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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 5 f(x) x .

Lösung einblenden

3 5 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

Somit gilt:

3 5 f(x) x = I2 = 3 5 f(x) x = 2 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( x 2 -3 ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( x 2 -3 ) x

= [ 1 3 x 3 -3x ] 0 1

= 1 3 1 3 -31 - ( 1 3 0 3 -30 )

= 1 3 1 -3 - ( 1 3 0 +0)

= 1 3 -3 - (0+0)

= 1 3 - 9 3 +0

= - 8 3


≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 3 sin( x ) +5 x 3 ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 3 sin( x ) +5 x 3 ) x

= [ -3 cos( x ) + 5 4 x 4 ] 1 2 π π

= -3 cos( π ) + 5 4 π 4 - ( -3 cos( 1 2 π ) + 5 4 ( 1 2 π ) 4 )

= -3( -1 ) + 5 4 π 4 - ( -30 + 5 4 ( 1 2 π ) 4 )

= 3 + 5 4 π 4 - (0 + 5 4 ( 1 2 π ) 4 )

= 3 + 5 4 π 4 - 5 64 π 4

= 3 + 75 64 π 4


≈ 117,151

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 e -x +1 x .

Lösung einblenden
1 4 e -x +1 x

= [ - e -x +1 ] 1 4

= - e -4 +1 + e -1 +1

= - e -3 + e 0

= - e -3 +1


≈ 0,95

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( 3 sin( x ) -5 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( 3 sin( x ) -5 cos( x ) ) x

= [ -3 cos( x ) -5 sin( x ) ] 0 π

= -3 cos( π ) -5 sin( π ) - ( -3 cos( 0 ) -5 sin( 0 ) )

= -3( -1 ) -50 - ( -31 -50 )

= 3 +0 - ( -3 +0)

= 3 +3

= 6

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 3 e -3x +4 x .

Lösung einblenden
1 2 3 e -3x +4 x

= [ - e -3x +4 ] 1 2

= - e -32 +4 + e -31 +4

= - e -6 +4 + e -3 +4

= - e -2 + e

= - e -2 + e


≈ 2,583