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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 -2 +4.5 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{3} + 2 - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{6}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot \cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 - 2 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $- 2 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $- 2 + \frac{4}{3}$

= $- \frac{6}{3} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} - 3) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} - 3) ⅆ x

= ${[{(x - 3)}^{3} - 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ ${(3 - 3)}^{3} - 3 \cdot 3 - ({(0 - 3)}^{3} - 3 \cdot 0)$

= $0^{3} - 9 - ({(- 3)}^{3} + 0)$

= $0 - 9 - ((- 27) + 0)$

= $- 9 + 27$

= $18$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 e^{3 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (3 e^{3 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[e^{3 x} - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (e^{3 \cdot (0)} - 4 \cdot \sin (0))$

= $e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 \cdot (- 1) - (e^{0} - 4 \cdot 0)$

= $e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 4 - (1 + 0)$

= $e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 4 - 1$

= $e^{\frac{9}{2} π} + 3$

≈ 1379413,706

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(9 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot (- 27)$

= $9 + 9$

= $18$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel