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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 6 +8 = 14

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 - 1 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 1)$

= $- \frac{2}{3} - 1 - (\frac{2}{3} - 1)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{3})$

= $- \frac{5}{3} - 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{5}{3} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) + 5 \cdot \cos (π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $0 - 5 - (4 + 0)$

= $- 5 - 4$

= $- 9$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - {(- x + 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - {(- x + 2)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- x + 2)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 5 + 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 2)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 27) - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- 9 + 0$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{3}{2} \cdot \sin (0) - \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{8}{3} \cdot 0 - (\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $\frac{3}{2} + 0 - (0 - \frac{8}{3})$

= $\frac{3}{2} + \frac{8}{3}$

= $\frac{9}{6} + \frac{16}{6}$

= $\frac{25}{6}$

≈ 4,167

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 1} - 2 e^{1 - 1}$

= $2 e - 2 e^{0}$

= $2 e - 2$

≈ 3,437

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel