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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -9 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 - 8 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 - 12)$

= $- 2 - 8 - (- \frac{9}{2} - 12)$

= $- 10 - (- \frac{9}{2} - \frac{24}{2})$

= $- 10 - 1 \cdot (- \frac{33}{2})$

= $- 10 + \frac{33}{2}$

= $- \frac{20}{2} + \frac{33}{2}$

= $\frac{13}{2}$

= 6,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} e^{3 x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} e^{3 x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{6} e^{3 x} - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{6} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{5}{6} e^{3 \cdot (0)} - \cos (0))$

= $\frac{5}{6} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 0 - (\frac{5}{6} e^{0} - 1)$

= $\frac{5}{6} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0 - (\frac{5}{6} - 1)$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} π} - (\frac{5}{6} - \frac{6}{6})$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{1}{6})$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} π} + \frac{1}{6}$

≈ 92,931

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (2 π) + 3 \cdot \sin (π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[4 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2 x^{2}}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (4 \cdot \sin (π) - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $4 \cdot (- 1) - \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (4 \cdot 0 - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 4 - \frac{3}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (0 - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 4 - \frac{2}{3 π^{2}} + \frac{3}{2 π^{2}}$

= $- 4 + \frac{5}{6 π^{2}}$

≈ -3,916

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 2} - \frac{1}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{8} - \frac{1}{2} e^{2}$

≈ 1486,784

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel