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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -2 +4.5 +9 = 11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 - (- \frac{1}{2} \cdot 9 - 6)$

= $- \frac{1}{2} - 2 - (- \frac{9}{2} - 6)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{4}{2} - (- \frac{9}{2} - \frac{12}{2})$

= $- \frac{5}{2} - 1 \cdot (- \frac{21}{2})$

= $- \frac{5}{2} + \frac{21}{2}$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} e^{x} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{3}{2} e^{x} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{x} + \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} π} + \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{3}{2} e^{0} + \sin (0))$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} π} + 1 - (- \frac{3}{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} π} + 1 + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} π} + \frac{5}{2}$

≈ -4,716

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 3 e^{5 - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e^{3} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{3} + 3$

≈ -57,257

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 2 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 2 e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 2 e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (π) + 2 e^{π} - (\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) + 2 e^{π} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $- \frac{1}{2} + 2 e^{π} - (0 + 2 e^{\frac{1}{2} π})$

= $2 e^{π} - \frac{1}{2} - 2 e^{\frac{1}{2} π}$

= $2 e^{π} - 2 e^{\frac{1}{2} π} - \frac{1}{2}$

≈ 36,16

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(12 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 9^{3} - \frac{2}{9} \cdot 0^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 729 - \frac{2}{9} \cdot 0$

= $162 + 0$

= $162$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel