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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 1.5 +3 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 5 x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 - 9 - (- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} - 9 - (0 + 0)$

= $- \frac{45}{2} - \frac{18}{2} + 0$

= $- \frac{63}{2}$

= -31,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (- 5 x^{5} + 5 \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (- 5 x^{5} + 5 \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (- 5 x^{5} + 5 x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{6} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[- \frac{5}{6} x^{6} + \frac{10}{3} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{16}$

$=$ $- \frac{5}{6} \cdot 16^{6} + \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - (- \frac{5}{6} \cdot 4^{6} + \frac{10}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $- \frac{5}{6} \cdot 16 777 216 + \frac{10}{3} \cdot 4^{3} - (- \frac{5}{6} \cdot 4096 + \frac{10}{3} \cdot 2^{3})$

= $- \frac{41943040}{3} + \frac{10}{3} \cdot 64 - (- \frac{10240}{3} + \frac{10}{3} \cdot 8)$

= $- \frac{41943040}{3} + \frac{640}{3} - (- \frac{10240}{3} + \frac{80}{3})$

= $- 13 980 800 - 1 \cdot (- \frac{10160}{3})$

= $- 13 980 800 + \frac{10160}{3}$

= $- \frac{41942400}{3} + \frac{10160}{3}$

= $- \frac{41932240}{3}$

≈ -13977413,333

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (π) - \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $0 - (- 1)$

= $0 + 1$

= $1$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{5}{3} \cdot \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \cos (x) + 2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (\frac{5}{3} \cdot \cos (0) + 2 \cdot \sin (0))$

= $\frac{5}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 - (\frac{5}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 0)$

= $0 + 2 - (\frac{5}{3} + 0)$

= $2 - (\frac{5}{3} + 0)$

= $2 - \frac{5}{3}$

= $\frac{6}{3} - \frac{5}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 3 - 4)}^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot {(6 - 4)}^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(2 - 4)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{3}$

= $- \frac{1}{6} \cdot 8 + \frac{1}{6} \cdot (- 8)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel