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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -1.5 -2 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 9 + 9 - (- 0 + 0)$

= $- 9 + 9$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{3}} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{2}{x^{3}} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 2 x^{- 3} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[x^{- 2} - 4 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{1}{x^{2}} - 4 \cdot \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{1}{{(2 π)}^{2}} - 4 \cdot \cos (2 π) - (\frac{1}{π^{2}} - 4 \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{{(2 π)}^{2}} - 4 \cdot 1 - (\frac{1}{π^{2}} - 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{{(2 π)}^{2}} - 4 - (\frac{1}{π^{2}} + 4)$

= $- 4 + \frac{1}{4 π^{2}} - (4 + \frac{1}{π^{2}})$

= $- 4 + \frac{1}{4 π^{2}} - 1 \cdot 4 - 1 \cdot \frac{1}{π^{2}}$

= $- 4 + \frac{1}{4 π^{2}} - 4 - \frac{1}{π^{2}}$

= $- 4 - 4 + \frac{1}{4 π^{2}} - \frac{1}{π^{2}}$

= $- 8 - \frac{3}{4 π^{2}}$

≈ -8,076

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 4 + 3} - e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $e^{- 12 + 3} - e^{- 3 + 3}$

= $e^{- 9} - e^{0}$

= $e^{- 9} - 1$

≈ -1

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{9}{4} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - \frac{9}{4} e^{- π} - (- \frac{5}{4} \cdot \cos (0) - \frac{9}{4} e^{- (0)})$

= $- \frac{5}{4} \cdot (- 1) - \frac{9}{4} e^{- π} - (- \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{9}{4} e^{0})$

= $\frac{5}{4} - \frac{9}{4} e^{- π} - (- \frac{5}{4} - \frac{9}{4})$

= $- \frac{9}{4} e^{- π} + \frac{5}{4} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- \frac{9}{4} e^{- π} + \frac{5}{4} + \frac{7}{2}$

= $- \frac{9}{4} e^{- π} + \frac{19}{4}$

≈ 4,653

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2 e^{- 2 + 2} + 2 e^{- 0 + 2}$

= $- 2 e^{0} + 2 e^{2}$

= $- 2 + 2 e^{2}$

≈ 12,778

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel