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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 6 = 6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 - 4)$

= $- \frac{1}{2} + 4 - (- \frac{1}{2} - 4)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{8}{2} - (- \frac{1}{2} - \frac{8}{2})$

= $\frac{7}{2} - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $\frac{7}{2} + \frac{9}{2}$

= $8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{16} (\frac{3}{\sqrt{x}} - 2 e^{- 2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{16} (\frac{3}{\sqrt{x}} - 2 e^{- 2 x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{16} (3 x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- 2 x}) ⅆ x

= ${[6 x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}]}_{1}^{16}$

= ${[6 \sqrt{x} + e^{- 2 x}]}_{1}^{16}$

$=$ $6 \sqrt{16} + e^{- 2 \cdot 16} - (6 \sqrt{1} + e^{- 2 \cdot 1})$

= $6 \cdot 4 + e^{- 32} - (6 \cdot 1 + e^{- 2})$

= $24 + e^{- 32} - (6 + e^{- 2})$

= $e^{- 32} + 24 - (e^{- 2} + 6)$

= $- e^{- 2} - 1 \cdot 6 + e^{- 32} + 24$

= $- e^{- 2} - 6 + e^{- 32} + 24$

= $- e^{- 2} + e^{- 32} - 6 + 24$

= $- e^{- 2} + e^{- 32} + 18$

≈ 17,865

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x + π) ⅆ x

= ${[\sin (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π + π) - \sin (\frac{1}{2} π + π)$

= $\sin (\frac{5}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) - 5 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) - 5 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{5}{2} e^{2 x}]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) - \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} - (\sin (0) - \frac{5}{2} e^{2 \cdot (0)})$

= $0 - \frac{5}{2} e^{2 \cdot π} - (0 - \frac{5}{2} e^{0})$

= $- \frac{5}{2} e^{2 π} - (0 - \frac{5}{2})$

= $- \frac{5}{2} e^{2 π} + \frac{5}{2}$

≈ -1336,229

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} - {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{- x + 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{- 5 + 1} + \frac{1}{- 2 + 1}$

= $- \frac{1}{(- 4)} + \frac{1}{(- 1)}$

= $- (- \frac{1}{4}) + (- 1)$

= $\frac{1}{4} - 1$

= $\frac{1}{4} - \frac{4}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

= -0,75

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel