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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 2 +6 +3 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 8 - (2 \cdot 9 + 12)$

= $8 + 8 - (18 + 12)$

= $16 - 1 \cdot 30$

= $16 - 30$

= $- 14$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- \frac{9}{4} x^{4} + 5 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- \frac{9}{4} x^{4} + 5 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{20} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{9}{20} \cdot 3^{5} + \frac{5}{4} \cdot 3^{4} - (- \frac{9}{20} \cdot 1^{5} + \frac{5}{4} \cdot 1^{4})$

= $- \frac{9}{20} \cdot 243 + \frac{5}{4} \cdot 81 - (- \frac{9}{20} \cdot 1 + \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{2187}{20} + \frac{405}{4} - (- \frac{9}{20} + \frac{5}{4})$

= $- \frac{2187}{20} + \frac{2025}{20} - (- \frac{9}{20} + \frac{25}{20})$

= $- \frac{81}{10} - 1 \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{81}{10} - \frac{4}{5}$

= $- \frac{81}{10} - \frac{8}{10}$

= $- \frac{89}{10}$

= -8,9

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 5 + 3} + e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $- e^{- 15 + 3} + e^{- 6 + 3}$

= $- e^{- 12} + e^{- 3}$

≈ 0,05

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{x^{3}} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{x^{3}} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- x^{- 3} - 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 2} - 8 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{1}{2 x^{2}} - 8 \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 8 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2 π^{2}} - 8 \cdot \sin (π))$

= $\frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 8 \cdot (- 1) - (\frac{1}{2 π^{2}} - 8 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} + 8 - (\frac{1}{2 π^{2}} + 0)$

= $8 + \frac{2}{9 π^{2}} - \frac{1}{2 π^{2}}$

= $8 - \frac{5}{18 π^{2}}$

≈ 7,972

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(9 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(3 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot (- 8)$

= $- \frac{64}{3} - \frac{8}{3}$

= $- 24$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel