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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 25 - 20 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $\frac{25}{2} - 20 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $\frac{25}{2} - \frac{40}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $- \frac{15}{2} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- \frac{15}{2} + \frac{7}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $0 - \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{4})$

= $- \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} \frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} \frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} {(- 2 x + 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 2)}^{- 3}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{1}{6 {(- 2 x + 2)}^{3}}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{6 {(- 2 \cdot 5 + 2)}^{3}} - \frac{1}{6 {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{6 {(- 10 + 2)}^{3}} - \frac{1}{6 {(- 4 + 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{6 {(- 8)}^{3}} - \frac{1}{6 {(- 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{6} \cdot (- \frac{1}{512}) - \frac{1}{6} \cdot (- \frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{3072} + \frac{1}{48}$

= $- \frac{1}{3072} + \frac{64}{3072}$

= $\frac{21}{1024}$

≈ 0,021

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π) - 2 \cdot \cos (π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 - 2 \cdot (- 1) - (- 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (- 1 + 0)$

= $2 + 1$

= $3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- π - π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - π)$

= $3 \cdot \sin (- 2 π) - 3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 1$

= $0 - 3$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel