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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 + 6 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 2)$

= $- \frac{45}{2} + 6 - (- \frac{5}{2} - 2)$

= $- \frac{45}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{5}{2} - \frac{4}{2})$

= $- \frac{33}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- \frac{33}{2} + \frac{9}{2}$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (\frac{2}{x^{4}} + x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (\frac{2}{x^{4}} + x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (2 x^{- 4} + x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{1}{4} \cdot 4^{4} - (- \frac{2}{3 \cdot 2^{3}} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{4} \cdot 256 - (- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} \cdot 16)$

= $- \frac{1}{96} + 64 - (- \frac{1}{12} + 4)$

= $- \frac{1}{96} + \frac{6144}{96} - (- \frac{1}{12} + \frac{48}{12})$

= $\frac{6143}{96} - 1 \cdot \frac{47}{12}$

= $\frac{6143}{96} - \frac{47}{12}$

= $\frac{6143}{96} - \frac{376}{96}$

= $\frac{5767}{96}$

≈ 60,073

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) - 5 x) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (4 \cdot \sin (0) - \frac{5}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (4 \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- 4 - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $- 4 - \frac{45}{8} \cdot π^{2} + 0$

= $- 4 - \frac{45}{8} \cdot π^{2}$

≈ -59,517

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{3 - 3} + e^{0 - 3}$

= $- e^{0} + e^{- 3}$

= $- 1 + e^{- 3}$

≈ -0,95

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel