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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,3 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = 0,3 4 ≈ 0.0081 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 9 4 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 9 4 ) = 9! 4! ⋅ (9 - 4)! = 9! 4! ⋅ 5! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 9 4 ) = 9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1

= 9⋅2⋅7⋅6 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 3⋅2⋅7⋅6 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 3⋅7⋅6 1 (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 5 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28 = 24165120 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 5 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 24165120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 24165120 120 = 201376 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30⋅29⋅28 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 27! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

201376 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28 ⋅27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 5! ⋅ 27! = ( 32 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 7, die 17 und die 31 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 40 8 ) = 40! 8! ⋅ 32! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 7, die 17 und die 31 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 7, der 17 und der 31 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 7, der 17 und der 31) zu setzen, also ( 37 5 ) = 37! 5! ⋅ 32! = 37⋅36⋅35⋅34⋅33 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 435897.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 435897 76904685 ≈ 0.0057, also ca. 0.57%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 20 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.5.

P0.544 (X=20) = ( 44 20 ) ⋅ 0.520 ⋅ 0.524 =0.10010349740639≈ 0.1001
(TI-Befehl: binompdf(44,0.5,20))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.13≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2≈ 0.23≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3≈ 0.26≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
4≈ 0.19≈ 0.65 + 0.19 = 0.84
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 69%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 42 Versuchen weniger als 30 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.69.

P0.6942 (X<30) = P0.6942 (X≤29) = P0.6942 (X=0) + P0.6942 (X=1) + P0.6942 (X=2) +... + P0.6942 (X=29) = 0.56052551628437 ≈ 0.5605
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.69,29))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 57 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 19 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.25.

...
16
17
18
19
20
21
...

P0.2557 (X≥19) = 1 - P0.2557 (X≤18) = 0.0992
(TI-Befehl: 1-binomcdf(57,0.25,18))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 73% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 86 Versuchen mindestens 54 und weniger als 70 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.73.

P0.7386 (54≤X≤69) =

...
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
...

P0.7386 (X≤69) - P0.7386 (X≤53) ≈ 0.9525 - 0.0142 ≈ 0.9383
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.73,69) - binomcdf(86,0.73,53))