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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +8 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (3 x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{3}{2} \cdot 4 + 4 - (\frac{3}{2} \cdot 4 - 4)$

= $6 + 4 - (6 - 4)$

= $10 - 1 \cdot 2$

= $10 - 2$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} e^{3 x}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{4} e^{3 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{4} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot \sin (0) - \frac{1}{4} e^{3 \cdot (0)})$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{1}{4} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot 0 - \frac{1}{4} e^{0})$

= $- 2 - \frac{1}{4} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 2 + \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{\frac{9}{2} π} - \frac{7}{4}$

≈ -344854,426

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 3 x + 5)}^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 5)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 12 + 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 3 + 5)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 7)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot 2 401 - \frac{1}{4} \cdot 16$

= $\frac{2401}{4} - 4$

= $\frac{2401}{4} - \frac{16}{4}$

= $\frac{2385}{4}$

= 596,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - 5 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - 5 x^{4}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - x^{5}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot \sin (0) - {(0)}^{5})$

= $- 5 \cdot 1 - {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot 0 - 0)$

= $- 5 - {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (0 + 0)$

= $- 5 - \frac{1}{32} \cdot π^{5} + 0$

= $- 5 - \frac{1}{32} \cdot π^{5}$

≈ -14,563

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{2 \cdot 3 - 5} + e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- e^{6 - 5} + e^{0 - 5}$

= $- e + e^{- 5}$

≈ -2,712

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel