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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -2 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 1 + 5)$

= $8 + 10 - (2 + 5)$

= $18 - 1 \cdot 7$

= $18 - 7$

= $11$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 x^{4} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 x^{4} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} + \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot π^{5} + \sin (π) - (\frac{3}{5} \cdot {(0)}^{5} + \sin (0))$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5} + 0 - (\frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5} - (0 + 0)$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5} + 0$

= $\frac{3}{5} \cdot π^{5}$

≈ 183,612

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (2 π) + \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (3 + 0)$

= $2 - 3$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{- 5 + 3} - e^{- 2 + 3}$

= $e^{- 2} - e$

≈ -2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel