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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +3 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 3 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 2 - (- 1^{3} + 1)$

= $- 8 + 2 - (- 1 + 1)$

= $- 8 + 2 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1$

= $- 8 + 2 + 1 - 1$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- 2 x} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- 2 x} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[e^{- 2 x} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $e^{- 2 \cdot π} - \frac{7}{4} \cdot \sin (π) - (e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $e^{- 2 \cdot π} - \frac{7}{4} \cdot 0 - (e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{4} \cdot 1)$

= $e^{- 2 \cdot π} + 0 - (e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{4})$

= $e^{- 2 π} - (e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{4})$

= $e^{- 2 π} - e^{- π} - 1 \cdot (- \frac{7}{4})$

= $e^{- 2 π} - e^{- π} + \frac{7}{4}$

= $- e^{- π} + e^{- 2 π} + \frac{7}{4}$

≈ 1,709

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $- e^{3 \cdot 4 - 6} + e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $- e^{12 - 6} + e^{6 - 6}$

= $- e^{6} + e^{0}$

= $- e^{6} + 1$

≈ -402,429

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 4 \cdot 0 - (1 + 4 \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel