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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 5 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 - 15)$

= $- \frac{1}{2} + 5 - (- \frac{9}{2} - 15)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{10}{2} - (- \frac{9}{2} - \frac{30}{2})$

= $\frac{9}{2} - 1 \cdot (- \frac{39}{2})$

= $\frac{9}{2} + \frac{39}{2}$

= $24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- \frac{3}{2} x^{5} + 3 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- \frac{3}{2} x^{5} + 3 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{6} - 3 e^{- x}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{6} - 3 e^{- (- 2)} - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 e^{- (- 3)})$

= $- \frac{1}{4} \cdot 64 - 3 e^{2} - (- \frac{1}{4} \cdot 729 - 3 e^{3})$

= $- 16 - 3 e^{2} - (- \frac{729}{4} - 3 e^{3})$

= $- 3 e^{2} - 16 - (- 3 e^{3} - \frac{729}{4})$

= $3 e^{3} - 1 \cdot (- \frac{729}{4}) - 3 e^{2} - 16$

= $3 e^{3} + \frac{729}{4} - 3 e^{2} - 16$

= $3 e^{3} - 3 e^{2} + \frac{729}{4} - 16$

= $3 e^{3} - 3 e^{2} + \frac{665}{4}$

≈ 204,339

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 1} - 2 e^{- 1 + 1}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{0}$

= $2 e^{- 1} - 2$

≈ -1,264

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $0 + \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (1 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{5}{2} - (1 + 0)$

= $0 - \frac{5}{2} - 1$

= $- \frac{5}{2} - 1$

= $- \frac{5}{2} - \frac{2}{2}$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel