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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -9 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 4 + 10)$

= $0 + 0 - (- 2 + 10)$

= $0 - 1 \cdot 8$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (8 \cdot \cos (x) - 8 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (8 \cdot \cos (x) - 8 x^{5}) ⅆ x

= ${[8 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $8 \cdot \sin (π) - \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (8 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $8 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (8 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 - \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (8 - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (8 - \frac{1}{48} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot 8 - 1 \cdot (- \frac{1}{48} \cdot π^{6}) - \frac{4}{3} \cdot π^{6}$

= $- 8 + \frac{1}{48} \cdot π^{6} - \frac{4}{3} \cdot π^{6}$

= $- 8 - \frac{21}{16} \cdot π^{6}$

≈ -1269,823

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- {(2 x - 3)}^{3} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- {(2 x - 3)}^{3} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} {(2 x - 3)}^{4} + 2 x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 5 - 3)}^{4} + 2 \cdot 5 - (- \frac{1}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{4} + 2 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{8} \cdot {(10 - 3)}^{4} + 10 - (- \frac{1}{8} \cdot {(4 - 3)}^{4} + 4)$

= $- \frac{1}{8} \cdot 7^{4} + 10 - (- \frac{1}{8} \cdot 1^{4} + 4)$

= $- \frac{1}{8} \cdot 2 401 + 10 - (- \frac{1}{8} \cdot 1 + 4)$

= $- \frac{2401}{8} + 10 - (- \frac{1}{8} + 4)$

= $- \frac{2401}{8} + \frac{80}{8} - (- \frac{1}{8} + \frac{32}{8})$

= $- \frac{2321}{8} - 1 \cdot \frac{31}{8}$

= $- \frac{2321}{8} - \frac{31}{8}$

= $- 294$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (π) + \cos (π) - (\frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{4} \cdot 0 - 1 - (\frac{9}{4} \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (\frac{9}{4} + 0)$

= $- 1 - (\frac{9}{4} + 0)$

= $- 1 - \frac{9}{4}$

= $- \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

= $- \frac{13}{4}$

= -3,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 3} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{8 - 3} + \frac{1}{2} e^{4 - 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{5} + \frac{1}{2} e$

≈ -72,847

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel