Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im zweiten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}$ ≈ 0.1157 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{3! ⋅ (5 - 3)!}$ = $\frac{5!}{3! ⋅ 2!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5⋅4}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅2}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30240}{120}$ = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{5! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 25 und die 31 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{8! ⋅ 27!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 25 und die 31 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 25 und der 31 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 25 und der 31) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{6! ⋅ 27!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1107568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1107568}{23535820}$ ≈ 0.0471, also ca. 4.71%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 93 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 54 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.6.

P_{0.6}^{93} (X = 54)

=

(\begin{matrix} 93 \\ 54 \end{matrix}) \cdot {0.6}^{54} \cdot {0.4}^{39}

=0.077777153062116≈ 0.0778
(TI-Befehl: binompdf(93,0.6,54))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42
4	≈ 0.23	≈ 0.42 + 0.23 = 0.65

Während P(X ≤ 3) = 0.42 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.58 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 99 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 26 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.25.

P_{0.25}^{99} (X \leq 26)

=

P_{0.25}^{99} (X = 0)

+

P_{0.25}^{99} (X = 1)

+

P_{0.25}^{99} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{99} (X = 26)

= 0.66351276205593 ≈ 0.6635
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.25,26))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 25 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 9 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.3.

...

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.3}^{25} (X > 9)

=

P_{0.3}^{25} (X \geq 10)

= 1 -

P_{0.3}^{25} (X \leq 9)

= 0.1894
(TI-Befehl: 1-binomcdf(25,0.3,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 81% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 96 Versuchen mindestens 71 und weniger als 82 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.81.

$P_{0.81}^{96} (71 \leq X \leq 81)$ =

...

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

...

P_{0.81}^{96} (X \leq 81)

-

P_{0.81}^{96} (X \leq 70)

≈ 0.8346 - 0.0335 ≈ 0.8011
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.81,81) - binomcdf(96,0.81,70))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k