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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +1 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 4 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{3} + 4 \cdot 3 - (- {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1))$

= $- 27 + 12 - (- (- 1) - 4)$

= $- 27 + 12 - (1 - 4)$

= $- 15 - 1 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 3$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{x^{4}} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{x^{4}} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{- 4} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{- 3} + 5 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{4}{3 x^{3}} + 5 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3 π^{3}} + 5 \cdot \sin (π))$

= $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 5 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3 π^{3}} + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - 5 - (- \frac{4}{3 π^{3}} + 0)$

= $- 5 - \frac{32}{81 π^{3}} + \frac{4}{3 π^{3}}$

= $- 5 + \frac{76}{81 π^{3}}$

≈ -4,97

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 22}^{- 13} 2 \sqrt{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 22}^{- 13} 2 \sqrt{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{- 22}^{- 13} 2 {(- x + 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(- x + 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 22}^{- 13}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{- x + 3})}^{3}]}_{- 22}^{- 13}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 13) + 3})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 22) + 3})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{13 + 3})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{22 + 3})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 4^{3} + \frac{4}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 64 + \frac{4}{3} \cdot 125$

= $- \frac{256}{3} + \frac{500}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 e^{- x} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 e^{- x} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x} + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 e^{- π} + \cos (π) - (- 2 e^{- (0)} + \cos (0))$

= $- 2 e^{- π} - 1 - (- 2 e^{0} + 1)$

= $- 2 e^{- π} - 1 - (- 2 + 1)$

= $- 2 e^{- π} - 1 - 1 \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- π} - 1 + 1$

= $- 2 e^{- π} + 0$

≈ -0,086

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(- 3 x + 6)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 6)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(0 + 6)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot 0^{3} + \frac{1}{9} \cdot 6^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot 0 + \frac{1}{9} \cdot 216$

= $0 + 24$

= $24$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel