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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +6 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 5 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 16 + 16 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 40 + 16 - (0 + 0)$

= $- 24 + 0$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) + \frac{9}{4} \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot (- 1) - (3 \cdot 1 + \frac{9}{4} \cdot 0)$

= $0 - \frac{9}{4} - (3 + 0)$

= $0 - \frac{9}{4} - 3$

= $- \frac{9}{4} - 3$

= $- \frac{9}{4} - \frac{12}{4}$

= $- \frac{21}{4}$

= -5,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 5} - \frac{3}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 5}$

≈ 4,067

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (2 \sqrt{x} - \frac{3}{2 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (2 \sqrt{x} - \frac{3}{2 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2} x^{- 1}]}_{1}^{9}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2 x}]}_{1}^{9}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{3}{2 \cdot 9} - (\frac{4}{3} {(\sqrt{1})}^{3} + \frac{3}{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{1}{6} - (\frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2})$

= $36 + \frac{1}{6} - (\frac{4}{3} + \frac{3}{2})$

= $\frac{216}{6} + \frac{1}{6} - (\frac{8}{6} + \frac{9}{6})$

= $\frac{217}{6} - 1 \cdot \frac{17}{6}$

= $\frac{217}{6} - \frac{17}{6}$

= $\frac{100}{3}$

≈ 33,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel