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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 12 +4 -3 = 13

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (4 x + 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (4 x + 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $2 \cdot 9 + 9 - (2 \cdot 0 + 0)$

= $18 + 9 - (0 + 0)$

= $27 + 0$

= $27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- \frac{1}{x^{4}} + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- \frac{1}{x^{4}} + e^{x}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- x^{- 4} + e^{x}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{- 3} + e^{x}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{1}{3 x^{3}} + e^{x}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} + e^{5} - (\frac{1}{3 \cdot 1^{3}} + e)$

= $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{125}) + e^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + e)$

= $\frac{1}{375} + e^{5} - (\frac{1}{3} + e)$

= $e^{5} + \frac{1}{375} - 1 \cdot \frac{1}{3} - 1 \cdot e$

= $e^{5} + \frac{1}{375} - \frac{1}{3} - e$

= $e^{5} - \frac{124}{375} - e$

≈ 145,364

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (- x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (- x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (- (0) + \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (0) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$

= $0 + 3$

= $3$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (\frac{4}{3} \cdot \sin (x) + \frac{5}{4} e^{2 x}) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (x) + \frac{5}{8} e^{2 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{3} \cdot \cos (π) + \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (- \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (- \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{4}{3} + \frac{5}{8} e^{2 \cdot π} - (0 + \frac{5}{8} e^{2 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{5}{8} e^{2 \cdot π} + \frac{4}{3} - \frac{5}{8} e^{π}$

= $\frac{5}{8} e^{2 π} - \frac{5}{8} e^{π} + \frac{4}{3}$

≈ 321,553

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{3 - 1} + 3 e^{2 - 1}$

= $- 3 e^{2} + 3 e$

≈ -14,012

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel