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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -12 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (5 x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 + 4 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 2)$

= $10 + 4 - (\frac{5}{2} + 2)$

= $14 - (\frac{5}{2} + \frac{4}{2})$

= $14 - 1 \cdot \frac{9}{2}$

= $14 - \frac{9}{2}$

= $\frac{28}{2} - \frac{9}{2}$

= $\frac{19}{2}$

= 9,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{8}{3} \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} + 0 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (- x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + π) + 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 - (1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 24}^{- 15} - \sqrt{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 24}^{- 15} - \sqrt{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{- 24}^{- 15} - {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 24}^{- 15}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{- x + 1})}^{3}]}_{- 24}^{- 15}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 15) + 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 24) + 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{15 + 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{24 + 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 125$

= $\frac{128}{3} - \frac{250}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel