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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -4.5 +6 +8 = 3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 5 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 5 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 27) - \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{5}{2} - (45 - \frac{45}{2})$

= $- \frac{10}{6} - \frac{15}{6} - (\frac{90}{2} - \frac{45}{2})$

= $- \frac{25}{6} - 1 \cdot \frac{45}{2}$

= $- \frac{25}{6} - \frac{45}{2}$

= $- \frac{25}{6} - \frac{135}{6}$

= $- \frac{80}{3}$

≈ -26,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \sin (x) + 5 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \sin (x) + 5 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) - 5 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (π) - 5 e^{- π} - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 \cdot (- 1) - 5 e^{- π} - (- 4 \cdot 0 - 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $4 - 5 e^{- π} - (0 - 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 5 e^{- π} + 4 + 5 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 4,823

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- {(3 x - 3)}^{3} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- {(3 x - 3)}^{3} - 6 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} {(3 x - 3)}^{4} - 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 2 - 3)}^{4} - 3 \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{4} - 3 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{1}{12} \cdot {(6 - 3)}^{4} - 3 \cdot 4 - (- \frac{1}{12} \cdot {(0 - 3)}^{4} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 3^{4} - 12 - (- \frac{1}{12} \cdot {(- 3)}^{4} + 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 81 - 12 - (- \frac{1}{12} \cdot 81 + 0)$

= $- \frac{27}{4} - 12 - (- \frac{27}{4} + 0)$

= $- \frac{27}{4} - \frac{48}{4} - (- \frac{27}{4} + 0)$

= $- \frac{75}{4} + \frac{27}{4}$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (3 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $- 3 + 0 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - π) - 2 \cdot \cos (0 - π)$

= $2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (- π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)$

= $0 + 2$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel