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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 -6 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x - 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 4 + 8 - (- 2 \cdot 9 + 12)$

= $- 8 + 8 - (- 18 + 12)$

= $0 - 1 \cdot (- 6)$

= $0 + 6$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- \frac{3}{2} e^{- 2 x} + \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- \frac{3}{2} e^{- 2 x} + \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- \frac{3}{2} e^{- 2 x} + \frac{9}{2} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} e^{- 2 x} + 3 x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{16}$

= ${[\frac{3}{4} e^{- 2 x} + 3 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{16}$

$=$ $\frac{3}{4} e^{- 2 \cdot 16} + 3 {(\sqrt{16})}^{3} - (\frac{3}{4} e^{- 2 \cdot 1} + 3 {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{3}{4} e^{- 32} + 3 \cdot 4^{3} - (\frac{3}{4} e^{- 2} + 3 \cdot 1^{3})$

= $\frac{3}{4} e^{- 32} + 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} e^{- 2} + 3 \cdot 1)$

= $\frac{3}{4} e^{- 32} + 192 - (\frac{3}{4} e^{- 2} + 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 2} - 1 \cdot 3 + \frac{3}{4} e^{- 32} + 192$

= $- \frac{3}{4} e^{- 2} - 3 + \frac{3}{4} e^{- 32} + 192$

= $- \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{3}{4} e^{- 32} - 3 + 192$

= $- \frac{3}{4} e^{- 2} + \frac{3}{4} e^{- 32} + 189$

≈ 188,898

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(6 - 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 - 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 2^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 8 - \frac{2}{9} \cdot (- 1)$

= $\frac{16}{9} + \frac{2}{9}$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{5}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{9} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 4 \cdot 0 + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (0 + \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $\frac{81}{64} \cdot π^{6} - \frac{1}{576} \cdot π^{6}$

= $\frac{729}{576} \cdot π^{6} - \frac{1}{576} \cdot π^{6}$

= $\frac{91}{72} \cdot π^{6}$

≈ 1215,089

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{6 - 4} + \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{2} + \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ -2,457

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel