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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 -8 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 5 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 5 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 2 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{3} \cdot 8 + 4 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - 2)$

= $- \frac{40}{3} + 4 - (\frac{5}{3} - 2)$

= $- \frac{40}{3} + \frac{12}{3} - (\frac{5}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{28}{3} - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{28}{3} + \frac{1}{3}$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) + 2 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (π) - \frac{2}{3 π^{3}} - (- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 5 \cdot 0 - \frac{2}{3 π^{3}} - (- 5 \cdot 1 - \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $0 - \frac{2}{3 π^{3}} - (- 5 - \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- \frac{2}{3 π^{3}} - (- 5 - \frac{16}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot (- \frac{16}{3 π^{3}}) - \frac{2}{3 π^{3}}$

= $5 + \frac{16}{3 π^{3}} - \frac{2}{3 π^{3}}$

= $5 + \frac{14}{3 π^{3}}$

≈ 5,151

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (4 π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{1}{4} \cdot 0 - (4 \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 4}^{0} - 2 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 4}^{0} - 2 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x

=

\int_{- 4}^{0} - 2 {(- 3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(- 3 x + 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 4}^{0}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 x + 4})}^{3}]}_{- 4}^{0}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (0) + 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{0 + 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{12 + 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 2^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 8 - \frac{4}{9} \cdot 64$

= $\frac{32}{9} - \frac{256}{9}$

= $- \frac{224}{9}$

≈ -24,889

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Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel