Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der vierten Drehung der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,4$ ≈ 0.4 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{9! ⋅ (12 - 9)!}$ = $\frac{12!}{9! ⋅ 3!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{4⋅11⋅10}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{2⋅11⋅10}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 220

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 und die 21 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{8! ⋅ 27!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 10 und die 21 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 10 und der 21 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 10 und der 21) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{6! ⋅ 27!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1107568.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1107568}{23535820}$ ≈ 0.0471, also ca. 4.71%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 25 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.5.

P_{0.5}^{25} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 25 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{15} \cdot {0.5}^{10}

=0.097416639328003≈ 0.0974
(TI-Befehl: binompdf(25,0.5,15))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 83 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 48 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.5.

P_{0.5}^{83} (X \leq 48)

=

P_{0.5}^{83} (X = 0)

+

P_{0.5}^{83} (X = 1)

+

P_{0.5}^{83} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{83} (X = 48)

= 0.9380734702691 ≈ 0.9381
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.5,48))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,94. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 59 Versuchen mehr als 49 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.94.

...

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.94}^{59} (X > 49)

=

P_{0.94}^{59} (X \geq 50)

= 1 -

P_{0.94}^{59} (X \leq 49)

= 0.9975
(TI-Befehl: 1-binomcdf(59,0.94,49))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 95% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 82 Versuchen mindestens 71 und weniger als 81 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.95.

$P_{0.95}^{82} (71 \leq X \leq 80)$ =

...

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

P_{0.95}^{82} (X \leq 80)

-

P_{0.95}^{82} (X \leq 70)

≈ 0.9208 - 0.0008 ≈ 0.92
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.95,80) - binomcdf(82,0.95,70))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

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kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k