Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal in den grünen Bereich gedreht wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,7, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,7 = $0,3$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 5-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 6-ten Versuch)

Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,7 \cdot {0,3}^{5}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = $6 \cdot 0,7 \cdot {0,3}^{5}$ ≈ 0.0102 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{1! ⋅ (25 - 1)!}$ = $\frac{25!}{1! ⋅ 24!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
24! = 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{25}{1}$

= 25

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 21-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 19 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 21⋅20⋅19⋅18 = 143640 Möglichkeiten, die 21 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 143640 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{143640}{24}$ = 5985 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 21 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 17! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

5985 = $\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{21!}{4! ⋅ 17!}$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 13 und die 14 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{5! ⋅ 15!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 13 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 13 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 13 und der 14) zu setzen, also $(\begin{matrix} 18 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{18!}{3! ⋅ 15!}$ = $\frac{18⋅17⋅16}{3⋅2⋅1}$ = 816.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{816}{15504}$ ≈ 0.0526, also ca. 5.26%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 88 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 17 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{88} (X = 17)

=

(\begin{matrix} 88 \\ 17 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{17} \cdot {(\frac{5}{6})}^{71}

=0.086523015779951≈ 0.0865
(TI-Befehl: binompdf(88,1/6,17))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.23	≈ 0.2 + 0.23 = 0.43

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 65 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 19 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.25.

P_{0.25}^{65} (X \leq 19)

=

P_{0.25}^{65} (X = 0)

+

P_{0.25}^{65} (X = 1)

+

P_{0.25}^{65} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{65} (X = 19)

= 0.82501654398322 ≈ 0.825
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.25,19))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 37 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p=0.125.

...

2

3

4

5

6

7

...

P_{0.125}^{37} (X \geq 5)

= 1 -

P_{0.125}^{37} (X \leq 4)

= 0.4992
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37,0.125,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 und höchstens 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.125.

$P_{0.125}^{64} (5 \leq X \leq 9)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.125}^{64} (X \leq 9)

-

P_{0.125}^{64} (X \leq 4)

≈ 0.7254 - 0.085 ≈ 0.6404
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.125,9) - binomcdf(64,0.125,4))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k