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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₅ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₅ = (10 - 8) ⋅ $\frac{3 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3.5 = 7.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +3 +6 +7 = 7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1 - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 + 5 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 5)$

= $\frac{5}{3} + 5 - (- \frac{5}{3} - 5)$

= $\frac{5}{3} + \frac{15}{3} - (- \frac{5}{3} - \frac{15}{3})$

= $\frac{20}{3} - 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $\frac{20}{3} + \frac{20}{3}$

= $\frac{40}{3}$

≈ 13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (5 x^{5} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (5 x^{5} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{6} x^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{5}{6} \cdot π^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (π) - (\frac{5}{6} \cdot {(0)}^{6} - \frac{1}{3} \cdot \sin (0))$

= $\frac{5}{6} \cdot π^{6} - \frac{1}{3} \cdot 0 - (\frac{5}{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{5}{6} \cdot π^{6} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{5}{6} \cdot π^{6} + 0$

= $\frac{5}{6} \cdot π^{6}$

≈ 801,158

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (3 π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (π) + \cos (π) - (- \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 - 1 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- 1 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $- 1 + \frac{2}{3}$

= $- \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{5}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel