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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +8 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 5)$

= $9 - 15 - (\frac{1}{3} - 5)$

= $- 6 - (\frac{1}{3} - \frac{15}{3})$

= $- 6 - 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $- 6 + \frac{14}{3}$

= $- \frac{18}{3} + \frac{14}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- x^{5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{6} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot π^{6} - \frac{4}{3} - (- \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot π^{6} + \frac{1}{384} \cdot π^{6}$

= $- \frac{4}{3} - \frac{21}{128} \cdot π^{6}$

≈ -159,061

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - \frac{1}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - \frac{1}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} - {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2 {(4 - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{18} - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{18} - \frac{9}{18}$

= $- \frac{4}{9}$

≈ -0,444

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 x^{4} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 x^{4} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[x^{5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $π^{5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $π^{5} + \frac{4}{3} \cdot (- 1) - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $π^{5} - \frac{4}{3} - ({(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $- \frac{4}{3} + π^{5} - \frac{1}{32} \cdot π^{5}$

= $- \frac{4}{3} + \frac{31}{32} \cdot π^{5}$

≈ 295,123

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 4} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{10 - 4} + \frac{1}{2} e^{4 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{6} + \frac{1}{2} e^{0}$

= $- \frac{1}{2} e^{6} + \frac{1}{2}$

≈ -201,214

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel