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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{3 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +9 +6 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $2 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - (2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $2 \cdot 25 + 20 - (2 \cdot 1 + 4)$

= $50 + 20 - (2 + 4)$

= $70 - 1 \cdot 6$

= $70 - 6$

= $64$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (2 x^{3} + \frac{8}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (2 x^{3} + \frac{8}{3} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{4} - \frac{8}{9} e^{- 3 x}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot (- 2)} - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{8}{9} e^{- 3 \cdot (- 3)})$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{8}{9} e^{6} - (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{8}{9} e^{9})$

= $8 - \frac{8}{9} e^{6} - (\frac{81}{2} - \frac{8}{9} e^{9})$

= $- \frac{8}{9} e^{6} + 8 - (- \frac{8}{9} e^{9} + \frac{81}{2})$

= $\frac{8}{9} e^{9} - 1 \cdot \frac{81}{2} - \frac{8}{9} e^{6} + 8$

= $\frac{8}{9} e^{9} - \frac{81}{2} - \frac{8}{9} e^{6} + 8$

= $\frac{8}{9} e^{9} - \frac{8}{9} e^{6} - \frac{81}{2} + 8$

= $\frac{8}{9} e^{9} - \frac{8}{9} e^{6} - \frac{65}{2}$

≈ 6811,638

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 3 e^{- 5 + 1} + 3 e^{- 2 + 1}$

= $- 3 e^{- 4} + 3 e^{- 1}$

≈ 1,049

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 1} - 3 e^{1 - 1}$

= $3 e^{3} - 3 e^{0}$

= $3 e^{3} - 3$

≈ 57,257

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel