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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (2 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (2 x + 5) ⅆ x

= ${[x^{2} + 5 x]}_{0}^{1}$

$=$ $1^{2} + 5 \cdot 1 - (0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $1 + 5 - (0 + 0)$

= $1 + 5$

= $6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 2 \cdot 0 + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot 0 + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $0 + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{3}{4} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{3}{4} e^{3 π} - \frac{3}{4} e^{π}$

≈ 9276,38

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{5} - \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{5} - \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} - {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[\frac{1}{2 (2 x - 5)}]}_{4}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2 (2 \cdot 5 - 5)} - \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 5)}$

= $\frac{1}{2 (10 - 5)} - \frac{1}{2 (8 - 5)}$

= $\frac{1}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5}) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $\frac{1}{10} - \frac{1}{6}$

= $\frac{3}{30} - \frac{5}{30}$

= $- \frac{1}{15}$

≈ -0,067

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4 x^{3}} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4 x^{3}} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{9}{4} x^{- 3} - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{9}{8} x^{- 2} - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{9}{8 x^{2}} - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{9}{8 π^{2}} - 3 \cdot \sin (π) - (- \frac{9}{8 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{9}{8 π^{2}} - 3 \cdot 0 - (- \frac{9}{8 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 3 \cdot 1)$

= $- \frac{9}{8 π^{2}} + 0 - (- \frac{9}{8 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} - 3)$

= $- \frac{9}{8 π^{2}} - (- 3 - \frac{9}{2 π^{2}})$

= $- 1 \cdot (- 3) - 1 \cdot (- \frac{9}{2 π^{2}}) - \frac{9}{8 π^{2}}$

= $3 + \frac{9}{2 π^{2}} - \frac{9}{8 π^{2}}$

= $3 + \frac{27}{8 π^{2}}$

≈ 3,342

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (- x + π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (- x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) + π) - 2 \cdot \sin (- (0) + π)$

= $2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (π)$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel