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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 -4 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (5 x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 4 - 8 - (\frac{5}{2} \cdot 9 - 12)$

= $10 - 8 - (\frac{45}{2} - 12)$

= $2 - (\frac{45}{2} - \frac{24}{2})$

= $2 - 1 \cdot \frac{21}{2}$

= $2 - \frac{21}{2}$

= $\frac{4}{2} - \frac{21}{2}$

= $- \frac{17}{2}$

= -8,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 8 \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 + 8 \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 4 - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 2 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(12 - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{49}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}$

= $\frac{24}{49}$

≈ 0,49

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 5} - e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $e^{6 - 5} - e^{3 - 5}$

= $e - e^{- 2}$

≈ 2,583

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel