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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 4 x - 5) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{1} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 1 - 5 - (- 2 \cdot 4 + 10)$

= $- 2 - 5 - (- 8 + 10)$

= $- 7 - 1 \cdot 2$

= $- 7 - 2$

= $- 9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 6 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + e^{- 3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $6 \cdot 0 + e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (6 \cdot 0 + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $e^{- \frac{9}{2} π} - e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -0,009

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{4} - e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{12 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ -134,46

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 2 x^{2}) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (2 \cdot \sin (0) - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $2 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (2 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{2}{3} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{3}$

≈ -20,671

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

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\int_{1}^{2} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 2} - 3 e^{1 - 2}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 1}$

= $3 - 3 e^{- 1}$

≈ 1,896