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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -3 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 5 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 5 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 - 15 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + 5)$

= $- 18 - 15 - (\frac{2}{3} + 5)$

= $- 33 - (\frac{2}{3} + \frac{15}{3})$

= $- 33 - 1 \cdot \frac{17}{3}$

= $- 33 - \frac{17}{3}$

= $- \frac{99}{3} - \frac{17}{3}$

= $- \frac{116}{3}$

≈ -38,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (9 \cdot \cos (x) + 7 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (9 \cdot \cos (x) + 7 e^{- x}) ⅆ x

= ${[9 \cdot \sin (x) - 7 e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $9 \cdot \sin (π) - 7 e^{- π} - (9 \cdot \sin (0) - 7 e^{- (0)})$

= $9 \cdot 0 - 7 e^{- π} - (9 \cdot 0 - 7 e^{0})$

= $0 - 7 e^{- π} - (0 - 7)$

= $- 7 e^{- π} + 7$

≈ 6,698

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (0) + \cos (π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- e^{- (\frac{3}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- e^{- (\frac{3}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- e^{- (\frac{3}{2} π)} + \frac{1}{2} - (- e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2})$

= $- e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{2} + e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{2} + e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{1}{2}$

= $e^{- \frac{1}{2} π} - e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $e^{- \frac{1}{2} π} - e^{- \frac{3}{2} π} + 1$

≈ 1,199

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $\frac{1}{3} e^{- 6 + 6} - \frac{1}{3} e^{- 3 + 6}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{3}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ -6,362

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel