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lineares Integral berechnen

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds 0 9 f(x) x .

Lösung einblenden

0 9 f(x) x gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I1 = 0 2 f(x) x : Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I2 = 2 5 f(x) x : Dreiecksfläche I2 = (5 - 2) ⋅ ( - 3 ) 2 = -9 2 = -4.5.

I3 = 5 7 f(x) x : Dreiecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ 3 2 = 6 2 = 3.

I4 = 7 9 f(x) x : Rechtecksfläche I4 = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

0 9 f(x) x = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 2 f(x) x + 2 5 f(x) x + 5 7 f(x) x + 7 9 f(x) x = -6 -4.5 +3 +6 = -1.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( -4x -3 ) x .

Lösung einblenden
-2 1 ( -4x -3 ) x

= [ -2 x 2 -3x ] -2 1

= -2 1 2 -31 - ( -2 ( -2 ) 2 -3( -2 ) )

= -21 -3 - ( -24 +6 )

= -2 -3 - ( -8 +6 )

= -5 -1 · ( -2 )

= -5 +2

= -3

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π ( -4 cos( x ) +2 sin( x ) ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π ( -4 cos( x ) +2 sin( x ) ) x

= [ -4 sin( x ) -2 cos( x ) ] 0 1 2 π

= -4 sin( 1 2 π ) -2 cos( 1 2 π ) - ( -4 sin( 0 ) -2 cos( 0 ) )

= -41 -20 - ( -40 -21 )

= -4 +0 - (0 -2 )

= -4 +2

= -2

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral 2 5 e -3x +6 x .

Lösung einblenden
2 5 e -3x +6 x

= [ - 1 3 e -3x +6 ] 2 5

= - 1 3 e -35 +6 + 1 3 e -32 +6

= - 1 3 e -15 +6 + 1 3 e -6 +6

= - 1 3 e -9 + 1 3 e 0

= - 1 3 e -9 + 1 3


≈ 0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral -2 1 ( -5 e -x +2x ) x .

Lösung einblenden
-2 1 ( -5 e -x +2x ) x

= [ 5 e -x + x 2 ] -2 1

= 5 e -1 + 1 2 - ( 5 e -( -2 ) + ( -2 ) 2 )

= 5 e -1 + 1 - ( 5 e 2 + 4 )

= 5 e -1 +1 -5 e 2 -1 · 4

= 5 e -1 +1 -5 e 2 -4

= -5 e 2 +5 e -1 +1 -4

= -5 e 2 +5 e -1 -3


≈ -38,106

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral 5 7 1 x -3 x .

Lösung einblenden
5 7 1 x -3 x
= 5 7 ( x -3 ) -1 x

= [ ln( | x -3 | ) ] 5 7

= ln( | 7 -3 | ) - ln( | 5 -3 | )

= ln( 4 ) - ln( | 5 -3 | )

= ln( 4 ) - ln( 2 )


≈ 0,693