$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(3\; -\; 0)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 6 -3 -6 = -3

= ${\left[-x^3-5x\right]}_{-3}^0$

$=$ $-0^3-5\cdot 0-\left(-{\left(-3\right)}^3-5\cdot \left(-3\right)\right)$

= $-0+0-\left(-\left(-27\right)+15\right)$

= $0+0-\left(27+15\right)$

= $0-1·42$

= $-42$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{8}{3}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\frac{8}{3}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-\frac{8}{3}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\frac{8}{3}\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-\frac{8}{3}\cdot 1\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}-\frac{8}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{9}{2}\pi }+\frac{8}{3}+\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }-1·\left(-\frac{8}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{9}{2}\pi }+\frac{8}{3}+\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{8}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{9}{2}\pi }+\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{9}{2}\pi }+\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{16}{3}$

= ${\left[\cos (-3x-\pi )\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\cos (-3\cdot \pi -\pi )-\cos (-3\cdot \left(0\right)-\pi )$

= $\cos \left(-4\pi \right)-\cos (-\pi )$

= $1-\left(-1\right)$

= $1+1$

= $2$

= ${\left[-\frac{3}{2}{x}^{-2}+\frac{1}{6}{x}^3\right]}_2^4$

= ${\left[-\frac{3}{2x^2}+\frac{1}{6}{x}^3\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{3}{2\cdot 4^2}+\frac{1}{6}\cdot 4^3-\left(-\frac{3}{2\cdot 2^2}+\frac{1}{6}\cdot 2^3\right)$

= $-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{6}\cdot 64-\left(-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{6}\cdot 8\right)$

= $-\frac{3}{32}+\frac{32}{3}-\left(-\frac{3}{8}+\frac{4}{3}\right)$

= $-\frac{9}{96}+\frac{1024}{96}-\left(-\frac{9}{24}+\frac{32}{24}\right)$

= $\frac{1015}{96}-1·\frac{23}{24}$

= $\frac{1015}{96}-\frac{23}{24}$

= $\frac{1015}{96}-\frac{92}{96}$

= $\frac{923}{96}$

= ${\left[e^{-3x+7}\right]}_1^4$

$=$ $e^{-3\cdot 4+7}-e^{-3\cdot 1+7}$

= $e^{-12+7}-e^{-3+7}$

= $e^{-5}-e^4$