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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 4 mal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Wenn genau 4 Treffer unter den 5 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 5 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{4}$ ≈ 0.0032 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{3! ⋅ (6 - 3)!}$ = $\frac{6!}{3! ⋅ 3!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5⋅4}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{2⋅5⋅4}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{5⋅4}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5⋅4 = 6720 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{6720}{120}$ = 56 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{5! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 15 und die 20 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{8! ⋅ 12!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 15 und die 20 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 15 und der 20 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 15 und der 20) zu setzen, also $(\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{18!}{6! ⋅ 12!}$ = $\frac{18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18564.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{18564}{125970}$ ≈ 0.1474, also ca. 14.74%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 25 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.5.

P_{0.5}^{42} (X = 25)

=

(\begin{matrix} 42 \\ 25 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{25} \cdot {0.5}^{17}

=0.057903418372916≈ 0.0579
(TI-Befehl: binompdf(42,0.5,25))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.6.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27
4	≈ 0.24	≈ 0.27 + 0.24 = 0.51
5	≈ 0.23	≈ 0.51 + 0.23 = 0.74

Während P(X ≤ 4) = 0.51 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 65%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 81 Versuchen weniger als 51 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.65.

P_{0.65}^{81} (X < 51)

=

P_{0.65}^{81} (X \leq 50)

=

P_{0.65}^{81} (X = 0)

+

P_{0.65}^{81} (X = 1)

+

P_{0.65}^{81} (X = 2)

+... +

P_{0.65}^{81} (X = 50)

= 0.30529728643827 ≈ 0.3053
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.65,50))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{56} (X \geq 10)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{56} (X \leq 9)

= 0.4602
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56, $\frac{1}{6}$ ,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 89% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 86 Versuchen mindestens 81 und weniger als 83 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.89.

$P_{0.89}^{86} (81 \leq X \leq 82)$ =

...

78

79

80

81

82

83

84

...

P_{0.89}^{86} (X \leq 82)

-

P_{0.89}^{86} (X \leq 80)

≈ 0.9884 - 0.9218 ≈ 0.0666
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.89,82) - binomcdf(86,0.89,80))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k