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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{4 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +8 +7.5 = 21.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (2 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (2 x - 4) ⅆ x

= ${[x^{2} - 4 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $0^{2} - 4 \cdot 0 - ({(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1))$

= $0 + 0 - (1 + 4)$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 4$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3 x^{2}} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3 x^{2}} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} x^{- 2} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{- 1} - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{4}{3 x} - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3 \cdot \frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3 \cdot \frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3 \cdot \frac{3}{2} π} - 3 \cdot 0 - (- \frac{4}{3 \cdot \frac{1}{2} π} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3 \cdot \frac{3}{2} π} + 0 - (- \frac{4}{3 \cdot \frac{1}{2} π} + 0)$

= $- \frac{8}{9 π} + \frac{8}{3 π}$

= $- \frac{8}{9 π} + \frac{24}{9 π}$

= $\frac{16}{9 π}$

≈ 0,566

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π - π) - 3 \cdot \sin (0 - π)$

= $3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - e^{3 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{3}{2} \cdot \sin (0) - e^{3 \cdot (0)})$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{3}{2} \cdot 0 - e^{0})$

= $\frac{3}{2} - e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - 1)$

= $- e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{3}{2} + 1$

= $- e^{\frac{3}{2} π} + \frac{5}{2}$

≈ -108,818

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 7} - e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $e^{- 9 + 7} - e^{0 + 7}$

= $e^{- 2} - e^{7}$

≈ -1096,498

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel