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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 1.5 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -1 -3 -3 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 - 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 8)$

= $- \frac{1}{2} - 4 - (- 2 - 8)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{8}{2} - 1 \cdot (- 10)$

= $- \frac{9}{2} + 10$

= $- \frac{9}{2} + \frac{20}{2}$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (5 \cdot \cos (0) - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{6})$

= $5 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (5 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (5 + 0)$

= $- \frac{243}{32} \cdot π^{6} - 5$

≈ -7305,549

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{6} - \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{6} - \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{6} - 3 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{6}$

= ${[\frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{6}$

$=$ $\frac{3}{2 {(6 - 3)}^{2}} - \frac{3}{2 {(5 - 3)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{6} - \frac{3}{8}$

= $\frac{4}{24} - \frac{9}{24}$

= $- \frac{5}{24}$

≈ -0,208

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 1) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - x]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) - π - (- \sin (0) - (0))$

= $- 0 - π - (- 0)$

= $- π$

≈ -3,142

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{2 \cdot 4 - 3} + e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $- e^{8 - 3} + e^{2 - 3}$

= $- e^{5} + e^{- 1}$

≈ -148,045

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel