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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +1.5 +2 +3 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 4 x - 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - (- 2 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0)$

= $- 2 \cdot 9 - 12 - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 18 - 12 - (0 + 0)$

= $- 30 + 0$

= $- 30$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - \frac{2}{3} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - \frac{2}{3} x^{5}) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{1}{9} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) - \frac{1}{9} \cdot π^{6} - (\sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 - \frac{1}{9} \cdot π^{6} - (1 - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- \frac{1}{9} \cdot π^{6} - (1 - \frac{1}{576} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{1}{576} \cdot π^{6}) - \frac{1}{9} \cdot π^{6}$

= $- 1 + \frac{1}{576} \cdot π^{6} - \frac{1}{9} \cdot π^{6}$

= $- 1 - \frac{7}{64} \cdot π^{6}$

≈ -106,152

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 2 + 1} - e^{- 0 + 1}$

= $e^{- 1} - e$

≈ -2,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 5 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 5 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) + 5 e^{x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 e^{\frac{1}{2} π} - (- \frac{4}{3} \cdot \cos (0) + 5 e^{0})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 + 5 e^{\frac{1}{2} π} - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + 5)$

= $0 + 5 e^{\frac{1}{2} π} - (- \frac{4}{3} + 5)$

= $5 e^{\frac{1}{2} π} - (- \frac{4}{3} + \frac{15}{3})$

= $5 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot \frac{11}{3}$

= $5 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{11}{3}$

≈ 20,386

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - \frac{1}{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

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\int_{2}^{5} - \frac{1}{- 2 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 3 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 5 + 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 2 + 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 10 + 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (1)$

= $\frac{1}{2} \ln (7) + 0$

= $\frac{1}{2} \ln (7)$

≈ 0,973

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel