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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $0,6$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 5-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 6-ten Versuch)

Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,4 \cdot {0,6}^{5}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = $6 \cdot 0,4 \cdot {0,6}^{5}$ ≈ 0.1866 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{2! ⋅ (10 - 2)!}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅9}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 45

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5⋅4 = 6720 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{6720}{120}$ = 56 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{5! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 5 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{8! ⋅ 12!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 5 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 5 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 5) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{7! ⋅ 12!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 50388.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{50388}{125970}$ ≈ 0.4, also ca. 40%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 75 Versuchen genau 49 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.7.

P_{0.7}^{75} (X = 49)

=

(\begin{matrix} 75 \\ 49 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{49} \cdot {0.3}^{26}

=0.066045679475142≈ 0.066
(TI-Befehl: binompdf(75,0.7,49))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3	≈ 0.13	≈ 0.06 + 0.13 = 0.19
4	≈ 0.21	≈ 0.19 + 0.21 = 0.4

Während P(X ≤ 3) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.4 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 86 Versuchen höchstens 74 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.95.

P_{0.95}^{86} (X \leq 74)

=

P_{0.95}^{86} (X = 0)

+

P_{0.95}^{86} (X = 1)

+

P_{0.95}^{86} (X = 2)

+... +

P_{0.95}^{86} (X = 74)

= 0.0011815019543877 ≈ 0.0012
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.95,74))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,93. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 69 Versuchen mindestens 57 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.93.

...

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.93}^{69} (X \geq 57)

= 1 -

P_{0.93}^{69} (X \leq 56)

= 0.9991
(TI-Befehl: 1-binomcdf(69,0.93,56))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 60 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 17, aber weniger als 20 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.25.

$P_{0.25}^{60} (17 \leq X \leq 19)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{0.25}^{60} (X \leq 19)

-

P_{0.25}^{60} (X \leq 16)

≈ 0.9075 - 0.6796 ≈ 0.2279
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.25,19) - binomcdf(60,0.25,16))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k