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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim dritten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,15, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,15 = 0,85. Da ja der Nicht-Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,15⋅0,15⋅0,85⋅0,15⋅0,15⋅0,15 = 0,85 · 0,15 5 ≈ 0.0001 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 8 2 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 8 2 ) = 8! 2! ⋅ (8 - 2)! = 8! 2! ⋅ 6! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 8 2 ) = 8⋅7 2⋅1

= 4⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 4 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29 = 863040 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 4 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 863040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 863040 24 = 35960 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30⋅29 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 28! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35960 = 32⋅31⋅30⋅29 4⋅3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30⋅29 ⋅28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 4! ⋅ 28! = ( 32 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 20 4 ) = 20! 4! ⋅ 16! = 20⋅19⋅18⋅17 4⋅3⋅2⋅1 = 4845 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 11 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 11 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 11) zu setzen, also ( 19 3 ) = 19! 3! ⋅ 16! = 19⋅18⋅17 3⋅2⋅1 = 969.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 969 4845 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 51 Versuchen genau 23 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.4.

P0.451 (X=23) = ( 51 23 ) ⋅ 0.423 ⋅ 0.628 =0.085040265830913≈ 0.085
(TI-Befehl: binompdf(51,0.4,23))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.2≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.42 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.78 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 14) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.58 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 14) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 51%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 32 Versuchen weniger als 15 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.51.

P0.5132 (X<15) = P0.5132 (X≤14) = P0.5132 (X=0) + P0.5132 (X=1) + P0.5132 (X=2) +... + P0.5132 (X=14) = 0.26003228969396 ≈ 0.26
(TI-Befehl: binomcdf(32,0.51,14))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 37 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p= 1 6 .

...
4
5
6
7
8
9
...

P 1 6 37 (X≥7) = 1 - P 1 6 37 (X≤6) = 0.4226
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37, 1 6 ,6))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 71 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 13 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p= 1 6 .

P 1 6 71 (8≤X≤12) =

...
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...

P 1 6 71 (X≤12) - P 1 6 71 (X≤7) ≈ 0.5972 - 0.0776 ≈ 0.5196
(TI-Befehl: binomcdf(71, 1 6 ,12) - binomcdf(71, 1 6 ,7))