Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{2} - 5 \cdot 3 - (- {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $- 9 - 15 - (- 1 + 5)$

= $- 9 - 15 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 5$

= $- 9 - 15 + 1 - 5$

= $- 28$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $0 + 2 \cdot (- 1) - (1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (1 + 0)$

= $- 2 - 1$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{3 - 6} - \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ 0,016

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (π) - (- \cos (0) - \frac{2}{3} \cdot \sin (0))$

= $- (- 1) - \frac{2}{3} \cdot 0 - (- 1 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (2 {(x - 3)}^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (2 {(x - 3)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(2 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(1 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) + 6 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2})$

= $- \frac{2}{3} + 6 - (- \frac{16}{3} + \frac{3}{2})$

= $- \frac{2}{3} + \frac{18}{3} - (- \frac{32}{6} + \frac{9}{6})$

= $\frac{16}{3} - 1 \cdot (- \frac{23}{6})$

= $\frac{16}{3} + \frac{23}{6}$

= $\frac{32}{6} + \frac{23}{6}$

= $\frac{16}{3} + \frac{23}{6}$

= $\frac{32}{6} + \frac{23}{6}$

= $\frac{55}{6}$

≈ 9,167

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel