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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 +9 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (5 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (5 x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 5 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{2} \cdot 4 - 10)$

= $0 + 0 - (10 - 10)$

= $0 - 1 \cdot 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{3} \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{7}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{7}{3} \cdot 0 - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{7}{3} \cdot 0 - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 - \frac{9}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{9}{4} e^{3 π} + \frac{9}{4} e^{π}$

≈ -27829,141

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 {(2 x - 3)}^{2} - 4) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{1} (2 {(2 x - 3)}^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{3} - 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{3} - 4 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{3} - 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(2 - 3)}^{3} - 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 4 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + 0)$

= $- \frac{1}{3} - 4 - (- 9 + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{12}{3} + 9$

= $- \frac{13}{3} + 9$

= $- \frac{13}{3} + \frac{27}{3}$

= $- \frac{13}{3} + 9$

= $- \frac{13}{3} + \frac{27}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (4 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $- 4 + 0 - (4 + 0)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (0) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$

= $0 + 3$

= $3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel