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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -6 -12 = -15

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (4 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (4 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2})$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 8) + 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{32}{3} + 4)$

= $0 - (- \frac{32}{3} + \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

= $\frac{20}{3}$

≈ 6,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 e^{- x} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 e^{- x} - \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - \cos (\frac{3}{2} π) - (4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 e^{- (\frac{3}{2} π)} - 0 - (4 e^{- (\frac{1}{2} π)} - 0)$

= $4 e^{- \frac{3}{2} π} - 4 e^{- \frac{1}{2} π}$

= $- 4 e^{- \frac{1}{2} π} + 4 e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -0,796

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 14}^{- 7} 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 14}^{- 7} 2 \sqrt{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{- 14}^{- 7} 2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(- x + 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 14}^{- 7}$

= ${[- \frac{4}{3} {(\sqrt{- x + 2})}^{3}]}_{- 14}^{- 7}$

$=$ $- \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 7) + 2})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{- (- 14) + 2})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{7 + 2})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{14 + 2})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} + \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 3^{3} + \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 27 + \frac{4}{3} \cdot 64$

= $- 36 + \frac{256}{3}$

= $- \frac{108}{3} + \frac{256}{3}$

= $\frac{148}{3}$

≈ 49,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (π) - (2 \cdot \sin (0) - \frac{1}{3} \cdot \cos (0))$

= $2 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1) - (2 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $0 + \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - e^{- x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- x + 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{- 5 + 2} - e^{- 2 + 2}$

= $e^{- 3} - e^{0}$

= $e^{- 3} - 1$

≈ -0,95

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel