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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{-2 +(-3)}{2}$ = 3 ⋅ ( - 2.5 ) = -7.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -3 -4 -7.5 = -14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (5 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (5 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1)$

= $\frac{5}{3} \cdot 8 - 10 - (\frac{5}{3} \cdot 1 - 5)$

= $\frac{40}{3} - 10 - (\frac{5}{3} - 5)$

= $\frac{40}{3} - \frac{30}{3} - (\frac{5}{3} - \frac{15}{3})$

= $\frac{10}{3} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $\frac{10}{3} + \frac{10}{3}$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + 0 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + 0)$

= $\frac{2}{3} + 0 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (- π + \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (0)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$

= $0 + 2$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{5}{4} \cdot \cos (x) + 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + \frac{3}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{5}{4} \cdot \sin (0) + \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $\frac{5}{4} \cdot (- 1) + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (\frac{5}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{5}{4} + \frac{3}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{4} + \frac{243}{64} \cdot π^{4} + 0$

= $- \frac{5}{4} + \frac{243}{64} \cdot π^{4}$

≈ 368,6

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 5} - \frac{2}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e$

≈ 34,587

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel