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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 +1 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 5 x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 + 12)$

= $- \frac{5}{2} + 4 - (- \frac{45}{2} + 12)$

= $- \frac{5}{2} + \frac{8}{2} - (- \frac{45}{2} + \frac{24}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{21}{2}$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 1) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \cos (x) + x]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \cos (π) + π - (\frac{8}{3} \cdot \cos (0) + 0)$

= $\frac{8}{3} \cdot (- 1) + π - (\frac{8}{3} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + π - (\frac{8}{3} + 0)$

= $- \frac{8}{3} + π - \frac{8}{3}$

= $- \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + π$

= $- \frac{16}{3} + π$

≈ -2,192

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 23}^{- 14} - 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 23}^{- 14} - 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 23}^{- 14} - 2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 23}^{- 14}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 23}^{- 14}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 14) + 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 23) + 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{14 + 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 125$

= $\frac{256}{3} - \frac{500}{3}$

= $- \frac{244}{3}$

≈ -81,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 e^{- x} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 e^{- x} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 e^{- x} - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 e^{- π} - 4 \cdot \cos (π) - (- 5 e^{- (0)} - 4 \cdot \cos (0))$

= $- 5 e^{- π} - 4 \cdot (- 1) - (- 5 e^{0} - 4 \cdot 1)$

= $- 5 e^{- π} + 4 - (- 5 - 4)$

= $- 5 e^{- π} + 4 - 1 \cdot (- 9)$

= $- 5 e^{- π} + 4 + 9$

= $- 5 e^{- π} + 13$

≈ 12,784

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- 5 π) + \cos (- 2 π)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel