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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 -1.5 -3 = -0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 5)$

= $0 + 0 - (- \frac{5}{3} - 5)$

= $0 - (- \frac{5}{3} - \frac{15}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} e^{x} - \frac{2}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} e^{x} - \frac{2}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (\frac{2}{3} e^{x} - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{x} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{2}{3} e^{x} - \frac{4}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{2}{3} e^{4} - \frac{4}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3} - (\frac{2}{3} e^{4} - \frac{4}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{4}{9} \cdot 27 - (\frac{2}{3} e^{4} - \frac{4}{9} \cdot 8)$

= $\frac{2}{3} e^{9} - 12 - (\frac{2}{3} e^{4} - \frac{32}{9})$

= $\frac{2}{3} e^{9} - 12 - \frac{2}{3} e^{4} - 1 \cdot (- \frac{32}{9})$

= $\frac{2}{3} e^{9} - 12 - \frac{2}{3} e^{4} + \frac{32}{9}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{4} - 12 + \frac{32}{9}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{4} - \frac{76}{9}$

≈ 5357,213

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (2 π) + \sin (π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 4} + e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $- e^{4 - 4} + e^{0 - 4}$

= $- e^{0} + e^{- 4}$

= $- 1 + e^{- 4}$

≈ -0,982

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel