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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -4.5 -6 = 5.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (2 x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (2 x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} - \frac{3}{2} - (- \frac{2}{3} - \frac{3}{2})$

= $\frac{4}{6} - \frac{9}{6} - (- \frac{4}{6} - \frac{9}{6})$

= $- \frac{5}{6} - 1 \cdot (- \frac{13}{6})$

= $- \frac{5}{6} + \frac{13}{6}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 1) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - x]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) - π - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) - π - (- 2 \cdot 0 - (\frac{1}{2} π))$

= $2 - π - (0 - (\frac{1}{2} π))$

= $2 - π + \frac{1}{2} π$

= $2 + \frac{1}{2} π - π$

= $2 - \frac{1}{2} π$

≈ 0,429

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 4 + 5} + e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- e^{- 8 + 5} + e^{- 2 + 5}$

= $- e^{- 3} + e^{3}$

≈ 20,036

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) + \frac{8}{3} \cdot \sin (π) - (- \cos (0) + \frac{8}{3} \cdot \sin (0))$

= $- (- 1) + \frac{8}{3} \cdot 0 - (- 1 + \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (- 3 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \cos (- 3 \cdot (0) + π)$

= $\cos (- \frac{7}{2} π) - \cos (π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel