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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -6 -12 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 16 + 12 - (- 0 + 0)$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 \sqrt{x} - 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 \sqrt{x} - 4 x^{2}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} x^{3}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{4}{3} x^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{4}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{3})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 64 - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{256}{3} - (- \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{4}{3})$

= $- \frac{32}{3} - \frac{256}{3} - (- \frac{4}{3} - \frac{4}{3})$

= $- 96 - 1 \cdot (- \frac{8}{3})$

= $- 96 + \frac{8}{3}$

= $- \frac{288}{3} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{280}{3}$

≈ -93,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- {(- x + 1)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- {(- x + 1)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- x + 1)}^{3} + 6 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 1)}^{3} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1 + 1)}^{3} + 6 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 6)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 6)$

= $- \frac{8}{3} + 18 - (0 + 6)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{54}{3} - 6$

= $\frac{46}{3} - 6$

= $\frac{46}{3} - \frac{18}{3}$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{7}{3} x^{5} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{7}{3} x^{5} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{18} x^{6} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{7}{18} \cdot {(0)}^{6} + 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{7}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 2 \cdot 0 - (\frac{7}{18} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{7}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0 - (0 + 2)$

= $\frac{7}{1152} \cdot π^{6} - 2$

≈ 3,842

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 8 + 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 64) - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $- 32 + 0$

= $- 32$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel