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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 2 ⋅ ( - 2 ) = -4.

I₂ = $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(4 - 2) ⋅(-2)}{2}$ = $\frac{-4}{2}$ = -2.

I₃ = $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(7 - 4) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₄ = $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$\int_{0}^{9} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ + $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ + $\int_{4}^{7} f(x) ⅆ x$ + $\int_{7}^{9} f(x) ⅆ x$ = -4 -2 +4.5 +6 = 4.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{1} (x - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{1} (x - 5) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 5 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - 5 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 5)$

= $\frac{1}{2} - 5 - (\frac{1}{2} + 5)$

= $\frac{1}{2} - \frac{10}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{10}{2})$

= $- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{11}{2}$

= $- \frac{9}{2} - \frac{11}{2}$

= $- 10$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} (- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 5 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (π) - 5 \cdot \sin (π) - (\frac{4}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 - (\frac{4}{3} \cdot 0 - 5 \cdot 1)$

= $- \frac{4}{3} + 0 - (0 - 5)$

= $- \frac{4}{3} + 0 + 5$

= $- \frac{4}{3} + 5$

= $- \frac{4}{3} + \frac{15}{3}$

= $\frac{11}{3}$

≈ 3,667

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $- 2 \cdot \sin (2 π) + 2 \cdot \sin (π)$

= $- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (- \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- \sin (x) + 2 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \sin (\frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) - (- \sin (\frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $- (- 1) + 2 \cdot 0 - (- 1 + 2 \cdot 0)$

= $1 + 0 - (- 1 + 0)$

= $1 + 1$

= $2$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} 2 \sqrt{- 2 x + 3} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} 2 \sqrt{- 2 x + 3} ⅆ x

=

\int_{- 3}^{- \frac{1}{2}} 2 {(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{- 3}^{- \frac{1}{2}}$

= ${[- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 x + 3})}^{3}]}_{- 3}^{- \frac{1}{2}}$

$=$ $- \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 3})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{1 + 3})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{6 + 3})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3} + \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $- \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} \cdot 27$

= $- \frac{16}{3} + 18$

= $- \frac{16}{3} + \frac{54}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel