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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 2^{2} - (- 0^{3} + 0^{2})$

= $- 8 + 4 - (- 0 + 0)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 e^{3 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (5 e^{3 x} + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x} + 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot π} + 2 \cdot \sin (π) - (\frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{3} e^{3 \cdot π} + 2 \cdot 0 - (\frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2 \cdot 1)$

= $\frac{5}{3} e^{3 \cdot π} + 0 - (\frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2)$

= $\frac{5}{3} e^{3 π} - (\frac{5}{3} e^{3 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 2)$

= $\frac{5}{3} e^{3 π} - \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 1 \cdot 2$

= $\frac{5}{3} e^{3 π} - \frac{5}{3} e^{\frac{3}{2} π} - 2$

≈ 20465,217

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- 2 e^{2 - 1} + 2 e^{1 - 1}$

= $- 2 e + 2 e^{0}$

= $- 2 e + 2$

≈ -3,437

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 e^{- 3 x} - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (4 e^{- 3 x} - \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} e^{- 3 x} - \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (0)} - \sin (0))$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 1 - (- \frac{4}{3} e^{0} - 0)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 1 - (- \frac{4}{3} + 0)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)} - 1 + \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{- \frac{3}{2} π} + \frac{1}{3}$

≈ 0,321

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{6} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{6} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} - {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[\frac{1}{x - 1}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{6 - 1} - \frac{1}{3 - 1}$

= $\frac{1}{5} - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{5} - (\frac{1}{2})$

= $\frac{2}{10} - \frac{5}{10}$

= $- \frac{3}{10}$

= -0,3

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel