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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 4 + 4)$

= $- \frac{1}{2} + 2 - (- 2 + 4)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{4}{2} - 1 \cdot 2$

= $\frac{3}{2} - 2$

= $\frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 - 3)$

= $- 2 + 3$

= $1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 {(- x + 1)}^{3} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 {(- x + 1)}^{3} - 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 1)}^{4} - 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} - 3 \cdot 2^{2} - (\frac{3}{4} \cdot {(- 0 + 1)}^{4} - 3 \cdot 0^{2})$

= $\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - 3 \cdot 4 - (\frac{3}{4} \cdot {(0 + 1)}^{4} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot 1 - 12 - (\frac{3}{4} \cdot 1^{4} + 0)$

= $\frac{3}{4} - 12 - (\frac{3}{4} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{3}{4} - \frac{48}{4} - (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{45}{4} - (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{45}{4} - \frac{3}{4}$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{5}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{5}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot \sin (π) + \cos (π) - (\frac{5}{2} \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 - 1 - (\frac{5}{2} \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{4 - 3} + \frac{1}{2} e^{0 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e + \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ -1,334

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel