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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (3 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (3 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[x^{3} - x]}_{-2}^{0}$

$=$ $0^{3} - 0 - ({(- 2)}^{3} - (- 2))$

= $0 + 0 - ((- 8) + 2)$

= $- 1 \cdot (- 8) - 1 \cdot 2$

= $8 - 2$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\cos (x) + e^{x}) ⅆ x

= ${[\sin (x) + e^{x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{1}{2} π) + e^{\frac{1}{2} π} - (\sin (0) + e^{0})$

= $1 + e^{\frac{1}{2} π} - (0 + 1)$

= $e^{\frac{1}{2} π} + 1 - 1$

= $e^{\frac{1}{2} π} + 0$

≈ 4,81

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 {(x - 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{7}{3} e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - \frac{7}{3} e^{- π} - (- \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{5}{4} \cdot (- 1) - \frac{7}{3} e^{- π} - (- \frac{5}{4} \cdot 0 - \frac{7}{3} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{5}{4} - \frac{7}{3} e^{- π} - (0 - \frac{7}{3} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{7}{3} e^{- π} + \frac{5}{4} + \frac{7}{3} e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 1,634

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 3} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 6 + 3} + \frac{1}{2} e^{- 2 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 3} + \frac{1}{2} e$

≈ 1,334

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel