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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -1.5 = 14.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (2 x^{2} - 3) ⅆ x$ .

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\int_{-2}^{2} (2 x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 3 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2))$

= $\frac{2}{3} \cdot 8 - 6 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 6)$

= $\frac{16}{3} - 6 - (- \frac{16}{3} + 6)$

= $\frac{16}{3} - \frac{18}{3} - (- \frac{16}{3} + \frac{18}{3})$

= $- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{7}{4} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{7}{4} \cdot \sin (x) + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{7}{4} \cdot \sin (0) + \frac{3}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{7}{4} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{7}{4} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{7}{4} + 0 - (0 + \frac{3}{2})$

= $- \frac{7}{4} - \frac{3}{2}$

= $- \frac{7}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{13}{4}$

= -3,25

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (- π) + 2 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$

= $0 + 2$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (2 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} {(- x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} {(- x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- x + 1)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 5 + 1)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2 + 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 64) + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{64}{3} - \frac{1}{3}$

= $21$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel