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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-4)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 3.5 ) = -10.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 -10.5 = -21

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) - 3)$

= $- \frac{8}{3} - 2 - (- 9 - 3)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - 1 \cdot (- 12)$

= $- \frac{14}{3} + 12$

= $- \frac{14}{3} + \frac{36}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{4 - 2} + \frac{1}{2} e^{2 - 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{0}$

= $- \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2}$

≈ -3,195

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (\frac{4}{5} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{3}{2} + \frac{243}{40} \cdot π^{5} + 0$

= $\frac{3}{2} + \frac{243}{40} \cdot π^{5}$

≈ 1860,57

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - \frac{1}{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - \frac{1}{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 2 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 5 + 2 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 2 + 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 10 + 2 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (8) - \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (8) - \frac{1}{2} \ln (2)$

≈ 0,693

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel