Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,2, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,2 = $0,8$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,2 \cdot {0,8}^{3}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4 \cdot 0,2 \cdot {0,8}^{3}$ ≈ 0.4096 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{11! ⋅ (12 - 11)!}$ = $\frac{12!}{11! ⋅ 1!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
11! = 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$ = $\frac{12}{1}$

= 12

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 6 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27 = 652458240 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 6 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 6er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 6er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 6er-Gruppe möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 6er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 652458240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 6er-Gruppen durch die 720 Möglichkeiten, die 6er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{652458240}{720}$ = 906192 Möglichkeiten für 6er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28\cdot27}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 26! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

906192 = $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28\cdot27}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{32!}{6! ⋅ 26!}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 6 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 31 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{4! ⋅ 36!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 31 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 31 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 31) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{3! ⋅ 36!}$ = $\frac{39⋅38⋅37}{3⋅2⋅1}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{9139}{91390}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 65 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 37 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.5.

P_{0.5}^{65} (X = 37)

=

(\begin{matrix} 65 \\ 37 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{37} \cdot {0.5}^{28}

=0.053272470838409≈ 0.0533
(TI-Befehl: binompdf(65,0.5,37))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.1	≈ 0.02 + 0.1 = 0.12
2	≈ 0.21	≈ 0.12 + 0.21 = 0.33
3	≈ 0.25	≈ 0.33 + 0.25 = 0.58

Während P(X ≤ 2) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.58 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 74 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,4. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 37 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.4.

P_{0.4}^{74} (X < 37)

=

P_{0.4}^{74} (X \leq 36)

=

P_{0.4}^{74} (X = 0)

+

P_{0.4}^{74} (X = 1)

+

P_{0.4}^{74} (X = 2)

+... +

P_{0.4}^{74} (X = 36)

= 0.94817584523717 ≈ 0.9482
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.4,36))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 24 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 4 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.25.

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{0.25}^{24} (X \geq 4)

= 1 -

P_{0.25}^{24} (X \leq 3)

= 0.885
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.25,3))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 71 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 37 und höchstens 47 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.6.

$P_{0.6}^{71} (37 \leq X \leq 47)$ =

...

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.6}^{71} (X \leq 47)

-

P_{0.6}^{71} (X \leq 36)

≈ 0.8832 - 0.0707 ≈ 0.8125
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.6,47) - binomcdf(71,0.6,36))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k