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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 5^{3} - 2 \cdot 5^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 125 - 2 \cdot 25 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{625}{3} - 50 - (- \frac{5}{3} - 2)$

= $- \frac{625}{3} - \frac{150}{3} - (- \frac{5}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{775}{3} - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $- \frac{775}{3} + \frac{11}{3}$

= $- \frac{764}{3}$

≈ -254,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3} \sqrt{x} + x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3} \sqrt{x} + x^{3}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}} + x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{10}{9} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{4}^{9}$

= ${[- \frac{10}{9} {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{4}^{9}$

$=$ $- \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 9^{4} - (- \frac{10}{9} {(\sqrt{4})}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 4^{4})$

= $- \frac{10}{9} \cdot 3^{3} + \frac{1}{4} \cdot 6561 - (- \frac{10}{9} \cdot 2^{3} + \frac{1}{4} \cdot 256)$

= $- \frac{10}{9} \cdot 27 + \frac{6561}{4} - (- \frac{10}{9} \cdot 8 + 64)$

= $- 30 + \frac{6561}{4} - (- \frac{80}{9} + 64)$

= $- \frac{120}{4} + \frac{6561}{4} - (- \frac{80}{9} + \frac{576}{9})$

= $\frac{6441}{4} - 1 \cdot \frac{496}{9}$

= $\frac{6441}{4} - \frac{496}{9}$

= $\frac{57969}{36} - \frac{1984}{36}$

= $\frac{6441}{4} - \frac{496}{9}$

= $\frac{57969}{36} - \frac{1984}{36}$

= $\frac{55985}{36}$

≈ 1555,139

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{- 1 + 1} - 3 e^{- 0 + 1}$

= $3 e^{0} - 3 e$

= $3 - 3 e$

≈ -5,155

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) + 2 e^{- π} - (2 \cdot \cos (0) + 2 e^{- (0)})$

= $2 \cdot (- 1) + 2 e^{- π} - (2 \cdot 1 + 2 e^{0})$

= $- 2 + 2 e^{- π} - (2 + 2)$

= $2 e^{- π} - 2 - 1 \cdot 4$

= $2 e^{- π} - 2 - 4$

= $2 e^{- π} - 6$

≈ -5,914

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel