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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -4.5 -6 = -6.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 5 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 - 10 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} - 10 - (0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{30}{3} + 0$

= $- \frac{46}{3}$

≈ -15,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (5 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{9}{4} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (5 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{9}{4} x^{5}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{9}{4} x^{5}) ⅆ x

= ${[2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{8} x^{6}]}_{4}^{9}$

= ${[2 {(\sqrt{x})}^{5} - \frac{3}{8} x^{6}]}_{4}^{9}$

$=$ $2 {(\sqrt{9})}^{5} - \frac{3}{8} \cdot 9^{6} - (2 {(\sqrt{4})}^{5} - \frac{3}{8} \cdot 4^{6})$

= $2 \cdot 3^{5} - \frac{3}{8} \cdot 531 441 - (2 \cdot 2^{5} - \frac{3}{8} \cdot 4096)$

= $2 \cdot 243 - \frac{1594323}{8} - (2 \cdot 32 - 1 536)$

= $486 - \frac{1594323}{8} - (64 - 1 536)$

= $\frac{3888}{8} - \frac{1594323}{8} - 1 \cdot (- 1 472)$

= $- \frac{1590435}{8} + 1 472$

= $- \frac{1590435}{8} + \frac{11776}{8}$

= $- \frac{1578659}{8}$

= -197332,375

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{3} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{3} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 3 x + 7)}^{4} + x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{4} + 3^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{4} + 2^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 9 + 7)}^{4} + 9 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 7)}^{4} + 4)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{4} + 9 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{4} + 4)$

= $\frac{1}{6} \cdot 16 + 9 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 4)$

= $\frac{8}{3} + 9 - (\frac{1}{6} + 4)$

= $\frac{8}{3} + \frac{27}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{24}{6})$

= $\frac{35}{3} - 1 \cdot \frac{25}{6}$

= $\frac{35}{3} - \frac{25}{6}$

= $\frac{70}{6} - \frac{25}{6}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{4} \cdot \sin (0) - \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{4} \cdot (- 1) - \frac{1}{4} \cdot 0 - (\frac{5}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{4} + 0 - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6 + 4} + \frac{1}{2} e^{0 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} e^{4}$

≈ 27,231

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel