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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 -4.5 +3 +6 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 1 - 3 - (- 2 \cdot 4 + 6)$

= $- 2 - 3 - (- 8 + 6)$

= $- 5 - 1 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - 2)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 6} + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 15 + 6} + \frac{1}{3} e^{- 6 + 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 9} + \frac{1}{3} e^{0}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 9} + \frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 5 e^{- x} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 5 e^{- x} + 2 x) ⅆ x

= ${[5 e^{- x} + x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $5 e^{- 1} + 1^{2} - (5 e^{- (- 2)} + {(- 2)}^{2})$

= $5 e^{- 1} + 1 - (5 e^{2} + 4)$

= $5 e^{- 1} + 1 - 5 e^{2} - 1 \cdot 4$

= $5 e^{- 1} + 1 - 5 e^{2} - 4$

= $- 5 e^{2} + 5 e^{- 1} + 1 - 4$

= $- 5 e^{2} + 5 e^{- 1} - 3$

≈ -38,106

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{7} \frac{1}{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{7} \frac{1}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 3 |)]}_{5}^{7}$

$=$ $\ln (| 7 - 3 |) - \ln (| 5 - 3 |)$

= $\ln (4) - \ln (| 5 - 3 |)$

= $\ln (4) - \ln (2)$

≈ 0,693

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel