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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -1 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 4 + 8 - (- 2 \cdot 9 + 12)$

= $- 8 + 8 - (- 18 + 12)$

= $0 - 1 \cdot (- 6)$

= $0 + 6$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 + 2)$

= $2 - 2$

= 0

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 + 1} + \frac{3}{2} e^{0 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 1} + \frac{3}{2} e$

≈ 3,526

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (π) - (- \frac{7}{4} \cdot \cos (0) + \frac{1}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{7}{4} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- \frac{7}{4} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{7}{4} + 0 - (- \frac{7}{4} + 0)$

= $\frac{7}{4} + \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 2 e^{- 3 + 3} + 2 e^{- 2 + 3}$

= $- 2 e^{0} + 2 e$

= $- 2 + 2 e$

≈ 3,437

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel