Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +2 +6 +4.5 = 10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - 4^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - 16 - (\frac{4}{3} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{256}{3} - 16 - (\frac{4}{3} - 1)$

= $\frac{256}{3} - \frac{48}{3} - (\frac{4}{3} - \frac{3}{3})$

= $\frac{208}{3} - 1 \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{208}{3} - \frac{1}{3}$

= $69$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (0) + \frac{5}{2} \cdot \sin (0))$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{5}{2} - (- 4 + 0)$

= $0 - \frac{5}{2} + 4$

= $- \frac{5}{2} + 4$

= $- \frac{5}{2} + \frac{8}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{3 \cdot 4 - 4} + e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $- e^{12 - 4} + e^{3 - 4}$

= $- e^{8} + e^{- 1}$

≈ -2980,59

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \sin (x) + 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \sin (x) + 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + x^{4}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) + π^{4} - (- 3 \cdot \cos (0) + {(0)}^{4})$

= $- 3 \cdot (- 1) + π^{4} - (- 3 \cdot 1 + 0)$

= $3 + π^{4} - (- 3 + 0)$

= $3 + π^{4} + 3$

= $3 + 3 + π^{4}$

= $6 + π^{4}$

≈ 103,409

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 1)}^{4}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 3 + 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 1)}^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $8 - \frac{1}{2}$

= $\frac{16}{2} - \frac{1}{2}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel