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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{1 +4}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 1 +2 +5 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 3 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 - 3 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 27) + 9)$

= $- \frac{4}{3} - 3 - (36 + 9)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{9}{3} - 1 \cdot 45$

= $- \frac{13}{3} - 45$

= $- \frac{13}{3} - \frac{135}{3}$

= $- \frac{148}{3}$

≈ -49,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x^{2} - e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + e^{- x}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + e^{- (- 1)} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + e^{- (- 2)})$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) + e - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + e^{2})$

= $- \frac{1}{3} + e - (- \frac{8}{3} + e^{2})$

= $- \frac{1}{3} + e - (e^{2} - \frac{8}{3})$

= $- e^{2} - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) - \frac{1}{3} + e$

= $- e^{2} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} + e$

= $- e^{2} + \frac{7}{3} + e$

≈ -2,337

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $- \frac{2}{3} e^{6 - 7} + \frac{2}{3} e^{0 - 7}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 1} + \frac{2}{3} e^{- 7}$

≈ -0,245

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \sqrt{x} - 5 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \sqrt{x} - 5 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{5}{6} x^{6}]}_{4}^{9}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{5}{6} x^{6}]}_{4}^{9}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{5}{6} \cdot 9^{6} - (- \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{5}{6} \cdot 4^{6})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{5}{6} \cdot 531 441 - (- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{5}{6} \cdot 4096)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{885735}{2} - (- \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{10240}{3})$

= $- 18 - \frac{885735}{2} - (- \frac{16}{3} - \frac{10240}{3})$

= $- \frac{36}{2} - \frac{885735}{2} - 1 \cdot (- \frac{10256}{3})$

= $- \frac{885771}{2} + \frac{10256}{3}$

= $- \frac{2657313}{6} + \frac{20512}{6}$

= $- \frac{2636801}{6}$

≈ -439466,833

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 5 - 2} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{10 - 2} + \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{8} + \frac{3}{2} e^{2}$

≈ -4460,353

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel