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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (- x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (- x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + 6)$

= $\frac{8}{3} + 4 - (9 + 6)$

= $\frac{8}{3} + \frac{12}{3} - 1 \cdot 15$

= $\frac{20}{3} - 15$

= $\frac{20}{3} - \frac{45}{3}$

= $- \frac{25}{3}$

≈ -8,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (4 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (4 {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (4 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[\frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{- 1}]}_{1}^{16}$

= ${[\frac{8}{5} {(\sqrt{x})}^{5} + \frac{2}{x}]}_{1}^{16}$

$=$ $\frac{8}{5} {(\sqrt{16})}^{5} + \frac{2}{16} - (\frac{8}{5} {(\sqrt{1})}^{5} + \frac{2}{1})$

= $\frac{8}{5} \cdot 4^{5} + 2 \cdot (\frac{1}{16}) - (\frac{8}{5} \cdot 1^{5} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{8}{5} \cdot 1 024 + \frac{1}{8} - (\frac{8}{5} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{8192}{5} + \frac{1}{8} - (\frac{8}{5} + 2)$

= $\frac{65536}{40} + \frac{5}{40} - (\frac{8}{5} + \frac{10}{5})$

= $\frac{65541}{40} - 1 \cdot \frac{18}{5}$

= $\frac{65541}{40} - \frac{18}{5}$

= $\frac{65541}{40} - \frac{144}{40}$

= $\frac{65541}{40} - \frac{18}{5}$

= $\frac{65541}{40} - \frac{144}{40}$

= $\frac{65397}{40}$

= 1634,925

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (2 π) - \sin (π)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (5 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (5 + 0)$

= $2 - 5$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{3}{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{3}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - 3 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $- 3 \ln (| 6 - 2 |) + 3 \ln (| 3 - 2 |)$

= $- 3 \ln (4) + 3 \ln (| 3 - 2 |)$

= $- 3 \ln (4) + 3 \ln (1)$

= $- 3 \ln (4) + 0$

= $- 3 \ln (4)$

≈ -4,159

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel