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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -9 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 1 + 3)$

= $0 + 0 - (- 2 + 3)$

= $0 - 1 \cdot 1$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 7 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 7 \cdot \sin (π) + \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (- 7 \cdot \sin (0) + \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 7 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (- 7 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (0 + 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot π^{4} + 0$

= $\frac{3}{4} \cdot π^{4}$

≈ 73,057

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- \frac{5}{2} π) - \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (- \frac{7}{3 x^{4}} - 2 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (- \frac{7}{3 x^{4}} - 2 x^{4}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (- \frac{7}{3} x^{- 4} - 2 x^{4}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{9} x^{- 3} - \frac{2}{5} x^{5}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{7}{9 x^{3}} - \frac{2}{5} x^{5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{7}{9 \cdot 4^{3}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{5} - (\frac{7}{9 \cdot 2^{3}} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5})$

= $\frac{7}{9} \cdot (\frac{1}{64}) - \frac{2}{5} \cdot 1024 - (\frac{7}{9} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{2}{5} \cdot 32)$

= $\frac{7}{576} - \frac{2048}{5} - (\frac{7}{72} - \frac{64}{5})$

= $\frac{35}{2880} - \frac{1179648}{2880} - (\frac{35}{360} - \frac{4608}{360})$

= $- \frac{1179613}{2880} - 1 \cdot (- \frac{4573}{360})$

= $- \frac{1179613}{2880} + \frac{4573}{360}$

= $- \frac{1179613}{2880} + \frac{36584}{2880}$

= $- \frac{1143029}{2880}$

≈ -396,885

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + π) - 3 \cdot \sin (- (0) + π)$

= $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel