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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -8 -6 +4.5 = -9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 0^{3} + 0 - (- {(- 3)}^{3} - 3)$

= $- 0 + 0 - (- (- 27) - 3)$

= $0 + 0 - (27 - 3)$

= $0 - 1 \cdot 24$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{8}{3} x^{2} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{8}{3} x^{2} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{9} x^{3} - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{9} \cdot π^{3} - 2 \cdot \sin (π) - (- \frac{8}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{8}{9} \cdot π^{3} - 2 \cdot 0 - (- \frac{8}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{8}{9} \cdot π^{3} + 0 - (- \frac{8}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2)$

= $- \frac{8}{9} \cdot π^{3} - (- 2 - \frac{1}{9} \cdot π^{3})$

= $- 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- \frac{1}{9} \cdot π^{3}) - \frac{8}{9} \cdot π^{3}$

= $2 + \frac{1}{9} \cdot π^{3} - \frac{8}{9} \cdot π^{3}$

= $2 - \frac{7}{9} \cdot π^{3}$

≈ -22,116

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - \frac{8}{3} \cdot 0 - (- 0 - \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 - \frac{8}{3})$

= $1 - (0 - \frac{8}{3})$

= $1 + \frac{8}{3}$

= $\frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{11}{3}$

≈ 3,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (2 {(x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (2 {(x - 2)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{3} + 6 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(3 - 2)}^{3} + 6 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} + 6 \cdot 2)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 18 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 12)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 + 18 - (\frac{2}{3} \cdot 0 + 12)$

= $\frac{2}{3} + 18 - (0 + 12)$

= $\frac{2}{3} + \frac{54}{3} - 12$

= $\frac{56}{3} - 12$

= $\frac{56}{3} - \frac{36}{3}$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel