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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 -2 +4 +8 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (3 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 4 - 10 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 5)$

= $6 - 10 - (\frac{3}{2} + 5)$

= $- 4 - (\frac{3}{2} + \frac{10}{2})$

= $- 4 - 1 \cdot \frac{13}{2}$

= $- 4 - \frac{13}{2}$

= $- \frac{8}{2} - \frac{13}{2}$

= $- \frac{21}{2}$

= -10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{5}{x^{4}} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{5}{x^{4}} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- 5 x^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{- 3} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[\frac{5}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (2 π) - (\frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} - \frac{1}{4} \cdot 0 - (\frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $\frac{5}{3 {(2 π)}^{3}} + 0 - (\frac{5}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - \frac{1}{4})$

= $\frac{5}{24 π^{3}} - (- \frac{1}{4} + \frac{40}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- \frac{1}{4}) - 1 \cdot \frac{40}{3 π^{3}} + \frac{5}{24 π^{3}}$

= $\frac{1}{4} - \frac{40}{3 π^{3}} + \frac{5}{24 π^{3}}$

= $\frac{1}{4} - \frac{105}{8 π^{3}}$

≈ -0,173

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (2 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 + 2)$

= $2 - 2$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 e^{- 2 + 1} + 2 e^{- 1 + 1}$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 1} + 2$

≈ 1,264

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel