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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 -4 -5 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (4 x + 2) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{4} (4 x + 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - (2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $2 \cdot 16 + 8 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $32 + 8 - (0 + 0)$

= $40 + 0$

= $40$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{2} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{2} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 4 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0)$

= $- \frac{9}{4} \cdot π^{3} + \frac{1}{12} \cdot π^{3}$

= $- \frac{27}{12} \cdot π^{3} + \frac{1}{12} \cdot π^{3}$

= $- \frac{13}{6} \cdot π^{3}$

≈ -67,18

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 x^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 x^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} - \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{3} + \frac{1}{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot π^{3} + \frac{1}{6} \cdot π^{3}$

= $\frac{1}{2} - \frac{7}{6} \cdot π^{3}$

≈ -35,674

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \cos (3 \cdot (0) - π)$

= $\cos (\frac{7}{2} π) - \cos (- π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel