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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 4)$

= $2 + 4 - (2 - 4)$

= $6 - 1 \cdot (- 2)$

= $6 + 2$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (- \frac{1}{x^{4}} - \frac{7}{4} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (- \frac{1}{x^{4}} - \frac{7}{4} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (- x^{- 4} - \frac{7}{4} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{- 3} - \frac{7}{6} x^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[\frac{1}{3 x^{3}} - \frac{7}{6} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{1}^{9}$

$=$ $\frac{1}{3 \cdot 9^{3}} - \frac{7}{6} {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{1}{3 \cdot 1^{3}} - \frac{7}{6} {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{729}) - \frac{7}{6} \cdot 3^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{7}{6} \cdot 1^{3})$

= $\frac{1}{2187} - \frac{7}{6} \cdot 27 - (\frac{1}{3} - \frac{7}{6} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2187} - \frac{63}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{7}{6})$

= $\frac{2}{4374} - \frac{137781}{4374} - (\frac{2}{6} - \frac{7}{6})$

= $- \frac{137779}{4374} - 1 \cdot (- \frac{5}{6})$

= $- \frac{137779}{4374} + \frac{5}{6}$

= $- \frac{137779}{4374} + \frac{3645}{4374}$

= $- \frac{137779}{4374} + \frac{5}{6}$

= $- \frac{137779}{4374} + \frac{3645}{4374}$

= $- \frac{67067}{2187}$

≈ -30,666

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 9,859

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $2 + 0 - (0 - 2)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{- 5 + 1} - 3 e^{- 2 + 1}$

= $3 e^{- 4} - 3 e^{- 1}$

≈ -1,049

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel