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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 6 +2 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 3 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 3 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- 1^{3} - 3 \cdot 1 - (- {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1))$

= $- 1 - 3 - (- (- 1) + 3)$

= $- 1 - 3 - (1 + 3)$

= $- 4 - 1 \cdot 4$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (7 \sqrt{x} + e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (7 \sqrt{x} + e^{2 x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (7 x^{\frac{1}{2}} + e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{14}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} e^{2 x}]}_{0}^{16}$

= ${[\frac{14}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{1}{2} e^{2 x}]}_{0}^{16}$

$=$ $\frac{14}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 16} - (\frac{14}{3} {(\sqrt{0})}^{3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0})$

= $\frac{14}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} e^{32} - (\frac{14}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} e^{0})$

= $\frac{14}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} e^{32} - (\frac{14}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{896}{3} + \frac{1}{2} e^{32} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{32} + \frac{896}{3} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{32} + \frac{896}{3} - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{32} + \frac{1789}{6}$

= 39481480091638

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 5} + e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $- e^{4 - 5} + e^{2 - 5}$

= $- e^{- 1} + e^{- 3}$

≈ -0,318

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \sin (x) + 2 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \sin (x) + 2 x^{5}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + \frac{1}{3} x^{6}]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (π) + \frac{1}{3} \cdot π^{6} - (\cos (0) + \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 1 + \frac{1}{3} \cdot π^{6} - (1 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- 1 + \frac{1}{3} \cdot π^{6} - (1 + 0)$

= $- 1 + \frac{1}{3} \cdot π^{6} - 1$

= $- 1 - 1 + \frac{1}{3} \cdot π^{6}$

= $- 2 + \frac{1}{3} \cdot π^{6}$

≈ 318,463

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel