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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +4 +8 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{2} - 1 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{2}{2} + 0$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{1}{2} e^{- 3 x} - 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{1}{2} e^{- 3 x} - 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} e^{- 3 x} - \frac{1}{2} x^{4}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot 5} - \frac{1}{2} \cdot 5^{4} - (\frac{1}{6} e^{- 3 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4})$

= $\frac{1}{6} e^{- 15} - \frac{1}{2} \cdot 625 - (\frac{1}{6} e^{- 3} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} e^{- 15} - \frac{625}{2} - (\frac{1}{6} e^{- 3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{6} e^{- 3} - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{6} e^{- 15} - \frac{625}{2}$

= $- \frac{1}{6} e^{- 3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} e^{- 15} - \frac{625}{2}$

= $- \frac{1}{6} e^{- 3} + \frac{1}{6} e^{- 15} + \frac{1}{2} - \frac{625}{2}$

= $- \frac{1}{6} e^{- 3} + \frac{1}{6} e^{- 15} - 312$

≈ -312,008

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 {(- 2 x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 {(- 2 x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 3)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{1}{3} - 9$

= $\frac{1}{3} - \frac{27}{3}$

= $- \frac{26}{3}$

≈ -8,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (0) + \frac{1}{3} \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{3} - (0 + \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 7)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 9 + 7)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot {(0 + 7)}^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{2}{9} \cdot 7^{3}$

= $- \frac{2}{9} \cdot (- 8) + \frac{2}{9} \cdot 343$

= $\frac{16}{9} + \frac{686}{9}$

= $78$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel