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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 -1 = 17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (3 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{3}{2} - 2 - (\frac{3}{2} + 2)$

= $\frac{3}{2} - \frac{4}{2} - (\frac{3}{2} + \frac{4}{2})$

= $- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $- \frac{1}{2} - \frac{7}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{2}{3} e^{- x}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) + \frac{2}{3} e^{- π} - (5 \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} e^{- (0)})$

= $5 \cdot 0 + \frac{2}{3} e^{- π} - (5 \cdot 0 + \frac{2}{3} e^{0})$

= $0 + \frac{2}{3} e^{- π} - (0 + \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{3} e^{- π} - (0 + \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{3} e^{- π} - \frac{2}{3}$

≈ -0,638

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 3 e^{4 - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e^{2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{2} + 3$

≈ -19,167

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- x} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- x} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[e^{- x} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $e^{- (\frac{3}{2} π)} - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (e^{- (0)} - \frac{4}{3} \cdot \cos (0))$

= $e^{- (\frac{3}{2} π)} - \frac{4}{3} \cdot 0 - (e^{0} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $e^{- (\frac{3}{2} π)} + 0 - (1 - \frac{4}{3})$

= $e^{- \frac{3}{2} π} - (\frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

= $e^{- \frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{3}$

≈ 0,342

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{1 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 1}$

= $2 - 2 e^{- 1}$

≈ 1,264

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel