nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 8 f(x) x .

Lösung einblenden

0 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 = 5 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) 2 = -3 2 = -1.5.

Somit gilt:

0 8 f(x) x = I1 + I2 + I3 = 0 3 f(x) x + 3 5 f(x) x + 5 8 f(x) x = 12 +4 -1.5 = 14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 2 ( 2 x 2 -3 ) x .

Lösung einblenden
-2 2 ( 2 x 2 -3 ) x

= [ 2 3 x 3 -3x ] -2 2

= 2 3 2 3 -32 - ( 2 3 ( -2 ) 3 -3( -2 ) )

= 2 3 8 -6 - ( 2 3 ( -8 ) +6 )

= 16 3 -6 - ( - 16 3 +6 )

= 16 3 - 18 3 - ( - 16 3 + 18 3 )

= - 2 3 -1 · 2 3

= - 2 3 - 2 3

= - 4 3


≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π ( 7 4 cos( x ) - 3 2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π ( 7 4 cos( x ) - 3 2 sin( x ) ) x

= [ 7 4 sin( x ) + 3 2 cos( x ) ] 0 3 2 π

= 7 4 sin( 3 2 π ) + 3 2 cos( 3 2 π ) - ( 7 4 sin( 0 ) + 3 2 cos( 0 ) )

= 7 4 ( -1 ) + 3 2 0 - ( 7 4 0 + 3 2 1 )

= - 7 4 +0 - (0 + 3 2 )

= - 7 4 +0 - (0 + 3 2 )

= - 7 4 - 3 2

= - 7 4 - 6 4

= - 13 4


= -3,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π -2 cos( x - 3 2 π) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π -2 cos( x - 3 2 π) x

= [ -2 sin( x - 3 2 π) ] 0 1 2 π

= -2 sin( 1 2 π - 3 2 π) +2 sin( 0 - 3 2 π)

= -2 sin(-π) +2 sin( - 3 2 π)

= -20 +21

= 0 +2

= 2

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 2 cos( x ) +2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 2 cos( x ) +2 sin( x ) ) x

= [ 2 sin( x ) -2 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 2 sin( 3 2 π ) -2 cos( 3 2 π ) - ( 2 sin( 1 2 π ) -2 cos( 1 2 π ) )

= 2( -1 ) -20 - ( 21 -20 )

= -2 +0 - ( 2 +0)

= -2 -2

= -4

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 ( -x +1 ) 2 x .

Lösung einblenden
2 5 ( -x +1 ) 2 x

= [ - 1 3 ( -x +1 ) 3 ] 2 5

= - 1 3 ( -5 +1 ) 3 + 1 3 ( -2 +1 ) 3

= - 1 3 ( -4 ) 3 + 1 3 ( -1 ) 3

= - 1 3 ( -64 ) + 1 3 ( -1 )

= 64 3 - 1 3

= 21