Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -4 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 64 + 20 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 5)$

= $- \frac{320}{3} + 20 - (- \frac{5}{3} + 5)$

= $- \frac{320}{3} + \frac{60}{3} - (- \frac{5}{3} + \frac{15}{3})$

= $- \frac{260}{3} - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{260}{3} - \frac{10}{3}$

= $- 90$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (\frac{1}{x^{4}} + x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (\frac{1}{x^{4}} + x^{2}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (x^{- 4} + x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{- 3} + \frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{3} \cdot 64 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{192} + \frac{64}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{192} + \frac{4096}{192} - 1 \cdot 0$

= $\frac{1365}{64} + 0$

= $\frac{1365}{64}$

≈ 21,328

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 5} - \frac{2}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{7} - \frac{2}{3} e$

≈ 729,277

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + \frac{1}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \sin (x) + x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\cos (x) - \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\cos (x) - \frac{1}{2 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π) - \frac{1}{2 π^{2}} - (\cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- 1 - \frac{1}{2 π^{2}} - (0 - \frac{1}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- 1 - \frac{1}{2 π^{2}} + \frac{2}{π^{2}}$

= $- 1 + \frac{3}{2 π^{2}}$

≈ -0,848

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel