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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 -4 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 5 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + 5 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3 - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{5}{3} \cdot 27 + 15 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + 5)$

= $- 45 + 15 - (- \frac{5}{3} + 5)$

= $- 30 - (- \frac{5}{3} + \frac{15}{3})$

= $- 30 - 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- 30 - \frac{10}{3}$

= $- \frac{90}{3} - \frac{10}{3}$

= $- \frac{100}{3}$

≈ -33,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 4 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \sin (x) - 4 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\cos (x) - 2 e^{2 x}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π) - 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (\cos (0) - 2 e^{2 \cdot (0)})$

= $0 - 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)} - (1 - 2 e^{0})$

= $- 2 e^{π} - (1 - 2)$

= $- 2 e^{π} - 1 \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{π} + 1$

≈ -45,281

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \frac{1}{3 \sqrt{x}} - 3 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \frac{1}{3 \sqrt{x}} - 3 e^{- x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2}} - 3 e^{- x}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{- x}]}_{4}^{9}$

= ${[- \frac{2}{3} \sqrt{x} + 3 e^{- x}]}_{4}^{9}$

$=$ $- \frac{2}{3} \sqrt{9} + 3 e^{- 9} - (- \frac{2}{3} \sqrt{4} + 3 e^{- 4})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 3 + 3 e^{- 9} - (- \frac{2}{3} \cdot 2 + 3 e^{- 4})$

= $- 2 + 3 e^{- 9} - (- \frac{4}{3} + 3 e^{- 4})$

= $3 e^{- 9} - 2 - (3 e^{- 4} - \frac{4}{3})$

= $- 3 e^{- 4} - 1 \cdot (- \frac{4}{3}) + 3 e^{- 9} - 2$

= $- 3 e^{- 4} + \frac{4}{3} + 3 e^{- 9} - 2$

= $- 3 e^{- 4} + 3 e^{- 9} + \frac{4}{3} - 2$

= $- 3 e^{- 4} + 3 e^{- 9} - \frac{2}{3}$

≈ -0,721

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 3 + 4} + e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $- e^{- 9 + 4} + e^{- 6 + 4}$

= $- e^{- 5} + e^{- 2}$

≈ 0,129

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel