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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 +2 = -11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 2 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{2} + 5 \cdot 4 - (- 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- 16 + 20 - (- 0 + 0)$

= $- 16 + 20$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) + 4 \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (0) + 4 \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- {(- 3 x + 6)}^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- {(- 3 x + 6)}^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(- 3 x + 6)}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 6)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{9} \cdot {(0 + 6)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0^{3} + 2 - (\frac{1}{9} \cdot 6^{3} + 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0 + 2 - (\frac{1}{9} \cdot 216 + 0)$

= $0 + 2 - (24 + 0)$

= $2 - 24$

= $- 22$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $0 - 2 - (0 + 2)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 4} - e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $e^{- 9 + 4} - e^{- 6 + 4}$

= $e^{- 5} - e^{- 2}$

≈ -0,129

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel