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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -6 +4 +8 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $- 2 \cdot 1 + 4 - (- 2 \cdot 1 - 4)$

= $- 2 + 4 - (- 2 - 4)$

= $2 - 1 \cdot (- 6)$

= $2 + 6$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- 6 \sqrt{x} + \frac{4}{3 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- 6 \sqrt{x} + \frac{4}{3 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{- 3}]}_{1}^{16}$

= ${[- 4 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{4}{9 x^{3}}]}_{1}^{16}$

$=$ $- 4 {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9 \cdot 16^{3}} - (- 4 {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{4}{9 \cdot 1^{3}})$

= $- 4 \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{4096}) - (- 4 \cdot 1^{3} - \frac{4}{9} \cdot 1)$

= $- 4 \cdot 64 - \frac{1}{9216} - (- 4 \cdot 1 - \frac{4}{9})$

= $- 256 - \frac{1}{9216} - (- 4 - \frac{4}{9})$

= $- \frac{2359296}{9216} - \frac{1}{9216} - (- \frac{36}{9} - \frac{4}{9})$

= $- \frac{2359297}{9216} - 1 \cdot (- \frac{40}{9})$

= $- \frac{2359297}{9216} + \frac{40}{9}$

= $- \frac{2359297}{9216} + \frac{40960}{9216}$

= $- \frac{2359297}{9216} + \frac{40}{9}$

= $- \frac{2359297}{9216} + \frac{40960}{9216}$

= $- \frac{257593}{1024}$

≈ -251,556

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π + π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + π)$

= $2 \cdot \cos (2 π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $2 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

= $2 + 0$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (4 e^{x} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (4 e^{x} + 1) ⅆ x

= ${[4 e^{x} + x]}_{-2}^{0}$

$=$ $4 e^{0} + 0 - (4 e^{- 2} - 2)$

= $4 + 0 - (4 e^{- 2} - 2)$

= $4 - (4 e^{- 2} - 2)$

= $- 4 e^{- 2} - 1 \cdot (- 2) + 4$

= $- 4 e^{- 2} + 2 + 4$

= $- 4 e^{- 2} + 6$

≈ 5,459

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 3} - 2 e^{- 1 + 3}$

= $2 e - 2 e^{2}$

≈ -9,342

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel