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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = 1 6 · ( 5 6 ) 2 .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = 3 · 1 6 · ( 5 6 ) 2 ≈ 0.3472 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 5 0 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 5 0 ) = 5! 0! ⋅ (5 - 0)! = 5! 0! ⋅ 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 5 0 ) = 1 1

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 6 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 = 652458240 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 6 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 6er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 6er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 6er-Gruppe möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 6er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 652458240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 6er-Gruppen durch die 720 Möglichkeiten, die 6er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 652458240 720 = 906192 Möglichkeiten für 6er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 26! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

906192 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 ⋅26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 6! ⋅ 26! = ( 32 6 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 und die 14 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 8 ) = 20! 8! ⋅ 12! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 11 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 11 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 11 und der 14) zu setzen, also ( 18 6 ) = 18! 6! ⋅ 12! = 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 18564.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 18564 125970 ≈ 0.1474, also ca. 14.74%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 81 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p= 1 8 .

P 1 8 81 (X=2) = ( 81 2 ) ⋅ ( 1 8 )2 ⋅ ( 7 8 )79 =0.001327398201828≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(81,1/8,2))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.2≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 28 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 11 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p=0.5.

P0.528 (X≤11) = P0.528 (X=0) + P0.528 (X=1) + P0.528 (X=2) +... + P0.528 (X=11) = 0.17246422544122 ≈ 0.1725
(TI-Befehl: binomcdf(28,0.5,11))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 33 Versuchen mindestens 10 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.2.

...
7
8
9
10
11
12
...

P0.233 (X≥10) = 1 - P0.233 (X≤9) = 0.1068
(TI-Befehl: 1-binomcdf(33,0.2,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 73% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 42 Versuchen mindestens 28 und weniger als 32 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.73.

P0.7342 (28≤X≤31) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
...

P0.7342 (X≤31) - P0.7342 (X≤27) ≈ 0.6051 - 0.1368 ≈ 0.4683
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.73,31) - binomcdf(42,0.73,27))