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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - 3 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{9}{3} + 0$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (- \frac{5}{4} \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - \frac{5}{6} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{16}$

= ${[- \frac{5}{4} \cdot \sin (x) - \frac{5}{6} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{16}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} {(\sqrt{16})}^{3} - (- \frac{5}{4} \cdot \sin (0) - \frac{5}{6} {(\sqrt{0})}^{3})$

= $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} \cdot 4^{3} - (- \frac{5}{4} \cdot 0 - \frac{5}{6} \cdot 0^{3})$

= $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} \cdot 64 - (0 - \frac{5}{6} \cdot 0)$

= $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{160}{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{160}{3} + 0$

= $- \frac{5}{4} \cdot \sin (16) - \frac{160}{3}$

≈ -52,973

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{7}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (- 2 π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{4} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (x^{4} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{5} x^{5} - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \cos (0))$

= $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - 0 - (\frac{1}{5} \cdot 0 - 1)$

= $\frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0 - (0 - 1)$

= $\frac{1}{160} \cdot π^{5} + 1$

≈ 2,913

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (3 \cdot π - π) - \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\cos (2 π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $1 - 0$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel