nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 10 f(x) x .

Lösung einblenden

2 10 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

I3 = 5 8 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (8 - 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I4 = 8 10 f(x) x : Trapezfläche I4 = (10 - 8) ⋅ 4 + 2 2 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

2 10 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 2 5 f(x) x + 5 8 f(x) x + 8 10 f(x) x = 6 +12 +6 = 24

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -1 2 ( -4 x 2 -3x ) x .

Lösung einblenden
-1 2 ( -4 x 2 -3x ) x

= [ - 4 3 x 3 - 3 2 x 2 ] -1 2

= - 4 3 2 3 - 3 2 2 2 - ( - 4 3 ( -1 ) 3 - 3 2 ( -1 ) 2 )

= - 4 3 8 - 3 2 4 - ( - 4 3 ( -1 ) - 3 2 1 )

= - 32 3 -6 - ( 4 3 - 3 2 )

= - 32 3 - 18 3 - ( 8 6 - 9 6 )

= - 50 3 -1 · ( - 1 6 )

= - 50 3 + 1 6

= - 100 6 + 1 6

= - 33 2


= -16,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 9 ( -6 x - x 5 ) x .

Lösung einblenden
1 9 ( -6 x - x 5 ) x
= 1 9 ( -6 x 1 2 - x 5 ) x

= [ -4 x 3 2 - 1 6 x 6 ] 1 9

= [ -4 ( x ) 3 - 1 6 x 6 ] 1 9

= -4 ( 9 ) 3 - 1 6 9 6 - ( -4 ( 1 ) 3 - 1 6 1 6 )

= -4 3 3 - 1 6 531441 - ( -4 1 3 - 1 6 1 )

= -427 - 177147 2 - ( -41 - 1 6 )

= -108 - 177147 2 - ( -4 - 1 6 )

= - 216 2 - 177147 2 - ( - 24 6 - 1 6 )

= - 177363 2 -1 · ( - 25 6 )

= - 177363 2 + 25 6

= - 532089 6 + 25 6

= - 177363 2 + 25 6

= - 532089 6 + 25 6

= - 266032 3


≈ -88677,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π 3 cos( -x + π) x .

Lösung einblenden
1 2 π π 3 cos( -x + π) x

= [ -3 sin( -x + π) ] 1 2 π π

= -3 sin( -π + π) +3 sin( -( 1 2 π ) + π)

= -3 sin(0) +3 sin( 1 2 π)

= -30 +31

= 0 +3

= 3

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( 3 cos( x ) +4 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( 3 cos( x ) +4 sin( x ) ) x

= [ 3 sin( x ) -4 cos( x ) ] 0 π

= 3 sin( π ) -4 cos( π ) - ( 3 sin( 0 ) -4 cos( 0 ) )

= 30 -4( -1 ) - ( 30 -41 )

= 0 +4 - (0 -4 )

= 4 +4

= 8

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 ( - ( x -2 ) 2 -5x ) x .

Lösung einblenden
1 4 ( - ( x -2 ) 2 -5x ) x

= [ - 1 3 ( x -2 ) 3 - 5 2 x 2 ] 1 4

= - 1 3 ( 4 -2 ) 3 - 5 2 4 2 - ( - 1 3 ( 1 -2 ) 3 - 5 2 1 2 )

= - 1 3 2 3 - 5 2 16 - ( - 1 3 ( -1 ) 3 - 5 2 1 )

= - 1 3 8 -40 - ( - 1 3 ( -1 ) - 5 2 )

= - 8 3 -40 - ( 1 3 - 5 2 )

= - 8 3 - 120 3 - ( 2 6 - 15 6 )

= - 128 3 -1 · ( - 13 6 )

= - 128 3 + 13 6

= - 256 6 + 13 6

= - 128 3 + 13 6

= - 256 6 + 13 6

= - 81 2


= -40,5