Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 -4.5 +4.5 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 9 + 15)$

= $8 + 10 - (18 + 15)$

= $18 - 1 \cdot 33$

= $18 - 33$

= $- 15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 4 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 4 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (π) + 2 e^{2 \cdot π} - (\frac{9}{2} \cdot \cos (0) + 2 e^{2 \cdot (0)})$

= $\frac{9}{2} \cdot (- 1) + 2 e^{2 \cdot π} - (\frac{9}{2} \cdot 1 + 2 e^{0})$

= $- \frac{9}{2} + 2 e^{2 \cdot π} - (\frac{9}{2} + 2)$

= $2 e^{2 \cdot π} - \frac{9}{2} - (\frac{9}{2} + \frac{4}{2})$

= $2 e^{2 \cdot π} - \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{13}{2}$

= $2 e^{2 \cdot π} - \frac{9}{2} - \frac{13}{2}$

= $2 e^{2 π} - 11$

≈ 1059,983

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (\frac{7}{2} π) + \cos (\frac{5}{2} π)$

= $- 0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{4} e^{3 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{4} e^{3 x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} e^{3 x} - 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{4} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{3}{4} e^{3 \cdot (0)} - 4 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{3}{4} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 \cdot 1 - (- \frac{3}{4} e^{0} - 4 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{4} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 - (- \frac{3}{4} + 0)$

= $- \frac{3}{4} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 4 + \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{2} π} - \frac{13}{4}$

≈ -86,738

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{- 2 + 1} + e^{- 0 + 1}$

= $- e^{- 1} + e$

≈ 2,35

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel