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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 +3 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 2 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2^{2} + 5 \cdot 2 - (- 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- 4 + 10 - (- 1 + 5)$

= $- 4 + 10 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 5$

= $- 4 + 10 + 1 - 5$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 x^{- 3} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{π^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{π^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{π^{2}} + \frac{1}{2} - (- \frac{2}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 0)$

= $\frac{1}{2} - \frac{2}{π^{2}} + \frac{8}{π^{2}}$

= $\frac{1}{2} + \frac{6}{π^{2}}$

≈ 1,108

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- 3 x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- 3 x} - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x} - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot π} - 5 \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot π} - 5 \cdot 0 - (\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot π} + 0 - (\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5)$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 π} - (\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 5)$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 π} - \frac{2}{3} e^{- \frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- 5)$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 π} - \frac{2}{3} e^{- \frac{3}{2} π} + 5$

= $- \frac{2}{3} e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{2}{3} e^{- 3 π} + 5$

≈ 4,994

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 2 + 3} - e^{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $e^{- 4 + 3} - e^{- 2 + 3}$

= $e^{- 1} - e$

≈ -2,35

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel