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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 -1 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (5 x^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - (\frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 - (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - 2 \cdot 1)$

= $\frac{40}{3} - 8 - (- \frac{5}{3} - 2)$

= $\frac{40}{3} - \frac{24}{3} - (- \frac{5}{3} - \frac{6}{3})$

= $\frac{16}{3} - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $\frac{16}{3} + \frac{11}{3}$

= $9$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + 2 \cdot \cos (π) - (- 2 \cdot \sin (0) + 2 \cdot \cos (0))$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1)$

= $0 - 2 - (0 + 2)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 {(- 3 x + 7)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 3 x + 7)}^{4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 3 \cdot 0 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 9 + 7)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(0 + 7)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 7^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 2 401$

= $4 - \frac{2401}{4}$

= $\frac{16}{4} - \frac{2401}{4}$

= $- \frac{2385}{4}$

= -596,25

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 2 \cdot \cos (x) + 2 x) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (- 2 \cdot \sin (0) + {(0)}^{2})$

= $- 2 \cdot 1 + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 + {(\frac{1}{2} π)}^{2} - (0 + 0)$

= $- 2 + \frac{1}{4} \cdot π^{2} + 0$

= $- 2 + \frac{1}{4} \cdot π^{2}$

≈ 0,467

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 {(3 x - 4)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 {(3 x - 4)}^{3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(3 x - 4)}^{4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot {(9 - 4)}^{4} + \frac{1}{4} \cdot {(6 - 4)}^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 5^{4} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot 625 + \frac{1}{4} \cdot 16$

= $- \frac{625}{4} + 4$

= $- \frac{625}{4} + \frac{16}{4}$

= $- \frac{609}{4}$

= -152,25

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel