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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +3 +9 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 4 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 4 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot (- 2) - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 5 \cdot (- 3))$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 8) - 10 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 27) - 15)$

= $\frac{32}{3} - 10 - (36 - 15)$

= $\frac{32}{3} - \frac{30}{3} - 1 \cdot 21$

= $\frac{2}{3} - 21$

= $\frac{2}{3} - \frac{63}{3}$

= $- \frac{61}{3}$

≈ -20,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{x^{4}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{x^{4}} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (9 x^{- 4} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 x^{- 3} - 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{3}{x^{3}} - 2 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{{(\frac{3}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{3}{π^{3}} - 2 \cdot \sin (π))$

= $- \frac{3}{{(\frac{3}{2} π)}^{3}} - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{3}{π^{3}} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{{(\frac{3}{2} π)}^{3}} + 2 - (- \frac{3}{π^{3}} + 0)$

= $2 - \frac{8}{9 π^{3}} + \frac{3}{π^{3}}$

= $2 + \frac{19}{9 π^{3}}$

≈ 2,068

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{5}{9} x^{- 3}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{5}{9 x^{3}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (2 π) - \frac{5}{9 {(2 π)}^{3}} - (- 4 \cdot \sin (π) - \frac{5}{9 π^{3}})$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{5}{9 {(2 π)}^{3}} - (- 4 \cdot 0 - \frac{5}{9 π^{3}})$

= $0 - \frac{5}{9 {(2 π)}^{3}} - (0 - \frac{5}{9 π^{3}})$

= $- \frac{5}{72 π^{3}} + \frac{5}{9 π^{3}}$

= $- \frac{5}{72 π^{3}} + \frac{40}{72 π^{3}}$

= $\frac{35}{72 π^{3}}$

≈ 0,016

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 2} + 3 e^{0 - 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{- 2}$

= $- 3 + 3 e^{- 2}$

≈ -2,594

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel