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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 -12 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $0 + 0 - (9 + \frac{45}{2})$

= $0 - (\frac{18}{2} + \frac{45}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{63}{2}$

= $- \frac{63}{2}$

= -31,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{2 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{2 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 \cdot (- 1) - (\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 4 - (\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4)$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} + 4 - \frac{1}{2} e^{π} - 1 \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} + 4 - \frac{1}{2} e^{π} + 4$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - \frac{1}{2} e^{π} + 4 + 4$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - \frac{1}{2} e^{π} + 8$

≈ 6192,254

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 6 + 5} - \frac{3}{2} e^{0 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 1} - \frac{3}{2} e^{5}$

≈ -222,068

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (0) + \frac{7}{3} \cdot \sin (0))$

= $4 \cdot 0 + \frac{7}{3} \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 + \frac{7}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{7}{3} - (4 + 0)$

= $0 - \frac{7}{3} - 4$

= $- \frac{7}{3} - 4$

= $- \frac{7}{3} - \frac{12}{3}$

= $- \frac{19}{3}$

≈ -6,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 7}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 7} - e^{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $e^{- 12 + 7} - e^{- 3 + 7}$

= $e^{- 5} - e^{4}$

≈ -54,591

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel