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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim vierten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = 0,65. Da ja der Nicht-Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,35⋅0,35⋅0,35⋅0,65⋅0,35⋅0,35 = 0,65 · 0,35 5 ≈ 0.0034 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 25 23 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 25 23 ) = 25! 23! ⋅ (25 - 23)! = 25! 23! ⋅ 2! = 25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
23! = 23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 25 23 ) = 25⋅24 2⋅1

= 25⋅12 1 (gekürzt mit 2)

= 300

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 4 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 4er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7 = 5040 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 5040 24 = 210 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9⋅8⋅7 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

210 = 10⋅9⋅8⋅7 4⋅3⋅2⋅1 = 10⋅9⋅8⋅7 ⋅6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 4! ⋅ 6! = ( 10 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 25 4 ) = 25! 4! ⋅ 21! = 25⋅24⋅23⋅22 4⋅3⋅2⋅1 = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 9 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 9 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 9) zu setzen, also ( 24 3 ) = 24! 3! ⋅ 21! = 24⋅23⋅22 3⋅2⋅1 = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 2024 12650 ≈ 0.16, also ca. 16%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 35-mal gewürfelt. Es werden hierbei 2 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 2 6er bei 35 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= 1 6 .

P 1 6 35 (X=2) = ( 35 2 ) ⋅ ( 1 6 )2 ⋅ ( 5 6 )33 =0.040293347136816≈ 0.0403
(TI-Befehl: binompdf(35,1/6,2))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.12≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2≈ 0.23≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.15 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.38 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 28 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,4.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 14 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p=0.4.

P0.428 (X≤14) = P0.428 (X=0) + P0.428 (X=1) + P0.428 (X=2) +... + P0.428 (X=14) = 0.89754231413194 ≈ 0.8975
(TI-Befehl: binomcdf(28,0.4,14))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen mindestens 22 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.35.

...
19
20
21
22
23
24
...

P0.3561 (X≥22) = 1 - P0.3561 (X≤21) = 0.4786
(TI-Befehl: 1-binomcdf(61,0.35,21))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 83% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 32 und weniger als 34 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.83.

P0.8340 (32≤X≤33) =

...
29
30
31
32
33
34
35
...

P0.8340 (X≤33) - P0.8340 (X≤31) ≈ 0.5316 - 0.2301 ≈ 0.3015
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.83,33) - binomcdf(40,0.83,31))