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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 2 x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $- 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - (- {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- 8 - 2 \cdot 4 - (- (- 1) - 2 \cdot 1)$

= $- 8 - 8 - (1 - 2)$

= $- 16 - 1 \cdot (- 1)$

= $- 16 + 1$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (- \frac{2}{x^{2}} + 3 {(\sqrt{x})}^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (- \frac{2}{x^{2}} + 3 {(\sqrt{x})}^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (- 2 x^{- 2} + 3 x^{\frac{3}{2}}) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[\frac{2}{x} + \frac{6}{5} {(\sqrt{x})}^{5}]}_{1}^{9}$

$=$ $\frac{2}{9} + \frac{6}{5} {(\sqrt{9})}^{5} - (\frac{2}{1} + \frac{6}{5} {(\sqrt{1})}^{5})$

= $2 \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{6}{5} \cdot 3^{5} - (2 \cdot 1 + \frac{6}{5} \cdot 1^{5})$

= $\frac{2}{9} + \frac{6}{5} \cdot 243 - (2 + \frac{6}{5} \cdot 1)$

= $\frac{2}{9} + \frac{1458}{5} - (2 + \frac{6}{5})$

= $\frac{10}{45} + \frac{13122}{45} - (\frac{10}{5} + \frac{6}{5})$

= $\frac{13132}{45} - 1 \cdot \frac{16}{5}$

= $\frac{13132}{45} - \frac{16}{5}$

= $\frac{13132}{45} - \frac{144}{45}$

= $\frac{13132}{45} - \frac{16}{5}$

= $\frac{13132}{45} - \frac{144}{45}$

= $\frac{12988}{45}$

≈ 288,622

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 2 + 3} + e^{- 1 + 3}$

= $- e + e^{2}$

≈ 4,671

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $4 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (4 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + 2)$

= $- 4 - 2$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 3 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $3 \ln (| 7 - 2 |) - 3 \ln (| 4 - 2 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (| 4 - 2 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (2)$

≈ 2,749

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel