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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +9 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 4 x + 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 5 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3))$

= $- 2 \cdot 1 - 5 - (- 2 \cdot 9 - 15)$

= $- 2 - 5 - (- 18 - 15)$

= $- 7 - 1 \cdot (- 33)$

= $- 7 + 33$

= $26$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 + \frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (3 π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1)$

= $0 + 3$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (π) - 5 \cdot \cos (π) - (\frac{9}{4} \cdot \sin (0) - 5 \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{4} \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) - (\frac{9}{4} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $0 + 5 - (0 - 5)$

= $5 + 5$

= $10$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} {(- 3 x + 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} {(- 3 x + 3)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(- 3 x + 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 9 + 3)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(0 + 3)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 6)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot (- 216) + \frac{1}{9} \cdot 27$

= $24 + 3$

= $27$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel