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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(0.5|6). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(0.5|6) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

6 = a^0.5 = $\sqrt{a}$ | ↑²

36 = a

Das gesuchte a ist somit 36 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $36^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $\frac{15}{4}$ ) und B(2| $\frac{75}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{15}{4}$ ) und B(2| $\frac{75}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{15}{4}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{75}{4}$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{15}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{75}{4}$ = $\frac{15}{4 a} \cdot a^{2}$

also

II: $\frac{75}{4}$ = $\frac{15}{4} a$

$\frac{15}{4} a$	=	$\frac{75}{4}$	\|⋅ 4
$15 a$	=	$75$	\|: $15$
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{15}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot 5^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also git f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a^{1}$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$