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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -4.5 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (5 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 3 - (\frac{5}{2} \cdot 4 + 6)$

= $\frac{5}{2} - 3 - (10 + 6)$

= $\frac{5}{2} - \frac{6}{2} - 1 \cdot 16$

= $- \frac{1}{2} - 16$

= $- \frac{1}{2} - \frac{32}{2}$

= $- \frac{33}{2}$

= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (0) + \frac{9}{4} \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot (- 1) + \frac{9}{4} \cdot 0 - (3 \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 3 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 3 - \frac{9}{4}$

= $- \frac{12}{4} - \frac{9}{4}$

= $- \frac{21}{4}$

= -5,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - {(- 3 x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - {(- 3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(- 3 x + 3)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 15 + 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 12)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 1 728) - \frac{1}{9} \cdot (- 27)$

= $- 192 + 3$

= $- 189$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) + \frac{7}{2} \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot (- 1) - (2 \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{7}{2} - (2 + 0)$

= $0 - \frac{7}{2} - 2$

= $- \frac{7}{2} - 2$

= $- \frac{7}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{11}{2}$

= -5,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1)$

= $0 + 3$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel