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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +1 +3 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 36 + \frac{27}{2} - (- \frac{4}{3} + \frac{3}{2})$

= $- \frac{72}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{8}{6} + \frac{9}{6})$

= $- \frac{45}{2} - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $- \frac{45}{2} - \frac{1}{6}$

= $- \frac{135}{6} - \frac{1}{6}$

= $- \frac{68}{3}$

≈ -22,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) - \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 - \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{5}{4} - (5 + 0)$

= $0 + \frac{5}{4} - 5$

= $\frac{5}{4} - 5$

= $\frac{5}{4} - \frac{20}{4}$

= $- \frac{15}{4}$

= -3,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \cos (π)$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (- 3 + 0)$

= $- 3 + 3$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 3} - 2 e^{1 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$

≈ 0,465

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel