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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim vierten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $0,6$ . Da ja der Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅0,4⋅ $0,6$ = $0,4 \cdot {0,6}^{4}$ ≈ 0.0518 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{10! ⋅ (11 - 10)!}$ = $\frac{11!}{10! ⋅ 1!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{11}{1}$

= 11

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{90}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 15 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{5! ⋅ 25!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 15 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 15 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 15) zu setzen, also $(\begin{matrix} 29 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{29!}{4! ⋅ 25!}$ = $\frac{29⋅28⋅27⋅26}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 23751.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{23751}{142506}$ ≈ 0.1667, also ca. 16.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 11 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.25.

P_{0.25}^{62} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 62 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{11} \cdot {0.75}^{51}

=0.051470707227189≈ 0.0515
(TI-Befehl: binompdf(62,0.25,11))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33
6	≈ 0.21	≈ 0.33 + 0.21 = 0.54
7	≈ 0.2	≈ 0.54 + 0.2 = 0.74

Während P(X ≤ 6) = 0.54 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 11 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.35.

P_{0.35}^{44} (X \leq 11)

=

P_{0.35}^{44} (X = 0)

+

P_{0.35}^{44} (X = 1)

+

P_{0.35}^{44} (X = 2)

+... +

P_{0.35}^{44} (X = 11)

= 0.1069229097073 ≈ 0.1069
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.35,11))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,87. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 72 Versuchen mehr als 61 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.87.

...

59

60

61

62

63

64

...

P_{0.87}^{72} (X > 61)

=

P_{0.87}^{72} (X \geq 62)

= 1 -

P_{0.87}^{72} (X \leq 61)

= 0.6684
(TI-Befehl: 1-binomcdf(72,0.87,61))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 94% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 45 Versuchen mindestens 43 und weniger als 45 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.94.

$P_{0.94}^{45} (43 \leq X \leq 44)$ =

...

40

41

42

43

44

P_{0.94}^{45} (X \leq 44)

-

P_{0.94}^{45} (X \leq 42)

≈ 0.9382 - 0.5117 ≈ 0.4265
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.94,44) - binomcdf(45,0.94,42))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k