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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +2 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 1)$

= $2 + 2 - (\frac{1}{2} + 1)$

= $4 - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

= $4 - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $4 - \frac{3}{2}$

= $\frac{8}{2} - \frac{3}{2}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \sin (x) + x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \sin (π) + π^{4} - (- \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{9}{4} \cdot 0 + π^{4} - (- \frac{9}{4} \cdot 1 + {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $0 + π^{4} - (- \frac{9}{4} + {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $π^{4} - (- \frac{9}{4} + \frac{1}{16} \cdot π^{4})$

= $- 1 \cdot (- \frac{9}{4}) - 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot π^{4} + π^{4}$

= $\frac{9}{4} - \frac{1}{16} \cdot π^{4} + π^{4}$

= $\frac{9}{4} + \frac{15}{16} \cdot π^{4}$

≈ 93,571

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{- 1 + 2} - 2 e^{- 0 + 2}$

= $2 e - 2 e^{2}$

≈ -9,342

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (π) + 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{2} \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $\frac{3}{2} + 0 - (0 + 5)$

= $\frac{3}{2} + 0 - 5$

= $\frac{3}{2} - 5$

= $\frac{3}{2} - \frac{10}{2}$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (3 {(- x + 1)}^{2} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (3 {(- x + 1)}^{2} - 6 x) ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{3} - 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- {(- 2 + 1)}^{3} - 3 \cdot 2^{2} - (- {(- 0 + 1)}^{3} - 3 \cdot 0^{2})$

= $- {(- 1)}^{3} - 3 \cdot 4 - (- {(0 + 1)}^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- (- 1) - 12 - (- 1^{3} + 0)$

= $1 - 12 - (- 1 + 0)$

= $- 11 - (- 1 + 0)$

= $- 11 + 1$

= $- 10$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel