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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $- \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - (9 + \frac{45}{2})$

= $- \frac{2}{6} + \frac{15}{6} - (\frac{18}{2} + \frac{45}{2})$

= $\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{63}{2}$

= $\frac{13}{6} - \frac{63}{2}$

= $\frac{13}{6} - \frac{189}{6}$

= $- \frac{88}{3}$

≈ -29,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (4 \cdot \cos (x) + 2 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (4 \cdot \cos (x) + 2 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (4 \cdot \cos (x) + 2 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{9}$

= ${[4 \cdot \sin (x) + \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{9}$

$=$ $4 \cdot \sin (9) + \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - (4 \cdot \sin (4) + \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $4 \cdot \sin (9) + \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - (4 \cdot \sin (4) + \frac{4}{3} \cdot 2^{3})$

= $4 \cdot \sin (9) + \frac{4}{3} \cdot 27 - (4 \cdot \sin (4) + \frac{4}{3} \cdot 8)$

= $4 \cdot \sin (9) + 36 - (4 \cdot \sin (4) + \frac{32}{3})$

= $4 \cdot \sin (9) + 36 - 1 \cdot 4 \cdot \sin (4) - 1 \cdot \frac{32}{3}$

= $4 \cdot \sin (9) + 36 - 4 \cdot \sin (4) - \frac{32}{3}$

= $4 \cdot \sin (9) - 4 \cdot \sin (4) + 36 - \frac{32}{3}$

= $4 \cdot \sin (9) - 4 \cdot \sin (4) + \frac{76}{3}$

≈ 30,009

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[{(x - 3)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ ${(4 - 3)}^{3} - {(2 - 3)}^{3}$

= $1^{3} - {(- 1)}^{3}$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 x^{5} + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 x^{5} + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{6} - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot π^{6} - \frac{8}{3} \cdot \cos (π) - (\frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - \frac{8}{3} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{3} \cdot π^{6} - \frac{8}{3} \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{8}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot π^{6} + \frac{8}{3} - (0 - \frac{8}{3})$

= $\frac{8}{3} + \frac{1}{3} \cdot π^{6} - (0 - \frac{8}{3})$

= $\frac{8}{3} + \frac{1}{3} \cdot π^{6} + \frac{8}{3}$

= $\frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \cdot π^{6}$

= $\frac{16}{3} + \frac{1}{3} \cdot π^{6}$

≈ 325,796

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{5}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- π)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel