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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ = -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (4 x - 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 4 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - (2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $2 \cdot 1 + 4 - (2 \cdot 4 + 8)$

= $2 + 4 - (8 + 8)$

= $6 - 1 \cdot 16$

= $6 - 16$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (\frac{8}{3} \cdot \sin (x) - 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (2 π) + \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{8}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{8}{3} \cdot 1 + \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (- \frac{8}{3} \cdot 0 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{8}{3} + \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (0 + \frac{1}{{(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{8}{3} + \frac{1}{4 π^{2}} - \frac{4}{π^{2}}$

= $- \frac{8}{3} - \frac{15}{4 π^{2}}$

≈ -3,047

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 134,46

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (\frac{4}{x^{4}} + x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (\frac{4}{x^{4}} + x^{3}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (4 x^{- 4} + x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{1}{4} \cdot 3^{4} - (- \frac{4}{3 \cdot 1^{3}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{27}) + \frac{1}{4} \cdot 81 - (- \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{4}{81} + \frac{81}{4} - (- \frac{4}{3} + \frac{1}{4})$

= $- \frac{16}{324} + \frac{6561}{324} - (- \frac{16}{12} + \frac{3}{12})$

= $\frac{6545}{324} - 1 \cdot (- \frac{13}{12})$

= $\frac{6545}{324} + \frac{13}{12}$

= $\frac{6545}{324} + \frac{351}{324}$

= $\frac{1724}{81}$

≈ 21,284

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel