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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 9 + 15)$

= $8 + 10 - (18 + 15)$

= $18 - 1 \cdot 33$

= $18 - 33$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (\frac{7}{4} e^{x} - 3 \sqrt[4]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (\frac{7}{4} e^{x} - 3 \sqrt[4]{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (\frac{7}{4} e^{x} - 3 x^{\frac{1}{4}}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} e^{x} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{4}}]}_{0}^{16}$

= ${[\frac{7}{4} e^{x} - \frac{12}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5}]}_{0}^{16}$

$=$ $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{12}{5} {(\sqrt[4]{16})}^{5} - (\frac{7}{4} e^{0} - \frac{12}{5} {(\sqrt[4]{0})}^{5})$

= $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{12}{5} \cdot 2^{5} - (\frac{7}{4} - \frac{12}{5} \cdot 0^{5})$

= $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{12}{5} \cdot 32 - (\frac{7}{4} - \frac{12}{5} \cdot 0)$

= $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{384}{5} - (\frac{7}{4} + 0)$

= $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{384}{5} - \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4} e^{16} - \frac{1571}{20}$

≈ 15550614,861

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π + \frac{3}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π)$

= $\cos (\frac{5}{2} π) - \cos (2 π)$

= $0 - 1$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (5 x^{2} - \frac{5}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (5 x^{2} - \frac{5}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (5 x^{2} - \frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - \frac{10}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{9}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 9^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{5}{3} \cdot 729 - \frac{10}{9} \cdot 3^{3} - (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{10}{9} \cdot 1^{3})$

= $1 215 - \frac{10}{9} \cdot 27 - (\frac{5}{3} - \frac{10}{9} \cdot 1)$

= $1 215 - 30 - (\frac{5}{3} - \frac{10}{9})$

= $1 185 - (\frac{15}{9} - \frac{10}{9})$

= $1 185 - 1 \cdot \frac{5}{9}$

= $1 185 - \frac{5}{9}$

= $\frac{10665}{9} - \frac{5}{9}$

= $1 185 - \frac{5}{9}$

= $\frac{10665}{9} - \frac{5}{9}$

= $\frac{10660}{9}$

≈ 1184,444

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e - 2 e^{0}$

= $2 e - 2$

≈ 3,437

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel