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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- x - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 - 15 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} - 15 - (0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} - \frac{30}{2} + 0$

= $- \frac{39}{2}$

= -19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 5 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) - 5 x^{4}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - x^{5}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) - π^{5} - (- 2 \cdot \cos (0) - {(0)}^{5})$

= $- 2 \cdot (- 1) - π^{5} - (- 2 \cdot 1 - 0)$

= $2 - π^{5} - (- 2 + 0)$

= $2 - π^{5} + 2$

= $2 + 2 - π^{5}$

= $4 - π^{5}$

≈ -302,02

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 4} + e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- e^{- 9 + 4} + e^{0 + 4}$

= $- e^{- 5} + e^{4}$

≈ 54,591

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (e^{3 x} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (e^{3 x} - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x} + 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} + 5 \cdot \cos (π) - (\frac{1}{3} e^{3 \cdot (0)} + 5 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} + 5 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} e^{0} + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} - 5 - (\frac{1}{3} + 5)$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} - 5 - (\frac{1}{3} + \frac{15}{3})$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} - 5 - 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot π} - 5 - \frac{16}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{3 π} - \frac{31}{3}$

≈ 4120,216

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (2 {(- x + 3)}^{3} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (2 {(- x + 3)}^{3} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- x + 3)}^{4} + 2 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 3 + 3)}^{4} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 3)}^{4} + 2 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{4} + 4)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 4)$

= $0 + 6 - (- \frac{1}{2} + 4)$

= $6 - (- \frac{1}{2} + \frac{8}{2})$

= $6 - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $6 - \frac{7}{2}$

= $\frac{12}{2} - \frac{7}{2}$

= $6 - \frac{7}{2}$

= $\frac{12}{2} - \frac{7}{2}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel