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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 +2 +6 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 4 + 4)$

= $0 + 0 - (- 8 + 4)$

= $0 - 1 \cdot (- 4)$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 7 e^{x} + \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 7 e^{x} + \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (- 7 e^{x} + x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 7 e^{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4}$

= ${[- 7 e^{x} + \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $- 7 e^{4} + \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - (- 7 e^{0} + \frac{2}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- 7 e^{4} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (- 7 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

= $- 7 e^{4} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (- 7 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $- 7 e^{4} + \frac{16}{3} - (- 7 + 0)$

= $- 7 e^{4} + \frac{16}{3} + 7$

= $- 7 e^{4} + \frac{37}{3}$

≈ -369,854

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 2)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 2)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 5 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 10 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 512) - \frac{1}{6} \cdot (- 8)$

= $- \frac{256}{3} + \frac{4}{3}$

= $- 84$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- \frac{3}{4 x^{2}} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- \frac{3}{4 x^{2}} - 5 x) ⅆ x

=

\int_{2}^{3} (- \frac{3}{4} x^{- 2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{- 1} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{3}{4 x} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{3}{4 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2})$

= $\frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{5}{2} \cdot 9 - (\frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2}) - \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $\frac{1}{4} - \frac{45}{2} - (\frac{3}{8} - 10)$

= $\frac{1}{4} - \frac{90}{4} - (\frac{3}{8} - \frac{80}{8})$

= $- \frac{89}{4} - 1 \cdot (- \frac{77}{8})$

= $- \frac{89}{4} + \frac{77}{8}$

= $- \frac{178}{8} + \frac{77}{8}$

= $- \frac{101}{8}$

= -12,625

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel