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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +1 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 - 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{27}{2} - 6 - (- \frac{3}{2} + 2)$

= $- \frac{27}{2} - \frac{12}{2} - (- \frac{3}{2} + \frac{4}{2})$

= $- \frac{39}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{39}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} x^{- 3}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[3 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2 x^{3}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (3 \cdot \cos (π) + \frac{1}{2 π^{3}})$

= $3 \cdot 0 + \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (3 \cdot (- 1) + \frac{1}{2 π^{3}})$

= $0 + \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (- 3 + \frac{1}{2 π^{3}})$

= $\frac{4}{27 π^{3}} - (- 3 + \frac{1}{2 π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- 3) - 1 \cdot \frac{1}{2 π^{3}} + \frac{4}{27 π^{3}}$

= $3 - \frac{1}{2 π^{3}} + \frac{4}{27 π^{3}}$

= $3 - \frac{19}{54 π^{3}}$

≈ 2,989

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 + 1} + e^{- 2 + 1}$

= $- e^{- 2} + e^{- 1}$

≈ 0,233

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (\cos (0) + \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (1 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{12} \cdot π^{3} - (1 + 0)$

= $\frac{1}{12} \cdot π^{3} - 1$

≈ 1,584

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{0}$

= $\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2}$

≈ 26,799

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel