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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(5 - 2) ⋅(-4)}{2}$ = $\frac{-12}{2}$ = -6.

I₃ = $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{(8 - 5) ⋅2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$\int_{2}^{8} f(x) ⅆ x$ = I₂ + I₃ = $\int_{2}^{5} f(x) ⅆ x$ + $\int_{5}^{8} f(x) ⅆ x$ = -6 +3 = -3

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{3} (- 5 x + 1) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{3} (- 5 x + 1) ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} x^{2} + x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2} \cdot 3^{2} + 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 1)$

= $- \frac{5}{2} \cdot 9 + 3 - (- \frac{5}{2} \cdot 1 + 1)$

= $- \frac{45}{2} + 3 - (- \frac{5}{2} + 1)$

= $- \frac{45}{2} + \frac{6}{2} - (- \frac{5}{2} + \frac{2}{2})$

= $- \frac{39}{2} - 1 \cdot (- \frac{3}{2})$

= $- \frac{39}{2} + \frac{3}{2}$

= $- 18$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \frac{5}{2} x^{5}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} (\sin (x) + \frac{5}{2} x^{5}) ⅆ x

= ${[- \cos (x) + \frac{5}{12} x^{6}]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{5}{12} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $- 0 + \frac{5}{12} \cdot {(\frac{3}{2} π)}^{6} - (- 0 + \frac{5}{12} \cdot {(\frac{1}{2} π)}^{6})$

= $\frac{1215}{256} \cdot π^{6} - \frac{5}{768} \cdot π^{6}$

= $\frac{455}{96} \cdot π^{6}$

≈ 4556,584

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{2} (3 {(x - 2)}^{3} - 6 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{2} (3 {(x - 2)}^{3} - 6 x) ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(x - 2)}^{4} - 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{4} \cdot {(2 - 2)}^{4} - 3 \cdot 2^{2} - (\frac{3}{4} \cdot {(0 - 2)}^{4} - 3 \cdot 0^{2})$

= $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - 3 \cdot 4 - (\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{3}{4} \cdot 0 - 12 - (\frac{3}{4} \cdot 16 + 0)$

= $0 - 12 - (12 + 0)$

= $- 12 - 12$

= $- 24$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} (- \frac{2}{3} \cdot \sin (x) + 7 \cdot \cos (x)) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 7 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 7 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - (\frac{2}{3} \cdot \cos (0) + 7 \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 7 \cdot (- 1) - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 7 \cdot 0)$

= $0 - 7 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- 7 - (\frac{2}{3} + 0)$

= $- 7 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{21}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{23}{3}$

≈ -7,667

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 1} - e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $e^{4 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{3} - e$

≈ 17,367

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Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel