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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 +4 +5 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 - 6)$

= $- \frac{5}{2} + 2 - (- \frac{45}{2} - 6)$

= $- \frac{5}{2} + \frac{4}{2} - (- \frac{45}{2} - \frac{12}{2})$

= $- \frac{1}{2} - 1 \cdot (- \frac{57}{2})$

= $- \frac{1}{2} + \frac{57}{2}$

= $28$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (\cos (x) - \frac{1}{2} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (\cos (x) - \frac{1}{2} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (\cos (x) - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[\sin (x) - \frac{1}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{9}$

$=$ $\sin (9) - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - (\sin (1) - \frac{1}{3} {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\sin (9) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\sin (1) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

= $\sin (9) - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\sin (1) - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\sin (9) - 9 - (\sin (1) - \frac{1}{3})$

= $\sin (9) - 9 - 1 \cdot \sin (1) - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\sin (9) - 9 - \sin (1) + \frac{1}{3}$

= $\sin (9) - \sin (1) - 9 + \frac{1}{3}$

= $\sin (9) - \sin (1) - \frac{26}{3}$

≈ -9,096

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 3} + 2 e^{1 - 3}$

= $- 2 e^{0} + 2 e^{- 2}$

= $- 2 + 2 e^{- 2}$

≈ -1,729

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (π) + \frac{1}{4} \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{2} \cdot \cos (0) + \frac{1}{4} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{9}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{4} \cdot 0 - (- \frac{9}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (- \frac{9}{2} + 0)$

= $\frac{9}{2} + \frac{9}{2}$

= $9$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel