Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -4.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 - 16 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $8 - 16 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $- 8 - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $- 8 - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- 8 + \frac{7}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{7}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - 5 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - 5 e^{- x}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + 5 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $6 \cdot \cos (π) + 5 e^{- π} - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $6 \cdot (- 1) + 5 e^{- π} - (6 \cdot 0 + 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 6 + 5 e^{- π} - (0 + 5 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $5 e^{- π} - 6 - 5 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ -6,823

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 4)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 4)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(0 + 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 64$

= $- \frac{1}{3} + \frac{64}{3}$

= $21$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (\frac{7}{4 \sqrt{x}} + 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (\frac{7}{4 \sqrt{x}} + 4 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (\frac{7}{4} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{6}]}_{4}^{9}$

= ${[\frac{7}{2} \sqrt{x} + \frac{2}{3} x^{6}]}_{4}^{9}$

$=$ $\frac{7}{2} \sqrt{9} + \frac{2}{3} \cdot 9^{6} - (\frac{7}{2} \sqrt{4} + \frac{2}{3} \cdot 4^{6})$

= $\frac{7}{2} \cdot 3 + \frac{2}{3} \cdot 531 441 - (\frac{7}{2} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 4096)$

= $\frac{21}{2} + 354 294 - (7 + \frac{8192}{3})$

= $\frac{21}{2} + \frac{708588}{2} - (\frac{21}{3} + \frac{8192}{3})$

= $\frac{708609}{2} - 1 \cdot \frac{8213}{3}$

= $\frac{708609}{2} - \frac{8213}{3}$

= $\frac{2125827}{6} - \frac{16426}{6}$

= $\frac{2109401}{6}$

≈ 351566,833

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (- π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel