Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 2 +4 +5 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $- 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (- 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 64 + \frac{1}{2} \cdot 16 - (- 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 64 + 8 - (0 + 0)$

= $- 56 + 0$

= $- 56$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (2 \sqrt[4]{x} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (2 \sqrt[4]{x} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (2 x^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{8}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{9}$

= ${[\frac{8}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{9}$

$=$ $\frac{8}{5} {(\sqrt[4]{9})}^{5} - \frac{1}{4} \cdot \sin (9) - (\frac{8}{5} {(\sqrt[4]{0})}^{5} - \frac{1}{4} \cdot \sin (0))$

= $\frac{8}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{4} \cdot \sin (9) - (\frac{8}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $\frac{8}{5} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot \sin (9) - (\frac{8}{5} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{8}{5} - \frac{1}{4} \cdot \sin (9) - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot \sin (9) + \frac{8}{5} + 0$

= $- \frac{1}{4} \cdot \sin (9) + \frac{8}{5}$

≈ 24,839

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\sin (\frac{7}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 - (- 1)$

= $- 1 + 1$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{5}{2} \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} + 0 - (0 + 2)$

= $\frac{5}{2} + 0 - 2$

= $\frac{5}{2} - 2$

= $\frac{5}{2} - \frac{4}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{- 3 + 2} - 3 e^{- 2 + 2}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{0}$

= $3 e^{- 1} - 3$

≈ -1,896

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel