Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +8 = 12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (4 x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 - (2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2))$

= $2 \cdot 4 - 10 - (2 \cdot 4 + 10)$

= $8 - 10 - (8 + 10)$

= $- 2 - 1 \cdot 18$

= $- 2 - 18$

= $- 20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - 6 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + 6 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot (- 1) + 6 \cdot 0 - (5 \cdot 1 + 6 \cdot 0)$

= $- 5 + 0 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e$

≈ 72,847

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{2} x^{4}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{7}{10} x^{5}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{10} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (2 \cdot \sin (0) - \frac{7}{10} \cdot {(0)}^{5})$

= $2 \cdot 1 - \frac{7}{10} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (2 \cdot 0 - \frac{7}{10} \cdot 0)$

= $2 - \frac{7}{10} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - (0 + 0)$

= $2 - \frac{7}{320} \cdot π^{5} + 0$

= $2 - \frac{7}{320} \cdot π^{5}$

≈ -4,694

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (- (0) - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \cos (- π) - 3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel