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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -3 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) + 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot (- 1) + 8 \cdot 0 - (- 5 \cdot 1 + 8 \cdot 0)$

= $5 + 0 - (- 5 + 0)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 23}^{- 14} - \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 23}^{- 14} - \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 23}^{- 14} - {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 23}^{- 14}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 23}^{- 14}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 14) + 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{- (- 23) + 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{14 + 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{23 + 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 125$

= $\frac{128}{3} - \frac{250}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{9}{4} \cdot \sin (π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{9}{4} \cdot 0 - (4 \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 4 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 4 - \frac{9}{4}$

= $- \frac{16}{4} - \frac{9}{4}$

= $- \frac{25}{4}$

= -6,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{10}^{17} - \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{10}^{17} - \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{17} - {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{17}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{17}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 27$

= $- \frac{128}{3} + 18$

= $- \frac{128}{3} + \frac{54}{3}$

= $- \frac{74}{3}$

≈ -24,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel