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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +1 +3 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- 5^{2} - 5 \cdot 5 - (- 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $- 25 - 25 - (- 1 - 5)$

= $- 25 - 25 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 5)$

= $- 25 - 25 + 1 + 5$

= $- 44$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 4 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 4 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $4 \cdot (- 1) + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 + 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $2 e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 - (2 e^{- π} + 4)$

= $2 e^{- 3 π} - 4 - 2 e^{- π} - 1 \cdot 4$

= $2 e^{- 3 π} - 4 - 2 e^{- π} - 4$

= $- 2 e^{- π} + 2 e^{- 3 π} - 4 - 4$

= $- 2 e^{- π} + 2 e^{- 3 π} - 8$

≈ -8,086

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 10}^{- 2} \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

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\int_{- 10}^{- 2} \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x

=

\int_{- 10}^{- 2} {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 10}^{- 2}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 5})}^{3}]}_{- 10}^{- 2}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 2) + 5})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 10) + 5})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{4 + 5})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{20 + 5})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{1}{3} \cdot 125$

= $- 9 + \frac{125}{3}$

= $- \frac{27}{3} + \frac{125}{3}$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{7}{4} \cdot \cos (0) + \frac{7}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{7}{4} \cdot 0 + \frac{7}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{7}{4} \cdot 1 + \frac{7}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{7}{3} - (- \frac{7}{4} + 0)$

= $- \frac{7}{3} + \frac{7}{4}$

= $- \frac{28}{12} + \frac{21}{12}$

= $- \frac{7}{12}$

≈ -0,583

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- e^{4 - 1} + e^{2 - 1}$

= $- e^{3} + e$

≈ -17,367

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel