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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (3 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (3 x - 3) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{2} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{3}{2} \cdot 1 + 3)$

= $0 + 0 - (\frac{3}{2} + 3)$

= $0 - (\frac{3}{2} + \frac{6}{2})$

= $- 1 \cdot \frac{9}{2}$

= $- \frac{9}{2}$

= -4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 e^{- 2 x} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 e^{- 2 x} + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x} + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot π} + 7 \cdot \sin (π) - (- e^{- 2 \cdot (0)} + 7 \cdot \sin (0))$

= $- e^{- 2 \cdot π} + 7 \cdot 0 - (- e^{0} + 7 \cdot 0)$

= $- e^{- 2 \cdot π} + 0 - (- 1 + 0)$

= $- e^{- 2 π} + 1$

≈ 0,998

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} {(x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\sin (x) - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \cos (x) - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) - \frac{1}{4} \cdot \sin (π) - (- \cos (0) - \frac{1}{4} \cdot \sin (0))$

= $- (- 1) - \frac{1}{4} \cdot 0 - (- 1 - \frac{1}{4} \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 3 e^{- 2 + 2} + 3 e^{- 1 + 2}$

= $- 3 e^{0} + 3 e$

= $- 3 + 3 e$

≈ 5,155

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel