Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{1 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +2 +4 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 1 + 3 - (- 2 \cdot 4 + 6)$

= $- 2 + 3 - (- 8 + 6)$

= $1 - 1 \cdot (- 2)$

= $1 + 2$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 9 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 9 e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 9 e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (π) - 9 e^{π} - (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 9 e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - 9 e^{π} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 9 e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 - 9 e^{π} - (\frac{1}{3} - 9 e^{\frac{1}{2} π})$

= $- 9 e^{π} - (- 9 e^{\frac{1}{2} π} + \frac{1}{3})$

= $- 9 e^{π} + 9 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot \frac{1}{3}$

= $- 9 e^{π} + 9 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{1}{3}$

≈ -165,305

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 15}^{- 8} 3 \sqrt{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 15}^{- 8} 3 \sqrt{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{- 15}^{- 8} 3 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(- x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 15}^{- 8}$

= ${[- 2 {(\sqrt{- x + 1})}^{3}]}_{- 15}^{- 8}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{- (- 8) + 1})}^{3} + 2 {(\sqrt{- (- 15) + 1})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{8 + 1})}^{3} + 2 {(\sqrt{15 + 1})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{9})}^{3} + 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 2 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 4^{3}$

= $- 2 \cdot 27 + 2 \cdot 64$

= $- 54 + 128$

= $74$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 + \frac{5}{3} \cdot (- 1) - (- 1 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{5}{3} - (- 1 + 0)$

= $0 - \frac{5}{3} + 1$

= $- \frac{5}{3} + 1$

= $- \frac{5}{3} + \frac{3}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 4} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 15 + 4} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 11} + \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ 0,09

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel