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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -1.5 -3 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (3 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (3 x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 - (\frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{3}{2} \cdot 25 - 20 - (\frac{3}{2} \cdot 1 - 4)$

= $\frac{75}{2} - 20 - (\frac{3}{2} - 4)$

= $\frac{75}{2} - \frac{40}{2} - (\frac{3}{2} - \frac{8}{2})$

= $\frac{35}{2} - 1 \cdot (- \frac{5}{2})$

= $\frac{35}{2} + \frac{5}{2}$

= $20$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 5 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \sin (x) + 5 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) + \frac{5}{4} x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 5 \cdot \cos (0) + \frac{5}{4} \cdot {(0)}^{4})$

= $- 5 \cdot 0 + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 5 \cdot 1 + \frac{5}{4} \cdot 0)$

= $0 + \frac{5}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 5 + 0)$

= $\frac{5}{64} \cdot π^{4} + 5$

≈ 12,61

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 2 + 4} + e^{- 2 \cdot 1 + 4}$

= $- e^{- 4 + 4} + e^{- 2 + 4}$

= $- e^{0} + e^{2}$

= $- 1 + e^{2}$

≈ 6,389

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- x} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 e^{- x} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 e^{- x} - \frac{7}{2} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 e^{- π} - \frac{7}{2} \cdot \sin (π) - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $2 e^{- π} - \frac{7}{2} \cdot 0 - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{2} \cdot 1)$

= $2 e^{- π} + 0 - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{2})$

= $2 e^{- π} - (2 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \frac{7}{2})$

= $2 e^{- π} - 2 e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{7}{2})$

= $2 e^{- π} - 2 e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{7}{2}$

= $- 2 e^{- \frac{1}{2} π} + 2 e^{- π} + \frac{7}{2}$

≈ 3,171

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 {(- x + 2)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 {(- x + 2)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 2)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 5 + 2)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 2)}^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $\frac{81}{2} + 0$

= $\frac{81}{2}$

= 40,5

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel