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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 - 10 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 - 15)$

= $- 2 - 10 - (- \frac{9}{2} - 15)$

= $- 12 - (- \frac{9}{2} - \frac{30}{2})$

= $- 12 - 1 \cdot (- \frac{39}{2})$

= $- 12 + \frac{39}{2}$

= $- \frac{24}{2} + \frac{39}{2}$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - \frac{1}{2 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - \frac{1}{2 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - \frac{1}{2} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{1}{4} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \cos (x) + \frac{1}{4 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \cos (2 π) + \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (- \cos (π) + \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 1 + \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (- (- 1) + \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 1 + \frac{1}{4 {(2 π)}^{2}} - (1 + \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 1 + \frac{1}{16 π^{2}} - (1 + \frac{1}{4 π^{2}})$

= $- 1 + \frac{1}{16 π^{2}} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{4 π^{2}}$

= $- 1 + \frac{1}{16 π^{2}} - 1 - \frac{1}{4 π^{2}}$

= $- 1 - 1 + \frac{1}{16 π^{2}} - \frac{1}{4 π^{2}}$

= $- 2 - \frac{3}{16 π^{2}}$

≈ -2,019

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 4 + 5} + e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- e^{- 8 + 5} + e^{- 2 + 5}$

= $- e^{- 3} + e^{3}$

≈ 20,036

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (4 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- 2 {(- x + 1)}^{2} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- 2 {(- x + 1)}^{2} - 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 1)}^{3} - 3 x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 5 + 1)}^{3} - 3 \cdot 5^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2 + 1)}^{3} - 3 \cdot 2^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 3 \cdot 25 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot 4)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 64) - 75 - (\frac{2}{3} \cdot (- 1) - 12)$

= $- \frac{128}{3} - 75 - (- \frac{2}{3} - 12)$

= $- \frac{128}{3} - \frac{225}{3} - (- \frac{2}{3} - \frac{36}{3})$

= $- \frac{353}{3} - 1 \cdot (- \frac{38}{3})$

= $- \frac{353}{3} + \frac{38}{3}$

= $- 105$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel