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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (6 - 4) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = -4 +4 +8 = 8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 4 x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 4 x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} - x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 0^{3} - 0 - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - (- 2))$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 + 0 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 8) + 2)$

= $0 + 0 - (\frac{32}{3} + 2)$

= $0 - (\frac{32}{3} + \frac{6}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{38}{3}$

= $- \frac{38}{3}$

≈ -12,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{9} (\frac{7}{3} x^{5} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{9} (\frac{7}{3} x^{5} + 3 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{0}^{9} (\frac{7}{3} x^{5} + 3 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{18} x^{6} + 2 x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{9}$

= ${[\frac{7}{18} x^{6} + 2 {(\sqrt{x})}^{3}]}_{0}^{9}$

$=$ $\frac{7}{18} \cdot 9^{6} + 2 {(\sqrt{9})}^{3} - (\frac{7}{18} \cdot 0^{6} + 2 {(\sqrt{0})}^{3})$

= $\frac{7}{18} \cdot 531 441 + 2 \cdot 3^{3} - (\frac{7}{18} \cdot 0 + 2 \cdot 0^{3})$

= $\frac{413343}{2} + 2 \cdot 27 - (0 + 2 \cdot 0)$

= $\frac{413343}{2} + 54 - (0 + 0)$

= $\frac{413343}{2} + \frac{108}{2} + 0$

= $\frac{413451}{2}$

= 206725,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \sin (- x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (- π - \frac{1}{2} π) - \cos (- (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\cos (- \frac{3}{2} π) - \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) - 4 \cdot 0 - (- 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $3 + 0 - (0 - 4)$

= $3 + 4$

= $7$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[\frac{2}{3 (- 3 x + 3)}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3 (- 3 \cdot 4 + 3)} - \frac{2}{3 (- 3 \cdot 2 + 3)}$

= $\frac{2}{3 (- 12 + 3)} - \frac{2}{3 (- 6 + 3)}$

= $\frac{2}{3 (- 9)} - \frac{2}{3 (- 3)}$

= $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{9}) - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{27} + \frac{2}{9}$

= $- \frac{2}{27} + \frac{6}{27}$

= $\frac{4}{27}$

≈ 0,148

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel