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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 - 5 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{3}{2} - 5 - (0 + 0)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{10}{2} + 0$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - 1 - (2 \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 {(- 2 x + 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 {(- 2 x + 5)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 5)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 5)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 5)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(0 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 3^{4} + \frac{1}{4} \cdot 5^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 81 + \frac{1}{4} \cdot 625$

= $- \frac{81}{4} + \frac{625}{4}$

= $136$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) - 5 e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) - 5 e^{3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} e^{3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{4} \cdot \cos (π) - \frac{5}{3} e^{3 \cdot π} - (\frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{7}{4} \cdot (- 1) - \frac{5}{3} e^{3 \cdot π} - (\frac{7}{4} \cdot 0 - \frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{7}{4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot π} - (0 - \frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{5}{3} e^{3 \cdot π} - \frac{7}{4} + \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π}$

= $- \frac{5}{3} e^{3 π} + \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - \frac{7}{4}$

≈ -20468,967

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2 e^{- 2 + 1} + 2 e^{- 0 + 1}$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e$

≈ 4,701

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel