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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (3 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (3 x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{3}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{3}{2} \cdot 4 - 4)$

= $\frac{3}{2} - 2 - (6 - 4)$

= $\frac{3}{2} - \frac{4}{2} - 1 \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} - 2$

= $- \frac{1}{2} - \frac{4}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \sin (π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - (- \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (- 1) - (- \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 + \frac{1}{2} - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{1}{2} + \frac{4}{3}$

= $\frac{3}{6} + \frac{8}{6}$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} ({(- 3 x + 6)}^{2} - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} ({(- 3 x + 6)}^{2} - 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(- 3 x + 6)}^{3} - \frac{5}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 6)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 1 + 6)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 6)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 + 6)}^{3} - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 0^{3} - 10 - (- \frac{1}{9} \cdot 3^{3} - \frac{5}{2})$

= $- \frac{1}{9} \cdot 0 - 10 - (- \frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{5}{2})$

= $0 - 10 - (- 3 - \frac{5}{2})$

= $- 10 - (- \frac{6}{2} - \frac{5}{2})$

= $- 10 - 1 \cdot (- \frac{11}{2})$

= $- 10 + \frac{11}{2}$

= $- \frac{20}{2} + \frac{11}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 x^{5} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 4 x^{5} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{6} + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{6} + 3 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 3 \cdot 0 - (- \frac{2}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} + 0 - (0 + 3)$

= $- \frac{243}{32} \cdot π^{6} - 3$

≈ -7303,549

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{7}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel