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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (3 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (3 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[x^{3} - 2 x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - ({(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $(- 1) - 2 \cdot 1 - ((- 8) - 2 \cdot 4)$

= $- 1 - 2 - (- 8 - 8)$

= $- 3 - 1 \cdot (- 16)$

= $- 3 + 16$

= $13$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{2 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \sin (2 π) - \frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - (- \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- 0 - \frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - (- 1 - \frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{1}{8 π^{2}} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- \frac{2}{π^{2}})$

= $- \frac{1}{8 π^{2}} + 1 + \frac{2}{π^{2}}$

= $1 - \frac{1}{8 π^{2}} + \frac{2}{π^{2}}$

= $1 + \frac{15}{8 π^{2}}$

≈ 1,19

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 6} - \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ 6,694

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 + 5)$

= $2 - 5$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{1}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{1}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[\frac{1}{3 (3 x - 4)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3 (3 \cdot 6 - 4)} - \frac{1}{3 (3 \cdot 3 - 4)}$

= $\frac{1}{3 (18 - 4)} - \frac{1}{3 (9 - 4)}$

= $\frac{1}{3 \cdot 14} - \frac{1}{3 \cdot 5}$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{14}) - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $\frac{1}{42} - \frac{1}{15}$

= $\frac{5}{210} - \frac{14}{210}$

= $- \frac{3}{70}$

≈ -0,043

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel