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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -12 -4 +4 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 2 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 1 + 2)$

= $0 + 0 - (- 2 + 2)$

= $0 - 1 \cdot 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (4 \cdot \cos (x) - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (4 \cdot \cos (x) - 4 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 2 x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $4 \cdot \sin (2 π) + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (4 \cdot \sin (π) + \frac{2}{π^{2}})$

= $4 \cdot 0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (4 \cdot 0 + \frac{2}{π^{2}})$

= $0 + \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - (0 + \frac{2}{π^{2}})$

= $\frac{1}{2 π^{2}} - \frac{2}{π^{2}}$

= $\frac{1}{2 π^{2}} - \frac{4}{2 π^{2}}$

= $- \frac{3}{2 π^{2}}$

≈ -0,152

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 + 3} - \frac{2}{3} e^{0 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{0} - \frac{2}{3} e^{3}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ -12,724

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{3 - 3} + e^{2 - 3}$

= $- e^{0} + e^{- 1}$

= $- 1 + e^{- 1}$

≈ -0,632

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel