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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{4 +1}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +8 +5 = 19

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (3 x^{2} + 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{-1}^{3} (3 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{3}$

$=$ $3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - ({(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $27 + \frac{3}{2} \cdot 9 - ((- 1) + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $27 + \frac{27}{2} - (- 1 + \frac{3}{2})$

= $\frac{54}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{2}{2} + \frac{3}{2})$

= $\frac{81}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{81}{2} - \frac{1}{2}$

= $40$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + e^{3 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 4 \cdot \cos (0) + e^{3 \cdot (0)})$

= $- 4 \cdot 0 + e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 4 \cdot 1 + e^{0})$

= $0 + e^{3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 4 + 1)$

= $e^{\frac{9}{2} π} - 1 \cdot (- 3)$

= $e^{\frac{9}{2} π} + 3$

≈ 1379413,706

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} - 3 \sqrt{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} - 3 \sqrt{- 2 x + 3} ⅆ x

=

\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} - 3 {(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 3}^{- \frac{1}{2}}$

= ${[{(\sqrt{- 2 x + 3})}^{3}]}_{- 3}^{- \frac{1}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 3})}^{3} - {(\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{1 + 3})}^{3} - {(\sqrt{6 + 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2^{3} - 3^{3}$

= $8 - 27$

= $- 19$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (6 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (6 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $6 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \cos (π) - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $6 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (6 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $0 + 3 - (6 + 0)$

= $3 - 6$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 3 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{5}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel