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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -4 -12 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 4 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 4 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{32}{3} - 10 - (\frac{4}{3} - \frac{5}{2})$

= $- \frac{32}{3} - \frac{30}{3} - (\frac{8}{6} - \frac{15}{6})$

= $- \frac{62}{3} - 1 \cdot (- \frac{7}{6})$

= $- \frac{62}{3} + \frac{7}{6}$

= $- \frac{124}{6} + \frac{7}{6}$

= $- \frac{39}{2}$

= -19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 2 x]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} \cdot 0 + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $0 + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (0 + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $3 π - π$

= $2 π$

≈ 6,283

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{2 \cdot 3 - 4} + e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $- e^{6 - 4} + e^{0 - 4}$

= $- e^{2} + e^{- 4}$

≈ -7,371

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 x^{4} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 x^{4} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[x^{5} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $π^{5} + \frac{5}{2} \cdot \sin (π) - ({(0)}^{5} + \frac{5}{2} \cdot \sin (0))$

= $π^{5} + \frac{5}{2} \cdot 0 - (0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $π^{5} + 0 - (0 + 0)$

= $π^{5} + 0$

= $π^{5}$

≈ 306,02

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 {(x - 3)}^{3} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 {(x - 3)}^{3} - 6 x) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} - 3 x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot {(3 - 3)}^{4} - 3 \cdot 3^{2} - (- \frac{3}{4} \cdot {(1 - 3)}^{4} - 3 \cdot 1^{2})$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - 3 \cdot 9 - (- \frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0 - 27 - (- \frac{3}{4} \cdot 16 - 3)$

= $0 - 27 - (- 12 - 3)$

= $- 27 - 1 \cdot (- 15)$

= $- 27 + 15$

= $- 12$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel