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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 -6 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 5 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 + 20 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 5)$

= $8 + 20 - (\frac{1}{2} + 5)$

= $28 - (\frac{1}{2} + \frac{10}{2})$

= $28 - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $28 - \frac{11}{2}$

= $\frac{56}{2} - \frac{11}{2}$

= $\frac{45}{2}$

= 22,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{4}{x^{2}} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{4}{x^{2}} + \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 4 x^{- 2} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 x^{- 1} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{4}{x} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{4}{2 π} - \cos (2 π) - (\frac{4}{π} - \cos (π))$

= $\frac{4}{2 π} - 1 - (\frac{4}{π} - (- 1))$

= $\frac{4}{2 π} - 1 - (\frac{4}{π} + 1)$

= $- 1 + \frac{2}{π} - (1 + \frac{4}{π})$

= $- 1 + \frac{2}{π} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{4}{π}$

= $- 1 + \frac{2}{π} - 1 - \frac{4}{π}$

= $- 1 - 1 + \frac{2}{π} - \frac{4}{π}$

= $- 2 - \frac{2}{π}$

≈ -2,637

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 2} - 2 e^{- 1 + 2}$

= $2 e^{0} - 2 e$

= $2 - 2 e$

≈ -3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{2} \cdot \sin (π) + e^{2 \cdot π} - (\frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{7}{2} \cdot 0 + e^{2 \cdot π} - (\frac{7}{2} \cdot 1 + e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + e^{2 \cdot π} - (\frac{7}{2} + e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $e^{2 π} - (e^{π} + \frac{7}{2})$

= $e^{2 π} - e^{π} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $e^{2 π} - e^{π} - \frac{7}{2}$

≈ 508,851

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 2} - 2 e^{1 - 2}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 1}$

≈ 14,042

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel