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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 6 +3 -3 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 3 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 3 x - 4) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - 4 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 - (- \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{3}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{3}{2} \cdot 4 + 8)$

= $0 + 0 - (- 6 + 8)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 x^{3} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 x^{3} - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} x^{4} - 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} - 9 \cdot \sin (0))$

= $\frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 9 \cdot 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0 - 9 \cdot 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - 9 - (0 + 0)$

= $- 9 + \frac{3}{64} \cdot π^{4} + 0$

= $- 9 + \frac{3}{64} \cdot π^{4}$

≈ -4,434

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 3 + 3} - e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $e^{- 9 + 3} - e^{- 6 + 3}$

= $e^{- 6} - e^{- 3}$

≈ -0,047

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 6 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \cos (x) + \frac{9}{4} e^{- 2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $6 \cdot \cos (π) + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot π} - (6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $6 \cdot (- 1) + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot π} - (6 \cdot 0 + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 6 + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot π} - (0 + \frac{9}{4} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{9}{4} e^{- 2 \cdot π} - 6 - \frac{9}{4} e^{- π}$

≈ -6,093

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel