Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = $0,65$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,65$ ⋅0,35⋅0,35⋅0,35 = $0,65 \cdot {0,35}^{3}$ ≈ 0.0279 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{4! ⋅ (8 - 4)!}$ = $\frac{8!}{4! ⋅ 4!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{2⋅7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{2⋅7⋅2⋅5}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{7⋅2⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 70

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6 = 336 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 336 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{336}{6}$ = 56 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{3! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 3, die 16 und die 30 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{7! ⋅ 23!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 3, die 16 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 3, der 16 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 3, der 16 und der 30) zu setzen, also $(\begin{matrix} 27 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{27!}{4! ⋅ 23!}$ = $\frac{27⋅26⋅25⋅24}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 17550.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{17550}{2035800}$ ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 74 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 16 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{74} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 74 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{16} \cdot {(\frac{5}{6})}^{58}

=0.060929414196567≈ 0.0609
(TI-Befehl: binompdf(74,1/6,16))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.7.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.1	≈ 0.02 + 0.1 = 0.12
2	≈ 0.21	≈ 0.12 + 0.21 = 0.33
3	≈ 0.25	≈ 0.33 + 0.25 = 0.58
4	≈ 0.21	≈ 0.58 + 0.21 = 0.79

Während P(X ≤ 3) = 0.58 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.79 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 38 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.5.

P_{0.5}^{84} (X \leq 38)

=

P_{0.5}^{84} (X = 0)

+

P_{0.5}^{84} (X = 1)

+

P_{0.5}^{84} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{84} (X = 38)

= 0.22260233452329 ≈ 0.2226
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.5,38))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mehr als 30 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.7.

...

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.7}^{40} (X > 30)

=

P_{0.7}^{40} (X \geq 31)

= 1 -

P_{0.7}^{40} (X \leq 30)

= 0.1959
(TI-Befehl: 1-binomcdf(40,0.7,30))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{80} (5 \leq X \leq 17)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{80} (X \leq 4)

≈ 0.8917 - 0.0015 ≈ 0.8902
(TI-Befehl: binomcdf(80, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(80, $\frac{1}{6}$ ,4))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k