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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 +2 -4 -12 = -10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 9 + 6 - (- \frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $- \frac{9}{2} + 6 - (- \frac{1}{2} + 2)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{12}{2} - (- \frac{1}{2} + \frac{4}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 9 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) + 9 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \frac{9}{2} e^{2 x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- \sin (0) + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (0)})$

= $- (- 1) + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (- 0 + \frac{9}{2} e^{0})$

= $1 + \frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} - (0 + \frac{9}{2})$

= $\frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 1 - (0 + \frac{9}{2})$

= $\frac{9}{2} e^{2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 1 - \frac{9}{2}$

= $\frac{9}{2} e^{3 π} - \frac{7}{2}$

≈ 55758,915

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- 8 + \frac{1}{2}$

= $- \frac{16}{2} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{15}{2}$

= -7,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \sin (x) - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[\cos (x) + 3 x^{- 1}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\cos (x) + \frac{3}{x}]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{\frac{3}{2} π} - (\cos (π) + \frac{3}{π})$

= $0 + \frac{3}{\frac{3}{2} π} - (- 1 + \frac{3}{π})$

= $\frac{2}{π} - (- 1 + \frac{3}{π})$

= $- 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot \frac{3}{π} + \frac{2}{π}$

= $1 - \frac{3}{π} + \frac{2}{π}$

= $1 - \frac{1}{π}$

≈ 0,682

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (- 2 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (- 2 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π + π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $\frac{1}{2} \cdot \cos (- π) - \frac{1}{2} \cdot \cos (0)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel