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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +4 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{4} (3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x]}_{1}^{4}$

$=$ $4^{3} + 2 \cdot 4 - (1^{3} + 2 \cdot 1)$

= $64 + 8 - (1 + 2)$

= $64 + 8 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2$

= $64 + 8 - 1 - 2$

= $69$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 8 \cdot \cos (0) - \frac{1}{3} \cdot \sin (0))$

= $- 8 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 8 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{3} - (- 8 + 0)$

= $0 - \frac{1}{3} + 8$

= $- \frac{1}{3} + 8$

= $- \frac{1}{3} + \frac{24}{3}$

= $\frac{23}{3}$

≈ 7,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (2 {(x - 2)}^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} (2 {(x - 2)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(3 - 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{27}{2} - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 0)$

= $\frac{2}{3} + \frac{27}{2} - (- \frac{16}{3} + 0)$

= $\frac{4}{6} + \frac{81}{6} - (- \frac{16}{3} + 0)$

= $\frac{85}{6} + \frac{16}{3}$

= $\frac{85}{6} + \frac{32}{6}$

= $\frac{39}{2}$

= 19,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{4} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{4} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{5} x^{5} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{2}{5} \cdot {(0)}^{5} + 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 2 \cdot 0 - (\frac{2}{5} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0 - (0 + 2)$

= $\frac{1}{80} \cdot π^{5} - 2$

≈ 1,825

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x$ .

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\int_{3}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{x - 2}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4 - 2} + \frac{1}{3 - 2}$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{2}) + 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel