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2. Strahlensatz (gleiche Seite)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{7}$ = $\frac{10 + 20}{10}$

$\frac{x}{7}$	=	$\frac{10}{10} + \frac{20}{10}$
$\frac{1}{7} x$	=	$1 + 2$
$\frac{1}{7} x$	=	$3$	\|⋅ 7
$x$	=	$21$

2. Strahlensatz (2 Seiten)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{5}$ = $\frac{21}{7}$

$\frac{x}{5}$	=	$\frac{21}{7}$
$\frac{1}{5} x$	=	$3$	\|⋅ 5
$x$	=	$15$

2. Strahlensatz (3 Segmente)

Beispiel:

Die blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Wir betrachten zuerst den Teil rechts vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x + 22,5}{x}$ = $\frac{28}{8}$

D=R\{0}

$\frac{x}{x} + \frac{22,5}{x}$	=	$\frac{28}{8}$
$1 + \frac{22,5}{x}$	=	$\frac{7}{2}$

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{22,5}{x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{22,5}{x} \cdot x$	=	$\frac{7}{2} \cdot x$
$x + 22,5$	=	$\frac{7}{2} x$

$x + 22,5$	=	$\frac{7}{2} x$	\|⋅ 2
$2 (x + 22,5)$	=	$7 x$
$2 x + 45$	=	$7 x$	\| $- 45$ $- 7 x$
$- 5 x$	=	$- 45$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Nun betrachten wir den Teil links vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{8}$ = $\frac{27}{9}$

$\frac{y}{8}$	=	$\frac{27}{9}$
$\frac{1}{8} y$	=	$3$	\|⋅ 8
$y$	=	$24$

doppelter Strahlensatz (klein)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Nach dem 1. Strahlensatz gilt:

$\frac{8 + x}{8}$ = $\frac{10 + 12}{10}$

$\frac{8}{8} + \frac{x}{8}$	=	$\frac{10}{10} + \frac{12}{10}$
$1 + \frac{1}{8} x$	=	$1 + \frac{6}{5}$
$\frac{1}{8} x + 1$	=	$\frac{11}{5}$	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x + 1)$	=	$\frac{88}{5}$
$x + 8$	=	$\frac{88}{5}$	\| $- 8$
$x$	=	$\frac{48}{5}$ = 9.6

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{19,8}$ = $\frac{8}{8 + 9,6}$

$\frac{y}{19,8}$	=	$\frac{8}{17,6}$
$\frac{1}{19,8} y$	=	$\frac{8}{17,6}$	\|⋅ 19.8
$y$	=	$9$

Strahlensatz Anwendungen

Beispiel:

Die Grundfläche einer senkrechten quadratischen Pyramide ist b=18 m lang. Die Länge der Seitenkanten ist l=9 m. Die Pyramide wird parallel zur Grundfläche abgetragen, so dass ein Pyramidenstumpf entsteht. Die Länge der Seitenkanten l verkürzt sich dadurch von 9 auf 3 m. Wie breit ist dann die quadratische Fläche der Oberseite des entstehenden Pyramidenstumpfs?

Lösung einblenden

Wenn man in die Skizze ein paar Strecken einzeichnet, erkennt man eine Strahlensatzfigur:

Dabei gilt nach dem 2. Strahlensatz:

$\frac{b}{b2}$ = $\frac{l2+l1}{l2}$ bzw. $\frac{b2}{b}$ = $\frac{l2}{l2+l1}$

Aus dem Text können wir herauslesen:

l = l2 + l1 =9

l1 = 3

l2 = 6

b = 18

Gesucht ist die Breite der neuen Oberseite. Wir wählen also b2 als x.

Jetzt können wir die Werte in die obige Strahlensatzgleichung einsetzen und erhalten:

$\frac{x}{18}$ = $\frac{6}{6 + 3}$

$\frac{x}{18}$	=	$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{18} x$	=	$\frac{2}{3}$	\|⋅ 18
$x$	=	$12$

b2 ist also $12$ .

Die Lösung ist somit: 12