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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 +1 +3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 + 6 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{45}{2} + 6 - (- \frac{5}{2} - 2)$

= $- \frac{45}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{5}{2} - \frac{4}{2})$

= $- \frac{33}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- \frac{33}{2} + \frac{9}{2}$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{- 2 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 e^{- 2 x} + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x} + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- e^{- 2 \cdot (0)} + 3 \cdot \sin (0))$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot (- 1) - (- e^{0} + 3 \cdot 0)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 - (- 1 + 0)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 + 1$

= $- e^{- 3 π} - 2$

≈ -2

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - 9 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - 9 x^{2}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - 3 x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $2 \cdot 0 - 3 \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (2 \cdot 0 - 3 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $0 - 3 \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (0 - 3 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- \frac{81}{8} \cdot π^{3} + \frac{3}{8} \cdot π^{3}$

= $- \frac{39}{4} \cdot π^{3}$

≈ -302,311

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 3} - e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $e^{- 6 + 3} - e^{0 + 3}$

= $e^{- 3} - e^{3}$

≈ -20,036

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel