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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4 -12 = -11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 3)$

= $0 + 0 - (\frac{2}{3} - 3)$

= $0 - (\frac{2}{3} - \frac{9}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{3})$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} e^{3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} e^{3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} e^{3 x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{9} e^{3 \cdot π} - 5 \cdot \cos (π) - (\frac{1}{9} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{9} e^{3 \cdot π} - 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{9} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{1}{9} e^{3 \cdot π} + 5 - (\frac{1}{9} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $\frac{1}{9} e^{3 \cdot π} + 5 - \frac{1}{9} e^{\frac{3}{2} π}$

= $\frac{1}{9} e^{3 π} - \frac{1}{9} e^{\frac{3}{2} π} + 5$

≈ 1369,481

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + 3)$

= $- 4 - 3$

= $- 7$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 + 6} + \frac{2}{3} e^{0 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{3} + \frac{2}{3} e^{6}$

≈ 255,562

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel