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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -8 -6 +2 +6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $\frac{9}{2} + 12 - (\frac{1}{2} - 4)$

= $\frac{9}{2} + \frac{24}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $\frac{33}{2} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $\frac{33}{2} + \frac{7}{2}$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 4 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 4 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 4 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (π) - 4 e^{- π} - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{9}{4} \cdot (- 1) - 4 e^{- π} - (- \frac{9}{4} \cdot 0 - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{9}{4} - 4 e^{- π} - (0 - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 e^{- π} + \frac{9}{4} + 4 e^{- \frac{1}{2} π}$

≈ 2,909

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 3} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{3}{2} e^{- 6 + 3} - \frac{3}{2} e^{- 4 + 3}$

= $\frac{3}{2} e^{- 3} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ -0,477

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + x^{4}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{5} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- 5 \cdot (- 1) + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $5 + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (- 5 + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $5 + \frac{243}{160} \cdot π^{5} - (- 5 + \frac{1}{160} \cdot π^{5})$

= $5 + \frac{243}{160} \cdot π^{5} - 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot \frac{1}{160} \cdot π^{5}$

= $5 + \frac{243}{160} \cdot π^{5} + 5 - \frac{1}{160} \cdot π^{5}$

= $5 + 5 + \frac{243}{160} \cdot π^{5} - \frac{1}{160} \cdot π^{5}$

= $10 + \frac{121}{80} \cdot π^{5}$

≈ 472,855

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{7} \frac{2}{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{7} \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{7}$

$=$ $2 \ln (| 7 - 3 |) - 2 \ln (| 5 - 3 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (| 5 - 3 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (2)$

≈ 1,386

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel