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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim vierten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,2$ ≈ 0.2 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{2! ⋅ (6 - 2)!}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5}{2⋅1}$

= $\frac{3⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 4 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29 = 863040 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 4 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 863040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{863040}{24}$ = 35960 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 28! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35960 = $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{32!}{4! ⋅ 28!}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 25 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{4! ⋅ 21!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 25 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 25 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 25) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{3! ⋅ 21!}$ = $\frac{24⋅23⋅22}{3⋅2⋅1}$ = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{2024}{12650}$ ≈ 0.16, also ca. 16%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 53 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 9 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{53} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{9} \cdot {(\frac{3}{4})}^{44}

=0.053791982301956≈ 0.0538
(TI-Befehl: binompdf(53,1/4,9))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35

Während P(X ≤ 2) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.35 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 93 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 25 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.25.

P_{0.25}^{93} (X \leq 25)

=

P_{0.25}^{93} (X = 0)

+

P_{0.25}^{93} (X = 1)

+

P_{0.25}^{93} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{93} (X = 25)

= 0.70976374209167 ≈ 0.7098
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.25,25))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 26 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 8 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.25.

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.25}^{26} (X \geq 8)

= 1 -

P_{0.25}^{26} (X \leq 7)

= 0.3148
(TI-Befehl: 1-binomcdf(26,0.25,7))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 und höchstens 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 71 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.125.

$P_{0.125}^{71} (11 \leq X \leq 12)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.125}^{71} (X \leq 12)

-

P_{0.125}^{71} (X \leq 10)

≈ 0.8993 - 0.7299 ≈ 0.1694
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.125,12) - binomcdf(71,0.125,10))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k