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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 1.5 ) = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -1 -2 -4.5 = -7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 5 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 3)$

= $0 + 0 - (- \frac{5}{2} - 3)$

= $0 - (- \frac{5}{2} - \frac{6}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{11}{2})$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{4}{3 x^{4}} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{4}{3 x^{4}} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{4}{3} x^{- 4} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} x^{- 3} - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \frac{4}{9 x^{3}} - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{4}{9 {(2 π)}^{3}} - 2 \cdot \cos (2 π) - (- \frac{4}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{9 {(2 π)}^{3}} - 2 \cdot 1 - (- \frac{4}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{9 {(2 π)}^{3}} - 2 - (- \frac{4}{9 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 0)$

= $- 2 - \frac{1}{18 π^{3}} + \frac{32}{9 π^{3}}$

= $- 2 + \frac{7}{2 π^{3}}$

≈ -1,887

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{- 2 + 3} - 3 e^{- 0 + 3}$

= $3 e - 3 e^{3}$

≈ -52,102

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot \cos (π) + 7 \cdot \sin (π) - (\frac{5}{2} \cdot \cos (0) + 7 \cdot \sin (0))$

= $\frac{5}{2} \cdot (- 1) + 7 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} + 0 - (\frac{5}{2} + 0)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 2 e^{- 4 + 2} + 2 e^{- 2 + 2}$

= $- 2 e^{- 2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 2} + 2$

≈ 1,729

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel