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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -12 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 5 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{64}{3} - 20 - (0 + 0)$

= $\frac{64}{3} - \frac{60}{3} + 0$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (7 x^{4} + 2 \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (7 x^{4} + 2 \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (7 x^{4} + 2 x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}]}_{0}^{9}$

= ${[\frac{7}{5} x^{5} + \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{0}^{9}$

$=$ $\frac{7}{5} \cdot 9^{5} + \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{9})}^{4} - (\frac{7}{5} \cdot 0^{5} + \frac{3}{2} {(\sqrt[3]{0})}^{4})$

= $\frac{7}{5} \cdot 59049 + \frac{3}{2} \cdot 1^{4} - (\frac{7}{5} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0^{4})$

= $\frac{413343}{5} + \frac{3}{2} \cdot 1 - (0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{413343}{5} + \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $\frac{826686}{10} + \frac{15}{10} + 0$

= $\frac{826701}{10}$

≈ 82696,681

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 4} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{3 - 4} + \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 1} + \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ -0,233

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{2}{3} \cdot \sin (0) + \frac{3}{2} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{2}{3} + 0 - (0 + \frac{3}{2})$

= $- \frac{2}{3} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{4}{6} - \frac{9}{6}$

= $- \frac{13}{6}$

≈ -2,167

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\cos (2 π) - \cos (0)$

= $1 - 1$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel