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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -8 -6 +1 +2 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (4 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (4 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 + 2 - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) - 6)$

= $\frac{4}{3} + 2 - (- 36 - 6)$

= $\frac{4}{3} + \frac{6}{3} - 1 \cdot (- 42)$

= $\frac{10}{3} + 42$

= $\frac{10}{3} + \frac{126}{3}$

= $\frac{136}{3}$

≈ 45,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) - \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot (- 1) - \frac{7}{2} \cdot 0 - (5 \cdot 0 - \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $- 5 + 0 - (0 - \frac{7}{2})$

= $- 5 - (0 - \frac{7}{2})$

= $- 5 + \frac{7}{2}$

= $- \frac{10}{2} + \frac{7}{2}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} ({(3 x - 7)}^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} ({(3 x - 7)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(3 x - 7)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{1}{9} \cdot {(9 - 7)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (\frac{1}{9} \cdot {(3 - 7)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{9} \cdot 2^{3} + \frac{27}{2} - (\frac{1}{9} \cdot {(- 4)}^{3} + \frac{3}{2})$

= $\frac{1}{9} \cdot 8 + \frac{27}{2} - (\frac{1}{9} \cdot (- 64) + \frac{3}{2})$

= $\frac{8}{9} + \frac{27}{2} - (- \frac{64}{9} + \frac{3}{2})$

= $\frac{16}{18} + \frac{243}{18} - (- \frac{128}{18} + \frac{27}{18})$

= $\frac{259}{18} - 1 \cdot (- \frac{101}{18})$

= $\frac{259}{18} + \frac{101}{18}$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 - 1 - (3 \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{1 - 3} + e^{0 - 3}$

= $- e^{- 2} + e^{- 3}$

≈ -0,086

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel