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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $0,6$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,4 \cdot {0,6}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot 0,4 \cdot {0,6}^{4}$ ≈ 0.2592 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{8! ⋅ (8 - 8)!}$ = $\frac{8!}{8! ⋅ 0!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 35 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{6! ⋅ 29!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 35 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 35 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 35) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{5! ⋅ 29!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31⋅30}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 278256.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{278256}{1623160}$ ≈ 0.1714, also ca. 17.14%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 70 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 20 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{70} (X = 20)

=

(\begin{matrix} 70 \\ 20 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{20} \cdot {(\frac{3}{4})}^{50}

=0.083381343662272≈ 0.0834
(TI-Befehl: binompdf(70,1/4,20))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.55.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.2	≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
5	≈ 0.22	≈ 0.42 + 0.22 = 0.64

Während P(X ≤ 4) = 0.42 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.64 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 50 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.5.

P_{0.5}^{87} (X \leq 50)

=

P_{0.5}^{87} (X = 0)

+

P_{0.5}^{87} (X = 1)

+

P_{0.5}^{87} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{87} (X = 50)

= 0.93354905740227 ≈ 0.9335
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.5,50))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 53 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.125.

0

1

2

3

...

P_{0.125}^{53} (X \geq 1)

= 1 -

P_{0.125}^{53} (X \leq 0)

= 0.9992
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53,0.125,0))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 43 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 8 und höchstens 12 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.25.

$P_{0.25}^{43} (8 \leq X \leq 12)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.25}^{43} (X \leq 12)

-

P_{0.25}^{43} (X \leq 7)

≈ 0.737 - 0.1237 ≈ 0.6133
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.25,12) - binomcdf(43,0.25,7))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k