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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(9 - 6) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3.

Somit gilt:

$\int_{3}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ + $\int_{6}^{9} f(x) ⅆ x$ = 3 -3 = 0

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{2} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 4 + 10 - (2 \cdot 1 - 5)$

= $8 + 10 - (2 - 5)$

= $18 - 1 \cdot (- 3)$

= $18 + 3$

= $21$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) - 3 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- 5 \cdot \cos (x) - 3 x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x) - \frac{3}{2} x^{2}]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (π) - \frac{3}{2} \cdot π^{2} - (- 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $- 5 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot π^{2} - (- 5 \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $0 - \frac{3}{2} \cdot π^{2} - (- 5 - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{2})$

= $- \frac{3}{2} \cdot π^{2} - (- 5 - \frac{3}{8} \cdot π^{2})$

= $- 1 \cdot (- 5) - 1 \cdot (- \frac{3}{8} \cdot π^{2}) - \frac{3}{2} \cdot π^{2}$

= $5 + \frac{3}{8} \cdot π^{2} - \frac{3}{2} \cdot π^{2}$

= $5 - \frac{9}{8} \cdot π^{2}$

≈ -6,103

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} - 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (π + \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (0 + \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1$

= $2 + 2$

= $4$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (6 \cdot \cos (x) + 2 x^{3}) ⅆ x

= ${[6 \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} x^{4}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $6 \cdot (- 1) + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (6 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 6 + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{4} - (6 + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{4})$

= $- 6 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} - (6 + \frac{1}{32} \cdot π^{4})$

= $- 6 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} - 1 \cdot 6 - 1 \cdot \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $- 6 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} - 6 - \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $- 6 - 6 + \frac{81}{32} \cdot π^{4} - \frac{1}{32} \cdot π^{4}$

= $- 12 + \frac{5}{2} \cdot π^{4}$

≈ 231,523

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{3} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- e^{- 2 \cdot 3 + 2} + e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $- e^{- 6 + 2} + e^{- 4 + 2}$

= $- e^{- 4} + e^{- 2}$

≈ 0,117

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel