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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -2 = 2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 2 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $\frac{2}{3} - 2 - (\frac{16}{3} - 4)$

= $\frac{2}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{16}{3} - \frac{12}{3})$

= $- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (x^{3} + \frac{8}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (x^{3} + \frac{8}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (x^{3} + \frac{8}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{16}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{16}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{9}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot 9^{4} + \frac{16}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} + \frac{16}{9} {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} \cdot 6561 + \frac{16}{9} \cdot 3^{3} - (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{16}{9} \cdot 1^{3})$

= $\frac{6561}{4} + \frac{16}{9} \cdot 27 - (\frac{1}{4} + \frac{16}{9} \cdot 1)$

= $\frac{6561}{4} + 48 - (\frac{1}{4} + \frac{16}{9})$

= $\frac{6561}{4} + \frac{192}{4} - (\frac{9}{36} + \frac{64}{36})$

= $\frac{6753}{4} - 1 \cdot \frac{73}{36}$

= $\frac{6753}{4} - \frac{73}{36}$

= $\frac{60777}{36} - \frac{73}{36}$

= $\frac{6753}{4} - \frac{73}{36}$

= $\frac{60777}{36} - \frac{73}{36}$

= $\frac{15176}{9}$

≈ 1686,222

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 1)}^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 3 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1 + 1)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0$

= $12 + 0$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 4 \cdot 0 - (1 + 4 \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 3} + 2 e^{1 - 3}$

= $- 2 e^{0} + 2 e^{- 2}$

= $- 2 + 2 e^{- 2}$

≈ -1,729

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel