$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 4)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -8 -4 +4 = -8

= ${\left[\frac{3}{2}{x}^2+2x\right]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-\left(\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot 1-2-\left(\frac{3}{2}\cdot 4-4\right)$

= $\frac{3}{2}-2-\left(6-4\right)$

= $\frac{3}{2}-\frac{4}{2}-1·2$

= $-\frac{1}{2}-2$

= $-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}$

= $-\frac{5}{2}$

= ${\left[-5e^{-x}+3x^{\frac{4}{3}}\right]}_4^{16}$

= ${\left[-5e^{-x}+3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4\right]}_4^{16}$

$=$ $-5e^{-16}+3{\left(\sqrt[3]{16}\right)}^4-\left(-5e^{-4}+3{\left(\sqrt[3]{4}\right)}^4\right)$

= $-5e^{-16}+3\cdot 1^4-\left(-5e^{-4}+3\cdot 1^4\right)$

= $-5e^{-16}+3\cdot 1-\left(-5e^{-4}+3\cdot 1\right)$

= $-5e^{-16}+3-\left(-5e^{-4}+3\right)$

= $5e^{-4}-1·3-5e^{-16}+3$

= $5e^{-4}-3-5e^{-16}+3$

= $5e^{-4}-5e^{-16}-3+3$

= $5e^{-4}-5e^{-16}+0$

= ${\left[\frac{1}{4}{\left(-2x+4\right)}^{-2}\right]}_4^6$

= ${\left[\frac{1}{4{\left(-2x+4\right)}^2}\right]}_4^6$

$=$ $\frac{1}{4{\left(-2\cdot 6+4\right)}^2}-\frac{1}{4{\left(-2\cdot 4+4\right)}^2}$

= $\frac{1}{4{\left(-12+4\right)}^2}-\frac{1}{4{\left(-8+4\right)}^2}$

= $\frac{1}{4{\left(-8\right)}^2}-\frac{1}{4{\left(-4\right)}^2}$

= $\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$

= $\frac{1}{256}-\frac{1}{64}$

= $\frac{1}{256}-\frac{4}{256}$

= $-\frac{3}{256}$

= ${\left[-2x^{\frac{3}{2}}-\frac{5}{2}{x}^{-2}\right]}_1^4$

= ${\left[-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3-\frac{5}{2x^2}\right]}_1^4$

$=$ $-2{\left(\sqrt{4}\right)}^3-\frac{5}{2\cdot 4^2}-\left(-2{\left(\sqrt{1}\right)}^3-\frac{5}{2\cdot 1^2}\right)$

= $-2\cdot 2^3-\frac{5}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)-\left(-2\cdot 1^3-\frac{5}{2}\cdot 1\right)$

= $-2\cdot 8-\frac{5}{32}-\left(-2\cdot 1-\frac{5}{2}\right)$

= $-16-\frac{5}{32}-\left(-2-\frac{5}{2}\right)$

= $-\frac{512}{32}-\frac{5}{32}-\left(-\frac{4}{2}-\frac{5}{2}\right)$

= $-\frac{517}{32}-1·\left(-\frac{9}{2}\right)$

= $-\frac{517}{32}+\frac{9}{2}$

= $-\frac{517}{32}+\frac{144}{32}$

= $-\frac{517}{32}+\frac{9}{2}$

= $-\frac{517}{32}+\frac{144}{32}$

= $-\frac{373}{32}$

= ${\left[\frac{1}{2}{\left(2x-2\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 3-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^3$

= $\frac{1}{2}\cdot {\left(6-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(0-2\right)}^3$

= $\frac{1}{2}\cdot 4^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^3$

= $\frac{1}{2}\cdot 64-\frac{1}{2}\cdot \left(-8\right)$

= $32+4$

= $36$