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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 2 -4.5 -9 = -11.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (- 2 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (- 2 x - 2) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 2 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $- 1^{2} - 2 \cdot 1 - (- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $- 1 - 2 - (- 4 + 4)$

= $- 1 - 2 - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot 4$

= $- 1 - 2 + 4 - 4$

= $- 3$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \cos (0) - \frac{4}{3} \cdot \sin (0))$

= $- 0 - \frac{4}{3} \cdot 1 - (- 1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{3} - (- 1 + 0)$

= $0 - \frac{4}{3} + 1$

= $- \frac{4}{3} + 1$

= $- \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- \frac{11}{2}}^{- 2} \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- \frac{11}{2}}^{- 2} \sqrt{- 2 x + 5} ⅆ x

=

\int_{- \frac{11}{2}}^{- 2} {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{- \frac{11}{2}}^{- 2}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 x + 5})}^{3}]}_{- \frac{11}{2}}^{- 2}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 2) + 5})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{11}{2}) + 5})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{4 + 5})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{11 + 5})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{1}{3} \cdot 64$

= $- 9 + \frac{64}{3}$

= $- \frac{27}{3} + \frac{64}{3}$

= $\frac{37}{3}$

≈ 12,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (3 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \cos (0))$

= $3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - (3 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $3 + 0 - (0 - 2)$

= $3 + 2$

= $5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel