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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 0,15 ≈ 0.15 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 7 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 7 3 ) = 7! 3! ⋅ (7 - 3)! = 7! 3! ⋅ 4! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 7 3 ) = 7⋅6⋅5 3⋅2⋅1

= 7⋅2⋅5 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 7⋅5 1 (gekürzt mit 2)

= 35

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 22-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 20 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 22⋅21⋅20 = 9240 Möglichkeiten, die 22 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 9240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 9240 6 = 1540 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 22 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 22⋅21⋅20 3⋅2⋅1 könnte man mit 19! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

1540 = 22⋅21⋅20 3⋅2⋅1 = 22⋅21⋅20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 22! 3! ⋅ 19! = ( 22 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 20 8 ) = 20! 8! ⋅ 12! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 1 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 1 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 1) zu setzen, also ( 19 7 ) = 19! 7! ⋅ 12! = 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 50388.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 50388 125970 ≈ 0.4, also ca. 40%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p= 1 6 .

P 1 6 78 (X=9) = ( 78 9 ) ⋅ ( 1 6 )9 ⋅ ( 5 6 )69 =0.062240544728132≈ 0.0622
(TI-Befehl: binompdf(78,1/6,9))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.06≈ 0 + 0.06 = 0.06
1≈ 0.19≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2≈ 0.28≈ 0.25 + 0.28 = 0.53
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.53 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen weniger als 49 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.85.

P0.8561 (X<49) = P0.8561 (X≤48) = P0.8561 (X=0) + P0.8561 (X=1) + P0.8561 (X=2) +... + P0.8561 (X=48) = 0.1173946925064 ≈ 0.1174
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.85,48))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 91 Versuchen mehr als 67 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.85.

...
65
66
67
68
69
70
...

P0.8591 (X>67) = P0.8591 (X≥68) = 1 - P0.8591 (X≤67) = 0.9966
(TI-Befehl: 1-binomcdf(91,0.85,67))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 mal, aber weniger als 15 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= 1 6 .

P 1 6 61 (6≤X≤14) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 61 (X≤14) - P 1 6 61 (X≤5) ≈ 0.9268 - 0.046 ≈ 0.8808
(TI-Befehl: binomcdf(61, 1 6 ,14) - binomcdf(61, 1 6 ,5))