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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +12 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 4 x - 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 2 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 1 + 2)$

= $0 + 0 - (- 2 + 2)$

= $0 - 1 \cdot 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 8 \cdot \cos (x) + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 8 \cdot \cos (x) + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 8 \cdot \sin (π) + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (- 8 \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 8 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (- 8 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3}$

≈ 20,671

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (2 π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (π) + 2 \cdot \sin (π) - (\frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{2} \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - (\frac{9}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{9}{2} + 0 - (0 + 2)$

= $- \frac{9}{2} + 0 - 2$

= $- \frac{9}{2} - 2$

= $- \frac{9}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \sin (0) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel