Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ≈ 0.0008 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{3! ⋅ (6 - 3)!}$ = $\frac{6!}{3! ⋅ 3!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5⋅4}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{2⋅5⋅4}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{5⋅4}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 720 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{720}{120}$ = 6 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 1! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

6 = $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{5! ⋅ 1!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 14 und die 28 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{5! ⋅ 25!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 14 und die 28 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 14 und der 28 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 14 und der 28) zu setzen, also $(\begin{matrix} 28 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{28!}{3! ⋅ 25!}$ = $\frac{28⋅27⋅26}{3⋅2⋅1}$ = 3276.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3276}{142506}$ ≈ 0.023, also ca. 2.3%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 27 Versuchen genau 9 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.3.

P_{0.3}^{27} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 27 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{9} \cdot {0.7}^{18}

=0.15022241882969≈ 0.1502
(TI-Befehl: binompdf(27,0.3,9))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.2	≈ 0.22 + 0.2 = 0.42

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 41 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.5.

P_{0.5}^{98} (X \leq 41)

=

P_{0.5}^{98} (X = 0)

+

P_{0.5}^{98} (X = 1)

+

P_{0.5}^{98} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{98} (X = 41)

= 0.064646291976787 ≈ 0.0646
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.5,41))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 30 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

1

2

3

4

5

6

...

P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \geq 4)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq 3)

= 0.7604
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30, $\frac{1}{6}$ ,3))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 74 Versuchen, mehr als 55 mal und höchstens 57 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.75.

$P_{0.75}^{74} (56 \leq X \leq 57)$ =

...

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.75}^{74} (X \leq 57)

-

P_{0.75}^{74} (X \leq 55)

≈ 0.6986 - 0.491 ≈ 0.2076
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.75,57) - binomcdf(74,0.75,55))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k