Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{1}{2} \cdot 9 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $- 36 + \frac{9}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{72}{2} + \frac{9}{2} + 0$

= $- \frac{63}{2}$

= -31,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- \frac{7}{2} x^{3} + \frac{7}{4} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- \frac{7}{2} x^{3} + \frac{7}{4} e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{8} x^{4} - \frac{7}{4} e^{- x}]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{7}{8} \cdot 3^{4} - \frac{7}{4} e^{- 3} - (- \frac{7}{8} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{7}{4} e^{- (- 1)})$

= $- \frac{7}{8} \cdot 81 - \frac{7}{4} e^{- 3} - (- \frac{7}{8} \cdot 1 - \frac{7}{4} e)$

= $- \frac{567}{8} - \frac{7}{4} e^{- 3} - (- \frac{7}{8} - \frac{7}{4} e)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 3} - \frac{567}{8} - 1 \cdot (- \frac{7}{8}) - 1 \cdot (- \frac{7}{4} e)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 3} - \frac{567}{8} + \frac{7}{8} + \frac{7}{4} e$

= $- \frac{7}{4} e^{- 3} - 70 + \frac{7}{4} e$

≈ -65,33

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- e^{2 \cdot 3 - 2} + e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $- e^{6 - 2} + e^{2 - 2}$

= $- e^{4} + e^{0}$

= $- e^{4} + 1$

≈ -53,598

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (3 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 - 3)$

= $- 3 + 3$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 1} + 3 e^{1 - 1}$

= $- 3 e + 3 e^{0}$

= $- 3 e + 3$

≈ -5,155