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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 9 f(x) x .

Lösung einblenden

0 9 f(x) x gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 3 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 = 5 7 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 3 2 = 6 2 = 3.

I4 = 7 9 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

0 9 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 3 f(x) x + 3 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 9 f(x) x = -9 -3 +3 +6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( x 2 -4x ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( x 2 -4x ) x

= [ 1 3 x 3 -2 x 2 ] 1 4

= 1 3 4 3 -2 4 2 - ( 1 3 1 3 -2 1 2 )

= 1 3 64 -216 - ( 1 3 1 -21 )

= 64 3 -32 - ( 1 3 -2 )

= 64 3 - 96 3 - ( 1 3 - 6 3 )

= - 32 3 -1 · ( - 5 3 )

= - 32 3 + 5 3

= -9

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 ( - 1 x 4 -7 x 4 ) x .

Lösung einblenden
2 5 ( - 1 x 4 -7 x 4 ) x
= 2 5 ( - x -4 -7 x 4 ) x

= [ 1 3 x -3 - 7 5 x 5 ] 2 5

= [ 1 3 x 3 - 7 5 x 5 ] 2 5

= 1 3 5 3 - 7 5 5 5 - ( 1 3 2 3 - 7 5 2 5 )

= 1 3 ( 1 125 ) - 7 5 3125 - ( 1 3 ( 1 8 ) - 7 5 32 )

= 1 375 -4375 - ( 1 24 - 224 5 )

= 1 375 - 1640625 375 - ( 5 120 - 5376 120 )

= - 1640624 375 -1 · ( - 5371 120 )

= - 1640624 375 + 5371 120

= - 13124992 3000 + 134275 3000

= - 4330239 1000


= -4330,239

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( 2 ( x -3 ) 3 -3 ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( 2 ( x -3 ) 3 -3 ) x

= [ 1 2 ( x -3 ) 4 -3x ] 1 4

= 1 2 ( 4 -3 ) 4 -34 - ( 1 2 ( 1 -3 ) 4 -31 )

= 1 2 1 4 -12 - ( 1 2 ( -2 ) 4 -3 )

= 1 2 1 -12 - ( 1 2 16 -3 )

= 1 2 -12 - ( 8 -3 )

= 0,5 -12 -1 · 5

= -11,5 -5

= -16,5


= -16,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral π 3 2 π ( 4 sin( x ) - 7 x 3 ) x .

Lösung einblenden
π 3 2 π ( 4 sin( x ) - 7 x 3 ) x
= π 3 2 π ( 4 sin( x ) -7 x -3 ) x

= [ -4 cos( x ) + 7 2 x -2 ] π 3 2 π

= [ -4 cos( x ) + 7 2 x 2 ] π 3 2 π

= -4 cos( 3 2 π ) + 7 2 ( 3 2 π ) 2 - ( -4 cos( π ) + 7 2 π 2 )

= -40 + 7 2 ( 3 2 π ) 2 - ( -4( -1 ) + 7 2 π 2 )

= 0 + 7 2 ( 3 2 π ) 2 - ( 4 + 7 2 π 2 )

= 14 9 π 2 - ( 4 + 7 2 π 2 )

= -4 - 7 2 π 2 + 14 9 π 2

= -4 - 35 18 π 2


≈ -4,197

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 -3 e -x +3 x .

Lösung einblenden
1 4 -3 e -x +3 x

= [ 3 e -x +3 ] 1 4

= 3 e -4 +3 -3 e -1 +3

= 3 e -1 -3 e 2


≈ -21,064