Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,4$ ⋅0,6⋅ $0,4$ = $0,6 \cdot {0,4}^{2}$ ≈ 0.096 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{5! ⋅ (11 - 5)!}$ = $\frac{11!}{5! ⋅ 6!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{11⋅2⋅9⋅8⋅7}{4⋅3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{11⋅2⋅9⋅2⋅7}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅2⋅3⋅2⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅3⋅2⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 462

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25⋅24⋅23 = 13800 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 13800 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{13800}{6}$ = 2300 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 22! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

2300 = $\frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{25!}{3! ⋅ 22!}$ = $(\begin{matrix} 25 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19, die 22 und die 23 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 19, die 22 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 19, der 22 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 19, der 22 und der 23) zu setzen, also $(\begin{matrix} 37 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{37!}{4! ⋅ 33!}$ = $\frac{37⋅36⋅35⋅34}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 66045.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{66045}{18643560}$ ≈ 0.0035, also ca. 0.35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{64} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 64 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{13} \cdot {(\frac{7}{8})}^{51}

=0.026347074873029≈ 0.0263
(TI-Befehl: binompdf(64,1/8,13))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33
6	≈ 0.21	≈ 0.33 + 0.21 = 0.54

Während P(X ≤ 5) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.54 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 61%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 78 Versuchen weniger als 50 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.61.

P_{0.61}^{78} (X < 50)

=

P_{0.61}^{78} (X \leq 49)

=

P_{0.61}^{78} (X = 0)

+

P_{0.61}^{78} (X = 1)

+

P_{0.61}^{78} (X = 2)

+... +

P_{0.61}^{78} (X = 49)

= 0.66946245752224 ≈ 0.6695
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.61,49))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 74 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{74} (X > 8)

=

P_{\frac{1}{6}}^{74} (X \geq 9)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{74} (X \leq 8)

= 0.8879
(TI-Befehl: 1-binomcdf(74, $\frac{1}{6}$ ,8))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 97 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 47, aber höchstens 57 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.55.

$P_{0.55}^{97} (47 \leq X \leq 57)$ =

...

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.55}^{97} (X \leq 57)

-

P_{0.55}^{97} (X \leq 46)

≈ 0.8012 - 0.0814 ≈ 0.7198
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.55,57) - binomcdf(97,0.55,46))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k