Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +1.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 5 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- 40 + 12 - (- \frac{5}{2} + 3)$

= $- 28 - (- \frac{5}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 28 - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- 28 - \frac{1}{2}$

= $- \frac{56}{2} - \frac{1}{2}$

= $- \frac{57}{2}$

= -28,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + 5)$

= $- 4 - 5$

= $- 9$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - \frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - \frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} - {(3 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{1}{9 {(3 x - 3)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{9 {(3 \cdot 4 - 3)}^{3}} - \frac{1}{9 {(3 \cdot 2 - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{9 {(12 - 3)}^{3}} - \frac{1}{9 {(6 - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{9 \cdot 9^{3}} - \frac{1}{9 \cdot 3^{3}}$

= $\frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{729}) - \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{27})$

= $\frac{1}{6561} - \frac{1}{243}$

= $\frac{1}{6561} - \frac{27}{6561}$

= $- \frac{26}{6561}$

≈ -0,004

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (- 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 6 \cdot 0 - (- 1) - (- 6 \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel