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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 +6 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 + 10 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 15)$

= $2 + 10 - (\frac{9}{2} + 15)$

= $12 - (\frac{9}{2} + \frac{30}{2})$

= $12 - 1 \cdot \frac{39}{2}$

= $12 - \frac{39}{2}$

= $\frac{24}{2} - \frac{39}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\sin (\frac{1}{2} π) - \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 - \frac{8}{3} \cdot 0 - (1 - \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $- 1 + 0 - (1 + 0)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- {(- x + 3)}^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- {(- x + 3)}^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- x + 3)}^{3} - 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 3)}^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 0 + 3)}^{3} - 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 12 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 0)$

= $0 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 27 + 0)$

= $- 12 - (9 + 0)$

= $- 12 - 9$

= $- 21$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (x^{- 3} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{- 2} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2 π^{2}} - \frac{3}{4} \cdot \cos (π))$

= $- \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (- \frac{1}{2 π^{2}} - \frac{3}{4} \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{2 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} + 0 - (- \frac{1}{2 π^{2}} + \frac{3}{4})$

= $- \frac{2}{9 π^{2}} - (\frac{3}{4} - \frac{1}{2 π^{2}})$

= $- 1 \cdot \frac{3}{4} - 1 \cdot (- \frac{1}{2 π^{2}}) - \frac{2}{9 π^{2}}$

= $- \frac{3}{4} + \frac{1}{2 π^{2}} - \frac{2}{9 π^{2}}$

= $- \frac{3}{4} + \frac{5}{18 π^{2}}$

≈ -0,722

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (- π + \frac{3}{2} π) + \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (π)$

= $- 0 - 1$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel