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Trigonometr. Fktn. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin( x ) +2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= sin( x ) +2 x 3

f'(x)= cos( x ) +6 x 2

Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5⋅ cos( x ) -3⋅ sin( x ) +3 und gib die Steigung von f an der Stelle x= 2π an:

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f(x)= -5⋅ cos( x ) -3⋅ sin( x ) +3

=>f'(x)= 5⋅ sin( x ) -3⋅ cos( x ) +0

f'( 2π ) = -3⋅ cos( 2π ) +5⋅ sin( 2π ) = -3⋅1 +5⋅0 = -3

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π[, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -2⋅ sin( x ) +5 parallel zur Geraden y = 2x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Die Gerade y = 2x -3 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= -2⋅ sin( x ) +5

f'(x)= -2⋅ cos( x ) +0

= -2⋅ cos( x )

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir -2⋅ cos( x ) +0 = 2.

-2⋅ cos( x ) = 2 |:-2
canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x = π

L={ π }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( π ) = -2⋅ cos( π ) +0 = 2

Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 5⋅ cos( x ) - x an der Stelle x= π :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 5⋅ cos( x ) - x ,
also

f'(x)= -5⋅ sin( x ) -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( π )= -5⋅ sin( π ) -1

= -5⋅0 -1

= 0 -1

= -1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( π )= 5⋅ cos( π ) - π = 5⋅( -1 ) - π = -5 - π ≈ -8.14

Wir erhalten so also den Punkt B( π | -5 - π ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-5 - π = -1 ⋅ π + c

-5 - π = -π + c | + π

-5 = c

also c= -5

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -1 ⋅x -5

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - sin( x ) +4 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

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Eine Sinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer zu Beginn und nach einer halben Periode. Und da ja hier im sin drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 0 und π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( π )= - cos( π )

= -( -1 )

= 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( π )= - sin( π ) +4 = -0 +4 = 4

Wir erhalten so also den Punkt B( π | 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4 = 1 ⋅ π + c

4 = π + c | -π

4 - π = c

also c= 4 - π ≈ 0.86

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 1 ⋅x + 4 - π oder y=1x +0.86