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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 +4.5 +6 = 8.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 1 + 5 - (2 \cdot 9 - 15)$

= $2 + 5 - (18 - 15)$

= $7 - 1 \cdot 3$

= $7 - 3$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2 x^{2}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 2 \cdot \sin (π) + \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- 2 \cdot 0 + \frac{3}{2 π^{2}})$

= $2 + \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (0 + \frac{3}{2 π^{2}})$

= $2 + \frac{2}{3 π^{2}} - \frac{3}{2 π^{2}}$

= $2 - \frac{5}{6 π^{2}}$

≈ 1,916

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{7}^{10} - 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x$ .

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\int_{7}^{10} - 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} - 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 5^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 125 + \frac{2}{3} \cdot 64$

= $- \frac{250}{3} + \frac{128}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{2}{3} - (- 4 + 0)$

= $0 + \frac{2}{3} + 4$

= $\frac{2}{3} + 4$

= $\frac{2}{3} + \frac{12}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- π + \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (0)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel