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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Wenn genau 4 Treffer unter den 5 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 5 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,7 \cdot {0,3}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot 0,7 \cdot {0,3}^{4}$ ≈ 0.0284 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 20 \\ 19 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 20 \\ 19 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{19! ⋅ (20 - 19)!}$ = $\frac{20!}{19! ⋅ 1!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
19! = 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 20 \\ 19 \end{matrix})$ = $\frac{20}{1}$

= 20

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 22-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 22⋅21 = 462 Möglichkeiten, die 22 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 462 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{462}{2}$ = 231 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 22 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{22\cdot21}{2\cdot1}$ könnte man mit 20! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

231 = $\frac{22\cdot21}{2\cdot1}$ = $\frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{22!}{2! ⋅ 20!}$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 22 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{7! ⋅ 18!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 22 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 22 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 22) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{6! ⋅ 18!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 134596.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{134596}{480700}$ ≈ 0.28, also ca. 28%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 73 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 46 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.7.

P_{0.7}^{73} (X = 46)

=

(\begin{matrix} 73 \\ 46 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{46} \cdot {0.3}^{27}

=0.042613771742005≈ 0.0426
(TI-Befehl: binompdf(73,0.7,46))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.12	≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2	≈ 0.23	≈ 0.15 + 0.23 = 0.38

Während P(X ≤ 1) = 0.15 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.38 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 30 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 12 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.5.

P_{0.5}^{30} (X \leq 12)

=

P_{0.5}^{30} (X = 0)

+

P_{0.5}^{30} (X = 1)

+

P_{0.5}^{30} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{30} (X = 12)

= 0.18079730402678 ≈ 0.1808
(TI-Befehl: binomcdf(30,0.5,12))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 76 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 21 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.24.

...

18

19

20

21

22

23

...

P_{0.24}^{76} (X \geq 21)

= 1 -

P_{0.24}^{76} (X \leq 20)

= 0.2672
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76,0.24,20))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 86% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 78 Versuchen mindestens 65 und weniger als 73 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.86.

$P_{0.86}^{78} (65 \leq X \leq 72)$ =

...

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

...

P_{0.86}^{78} (X \leq 72)

-

P_{0.86}^{78} (X \leq 64)

≈ 0.9702 - 0.1965 ≈ 0.7737
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.86,72) - binomcdf(78,0.86,64))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k