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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 +2 -1 = 7

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 9 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{9}{2} - 6 - (0 + 0)$

= $\frac{9}{2} - \frac{12}{2} + 0$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $5 \cdot (- 1) + \frac{5}{3} \cdot 0 - (5 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- 5 + 0 - (5 + 0)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} ({(3 x - 6)}^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} ({(3 x - 6)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} {(3 x - 6)}^{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3} + 2 \cdot 2^{2} - (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3} + 2 \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{9} \cdot {(6 - 6)}^{3} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{9} \cdot {(0 - 6)}^{3} + 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0^{3} + 8 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 6)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0 + 8 - (\frac{1}{9} \cdot (- 216) + 0)$

= $0 + 8 - (- 24 + 0)$

= $8 + 24$

= $32$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 e^{2 x} - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} e^{2 x} + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (- \frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $- \frac{5}{2} e^{3 π} + \frac{5}{2} e^{π}$

≈ -30921,268

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 4 + 4} - e^{- 2 \cdot 1 + 4}$

= $e^{- 8 + 4} - e^{- 2 + 4}$

= $e^{- 4} - e^{2}$

≈ -7,371

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel