Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 +1 = -17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (3 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (3 x - 1) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - (\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3))$

= $\frac{3}{2} \cdot 4 + 2 - (\frac{3}{2} \cdot 9 + 3)$

= $6 + 2 - (\frac{27}{2} + 3)$

= $8 - (\frac{27}{2} + \frac{6}{2})$

= $8 - 1 \cdot \frac{33}{2}$

= $8 - \frac{33}{2}$

= $\frac{16}{2} - \frac{33}{2}$

= $- \frac{17}{2}$

= -8,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{8}{3} \cdot \cos (π) - \sin (π) - (\frac{8}{3} \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $\frac{8}{3} \cdot (- 1) - 0 - (\frac{8}{3} \cdot 1 - 0)$

= $- \frac{8}{3} + 0 - (\frac{8}{3} + 0)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 {(- 2 x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 {(- 2 x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 3)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 4 + 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $- \frac{1}{3} - 9$

= $- \frac{1}{3} - \frac{27}{3}$

= $- \frac{28}{3}$

≈ -9,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 3 x) ⅆ x

= ${[\cos (x) - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\cos (0) - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $0 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (1 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot π^{2} - (1 + 0)$

= $- \frac{3}{8} \cdot π^{2} - 1$

≈ -4,701

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 3} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 6 + 3} + \frac{3}{2} e^{0 + 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 30,054

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel