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2. Strahlensatz (gleiche Seite)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x + 10}{x}$ = $\frac{24}{12}$

D=R\{0}

$\frac{x}{x} + \frac{10}{x}$	=	$\frac{24}{12}$
$1 + \frac{10}{x}$	=	$2$

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{10}{x}$	=	$2$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$x + 10$	=	$2 x$

$x + 10$	=	$2 x$	\| $- 10$ $- 2 x$
$- x$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

2. Strahlensatz (2 Seiten)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{20}$ = $\frac{9}{18}$

$\frac{x}{20}$	=	$\frac{9}{18}$
$\frac{1}{20} x$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 20
$x$	=	$10$

2. Strahlensatz (3 Segmente)

Beispiel:

Die blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Wir betrachten zuerst den Teil rechts vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{18}$ = $\frac{7}{7 + 14}$

$\frac{x}{18}$	=	$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{18} x$	=	$\frac{1}{3}$	\|⋅ 18
$x$	=	$6$

Nun betrachten wir den Teil links vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{6}$ = $\frac{19,25}{7}$

$\frac{y}{6}$	=	$\frac{19,25}{7}$
$\frac{1}{6} y$	=	$2,75$	\|⋅ 6
$y$	=	$16,5$

doppelter Strahlensatz (klein)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Nach dem 1. Strahlensatz gilt:

$\frac{9 + x}{9}$ = $\frac{11 + 11}{11}$

$\frac{9}{9} + \frac{x}{9}$	=	$\frac{11}{11} + \frac{11}{11}$
$1 + \frac{1}{9} x$	=	$1 + 1$
$\frac{1}{9} x + 1$	=	$2$	\|⋅ 9
$9 (\frac{1}{9} x + 1)$	=	$18$
$x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$x$	=	$9$

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{10}$ = $\frac{9 + 9}{9}$

$\frac{y}{10}$	=	$\frac{9}{9} + \frac{9}{9}$
$\frac{1}{10} y$	=	$1 + 1$
$\frac{1}{10} y$	=	$2$	\|⋅ 10
$y$	=	$20$

Strahlensatz Anwendungen

Beispiel:

Die Grundfläche einer senkrechten quadratischen Pyramide ist b=30 m lang. Parallel zur Grundfläche wird eine zweite Ebene eingezogen, deren Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge 20 m ist. Die Kantenlänge des oberen pyramidenformigen Stocks beträgt 6 m. Bestimme die Kantenlänge des unteren Stockwerks (in Form eines Pyramidenstumpfs).

Lösung einblenden

Wenn man in die Skizze ein paar Strecken einzeichnet, erkennt man eine Strahlensatzfigur:

Dabei gilt nach dem 2. Strahlensatz:

$\frac{b}{b2}$ = $\frac{l2+l1}{l2}$ bzw. $\frac{b2}{b}$ = $\frac{l2}{l2+l1}$

Aus dem Text können wir herauslesen:

l2 = 6

b2 = 20

b = 30

Gesucht ist die Kantenlänge des unteren Stocks der Pyramide. Wir wählen also l1 als x.

Jetzt können wir die Werte in die obige Strahlensatzgleichung einsetzen und erhalten:

$\frac{6 + x}{6}$ = $\frac{30}{20}$

$\frac{6}{6} + \frac{x}{6}$	=	$\frac{30}{20}$
$1 + \frac{1}{6} x$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{6} x + 1$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{6} x + 1)$	=	$9$
$x + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$x$	=	$3$

l1 ist also $3$ .

Die Lösung ist somit: 3