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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term
=
hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise
noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt:
=
.
Unser Term = erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -2 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 2 , also gegen -2.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 4 durch die Funktion f mit
- Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
- Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
- Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl erstmals die Geschwindigkeit von
37 10 - Wie hoch (in m) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
- Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|4.6) einblenden2 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
- 1 10 ⋅ 0 4 + 4 5 ⋅ 0 2 + 3 3 - 1 10 ⋅ 4 4 + 4 5 ⋅ 4 2 + 3 - 49 5 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
4.6 ist also der größte Wert der Funktion.
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
- 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 10 u 2 + 4 5 u + 3 = 0 |⋅ 10 10 ( - 1 10 u 2 + 4 5 u + 3 ) = 0 - u 2 + 8 u + 30 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 8 ± 8 2 - 4 · ( - 1 ) · 30 2 ⋅ ( - 1 ) u1,2 =
- 8 ± 64 + 120 - 2 u1,2 =
- 8 ± 184 - 2 u1 =
- 8 + 184 - 2 u2 =
- 8 - 184 - 2 Rücksubstitution:
u1:
t 2 - 8 + 184 - 2 x 2 = - 2,7823299831253 | ⋅ 2 Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2:
t 2 - 8 - 184 - 2 x 2 = 10,782329983125 | ⋅ 2 x1 = - 10,782329983125 ≈ - 3,284 x2 = 10,782329983125 ≈ 3,284 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
3,284 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 3.28 s.
- Erster t-Wert bei y =
37 10 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
37 10 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
37 10 - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 = 37 10 | - 37 10 - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 - 37 10 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 10 u 2 + 4 5 u - 7 10 = 0 |⋅ 10 10 ( - 1 10 u 2 + 4 5 u - 7 10 ) = 0 - u 2 + 8 u - 7 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 8 ± 8 2 - 4 · ( - 1 ) · ( - 7 ) 2 ⋅ ( - 1 ) u1,2 =
- 8 ± 64 - 28 - 2 u1,2 =
- 8 ± 36 - 2 u1 =
- 8 + 36 - 2 - 8 + 6 - 2 - 2 - 2 1 u2 =
- 8 - 36 - 2 - 8 - 6 - 2 - 14 - 2 7 Rücksubstitution:
u1:
t 2 1 x 2 = 1 | ⋅ 2 x1 = - 1 = - 1 x2 = 1 = 1 u2:
t 2 7 x 2 = 7 | ⋅ 2 x3 = - 7 ≈ - 2,646 x4 = 7 ≈ 2,646 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert
37 10 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral
∫ 0 3 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 ) ⅆ t =
[ - 1 50 x 5 + 4 15 x 3 + 3 x ] 0 3 = - 1 50 ⋅ 3 5 + 4 15 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 - ( - 1 50 ⋅ 0 5 + 4 15 ⋅ 0 3 + 3 ⋅ 0 ) =
- 1 50 ⋅ 243 + 4 15 ⋅ 27 + 9 - ( - 1 50 ⋅ 0 + 4 15 ⋅ 0 + 0 ) =
- 243 50 + 36 5 + 9 - ( 0 + 0 + 0 ) =
- 243 50 + 360 50 + 450 50 + 0 =
567 50
= 11,34Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 3 + 11.34 = 14.3414.34 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
3,284 Da f(2.3) ≈ 4.5 > 0 und f(4.3) ≈ -16 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 3.28.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 3.28 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 3.28 s lässt sich berechnen durch:
∫ 0 3.28 ( - 1 10 t 4 + 4 5 t 2 + 3 ) ⅆ t =
[ - 1 50 x 5 + 4 15 x 3 + 3 x ] 0 3.28 = - 1 50 ⋅ 3.28 5 + 4 15 ⋅ 3.28 3 + 3 ⋅ 3.28 - ( - 1 50 ⋅ 0 5 + 4 15 ⋅ 0 3 + 3 ⋅ 0 ) =
- 1 50 ⋅ 379.6375994368 + 4 15 ⋅ 35.287552 + 9,84 - ( - 1 50 ⋅ 0 + 4 15 ⋅ 0 + 0 ) =
- 7,592751988736 + 9,4100138666667 + 9,84 - ( 0 + 0 + 0 ) =
11,657261877931 + 0 =
11,657261877931
≈ 11,657Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 3 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 3 m + 11.66 m = 14.66 m.