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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

Somit gilt:

$\int_{2}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -2 +3 +4 = 5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-2}^{-1} (x^{2} - x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - (- \frac{8}{3} - 2)$

= $- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} - (- \frac{8}{3} - \frac{6}{3})$

= $- \frac{5}{6} - 1 \cdot (- \frac{14}{3})$

= $- \frac{5}{6} + \frac{14}{3}$

= $- \frac{5}{6} + \frac{28}{6}$

= $\frac{23}{6}$

≈ 3,833

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $2 \cdot \cos (π) - 3 \cdot \sin (π) - (2 \cdot \cos (0) - 3 \cdot \sin (0))$

= $2 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0 - (2 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

= $- 2 + 0 - (2 + 0)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} 3 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} 3 {(3 x - 4)}^{2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(6 - 4)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot (- 64)$

= $\frac{8}{3} + \frac{64}{3}$

= $24$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} (- 4 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - (- 4 \cdot \sin (0) - 5 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 0 - (- 4 \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $- 4 + 0 - (0 - 5)$

= $- 4 + 5$

= $1$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\cos (- 2 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $\cos (- \frac{1}{2} π) - \cos (\frac{3}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel