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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 -12 = -18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (3 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 + 5 - (\frac{3}{2} \cdot 4 + 10)$

= $\frac{3}{2} + 5 - (6 + 10)$

= $\frac{3}{2} + \frac{10}{2} - 1 \cdot 16$

= $\frac{13}{2} - 16$

= $\frac{13}{2} - \frac{32}{2}$

= $- \frac{19}{2}$

= -9,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} e^{2 x} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{1}{4} e^{2 x} - \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{1}{4} e^{2 \cdot 16} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - (- \frac{1}{4} e^{2 \cdot 0} - \frac{4}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- \frac{1}{4} e^{32} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{1}{4} e^{0} - \frac{4}{3} \cdot 0^{3})$

= $- \frac{1}{4} e^{32} - \frac{4}{3} \cdot 64 - (- \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{4} e^{32} - \frac{256}{3} - (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{1}{4} e^{32} - \frac{256}{3} + \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{32} - \frac{1021}{12}$

= -19740740045755

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (\frac{5}{2} π) + \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[9 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $9 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (9 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $0 - 2 - (0 + 2)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 8 + 4)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 4 + 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 64) + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $32 + 0$

= $32$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel