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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -2 -4 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - 5 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3 - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 5 \cdot (- 1))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 - 15 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + 5)$

= $- 36 - 15 - (\frac{4}{3} + 5)$

= $- 51 - (\frac{4}{3} + \frac{15}{3})$

= $- 51 - 1 \cdot \frac{19}{3}$

= $- 51 - \frac{19}{3}$

= $- \frac{153}{3} - \frac{19}{3}$

= $- \frac{172}{3}$

≈ -57,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 2 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - 2 x^{4}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{2}{5} x^{5}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (5 \cdot \cos (0) - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $5 \cdot 0 - \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (5 \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0)$

= $0 - \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (5 + 0)$

= $- \frac{243}{80} \cdot π^{5} - 5$

≈ -934,535

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{3 \cdot 4 - 4} - e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $e^{12 - 4} - e^{3 - 4}$

= $e^{8} - e^{- 1}$

≈ 2980,59

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - \frac{8}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{8}{3} - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{16}{6} + \frac{3}{6}$

= $- \frac{13}{6}$

≈ -2,167

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 2 e^{- 3 + 3} + 2 e^{- 2 + 3}$

= $- 2 e^{0} + 2 e$

= $- 2 + 2 e$

≈ 3,437

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel