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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 6 -2 -4 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (- 3 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + x^{2}]}_{-1}^{1}$

$=$ $- 1^{3} + 1^{2} - (- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2})$

= $- 1 + 1 - (- (- 1) + 1)$

= $- 1 + 1 - (1 + 1)$

= $0 - 1 \cdot 2$

= $0 - 2$

= $- 2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 1)$

= $0 - 4 - (0 + 4)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- {(- 3 + 1)}^{3} + {(- 2 + 1)}^{3}$

= $- {(- 2)}^{3} + {(- 1)}^{3}$

= $- (- 8) + (- 1)$

= $8 - 1$

= $7$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (4 \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) - 4 \cdot \cos (π) - (4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) - (4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

= $0 + 4 - (4 + 0)$

= $4 - 4$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- 3 {(3 x - 4)}^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- 3 {(3 x - 4)}^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{3} - x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{3} - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3} - 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(9 - 4)}^{3} - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(6 - 4)}^{3} - 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 - 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 8 - 2)$

= $- \frac{125}{3} - 3 - (- \frac{8}{3} - 2)$

= $- \frac{125}{3} - \frac{9}{3} - (- \frac{8}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{134}{3} - 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $- \frac{134}{3} + \frac{14}{3}$

= $- 40$

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel