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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

I₃ = $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 6) ⋅2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₄ = $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{0}^{10} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{8} f(x) ⅆ x$ + $\int_{8}^{10} f(x) ⅆ x$ = -6 -3 +2 +4 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-3}^{-1} (- x^{2} - 3) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-3}^{-1} (- x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - 3 x]}_{-3}^{-1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + 3 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + 9)$

= $\frac{1}{3} + 3 - (9 + 9)$

= $\frac{1}{3} + \frac{9}{3} - 1 \cdot 18$

= $\frac{10}{3} - 18$

= $\frac{10}{3} - \frac{54}{3}$

= $- \frac{44}{3}$

≈ -14,667

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{3}}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{3}}) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 5 x^{- 3}) ⅆ x

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{2} x^{- 2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + \frac{5}{2 x^{2}}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (π) + \frac{5}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $- \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $0 + \frac{5}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} + \frac{5}{2 {(\frac{1}{2} π)}^{2}})$

= $\frac{5}{2 π^{2}} - (- \frac{7}{2} + \frac{10}{π^{2}})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{2}) - 1 \cdot \frac{10}{π^{2}} + \frac{5}{2 π^{2}}$

= $\frac{7}{2} - \frac{10}{π^{2}} + \frac{5}{2 π^{2}}$

= $\frac{7}{2} - \frac{15}{2 π^{2}}$

≈ 2,74

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} e^{- 3 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 3 + 3} + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 9 + 3} + \frac{1}{3} e^{- 6 + 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 6} + \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 0,016

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 \cdot \cos (x) - 7 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π) + 7 \cdot \cos (π) - (- 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 7 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- 2 \cdot 0 + 7 \cdot (- 1) - (- 2 \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $0 - 7 - (- 2 + 0)$

= $- 7 + 2$

= $- 5$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x + π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} - \cos (- 3 x + π) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (0) + π)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{7}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (π)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0$

= $\frac{1}{3} + 0$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel