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lineares Integral berechnen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f. Berechne mit Hilfe des Schaubilds $\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ .

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{(6 - 3) ⋅3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

Somit gilt:

$\int_{0}^{6} f(x) ⅆ x$ = I₁ + I₂ = $\int_{0}^{3} f(x) ⅆ x$ + $\int_{3}^{6} f(x) ⅆ x$ = 9 +4.5 = 13.5

Integrale (ganz einfach)

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{-1}^{0} (4 x - 2) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{-1}^{0} (4 x - 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 2 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $2 \cdot 0 + 0 - (2 \cdot 1 + 2)$

= $0 + 0 - (2 + 2)$

= $0 - 1 \cdot 4$

= $- 4$

Integrale ohne Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- \frac{7}{2 x^{4}} - 4 x^{3}) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- \frac{7}{2 x^{4}} - 4 x^{3}) ⅆ x

=

\int_{2}^{5} (- \frac{7}{2} x^{- 4} - 4 x^{3}) ⅆ x

= ${[\frac{7}{6} x^{- 3} - x^{4}]}_{2}^{5}$

= ${[\frac{7}{6 x^{3}} - x^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{7}{6 \cdot 5^{3}} - 5^{4} - (\frac{7}{6 \cdot 2^{3}} - 2^{4})$

= $\frac{7}{6} \cdot (\frac{1}{125}) - 625 - (\frac{7}{6} \cdot (\frac{1}{8}) - 16)$

= $\frac{7}{750} - 625 - (\frac{7}{48} - 16)$

= $\frac{7}{750} - \frac{468750}{750} - (\frac{7}{48} - \frac{768}{48})$

= $- \frac{468743}{750} - 1 \cdot (- \frac{761}{48})$

= $- \frac{468743}{750} + \frac{761}{48}$

= $- \frac{3749944}{6000} + \frac{95125}{6000}$

= $- \frac{1218273}{2000}$

≈ -609,137

Integrale mit Kettenregel BF

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{2}^{5} (- 3 {(2 x - 4)}^{2} - 5) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{2}^{5} (- 3 {(2 x - 4)}^{2} - 5) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{3} - 5 x]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 5 - 4)}^{3} - 5 \cdot 5 - (- \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 2 - 4)}^{3} - 5 \cdot 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot {(10 - 4)}^{3} - 25 - (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - 4)}^{3} - 10)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 6^{3} - 25 - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{3} - 10)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 216 - 25 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 - 10)$

= $- 108 - 25 - (0 - 10)$

= $- 133 + 10$

= $- 123$

Integrale ohne Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} (- 4 \cdot \cos (x) - 9 \cdot \sin (x)) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \sin (x) + 9 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \sin (π) + 9 \cdot \cos (π) - (- 4 \cdot \sin (0) + 9 \cdot \cos (0))$

= $- 4 \cdot 0 + 9 \cdot (- 1) - (- 4 \cdot 0 + 9 \cdot 1)$

= $0 - 9 - (0 + 9)$

= $- 9 - 9$

= $- 18$

Integrale mit Kettenregel

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= ${[\cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π)$

= $\cos (\frac{7}{2} π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $0 - 0$

= 0

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lineares Integral berechnen

Integrale (ganz einfach)

Integrale ohne Kettenregel BF

Integrale mit Kettenregel BF

Integrale ohne Kettenregel

Integrale mit Kettenregel