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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -9 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{2} + 3 \cdot 0 - (- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- 1 - 3)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3)$

= $1 + 3$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (9 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (9 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (9 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 9 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} x^{- 1}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- 9 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4 x}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- 9 \cdot \cos (2 π) - \frac{3}{4 \cdot 2 π} - (- 9 \cdot \cos (π) - \frac{3}{4 π})$

= $- 9 \cdot 1 - \frac{3}{4 \cdot 2 π} - (- 9 \cdot (- 1) - \frac{3}{4 π})$

= $- 9 - \frac{3}{4 \cdot 2 π} - (9 - \frac{3}{4 π})$

= $- 9 - \frac{3}{8 π} - (9 - \frac{3}{4 π})$

= $- 9 - \frac{3}{8 π} - 1 \cdot 9 - 1 \cdot (- \frac{3}{4 π})$

= $- 9 - \frac{3}{8 π} - 9 + \frac{3}{4 π}$

= $- 9 - 9 - \frac{3}{8 π} + \frac{3}{4 π}$

= $- 18 + \frac{3}{8 π}$

≈ -17,881

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (2 π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (3 x^{4} + \frac{5}{3 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (3 x^{4} + \frac{5}{3 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (3 x^{4} + \frac{5}{3} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} - \frac{5}{6} x^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{3}{5} x^{5} - \frac{5}{6 x^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot 5^{5} - \frac{5}{6 \cdot 5^{2}} - (\frac{3}{5} \cdot 2^{5} - \frac{5}{6 \cdot 2^{2}})$

= $\frac{3}{5} \cdot 3125 - \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{25}) - (\frac{3}{5} \cdot 32 - \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $1 875 - \frac{1}{30} - (\frac{96}{5} - \frac{5}{24})$

= $\frac{56250}{30} - \frac{1}{30} - (\frac{2304}{120} - \frac{25}{120})$

= $\frac{56249}{30} - 1 \cdot \frac{2279}{120}$

= $\frac{56249}{30} - \frac{2279}{120}$

= $\frac{224996}{120} - \frac{2279}{120}$

= $\frac{74239}{40}$

= 1855,975

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (3)$

≈ 0,462

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel