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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -1.5 = 5.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + 4 - (0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + 0$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{6} (- e^{- x} - \frac{2}{3 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{6} (- e^{- x} - \frac{2}{3 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{6} (- e^{- x} - \frac{2}{3} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[e^{- x} + \frac{2}{3} x^{- 1}]}_{2}^{6}$

= ${[e^{- x} + \frac{2}{3 x}]}_{2}^{6}$

$=$ $e^{- 6} + \frac{2}{3 \cdot 6} - (e^{- 2} + \frac{2}{3 \cdot 2})$

= $e^{- 6} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{6}) - (e^{- 2} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}))$

= $e^{- 6} + \frac{1}{9} - (e^{- 2} + \frac{1}{3})$

= $- e^{- 2} - 1 \cdot \frac{1}{3} + e^{- 6} + \frac{1}{9}$

= $- e^{- 2} - \frac{1}{3} + e^{- 6} + \frac{1}{9}$

= $- e^{- 2} + e^{- 6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

= $- e^{- 2} + e^{- 6} - \frac{2}{9}$

≈ -0,355

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \cos (- \frac{7}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{x} - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{x} - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 e^{x} + 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 e^{π} + 8 \cdot \cos (π) - (- 2 e^{\frac{1}{2} π} + 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 e^{π} + 8 \cdot (- 1) - (- 2 e^{\frac{1}{2} π} + 8 \cdot 0)$

= $- 2 e^{π} - 8 - (- 2 e^{\frac{1}{2} π} + 0)$

= $- 2 e^{π} - 8 + 2 e^{\frac{1}{2} π}$

= $- 2 e^{π} + 2 e^{\frac{1}{2} π} - 8$

≈ -44,66

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{7} - \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ 730,999

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel