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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{2 +1}{2}$ = 2 ⋅ 1.5 = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 +4 +3 = 10

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (4 x^{2} + 4) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (4 x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} x^{3} + 4 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 + 0 - (\frac{4}{3} \cdot (- 1) - 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{4}{3} - 4)$

= $0 - (- \frac{4}{3} - \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (7 \cdot \cos (x) + 2 x^{5}) ⅆ x

= ${[7 \cdot \sin (x) + \frac{1}{3} x^{6}]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $7 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (7 \cdot \sin (0) + \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6})$

= $7 \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (7 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $- 7 + \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (0 + 0)$

= $- 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6} + 0$

= $- 7 + \frac{243}{64} \cdot π^{6}$

≈ 3643,275

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\sin (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π)$

= $\sin (\frac{5}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

=

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 2 x^{- 2} - \frac{7}{4} \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 x^{- 1} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

= ${[\frac{2}{x} - \frac{7}{4} \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} - \frac{7}{4} \cdot \sin (π) - (\frac{2}{\frac{1}{2} π} - \frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} - \frac{7}{4} \cdot 0 - (\frac{2}{\frac{1}{2} π} - \frac{7}{4} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} + 0 - (\frac{2}{\frac{1}{2} π} - \frac{7}{4})$

= $\frac{2}{π} - (- \frac{7}{4} + \frac{4}{π})$

= $- 1 \cdot (- \frac{7}{4}) - 1 \cdot \frac{4}{π} + \frac{2}{π}$

= $\frac{7}{4} - \frac{4}{π} + \frac{2}{π}$

= $\frac{7}{4} - \frac{2}{π}$

≈ 1,113

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 2 \cdot \cos (- 2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\sin (- 2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\sin (- 2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $\sin (- \frac{7}{2} π) - \sin (- \frac{5}{2} π)$

= $1 - (- 1)$

= $1 + 1$

= $2$

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel