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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 2 -1 -2 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 3 \cdot 2 - (- 0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $- 8 + 6 - (- 0 + 0)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (x^{- 4} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{- 3} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3 π^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3 π^{3}} + \frac{1}{2} \cdot 0 - (- \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3 π^{3}} + 0 - (- \frac{1}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{3 π^{3}} - (\frac{1}{2} - \frac{8}{3 π^{3}})$

= $- 1 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot (- \frac{8}{3 π^{3}}) - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $- \frac{1}{2} + \frac{8}{3 π^{3}} - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $- \frac{1}{2} + \frac{7}{3 π^{3}}$

≈ -0,425

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} {(- 3 x + 7)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 12 + 7)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 6 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot {(- 5)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot 1^{4}$

= $\frac{1}{12} \cdot 625 - \frac{1}{12} \cdot 1$

= $\frac{625}{12} - \frac{1}{12}$

= $52$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{3}{2} e^{2 x} + 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{3}{2} e^{2 x} + 8 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} e^{2 x} + 8 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{4} e^{2 \cdot π} + 8 \cdot \sin (π) - (- \frac{3}{4} e^{2 \cdot (0)} + 8 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{3}{4} e^{2 \cdot π} + 8 \cdot 0 - (- \frac{3}{4} e^{0} + 8 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{4} e^{2 \cdot π} + 0 - (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{4} e^{2 π} - (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{4} e^{2 π} + \frac{3}{4}$

≈ -400,869

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{3}{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{3}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - 3 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $- \ln (| 3 \cdot 6 - 3 |) + \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $- \ln (| 18 - 3 |) + \ln (| 9 - 3 |)$

= $- \ln (15) + \ln (| 9 - 3 |)$

= $- \ln (15) + \ln (6)$

≈ -0,916

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel