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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -1 -2 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (5 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 - 8 - (\frac{5}{2} \cdot 1 - 4)$

= $10 - 8 - (\frac{5}{2} - 4)$

= $2 - (\frac{5}{2} - \frac{8}{2})$

= $2 - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $2 + \frac{3}{2}$

= $\frac{4}{2} + \frac{3}{2}$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} \sqrt{x} + 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} \sqrt{x} + 4 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{\frac{3}{2}} + x^{4}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{5}{6} {(\sqrt{x})}^{3} + x^{4}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{5}{6} {(\sqrt{16})}^{3} + 16^{4} - (- \frac{5}{6} {(\sqrt{0})}^{3} + 0^{4})$

= $- \frac{5}{6} \cdot 4^{3} + 65536 - (- \frac{5}{6} \cdot 0^{3} + 0)$

= $- \frac{5}{6} \cdot 64 + 65 536 - (- \frac{5}{6} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{160}{3} + 65 536 - (0 + 0)$

= $- \frac{160}{3} + \frac{196608}{3} + 0$

= $\frac{196448}{3}$

≈ 65482,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{5}{2} π) + \sin (- π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot 0 - (2 \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 1 + 2} - e^{- 0 + 2}$

= $e - e^{2}$

≈ -4,671

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel