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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4.5 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot 9 + 6 - (- 2 \cdot 1 + 2)$

= $- 18 + 6 - (- 2 + 2)$

= $- 12 - 1 \cdot 0$

= $- 12 + 0$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \sin (0) - \frac{9}{4} \cdot \cos (0))$

= $- 5 \cdot (- 1) - \frac{9}{4} \cdot 0 - (- 5 \cdot 0 - \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $5 + 0 - (0 - \frac{9}{4})$

= $5 - (0 - \frac{9}{4})$

= $5 + \frac{9}{4}$

= $\frac{20}{4} + \frac{9}{4}$

= $\frac{29}{4}$

= 7,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 4 + 5} + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 12 + 5} + \frac{1}{3} e^{- 3 + 5}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 7} + \frac{1}{3} e^{2}$

≈ 2,463

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) - 5 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $4 + 0 - (0 - 5)$

= $4 + 5$

= $9$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{\frac{31}{3}} - 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{\frac{31}{3}} - 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} - 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 5^{3} + \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 125 + \frac{2}{3} \cdot 27$

= $- \frac{250}{3} + 18$

= $- \frac{250}{3} + \frac{54}{3}$

= $- \frac{196}{3}$

≈ -65,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel