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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 25 + 25 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 5)$

= $\frac{25}{2} + 25 - (\frac{1}{2} + 5)$

= $\frac{25}{2} + \frac{50}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{10}{2})$

= $\frac{75}{2} - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $\frac{75}{2} - \frac{11}{2}$

= $32$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) - 2 x) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (- 3 \cdot \sin (0) - {(0)}^{2})$

= $- 3 \cdot 1 - {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (- 3 \cdot 0 - 0)$

= $- 3 - {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $- 3 - \frac{1}{4} \cdot π^{2} + 0$

= $- 3 - \frac{1}{4} \cdot π^{2}$

≈ -5,467

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \cos (- 3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- 4 π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $1 - 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (4 \cdot \cos (0) - \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (4 \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- 4 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (4 + 0)$

= $- 4 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - 4$

= $- 4 - 4 - \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

= $- 8 - \frac{3}{4} \cdot π^{4}$

≈ -81,057

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 6} + e^{- 3 \cdot 0 + 6}$

= $- e^{- 9 + 6} + e^{0 + 6}$

= $- e^{- 3} + e^{6}$

≈ 403,379

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel