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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -12 -6 = -18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (2 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (2 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 - 2 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) + 6)$

= $\frac{2}{3} - 2 - (- 18 + 6)$

= $\frac{2}{3} - \frac{6}{3} - 1 \cdot (- 12)$

= $- \frac{4}{3} + 12$

= $- \frac{4}{3} + \frac{36}{3}$

= $\frac{32}{3}$

≈ 10,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{9}{8} e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $4 \cdot 0 + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (4 \cdot 0 + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{9}{8} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{9}{8} e^{- 3 π} - \frac{9}{8} e^{- π}$

≈ -0,049

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{1} (- 2 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3} + x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 1 - 2)}^{3} + 1^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3} + 0^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(2 - 2)}^{3} + 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + 0)$

= $0 + 1 - (\frac{8}{3} + 0)$

= $1 - (\frac{8}{3} + 0)$

= $1 - \frac{8}{3}$

= $\frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

= $1 - \frac{8}{3}$

= $\frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

= $- \frac{5}{3}$

≈ -1,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 3 \cdot 0 - (1 + 3 \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} \frac{3}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x$ .

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\int_{3}^{4} \frac{3}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 5)}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 4 - 5)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 5)}$

= $- \frac{3}{2 (8 - 5)} + \frac{3}{2 (6 - 5)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel