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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-4 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -12 -7 = -23

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{3} + 3^{2} - (- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2})$

= $- 27 + 9 - (- (- 1) + 1)$

= $- 27 + 9 - (1 + 1)$

= $- 18 - 1 \cdot 2$

= $- 18 - 2$

= $- 20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 e^{x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 e^{x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 e^{x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 e^{π} + 2 \cdot \sin (π) - (4 e^{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 e^{π} + 2 \cdot 0 - (4 e^{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot 1)$

= $4 e^{π} + 0 - (4 e^{\frac{1}{2} π} + 2)$

= $4 e^{π} - (4 e^{\frac{1}{2} π} + 2)$

= $4 e^{π} - 4 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot 2$

= $4 e^{π} - 4 e^{\frac{1}{2} π} - 2$

≈ 71,321

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 {(- x + 1)}^{3} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 {(- x + 1)}^{3} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 1)}^{4} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{3}{4} \cdot {(- 0 + 1)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{3}{4} \cdot {(0 + 1)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot 1 - 6 - (\frac{3}{4} \cdot 1^{4} + 0)$

= $\frac{3}{4} - 6 - (\frac{3}{4} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{3}{4} - \frac{24}{4} - (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{21}{4} - (\frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{21}{4} - \frac{3}{4}$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 7 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - 7 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1)$

= $0 + 7 - (0 - 7)$

= $7 + 7$

= $14$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} {(2 x - 3)}^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 3 - 3)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(6 - 3)}^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(2 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 3^{4} + \frac{1}{8} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{8} \cdot 81 + \frac{1}{8} \cdot 1$

= $- \frac{81}{8} + \frac{1}{8}$

= $- 10$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel