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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $0 + 0 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $0 - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) - \sin (π) - (5 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $5 \cdot (- 1) - 0 - (5 \cdot 1 - 0)$

= $- 5 + 0 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (2 {(- 2 x + 5)}^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (2 {(- 2 x + 5)}^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 5)}^{3} - 2 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 5)}^{3} - 2 \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 5)}^{3} - 2 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 4 + 5)}^{3} - 2 \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(0 + 5)}^{3} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 - (- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - 8 - (- \frac{1}{3} \cdot 125 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - 8 - (- \frac{125}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{24}{3} - (- \frac{125}{3} + 0)$

= $- \frac{25}{3} + \frac{125}{3}$

= $\frac{100}{3}$

≈ 33,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (4 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $0 + \frac{3}{2} - (0 - \frac{3}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (3 {(- x + 1)}^{2} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (3 {(- x + 1)}^{2} + 6) ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{3} + 6 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- {(- 4 + 1)}^{3} + 6 \cdot 4 - (- {(- 1 + 1)}^{3} + 6 \cdot 1)$

= $- {(- 3)}^{3} + 24 - (- 0^{3} + 6)$

= $- (- 27) + 24 - (- 0 + 6)$

= $27 + 24 - (0 + 6)$

= $51 - 6$

= $45$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel