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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 +9 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (2 x - 5) ⅆ x

= ${[x^{2} - 5 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $1^{2} - 5 \cdot 1 - ({(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $1 - 5 - (4 + 10)$

= $1 - 5 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 10$

= $1 - 5 - 4 - 10$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 e^{- x} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 e^{- x} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 e^{- x} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 e^{- π} - \frac{1}{4} \cdot \sin (π) - (5 e^{- (0)} - \frac{1}{4} \cdot \sin (0))$

= $5 e^{- π} - \frac{1}{4} \cdot 0 - (5 e^{0} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $5 e^{- π} + 0 - (5 + 0)$

= $5 e^{- π} - 5$

≈ -4,784

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{5} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{5} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{6} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{3}{4} \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} - \frac{3}{4} - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0)$

= $- \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{1}{384} \cdot π^{6}$

= $- \frac{3}{4} - \frac{21}{128} \cdot π^{6}$

≈ -158,478

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 5 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel