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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +1.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3)$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 27) - 3)$

= $- \frac{4}{3} + 1 - (36 - 3)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{3}{3} - 1 \cdot 33$

= $- \frac{1}{3} - 33$

= $- \frac{1}{3} - \frac{99}{3}$

= $- \frac{100}{3}$

≈ -33,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 x^{2} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 x^{2} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} - 3 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 3 \cdot 1 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 3 - (0 + 0)$

= $- 3 - \frac{1}{6} \cdot π^{3} + 0$

= $- 3 - \frac{1}{6} \cdot π^{3}$

≈ -8,168

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{22}{3}}^{- 2} \sqrt{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{22}{3}}^{- 2} \sqrt{- 3 x + 3} ⅆ x

=

\int_{- \frac{22}{3}}^{- 2} {(- 3 x + 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{22}{3}}^{- 2}$

= ${[- \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 x + 3})}^{3}]}_{- \frac{22}{3}}^{- 2}$

$=$ $- \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 2) + 3})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{22}{3}) + 3})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{6 + 3})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{22 + 3})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 3^{3} + \frac{2}{9} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot 27 + \frac{2}{9} \cdot 125$

= $- 6 + \frac{250}{9}$

= $- \frac{54}{9} + \frac{250}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} - (5 + 0)$

= $0 - \frac{4}{3} - 5$

= $- \frac{4}{3} - 5$

= $- \frac{4}{3} - \frac{15}{3}$

= $- \frac{19}{3}$

≈ -6,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{3 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 0,117

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel