Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 3 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{3} \cdot 1 + 3 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $- \frac{5}{3} + 3 - (45 - 9)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{9}{3} - 1 \cdot 36$

= $\frac{4}{3} - 36$

= $\frac{4}{3} - \frac{108}{3}$

= $- \frac{104}{3}$

≈ -34,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - e^{- 3 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (π) - e^{- 3 \cdot π} - (- \frac{9}{2} \cdot \sin (0) - e^{- 3 \cdot (0)})$

= $- \frac{9}{2} \cdot 0 - e^{- 3 \cdot π} - (- \frac{9}{2} \cdot 0 - e^{0})$

= $0 - e^{- 3 \cdot π} - (0 - 1)$

= $- e^{- 3 π} + 1$

≈ 1

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{14}{3}}^{7} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{14}{3}}^{7} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{7} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{128}{9} - 6$

= $\frac{128}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 4 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 4 + 5} + e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- e^{- 8 + 5} + e^{- 4 + 5}$

= $- e^{- 3} + e$

≈ 2,668

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel