Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Nicht-Treffer bei 4 Versuchen P = ${(\frac{5}{6})}^{4}$ ≈ 0.4823 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{2! ⋅ (8 - 2)!}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{8⋅7}{2⋅1}$

= $\frac{4⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 11 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10 = 110 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 110 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{110}{2}$ = 55 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{11\cdot10}{2\cdot1}$ könnte man mit 9! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

55 = $\frac{11\cdot10}{2\cdot1}$ = $\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{11!}{2! ⋅ 9!}$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 21 und die 23 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{8! ⋅ 27!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 21 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 21 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 21 und der 23) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{6! ⋅ 27!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1107568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1107568}{23535820}$ ≈ 0.0471, also ca. 4.71%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 25 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 5 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{25} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{20}

=0.16453758819879≈ 0.1645
(TI-Befehl: binompdf(25,1/4,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.21	≈ 0.22 + 0.21 = 0.43
5	≈ 0.23	≈ 0.43 + 0.23 = 0.66

Während P(X ≤ 4) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.66 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.57 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.34 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 9 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

P_{0.25}^{48} (X \leq 9)

=

P_{0.25}^{48} (X = 0)

+

P_{0.25}^{48} (X = 1)

+

P_{0.25}^{48} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{48} (X = 9)

= 0.20483376671458 ≈ 0.2048
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.25,9))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 97 Versuchen mehr als 80 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.76.

...

78

79

80

81

82

83

...

P_{0.76}^{97} (X > 80)

=

P_{0.76}^{97} (X \geq 81)

= 1 -

P_{0.76}^{97} (X \leq 80)

= 0.0493
(TI-Befehl: 1-binomcdf(97,0.76,80))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 9, aber weniger als 13 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

$P_{0.25}^{48} (9 \leq X \leq 12)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.25}^{48} (X \leq 12)

-

P_{0.25}^{48} (X \leq 8)

≈ 0.5768 - 0.119 ≈ 0.4578
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.25,12) - binomcdf(48,0.25,8))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k