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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - (1^{3} + 2 \cdot 1^{2})$

= $27 + 2 \cdot 9 - (1 + 2 \cdot 1)$

= $27 + 18 - (1 + 2)$

= $45 - 1 \cdot 3$

= $45 - 3$

= $42$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 e^{- 3 x} + \frac{7}{4} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 e^{- 3 x} + \frac{7}{4} x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{- 3 x} + \frac{7}{24} x^{6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 3} + \frac{7}{24} \cdot 3^{6} - (\frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 1} + \frac{7}{24} \cdot 1^{6})$

= $\frac{4}{3} e^{- 9} + \frac{7}{24} \cdot 729 - (\frac{4}{3} e^{- 3} + \frac{7}{24} \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} e^{- 9} + \frac{1701}{8} - (\frac{4}{3} e^{- 3} + \frac{7}{24})$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} - 1 \cdot \frac{7}{24} + \frac{4}{3} e^{- 9} + \frac{1701}{8}$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} - \frac{7}{24} + \frac{4}{3} e^{- 9} + \frac{1701}{8}$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} + \frac{4}{3} e^{- 9} - \frac{7}{24} + \frac{1701}{8}$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} + \frac{4}{3} e^{- 9} + \frac{637}{3}$

≈ 212,267

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \cos (2 \cdot (0) + π)$

= $- \cos (2 π) + \cos (π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (- 2 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $2 + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - (0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $2 + \frac{4}{3} \cdot π^{3} - \frac{1}{6} \cdot π^{3}$

= $2 + \frac{7}{6} \cdot π^{3}$

≈ 38,174

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 1$

= $0 - 3$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel