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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4 +6 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (5 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 - 8 - (\frac{5}{2} \cdot 4 + 8)$

= $10 - 8 - (10 + 8)$

= $2 - 1 \cdot 18$

= $2 - 18$

= $- 16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{5} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{5} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{6} x^{6} - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{6} \cdot {(0)}^{6} - 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 3 \cdot 0 - (\frac{5}{6} \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 0 - (0 - 3)$

= $\frac{1215}{128} \cdot π^{6} + 3$

≈ 9128,686

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[e^{- x + 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 1} - e^{- 2 + 1}$

= $e^{- 3} - e^{- 1}$

≈ -0,318

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- \sqrt{x} + 4 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- \sqrt{x} + 4 e^{- 3 x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} e^{- 3 x}]}_{0}^{1}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 1} - (- \frac{2}{3} {(\sqrt{0})}^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot 0})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3} - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{4}{3} e^{0})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{4}{3} e^{- 3} - (- \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{4}{3})$

= $- \frac{2}{3} - \frac{4}{3} e^{- 3} - (0 - \frac{4}{3})$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} - (0 - \frac{4}{3})$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3} + \frac{2}{3}$

≈ 0,6

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - \frac{2}{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - \frac{2}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} - 2 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 1 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $2 \ln (| - 5 + 1 |) - 2 \ln (| - 2 + 1 |)$

= $2 \ln (| - 5 + 1 |) - 2 \ln (| - 2 + 1 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (| - 2 + 1 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (4) + 0$

= $2 \ln (4)$

≈ 2,773

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Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel