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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -1 -2 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 2 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 2 x - 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 4 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{2} - 4 \cdot 4 - (- 0^{2} - 4 \cdot 0)$

= $- 16 - 16 - (- 0 + 0)$

= $- 16 - 16$

= $- 32$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (\frac{1}{2} \sqrt[4]{x} - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (\frac{1}{2} \sqrt[4]{x} - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{4}} - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{5} x^{\frac{5}{4}} + e^{- 3 x}]}_{4}^{16}$

= ${[\frac{2}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + e^{- 3 x}]}_{4}^{16}$

$=$ $\frac{2}{5} {(\sqrt[4]{16})}^{5} + e^{- 3 \cdot 16} - (\frac{2}{5} {(\sqrt[4]{4})}^{5} + e^{- 3 \cdot 4})$

= $\frac{2}{5} \cdot 2^{5} + e^{- 48} - (\frac{2}{5} \cdot 1^{5} + e^{- 12})$

= $\frac{2}{5} \cdot 32 + e^{- 48} - (\frac{2}{5} \cdot 1 + e^{- 12})$

= $\frac{64}{5} + e^{- 48} - (\frac{2}{5} + e^{- 12})$

= $e^{- 48} + \frac{64}{5} - (e^{- 12} + \frac{2}{5})$

= $- e^{- 12} - 1 \cdot \frac{2}{5} + e^{- 48} + \frac{64}{5}$

= $- e^{- 12} - \frac{2}{5} + e^{- 48} + \frac{64}{5}$

= $- e^{- 12} + e^{- 48} - \frac{2}{5} + \frac{64}{5}$

= $- e^{- 12} + e^{- 48} + \frac{62}{5}$

≈ 10,537

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x$ .

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\int_{2}^{5} - 2 {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(3 x - 7)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 5 - 7)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(15 - 7)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(6 - 7)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 8^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 4 096 + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{2048}{3} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{4096}{6} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{1365}{2}$

= -682,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + 8 \cdot \cos (π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 + 8 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 1 + 8 \cdot 0)$

= $0 - 8 - (- 2 + 0)$

= $- 8 + 2$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel