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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +8 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (2 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (2 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - (- \frac{16}{3} + 6)$

= $\frac{4}{6} + \frac{9}{6} - (- \frac{16}{3} + \frac{18}{3})$

= $\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{13}{6} - \frac{2}{3}$

= $\frac{13}{6} - \frac{4}{6}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{4}{3} e^{0} + 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} + 2 \cdot 0 - (\frac{4}{3} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} + 0 - (\frac{4}{3} + 2)$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} - (\frac{4}{3} + \frac{6}{3})$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $\frac{4}{3} e^{\frac{1}{2} π} - \frac{10}{3}$

≈ 3,081

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $\frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{4} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{4} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{15} x^{5} - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{15} \cdot {(0)}^{5} - 3 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{15} \cdot 0 - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 3 - (0 + 0)$

= $3 - \frac{81}{40} \cdot π^{5} + 0$

= $3 - \frac{81}{40} \cdot π^{5}$

≈ -616,69

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 {(x - 1)}^{2} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 {(x - 1)}^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{3} + 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- {(2 - 1)}^{3} + 3 \cdot 2^{2} - (- {(0 - 1)}^{3} + 3 \cdot 0^{2})$

= $- 1^{3} + 3 \cdot 4 - (- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- 1 + 12 - (- (- 1) + 0)$

= $- 1 + 12 - (1 + 0)$

= $11 - 1$

= $10$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel