Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ≈ 0.0008 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 21 \\ 19 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 21 \\ 19 \end{matrix})$ = $\frac{21!}{19! ⋅ (21 - 19)!}$ = $\frac{21!}{19! ⋅ 2!}$ = $\frac{21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
19! = 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 21 \\ 19 \end{matrix})$ = $\frac{21⋅20}{2⋅1}$

= $\frac{21⋅10}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17 = 306 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 306 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{306}{2}$ = 153 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{18\cdot17}{2\cdot1}$ könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

153 = $\frac{18\cdot17}{2\cdot1}$ = $\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{18!}{2! ⋅ 16!}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 17 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{4! ⋅ 36!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{3! ⋅ 36!}$ = $\frac{39⋅38⋅37}{3⋅2⋅1}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{9139}{91390}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 41 defekte Chips enthalten sind.

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.75.

P_{0.75}^{60} (X = 41)

=

(\begin{matrix} 60 \\ 41 \end{matrix}) \cdot {0.75}^{41} \cdot {0.25}^{19}

=0.05610780347277≈ 0.0561
(TI-Befehl: binompdf(60,0.75,41))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.08	≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3	≈ 0.17	≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4	≈ 0.22	≈ 0.28 + 0.22 = 0.5

Während P(X ≤ 3) = 0.28 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.5 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 43 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 21 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.5.

P_{0.5}^{43} (X < 21)

=

P_{0.5}^{43} (X \leq 20)

=

P_{0.5}^{43} (X = 0)

+

P_{0.5}^{43} (X = 1)

+

P_{0.5}^{43} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{43} (X = 20)

= 0.38039582128067 ≈ 0.3804
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.5,20))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 48 Versuchen mindestens 14 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{48} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.25}^{48} (X \leq 13)

= 0.3014
(TI-Befehl: 1-binomcdf(48,0.25,13))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 100 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 28 und höchstens 30 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.25.

$P_{0.25}^{100} (28 \leq X \leq 30)$ =

...

25

26

27

28

29

30

31

32

...

P_{0.25}^{100} (X \leq 30)

-

P_{0.25}^{100} (X \leq 27)

≈ 0.8962 - 0.7224 ≈ 0.1738
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.25,30) - binomcdf(100,0.25,27))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k