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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 +1.5 = -12

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (2 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (2 x + 3) ⅆ x

= ${[x^{2} + 3 x]}_{1}^{5}$

$=$ $5^{2} + 3 \cdot 5 - (1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $25 + 15 - (1 + 3)$

= $25 + 15 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

= $25 + 15 - 1 - 3$

= $36$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 3 x^{5}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{2} x^{6}]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) - \frac{1}{2} \cdot π^{6} - (- 2 \cdot \sin (0) - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{6})$

= $- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot π^{6} - (- 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $0 - \frac{1}{2} \cdot π^{6} - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6} + 0$

= $- \frac{1}{2} \cdot π^{6}$

≈ -480,695

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- 3 e^{- 5 + 2} + 3 e^{- 2 + 2}$

= $- 3 e^{- 3} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 3} + 3$

≈ 2,851

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 e^{x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (5 e^{x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 e^{x} - \cos (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 e^{\frac{3}{2} π} - \cos (\frac{3}{2} π) - (5 e^{0} - \cos (0))$

= $5 e^{\frac{3}{2} π} - 0 - (5 - 1)$

= $5 e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot 5 - 1 \cdot (- 1)$

= $5 e^{\frac{3}{2} π} - 5 + 1$

= $5 e^{\frac{3}{2} π} - 4$

≈ 552,589

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} (- 3 {(- 3 x + 4)}^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} (- 3 {(- 3 x + 4)}^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{3} - 2 x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 4)}^{3} - 2 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 4)}^{3} - 2 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 12 + 4)}^{3} - 8 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 6 + 4)}^{3} - 4)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 8 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 512) - 8 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $- \frac{512}{3} - 8 - (- \frac{8}{3} - 4)$

= $- \frac{512}{3} - \frac{24}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{12}{3})$

= $- \frac{536}{3} - 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $- \frac{536}{3} + \frac{20}{3}$

= $- 172$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel