Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im dritten Wurf keine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{4!}{4! ⋅ (4 - 4)!}$ = $\frac{4!}{4! ⋅ 0!}$ = $\frac{4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 6 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 = 652458240 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 6 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 6er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 6er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 6er-Gruppe möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 6er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 652458240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 6er-Gruppen durch die 720 Möglichkeiten, die 6er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{652458240}{720}$ = 906192 Möglichkeiten für 6er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28\cdot27}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 26! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

906192 = $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28\cdot27}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{32!}{6! ⋅ 26!}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 6 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{4! ⋅ 36!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 10 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 10 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 10) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{3! ⋅ 36!}$ = $\frac{39⋅38⋅37}{3⋅2⋅1}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{9139}{91390}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 46 Versuchen genau 40 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.95.

P_{0.95}^{46} (X = 40)

=

(\begin{matrix} 46 \\ 40 \end{matrix}) \cdot {0.95}^{40} \cdot {0.05}^{6}

=0.018808595466328≈ 0.0188
(TI-Befehl: binompdf(46,0.95,40))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.1	≈ 0.02 + 0.1 = 0.12
2	≈ 0.21	≈ 0.12 + 0.21 = 0.33
3	≈ 0.25	≈ 0.33 + 0.25 = 0.58

Während P(X ≤ 2) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.58 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 33 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X \leq 4)

=

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X = 4)

= 0.33604245192637 ≈ 0.336
(TI-Befehl: binomcdf(33,1/6,4))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 44 Versuchen mehr als 31 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.65.

...

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.65}^{44} (X > 31)

=

P_{0.65}^{44} (X \geq 32)

= 1 -

P_{0.65}^{44} (X \leq 31)

= 0.1804
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.65,31))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 mal, aber weniger als 8 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{42} (6 \leq X \leq 7)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

...

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X \leq 7)

-

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X \leq 5)

≈ 0.5991 - 0.2773 ≈ 0.3218
(TI-Befehl: binomcdf(42, $\frac{1}{6}$ ,7) - binomcdf(42, $\frac{1}{6}$ ,5))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k