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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im zweiten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 6 ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 40 38 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 40 38 ) = 40! 38! ⋅ (40 - 38)! = 40! 38! ⋅ 2! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
38! = 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 40 38 ) = 40⋅39 2⋅1

= 20⋅39 1 (gekürzt mit 2)

= 780

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 56 2 = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 8⋅7 2⋅1 könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = 8⋅7 2⋅1 = 8⋅7 ⋅6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2⋅1 ⋅6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8! 2! ⋅ 6! = ( 8 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 8, die 10 und die 14 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 30 7 ) = 30! 7! ⋅ 23! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 8, die 10 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 8, der 10 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 8, der 10 und der 14) zu setzen, also ( 27 4 ) = 27! 4! ⋅ 23! = 27⋅26⋅25⋅24 4⋅3⋅2⋅1 = 17550.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 17550 2035800 ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 24-mal gewürfelt. Es werden hierbei 5 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 5 6er bei 24 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p= 1 6 .

P 1 6 24 (X=5) = ( 24 5 ) ⋅ ( 1 6 )5 ⋅ ( 5 6 )19 =0.17109206815714≈ 0.1711
(TI-Befehl: binompdf(24,1/6,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.6.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
2≈ 0.03≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3≈ 0.08≈ 0.04 + 0.08 = 0.12
4≈ 0.15≈ 0.12 + 0.15 = 0.27
5≈ 0.21≈ 0.27 + 0.21 = 0.48
6≈ 0.21≈ 0.48 + 0.21 = 0.69
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 5) = 0.48 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.69 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 21 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= 1 6 .

P 1 6 87 (X<21) = P 1 6 87 (X≤20) = P 1 6 87 (X=0) + P 1 6 87 (X=1) + P 1 6 87 (X=2) +... + P 1 6 87 (X=20) = 0.953015387911 ≈ 0.953
(TI-Befehl: binomcdf(87,1/6,20))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 13 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.15.

...
10
11
12
13
14
15
...

P0.1562 (X≥13) = 1 - P0.1562 (X≤12) = 0.1292
(TI-Befehl: 1-binomcdf(62,0.15,12))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 26 und weniger als 34 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.75.

P0.7540 (26≤X≤33) =

...
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
...

P0.7540 (X≤33) - P0.7540 (X≤25) ≈ 0.9038 - 0.0544 ≈ 0.8494
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.75,33) - binomcdf(40,0.75,25))