Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +2 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 3 x^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 3 x^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $- 5^{3} - \frac{5}{2} \cdot 5^{2} - (- 1^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2})$

= $- 125 - \frac{5}{2} \cdot 25 - (- 1 - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- 125 - \frac{125}{2} - (- 1 - \frac{5}{2})$

= $- \frac{250}{2} - \frac{125}{2} - (- \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

= $- \frac{375}{2} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $- \frac{375}{2} + \frac{7}{2}$

= $- 184$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (π) - \sin (π) - (\frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 0 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 1)$

= $- \frac{1}{3} + 0 - (0 - 1)$

= $- \frac{1}{3} + 0 + 1$

= $- \frac{1}{3} + 1$

= $- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 3 \cdot \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (- π + \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{4} \cdot \sin (0) + \frac{4}{3} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{4} + 0 - (0 + \frac{4}{3})$

= $- \frac{1}{4} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{3}{12} - \frac{16}{12}$

= $- \frac{19}{12}$

≈ -1,583

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{3} - 3 e$

≈ 52,102

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel