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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +3 +4 +4.5 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - 3 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + 3)$

= $- \frac{2}{3} - 3 - (\frac{2}{3} + 3)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{9}{3} - (\frac{2}{3} + \frac{9}{3})$

= $- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{11}{3}$

= $- \frac{11}{3} - \frac{11}{3}$

= $- \frac{22}{3}$

≈ -7,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $0 + \frac{3}{4} - (0 - \frac{3}{4})$

= $\frac{3}{4} + \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{\frac{19}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{\frac{19}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{128}{9} - 6$

= $\frac{128}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{4 - 3} - e^{2 - 3}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel