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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-3 +(-1)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 2 -3 -9 -6 = -16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 9 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2)$

= $\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} - 2)$

= $\frac{9}{2} - \frac{12}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

= $- \frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \cos (0) + \frac{2}{3} \cdot \sin (0))$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1 - (- 4 \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{2}{3} - (- 4 + 0)$

= $0 + \frac{2}{3} + 4$

= $\frac{2}{3} + 4$

= $\frac{2}{3} + \frac{12}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π - π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 3 π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $0 + 3 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $3 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $3 + \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{3} + \frac{4}{3}$

= $\frac{13}{3}$

≈ 4,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel