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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -8 -4 +1.5 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 2 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - 6)$

= $\frac{1}{3} - 2 - (9 - 6)$

= $\frac{1}{3} - \frac{6}{3} - 1 \cdot 3$

= $- \frac{5}{3} - 3$

= $- \frac{5}{3} - \frac{9}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} x^{3} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} x^{3} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{4} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0)$

= $- \frac{27}{8} \cdot π^{4} + \frac{1}{24} \cdot π^{4}$

= $- \frac{81}{24} \cdot π^{4} + \frac{1}{24} \cdot π^{4}$

= $- \frac{10}{3} \cdot π^{4}$

≈ -324,697

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + π) ⅆ x

= ${[\cos (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π + π) - \cos (\frac{1}{2} π + π)$

= $\cos (2 π) - \cos (\frac{3}{2} π)$

= $1 - 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) + 3 \cdot \sin (π) - (5 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (5 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $- 5 + 0 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 2} - 3 e^{1 - 2}$

= $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$

≈ 21,064

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel