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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 -1.5 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (5 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (5 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{5}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - (- \frac{40}{3} + 6)$

= $\frac{10}{6} + \frac{9}{6} - (- \frac{40}{3} + \frac{18}{3})$

= $\frac{19}{6} - 1 \cdot (- \frac{22}{3})$

= $\frac{19}{6} + \frac{22}{3}$

= $\frac{19}{6} + \frac{44}{6}$

= $\frac{21}{2}$

= 10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + e^{x}) ⅆ x

= ${[- x^{\frac{3}{2}} + e^{x}]}_{4}^{9}$

= ${[- {(\sqrt{x})}^{3} + e^{x}]}_{4}^{9}$

$=$ $- {(\sqrt{9})}^{3} + e^{9} - (- {(\sqrt{4})}^{3} + e^{4})$

= $- 3^{3} + e^{9} - (- 2^{3} + e^{4})$

= $- 27 + e^{9} - (- 8 + e^{4})$

= $- 27 + e^{9} - 1 \cdot (- 8) - e^{4}$

= $- 27 + e^{9} + 8 - e^{4}$

= $e^{9} - e^{4} - 27 + 8$

= $e^{9} - e^{4} - 19$

≈ 8029,486

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $- 0 - 3 \cdot (- 1) - (- 1 - 3 \cdot 0)$

= $0 + 3 - (- 1 + 0)$

= $3 + 1$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{2} + 2) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{3} + 2 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{3} + 2 \cdot 2 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 7)}^{3} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 6 + 7)}^{3} + 4 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 3 + 7)}^{3} + 2)$

= $\frac{2}{9} \cdot 1^{3} + 4 - (\frac{2}{9} \cdot 4^{3} + 2)$

= $\frac{2}{9} \cdot 1 + 4 - (\frac{2}{9} \cdot 64 + 2)$

= $\frac{2}{9} + 4 - (\frac{128}{9} + 2)$

= $\frac{2}{9} + \frac{36}{9} - (\frac{128}{9} + \frac{18}{9})$

= $\frac{38}{9} - 1 \cdot \frac{146}{9}$

= $\frac{38}{9} - \frac{146}{9}$

= $- 12$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel