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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -4.5 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 3 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 3 x - 2) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{3}{2} \cdot 4 + 4)$

= $- \frac{3}{2} + 2 - (- 6 + 4)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{4}{2} - 1 \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} + 2$

= $\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 4 x^{5}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - \frac{2}{3} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) - \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 4 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (- 4 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $0 - \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (- 4 - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- \frac{2}{3} \cdot π^{6} - (- 4 - \frac{1}{96} \cdot π^{6})$

= $- 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- \frac{1}{96} \cdot π^{6}) - \frac{2}{3} \cdot π^{6}$

= $4 + \frac{1}{96} \cdot π^{6} - \frac{2}{3} \cdot π^{6}$

= $4 - \frac{21}{32} \cdot π^{6}$

≈ -626,912

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{3 \cdot 2 - 7} + e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $- e^{6 - 7} + e^{3 - 7}$

= $- e^{- 1} + e^{- 4}$

≈ -0,35

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (- 2 \cdot 1 - 5 \cdot 0)$

= $2 + 0 - (- 2 + 0)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (- 2 \cdot π - π) + \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \sin (- 3 π) + \sin (- 2 π)$

= $- 0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel