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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{4}$ ≈ 0.4019 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{3! ⋅ (9 - 3)!}$ = $\frac{9!}{3! ⋅ 6!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{3⋅8⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅4⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 84

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17⋅16⋅15⋅14 = 1028160 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1028160 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1028160}{120}$ = 8568 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 13! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

8568 = $\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{18!}{5! ⋅ 13!}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{7! ⋅ 28!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 6 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 6 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 6) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{6! ⋅ 28!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1344904.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1344904}{6724520}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 84-mal gewürfelt. Es werden hierbei 18 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 18 6er bei 84 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 84 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{18} \cdot {(\frac{5}{6})}^{66}

=0.055652415174958≈ 0.0557
(TI-Befehl: binompdf(84,1/6,18))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.7.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.2	≈ 0.16 + 0.2 = 0.36
4	≈ 0.24	≈ 0.36 + 0.24 = 0.6
5	≈ 0.2	≈ 0.6 + 0.2 = 0.8

Während P(X ≤ 4) = 0.6 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.8 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 77 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 40 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p=0.5.

P_{0.5}^{77} (X \leq 40)

=

P_{0.5}^{77} (X = 0)

+

P_{0.5}^{77} (X = 1)

+

P_{0.5}^{77} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{77} (X = 40)

= 0.67560441884468 ≈ 0.6756
(TI-Befehl: binomcdf(77,0.5,40))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X > 13)

=

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \geq 14)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 13)

= 0.5454
(TI-Befehl: 1-binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,13))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 47 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 26, aber höchstens 32 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.6.

$P_{0.6}^{47} (26 \leq X \leq 32)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.6}^{47} (X \leq 32)

-

P_{0.6}^{47} (X \leq 25)

≈ 0.9012 - 0.2098 ≈ 0.6914
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.6,32) - binomcdf(47,0.6,25))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k