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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +4.5 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 2 x^{2} + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + x]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 1 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 3)$

= $- \frac{2}{3} + 1 - (18 - 3)$

= $- \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - 1 \cdot 15$

= $\frac{1}{3} - 15$

= $\frac{1}{3} - \frac{45}{3}$

= $- \frac{44}{3}$

≈ -14,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- e^{2 x} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- e^{2 x} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{7}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{7}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (0)} + \frac{7}{2} \cdot \cos (0))$

= $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{7}{2} \cdot 0 - (- \frac{1}{2} e^{0} + \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0 - (- \frac{1}{2} + \frac{7}{2})$

= $- \frac{1}{2} e^{π} - 1 \cdot 3$

= $- \frac{1}{2} e^{π} - 3$

≈ -14,57

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 2 e^{2 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{2 \cdot 1 - 3} - e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $e^{2 - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{- 1} - e^{- 3}$

≈ 0,318

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (\cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (\cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (\cos (x) + 3 x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[\sin (x) + \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{1}^{16}$

= ${[\sin (x) + \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{1}^{16}$

$=$ $\sin (16) + \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{16})}^{4} - (\sin (1) + \frac{9}{4} {(\sqrt[3]{1})}^{4})$

= $\sin (16) + \frac{9}{4} \cdot 1^{4} - (\sin (1) + \frac{9}{4} \cdot 1^{4})$

= $\sin (16) + \frac{9}{4} \cdot 1 - (\sin (1) + \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $\sin (16) + \frac{9}{4} - (\sin (1) + \frac{9}{4})$

= $\sin (16) + \frac{9}{4} - 1 \cdot \sin (1) - 1 \cdot \frac{9}{4}$

= $\sin (16) + \frac{9}{4} - \sin (1) - \frac{9}{4}$

= $\sin (16) - \sin (1) + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}$

= $\sin (16) - \sin (1) + 0$

≈ 87,335

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 98,697

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel