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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

Somit gilt:

$\int_{0}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -4.5 +4 +8 = 7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (- 5 x - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (- 5 x - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} - 3 x]}_{-3}^{0}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - (- \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 - (- \frac{5}{2} \cdot 9 + 9)$

= $0 + 0 - (- \frac{45}{2} + 9)$

= $0 - (- \frac{45}{2} + \frac{18}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{27}{2})$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4 x^{3}} + \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4 x^{3}} + \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{1}{4} x^{- 3} + \sin (x)) ⅆ x

= ${[\frac{1}{8} x^{- 2} - \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{1}{8 x^{2}} - \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{8 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{1}{8 π^{2}} - \cos (π))$

= $\frac{1}{8 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} - 0 - (\frac{1}{8 π^{2}} - (- 1))$

= $\frac{1}{8 {(\frac{3}{2} π)}^{2}} + 0 - (\frac{1}{8 π^{2}} + 1)$

= $\frac{1}{18 π^{2}} - (1 + \frac{1}{8 π^{2}})$

= $- 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{8 π^{2}} + \frac{1}{18 π^{2}}$

= $- 1 - \frac{1}{8 π^{2}} + \frac{1}{18 π^{2}}$

= $- 1 - \frac{5}{72 π^{2}}$

≈ -1,007

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 \cdot \cos (x) - 1) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x) - x]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - π - (2 \cdot \sin (0) - (0))$

= $2 \cdot 0 - π - (2 \cdot 0)$

= $0 - π - 2 \cdot 0$

= $- π + 0$

= $- π$

≈ -3,142

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel