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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -1.5 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 3 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 27 + 9 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 3)$

= $- 45 + 9 - (- \frac{5}{3} + 3)$

= $- 36 - (- \frac{5}{3} + \frac{9}{3})$

= $- 36 - 1 \cdot \frac{4}{3}$

= $- 36 - \frac{4}{3}$

= $- \frac{108}{3} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{112}{3}$

≈ -37,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- e^{- 2 x} - x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- e^{- 2 x} - x^{4}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{5} x^{5}]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (- 3)} - \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5})$

= $\frac{1}{2} e^{0} - \frac{1}{5} \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{5} \cdot (- 243))$

= $\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1}{2} e^{6} + \frac{243}{5})$

= $\frac{1}{2} - (\frac{1}{2} e^{6} + \frac{243}{5})$

= $- \frac{1}{2} e^{6} - 1 \cdot \frac{243}{5} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{6} - \frac{243}{5} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{6} - \frac{481}{10}$

≈ -249,814

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- 3 {(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- 3 {(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{3} - 3 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- {(3 - 1)}^{3} - 3 \cdot 3 - (- {(2 - 1)}^{3} - 3 \cdot 2)$

= $- 2^{3} - 9 - (- 1^{3} - 6)$

= $- 8 - 9 - (- 1 - 6)$

= $- 8 - 9 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 6)$

= $- 8 - 9 + 1 + 6$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) - 5 \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $0 + 5 - (- 3 + 0)$

= $5 + 3$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (0) - π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{11}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel