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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 5 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 - 9)$

= $0 + 0 - (- \frac{45}{2} - 9)$

= $0 - (- \frac{45}{2} - \frac{18}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{63}{2})$

= $\frac{63}{2}$

= 31,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- \frac{9}{4} x^{3} + 3 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- \frac{9}{4} x^{3} + 3 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{16} x^{4} + 3 e^{x}]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{9}{16} \cdot 0^{4} + 3 e^{0} - (- \frac{9}{16} \cdot {(- 1)}^{4} + 3 e^{- 1})$

= $- \frac{9}{16} \cdot 0 + 3 - (- \frac{9}{16} \cdot 1 + 3 e^{- 1})$

= $0 + 3 - (- \frac{9}{16} + 3 e^{- 1})$

= $3 - (3 e^{- 1} - \frac{9}{16})$

= $- 3 e^{- 1} - 1 \cdot (- \frac{9}{16}) + 3$

= $- 3 e^{- 1} + \frac{9}{16} + 3$

= $- 3 e^{- 1} + \frac{57}{16}$

≈ 2,459

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π) + \cos (0 + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (2 π) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} x^{5}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} x^{6}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 2 \cdot \cos (0) + \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{256} \cdot π^{6} + 2$

≈ 5,755

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $- e^{2 \cdot 4 - 5} + e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $- e^{8 - 5} + e^{2 - 5}$

= $- e^{3} + e^{- 3}$

≈ -20,036

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel