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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -6 -8 = -9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 x - 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - x]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 \cdot 3^{2} - 3 - (- 2 \cdot 1^{2} - 1)$

= $- 2 \cdot 9 - 3 - (- 2 \cdot 1 - 1)$

= $- 18 - 3 - (- 2 - 1)$

= $- 21 - 1 \cdot (- 3)$

= $- 21 + 3$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (\sqrt{x} + 4 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (\sqrt{x} + 4 e^{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 e^{x}]}_{0}^{16}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 4 e^{x}]}_{0}^{16}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + 4 e^{16} - (\frac{2}{3} {(\sqrt{0})}^{3} + 4 e^{0})$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} + 4 e^{16} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 4)$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 + 4 e^{16} - (\frac{2}{3} \cdot 0 + 4)$

= $\frac{128}{3} + 4 e^{16} - (0 + 4)$

= $4 e^{16} + \frac{128}{3} - 4$

= $4 e^{16} + \frac{116}{3}$

≈ 35544480,749

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 5} - \frac{1}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 5}$

≈ 1,356

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} - (- 2 + 0)$

= $0 - \frac{4}{3} + 2$

= $- \frac{4}{3} + 2$

= $- \frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[{(x - 2)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ ${(1 - 2)}^{3} - {(0 - 2)}^{3}$

= ${(- 1)}^{3} - {(- 2)}^{3}$

= $(- 1) - (- 8)$

= $- 1 + 8$

= $7$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel