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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{3 +1}{2}$ = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +4.5 +6 +6 = 14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - (- {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2))$

= $- 1 - 3 - (- 4 - 6)$

= $- 1 - 3 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- 6)$

= $- 1 - 3 + 4 + 6$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + 3 x^{- 1}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{\frac{3}{2} π} - (- 2 \cdot \cos (π) + \frac{3}{π})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{3}{\frac{3}{2} π} - (- 2 \cdot (- 1) + \frac{3}{π})$

= $0 + \frac{3}{\frac{3}{2} π} - (2 + \frac{3}{π})$

= $\frac{2}{π} - (2 + \frac{3}{π})$

= $- 1 \cdot 2 - 1 \cdot \frac{3}{π} + \frac{2}{π}$

= $- 2 - \frac{3}{π} + \frac{2}{π}$

= $- 2 - \frac{1}{π}$

≈ -2,318

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (2 {(3 x - 4)}^{3} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (2 {(3 x - 4)}^{3} + 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 4)}^{4} + 3 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 4 - 4)}^{4} + 3 \cdot 4^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 1 - 4)}^{4} + 3 \cdot 1^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(12 - 4)}^{4} + 3 \cdot 16 - (\frac{1}{6} \cdot {(3 - 4)}^{4} + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 8^{4} + 48 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + 3)$

= $\frac{1}{6} \cdot 4 096 + 48 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 3)$

= $\frac{2048}{3} + 48 - (\frac{1}{6} + 3)$

= $\frac{2048}{3} + \frac{144}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{18}{6})$

= $\frac{2192}{3} - 1 \cdot \frac{19}{6}$

= $\frac{2192}{3} - \frac{19}{6}$

= $\frac{4384}{6} - \frac{19}{6}$

= $\frac{1455}{2}$

= 727,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) - 4 \cdot 0 - (2 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 - 4)$

= $- 2 + 4$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- 2 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $\frac{2}{3} + 0$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel