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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -1 -3 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (5 x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 + 6 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 3)$

= $10 + 6 - (\frac{5}{2} + 3)$

= $16 - (\frac{5}{2} + \frac{6}{2})$

= $16 - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $16 - \frac{11}{2}$

= $\frac{32}{2} - \frac{11}{2}$

= $\frac{21}{2}$

= 10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{4} \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (\frac{5}{4} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 7} + e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $- e^{- 9 + 7} + e^{0 + 7}$

= $- e^{- 2} + e^{7}$

≈ 1096,498

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \cos (x) + \frac{7}{2 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \cos (x) + \frac{7}{2 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \cos (x) + \frac{7}{2} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{7}{4} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{7}{4 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot \sin (π) - \frac{7}{4 π^{2}} - (- \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{7}{4 π^{2}} - (- \frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{7}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $0 - \frac{7}{4 π^{2}} - (- \frac{3}{4} - \frac{7}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{7}{4 π^{2}} - (- \frac{3}{4} - \frac{7}{π^{2}})$

= $- 1 \cdot (- \frac{3}{4}) - 1 \cdot (- \frac{7}{π^{2}}) - \frac{7}{4 π^{2}}$

= $\frac{3}{4} + \frac{7}{π^{2}} - \frac{7}{4 π^{2}}$

= $\frac{3}{4} + \frac{21}{4 π^{2}}$

≈ 1,282

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 3} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 8 + 3} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 5} + \frac{3}{2} e$

≈ 4,067

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel