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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 +8 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 36 - \frac{27}{2} - (\frac{4}{3} - \frac{3}{2})$

= $- \frac{72}{2} - \frac{27}{2} - (\frac{8}{6} - \frac{9}{6})$

= $- \frac{99}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{6})$

= $- \frac{99}{2} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{297}{6} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{148}{3}$

≈ -49,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{5}{4} \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{4} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{5}{4} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $\frac{5}{4} + 0 - (0 + \frac{2}{3})$

= $\frac{5}{4} - \frac{2}{3}$

= $\frac{15}{12} - \frac{8}{12}$

= $\frac{7}{12}$

≈ 0,583

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 {(- 2 x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 1)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 6 + 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 4 + 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 5)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 125) + \frac{1}{2} \cdot (- 27)$

= $\frac{125}{2} - \frac{27}{2}$

= $49$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) + 4 \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (2 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 + 4)$

= $- 2 - 4$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel