Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (3 x^{2} - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (3 x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-2}^{1}$

$=$ $1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - ({(- 2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $1 - \frac{3}{2} \cdot 1 - ((- 8) - \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $1 - \frac{3}{2} - (- 8 - 6)$

= $\frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 \cdot (- 14)$

= $- \frac{1}{2} + 14$

= $- \frac{1}{2} + \frac{28}{2}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 5 \sqrt[3]{x} - 2 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 5 \sqrt[3]{x} - 2 x^{5}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- 5 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{15}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{3} x^{6}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - \frac{1}{3} x^{6}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{4})}^{4} - \frac{1}{3} \cdot 4^{6} - (- \frac{15}{4} {(\sqrt[3]{1})}^{4} - \frac{1}{3} \cdot 1^{6})$

= $- \frac{15}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{3} \cdot 4096 - (- \frac{15}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{15}{4} \cdot 1 - \frac{4096}{3} - (- \frac{15}{4} \cdot 1 - \frac{1}{3})$

= $- \frac{15}{4} - \frac{4096}{3} - (- \frac{15}{4} - \frac{1}{3})$

= $- \frac{45}{12} - \frac{16384}{12} - (- \frac{45}{12} - \frac{4}{12})$

= $- \frac{16429}{12} - 1 \cdot (- \frac{49}{12})$

= $- \frac{16429}{12} + \frac{49}{12}$

= $- 1 365$

≈ -1385,061

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π + \frac{3}{2} π) + \cos (0 + \frac{3}{2} π)$

= $- \cos (3 π) + \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- (- 1) + 0$

= $1 + 0$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \cos (x) + 2 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{2}{3} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \sin (x) - \frac{2}{3 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \sin (2 π) - \frac{2}{3 {(2 π)}^{3}} - (- \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 0 - \frac{2}{3 {(2 π)}^{3}} - (- 1 - \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- \frac{1}{12 π^{3}} - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- \frac{16}{3 π^{3}})$

= $- \frac{1}{12 π^{3}} + 1 + \frac{16}{3 π^{3}}$

= $1 - \frac{1}{12 π^{3}} + \frac{16}{3 π^{3}}$

= $1 + \frac{21}{4 π^{3}}$

≈ 1,169

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{2 - 1} + 3 e^{1 - 1}$

= $- 3 e + 3 e^{0}$

= $- 3 e + 3$

≈ -5,155

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel