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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -1.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (4 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (4 x - 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - x]}_{-2}^{1}$

$=$ $2 \cdot 1^{2} - 1 - (2 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2))$

= $2 \cdot 1 - 1 - (2 \cdot 4 + 2)$

= $2 - 1 - (8 + 2)$

= $1 - 1 \cdot 10$

= $1 - 10$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + \frac{1}{2} e^{π} - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{2} e^{π} - (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 + \frac{1}{2} e^{π} - (- 2 + \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{2} e^{π} - (\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π} - 2)$

= $\frac{1}{2} e^{π} - \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} e^{π} - \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} π} + 2$

≈ 11,165

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{17} - 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{17} - 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{17} - 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{17}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{17}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 4^{3} + \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 64 + \frac{4}{3} \cdot 8$

= $- \frac{256}{3} + \frac{32}{3}$

= $- \frac{224}{3}$

≈ -74,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- \frac{4}{3} e^{x} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- \frac{4}{3} e^{x} - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} e^{x} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{4}{3} e^{- 2} - 2 \cdot (- 2) - (- \frac{4}{3} e^{- 3} - 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2} + 4 - (- \frac{4}{3} e^{- 3} + 6)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2} + 4 + \frac{4}{3} e^{- 3} - 1 \cdot 6$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2} + 4 + \frac{4}{3} e^{- 3} - 6$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2} + \frac{4}{3} e^{- 3} + 4 - 6$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2} + \frac{4}{3} e^{- 3} - 2$

≈ -2,114

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{5 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{3} - 2 e^{0}$

= $2 e^{3} - 2$

≈ 38,171

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel