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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 5 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 5 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 27) - \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $\frac{5}{3} - \frac{1}{2} - (45 - \frac{9}{2})$

= $\frac{10}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{90}{2} - \frac{9}{2})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{81}{2}$

= $\frac{7}{6} - \frac{81}{2}$

= $\frac{7}{6} - \frac{243}{6}$

= $- \frac{118}{3}$

≈ -39,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 4 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 \cdot \sin (x) + 4 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (π) + 2 e^{2 \cdot π} - (- 5 \cdot \cos (0) + 2 e^{2 \cdot (0)})$

= $- 5 \cdot (- 1) + 2 e^{2 \cdot π} - (- 5 \cdot 1 + 2 e^{0})$

= $5 + 2 e^{2 \cdot π} - (- 5 + 2)$

= $2 e^{2 \cdot π} + 5 - 1 \cdot (- 3)$

= $2 e^{2 \cdot π} + 5 + 3$

= $2 e^{2 π} + 8$

≈ 1078,983

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 2} + 3 e^{1 - 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{- 1}$

= $- 3 + 3 e^{- 1}$

≈ -1,896

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - (- 1) - (2 \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (3 π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (2 π)$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel