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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -4.5 = 11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 9 + 9 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 3)$

= $- \frac{27}{2} + 9 - (- \frac{3}{2} - 3)$

= $- \frac{27}{2} + \frac{18}{2} - (- \frac{3}{2} - \frac{6}{2})$

= $- \frac{9}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{9}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + \frac{4}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + \frac{4}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + 4 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[\cos (x) - 4 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\cos (x) - \frac{4}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π) - \frac{4}{π} - (\cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{\frac{1}{2} π})$

= $- 1 - \frac{4}{π} - (0 - \frac{4}{\frac{1}{2} π})$

= $- 1 - \frac{4}{π} + \frac{8}{π}$

= $- 1 + \frac{4}{π}$

≈ 0,273

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- 2 e^{1 - 2} + 2 e^{0 - 2}$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e^{- 2}$

≈ -0,465

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{3} x^{5} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{3} x^{5} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{18} x^{6} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{18} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{18} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - 1 - (- \frac{1}{18} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 1)$

= $- 1 - \frac{81}{128} \cdot π^{6} - (1 - \frac{1}{1152} \cdot π^{6})$

= $- 1 - \frac{81}{128} \cdot π^{6} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{1}{1152} \cdot π^{6})$

= $- 1 - \frac{81}{128} \cdot π^{6} - 1 + \frac{1}{1152} \cdot π^{6}$

= $- 1 - 1 - \frac{81}{128} \cdot π^{6} + \frac{1}{1152} \cdot π^{6}$

= $- 2 - \frac{91}{144} \cdot π^{6}$

≈ -609,545

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 + 2} + \frac{3}{2} e^{0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{0} + \frac{3}{2} e^{2}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 9,584

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel