$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(2\; -\; 0)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-3}}{2}$ = -1.5.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 2 -1.5 -2 = -1.5

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-3}^1$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2-\left(\frac{4}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(-27\right)-\frac{1}{2}\cdot 9\right)$

= $\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\left(-36-\frac{9}{2}\right)$

= $\frac{8}{6}-\frac{3}{6}-\left(-\frac{72}{2}-\frac{9}{2}\right)$

= $\frac{5}{6}-1·\left(-\frac{81}{2}\right)$

= $\frac{5}{6}+\frac{81}{2}$

= $\frac{5}{6}+\frac{243}{6}$

= $\frac{124}{3}$

= ${\left[-10x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}{e}^{2x}\right]}_4^9$

= ${\left[-10\sqrt{x}+\frac{1}{4}{e}^{2x}\right]}_4^9$

$=$ $-10\sqrt{9}+\frac{1}{4}{e}^{2\cdot 9}-\left(-10\sqrt{4}+\frac{1}{4}{e}^{2\cdot 4}\right)$

= $-10\cdot 3+\frac{1}{4}{e}^{18}-\left(-10\cdot 2+\frac{1}{4}{e}^8\right)$

= $-30+\frac{1}{4}{e}^{18}-\left(-20+\frac{1}{4}{e}^8\right)$

= $\frac{1}{4}{e}^{18}-30-\left(\frac{1}{4}{e}^8-20\right)$

= $\frac{1}{4}{e}^{18}-30-\frac{1}{4}{e}^8-1·\left(-20\right)$

= $\frac{1}{4}{e}^{18}-30-\frac{1}{4}{e}^8+20$

= $\frac{1}{4}{e}^{18}-\frac{1}{4}{e}^8-30+20$

= $\frac{1}{4}{e}^{18}-\frac{1}{4}{e}^8-10$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x+3}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 4+3}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 2+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-8+3}+\frac{3}{2}{e}^{-4+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-5}+\frac{3}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\pi \right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(0\right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $0-\frac{1}{3}-\left(0+\frac{1}{3}\right)$

= $0-\frac{1}{3}-\left(0+\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$

= $-\frac{2}{3}$

= ${\left[e^{2x-5}\right]}_1^3$

$=$ $e^{2\cdot 3-5}-e^{2\cdot 1-5}$

= $e^{6-5}-e^{2-5}$

= $e-e^{-3}$

= $e-e^{-3}$