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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -1 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (2 x - 5) ⅆ x

= ${[x^{2} - 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $1^{2} - 5 \cdot 1 - ({(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $1 - 5 - (1 + 5)$

= $1 - 5 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 5$

= $1 - 5 - 1 - 5$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x^{3} - \frac{1}{2} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x^{3} - \frac{1}{2} e^{- x}) ⅆ x

= ${[x^{4} + \frac{1}{2} e^{- x}]}_{-3}^{-2}$

$=$ ${(- 2)}^{4} + \frac{1}{2} e^{- (- 2)} - ({(- 3)}^{4} + \frac{1}{2} e^{- (- 3)})$

= $16 + \frac{1}{2} e^{2} - (81 + \frac{1}{2} e^{3})$

= $16 + \frac{1}{2} e^{2} - 1 \cdot 81 - \frac{1}{2} e^{3}$

= $16 + \frac{1}{2} e^{2} - 81 - \frac{1}{2} e^{3}$

= $- \frac{1}{2} e^{3} + \frac{1}{2} e^{2} + 16 - 81$

= $- \frac{1}{2} e^{3} + \frac{1}{2} e^{2} - 65$

≈ -71,348

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{12} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{12 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $2 \cdot \sin (2 π) + \frac{1}{12 {(2 π)}^{3}} - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $2 \cdot 0 + \frac{1}{12 {(2 π)}^{3}} - (2 \cdot 1 + \frac{1}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $0 + \frac{1}{12 {(2 π)}^{3}} - (2 + \frac{1}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $\frac{1}{96 π^{3}} - (2 + \frac{2}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot 2 - 1 \cdot \frac{2}{3 π^{3}} + \frac{1}{96 π^{3}}$

= $- 2 - \frac{2}{3 π^{3}} + \frac{1}{96 π^{3}}$

= $- 2 - \frac{21}{32 π^{3}}$

≈ -2,021

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- π - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel