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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 -12 = -13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 - 8 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 24 - 8 - (0 + 0)$

= $- 32 + 0$

= $- 32$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{4} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{4} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[x^{5} - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ ${(\frac{3}{2} π)}^{5} - 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= ${(\frac{3}{2} π)}^{5} - 4 \cdot 0 - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} - 4 \cdot 0)$

= ${(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $\frac{243}{32} \cdot π^{5} - \frac{1}{32} \cdot π^{5}$

= $\frac{121}{16} \cdot π^{5}$

≈ 2314,274

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 255,562

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{3}{x^{4}} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{3}{x^{4}} - \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 3 x^{- 4} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[x^{- 3} + \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{x^{3}} + \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{{(2 π)}^{3}} + \cos (2 π) - (\frac{1}{π^{3}} + \cos (π))$

= $\frac{1}{{(2 π)}^{3}} + 1 - (\frac{1}{π^{3}} - 1)$

= $1 + \frac{1}{8 π^{3}} - (- 1 + \frac{1}{π^{3}})$

= $1 + \frac{1}{8 π^{3}} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot \frac{1}{π^{3}}$

= $1 + \frac{1}{8 π^{3}} + 1 - \frac{1}{π^{3}}$

= $1 + 1 + \frac{1}{8 π^{3}} - \frac{1}{π^{3}}$

= $2 - \frac{7}{8 π^{3}}$

≈ 1,972

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{9 - 5} + \frac{1}{3} e^{0 - 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{4} + \frac{1}{3} e^{- 5}$

≈ -18,197

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel