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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 + 8 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - 8)$

= $- \frac{16}{3} + 8 - (\frac{16}{3} - 8)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{24}{3} - (\frac{16}{3} - \frac{24}{3})$

= $\frac{8}{3} - 1 \cdot (- \frac{8}{3})$

= $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{2 x^{3}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{2 x^{3}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{2} x^{- 3} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} x^{- 2} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{9}{4 x^{2}} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{9}{4 {(2 π)}^{2}} + 5 \cdot \cos (2 π) - (\frac{9}{4 π^{2}} + 5 \cdot \cos (π))$

= $\frac{9}{4 {(2 π)}^{2}} + 5 \cdot 1 - (\frac{9}{4 π^{2}} + 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{9}{4 {(2 π)}^{2}} + 5 - (\frac{9}{4 π^{2}} - 5)$

= $5 + \frac{9}{16 π^{2}} - (- 5 + \frac{9}{4 π^{2}})$

= $5 + \frac{9}{16 π^{2}} - 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot \frac{9}{4 π^{2}}$

= $5 + \frac{9}{16 π^{2}} + 5 - \frac{9}{4 π^{2}}$

= $5 + 5 + \frac{9}{16 π^{2}} - \frac{9}{4 π^{2}}$

= $10 - \frac{27}{16 π^{2}}$

≈ 9,829

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π + \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) - 2 \cdot \cos (2 π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 1$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (\frac{3}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} + 0 - (\frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 {(- 3 x + 5)}^{3} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 {(- 3 x + 5)}^{3} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 3 x + 5)}^{4} - 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 5)}^{4} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 5)}^{4} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 9 + 5)}^{4} - 6 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 3 + 5)}^{4} - 2)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{4} - 6 - (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - 2)$

= $\frac{1}{4} \cdot 256 - 6 - (\frac{1}{4} \cdot 16 - 2)$

= $64 - 6 - (4 - 2)$

= $58 - 1 \cdot 2$

= $58 - 2$

= $56$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel