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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 -4.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 4 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 8)$

= $0 + 0 - (\frac{16}{3} + 8)$

= $0 - (\frac{16}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{40}{3}$

= $- \frac{40}{3}$

≈ -13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (\frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{7}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (\frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{7}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{3} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[x^{\frac{3}{2}} + \frac{7}{6} e^{- 2 x}]}_{4}^{16}$

= ${[{(\sqrt{x})}^{3} + \frac{7}{6} e^{- 2 x}]}_{4}^{16}$

$=$ ${(\sqrt{16})}^{3} + \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot 16} - ({(\sqrt{4})}^{3} + \frac{7}{6} e^{- 2 \cdot 4})$

= $4^{3} + \frac{7}{6} e^{- 32} - (2^{3} + \frac{7}{6} e^{- 8})$

= $64 + \frac{7}{6} e^{- 32} - (8 + \frac{7}{6} e^{- 8})$

= $64 + \frac{7}{6} e^{- 32} - 1 \cdot 8 - \frac{7}{6} e^{- 8}$

= $64 + \frac{7}{6} e^{- 32} - 8 - \frac{7}{6} e^{- 8}$

= $- \frac{7}{6} e^{- 8} + \frac{7}{6} e^{- 32} + 64 - 8$

= $- \frac{7}{6} e^{- 8} + \frac{7}{6} e^{- 32} + 56$

≈ 56

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 2} - 2 e^{- 1 + 2}$

= $2 e^{- 1} - 2 e$

≈ -4,701

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} x^{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{5}{24} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \frac{8}{3} \cdot \sin (0) - \frac{5}{24} \cdot {(0)}^{6})$

= $- \frac{8}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \frac{8}{3} \cdot 0 - \frac{5}{24} \cdot 0)$

= $\frac{8}{3} - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (0 + 0)$

= $\frac{8}{3} - \frac{1215}{512} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{8}{3} - \frac{1215}{512} \cdot π^{6}$

≈ -2278,755

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 3 e^{4 - 1} + 3 e^{2 - 1}$

= $- 3 e^{3} + 3 e$

≈ -52,102

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel