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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 8 +6 -4 -12 = -2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (3 x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (3 x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[x^{3} - 4 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot (- 1) - ({(- 3)}^{3} - 4 \cdot (- 3))$

= $(- 1) + 4 - ((- 27) + 12)$

= $- 1 + 4 - 1 \cdot (- 27) - 1 \cdot 12$

= $- 1 + 4 + 27 - 12$

= $18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \sin (x) - 2 x^{- 4}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} x^{- 3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3 x^{3}}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $- 4 \cdot 0 + \frac{2}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (- 4 \cdot 0 + \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $0 + \frac{2}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{3}} - (0 + \frac{2}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{3}})$

= $\frac{16}{81 π^{3}} - \frac{16}{3 π^{3}}$

= $\frac{16}{81 π^{3}} - \frac{432}{81 π^{3}}$

= $- \frac{416}{81 π^{3}}$

≈ -0,166

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{6 - 6} + \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{0} + \frac{1}{3} e^{- 6}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (3 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 3$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel