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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 +1.5 +2 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 10 - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 10)$

= $2 + 10 - (2 - 10)$

= $12 - 1 \cdot (- 8)$

= $12 + 8$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 5 x^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 5 x^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} x^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot 1^{4} + \frac{5}{4} \cdot 0^{4}$

= $- \frac{5}{4} \cdot 1 + \frac{5}{4} \cdot 0$

= $- \frac{5}{4} + 0$

= $- \frac{5}{4}$

= -1,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 5} - e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $e^{- 12 + 5} - e^{- 3 + 5}$

= $e^{- 7} - e^{2}$

≈ -7,388

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - x^{2}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- \sin (0) - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 1 - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- 0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- 1 - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (0 + 0)$

= $- 1 - \frac{1}{24} \cdot π^{3} + 0$

= $- 1 - \frac{1}{24} \cdot π^{3}$

≈ -2,292

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{3 - 1} + 3 e^{2 - 1}$

= $- 3 e^{2} + 3 e$

≈ -14,012

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel