nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 3 7 f(x) x .

Lösung einblenden

3 7 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 3 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 = 5 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

3 7 f(x) x = I2 + I3 = 3 5 f(x) x + 5 7 f(x) x = 4 +8 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 2 ( 4x -5 ) x .

Lösung einblenden
-2 2 ( 4x -5 ) x

= [ 2 x 2 -5x ] -2 2

= 2 2 2 -52 - ( 2 ( -2 ) 2 -5( -2 ) )

= 24 -10 - ( 24 +10 )

= 8 -10 - ( 8 +10 )

= -2 -1 · 18

= -2 -18

= -20

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π ( 5 cos( x ) -6 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π ( 5 cos( x ) -6 sin( x ) ) x

= [ 5 sin( x ) +6 cos( x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 5 sin( 3 2 π ) +6 cos( 3 2 π ) - ( 5 sin( 1 2 π ) +6 cos( 1 2 π ) )

= 5( -1 ) +60 - ( 51 +60 )

= -5 +0 - ( 5 +0)

= -5 -5

= -10

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 3 e 2x -1 x .

Lösung einblenden
1 3 e 2x -1 x

= [ 1 2 e 2x -1 ] 1 3

= 1 2 e 23 -1 - 1 2 e 21 -1

= 1 2 e 6 -1 - 1 2 e 2 -1

= 1 2 e 5 - 1 2 e

= 1 2 e 5 - 1 2 e


≈ 72,847

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( 2 cos( x ) - 7 2 x 4 ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( 2 cos( x ) - 7 2 x 4 ) x

= [ 2 sin( x ) - 7 10 x 5 ] 0 1 2 π

= 2 sin( 1 2 π ) - 7 10 ( 1 2 π ) 5 - ( 2 sin( 0 ) - 7 10 ( 0 ) 5 )

= 21 - 7 10 ( 1 2 π ) 5 - ( 20 - 7 10 0 )

= 2 - 7 10 ( 1 2 π ) 5 - (0+0)

= 2 - 7 320 π 5 +0

= 2 - 7 320 π 5


≈ -4,694

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π 3 sin( -x - 1 2 π) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π 3 sin( -x - 1 2 π) x

= [ 3 cos( -x - 1 2 π) ] 0 1 2 π

= 3 cos( -( 1 2 π ) - 1 2 π) -3 cos( -( 0 ) - 1 2 π)

= 3 cos(-π) -3 cos( - 1 2 π)

= 3( -1 ) -30

= -3 +0

= -3