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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4 +1.5 = -2.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 4)$

= $- 10 + 4 - (- 10 - 4)$

= $- 6 - 1 \cdot (- 14)$

= $- 6 + 14$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (\frac{4}{x^{3}} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (\frac{4}{x^{3}} + \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (4 x^{- 3} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 2} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[- \frac{2}{x^{2}} - \cos (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - \cos (2 π) - (- \frac{2}{π^{2}} - \cos (π))$

= $- \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - 1 - (- \frac{2}{π^{2}} - (- 1))$

= $- \frac{2}{{(2 π)}^{2}} - 1 - (- \frac{2}{π^{2}} + 1)$

= $- 1 - \frac{1}{2 π^{2}} - (1 - \frac{2}{π^{2}})$

= $- 1 - \frac{1}{2 π^{2}} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{2}{π^{2}})$

= $- 1 - \frac{1}{2 π^{2}} - 1 + \frac{2}{π^{2}}$

= $- 1 - 1 - \frac{1}{2 π^{2}} + \frac{2}{π^{2}}$

= $- 2 + \frac{3}{2 π^{2}}$

≈ -1,848

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{12 - 4} + \frac{1}{3} e^{6 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{8} + \frac{1}{3} e^{2}$

≈ -991,19

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{3 x} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (e^{3 x} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x} + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 3 \cdot 0 - (\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{1}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{9}{2} π} - \frac{1}{3} e^{\frac{3}{2} π}$

≈ 459766,463

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{1 - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{0} - e^{- 1}$

= $1 - e^{- 1}$

≈ 0,632

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel