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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im zweiten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{3! ⋅ (11 - 3)!}$ = $\frac{11!}{3! ⋅ 8!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{11⋅10⋅9}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{11⋅10⋅3}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅5⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 165

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 8 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1680}{24}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{4! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{7! ⋅ 13!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 10 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 10 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 10) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{6! ⋅ 13!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 27132.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{27132}{77520}$ ≈ 0.35, also ca. 35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 65 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 45 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.7.

P_{0.7}^{65} (X = 45)

=

(\begin{matrix} 65 \\ 45 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{45} \cdot {0.3}^{20}

=0.10573789759981≈ 0.1057
(TI-Befehl: binompdf(65,0.7,45))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 43 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{43} (X \leq 8)

=

P_{\frac{1}{6}}^{43} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{43} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{43} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{43} (X = 8)

= 0.71809741255125 ≈ 0.7181
(TI-Befehl: binomcdf(43,1/6,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 36 Versuchen mindestens 5 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.2.

...

2

3

4

5

6

7

...

P_{0.2}^{36} (X \geq 5)

= 1 -

P_{0.2}^{36} (X \leq 4)

= 0.8731
(TI-Befehl: 1-binomcdf(36,0.2,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 15 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{84} (8 \leq X \leq 14)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 7)

≈ 0.5707 - 0.0219 ≈ 0.5488
(TI-Befehl: binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,7))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k