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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +4 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 4 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 8)$

= $- \frac{1}{3} - 4 - (- \frac{8}{3} - 8)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{12}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- \frac{13}{3} - 1 \cdot (- \frac{32}{3})$

= $- \frac{13}{3} + \frac{32}{3}$

= $\frac{19}{3}$

≈ 6,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{3 x} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{3 x} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x} - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} - 4 \cdot \cos (π) - (- \frac{2}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} - 4 \cdot (- 1) - (- \frac{2}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 4 - (- \frac{2}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 4 + \frac{2}{3} e^{\frac{3}{2} π}$

= $- \frac{2}{3} e^{3 π} + \frac{2}{3} e^{\frac{3}{2} π} + 4$

≈ -8182,887

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \sin (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \sin (x - π) ⅆ x

= ${[\cos (x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{3}{2} π - π) - \cos (0 - π)$

= $\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (- π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[9 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $9 \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 0 - (9 \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- 9 + 0 - (9 + 0)$

= $- 9 - 9$

= $- 18$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{25})}^{3} + 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 2 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 4^{3}$

= $- 2 \cdot 125 + 2 \cdot 64$

= $- 250 + 128$

= $- 122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel