Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 3 -1 -2 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- 2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2 \cdot (- 1) - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot (- 3))$

= $- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 2 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 27) - 6)$

= $\frac{2}{3} - 2 - (18 - 6)$

= $\frac{2}{3} - \frac{6}{3} - 1 \cdot 12$

= $- \frac{4}{3} - 12$

= $- \frac{4}{3} - \frac{36}{3}$

= $- \frac{40}{3}$

≈ -13,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{16} (3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{16} (3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{16} (3 \cdot \cos (x) - \frac{5}{4} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{6} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{16}$

= ${[3 \cdot \sin (x) - \frac{5}{6} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{16}$

$=$ $3 \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} {(\sqrt{16})}^{3} - (3 \cdot \sin (4) - \frac{5}{6} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $3 \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} \cdot 4^{3} - (3 \cdot \sin (4) - \frac{5}{6} \cdot 2^{3})$

= $3 \cdot \sin (16) - \frac{5}{6} \cdot 64 - (3 \cdot \sin (4) - \frac{5}{6} \cdot 8)$

= $3 \cdot \sin (16) - \frac{160}{3} - (3 \cdot \sin (4) - \frac{20}{3})$

= $3 \cdot \sin (16) - \frac{160}{3} - 1 \cdot 3 \cdot \sin (4) - 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $3 \cdot \sin (16) - \frac{160}{3} - 3 \cdot \sin (4) + \frac{20}{3}$

= $3 \cdot \sin (16) - 3 \cdot \sin (4) - \frac{160}{3} + \frac{20}{3}$

= $3 \cdot \sin (16) - 3 \cdot \sin (4) - \frac{140}{3}$

≈ -45,26

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2 e^{- 2 + 1} + 2 e^{- 0 + 1}$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e$

≈ 4,701

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{7}{4} \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (- \frac{7}{4} \cdot \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $- \frac{7}{4} \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (- \frac{7}{4} \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{7}{4} + 0 - (- \frac{7}{4} + 0)$

= $\frac{7}{4} + \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2}$

= 3,5

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (- (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \cos (- π) + 2 \cdot \cos (0)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1$

= $2 + 2$

= $4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel