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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +12 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 5 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 8 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 8)$

= $- 10 + 8 - (- 10 - 8)$

= $- 2 - 1 \cdot (- 18)$

= $- 2 + 18$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{6} e^{- 3 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + \frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} - (- 2 \cdot \cos (0) + \frac{1}{6} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} - (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{6} e^{0})$

= $2 + \frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} - (- 2 + \frac{1}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 2 - (- \frac{12}{6} + \frac{1}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 2 - 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot π} + 2 + \frac{11}{6}$

= $\frac{1}{6} e^{- 3 π} + \frac{23}{6}$

≈ 3,833

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (- 3 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \cos (- 3 \cdot (0) + π)$

= $\cos (- \frac{7}{2} π) - \cos (π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- \frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 6 \sqrt[4]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- \frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 6 \sqrt[4]{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- \frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 6 x^{\frac{1}{4}}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{4}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + \frac{24}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{24}{5} {(\sqrt[4]{16})}^{5} - (- \frac{7}{3} \cdot \sin (0) + \frac{24}{5} {(\sqrt[4]{0})}^{5})$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{24}{5} \cdot 2^{5} - (- \frac{7}{3} \cdot 0 + \frac{24}{5} \cdot 0^{5})$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{24}{5} \cdot 32 - (0 + \frac{24}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{768}{5} - (0 + 0)$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{768}{5} + 0$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (16) + \frac{768}{5}$

= 154,272

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 2 {(x - 2)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 2 {(x - 2)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 2)}^{3} - 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} - 3 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 6 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 - 6 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 0)$

= $0 - 6 - (\frac{16}{3} + 0)$

= $- 6 - (\frac{16}{3} + 0)$

= $- 6 - \frac{16}{3}$

= $- \frac{18}{3} - \frac{16}{3}$

= $- \frac{34}{3}$

≈ -11,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel