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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

Somit gilt:

$\int_{3}^{7} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ = -2 +4 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{5} (x^{2} - 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{5} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 4 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - 20 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4)$

= $\frac{125}{3} - 20 - (\frac{1}{3} - 4)$

= $\frac{125}{3} - \frac{60}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{65}{3} - 1 \cdot (- \frac{11}{3})$

= $\frac{65}{3} + \frac{11}{3}$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- 8 x^{3} - \frac{4}{3} \sqrt{x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- 8 x^{3} - \frac{4}{3} \sqrt{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- 8 x^{3} - \frac{4}{3} x^{\frac{1}{2}}) ⅆ x

= ${[- 2 x^{4} - \frac{8}{9} x^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{9}$

= ${[- 2 x^{4} - \frac{8}{9} {(\sqrt{x})}^{3}]}_{4}^{9}$

$=$ $- 2 \cdot 9^{4} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - (- 2 \cdot 4^{4} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $- 2 \cdot 6561 - \frac{8}{9} \cdot 3^{3} - (- 2 \cdot 256 - \frac{8}{9} \cdot 2^{3})$

= $- 13 122 - \frac{8}{9} \cdot 27 - (- 512 - \frac{8}{9} \cdot 8)$

= $- 13 122 - 24 - (- 512 - \frac{64}{9})$

= $- 13 146 - (- \frac{4608}{9} - \frac{64}{9})$

= $- 13 146 - 1 \cdot (- \frac{4672}{9})$

= $- 13 146 + \frac{4672}{9}$

= $- \frac{118314}{9} + \frac{4672}{9}$

= $- 13 146 + \frac{4672}{9}$

= $- \frac{118314}{9} + \frac{4672}{9}$

= $- \frac{113642}{9}$

≈ -12626,889

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\frac{2}{3} \cdot \sin (3 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (- 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{9}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $\frac{1}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel