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Graph-Term-Zuordnung BF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= 1 x

g(x)= cos( x )

h(x)= e x

i(x)= x

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = x .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = cos( x ) .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = e x .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = 1 x .

Graph-Term-Zuordnung LF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= e x

g(x)= 1 x 2

h(x)= sin( x )

i(x)= cos( x )

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = e x .

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von 1 x 2 erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu 1 x hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = 1 x 2 .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = cos( x ) .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = sin( x ) .

Graph-Term-Zuordnung 2 BF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= e x

g(x)= sin( x )

h(x)= cos( x )

i(x)= x

j(x)= 1 x 2

k(x)= 1 x

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = cos( x ) .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = x .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = e x .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = sin( x ) .

Graph-Term-Zuordnung 2 LF

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= x

g(x)= ln( x )

h(x)= 1 x

i(x)= x 3

j(x)= cos( x )

k(x)= sin( x )

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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = x .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von cos( x ) schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = cos( x ) .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von sin( x ) zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) = sin( x ) .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = 1 x .

Graph-Term-Zuordn BF + Transf.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= 1 x

g(x)= - 1 x

h(x)= x

i(x)= e x

j(x)= - e x

k(x)= - x

1
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Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von 1 x erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = 1 1 = 1 und f(-1) = 1 -1 = -1. Im Gegensatz zu 1 x 2 hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = - 1 x .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = - x .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = x .

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von e x nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da e 0 = 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = e x .

Graph-Term-Zuordn LF + Transf.

Beispiel:

Ordne die Funktionen den Graphen zu.

f(x)= x 2

g(x)= - x

h(x)= - 1 x 2

i(x)= 1 x 2

j(x)= x

k(x)= - x 2

1
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Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von x 2 hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = - x 2 .

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von x 2 hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = x 2 .

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von x hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = x .

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von 1 x 2 erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu 1 x hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = - 1 x 2 .

Ableitungen am Graph finden

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f. Eine der 4 Abbildungen unten zeigt den Graph von f, eine andere zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f'. Eine weitere Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion F (von f). Die verbleibende vierte Abbildung zeigt den Graph einer ganz anderen Funktion g. Ordne die Graphen den Funktionen f, f', F und G zu

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Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = 0.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 3 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 3 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = 0 und bei x = 0.8 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph Nr. 3 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph Nr. 4 können wir bei x = 0.3 und bei x = 1 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 1 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 1 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 4 zeigen.

Wir fassen also zusammen:

  • Der Graph 3 zeigt die Ableitung vom Graph 1
  • Der Graph 1 zeigt die Ableitung vom Graph 4
  • Der Graph 2 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.

Somit gilt:

Der Graph 1 gehört zur Funktion f(x).

Der Graph 2 gehört zur Funktion g(x).

Der Graph 3 gehört zur Funktion f '(x).

Der Graph 4 gehört zur Funktion F(x).

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|2)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -2 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x -2 ) · ( x -1 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) 2 = -2

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -1 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = - ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) 2 = 2

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= - ( x -2 ) ( x -1 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 6 -3 x 5 -36 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 6 -3 x 5 -36 x 4 = 0
3 x 4 ( x 2 - x -12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 2 - x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x2,3 = +1 ± 1 +48 2

x2,3 = +1 ± 49 2

x2 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

x3 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 0; 4 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x 4 · ( x -4 ) · ( x +3 ) = 3 x 6 -3 x 5 -36 x 4

Parameter für Symmetrie finden

Beispiel:

Für welches a liegt beim Graph der Funktion fa mit fa(x)= ( a +3 ) x 3 + x 2 + ( 2a +6 )x + a +2 eine Symmetrie zum Koordinatenssystem vor ?

Gib die dann vorliegende Symmetrie an.

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Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von ( a +3 ) x 3 + x 2 + ( 2a +6 )x + a +2 rausfällt, so dass nur noch gerade oder ungerade Summanden übrig bleiben.

Durch scharfes Hinsehen könnte man a = -3 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:

  • ( a +3 ) x 3 wird 0 für a = -3 => f-3(x) = ( -3 +3 ) · x 3 + x 2 + ( 2( -3 ) +6 ) · x + ( -3 +2 ) · 1 = x 2 -1
  • x 2 kann nie = 0 werden, da ja gar kein a im Koeffizient ist.
  • ( 2a +6 )x wird 0 für a = -3 => f-3(x) = ( -3 +3 ) · x 3 + x 2 + ( 2( -3 ) +6 ) · x + ( -3 +2 ) · 1 = x 2 -1
  • a +2 wird 0 für a = -2 => f-2(x) = ( -2 +3 ) · x 3 + x 2 + ( 2( -2 ) +6 ) · x + ( -2 +2 ) · 1 = x 3 + x 2 +2x

Für a = -3 hat f-3(x) = x 2 -1 also nur gerade Summanden und ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

Verschiebung Integral allg.

Beispiel:

Es gilt 0 3 f(x) x = 4. Für bestimmte Werte von a und b kann der Wert des Integrals I = a b 1 2 ⋅f(x +4) x berechnet werden.

Bestimme a, b und I.

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Der Graph von f(x +4) ist gegenüber dem Graph von f um 4 Einheiten nach links verschoben. Dementsprechend hat auch das Integral über f(x +4) den Wert 4, wenn man die Grenzen auch um 4 Einheiten nach links verschiebt. Die Integralgrenzen müssen also um 4 kleiner sein, als bei 0 3 f(x) x , also 4 = 0 3 f(x) x = -4 -1 f(x +4) x .

Somit gilt a = -4 und b = -1.

Wegen der Linearität des Integrals gilt -4 -1 1 2 ⋅f(x +4) x = 1 2 -4 -1 f(x +4) x

Somit gilt -4 -1 1 2 ⋅f(x +4) x = 1 2 ⋅4 = 2

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 45 -24 e -0,3t beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

  1. Bestimme die Temperatur des Getränks 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
  3. Wann hat das Getränk die Temperatur von 38 erreicht?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 45 -24 e -0,32 = -24 e -0,6 +45 ≈ 31.8


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 45 -24 e -0,3t 45 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 45 .

  3. Erster t-Wert bei y = 38

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=38 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 38 und lösen nach t auf:

    45 -24 e -0,3t = 38
    -24 e -0,3t +45 = 38 | -45
    -24 e -0,3t = -7 |:-24
    e -0,3t = 7 24 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 7 24 ) |:-0,3
    t = - 1 0,3 ln( 7 24 ) ≈ 4.1071

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 38 annimmt, ist also nach 4.11 min.