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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 -2 -4 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $2 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - (2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $2 \cdot 16 - 12 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $32 - 12 - (0 + 0)$

= $20 + 0$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (3 + 0)$

= $2 - 3$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $- 2 e^{- 4 + 1} + 2 e^{- 1 + 1}$

= $- 2 e^{- 3} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 3} + 2$

≈ 1,9

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) + \sin (π) - (2 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $2 \cdot (- 1) + 0 - (2 \cdot 1 + 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (0)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$

= $0 + 2$

= $2$