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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 6 ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 21 19 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 21 19 ) = 21! 19! ⋅ (21 - 19)! = 21! 19! ⋅ 2! = 21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
19! = 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 21 19 ) = 21⋅20 2⋅1

= 21⋅10 1 (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 90 2 = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9 2⋅1 könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = 10⋅9 2⋅1 = 10⋅9 ⋅8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2⋅1 ⋅8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 2! ⋅ 8! = ( 10 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 21 und die 28 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 35 8 ) = 35! 8! ⋅ 27! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 21 und die 28 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 21 und der 28 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 21 und der 28) zu setzen, also ( 33 6 ) = 33! 6! ⋅ 27! = 33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 1107568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 1107568 23535820 ≈ 0.0471, also ca. 4.71%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 56 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 44 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.7.

P0.756 (X=44) = ( 56 44 ) ⋅ 0.744 ⋅ 0.312 =0.045362945251975≈ 0.0454
(TI-Befehl: binompdf(56,0.7,44))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.5.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.13≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2≈ 0.23≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3≈ 0.26≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.39 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.61 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 91 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 64 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.6.

P0.691 (X≤64) = P0.691 (X=0) + P0.691 (X=1) + P0.691 (X=2) +... + P0.691 (X=64) = 0.98430447271271 ≈ 0.9843
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.6,64))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p= 1 6 .

...
1
2
3
4
5
6
...

P 1 6 31 (X≥4) = 1 - P 1 6 31 (X≤3) = 0.7832
(TI-Befehl: 1-binomcdf(31, 1 6 ,3))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 79 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 46, aber höchstens 57 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.65.

P0.6579 (46≤X≤57) =

...
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
...

P0.6579 (X≤57) - P0.6579 (X≤45) ≈ 0.9287 - 0.0852 ≈ 0.8435
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.65,57) - binomcdf(79,0.65,45))