$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -9 -4.5 = -13.5

= ${\left[-\frac{5}{2}{x}^2+x\right]}_1^5$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot 5^2+5-\left(-\frac{5}{2}\cdot 1^2+1\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 25+5-\left(-\frac{5}{2}\cdot 1+1\right)$

= $-\frac{125}{2}+5-\left(-\frac{5}{2}+1\right)$

= $-\frac{125}{2}+\frac{10}{2}-\left(-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}\right)$

= $-\frac{115}{2}-1·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $-\frac{115}{2}+\frac{3}{2}$

= $-56$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x}-\frac{1}{3}{x}^{-3}\right]}_1^5$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x}-\frac{1}{3x^3}\right]}_1^5$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 5}-\frac{1}{3\cdot 5^3}-\left(\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1}-\frac{1}{3\cdot 1^3}\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-10}-\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\left(\frac{1}{2}{e}^{-2}-\frac{1}{3}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-10}-\frac{1}{375}-\left(\frac{1}{2}{e}^{-2}-\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2}-1·\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}{e}^{-10}-\frac{1}{375}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{e}^{-10}-\frac{1}{375}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}{e}^{-10}+\frac{1}{3}-\frac{1}{375}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2}+\frac{1}{2}{e}^{-10}+\frac{124}{375}$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-7}\right]}_1^2$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 2-7}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 1-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^{6-7}-\frac{1}{3}{e}^{3-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-1}-\frac{1}{3}{e}^{-4}$

= ${\left[-\frac{5}{3}{e}^{3x}-\frac{21}{4}{x}^{\frac{4}{3}}\right]}_4^9$

= ${\left[-\frac{5}{3}{e}^{3x}-\frac{21}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4\right]}_4^9$

$=$ $-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 9}-\frac{21}{4}{\left(\sqrt[3]{9}\right)}^4-\left(-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 4}-\frac{21}{4}{\left(\sqrt[3]{4}\right)}^4\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}-\frac{21}{4}\cdot 1^4-\left(-\frac{5}{3}{e}^{12}-\frac{21}{4}\cdot 1^4\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}-\frac{21}{4}\cdot 1-\left(-\frac{5}{3}{e}^{12}-\frac{21}{4}\cdot 1\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}-\frac{21}{4}-\left(-\frac{5}{3}{e}^{12}-\frac{21}{4}\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}-\frac{21}{4}+\frac{5}{3}{e}^{12}-1·\left(-\frac{21}{4}\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}-\frac{21}{4}+\frac{5}{3}{e}^{12}+\frac{21}{4}$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}+\frac{5}{3}{e}^{12}-\frac{21}{4}+\frac{21}{4}$

= $-\frac{5}{3}{e}^{27}+\frac{5}{3}{e}^{12}+0$

= ${\left[-2e^{-x+1}\right]}_2^3$

$=$ $-2e^{-3+1}+2e^{-2+1}$

= $-2e^{-2}+2e^{-1}$