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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 = -9

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{4} (x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{4} (x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 - 8 - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

= $8 - 8 - (0 + 0)$

= $0 + 0$

= $0$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot (- 1) - (4 \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $0 + \frac{4}{3} - (0 - \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3} + \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{3} ({(- x + 2)}^{2} + 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{3} ({(- x + 2)}^{2} + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- x + 2)}^{3} + 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3 + 2)}^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 0 + 2)}^{3} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot {(0 + 2)}^{3} + 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 8 + 0)$

= $\frac{1}{3} + \frac{18}{3} - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $\frac{19}{3} - (- \frac{8}{3} + 0)$

= $\frac{19}{3} + \frac{8}{3}$

= $9$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (\cos (x) - 3 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[\sin (x) + 3 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (π) + 3 \cdot \cos (π) - (\sin (0) + 3 \cdot \cos (0))$

= $0 + 3 \cdot (- 1) - (0 + 3 \cdot 1)$

= $0 - 3 - (0 + 3)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 3 e^{2 x - 5} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{2 - 5} + \frac{3}{2} e^{0 - 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e^{- 5}$

≈ -0,065

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel