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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +1 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (2 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (2 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 4 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 8)$

= $0 + 0 - (- \frac{16}{3} + 8)$

= $0 - (- \frac{16}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 7 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) - 7 \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - 7 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 1 - 7 \cdot 0)$

= $0 + 7 - (- 3 + 0)$

= $7 + 3$

= $10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} - 3 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 1)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 1)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 6 + 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 1)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 5)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 125) - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{125}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 62$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (5 \cdot 0 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 5 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - (0 + \frac{1}{3} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{1}{3} e^{2 \cdot π} - 5 - \frac{1}{3} e^{π}$

= $\frac{1}{3} e^{2 π} - \frac{1}{3} e^{π} - 5$

≈ 165,784

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π + \frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (\frac{3}{2} π) + \sin (π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel