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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 16 + 12 - (- 0 + 0)$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x^{5} + \frac{5}{4 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x^{5} + \frac{5}{4 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 3 x^{5} + \frac{5}{4} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} - \frac{5}{12} x^{- 3}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} - \frac{5}{12 x^{3}}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{6} - \frac{5}{12 \cdot 4^{3}} - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{6} - \frac{5}{12 \cdot 1^{3}})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4096 - \frac{5}{12} \cdot (\frac{1}{64}) - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{5}{12} \cdot 1)$

= $- 2 048 - \frac{5}{768} - (- \frac{1}{2} - \frac{5}{12})$

= $- \frac{1572864}{768} - \frac{5}{768} - (- \frac{6}{12} - \frac{5}{12})$

= $- \frac{1572869}{768} - 1 \cdot (- \frac{11}{12})$

= $- \frac{1572869}{768} + \frac{11}{12}$

= $- \frac{1572869}{768} + \frac{704}{768}$

= $- \frac{524055}{256}$

≈ -2047,09

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + π) + 3 \cdot \cos (0 + π)$

= $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1)$

= $0 - 3$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (π) - 4 \cdot \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot \sin (0) - 4 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel