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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4.5 -6 = -10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - 2 \cdot 16 - (\frac{5}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{320}{3} - 32 - (0 + 0)$

= $\frac{320}{3} - \frac{96}{3} + 0$

= $\frac{224}{3}$

≈ 74,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot \sin (0) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot 0 - \frac{1}{2} e^{0})$

= $- 4 - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 - (0 - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 3 π} - \frac{7}{2}$

≈ -3,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 5 + 6} - e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $e^{- 15 + 6} - e^{- 6 + 6}$

= $e^{- 9} - e^{0}$

= $e^{- 9} - 1$

≈ -1

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 5 e^{π} + \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - (- 5 e^{0} + \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $- 5 e^{π} + \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (- 5 + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- 5 e^{π} - \frac{5}{2} - (- 5 + \frac{5}{2})$

= $- 5 e^{π} - \frac{5}{2} - (- \frac{10}{2} + \frac{5}{2})$

= $- 5 e^{π} - \frac{5}{2} - 1 \cdot (- \frac{5}{2})$

= $- 5 e^{π} - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

= $- 5 e^{π} + 0$

≈ -115,703

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 4} + e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $- e^{4 - 4} + e^{2 - 4}$

= $- e^{0} + e^{- 2}$

= $- 1 + e^{- 2}$

≈ -0,865

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel