Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf keine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{3! ⋅ (5 - 3)!}$ = $\frac{5!}{3! ⋅ 2!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5⋅4}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅2}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 und die 34 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{6! ⋅ 29!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 16 und die 34 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 16 und der 34 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 16 und der 34) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{4! ⋅ 29!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 40920.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{40920}{1623160}$ ≈ 0.0252, also ca. 2.52%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 25 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.5.

P_{0.5}^{25} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 25 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{15} \cdot {0.5}^{10}

=0.097416639328003≈ 0.0974
(TI-Befehl: binompdf(25,0.5,15))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33

Während P(X ≤ 4) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.33 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 19 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.5.

P_{0.5}^{46} (X \leq 19)

=

P_{0.5}^{46} (X = 0)

+

P_{0.5}^{46} (X = 1)

+

P_{0.5}^{46} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{46} (X = 19)

= 0.15099780659483 ≈ 0.151
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.5,19))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,61. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 98 Versuchen mehr als 56 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.61.

...

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.61}^{98} (X > 56)

=

P_{0.61}^{98} (X \geq 57)

= 1 -

P_{0.61}^{98} (X \leq 56)

= 0.7527
(TI-Befehl: 1-binomcdf(98,0.61,56))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 72% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 30 und weniger als 32 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.72.

$P_{0.72}^{40} (30 \leq X \leq 31)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.72}^{40} (X \leq 31)

-

P_{0.72}^{40} (X \leq 29)

≈ 0.8286 - 0.5875 ≈ 0.2411
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.72,31) - binomcdf(40,0.72,29))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k