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Trigonometr. Fktn. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 cos( x ) -2 sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= -2 cos( x ) -2 sin( x )

f'(x)= 2 sin( x ) -2 cos( x )

Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 sin( x ) -5 x 3 -2 und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= 4 sin( x ) -5 x 3 -2

=>f'(x)= 4 cos( x ) -15 x 2 +0

f'( 0 ) = 4 cos( 0 ) -15 ( 0 ) 2 = 41 -150 = 4

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π), an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -2 sin( x ) +4x parallel zur Geraden y = 4x +5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Die Gerade y = 4x +5 hat als Steigung m = 4 und als y-Achsenabschnitt c = 5 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= -2 sin( x ) +4x

f'(x)= -2 cos( x ) +4

Diese Ableitung muss ja = 4 sein, also setzen wir -2 cos( x ) +4 = 4.

-2 cos( x ) +4 = 4 | -4
-2 cos( x ) = 0 |:-2
canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 2 π ) = -2 cos( 1 2 π ) +4 = 4

f '( 3 2 π ) = -2 cos( 3 2 π ) +4 = 4

Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 3 cos( x ) -2 an der Stelle x= π :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 3 cos( x ) -2 ,
also

f'(x)= -3 sin( x ) +0

= -3 sin( x )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( π )= -3 sin( π )

= -30

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( π )= 3 cos( π ) -2 = 3( -1 ) -2 = -3 -2 = -5

Wir erhalten so also den Punkt B( π | -5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-5 = 0π + c

-5 = 0 + c

-5 = c

also c= -5

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x -5

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 5 cos( x ) -4 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

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Eine Kosinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer nach einer Viertel und nach einer Dreiviertel Periode. Und da ja hier im cos drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 1 2 π und 3 2 π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei 3 2 π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 2 π )= -5 sin( 3 2 π )

= -5( -1 )

= 5

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 5 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 2 π )= 5 cos( 3 2 π ) -4 = 50 -4 = 0 -4 = -4

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 2 π | -4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-4 = 5 3 2 π + c

-4 = 15 2 π + c | - 15 2 π

-4 - 15 2 π = c

also c= -4 - 15 2 π ≈ -27.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 5 ⋅x + -4 - 15 2 π oder y=5x -27.56