Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-4)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -2 -4 -9 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 5^{3} + 5 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 125 + 5 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{625}{3} + 5 - (- \frac{5}{3} + 1)$

= $- \frac{625}{3} + \frac{15}{3} - (- \frac{5}{3} + \frac{3}{3})$

= $- \frac{610}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{610}{3} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{608}{3}$

≈ -202,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (3 x^{5} + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (3 x^{5} + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (3 x^{5} + 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{6} - x^{- 2}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{1}{2} x^{6} - \frac{1}{x^{2}}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 5^{6} - \frac{1}{5^{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{6} - \frac{1}{1^{2}})$

= $\frac{1}{2} \cdot 15625 - (\frac{1}{25}) - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{15625}{2} - \frac{1}{25} - (\frac{1}{2} - 1)$

= $\frac{390625}{50} - \frac{2}{50} - (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

= $\frac{390623}{50} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{390623}{50} + \frac{1}{2}$

= $\frac{390623}{50} + \frac{25}{50}$

= $\frac{195324}{25}$

= 7812,96

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π + π) + 3 \cdot \sin (0 + π)$

= $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (π)$

= $- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{7}{3} \cdot \cos (π) - \sin (π) - (\frac{7}{3} \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $\frac{7}{3} \cdot (- 1) - 0 - (\frac{7}{3} \cdot 1 - 0)$

= $- \frac{7}{3} + 0 - (\frac{7}{3} + 0)$

= $- \frac{7}{3} - \frac{7}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e + \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 26,051

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel