$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-12}}{2}$ = -6.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -8 -6 +3 +6 = -5

= ${\left[-\frac{5}{2}{x}^2-x\right]}_0^1$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot 1^2-1-\left(-\frac{5}{2}\cdot 0^2-0\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 1-1-\left(-\frac{5}{2}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{5}{2}-1-\left(0+0\right)$

= $-\frac{5}{2}-\frac{2}{2}+0$

= $-\frac{7}{2}$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{1}{6}{e}^{-3x}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $0+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(0+\frac{1}{6}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}\right)$

= $\frac{1}{6}{e}^{-\frac{9}{2}\pi }-\frac{1}{6}{e}^{-\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[\frac{1}{8}{\left(-2x+3\right)}^4\right]}_1^4$

$=$ $\frac{1}{8}\cdot {\left(-2\cdot 4+3\right)}^4-\frac{1}{8}\cdot {\left(-2\cdot 1+3\right)}^4$

= $\frac{1}{8}\cdot {\left(-8+3\right)}^4-\frac{1}{8}\cdot {\left(-2+3\right)}^4$

= $\frac{1}{8}\cdot {\left(-5\right)}^4-\frac{1}{8}\cdot 1^4$

= $\frac{1}{8}\cdot 625-\frac{1}{8}\cdot 1$

= $\frac{625}{8}-\frac{1}{8}$

= $78$

= ${\left[-2x^{\frac{5}{2}}-5e^{-x}\right]}_1^4$

= ${\left[-2{\left(\sqrt{x}\right)}^5-5e^{-x}\right]}_1^4$

$=$ $-2{\left(\sqrt{4}\right)}^5-5e^{-4}-\left(-2{\left(\sqrt{1}\right)}^5-5e^{-1}\right)$

= $-2\cdot 2^5-5e^{-4}-\left(-2\cdot 1^5-5e^{-1}\right)$

= $-2\cdot 32-5e^{-4}-\left(-2\cdot 1-5e^{-1}\right)$

= $-64-5e^{-4}-\left(-2-5e^{-1}\right)$

= $-5e^{-4}-64-\left(-5e^{-1}-2\right)$

= $5e^{-1}-1·\left(-2\right)-5e^{-4}-64$

= $5e^{-1}+2-5e^{-4}-64$

= $5e^{-1}-5e^{-4}+2-64$

= $5e^{-1}-5e^{-4}-62$

= ${\left[-e^{3x-6}\right]}_2^5$

$=$ $-e^{3\cdot 5-6}+e^{3\cdot 2-6}$

= $-e^{15-6}+e^{6-6}$

= $-e^9+e^0$

= $-e^9+1$