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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 0$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 0) \cdot {(x + 2)}^{2}$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $x {(x + 2)}^{2}$ = $x^{3} + 4 x^{2} + 4 x$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (x^{2} - 2 x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={0; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $3 x \cdot {(x - 1)}^{2}$ = $3 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x$

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 - 25 e^{- 0,4 t}$ beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Bestimme die Temperatur des Getränks 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
Wann hat das Getränk die Temperatur von 19 erreicht?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $30 - 25 e^{- 0,4 \cdot 5}$ = $- 25 e^{- 2} + 30$ ≈ 26.6
Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30 - 25 e^{- 0,4 t}$ → $30 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$ .

Erster t-Wert bei y = 19

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

30 - 25 e^{- 0,4 t}

=

19

$- 25 e^{- 0,4 t} + 30$	=	$19$	\| $- 30$
$- 25 e^{- 0,4 t}$	=	$- 11$	\|: $- 25$
$e^{- 0,4 t}$	=	$\frac{11}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 t$	=	$\ln (\frac{11}{25})$	\|: $- 0,4$
$t$	=	$- \frac{1}{0.4} \ln (\frac{11}{25})$	≈ 2.0525

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 2.05 min.

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