$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 12 +6 = 18

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^2-2x\right]}_{-3}^{-2}$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 4+4-\left(-\frac{1}{2}\cdot 9+6\right)$

= $-2+4-\left(-\frac{9}{2}+6\right)$

= $2-\left(-\frac{9}{2}+\frac{12}{2}\right)$

= $2-1·\frac{3}{2}$

= $2-\frac{3}{2}$

= $\frac{4}{2}-\frac{3}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= ${\left[-\frac{4}{3}{x}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^{-x}\right]}_1^2$

= ${\left[-\frac{4}{3x^3}+\frac{1}{3}{e}^{-x}\right]}_1^2$

$=$ $-\frac{4}{3\cdot 2^3}+\frac{1}{3}{e}^{-2}-\left(-\frac{4}{3\cdot 1^3}+\frac{1}{3}{e}^{-1}\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{3}{e}^{-2}-\left(-\frac{4}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}{e}^{-1}\right)$

= $-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}{e}^{-2}-\left(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}{e}^{-1}\right)$

= $\frac{1}{3}{e}^{-2}-\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{3}{e}^{-1}-\frac{4}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-1}-1·\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{1}{3}{e}^{-2}-\frac{1}{6}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-1}+\frac{4}{3}+\frac{1}{3}{e}^{-2}-\frac{1}{6}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-1}+\frac{1}{3}{e}^{-2}+\frac{4}{3}-\frac{1}{6}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-1}+\frac{1}{3}{e}^{-2}+\frac{7}{6}$

= ${\left[e^{x-3}\right]}_0^3$

$=$ $e^{3-3}-e^{0-3}$

= $e^0-e^{-3}$

= $1-e^{-3}$

= ${\left[-\frac{8}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{5}{24}{x}^6\right]}_0^{16}$

= ${\left[-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-\frac{5}{24}{x}^6\right]}_0^{16}$

$=$ $-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{5}{24}\cdot {16}^6-\left(-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{0}\right)}^3-\frac{5}{24}\cdot 0^6\right)$

= $-\frac{8}{3}\cdot 4^3-\frac{5}{24}\cdot 16777216-\left(-\frac{8}{3}\cdot 0^3-\frac{5}{24}\cdot 0\right)$

= $-\frac{8}{3}\cdot 64-\frac{10485760}{3}-\left(-\frac{8}{3}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{512}{3}-\frac{10485760}{3}-\left(0+0\right)$

= $-3495424+0$

= $-3495424$

= ${\left[-3e^{x-3}\right]}_1^3$

$=$ $-3e^{3-3}+3e^{1-3}$

= $-3e^0+3e^{-2}$

= $-3+3e^{-2}$