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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-4 +(-1)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 2.5 ) = -5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -8 -5 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (5 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (5 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 - (\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} \cdot 16 - 20 - (\frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $40 - 20 - (0 + 0)$

= $20 + 0$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $6 \cdot \cos (π) + \sin (π) - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $6 \cdot (- 1) + 0 - (6 \cdot 0 + 1)$

= $- 6 + 0 - (0 + 1)$

= $- 6 - 1$

= $- 7$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 3} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 9 + 3} - \frac{1}{3} e^{0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 6} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ -6,694

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) - 4 \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (5 + 0)$

= $4 - 5$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 {(- 3 x + 6)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 {(- 3 x + 6)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 6)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 6)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(- 6 + 6)}^{4} + \frac{1}{6} \cdot {(- 3 + 6)}^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 0^{4} + \frac{1}{6} \cdot 3^{4}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot 81$

= $0 + \frac{27}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel