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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{3}{2} \cdot 5^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{3}{2} \cdot 25 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{125}{3} - \frac{75}{2} - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{2})$

= $- \frac{250}{6} - \frac{225}{6} - (- \frac{2}{6} - \frac{9}{6})$

= $- \frac{475}{6} - 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $- \frac{475}{6} + \frac{11}{6}$

= $- \frac{232}{3}$

≈ -77,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0)$

= $\frac{27}{16} \cdot π^{3} - \frac{1}{16} \cdot π^{3}$

= $\frac{13}{8} \cdot π^{3}$

≈ 50,385

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (2 π) + \cos (π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{2 x^{3}} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{2 x^{3}} - \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{2} x^{- 3} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} x^{- 2} + \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{7}{4 x^{2}} + \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{7}{4 {(2 π)}^{2}} + \cos (2 π) - (\frac{7}{4 π^{2}} + \cos (π))$

= $\frac{7}{4 {(2 π)}^{2}} + 1 - (\frac{7}{4 π^{2}} - 1)$

= $1 + \frac{7}{16 π^{2}} - (- 1 + \frac{7}{4 π^{2}})$

= $1 + \frac{7}{16 π^{2}} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot \frac{7}{4 π^{2}}$

= $1 + \frac{7}{16 π^{2}} + 1 - \frac{7}{4 π^{2}}$

= $1 + 1 + \frac{7}{16 π^{2}} - \frac{7}{4 π^{2}}$

= $2 - \frac{21}{16 π^{2}}$

≈ 1,867

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 4} - e^{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $e^{- 12 + 4} - e^{- 3 + 4}$

= $e^{- 8} - e$

≈ -2,718

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel