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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 +8 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- 4^{2} - 5 \cdot 4 - (- 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $- 16 - 20 - (- 1 - 5)$

= $- 16 - 20 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 5)$

= $- 16 - 20 + 1 + 5$

= $- 30$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + e^{- 3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $6 \cdot \cos (π) + e^{- 3 \cdot π} - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $6 \cdot (- 1) + e^{- 3 \cdot π} - (6 \cdot 0 + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 6 + e^{- 3 \cdot π} - (0 + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $e^{- 3 \cdot π} - 6 - e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -6,009

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 1} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $\frac{3}{2} e^{- 6 + 1} - \frac{3}{2} e^{- 4 + 1}$

= $\frac{3}{2} e^{- 5} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ -0,065

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 0 - (3 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- 3 + 0 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 4)}^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (3 {(- 2 x + 4)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{3} + \frac{3}{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 8) + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{3}{2})$

= $4 + \frac{27}{2} - (- 4 + \frac{3}{2})$

= $\frac{8}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{8}{2} + \frac{3}{2})$

= $\frac{35}{2} - 1 \cdot (- \frac{5}{2})$

= $\frac{35}{2} + \frac{5}{2}$

= $20$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel