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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 8 f(x) x .

Lösung einblenden

0 8 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 2 ) 2 = -4 2 = -2.

I3 = 4 6 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I4 = 6 8 f(x) x : Trapezfläche I4 = (8 - 6) ⋅ -2 + ( - 4 ) 2 = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

0 8 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 2 f(x) x + 2 4 f(x) x + 4 6 f(x) x + 6 8 f(x) x = 4 -2 -4 -6 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( 3 x 2 -4x ) x .

Lösung einblenden
-2 1 ( 3 x 2 -4x ) x

= [ x 3 -2 x 2 ] -2 1

= 1 3 -2 1 2 - ( ( -2 ) 3 -2 ( -2 ) 2 )

= 1 -21 - ( ( -8 ) -24 )

= 1 -2 - ( -8 -8 )

= -1 -1 · ( -16 )

= -1 +16

= 15

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( 3 e x +8 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( 3 e x +8 sin( x ) ) x

= [ 3 e x -8 cos( x ) ] 0 1 2 π

= 3 e 1 2 π -8 cos( 1 2 π ) - ( 3 e 0 -8 cos( 0 ) )

= 3 e 1 2 π -80 - ( 3 -81 )

= 3 e 1 2 π +0 - ( 3 -8 )

= 3 e 1 2 π -1 · ( -5 )

= 3 e 1 2 π +5


≈ 19,431

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π 2 cos( -2x + 3 2 π) x .

Lösung einblenden
0 π 2 cos( -2x + 3 2 π) x

= [ - sin( -2x + 3 2 π) ] 0 π

= - sin( -2π + 3 2 π) + sin( -2( 0 ) + 3 2 π)

= - sin( - 1 2 π) + sin( 3 2 π)

= -( -1 ) -1

= 1 -1

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π ( 1 3 cos( x ) +5 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 π ( 1 3 cos( x ) +5 sin( x ) ) x

= [ 1 3 sin( x ) -5 cos( x ) ] 0 π

= 1 3 sin( π ) -5 cos( π ) - ( 1 3 sin( 0 ) -5 cos( 0 ) )

= 1 3 0 -5( -1 ) - ( 1 3 0 -51 )

= 0 +5 - (0 -5 )

= 5 +5

= 10

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 ( -3 ( 3x -5 ) 2 -5 ) x .

Lösung einblenden
2 5 ( -3 ( 3x -5 ) 2 -5 ) x

= [ - 1 3 ( 3x -5 ) 3 -5x ] 2 5

= - 1 3 ( 35 -5 ) 3 -55 - ( - 1 3 ( 32 -5 ) 3 -52 )

= - 1 3 ( 15 -5 ) 3 -25 - ( - 1 3 ( 6 -5 ) 3 -10 )

= - 1 3 10 3 -25 - ( - 1 3 1 3 -10 )

= - 1 3 1000 -25 - ( - 1 3 1 -10 )

= - 1000 3 -25 - ( - 1 3 -10 )

= - 1000 3 - 75 3 - ( - 1 3 - 30 3 )

= - 1075 3 -1 · ( - 31 3 )

= - 1075 3 + 31 3

= -348