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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -4 = 6.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 3 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 3 x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} + 5 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 5 \cdot 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 + 20 - (- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- 24 + 20 - (0 + 0)$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 4 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot \cos (0) + \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{4}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 + 0)$

= $\frac{9}{2} \cdot π^{3} + 2$

≈ 141,528

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 4 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 12 + 6} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 6} + \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 13,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (4 \cdot \cos (0) + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (0)})$

= $4 \cdot 0 + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (4 \cdot 1 + \frac{3}{2} e^{0})$

= $0 + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (4 + \frac{3}{2})$

= $\frac{3}{2} e^{- π} - (\frac{8}{2} + \frac{3}{2})$

= $\frac{3}{2} e^{- π} - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{- π} - \frac{11}{2}$

≈ -5,435

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 12}^{- 4} 2 \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 12}^{- 4} 2 \sqrt{- 2 x + 1} ⅆ x

=

\int_{- 12}^{- 4} 2 {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 12}^{- 4}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 x + 1})}^{3}]}_{- 12}^{- 4}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 12) + 1})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{8 + 1})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{24 + 1})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{2}{3} \cdot 5^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{2}{3} \cdot 125$

= $- 18 + \frac{250}{3}$

= $- \frac{54}{3} + \frac{250}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel