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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-4 +(-5)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 4.5 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 -9 = -21

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 2 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 4)$

= $0 + 0 - (\frac{16}{3} + 4)$

= $0 - (\frac{16}{3} + \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{28}{3}$

= $- \frac{28}{3}$

≈ -9,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 8 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \sin (x) + 8 x^{5}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (5 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 5 + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - (0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 5 + \frac{4}{3} \cdot π^{6} - \frac{1}{48} \cdot π^{6}$

= $- 5 + \frac{21}{16} \cdot π^{6}$

≈ 1256,823

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 10}^{- 2} - 2 \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

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\int_{- 10}^{- 2} - 2 \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x

=

\int_{- 10}^{- 2} - 2 {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- 2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 10}^{- 2}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 x + 5})}^{3}]}_{- 10}^{- 2}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 2) + 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 10) + 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{4 + 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{20 + 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 125$

= $18 - \frac{250}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{250}{3}$

= $- \frac{196}{3}$

≈ -65,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + x^{3}) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + x^{3}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + \frac{1}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (5 \cdot \cos (0) + \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $5 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (5 \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (5 + 0)$

= $\frac{1}{64} \cdot π^{4} - 5$

≈ -3,478

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 1 + 3} - e^{- 2 \cdot 0 + 3}$

= $e^{- 2 + 3} - e^{0 + 3}$

= $e - e^{3}$

≈ -17,367

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel