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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 5 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 5 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4 - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 64 - 12 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{320}{3} - 12 - (0 + 0)$

= $- \frac{320}{3} - \frac{36}{3} + 0$

= $- \frac{356}{3}$

≈ -118,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (5 \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (5 \sqrt{x} + \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (5 x^{\frac{1}{2}} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + \sin (x)]}_{4}^{16}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + \sin (x)]}_{4}^{16}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \sin (16) - (\frac{10}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + \sin (4))$

= $\frac{10}{3} \cdot 4^{3} + \sin (16) - (\frac{10}{3} \cdot 2^{3} + \sin (4))$

= $\frac{10}{3} \cdot 64 + \sin (16) - (\frac{10}{3} \cdot 8 + \sin (4))$

= $\frac{640}{3} + \sin (16) - (\frac{80}{3} + \sin (4))$

= $\sin (16) + \frac{640}{3} - (\sin (4) + \frac{80}{3})$

= $\sin (16) + \frac{640}{3} - 1 \cdot \sin (4) - 1 \cdot \frac{80}{3}$

= $\sin (16) + \frac{640}{3} - \sin (4) - \frac{80}{3}$

= $\sin (16) - \sin (4) + \frac{640}{3} - \frac{80}{3}$

= $\sin (16) - \sin (4) + \frac{560}{3}$

≈ 187,136

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} ({(- x + 1)}^{3} - 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} ({(- x + 1)}^{3} - 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- x + 1)}^{4} - 6 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} - 6 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 0 + 1)}^{4} - 6 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - 12 - (- \frac{1}{4} \cdot {(0 + 1)}^{4} + 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 - 12 - (- \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 0)$

= $- \frac{1}{4} - 12 - (- \frac{1}{4} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{1}{4} - \frac{48}{4} - (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{49}{4} - (- \frac{1}{4} + 0)$

= $- \frac{49}{4} + \frac{1}{4}$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $3 + 0 - (0 - \frac{1}{2})$

= $3 - (0 - \frac{1}{2})$

= $3 + \frac{1}{2}$

= $\frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{5} - \frac{3}{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{5} - \frac{3}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} - 3 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $- \ln (| 3 \cdot 5 - 7 |) + \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |)$

= $- \ln (| 15 - 7 |) + \ln (| 12 - 7 |)$

= $- \ln (8) + \ln (| 12 - 7 |)$

= $- \ln (8) + \ln (5)$

≈ -0,47

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel