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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +3 +6 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 5 x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 8 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 + 12)$

= $- 10 + 8 - (- \frac{45}{2} + 12)$

= $- 2 - (- \frac{45}{2} + \frac{24}{2})$

= $- 2 - 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $- 2 + \frac{21}{2}$

= $- \frac{4}{2} + \frac{21}{2}$

= $\frac{17}{2}$

= 8,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (- \frac{5}{2} \cdot \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{5}{2} \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} + 0 - (- \frac{5}{2} + 0)$

= $\frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

= $5$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 5}$

≈ 0,904

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{2}} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{2}} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 2 x^{- 2} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} - 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{2}{x} - 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{2}{2 π} - 5 \cdot \cos (2 π) - (\frac{2}{π} - 5 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{2 π} - 5 \cdot 1 - (\frac{2}{π} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{2 π} - 5 - (\frac{2}{π} + 5)$

= $- 5 + \frac{1}{π} - (5 + \frac{2}{π})$

= $- 5 + \frac{1}{π} - 1 \cdot 5 - 1 \cdot \frac{2}{π}$

= $- 5 + \frac{1}{π} - 5 - \frac{2}{π}$

= $- 5 - 5 + \frac{1}{π} - \frac{2}{π}$

= $- 10 - \frac{1}{π}$

≈ -10,318

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 2 {(3 x - 6)}^{2} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 2 {(3 x - 6)}^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{3} + 3 x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3} + 3 \cdot 2^{2} - (- \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3} + 3 \cdot 1^{2})$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(6 - 6)}^{3} + 3 \cdot 4 - (- \frac{2}{9} \cdot {(3 - 6)}^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{2}{9} \cdot 0^{3} + 12 - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 3)$

= $- \frac{2}{9} \cdot 0 + 12 - (- \frac{2}{9} \cdot (- 27) + 3)$

= $0 + 12 - (6 + 3)$

= $12 - 1 \cdot 9$

= $12 - 9$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel