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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 -6 = -5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + x]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} + 1 - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{3}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{3}{2} \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 1)$

= $- \frac{3}{2} + 0 - (0 + 1)$

= $- \frac{3}{2} + 0 - 1$

= $- \frac{3}{2} - 1$

= $- \frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} - \frac{3}{{(- x + 2)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} - \frac{3}{{(- x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} - 3 {(- x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- x + 2)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{3}{2 {(- x + 2)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(- 5 + 2)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 3 + 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(- 3)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{9}{6}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{5}{2} \cdot \cos (x) - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\frac{5}{2} \cdot \sin (0) - \frac{5}{2} \cdot {(0)}^{2})$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (\frac{5}{2} \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $\frac{5}{2} - \frac{5}{8} \cdot π^{2} + 0$

= $\frac{5}{2} - \frac{5}{8} \cdot π^{2}$

≈ -3,669

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 3 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 3 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- {(- 3 + 1)}^{3} + {(- 0 + 1)}^{3}$

= $- {(- 2)}^{3} + {(0 + 1)}^{3}$

= $- (- 8) + 1^{3}$

= $8 + 1$

= $9$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel