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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 +4.5 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 5 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} + 5 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{10}{2} + 0$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (π) + 3 \cdot \sin (π) - (\frac{1}{3} \cdot \cos (0) + 3 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} + 0 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 {(3 x - 7)}^{3} + 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 {(3 x - 7)}^{3} + 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 7)}^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(3 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(- 7)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{6} \cdot 256 + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} \cdot 2 401 + 0)$

= $\frac{128}{3} + \frac{3}{2} - (\frac{2401}{6} + 0)$

= $\frac{256}{6} + \frac{9}{6} - (\frac{2401}{6} + 0)$

= $\frac{265}{6} - \frac{2401}{6}$

= $- 356$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 9 e^{- 3 x} + \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 9 e^{- 3 x} + \frac{9}{2} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- 9 e^{- 3 x} + \frac{9}{2} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[3 e^{- 3 x} + 3 x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1}$

= ${[3 e^{- 3 x} + 3 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{- 3 \cdot 1} + 3 {(\sqrt{1})}^{3} - (3 e^{- 3 \cdot 0} + 3 {(\sqrt{0})}^{3})$

= $3 e^{- 3} + 3 \cdot 1^{3} - (3 e^{0} + 3 \cdot 0^{3})$

= $3 e^{- 3} + 3 \cdot 1 - (3 + 3 \cdot 0)$

= $3 e^{- 3} + 3 - (3 + 0)$

= $3 e^{- 3} + 3 - 3$

= $3 e^{- 3} + 0$

≈ 0,149

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel