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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 3 ⋅ 1.5 = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 +2 +4 +4.5 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (3 x^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (3 x^{2} - 5) ⅆ x

= ${[x^{3} - 5 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $1^{3} - 5 \cdot 1 - ({(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2))$

= $1 - 5 - ((- 8) + 10)$

= $1 - 5 - 1 \cdot (- 8) - 1 \cdot 10$

= $1 - 5 + 8 - 10$

= $- 6$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- e^{- 3 x} + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- e^{- 3 x} + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x} + 4 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (0)} + 4 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{3} e^{0} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 4 - (\frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 4 - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{11}{3}$

≈ 3,67

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (- 3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (- 4 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} x^{4}) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} x^{4}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \frac{4}{15} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $5 \cdot 0 - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (5 \cdot 0 - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $0 - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 - \frac{4}{15} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $- \frac{81}{40} \cdot π^{5} + \frac{1}{120} \cdot π^{5}$

= $- \frac{243}{120} \cdot π^{5} + \frac{1}{120} \cdot π^{5}$

= $- \frac{121}{60} \cdot π^{5}$

≈ -617,14

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{2 - 2} - \frac{3}{2} e^{0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{0} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 1,297

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel