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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -1 -3 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} - 2 - (0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} + 0$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + \frac{3}{2} \cdot π^{3} - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot π^{3} - (- 2 \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $0 + \frac{3}{2} \cdot π^{3} - (- 2 + \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $\frac{3}{2} \cdot π^{3} - (- 2 + \frac{3}{16} \cdot π^{3})$

= $- 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot \frac{3}{16} \cdot π^{3} + \frac{3}{2} \cdot π^{3}$

= $2 - \frac{3}{16} \cdot π^{3} + \frac{3}{2} \cdot π^{3}$

= $2 + \frac{21}{16} \cdot π^{3}$

≈ 42,696

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (3 {(x - 1)}^{2} - x) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{2} (3 {(x - 1)}^{2} - x) ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ ${(2 - 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - ({(1 - 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $1 - 2 - (0 - \frac{1}{2})$

= $1 - 2 + \frac{1}{2}$

= $\frac{2}{2} - \frac{4}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3} \cdot \cos (0) - \frac{3}{4} \cdot \sin (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (\frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{4} - (\frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{3}{4} - \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{12} - \frac{16}{12}$

= $- \frac{7}{12}$

≈ -0,583

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- {(x - 2)}^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- {(x - 2)}^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} - 2 x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 2)}^{3} - 2 \cdot 5^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} - 2 \cdot 2^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 25 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 4)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 - 50 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 8)$

= $- 9 - 50 - (0 - 8)$

= $- 59 + 8$

= $- 51$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel