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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +1.5 +2 +3 = 3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (5 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

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\int_{-3}^{1} (5 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{5}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $\frac{5}{3} - 1 - (- 45 - 9)$

= $\frac{5}{3} - \frac{3}{3} - 1 \cdot (- 54)$

= $\frac{2}{3} + 54$

= $\frac{2}{3} + \frac{162}{3}$

= $\frac{164}{3}$

≈ 54,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{3} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{3} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{4} - 8 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - 8 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 8 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 8 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0 - (0 - 8)$

= $\frac{1}{32} \cdot π^{4} + 8$

≈ 11,044

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{- 2 + 1} - 3 e^{- 0 + 1}$

= $3 e^{- 1} - 3 e$

≈ -7,051

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} e^{3 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{6} e^{3 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (π) + \frac{1}{6} e^{3 \cdot π} - (- \frac{9}{2} \cdot \sin (0) + \frac{1}{6} e^{3 \cdot (0)})$

= $- \frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{1}{6} e^{3 \cdot π} - (- \frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{1}{6} e^{0})$

= $0 + \frac{1}{6} e^{3 \cdot π} - (0 + \frac{1}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{3 π} - (0 + \frac{1}{6})$

= $\frac{1}{6} e^{3 π} - \frac{1}{6}$

≈ 2065,108

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (\frac{7}{2} π) + \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel