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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +1 +2 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (x^{2} - x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) - \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - (- 9 - \frac{9}{2})$

= $\frac{2}{6} - \frac{3}{6} - (- \frac{18}{2} - \frac{9}{2})$

= $- \frac{1}{6} - 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $- \frac{1}{6} + \frac{27}{2}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{81}{6}$

= $\frac{40}{3}$

≈ 13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 5 x^{3} - 7 \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 5 x^{3} - 7 \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{1} (- 5 x^{3} - 7 x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} x^{4} - \frac{21}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{0}^{1}$

= ${[- \frac{5}{4} x^{4} - \frac{21}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{4} \cdot 1^{4} - \frac{21}{4} {(\sqrt[3]{1})}^{4} - (- \frac{5}{4} \cdot 0^{4} - \frac{21}{4} {(\sqrt[3]{0})}^{4})$

= $- \frac{5}{4} \cdot 1 - \frac{21}{4} \cdot 1^{4} - (- \frac{5}{4} \cdot 0 - \frac{21}{4} \cdot 0^{4})$

= $- \frac{5}{4} - \frac{21}{4} \cdot 1 - (0 - \frac{21}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{5}{4} - \frac{21}{4} - (0 + 0)$

= $- \frac{13}{2} + 0$

= $- \frac{13}{2}$

= -6,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 6} + \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{15 - 6} + \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $- \frac{2}{3} e^{9} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{9} + \frac{2}{3}$

≈ -5401,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (x) + \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (π) + \sin (π) - (\frac{1}{3} \cdot \cos (0) + \sin (0))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 0 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{1}{3} + 0 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel