Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -4 -12 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (5 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (5 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{5}{3} \cdot (- 27) + \frac{3}{2} \cdot 9)$

= $0 + 0 - (- 45 + \frac{27}{2})$

= $0 - (- \frac{90}{2} + \frac{27}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{63}{2})$

= $\frac{63}{2}$

= 31,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot \cos (π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (π) - (- \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{4} \cdot (- 1) - \frac{4}{3} \cdot 0 - (- \frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $\frac{3}{4} + 0 - (0 - \frac{4}{3})$

= $\frac{3}{4} + \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{12} + \frac{16}{12}$

= $\frac{25}{12}$

≈ 2,083

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- \frac{5}{2} π) + \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (3 π) + \cos (0)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel