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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -9 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (4 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 - 9 - (\frac{4}{3} \cdot 0 - 0)$

= $36 - 9 - (0 + 0)$

= $27 + 0$

= $27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - \frac{4}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - \frac{4}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (\sin (x) - 4 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + 4 x^{- 1}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \cos (x) + \frac{4}{x}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \cos (2 π) + \frac{4}{2 π} - (- \cos (π) + \frac{4}{π})$

= $- 1 + \frac{4}{2 π} - (- (- 1) + \frac{4}{π})$

= $- 1 + \frac{4}{2 π} - (1 + \frac{4}{π})$

= $- 1 + \frac{2}{π} - (1 + \frac{4}{π})$

= $- 1 + \frac{2}{π} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{4}{π}$

= $- 1 + \frac{2}{π} - 1 - \frac{4}{π}$

= $- 1 - 1 + \frac{2}{π} - \frac{4}{π}$

= $- 2 - \frac{2}{π}$

≈ -2,637

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 6 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{1}{2} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- \sin (0) + \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4})$

= $- (- 1) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (- 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $1 + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $1 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} + 0$

= $1 + \frac{81}{32} \cdot π^{4}$

≈ 247,567

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{11}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel