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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (3 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (3 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - ({(- 2)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $0 + \frac{5}{2} \cdot 0 - ((- 8) + \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- 8 + 10)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - 1 - (5 \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{5} \frac{3}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{5} \frac{3}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 3 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 5 - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 4 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(15 - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(12 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 8^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{25})$

= $- \frac{1}{128} + \frac{1}{50}$

= $- \frac{25}{3200} + \frac{64}{3200}$

= $\frac{39}{3200}$

≈ 0,012

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + 5 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - \frac{5}{3 π^{3}} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{5}{3 π^{3}} - (- 3 \cdot 0 - \frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $3 - \frac{5}{3 π^{3}} - (0 - \frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $3 - \frac{5}{3 π^{3}} + \frac{40}{3 π^{3}}$

= $3 + \frac{35}{3 π^{3}}$

≈ 3,376

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} {(x - 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel