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Trigonometr. Fktn. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin( x ) -4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 2 sin( x ) -4 x 2

f'(x)= 2 cos( x ) -8x

Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 cos( x ) +4 x 2 -4 und gib die Steigung von f an der Stelle x= π an:

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f(x)= -3 cos( x ) +4 x 2 -4

=>f'(x)= 3 sin( x ) +8x +0

f'( π ) = 3 sin( π ) +8π = 30 +8π = 8π ≈ 25.13

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π[, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -3 cos( x ) -3 parallel zur Geraden y = 3x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Die Gerade y = 3x -1 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= -3 cos( x ) -3

f'(x)= 3 sin( x ) +0

= 3 sin( x )

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir 3 sin( x ) +0 = 3.

3 sin( x ) = 3 |:3
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 2 π ) = 3 sin( 1 2 π ) +0 = 3

Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 4 sin( x ) -3x an der Stelle x= 1 2 π :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 sin( x ) -3x ,
also

f'(x)= 4 cos( x ) -3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 2 π )= 4 cos( 1 2 π ) -3

= 40 -3

= 0 -3

= -3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 2 π )= 4 sin( 1 2 π ) -3( 1 2 π ) = 41 -3( 1 2 π ) = 4 -3( 1 2 π ) ≈ -0.71

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 2 π | 4 - 3 2 π ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4 - 3 2 π = -3 1 2 π + c

4 - 3 2 π = - 3 2 π + c | + 3 2 π

4 = c

also c= 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -3 ⋅x + 4

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 5 cos( x ) +5 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

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Eine Kosinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer nach einer Viertel und nach einer Dreiviertel Periode. Und da ja hier im cos drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 1 2 π und 3 2 π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei 3 2 π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 2 π )= -5 sin( 3 2 π )

= -5( -1 )

= 5

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 5 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 2 π )= 5 cos( 3 2 π ) +5 = 50 +5 = 0 +5 = 5

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 2 π | 5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

5 = 5 3 2 π + c

5 = 15 2 π + c | - 15 2 π

5 - 15 2 π = c

also c= 5 - 15 2 π ≈ -18.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 5 ⋅x + 5 - 15 2 π oder y=5x -18.56