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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +1 +3 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3)$

= $- 24 + 12 - (- \frac{3}{2} + 3)$

= $- 12 - (- \frac{3}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 12 - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $- 12 - \frac{3}{2}$

= $- \frac{24}{2} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{27}{2}$

= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (π) - \cos (π) - (- \frac{8}{3} \cdot \sin (0) - \cos (0))$

= $- \frac{8}{3} \cdot 0 - (- 1) - (- \frac{8}{3} \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 3} + e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $- e^{4 - 3} + e^{0 - 3}$

= $- e + e^{- 3}$

≈ -2,668

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (0) - \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $0 + \frac{8}{3} - (0 - \frac{8}{3})$

= $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \sin (- 2 \cdot (0) + π)$

= $- \sin (0) + \sin (π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel