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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 9 +4.5 -4 -8 = 1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- 3 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- 3 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} - x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- 0^{3} - 0 - (- {(- 1)}^{3} - (- 1))$

= $- 0 + 0 - (- (- 1) + 1)$

= $0 + 0 - (1 + 1)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- \sin (x) - \frac{8}{3 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- \sin (x) - \frac{8}{3 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- \sin (x) - \frac{8}{3} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + \frac{4}{3} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[\cos (x) + \frac{4}{3 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $\cos (2 π) + \frac{4}{3 {(2 π)}^{2}} - (\cos (π) + \frac{4}{3 π^{2}})$

= $1 + \frac{4}{3 {(2 π)}^{2}} - (- 1 + \frac{4}{3 π^{2}})$

= $1 + \frac{1}{3 π^{2}} - (- 1 + \frac{4}{3 π^{2}})$

= $1 + \frac{1}{3 π^{2}} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot \frac{4}{3 π^{2}}$

= $1 + \frac{1}{3 π^{2}} + 1 - \frac{4}{3 π^{2}}$

= $1 + 1 + \frac{1}{3 π^{2}} - \frac{4}{3 π^{2}}$

= $2 - \frac{1}{π^{2}}$

≈ 1,899

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= ${[- {(x - 2)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $- {(2 - 2)}^{3} + {(0 - 2)}^{3}$

= $- 0^{3} + {(- 2)}^{3}$

= $- 0 + (- 8)$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- \frac{7}{2} \sqrt[4]{x} - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- \frac{7}{2} \sqrt[4]{x} - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- \frac{7}{2} x^{\frac{1}{4}} - x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- \frac{14}{5} x^{\frac{5}{4}} + \frac{1}{3} x^{- 3}]}_{4}^{16}$

= ${[- \frac{14}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + \frac{1}{3 x^{3}}]}_{4}^{16}$

$=$ $- \frac{14}{5} {(\sqrt[4]{16})}^{5} + \frac{1}{3 \cdot 16^{3}} - (- \frac{14}{5} {(\sqrt[4]{4})}^{5} + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

= $- \frac{14}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4096}) - (- \frac{14}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64}))$

= $- \frac{14}{5} \cdot 32 + \frac{1}{12288} - (- \frac{14}{5} \cdot 1 + \frac{1}{192})$

= $- \frac{448}{5} + \frac{1}{12288} - (- \frac{14}{5} + \frac{1}{192})$

= $- \frac{5505024}{61440} + \frac{5}{61440} - (- \frac{2688}{960} + \frac{5}{960})$

= $- \frac{5505019}{61440} - 1 \cdot (- \frac{2683}{960})$

= $- \frac{5505019}{61440} + \frac{2683}{960}$

= $- \frac{5505019}{61440} + \frac{171712}{61440}$

= $- \frac{5505019}{61440} + \frac{2683}{960}$

= $- \frac{5505019}{61440} + \frac{171712}{61440}$

= $- \frac{1777769}{20480}$

≈ -73,766

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (- 3 π) + 2 \cdot \cos (- 2 π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1$

= $2 + 2$

= $4$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel