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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 10 f(x) x .

Lösung einblenden

0 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 3 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I2 = 3 6 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅ ( - 2 ) 2 = -6 2 = -3.

I3 = 6 8 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (8 - 6) ⋅ 1 2 = 2 2 = 1.

I4 = 8 10 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

0 10 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 3 f(x) x + 3 6 f(x) x + 6 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = -6 -3 +1 +2 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -3 1 ( x 2 - x ) x .

Lösung einblenden
-3 1 ( x 2 - x ) x

= [ 1 3 x 3 - 1 2 x 2 ] -3 1

= 1 3 1 3 - 1 2 1 2 - ( 1 3 ( -3 ) 3 - 1 2 ( -3 ) 2 )

= 1 3 1 - 1 2 1 - ( 1 3 ( -27 ) - 1 2 9 )

= 1 3 - 1 2 - ( -9 - 9 2 )

= 2 6 - 3 6 - ( - 18 2 - 9 2 )

= - 1 6 -1 · ( - 27 2 )

= - 1 6 + 27 2

= - 1 6 + 81 6

= 40 3


≈ 13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( -5 x 3 -7 x 3 ) x .

Lösung einblenden
0 1 ( -5 x 3 -7 x 3 ) x
= 0 1 ( -5 x 3 -7 x 1 3 ) x

= [ - 5 4 x 4 - 21 4 x 4 3 ] 0 1

= [ - 5 4 x 4 - 21 4 ( x 3 ) 4 ] 0 1

= - 5 4 1 4 - 21 4 ( 1 3 ) 4 - ( - 5 4 0 4 - 21 4 ( 0 3 ) 4 )

= - 5 4 1 - 21 4 1 4 - ( - 5 4 0 - 21 4 0 4 )

= - 5 4 - 21 4 1 - (0 - 21 4 0 )

= - 5 4 - 21 4 - (0+0)

= - 13 2 +0

= - 13 2


= -6,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 -2 e 3x -6 x .

Lösung einblenden
2 5 -2 e 3x -6 x

= [ - 2 3 e 3x -6 ] 2 5

= - 2 3 e 35 -6 + 2 3 e 32 -6

= - 2 3 e 15 -6 + 2 3 e 6 -6

= - 2 3 e 9 + 2 3 e 0

= - 2 3 e 9 + 2 3


≈ -5401,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( - 1 3 sin( x ) + cos( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( - 1 3 sin( x ) + cos( x ) ) x

= [ 1 3 cos( x ) + sin( x ) ] 0 π

= 1 3 cos( π ) + sin( π ) - ( 1 3 cos( 0 ) + sin( 0 ) )

= 1 3 ( -1 ) +0 - ( 1 3 1 +0)

= - 1 3 +0 - ( 1 3 +0)

= - 1 3 +0 - ( 1 3 +0)

= - 1 3 - 1 3

= - 2 3


≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π - cos( -2x + π) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π - cos( -2x + π) x

= [ 1 2 sin( -2x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 2 sin( -2( 3 2 π ) + π) - 1 2 sin( -2( 1 2 π ) + π)

= 1 2 sin(-2π) - 1 2 sin(0)

= 1 2 0 - 1 2 0

= 0+0

= 0