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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 8 f(x) x .

Lösung einblenden

3 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 1 2 = 3 2 = 1.5.

I3 = 6 8 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

3 8 f(x) x = I2 + I3 = 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x = 1.5 +2 = 3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 0 ( -2 x 2 +5x ) x .

Lösung einblenden
-2 0 ( -2 x 2 +5x ) x

= [ - 2 3 x 3 + 5 2 x 2 ] -2 0

= - 2 3 0 3 + 5 2 0 2 - ( - 2 3 ( -2 ) 3 + 5 2 ( -2 ) 2 )

= - 2 3 0 + 5 2 0 - ( - 2 3 ( -8 ) + 5 2 4 )

= 0+0 - ( 16 3 +10 )

= 0 - ( 16 3 + 30 3 )

= -1 · 46 3

= - 46 3


≈ -15,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 5 ( - x 2 -5 e 3x ) x .

Lösung einblenden
1 5 ( - x 2 -5 e 3x ) x

= [ - 1 3 x 3 - 5 3 e 3x ] 1 5

= - 1 3 5 3 - 5 3 e 35 - ( - 1 3 1 3 - 5 3 e 31 )

= - 1 3 125 - 5 3 e 15 - ( - 1 3 1 - 5 3 e 3 )

= - 125 3 - 5 3 e 15 - ( - 1 3 - 5 3 e 3 )

= - 5 3 e 15 - 125 3 - ( - 5 3 e 3 - 1 3 )

= - 5 3 e 15 - 125 3 + 5 3 e 3 -1 · ( - 1 3 )

= - 5 3 e 15 - 125 3 + 5 3 e 3 + 1 3

= - 5 3 e 15 + 5 3 e 3 - 125 3 + 1 3

= - 5 3 e 15 + 5 3 e 3 - 124 3


≈ -5448370,145

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral -15 -8 -3 -x +1 x .

Lösung einblenden
-15 -8 -3 -x +1 x
= -15 -8 -3 ( -x +1 ) 1 2 x

= [ 2 ( -x +1 ) 3 2 ] -15 -8

= [ 2 ( -x +1 ) 3 ] -15 -8

= 2 ( -( -8 ) +1 ) 3 -2 ( -( -15 ) +1 ) 3

= 2 ( 8 +1 ) 3 -2 ( 15 +1 ) 3

= 2 ( 9 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 3 3 -2 4 3

= 227 -264

= 54 -128

= -74

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 2π ( 2 cos( x ) - 5 x 4 ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 2π ( 2 cos( x ) - 5 x 4 ) x
= 1 2 π 2π ( 2 cos( x ) -5 x -4 ) x

= [ 2 sin( x ) + 5 3 x -3 ] 1 2 π 2π

= [ 2 sin( x ) + 5 3 x 3 ] 1 2 π 2π

= 2 sin( 2π ) + 5 3 ( 2π ) 3 - ( 2 sin( 1 2 π ) + 5 3 ( 1 2 π ) 3 )

= 20 + 5 3 ( 2π ) 3 - ( 21 + 5 3 ( 1 2 π ) 3 )

= 0 + 5 3 ( 2π ) 3 - ( 2 + 5 3 ( 1 2 π ) 3 )

= 5 24 π 3 - ( 2 + 40 3 π 3 )

= -1 · 2 -1 · 40 3 π 3 + 5 24 π 3

= -2 - 40 3 π 3 + 5 24 π 3

= -2 - 105 8 π 3


≈ -2,423

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 -2 e -3x +5 x .

Lösung einblenden
2 3 -2 e -3x +5 x

= [ 2 3 e -3x +5 ] 2 3

= 2 3 e -33 +5 - 2 3 e -32 +5

= 2 3 e -9 +5 - 2 3 e -6 +5

= 2 3 e -4 - 2 3 e -1


≈ -0,233