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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +3 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 4 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2))$

= $- 2 \cdot 0 + 0 - (- 2 \cdot 4 + 6)$

= $0 + 0 - (- 8 + 6)$

= $0 - 1 \cdot (- 2)$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + \frac{3}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (2 \cdot \sin (x) + 3 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[- 2 \cdot \cos (x) - \frac{3}{2 x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (2 π) - \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - (- 2 \cdot \cos (π) - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 \cdot 1 - \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - (- 2 \cdot (- 1) - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 - \frac{3}{2 {(2 π)}^{2}} - (2 - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 - \frac{3}{8 π^{2}} - (2 - \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 - \frac{3}{8 π^{2}} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (- \frac{3}{2 π^{2}})$

= $- 2 - \frac{3}{8 π^{2}} - 2 + \frac{3}{2 π^{2}}$

= $- 2 - 2 - \frac{3}{8 π^{2}} + \frac{3}{2 π^{2}}$

= $- 4 + \frac{9}{8 π^{2}}$

≈ -3,886

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} 2 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 4} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 9 + 4} + \frac{2}{3} e^{0 + 4}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 5} + \frac{2}{3} e^{4}$

≈ 36,394

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + \frac{5}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- 4 \cdot \sin (0) + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- 4 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (- 4 \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- 4 + \frac{5}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} - (0 + 0)$

= $- 4 + \frac{5}{24} \cdot π^{3} + 0$

= $- 4 + \frac{5}{24} \cdot π^{3}$

≈ 2,46

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{1 - 2} - e^{0 - 2}$

= $e^{- 1} - e^{- 2}$

≈ 0,233

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel