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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 2 ) 2 = -4 2 = -2.

I3 = 4 6 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I4 = 6 8 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I5 = 8 10 f(x) x : Trapezfläche I5 = (10 - 8) ⋅ 4 + 5 2 = 2 ⋅ 4.5 = 9.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 0 2 f(x) x + 2 4 f(x) x + 4 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = -4 -2 +4 +8 +9 = 15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( 4x +2 ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( 4x +2 ) x

= [ 2 x 2 +2x ] 1 4

= 2 4 2 +24 - ( 2 1 2 +21 )

= 216 +8 - ( 21 +2 )

= 32 +8 - ( 2 +2 )

= 40 -1 · 4

= 40 -4

= 36

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 4 e -x + sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 4 e -x + sin( x ) ) x

= [ -4 e -x - cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= -4 e -( 3 2 π ) - cos( 3 2 π ) - ( -4 e -( 1 2 π ) - cos( 1 2 π ) )

= -4 e -( 3 2 π ) - 0 - ( -4 e -( 1 2 π ) - 0 )

= -4 e - 3 2 π +4 e - 1 2 π

= 4 e - 1 2 π -4 e - 3 2 π


≈ 0,796

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 ( ( x -1 ) 2 -3 ) x .

Lösung einblenden
2 3 ( ( x -1 ) 2 -3 ) x

= [ 1 3 ( x -1 ) 3 -3x ] 2 3

= 1 3 ( 3 -1 ) 3 -33 - ( 1 3 ( 2 -1 ) 3 -32 )

= 1 3 2 3 -9 - ( 1 3 1 3 -6 )

= 1 3 8 -9 - ( 1 3 1 -6 )

= 8 3 -9 - ( 1 3 -6 )

= 8 3 - 27 3 - ( 1 3 - 18 3 )

= - 19 3 -1 · ( - 17 3 )

= - 19 3 + 17 3

= - 2 3


≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( 7 cos( x ) + sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( 7 cos( x ) + sin( x ) ) x

= [ 7 sin( x ) - cos( x ) ] 0 1 2 π

= 7 sin( 1 2 π ) - cos( 1 2 π ) - ( 7 sin( 0 ) - cos( 0 ) )

= 71 - 0 - ( 70 - 1 )

= 7 +0 - (0 -1 )

= 7 +1

= 8

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 2 e 3x -7 x .

Lösung einblenden
2 3 2 e 3x -7 x

= [ 2 3 e 3x -7 ] 2 3

= 2 3 e 33 -7 - 2 3 e 32 -7

= 2 3 e 9 -7 - 2 3 e 6 -7

= 2 3 e 2 - 2 3 e -1


≈ 4,681