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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 9 +3 -1 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (2 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (2 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) + \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - (- 18 + \frac{9}{2})$

= $\frac{4}{6} + \frac{3}{6} - (- \frac{36}{2} + \frac{9}{2})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $\frac{7}{6} + \frac{27}{2}$

= $\frac{7}{6} + \frac{81}{6}$

= $\frac{44}{3}$

≈ 14,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - 2)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{4} \cdot \sin (π) + 5 \cdot \cos (π) - (\frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{4} \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) - (\frac{7}{4} \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $0 - 5 - (\frac{7}{4} + 0)$

= $- 5 - (\frac{7}{4} + 0)$

= $- 5 - \frac{7}{4}$

= $- \frac{20}{4} - \frac{7}{4}$

= $- \frac{27}{4}$

= -6,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 6} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 6 + 6} - \frac{2}{3} e^{0 + 6}$

= $\frac{2}{3} e^{0} - \frac{2}{3} e^{6}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} e^{6}$

≈ -268,286

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel