Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $2 - 6 - (0 + 0)$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- x^{4} + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- x^{4} + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{5} + x^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 5^{5} + 5^{3} - (- \frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1^{3})$

= $- \frac{1}{5} \cdot 3125 + 125 - (- \frac{1}{5} \cdot 1 + 1)$

= $- 625 + 125 - (- \frac{1}{5} + 1)$

= $- 500 - (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

= $- 500 - 1 \cdot \frac{4}{5}$

= $- 500 - \frac{4}{5}$

= $- \frac{2500}{5} - \frac{4}{5}$

= $- \frac{2504}{5}$

= -500,8

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (5 π) - \frac{2}{3} \cdot \cos (2 π)$

= $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $0 + 4 - (0 - 4)$

= $4 + 4$

= $8$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{7} \frac{2}{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{7} \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $2 \ln (| 7 - 2 |) - 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $2 \ln (5) - 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $2 \ln (5) - 2 \ln (2)$

≈ 1,833

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel