Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - (- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot 4 + 8 - (- 2 \cdot 1 + 4)$

= $- 8 + 8 - (- 2 + 4)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 4 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{5}{2} \cdot \cos (x) + 4 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} \cdot \sin (x) - 4 e^{- x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{5}{2} \cdot (- 1) - 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{5}{2} - 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (- \frac{5}{2} - 4 e^{- (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 e^{- (\frac{3}{2} π)} + \frac{5}{2} - (- 4 e^{- \frac{1}{2} π} - \frac{5}{2})$

= $- 4 e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{5}{2} + 4 e^{- \frac{1}{2} π} - 1 \cdot (- \frac{5}{2})$

= $- 4 e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{5}{2} + 4 e^{- \frac{1}{2} π} + \frac{5}{2}$

= $4 e^{- \frac{1}{2} π} - 4 e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

= $4 e^{- \frac{1}{2} π} - 4 e^{- \frac{3}{2} π} + 5$

≈ 5,796

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (- x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (- π - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 9 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + 9 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 9 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (2 \cdot \cos (0) + 9 \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot 0 + 9 \cdot (- 1) - (2 \cdot 1 + 9 \cdot 0)$

= $0 - 9 - (2 + 0)$

= $- 9 - 2$

= $- 11$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel