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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (5 x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 + 6 - (\frac{5}{2} \cdot 1 - 3)$

= $10 + 6 - (\frac{5}{2} - 3)$

= $16 - (\frac{5}{2} - \frac{6}{2})$

= $16 - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $16 + \frac{1}{2}$

= $\frac{32}{2} + \frac{1}{2}$

= $\frac{33}{2}$

= 16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- 5 x^{2} + 4 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- 5 x^{2} + 4 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- 5 x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 16^{3} + \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + \frac{8}{3} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 4096 + \frac{8}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot 0^{3})$

= $- \frac{20480}{3} + \frac{8}{3} \cdot 64 - (0 + \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{20480}{3} + \frac{512}{3} - (0 + 0)$

= $- 6 656 + 0$

= $- 6 656$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} - \frac{3}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{6} - \frac{3}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} - 3 {(2 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 3}]}_{4}^{6}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{3}}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 \cdot 6 - 5)}^{3}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 4 - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 {(12 - 5)}^{3}} - \frac{1}{2 {(8 - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 7^{3}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{343}) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{27})$

= $\frac{1}{686} - \frac{1}{54}$

= $\frac{27}{18522} - \frac{343}{18522}$

= $- \frac{158}{9261}$

≈ -0,017

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{12 - 7} - \frac{1}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ 49,348

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel