Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +4 +4.5 = 8.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 3 x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 - 15 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 5)$

= $- \frac{27}{2} - 15 - (- \frac{3}{2} - 5)$

= $- \frac{27}{2} - \frac{30}{2} - (- \frac{3}{2} - \frac{10}{2})$

= $- \frac{57}{2} - 1 \cdot (- \frac{13}{2})$

= $- \frac{57}{2} + \frac{13}{2}$

= $- 22$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) + 5 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $0 + 5 - (3 + 0)$

= $5 - 3$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 4}^{- \frac{3}{2}} \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 4}^{- \frac{3}{2}} \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x

=

\int_{- 4}^{- \frac{3}{2}} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 4}^{- \frac{3}{2}}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 1})}^{3}]}_{- 4}^{- \frac{3}{2}}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{3}{2}) + 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{3 + 1})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{8 + 1})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{3} \cdot 27$

= $- \frac{8}{3} + 9$

= $- \frac{8}{3} + \frac{27}{3}$

= $\frac{19}{3}$

≈ 6,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{4} \cdot \sin (0) + \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $0 - \frac{5}{2} - (0 + \frac{5}{2})$

= $- \frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $e^{4 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{0} - e^{- 4}$

= $1 - e^{- 4}$

≈ 0,982

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel