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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -2 -6 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (4 x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{2} (4 x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) - \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $\frac{32}{3} - 6 - (- \frac{32}{3} - 6)$

= $\frac{32}{3} - \frac{18}{3} - (- \frac{32}{3} - \frac{18}{3})$

= $\frac{14}{3} - 1 \cdot (- \frac{50}{3})$

= $\frac{14}{3} + \frac{50}{3}$

= $\frac{64}{3}$

≈ 21,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 2 x) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (4 \cdot \sin (0) + {(0)}^{2})$

= $4 \cdot 1 + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (4 \cdot 0 + 0)$

= $4 + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $4 + \frac{1}{4} \cdot π^{2} + 0$

= $4 + \frac{1}{4} \cdot π^{2}$

≈ 6,467

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} \frac{3}{{(- x + 1)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(- x + 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(- x + 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[{(- x + 1)}^{- 3}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{{(- 5 + 1)}^{3}} - \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(- 4)}^{3}} - \frac{1}{{(- 1)}^{3}}$

= $(- \frac{1}{64}) - (- 1)$

= $- \frac{1}{64} + 1$

= $- \frac{1}{64} + \frac{64}{64}$

= $\frac{63}{64}$

≈ 0,984

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 e^{2 x} - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 e^{2 x} - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- e^{2 x} + 9 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 9 \cdot 0 - (- e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 9 \cdot 0)$

= $- e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- e^{3 π} + e^{π}$

≈ -12368,507

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} - e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{6 - 7} + \frac{1}{3} e^{0 - 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 1} + \frac{1}{3} e^{- 7}$

≈ -0,122

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel