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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +1}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +8 +5 = 19

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2^{2} - 3 \cdot 2 - ({(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $4 - 6 - (1 + 3)$

= $4 - 6 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

= $4 - 6 - 1 - 3$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) + \frac{7}{4} \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) + \frac{7}{4} \cdot 0 - (2 \cdot 0 + \frac{7}{4} \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 + \frac{7}{4})$

= $- 2 - (0 + \frac{7}{4})$

= $- 2 - \frac{7}{4}$

= $- \frac{8}{4} - \frac{7}{4}$

= $- \frac{15}{4}$

= -3,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 5} - e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $e^{9 - 5} - e^{3 - 5}$

= $e^{4} - e^{- 2}$

≈ 54,463

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - 5 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - 5 x^{5}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{5}{6} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \cos (0) - \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 0 - \frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 1 - \frac{5}{6} \cdot 0)$

= $0 - \frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 1 + 0)$

= $- \frac{1215}{128} \cdot π^{6} + 1$

≈ -9124,686

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (3 {(- 3 x + 6)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (3 {(- 3 x + 6)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 6)}^{3} - 3 x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 6)}^{3} - 3 \cdot 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3} - 3 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 15 + 6)}^{3} - 15 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 6 + 6)}^{3} - 6)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 15 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 6)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 729) - 15 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 6)$

= $243 - 15 - (0 - 6)$

= $228 + 6$

= $234$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel