$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-4}}{2}$ = -2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -6 -2 +6 = -2

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-x^2\right]}_{-3}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-{\left(-3\right)}^2\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)-1-\left(\frac{1}{3}\cdot \left(-27\right)-9\right)$

= $-\frac{1}{3}-1-\left(-9-9\right)$

= $-\frac{1}{3}-\frac{3}{3}-1·\left(-18\right)$

= $-\frac{4}{3}+18$

= $-\frac{4}{3}+\frac{54}{3}$

= $\frac{50}{3}$

= ${\left[-\frac{5}{3}{e}^{-3x}+\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \pi }+\frac{7}{4}\cdot \cos \left(\pi \right)-\left(-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+\frac{7}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \pi }+\frac{7}{4}\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+\frac{7}{4}\cdot 0\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \pi }-\frac{7}{4}-\left(-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+0\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-3\cdot \pi }-\frac{7}{4}+\frac{5}{3}{e}^{-\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[-e^{-x+1}\right]}_0^3$

$=$ $-e^{-3+1}+e^{-0+1}$

= $-e^{-2}+e$

= $-e^{-2}+e$

= ${\left[-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{5}{3}{e}^{3x}\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(0\right)+\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(0\right)}\right)$

= $-\frac{7}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(-\frac{7}{3}\cdot 0+\frac{5}{3}{e}^0\right)$

= $\frac{7}{3}+\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}-\left(0+\frac{5}{3}\right)$

= $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+\frac{7}{3}-\left(0+\frac{5}{3}\right)$

= $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+\frac{7}{3}-\frac{5}{3}$

= $\frac{5}{3}{e}^{\frac{9}{2}\pi }+\frac{2}{3}$

= ${\left[\sin \left(-2x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\sin \left(-2\cdot \pi +\frac{3}{2}\pi \right)-\sin \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $\sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-1-1$

= $-2$