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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -1.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 1 - 4 - (- 2 \cdot 9 - 12)$

= $- 2 - 4 - (- 18 - 12)$

= $- 6 - 1 \cdot (- 30)$

= $- 6 + 30$

= $24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (\frac{7}{3 x^{4}} + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (\frac{7}{3 x^{4}} + 3 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (\frac{7}{3} x^{- 4} + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{9} x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{4}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{7}{9 x^{3}} + \frac{3}{4} x^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{7}{9 \cdot 4^{3}} + \frac{3}{4} \cdot 4^{4} - (- \frac{7}{9 \cdot 2^{3}} + \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

= $- \frac{7}{9} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{3}{4} \cdot 256 - (- \frac{7}{9} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{3}{4} \cdot 16)$

= $- \frac{7}{576} + 192 - (- \frac{7}{72} + 12)$

= $- \frac{7}{576} + \frac{110592}{576} - (- \frac{7}{72} + \frac{864}{72})$

= $\frac{110585}{576} - 1 \cdot \frac{857}{72}$

= $\frac{110585}{576} - \frac{857}{72}$

= $\frac{110585}{576} - \frac{6856}{576}$

= $\frac{103729}{576}$

≈ 180,085

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (0) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 4 π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (π) - \frac{5}{4} \cdot \sin (π) - (\frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{2} \cdot (- 1) - \frac{5}{4} \cdot 0 - (\frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{7}{2} + 0 - (0 - \frac{5}{4})$

= $- \frac{7}{2} + \frac{5}{4}$

= $- \frac{14}{4} + \frac{5}{4}$

= $- \frac{9}{4}$

= -2,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 8 + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 30,054

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel