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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = 0,6. Da ja der Nicht-Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,4⋅0,6⋅0,4⋅0,4 = 0,6 · 0,4 3 ≈ 0.0384 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 9 5 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 9 5 ) = 9! 5! ⋅ (9 - 5)! = 9! 5! ⋅ 4! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 9 5 ) = 9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1

= 9⋅2⋅7⋅6 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 3⋅2⋅7⋅6 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 3⋅7⋅6 1 (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 24-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 24 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 23 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 22 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 24⋅23⋅22 = 12144 Möglichkeiten, die 24 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 12144 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 12144 6 = 2024 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 24 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 24⋅23⋅22 3⋅2⋅1 könnte man mit 21! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

2024 = 24⋅23⋅22 3⋅2⋅1 = 24⋅23⋅22 ⋅21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24! 3! ⋅ 21! = ( 24 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 25 7 ) = 25! 7! ⋅ 18! = 25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 16 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 16 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 16) zu setzen, also ( 24 6 ) = 24! 6! ⋅ 18! = 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 134596.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 134596 480700 ≈ 0.28, also ca. 28%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 53 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 40 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.7.

P0.753 (X=40) = ( 53 40 ) ⋅ 0.740 ⋅ 0.313 =0.085407653306029≈ 0.0854
(TI-Befehl: binompdf(53,0.7,40))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.5.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.13≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2≈ 0.23≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3≈ 0.26≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.39 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 16 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 86 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= 1 8 .

P 1 8 86 (X≤16) = P 1 8 86 (X=0) + P 1 8 86 (X=1) + P 1 8 86 (X=2) +... + P 1 8 86 (X=16) = 0.96365408313855 ≈ 0.9637
(TI-Befehl: binomcdf(86,1/8,16))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 60 Versuchen mindestens 49 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.76.

...
46
47
48
49
50
51
...

P0.7660 (X≥49) = 1 - P0.7660 (X≤48) = 0.192
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.76,48))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 58 Versuchen mindestens 44 und weniger als 53 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.85.

P0.8558 (44≤X≤52) =

...
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
...

P0.8558 (X≤52) - P0.8558 (X≤43) ≈ 0.8849 - 0.0218 ≈ 0.8631
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.85,52) - binomcdf(58,0.85,43))