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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 3 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 3 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 + 12 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{27}{2} + 12 - (0 + 0)$

= $- \frac{27}{2} + \frac{24}{2} + 0$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- 3 \sqrt{x} - \frac{1}{3 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- 3 \sqrt{x} - \frac{1}{3 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- 3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} x^{- 1}]}_{4}^{9}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{1}{3 x}]}_{4}^{9}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{1}{3 \cdot 9} - (- 2 {(\sqrt{4})}^{3} + \frac{1}{3 \cdot 4})$

= $- 2 \cdot 3^{3} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9}) - (- 2 \cdot 2^{3} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $- 2 \cdot 27 + \frac{1}{27} - (- 2 \cdot 8 + \frac{1}{12})$

= $- 54 + \frac{1}{27} - (- 16 + \frac{1}{12})$

= $- \frac{1458}{27} + \frac{1}{27} - (- \frac{192}{12} + \frac{1}{12})$

= $- \frac{1457}{27} - 1 \cdot (- \frac{191}{12})$

= $- \frac{1457}{27} + \frac{191}{12}$

= $- \frac{5828}{108} + \frac{1719}{108}$

= $- \frac{1457}{27} + \frac{191}{12}$

= $- \frac{5828}{108} + \frac{1719}{108}$

= $- \frac{4109}{108}$

≈ -38,046

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{- 4 + 3} - 3 e^{- 2 + 3}$

= $3 e^{- 1} - 3 e$

≈ -7,051

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) - 0 - (\frac{4}{3} \cdot 1 - 0)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - (\frac{4}{3} + 0)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- 2 π) - \sin (- π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel