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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (2 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (2 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1) - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - (- 3))$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) + 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) + 3)$

= $- \frac{2}{3} + 1 - (- 18 + 3)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - 1 \cdot (- 15)$

= $\frac{1}{3} + 15$

= $\frac{1}{3} + \frac{45}{3}$

= $\frac{46}{3}$

≈ 15,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 3 x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 3 x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x} - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (0)} - 3 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 3 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} e^{0} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{- \frac{9}{2} π} + \frac{8}{3}$

≈ 2,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 {(x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 8)$

= $0 + \frac{16}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 1)$

= $- \frac{1}{2} + 0 - (0 + 1)$

= $- \frac{1}{2} + 0 - 1$

= $- \frac{1}{2} - 1$

= $- \frac{1}{2} - \frac{2}{2}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 {(2 x - 3)}^{3} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 {(2 x - 3)}^{3} - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{8} {(2 x - 3)}^{4} - 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{4} - 2 \cdot 2 - (- \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{4} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(4 - 3)}^{4} - 4 - (- \frac{3}{8} \cdot {(0 - 3)}^{4} + 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot 1^{4} - 4 - (- \frac{3}{8} \cdot {(- 3)}^{4} + 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot 1 - 4 - (- \frac{3}{8} \cdot 81 + 0)$

= $- \frac{3}{8} - 4 - (- \frac{243}{8} + 0)$

= $- \frac{3}{8} - \frac{32}{8} - (- \frac{243}{8} + 0)$

= $- \frac{35}{8} + \frac{243}{8}$

= $26$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel