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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 9 - 9 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{9}{2} - 9 - (0 + 0)$

= $\frac{9}{2} - \frac{18}{2} + 0$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - 5 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} x^{- 3}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3 x^{3}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (5 \cdot \sin (π) + \frac{5}{3 π^{3}})$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{5}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (5 \cdot 0 + \frac{5}{3 π^{3}})$

= $- 5 + \frac{5}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (0 + \frac{5}{3 π^{3}})$

= $- 5 + \frac{40}{81 π^{3}} - \frac{5}{3 π^{3}}$

= $- 5 - \frac{95}{81 π^{3}}$

≈ -5,038

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 3} - 3 e^{1 - 3}$

= $3 e - 3 e^{- 2}$

≈ 7,749

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) - \frac{9}{2} \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 - \frac{9}{2} \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 3} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{1}{2} e^{- 8 + 3} - \frac{1}{2} e^{- 4 + 3}$

= $\frac{1}{2} e^{- 5} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ -0,181

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel