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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -4 -12 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 5 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 - 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 - 9)$

= $- \frac{5}{2} - 3 - (- \frac{45}{2} - 9)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{6}{2} - (- \frac{45}{2} - \frac{18}{2})$

= $- \frac{11}{2} - 1 \cdot (- \frac{63}{2})$

= $- \frac{11}{2} + \frac{63}{2}$

= $26$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{2} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{2} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot π^{3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{3} + \frac{3}{4} \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{3} + 0 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4})$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{3} - (\frac{3}{4} - \frac{1}{24} \cdot π^{3})$

= $- 1 \cdot \frac{3}{4} - 1 \cdot (- \frac{1}{24} \cdot π^{3}) - \frac{1}{3} \cdot π^{3}$

= $- \frac{3}{4} + \frac{1}{24} \cdot π^{3} - \frac{1}{3} \cdot π^{3}$

= $- \frac{3}{4} - \frac{7}{24} \cdot π^{3}$

≈ -9,793

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{5 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{4} - e$

≈ 51,88

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \cos (π) + 7 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{4} \cdot (- 1) + 7 \cdot 0 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + 7 \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} + 0 - (0 + 7)$

= $\frac{1}{4} + 0 - 7$

= $\frac{1}{4} - 7$

= $\frac{1}{4} - \frac{28}{4}$

= $- \frac{27}{4}$

= -6,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 2 + 2} + e^{- 1 + 2}$

= $- e^{0} + e$

= $- 1 + e$

≈ 1,718

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel