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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 12 +6 = 18

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (5 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (5 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 4 \cdot (- 1) - (\frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{3} \cdot (- 1) + 4 - (\frac{5}{3} \cdot (- 27) + 12)$

= $- \frac{5}{3} + 4 - (- 45 + 12)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{12}{3} - 1 \cdot (- 33)$

= $\frac{7}{3} + 33$

= $\frac{7}{3} + \frac{99}{3}$

= $\frac{106}{3}$

≈ 35,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (π) - \frac{9}{4} \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3} \cdot \cos (0) - \frac{9}{4} \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{9}{4} \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{9}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} + 0 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 10}^{- \frac{11}{2}} - \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 10}^{- \frac{11}{2}} - \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x

=

\int_{- 10}^{- \frac{11}{2}} - {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 10}^{- \frac{11}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 5})}^{3}]}_{- 10}^{- \frac{11}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{11}{2}) + 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 10) + 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{11 + 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{20 + 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 125$

= $\frac{64}{3} - \frac{125}{3}$

= $- \frac{61}{3}$

≈ -20,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (9 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[9 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $9 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 - (9 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $- 9 + 0 - (9 + 0)$

= $- 9 - 9$

= $- 18$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \sin (- 4 π) + \frac{2}{3} \cdot \sin (- π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel