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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 + 9 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 9 - (0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{18}{2} + 0$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - 3 \cdot 0 - (- 0 - 3 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 - 3)$

= $1 + 3$

= $4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 6} - e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $e^{3 - 6} - e^{0 - 6}$

= $e^{- 3} - e^{- 6}$

≈ 0,047

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 + 2 \cdot (- 1) - (- 0 + 2 \cdot 1)$

= $0 - 2 - (0 + 2)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- x + 1)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(- 1 + 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0$

= $- \frac{1}{4} + 0$

= $- \frac{1}{4}$

= -0,25

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel