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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +4 +3 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- 8 + \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 8 + 2 - (0 + 0)$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 e^{x} - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 e^{x} - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 e^{x} + 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 e^{π} + 9 \cdot \cos (π) - (5 e^{0} + 9 \cdot \cos (0))$

= $5 e^{π} + 9 \cdot (- 1) - (5 + 9 \cdot 1)$

= $5 e^{π} - 9 - (5 + 9)$

= $5 e^{π} - 9 - 1 \cdot 14$

= $5 e^{π} - 9 - 14$

= $5 e^{π} - 23$

≈ 92,703

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2}$

≈ 9,584

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 e^{x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 e^{x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 e^{x} - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 e^{\frac{3}{2} π} - 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 3 e^{0} - 5 \cdot \sin (0))$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} - 5 \cdot (- 1) - (- 3 - 5 \cdot 0)$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + 5 - (- 3 + 0)$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + 5 + 3$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} π} + 8$

≈ -325,953

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 3} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $- \frac{3}{2} e^{4 - 3} + \frac{3}{2} e^{0 - 3}$

= $- \frac{3}{2} e + \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ -4,003

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel