Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +2 +6 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 3 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1) - (- {(- 3)}^{3} + 4 \cdot (- 3))$

= $- (- 1) - 4 - (- (- 27) - 12)$

= $1 - 4 - (27 - 12)$

= $- 3 - 1 \cdot 15$

= $- 3 - 15$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (0) - 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{9}{4} \cdot 0 - 5 \cdot 1 - (- \frac{9}{4} \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $0 - 5 - (- \frac{9}{4} + 0)$

= $- 5 - (- \frac{9}{4} + 0)$

= $- 5 + \frac{9}{4}$

= $- \frac{20}{4} + \frac{9}{4}$

= $- \frac{11}{4}$

= -2,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 2 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - \frac{2}{π} - (- \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $- \frac{7}{2} \cdot 0 - \frac{2}{π} - (- \frac{7}{2} \cdot 1 - \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $0 - \frac{2}{π} - (- \frac{7}{2} - \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $- \frac{2}{π} - (- \frac{7}{2} - \frac{4}{π})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{2}) - 1 \cdot (- \frac{4}{π}) - \frac{2}{π}$

= $\frac{7}{2} + \frac{4}{π} - \frac{2}{π}$

= $\frac{7}{2} + \frac{2}{π}$

≈ 4,137

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(4 - 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 8$

= $- 32 + 4$

= $- 28$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel