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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +1 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 3)$

= $2 + 2 - (\frac{9}{2} + 3)$

= $4 - (\frac{9}{2} + \frac{6}{2})$

= $4 - 1 \cdot \frac{15}{2}$

= $4 - \frac{15}{2}$

= $\frac{8}{2} - \frac{15}{2}$

= $- \frac{7}{2}$

= -3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (6 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (6 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $6 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (6 \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $6 \cdot 0 - 1 - (6 \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 4 + 1} + \frac{1}{2} e^{0 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 3} + \frac{1}{2} e$

≈ 1,334

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{4} \cdot \sin (0) - \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot (- 1) - 0 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 - 1)$

= $\frac{1}{4} + 0 - (0 - 1)$

= $\frac{1}{4} + 0 + 1$

= $\frac{1}{4} + 1$

= $\frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

= $\frac{5}{4}$

= 1,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4 + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2} + \frac{3}{2} e^{0}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2} + \frac{3}{2}$

≈ 1,297

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel