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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ $\frac{3 +2}{2}$ = 3 ⋅ 2.5 = 7.5.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 +6 +7.5 = 16.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (- 5 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 - 2)$

= $- 10 + 4 - (- \frac{5}{2} - 2)$

= $- 6 - (- \frac{5}{2} - \frac{4}{2})$

= $- 6 - 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $- 6 + \frac{9}{2}$

= $- \frac{12}{2} + \frac{9}{2}$

= $- \frac{3}{2}$

= -1,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- \frac{7}{2} e^{x} + 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- \frac{7}{2} e^{x} + 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} e^{x} + x^{4}]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{7}{2} e^{2} + 2^{4} - (- \frac{7}{2} e^{- 2} + {(- 2)}^{4})$

= $- \frac{7}{2} e^{2} + 16 - (- \frac{7}{2} e^{- 2} + 16)$

= $- \frac{7}{2} e^{2} + 16 + \frac{7}{2} e^{- 2} - 1 \cdot 16$

= $- \frac{7}{2} e^{2} + 16 + \frac{7}{2} e^{- 2} - 16$

= $- \frac{7}{2} e^{2} + \frac{7}{2} e^{- 2} + 16 - 16$

= $- \frac{7}{2} e^{2} + \frac{7}{2} e^{- 2} + 0$

≈ -25,388

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{2} - 2 e$

≈ 9,342

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (5 \cdot \cos (x) - 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[5 \cdot \sin (x) - x^{4}]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (5 \cdot \sin (0) - {(0)}^{4})$

= $5 \cdot 1 - {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (5 \cdot 0 - 0)$

= $5 - {(\frac{1}{2} π)}^{4} - (0 + 0)$

= $5 - \frac{1}{16} \cdot π^{4} + 0$

= $5 - \frac{1}{16} \cdot π^{4}$

≈ -1,088

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \cos (3 x + π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (4 π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel