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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -4.5 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 4 + 8 - (- 2 \cdot 4 - 8)$

= $- 8 + 8 - (- 8 - 8)$

= $0 - 1 \cdot (- 16)$

= $0 + 16$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) - x]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (π) - π - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (0) - (0))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 - π - (- \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $0 - π + \frac{5}{2} \cdot 0$

= $- π + 0$

= $- π$

≈ -3,142

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot π + π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (- 2 π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $\frac{2}{3} + 0$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - 1 - (- 3 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (- 3 + 0)$

= $- 1 + 3$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 4 + 4} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 12 + 4} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 8} + \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ 0,09

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel