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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da bei unserem bisherigen Term
=
für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie
gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
=
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für 0 ≤ t ≤ 10 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.
- Bestimme die minimale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals
89 25 - Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (
|2.75) einblenden5 Randwertuntersuchung
Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
1 100 ⋅ 0 4 - 1 2 ⋅ 0 2 + 9 9 1 100 ⋅ 10 4 - 1 2 ⋅ 10 2 + 9 59 Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f.
2.75 ist also der kleinste Wert der Funktion.
- Erster t-Wert bei y =
89 25 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
89 25 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
89 25 1 100 t 4 - 1 2 t 2 + 9 = 89 25 | - 89 25 1 100 t 4 - 1 2 t 2 + 136 25 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
1 100 u 2 - 1 2 u + 136 25 = 0 |⋅ 100 100 ( 1 100 u 2 - 1 2 u + 136 25 ) = 0 u 2 - 50 u + 544 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
+ 50 ± ( - 50 ) 2 - 4 · 1 · 544 2 ⋅ 1 u1,2 =
+ 50 ± 2 500 - 2 176 2 u1,2 =
+ 50 ± 324 2 u1 =
50 + 324 2 50 + 18 2 68 2 34 u2 =
50 - 324 2 50 - 18 2 32 2 16 Rücksubstitution:
u1:
t 2 34 x 2 = 34 | ⋅ 2 x1 = - 34 ≈ - 5,831 x2 = 34 ≈ 5,831 u2:
t 2 16 x 2 = 16 | ⋅ 2 x3 = - 16 = - 4 x4 = 16 = 4 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert
89 25 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
∫ 0 3 ( 1 100 t 4 - 1 2 t 2 + 9 ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 1 100 t 4 - 1 2 t 2 + 9 ) ⅆ t =
[ 1 500 x 5 - 1 6 x 3 + 9 x ] 0 3 = 1 500 ⋅ 3 5 - 1 6 ⋅ 3 3 + 9 ⋅ 3 - ( 1 500 ⋅ 0 5 - 1 6 ⋅ 0 3 + 9 ⋅ 0 ) =
1 500 ⋅ 243 - 1 6 ⋅ 27 + 27 - ( 1 500 ⋅ 0 - 1 6 ⋅ 0 + 0 ) =
243 500 - 9 2 + 27 - ( 0 + 0 + 0 ) =
243 500 - 2250 500 + 13500 500 + 0 =
11493 500
= 22,98622.99 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.