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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -4 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 64 + 2 \cdot 16 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{256}{3} + 32 - (0 + 0)$

= $- \frac{256}{3} + \frac{96}{3} + 0$

= $- \frac{160}{3}$

≈ -53,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) - 2 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) - 2 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{2}{5} x^{5}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- \cos (0) - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $- (- 1) - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- 1 - \frac{2}{5} \cdot 0)$

= $1 - \frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- 1 + 0)$

= $1 - \frac{2}{5} \cdot π^{5} + 1$

= $1 + 1 - \frac{2}{5} \cdot π^{5}$

= $2 - \frac{2}{5} \cdot π^{5}$

≈ -120,408

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (- (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- π) + \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) - 5 \cdot \cos (π) - (\sin (0) - 5 \cdot \cos (0))$

= $0 - 5 \cdot (- 1) - (0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 2 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel