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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +5}{2}$ = 2 ⋅ 4.5 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +4 +8 +9 = 15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} + 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 0$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 2 x^{3} + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 2 x^{3} + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{4} + x^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{4} + 3^{3} - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{4} + 1^{3})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 81 + 27 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{81}{2} + 27 - (- \frac{1}{2} + 1)$

= $- \frac{81}{2} + \frac{54}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

= $- \frac{27}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{27}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 14$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (2 {(2 x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (2 {(2 x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3} + 6 x]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 5 - 2)}^{3} + 6 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3} + 6 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(10 - 2)}^{3} + 30 - (\frac{1}{3} \cdot {(4 - 2)}^{3} + 12)$

= $\frac{1}{3} \cdot 8^{3} + 30 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 12)$

= $\frac{1}{3} \cdot 512 + 30 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 12)$

= $\frac{512}{3} + 30 - (\frac{8}{3} + 12)$

= $\frac{512}{3} + \frac{90}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{36}{3})$

= $\frac{602}{3} - 1 \cdot \frac{44}{3}$

= $\frac{602}{3} - \frac{44}{3}$

= $186$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- (- 1) + 4 \cdot 0 - (- 0 + 4 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 + 4)$

= $1 - 4$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(- 3 x + 6)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 9 + 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 27) - \frac{1}{9} \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel