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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +4}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +1.5 +3 +5 = 5.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 3 \cdot 5 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 25 - 15 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 3)$

= $- \frac{25}{2} - 15 - (- \frac{1}{2} - 3)$

= $- \frac{25}{2} - \frac{30}{2} - (- \frac{1}{2} - \frac{6}{2})$

= $- \frac{55}{2} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- \frac{55}{2} + \frac{7}{2}$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + 8 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π) + 8 \cdot \cos (π) - (3 \cdot \sin (0) + 8 \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot 0 + 8 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 + 8 \cdot 1)$

= $0 - 8 - (0 + 8)$

= $- 8 - 8$

= $- 16$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{4 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 1,175

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{3}{2} x^{3} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{3}{2} x^{3} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{8} x^{4} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{8} \cdot π^{4} + \frac{9}{2} \cdot \sin (π) - (\frac{3}{8} \cdot {(0)}^{4} + \frac{9}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{3}{8} \cdot π^{4} + \frac{9}{2} \cdot 0 - (\frac{3}{8} \cdot 0 + \frac{9}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{8} \cdot π^{4} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{3}{8} \cdot π^{4} + 0$

= $\frac{3}{8} \cdot π^{4}$

≈ 36,528

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 5} - e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 6 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{- 1} - e^{5}$

≈ -148,045

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel