Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 5 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 5 x + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 2 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 2)$

= $- 10 + 2 - (- 10 - 2)$

= $- 8 - 1 \cdot (- 12)$

= $- 8 + 12$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 x^{4} + \frac{5}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 x^{4} + \frac{5}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 2 x^{4} + 5 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{5}{2} x^{- 2}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{5}{2 x^{2}}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{5} \cdot 4^{5} - \frac{5}{2 \cdot 4^{2}} - (- \frac{2}{5} \cdot 1^{5} - \frac{5}{2 \cdot 1^{2}})$

= $- \frac{2}{5} \cdot 1024 - \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{16}) - (- \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{2048}{5} - \frac{5}{32} - (- \frac{2}{5} - \frac{5}{2})$

= $- \frac{65536}{160} - \frac{25}{160} - (- \frac{4}{10} - \frac{25}{10})$

= $- \frac{65561}{160} - 1 \cdot (- \frac{29}{10})$

= $- \frac{65561}{160} + \frac{29}{10}$

= $- \frac{65561}{160} + \frac{464}{160}$

= $- \frac{65097}{160}$

≈ -406,856

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{2 - 2} + e^{1 - 2}$

= $- e^{0} + e^{- 1}$

= $- 1 + e^{- 1}$

≈ -0,632

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \sin (π) - 3 \cdot \cos (π) - (\frac{5}{3} \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (\frac{5}{3} \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= ${[\sin (2 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \sin (2 \cdot (0) - π)$

= $\sin (2 π) - \sin (- π)$

= $0 - 0$

= 0

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel