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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +4}{2}$ = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +4 +9 = 14

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 + 16 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 4)$

= $- 24 + 16 - (- \frac{3}{2} + 4)$

= $- 8 - (- \frac{3}{2} + \frac{8}{2})$

= $- 8 - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $- 8 - \frac{5}{2}$

= $- \frac{16}{2} - \frac{5}{2}$

= $- \frac{21}{2}$

= -10,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{2 x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (- x^{- 3} + 3 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 2} + \frac{3}{2} e^{2 x}]}_{1}^{3}$

= ${[\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{3}{2} e^{2 x}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 3} - (\frac{1}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1})$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2} e^{6} - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} e^{2})$

= $\frac{1}{18} + \frac{3}{2} e^{6} - (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{2})$

= $\frac{3}{2} e^{6} + \frac{1}{18} - (\frac{3}{2} e^{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2} e^{6} + \frac{1}{18} - \frac{3}{2} e^{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} + \frac{1}{18} - \frac{3}{2} e^{2} - \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2} + \frac{1}{18} - \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2} - \frac{4}{9}$

≈ 593,615

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 2,457

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (- 4 + 0)$

= $- 2 + 4$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (- \frac{9}{2} π) + \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel