Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +3}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +8 +7 = 21

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 0 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $0 + 0 - (9 - 9)$

= $0 - 1 \cdot 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) + 3 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - \frac{1}{π^{3}} - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $2 \cdot (- 1) - \frac{1}{π^{3}} - (2 \cdot 0 - \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 2 - \frac{1}{π^{3}} - (0 - \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 2 - \frac{1}{π^{3}} + \frac{8}{π^{3}}$

= $- 2 + \frac{7}{π^{3}}$

≈ -1,774

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (π) + 4 \cdot \sin (π) - (- \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) + 4 \cdot 0 - (- 0 + 4 \cdot 1)$

= $1 + 0 - (0 + 4)$

= $1 - 4$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 {(3 x - 5)}^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 {(3 x - 5)}^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 5)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{2}{9} \cdot {(3 - 5)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1 - (\frac{2}{9} \cdot {(0 - 5)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{5}{2} - (\frac{2}{9} \cdot {(- 5)}^{3} + 0)$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 8) - \frac{5}{2} - (\frac{2}{9} \cdot (- 125) + 0)$

= $- \frac{16}{9} - \frac{5}{2} - (- \frac{250}{9} + 0)$

= $- \frac{32}{18} - \frac{45}{18} - (- \frac{250}{9} + 0)$

= $- \frac{77}{18} + \frac{250}{9}$

= $- \frac{77}{18} + \frac{500}{18}$

= $- \frac{77}{18} + \frac{250}{9}$

= $- \frac{77}{18} + \frac{500}{18}$

= $\frac{47}{2}$

= 23,5

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel