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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -12 -4 +6 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} (- 4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} (- 4 x + 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 5 x]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (- 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- 2 \cdot 4 + 10 - (- 2 \cdot 1 + 5)$

= $- 8 + 10 - (- 2 + 5)$

= $2 - 1 \cdot 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{8}{3 x^{3}} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{8}{3 x^{3}} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{8}{3} x^{- 3} + \frac{7}{4} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{- 2} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[- \frac{4}{3 x^{2}} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \frac{4}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} - \frac{7}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - \frac{7}{4} \cdot 0 - (- \frac{4}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} - \frac{7}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} + 0 - (- \frac{4}{3 {(\frac{1}{2} π)}^{2}} + 0)$

= $- \frac{16}{27 π^{2}} + \frac{16}{3 π^{2}}$

= $- \frac{16}{27 π^{2}} + \frac{144}{27 π^{2}}$

= $\frac{128}{27 π^{2}}$

≈ 0,48

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9 + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 4} + \frac{2}{3} e^{2}$

≈ 4,914

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot \sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (- \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{5}{3} \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (- \frac{5}{3} + 0)$

= $- 3 - (- \frac{5}{3} + 0)$

= $- 3 + \frac{5}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{5}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 2} + 3 e^{- 0 + 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e^{2}$

= $- 3 + 3 e^{2}$

≈ 19,167

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel