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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-1 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -1.5 -2 -4 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (4 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (4 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 - 4 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{4}{3} - 4 - (0 + 0)$

= $\frac{4}{3} - \frac{12}{3} + 0$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 3 x^{5} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 3 x^{5} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{6} + \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{6} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- 32 + 6 - (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2})$

= $- 26 - 1 \cdot 1$

= $- 26 - 1$

= $- 27$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 - \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot 0 - (4 \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 2} + 3 e^{0 - 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{- 2}$

= $- 3 + 3 e^{- 2}$

≈ -2,594

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel