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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 -12 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- 24 + 12 - (- \frac{3}{2} + 3)$

= $- 12 - (- \frac{3}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 12 - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $- 12 - \frac{3}{2}$

= $- \frac{24}{2} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{27}{2}$

= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{3} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{3} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{4} + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - 2 - (0 + 0)$

= $- 2 - \frac{81}{32} \cdot π^{4} + 0$

= $- 2 - \frac{81}{32} \cdot π^{4}$

≈ -248,567

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 4 + 4} + e^{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $- e^{- 12 + 4} + e^{- 3 + 4}$

= $- e^{- 8} + e$

≈ 2,718

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + \frac{1}{2} e^{π} - (- 4 \cdot \sin (0) + \frac{1}{2} e^{0})$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{2} e^{π} - (- 4 \cdot 0 + \frac{1}{2})$

= $0 + \frac{1}{2} e^{π} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{π} - (0 + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{π} - \frac{1}{2}$

≈ 11,07

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel