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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 8 +6 -4.5 = 9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3^{2} - 3 - (- 0^{2} - 0)$

= $- 9 - 3 - (- 0 + 0)$

= $- 9 - 3$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (3 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (3 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{12} x^{6}]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{6}{5} {(\sqrt{x})}^{5} + \frac{1}{12} x^{6}]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{6}{5} {(\sqrt{9})}^{5} + \frac{1}{12} \cdot 9^{6} - (\frac{6}{5} {(\sqrt{4})}^{5} + \frac{1}{12} \cdot 4^{6})$

= $\frac{6}{5} \cdot 3^{5} + \frac{1}{12} \cdot 531 441 - (\frac{6}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{12} \cdot 4096)$

= $\frac{6}{5} \cdot 243 + \frac{177147}{4} - (\frac{6}{5} \cdot 32 + \frac{1024}{3})$

= $\frac{1458}{5} + \frac{177147}{4} - (\frac{192}{5} + \frac{1024}{3})$

= $\frac{5832}{20} + \frac{885735}{20} - (\frac{576}{15} + \frac{5120}{15})$

= $\frac{891567}{20} - 1 \cdot \frac{5696}{15}$

= $\frac{891567}{20} - \frac{5696}{15}$

= $\frac{2674701}{60} - \frac{22784}{60}$

= $\frac{891567}{20} - \frac{5696}{15}$

= $\frac{2674701}{60} - \frac{22784}{60}$

= $\frac{2651917}{60}$

≈ 44198,617

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - {(3 x - 4)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - {(3 x - 4)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} {(3 x - 4)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 4 - 4)}^{4} + \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot {(12 - 4)}^{4} + \frac{1}{12} \cdot {(6 - 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot 8^{4} + \frac{1}{12} \cdot 2^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot 4 096 + \frac{1}{12} \cdot 16$

= $- \frac{1024}{3} + \frac{4}{3}$

= $- 340$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 2 x) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + x^{2}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (- \sin (0) + {(0)}^{2})$

= $- (- 1) + {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (- 0 + 0)$

= $1 + {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $1 + \frac{9}{4} \cdot π^{2} + 0$

= $1 + \frac{9}{4} \cdot π^{2}$

≈ 23,207

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{1}{3} e^{- 6 + 5} - \frac{1}{3} e^{0 + 5}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{5}$

≈ -49,348

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel