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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -2 +6 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (4 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (4 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1 - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot 1 - 4 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{4}{3} - 4 - (0 + 0)$

= $\frac{4}{3} - \frac{12}{3} + 0$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (4 e^{- 2 x} - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (4 e^{- 2 x} - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (4 e^{- 2 x} - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 2 x} + 3 x^{- 1}]}_{1}^{5}$

= ${[- 2 e^{- 2 x} + \frac{3}{x}]}_{1}^{5}$

$=$ $- 2 e^{- 2 \cdot 5} + \frac{3}{5} - (- 2 e^{- 2 \cdot 1} + \frac{3}{1})$

= $- 2 e^{- 10} + 3 \cdot (\frac{1}{5}) - (- 2 e^{- 2} + 3 \cdot 1)$

= $- 2 e^{- 10} + \frac{3}{5} - (- 2 e^{- 2} + 3)$

= $2 e^{- 2} - 1 \cdot 3 - 2 e^{- 10} + \frac{3}{5}$

= $2 e^{- 2} - 3 - 2 e^{- 10} + \frac{3}{5}$

= $2 e^{- 2} - 2 e^{- 10} - 3 + \frac{3}{5}$

= $2 e^{- 2} - 2 e^{- 10} - \frac{12}{5}$

≈ -2,129

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 3} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{3 - 3} + \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{0} + \frac{1}{3} e^{- 3}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ -0,317

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{9} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{\sqrt{x}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{9} (- 4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{\sqrt{x}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{9} (- 4 \cdot \cos (x) + 3 x^{- \frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 6 x^{\frac{1}{2}}]}_{1}^{9}$

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 6 \sqrt{x}]}_{1}^{9}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (9) + 6 \sqrt{9} - (- 4 \cdot \sin (1) + 6 \sqrt{1})$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 6 \cdot 3 - (- 4 \cdot \sin (1) + 6 \cdot 1)$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 18 - (- 4 \cdot \sin (1) + 6)$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 18 - 1 \cdot (- 4 \cdot \sin (1)) - 1 \cdot 6$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 18 + 4 \cdot \sin (1) - 6$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 4 \cdot \sin (1) + 18 - 6$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 4 \cdot \sin (1) + 12$

= 13,716

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 5)}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 \cdot 4 - 5)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 2 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 (12 - 5)} + \frac{1}{3 (6 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{21} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{21} + \frac{7}{21}$

= $\frac{2}{7}$

≈ 0,286

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel