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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 = -18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (2 x + 3) ⅆ x

= ${[x^{2} + 3 x]}_{1}^{2}$

$=$ $2^{2} + 3 \cdot 2 - (1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $4 + 6 - (1 + 3)$

= $4 + 6 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

= $4 + 6 - 1 - 3$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4 x^{2}} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4 x^{2}} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} x^{- 2} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{- 1} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{3}{4 x} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{4 \cdot \frac{3}{2} π} - \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2} π} - \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{4 \cdot \frac{3}{2} π} - \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (\frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2} π} - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{3}{4 \cdot \frac{3}{2} π} + \frac{5}{2} - (\frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2} π} - \frac{5}{2})$

= $\frac{5}{2} + \frac{1}{2 π} - (- \frac{5}{2} + \frac{3}{2 π})$

= $\frac{5}{2} + \frac{1}{2 π} - 1 \cdot (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot \frac{3}{2 π}$

= $\frac{5}{2} + \frac{1}{2 π} + \frac{5}{2} - \frac{3}{2 π}$

= $\frac{5}{2} + \frac{5}{2} + \frac{1}{2 π} - \frac{3}{2 π}$

= $5 - \frac{1}{π}$

≈ 4,682

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 3} - e^{- 1 + 3}$

= $e^{- 1} - e^{2}$

≈ -7,021

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\sin (0) + \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $1 + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $1 + \frac{3}{64} \cdot π^{4} - (0 + 0)$

= $1 + \frac{3}{64} \cdot π^{4} + 0$

= $1 + \frac{3}{64} \cdot π^{4}$

≈ 5,566

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{7}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel