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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -1 -3 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 3 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 3 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 9 - 12)$

= $0 + 0 - (- \frac{27}{2} - 12)$

= $0 - (- \frac{27}{2} - \frac{24}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{51}{2})$

= $\frac{51}{2}$

= 25,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{4 x^{4}} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{4 x^{4}} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{9}{4} x^{- 4} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{- 3} + 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{3}{4 x^{3}} + 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{3}{4 {(2 π)}^{3}} + 2 \cdot \sin (2 π) - (\frac{3}{4 π^{3}} + 2 \cdot \sin (π))$

= $\frac{3}{4 {(2 π)}^{3}} + 2 \cdot 0 - (\frac{3}{4 π^{3}} + 2 \cdot 0)$

= $\frac{3}{4 {(2 π)}^{3}} + 0 - (\frac{3}{4 π^{3}} + 0)$

= $\frac{3}{32 π^{3}} - \frac{3}{4 π^{3}}$

= $\frac{3}{32 π^{3}} - \frac{24}{32 π^{3}}$

= $- \frac{21}{32 π^{3}}$

≈ -0,021

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 5} - e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $e^{- 12 + 5} - e^{- 3 + 5}$

= $e^{- 7} - e^{2}$

≈ -7,388

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 e^{x} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 e^{x} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 e^{x} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (2 e^{0} - \frac{7}{2} \cdot \cos (0))$

= $2 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{7}{2} \cdot 0 - (2 - \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $2 e^{\frac{1}{2} π} + 0 - (2 - \frac{7}{2})$

= $2 e^{\frac{1}{2} π} - (\frac{4}{2} - \frac{7}{2})$

= $2 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $2 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{3}{2}$

≈ 11,121

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel