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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -1.5 -2 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- x + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 10)$

= $0 + 0 - (- 2 - 10)$

= $0 - 1 \cdot (- 12)$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (π) + 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{9}{2} \cdot (- 1) + 5 \cdot 0 - (- \frac{9}{2} \cdot 0 + 5 \cdot 1)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (0 + 5)$

= $\frac{9}{2} + 0 - 5$

= $\frac{9}{2} - 5$

= $\frac{9}{2} - \frac{10}{2}$

= $- \frac{1}{2}$

= -0,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (- \frac{9}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $- \frac{2}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 9 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 9 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{4} \cdot \cos (x) + \frac{9}{2} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{9}{4} \cdot 0 + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{9}{4} \cdot 0 + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{9}{2} e^{3 π} - \frac{9}{2} e^{π}$

≈ 55658,282

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (- (0) - \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- 2 π) - 2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)$

= $0 + 2$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel