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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -6 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 1 - (\frac{5}{3} \cdot (- 8) - 2 \cdot 4)$

= $- \frac{5}{3} - 2 - (- \frac{40}{3} - 8)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{6}{3} - (- \frac{40}{3} - \frac{24}{3})$

= $- \frac{11}{3} - 1 \cdot (- \frac{64}{3})$

= $- \frac{11}{3} + \frac{64}{3}$

= $\frac{53}{3}$

≈ 17,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $4 + 0 - (- 4 + 0)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (2 {(3 x - 6)}^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (2 {(3 x - 6)}^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{3} - x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 5 - 6)}^{3} - 5^{2} - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3} - 2^{2})$

= $\frac{2}{9} \cdot {(15 - 6)}^{3} - 25 - (\frac{2}{9} \cdot {(6 - 6)}^{3} - 4)$

= $\frac{2}{9} \cdot 9^{3} - 25 - (\frac{2}{9} \cdot 0^{3} - 4)$

= $\frac{2}{9} \cdot 729 - 25 - (\frac{2}{9} \cdot 0 - 4)$

= $162 - 25 - (0 - 4)$

= $137 + 4$

= $141$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{5}{3} \cdot \sin (π) - (4 \cdot \cos (0) + \frac{5}{3} \cdot \sin (0))$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{5}{3} \cdot 0 - (4 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{5}{2}}^{13} - \sqrt{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{5}{2}}^{13} - \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{13} - {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 + \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{125}{3} + \frac{8}{3}$

= $- 39$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel