- Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Trigonometr. Fktn. ableiten
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und gib die Steigung von f an der Stelle x= an:
=>
f'( ) = = = ≈ 25.13
Stelle mit gleichem m wie best. Gerade
Beispiel:
Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π[, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit parallel zur Geraden y = ist.
Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.
Die Gerade y = hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = .
Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.
Zuerst leiten wir mal f(x) ab:
=
Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir = 3.
= | |: |
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
= |
L={ }
Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:
f '( ) = =
Tangente an trigonom. Fktn.
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
Wendetangente an Trigon. Fktn.
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit
Eine Kosinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer nach einer Viertel und nach einer Dreiviertel Periode. Und da ja hier im cos drin nur ein "x" steht, ist der Graph
von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte
bei
Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=