Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 3 \cdot 2 - (- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $- 4 + 6 - (- 1 - 3)$

= $- 4 + 6 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6 + 1 + 3$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 e^{- 3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 e^{- 3 x} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (0)} - 5 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 5 \cdot 0 - (\frac{2}{3} e^{0} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{2}{3} - 5)$

= $\frac{2}{3} e^{- \frac{9}{2} π} - (\frac{2}{3} - \frac{15}{3})$

= $\frac{2}{3} e^{- \frac{9}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{13}{3})$

= $\frac{2}{3} e^{- \frac{9}{2} π} + \frac{13}{3}$

≈ 4,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 4 + 1} + e^{- 1 + 1}$

= $- e^{- 3} + e^{0}$

= $- e^{- 3} + 1$

≈ 0,95

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (\frac{2}{3} x^{2} - 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (\frac{2}{3} x^{2} - 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} x^{3} - \frac{5}{3} x^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot 2^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{2}{9} \cdot 0^{3} - \frac{5}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot 8 - \frac{5}{3} \cdot 8 - (\frac{2}{9} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{16}{9} - \frac{40}{3} - (0 + 0)$

= $\frac{16}{9} - \frac{120}{9} + 0$

= $- \frac{104}{9}$

≈ -11,556

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 4} - e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $e^{3 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{- 1} - e^{- 4}$

≈ 0,35

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel