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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (5 x - 2) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{0} (5 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{2} \cdot 4 + 4)$

= $0 + 0 - (10 + 4)$

= $0 - 1 \cdot 14$

= $- 14$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{x^{2}}) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{x^{2}}) ⅆ x

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 5 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 5 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (2 π) - \frac{5}{2 π} - (\frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{7}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2 π} - (\frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{5}{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{7}{2} - \frac{5}{2 π} - (0 - \frac{5}{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{7}{2} - \frac{5}{2 π} + \frac{10}{π}$

= $\frac{7}{2} + \frac{15}{2 π}$

≈ 5,887

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{4}} ⅆ x$ .

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\int_{2}^{3} \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{4}} ⅆ x

\int_{2}^{3} 3 {(- 3 x + 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 3)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 2 + 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 9 + 3)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 6 + 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{3 {(- 6)}^{3}} - \frac{1}{3 {(- 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{216}) - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{648} + \frac{1}{81}$

= $- \frac{1}{648} + \frac{8}{648}$

= $\frac{7}{648}$

≈ 0,011

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 x^{5} + 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 x^{5} + 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{6} - 6 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 6 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 6 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0)$

= $\frac{243}{64} \cdot π^{6} - \frac{1}{192} \cdot π^{6}$

= $\frac{729}{192} \cdot π^{6} - \frac{1}{192} \cdot π^{6}$

= $\frac{91}{24} \cdot π^{6}$

≈ 3645,267

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 3} - e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $e^{- 12 + 3} - e^{- 3 + 3}$

= $e^{- 9} - e^{0}$

= $e^{- 9} - 1$

≈ -1