$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 4)\; \cdot \; <mn>1</mn>}}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -6 -3 +1.5 = -7.5

= ${\left[\frac{3}{2}{x}^2-x\right]}_{-2}^1$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot 1^2-1-\left(\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot 1-1-\left(\frac{3}{2}\cdot 4+2\right)$

= $\frac{3}{2}-1-\left(6+2\right)$

= $\frac{3}{2}-\frac{2}{2}-1·8$

= $\frac{1}{2}-8$

= $\frac{1}{2}-\frac{16}{2}$

= $-\frac{15}{2}$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^9$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_4^9$

$=$ $-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 9}-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3-\left(-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 4}-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{4}\right)}^3\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}-\frac{4}{3}\cdot 3^3-\left(-\frac{1}{3}{e}^{12}-\frac{4}{3}\cdot 2^3\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}-\frac{4}{3}\cdot 27-\left(-\frac{1}{3}{e}^{12}-\frac{4}{3}\cdot 8\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}-36-\left(-\frac{1}{3}{e}^{12}-\frac{32}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}-36+\frac{1}{3}{e}^{12}-1·\left(-\frac{32}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}-36+\frac{1}{3}{e}^{12}+\frac{32}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}+\frac{1}{3}{e}^{12}-36+\frac{32}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{27}+\frac{1}{3}{e}^{12}-\frac{76}{3}$

= ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-3x+7}\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 2+7}+\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 0+7}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-6+7}+\frac{2}{3}{e}^{0+7}$

= $-\frac{2}{3}e+\frac{2}{3}{e}^7$

= $-\frac{2}{3}e+\frac{2}{3}{e}^7$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\pi \right)-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(\pi \right)-\left(5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $5\cdot 0-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-\left(5\cdot 1-\frac{7}{2}\cdot 0\right)$

= $0+\frac{7}{2}-\left(5+0\right)$

= $0+\frac{7}{2}-5$

= $\frac{7}{2}-5$

= $\frac{7}{2}-\frac{10}{2}$

= $-\frac{3}{2}$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \sin (3x-\pi )\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin (3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\pi )+\frac{1}{3}\cdot \sin (3\cdot \left(0\right)-\pi )$

= $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(\frac{7}{2}\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \sin (-\pi )$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{3}\cdot 0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}$