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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +2 +6 +4.5 = 10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (3 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (3 x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 3 - (\frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 1)$

= $\frac{3}{2} \cdot 9 + 3 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 1)$

= $\frac{27}{2} + 3 - (\frac{3}{2} + 1)$

= $\frac{27}{2} + \frac{6}{2} - (\frac{3}{2} + \frac{2}{2})$

= $\frac{33}{2} - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $\frac{33}{2} - \frac{5}{2}$

= $14$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (- 5 \sqrt[3]{x} + 3 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (- 5 \sqrt[3]{x} + 3 e^{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (- 5 x^{\frac{1}{3}} + 3 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{15}{4} x^{\frac{4}{3}} + 3 e^{x}]}_{0}^{9}$

= ${[- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 3 e^{x}]}_{0}^{9}$

$=$ $- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{9})}^{4} + 3 e^{9} - (- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{0})}^{4} + 3 e^{0})$

= $- \frac{15}{4} \cdot 1^{4} + 3 e^{9} - (- \frac{15}{4} \cdot 0^{4} + 3)$

= $- \frac{15}{4} \cdot 1 + 3 e^{9} - (- \frac{15}{4} \cdot 0 + 3)$

= $- \frac{15}{4} + 3 e^{9} - (0 + 3)$

= $3 e^{9} - \frac{15}{4} - 3$

= $3 e^{9} - \frac{27}{4}$

≈ 24236,049

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{2} - (0 + \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 3} - e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $e^{6 - 3} - e^{3 - 3}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel