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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- 8 + 12 - (- \frac{1}{2} + 3)$

= $4 - (- \frac{1}{2} + \frac{6}{2})$

= $4 - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $4 - \frac{5}{2}$

= $\frac{8}{2} - \frac{5}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $0 + \frac{5}{4} - (0 - \frac{5}{4})$

= $\frac{5}{4} + \frac{5}{4}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 5 + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 10 + 1} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 9} + \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ 0,025

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) - 4 \cdot \cos (π) - (\sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $0 - 4 \cdot (- 1) - (1 - 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (1 + 0)$

= $4 - 1$

= $3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{- 3 + 1} - e^{- 1 + 1}$

= $e^{- 2} - e^{0}$

= $e^{- 2} - 1$

≈ -0,865

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel