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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - ({(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $1 + 3 - (9 + 9)$

= $1 + 3 - 1 \cdot 9 - 1 \cdot 9$

= $1 + 3 - 9 - 9$

= $- 14$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} x^{3} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} x^{3} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{16} x^{4} - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{16} \cdot π^{4} - 3 \cdot \cos (π) - (\frac{7}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{16} \cdot π^{4} - 3 \cdot (- 1) - (\frac{7}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{7}{16} \cdot π^{4} + 3 - (\frac{7}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $3 + \frac{7}{16} \cdot π^{4} - \frac{7}{256} \cdot π^{4}$

= $3 + \frac{105}{256} \cdot π^{4}$

≈ 42,953

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} ({(x - 1)}^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} ({(x - 1)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} + x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 - 1)}^{3} + 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3} + 2^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 4)$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 4)$

= $\frac{8}{3} + 9 - (\frac{1}{3} + 4)$

= $\frac{8}{3} + \frac{27}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{12}{3})$

= $\frac{35}{3} - 1 \cdot \frac{13}{3}$

= $\frac{35}{3} - \frac{13}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{5}{3} \cdot 0 - (2 \cdot 1 - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$

≈ 603,643

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel