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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -4.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (2 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (2 x - 4) ⅆ x

= ${[x^{2} - 4 x]}_{1}^{2}$

$=$ $2^{2} - 4 \cdot 2 - (1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $4 - 8 - (1 - 4)$

= $4 - 8 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 4)$

= $4 - 8 - 1 + 4$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- 3 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- 3 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (- 3 x^{3} - 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} x^{4} + x^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{x^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot 5^{4} + \frac{1}{5^{2}} - (- \frac{3}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2^{2}})$

= $- \frac{3}{4} \cdot 625 + \frac{1}{25} - (- \frac{3}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4})$

= $- \frac{1875}{4} + \frac{1}{25} - (- 12 + \frac{1}{4})$

= $- \frac{46875}{100} + \frac{4}{100} - (- \frac{48}{4} + \frac{1}{4})$

= $- \frac{46871}{100} - 1 \cdot (- \frac{47}{4})$

= $- \frac{46871}{100} + \frac{47}{4}$

= $- \frac{46871}{100} + \frac{1175}{100}$

= $- \frac{11424}{25}$

= -456,96

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 5 + 2} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 10 + 2} - \frac{3}{2} e^{- 4 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 8} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ -0,202

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - 2 \cdot \cos (π) - (- \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{7}{2} \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{7}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (- \frac{7}{2} + 0)$

= $2 - (- \frac{7}{2} + 0)$

= $2 + \frac{7}{2}$

= $\frac{4}{2} + \frac{7}{2}$

= $\frac{11}{2}$

= 5,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{17} 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{17} 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{17} 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{17}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{17}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $\frac{256}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{224}{3}$

≈ 74,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel