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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 3 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 3 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 3 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) - (- {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2))$

= $- (- 1) + 3 - (- (- 8) + 6)$

= $1 + 3 - (8 + 6)$

= $4 - 1 \cdot 14$

= $4 - 14$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (- 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- 6 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} - (- 6 + 0)$

= $0 - \frac{1}{2} + 6$

= $- \frac{1}{2} + 6$

= $- \frac{1}{2} + \frac{12}{2}$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 {(- 2 x + 1)}^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 {(- 2 x + 1)}^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{3} + 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 1)}^{3} + 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3} + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 1)}^{3} + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(0 + 1)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + 5 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} + 5 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} + \frac{15}{3} - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{16}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{17}{3}$

≈ 5,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- 1 + 3 \cdot 0 - (0 + 3 \cdot 1)$

= $- 1 + 0 - (0 + 3)$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 2} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6 + 2} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 4} + \frac{1}{2} e^{- 2}$

≈ 0,059

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel