Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +1.5 +2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (4 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (4 x + 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $2 \cdot 9 + 9 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $18 + 9 - (0 + 0)$

= $27 + 0$

= $27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 5 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $- 5 \cdot 1 - 3 \cdot 0 - (- 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $- 5 + 0 - (0 - 3)$

= $- 5 + 3$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \sin (- \frac{3}{2} π) + \sin (0)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - x^{2}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 \cdot \cos (0) - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $5 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (5 + 0)$

= $- \frac{1}{24} \cdot π^{3} - 5$

≈ -6,292

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= 0

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel