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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -1 -2 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 2 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 125 + 10 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{625}{3} + 10 - (- \frac{5}{3} + 2)$

= $- \frac{625}{3} + \frac{30}{3} - (- \frac{5}{3} + \frac{6}{3})$

= $- \frac{595}{3} - 1 \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{595}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{596}{3}$

≈ -198,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (\frac{7}{x^{4}} + \frac{8}{3} \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (\frac{7}{x^{4}} + \frac{8}{3} \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (7 x^{- 4} + \frac{8}{3} x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{3} x^{- 3} + 2 x^{\frac{4}{3}}]}_{4}^{9}$

= ${[- \frac{7}{3 x^{3}} + 2 {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{4}^{9}$

$=$ $- \frac{7}{3 \cdot 9^{3}} + 2 {(\sqrt[3]{9})}^{4} - (- \frac{7}{3 \cdot 4^{3}} + 2 {(\sqrt[3]{4})}^{4})$

= $- \frac{7}{3} \cdot (\frac{1}{729}) + 2 \cdot 1^{4} - (- \frac{7}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + 2 \cdot 1^{4})$

= $- \frac{7}{2187} + 2 \cdot 1 - (- \frac{7}{192} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{7}{2187} + 2 - (- \frac{7}{192} + 2)$

= $- \frac{7}{2187} + \frac{4374}{2187} - (- \frac{7}{192} + \frac{384}{192})$

= $\frac{4367}{2187} - 1 \cdot \frac{377}{192}$

= $\frac{4367}{2187} - \frac{377}{192}$

= $\frac{279488}{139968} - \frac{274833}{139968}$

= $\frac{4367}{2187} - \frac{377}{192}$

= $\frac{279488}{139968} - \frac{274833}{139968}$

= $\frac{4655}{139968}$

≈ 24,776

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 - 1} + e^{0 - 1}$

= $- e + e^{- 1}$

≈ -2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 - \frac{7}{2} \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 - \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $0 + \frac{7}{2} - (0 - \frac{7}{2})$

= $\frac{7}{2} + \frac{7}{2}$

= $7$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 8 + 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 64) - \frac{1}{2} \cdot 8$

= $- 32 - 4$

= $- 36$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel