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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 2 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{-1}^{2} (- 2 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{16}{3} + 6 - (\frac{2}{3} + \frac{3}{2})$

= $- \frac{16}{3} + \frac{18}{3} - (\frac{4}{6} + \frac{9}{6})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{13}{6}$

= $\frac{2}{3} - \frac{13}{6}$

= $\frac{4}{6} - \frac{13}{6}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{2} - (0 + \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

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\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 5} - e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 6 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{- 1} - e^{5}$

≈ -148,045

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (e^{2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (e^{2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} e^{2 \cdot (0)} - \frac{1}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{0} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} - 1 \cdot 0$

= $\frac{1}{2} e^{3 π} + 0$

= $\frac{1}{2} e^{3 π}$

≈ 6195,824

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\cos (\frac{3}{2} π) - \cos (0)$

= $0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel