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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 +2 +6 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (3 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (3 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[x^{3} - 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $3^{3} - 2 \cdot 3 - ({(- 1)}^{3} - 2 \cdot (- 1))$

= $27 - 6 - ((- 1) + 2)$

= $27 - 6 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 2$

= $27 - 6 + 1 - 2$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- \frac{3}{4 \sqrt{x}} + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- \frac{3}{4 \sqrt{x}} + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

= ${[- \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{1}^{16}$

$=$ $- \frac{3}{2} \sqrt{16} + \frac{7}{3} \cdot \sin (16) - (- \frac{3}{2} \sqrt{1} + \frac{7}{3} \cdot \sin (1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{7}{3} \cdot \sin (16) - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{7}{3} \cdot \sin (1))$

= $- 6 + \frac{7}{3} \cdot \sin (16) - (- \frac{3}{2} + \frac{7}{3} \cdot \sin (1))$

= $\frac{7}{3} \cdot \sin (16) - 6 - (\frac{7}{3} \cdot \sin (1) - \frac{3}{2})$

= $\frac{7}{3} \cdot \sin (16) - 6 - 1 \cdot \frac{7}{3} \cdot \sin (1) - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $\frac{7}{3} \cdot \sin (16) - 6 - \frac{7}{3} \cdot \sin (1) + \frac{3}{2}$

= $\frac{7}{3} \cdot \sin (16) - \frac{7}{3} \cdot \sin (1) - 6 + \frac{3}{2}$

= $\frac{7}{3} \cdot \sin (16) - \frac{7}{3} \cdot \sin (1) - \frac{9}{2}$

≈ -7,134

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 6)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 6)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 15 + 6)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 6 + 6)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 729) + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $243 + 0$

= $243$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{4} \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $- e^{2 \cdot 5 - 5} + e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $- e^{10 - 5} + e^{4 - 5}$

= $- e^{5} + e^{- 1}$

≈ -148,045

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel