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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot 4 + 8 - (- 2 \cdot 1 + 4)$

= $- 8 + 8 - (- 2 + 4)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3 x^{3}} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3 x^{3}} + \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{3} x^{- 3} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{- 2} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{5}{6 x^{2}} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} + \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{6 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{6 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 1 - (- \frac{5}{6 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 1)$

= $- 1 - \frac{10}{27 π^{2}} - (1 - \frac{10}{3 π^{2}})$

= $- 1 - \frac{10}{27 π^{2}} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{10}{3 π^{2}})$

= $- 1 - \frac{10}{27 π^{2}} - 1 + \frac{10}{3 π^{2}}$

= $- 1 - 1 - \frac{10}{27 π^{2}} + \frac{10}{3 π^{2}}$

= $- 2 + \frac{80}{27 π^{2}}$

≈ -1,7

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (2 {(- 2 x + 2)}^{3} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (2 {(- 2 x + 2)}^{3} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 2)}^{4} + 2 x]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 2)}^{4} + 2 \cdot 4 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{4} + 2 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 8 + 2)}^{4} + 8 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 4 + 2)}^{4} + 4)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 6)}^{4} + 8 - (- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 296 + 8 - (- \frac{1}{4} \cdot 16 + 4)$

= $- 324 + 8 - (- 4 + 4)$

= $- 316 - 1 \cdot 0$

= $- 316 + 0$

= $- 316$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (0) + 4 \cdot \sin (0))$

= $- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (- 4 + 0)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{1 - 3} + e^{0 - 3}$

= $- e^{- 2} + e^{- 3}$

≈ -0,086

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel