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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ $\frac{2 +4}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +4 +6 = 13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{0} (2 x^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{0} (2 x^{2} + 2) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) - 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{16}{3} - 4)$

= $0 - (- \frac{16}{3} - \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{28}{3})$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (- 2 x^{5} + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (- 2 x^{5} + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{2}^{3} (- 2 x^{5} + 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{6} - x^{- 2}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{3} x^{6} - \frac{1}{x^{2}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{6} - \frac{1}{3^{2}} - (- \frac{1}{3} \cdot 2^{6} - \frac{1}{2^{2}})$

= $- \frac{1}{3} \cdot 729 - (\frac{1}{9}) - (- \frac{1}{3} \cdot 64 - (\frac{1}{4}))$

= $- 243 - \frac{1}{9} - (- \frac{64}{3} - \frac{1}{4})$

= $- \frac{2187}{9} - \frac{1}{9} - (- \frac{256}{12} - \frac{3}{12})$

= $- \frac{2188}{9} - 1 \cdot (- \frac{259}{12})$

= $- \frac{2188}{9} + \frac{259}{12}$

= $- \frac{8752}{36} + \frac{777}{36}$

= $- \frac{7975}{36}$

≈ -221,528

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{- 3 \cdot 5 + 5} - e^{- 3 \cdot 2 + 5}$

= $e^{- 15 + 5} - e^{- 6 + 5}$

= $e^{- 10} - e^{- 1}$

≈ -0,368

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) + \cos (π) - (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $2 \cdot 0 - 1 - (2 \cdot 1 + 0)$

= $0 - 1 - (2 + 0)$

= $- 1 - 2$

= $- 3$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (- 2 x - π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot π - π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (- 3 π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- 2 π)$

= $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

= $1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel