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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -2 -6 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 4 x^{2} - x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{1}{2} \cdot 25 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{500}{3} - \frac{25}{2} - (- \frac{4}{3} - \frac{1}{2})$

= $- \frac{1000}{6} - \frac{75}{6} - (- \frac{8}{6} - \frac{3}{6})$

= $- \frac{1075}{6} - 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $- \frac{1075}{6} + \frac{11}{6}$

= $- \frac{532}{3}$

≈ -177,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 7 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 7 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{7}{2} e^{2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (π) - \frac{7}{2} e^{2 \cdot π} - (\frac{1}{2} \cdot \sin (0) - \frac{7}{2} e^{2 \cdot (0)})$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{7}{2} e^{2 \cdot π} - (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{7}{2} e^{0})$

= $0 - \frac{7}{2} e^{2 \cdot π} - (0 - \frac{7}{2})$

= $- \frac{7}{2} e^{2 π} - (0 - \frac{7}{2})$

= $- \frac{7}{2} e^{2 π} + \frac{7}{2}$

≈ -1870,721

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (0 - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (- π) + 2 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0$

= $2 + 0$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + \frac{5}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π) + \frac{5}{4} \cdot \cos (π) - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot 0 + \frac{5}{4} \cdot (- 1) - (3 \cdot 1 + \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $0 - \frac{5}{4} - (3 + 0)$

= $0 - \frac{5}{4} - 3$

= $- \frac{5}{4} - 3$

= $- \frac{5}{4} - \frac{12}{4}$

= $- \frac{17}{4}$

= -4,25

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - e^{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{6 - 4} + \frac{1}{3} e^{3 - 4}$

= $- \frac{1}{3} e^{2} + \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ -2,34

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel