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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -9 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{1} (x - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{1} (x - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x]}_{-2}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - 4 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 8)$

= $\frac{1}{2} - 4 - (2 + 8)$

= $\frac{1}{2} - \frac{8}{2} - 1 \cdot 10$

= $- \frac{7}{2} - 10$

= $- \frac{7}{2} - \frac{20}{2}$

= $- \frac{27}{2}$

= -13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 2 x^{4} - \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 2 x^{4} - \frac{9}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{5} (- 2 x^{4} - 9 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{5} x^{5} + 9 x^{- 1}]}_{1}^{5}$

= ${[- \frac{2}{5} x^{5} + \frac{9}{x}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{5} \cdot 5^{5} + \frac{9}{5} - (- \frac{2}{5} \cdot 1^{5} + \frac{9}{1})$

= $- \frac{2}{5} \cdot 3125 + 9 \cdot (\frac{1}{5}) - (- \frac{2}{5} \cdot 1 + 9 \cdot 1)$

= $- 1 250 + \frac{9}{5} - (- \frac{2}{5} + 9)$

= $- \frac{6250}{5} + \frac{9}{5} - (- \frac{2}{5} + \frac{45}{5})$

= $- \frac{6241}{5} - 1 \cdot \frac{43}{5}$

= $- \frac{6241}{5} - \frac{43}{5}$

= $- \frac{6284}{5}$

= -1256,8

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 5 + 5} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 15 + 5} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 10} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ -0,245

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 3 \cdot \sin (x) - 2 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $3 \cdot \cos (π) - 2 \cdot \sin (π) - (3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - (3 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $- 3 + 0 - (0 - 2)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} {(- 3 x + 7)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(- 3 x + 7)}^{3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 12 + 7)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot {(- 6 + 7)}^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot {(- 5)}^{3} + \frac{1}{9} \cdot 1^{3}$

= $- \frac{1}{9} \cdot (- 125) + \frac{1}{9} \cdot 1$

= $\frac{125}{9} + \frac{1}{9}$

= $14$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel