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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 + 5 - (\frac{2}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{2}{3} + 5 - (0 + 0)$

= $\frac{2}{3} + \frac{15}{3} + 0$

= $\frac{17}{3}$

≈ 5,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{4} \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{4} \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} \cdot \cos (x) + e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + e^{\frac{3}{2} π} - (\frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{9}{4} \cdot 0 + e^{\frac{3}{2} π} - (\frac{9}{4} \cdot 0 + e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 + e^{\frac{3}{2} π} - (0 + e^{\frac{1}{2} π})$

= $e^{\frac{3}{2} π} - e^{\frac{1}{2} π}$

≈ 106,507

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{5 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$

≈ 21,064

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (7 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (7 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $7 \cdot \sin (π) + \frac{3}{4} \cdot \cos (π) - (7 \cdot \sin (0) + \frac{3}{4} \cdot \cos (0))$

= $7 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (7 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $0 - \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{4})$

= $- \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4 + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 0,477

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel