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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +2}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +12 +6 = 24

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (2 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (2 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 3 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 6)$

= $0 + 0 - (- \frac{16}{3} + 6)$

= $0 - (- \frac{16}{3} + \frac{18}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (3 \cdot \cos (x) - 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + 2 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[3 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $3 \cdot \sin (2 π) + \frac{2}{2 π} - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $3 \cdot 0 + \frac{2}{2 π} - (3 \cdot 1 + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $0 + \frac{2}{2 π} - (3 + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{π} - (3 + \frac{4}{π})$

= $- 1 \cdot 3 - 1 \cdot \frac{4}{π} + \frac{1}{π}$

= $- 3 - \frac{4}{π} + \frac{1}{π}$

= $- 3 - \frac{3}{π}$

≈ -3,955

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 6} - e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $e^{- 9 + 6} - e^{- 6 + 6}$

= $e^{- 3} - e^{0}$

= $e^{- 3} - 1$

≈ -0,95

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) + 4 \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $0 - 4 - (5 + 0)$

= $- 4 - 5$

= $- 9$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x - π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \cos (- \frac{11}{2} π) + \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel