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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 2 ⋅ 2.5 = 5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +3 +6 +5 = 9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 4 - 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $2 - 4 - (\frac{1}{2} + 2)$

= $- 2 - (\frac{1}{2} + \frac{4}{2})$

= $- 2 - 1 \cdot \frac{5}{2}$

= $- 2 - \frac{5}{2}$

= $- \frac{4}{2} - \frac{5}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) - e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} e^{- 3 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot \sin (0) + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (0)})$

= $- 2 \cdot (- 1) + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 2 \cdot 0 + \frac{1}{3} e^{0})$

= $2 + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 - (0 + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 2 - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{- \frac{9}{2} π} + \frac{5}{3}$

≈ 1,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \sin (- 3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \sin (- 4 π) + \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{4}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (5 \cdot \cos (x) - x^{- 4}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} x^{- 3}]}_{π}^{2 π}$

= ${[5 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3 x^{3}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $5 \cdot \sin (2 π) + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (5 \cdot \sin (π) + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $5 \cdot 0 + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (5 \cdot 0 + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $0 + \frac{1}{3 {(2 π)}^{3}} - (0 + \frac{1}{3 π^{3}})$

= $\frac{1}{24 π^{3}} - \frac{1}{3 π^{3}}$

= $\frac{1}{24 π^{3}} - \frac{8}{24 π^{3}}$

= $- \frac{7}{24 π^{3}}$

≈ -0,009

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{10}^{17} - 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{10}^{17} - 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{17} - 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{17}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{17}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 4^{3} + \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 64 + \frac{4}{3} \cdot 27$

= $- \frac{256}{3} + 36$

= $- \frac{256}{3} + \frac{108}{3}$

= $- \frac{148}{3}$

≈ -49,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel