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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +12 = 13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 5 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 5 x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 - 8 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 + 8)$

= $- 10 - 8 - (- 10 + 8)$

= $- 18 - 1 \cdot (- 2)$

= $- 18 + 2$

= $- 16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) - \frac{3}{4} \cdot 0 - (- 1 - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- \frac{5}{2} π) - \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 3 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{5} x^{5}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- \frac{7}{2} \cdot \sin (0) - \frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $- \frac{7}{2} \cdot 1 - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (- \frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{3}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{7}{2} - \frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (0 + 0)$

= $- \frac{7}{2} - \frac{3}{160} \cdot π^{5} + 0$

= $- \frac{7}{2} - \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

≈ -9,238

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (\frac{5}{2} π) + \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel