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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 3 x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 5 - (- \frac{3}{2} \cdot 4 - 10)$

= $- \frac{3}{2} + 5 - (- 6 - 10)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{10}{2} - 1 \cdot (- 16)$

= $\frac{7}{2} + 16$

= $\frac{7}{2} + \frac{32}{2}$

= $\frac{39}{2}$

= 19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{2 x^{2}} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{2 x^{2}} - \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{2} x^{- 2} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} x^{- 1} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{9}{2 x} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2 \cdot \frac{3}{2} π} + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{9}{2 \cdot \frac{1}{2} π} + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{2 \cdot \frac{3}{2} π} + 0 - (\frac{9}{2 \cdot \frac{1}{2} π} + 0)$

= $\frac{3}{π} - \frac{9}{π}$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) - π) - 3 \cdot \sin (- (0) - π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{5}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{1}{\sqrt{x}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{1}{\sqrt{x}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (\frac{1}{2} x^{- 4} + x^{- \frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{- 3} + 2 x^{\frac{1}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[- \frac{1}{6 x^{3}} + 2 \sqrt{x}]}_{1}^{9}$

$=$ $- \frac{1}{6 \cdot 9^{3}} + 2 \sqrt{9} - (- \frac{1}{6 \cdot 1^{3}} + 2 \sqrt{1})$

= $- \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{729}) + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{4374} + 6 - (- \frac{1}{6} + 2)$

= $- \frac{1}{4374} + \frac{26244}{4374} - (- \frac{1}{6} + \frac{12}{6})$

= $\frac{26243}{4374} - 1 \cdot \frac{11}{6}$

= $\frac{26243}{4374} - \frac{11}{6}$

= $\frac{26243}{4374} - \frac{8019}{4374}$

= $\frac{9112}{2187}$

≈ 4,166

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 4 + 2} - e^{- 1 + 2}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel