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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,3 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${0,3}^{4}$ ≈ 0.0081 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{9! ⋅ (12 - 9)!}$ = $\frac{12!}{9! ⋅ 3!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{4⋅11⋅10}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{2⋅11⋅10}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 220

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{72}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{9\cdot8}{2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{9\cdot8}{2\cdot1}$ = $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{9!}{2! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 20 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{4! ⋅ 31!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 52360 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 20 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 20 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 20) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{3! ⋅ 31!}$ = $\frac{34⋅33⋅32}{3⋅2⋅1}$ = 5984.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{5984}{52360}$ ≈ 0.1143, also ca. 11.43%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 70 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 49 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.7.

P_{0.7}^{70} (X = 49)

=

(\begin{matrix} 70 \\ 49 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{49} \cdot {0.3}^{21}

=0.10358731249847≈ 0.1036
(TI-Befehl: binompdf(70,0.7,49))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.7.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.7 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.7 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.7=0.3 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35

Während P(X ≤ 2) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.35 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.84 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 14) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.65 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 14) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 26 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 11 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.5.

P_{0.5}^{26} (X \leq 11)

=

P_{0.5}^{26} (X = 0)

+

P_{0.5}^{26} (X = 1)

+

P_{0.5}^{26} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{26} (X = 11)

= 0.27859854698181 ≈ 0.2786
(TI-Befehl: binomcdf(26,0.5,11))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 92 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 22 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.22.

...

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.22}^{92} (X \geq 22)

= 1 -

P_{0.22}^{92} (X \leq 21)

= 0.3677
(TI-Befehl: 1-binomcdf(92,0.22,21))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 86 Versuchen, mehr als 34 mal und höchstens 48 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.5.

$P_{0.5}^{86} (35 \leq X \leq 48)$ =

...

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

...

P_{0.5}^{86} (X \leq 48)

-

P_{0.5}^{86} (X \leq 34)

≈ 0.8823 - 0.0331 ≈ 0.8492
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.5,48) - binomcdf(86,0.5,34))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k