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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 2)$

= $\frac{1}{2} - 1 - (2 - 2)$

= $\frac{1}{2} - \frac{2}{2} - 1 \cdot 0$

= $- \frac{1}{2} + 0$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (\frac{5}{x^{3}} + 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (\frac{5}{x^{3}} + 2 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (5 x^{- 3} + 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 4^{4} - (- \frac{5}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{4})$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{1}{2} \cdot 256 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{5}{32} + 128 - (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{32} + \frac{4096}{32} - 1 \cdot (- 2)$

= $\frac{4091}{32} + 2$

= $\frac{4091}{32} + \frac{64}{32}$

= $\frac{4155}{32}$

≈ 129,844

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 8 + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 4} + \frac{1}{2} e^{2}$

≈ 3,685

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $- (- 1) + 2 \cdot 0 - (- 0 + 2 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 + 2)$

= $1 - 2$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 2} - 2 e^{- 1 + 2}$

= $2 e^{- 1} - 2 e$

≈ -4,701

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel