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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 4 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 4 x - 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} - 1 - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $- 2 \cdot 1 - 1 - (- 2 \cdot 9 + 3)$

= $- 2 - 1 - (- 18 + 3)$

= $- 3 - 1 \cdot (- 15)$

= $- 3 + 15$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 4 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 2 x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (2 π) + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{3} + \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{1}{2 π^{2}} - (- \frac{1}{3} + \frac{8}{π^{2}})$

= $- 1 \cdot (- \frac{1}{3}) - 1 \cdot \frac{8}{π^{2}} + \frac{1}{2 π^{2}}$

= $\frac{1}{3} - \frac{8}{π^{2}} + \frac{1}{2 π^{2}}$

= $\frac{1}{3} - \frac{15}{2 π^{2}}$

≈ -0,427

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\cos (- 2 π) - \cos (0)$

= $1 - 1$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 - (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 1)$

= $0 + 1 - (0 - 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 3}$

≈ 20,036

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel