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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -8 -6 +3 +9 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3^{3} + 3 - (- 0^{3} + 0)$

= $- 27 + 3 - (- 0 + 0)$

= $- 27 + 3$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 e^{3 x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 e^{3 x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - (- \frac{2}{3} e^{3 \cdot (0)} - \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{2}{3} e^{0} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot π} + 0 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} e^{3 π} - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} e^{3 π} + \frac{2}{3}$

≈ -8260,432

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} ({(- x + 3)}^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} ({(- x + 3)}^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- x + 3)}^{3} + 3 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 3)}^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} + 3 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 9 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + 9 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + 6)$

= $0 + 9 - (- \frac{1}{3} + 6)$

= $9 - (- \frac{1}{3} + \frac{18}{3})$

= $9 - 1 \cdot \frac{17}{3}$

= $9 - \frac{17}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{17}{3}$

= $9 - \frac{17}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{17}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} - \frac{9}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{9}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{9}{2} \cdot (- 1) - (\frac{3}{5} \cdot 0 - \frac{9}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + \frac{9}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{9}{2} + \frac{729}{160} \cdot π^{5} + 0$

= $\frac{9}{2} + \frac{729}{160} \cdot π^{5}$

≈ 1398,802

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 4} - e^{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $e^{- 6 + 4} - e^{- 3 + 4}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel