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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- {(- 2)}^{2} - (- 2) - (- {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $- 4 + 2 - (- 9 + 3)$

= $- 4 + 2 - 1 \cdot (- 9) - 1 \cdot 3$

= $- 4 + 2 + 9 - 3$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) + x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) - \frac{1}{3 π^{3}} - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{1}{3 π^{3}} - (- 2 \cdot 1 - \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $0 - \frac{1}{3 π^{3}} - (- 2 - \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- \frac{1}{3 π^{3}} - (- 2 - \frac{8}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- \frac{8}{3 π^{3}}) - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $2 + \frac{8}{3 π^{3}} - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $2 + \frac{7}{3 π^{3}}$

≈ 2,075

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (3 \cdot \cos (0) - 4 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot (- 1) - 4 \cdot 0 - (3 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $- 3 + 0 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} 3 \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} 3 \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} 3 {(- 3 x + 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 3 x + 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 6}^{- \frac{2}{3}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 x + 7})}^{3}]}_{- 6}^{- \frac{2}{3}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{2}{3}) + 7})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 6) + 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{2 + 7})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{18 + 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{2}{3} \cdot 125$

= $- 18 + \frac{250}{3}$

= $- \frac{54}{3} + \frac{250}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel