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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -4 +6 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (5 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (5 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3 - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 - 6 - (\frac{5}{3} \cdot 1 - 2)$

= $45 - 6 - (\frac{5}{3} - 2)$

= $39 - (\frac{5}{3} - \frac{6}{3})$

= $39 - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $39 + \frac{1}{3}$

= $\frac{117}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{118}{3}$

≈ 39,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (π) - \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{5}{4} \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{5}{4} - (\frac{3}{2} + 0)$

= $\frac{5}{4} - \frac{3}{2}$

= $\frac{5}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{1}{4}$

= -0,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 5 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) - \frac{3}{2} e^{2 \cdot π} - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $4 \cdot 0 - \frac{3}{2} e^{2 \cdot π} - (4 \cdot 1 - \frac{3}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 - \frac{3}{2} e^{2 \cdot π} - (4 - \frac{3}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{3}{2} e^{2 π} - (- \frac{3}{2} e^{π} + 4)$

= $- \frac{3}{2} e^{2 π} + \frac{3}{2} e^{π} - 1 \cdot 4$

= $- \frac{3}{2} e^{2 π} + \frac{3}{2} e^{π} - 4$

≈ -772,526

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \cos (\frac{7}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel