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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 + 6 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{27}{2} + 6 - (- \frac{3}{2} + 2)$

= $- \frac{27}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{3}{2} + \frac{4}{2})$

= $- \frac{15}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{15}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot \sin (π) + 2 e^{π} - (\frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{4} \cdot 0 + 2 e^{π} - (\frac{1}{4} \cdot 1 + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 + 2 e^{π} - (\frac{1}{4} + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $2 e^{π} - (2 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{1}{4})$

= $2 e^{π} - 2 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot \frac{1}{4}$

= $2 e^{π} - 2 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{1}{4}$

≈ 36,41

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (π) + 3 \cdot \sin (0)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (0) + 4 \cdot \sin (0))$

= $4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 2 {(x - 3)}^{3} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 2 {(x - 3)}^{3} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} - 2 x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4} - 2 \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot {(1 - 3)}^{4} - 2 \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 - 8 - (- \frac{1}{2} \cdot 16 - 2)$

= $- \frac{1}{2} - 8 - (- 8 - 2)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{16}{2} - 1 \cdot (- 10)$

= $- \frac{17}{2} + 10$

= $- \frac{17}{2} + \frac{20}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel