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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 8 - 2 - (0 + 0)$

= $- 10 + 0$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (\frac{8}{3} x^{4} + 2 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (\frac{8}{3} x^{4} + 2 e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{15} x^{5} - 2 e^{- x}]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{8}{15} \cdot 0^{5} - 2 e^{- 0} - (\frac{8}{15} \cdot {(- 3)}^{5} - 2 e^{- (- 3)})$

= $\frac{8}{15} \cdot 0 - 2 e^{0} - (\frac{8}{15} \cdot (- 243) - 2 e^{3})$

= $0 - 2 - (- \frac{648}{5} - 2 e^{3})$

= $- 2 - (- 2 e^{3} - \frac{648}{5})$

= $2 e^{3} - 1 \cdot (- \frac{648}{5}) - 2$

= $2 e^{3} + \frac{648}{5} - 2$

= $2 e^{3} + \frac{638}{5}$

≈ 167,771

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- π + \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (0)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) - \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot 1)$

= $0 + \frac{7}{3} - (0 - \frac{7}{3})$

= $\frac{7}{3} + \frac{7}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(12 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} \cdot (- 27)$

= $72 + 9$

= $81$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel