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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 9 +4.5 -2 = 11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 3 \cdot 2 - (- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $- 4 + 6 - (- 1 - 3)$

= $- 4 + 6 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6 + 1 + 3$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 2 \cdot (- 1) - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (- 2 \cdot 0 - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $2 - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} - (0 - \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot π} + 2 + \frac{1}{4} e^{- π}$

≈ 2,01

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 30,054

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 x^{5} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 x^{5} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{6} + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot π^{6} + 7 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} + 7 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{6} + 7 \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 7 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{6} + 0 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{6} + 0$

= $- \frac{1}{3} \cdot π^{6}$

≈ -320,463

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[{(- x + 3)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ ${(- 2 + 3)}^{3} - {(- 0 + 3)}^{3}$

= $1^{3} - {(0 + 3)}^{3}$

= $1 - 3^{3}$

= $1 - 27$

= $- 26$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel