Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (3 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (3 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[x^{3} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $0^{3} - 3 \cdot 0 - ({(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1))$

= $0 + 0 - ((- 1) + 3)$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) - e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (x) - e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (π) - e^{π} - (\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - e^{π} - (\frac{3}{2} \cdot 0 - e^{\frac{1}{2} π})$

= $- \frac{3}{2} - e^{π} - (0 - e^{\frac{1}{2} π})$

= $- e^{π} - \frac{3}{2} + e^{\frac{1}{2} π}$

= $- e^{π} + e^{\frac{1}{2} π} - \frac{3}{2}$

≈ -19,83

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 1 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $- 32 + 0$

= $- 32$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + e^{- x}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - e^{- x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - e^{- (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot \cos (0) - e^{- (0)})$

= $2 \cdot 0 - e^{- (\frac{3}{2} π)} - (2 \cdot 1 - e^{0})$

= $0 - e^{- (\frac{3}{2} π)} - (2 - 1)$

= $- e^{- \frac{3}{2} π} - 1 \cdot 1$

= $- e^{- \frac{3}{2} π} - 1$

≈ -1,009

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 4)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 + 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 + 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 1^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 1 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{2}{9} - \frac{128}{9}$

= $- 14$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel