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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 3 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- x^{3} - x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- 3^{3} - 3 - (- {(- 1)}^{3} - (- 1))$

= $- 27 - 3 - (- (- 1) + 1)$

= $- 27 - 3 - (1 + 1)$

= $- 30 - 1 \cdot 2$

= $- 30 - 2$

= $- 32$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} \cdot \sin (x) - x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} \cdot \cos (x) - \frac{1}{4} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $0 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- \frac{81}{64} \cdot π^{4} + \frac{1}{64} \cdot π^{4}$

= $- \frac{5}{4} \cdot π^{4}$

≈ -121,761

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 3 e^{5 - 1} + 3 e^{2 - 1}$

= $- 3 e^{4} + 3 e$

≈ -155,64

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (π) - \frac{7}{3} \cdot \cos (π) - (- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{7}{3} \cdot 0)$

= $0 + \frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{7}{3} + \frac{1}{2}$

= $\frac{14}{6} + \frac{3}{6}$

= $\frac{17}{6}$

≈ 2,833

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 4 + 4} - e^{- 2 \cdot 2 + 4}$

= $e^{- 8 + 4} - e^{- 4 + 4}$

= $e^{- 4} - e^{0}$

= $e^{- 4} - 1$

≈ -0,982

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel