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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -2 +3 +9 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 - 0 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - 9)$

= $0 + 0 - (9 - 9)$

= $0 - 1 \cdot 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- \frac{5}{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- \frac{5}{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{4} (- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x^{- \frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} x^{3} + 4 x^{\frac{1}{2}}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{5}{6} x^{3} + 4 \sqrt{x}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{6} \cdot 4^{3} + 4 \sqrt{4} - (- \frac{5}{6} \cdot 1^{3} + 4 \sqrt{1})$

= $- \frac{5}{6} \cdot 64 + 4 \cdot 2 - (- \frac{5}{6} \cdot 1 + 4 \cdot 1)$

= $- \frac{160}{3} + 8 - (- \frac{5}{6} + 4)$

= $- \frac{160}{3} + \frac{24}{3} - (- \frac{5}{6} + \frac{24}{6})$

= $- \frac{136}{3} - 1 \cdot \frac{19}{6}$

= $- \frac{136}{3} - \frac{19}{6}$

= $- \frac{272}{6} - \frac{19}{6}$

= $- \frac{97}{2}$

= -48,5

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} 2 e^{- x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{- 3 + 1} + 2 e^{- 1 + 1}$

= $- 2 e^{- 2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 2} + 2$

≈ 1,729

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{- x}) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{- x}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (\frac{4}{3} \cdot \sin (0) + 2 e^{- (0)})$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 2 e^{0})$

= $- \frac{4}{3} + 2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - (0 + 2)$

= $2 e^{- (\frac{3}{2} π)} - \frac{4}{3} - 2$

= $2 e^{- \frac{3}{2} π} - \frac{10}{3}$

≈ -3,315

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(6 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 3^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 27 - \frac{2}{9} \cdot (- 27)$

= $6 + 6$

= $12$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel