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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 2 -2 -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (2 x - 1) ⅆ x

= ${[x^{2} - x]}_{1}^{3}$

$=$ $3^{2} - 3 - (1^{2} - 1)$

= $9 - 3 - (1 - 1)$

= $9 - 3 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)$

= $9 - 3 - 1 + 1$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot 0 - (4 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 + \frac{2}{3})$

= $- 4 - (0 + \frac{2}{3})$

= $- 4 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{12}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{14}{3}$

≈ -4,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 {(x - 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- {(3 - 1)}^{3} + {(2 - 1)}^{3}$

= $- 2^{3} + 1^{3}$

= $- 8 + 1$

= $- 7$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{9}{2} \cdot \sin (0) - 4 \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{2} \cdot 1 - 4 \cdot 0 - (\frac{9}{2} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $\frac{9}{2} + 0 - (0 - 4)$

= $\frac{9}{2} + 0 + 4$

= $\frac{9}{2} + 4$

= $\frac{9}{2} + \frac{8}{2}$

= $\frac{17}{2}$

= 8,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 3 e^{- 3 + 2} + 3 e^{- 1 + 2}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e$

≈ 7,051

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel