Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,3 \cdot {0,7}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot 0,3 \cdot {0,7}^{4}$ ≈ 0.3602 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4!}{2! ⋅ (4 - 2)!}$ = $\frac{4!}{2! ⋅ 2!}$ = $\frac{4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
2! = 2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4⋅3}{2⋅1}$

= $\frac{2⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 6

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 3 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 3er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 3 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{720}{6}$ = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = $\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{3! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 und die 21 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{6! ⋅ 24!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 10 und die 21 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 10 und der 21 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 10 und der 21) zu setzen, also $(\begin{matrix} 28 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{28!}{4! ⋅ 24!}$ = $\frac{28⋅27⋅26⋅25}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 20475.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{20475}{593775}$ ≈ 0.0345, also ca. 3.45%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 38 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p=0.7.

P_{0.7}^{38} (X = 27)

=

(\begin{matrix} 38 \\ 27 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{27} \cdot {0.3}^{11}

=0.14007571343647≈ 0.1401
(TI-Befehl: binompdf(38,0.7,27))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.7.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35
4	≈ 0.23	≈ 0.35 + 0.23 = 0.58
5	≈ 0.2	≈ 0.58 + 0.2 = 0.78

Während P(X ≤ 4) = 0.58 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.78 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 90 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,35.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.35.

P_{0.35}^{90} (X \leq 24)

=

P_{0.35}^{90} (X = 0)

+

P_{0.35}^{90} (X = 1)

+

P_{0.35}^{90} (X = 2)

+... +

P_{0.35}^{90} (X = 24)

= 0.058718666964855 ≈ 0.0587
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.35,24))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,76. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 60 Versuchen mindestens 40 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.76.

...

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.76}^{60} (X \geq 40)

= 1 -

P_{0.76}^{60} (X \leq 39)

= 0.9636
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.76,39))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 84% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 64 Versuchen mindestens 47 und weniger als 55 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.84.

$P_{0.84}^{64} (47 \leq X \leq 54)$ =

...

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.84}^{64} (X \leq 54)

-

P_{0.84}^{64} (X \leq 46)

≈ 0.5851 - 0.01 ≈ 0.5751
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.84,54) - binomcdf(64,0.84,46))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k