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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(3|27). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(3|27) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

27 = a³ | $\sqrt[3]{\cdot}$

3 = a

Das gesuchte a ist somit 3 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $3^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 8$ ) und B(-2| $- \frac{1}{8}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 8$ ) und B(-2| $- \frac{1}{8}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 8$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{8}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{8}{a^{3}}$	=	$- \frac{1}{8}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{8}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{8} \cdot a^{3}$
$- 8$	=	$- \frac{1}{8} a^{3}$

$- 8$	=	$- \frac{1}{8} a^{3}$	\| $+ 8$ $+ \frac{1}{8} a^{3}$
$\frac{1}{8} a^{3}$	=	$8$	\|⋅ $8$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- 2$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 2 \cdot 4^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a^{1}$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$