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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 9 f(x) x .

Lösung einblenden

2 9 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 1 ) 2 = -2 2 = -1.

I3 = 4 6 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I4 = 6 9 f(x) x : Trapezfläche I4 = (9 - 6) ⋅ -1 + ( - 3 ) 2 = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

2 9 f(x) x = I2 + I3 + I4 = 2 4 f(x) x + 4 6 f(x) x + 6 9 f(x) x = -1 -2 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( x +3 ) x .

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-2 1 ( x +3 ) x

= [ 1 2 x 2 +3x ] -2 1

= 1 2 1 2 +31 - ( 1 2 ( -2 ) 2 +3( -2 ) )

= 1 2 1 +3 - ( 1 2 4 -6 )

= 1 2 +3 - ( 2 -6 )

= 1 2 + 6 2 -1 · ( -4 )

= 7 2 +4

= 7 2 + 8 2

= 15 2


= 7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( cos( x ) - 7 4 sin( x ) ) x .

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1 2 π 3 2 π ( cos( x ) - 7 4 sin( x ) ) x

= [ sin( x ) + 7 4 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= sin( 3 2 π ) + 7 4 cos( 3 2 π ) - ( sin( 1 2 π ) + 7 4 cos( 1 2 π ) )

= -1 + 7 4 0 - ( 1 + 7 4 0 )

= -1 +0 - ( 1 +0)

= -1 -1

= -2

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 ( -3 ( -x +2 ) 3 +6x ) x .

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0 1 ( -3 ( -x +2 ) 3 +6x ) x

= [ 3 4 ( -x +2 ) 4 +3 x 2 ] 0 1

= 3 4 ( -1 +2 ) 4 +3 1 2 - ( 3 4 ( -0 +2 ) 4 +3 0 2 )

= 3 4 1 4 +31 - ( 3 4 ( 0 +2 ) 4 +30 )

= 3 4 1 +3 - ( 3 4 2 4 +0)

= 3 4 +3 - ( 3 4 16 +0)

= 3 4 + 12 4 - ( 12 +0)

= 15 4 -12

= 15 4 - 48 4

= - 33 4


= -8,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( - 3 2 x 4 + 5 3 sin( x ) ) x .

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1 2 π 3 2 π ( - 3 2 x 4 + 5 3 sin( x ) ) x

= [ - 3 10 x 5 - 5 3 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 3 10 ( 3 2 π ) 5 - 5 3 cos( 3 2 π ) - ( - 3 10 ( 1 2 π ) 5 - 5 3 cos( 1 2 π ) )

= - 3 10 ( 3 2 π ) 5 - 5 3 0 - ( - 3 10 ( 1 2 π ) 5 - 5 3 0 )

= - 3 10 ( 3 2 π ) 5 +0 - ( - 3 10 ( 1 2 π ) 5 +0)

= - 729 320 π 5 + 3 320 π 5

= - 363 160 π 5


≈ -694,282

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 4 -3 ( 3x -5 ) 3 x .

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1 4 -3 ( 3x -5 ) 3 x

= [ - 1 4 ( 3x -5 ) 4 ] 1 4

= - 1 4 ( 34 -5 ) 4 + 1 4 ( 31 -5 ) 4

= - 1 4 ( 12 -5 ) 4 + 1 4 ( 3 -5 ) 4

= - 1 4 7 4 + 1 4 ( -2 ) 4

= - 1 4 2401 + 1 4 16

= - 2401 4 +4

= - 2401 4 + 16 4

= - 2385 4


= -596,25