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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 7 f(x) x .

Lösung einblenden

2 7 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 = 4 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

2 7 f(x) x = I2 + I3 = 2 4 f(x) x + 4 7 f(x) x = 4 +12 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 2 ( -2 x 2 -5 ) x .

Lösung einblenden
-2 2 ( -2 x 2 -5 ) x

= [ - 2 3 x 3 -5x ] -2 2

= - 2 3 2 3 -52 - ( - 2 3 ( -2 ) 3 -5( -2 ) )

= - 2 3 8 -10 - ( - 2 3 ( -8 ) +10 )

= - 16 3 -10 - ( 16 3 +10 )

= - 16 3 - 30 3 - ( 16 3 + 30 3 )

= - 46 3 -1 · 46 3

= - 46 3 - 46 3

= - 92 3


≈ -30,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 4 16 ( 5 cos( x ) -2 x ) x .

Lösung einblenden
4 16 ( 5 cos( x ) -2 x ) x
= 4 16 ( 5 cos( x ) -2 x 1 2 ) x

= [ 5 sin( x ) - 4 3 x 3 2 ] 4 16

= [ 5 sin( x ) - 4 3 ( x ) 3 ] 4 16

= 5 sin( 16 ) - 4 3 ( 16 ) 3 - ( 5 sin( 4 ) - 4 3 ( 4 ) 3 )

= 5 sin( 16 ) - 4 3 4 3 - ( 5 sin( 4 ) - 4 3 2 3 )

= 5 sin( 16 ) - 4 3 64 - ( 5 sin( 4 ) - 4 3 8 )

= 5 sin( 16 ) - 256 3 - ( 5 sin( 4 ) - 32 3 )

= 5 sin( 16 ) - 256 3 -1 · 5 sin( 4 ) -1 · ( - 32 3 )

= 5 sin( 16 ) - 256 3 -5 sin( 4 ) + 32 3

= 5 sin( 16 ) -5 sin( 4 ) - 256 3 + 32 3

= 5 sin( 16 ) -5 sin( 4 ) - 224 3


≈ -72,322

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 3 3 e 2x -2 x .

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2 3 3 e 2x -2 x

= [ 3 2 e 2x -2 ] 2 3

= 3 2 e 23 -2 - 3 2 e 22 -2

= 3 2 e 6 -2 - 3 2 e 4 -2

= 3 2 e 4 - 3 2 e 2


≈ 70,814

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 2 sin( x ) -2 cos( x ) ) x .

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1 2 π 3 2 π ( 2 sin( x ) -2 cos( x ) ) x

= [ -2 cos( x ) -2 sin( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= -2 cos( 3 2 π ) -2 sin( 3 2 π ) - ( -2 cos( 1 2 π ) -2 sin( 1 2 π ) )

= -20 -2( -1 ) - ( -20 -21 )

= 0 +2 - (0 -2 )

= 2 +2

= 4

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 4 ( 2 ( 2x -2 ) 2 +3 ) x .

Lösung einblenden
2 4 ( 2 ( 2x -2 ) 2 +3 ) x

= [ 1 3 ( 2x -2 ) 3 +3x ] 2 4

= 1 3 ( 24 -2 ) 3 +34 - ( 1 3 ( 22 -2 ) 3 +32 )

= 1 3 ( 8 -2 ) 3 +12 - ( 1 3 ( 4 -2 ) 3 +6 )

= 1 3 6 3 +12 - ( 1 3 2 3 +6 )

= 1 3 216 +12 - ( 1 3 8 +6 )

= 72 +12 - ( 8 3 +6 )

= 84 - ( 8 3 + 18 3 )

= 84 -1 · 26 3

= 84 - 26 3

= 252 3 - 26 3

= 226 3


≈ 75,333