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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 -4 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ ${(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - ({(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $4 + 6 - (9 + 9)$

= $4 + 6 - 1 \cdot 9 - 1 \cdot 9$

= $4 + 6 - 9 - 9$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} x^{2}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{12} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- 5 \cdot \sin (0) + \frac{7}{12} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 5 \cdot 1 + \frac{7}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- 5 \cdot 0 + \frac{7}{12} \cdot 0)$

= $- 5 + \frac{7}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (0 + 0)$

= $- 5 + \frac{7}{96} \cdot π^{3} + 0$

= $- 5 + \frac{7}{96} \cdot π^{3}$

≈ -2,739

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} ({(x - 2)}^{3} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} ({(x - 2)}^{3} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(x - 2)}^{4} + x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(2 - 2)}^{4} + 2^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(1 - 2)}^{4} + 1^{2})$

= $\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + 1)$

= $\frac{1}{4} \cdot 0 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot 1 + 1)$

= $0 + 4 - (\frac{1}{4} + 1)$

= $4 - (\frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

= $4 - 1 \cdot \frac{5}{4}$

= $4 - \frac{5}{4}$

= $\frac{16}{4} - \frac{5}{4}$

= $4 - \frac{5}{4}$

= $\frac{16}{4} - \frac{5}{4}$

= $\frac{11}{4}$

= 2,75

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (0) - 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} + 0 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel