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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 1.5 ) = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -1 -2 -4.5 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 6 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 + 9)$

= $- 10 + 6 - (- \frac{45}{2} + 9)$

= $- 4 - (- \frac{45}{2} + \frac{18}{2})$

= $- 4 - 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $- 4 + \frac{27}{2}$

= $- \frac{8}{2} + \frac{27}{2}$

= $\frac{19}{2}$

= 9,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (0) - \frac{7}{3} \cdot \sin (0))$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot 1 - (- 2 \cdot 1 - \frac{7}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{7}{3} - (- 2 + 0)$

= $0 - \frac{7}{3} + 2$

= $- \frac{7}{3} + 2$

= $- \frac{7}{3} + \frac{6}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{7}^{\frac{21}{2}} 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{21 - 5})}^{3} - {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4^{3} - 3^{3}$

= $64 - 27$

= $37$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) - 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (x) + x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (π) + \frac{1}{π^{2}} - (\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{π^{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{2}{3} + \frac{1}{π^{2}} - (0 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{2}{3} + \frac{1}{π^{2}} - \frac{4}{π^{2}}$

= $- \frac{2}{3} - \frac{3}{π^{2}}$

≈ -0,971

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[\sin (- x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (- π + π) - \sin (- (0) + π)$

= $\sin (0) - \sin (π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel