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Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -3⋅ sin( x ) + x an der Stelle x= 1 2 π :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3⋅ sin( x ) + x ,
also

f'(x)= -3⋅ cos( x ) +1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 2 π )= -3⋅ cos( 1 2 π ) +1

= -3⋅0 +1

= 0 +1

= 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 2 π )= -3⋅ sin( 1 2 π ) + 1 2 π = -3⋅1 + 1 2 π = -3 + 1 2 π ≈ -1.43

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 2 π | -3 + 1 2 π ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-3 + 1 2 π = 1 ⋅ 1 2 π + c

-3 + 1 2 π = 1 2 π + c | - 1 2 π

-3 = c

also c= -3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 1 ⋅x -3

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= -4⋅ sin( x ) +1 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

Lösung einblenden

Eine Sinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer zu Beginn und nach einer halben Periode. Und da ja hier im sin drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 0 und π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( π )= -4⋅ cos( π )

= -4⋅( -1 )

= 4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( π )= -4⋅ sin( π ) +1 = -4⋅0 +1 = 0 +1 = 1

Wir erhalten so also den Punkt B( π | 1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

1 = 4 ⋅ π + c

1 = 4π + c | -4π

1 -4π = c

also c= 1 -4π ≈ -11.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 4 ⋅x + 1 -4π oder y=4x -11.57