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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-4)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 -6 -9 = -17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $- 4 + 8 - (- 0 + 0)$

= $- 4 + 8$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 + 5)$

= $2 - 5$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{9}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $\frac{2}{3} + 0$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - 7 \cdot \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 7 \cdot 0 - (- 0 - 7 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 - 7)$

= $1 + 7$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel