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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Wurf eine "6" ist, außer beim vierten Versuch.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Da ja der Nicht-Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 = 5 6 · ( 1 6 ) 4 ≈ 0.0006 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 5 2 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 5 2 ) = 5! 2! ⋅ (5 - 2)! = 5! 2! ⋅ 3! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 5 2 ) = 5⋅4 2⋅1

= 5⋅2 1 (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17⋅16⋅15⋅14 = 1028160 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1028160 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 1028160 120 = 8568 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 18⋅17⋅16⋅15⋅14 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 13! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

8568 = 18⋅17⋅16⋅15⋅14 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 18⋅17⋅16⋅15⋅14 ⋅13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18! 5! ⋅ 13! = ( 18 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 29 und die 30 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 30 6 ) = 30! 6! ⋅ 24! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 29 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 29 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 29 und der 30) zu setzen, also ( 28 4 ) = 28! 4! ⋅ 24! = 28⋅27⋅26⋅25 4⋅3⋅2⋅1 = 20475.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 20475 593775 ≈ 0.0345, also ca. 3.45%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 74 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 59 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.7.

P0.774 (X=59) = ( 74 59 ) ⋅ 0.759 ⋅ 0.315 =0.018994612239359≈ 0.019
(TI-Befehl: binompdf(74,0.7,59))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
1≈ 0.04≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2≈ 0.12≈ 0.05 + 0.12 = 0.17
3≈ 0.22≈ 0.17 + 0.22 = 0.39
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.17 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.39 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 63 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,95.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 59 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.95.

P0.9563 (X≤59) = P0.9563 (X=0) + P0.9563 (X=1) + P0.9563 (X=2) +... + P0.9563 (X=59) = 0.38715649897607 ≈ 0.3872
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.95,59))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 70 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= 1 6 .

...
9
10
11
12
13
14
...

P 1 6 70 (X≥12) = 1 - P 1 6 70 (X≤11) = 0.5069
(TI-Befehl: 1-binomcdf(70, 1 6 ,11))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 76 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 55 und höchstens 64 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.75.

P0.7576 (55≤X≤64) =

...
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
...

P0.7576 (X≤64) - P0.7576 (X≤54) ≈ 0.9808 - 0.25 ≈ 0.7308
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.75,64) - binomcdf(76,0.75,54))