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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ = -1.5.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 6) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$\int_{3}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ = -1.5 -2 = -3.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (2 x^{2} - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (2 x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - 2 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - 8 - (\frac{2}{3} \cdot 1 - 2)$

= $\frac{128}{3} - 8 - (\frac{2}{3} - 2)$

= $\frac{128}{3} - \frac{24}{3} - (\frac{2}{3} - \frac{6}{3})$

= $\frac{104}{3} - 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $\frac{104}{3} + \frac{4}{3}$

= $36$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- 5 \cdot \sin (x) - \cos (x)) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x) - \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \sin (\frac{3}{2} π) - (5 \cdot \cos (0) - \sin (0))$

= $5 \cdot 0 - (- 1) - (5 \cdot 1 - 0)$

= $0 + 1 - (5 + 0)$

= $1 - 5$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} - 3 e^{2 x - 4} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} - 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{6 - 4} + \frac{3}{2} e^{0 - 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{2} + \frac{3}{2} e^{- 4}$

≈ -11,056

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (3 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \sin (0))$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $0 + 3 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} 2 {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} 2 {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 4 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(8 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(4 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{343}{3} - 9$

= $\frac{343}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{316}{3}$

≈ 105,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel