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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-1)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -6 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 9 + 9 - (- 0 + 0)$

= $- 9 + 9$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 \cdot \cos (x) + 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 \cdot \cos (x) + 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - 6 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) - 6 \cdot \cos (π) - (4 \cdot \sin (0) - 6 \cdot \cos (0))$

= $4 \cdot 0 - 6 \cdot (- 1) - (4 \cdot 0 - 6 \cdot 1)$

= $0 + 6 - (0 - 6)$

= $6 + 6$

= $12$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{- 3 + 3} - 2 e^{- 2 + 3}$

= $2 e^{0} - 2 e$

= $2 - 2 e$

≈ -3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 4) ⅆ x

= ${[\frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 4 x]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{3} \cdot \sin (π) + 4 \cdot π - (\frac{7}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{3} \cdot 0 + 4 \cdot π - (\frac{7}{3} \cdot 1 + 4 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $0 + 4 \cdot π - (\frac{7}{3} + 4 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $4 π - (\frac{7}{3} + 4 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 \cdot \frac{7}{3} - 1 \cdot 2 π + 4 π$

= $- \frac{7}{3} - 2 π + 4 π$

= $- \frac{7}{3} + 4 π - 2 π$

= $- \frac{7}{3} + 2 π$

≈ 3,95

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(x - 3)}^{3} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (2 {(x - 3)}^{3} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + 5 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(0 - 3)}^{4} + 5 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} + 10 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 10 - (\frac{1}{2} \cdot 81 + 0)$

= $\frac{1}{2} + 10 - (\frac{81}{2} + 0)$

= $\frac{1}{2} + \frac{20}{2} - (\frac{81}{2} + 0)$

= $\frac{21}{2} - \frac{81}{2}$

= $- 30$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel