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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (5 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (5 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1))$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) + 1)$

= $\frac{5}{3} - 1 - (- \frac{5}{3} + 1)$

= $\frac{5}{3} - \frac{3}{3} - (- \frac{5}{3} + \frac{3}{3})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3 x^{2}} - \frac{8}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3 x^{2}} - \frac{8}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- \frac{5}{3} x^{- 2} - \frac{8}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{- 1} - \frac{16}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{5}{3 x} - \frac{16}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{5}{3 \cdot 9} - \frac{16}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{5}{3 \cdot 4} - \frac{16}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{16}{9} \cdot 3^{3} - (\frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{16}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{5}{27} - \frac{16}{9} \cdot 27 - (\frac{5}{12} - \frac{16}{9} \cdot 8)$

= $\frac{5}{27} - 48 - (\frac{5}{12} - \frac{128}{9})$

= $\frac{5}{27} - \frac{1296}{27} - (\frac{15}{36} - \frac{512}{36})$

= $- \frac{1291}{27} - 1 \cdot (- \frac{497}{36})$

= $- \frac{1291}{27} + \frac{497}{36}$

= $- \frac{5164}{108} + \frac{1491}{108}$

= $- \frac{1291}{27} + \frac{497}{36}$

= $- \frac{5164}{108} + \frac{1491}{108}$

= $- \frac{3673}{108}$

≈ -34,009

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 2 e^{5 - 2} + 2 e^{2 - 2}$

= $- 2 e^{3} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{3} + 2$

≈ -38,171

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $0 - 3 \cdot 1 - (1 - 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (1 + 0)$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel