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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 -1 -2 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (2 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{1}^{5}$

$=$ $5^{2} - 2 \cdot 5 - (1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $25 - 10 - (1 - 2)$

= $25 - 10 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 2)$

= $25 - 10 - 1 + 2$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (e^{- 2 x} + 6 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (e^{- 2 x} + 6 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (e^{- 2 x} + 6 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 4 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 16} + 4 {(\sqrt{16})}^{3} - (- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0} + 4 {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 32} + 4 \cdot 4^{3} - (- \frac{1}{2} e^{0} + 4 \cdot 0^{3})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 32} + 4 \cdot 64 - (- \frac{1}{2} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 32} + 256 - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 32} + 256 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 32} + \frac{513}{2}$

= 256,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ -6,679

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot \cos (0) - \frac{1}{3} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $3 \cdot 0 - \frac{1}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 \cdot 1 - \frac{1}{3} e^{0})$

= $0 - \frac{1}{3} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (3 - \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 π} - (\frac{9}{3} - \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 π} - 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 π} - \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- \frac{7}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel