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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -9 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot (- 2) - (\frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 8) - 10 - (\frac{5}{3} \cdot (- 27) - 15)$

= $- \frac{40}{3} - 10 - (- 45 - 15)$

= $- \frac{40}{3} - \frac{30}{3} - 1 \cdot (- 60)$

= $- \frac{70}{3} + 60$

= $- \frac{70}{3} + \frac{180}{3}$

= $\frac{110}{3}$

≈ 36,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (2 \sqrt{x} - 3 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (2 \sqrt{x} - 3 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{6}]}_{4}^{16}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{1}{2} x^{6}]}_{4}^{16}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 16^{6} - (\frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4^{6})$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{2} \cdot 16 777 216 - (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4096)$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - 8 388 608 - (\frac{4}{3} \cdot 8 - 2 048)$

= $\frac{256}{3} - 8 388 608 - (\frac{32}{3} - 2 048)$

= $\frac{256}{3} - \frac{25165824}{3} - (\frac{32}{3} - \frac{6144}{3})$

= $- \frac{25165568}{3} - 1 \cdot (- \frac{6112}{3})$

= $- \frac{25165568}{3} + \frac{6112}{3}$

= $- \frac{25159456}{3}$

≈ -8386485,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 2} + 2 e^{2 - 2}$

= $- 2 e + 2 e^{0}$

= $- 2 e + 2$

≈ -3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (π) + \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - (- 5 \cdot \cos (0) + \frac{7}{2} \cdot \sin (0))$

= $- 5 \cdot (- 1) + \frac{7}{2} \cdot 0 - (- 5 \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $5 + 0 - (- 5 + 0)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + π) - 3 \cdot \sin (- (0) + π)$

= $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel