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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +1.5 +3 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - 1)$

= $- \frac{8}{3} - 4 - (- \frac{1}{3} - 1)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{12}{3} - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{3})$

= $- \frac{20}{3} - 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{20}{3} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{4}^{16}$

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{4}^{16}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{16})}^{4} - (- 2 \cdot \sin (4) - \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{4})}^{4})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} \cdot 1^{4} - (- 2 \cdot \sin (4) - \frac{9}{4} \cdot 1^{4})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} \cdot 1 - (- 2 \cdot \sin (4) - \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} - (- 2 \cdot \sin (4) - \frac{9}{4})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} - 1 \cdot (- 2 \cdot \sin (4)) - 1 \cdot (- \frac{9}{4})$

= $- 2 \cdot \sin (16) - \frac{9}{4} + 2 \cdot \sin (4) + \frac{9}{4}$

= $- 2 \cdot \sin (16) + 2 \cdot \sin (4) - \frac{9}{4} + \frac{9}{4}$

= $- 2 \cdot \sin (16) + 2 \cdot \sin (4) + 0$

≈ -77,366

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{3 \cdot 2 - 5} + e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $- e^{6 - 5} + e^{0 - 5}$

= $- e + e^{- 5}$

≈ -2,712

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) + \frac{5}{3} \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + \frac{5}{3})$

= $- 4 - (0 + \frac{5}{3})$

= $- 4 - \frac{5}{3}$

= $- \frac{12}{3} - \frac{5}{3}$

= $- \frac{17}{3}$

≈ -5,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{3 \cdot 3 - 3} + e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $- e^{9 - 3} + e^{6 - 3}$

= $- e^{6} + e^{3}$

≈ -383,343

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel