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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (3 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (3 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[x^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $3^{3} + 3 \cdot 3 - (0^{3} + 3 \cdot 0)$

= $27 + 9 - (0 + 0)$

= $27 + 9$

= $36$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - 9 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 6 \cdot \cos (x) - 9 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- 6 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 6 \cdot \sin (π) - \frac{9}{2} e^{2 \cdot π} - (- 6 \cdot \sin (0) - \frac{9}{2} e^{2 \cdot (0)})$

= $- 6 \cdot 0 - \frac{9}{2} e^{2 \cdot π} - (- 6 \cdot 0 - \frac{9}{2} e^{0})$

= $0 - \frac{9}{2} e^{2 \cdot π} - (0 - \frac{9}{2})$

= $- \frac{9}{2} e^{2 π} - (0 - \frac{9}{2})$

= $- \frac{9}{2} e^{2 π} + \frac{9}{2}$

≈ -2405,212

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} - \frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} - \frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} - 2 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[\frac{2}{3 (3 x - 7)}]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{2}{3 (3 \cdot 7 - 7)} - \frac{2}{3 (3 \cdot 4 - 7)}$

= $\frac{2}{3 (21 - 7)} - \frac{2}{3 (12 - 7)}$

= $\frac{2}{3 \cdot 14} - \frac{2}{3 \cdot 5}$

= $\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{14}) - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $\frac{1}{21} - \frac{2}{15}$

= $\frac{5}{105} - \frac{14}{105}$

= $- \frac{3}{35}$

≈ -0,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - \frac{5}{4} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \cos (x) - \frac{5}{4} x^{5}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) - \frac{5}{24} x^{6}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- \sin (0) - \frac{5}{24} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 1 - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (- 0 - \frac{5}{24} \cdot 0)$

= $- 1 - \frac{5}{24} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - (0 + 0)$

= $- 1 - \frac{5}{1536} \cdot π^{6} + 0$

= $- 1 - \frac{5}{1536} \cdot π^{6}$

≈ -4,13

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{- 2 + 3} - 2 e^{- 1 + 3}$

= $2 e - 2 e^{2}$

≈ -9,342

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel