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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4.5 +6 = 10.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (5 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (5 x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 9 - 6 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{45}{2} - 6 - (\frac{5}{2} + 2)$

= $\frac{45}{2} - \frac{12}{2} - (\frac{5}{2} + \frac{4}{2})$

= $\frac{33}{2} - 1 \cdot \frac{9}{2}$

= $\frac{33}{2} - \frac{9}{2}$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (π) + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (\cos (0) + \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 1 + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (1 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $- 1 + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (1 + 0)$

= $- 1 + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - 1$

= $- 1 - 1 + \frac{2}{3} \cdot π^{3}$

= $- 2 + \frac{2}{3} \cdot π^{3}$

≈ 18,671

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} - \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{6} - \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} - 3 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{4}^{6}$

= ${[\frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{3}{2 {(6 - 3)}^{2}} - \frac{3}{2 {(4 - 3)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{3}{2 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{6} - \frac{3}{2}$

= $\frac{1}{6} - \frac{9}{6}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π) - (4 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $4 \cdot 0 - 1 - (4 \cdot 1 - 0)$

= $0 - 1 - (4 + 0)$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 4 π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= 0

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel