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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₄ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +1 +2 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 6)$

= $0 + 0 - (18 - 6)$

= $0 - 1 \cdot 12$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) + 4 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (\frac{1}{3} \cdot \cos (x) + 4 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{- 2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{1}{3} \cdot \sin (0) - 2 e^{- 2 \cdot (0)})$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 2 e^{0})$

= $\frac{1}{3} - 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (0 - 2)$

= $- 2 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{1}{3} + 2$

= $- 2 e^{- π} + \frac{7}{3}$

≈ 2,247

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{x^{2}} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{x^{2}} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- x^{- 2} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[x^{- 1} - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{1}{x} - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{\frac{3}{2} π} - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{\frac{1}{2} π} - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{\frac{3}{2} π} - 4 \cdot (- 1) - (\frac{1}{\frac{1}{2} π} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{\frac{3}{2} π} + 4 - (\frac{1}{\frac{1}{2} π} - 4)$

= $4 + \frac{2}{3 π} - (- 4 + \frac{2}{π})$

= $4 + \frac{2}{3 π} - 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot \frac{2}{π}$

= $4 + \frac{2}{3 π} + 4 - \frac{2}{π}$

= $4 + 4 + \frac{2}{3 π} - \frac{2}{π}$

= $8 - \frac{4}{3 π}$

≈ 7,576

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel