Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,4 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${0,4}^{5}$ ≈ 0.0102 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{4! ⋅ (11 - 4)!}$ = $\frac{11!}{4! ⋅ 7!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{11⋅10⋅9⋅2}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅10⋅3⋅2}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅10⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 330

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 20-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 20⋅19⋅18 = 6840 Möglichkeiten, die 20 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6840 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{6840}{6}$ = 1140 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 20 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 17! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

1140 = $\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{20!}{3! ⋅ 17!}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 15 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{8! ⋅ 17!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1081575 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 15 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 15 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 15) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{7! ⋅ 17!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 346104.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{346104}{1081575}$ ≈ 0.32, also ca. 32%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{64} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 64 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{8} \cdot {(\frac{7}{8})}^{56}

=0.14919652540128≈ 0.1492
(TI-Befehl: binompdf(64,1/8,8))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35

Während P(X ≤ 2) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.35 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 85 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X \leq 14)

=

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X = 14)

= 0.89469882662138 ≈ 0.8947
(TI-Befehl: binomcdf(85,1/8,14))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 33 Versuchen mehr als 30 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.95.

...

28

29

30

31

32

P_{0.95}^{33} (X > 30)

=

P_{0.95}^{33} (X \geq 31)

= 1 -

P_{0.95}^{33} (X \leq 30)

= 0.7728
(TI-Befehl: 1-binomcdf(33,0.95,30))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 43 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 31, aber höchstens 33 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.75.

$P_{0.75}^{43} (31 \leq X \leq 33)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.75}^{43} (X \leq 33)

-

P_{0.75}^{43} (X \leq 30)

≈ 0.661 - 0.263 ≈ 0.398
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.75,33) - binomcdf(43,0.75,30))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k