Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (4 x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (4 x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) - \frac{3}{2} \cdot 9)$

= $0 + 0 - (- 36 - \frac{27}{2})$

= $0 - (- \frac{72}{2} - \frac{27}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{99}{2})$

= $\frac{99}{2}$

= 49,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (4 e^{- 3 x} - \frac{8}{3} x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (4 e^{- 3 x} - \frac{8}{3} x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} e^{- 3 x} - \frac{8}{15} x^{5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 3} - \frac{8}{15} \cdot 3^{5} - (- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 0} - \frac{8}{15} \cdot 0^{5})$

= $- \frac{4}{3} e^{- 9} - \frac{8}{15} \cdot 243 - (- \frac{4}{3} e^{0} - \frac{8}{15} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 9} - \frac{648}{5} - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 9} - \frac{648}{5} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{- 9} - \frac{1924}{15}$

≈ -128,267

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- 5 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{4 - 1} + \frac{1}{2} e^{0 - 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{3} + \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ -9,859

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel