Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -1 -2 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) + 9)$

= $0 + 0 - (18 + 9)$

= $0 - 1 \cdot 27$

= $- 27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 x^{3} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 x^{3} + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} x^{4} - 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot π^{4} - 4 \cdot \cos (π) - (\frac{5}{4} \cdot {(0)}^{4} - 4 \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{4} \cdot π^{4} - 4 \cdot (- 1) - (\frac{5}{4} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $\frac{5}{4} \cdot π^{4} + 4 - (0 - 4)$

= $4 + \frac{5}{4} \cdot π^{4} + 4$

= $4 + 4 + \frac{5}{4} \cdot π^{4}$

= $8 + \frac{5}{4} \cdot π^{4}$

≈ 129,761

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- 4 π) - \cos (- π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4 x^{4}} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4 x^{4}} - \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{3}{4} x^{- 4} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} x^{- 3} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{1}{4 x^{3}} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{4 π^{3}} + \cos (π) - (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{4 π^{3}} - 1 - (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2} π)}^{3}} + 0)$

= $- 1 + \frac{1}{4 π^{3}} - \frac{2}{π^{3}}$

= $- 1 - \frac{7}{4 π^{3}}$

≈ -1,056

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 {(- x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- x + 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 3 + 3)}^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- 0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot 27$

= $0 + 18$

= $18$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel