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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-4 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 -6 = -18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (\frac{8}{3} + 2)$

= $0 - (\frac{8}{3} + \frac{6}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{14}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - 3 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - 3 x^{5}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 8 \cdot \cos (0) - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 8 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 8 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 8 + 0)$

= $- \frac{729}{128} \cdot π^{6} + 8$

≈ -5467,412

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{2 \cdot 1 - 1} + e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $- e^{2 - 1} + e^{0 - 1}$

= $- e + e^{- 1}$

≈ -2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 9 \cdot \cos (x) + 5 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 9 \cdot \cos (x) + 5 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- 9 \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} e^{- 3 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- 9 \cdot \sin (0) - \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $- 9 \cdot 1 - \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- 9 \cdot 0 - \frac{5}{3} e^{0})$

= $- 9 - \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - \frac{5}{3})$

= $- \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 9 - (0 - \frac{5}{3})$

= $- \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 9 + \frac{5}{3}$

= $- \frac{5}{3} e^{- \frac{3}{2} π} - \frac{22}{3}$

≈ -7,348

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \sin (π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel