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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +6 +12 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} + 2 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{4}{2} + 0$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} \cdot (- 1) + 0 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{5}{3} + 0 - (- \frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 4} - \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 4,914

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} + 0 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel