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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 10 f(x) x .

Lösung einblenden

3 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 = 5 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I4 = 8 10 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

3 10 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 3 5 f(x) x + 5 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = 4 -6 -8 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 ( -3x -2 ) x .

Lösung einblenden
0 3 ( -3x -2 ) x

= [ - 3 2 x 2 -2x ] 0 3

= - 3 2 3 2 -23 - ( - 3 2 0 2 -20 )

= - 3 2 9 -6 - ( - 3 2 0 +0)

= - 27 2 -6 - (0+0)

= - 27 2 - 12 2 +0

= - 39 2


= -19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( -5 cos( x ) - x 3 ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( -5 cos( x ) - x 3 ) x

= [ -5 sin( x ) - 1 4 x 4 ] 0 1 2 π

= -5 sin( 1 2 π ) - 1 4 ( 1 2 π ) 4 - ( -5 sin( 0 ) - 1 4 ( 0 ) 4 )

= -51 - 1 4 ( 1 2 π ) 4 - ( -50 - 1 4 0 )

= -5 - 1 4 ( 1 2 π ) 4 - (0+0)

= -5 - 1 64 π 4 +0

= -5 - 1 64 π 4


≈ -6,522

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 2 ( ( x -2 ) 2 +3x ) x .

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0 2 ( ( x -2 ) 2 +3x ) x

= [ 1 3 ( x -2 ) 3 + 3 2 x 2 ] 0 2

= 1 3 ( 2 -2 ) 3 + 3 2 2 2 - ( 1 3 ( 0 -2 ) 3 + 3 2 0 2 )

= 1 3 0 3 + 3 2 4 - ( 1 3 ( -2 ) 3 + 3 2 0 )

= 1 3 0 +6 - ( 1 3 ( -8 ) +0)

= 0 +6 - ( - 8 3 +0)

= 6 - ( - 8 3 +0)

= 6 + 8 3

= 18 3 + 8 3

= 26 3


≈ 8,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( 5 4 sin( x ) - 1 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( 5 4 sin( x ) - 1 2 cos( x ) ) x

= [ - 5 4 cos( x ) - 1 2 sin( x ) ] 0 π

= - 5 4 cos( π ) - 1 2 sin( π ) - ( - 5 4 cos( 0 ) - 1 2 sin( 0 ) )

= - 5 4 ( -1 ) - 1 2 0 - ( - 5 4 1 - 1 2 0 )

= 5 4 +0 - ( - 5 4 +0)

= 5 4 +0 - ( - 5 4 +0)

= 5 4 + 5 4

= 5 2


= 2,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 5 6 2 x -3 x .

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5 6 2 x -3 x
= 5 6 2 ( x -3 ) -1 x

= [ 2 ln( | x -3 | ) ] 5 6

= 2 ln( | 6 -3 | ) -2 ln( | 5 -3 | )

= 2 ln( 3 ) -2 ln( | 5 -3 | )

= 2 ln( 3 ) -2 ln( 2 )


≈ 0,811