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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,3⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ = $0,3 \cdot {0,7}^{2}$ ≈ 0.147 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{1! ⋅ (6 - 1)!}$ = $\frac{6!}{1! ⋅ 5!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{6}{1}$

= 6

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 11 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 9 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10⋅9⋅8 = 7920 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 7920 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{7920}{24}$ = 330 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

330 = $\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{11!}{4! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 15, die 26 und die 28 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{6! ⋅ 29!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 15, die 26 und die 28 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 15, der 26 und der 28 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 15, der 26 und der 28) zu setzen, also $(\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{32!}{3! ⋅ 29!}$ = $\frac{32⋅31⋅30}{3⋅2⋅1}$ = 4960.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{4960}{1623160}$ ≈ 0.0031, also ca. 0.31%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 56 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.5.

P_{0.5}^{97} (X = 56)

=

(\begin{matrix} 97 \\ 56 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{56} \cdot {0.5}^{41}

=0.025523201080855≈ 0.0255
(TI-Befehl: binompdf(97,0.5,56))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.7.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.2	≈ 0.16 + 0.2 = 0.36
4	≈ 0.24	≈ 0.36 + 0.24 = 0.6
5	≈ 0.2	≈ 0.6 + 0.2 = 0.8

Während P(X ≤ 4) = 0.6 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.8 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,16 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 81 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 8 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.16.

P_{0.16}^{81} (X \leq 8)

=

P_{0.16}^{81} (X = 0)

+

P_{0.16}^{81} (X = 1)

+

P_{0.16}^{81} (X = 2)

+... +

P_{0.16}^{81} (X = 8)

= 0.082530279674911 ≈ 0.0825
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.16,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 79 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 28 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.3.

...

26

27

28

29

30

31

...

P_{0.3}^{79} (X > 28)

=

P_{0.3}^{79} (X \geq 29)

= 1 -

P_{0.3}^{79} (X \leq 28)

= 0.1203
(TI-Befehl: 1-binomcdf(79,0.3,28))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 57 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 24, aber höchstens 25 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.4.

$P_{0.4}^{57} (24 \leq X \leq 25)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.4}^{57} (X \leq 25)

-

P_{0.4}^{57} (X \leq 23)

≈ 0.7685 - 0.5784 ≈ 0.1901
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.4,25) - binomcdf(57,0.4,23))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k