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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 +6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 4 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 4 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 0 - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2)$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 8) - 2)$

= $0 + 0 - (\frac{32}{3} - 2)$

= $0 - (\frac{32}{3} - \frac{6}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{26}{3}$

= $- \frac{26}{3}$

≈ -8,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \cos (π) + 3 \cdot \sin (π) - (\frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (\frac{5}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} + 0 - (0 + 3)$

= $- \frac{5}{3} + 0 - 3$

= $- \frac{5}{3} - 3$

= $- \frac{5}{3} - \frac{9}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} {(- 3 x + 7)}^{4}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 9 + 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 6 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot 1^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{12} \cdot 1$

= $\frac{4}{3} - \frac{1}{12}$

= $\frac{16}{12} - \frac{1}{12}$

= $\frac{5}{4}$

= 1,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- 2 + 0 - (0 + 2)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} ({(- 2 x + 4)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} ({(- 2 x + 4)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 2 x + 4)}^{3} + 6 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{3} + 6 \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3} + 6 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} + 18 - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 4)}^{3} + 12)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{3} + 18 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 12)$

= $- \frac{1}{6} \cdot (- 8) + 18 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 12)$

= $\frac{4}{3} + 18 - (0 + 12)$

= $\frac{4}{3} + \frac{54}{3} - 12$

= $\frac{58}{3} - 12$

= $\frac{58}{3} - \frac{36}{3}$

= $\frac{58}{3} - 12$

= $\frac{58}{3} - \frac{36}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel