nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Lösung einblenden

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +0 ) · ( x -2 ) 2

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term x ( x -2 ) 2 = x 3 -4 x 2 +4x hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt: x ( x -2 ) 2 · x = x 4 -4 x 3 +4 x 2 .

Unser Term x ( x -2 ) 2 · x = x 4 -4 x 3 +4 x 2 erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -2 .

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, hat der Graph von e x -2 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -2 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x -2 gegen 0 -2, also gegen -2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 -12 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 - x 2 -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 - u -12 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 - x 2 -12 =nach Substitution u 2 - u -12 = ( u -4 ) · ( u +3 ) =nach Re-Substitution ( -4 ) · ( +3 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x 2 +3 ) = x 4 - x 2 -12

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 4 durch die Funktion f mit f(t)= - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 3 m Höhe.

  1. Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
  2. Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
  3. Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl erstmals die Geschwindigkeit von 37 10 m/s?
  4. Wie hoch (in m) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
  5. Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  1. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (2 |4.6) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = - 1 10 0 4 + 4 5 0 2 +3 = 3 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(4) = - 1 10 4 4 + 4 5 4 2 +3 = - 49 5 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    4.6 ist also der größte Wert der Funktion.


  2. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 10 u 2 + 4 5 u +3 = 0 |⋅ 10
    10( - 1 10 u 2 + 4 5 u +3 ) = 0

    - u 2 +8u +30 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -8 ± 8 2 -4 · ( -1 ) · 30 2( -1 )

    u1,2 = -8 ± 64 +120 -2

    u1,2 = -8 ± 184 -2

    u1 = -8 + 184 -2 ≈ -2.78

    u2 = -8 - 184 -2 ≈ 10.78

    Rücksubstitution:

    u1: t 2 = -8 + 184 -2

    x 2 = -2,7823299831253 | 2

    Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

    u2: t 2 = -8 - 184 -2

    x 2 = 10,782329983125 | 2
    x1 = - 10,782329983125 -3,284
    x2 = 10,782329983125 3,284

    Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 3,284 .

    Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 3.28 s.

  3. Erster t-Wert bei y = 37 10

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 37 10 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 37 10 und lösen nach t auf:

    - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 = 37 10 | - 37 10
    - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 - 37 10 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 10 u 2 + 4 5 u - 7 10 = 0 |⋅ 10
    10( - 1 10 u 2 + 4 5 u - 7 10 ) = 0

    - u 2 +8u -7 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -8 ± 8 2 -4 · ( -1 ) · ( -7 ) 2( -1 )

    u1,2 = -8 ± 64 -28 -2

    u1,2 = -8 ± 36 -2

    u1 = -8 + 36 -2 = -8 +6 -2 = -2 -2 = 1

    u2 = -8 - 36 -2 = -8 -6 -2 = -14 -2 = 7

    Rücksubstitution:

    u1: t 2 = 1

    x 2 = 1 | 2
    x1 = - 1 = -1
    x2 = 1 = 1

    u2: t 2 = 7

    x 2 = 7 | 2
    x3 = - 7 -2,646
    x4 = 7 2,646

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 37 10 annimmt, ist also nach 1 s.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral 0 3 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 ) t

    = [ - 1 50 x 5 + 4 15 x 3 +3x ] 0 3

    = - 1 50 3 5 + 4 15 3 3 +33 - ( - 1 50 0 5 + 4 15 0 3 +30 )

    = - 1 50 243 + 4 15 27 +9 - ( - 1 50 0 + 4 15 0 +0)

    = - 243 50 + 36 5 +9 - (0+0+0)

    = - 243 50 + 360 50 + 450 50 +0

    = 567 50


    = 11,34

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 3 + 11.34 = 14.34

    14.34 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

  5. maximaler Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 3,284 .

    Da f(2.3) ≈ 4.5 > 0 und f(4.3) ≈ -16 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 3.28.

    Der maximale Bestand tritt also bei t = 3.28 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 3.28 s lässt sich berechnen durch:

    0 3.28 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 +3 ) t

    = [ - 1 50 x 5 + 4 15 x 3 +3x ] 0 3.28

    = - 1 50 3.28 5 + 4 15 3.28 3 +33.28 - ( - 1 50 0 5 + 4 15 0 3 +30 )

    = - 1 50 379.6375994368 + 4 15 35.287552 +9,84 - ( - 1 50 0 + 4 15 0 +0)

    = -7,592751988736 +9,4100138666667 +9,84 - (0+0+0)

    = 11,657261877931 +0

    = 11,657261877931


    ≈ 11,657

    Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 3 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
    Bmax = 3 m + 11.66 m = 14.66 m.