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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -2 -4 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 5 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 5 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 27 + 9 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- 45 + 9 - (0 + 0)$

= $- 36 + 0$

= $- 36$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $4 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (4 + 0)$

= $- 2 - 4$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 4)}^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 4)}^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 9 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{27}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{3} - \frac{3}{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 8) - \frac{27}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 8 - \frac{3}{2})$

= $4 - \frac{27}{2} - (- 4 - \frac{3}{2})$

= $\frac{8}{2} - \frac{27}{2} - (- \frac{8}{2} - \frac{3}{2})$

= $- \frac{19}{2} - 1 \cdot (- \frac{11}{2})$

= $- \frac{19}{2} + \frac{11}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) + 5 \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $0 - 5 - (0 + 5)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} - \sqrt{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} - \sqrt{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}} - {(- 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 2})}^{3}]}_{- \frac{23}{2}}^{- \frac{7}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{7}{2}) + 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{23}{2}) + 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{7 + 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 125$

= $9 - \frac{125}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{125}{3}$

= $- \frac{98}{3}$

≈ -32,667

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Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel