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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -8 -4 +3 +6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (2 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - ({(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $4 + 4 - (9 + 6)$

= $4 + 4 - 1 \cdot 9 - 1 \cdot 6$

= $4 + 4 - 9 - 6$

= $- 7$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (e^{x} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (e^{x} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[e^{x} + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $e^{π} + 3 \cdot \cos (π) - (e^{0} + 3 \cdot \cos (0))$

= $e^{π} + 3 \cdot (- 1) - (1 + 3 \cdot 1)$

= $e^{π} - 3 - (1 + 3)$

= $e^{π} - 3 - 1 \cdot 4$

= $e^{π} - 3 - 4$

= $e^{π} - 7$

≈ 16,141

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{20}{3}}^{- \frac{11}{3}} - 2 \sqrt{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{20}{3}}^{- \frac{11}{3}} - 2 \sqrt{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{- \frac{20}{3}}^{- \frac{11}{3}} - 2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{20}{3}}^{- \frac{11}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 x + 5})}^{3}]}_{- \frac{20}{3}}^{- \frac{11}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{11}{3}) + 5})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{20}{3}) + 5})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{11 + 5})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{20 + 5})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot 5^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 64 - \frac{4}{9} \cdot 125$

= $\frac{256}{9} - \frac{500}{9}$

= $- \frac{244}{9}$

≈ -27,111

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot π} + \frac{1}{2} - (\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $\frac{5}{2} e^{- 2 \cdot π} + \frac{1}{2} - \frac{5}{2} e^{- π}$

≈ 0,397

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{- 3 + 3} + 3 e^{- 2 + 3}$

= $- 3 e^{0} + 3 e$

= $- 3 + 3 e$

≈ 5,155

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel