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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -2 +4.5 = 2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- 2^{2} - 2 - (- {(- 2)}^{2} - (- 2))$

= $- 4 - 2 - (- 4 + 2)$

= $- 4 - 2 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot 2$

= $- 4 - 2 + 4 - 2$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (\frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{3}{2} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (\frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{3}{2} x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x^{3}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (- 2)} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{3} - (- \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot (- 3)} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $- \frac{1}{4} e^{4} + \frac{1}{2} \cdot (- 8) - (- \frac{1}{4} e^{6} + \frac{1}{2} \cdot (- 27))$

= $- \frac{1}{4} e^{4} - 4 - (- \frac{1}{4} e^{6} - \frac{27}{2})$

= $\frac{1}{4} e^{6} - 1 \cdot (- \frac{27}{2}) - \frac{1}{4} e^{4} - 4$

= $\frac{1}{4} e^{6} + \frac{27}{2} - \frac{1}{4} e^{4} - 4$

= $\frac{1}{4} e^{6} - \frac{1}{4} e^{4} + \frac{27}{2} - 4$

= $\frac{1}{4} e^{6} - \frac{1}{4} e^{4} + \frac{19}{2}$

≈ 96,708

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} - 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} - 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} - 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 5^{3} + \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 125 + \frac{2}{3} \cdot 27$

= $- \frac{250}{3} + 18$

= $- \frac{250}{3} + \frac{54}{3}$

= $- \frac{196}{3}$

≈ -65,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (0) - 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{9}{4} \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (- \frac{9}{4} \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{9}{4} + 0 - (- \frac{9}{4} + 0)$

= $\frac{9}{4} + \frac{9}{4}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π + \frac{1}{2} π) - \sin (0 + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel