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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 4 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 4 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 1) - 2 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $\frac{4}{3} - 2 - (\frac{32}{3} - 4)$

= $\frac{4}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{32}{3} - \frac{12}{3})$

= $- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{20}{3}$

= $- \frac{2}{3} - \frac{20}{3}$

= $- \frac{22}{3}$

≈ -7,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + \frac{8}{3} e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + \frac{8}{3} e^{x}) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{8}{3} e^{x}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + \frac{8}{3} e^{2} - (- 0^{3} + \frac{8}{3} e^{0})$

= $- 8 + \frac{8}{3} e^{2} - (- 0 + \frac{8}{3})$

= $- 8 + \frac{8}{3} e^{2} - \frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{2} - 8 - \frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{2} - \frac{32}{3}$

≈ 9,037

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} \frac{3}{{(2 x - 3)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(2 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(2 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(2 x - 3)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{3}{4 {(2 x - 3)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{4 {(2 \cdot 5 - 3)}^{2}} + \frac{3}{4 {(2 \cdot 3 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(10 - 3)}^{2}} + \frac{3}{4 {(6 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 \cdot 7^{2}} + \frac{3}{4 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{49}) + \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{3}{196} + \frac{1}{12}$

= $- \frac{9}{588} + \frac{49}{588}$

= $\frac{10}{147}$

≈ 0,068

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 x^{5} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 x^{5} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{6} - 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{6} - 9 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 9 \cdot 1 - (- \frac{5}{6} \cdot 0 - 9 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 9 - (0 + 0)$

= $- 9 - \frac{5}{384} \cdot π^{6} + 0$

= $- 9 - \frac{5}{384} \cdot π^{6}$

≈ -21,518

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- \frac{5}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 1 - (- 1)$

= $- 1 + 1$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel