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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 1 - 3 - (2 \cdot 1 + 3)$

= $2 - 3 - (2 + 3)$

= $- 1 - 1 \cdot 5$

= $- 1 - 5$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{8} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{8} e^{2 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{9}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{9}{8} e^{2 \cdot π} - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{9}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{9}{8} e^{2 \cdot π} + \frac{1}{2} - (- \frac{9}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{9}{8} e^{2 \cdot π} + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} e^{π}$

= $- \frac{9}{8} e^{2 π} + \frac{9}{8} e^{π} + \frac{1}{2}$

≈ -575,895

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{12 - 3} + \frac{2}{3} e^{3 - 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{9} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{9} + \frac{2}{3}$

≈ -5401,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 5 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot \cos (0) + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} e^{0})$

= $0 + \frac{5}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π} - 1 \cdot 0$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π} + 0$

= $\frac{5}{2} e^{- 3 π}$

≈ 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(- 2 x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(- 2 x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[\frac{1}{- 2 x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{- 2 \cdot 3 + 1} - \frac{1}{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $\frac{1}{- 6 + 1} - \frac{1}{- 4 + 1}$

= $\frac{1}{(- 5)} - \frac{1}{(- 3)}$

= $(- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{5} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{3}{15} + \frac{5}{15}$

= $\frac{2}{15}$

≈ 0,133

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel