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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₄ = $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 3 ⋅ ( - 3 ) = -9.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{10} f(x) ⅆ x$ = 8 +6 -3 -9 = 2

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{0} (3 x^{2} + 5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{0} (3 x^{2} + 5 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{-3}^{0}$

$=$ $0^{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - ({(- 3)}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {(- 3)}^{2})$

= $0 + \frac{5}{2} \cdot 0 - ((- 27) + \frac{5}{2} \cdot 9)$

= $0 + 0 - (- 27 + \frac{45}{2})$

= $0 - (- \frac{54}{2} + \frac{45}{2})$

= $- 1 \cdot (- \frac{9}{2})$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{4}^{9} (- \frac{1}{2} \sqrt{x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{4}^{9} (- \frac{1}{2} \sqrt{x} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{4}^{9} (- \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot \sin (x)]}_{4}^{9}$

= ${[- \frac{1}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - 4 \cdot \sin (x)]}_{4}^{9}$

$=$ $- \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - 4 \cdot \sin (9) - (- \frac{1}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - 4 \cdot \sin (4))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot \sin (9) - (- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot \sin (4))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot \sin (9) - (- \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 \cdot \sin (4))$

= $- 9 - 4 \cdot \sin (9) - (- \frac{8}{3} - 4 \cdot \sin (4))$

= $- 4 \cdot \sin (9) - 9 - (- 4 \cdot \sin (4) - \frac{8}{3})$

= $- 4 \cdot \sin (9) - 9 - 1 \cdot (- 4 \cdot \sin (4)) - 1 \cdot (- \frac{8}{3})$

= $- 4 \cdot \sin (9) - 9 + 4 \cdot \sin (4) + \frac{8}{3}$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 4 \cdot \sin (4) - 9 + \frac{8}{3}$

= $- 4 \cdot \sin (9) + 4 \cdot \sin (4) - \frac{19}{3}$

≈ -11,009

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} (- 3 {(- 2 x + 5)}^{3} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} (- 3 {(- 2 x + 5)}^{3} - x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{8} {(- 2 x + 5)}^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 3 + 5)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{3}{8} \cdot {(- 2 \cdot 0 + 5)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{3}{8} \cdot {(- 6 + 5)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 9 - (\frac{3}{8} \cdot {(0 + 5)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{3}{8} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{9}{2} - (\frac{3}{8} \cdot 5^{4} + 0)$

= $\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{9}{2} - (\frac{3}{8} \cdot 625 + 0)$

= $\frac{3}{8} - \frac{9}{2} - (\frac{1875}{8} + 0)$

= $\frac{3}{8} - \frac{36}{8} - (\frac{1875}{8} + 0)$

= $- \frac{33}{8} - \frac{1875}{8}$

= $- \frac{477}{2}$

= -238,5

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (3 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) - (- 3 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $0 + 3 - (0 - 3)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} - 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 2 e^{3 - 3} + 2 e^{1 - 3}$

= $- 2 e^{0} + 2 e^{- 2}$

= $- 2 + 2 e^{- 2}$

≈ -1,729

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel