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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x - 2$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- x}$ . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $25 t^{2} \cdot e^{- 0,5 t}$ beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 2 Dezimeter hoch.

Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
Wann nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ab?
Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $4$ |54.13) einblenden

$f(t) =$ $25 t^{2} \cdot e^{- 0,5 t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $25 \cdot 2 t \cdot e^{- 0,5 t} + 25 t^{2} \cdot e^{- 0,5 t} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 t} \cdot (50 t - 12,5 t^{2})$

= $(- 12,5 t^{2} + 50 t) e^{- 0,5 t}$

$f''(t) =$ $(- 25 t + 50) \cdot e^{- 0,5 t} + (- 12,5 t^{2} + 50 t) \cdot e^{- 0,5 t} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 t} \cdot (- 25 t + 50 + (6,25 t^{2} - 25 t))$

= $(6,25 t^{2} - 50 t + 50) e^{- 0,5 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 12,5 t^{2} + 50 t) \cdot e^{- 0,5 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 12,5 t^{2} + 50 t$	=	0
$t (- 12,5 t + 50)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- 12,5 t + 50$	=	0	\| $- 50$
$- 12,5 t$	=	$- 50$	\|:( $- 12,5$ )
t₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- 0,5 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 0} \cdot (- 25 \cdot 0 + 50 + (6,25 \cdot 0^{2} - 25 \cdot 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 50 + (6,25 \cdot 0 + 0))$ = $50 e^{0}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $25 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0,5 \cdot 0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: t= $4$

f''( $4$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 4} \cdot (- 25 \cdot 4 + 50 + (6,25 \cdot 4^{2} - 25 \cdot 4))$ = $e^{- 2} \cdot (- 100 + 50 + (6,25 \cdot 16 - 100))$ = $- 50 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei t = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $25 \cdot 4^{2} \cdot e^{- 0,5 \cdot 4}$ = $400 e^{- 2}$ ≈ 54.134
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $400 e^{- 2}$ )

≈ H:(4|54.134)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $25 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0,5 \cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

54.13 ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $25 \cdot 2 x \cdot e^{- 0,5 x} + 25 x^{2} \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 x} (- 12,5 x^{2} + 50 x)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $6,8284$ |-7.94) einblenden

$f'(t) =$ $e^{- 0,5 t} (- 12,5 t^{2} + 50 t)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $e^{- 0,5 t} \cdot (- 0,5) \cdot (- 12,5 t^{2} + 50 t) + e^{- 0,5 t} \cdot (- 25 t + 50)$

= $e^{- 0,5 t} \cdot (- 25 t + 50 + (6,25 t^{2} - 25 t))$

= $(6,25 t^{2} - 50 t + 50) e^{- 0,5 t}$

$f'''(t) =$ $(12,5 t - 50 + 0) \cdot e^{- 0,5 t} + (6,25 t^{2} - 50 t + 50) \cdot e^{- 0,5 t} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 t} \cdot (12,5 t - 50 - 3,125 t^{2} + 25 t - 25)$

= $(- 3,125 t^{2} + 37,5 t - 75) e^{- 0,5 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

(6,25 t^{2} - 50 t + 50) \cdot e^{- 0,5 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6,25 t^{2} - 50 t + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot 6,25 \cdot 50}}{2 \cdot 6,25}$

t_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{2 500 - 1 250}}{12,5}$

t_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{1 250}}{12,5}$

t₁ = $\frac{50 + \sqrt{1 250}}{12,5}$ ≈ 6.83

t₂ = $\frac{50 - \sqrt{1 250}}{12,5}$ ≈ 1.17

2. Fall:

e^{- 0,5 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $\frac{50 - \sqrt{1 250}}{12,5}$ , $\frac{50 + \sqrt{1 250}}{12,5}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

1.: t= $1,1716$

f'''( $1,1716$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 1,1716} \cdot (12,5 \cdot 1,1716 - 50 - 3,125 \cdot {1,1716}^{2} + 25 \cdot 1,1716 - 25)$ = $e^{- 0,5858} \cdot (14,645 - 50 - 3,125 \cdot 1,3726 + 29,29 - 25)$ = $- 35,3545 e^{- 0,5858}$ <0

Das heißt bei t = $1,1716$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $1,1716$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 1,1716} \cdot (- 12,5 \cdot {1,1716}^{2} + 50 \cdot 1,1716)$ = $41,4219 e^{- 0,5858}$ ≈ 23.058
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1,1716$ | $41,4219 e^{- 0,5858}$ )

≈ H:(1.172|23.058)

2.: t= $6,8284$

f'''( $6,8284$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 6,8284} \cdot (12,5 \cdot 6,8284 - 50 - 3,125 \cdot {6,8284}^{2} + 25 \cdot 6,8284 - 25)$ = $e^{- 3,4142} \cdot (85,355 - 50 - 3,125 \cdot 46,627 + 170,71 - 25)$ = $35,3555 e^{- 3,4142}$ >0

Das heißt bei t = $6,8284$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $6,8284$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 6,8284} \cdot (- 12,5 \cdot {6,8284}^{2} + 50 \cdot 6,8284)$ = $- 241,4181 e^{- 3,4142}$ ≈ -7.943
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $6,8284$ | $- 241,4181 e^{- 3,4142}$ )

≈ T:(6.828|-7.943)

Randwertuntersuchung

Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $e^{- 0,5 \cdot 0} \cdot (- 12,5 \cdot 0^{2} + 50 \cdot 0)$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → 0.

Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.

Bei t = $6,8284$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25 t^{2} \cdot e^{- 0,5 t}$ → $25 \infty \cdot 0$
Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 0.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Term mit Eigenschaften finden

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t=4

Randwertuntersuchung

1.: t=1,1716

2.: t=6,8284

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $4$

1.: t= $1,1716$

2.: t= $6,8284$