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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 +6 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- 36 - \frac{9}{2} - (- \frac{4}{3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{72}{2} - \frac{9}{2} - (- \frac{8}{6} - \frac{3}{6})$

= $- \frac{81}{2} - 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $- \frac{81}{2} + \frac{11}{6}$

= $- \frac{243}{6} + \frac{11}{6}$

= $- \frac{116}{3}$

≈ -38,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{8}{3} \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (\frac{8}{3} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 3} - e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $e^{6 - 3} - e^{3 - 3}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{4} \cdot \sin (0) - \frac{5}{4} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot (- 1) - \frac{5}{4} \cdot 0 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} + 0 - (0 - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{4} + \frac{5}{4}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 {(- 3 x + 6)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 6)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 6)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 6)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 9 + 6)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 + 6)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot 6^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 27) - \frac{2}{9} \cdot 216$

= $- 6 - 48$

= $- 54$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel