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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 1 ) = 3 ⋅ ( - 1 ) = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 6 +4.5 -1 -3 = 6.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 2 \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{8}{3} + 8)$

= $0 - (- \frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $- \frac{16}{3}$

≈ -5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \cos (x) - 4 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (8 \cdot \cos (x) - 4 x^{4}) ⅆ x

= ${[8 \cdot \sin (x) - \frac{4}{5} x^{5}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $8 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (8 \cdot \sin (0) - \frac{4}{5} \cdot {(0)}^{5})$

= $8 \cdot (- 1) - \frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (8 \cdot 0 - \frac{4}{5} \cdot 0)$

= $- 8 - \frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 + 0)$

= $- 8 - \frac{243}{40} \cdot π^{5} + 0$

= $- 8 - \frac{243}{40} \cdot π^{5}$

≈ -1867,07

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{7}^{15} - 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{7}^{15} - 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{15} - 3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= ${[- {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ $- {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} + {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $- {(\sqrt{30 - 5})}^{3} + {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $- {(\sqrt{25})}^{3} + {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- 5^{3} + 3^{3}$

= $- 125 + 27$

= $- 98$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (4 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \cos (0))$

= $4 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (4 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - 3)$

= $- 4 + 3$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - 3 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- x + 1)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(- 4 + 1)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 2 + 1)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1$

= $\frac{243}{4} - \frac{3}{4}$

= $60$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel