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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 5 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 8)$

= $- \frac{5}{2} + 4 - (- 10 - 8)$

= $- \frac{5}{2} + \frac{8}{2} - 1 \cdot (- 18)$

= $\frac{3}{2} + 18$

= $\frac{3}{2} + \frac{36}{2}$

= $\frac{39}{2}$

= 19,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} x^{5}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{9} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (4 \cdot \cos (0) + \frac{2}{9} \cdot {(0)}^{6})$

= $4 \cdot 0 + \frac{2}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (4 \cdot 1 + \frac{2}{9} \cdot 0)$

= $0 + \frac{2}{9} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (4 + 0)$

= $\frac{81}{32} \cdot π^{6} - 4$

≈ 2429,516

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{5} \frac{3}{{(- 2 x + 3)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(- 2 x + 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(- 2 x + 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 3)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[\frac{1}{2 {(- 2 x + 3)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- 2 \cdot 5 + 3)}^{3}} - \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 3 + 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 {(- 10 + 3)}^{3}} - \frac{1}{2 {(- 6 + 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 {(- 7)}^{3}} - \frac{1}{2 {(- 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{343}) - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{686} + \frac{1}{54}$

= $- \frac{27}{18522} + \frac{343}{18522}$

= $\frac{158}{9261}$

≈ 0,017

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) + 7 \cdot \sin (0))$

= $5 \cdot 0 + 7 \cdot 1 - (5 \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $0 + 7 - (5 + 0)$

= $7 - 5$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 4} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{4 - 4} + \frac{1}{2} e^{0 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{0} + \frac{1}{2} e^{- 4}$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- 4}$

≈ -0,491

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel