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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 9 +3 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 0)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{5}{3} + 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2 x^{3}} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2 x^{3}} + \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} x^{- 3} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} x^{- 2} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{7}{4 x^{2}} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{4 π^{2}} + \sin (π) - (\frac{7}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{4 π^{2}} + 0 - (\frac{7}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 1)$

= $\frac{7}{4 π^{2}} - (1 + \frac{7}{π^{2}})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{7}{π^{2}} + \frac{7}{4 π^{2}}$

= $- 1 - \frac{7}{π^{2}} + \frac{7}{4 π^{2}}$

= $- 1 - \frac{21}{4 π^{2}}$

≈ -1,532

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} ({(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} ({(x - 1)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} - 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(4 - 1)}^{3} - 3 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(1 - 1)}^{3} - 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 3)$

= $9 - 12 - (0 - 3)$

= $- 3 + 3$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- 3 e^{4 - 3} + 3 e^{1 - 3}$

= $- 3 e + 3 e^{- 2}$

≈ -7,749

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel