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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 1.5 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1 -2 -3 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (5 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (5 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 8) + \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{5}{3} \cdot (- 27) + \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $- \frac{40}{3} + 2 - (- 45 + \frac{9}{2})$

= $- \frac{40}{3} + \frac{6}{3} - (- \frac{90}{2} + \frac{9}{2})$

= $- \frac{34}{3} - 1 \cdot (- \frac{81}{2})$

= $- \frac{34}{3} + \frac{81}{2}$

= $- \frac{68}{6} + \frac{243}{6}$

= $\frac{175}{6}$

≈ 29,167

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 7 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $7 \cdot \cos (π) - \sin (π) - (7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $7 \cdot (- 1) - 0 - (7 \cdot 0 - 1)$

= $- 7 + 0 - (0 - 1)$

= $- 7 + 1$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $\frac{1}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 7 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 7 \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[7 \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \sin (\frac{1}{2} π) - (7 \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $7 \cdot 0 + 1 - (7 \cdot 1 + 0)$

= $0 + 1 - (7 + 0)$

= $1 - 7$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 3} - e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $e^{3 - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{0} - e^{- 3}$

= $1 - e^{- 3}$

≈ 0,95

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel