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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 4 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 3 mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Wenn genau 3 Treffer unter den 4 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 4 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,7 \cdot {0,3}^{3}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4 \cdot 0,7 \cdot {0,3}^{3}$ ≈ 0.0756 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{16!}{2! ⋅ (16 - 2)!}$ = $\frac{16!}{2! ⋅ 14!}$ = $\frac{16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
14! = 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{16⋅15}{2⋅1}$

= $\frac{8⋅15}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5⋅4 = 6720 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{6720}{120}$ = 56 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{5! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 5, die 8 und die 10 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{7! ⋅ 13!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 5, die 8 und die 10 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 5, der 8 und der 10 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 5, der 8 und der 10) zu setzen, also $(\begin{matrix} 17 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{17!}{4! ⋅ 13!}$ = $\frac{17⋅16⋅15⋅14}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 2380.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{2380}{77520}$ ≈ 0.0307, also ca. 3.07%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 39-mal gewürfelt. Es werden hierbei 10 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 10 6er bei 39 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{39} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 39 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{10} \cdot {(\frac{5}{6})}^{29}

=0.053151384856645≈ 0.0532
(TI-Befehl: binompdf(39,1/6,10))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.42 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.8 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.58 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 98 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,15. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 22 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.15.

P_{0.15}^{98} (X < 22)

=

P_{0.15}^{98} (X \leq 21)

=

P_{0.15}^{98} (X = 0)

+

P_{0.15}^{98} (X = 1)

+

P_{0.15}^{98} (X = 2)

+... +

P_{0.15}^{98} (X = 21)

= 0.96798624311952 ≈ 0.968
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.15,21))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,82. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 34 Versuchen mehr als 25 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p=0.82.

...

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.82}^{34} (X > 25)

=

P_{0.82}^{34} (X \geq 26)

= 1 -

P_{0.82}^{34} (X \leq 25)

= 0.8556
(TI-Befehl: 1-binomcdf(34,0.82,25))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{87} (11 \leq X \leq 15)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{87} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{87} (X \leq 10)

≈ 0.6243 - 0.1221 ≈ 0.5022
(TI-Befehl: binomcdf(87, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(87, $\frac{1}{6}$ ,10))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k