Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,4$ ⋅0,6⋅ $0,4$ = $0,6 \cdot {0,4}^{2}$ ≈ 0.096 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{6! ⋅ (8 - 6)!}$ = $\frac{8!}{6! ⋅ 2!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{8⋅7}{2⋅1}$

= $\frac{4⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9 und die 17 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{7! ⋅ 18!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 9 und die 17 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 9 und der 17 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 9 und der 17) zu setzen, also $(\begin{matrix} 23 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{23!}{5! ⋅ 18!}$ = $\frac{23⋅22⋅21⋅20⋅19}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 33649.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{33649}{480700}$ ≈ 0.07, also ca. 7%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 32 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.5.

P_{0.5}^{62} (X = 32)

=

(\begin{matrix} 62 \\ 32 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{32} \cdot {0.5}^{30}

=0.097769821148793≈ 0.0978
(TI-Befehl: binompdf(62,0.5,32))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.77 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.57 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 54 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X \leq 13)

=

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X = 13)

= 0.94407685669182 ≈ 0.9441
(TI-Befehl: binomcdf(54,1/6,13))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 87 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 30 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.25.

...

27

28

29

30

31

32

...

P_{0.25}^{87} (X \geq 30)

= 1 -

P_{0.25}^{87} (X \leq 29)

= 0.0305
(TI-Befehl: 1-binomcdf(87,0.25,29))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 57 Versuchen, mehr als 20 mal und höchstens 22 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.35.

$P_{0.35}^{57} (21 \leq X \leq 22)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.35}^{57} (X \leq 22)

-

P_{0.35}^{57} (X \leq 20)

≈ 0.7626 - 0.566 ≈ 0.1966
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.35,22) - binomcdf(57,0.35,20))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k