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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -4 -3 +2 +6 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (- \frac{5}{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{3} - 2 - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{6}{3} + 0$

= $- \frac{11}{3}$

≈ -3,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{7}{3 x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{7}{3 x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{7}{3} x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{6} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{7}{6 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{7}{6 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{7}{6 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{7}{6 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{7}{6 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $0 + \frac{7}{6 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - (0 + \frac{7}{6 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{14}{27 π^{2}} - \frac{14}{3 π^{2}}$

= $\frac{14}{27 π^{2}} - \frac{126}{27 π^{2}}$

= $- \frac{112}{27 π^{2}}$

≈ -0,42

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot π - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \sin (- 3 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 π)$

= $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{1}{4} x^{2} - 2 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{4} x^{2} - 2 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} - 2 e^{x}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 3^{3} - 2 e^{3} - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} - 2 e^{0})$

= $- \frac{1}{12} \cdot 27 - 2 e^{3} - (- \frac{1}{12} \cdot 0 - 2)$

= $- \frac{9}{4} - 2 e^{3} - (0 - 2)$

= $- 2 e^{3} - \frac{9}{4} + 2$

= $- 2 e^{3} - \frac{1}{4}$

≈ -40,421

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 2 {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 2 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(3 - 3)}^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot (- 27)$

= $0 - 18$

= $- 18$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel