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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ ( - 3 ) 2 = -9 2 = -4.5.

I3 = 6 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

I4 = 8 10 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (10 - 8) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = -9 -4.5 +2 +4 = -7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( -5x -4 ) x .

Lösung einblenden
-2 1 ( -5x -4 ) x

= [ - 5 2 x 2 -4x ] -2 1

= - 5 2 1 2 -41 - ( - 5 2 ( -2 ) 2 -4( -2 ) )

= - 5 2 1 -4 - ( - 5 2 4 +8 )

= - 5 2 -4 - ( -10 +8 )

= - 5 2 - 8 2 -1 · ( -2 )

= - 13 2 +2

= - 13 2 + 4 2

= - 9 2


= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral π 3 2 π ( 2 x 2 + 5 2 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
π 3 2 π ( 2 x 2 + 5 2 cos( x ) ) x
= π 3 2 π ( 2 x -2 + 5 2 cos( x ) ) x

= [ -2 x -1 + 5 2 sin( x ) ] π 3 2 π

= [ - 2 x + 5 2 sin( x ) ] π 3 2 π

= - 2 3 2 π + 5 2 sin( 3 2 π ) - ( - 2 π + 5 2 sin( π ) )

= - 2 3 2 π + 5 2 ( -1 ) - ( - 2 π + 5 2 0 )

= - 2 3 2 π - 5 2 - ( - 2 π +0)

= - 5 2 - 4 3 π + 2 π

= - 5 2 + 2 3 π


≈ -2,288

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 4 7 2 ( 2x -5 ) 2 x .

Lösung einblenden
4 7 2 ( 2x -5 ) 2 x
= 4 7 2 ( 2x -5 ) -2 x

= [ - ( 2x -5 ) -1 ] 4 7

= [ - 1 2x -5 ] 4 7

= - 1 27 -5 + 1 24 -5

= - 1 14 -5 + 1 8 -5

= - 1 9 + 1 3

= -( 1 9 ) + 1 3

= - 1 9 + 3 9

= 2 9


≈ 0,222

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π ( -3 cos( x ) - 1 4 e -3x ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π ( -3 cos( x ) - 1 4 e -3x ) x

= [ -3 sin( x ) + 1 12 e -3x ] 0 3 2 π

= -3 sin( 3 2 π ) + 1 12 e -3( 3 2 π ) - ( -3 sin( 0 ) + 1 12 e -3( 0 ) )

= -3( -1 ) + 1 12 e -3( 3 2 π ) - ( -30 + 1 12 e 0 )

= 3 + 1 12 e -3( 3 2 π ) - (0 + 1 12 )

= 1 12 e -3( 3 2 π ) +3 - (0 + 1 12 )

= 1 12 e -3( 3 2 π ) +3 - 1 12

= 1 12 e - 9 2 π + 35 12


≈ 2,917

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 2 ( -3x +3 ) 2 x .

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0 2 ( -3x +3 ) 2 x

= [ - 1 9 ( -3x +3 ) 3 ] 0 2

= - 1 9 ( -32 +3 ) 3 + 1 9 ( -30 +3 ) 3

= - 1 9 ( -6 +3 ) 3 + 1 9 ( 0 +3 ) 3

= - 1 9 ( -3 ) 3 + 1 9 3 3

= - 1 9 ( -27 ) + 1 9 27

= 3 +3

= 6