nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Trigonometr. Fktn. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4⋅ sin( x ) + x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4⋅ sin( x ) + x 2

f'(x)= 4⋅ cos( x ) +2x

Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2⋅ cos( x ) +2 x 2 +1 und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

Lösung einblenden

f(x)= 2⋅ cos( x ) +2 x 2 +1

=>f'(x)= -2⋅ sin( x ) +4x +0

f'( 0 ) = -2⋅ sin( 0 ) +4⋅( 0 ) = -2⋅0 +4⋅0 = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π), an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -4⋅ sin( x ) -5x parallel zur Geraden y = -x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -x -4 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= -4⋅ sin( x ) -5x

f'(x)= -4⋅ cos( x ) -5

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir -4⋅ cos( x ) -5 = -1.

-4⋅ cos( x ) -5 = -1 | +5
-4⋅ cos( x ) = 4 |:-4
canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x = π

L={ π }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( π ) = -4⋅ cos( π ) -5 = -1

Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -3⋅ sin( x ) -1 an der Stelle x= 3 2 π :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3⋅ sin( x ) -1 ,
also

f'(x)= -3⋅ cos( x ) +0

= -3⋅ cos( x )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 2 π )= -3⋅ cos( 3 2 π )

= -3⋅0

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 2 π )= -3⋅ sin( 3 2 π ) -1 = -3⋅( -1 ) -1 = 3 -1 = 2

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 2 π | 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 = 0⋅ 3 2 π + c

2 = 0 + c

2 = c

also c= 2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + 2

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= -5⋅ sin( x ) -3 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

Lösung einblenden

Eine Sinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer zu Beginn und nach einer halben Periode. Und da ja hier im sin drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 0 und π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( π )= -5⋅ cos( π )

= -5⋅( -1 )

= 5

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 5 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( π )= -5⋅ sin( π ) -3 = -5⋅0 -3 = 0 -3 = -3

Wir erhalten so also den Punkt B( π | -3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-3 = 5 ⋅ π + c

-3 = 5π + c | -5π

-3 -5π = c

also c= -3 -5π ≈ -18.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 5 ⋅x + -3 -5π oder y=5x -18.71