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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +6 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{2} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 2 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2)$

= $- 2 \cdot 4 + 2 - (- 2 \cdot 4 - 2)$

= $- 8 + 2 - (- 8 - 2)$

= $- 6 - 1 \cdot (- 10)$

= $- 6 + 10$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) + 5 \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (0) + 5 \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $0 - 5 - (0 + 5)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} - \frac{1}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} - \frac{1}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

\int_{4}^{7} - {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{- x + 3}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{- 7 + 3} + \frac{1}{- 4 + 3}$

= $- \frac{1}{(- 4)} + \frac{1}{(- 1)}$

= $- (- \frac{1}{4}) + (- 1)$

= $\frac{1}{4} - 1$

= $\frac{1}{4} - \frac{4}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

= -0,75

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) - 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (2 \cdot \cos (0) - 7 \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot 0 - 7 \cdot 1 - (2 \cdot 1 - 7 \cdot 0)$

= $0 - 7 - (2 + 0)$

= $- 7 - 2$

= $- 9$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

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\int_{2}^{4} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 3 e^{4 - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e^{2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{2} + 3$

≈ -19,167