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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 +6 = 10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{4} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - 2 \cdot 16 - (\frac{5}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{320}{3} - 32 - (0 + 0)$

= $\frac{320}{3} - \frac{96}{3} + 0$

= $\frac{224}{3}$

≈ 74,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} e^{- x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- 3 \cdot \cos (0) + \frac{4}{3} e^{- (0)})$

= $- 3 \cdot 0 + \frac{4}{3} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- 3 \cdot 1 + \frac{4}{3} e^{0})$

= $0 + \frac{4}{3} e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- 3 + \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{- \frac{3}{2} π} - (- \frac{9}{3} + \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{- \frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{5}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{5}{3}$

≈ 1,679

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot π + π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\sin (- π) - \sin (0)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{3}{x^{2}} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{3}{x^{2}} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (3 x^{- 2} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 x^{- 1} - 3 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{3}{x} - 3 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{3}{2 π} - 3 \cdot \sin (2 π) - (- \frac{3}{π} - 3 \cdot \sin (π))$

= $- \frac{3}{2 π} - 3 \cdot 0 - (- \frac{3}{π} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2 π} + 0 - (- \frac{3}{π} + 0)$

= $- \frac{3}{2 π} + \frac{3}{π}$

= $- \frac{3}{2 π} + \frac{6}{2 π}$

= $\frac{3}{2 π}$

≈ 0,477

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(4 - 3)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(1 - 3)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot (- 8)$

= $\frac{2}{3} + \frac{16}{3}$

= $6$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel