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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +0 ) · ( x +2 ) 2

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term x ( x +2 ) 2 = x 3 +4 x 2 +4x für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 3 -6 x 2 +3x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 3 -6 x 2 +3x = 0
3 x ( x 2 -2x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x2,3 = +2 ± 4 -4 2

x2,3 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

L={0; 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x · ( x -1 ) 2 = 3 x 3 -6 x 2 +3x

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 30 -25 e -0,4t beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

  1. Bestimme die Temperatur des Getränks 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
  3. Wann hat das Getränk die Temperatur von 19 erreicht?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 30 -25 e -0,45 = -25 e -2 +30 ≈ 26.6


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 30 -25 e -0,4t 30 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 30 .

  3. Erster t-Wert bei y = 19

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

    30 -25 e -0,4t = 19
    -25 e -0,4t +30 = 19 | -30
    -25 e -0,4t = -11 |:-25
    e -0,4t = 11 25 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 11 25 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 11 25 ) ≈ 2.0525

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 2.05 min.