$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-4}}{2}$ = -2.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 4)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4 -2 +3 = -3

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^4$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{2}\cdot 4^2-\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 64-\frac{1}{2}\cdot 16-\left(\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1\right)$

= $\frac{256}{3}-8-\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{256}{3}-\frac{24}{3}-\left(\frac{8}{6}-\frac{3}{6}\right)$

= $\frac{232}{3}-1·\frac{5}{6}$

= $\frac{232}{3}-\frac{5}{6}$

= $\frac{464}{6}-\frac{5}{6}$

= $\frac{153}{2}$

= ${\left[\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(\frac{3}{4}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \left(-1\right)-4\cdot 0-\left(\frac{3}{4}\cdot 1-4\cdot 0\right)$

= $-\frac{3}{4}+0-\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $-\frac{3}{4}+0-\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$

= $-\frac{3}{2}$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x+2}\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 3+2}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 0+2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-6+2}+\frac{3}{2}{e}^{0+2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-4}+\frac{3}{2}{e}^2$

= ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+x^{\frac{3}{2}}\right]}_1^{16}$

= ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_1^{16}$

$=$ $\frac{5}{3}\cdot {16}^3+{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\left(\frac{5}{3}\cdot 1^3+{\left(\sqrt{1}\right)}^3\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot 4096+4^3-\left(\frac{5}{3}\cdot 1+1^3\right)$

= $\frac{20480}{3}+64-\left(\frac{5}{3}+1\right)$

= $\frac{20480}{3}+64-1·\frac{5}{3}-1·1$

= $\frac{20480}{3}+64-\frac{5}{3}-1$

= $\frac{20480}{3}+\frac{192}{3}-\frac{5}{3}-\frac{3}{3}$

= $6888$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{2x-5}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 4-5}+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-5}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{8-5}+\frac{3}{2}{e}^{4-5}$

= $-\frac{3}{2}{e}^3+\frac{3}{2}{e}^{-1}$