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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +8 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{3} + \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - (- {(- 1)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $- 27 + \frac{5}{2} \cdot 9 - (- (- 1) + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- 27 + \frac{45}{2} - (1 + \frac{5}{2})$

= $- \frac{54}{2} + \frac{45}{2} - (\frac{2}{2} + \frac{5}{2})$

= $- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $- \frac{9}{2} - \frac{7}{2}$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 6 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + 6 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (2 \cdot \cos (0) + 6 \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot 0 + 6 \cdot 1 - (2 \cdot 1 + 6 \cdot 0)$

= $0 + 6 - (2 + 0)$

= $6 - 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 6 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{0} + \frac{2}{3} e^{3}$

= $- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 12,724

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (\sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $0 + 3 \cdot (- 1) - (0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - {(x - 2)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - {(x - 2)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(x - 2)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(4 - 2)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(2 - 2)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 0$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel