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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 8 f(x) x .

Lösung einblenden

2 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I3 = 4 6 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I4 = 6 8 f(x) x : Trapezfläche I4 = (8 - 6) ⋅ -4 + ( - 5 ) 2 = 2 ⋅ ( - 4.5 ) = -9.

Somit gilt:

2 8 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 2 4 f(x) x + 4 6 f(x) x + 6 8 f(x) x = -4 -8 -9 = -21

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 0 ( -2 x 2 -2 ) x .

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-2 0 ( -2 x 2 -2 ) x

= [ - 2 3 x 3 -2x ] -2 0

= - 2 3 0 3 -20 - ( - 2 3 ( -2 ) 3 -2( -2 ) )

= - 2 3 0 +0 - ( - 2 3 ( -8 ) +4 )

= 0+0 - ( 16 3 +4 )

= 0 - ( 16 3 + 12 3 )

= -1 · 28 3

= - 28 3


≈ -9,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( -5 sin( x ) +8 x 5 ) x .

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1 2 π π ( -5 sin( x ) +8 x 5 ) x

= [ 5 cos( x ) + 4 3 x 6 ] 1 2 π π

= 5 cos( π ) + 4 3 π 6 - ( 5 cos( 1 2 π ) + 4 3 ( 1 2 π ) 6 )

= 5( -1 ) + 4 3 π 6 - ( 50 + 4 3 ( 1 2 π ) 6 )

= -5 + 4 3 π 6 - (0 + 4 3 ( 1 2 π ) 6 )

= -5 + 4 3 π 6 - 1 48 π 6

= -5 + 21 16 π 6


≈ 1256,823

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral -10 -2 -2 -2x +5 x .

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-10 -2 -2 -2x +5 x
= -10 -2 -2 ( -2x +5 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( -2x +5 ) 3 2 ] -10 -2

= [ 2 3 ( -2x +5 ) 3 ] -10 -2

= 2 3 ( -2( -2 ) +5 ) 3 - 2 3 ( -2( -10 ) +5 ) 3

= 2 3 ( 4 +5 ) 3 - 2 3 ( 20 +5 ) 3

= 2 3 ( 9 ) 3 - 2 3 ( 25 ) 3

= 2 3 3 3 - 2 3 5 3

= 2 3 27 - 2 3 125

= 18 - 250 3

= 54 3 - 250 3

= - 196 3


≈ -65,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( -5 sin( x ) + x 3 ) x .

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0 1 2 π ( -5 sin( x ) + x 3 ) x

= [ 5 cos( x ) + 1 4 x 4 ] 0 1 2 π

= 5 cos( 1 2 π ) + 1 4 ( 1 2 π ) 4 - ( 5 cos( 0 ) + 1 4 ( 0 ) 4 )

= 50 + 1 4 ( 1 2 π ) 4 - ( 51 + 1 4 0 )

= 0 + 1 4 ( 1 2 π ) 4 - ( 5 +0)

= 1 64 π 4 -5


≈ -3,478

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 -2 e -2x +3 x .

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0 1 -2 e -2x +3 x

= [ e -2x +3 ] 0 1

= e -21 +3 - e -20 +3

= e -2 +3 - e 0 +3

= e - e 3

= e - e 3


≈ -17,367