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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 -6 -8 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (5 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} \cdot 16 - 12 - (\frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $40 - 12 - (0 + 0)$

= $28 + 0$

= $28$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (2 {(- 3 x + 6)}^{3} + 6) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (2 {(- 3 x + 6)}^{3} + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 6)}^{4} + 6 x]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 6)}^{4} + 6 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{4} + 6 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 12 + 6)}^{4} + 24 - (- \frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 6)}^{4} + 12)$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{4} + 24 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{4} + 12)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 1 296 + 24 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 12)$

= $- 216 + 24 - (0 + 12)$

= $- 192 - 12$

= $- 204$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (\frac{2}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (\frac{2}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (\frac{2}{3} e^{- 3 x} - x^{- \frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} e^{- 3 x} - 2 x^{\frac{1}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[- \frac{2}{9} e^{- 3 x} - 2 \sqrt{x}]}_{4}^{16}$

$=$ $- \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot 16} - 2 \sqrt{16} - (- \frac{2}{9} e^{- 3 \cdot 4} - 2 \sqrt{4})$

= $- \frac{2}{9} e^{- 48} - 2 \cdot 4 - (- \frac{2}{9} e^{- 12} - 2 \cdot 2)$

= $- \frac{2}{9} e^{- 48} - 8 - (- \frac{2}{9} e^{- 12} - 4)$

= $\frac{2}{9} e^{- 12} - 1 \cdot (- 4) - \frac{2}{9} e^{- 48} - 8$

= $\frac{2}{9} e^{- 12} + 4 - \frac{2}{9} e^{- 48} - 8$

= $\frac{2}{9} e^{- 12} - \frac{2}{9} e^{- 48} + 4 - 8$

= $\frac{2}{9} e^{- 12} - \frac{2}{9} e^{- 48} - 4$

≈ -4

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (2 {(x - 2)}^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (2 {(x - 2)}^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{3} - 4 x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(4 - 2)}^{3} - 4 \cdot 4 - (\frac{2}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 16 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8)$

= $\frac{2}{3} \cdot 8 - 16 - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8)$

= $\frac{16}{3} - 16 - (0 - 8)$

= $\frac{16}{3} - \frac{48}{3} + 8$

= $- \frac{32}{3} + 8$

= $- \frac{32}{3} + \frac{24}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel