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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -1.5 -2 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 3 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 2)$

= $0 + 0 - (- \frac{3}{2} - 2)$

= $0 - (- \frac{3}{2} - \frac{4}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} x^{4} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 0 - (\frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $\frac{405}{64} \cdot π^{4} - \frac{5}{64} \cdot π^{4}$

= $\frac{25}{4} \cdot π^{4}$

≈ 608,807

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{5}{2} π) + \sin (- π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) - e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) - e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (- \sin (0) + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- 0 + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (- 0 + \frac{1}{2} e^{0})$

= $0 + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot π} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 π} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 π} - \frac{1}{2}$

≈ -0,499

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- 3 π) - 3 \cdot \sin (- 2 π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel