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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 -6 -12 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{0}^{1}$

$=$ $1^{2} - 2 \cdot 1 - (0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $1 - 2 - (0 + 0)$

= $1 - 2$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 - 1 - (- 0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 3} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 15 + 3} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 12} + \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 0,033

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3 x^{3}} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3 x^{3}} - \cos (x)) ⅆ x

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3} x^{- 3} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{- 2} - \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{6 x^{2}} - \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{6 {(2 π)}^{2}} - \sin (2 π) - (\frac{1}{6 π^{2}} - \sin (π))$

= $\frac{1}{6 {(2 π)}^{2}} - 0 - (\frac{1}{6 π^{2}} - 0)$

= $\frac{1}{24 π^{2}} - \frac{1}{6 π^{2}}$

= $- \frac{1}{8 π^{2}}$

≈ -0,013

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $e^{4 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{0} - e^{- 4}$

= $1 - e^{- 4}$

≈ 0,982