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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 +8 = 9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (4 x - 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 2 x]}_{-3}^{1}$

$=$ $2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (2 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $2 \cdot 1 - 2 - (2 \cdot 9 + 6)$

= $2 - 2 - (18 + 6)$

= $0 - 1 \cdot 24$

= $0 - 24$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \cos (x) + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[3 \cdot \sin (x) + x^{3}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $3 \cdot (- 1) + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (3 \cdot 1 + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 3 + {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (3 + {(\frac{1}{2} π)}^{3})$

= $- 3 + \frac{27}{8} \cdot π^{3} - (3 + \frac{1}{8} \cdot π^{3})$

= $- 3 + \frac{27}{8} \cdot π^{3} - 1 \cdot 3 - 1 \cdot \frac{1}{8} \cdot π^{3}$

= $- 3 + \frac{27}{8} \cdot π^{3} - 3 - \frac{1}{8} \cdot π^{3}$

= $- 3 - 3 + \frac{27}{8} \cdot π^{3} - \frac{1}{8} \cdot π^{3}$

= $- 6 + \frac{13}{4} \cdot π^{3}$

≈ 94,77

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 81,694

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (\sin (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $0 + 3 \cdot (- 1) - (1 + 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (1 + 0)$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- {(- 2 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- {(- 2 x + 4)}^{2} - 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 4)}^{3} - 2 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{3} - 2 \cdot 4^{2} - (\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1^{2})$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 8 + 4)}^{3} - 2 \cdot 16 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 2 + 4)}^{3} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{3} - 32 - (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - 2)$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 64) - 32 - (\frac{1}{6} \cdot 8 - 2)$

= $- \frac{32}{3} - 32 - (\frac{4}{3} - 2)$

= $- \frac{32}{3} - \frac{96}{3} - (\frac{4}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{128}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{128}{3} + \frac{2}{3}$

= $- 42$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel