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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{(3 - 0) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 -6 = -6

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{4} (- 3 x - 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{4} (- 3 x - 1) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{2} - x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 1)$

= $- \frac{3}{2} \cdot 16 - 4 - (- \frac{3}{2} \cdot 1 - 1)$

= $- 24 - 4 - (- \frac{3}{2} - 1)$

= $- 28 - (- \frac{3}{2} - \frac{2}{2})$

= $- 28 - 1 \cdot (- \frac{5}{2})$

= $- 28 + \frac{5}{2}$

= $- \frac{56}{2} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{51}{2}$

= -25,5

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- 3 \cdot \cos (x) + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \sin (x) - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 3 \cdot (- 1) - \frac{4}{3} \cdot 0 - (- 3 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $3 + 0 - (- 3 + 0)$

= $3 + 3$

= $6$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0$

= $- \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3}$

≈ -0,333

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{x^{2}} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{9}{x^{2}} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

=

\int_{π}^{\frac{3}{2} π} (- 9 x^{- 2} + 8 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[9 x^{- 1} - 8 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

= ${[\frac{9}{x} - 8 \cdot \cos (x)]}_{π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{9}{\frac{3}{2} π} - 8 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (\frac{9}{π} - 8 \cdot \cos (π))$

= $\frac{9}{\frac{3}{2} π} - 8 \cdot 0 - (\frac{9}{π} - 8 \cdot (- 1))$

= $\frac{9}{\frac{3}{2} π} + 0 - (\frac{9}{π} + 8)$

= $\frac{6}{π} - (8 + \frac{9}{π})$

= $- 1 \cdot 8 - 1 \cdot \frac{9}{π} + \frac{6}{π}$

= $- 8 - \frac{9}{π} + \frac{6}{π}$

= $- 8 - \frac{3}{π}$

≈ -8,955

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{1} - 2 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{1} - 2 {(- x + 1)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- x + 1)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 1 + 1)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 0 + 1)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0 + 1)}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{3}$

= $0 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel