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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +3 +6 +7 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 + 10 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 + 15)$

= $- 2 + 10 - (- \frac{9}{2} + 15)$

= $8 - (- \frac{9}{2} + \frac{30}{2})$

= $8 - 1 \cdot \frac{21}{2}$

= $8 - \frac{21}{2}$

= $\frac{16}{2} - \frac{21}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (4 \sqrt{x} - 8 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (4 \sqrt{x} - 8 x^{2}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (4 x^{\frac{1}{2}} - 8 x^{2}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{3} x^{3}]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{8}{3} x^{3}]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{8}{3} \cdot 9^{3} - (\frac{8}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{8}{3} \cdot 3^{3} - \frac{8}{3} \cdot 729 - (\frac{8}{3} \cdot 2^{3} - \frac{8}{3} \cdot 64)$

= $\frac{8}{3} \cdot 27 - 1 944 - (\frac{8}{3} \cdot 8 - \frac{512}{3})$

= $72 - 1 944 - (\frac{64}{3} - \frac{512}{3})$

= $- 1 872 - 1 \cdot (- \frac{448}{3})$

= $- 1 872 + \frac{448}{3}$

= $- \frac{5616}{3} + \frac{448}{3}$

= $- \frac{5168}{3}$

≈ -1722,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 6)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 6)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 12 + 6)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 6)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot 0^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot (- 216) + \frac{2}{9} \cdot 0$

= $48 + 0$

= $48$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{5}{x^{2}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{5}{x^{2}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (5 x^{- 2} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 x^{- 1} - 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{5}{x} - 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{5}{2 π} - 2 \cdot \sin (2 π) - (- \frac{5}{π} - 2 \cdot \sin (π))$

= $- \frac{5}{2 π} - 2 \cdot 0 - (- \frac{5}{π} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2 π} + 0 - (- \frac{5}{π} + 0)$

= $- \frac{5}{2 π} + \frac{5}{π}$

= $- \frac{5}{2 π} + \frac{10}{2 π}$

= $\frac{5}{2 π}$

≈ 0,796

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel