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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -8 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (3 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (3 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[x^{3} + x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2^{3} + 2 - ({(- 1)}^{3} - 1)$

= $8 + 2 - ((- 1) - 1)$

= $8 + 2 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 1)$

= $8 + 2 + 1 + 1$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 1 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 - 0)$

= $0 - 1 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $- 1 - (- \frac{1}{3} + 0)$

= $- 1 + \frac{1}{3}$

= $- \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (3 {(- 2 x + 3)}^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (3 {(- 2 x + 3)}^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 3)}^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 4 + 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{3} + 10 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{3} + \frac{5}{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + 10 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2})$

= $\frac{1}{2} + 10 - (- \frac{1}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{1}{2} + \frac{20}{2} - 1 \cdot 2$

= $\frac{21}{2} - 2$

= $\frac{21}{2} - \frac{4}{2}$

= $\frac{21}{2} - 2$

= $\frac{21}{2} - \frac{4}{2}$

= $\frac{17}{2}$

= 8,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{x^{4}} + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{x^{4}} + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 x^{- 4} + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{- 3} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{4}{3 x^{3}} + \frac{5}{3} \cdot \sin (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{4}{3 π^{3}} + \frac{5}{3} \cdot \sin (π))$

= $\frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} + \frac{5}{3} \cdot (- 1) - (\frac{4}{3 π^{3}} + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - \frac{5}{3} - (\frac{4}{3 π^{3}} + 0)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{32}{81 π^{3}} - \frac{4}{3 π^{3}}$

= $- \frac{5}{3} - \frac{76}{81 π^{3}}$

≈ -1,697

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- π - π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - π)$

= $3 \cdot \sin (- 2 π) - 3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot 1$

= $0 - 3$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel