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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -4 -12 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (4 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (4 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{1}{2} \cdot 25 - (\frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{500}{3} - \frac{25}{2} - (\frac{4}{3} - \frac{1}{2})$

= $\frac{1000}{6} - \frac{75}{6} - (\frac{8}{6} - \frac{3}{6})$

= $\frac{925}{6} - 1 \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{925}{6} - \frac{5}{6}$

= $\frac{460}{3}$

≈ 153,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{x^{3}} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{x^{3}} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 x^{- 3} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 x^{- 2} - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{2}{x^{2}} - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 5 \cdot (- 1) - (\frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{2}{{(\frac{3}{2} π)}^{2}} + 5 - (\frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 5)$

= $5 + \frac{8}{9 π^{2}} - (- 5 + \frac{8}{π^{2}})$

= $5 + \frac{8}{9 π^{2}} - 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot \frac{8}{π^{2}}$

= $5 + \frac{8}{9 π^{2}} + 5 - \frac{8}{π^{2}}$

= $5 + 5 + \frac{8}{9 π^{2}} - \frac{8}{π^{2}}$

= $10 - \frac{64}{9 π^{2}}$

≈ 9,279

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3 e^{- 3 + 3} + 3 e^{- 0 + 3}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{3}$

= $- 3 + 3 e^{3}$

≈ 57,257

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 5 {(\sqrt{x})}^{3} - 6 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{1} (- 5 {(\sqrt{x})}^{3} - 6 e^{- 2 x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- 5 x^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 x^{\frac{5}{2}} + 3 e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x})}^{5} + 3 e^{- 2 x}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{1})}^{5} + 3 e^{- 2 \cdot 1} - (- 2 {(\sqrt{0})}^{5} + 3 e^{- 2 \cdot 0})$

= $- 2 \cdot 1^{5} + 3 e^{- 2} - (- 2 \cdot 0^{5} + 3 e^{0})$

= $- 2 \cdot 1 + 3 e^{- 2} - (- 2 \cdot 0 + 3)$

= $- 2 + 3 e^{- 2} - (0 + 3)$

= $3 e^{- 2} - 2 - 3$

= $3 e^{- 2} - 5$

≈ -4,594

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- \frac{5}{2} π) - \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel