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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(2 - 0) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = 4 -4.5 -9 = -9.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (- 5 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3} \cdot 5^{3} + \frac{5}{2} \cdot 5^{2} - (- \frac{5}{3} \cdot 1^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2})$

= $- \frac{5}{3} \cdot 125 + \frac{5}{2} \cdot 25 - (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{625}{3} + \frac{125}{2} - (- \frac{5}{3} + \frac{5}{2})$

= $- \frac{1250}{6} + \frac{375}{6} - (- \frac{10}{6} + \frac{15}{6})$

= $- \frac{875}{6} - 1 \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{875}{6} - \frac{5}{6}$

= $- \frac{440}{3}$

≈ -146,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{2 π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{2 π} (- 2 \cdot \sin (x) + \frac{2}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{π}^{2 π} (- 2 \cdot \sin (x) + 2 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - x^{- 2}]}_{π}^{2 π}$

= ${[2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{x^{2}}]}_{π}^{2 π}$

$=$ $2 \cdot \cos (2 π) - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (2 \cdot \cos (π) - \frac{1}{π^{2}})$

= $2 \cdot 1 - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (2 \cdot (- 1) - \frac{1}{π^{2}})$

= $2 - \frac{1}{{(2 π)}^{2}} - (- 2 - \frac{1}{π^{2}})$

= $2 - \frac{1}{4 π^{2}} - (- 2 - \frac{1}{π^{2}})$

= $2 - \frac{1}{4 π^{2}} - 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- \frac{1}{π^{2}})$

= $2 - \frac{1}{4 π^{2}} + 2 + \frac{1}{π^{2}}$

= $2 + 2 - \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{π^{2}}$

= $4 + \frac{3}{4 π^{2}}$

≈ 4,076

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 2 {(- 2 x + 4)}^{3} + 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 2 {(- 2 x + 4)}^{3} + 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 2 x + 4)}^{4} + 3 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{4} + 3 \cdot 4^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2 \cdot 1 + 4)}^{4} + 3 \cdot 1^{2})$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 8 + 4)}^{4} + 3 \cdot 16 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2 + 4)}^{4} + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{4} + 48 - (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 3)$

= $\frac{1}{4} \cdot 256 + 48 - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 3)$

= $64 + 48 - (4 + 3)$

= $112 - 1 \cdot 7$

= $112 - 7$

= $105$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \cos (x) - \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \sin (π) + \cos (π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 0 - 1 - (- 1 + 0)$

= $- 1 + 1$

= 0

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- 3 e^{3 - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e + 3 e^{0}$

= $- 3 e + 3$

≈ -5,155

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel