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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (3 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (3 x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 5 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 9 - 15 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 5)$

= $\frac{27}{2} - 15 - (\frac{3}{2} + 5)$

= $\frac{27}{2} - \frac{30}{2} - (\frac{3}{2} + \frac{10}{2})$

= $- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{13}{2}$

= $- \frac{3}{2} - \frac{13}{2}$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} x^{3} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{4}{3} x^{3} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{4} + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{3} \cdot {(0)}^{4} + 5 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 5 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 5 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} + 5 - (0 + 0)$

= $5 + \frac{1}{48} \cdot π^{4} + 0$

= $5 + \frac{1}{48} \cdot π^{4}$

≈ 7,029

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (3 {(x - 2)}^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (3 {(x - 2)}^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[{(x - 2)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ ${(1 - 2)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - ({(0 - 2)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= ${(- 1)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1 - ({(- 2)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $(- 1) - \frac{5}{2} - ((- 8) + 0)$

= $- 1 - \frac{5}{2} + 8$

= $- \frac{2}{2} - \frac{5}{2} + \frac{16}{2}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) - 2 \cdot π^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot π^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $\frac{1}{3} - 2 \cdot π^{2} - (0 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $\frac{1}{3} - 2 \cdot π^{2} + \frac{1}{2} \cdot π^{2}$

= $\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \cdot π^{2}$

≈ -14,471

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 {(- x + 2)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 {(- x + 2)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 2)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 2)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 0 + 2)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0 + 2)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot 2^{4}$

= $0 - \frac{3}{4} \cdot 16$

= $0 - 12$

= $- 12$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel