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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 -1.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 4 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} + 0 - (- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 1)$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 1 - 1)$

= $0 + 0 - (- 2 - 1)$

= $0 - 1 \cdot (- 3)$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3} x^{4} + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{2}{3} x^{4} + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{5} + 6 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{15} \cdot {(0)}^{5} + 6 \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 6 \cdot (- 1) - (\frac{2}{15} \cdot 0 + 6 \cdot 0)$

= $\frac{2}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 6 - (0 + 0)$

= $- 6 + \frac{81}{80} \cdot π^{5} + 0$

= $- 6 + \frac{81}{80} \cdot π^{5}$

≈ 303,845

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \cos (- 2 π) - 2 \cdot \cos (- π)$

= $2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} x^{5} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{8}{3} x^{5} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} x^{6} - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 1) - (- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 1)$

= $- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 1 - (- \frac{4}{9} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 1)$

= $1 - \frac{81}{16} \cdot π^{6} - (- 1 - \frac{1}{144} \cdot π^{6})$

= $1 - \frac{81}{16} \cdot π^{6} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- \frac{1}{144} \cdot π^{6})$

= $1 - \frac{81}{16} \cdot π^{6} + 1 + \frac{1}{144} \cdot π^{6}$

= $1 + 1 - \frac{81}{16} \cdot π^{6} + \frac{1}{144} \cdot π^{6}$

= $2 - \frac{91}{18} \cdot π^{6}$

≈ -4858,356

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $- \frac{2}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel