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{6} \cdot π^{6} - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - \frac{5}{6} \cdot π^{6} - 3$

= $- 3 - 3 - \frac{5}{6} \cdot π^{6}$

= $- 6 - \frac{5}{6} \cdot π^{6}$

≈ -807,158

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} - \frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} - \frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} - 3 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[\frac{3}{2 (2 x - 3)}]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2 (2 \cdot 4 - 3)} - \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 3)}$

= $\frac{3}{2 (8 - 3)} - \frac{3}{2 (6 - 3)}$

= $\frac{3}{2 \cdot 5} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{5}) - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $\frac{3}{10} - \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{10} - \frac{5}{10}$

= $- \frac{1}{5}$

= -0,2

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel