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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +3 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - 5 - (\frac{1}{2} \cdot 9 - 15)$

= $\frac{1}{2} - 5 - (\frac{9}{2} - 15)$

= $\frac{1}{2} - \frac{10}{2} - (\frac{9}{2} - \frac{30}{2})$

= $- \frac{9}{2} - 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{21}{2}$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (0) - \frac{5}{2} \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 0 - (2 \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{- 5 + 1} - 2 e^{- 2 + 1}$

= $2 e^{- 4} - 2 e^{- 1}$

≈ -0,699

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - 1 - (5 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (5 + 0)$

= $- 1 - 5$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 8) - \frac{1}{6} \cdot 0$

= $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel