Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{1 +3}{2}$ = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -2 +1.5 +2 +6 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (5 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 3)$

= $0 + 0 - (\frac{5}{2} + 3)$

= $0 - (\frac{5}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $- \frac{11}{2}$

= -5,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (- \sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $- 0 + 3 \cdot (- 1) - (- 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} - \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} - \sqrt{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{- 6}^{- \frac{2}{3}} - {(- 3 x + 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 6}^{- \frac{2}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 x + 7})}^{3}]}_{- 6}^{- \frac{2}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- \frac{2}{3}) + 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{- 3 \cdot (- 6) + 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{2 + 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{18 + 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 3^{3} - \frac{2}{9} \cdot 5^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 27 - \frac{2}{9} \cdot 125$

= $6 - \frac{250}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{250}{9}$

= $- \frac{196}{9}$

≈ -21,778

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 x^{5} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 x^{5} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{6} + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} + 2 \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} - 2 - (- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0)$

= $- 2 - \frac{1}{2} \cdot π^{6} + \frac{1}{128} \cdot π^{6}$

= $- 2 - \frac{63}{128} \cdot π^{6}$

≈ -475,184

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 2 {(- 3 x + 7)}^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 7)}^{3} - x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{3} - 3 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 7)}^{3} - 1)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 9 + 7)}^{3} - 3 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 3 + 7)}^{3} - 1)$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 2)}^{3} - 3 - (\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - 1)$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 8) - 3 - (\frac{2}{9} \cdot 64 - 1)$

= $- \frac{16}{9} - 3 - (\frac{128}{9} - 1)$

= $- \frac{16}{9} - \frac{27}{9} - (\frac{128}{9} - \frac{9}{9})$

= $- \frac{43}{9} - 1 \cdot \frac{119}{9}$

= $- \frac{43}{9} - \frac{119}{9}$

= $- 18$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel