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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -8 -4 +1.5 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- 9 - \frac{9}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{18}{2} - \frac{9}{2} - (\frac{2}{6} - \frac{3}{6})$

= $- \frac{27}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{6})$

= $- \frac{27}{2} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{81}{6} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{40}{3}$

≈ -13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \cos (0) + \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 0 + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 1 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 1 + 0)$

= $\frac{243}{64} \cdot π^{4} + 1$

≈ 370,85

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{9}{4} \cdot \sin (π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{9}{4} \cdot 0 - (4 \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 4 - (0 + \frac{9}{4})$

= $- 4 - \frac{9}{4}$

= $- \frac{16}{4} - \frac{9}{4}$

= $- \frac{25}{4}$

= -6,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 {(2 x - 2)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 {(2 x - 2)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3} - 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 1 - 2)}^{3} - 3 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + 0)$

= $0 - 3 - (\frac{8}{3} + 0)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} + 0)$

= $- 3 - \frac{8}{3}$

= $- \frac{9}{3} - \frac{8}{3}$

= $- 3 - \frac{8}{3}$

= $- \frac{9}{3} - \frac{8}{3}$

= $- \frac{17}{3}$

≈ -5,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel