Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-2)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -3 -6 -7.5 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{0}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $2 \cdot 4 + 8 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $8 + 8 - (0 + 0)$

= $16 + 0$

= $16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{3}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\cos (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $0 - \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (0 - \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $0 + \frac{8}{3} - (0 - \frac{8}{3})$

= $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 {(2 x - 2)}^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 {(2 x - 2)}^{2} - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{3} - 4 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} - 4 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 1 - 2)}^{3} - 4 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2)}^{3} - 12 - (- \frac{1}{2} \cdot {(2 - 2)}^{3} - 4)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4^{3} - 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{3} - 4)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 - 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 4)$

= $- 32 - 12 - (0 - 4)$

= $- 44 + 4$

= $- 40$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[6 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{8}{3 \cdot \frac{3}{2} π} - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{8}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $6 \cdot (- 1) + \frac{8}{3 \cdot \frac{3}{2} π} - (6 \cdot 1 + \frac{8}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $- 6 + \frac{8}{3 \cdot \frac{3}{2} π} - (6 + \frac{8}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $- 6 + \frac{16}{9 π} - (6 + \frac{16}{3 π})$

= $- 6 + \frac{16}{9 π} - 1 \cdot 6 - 1 \cdot \frac{16}{3 π}$

= $- 6 + \frac{16}{9 π} - 6 - \frac{16}{3 π}$

= $- 6 - 6 + \frac{16}{9 π} - \frac{16}{3 π}$

= $- 12 - \frac{32}{9 π}$

≈ -13,132

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{25})}^{3} + 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 2 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 4^{3}$

= $- 2 \cdot 125 + 2 \cdot 64$

= $- 250 + 128$

= $- 122$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel