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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 5 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 5 x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 5 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 + 15 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} + 15 - (0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} + \frac{30}{2} + 0$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 \cdot \sin (x) + 2) ⅆ x

= ${[9 \cdot \cos (x) + 2 x]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $9 \cdot 0 + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot 0 + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $0 + 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - (0 + 2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $3 π - π$

= $2 π$

≈ 6,283

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot π + π) + \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \cos (- π) + \cos (0)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (2 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{9}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel