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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 7 f(x) x .

Lösung einblenden

3 7 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 1 ) 2 = -2 2 = -1.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

3 7 f(x) x = I2 + I3 = 3 5 f(x) x + 5 7 f(x) x = -1 -2 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -3 -2 ( 5x -4 ) x .

Lösung einblenden
-3 -2 ( 5x -4 ) x

= [ 5 2 x 2 -4x ] -3 -2

= 5 2 ( -2 ) 2 -4( -2 ) - ( 5 2 ( -3 ) 2 -4( -3 ) )

= 5 2 4 +8 - ( 5 2 9 +12 )

= 10 +8 - ( 45 2 +12 )

= 18 - ( 45 2 + 24 2 )

= 18 -1 · 69 2

= 18 - 69 2

= 36 2 - 69 2

= - 33 2


= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( -4 x 5 +5 e -x ) x .

Lösung einblenden
-2 1 ( -4 x 5 +5 e -x ) x

= [ - 2 3 x 6 -5 e -x ] -2 1

= - 2 3 1 6 -5 e -1 - ( - 2 3 ( -2 ) 6 -5 e -( -2 ) )

= - 2 3 1 -5 e -1 - ( - 2 3 64 -5 e 2 )

= - 2 3 -5 e -1 - ( - 128 3 -5 e 2 )

= -5 e -1 - 2 3 - ( -5 e 2 - 128 3 )

= 5 e 2 -1 · ( - 128 3 ) -5 e -1 - 2 3

= 5 e 2 + 128 3 -5 e -1 - 2 3

= 5 e 2 -5 e -1 + 128 3 - 2 3

= 5 e 2 -5 e -1 +42


≈ 77,106

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 e -2x +2 x .

Lösung einblenden
0 1 2 e -2x +2 x

= [ - e -2x +2 ] 0 1

= - e -21 +2 + e -20 +2

= - e -2 +2 + e 0 +2

= - e 0 + e 2

= -1 + e 2


≈ 6,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 7 3 e -2x +2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 7 3 e -2x +2 sin( x ) ) x

= [ - 7 6 e -2x -2 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 7 6 e -2( 3 2 π ) -2 cos( 3 2 π ) - ( - 7 6 e -2( 1 2 π ) -2 cos( 1 2 π ) )

= - 7 6 e -2( 3 2 π ) -20 - ( - 7 6 e -2( 1 2 π ) -20 )

= - 7 6 e -2( 3 2 π ) +0 - ( - 7 6 e -2( 1 2 π ) +0)

= - 7 6 e -3π + 7 6 e -π


≈ 0,05

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 - e 3x -7 x .

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2 4 - e 3x -7 x

= [ - 1 3 e 3x -7 ] 2 4

= - 1 3 e 34 -7 + 1 3 e 32 -7

= - 1 3 e 12 -7 + 1 3 e 6 -7

= - 1 3 e 5 + 1 3 e -1


≈ -49,348