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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -1 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 4 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 8) - 8 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - 12)$

= $\frac{8}{3} - 8 - (9 - 12)$

= $\frac{8}{3} - \frac{24}{3} - 1 \cdot (- 3)$

= $- \frac{16}{3} + 3$

= $- \frac{16}{3} + \frac{9}{3}$

= $- \frac{7}{3}$

≈ -2,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x^{2}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π) - \frac{1}{2} \cdot π^{3} - (3 \cdot \sin (0) - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3})$

= $3 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot π^{3} - (3 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{3}$

≈ -15,503

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (0) - \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- 2 π) - 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 1$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 e^{- 2 x} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 e^{- 2 x} + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x} - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} - 3 \cdot \cos (π) - (- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (0)} - 3 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{3}{2} e^{0} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 - (- \frac{3}{2} - 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 - (- \frac{3}{2} - \frac{6}{2})$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot π} + 3 + \frac{9}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 π} + \frac{15}{2}$

≈ 7,497

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{- 1 + 3} - 2 e^{- 0 + 3}$

= $2 e^{2} - 2 e^{3}$

≈ -25,393

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel