Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Nicht-Treffer bei 5 Versuchen P = ${\left(\frac{5}{6}\right)}^5$ ≈ 0.4019 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (4\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{4}{1}$

= 4

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{720}}{6}$ = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{10\; \cdot \; 9\; \cdot \; 8}}{\mathrm{3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = $\frac{\mathrm{10\; \cdot \; 9\; \cdot \; 8}}{\mathrm{3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1}}$ = $\frac{\mathrm{10\; \cdot \; 9\; \cdot \; 8<span\; style="margin-left:8px;">\; \cdot \; </span>7\; \cdot \; 6\; \cdot \; 5\; \cdot \; 4\; \cdot \; 3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1}}{\mathrm{3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1<span\; style="margin-left:8px;">\; \cdot \; </span>7\; \cdot \; 6\; \cdot \; 5\; \cdot \; 4\; \cdot \; 3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1}}$ = $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}35\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{35!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 29!}}$ = $\frac{\mathrm{35\cdot 34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 6, die 17 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 6, der 17 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 6, der 17 und der 30) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}32\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{32!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 29!}}$ = $\frac{\mathrm{32\cdot 31\cdot 30}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 4960.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{4960}}{\mathrm{1623160}}$ ≈ 0.0031, also ca. 0.31%.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.45.

$P_{0.45}^{85}(X=34)$ = $\left(\begin{array}{c}85\\ 34\end{array}\right)\cdot {0.45}^{34}\cdot {0.55}^{51}$=0.057110488888254≈ 0.0571
(TI-Befehl: binompdf(85,0.45,34))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(x) ≤ k
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.08	≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3	≈ 0.17	≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4	≈ 0.22	≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5	≈ 0.22	≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6	≈ 0.15	≈ 0.72 + 0.15 = 0.87

Während P(x ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(x ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.25.

$P_{0.25}^{49}(X\le 8)$ = $P_{0.25}^{49}(X=0)$ + $P_{0.25}^{49}(X=1)$ + $P_{0.25}^{49}(X=2)$ +... + $P_{0.25}^{49}(X=8)$ = 0.10457285428644 ≈ 0.1046
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.25,8))

...

$P_{0.125}^{24}(X\ge 1)$ = 1 - $P_{0.125}^{24}(X\le 0)$ = 0.9594
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.125,0))

$P_{\frac{1}{6}}^{68}(15\le X\le 18)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{68}(X\le 18)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{68}(X\le 14)$ ≈ 0.9864 - 0.8486 ≈ 0.1378
(TI-Befehl: binomcdf(68,$\frac{1}{6}$,18) - binomcdf(68,$\frac{1}{6}$,14))