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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 2 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{2} - 5 \cdot 0 - (- {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- 1 + 5)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 5$

= $1 - 5$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (3 x^{- 4} - 3 e^{x}) ⅆ x

= ${[- x^{- 3} - 3 e^{x}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{x^{3}} - 3 e^{x}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4^{3}} - 3 e^{4} - (- \frac{1}{1^{3}} - 3 e)$

= $- (\frac{1}{64}) - 3 e^{4} - (- 1 - 3 e)$

= $- \frac{1}{64} - 3 e^{4} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3 e)$

= $- \frac{1}{64} - 3 e^{4} + 1 + 3 e$

= $- 3 e^{4} - \frac{1}{64} + 1 + 3 e$

= $- 3 e^{4} + \frac{63}{64} + 3 e$

≈ -154,655

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 2 + 5} + e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $- e^{- 4 + 5} + e^{0 + 5}$

= $- e + e^{5}$

≈ 145,695

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{5} + 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{5} + 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{6} + 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 9 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} + 9 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 9 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 9 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 9 - (0 + 0)$

= $- 9 - \frac{243}{64} \cdot π^{6} + 0$

= $- 9 - \frac{243}{64} \cdot π^{6}$

≈ -3659,275

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{2 \cdot 3 - 5} + e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- e^{6 - 5} + e^{0 - 5}$

= $- e + e^{- 5}$

≈ -2,712

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel