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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 -4.5 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 5 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 5 x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 0)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 - 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 10 - 2 - (0 + 0)$

= $- 12 + 0$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (e^{2 x} + 5 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (e^{2 x} + 5 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (e^{2 x} + 5 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{9}$

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{9}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 9} + \frac{10}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} + \frac{10}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $\frac{1}{2} e^{18} + \frac{10}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{1}{2} e^{0} + \frac{10}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{1}{2} e^{18} + \frac{10}{3} \cdot 27 - (\frac{1}{2} + \frac{10}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} e^{18} + 90 - (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{1}{2} e^{18} + 90 - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{18} + \frac{179}{2}$

≈ 32830074,069

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{3 \cdot 3 - 7} + e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $- e^{9 - 7} + e^{6 - 7}$

= $- e^{2} + e^{- 1}$

≈ -7,021

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 e^{x} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 e^{x} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 e^{x} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 e^{0} + \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + \frac{1}{4} \cdot 0 - (- 3 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + 0 - (- 3 + \frac{1}{4})$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} - (- \frac{12}{4} + \frac{1}{4})$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{11}{4})$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + \frac{11}{4}$

≈ -331,203

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{8 - 3} + \frac{1}{2} e^{2 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{5} + \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ -74,023

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel