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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|25). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|25) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

25 = a² | $\sqrt[2]{\cdot}$

5 = a

( - 5 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 5 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $5^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $- 8$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 8$ = $- \frac{1}{2} a^{2}$

$- \frac{1}{2} a^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{x}$