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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2) - (- {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $- (- 8) - 4 - (- (- 27) - 6)$

= $8 - 4 - (27 - 6)$

= $4 - 1 \cdot 21$

= $4 - 21$

= $- 17$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + 3 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \cos (x) + \frac{3}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) + \frac{3}{π} - (- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{\frac{1}{2} π})$

= $- (- 1) + \frac{3}{π} - (- 0 + \frac{3}{\frac{1}{2} π})$

= $1 + \frac{3}{π} - (0 + \frac{3}{\frac{1}{2} π})$

= $1 + \frac{3}{π} - \frac{6}{π}$

= $1 - \frac{3}{π}$

≈ 0,045

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{- 3 + 2} - 3 e^{- 0 + 2}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{2}$

≈ -21,064

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 7 e^{- x} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 7 e^{- x} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[7 e^{- x} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $7 e^{- π} - \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - (7 e^{- (0)} - \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $7 e^{- π} - \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (7 e^{0} - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $7 e^{- π} + \frac{5}{2} - (7 - \frac{5}{2})$

= $7 e^{- π} + \frac{5}{2} - (\frac{14}{2} - \frac{5}{2})$

= $7 e^{- π} + \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{9}{2}$

= $7 e^{- π} + \frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

= $7 e^{- π} - 2$

≈ -1,698

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{9}{2} π) + \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $- (- 1) - 1$

= $1 - 1$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel