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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 9 - 9)$

= $2 - 6 - (\frac{9}{2} - 9)$

= $- 4 - (\frac{9}{2} - \frac{18}{2})$

= $- 4 - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- 4 + \frac{9}{2}$

= $- \frac{8}{2} + \frac{9}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (\frac{5}{3 x^{2}} + \frac{7}{2} x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (\frac{5}{3 x^{2}} + \frac{7}{2} x^{4}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (\frac{5}{3} x^{- 2} + \frac{7}{2} x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{- 1} + \frac{7}{10} x^{5}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{5}{3 x} + \frac{7}{10} x^{5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{3 \cdot 4} + \frac{7}{10} \cdot 4^{5} - (- \frac{5}{3} + \frac{7}{10} \cdot 1^{5})$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{7}{10} \cdot 1024 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{7}{10} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{12} + \frac{3584}{5} - (- \frac{5}{3} + \frac{7}{10})$

= $- \frac{25}{60} + \frac{43008}{60} - (- \frac{50}{30} + \frac{21}{30})$

= $\frac{42983}{60} - 1 \cdot (- \frac{29}{30})$

= $\frac{42983}{60} + \frac{29}{30}$

= $\frac{42983}{60} + \frac{58}{60}$

= $\frac{14347}{20}$

= 717,35

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{\frac{19}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 4 \cdot 0 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} + 0 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π + π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel