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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{-2 +(-1)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 1.5 ) = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -2 -4 -4.5 = -8.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 5 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 5 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (\frac{40}{3} + 6)$

= $0 - (\frac{40}{3} + \frac{18}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{58}{3}$

= $- \frac{58}{3}$

≈ -19,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (2 e^{- 2 x} + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (2 e^{- 2 x} + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x} + x^{3}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot (- 2)} + {(- 2)}^{3} - (- e^{- 2 \cdot (- 3)} + {(- 3)}^{3})$

= $- e^{4} + (- 8) - (- e^{6} + (- 27))$

= $- e^{4} - 8 + e^{6} - 1 \cdot (- 27)$

= $- e^{4} - 8 + e^{6} + 27$

= $e^{6} - e^{4} - 8 + 27$

= $e^{6} - e^{4} + 19$

≈ 367,831

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 5} - e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $e^{9 - 5} - e^{6 - 5}$

= $e^{4} - e$

≈ 51,88

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{1}{2} \cdot \sin (0) - {(0)}^{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0)$

= $- \frac{1}{2} - {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{81}{16} \cdot π^{4} + 0$

= $- \frac{1}{2} - \frac{81}{16} \cdot π^{4}$

≈ -493,634

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} ({(- 2 x + 3)}^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} ({(- 2 x + 3)}^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 2 x + 3)}^{3} - x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 3)}^{3} - 1^{2} - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 3)}^{3} - 0^{2})$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} - 1 - (- \frac{1}{6} \cdot {(0 + 3)}^{3} - 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} - 1 - (- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 1 - 1 - (- \frac{1}{6} \cdot 27 + 0)$

= $- \frac{1}{6} - 1 - (- \frac{9}{2} + 0)$

= $- \frac{1}{6} - \frac{6}{6} - (- \frac{9}{2} + 0)$

= $- \frac{7}{6} + \frac{9}{2}$

= $- \frac{7}{6} + \frac{27}{6}$

= $- \frac{7}{6} + \frac{9}{2}$

= $- \frac{7}{6} + \frac{27}{6}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel