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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -1 -2 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (5 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (5 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 1 - (\frac{5}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $- \frac{5}{3} - 1 - (- \frac{40}{3} - 4)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{3}{3} - (- \frac{40}{3} - \frac{12}{3})$

= $- \frac{8}{3} - 1 \cdot (- \frac{52}{3})$

= $- \frac{8}{3} + \frac{52}{3}$

= $\frac{44}{3}$

≈ 14,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (\frac{7}{2} x^{5} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (\frac{7}{2} x^{5} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (\frac{7}{2} x^{5} - 2 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{12} x^{6} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4}$

= ${[\frac{7}{12} x^{6} - \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{7}{12} \cdot 4^{6} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - (\frac{7}{12} \cdot 0^{6} - \frac{4}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $\frac{7}{12} \cdot 4096 - \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{7}{12} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{7168}{3} - \frac{4}{3} \cdot 8 - (0 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $\frac{7168}{3} - \frac{32}{3} - (0 + 0)$

= $\frac{7136}{3} + 0$

= $\frac{7136}{3}$

≈ 2378,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 8 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 7} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ -0,183

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- \frac{2}{x^{2}} - 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- \frac{2}{x^{2}} - 4 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 2 x^{- 2} - 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} - x^{4}]}_{1}^{4}$

= ${[\frac{2}{x} - x^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{4} - 4^{4} - (\frac{2}{1} - 1^{4})$

= $2 \cdot (\frac{1}{4}) - 256 - (2 \cdot 1 - 1)$

= $\frac{1}{2} - 256 - (2 - 1)$

= $\frac{1}{2} - \frac{512}{2} - 1 \cdot 1$

= $- \frac{511}{2} - 1$

= $- \frac{511}{2} - \frac{2}{2}$

= $- \frac{513}{2}$

= -256,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} \frac{2}{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} \frac{2}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $- 2 \ln (| - 6 + 1 |) + 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 2 \ln (| - 6 + 1 |) + 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 2 \ln (5) + 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 2 \ln (5) + 2 \ln (2)$

≈ -1,833

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel