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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $2^{3} + 2 \cdot 2 - (0^{3} + 2 \cdot 0)$

= $8 + 4 - (0 + 0)$

= $8 + 4$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} x^{3}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (4 \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{4})$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (4 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- 4 + \frac{27}{8} \cdot π^{4} + 0$

= $- 4 + \frac{27}{8} \cdot π^{4}$

≈ 324,756

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x$ .

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\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} - {(- 2 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 (- 2 x + 5)}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 (- 2 \cdot 6 + 5)} + \frac{1}{2 (- 2 \cdot 4 + 5)}$

= $- \frac{1}{2 (- 12 + 5)} + \frac{1}{2 (- 8 + 5)}$

= $- \frac{1}{2 (- 7)} + \frac{1}{2 (- 3)}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{14} - \frac{1}{6}$

= $\frac{3}{42} - \frac{7}{42}$

= $- \frac{2}{21}$

≈ -0,095

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (\frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{4} \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (\frac{5}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{4} + 0 - (0 - 2)$

= $- \frac{5}{4} + 0 + 2$

= $- \frac{5}{4} + 2$

= $- \frac{5}{4} + \frac{8}{4}$

= $\frac{3}{4}$

= 0,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (0) + \cos (- π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel