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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -4 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (4 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (4 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} + 4^{2} - (\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 + 16 - (\frac{4}{3} \cdot 1 + 1)$

= $\frac{256}{3} + 16 - (\frac{4}{3} + 1)$

= $\frac{256}{3} + \frac{48}{3} - (\frac{4}{3} + \frac{3}{3})$

= $\frac{304}{3} - 1 \cdot \frac{7}{3}$

= $\frac{304}{3} - \frac{7}{3}$

= $99$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + 2 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- 2 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $\frac{9}{4} \cdot π^{3} - \frac{1}{12} \cdot π^{3}$

= $\frac{27}{12} \cdot π^{3} - \frac{1}{12} \cdot π^{3}$

= $\frac{13}{6} \cdot π^{3}$

≈ 67,18

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 3 + 4} + e^{- 2 \cdot 2 + 4}$

= $- e^{- 6 + 4} + e^{- 4 + 4}$

= $- e^{- 2} + e^{0}$

= $- e^{- 2} + 1$

≈ 0,865

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + \sin (x)) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \cos (\frac{3}{2} π) - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $6 \cdot (- 1) - 0 - (6 \cdot 1 - 0)$

= $- 6 + 0 - (6 + 0)$

= $- 6 - 6$

= $- 12$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $- e^{2 \cdot 2 - 5} + e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- e^{4 - 5} + e^{0 - 5}$

= $- e^{- 1} + e^{- 5}$

≈ -0,361

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel