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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 +3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[x^{3} - 2 x]}_{0}^{1}$

$=$ $1^{3} - 2 \cdot 1 - (0^{3} - 2 \cdot 0)$

= $1 - 2 - (0 + 0)$

= $1 - 2$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 e^{2 x} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 e^{2 x} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (\frac{5}{2} e^{2 \cdot (0)} + \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + \frac{5}{2} \cdot 0 - (\frac{5}{2} e^{0} + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0 - (\frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{5}{2} e^{π} - 1 \cdot 5$

= $\frac{5}{2} e^{π} - 5$

≈ 52,852

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} 3 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} 3 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} 3 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{27 - 2})}^{3} - {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $5^{3} - 3^{3}$

= $125 - 27$

= $98$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{3 x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{3 x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{7}{3} x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{3} x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{7}{3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (2 π) - \frac{7}{3 \cdot 2 π} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{7}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $- 2 \cdot 1 - \frac{7}{3 \cdot 2 π} - (- 2 \cdot 0 - \frac{7}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $- 2 - \frac{7}{3 \cdot 2 π} - (0 - \frac{7}{3 \cdot \frac{1}{2} π})$

= $- 2 - \frac{7}{6 π} + \frac{14}{3 π}$

= $- 2 + \frac{7}{2 π}$

≈ -0,886

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (2 {(- x + 2)}^{2} - 5) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{3} (2 {(- x + 2)}^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- x + 2)}^{3} - 5 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 3 + 2)}^{3} - 5 \cdot 3 - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 0 + 2)}^{3} - 5 \cdot 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 15 - (- \frac{2}{3} \cdot {(0 + 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 15 - (- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} - 15 - (- \frac{2}{3} \cdot 8 + 0)$

= $\frac{2}{3} - \frac{45}{3} - (- \frac{16}{3} + 0)$

= $- \frac{43}{3} - (- \frac{16}{3} + 0)$

= $- \frac{43}{3} + \frac{16}{3}$

= $- 9$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel