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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 4) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{3 +1}{2}$ = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 +9 +4 = 16

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (5 x^{2} + x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (5 x^{2} + x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} + \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 + \frac{1}{2} \cdot 9 - (\frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $45 + \frac{9}{2} - (\frac{5}{3} + \frac{1}{2})$

= $\frac{90}{2} + \frac{9}{2} - (\frac{10}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{99}{2} - 1 \cdot \frac{13}{6}$

= $\frac{99}{2} - \frac{13}{6}$

= $\frac{297}{6} - \frac{13}{6}$

= $\frac{142}{3}$

≈ 47,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (6 x^{2} - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (6 x^{2} - \frac{4}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (6 x^{2} - 4 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[2 x^{3} + 2 x^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[2 x^{3} + \frac{2}{x^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 \cdot 5^{3} + \frac{2}{5^{2}} - (2 \cdot 2^{3} + \frac{2}{2^{2}})$

= $2 \cdot 125 + 2 \cdot (\frac{1}{25}) - (2 \cdot 8 + 2 \cdot (\frac{1}{4}))$

= $250 + \frac{2}{25} - (16 + \frac{1}{2})$

= $\frac{6250}{25} + \frac{2}{25} - (\frac{32}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{6252}{25} - 1 \cdot \frac{33}{2}$

= $\frac{6252}{25} - \frac{33}{2}$

= $\frac{12504}{50} - \frac{825}{50}$

= $\frac{11679}{50}$

= 233,58

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{5}^{13} - 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{5}^{13} - 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{13} - 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{13}$

= ${[- {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{13}$

$=$ $- {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} + {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3}$

= $- {(\sqrt{26 - 1})}^{3} + {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $- {(\sqrt{25})}^{3} + {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- 5^{3} + 3^{3}$

= $- 125 + 27$

= $- 98$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 2 x} - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- e^{- 2 x} - 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x} + 8 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 8 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 8 \cdot 0 - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 8 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{3}{2} π)} + 0 - (\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} π)} + 0)$

= $\frac{1}{2} e^{- 3 π} - \frac{1}{2} e^{- π}$

≈ -0,022

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{3 - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e + 3 e^{0}$

= $- 3 e + 3$

≈ -5,155

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel