Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 4 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + 2 \cdot 1)$

= $0 + 0 - (\frac{4}{3} + 2)$

= $0 - (\frac{4}{3} + \frac{6}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{4}} - 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{4}} - 2 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (x^{- 4} - 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{- 3} - \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 3^{3}} - \frac{1}{2} \cdot 3^{4} - (- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4})$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27}) - \frac{1}{2} \cdot 81 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{81} - \frac{81}{2} - (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{162} - \frac{6561}{162} - (- \frac{2}{6} - \frac{3}{6})$

= $- \frac{6563}{162} - 1 \cdot (- \frac{5}{6})$

= $- \frac{6563}{162} + \frac{5}{6}$

= $- \frac{6563}{162} + \frac{135}{162}$

= $- \frac{3214}{81}$

≈ -39,679

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{- 4 + 3} - 2 e^{- 1 + 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{2}$

≈ -14,042

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 9 e^{- x} - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 9 e^{- x} - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[9 e^{- x} - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $9 e^{- π} - \frac{5}{4} \cdot \sin (π) - (9 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $9 e^{- π} - \frac{5}{4} \cdot 0 - (9 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $9 e^{- π} + 0 - (9 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{5}{4})$

= $9 e^{- π} - (9 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{5}{4})$

= $9 e^{- π} - 9 e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{5}{4})$

= $9 e^{- π} - 9 e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{5}{4}$

= $- 9 e^{- \frac{1}{2} π} + 9 e^{- π} + \frac{5}{4}$

≈ -0,232

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} - \frac{2}{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} - \frac{2}{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} - 2 {(- 3 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 4 + 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 12 + 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (7) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (7) - \frac{2}{3} \ln (4)$

≈ 0,373

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel