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2. Strahlensatz (gleiche Seite)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x + 17,5}{x}$ = $\frac{30,25}{11}$

D=R\{0}

$\frac{x}{x} + \frac{17,5}{x}$	=	$\frac{30,25}{11}$
$1 + \frac{17,5}{x}$	=	$2,75$

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{17,5}{x}$	=	$2,75$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{17,5}{x} \cdot x$	=	$2,75 \cdot x$
$x + 17,5$	=	$2,75 x$

$x + 17,5$	=	$2,75 x$	\| $- 17,5$ $- 2,75 x$
$- 1,75 x$	=	$- 17,5$	\|:( $- 1,75$ )
$x$	=	$10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

2. Strahlensatz (2 Seiten)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x.

Lösung einblenden

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{24,75}$ = $\frac{7}{19,25}$

$\frac{x}{24,75}$	=	$\frac{7}{19,25}$
$\frac{1}{24,75} x$	=	$\frac{7}{19,25}$	\|⋅ 24.75
$x$	=	$9$

2. Strahlensatz (3 Segmente)

Beispiel:

Die blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Wir betrachten zuerst den Teil rechts vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{x}{8}$ = $\frac{7 + 10,5}{7}$

$\frac{x}{8}$	=	$\frac{7}{7} + \frac{10,5}{7}$
$\frac{1}{8} x$	=	$1 + 1,5$
$\frac{1}{8} x$	=	$2,5$	\|⋅ 8
$x$	=	$20$

Nun betrachten wir den Teil links vom Zentrum.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{8}$ = $\frac{5,25}{7}$

$\frac{y}{8}$	=	$\frac{5,25}{7}$
$\frac{1}{8} y$	=	$0,75$	\|⋅ 8
$y$	=	$6$

doppelter Strahlensatz (klein)

Beispiel:

Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Berechne x und y.

Lösung einblenden

Nach dem 1. Strahlensatz gilt:

$\frac{6 + x}{6}$ = $\frac{8 + 6}{8}$

$\frac{6}{6} + \frac{x}{6}$	=	$\frac{8}{8} + \frac{6}{8}$
$1 + \frac{1}{6} x$	=	$1 + \frac{3}{4}$
$\frac{1}{6} x + 1$	=	$\frac{7}{4}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{6} x + 1)$	=	$\frac{21}{2}$
$x + 6$	=	$\frac{21}{2}$	\| $- 6$
$x$	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

$\frac{y}{12,25}$ = $\frac{8}{8 + 6}$

$\frac{y}{12,25}$	=	$\frac{4}{7}$
$\frac{1}{12,25} y$	=	$\frac{4}{7}$	\|⋅ 12.25
$y$	=	$7$

Strahlensatz Anwendungen

Beispiel:

Die Grundfläche einer senkrechten quadratischen Pyramide ist b=40 m lang. Die Länge der Seitenkanten ist l=15 m. Die Pyramide wird parallel zur Grundfläche abgetragen, so dass ein Pyramidenstumpf entsteht. Die Länge der Seitenkanten l verkürzt sich dadurch von 15 auf 9 m. Wie breit ist dann die quadratische Fläche der Oberseite des entstehenden Pyramidenstumpfs?

Lösung einblenden

Wenn man in die Skizze ein paar Strecken einzeichnet, erkennt man eine Strahlensatzfigur:

Dabei gilt nach dem 2. Strahlensatz:

$\frac{b}{b2}$ = $\frac{l2+l1}{l2}$ bzw. $\frac{b2}{b}$ = $\frac{l2}{l2+l1}$

Aus dem Text können wir herauslesen:

l = l2 + l1 =15

l1 = 9

l2 = 6

b = 40

Gesucht ist die Breite der neuen Oberseite. Wir wählen also b2 als x.

Jetzt können wir die Werte in die obige Strahlensatzgleichung einsetzen und erhalten:

$\frac{x}{40}$ = $\frac{6}{6 + 9}$

$\frac{x}{40}$	=	$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{40} x$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅ 40
$x$	=	$16$

b2 ist also $16$ .

Die Lösung ist somit: 16