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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 10 f(x) x .

Lösung einblenden

3 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 1 2 = 2 2 = 1.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I4 = 7 10 f(x) x : Trapezfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 1 + 2 2 = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

3 10 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 3 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 10 f(x) x = 1 +2 +4.5 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 ( 4 x 2 +1 ) x .

Lösung einblenden
1 2 ( 4 x 2 +1 ) x

= [ 4 3 x 3 + x ] 1 2

= 4 3 2 3 +2 - ( 4 3 1 3 +1 )

= 4 3 8 +2 - ( 4 3 1 +1 )

= 32 3 +2 - ( 4 3 +1 )

= 32 3 + 6 3 - ( 4 3 + 3 3 )

= 38 3 -1 · 7 3

= 38 3 - 7 3

= 31 3


≈ 10,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 3 2 cos( x ) - 5 3 e -3x ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 3 2 cos( x ) - 5 3 e -3x ) x

= [ 3 2 sin( x ) + 5 9 e -3x ] 1 2 π π

= 3 2 sin( π ) + 5 9 e -3π - ( 3 2 sin( 1 2 π ) + 5 9 e -3( 1 2 π ) )

= 3 2 0 + 5 9 e -3π - ( 3 2 1 + 5 9 e -3( 1 2 π ) )

= 0 + 5 9 e -3π - ( 3 2 + 5 9 e -3( 1 2 π ) )

= 5 9 e -3π - ( 5 9 e - 3 2 π + 3 2 )

= 5 9 e -3π - 5 9 e - 3 2 π -1 · 3 2

= 5 9 e -3π - 5 9 e - 3 2 π - 3 2

= - 5 9 e - 3 2 π + 5 9 e -3π - 3 2


≈ -1,505

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 7 21 2 -2 2x -5 x .

Lösung einblenden
7 21 2 -2 2x -5 x
= 7 21 2 -2 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ - 2 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 7 21 2

= [ - 2 3 ( 2x -5 ) 3 ] 7 21 2

= - 2 3 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3 + 2 3 ( 27 -5 ) 3

= - 2 3 ( 21 -5 ) 3 + 2 3 ( 14 -5 ) 3

= - 2 3 ( 16 ) 3 + 2 3 ( 9 ) 3

= - 2 3 4 3 + 2 3 3 3

= - 2 3 64 + 2 3 27

= - 128 3 +18

= - 128 3 + 54 3

= - 74 3


≈ -24,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 9 cos( x ) - 7 2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 9 cos( x ) - 7 2 sin( x ) ) x

= [ 9 sin( x ) + 7 2 cos( x ) ] 1 2 π π

= 9 sin( π ) + 7 2 cos( π ) - ( 9 sin( 1 2 π ) + 7 2 cos( 1 2 π ) )

= 90 + 7 2 ( -1 ) - ( 91 + 7 2 0 )

= 0 - 7 2 - ( 9 +0)

= 0 - 7 2 -9

= - 7 2 -9

= - 7 2 - 18 2

= - 25 2


= -12,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 3 e x -2 x .

Lösung einblenden
2 4 3 e x -2 x

= [ 3 e x -2 ] 2 4

= 3 e 4 -2 -3 e 2 -2

= 3 e 2 -3 e 0

= 3 e 2 -3


≈ 19,167