Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +2 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 4 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 - 16 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 24 - 16 - (0 + 0)$

= $- 40 + 0$

= $- 40$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 x^{4} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 x^{4} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{5} x^{5} - \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{5} \cdot π^{5} - \cos (π) - (- \frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5} - \cos (0))$

= $- \frac{3}{5} \cdot π^{5} - (- 1) - (- \frac{3}{5} \cdot 0 - 1)$

= $- \frac{3}{5} \cdot π^{5} + 1 - (0 - 1)$

= $1 - \frac{3}{5} \cdot π^{5} + 1$

= $1 + 1 - \frac{3}{5} \cdot π^{5}$

= $2 - \frac{3}{5} \cdot π^{5}$

≈ -181,612

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 3} + 3 e^{- 1 + 3}$

= $- 3 e + 3 e^{2}$

≈ 14,012

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 e^{\frac{1}{2} π} - (\frac{1}{3} \cdot \sin (0) - 3 e^{0})$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 3 e^{\frac{1}{2} π} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 3)$

= $\frac{1}{3} - 3 e^{\frac{1}{2} π} - (0 - 3)$

= $- 3 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{1}{3} + 3$

= $- 3 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{10}{3}$

≈ -11,098

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} ({(2 x - 3)}^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} ({(2 x - 3)}^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(2 x - 3)}^{3} - x^{2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 3)}^{3} - 4^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{3} - 2^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(8 - 3)}^{3} - 16 - (\frac{1}{6} \cdot {(4 - 3)}^{3} - 4)$

= $\frac{1}{6} \cdot 5^{3} - 16 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - 4)$

= $\frac{1}{6} \cdot 125 - 16 - (\frac{1}{6} \cdot 1 - 4)$

= $\frac{125}{6} - 16 - (\frac{1}{6} - 4)$

= $\frac{125}{6} - \frac{96}{6} - (\frac{1}{6} - \frac{24}{6})$

= $\frac{29}{6} - 1 \cdot (- \frac{23}{6})$

= $\frac{29}{6} + \frac{23}{6}$

= $\frac{26}{3}$

≈ 8,667

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel