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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 + 12 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 12 - (0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{24}{2} + 0$

= $\frac{15}{2}$

= 7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \sin (π) + \frac{8}{3} \cdot \cos (π) - (5 \cdot \sin (0) + \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $5 \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (5 \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $0 - \frac{8}{3} - (0 + \frac{8}{3})$

= $- \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} + \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{6 - 4} + \frac{1}{2} e^{2 - 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{- 2}$

≈ -3,627

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 2 x} - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 2 x} - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (0)} + \frac{5}{4} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + \frac{5}{4} \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{0} + \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{1}{2} + \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{2} e^{- 3 π} - (\frac{2}{4} + \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{2} e^{- 3 π} - 1 \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{1}{2} e^{- 3 π} - \frac{7}{4}$

≈ -1,75

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 1} + 3 e^{- 0 + 1}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e$

≈ 7,051

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel