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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 2 x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} - (- {(- 3)}^{3} - 2 \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- 0 - 2 \cdot 0 - (- (- 27) - 2 \cdot 9)$

= $0 + 0 - (27 - 18)$

= $0 - 1 \cdot 9$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} \cdot \cos (x) - \frac{1}{12} x^{4}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (π) - \frac{1}{12} \cdot π^{4} - (\frac{3}{4} \cdot \cos (0) - \frac{1}{12} \cdot {(0)}^{4})$

= $\frac{3}{4} \cdot (- 1) - \frac{1}{12} \cdot π^{4} - (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{1}{12} \cdot 0)$

= $- \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \cdot π^{4} - (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \cdot π^{4} - \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \cdot π^{4}$

= $- \frac{3}{2} - \frac{1}{12} \cdot π^{4}$

≈ -9,617

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 3)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 \cdot 5 + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 15 + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 9 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 12)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{144}) - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{36})$

= $\frac{1}{432} - \frac{1}{108}$

= $\frac{1}{432} - \frac{4}{432}$

= $- \frac{1}{144}$

≈ -0,007

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 e^{3 x} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 e^{3 x} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 e^{3 x} - 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 8 \cdot 0 - (- 3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 8 \cdot 0)$

= $- 3 e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- 3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- 3 e^{\frac{9}{2} π} + 3 e^{\frac{3}{2} π}$

≈ -4137898,164

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $- 2 e^{4 - 2} + 2 e^{1 - 2}$

= $- 2 e^{2} + 2 e^{- 1}$

≈ -14,042

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel