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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -6 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 4)$

= $- \frac{5}{2} + 2 - (- 10 - 4)$

= $- \frac{5}{2} + \frac{4}{2} - 1 \cdot (- 14)$

= $- \frac{1}{2} + 14$

= $- \frac{1}{2} + \frac{28}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{2} e^{3 π} + \frac{1}{2} e^{π}$

≈ -6184,254

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (4 π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (9 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (9 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[9 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (9 \cdot \sin (0) - 4 \cdot \cos (0))$

= $9 \cdot 1 - 4 \cdot 0 - (9 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $9 + 0 - (0 - 4)$

= $9 + 4$

= $13$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 3)}^{3} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 3)}^{3} - x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 3)}^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 2 - 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(6 - 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 - 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot 3^{4} - 2 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot 81 - 2 - (\frac{1}{6} \cdot 81 + 0)$

= $\frac{27}{2} - 2 - (\frac{27}{2} + 0)$

= $\frac{27}{2} - \frac{4}{2} - (\frac{27}{2} + 0)$

= $\frac{23}{2} - \frac{27}{2}$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel