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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 +6 +12 = 14

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 6 - (2 \cdot 9 + 9)$

= $8 + 6 - (18 + 9)$

= $14 - 1 \cdot 27$

= $14 - 27$

= $- 13$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} x^{5} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} x^{5} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{12} x^{6} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{5}{12} \cdot {(0)}^{6} - \frac{1}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{5}{12} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0 - (0 - \frac{1}{2})$

= $\frac{5}{768} \cdot π^{6} - (0 - \frac{1}{2})$

= $\frac{5}{768} \cdot π^{6} + \frac{1}{2}$

≈ 6,759

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} - 2 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[\frac{2}{x - 2}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{2}{5 - 2} - \frac{2}{3 - 2}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{1}$

= $2 \cdot (\frac{1}{3}) - 2 \cdot 1$

= $\frac{2}{3} - 2$

= $\frac{2}{3} - \frac{6}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{1}{2} e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - \frac{1}{2} e^{- π} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{1}{2} e^{- π} - (- 3 \cdot 0 - \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $3 - \frac{1}{2} e^{- π} - (0 - \frac{1}{2} e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{1}{2} e^{- π} + 3 + \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 3,082

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel