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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 4 mal eine "6" gewürfelt wird.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - = . Wenn genau 4 Treffer unter den 5 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 5 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:
NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 5-ten Versuch)
Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = .
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = ≈ 0.0032 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
38! = 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 2)
= 780
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 5 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?
Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 24165120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 201376 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 27! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
201376 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.
Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 23, die 25 und die 26 dabei sind?
Es gibt insgesamt = = = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 23, die 25 und die 26 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 23, der 25 und der 26 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 23, der 25 und der 26) zu setzen, also = = = 2925.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.0049, also ca. 0.49%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 22-mal gewürfelt. Es werden hierbei 2 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 2 6er bei 22 Würfen.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=.
= =0.16737267537111≈ 0.1674(TI-Befehl: binompdf(22,1/6,2))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.15.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
---|---|---|
0 | ≈ 0.01 | ≈ 0 + 0.01 = 0.01 |
1 | ≈ 0.07 | ≈ 0.01 + 0.07 = 0.08 |
2 | ≈ 0.18 | ≈ 0.08 + 0.18 = 0.26 |
Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.15 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.26 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 2.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 54 Versuchen höchstens 12 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.25.
= + + +... + = 0.3860133354024 ≈ 0.386(TI-Befehl: binomcdf(54,0.25,12))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,88. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 49 Versuchen mehr als 46 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.88.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(49,0.88,46))
Binomialverteilung l < X < k
Beispiel:
Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 mal, aber weniger als 11 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(50,,10) - binomcdf(50,,4))