Mathebattle EduRandomtasks

lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -3 +4 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (- 2 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $- 0^{2} + 4 \cdot 0 - (- {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- 0 + 0 - (- 4 - 8)$

= $- 1 \cdot (- 4) - 1 \cdot (- 8)$

= $4 + 8$

= $12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \sin (0))$

= $3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) - (3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $0 - 3 - (3 + 0)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - {(- 2 x + 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 2 x + 4)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 5 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 2 \cdot 2 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 10 + 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4 + 4)}^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot 0^{3}$

= $\frac{1}{6} \cdot (- 216) - \frac{1}{6} \cdot 0$

= $- 36 + 0$

= $- 36$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{x}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{x}]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (π) - 2 e^{π} - (- \frac{1}{3} \cdot \sin (0) - 2 e^{0})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 e^{π} - (- \frac{1}{3} \cdot 0 - 2)$

= $0 - 2 e^{π} - (0 - 2)$

= $- 2 e^{π} + 2$

≈ -44,281

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel