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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +1.5 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 2 \cdot 2 - (- 0^{3} + 2 \cdot 0)$

= $- 8 + 4 - (- 0 + 0)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (- 8 \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (- 8 \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (- 8 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{- 1}]}_{1}^{16}$

= ${[- \frac{16}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{2}{x}]}_{1}^{16}$

$=$ $- \frac{16}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{16} - (- \frac{16}{3} {(\sqrt{1})}^{3} - \frac{2}{1})$

= $- \frac{16}{3} \cdot 4^{3} - 2 \cdot (\frac{1}{16}) - (- \frac{16}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{16}{3} \cdot 64 - \frac{1}{8} - (- \frac{16}{3} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{1024}{3} - \frac{1}{8} - (- \frac{16}{3} - 2)$

= $- \frac{8192}{24} - \frac{3}{24} - (- \frac{16}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{8195}{24} - 1 \cdot (- \frac{22}{3})$

= $- \frac{8195}{24} + \frac{22}{3}$

= $- \frac{8195}{24} + \frac{176}{24}$

= $- \frac{8195}{24} + \frac{22}{3}$

= $- \frac{8195}{24} + \frac{176}{24}$

= $- \frac{2673}{8}$

= -334,125

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} {(- 3 x + 5)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} {(- 3 x + 5)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 5 + 5)}^{4} + \frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot {(- 15 + 5)}^{4} + \frac{1}{12} \cdot {(- 6 + 5)}^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot {(- 10)}^{4} + \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{12} \cdot 10 000 + \frac{1}{12} \cdot 1$

= $- \frac{2500}{3} + \frac{1}{12}$

= $- \frac{10000}{12} + \frac{1}{12}$

= $- \frac{3333}{4}$

= -833,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 e^{x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 e^{x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $4 e^{π} + 2 \cdot \cos (π) - (4 e^{0} + 2 \cdot \cos (0))$

= $4 e^{π} + 2 \cdot (- 1) - (4 + 2 \cdot 1)$

= $4 e^{π} - 2 - (4 + 2)$

= $4 e^{π} - 2 - 1 \cdot 6$

= $4 e^{π} - 2 - 6$

= $4 e^{π} - 8$

≈ 84,563

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (3 x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π) + \cos (3 \cdot (0) - π)$

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (- π)$

= $- 0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel