nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

Lösung einblenden

Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - 1 6 = 5 6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = ( 5 6 ) 3 ≈ 0.5787 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 7 )

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 7 ) = 10! 7! ⋅ (10 - 7)! = 10! 7! ⋅ 3! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 7 ) = 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1

= 10⋅3⋅8 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 5⋅3⋅8 1 (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 22-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 20 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 22⋅21⋅20⋅19⋅18 = 3160080 Möglichkeiten, die 22 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 3160080 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 3160080 120 = 26334 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 22 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 22⋅21⋅20⋅19⋅18 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 17! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

26334 = 22⋅21⋅20⋅19⋅18 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 22⋅21⋅20⋅19⋅18 ⋅17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 22! 5! ⋅ 17! = ( 22 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 und die 26 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt ( 40 8 ) = 40! 8! ⋅ 32! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 16 und die 26 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 16 und der 26 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 16 und der 26) zu setzen, also ( 38 6 ) = 38! 6! ⋅ 32! = 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 2760681.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 2760681 76904685 ≈ 0.0359, also ca. 3.59%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 76 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 24 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p= 1 4 .

P 1 4 76 (X=24) = ( 76 24 ) ⋅ ( 1 4 )24 ⋅ ( 3 4 )52 =0.042639996314752≈ 0.0426
(TI-Befehl: binompdf(76,1/4,24))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4≈ 0.22≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5≈ 0.22≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6≈ 0.15≈ 0.72 + 0.15 = 0.87
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 70 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 16 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= 1 6 .

P 1 6 70 (X≤16) = P 1 6 70 (X=0) + P 1 6 70 (X=1) + P 1 6 70 (X=2) +... + P 1 6 70 (X=16) = 0.93452765843641 ≈ 0.9345
(TI-Befehl: binomcdf(70,1/6,16))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,66. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 22 Versuchen mindestens 16 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.66.

...
13
14
15
16
17
18
...

P0.6622 (X≥16) = 1 - P0.6622 (X≤15) = 0.3374
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.66,15))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 11 mal eine sechs gewürfelt wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p= 1 6 .

P 1 6 49 (7≤X≤10) =

...
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 49 (X≤10) - P 1 6 49 (X≤6) ≈ 0.8171 - 0.2702 ≈ 0.5469
(TI-Befehl: binomcdf(49, 1 6 ,10) - binomcdf(49, 1 6 ,6))