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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +6 +8 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 5^{3} + 5 \cdot 5 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 125 + 25 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 5)$

= $- \frac{625}{3} + 25 - (- \frac{5}{3} + 5)$

= $- \frac{625}{3} + \frac{75}{3} - (- \frac{5}{3} + \frac{15}{3})$

= $- \frac{550}{3} - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{550}{3} - \frac{10}{3}$

= $- \frac{560}{3}$

≈ -186,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 e^{- x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 e^{- π} + 2 \cdot \cos (π) - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 e^{- π} + 2 \cdot (- 1) - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 0)$

= $2 e^{- π} - 2 - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $2 e^{- π} - 2 - 2 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ -2,329

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} {(3 x - 7)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 4 - 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot {(12 - 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(6 - 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot 5^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot 625 - \frac{1}{12} \cdot 1$

= $\frac{625}{12} - \frac{1}{12}$

= $52$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + 6 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (π) + 6 \cdot \sin (π) - (- \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{4} \cdot (- 1) + 6 \cdot 0 - (- \frac{7}{4} \cdot 0 + 6 \cdot 1)$

= $\frac{7}{4} + 0 - (0 + 6)$

= $\frac{7}{4} + 0 - 6$

= $\frac{7}{4} - 6$

= $\frac{7}{4} - \frac{24}{4}$

= $- \frac{17}{4}$

= -4,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- x + 1)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(- 0 + 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(0 + 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{4}$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel