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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +4.5 +6 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 1 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 - 1 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{3}{2} - 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{2}{2} + 0$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 7 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 7 x^{2}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{3} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - \frac{7}{3} \cdot π^{3} - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{7}{3} \cdot π^{3} - (2 \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 - \frac{7}{3} \cdot π^{3} - (0 - \frac{7}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 - \frac{7}{3} \cdot π^{3} + \frac{7}{24} \cdot π^{3}$

= $- 2 - \frac{49}{24} \cdot π^{3}$

≈ -65,304

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[{(x - 2)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ ${(4 - 2)}^{3} - {(2 - 2)}^{3}$

= $2^{3} - 0^{3}$

= $8 - 0$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} x^{3} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{4}{9} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{4} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4} \cdot 0 - (- \frac{4}{9} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0 - (0 + \frac{3}{4})$

= $- \frac{1}{18} \cdot π^{3} - (0 + \frac{3}{4})$

= $- \frac{1}{18} \cdot π^{3} - \frac{3}{4}$

≈ -2,473

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- \frac{5}{2} π) - \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel