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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-3 +(-4)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 -7 = -17.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 5 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 10)$

= $\frac{1}{2} + 5 - (2 + 10)$

= $\frac{1}{2} + \frac{10}{2} - 1 \cdot 12$

= $\frac{11}{2} - 12$

= $\frac{11}{2} - \frac{24}{2}$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- x^{5} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- x^{5} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{1}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{384} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{384} \cdot π^{6}$

≈ -2,004

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 4} - e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $e^{- 9 + 4} - e^{- 6 + 4}$

= $e^{- 5} - e^{- 2}$

≈ -0,129

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - \sin (π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - 0 - (3 \cdot 0 - 1)$

= $- 3 + 0 - (0 - 1)$

= $- 3 + 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (2 {(- 2 x + 4)}^{3} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (2 {(- 2 x + 4)}^{3} + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 4)}^{4} + 6 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{4} + 6 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{4} + 6 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 4 + 4)}^{4} + 12 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 4)}^{4} + 6)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 12 - (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 6)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0 + 12 - (- \frac{1}{4} \cdot 16 + 6)$

= $0 + 12 - (- 4 + 6)$

= $12 - 1 \cdot 2$

= $12 - 2$

= $10$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel