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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +1.5 +2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (2 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (2 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 3^{2} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 + 9 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 1)$

= $18 + 9 - (\frac{2}{3} + 1)$

= $27 - (\frac{2}{3} + \frac{3}{3})$

= $27 - 1 \cdot \frac{5}{3}$

= $27 - \frac{5}{3}$

= $\frac{81}{3} - \frac{5}{3}$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - 3 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $5 \cdot \sin (2 π) + \frac{1}{{(2 π)}^{3}} - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $5 \cdot 0 + \frac{1}{{(2 π)}^{3}} - (5 \cdot 1 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $0 + \frac{1}{{(2 π)}^{3}} - (5 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $\frac{1}{8 π^{3}} - (5 + \frac{8}{π^{3}})$

= $- 1 \cdot 5 - 1 \cdot \frac{8}{π^{3}} + \frac{1}{8 π^{3}}$

= $- 5 - \frac{8}{π^{3}} + \frac{1}{8 π^{3}}$

= $- 5 - \frac{63}{8 π^{3}}$

≈ -5,254

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{9}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 9 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (- 9 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $- 9 \cdot 0 - 1 - (- 9 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (- 9 + 0)$

= $- 1 + 9$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 5 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 10 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 4 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 5} + \frac{3}{2} e$

≈ 4,067

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel