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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1 +3 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (3 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (3 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[x^{3} - 5 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $0^{3} - 5 \cdot 0 - ({(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2))$

= $0 + 0 - ((- 8) + 10)$

= $- 1 \cdot (- 8) - 1 \cdot 10$

= $8 - 10$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (\frac{7}{2} e^{x} - 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (\frac{7}{2} e^{x} - 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} e^{x} - \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{4} - (\frac{7}{2} e - \frac{1}{2} \cdot 1^{4})$

= $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{1}{2} \cdot 81 - (\frac{7}{2} e - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{81}{2} - (\frac{7}{2} e - \frac{1}{2})$

= $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{81}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{7}{2} e)$

= $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{81}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot \frac{7}{2} e$

= $\frac{7}{2} e^{3} - \frac{81}{2} + \frac{1}{2} - \frac{7}{2} e$

= $\frac{7}{2} e^{3} - 40 - \frac{7}{2} e$

≈ 20,785

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 3}$

≈ 20,036

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{8}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{8}{3} \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{8}{3} \cdot 1 - 3 \cdot 0 - (\frac{8}{3} \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $\frac{8}{3} + 0 - (0 - 3)$

= $\frac{8}{3} + 0 + 3$

= $\frac{8}{3} + 3$

= $\frac{8}{3} + \frac{9}{3}$

= $\frac{17}{3}$

≈ 5,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{6 - 3} + \frac{3}{2} e^{2 - 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{3} + \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ -29,576

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel