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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 6 f(x) x .

Lösung einblenden

0 6 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) 2 = -12 2 = -6.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ 2 2 = 6 2 = 3.

Somit gilt:

0 6 f(x) x = I1 + I2 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x = -6 +3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -1 0 ( -5x +1 ) x .

Lösung einblenden
-1 0 ( -5x +1 ) x

= [ - 5 2 x 2 + x ] -1 0

= - 5 2 0 2 +0 - ( - 5 2 ( -1 ) 2 -1 )

= - 5 2 0 +0 - ( - 5 2 1 -1 )

= 0+0 - ( - 5 2 -1 )

= 0 - ( - 5 2 - 2 2 )

= -1 · ( - 7 2 )

= 7 2


= 3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( -5 x 5 - sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( -5 x 5 - sin( x ) ) x

= [ - 5 6 x 6 + cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 5 6 ( 3 2 π ) 6 + cos( 3 2 π ) - ( - 5 6 ( 1 2 π ) 6 + cos( 1 2 π ) )

= - 5 6 ( 3 2 π ) 6 +0 - ( - 5 6 ( 1 2 π ) 6 +0)

= - 1215 128 π 6 + 5 384 π 6

= - 3645 384 π 6 + 5 384 π 6

= - 455 48 π 6


≈ -9113,168

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 3 4 - 1 ( -3x +4 ) 4 x .

Lösung einblenden
3 4 - 1 ( -3x +4 ) 4 x
= 3 4 - ( -3x +4 ) -4 x

= [ - 1 9 ( -3x +4 ) -3 ] 3 4

= [ - 1 9 ( -3x +4 ) 3 ] 3 4

= - 1 9 ( -34 +4 ) 3 + 1 9 ( -33 +4 ) 3

= - 1 9 ( -12 +4 ) 3 + 1 9 ( -9 +4 ) 3

= - 1 9 ( -8 ) 3 + 1 9 ( -5 ) 3

= - 1 9 ( - 1 512 ) + 1 9 ( - 1 125 )

= 1 4608 - 1 1125

= 125 576000 - 512 576000

= - 43 64000


≈ -0,001

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( - sin( x ) -7 e -2x ) x .

Lösung einblenden
0 π ( - sin( x ) -7 e -2x ) x

= [ cos( x ) + 7 2 e -2x ] 0 π

= cos( π ) + 7 2 e -2π - ( cos( 0 ) + 7 2 e -2( 0 ) )

= -1 + 7 2 e -2π - ( 1 + 7 2 e 0 )

= 7 2 e -2π -1 - ( 1 + 7 2 )

= 7 2 e -2π -1 - ( 2 2 + 7 2 )

= 7 2 e -2π -1 -1 · 9 2

= 7 2 e -2π -1 - 9 2

= 7 2 e -2π - 11 2


≈ -5,493

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 1 2x -1 x .

Lösung einblenden
1 4 1 2x -1 x
= 1 4 ( 2x -1 ) -1 x

= [ 1 2 ln( | 2x -1 | ) ] 1 4

= 1 2 ln( | 24 -1 | ) - 1 2 ln( | 21 -1 | )

= 1 2 ln( | 8 -1 | ) - 1 2 ln( | 2 -1 | )

= 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( | 2 -1 | )

= 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( 1 )

= 1 2 ln( 7 ) +0

= 1 2 ln( 7 )


≈ 0,973