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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ ( - 4 ) = 2 ⋅ ( - 4 ) = -8.

Somit gilt:

$\int_{2}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4 -8 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (2 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (2 x - 3) ⅆ x

= ${[x^{2} - 3 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2^{2} - 3 \cdot 2 - ({(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $4 - 6 - (1 + 3)$

= $4 - 6 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

= $4 - 6 - 1 - 3$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} x^{4} + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{7}{2} x^{4} + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{10} x^{5} + \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{7}{10} \cdot π^{5} + \sin (π) - (\frac{7}{10} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{7}{10} \cdot π^{5} + 0 - (\frac{7}{10} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 1)$

= $\frac{7}{10} \cdot π^{5} - (1 + \frac{7}{320} \cdot π^{5})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{7}{320} \cdot π^{5} + \frac{7}{10} \cdot π^{5}$

= $- 1 - \frac{7}{320} \cdot π^{5} + \frac{7}{10} \cdot π^{5}$

= $- 1 + \frac{217}{320} \cdot π^{5}$

≈ 206,52

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 {(- 3 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(- 3 x + 4)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 + 4)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 8) - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $- \frac{16}{9} - \frac{128}{9}$

= $- 16$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{3} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{4}{3} x^{3} - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{4} - 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{4} - 2 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} + 2 - (0 + 0)$

= $2 - \frac{27}{16} \cdot π^{4} + 0$

= $2 - \frac{27}{16} \cdot π^{4}$

≈ -162,378

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 2 e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{6 - 4} + \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{2} + \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ -4,914

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel