Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Nicht-Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{5}{6})}^{5}$ ≈ 0.4019 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{0! ⋅ (11 - 0)!}$ = $\frac{11!}{0! ⋅ 11!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
11! = 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 3 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8⋅7 = 504 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 504 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{504}{6}$ = 84 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

84 = $\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{9!}{3! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19, die 20 und die 24 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{8! ⋅ 22!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 19, die 20 und die 24 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 19, der 20 und der 24 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 19, der 20 und der 24) zu setzen, also $(\begin{matrix} 27 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{27!}{5! ⋅ 22!}$ = $\frac{27⋅26⋅25⋅24⋅23}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 80730.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{80730}{5852925}$ ≈ 0.0138, also ca. 1.38%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 81 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 18 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{81} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 81 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{18} \cdot {(\frac{3}{4})}^{63}

=0.089415857858195≈ 0.0894
(TI-Befehl: binompdf(81,1/4,18))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.23	≈ 0.2 + 0.23 = 0.43
4	≈ 0.24	≈ 0.43 + 0.24 = 0.67
5	≈ 0.18	≈ 0.67 + 0.18 = 0.85

Während P(X ≤ 4) = 0.67 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.85 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 47%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 45 Versuchen nicht mehr als 17 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.47.

P_{0.47}^{45} (X \leq 17)

=

P_{0.47}^{45} (X = 0)

+

P_{0.47}^{45} (X = 1)

+

P_{0.47}^{45} (X = 2)

+... +

P_{0.47}^{45} (X = 17)

= 0.13761721658689 ≈ 0.1376
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.47,17))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 68 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.125.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.125}^{68} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.125}^{68} (X \leq 5)

= 0.8676
(TI-Befehl: 1-binomcdf(68,0.125,5))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 92 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 31 und höchstens 32 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.35.

$P_{0.35}^{92} (31 \leq X \leq 32)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.35}^{92} (X \leq 32)

-

P_{0.35}^{92} (X \leq 30)

≈ 0.5305 - 0.3588 ≈ 0.1717
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.35,32) - binomcdf(92,0.35,30))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k