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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{4} (- 3 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 3 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- 4^{3} + 3 \cdot 4 - (- 1^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- 64 + 12 - (- 1 + 3)$

= $- 64 + 12 - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3$

= $- 64 + 12 + 1 - 3$

= $- 54$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) - 8 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) - 8 \cdot \cos (π) - (\sin (0) - 8 \cdot \cos (0))$

= $0 - 8 \cdot (- 1) - (0 - 8 \cdot 1)$

= $0 + 8 - (0 - 8)$

= $8 + 8$

= $16$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 x^{4} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 x^{4} - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{5} x^{5} + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{5} + 3 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 3 \cdot 0 - (- \frac{2}{5} \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0 - (0 + 3)$

= $- \frac{1}{80} \cdot π^{5} - 3$

≈ -6,825

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - π) - 3 \cdot \cos (0 - π)$

= $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (- π)$

= $3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1)$

= $0 + 3$

= $3$