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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +2 +4 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (\frac{1}{x^{2}} + 5 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (\frac{1}{x^{2}} + 5 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (x^{- 2} + 5 x^{3}) ⅆ x

= ${[- x^{- 1} + \frac{5}{4} x^{4}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{x} + \frac{5}{4} x^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5} + \frac{5}{4} \cdot 5^{4} - (- \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot 2^{4})$

= $- (\frac{1}{5}) + \frac{5}{4} \cdot 625 - (- (\frac{1}{2}) + \frac{5}{4} \cdot 16)$

= $- \frac{1}{5} + \frac{3125}{4} - (- \frac{1}{2} + 20)$

= $- \frac{4}{20} + \frac{15625}{20} - (- \frac{1}{2} + \frac{40}{2})$

= $\frac{15621}{20} - 1 \cdot \frac{39}{2}$

= $\frac{15621}{20} - \frac{39}{2}$

= $\frac{15621}{20} - \frac{390}{20}$

= $\frac{15231}{20}$

= 761,55

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{2}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} \frac{2}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 2 {(- 3 x + 7)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[\frac{2}{9 {(- 3 x + 7)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{2}{9 {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{3}} - \frac{2}{9 {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{3}}$

= $\frac{2}{9 {(- 12 + 7)}^{3}} - \frac{2}{9 {(- 9 + 7)}^{3}}$

= $\frac{2}{9 {(- 5)}^{3}} - \frac{2}{9 {(- 2)}^{3}}$

= $\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{125}) - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{8})$

= $- \frac{2}{1125} + \frac{1}{36}$

= $- \frac{8}{4500} + \frac{125}{4500}$

= $\frac{13}{500}$

= 0,026

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (8 e^{- x} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (8 e^{- x} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 8 e^{- x} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 8 e^{- π} + 4 \cdot \cos (π) - (- 8 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 8 e^{- π} + 4 \cdot (- 1) - (- 8 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot 0)$

= $- 8 e^{- π} - 4 - (- 8 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- 8 e^{- π} - 4 + 8 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ -2,683

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 81,694

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel