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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -6 +4 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 2 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{16}{3} - 2)$

= $\frac{4}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{16}{3} - \frac{6}{3})$

= $\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $\frac{1}{6} - \frac{10}{3}$

= $\frac{1}{6} - \frac{20}{6}$

= $- \frac{19}{6}$

≈ -3,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{x^{2}} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{x^{2}} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 x^{- 2} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 x^{- 1} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{4}{x} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{4}{π} + 4 \cdot \cos (π) - (\frac{4}{\frac{1}{2} π} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{4}{π} + 4 \cdot (- 1) - (\frac{4}{\frac{1}{2} π} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{4}{π} - 4 - (\frac{4}{\frac{1}{2} π} + 0)$

= $- 4 + \frac{4}{π} - \frac{8}{π}$

= $- 4 - \frac{4}{π}$

≈ -5,273

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot π + π) - \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\cos (- π) - \cos (0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $5 \cdot 1 - 3 \cdot 0 - (5 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $5 + 0 - (0 - 3)$

= $5 + 3$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 7} + e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $- e^{- 9 + 7} + e^{0 + 7}$

= $- e^{- 2} + e^{7}$

≈ 1096,498

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel