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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 + 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $- \frac{9}{2} + 12 - (- \frac{1}{2} - 4)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{24}{2} - (- \frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $\frac{15}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $\frac{15}{2} + \frac{9}{2}$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} e^{x}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π})$

= $- 3 \cdot 0 + \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - (- 3 \cdot 0 + \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 + \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - (0 + \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - \frac{5}{3} e^{\frac{1}{2} π}$

≈ 177,512

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 5} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 9 + 5} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ -0,233

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \cos (x) - e^{2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{8}{3} \cdot \cos (0) - e^{2 \cdot (0)})$

= $\frac{8}{3} \cdot 0 - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{8}{3} \cdot 1 - e^{0})$

= $0 - e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{8}{3} - 1)$

= $- e^{π} - (\frac{8}{3} - \frac{3}{3})$

= $- e^{π} - 1 \cdot \frac{5}{3}$

= $- e^{π} - \frac{5}{3}$

≈ -24,807

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 15 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9} + \frac{2}{3}$

≈ 0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel