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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -2 -6 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $2^{2} - 3 \cdot 2 - (0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $4 - 6 - (0 + 0)$

= $4 - 6$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{2}{x^{4}} + x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{2}{x^{4}} + x^{4}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- 2 x^{- 4} + x^{4}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{1}{5} x^{5}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{5} x^{5}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3 \cdot 5^{3}} + \frac{1}{5} \cdot 5^{5} - (\frac{2}{3 \cdot 1^{3}} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

= $\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{1}{5} \cdot 3125 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1)$

= $\frac{2}{375} + 625 - (\frac{2}{3} + \frac{1}{5})$

= $\frac{2}{375} + \frac{234375}{375} - (\frac{10}{15} + \frac{3}{15})$

= $\frac{234377}{375} - 1 \cdot \frac{13}{15}$

= $\frac{234377}{375} - \frac{13}{15}$

= $\frac{234377}{375} - \frac{325}{375}$

= $\frac{234052}{375}$

≈ 624,139

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 - 2} + e^{0 - 2}$

= $- e^{0} + e^{- 2}$

= $- 1 + e^{- 2}$

≈ -0,865

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $- 4 \cdot 0 - 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (- 4 + 0)$

= $- 4 + 4$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 2 + 3} - e^{- 0 + 3}$

= $e - e^{3}$

≈ -17,367

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel