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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 10 f(x) x .

Lösung einblenden

2 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I3 = 4 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I4 = 7 10 f(x) x : Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ -4 + ( - 1 ) 2 = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Somit gilt:

2 10 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 2 4 f(x) x + 4 7 f(x) x + 7 10 f(x) x = -4 -12 -7.5 = -23.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( -4 x 2 -3x ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( -4 x 2 -3x ) x

= [ - 4 3 x 3 - 3 2 x 2 ] 1 4

= - 4 3 4 3 - 3 2 4 2 - ( - 4 3 1 3 - 3 2 1 2 )

= - 4 3 64 - 3 2 16 - ( - 4 3 1 - 3 2 1 )

= - 256 3 -24 - ( - 4 3 - 3 2 )

= - 256 3 - 72 3 - ( - 8 6 - 9 6 )

= - 328 3 -1 · ( - 17 6 )

= - 328 3 + 17 6

= - 656 6 + 17 6

= - 213 2


= -106,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( 3 2 e -3x - sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( 3 2 e -3x - sin( x ) ) x

= [ - 1 2 e -3x + cos( x ) ] 0 π

= - 1 2 e -3π + cos( π ) - ( - 1 2 e -3( 0 ) + cos( 0 ) )

= - 1 2 e -3π -1 - ( - 1 2 e 0 +1 )

= - 1 2 e -3π -1 - ( - 1 2 +1 )

= - 1 2 e -3π -1 - ( - 1 2 + 2 2 )

= - 1 2 e -3π -1 -1 · 1 2

= - 1 2 e -3π -1 - 1 2

= - 1 2 e -3π - 3 2


≈ -1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 e x -1 x .

Lösung einblenden
2 3 e x -1 x

= [ e x -1 ] 2 3

= e 3 -1 - e 2 -1

= e 2 - e

= e 2 - e


≈ 4,671

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral π 2π ( - 7 2 cos( x ) + 1 x 4 ) x .

Lösung einblenden
π 2π ( - 7 2 cos( x ) + 1 x 4 ) x
= π 2π ( - 7 2 cos( x ) + x -4 ) x

= [ - 7 2 sin( x ) - 1 3 x -3 ] π 2π

= [ - 7 2 sin( x ) - 1 3 x 3 ] π 2π

= - 7 2 sin( 2π ) - 1 3 ( 2π ) 3 - ( - 7 2 sin( π ) - 1 3 π 3 )

= - 7 2 0 - 1 3 ( 2π ) 3 - ( - 7 2 0 - 1 3 π 3 )

= 0 - 1 3 ( 2π ) 3 - (0 - 1 3 π 3 )

= - 1 24 π 3 + 1 3 π 3

= - 1 24 π 3 + 8 24 π 3

= 7 24 π 3


≈ 0,009

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 ( -3 ( 3x -4 ) 3 +6x ) x .

Lösung einblenden
1 2 ( -3 ( 3x -4 ) 3 +6x ) x

= [ - 1 4 ( 3x -4 ) 4 +3 x 2 ] 1 2

= - 1 4 ( 32 -4 ) 4 +3 2 2 - ( - 1 4 ( 31 -4 ) 4 +3 1 2 )

= - 1 4 ( 6 -4 ) 4 +34 - ( - 1 4 ( 3 -4 ) 4 +31 )

= - 1 4 2 4 +12 - ( - 1 4 ( -1 ) 4 +3 )

= - 1 4 16 +12 - ( - 1 4 1 +3 )

= -4 +12 - ( - 1 4 +3 )

= 8 - ( - 1 4 + 12 4 )

= 8 -1 · 11 4

= 8 - 11 4

= 32 4 - 11 4

= 21 4


= 5,25