Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 1 +3 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 4 + 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 4 - 6)$

= $- 6 + 6 - (- 6 - 6)$

= $0 - 1 \cdot (- 12)$

= $0 + 12$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{3} \cdot \sin (0) - e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{3} \cdot 0 - e^{0})$

= $\frac{5}{3} - e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - 1)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \frac{5}{3} + 1$

= $- e^{- 3 π} + \frac{8}{3}$

≈ 2,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (3 {(- 2 x + 2)}^{3} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (3 {(- 2 x + 2)}^{3} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{8} {(- 2 x + 2)}^{4} + 5 x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 5 + 2)}^{4} + 5 \cdot 5 - (- \frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{4} + 5 \cdot 2)$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(- 10 + 2)}^{4} + 25 - (- \frac{3}{8} \cdot {(- 4 + 2)}^{4} + 10)$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(- 8)}^{4} + 25 - (- \frac{3}{8} \cdot {(- 2)}^{4} + 10)$

= $- \frac{3}{8} \cdot 4 096 + 25 - (- \frac{3}{8} \cdot 16 + 10)$

= $- 1 536 + 25 - (- 6 + 10)$

= $- 1 511 - 1 \cdot 4$

= $- 1 511 - 4$

= $- 1 515$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $0 - 3 \cdot (- 1) - (0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 + 6} - \frac{2}{3} e^{0 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{6}$

≈ -255,562

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel