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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -1.5 = 5.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $1 - \frac{5}{2} \cdot 1 - (0 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $1 - \frac{5}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{2}{2} - \frac{5}{2} + 0$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 7 \cdot \sin (x) - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 7 \cdot \sin (x) - 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) - 6 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $7 \cdot 0 - 6 \cdot (- 1) - (7 \cdot 0 - 6 \cdot 1)$

= $0 + 6 - (0 - 6)$

= $6 + 6$

= $12$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π + \frac{3}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (\frac{5}{2} π) + \sin (2 π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (\frac{2}{3} \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (\frac{2}{3} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 6} - \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3}$

≈ 12,724

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel