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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +12 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- 2 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - 5 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2))$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 - 10 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 8) + 10)$

= $- \frac{16}{3} - 10 - (\frac{16}{3} + 10)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{30}{3} - (\frac{16}{3} + \frac{30}{3})$

= $- \frac{46}{3} - 1 \cdot \frac{46}{3}$

= $- \frac{46}{3} - \frac{46}{3}$

= $- \frac{92}{3}$

≈ -30,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (5 \cdot \cos (x) - 2 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (5 \cdot \cos (x) - 2 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (5 \cdot \cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[5 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{16}$

$=$ $5 \cdot \sin (16) - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - (5 \cdot \sin (4) - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $5 \cdot \sin (16) - \frac{4}{3} \cdot 4^{3} - (5 \cdot \sin (4) - \frac{4}{3} \cdot 2^{3})$

= $5 \cdot \sin (16) - \frac{4}{3} \cdot 64 - (5 \cdot \sin (4) - \frac{4}{3} \cdot 8)$

= $5 \cdot \sin (16) - \frac{256}{3} - (5 \cdot \sin (4) - \frac{32}{3})$

= $5 \cdot \sin (16) - \frac{256}{3} - 1 \cdot 5 \cdot \sin (4) - 1 \cdot (- \frac{32}{3})$

= $5 \cdot \sin (16) - \frac{256}{3} - 5 \cdot \sin (4) + \frac{32}{3}$

= $5 \cdot \sin (16) - 5 \cdot \sin (4) - \frac{256}{3} + \frac{32}{3}$

= $5 \cdot \sin (16) - 5 \cdot \sin (4) - \frac{224}{3}$

≈ -72,322

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 70,814

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $0 + 2 - (0 - 2)$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (2 {(2 x - 2)}^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (2 {(2 x - 2)}^{2} + 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3} + 3 x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 4 - 2)}^{3} + 3 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3} + 3 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(8 - 2)}^{3} + 12 - (\frac{1}{3} \cdot {(4 - 2)}^{3} + 6)$

= $\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 12 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 6)$

= $\frac{1}{3} \cdot 216 + 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 6)$

= $72 + 12 - (\frac{8}{3} + 6)$

= $84 - (\frac{8}{3} + \frac{18}{3})$

= $84 - 1 \cdot \frac{26}{3}$

= $84 - \frac{26}{3}$

= $\frac{252}{3} - \frac{26}{3}$

= $\frac{226}{3}$

≈ 75,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel