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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -2 = 14

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (5 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (5 x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 + 10 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 5)$

= $10 + 10 - (\frac{5}{2} + 5)$

= $20 - (\frac{5}{2} + \frac{10}{2})$

= $20 - 1 \cdot \frac{15}{2}$

= $20 - \frac{15}{2}$

= $\frac{40}{2} - \frac{15}{2}$

= $\frac{25}{2}$

= 12,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (4 x^{3} - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (4 x^{3} - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[x^{4} + \frac{5}{2} e^{- 2 x}]}_{-3}^{1}$

$=$ $1^{4} + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot 1} - ({(- 3)}^{4} + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (- 3)})$

= $1 + \frac{5}{2} e^{- 2} - (81 + \frac{5}{2} e^{6})$

= $1 + \frac{5}{2} e^{- 2} - 1 \cdot 81 - \frac{5}{2} e^{6}$

= $1 + \frac{5}{2} e^{- 2} - 81 - \frac{5}{2} e^{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{6} + \frac{5}{2} e^{- 2} + 1 - 81$

= $- \frac{5}{2} e^{6} + \frac{5}{2} e^{- 2} - 80$

≈ -1088,234

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (\frac{7}{2} π) + \cos (\frac{5}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 4 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (- 4 + 0)$

= $2 + 4$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (- 3 π) + \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel