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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = -2 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + 3)$

= $0 + 0 - (- 9 + 3)$

= $0 - 1 \cdot (- 6)$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 4 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 2 x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (2 π) + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{3} \cdot \sin (π) + \frac{2}{π^{2}})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{π^{2}})$

= $0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (0 + \frac{2}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2 π^{2}} - \frac{2}{π^{2}}$

= $\frac{1}{2 π^{2}} - \frac{4}{2 π^{2}}$

= $- \frac{3}{2 π^{2}}$

≈ -0,152

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 {(- x + 3)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 3)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 3)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1 + 3)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 1^{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 16$

= $\frac{3}{4} - 12$

= $\frac{3}{4} - \frac{48}{4}$

= $- \frac{45}{4}$

= -11,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{5} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 x^{5} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{6} - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 0 - (\frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 0)$

= $\frac{243}{32} \cdot π^{6} - \frac{1}{96} \cdot π^{6}$

= $\frac{91}{12} \cdot π^{6}$

≈ 7290,535

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- e^{- 1 + 2} + e^{- 0 + 2}$

= $- e + e^{2}$

≈ 4,671

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel