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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 = 4 6 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

I4 = 6 8 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I5 = 8 10 f(x) x : Trapezfläche I5 = (10 - 8) ⋅ -4 + ( - 5 ) 2 = 2 ⋅ ( - 4.5 ) = -9.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 0 2 f(x) x + 2 4 f(x) x + 4 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = 8 +4 -4 -8 -9 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 5 ( -2x -1 ) x .

Lösung einblenden
1 5 ( -2x -1 ) x

= [ - x 2 - x ] 1 5

= - 5 2 - 5 - ( - 1 2 - 1 )

= -25 -5 - ( -1 -1 )

= -25 -5 -1 · ( -1 ) -1 · ( -1 )

= -25 -5 +1 +1

= -28

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( - 7 4 cos( x ) -5 e 3x ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( - 7 4 cos( x ) -5 e 3x ) x

= [ - 7 4 sin( x ) - 5 3 e 3x ] 1 2 π 3 2 π

= - 7 4 sin( 3 2 π ) - 5 3 e 3( 3 2 π ) - ( - 7 4 sin( 1 2 π ) - 5 3 e 3( 1 2 π ) )

= - 7 4 ( -1 ) - 5 3 e 3( 3 2 π ) - ( - 7 4 1 - 5 3 e 3( 1 2 π ) )

= 7 4 - 5 3 e 3( 3 2 π ) - ( - 7 4 - 5 3 e 3( 1 2 π ) )

= - 5 3 e 3( 3 2 π ) + 7 4 - ( - 5 3 e 3 2 π - 7 4 )

= - 5 3 e 9 2 π + 7 4 + 5 3 e 3 2 π -1 · ( - 7 4 )

= - 5 3 e 9 2 π + 7 4 + 5 3 e 3 2 π + 7 4

= - 5 3 e 9 2 π + 5 3 e 3 2 π + 7 4 + 7 4

= - 5 3 e 9 2 π + 5 3 e 3 2 π + 7 2


≈ -2298828,813

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 -3 e -3x +6 x .

Lösung einblenden
2 4 -3 e -3x +6 x

= [ e -3x +6 ] 2 4

= e -34 +6 - e -32 +6

= e -12 +6 - e -6 +6

= e -6 - e 0

= e -6 -1


≈ -0,998

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( 1 2 sin( x ) -5 cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( 1 2 sin( x ) -5 cos( x ) ) x

= [ - 1 2 cos( x ) -5 sin( x ) ] 0 1 2 π

= - 1 2 cos( 1 2 π ) -5 sin( 1 2 π ) - ( - 1 2 cos( 0 ) -5 sin( 0 ) )

= - 1 2 0 -51 - ( - 1 2 1 -50 )

= 0 -5 - ( - 1 2 +0)

= -5 - ( - 1 2 +0)

= -5 + 1 2

= - 10 2 + 1 2

= - 9 2


= -4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π -2 sin( x + 1 2 π) x .

Lösung einblenden
1 2 π π -2 sin( x + 1 2 π) x

= [ 2 cos( x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 cos( π + 1 2 π) -2 cos( 1 2 π + 1 2 π)

= 2 cos( 3 2 π) -2 cos(π)

= 20 -2( -1 )

= 0 +2

= 2