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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4.5 -3 -6 = -4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (5 x + 2) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - (\frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{5}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{5}{2} \cdot 9 - 6)$

= $\frac{5}{2} - 2 - (\frac{45}{2} - 6)$

= $\frac{5}{2} - \frac{4}{2} - (\frac{45}{2} - \frac{12}{2})$

= $\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{33}{2}$

= $\frac{1}{2} - \frac{33}{2}$

= $- 16$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} (\frac{2}{x^{4}} + 3 x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} (\frac{2}{x^{4}} + 3 x^{2}) ⅆ x

=

\int_{2}^{3} (2 x^{- 4} + 3 x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{- 3} + x^{3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{2}{3 x^{3}} + x^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + 3^{3} - (- \frac{2}{3 \cdot 2^{3}} + 2^{3})$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{27}) + 27 - (- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + 8)$

= $- \frac{2}{81} + 27 - (- \frac{1}{12} + 8)$

= $- \frac{2}{81} + \frac{2187}{81} - (- \frac{1}{12} + \frac{96}{12})$

= $\frac{2185}{81} - 1 \cdot \frac{95}{12}$

= $\frac{2185}{81} - \frac{95}{12}$

= $\frac{8740}{324} - \frac{2565}{324}$

= $\frac{6175}{324}$

≈ 19,059

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{3 \cdot 3 - 6} + e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $- e^{9 - 6} + e^{6 - 6}$

= $- e^{3} + e^{0}$

= $- e^{3} + 1$

≈ -19,086

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} x^{2}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - \frac{4}{9} x^{3}]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - \frac{4}{9} \cdot π^{3} - (2 \cdot \sin (0) - \frac{4}{9} \cdot {(0)}^{3})$

= $2 \cdot 0 - \frac{4}{9} \cdot π^{3} - (2 \cdot 0 - \frac{4}{9} \cdot 0)$

= $0 - \frac{4}{9} \cdot π^{3} - (0 + 0)$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3} + 0$

= $- \frac{4}{9} \cdot π^{3}$

≈ -13,781

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel