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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4 +4.5 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 25 + 20 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 4)$

= $- \frac{25}{2} + 20 - (- \frac{1}{2} + 4)$

= $- \frac{25}{2} + \frac{40}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{8}{2})$

= $\frac{15}{2} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $\frac{15}{2} - \frac{7}{2}$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 2 x]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (π) - 2 \cdot π - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{9}{4} \cdot (- 1) - 2 \cdot π - (- \frac{9}{4} \cdot 0 - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{4} - 2 \cdot π - (0 - 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{4} - 2 \cdot π + π$

= $\frac{9}{4} + π - 2 π$

= $\frac{9}{4} - π$

≈ -0,892

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{3}{2 x^{4}} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{3}{2 x^{4}} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{3}{2} x^{- 4} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 3} + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{2 x^{3}} + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 π)}^{3}} + 3 \cdot \cos (2 π) - (\frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2 {(2 π)}^{3}} + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2 {(2 π)}^{3}} + 3 - (\frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 0)$

= $3 + \frac{1}{16 π^{3}} - \frac{4}{π^{3}}$

= $3 - \frac{63}{16 π^{3}}$

≈ 2,873

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{- 2 + 2} - 3 e^{- 0 + 2}$

= $3 e^{0} - 3 e^{2}$

= $3 - 3 e^{2}$

≈ -19,167

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel