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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 4 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + 6 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + 2)$

= $- 36 + 6 - (- \frac{4}{3} + 2)$

= $- 30 - (- \frac{4}{3} + \frac{6}{3})$

= $- 30 - 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $- 30 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{90}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{92}{3}$

≈ -30,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 3 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 3 x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (\frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $\frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (\frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (0 - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- \frac{729}{128} \cdot π^{6} + \frac{1}{128} \cdot π^{6}$

= $- \frac{91}{16} \cdot π^{6}$

≈ -5467,901

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 3} - e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $e^{- 12 + 3} - e^{- 6 + 3}$

= $e^{- 9} - e^{- 3}$

≈ -0,05

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- 2 \cdot \cos (0) - e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- 2 \cdot 0 - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- 2 \cdot 1 - e^{0})$

= $0 - e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (- 2 - 1)$

= $- e^{- π} - 1 \cdot (- 3)$

= $- e^{- π} + 3$

≈ 2,957

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (\frac{9}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel