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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 -9 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (5 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (5 x + 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{2} \cdot 1 - 3)$

= $0 + 0 - (\frac{5}{2} - 3)$

= $0 - (\frac{5}{2} - \frac{6}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{8} x^{4} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{8} \cdot π^{4} - \frac{3}{2} \cdot \sin (π) - (\frac{1}{8} \cdot {(0)}^{4} - \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{8} \cdot π^{4} - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{8} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{8} \cdot π^{4} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{8} \cdot π^{4} + 0$

= $\frac{1}{8} \cdot π^{4}$

≈ 12,176

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 7 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 7 x^{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - \frac{7}{5} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- \frac{1}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $0 - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 - \frac{7}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- \frac{1701}{160} \cdot π^{5} + \frac{7}{160} \cdot π^{5}$

= $- \frac{847}{80} \cdot π^{5}$

≈ -3239,983

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{9}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{5}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel