Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $0 + 0 - (18 - 9)$

= $0 - 1 \cdot 9$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{2} - (- 3 + 0)$

= $0 + \frac{3}{2} + 3$

= $\frac{3}{2} + 3$

= $\frac{3}{2} + \frac{6}{2}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(6 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(0 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 125)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{125}{3}$

= $- 42$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - 5 \cdot \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 0 - 5 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 - 5)$

= $1 + 5$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(6 - 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot (- 8)$

= $\frac{64}{3} + \frac{8}{3}$

= $24$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel