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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +2 +6 = -1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (3 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (3 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[x^{3} + 2 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $1^{3} + 2 \cdot 1 - ({(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $1 + 2 - ((- 8) - 4)$

= $1 + 2 - 1 \cdot (- 8) - 1 \cdot (- 4)$

= $1 + 2 + 8 + 4$

= $15$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 8 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (π) + 8 \cdot \cos (π) - (\frac{9}{4} \cdot \sin (0) + 8 \cdot \cos (0))$

= $\frac{9}{4} \cdot 0 + 8 \cdot (- 1) - (\frac{9}{4} \cdot 0 + 8 \cdot 1)$

= $0 - 8 - (0 + 8)$

= $- 8 - 8$

= $- 16$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \sin (0)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{6} (- \frac{1}{2 x^{2}} - 2 e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{6} (- \frac{1}{2 x^{2}} - 2 e^{2 x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{6} (- \frac{1}{2} x^{- 2} - 2 e^{2 x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 1} - e^{2 x}]}_{2}^{6}$

= ${[\frac{1}{2 x} - e^{2 x}]}_{2}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2 \cdot 6} - e^{2 \cdot 6} - (\frac{1}{2 \cdot 2} - e^{2 \cdot 2})$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6}) - e^{12} - (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}) - e^{4})$

= $\frac{1}{12} - e^{12} - (\frac{1}{4} - e^{4})$

= $- e^{12} + \frac{1}{12} - (- e^{4} + \frac{1}{4})$

= $- e^{12} + \frac{1}{12} + e^{4} - 1 \cdot \frac{1}{4}$

= $- e^{12} + \frac{1}{12} + e^{4} - \frac{1}{4}$

= $- e^{12} + e^{4} + \frac{1}{12} - \frac{1}{4}$

= $- e^{12} + e^{4} - \frac{1}{6}$

≈ -162700,36

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{- 2 \cdot 1 + 5} - e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $e^{- 2 + 5} - e^{0 + 5}$

= $e^{3} - e^{5}$

≈ -128,328

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel