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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{5}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{5}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{64}{3} + 40 - (0 + 0)$

= $\frac{64}{3} + \frac{120}{3} + 0$

= $\frac{184}{3}$

≈ 61,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 x^{4} + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 x^{4} + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0 - (- \frac{3}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{729}{160} \cdot π^{5} - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{729}{160} \cdot π^{5} + \frac{1}{4}$

≈ -1394,052

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 3 + 3} + e^{- 2 \cdot 2 + 3}$

= $- e^{- 6 + 3} + e^{- 4 + 3}$

= $- e^{- 3} + e^{- 1}$

≈ 0,318

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (- 1) - (4 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{3} - (0 + \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{5}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel