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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 -6 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 25 - 10 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2)$

= $\frac{25}{2} - 10 - (\frac{1}{2} - 2)$

= $\frac{25}{2} - \frac{20}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

= $\frac{5}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $\frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{6 - 2} + \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{4} + \frac{3}{2} e^{0}$

= $- \frac{3}{2} e^{4} + \frac{3}{2}$

≈ -80,397

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{3}{2} x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{8} x^{4} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{8} \cdot {(0)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{3}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot (- 1) - (\frac{3}{8} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{8} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - \frac{3}{2} - (0 + 0)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{243}{128} \cdot π^{4} + 0$

= $- \frac{3}{2} + \frac{243}{128} \cdot π^{4}$

≈ 183,425

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (- x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \cos (- (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\cos (π) - \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel