$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 5)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 8 +6 -3 = 11

= ${\left[2x^2+4x\right]}_0^1$

$=$ $2\cdot 1^2+4\cdot 1-\left(2\cdot 0^2+4\cdot 0\right)$

= $2\cdot 1+4-\left(2\cdot 0+0\right)$

= $2+4-\left(0+0\right)$

= $6+0$

= $6$

= ${\left[-\frac{5}{3}{e}^{-3x}-\frac{3}{4}{x}^4\right]}_{-2}^1$

$=$ $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot 1}-\frac{3}{4}\cdot 1^4-\left(-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(-2\right)}-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-3}-\frac{3}{4}\cdot 1-\left(-\frac{5}{3}{e}^6-\frac{3}{4}\cdot 16\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-3}-\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{3}{e}^6-12\right)$

= $\frac{5}{3}{e}^6-1·\left(-12\right)-\frac{5}{3}{e}^{-3}-\frac{3}{4}$

= $\frac{5}{3}{e}^6+12-\frac{5}{3}{e}^{-3}-\frac{3}{4}$

= $\frac{5}{3}{e}^6-\frac{5}{3}{e}^{-3}+12-\frac{3}{4}$

= $\frac{5}{3}{e}^6-\frac{5}{3}{e}^{-3}+\frac{45}{4}$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos (2x-\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos (2\cdot \pi -\pi )-\frac{1}{2}\cdot \cos (2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

= $-1$

= ${\left[-x^{-1}-5e^{-x}\right]}_2^5$

= ${\left[-\frac{1}{x}-5e^{-x}\right]}_2^5$

$=$ $-\frac{1}{5}-5e^{-5}-\left(-\frac{1}{2}-5e^{-2}\right)$

= $-\left(\frac{1}{5}\right)-5e^{-5}-\left(-\left(\frac{1}{2}\right)-5e^{-2}\right)$

= $-\frac{1}{5}-5e^{-5}-1·\left(-\frac{1}{2}\right)+5e^{-2}$

= $-\frac{1}{5}-5e^{-5}+\frac{1}{2}+5e^{-2}$

= $5e^{-2}-5e^{-5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}$

= $5e^{-2}-5e^{-5}+\frac{3}{10}$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(3x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \pi +\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(0\right)+\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(\frac{7}{2}\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{3}\cdot 1$

= $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$