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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{-3 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 -3 -9 -5 = -11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (3 x + 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 + 5 - (\frac{3}{2} \cdot 9 - 15)$

= $\frac{3}{2} + 5 - (\frac{27}{2} - 15)$

= $\frac{3}{2} + \frac{10}{2} - (\frac{27}{2} - \frac{30}{2})$

= $\frac{13}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $\frac{13}{2} + \frac{3}{2}$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{2} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 x^{2} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} + 2 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 2 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + 0 - (0 + 2)$

= $\frac{1}{12} \cdot π^{3} - 2$

≈ 0,584

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (π) + 3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 + \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (- 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} - (- 1 + 0)$

= $0 - \frac{4}{3} + 1$

= $- \frac{4}{3} + 1$

= $- \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[- \cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \cos (- 2 π) + \cos (0)$

= $- 1 + 1$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel