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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (4 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (4 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) + \frac{5}{2} \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) + \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - (- 36 + \frac{45}{2})$

= $- \frac{8}{6} + \frac{15}{6} - (- \frac{72}{2} + \frac{45}{2})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $\frac{7}{6} + \frac{27}{2}$

= $\frac{7}{6} + \frac{81}{6}$

= $\frac{44}{3}$

≈ 14,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (- 4 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $4 + 0 - (- 4 + 0)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 {(- 3 x + 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 {(- 3 x + 3)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 3 x + 3)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 3)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 3)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 15 + 3)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 3)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 12)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot 20 736 - \frac{1}{6} \cdot 81$

= $3 456 - \frac{27}{2}$

= $\frac{6912}{2} - \frac{27}{2}$

= $\frac{6885}{2}$

= 3442,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $4 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $0 + 5 - (4 + 0)$

= $5 - 4$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{- 3 + 3} - e^{- 0 + 3}$

= $e^{0} - e^{3}$

= $1 - e^{3}$

≈ -19,086

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel