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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -2 +2 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (5 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (5 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 - 4 - (\frac{5}{2} \cdot 4 + 4)$

= $10 - 4 - (10 + 4)$

= $6 - 1 \cdot 14$

= $6 - 14$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{5} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 x^{5} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - \frac{1}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + \frac{1}{3} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{243}{64} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{1}{3} - \frac{243}{64} \cdot π^{6}$

≈ -3649,941

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 7} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 7}$

= $\frac{1}{3} e^{- 9 + 7} - \frac{1}{3} e^{0 + 7}$

= $\frac{1}{3} e^{- 2} - \frac{1}{3} e^{7}$

≈ -365,499

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 8 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (- 8 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $0 + \frac{3}{2} - (0 - \frac{3}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (\frac{3}{2} π) + \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- (- 1) - 1$

= $1 - 1$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel