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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 +6 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $0 + 0 - (\frac{16}{3} - 2)$

= $0 - (\frac{16}{3} - \frac{6}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{3 x} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{3 x} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3} e^{3 \cdot (0)} - \frac{2}{3} \cdot \sin (0))$

= $\frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{2}{3} \cdot (- 1) - (\frac{4}{3} e^{0} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \frac{2}{3} - (\frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{4}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{9}{2} π} - \frac{2}{3}$

≈ 1839213,608

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{12 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{7} + \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ -365,499

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (3 \cdot \sin (0) - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4})$

= $3 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (3 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $3 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $3 - \frac{1}{32} \cdot π^{4} + 0$

= $3 - \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

≈ -0,044

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 4} - \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 4,914

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel