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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} + 5 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 + 25 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5)$

= $\frac{125}{3} + 25 - (\frac{1}{3} + 5)$

= $\frac{125}{3} + \frac{75}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{15}{3})$

= $\frac{200}{3} - 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $\frac{200}{3} - \frac{16}{3}$

= $\frac{184}{3}$

≈ 61,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - 9 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - 9 e^{- x}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) + 9 e^{- x}]}_{0}^{π}$

$=$ $7 \cdot \cos (π) + 9 e^{- π} - (7 \cdot \cos (0) + 9 e^{- (0)})$

= $7 \cdot (- 1) + 9 e^{- π} - (7 \cdot 1 + 9 e^{0})$

= $- 7 + 9 e^{- π} - (7 + 9)$

= $9 e^{- π} - 7 - 1 \cdot 16$

= $9 e^{- π} - 7 - 16$

= $9 e^{- π} - 23$

≈ -22,611

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{8} {(2 x - 3)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot {(4 - 3)}^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(2 - 3)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot 1^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1$

= $\frac{3}{8} - \frac{3}{8}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - \frac{5}{8} e^{2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (5 \cdot \sin (0) - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (0)})$

= $5 \cdot 1 - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (5 \cdot 0 - \frac{5}{8} e^{0})$

= $5 - \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - \frac{5}{8})$

= $- \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 5 - (0 - \frac{5}{8})$

= $- \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 5 + \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{8} e^{π} + \frac{45}{8}$

≈ -8,838

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} \frac{3}{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{6} \frac{3}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 3 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $3 \ln (| 6 - 3 |) - 3 \ln (| 4 - 3 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (| 4 - 3 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (3) + 0$

= $3 \ln (3)$

≈ 3,296

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel