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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 +9 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 3 x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 5 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 5)$

= $- \frac{3}{2} + 5 - (- \frac{3}{2} - 5)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{10}{2} - (- \frac{3}{2} - \frac{10}{2})$

= $\frac{7}{2} - 1 \cdot (- \frac{13}{2})$

= $\frac{7}{2} + \frac{13}{2}$

= $10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (π) - \sin (π) - (- \frac{9}{2} \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $- \frac{9}{2} \cdot (- 1) - 0 - (- \frac{9}{2} \cdot 1 - 0)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (- \frac{9}{2} + 0)$

= $\frac{9}{2} + \frac{9}{2}$

= $9$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 0^{3} - \frac{1}{6} \cdot 2^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} \cdot 8$

= $0 - \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - \frac{9}{4} \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 - \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $0 + \frac{9}{4} - (0 - \frac{9}{4})$

= $\frac{9}{4} + \frac{9}{4}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 2)}^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 2)}^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 2)}^{3} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 2)}^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 2)}^{3} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 6 + 2)}^{3} + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 2)}^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3} + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 64) + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 2)$

= $32 + 6 - (0 + 2)$

= $38 - 2$

= $36$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel