Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4.5 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 3 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} - 2 x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - (- 0^{3} - 2 \cdot 0^{2})$

= $- 1 - 2 \cdot 1 - (- 0 - 2 \cdot 0)$

= $- 1 - 2 - (0 + 0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 9 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 9 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - \frac{9}{4} \cdot π^{4} - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{9}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{9}{4} \cdot π^{4} - (- 4 \cdot 1 - \frac{9}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $0 - \frac{9}{4} \cdot π^{4} - (- 4 - \frac{9}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{9}{4} \cdot π^{4} - (- 4 - \frac{9}{64} \cdot π^{4})$

= $- 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- \frac{9}{64} \cdot π^{4}) - \frac{9}{4} \cdot π^{4}$

= $4 + \frac{9}{64} \cdot π^{4} - \frac{9}{4} \cdot π^{4}$

= $4 - \frac{135}{64} \cdot π^{4}$

≈ -201,472

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 5 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 5 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot 1 + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 + \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - 4 - (\frac{5}{2} e^{π} + 4)$

= $\frac{5}{2} e^{3 π} - 4 - \frac{5}{2} e^{π} - 1 \cdot 4$

= $\frac{5}{2} e^{3 π} - 4 - \frac{5}{2} e^{π} - 4$

= $\frac{5}{2} e^{3 π} - \frac{5}{2} e^{π} - 4 - 4$

= $\frac{5}{2} e^{3 π} - \frac{5}{2} e^{π} - 8$

≈ 30913,268

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{- 3 + 3} - 3 e^{- 1 + 3}$

= $3 e^{0} - 3 e^{2}$

= $3 - 3 e^{2}$

≈ -19,167

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel