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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{-1 +(-2)}{2}$ = 2 ⋅ ( - 1.5 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -1 -3 -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 8)$

= $0 + 0 - (- \frac{8}{3} - 8)$

= $0 - (- \frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{32}{3})$

= $\frac{32}{3}$

≈ 10,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (- 8 \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \sqrt[3]{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (- 8 \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} \sqrt[3]{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{4} (- 8 \cdot \cos (x) - \frac{7}{4} x^{\frac{1}{3}}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \sin (x) - \frac{21}{16} x^{\frac{4}{3}}]}_{0}^{4}$

= ${[- 8 \cdot \sin (x) - \frac{21}{16} {(\sqrt[3]{x})}^{4}]}_{0}^{4}$

$=$ $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16} {(\sqrt[3]{4})}^{4} - (- 8 \cdot \sin (0) - \frac{21}{16} {(\sqrt[3]{0})}^{4})$

= $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16} \cdot 1^{4} - (- 8 \cdot 0 - \frac{21}{16} \cdot 0^{4})$

= $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16} \cdot 1 - (0 - \frac{21}{16} \cdot 0)$

= $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16} - (0 + 0)$

= $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16} + 0$

= $- 8 \cdot \sin (4) - \frac{21}{16}$

≈ -2,278

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 5} - e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $e^{6 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e - e^{- 5}$

≈ 2,712

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) - 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 9 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 5 \cdot \cos (0) - 9 \cdot \sin (0))$

= $- 5 \cdot 0 - 9 \cdot 1 - (- 5 \cdot 1 - 9 \cdot 0)$

= $0 - 9 - (- 5 + 0)$

= $- 9 + 5$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (x + π) ⅆ x

= ${[\cos (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\cos (π + π) - \cos (\frac{1}{2} π + π)$

= $\cos (2 π) - \cos (\frac{3}{2} π)$

= $1 - 0$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel