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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 -6 = -8

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{3} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{3} (- 5 x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 3 x]}_{-1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{3} \cdot 27 + 9 - (- \frac{5}{3} \cdot (- 1) - 3)$

= $- 45 + 9 - (\frac{5}{3} - 3)$

= $- 36 - (\frac{5}{3} - \frac{9}{3})$

= $- 36 - 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- 36 + \frac{4}{3}$

= $- \frac{108}{3} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{104}{3}$

≈ -34,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) - 5 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) - 5 x^{2}) ⅆ x

= ${[\sin (x) - \frac{5}{3} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) - \frac{5}{3} \cdot π^{3} - (\sin (0) - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $0 - \frac{5}{3} \cdot π^{3} - (0 - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{5}{3} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{5}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{5}{3} \cdot π^{3}$

≈ -51,677

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(12 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(6 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $72 + 0$

= $72$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π) - (5 \cdot \sin (0) + \cos (0))$

= $5 \cdot 1 + 0 - (5 \cdot 0 + 1)$

= $5 + 0 - (0 + 1)$

= $5 - 1$

= $4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 6 π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel