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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -9 -4.5 +4.5 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-2} (4 x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-2} (4 x - 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 4 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 4 + 8 - (2 \cdot 9 + 12)$

= $8 + 8 - (18 + 12)$

= $16 - 1 \cdot 30$

= $16 - 30$

= $- 14$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (4 x^{2} + \frac{3}{2} e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (4 x^{2} + \frac{3}{2} e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} e^{- x}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{3}{2} e^{- 4} - (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} e^{- 0})$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{3}{2} e^{- 4} - (\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} e^{0})$

= $\frac{256}{3} - \frac{3}{2} e^{- 4} - (0 - \frac{3}{2})$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4} + \frac{256}{3} - (0 - \frac{3}{2})$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4} + \frac{256}{3} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 4} + \frac{521}{6}$

≈ 86,806

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 7} - \frac{2}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 98,697

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} x^{2} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} x^{2} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot π^{3} + 5 \cdot \sin (π) - (- \frac{1}{9} \cdot {(0)}^{3} + 5 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{1}{9} \cdot π^{3} + 5 \cdot 0 - (- \frac{1}{9} \cdot 0 + 5 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{9} \cdot π^{3} + 0 - (0 + 0)$

= $- \frac{1}{9} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{1}{9} \cdot π^{3}$

≈ -3,445

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 3 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 6 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 4 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 5} - \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ -0,022

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel