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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 +6 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 2 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 2 x + 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} + x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- 1^{2} + 1 - (- {(- 3)}^{2} - 3)$

= $- 1 + 1 - (- 9 - 3)$

= $- 1 + 1 - 1 \cdot (- 9) - 1 \cdot (- 3)$

= $- 1 + 1 + 9 + 3$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} x^{2} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} x^{2} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{3} - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot π^{3} - 2 \cdot \sin (π) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{3} - 2 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{3} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2)$

= $\frac{1}{2} \cdot π^{3} - (- 2 + \frac{1}{16} \cdot π^{3})$

= $- 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot π^{3} + \frac{1}{2} \cdot π^{3}$

= $2 - \frac{1}{16} \cdot π^{3} + \frac{1}{2} \cdot π^{3}$

= $2 + \frac{7}{16} \cdot π^{3}$

≈ 15,565

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 + 3} - \frac{1}{3} e^{0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{3}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ -6,362

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (x^{5} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (x^{5} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{6} + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot π^{6} + 5 \cdot \sin (π) - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{6} \cdot π^{6} + 5 \cdot 0 - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot π^{6} + 0 - (\frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 5)$

= $\frac{1}{6} \cdot π^{6} - (5 + \frac{1}{384} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 5 - 1 \cdot \frac{1}{384} \cdot π^{6} + \frac{1}{6} \cdot π^{6}$

= $- 5 - \frac{1}{384} \cdot π^{6} + \frac{1}{6} \cdot π^{6}$

= $- 5 + \frac{21}{128} \cdot π^{6}$

≈ 152,728

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 2} - e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $e^{4 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel