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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -4.5 -6 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 5 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 5 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 8) + \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $\frac{5}{3} + \frac{1}{2} - (\frac{40}{3} + 2)$

= $\frac{10}{6} + \frac{3}{6} - (\frac{40}{3} + \frac{6}{3})$

= $\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{46}{3}$

= $\frac{13}{6} - \frac{46}{3}$

= $\frac{13}{6} - \frac{92}{6}$

= $- \frac{79}{6}$

≈ -13,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 e^{- 2 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 e^{- 2 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- e^{- 2 \cdot (0)} + 2 \cdot \sin (0))$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 1 - (- e^{0} + 2 \cdot 0)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 - (- 1 + 0)$

= $- e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 + 1$

= $- e^{- π} + 3$

≈ 2,957

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 - 2} - e^{0 - 2}$

= $e^{0} - e^{- 2}$

= $1 - e^{- 2}$

≈ 0,865

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \sin (π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{4} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{7}{4} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{2} - (- \frac{7}{4} + 0)$

= $\frac{3}{2} + \frac{7}{4}$

= $\frac{6}{4} + \frac{7}{4}$

= $\frac{13}{4}$

= 3,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 {(3 x - 3)}^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 {(3 x - 3)}^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{3} + 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3} + 3 \cdot 1 - (- \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3} + 3 - (- \frac{2}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0)$

= $- \frac{2}{9} \cdot 0^{3} + 3 - (- \frac{2}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 0)$

= $- \frac{2}{9} \cdot 0 + 3 - (- \frac{2}{9} \cdot (- 27) + 0)$

= $0 + 3 - (6 + 0)$

= $3 - 6$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel