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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (5 x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 + 4 - (\frac{5}{2} \cdot 9 - 12)$

= $\frac{5}{2} + 4 - (\frac{45}{2} - 12)$

= $\frac{5}{2} + \frac{8}{2} - (\frac{45}{2} - \frac{24}{2})$

= $\frac{13}{2} - 1 \cdot \frac{21}{2}$

= $\frac{13}{2} - \frac{21}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- 3 x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{- 2} + \frac{1}{12} x^{6}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{1}{12} x^{6}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2 \cdot 5^{2}} + \frac{1}{12} \cdot 5^{6} - (\frac{3}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{12} \cdot 1^{6})$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{25}) + \frac{1}{12} \cdot 15625 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{1}{12} \cdot 1)$

= $\frac{3}{50} + \frac{15625}{12} - (\frac{3}{2} + \frac{1}{12})$

= $\frac{18}{300} + \frac{390625}{300} - (\frac{18}{12} + \frac{1}{12})$

= $\frac{390643}{300} - 1 \cdot \frac{19}{12}$

= $\frac{390643}{300} - \frac{19}{12}$

= $\frac{390643}{300} - \frac{475}{300}$

= $\frac{32514}{25}$

= 1300,56

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} \frac{3}{{(- 3 x + 4)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(- 3 x + 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(- 3 x + 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 4)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 \cdot 5 + 4)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 4)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 15 + 4)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 9 + 4)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 11)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{1331}) - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

= $- \frac{1}{3993} + \frac{1}{375}$

= $- \frac{125}{499125} + \frac{1331}{499125}$

= $\frac{402}{166375}$

≈ 0,002

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 1} - 2 e^{- 0 + 1}$

= $2 e^{- 1} - 2 e$

≈ -4,701

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel