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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 9 +4.5 -4 -8 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (4 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (4 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3 - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 + 6 - (\frac{4}{3} \cdot 1 + 2)$

= $36 + 6 - (\frac{4}{3} + 2)$

= $42 - (\frac{4}{3} + \frac{6}{3})$

= $42 - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $42 - \frac{10}{3}$

= $\frac{126}{3} - \frac{10}{3}$

= $\frac{116}{3}$

≈ 38,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2 x^{2}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2 x^{2}} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 1} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{1}{2 x} + 5 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2 \cdot \frac{3}{2} π} + 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2 π} + 5 \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{2 \cdot \frac{3}{2} π} + 5 \cdot 0 - (\frac{1}{2 π} + 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2 \cdot \frac{3}{2} π} + 0 - (\frac{1}{2 π} - 5)$

= $\frac{1}{3 π} - (- 5 + \frac{1}{2 π})$

= $- 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot \frac{1}{2 π} + \frac{1}{3 π}$

= $5 - \frac{1}{2 π} + \frac{1}{3 π}$

= $5 - \frac{1}{6 π}$

≈ 4,947

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 {(3 x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 {(3 x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(3 x - 3)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 4 - 3)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 2 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(12 - 3)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(6 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 9^{4} + \frac{1}{4} \cdot 3^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 6 561 + \frac{1}{4} \cdot 81$

= $- \frac{6561}{4} + \frac{81}{4}$

= $- 1 620$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \sin (0) - \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 0 - (3 \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 - \frac{5}{2})$

= $- 3 - (0 - \frac{5}{2})$

= $- 3 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{6}{2} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 4} + e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- e^{- 9 + 4} + e^{0 + 4}$

= $- e^{- 5} + e^{4}$

≈ 54,591

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel