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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(0.5|3). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(0.5|3) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

3 = a^0.5 = $\sqrt{a}$ | ↑²

9 = a

Das gesuchte a ist somit 9 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $9^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(3| $12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(3| $12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $c \cdot a$
II: $12$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $12$ = $\frac{3}{a} \cdot a^{3}$

also

II: $12$ = $3 a^{2}$

$3 a^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$a^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} \cdot 2^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$