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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 3 = 3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 2 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{0}^{3}$

$=$ $- 3^{2} - 3 - (- 0^{2} - 0)$

= $- 9 - 3 - (- 0 + 0)$

= $- 9 - 3$

= $- 12$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 2 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 2 \cdot \sin (x) + 2 x^{4}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) + \frac{2}{5} x^{5}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $2 \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (2 \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $0 + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} - (0 + \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5})$

= $\frac{243}{80} \cdot π^{5} - \frac{1}{80} \cdot π^{5}$

= $\frac{121}{40} \cdot π^{5}$

≈ 925,71

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} - 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 2 + 3} - e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $e^{- 6 + 3} - e^{0 + 3}$

= $e^{- 3} - e^{3}$

≈ -20,036

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot \sin (0))$

= $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 - (- \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{3} + \frac{1}{3} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot π^{3}$

≈ -4,834

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel