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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 +4 = 7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 3)$

= $2 - 6 - (\frac{1}{2} + 3)$

= $- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 4 - 1 \cdot \frac{7}{2}$

= $- 4 - \frac{7}{2}$

= $- \frac{8}{2} - \frac{7}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{3 x^{2}} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{3 x^{2}} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \frac{7}{3} x^{- 2} + \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{3} x^{- 1} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

= ${[\frac{7}{3 x} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\frac{7}{3 \cdot 2 π} + \frac{7}{4} \cdot \sin (2 π) - (\frac{7}{3 π} + \frac{7}{4} \cdot \sin (π))$

= $\frac{7}{3 \cdot 2 π} + \frac{7}{4} \cdot 0 - (\frac{7}{3 π} + \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $\frac{7}{3 \cdot 2 π} + 0 - (\frac{7}{3 π} + 0)$

= $\frac{7}{6 π} - \frac{7}{3 π}$

= $\frac{7}{6 π} - \frac{14}{6 π}$

= $- \frac{7}{6 π}$

≈ -0,371

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 5)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(9 - 5)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot (- 125)$

= $\frac{128}{9} + \frac{250}{9}$

= $42$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 e^{- x} - \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \cos (\frac{1}{2} π) - (4 e^{- (0)} - \cos (0))$

= $4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - 0 - (4 e^{0} - 1)$

= $4 e^{- (\frac{1}{2} π)} + 0 - (4 - 1)$

= $4 e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot 3$

= $4 e^{- \frac{1}{2} π} - 3$

≈ -2,168

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{7} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{7} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 2 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{7}$

= ${[- \frac{2}{x - 3}]}_{5}^{7}$

$=$ $- \frac{2}{7 - 3} + \frac{2}{5 - 3}$

= $- \frac{2}{4} + \frac{2}{2}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{4}) + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2} + 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel