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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-3 +(-1)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -6 -4 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (5 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 5)$

= $0 + 0 - (\frac{5}{2} + 5)$

= $0 - (\frac{5}{2} + \frac{10}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{15}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{3} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 x^{3} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} x^{4} + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{4} \cdot {(0)}^{4} + 4 \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 4 \cdot 0 - (\frac{5}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $\frac{5}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 0 - (0 + 4)$

= $\frac{405}{64} \cdot π^{4} - 4$

≈ 612,417

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (3 π) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{4 x^{4}} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{4 x^{4}} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{4} x^{- 4} - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{12} x^{- 3} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{7}{12 x^{3}} + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{12 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{7}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{12 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 4 \cdot 0 - (\frac{7}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{7}{12 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 0 - (\frac{7}{12 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 0)$

= $\frac{14}{81 π^{3}} - \frac{14}{3 π^{3}}$

= $\frac{14}{81 π^{3}} - \frac{378}{81 π^{3}}$

= $- \frac{364}{81 π^{3}}$

≈ -0,145

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 7)}^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 4 - 7)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(12 - 7)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 7)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot 5^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{4}$

= $\frac{1}{6} \cdot 625 - \frac{1}{6} \cdot 256$

= $\frac{625}{6} - \frac{128}{3}$

= $\frac{625}{6} - \frac{256}{6}$

= $\frac{123}{2}$

= 61,5

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel