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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -3 -6 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (5 x^{2} + 2 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (5 x^{2} + 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} + 3^{2} - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2})$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 + 9 - (\frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $45 + 9 - (0 + 0)$

= $54 + 0$

= $54$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 x^{4} - \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{3}{5} x^{5} + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{5} + 0 - (\frac{3}{5} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{5} + 0)$

= $\frac{729}{160} \cdot π^{5} - \frac{3}{160} \cdot π^{5}$

= $\frac{363}{80} \cdot π^{5}$

≈ 1388,564

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} \sqrt{3 x - 7} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{128}{9} - 6$

= $\frac{128}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} (- 2 x^{3} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} (- 2 x^{3} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{4} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - (0 + 0)$

= $2 + 0$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 3 \cdot \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- 3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\sin (- \frac{9}{2} π) - \sin (- 3 π)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel