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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der vierten Drehung nicht der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,7 = $0,3$ ≈ 0.3 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{3! ⋅ (10 - 3)!}$ = $\frac{10!}{3! ⋅ 7!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{10⋅3⋅8}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{5⋅3⋅8}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6 = 336 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 336 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{336}{6}$ = 56 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{3! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 23 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{4! ⋅ 26!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 27405 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 23 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 23 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 23) zu setzen, also $(\begin{matrix} 29 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{29!}{3! ⋅ 26!}$ = $\frac{29⋅28⋅27}{3⋅2⋅1}$ = 3654.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3654}{27405}$ ≈ 0.1333, also ca. 13.33%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 99 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 28 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.25.

P_{0.25}^{99} (X = 28)

=

(\begin{matrix} 99 \\ 28 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{28} \cdot {0.75}^{71}

=0.067277429782181≈ 0.0673
(TI-Befehl: binompdf(99,0.25,28))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.65.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.65 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.65 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.65=0.35 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.09	≈ 0.03 + 0.09 = 0.12
3	≈ 0.18	≈ 0.12 + 0.18 = 0.3
4	≈ 0.24	≈ 0.3 + 0.24 = 0.54

Während P(X ≤ 3) = 0.3 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.54 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.7 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.46 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 92 Versuchen nicht mehr als 47 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.55.

P_{0.55}^{92} (X \leq 47)

=

P_{0.55}^{92} (X = 0)

+

P_{0.55}^{92} (X = 1)

+

P_{0.55}^{92} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{92} (X = 47)

= 0.257413996697 ≈ 0.2574
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.55,47))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,18 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 48 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 9 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.18.

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.18}^{48} (X \geq 9)

= 1 -

P_{0.18}^{48} (X \leq 8)

= 0.5047
(TI-Befehl: 1-binomcdf(48,0.18,8))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen, mehr als 24 mal und höchstens 27 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.35.

$P_{0.35}^{61} (25 \leq X \leq 27)$ =

...

22

23

24

25

26

27

28

29

...

P_{0.35}^{61} (X \leq 27)

-

P_{0.35}^{61} (X \leq 24)

≈ 0.9487 - 0.8021 ≈ 0.1466
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.35,27) - binomcdf(61,0.35,24))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k