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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 +9 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 3 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{2} + 3 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{2} + \frac{6}{2} + 0$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{20} x^{5} + \frac{10}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1}$

= ${[\frac{3}{20} x^{5} + \frac{10}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{20} \cdot 1^{5} + \frac{10}{9} {(\sqrt{1})}^{3} - (\frac{3}{20} \cdot 0^{5} + \frac{10}{9} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $\frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{10}{9} \cdot 1^{3} - (\frac{3}{20} \cdot 0 + \frac{10}{9} \cdot 0^{3})$

= $\frac{3}{20} + \frac{10}{9} \cdot 1 - (0 + \frac{10}{9} \cdot 0)$

= $\frac{3}{20} + \frac{10}{9} - (0 + 0)$

= $\frac{27}{180} + \frac{200}{180} + 0$

= $\frac{227}{180}$

≈ 1,261

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- \frac{5}{2} x^{3} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- \frac{5}{2} x^{3} - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{8} x^{4} - 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{8} \cdot 1^{4} - 4 \cdot 1 - (- \frac{5}{8} \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{8} \cdot 1 - 4 - (- \frac{5}{8} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{5}{8} - 4 - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{8} - \frac{32}{8} + 0$

= $- \frac{37}{8}$

= -4,625

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 7}^{- 4} - 3 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 7}^{- 4} - 3 \sqrt{- 3 x + 4} ⅆ x

=

\int_{- 7}^{- 4} - 3 {(- 3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- 3 x + 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 7}^{- 4}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 x + 4})}^{3}]}_{- 7}^{- 4}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 7) + 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{12 + 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{21 + 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 125$

= $\frac{128}{3} - \frac{250}{3}$

= $- \frac{122}{3}$

≈ -40,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel