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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = 4 +3 -3 = 4

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (- 5 x + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (- 5 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 1 - 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 4 - 8)$

= $- \frac{5}{2} - 4 - (- 10 - 8)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{8}{2} - 1 \cdot (- 18)$

= $- \frac{13}{2} + 18$

= $- \frac{13}{2} + \frac{36}{2}$

= $\frac{23}{2}$

= 11,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{9}{4} \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{9}{4} \cdot \cos (π) - 4 \cdot \sin (π) - (\frac{9}{4} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{9}{4} \cdot (- 1) - 4 \cdot 0 - (\frac{9}{4} \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

= $- \frac{9}{4} + 0 - (0 - 4)$

= $- \frac{9}{4} + 0 + 4$

= $- \frac{9}{4} + 4$

= $- \frac{9}{4} + \frac{16}{4}$

= $\frac{7}{4}$

= 1,75

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} e^{- 3 x + 6} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6} + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 + 6} + \frac{1}{3} e^{0 + 6}$

= $- \frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} e^{6}$

≈ 127,781

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) - x^{2}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{7}{4} \cdot \cos (x) - x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{4} \cdot \sin (x) - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- \frac{7}{4} \cdot \sin (0) - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3})$

= $- \frac{7}{4} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (- \frac{7}{4} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{7}{4} - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{3} - (0 + 0)$

= $\frac{7}{4} - \frac{9}{8} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{7}{4} - \frac{9}{8} \cdot π^{3}$

≈ -33,132

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{6} - \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} - {(- x + 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 2)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{- x + 2}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{- 6 + 2} + \frac{1}{- 4 + 2}$

= $- \frac{1}{(- 4)} + \frac{1}{(- 2)}$

= $- (- \frac{1}{4}) + (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

= $- \frac{1}{4}$

= -0,25

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel