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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 +4 +8 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} + 0 - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 3)$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 9 - 3)$

= $0 + 0 - (- 18 - 3)$

= $0 - 1 \cdot (- 21)$

= $21$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} x^{4}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- \frac{243}{64} \cdot π^{5} + \frac{1}{64} \cdot π^{5}$

= $- \frac{121}{32} \cdot π^{5}$

≈ -1157,137

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (- (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (- π) + 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1)$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{3}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $0 + 2 - (0 - 2)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{- 4 + 2} - 2 e^{- 2 + 2}$

= $2 e^{- 2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{- 2} - 2$

≈ -1,729

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel