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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x - 2) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 2 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{2} - 2 \cdot 0 - (- {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- 1 + 2)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 2$

= $1 - 2$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 e^{- 3 x} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 e^{- 3 x} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- e^{- 3 \cdot (0)} - \frac{4}{3} \cdot \cos (0))$

= $- e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - \frac{4}{3} \cdot 0 - (- e^{0} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $- e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- 1 - \frac{4}{3})$

= $- e^{- \frac{9}{2} π} - (- \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

= $- e^{- \frac{9}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{7}{3})$

= $- e^{- \frac{9}{2} π} + \frac{7}{3}$

≈ 2,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - 3 {(- 3 x + 7)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{3 {(- 3 x + 7)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 6 + 7)}^{3}} + \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 18 + 7)}^{3}} + \frac{1}{3 {(- 9 + 7)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 11)}^{3}} + \frac{1}{3 {(- 2)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{1331}) + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{8})$

= $\frac{1}{3993} - \frac{1}{24}$

= $\frac{8}{31944} - \frac{1331}{31944}$

= $- \frac{441}{10648}$

≈ -0,041

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \sin (x) - 5 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \sin (x) - 5 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- 9 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} e^{- 3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 9 \cdot 0 + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 9 \cdot 0 + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{5}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{5}{3} e^{- \frac{9}{2} π} - \frac{5}{3} e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -0,015

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[2 {(- x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{2}{- x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{- 3 + 1} - \frac{2}{- 2 + 1}$

= $\frac{2}{(- 2)} - \frac{2}{(- 1)}$

= $2 \cdot (- \frac{1}{2}) - 2 \cdot (- 1)$

= $- 1 + 2$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel