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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{2 +3}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 +4 +5 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 - 20 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 24 - 20 - (0 + 0)$

= $- 44 + 0$

= $- 44$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 x^{4} + \frac{9}{4 x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 x^{4} + \frac{9}{4 x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (- 3 x^{4} + \frac{9}{4} x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{5} x^{5} - \frac{3}{4} x^{- 3}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{3}{5} x^{5} - \frac{3}{4 x^{3}}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{5} \cdot 3^{5} - \frac{3}{4 \cdot 3^{3}} - (- \frac{3}{5} \cdot 1^{5} - \frac{3}{4 \cdot 1^{3}})$

= $- \frac{3}{5} \cdot 243 - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{27}) - (- \frac{3}{5} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{729}{5} - \frac{1}{36} - (- \frac{3}{5} - \frac{3}{4})$

= $- \frac{26244}{180} - \frac{5}{180} - (- \frac{12}{20} - \frac{15}{20})$

= $- \frac{26249}{180} - 1 \cdot (- \frac{27}{20})$

= $- \frac{26249}{180} + \frac{27}{20}$

= $- \frac{26249}{180} + \frac{243}{180}$

= $- \frac{13003}{90}$

≈ -144,478

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} - \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} - \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 5^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 125 + \frac{2}{3} \cdot 64$

= $- \frac{250}{3} + \frac{128}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 e^{2 x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 e^{2 \cdot (0)} + 2 \cdot \cos (0))$

= $2 e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot 0 - (2 e^{0} + 2 \cdot 1)$

= $2 e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (2 + 2)$

= $2 e^{3 π} - 1 \cdot 4$

= $2 e^{3 π} - 4$

≈ 24779,296

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $- 2 e^{- 4 + 2} + 2 e^{- 2 + 2}$

= $- 2 e^{- 2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 2} + 2$

≈ 1,729

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel