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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|0.36). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|0.36) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

0.36 = a² | $\sqrt[2]{\cdot}$

0.6 = a

( - 0.6 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 0.6 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ ${0,6}^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-3| $- \frac{3}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-3| $- \frac{3}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{3}{16}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{3}{16}$ = $- \frac{3}{a} \cdot \frac{1}{a^{3}}$

also

II: $- \frac{3}{16}$ = $- \frac{3}{a^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{4}$ weg!

$- \frac{3}{a^{4}}$	=	$- \frac{3}{16}$	\|⋅( $a^{4}$ )
$- \frac{3}{a^{4}} \cdot a^{4}$	=	$- \frac{3}{16} \cdot a^{4}$
$- 3$	=	$- \frac{3}{16} a^{4}$

$- 3$	=	$- \frac{3}{16} a^{4}$	\| $+ 3$ $+ \frac{3}{16} a^{4}$
$\frac{3}{16} a^{4}$	=	$3$	\|⋅ $\frac{16}{3}$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot 2^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$