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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +1.5 +2 +3 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (5 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 5 - (\frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{5}{2} - 5 - (0 + 0)$

= $\frac{5}{2} - \frac{10}{2} + 0$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (- \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $- (- 1) - 4 \cdot 0 - (- 1 - 4 \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{5}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (π) + 2 \cdot \sin (π) - (\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (\frac{3}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} + 0 - (0 + 2)$

= $- \frac{3}{2} + 0 - 2$

= $- \frac{3}{2} - 2$

= $- \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \cos (3 \cdot (0) + π)$

= $\cos (\frac{11}{2} π) - \cos (π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel