Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +1 +3 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (2 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (2 x + 4) ⅆ x

= ${[x^{2} + 4 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $0^{2} + 4 \cdot 0 - ({(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $0 + 0 - (1 - 4)$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 4)$

= $- 1 + 4$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- 6 e^{x} - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- 6 e^{x} - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{3} (- 6 e^{x} - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 6 e^{x} + 3 x^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- 6 e^{x} + \frac{3}{x}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 6 e^{3} + \frac{3}{3} - (- 6 e^{2} + \frac{3}{2})$

= $- 6 e^{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3}) - (- 6 e^{2} + 3 \cdot (\frac{1}{2}))$

= $- 6 e^{3} + 1 - (- 6 e^{2} + \frac{3}{2})$

= $- 6 e^{3} + 1 + 6 e^{2} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $- 6 e^{3} + 1 + 6 e^{2} - \frac{3}{2}$

= $- 6 e^{3} + 6 e^{2} + 1 - \frac{3}{2}$

= $- 6 e^{3} + 6 e^{2} - \frac{1}{2}$

≈ -76,679

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 7} - \frac{2}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{- 1} - \frac{2}{3} e^{- 7}$

≈ 0,245

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 7 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 7 \cdot \sin (π) + \frac{8}{3} \cdot \cos (π) - (- 7 \cdot \sin (0) + \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $- 7 \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (- 7 \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $0 - \frac{8}{3} - (0 + \frac{8}{3})$

= $- \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{2} - 2 e$

≈ 9,342

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel