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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 10 f(x) x .

Lösung einblenden

2 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I4 = 7 10 f(x) x : Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 4 + 3 2 = 3 ⋅ 3.5 = 10.5.

Somit gilt:

2 10 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 2 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 10 f(x) x = 6 +8 +10.5 = 24.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 2 ( -4 x 2 -4x ) x .

Lösung einblenden
-2 2 ( -4 x 2 -4x ) x

= [ - 4 3 x 3 -2 x 2 ] -2 2

= - 4 3 2 3 -2 2 2 - ( - 4 3 ( -2 ) 3 -2 ( -2 ) 2 )

= - 4 3 8 -24 - ( - 4 3 ( -8 ) -24 )

= - 32 3 -8 - ( 32 3 -8 )

= - 32 3 - 24 3 - ( 32 3 - 24 3 )

= - 56 3 -1 · 8 3

= - 56 3 - 8 3

= - 64 3


≈ -21,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( - 5 3 e 2x +4 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( - 5 3 e 2x +4 sin( x ) ) x

= [ - 5 6 e 2x -4 cos( x ) ] 0 π

= - 5 6 e 2π -4 cos( π ) - ( - 5 6 e 2( 0 ) -4 cos( 0 ) )

= - 5 6 e 2π -4( -1 ) - ( - 5 6 e 0 -41 )

= - 5 6 e 2π +4 - ( - 5 6 -4 )

= - 5 6 e 2π +4 - ( - 5 6 - 24 6 )

= - 5 6 e 2π +4 -1 · ( - 29 6 )

= - 5 6 e 2π +4 + 29 6

= - 5 6 e 2π + 53 6


≈ -437,41

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( - ( 2x -4 ) 2 -3 ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( - ( 2x -4 ) 2 -3 ) x

= [ - 1 6 ( 2x -4 ) 3 -3x ] 0 1

= - 1 6 ( 21 -4 ) 3 -31 - ( - 1 6 ( 20 -4 ) 3 -30 )

= - 1 6 ( 2 -4 ) 3 -3 - ( - 1 6 ( 0 -4 ) 3 +0)

= - 1 6 ( -2 ) 3 -3 - ( - 1 6 ( -4 ) 3 +0)

= - 1 6 ( -8 ) -3 - ( - 1 6 ( -64 ) +0)

= 4 3 -3 - ( 32 3 +0)

= 4 3 - 9 3 - ( 32 3 +0)

= - 5 3 - 32 3

= - 37 3


≈ -12,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( -2 sin( x ) - 9 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( -2 sin( x ) - 9 2 cos( x ) ) x

= [ 2 cos( x ) - 9 2 sin( x ) ] 0 1 2 π

= 2 cos( 1 2 π ) - 9 2 sin( 1 2 π ) - ( 2 cos( 0 ) - 9 2 sin( 0 ) )

= 20 - 9 2 1 - ( 21 - 9 2 0 )

= 0 - 9 2 - ( 2 +0)

= 0 - 9 2 -2

= - 9 2 -2

= - 9 2 - 4 2

= - 13 2


= -6,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π 3 sin( -3x - 3 2 π) x .

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1 2 π 3 2 π 3 sin( -3x - 3 2 π) x

= [ cos( -3x - 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= cos( -3( 3 2 π ) - 3 2 π) - cos( -3( 1 2 π ) - 3 2 π)

= cos(-6π) - cos(-3π)

= 1 - ( -1 )

= 1 +1

= 2