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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit f(x)= a x (a>0) verläuft durch den Punkt P(1|0.6). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(1|0.6) in den Funktionsterm f(x)= a x ein und erhalten so die Gleichung:

0.6 = a1

0.6 = a

Das gesuchte a ist somit 0.6 (Der gesuchte Funktionsterm f(x)= 0,6 x )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1|-1 ) und B(-2| - 1 27 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-1 ) und B(-2| - 1 27 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -1 = c · a
II: - 1 27 = c · a -2

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: -1 ⋅ 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: - 1 27 = - 1 a · 1 a 2

also

II: - 1 27 = - 1 a 3

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner a 3 weg!

- 1 a 3 = - 1 27 |⋅( a 3 )
- 1 a 3 · a 3 = - 1 27 · a 3
-1 = - 1 27 a 3
-1 = - 1 27 a 3 | +1 + 1 27 a 3
1 27 a 3 = 1 |⋅27
a 3 = 27 | ⋅3
a = 27 3 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: -1 ⋅ 1 a = c

mit a=3 eingesetzt erhalten wir so: - 1 3 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= - 1 3 ⋅ 3 x

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x