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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 = -13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 1 - 5)$

= $8 + 10 - (2 - 5)$

= $18 - 1 \cdot (- 3)$

= $18 + 3$

= $21$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 x^{4} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 8 x^{4} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{8}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{8}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{8}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{8}{5} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{8}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - (0 - \frac{1}{2})$

= $- \frac{243}{20} \cdot π^{5} - (0 - \frac{1}{2})$

= $- \frac{243}{20} \cdot π^{5} + \frac{1}{2}$

≈ -3717,639

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) + \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) + \frac{7}{2} \cdot 0 - (3 \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 + \frac{7}{2})$

= $- 3 - (0 + \frac{7}{2})$

= $- 3 - \frac{7}{2}$

= $- \frac{6}{2} - \frac{7}{2}$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{2 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 3,526

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel