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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 4 - (2 \cdot 9 + 6)$

= $8 + 4 - (18 + 6)$

= $12 - 1 \cdot 24$

= $12 - 24$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{9}{8} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{3}{2} \cdot \cos (0) - \frac{9}{8} \cdot {(0)}^{4})$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{9}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{9}{8} \cdot 0)$

= $0 - \frac{9}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{729}{128} \cdot π^{4} - (- \frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{729}{128} \cdot π^{4} + \frac{3}{2}$

≈ -553,275

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(3 x - 5)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 5)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(12 - 5)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(3 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot 7^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot 343 + \frac{1}{9} \cdot (- 8)$

= $- \frac{343}{9} - \frac{8}{9}$

= $- 39$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) - \frac{5}{4} \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 - \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{5}{4} - (5 + 0)$

= $0 + \frac{5}{4} - 5$

= $\frac{5}{4} - 5$

= $\frac{5}{4} - \frac{20}{4}$

= $- \frac{15}{4}$

= -3,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel