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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{1}{2} - (\frac{4}{3} + \frac{1}{2})$

= $- \frac{8}{6} + \frac{3}{6} - (\frac{8}{6} + \frac{3}{6})$

= $- \frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{11}{6}$

= $- \frac{5}{6} - \frac{11}{6}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{3}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- x} + \frac{3}{8} x^{4}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{3}{8} \cdot 5^{4} - (\frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{3}{8} \cdot 1^{4})$

= $\frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{3}{8} \cdot 625 - (\frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{3}{8} \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{1875}{8} - (\frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{3}{8})$

= $- \frac{1}{3} e^{- 1} - 1 \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{1875}{8}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{3}{8} + \frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{1875}{8}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{1}{3} e^{- 5} - \frac{3}{8} + \frac{1875}{8}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{1}{3} e^{- 5} + 234$

≈ 233,88

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 1} - 2 e^{1 - 1}$

= $2 e - 2 e^{0}$

= $2 e - 2$

≈ 3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) + 5 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) + 5 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + x^{5}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + π^{5} - (- \sin (0) + {(0)}^{5})$

= $- 0 + π^{5} - (- 0 + 0)$

= $π^{5}$

≈ 306,02

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 1} + 3 e^{- 0 + 1}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e$

≈ 7,051

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel