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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +9 +7 = 17

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (2 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (2 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 5 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) + 15)$

= $0 + 0 - (- 18 + 15)$

= $0 - 1 \cdot (- 3)$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- 5 e^{2 x} - 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- 5 e^{2 x} - 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} e^{2 x} - x^{4}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (- 2)} - {(- 2)}^{4} - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (- 3)} - {(- 3)}^{4})$

= $- \frac{5}{2} e^{- 4} - 16 - (- \frac{5}{2} e^{- 6} - 81)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 4} - 16 + \frac{5}{2} e^{- 6} - 1 \cdot (- 81)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 4} - 16 + \frac{5}{2} e^{- 6} + 81$

= $- \frac{5}{2} e^{- 4} + \frac{5}{2} e^{- 6} - 16 + 81$

= $- \frac{5}{2} e^{- 4} + \frac{5}{2} e^{- 6} + 65$

≈ 64,96

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{- 3 + 2} - 3 e^{- 2 + 2}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{0}$

= $3 e^{- 1} - 3$

≈ -1,896

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π) - 9 \cdot \cos (π) - (3 \cdot \sin (0) - 9 \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot 0 - 9 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 - 9 \cdot 1)$

= $0 + 9 - (0 - 9)$

= $9 + 9$

= $18$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- 2 π) - \cos (- π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel