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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -8 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- 36 - \frac{9}{2} - (\frac{4}{3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{72}{2} - \frac{9}{2} - (\frac{8}{6} - \frac{3}{6})$

= $- \frac{81}{2} - 1 \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{81}{2} - \frac{5}{6}$

= $- \frac{243}{6} - \frac{5}{6}$

= $- \frac{124}{3}$

≈ -41,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{5}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{18} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - \frac{1}{18} \cdot π^{6} - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $3 \cdot (- 1) - \frac{1}{18} \cdot π^{6} - (3 \cdot 0 - \frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 3 - \frac{1}{18} \cdot π^{6} - (0 - \frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 3 - \frac{1}{18} \cdot π^{6} + \frac{1}{1152} \cdot π^{6}$

= $- 3 - \frac{7}{128} \cdot π^{6}$

≈ -55,576

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 6} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 9 + 6} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3}$

≈ -0,633

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $6 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (6 \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 1)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 1 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(8 - 1)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 7^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot 343 - \frac{1}{6} \cdot 1$

= $\frac{343}{6} - \frac{1}{6}$

= $57$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel