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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + 2 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 6)$

= $- \frac{2}{3} + 2 - (18 - 6)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3} - 1 \cdot 12$

= $\frac{4}{3} - 12$

= $\frac{4}{3} - \frac{36}{3}$

= $- \frac{32}{3}$

≈ -10,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 1) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + x]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) + π - (5 \cdot \cos (0) + 0)$

= $5 \cdot (- 1) + π - (5 \cdot 1 + 0)$

= $- 5 + π - (5 + 0)$

= $- 5 + π - 5$

= $- 5 - 5 + π$

= $- 10 + π$

≈ -6,858

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 9 + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 6} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{- 6} - \frac{2}{3}$

≈ -0,665

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \cos (x) - \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \cos (x) - \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \cos (x) - x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \sin (x) + \frac{1}{2 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \sin (2 π) + \frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - (- \sin (π) + \frac{1}{2 π^{2}})$

= $- 0 + \frac{1}{2 {(2 π)}^{2}} - (- 0 + \frac{1}{2 π^{2}})$

= $\frac{1}{8 π^{2}} - \frac{1}{2 π^{2}}$

= $- \frac{3}{8 π^{2}}$

≈ -0,038

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (2 π) - 2 \cdot \cos (π)$

= $2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)$

= $2 + 2$

= $4$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel