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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +2 +6 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (3 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (3 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 4 - 8 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 4)$

= $6 - 8 - (\frac{3}{2} + 4)$

= $- 2 - (\frac{3}{2} + \frac{8}{2})$

= $- 2 - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $- 2 - \frac{11}{2}$

= $- \frac{4}{2} - \frac{11}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- \frac{3}{2} x^{5} - 5 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- \frac{3}{2} x^{5} - 5 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{6} - 5 e^{x}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{6} - 5 e^{- 1} - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{6} - 5 e^{- 2})$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 - 5 e^{- 1} - (- \frac{1}{4} \cdot 64 - 5 e^{- 2})$

= $- \frac{1}{4} - 5 e^{- 1} - (- 16 - 5 e^{- 2})$

= $- 5 e^{- 1} - \frac{1}{4} - (- 5 e^{- 2} - 16)$

= $- 5 e^{- 1} - \frac{1}{4} + 5 e^{- 2} - 1 \cdot (- 16)$

= $- 5 e^{- 1} - \frac{1}{4} + 5 e^{- 2} + 16$

= $- 5 e^{- 1} + 5 e^{- 2} - \frac{1}{4} + 16$

= $- 5 e^{- 1} + 5 e^{- 2} + \frac{63}{4}$

≈ 14,587

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 3 + 5} - e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 6 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{- 1} - e^{5}$

≈ -148,045

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $4 + 0 - (0 - 2)$

= $4 + 2$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{9 - 6} + \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{3} + \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ -13,389

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel