Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -1 = 9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (5 x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 + 3 - (\frac{5}{2} \cdot 1 - 3)$

= $\frac{5}{2} + 3 - (\frac{5}{2} - 3)$

= $\frac{5}{2} + \frac{6}{2} - (\frac{5}{2} - \frac{6}{2})$

= $\frac{11}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{11}{2} + \frac{1}{2}$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{4} \cdot \cos (0) - 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{4} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- 2 - (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- 2 + \frac{1}{4}$

= $- \frac{8}{4} + \frac{1}{4}$

= $- \frac{7}{4}$

= -1,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 6} + \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ -6,694

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \cos (0) + \frac{1}{4} \cdot \sin (0))$

= $- 0 + \frac{1}{4} \cdot (- 1) - (- 1 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{4} - (- 1 + 0)$

= $0 - \frac{1}{4} + 1$

= $- \frac{1}{4} + 1$

= $- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

= $\frac{3}{4}$

= 0,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 2} + 3 e^{1 - 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{- 1}$

= $- 3 + 3 e^{- 1}$

≈ -1,896

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel