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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

I₃ = $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(6 - 4) ⋅(-1)}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{6} f(x) ⅆ x$ = 8 +4 -1 = 11

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{2} (- x^{2} - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{2} (- x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x]}_{-2}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - (- 2))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + 2)$

= $- \frac{8}{3} - 2 - (\frac{8}{3} + 2)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{6}{3})$

= $- \frac{14}{3} - 1 \cdot \frac{14}{3}$

= $- \frac{14}{3} - \frac{14}{3}$

= $- \frac{28}{3}$

≈ -9,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{2 π} (- \frac{8}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + 2 x^{- 1}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

= ${[- \frac{8}{3} \cdot \sin (x) + \frac{2}{x}]}_{\frac{1}{2} π}^{2 π}$

$=$ $- \frac{8}{3} \cdot \sin (2 π) + \frac{2}{2 π} - (- \frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $- \frac{8}{3} \cdot 0 + \frac{2}{2 π} - (- \frac{8}{3} \cdot 1 + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $0 + \frac{2}{2 π} - (- \frac{8}{3} + \frac{2}{\frac{1}{2} π})$

= $\frac{1}{π} - (- \frac{8}{3} + \frac{4}{π})$

= $- 1 \cdot (- \frac{8}{3}) - 1 \cdot \frac{4}{π} + \frac{1}{π}$

= $\frac{8}{3} - \frac{4}{π} + \frac{1}{π}$

= $\frac{8}{3} - \frac{3}{π}$

≈ 1,712

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{3}^{4} - \frac{3}{{(2 x - 2)}^{4}} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{3}^{4} - \frac{3}{{(2 x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} - 3 {(2 x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 \cdot 4 - 2)}^{3}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 {(8 - 2)}^{3}} - \frac{1}{2 {(6 - 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 6^{3}} - \frac{1}{2 \cdot 4^{3}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{216}) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{64})$

= $\frac{1}{432} - \frac{1}{128}$

= $\frac{8}{3456} - \frac{27}{3456}$

= $- \frac{19}{3456}$

≈ -0,005

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (2 x^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (2 x^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot π^{3} - \frac{3}{2} \cdot \sin (π) - (\frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0 - (0 + 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3} + 0$

= $\frac{2}{3} \cdot π^{3}$

≈ 20,671

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{4} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{4} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 4 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 8 + 1} - \frac{1}{2} e^{- 4 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 7} - \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ -0,024

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel