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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 6 f(x) x .

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0 6 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

Somit gilt:

0 6 f(x) x = I1 + I2 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x = 12 +6 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( 4x +4 ) x .

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1 4 ( 4x +4 ) x

= [ 2 x 2 +4x ] 1 4

= 2 4 2 +44 - ( 2 1 2 +41 )

= 216 +16 - ( 21 +4 )

= 32 +16 - ( 2 +4 )

= 48 -1 · 6

= 48 -6

= 42

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( cos( x ) -3 ) x .

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0 π ( cos( x ) -3 ) x

= [ sin( x ) -3x ] 0 π

= sin( π ) -3π - ( sin( 0 ) -3( 0 ) )

= 0 -3π - (0+0)

= -3π+0

= -3π


≈ -9,425

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 3 e 2x -2 x .

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2 3 3 e 2x -2 x

= [ 3 2 e 2x -2 ] 2 3

= 3 2 e 23 -2 - 3 2 e 22 -2

= 3 2 e 6 -2 - 3 2 e 4 -2

= 3 2 e 4 - 3 2 e 2


≈ 70,814

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( -4 e 2x -2 sin( x ) ) x .

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1 2 π π ( -4 e 2x -2 sin( x ) ) x

= [ -2 e 2x +2 cos( x ) ] 1 2 π π

= -2 e 2π +2 cos( π ) - ( -2 e 2( 1 2 π ) +2 cos( 1 2 π ) )

= -2 e 2π +2( -1 ) - ( -2 e 2( 1 2 π ) +20 )

= -2 e 2π -2 - ( -2 e 2( 1 2 π ) +0)

= -2 e 2π -2 +2 e π

= -2 e 2π +2 e π -2


≈ -1026,702

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral - 15 2 -4 -2x +1 x .

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- 15 2 -4 -2x +1 x
= - 15 2 -4 ( -2x +1 ) 1 2 x

= [ - 1 3 ( -2x +1 ) 3 2 ] - 15 2 -4

= [ - 1 3 ( -2x +1 ) 3 ] - 15 2 -4

= - 1 3 ( -2( -4 ) +1 ) 3 + 1 3 ( -2( - 15 2 ) +1 ) 3

= - 1 3 ( 8 +1 ) 3 + 1 3 ( 15 +1 ) 3

= - 1 3 ( 9 ) 3 + 1 3 ( 16 ) 3

= - 1 3 3 3 + 1 3 4 3

= - 1 3 27 + 1 3 64

= -9 + 64 3

= - 27 3 + 64 3

= 37 3


≈ 12,333