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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-4 +(-3)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 3.5 ) = -7.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 -7 = -19

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 8 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $2 + 8 - (0 + 0)$

= $10 + 0$

= $10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (π) + \frac{1}{4} \cdot \cos (π) - (- \frac{8}{3} \cdot \sin (0) + \frac{1}{4} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{8}{3} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot (- 1) - (- \frac{8}{3} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $0 - \frac{1}{4} - (0 + \frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 2 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(6 - 2)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(4 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 8$

= $- \frac{64}{3} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{56}{3}$

≈ -18,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (- \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- 0 + 3 \cdot (- 1) - (- 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 3} + 3 e^{- 0 + 3}$

= $- 3 e + 3 e^{3}$

≈ 52,102

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel