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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -4 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 - 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 3)$

= $- 8 - 12 - (- \frac{1}{2} - 3)$

= $- 20 - (- \frac{1}{2} - \frac{6}{2})$

= $- 20 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- 20 + \frac{7}{2}$

= $- \frac{40}{2} + \frac{7}{2}$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + \frac{7}{2} \cdot \cos (π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 + \frac{7}{2} \cdot (- 1) - (- 1 + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{7}{2} - (- 1 + 0)$

= $0 - \frac{7}{2} + 1$

= $- \frac{7}{2} + 1$

= $- \frac{7}{2} + \frac{2}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (π) + \frac{9}{2} \cdot \sin (π) - (- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{2} \cdot (- 1) + \frac{9}{2} \cdot 0 - (- \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{9}{2} \cdot 1)$

= $\frac{7}{2} + 0 - (0 + \frac{9}{2})$

= $\frac{7}{2} - \frac{9}{2}$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{3} - 3 e$

≈ 52,102

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel