Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der vierten Drehung der grüne Bereich erzielt wird.

Lösung einblenden

Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,7$ ≈ 0.7 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 16 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 16 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{16!}{1! ⋅ (16 - 1)!}$ = $\frac{16!}{1! ⋅ 15!}$ = $\frac{16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
15! = 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 16 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{16}{1}$

= 16

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3 = 360 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{360}{24}$ = 15 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 2! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{4! ⋅ 2!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 28 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{8! ⋅ 22!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 28 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 28 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 28) zu setzen, also $(\begin{matrix} 29 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{29!}{7! ⋅ 22!}$ = $\frac{29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1560780.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1560780}{5852925}$ ≈ 0.2667, also ca. 26.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 86 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 19 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{86} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 86 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{19} \cdot {(\frac{3}{4})}^{67}

=0.0845712106706≈ 0.0846
(TI-Befehl: binompdf(86,1/4,19))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.09	≈ 0.02 + 0.09 = 0.11
2	≈ 0.2	≈ 0.11 + 0.2 = 0.31

Während P(X ≤ 1) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.31 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 94 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X \leq 12)

=

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X = 12)

= 0.19225261414042 ≈ 0.1923
(TI-Befehl: binomcdf(94,1/6,12))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 48 Versuchen mindestens 39 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.76.

...

36

37

38

39

40

41

...

P_{0.76}^{48} (X \geq 39)

= 1 -

P_{0.76}^{48} (X \leq 38)

= 0.2527
(TI-Befehl: 1-binomcdf(48,0.76,38))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 9 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 78 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.125.

$P_{0.125}^{78} (10 \leq X \leq 13)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.125}^{78} (X \leq 13)

-

P_{0.125}^{78} (X \leq 9)

≈ 0.8967 - 0.4831 ≈ 0.4136
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.125,13) - binomcdf(78,0.125,9))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k