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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau 3 Chips defekt sind.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $0,6$ . Wenn genau 3 Treffer unter den 4 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 4 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,6 \cdot {0,4}^{3}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4 \cdot 0,6 \cdot {0,4}^{3}$ ≈ 0.1536 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{6! ⋅ (11 - 6)!}$ = $\frac{11!}{6! ⋅ 5!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{11⋅2⋅9⋅8⋅7}{4⋅3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{11⋅2⋅9⋅2⋅7}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅2⋅3⋅2⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅3⋅2⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 462

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30240}{120}$ = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{5! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6, die 8 und die 34 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{8! ⋅ 32!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 6, die 8 und die 34 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 6, der 8 und der 34 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 6, der 8 und der 34) zu setzen, also $(\begin{matrix} 37 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{37!}{5! ⋅ 32!}$ = $\frac{37⋅36⋅35⋅34⋅33}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 435897.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{435897}{76904685}$ ≈ 0.0057, also ca. 0.57%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 63 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{7} \cdot {(\frac{5}{6})}^{56}

=0.072732600784836≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(63,1/6,7))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.09	≈ 0.03 + 0.09 = 0.12
3	≈ 0.18	≈ 0.12 + 0.18 = 0.3
4	≈ 0.24	≈ 0.3 + 0.24 = 0.54

Während P(X ≤ 3) = 0.3 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.54 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 19 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 88 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{88} (X \leq 19)

=

P_{\frac{1}{8}}^{88} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{88} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{88} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{88} (X = 19)

= 0.99454560417226 ≈ 0.9945
(TI-Befehl: binomcdf(88,1/8,19))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,81. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 24 Versuchen mehr als 16 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.81.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.81}^{24} (X > 16)

=

P_{0.81}^{24} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.81}^{24} (X \leq 16)

= 0.9304
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.81,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 45 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 7, aber weniger als 12 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.25.

$P_{0.25}^{45} (7 \leq X \leq 11)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.25}^{45} (X \leq 11)

-

P_{0.25}^{45} (X \leq 6)

≈ 0.5457 - 0.0446 ≈ 0.5011
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.25,11) - binomcdf(45,0.25,6))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k