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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 8 +6 -3 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x + 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 - 8 - (2 \cdot 9 - 12)$

= $8 - 8 - (18 - 12)$

= $0 - 1 \cdot 6$

= $0 - 6$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 3 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - \frac{3}{4} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (- 3 \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $3 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} - (0 - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $3 - \frac{3}{4} \cdot π^{4} + \frac{3}{64} \cdot π^{4}$

= $3 - \frac{45}{64} \cdot π^{4}$

≈ -65,491

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[{(x - 3)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ ${(2 - 3)}^{3} - {(1 - 3)}^{3}$

= ${(- 1)}^{3} - {(- 2)}^{3}$

= $(- 1) - (- 8)$

= $- 1 + 8$

= $7$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (3 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $3 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (3 \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $3 \cdot 0 - 1 - (3 \cdot 0 + 1)$

= $0 - 1 - (0 + 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- π + \frac{1}{2} π) - \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\sin (- \frac{1}{2} π) - \sin (0)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$