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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 3 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 3 x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 1 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 - 1 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{3}{2} - 1 - (- \frac{3}{2} + 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - (- \frac{3}{2} + \frac{2}{2})$

= $- \frac{5}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) - 0 - (4 \cdot 1 - 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 24}^{- 15} - \sqrt{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 24}^{- 15} - \sqrt{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{- 24}^{- 15} - {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 24}^{- 15}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{- x + 1})}^{3}]}_{- 24}^{- 15}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 15) + 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 24) + 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{15 + 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{24 + 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 125$

= $\frac{128}{3} - \frac{250}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + 0 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{4}{3} + 0 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{4}{3} + \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (0) + π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{7}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel