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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 -3 = 1

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{1}{2} + 1 - (\frac{1}{2} - 1)$

= $\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

= $\frac{3}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) - 8 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 8 \cdot \cos (x) - 8 x^{3}) ⅆ x

= ${[- 8 \cdot \sin (x) - 2 x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 8 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 8 \cdot \sin (0) - 2 \cdot {(0)}^{4})$

= $- 8 \cdot 1 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (- 8 \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $- 8 - 2 \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $- 8 - \frac{1}{8} \cdot π^{4} + 0$

= $- 8 - \frac{1}{8} \cdot π^{4}$

≈ -20,176

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (- x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (- x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- 3 \cdot \sin (- 3 π) + 3 \cdot \sin (- 2 π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (4 x^{2} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (4 x^{2} + 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 5 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot π^{3} + 5 \cdot \sin (π) - (\frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + 5 \cdot \sin (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot π^{3} + 5 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 + 5 \cdot 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot π^{3} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{4}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{4}{3} \cdot π^{3}$

≈ 41,342

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} 3 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $- e^{- 3 \cdot 5 + 3} + e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $- e^{- 15 + 3} + e^{- 6 + 3}$

= $- e^{- 12} + e^{- 3}$

≈ 0,05

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel