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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -12 -4 +3 +9 = -4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 3 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 - 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{9}{2} - 3 - (- \frac{1}{2} + 1)$

= $- \frac{9}{2} - \frac{6}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

= $- \frac{15}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{15}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 8$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{8}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (4 \cdot \sin (x) - \frac{8}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (4 \cdot \sin (x) - 8 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + 8 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- 4 \cdot \cos (x) + \frac{8}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (2 π) + \frac{8}{2 π} - (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{8}{\frac{1}{2} π})$

= $- 4 \cdot 1 + \frac{8}{2 π} - (- 4 \cdot 0 + \frac{8}{\frac{1}{2} π})$

= $- 4 + \frac{8}{2 π} - (0 + \frac{8}{\frac{1}{2} π})$

= $- 4 + \frac{4}{π} - \frac{16}{π}$

= $- 4 - \frac{12}{π}$

≈ -7,82

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\sin (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$

= $\sin (0) - \sin (- π)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 x^{4} - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 x^{4} - \frac{9}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{5} x^{5} - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{5} \cdot π^{5} - \frac{9}{4} \cdot \sin (π) - (\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \frac{9}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{5} \cdot π^{5} - \frac{9}{4} \cdot 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \frac{9}{4} \cdot 1)$

= $\frac{2}{5} \cdot π^{5} + 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} - \frac{9}{4})$

= $\frac{2}{5} \cdot π^{5} - (- \frac{9}{4} + \frac{1}{80} \cdot π^{5})$

= $- 1 \cdot (- \frac{9}{4}) - 1 \cdot \frac{1}{80} \cdot π^{5} + \frac{2}{5} \cdot π^{5}$

= $\frac{9}{4} - \frac{1}{80} \cdot π^{5} + \frac{2}{5} \cdot π^{5}$

= $\frac{9}{4} + \frac{31}{80} \cdot π^{5}$

≈ 120,833

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{- 4 + 3} - 2 e^{- 1 + 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{2}$

≈ -14,042

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel