$$\underset{2}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 4)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-4}}{2}$ = -2.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 -2 = 1

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3-2x^2\right]}_1^3$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot 3^3-2\cdot 3^2-\left(\frac{4}{3}\cdot 1^3-2\cdot 1^2\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 27-2\cdot 9-\left(\frac{4}{3}\cdot 1-2\cdot 1\right)$

= $36-18-\left(\frac{4}{3}-2\right)$

= $18-\left(\frac{4}{3}-\frac{6}{3}\right)$

= $18-1·\left(-\frac{2}{3}\right)$

= $18+\frac{2}{3}$

= $\frac{54}{3}+\frac{2}{3}$

= $\frac{56}{3}$

= ${\left[-\frac{2}{5}{x}^5-\frac{8}{9}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^9$

= ${\left[-\frac{2}{5}{x}^5-\frac{8}{9}{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_4^9$

$=$ $-\frac{2}{5}\cdot 9^5-\frac{8}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3-\left(-\frac{2}{5}\cdot 4^5-\frac{8}{9}{\left(\sqrt{4}\right)}^3\right)$

= $-\frac{2}{5}\cdot 59049-\frac{8}{9}\cdot 3^3-\left(-\frac{2}{5}\cdot 1024-\frac{8}{9}\cdot 2^3\right)$

= $-\frac{118098}{5}-\frac{8}{9}\cdot 27-\left(-\frac{2048}{5}-\frac{8}{9}\cdot 8\right)$

= $-\frac{118098}{5}-24-\left(-\frac{2048}{5}-\frac{64}{9}\right)$

= $-\frac{118098}{5}-\frac{120}{5}-\left(-\frac{18432}{45}-\frac{320}{45}\right)$

= $-\frac{118218}{5}-1·\left(-\frac{18752}{45}\right)$

= $-\frac{118218}{5}+\frac{18752}{45}$

= $-\frac{1063962}{45}+\frac{18752}{45}$

= $-\frac{118218}{5}+\frac{18752}{45}$

= $-\frac{1063962}{45}+\frac{18752}{45}$

= $-\frac{209042}{9}$

= ${\left[-3e^{x-1}\right]}_0^3$

$=$ $-3e^{3-1}+3e^{0-1}$

= $-3e^2+3e^{-1}$

= ${\left[-\frac{5}{4}{e}^{-2x}-2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{5}{4}{e}^{-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{5}{4}{e}^{-2\cdot \left(0\right)}-2\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-2\cdot 0-\left(-\frac{5}{4}{e}^0-2\cdot 1\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+0-\left(-\frac{5}{4}-2\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-3\pi }-\left(-\frac{5}{4}-\frac{8}{4}\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-3\pi }-1·\left(-\frac{13}{4}\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-3\pi }+\frac{13}{4}$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x+3}\right]}_1^4$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 4+3}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 1+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-8+3}+\frac{3}{2}{e}^{-2+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-5}+\frac{3}{2}e$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-5}+\frac{3}{2}e$