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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{1 +2}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 1 +3 +3 = 7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{5}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + \frac{5}{2} \cdot 4)$

= $- \frac{8}{3} + 10 - (\frac{8}{3} + 10)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{30}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{30}{3})$

= $\frac{22}{3} - 1 \cdot \frac{38}{3}$

= $\frac{22}{3} - \frac{38}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - 5 \cdot 0 - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $\frac{729}{160} \cdot π^{5} - \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

= $\frac{363}{80} \cdot π^{5}$

≈ 1388,564

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (- 4 π) + \cos (- π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 x^{5} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 x^{5} + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{6} - 5 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0 - (0 - 5)$

= $- \frac{1}{128} \cdot π^{6} + 5$

≈ -2,511

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - {(- 2 x + 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - {(- 2 x + 2)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 2)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 + 2)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(0 + 2)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 0^{3} - \frac{1}{6} \cdot 2^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} \cdot 8$

= $0 - \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel