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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 -4 -12 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $4^{3} + 2 \cdot 4 - (0^{3} + 2 \cdot 0)$

= $64 + 8 - (0 + 0)$

= $64 + 8$

= $72$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} e^{- x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} e^{- x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} - (4 \cdot \sin (0) + \frac{1}{4} e^{- (0)})$

= $4 \cdot 1 + \frac{1}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} - (4 \cdot 0 + \frac{1}{4} e^{0})$

= $4 + \frac{1}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} - (0 + \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 - (0 + \frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4} e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 - \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{15}{4}$

≈ 3,802

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 1} - 2 e^{1 - 1}$

= $2 e^{2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{2} - 2$

≈ 12,778

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{2}} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{2}} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (x^{- 2} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- x^{- 1} + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{1}{x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{\frac{3}{2} π} - 2 - (- \frac{1}{\frac{1}{2} π} + 2)$

= $- 2 - \frac{2}{3 π} - (2 - \frac{2}{π})$

= $- 2 - \frac{2}{3 π} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (- \frac{2}{π})$

= $- 2 - \frac{2}{3 π} - 2 + \frac{2}{π}$

= $- 2 - 2 - \frac{2}{3 π} + \frac{2}{π}$

= $- 4 + \frac{4}{3 π}$

≈ -3,576

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 3 e^{- 5 + 1} + 3 e^{- 2 + 1}$

= $- 3 e^{- 4} + 3 e^{- 1}$

≈ 1,049

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel