Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +1 +3 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{1}{2} - 2 - (- \frac{1}{2} + 2)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{4}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{4}{2})$

= $- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $- \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{5} x^{5}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (4 \cdot \sin (0) - \frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (4 \cdot 0 - \frac{3}{5} \cdot 0)$

= $- 4 - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 + 0)$

= $- 4 - \frac{729}{160} \cdot π^{5} + 0$

= $- 4 - \frac{729}{160} \cdot π^{5}$

≈ -1398,302

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 5 π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- 2 π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 e^{x} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 e^{x} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 e^{x} - \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 e^{\frac{1}{2} π} - \sin (\frac{1}{2} π) - (- 5 e^{0} - \sin (0))$

= $- 5 e^{\frac{1}{2} π} - 1 - (- 5 - 0)$

= $- 5 e^{\frac{1}{2} π} - 1 + 5$

= $- 5 e^{\frac{1}{2} π} + 4$

≈ -20,052

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $- e^{3 \cdot 3 - 5} + e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $- e^{9 - 5} + e^{3 - 5}$

= $- e^{4} + e^{- 2}$

≈ -54,463

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel