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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 +1.5 +2 = 0.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{1} (- 4 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{-3}^{1}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{4}{3} \cdot (- 27) + \frac{1}{2} \cdot 9)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{1}{2} - (36 + \frac{9}{2})$

= $- \frac{8}{6} + \frac{3}{6} - (\frac{72}{2} + \frac{9}{2})$

= $- \frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{81}{2}$

= $- \frac{5}{6} - \frac{81}{2}$

= $- \frac{5}{6} - \frac{243}{6}$

= $- \frac{124}{3}$

≈ -41,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (4 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - 3)$

= $- 4 + 3$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (- 2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{2} \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{2} \cdot (- 1) + 0 - (\frac{9}{2} \cdot 1 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 0 - (\frac{9}{2} + 0)$

= $- \frac{9}{2} - \frac{9}{2}$

= $- 9$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- π)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel