Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

Lösung einblenden

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,15 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ${0,15}^{3}$ ≈ 0.0034 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{16!}{2! ⋅ (16 - 2)!}$ = $\frac{16!}{2! ⋅ 14!}$ = $\frac{16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
14! = 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{16⋅15}{2⋅1}$

= $\frac{8⋅15}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4 = 120 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{120}{6}$ = 20 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

20 = $\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{3! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19 und die 37 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{6! ⋅ 34!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 19 und die 37 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 19 und der 37 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 19 und der 37) zu setzen, also $(\begin{matrix} 38 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{38!}{4! ⋅ 34!}$ = $\frac{38⋅37⋅36⋅35}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 73815.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{73815}{3838380}$ ≈ 0.0192, also ca. 1.92%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 53 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.5.

P_{0.5}^{98} (X = 53)

=

(\begin{matrix} 98 \\ 53 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{53} \cdot {0.5}^{45}

=0.058169155951717≈ 0.0582
(TI-Befehl: binompdf(98,0.5,53))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.2	≈ 0.22 + 0.2 = 0.42

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 98 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 64 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.6.

P_{0.6}^{98} (X \leq 64)

=

P_{0.6}^{98} (X = 0)

+

P_{0.6}^{98} (X = 1)

+

P_{0.6}^{98} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{98} (X = 64)

= 0.88069354185701 ≈ 0.8807
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.6,64))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 22 Versuchen mehr als 20 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.95.

...

18

19

20

21

P_{0.95}^{22} (X > 20)

=

P_{0.95}^{22} (X \geq 21)

= 1 -

P_{0.95}^{22} (X \leq 20)

= 0.6982
(TI-Befehl: 1-binomcdf(22,0.95,20))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 94% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 86 Versuchen mindestens 73 und weniger als 83 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.94.

$P_{0.94}^{86} (73 \leq X \leq 82)$ =

...

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

...

P_{0.94}^{86} (X \leq 82)

-

P_{0.94}^{86} (X \leq 72)

≈ 0.7655 - 0.0006 ≈ 0.7649
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.94,82) - binomcdf(86,0.94,72))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k