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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +4.5 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (- x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (- x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (- \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 3)$

= $0 + 0 - (- \frac{1}{2} + 3)$

= $0 - (- \frac{1}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2}$

= -2,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{3} - \frac{3}{4} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - \frac{3}{4} \cdot (- 1) - (- \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} + \frac{3}{4} - (0 + 0)$

= $\frac{3}{4} - \frac{27}{32} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{3}{4} - \frac{27}{32} \cdot π^{3}$

≈ -25,412

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (2 π)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 5 x) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{2} x^{2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (- 3 \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $3 - \frac{5}{2} \cdot π^{2} - (0 - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $3 - \frac{5}{2} \cdot π^{2} + \frac{5}{8} \cdot π^{2}$

= $3 - \frac{15}{8} \cdot π^{2}$

≈ -15,506

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[{(x - 3)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ ${(1 - 3)}^{3} - {(0 - 3)}^{3}$

= ${(- 2)}^{3} - {(- 3)}^{3}$

= $(- 8) - (- 27)$

= $- 8 + 27$

= $19$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel