Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -4.5 -6 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + 3)$

= $\frac{1}{3} - 1 - (- 9 + 3)$

= $\frac{1}{3} - \frac{3}{3} - 1 \cdot (- 6)$

= $- \frac{2}{3} + 6$

= $- \frac{2}{3} + \frac{18}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 2 e^{- x} - x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 2 e^{- x} - x^{4}) ⅆ x

= ${[2 e^{- x} - \frac{1}{5} x^{5}]}_{-1}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5} - (2 e^{- (- 1)} - \frac{1}{5} \cdot {(- 1)}^{5})$

= $2 e^{- 3} - \frac{1}{5} \cdot 243 - (2 e - \frac{1}{5} \cdot (- 1))$

= $2 e^{- 3} - \frac{243}{5} - (2 e + \frac{1}{5})$

= $2 e^{- 3} - \frac{243}{5} - (\frac{1}{5} + 2 e)$

= $2 e^{- 3} - \frac{243}{5} - 1 \cdot \frac{1}{5} - 1 \cdot 2 e$

= $2 e^{- 3} - \frac{243}{5} - \frac{1}{5} - 2 e$

= $2 e^{- 3} - \frac{244}{5} - 2 e$

≈ -54,137

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{9 - 3} + \frac{2}{3} e^{3 - 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{6} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{6} + \frac{2}{3}$

≈ -268,286

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (0) - \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $3 + 0 - (0 - \frac{5}{2})$

= $3 - (0 - \frac{5}{2})$

= $3 + \frac{5}{2}$

= $\frac{6}{2} + \frac{5}{2}$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 3} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{3}{2} e^{- 8 + 3} - \frac{3}{2} e^{- 4 + 3}$

= $\frac{3}{2} e^{- 5} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ -0,542

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel