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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -9 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 x - 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- 4^{2} - 3 \cdot 4 - (- 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- 16 - 12 - (- 1 - 3)$

= $- 16 - 12 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3)$

= $- 16 - 12 + 1 + 3$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (0) + \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $- 3 \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1 - (- 3 \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{2} - (- 3 + 0)$

= $0 + \frac{3}{2} + 3$

= $\frac{3}{2} + 3$

= $\frac{3}{2} + \frac{6}{2}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \sin (0)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 5 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 5 x^{4}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + x^{5}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot \cos (0) + {(0)}^{5})$

= $- 5 \cdot 0 + {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot 1 + 0)$

= $0 + {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 + 0)$

= $\frac{243}{32} \cdot π^{5} + 5$

≈ 2328,837

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (2 {(- 2 x + 2)}^{3} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (2 {(- 2 x + 2)}^{3} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 2)}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 5 + 2)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2})$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 10 + 2)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot 25 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 4 + 2)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 8)}^{4} + \frac{25}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 2)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 4 096 + \frac{25}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot 16 + 2)$

= $- 1 024 + \frac{25}{2} - (- 4 + 2)$

= $- \frac{2048}{2} + \frac{25}{2} - 1 \cdot (- 2)$

= $- \frac{2023}{2} + 2$

= $- \frac{2023}{2} + \frac{4}{2}$

= $- \frac{2023}{2} + 2$

= $- \frac{2023}{2} + \frac{4}{2}$

= $- \frac{2019}{2}$

= -1009,5

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel