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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(1|4). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(1|4) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

4 = a¹

4 = a

Das gesuchte a ist somit 4 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $4^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $12$ ) und B(-2| $\frac{3}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $12$ ) und B(-2| $\frac{3}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $12$ = $c \cdot a$
II: $\frac{3}{16}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $12$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{3}{16}$ = $\frac{12}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $\frac{3}{16}$ = $\frac{12}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{12}{a^{3}}$	=	$\frac{3}{16}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{12}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{3}{16} \cdot a^{3}$
$12$	=	$\frac{3}{16} a^{3}$

$12$	=	$\frac{3}{16} a^{3}$	\| $- 12$ $- \frac{3}{16} a^{3}$
$- \frac{3}{16} a^{3}$	=	$- 12$	\|⋅ $(- \frac{16}{3})$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $12$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $3$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $3 \cdot 4^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$