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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -9 -3 +6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 x^{2} + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 x^{2} + 5) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4 - (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 64 + 20 - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + 5)$

= $- \frac{128}{3} + 20 - (- \frac{2}{3} + 5)$

= $- \frac{128}{3} + \frac{60}{3} - (- \frac{2}{3} + \frac{15}{3})$

= $- \frac{68}{3} - 1 \cdot \frac{13}{3}$

= $- \frac{68}{3} - \frac{13}{3}$

= $- 27$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (2 \cdot \sin (x) + e^{x}) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (x) + e^{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + e^{\frac{3}{2} π} - (- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + e^{\frac{1}{2} π})$

= $- 2 \cdot 0 + e^{\frac{3}{2} π} - (- 2 \cdot 0 + e^{\frac{1}{2} π})$

= $0 + e^{\frac{3}{2} π} - (0 + e^{\frac{1}{2} π})$

= $e^{\frac{3}{2} π} - e^{\frac{1}{2} π}$

≈ 106,507

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} - 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} - 2 {(- x + 1)}^{3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 1)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 2 + 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1 + 1)}^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0^{4}$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0$

= $\frac{1}{2} + 0$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{16} (\frac{5}{2} \sqrt{x} - 4 x^{4}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{16} (\frac{5}{2} \sqrt{x} - 4 x^{4}) ⅆ x

=

\int_{0}^{16} (\frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{4}) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} x^{5}]}_{0}^{16}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - \frac{4}{5} x^{5}]}_{0}^{16}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{5} \cdot 16^{5} - (\frac{5}{3} {(\sqrt{0})}^{3} - \frac{4}{5} \cdot 0^{5})$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{5} \cdot 1 048 576 - (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - \frac{4}{5} \cdot 0)$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{4194304}{5} - (\frac{5}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{320}{3} - \frac{4194304}{5} - (0 + 0)$

= $\frac{1600}{15} - \frac{12582912}{15} + 0$

= $- \frac{12581312}{15}$

≈ -838754,133

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 22}^{- 13} 3 \sqrt{- x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 22}^{- 13} 3 \sqrt{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{- 22}^{- 13} 3 {(- x + 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(- x + 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 22}^{- 13}$

= ${[- 2 {(\sqrt{- x + 3})}^{3}]}_{- 22}^{- 13}$

$=$ $- 2 {(\sqrt{- (- 13) + 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{- (- 22) + 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{13 + 3})}^{3} + 2 {(\sqrt{22 + 3})}^{3}$

= $- 2 {(\sqrt{16})}^{3} + 2 {(\sqrt{25})}^{3}$

= $- 2 \cdot 4^{3} + 2 \cdot 5^{3}$

= $- 2 \cdot 64 + 2 \cdot 125$

= $- 128 + 250$

= $122$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel