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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -6 -8 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 4 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 4 x + 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 9 - 9)$

= $0 + 0 - (- 18 - 9)$

= $0 - 1 \cdot (- 27)$

= $27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} x^{3} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} x^{3} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{8} x^{4} + \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{9}{8} \cdot {(0)}^{4} + \sin (0))$

= $\frac{9}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 1 - (\frac{9}{8} \cdot 0 + 0)$

= $1 + \frac{9}{128} \cdot π^{4} - (0 + 0)$

= $1 + \frac{9}{128} \cdot π^{4} + 0$

= $1 + \frac{9}{128} \cdot π^{4}$

≈ 7,849

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} - \frac{2}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} - \frac{2}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} - 2 {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{4}$

= ${[\frac{1}{3 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(12 - 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(9 - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 \cdot 8^{2}} - \frac{1}{3 \cdot 5^{2}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64}) - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{25})$

= $\frac{1}{192} - \frac{1}{75}$

= $\frac{25}{4800} - \frac{64}{4800}$

= $- \frac{13}{1600}$

≈ -0,008

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 x^{5} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 x^{5} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} - 4 \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{6} - 4 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} - 4 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} + 4 - (0 - 4)$

= $4 - \frac{1}{2} \cdot π^{6} + 4$

= $4 + 4 - \frac{1}{2} \cdot π^{6}$

= $8 - \frac{1}{2} \cdot π^{6}$

≈ -472,695

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)$

= $0 + 2$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel