Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -12 = -15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + 1 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + 3)$

= $\frac{1}{3} + 1 - (9 + 3)$

= $\frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 1 \cdot 12$

= $\frac{4}{3} - 12$

= $\frac{4}{3} - \frac{36}{3}$

= $- \frac{32}{3}$

≈ -10,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (4 \cdot \cos (0) + \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $4 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (4 \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (4 + 0)$

= $\frac{9}{4} \cdot π^{3} - 4$

≈ 65,764

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 x^{2} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 x^{2} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} - 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - 2 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0 - (0 - 2)$

= $\frac{1}{6} \cdot π^{3} + 2$

≈ 7,168

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{10}^{26} \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{10}^{26} \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{26} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{26}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{26}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel