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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 1.5 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 - 10 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{32}{3} - 10 - (0 + 0)$

= $\frac{32}{3} - \frac{30}{3} + 0$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (\frac{5}{x^{2}} + 9 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (\frac{5}{x^{2}} + 9 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (5 x^{- 2} + 9 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 5 x^{- 1} + \frac{9}{4} x^{4}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{5}{x} + \frac{9}{4} x^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{4} + \frac{9}{4} \cdot 4^{4} - (- \frac{5}{1} + \frac{9}{4} \cdot 1^{4})$

= $- 5 \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{9}{4} \cdot 256 - (- 5 \cdot 1 + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{4} + 576 - (- 5 + \frac{9}{4})$

= $- \frac{5}{4} + \frac{2304}{4} - (- \frac{20}{4} + \frac{9}{4})$

= $\frac{2299}{4} - 1 \cdot (- \frac{11}{4})$

= $\frac{2299}{4} + \frac{11}{4}$

= $\frac{1155}{2}$

= 577,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{- 2 + 2} - 3 e^{- 1 + 2}$

= $3 e^{0} - 3 e$

= $3 - 3 e$

≈ -5,155

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) + 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{2}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (\sin (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (1 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{6} - (1 + \frac{1}{96} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{96} \cdot π^{6} + \frac{2}{3} \cdot π^{6}$

= $- 1 - \frac{1}{96} \cdot π^{6} + \frac{2}{3} \cdot π^{6}$

= $- 1 + \frac{21}{32} \cdot π^{6}$

≈ 629,912

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 74,023

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel