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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-1 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -3 -4 = -8.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 2 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 2 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 - 9 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 - 1)$

= $- 18 - 9 - (- \frac{2}{3} - 1)$

= $- 27 - (- \frac{2}{3} - \frac{3}{3})$

= $- 27 - 1 \cdot (- \frac{5}{3})$

= $- 27 + \frac{5}{3}$

= $- \frac{81}{3} + \frac{5}{3}$

= $- \frac{76}{3}$

≈ -25,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 2 e^{4 - 1} + 2 e^{2 - 1}$

= $- 2 e^{3} + 2 e$

≈ -34,735

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (- \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- 0 + 4 \cdot (- 1) - (- 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} - \sqrt{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} - \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} - {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 + \frac{1}{3} \cdot 27$

= $- \frac{125}{3} + 9$

= $- \frac{125}{3} + \frac{27}{3}$

= $- \frac{98}{3}$

≈ -32,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel