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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (2 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (2 x + 5) ⅆ x

= ${[x^{2} + 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $4^{2} + 5 \cdot 4 - (1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $16 + 20 - (1 + 5)$

= $16 + 20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 5$

= $16 + 20 - 1 - 5$

= $30$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- x^{5} + \frac{3}{4} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- x^{5} + \frac{3}{4} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{6} - \frac{1}{4} e^{- 3 x}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{4} e^{- 3 \cdot 3} - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{6} - \frac{1}{4} e^{- 3 \cdot 0})$

= $- \frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{4} e^{- 9} - (- \frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{4} e^{0})$

= $- \frac{243}{2} - \frac{1}{4} e^{- 9} - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} e^{- 9} - \frac{243}{2} - (0 - \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} e^{- 9} - \frac{243}{2} + \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{- 9} - \frac{485}{4}$

≈ -121,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (2 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (2 \cdot π - π) - \cos (2 \cdot (0) - π)$

= $\cos (π) - \cos (- π)$

= $- 1 - (- 1)$

= $- 1 + 1$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{3} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{3} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} x^{4} - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 2 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 0 - (0 - 2)$

= $\frac{1}{64} \cdot π^{4} + 2$

≈ 3,522

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 3)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 1 + 3)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $\frac{2}{3} - \frac{16}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667