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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{5}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{8}{3} + 10 - (0 + 0)$

= $\frac{8}{3} + \frac{30}{3} + 0$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) + e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) + e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (- \cos (0) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- (- 1) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (- 1 - \frac{1}{2} e^{0})$

= $1 - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (- 1 - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 1 - (- \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 1 - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} + 1 + \frac{3}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 π} + \frac{5}{2}$

≈ 2,499

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π + \frac{3}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π)$

= $\cos (\frac{5}{2} π) - \cos (2 π)$

= $0 - 1$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- x^{4} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- x^{4} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{5} - x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - 1^{2} - (- \frac{1}{5} \cdot {(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{1}{5} \cdot 1 - 1 - (- \frac{1}{5} \cdot (- 1) - 1)$

= $- \frac{1}{5} - 1 - (\frac{1}{5} - 1)$

= $- \frac{1}{5} - \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} - \frac{5}{5})$

= $- \frac{6}{5} - 1 \cdot (- \frac{4}{5})$

= $- \frac{6}{5} + \frac{4}{5}$

= $- \frac{2}{5}$

= -0,4

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 2 - 4)}^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(4 - 4)}^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(0 - 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot (- 64)$

= $0 - \frac{32}{3}$

= $- \frac{32}{3}$

≈ -10,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel