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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 -1 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (5 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (5 x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 5^{2} + 5 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 25 + 5 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 1)$

= $\frac{125}{2} + 5 - (\frac{5}{2} + 1)$

= $\frac{125}{2} + \frac{10}{2} - (\frac{5}{2} + \frac{2}{2})$

= $\frac{135}{2} - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $\frac{135}{2} - \frac{7}{2}$

= $64$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \sin (x) + x^{4}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{5} x^{5}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π) + \frac{1}{5} \cdot π^{5} - (- 2 \cdot \cos (0) + \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{1}{5} \cdot π^{5} - (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 0)$

= $2 + \frac{1}{5} \cdot π^{5} - (- 2 + 0)$

= $2 + \frac{1}{5} \cdot π^{5} + 2$

= $2 + 2 + \frac{1}{5} \cdot π^{5}$

= $4 + \frac{1}{5} \cdot π^{5}$

≈ 65,204

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - π)$

= $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- \frac{7}{4} {(\sqrt{x})}^{3} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- \frac{7}{4} {(\sqrt{x})}^{3} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- \frac{7}{4} x^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{10} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot \sin (x)]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{7}{10} {(\sqrt{x})}^{5} - 3 \cdot \sin (x)]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{7}{10} {(\sqrt{4})}^{5} - 3 \cdot \sin (4) - (- \frac{7}{10} {(\sqrt{1})}^{5} - 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{7}{10} \cdot 2^{5} - 3 \cdot \sin (4) - (- \frac{7}{10} \cdot 1^{5} - 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{7}{10} \cdot 32 - 3 \cdot \sin (4) - (- \frac{7}{10} \cdot 1 - 3 \cdot \sin (1))$

= $- \frac{112}{5} - 3 \cdot \sin (4) - (- \frac{7}{10} - 3 \cdot \sin (1))$

= $- 3 \cdot \sin (4) - \frac{112}{5} - (- 3 \cdot \sin (1) - \frac{7}{10})$

= $- 3 \cdot \sin (4) - \frac{112}{5} - 1 \cdot (- 3 \cdot \sin (1)) - 1 \cdot (- \frac{7}{10})$

= $- 3 \cdot \sin (4) - \frac{112}{5} + 3 \cdot \sin (1) + \frac{7}{10}$

= $- 3 \cdot \sin (4) + 3 \cdot \sin (1) - \frac{112}{5} + \frac{7}{10}$

= $- 3 \cdot \sin (4) + 3 \cdot \sin (1) - \frac{217}{10}$

= -16,906

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{19}^{28} - 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[- 2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{25})}^{3} + 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- 2 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 4^{3}$

= $- 2 \cdot 125 + 2 \cdot 64$

= $- 250 + 128$

= $- 122$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel