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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 2 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 2 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 2 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{16}{3} - 4 - (- \frac{2}{3} - 2)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{12}{3} - (- \frac{2}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{28}{3} - 1 \cdot (- \frac{8}{3})$

= $- \frac{28}{3} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{20}{3}$

≈ -6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- x^{2} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- x^{2} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{7}{2} \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 0 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0)$

= $- \frac{9}{8} \cdot π^{3} + \frac{1}{24} \cdot π^{3}$

= $- \frac{27}{24} \cdot π^{3} + \frac{1}{24} \cdot π^{3}$

= $- \frac{13}{12} \cdot π^{3}$

≈ -33,59

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 2 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $- 2 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{4}{2} + \frac{5}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 3 + 3} - e^{- 2 + 3}$

= $e^{0} - e$

= $1 - e$

≈ -1,718

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel