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Trigonometr. Fktn. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin( x ) +5x und vereinfache:

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f(x)= sin( x ) +5x

f'(x)= cos( x ) +5

Trigonometr. Fktn. in Pkt. ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 cos( x ) -2 sin( x ) -5 und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= 2 cos( x ) -2 sin( x ) -5

=>f'(x)= -2 sin( x ) -2 cos( x ) +0

f'( 1 2 π ) = -2 cos( 1 2 π ) -2 sin( 1 2 π ) = -20 -21 = -2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen im Intervall [0;2π), an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 5 cos( x ) +2x parallel zur Geraden y = 2x +2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Die Gerade y = 2x +2 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = 2 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 5 cos( x ) +2x

f'(x)= -5 sin( x ) +2

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir -5 sin( x ) +2 = 2.

-5 sin( x ) +2 = 2 | -2
-5 sin( x ) = 0 |:-5
canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '(0) = -5 sin(0) +2 = 2

f '( π ) = -5 sin( π ) +2 = 2

Tangente an trigonom. Fktn.

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 4 cos( x ) - x an der Stelle x= 3 2 π :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 cos( x ) - x ,
also

f'(x)= -4 sin( x ) -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 2 π )= -4 sin( 3 2 π ) -1

= -4( -1 ) -1

= 4 -1

= 3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 2 π )= 4 cos( 3 2 π ) - ( 3 2 π ) = 40 - ( 3 2 π ) = 0 - ( 3 2 π ) = - 3 2 π ≈ -4.71

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 2 π | - 3 2 π ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

- 3 2 π = 3 3 2 π + c

- 3 2 π = 9 2 π + c | - 9 2 π

-6π = c

also c= -6π ≈ -18.85

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 3 ⋅x -6π oder y=3x -18.85

Wendetangente an Trigon. Fktn.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= cos( x ) -4 beitzt im Intervall [π,2π[ einen Wendepunkt. Bestimme eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

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Eine Kosinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer nach einer Viertel und nach einer Dreiviertel Periode. Und da ja hier im cos drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 1 2 π und 3 2 π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei 3 2 π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 2 π )= - sin( 3 2 π )

= -( -1 )

= 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 2 π )= cos( 3 2 π ) -4 = 0 -4 = -4

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 2 π | -4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-4 = 1 3 2 π + c

-4 = 3 2 π + c | - 3 2 π

-4 - 3 2 π = c

also c= -4 - 3 2 π ≈ -8.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 1 ⋅x + -4 - 3 2 π oder y=1x -8.71