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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (5 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (5 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 - (\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $45 - \frac{9}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{90}{2} - \frac{9}{2} + 0$

= $\frac{81}{2}$

= 40,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \frac{9}{16} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{5}{3} \cdot \cos (0) - \frac{9}{16} \cdot {(0)}^{4})$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{9}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{9}{16} \cdot 0)$

= $0 - \frac{9}{16} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (\frac{5}{3} + 0)$

= $- \frac{9}{256} \cdot π^{4} - (\frac{5}{3} + 0)$

= $- \frac{9}{256} \cdot π^{4} - \frac{5}{3}$

≈ -5,091

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 5} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 9 + 5} - \frac{2}{3} e^{0 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{5}$

≈ -98,93

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 4 x^{5} + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 4 x^{5} + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{6} + \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{6} + \frac{3}{4} \cdot 3^{4} - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{6} + \frac{3}{4} \cdot 0^{4})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 729 + \frac{3}{4} \cdot 81 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- 486 + \frac{243}{4} - (0 + 0)$

= $- \frac{1944}{4} + \frac{243}{4} + 0$

= $- \frac{1701}{4}$

= -425,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{1}{3} e^{- 6 + 5} - \frac{1}{3} e^{0 + 5}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{5}$

≈ -49,348

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel