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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +4 +7.5 = 14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (3 x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - 5 - (\frac{3}{2} \cdot 9 - 15)$

= $\frac{3}{2} - 5 - (\frac{27}{2} - 15)$

= $\frac{3}{2} - \frac{10}{2} - (\frac{27}{2} - \frac{30}{2})$

= $- \frac{7}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{7}{2} + \frac{3}{2}$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \sin (x) - \frac{1}{2 x^{2}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- \sin (π) - \frac{1}{2 π^{2}})$

= $- (- 1) - \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 0 - \frac{1}{2 π^{2}})$

= $1 - \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (0 - \frac{1}{2 π^{2}})$

= $1 - \frac{2}{9 π^{2}} + \frac{1}{2 π^{2}}$

= $1 + \frac{5}{18 π^{2}}$

≈ 1,028

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(- 3 x + 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[\frac{1}{3 (- 3 x + 7)}]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3 (- 3 \cdot 7 + 7)} - \frac{1}{3 (- 3 \cdot 4 + 7)}$

= $\frac{1}{3 (- 21 + 7)} - \frac{1}{3 (- 12 + 7)}$

= $\frac{1}{3 (- 14)} - \frac{1}{3 (- 5)}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{14}) - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{5})$

= $- \frac{1}{42} + \frac{1}{15}$

= $- \frac{5}{210} + \frac{14}{210}$

= $\frac{3}{70}$

≈ 0,043

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 4) ⅆ x

= ${[\frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 4 x]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot (\frac{1}{2} π) - (\frac{7}{3} \cdot \cos (0) + 4 \cdot (0))$

= $\frac{7}{3} \cdot 0 + 4 \cdot (\frac{1}{2} π) - (\frac{7}{3} \cdot 1 + 0)$

= $0 + 4 \cdot (\frac{1}{2} π) - (\frac{7}{3} + 0)$

= $2 π - (\frac{7}{3} + 0)$

= $2 π - \frac{7}{3}$

≈ 3,95

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π - π) + \cos (0 - π)$

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (- π)$

= $- 0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel