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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 2 7 f(x) x .

Lösung einblenden

2 7 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I2 = 2 4 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ ( - 1 ) 2 = -2 2 = -1.

I3 = 4 7 f(x) x : Rechtecksfläche I3 = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

2 7 f(x) x = I2 + I3 = 2 4 f(x) x + 4 7 f(x) x = -1 -3 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -3 -2 ( - x 2 -2 ) x .

Lösung einblenden
-3 -2 ( - x 2 -2 ) x

= [ - 1 3 x 3 -2x ] -3 -2

= - 1 3 ( -2 ) 3 -2( -2 ) - ( - 1 3 ( -3 ) 3 -2( -3 ) )

= - 1 3 ( -8 ) +4 - ( - 1 3 ( -27 ) +6 )

= 8 3 +4 - ( 9 +6 )

= 8 3 + 12 3 -1 · 15

= 20 3 -15

= 20 3 - 45 3

= - 25 3


≈ -8,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 16 ( 4 ( x ) 3 - 2 x 2 ) x .

Lösung einblenden
1 16 ( 4 ( x ) 3 - 2 x 2 ) x
= 1 16 ( 4 x 3 2 -2 x -2 ) x

= [ 8 5 x 5 2 +2 x -1 ] 1 16

= [ 8 5 ( x ) 5 + 2 x ] 1 16

= 8 5 ( 16 ) 5 + 2 16 - ( 8 5 ( 1 ) 5 + 2 1 )

= 8 5 4 5 +2( 1 16 ) - ( 8 5 1 5 +21 )

= 8 5 1024 + 1 8 - ( 8 5 1 +2 )

= 8192 5 + 1 8 - ( 8 5 +2 )

= 65536 40 + 5 40 - ( 8 5 + 10 5 )

= 65541 40 -1 · 18 5

= 65541 40 - 18 5

= 65541 40 - 144 40

= 65541 40 - 18 5

= 65541 40 - 144 40

= 65397 40


= 1634,925

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π cos( x + 1 2 π) x .

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1 2 π 3 2 π cos( x + 1 2 π) x

= [ sin( x + 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= sin( 3 2 π + 1 2 π) - sin( 1 2 π + 1 2 π)

= sin(2π) - sin(π)

= 0 - 0

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π ( 5 cos( x ) +2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
1 2 π π ( 5 cos( x ) +2 sin( x ) ) x

= [ 5 sin( x ) -2 cos( x ) ] 1 2 π π

= 5 sin( π ) -2 cos( π ) - ( 5 sin( 1 2 π ) -2 cos( 1 2 π ) )

= 50 -2( -1 ) - ( 51 -20 )

= 0 +2 - ( 5 +0)

= 2 -5

= -3

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 3 6 - 3 x -2 x .

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3 6 - 3 x -2 x
= 3 6 -3 ( x -2 ) -1 x

= [ -3 ln( | x -2 | ) ] 3 6

= -3 ln( | 6 -2 | ) +3 ln( | 3 -2 | )

= -3 ln( 4 ) +3 ln( | 3 -2 | )

= -3 ln( 4 ) +3 ln( 1 )

= -3 ln( 4 ) +0

= -3 ln( 4 )


≈ -4,159