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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅(-3)}{2}$ = $\frac{-9}{2}$ = -4.5.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$\int_{3}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{3}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = 3 -4.5 -6 = -7.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (5 x + 4) ⅆ x$ .

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\int_{1}^{3} (5 x + 4) ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} x^{2} + 4 x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - (\frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $\frac{5}{2} \cdot 9 + 12 - (\frac{5}{2} \cdot 1 + 4)$

= $\frac{45}{2} + 12 - (\frac{5}{2} + 4)$

= $\frac{45}{2} + \frac{24}{2} - (\frac{5}{2} + \frac{8}{2})$

= $\frac{69}{2} - 1 \cdot \frac{13}{2}$

= $\frac{69}{2} - \frac{13}{2}$

= $28$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{- 3 x}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 4 \cdot \sin (x) - \frac{9}{2} e^{- 3 x}) ⅆ x

= ${[4 \cdot \cos (x) + \frac{3}{2} e^{- 3 x}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \cos (π) + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot π} - (4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $4 \cdot (- 1) + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot π} - (4 \cdot 0 + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $- 4 + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot π} - (0 + \frac{3}{2} e^{- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)})$

= $\frac{3}{2} e^{- 3 \cdot π} - 4 - \frac{3}{2} e^{- \frac{3}{2} π}$

≈ -4,013

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} - 2 {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x$ .

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\int_{2}^{3} - 2 {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot {(6 - 5)}^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(4 - 5)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{4} x^{5} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- \frac{9}{4} x^{5} + 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{8} x^{6} - 2 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- \frac{3}{8} \cdot {(0)}^{6} - 2 \cdot \cos (0))$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} - 2 \cdot 0 - (- \frac{3}{8} \cdot 0 - 2 \cdot 1)$

= $- \frac{3}{8} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6} + 0 - (0 - 2)$

= $- \frac{3}{512} \cdot π^{6} + 2$

≈ -3,633

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} \cos (- 3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel