Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{4 +2}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +4 +8 +6 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (3 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - 5 - (\frac{3}{2} \cdot 4 + 10)$

= $\frac{3}{2} - 5 - (6 + 10)$

= $\frac{3}{2} - \frac{10}{2} - 1 \cdot 16$

= $- \frac{7}{2} - 16$

= $- \frac{7}{2} - \frac{32}{2}$

= $- \frac{39}{2}$

= -19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} x^{5} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} x^{5} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{18} x^{6} - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{18} \cdot π^{6} - 3 \cdot \sin (π) - (\frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{18} \cdot π^{6} - 3 \cdot 0 - (\frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{18} \cdot π^{6} + 0 - (\frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 3)$

= $\frac{1}{18} \cdot π^{6} - (- 3 + \frac{1}{1152} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot (- 3) - 1 \cdot \frac{1}{1152} \cdot π^{6} + \frac{1}{18} \cdot π^{6}$

= $3 - \frac{1}{1152} \cdot π^{6} + \frac{1}{18} \cdot π^{6}$

= $3 + \frac{7}{128} \cdot π^{6}$

≈ 55,576

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (- x + π) ⅆ x

= ${[\cos (- x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (- (\frac{1}{2} π) + π) - \cos (- (0) + π)$

= $\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 3 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (π) - 9 \cdot \cos (π) - (- 3 \cdot \sin (0) - 9 \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot 0 - 9 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 - 9 \cdot 1)$

= $0 + 9 - (0 - 9)$

= $9 + 9$

= $18$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 7)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 7)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 7)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(0 + 7)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{3} \cdot 7^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 343$

= $- \frac{64}{3} + \frac{343}{3}$

= $93$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel