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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -6 -8 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (4 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (4 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot (- 2))$

= $\frac{4}{3} \cdot 8 + 6 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) - 6)$

= $\frac{32}{3} + 6 - (- \frac{32}{3} - 6)$

= $\frac{32}{3} + \frac{18}{3} - (- \frac{32}{3} - \frac{18}{3})$

= $\frac{50}{3} - 1 \cdot (- \frac{50}{3})$

= $\frac{50}{3} + \frac{50}{3}$

= $\frac{100}{3}$

≈ 33,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{x} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 e^{x} - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 e^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 4 e^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot (- 1) - (- 4 e^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot 1)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 3 - (- 4 e^{\frac{1}{2} π} - 3)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 3 + 4 e^{\frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 3 + 4 e^{\frac{1}{2} π} + 3$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 4 e^{\frac{1}{2} π} + 3 + 3$

= $- 4 e^{\frac{3}{2} π} + 4 e^{\frac{1}{2} π} + 6$

≈ -420,029

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (3 e^{2 x} - 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (3 e^{2 x} - 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x} - \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{3}{2} e^{2 \cdot 0} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{3}{2} e^{0} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{2}{3} - (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{2}{3} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{13}{6}$

≈ 8,917

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{3 \cdot 1 - 6} + e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $- e^{3 - 6} + e^{0 - 6}$

= $- e^{- 3} + e^{- 6}$

≈ -0,047

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel