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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 +9 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 4 + 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- 6 + 6 - (- \frac{3}{2} + 3)$

= $0 - (- \frac{3}{2} + \frac{6}{2})$

= $0 - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $0 - \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- 2 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- 2 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{6}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (2 {(- 3 x + 7)}^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (2 {(- 3 x + 7)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{3} + 2 x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 7)}^{3} + 2 \cdot 5^{2} - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{3} + 2 \cdot 2^{2})$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 15 + 7)}^{3} + 2 \cdot 25 - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 6 + 7)}^{3} + 2 \cdot 4)$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 8)}^{3} + 50 - (- \frac{2}{9} \cdot 1^{3} + 8)$

= $- \frac{2}{9} \cdot (- 512) + 50 - (- \frac{2}{9} \cdot 1 + 8)$

= $\frac{1024}{9} + 50 - (- \frac{2}{9} + 8)$

= $\frac{1024}{9} + \frac{450}{9} - (- \frac{2}{9} + \frac{72}{9})$

= $\frac{1474}{9} - 1 \cdot \frac{70}{9}$

= $\frac{1474}{9} - \frac{70}{9}$

= $156$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{2} \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{7}{2} \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel