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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Wurf eine "6" ist, außer beim dritten Versuch.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{3}$ ≈ 0.0039 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{1! ⋅ (40 - 1)!}$ = $\frac{40!}{1! ⋅ 39!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
39! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{40}{1}$

= 40

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17⋅16 = 4896 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 4896 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{4896}{6}$ = 816 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{18\cdot17\cdot16}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

816 = $\frac{18\cdot17\cdot16}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{18!}{3! ⋅ 15!}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 27 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{6! ⋅ 34!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 27 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 27 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 27) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{5! ⋅ 34!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 575757.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{575757}{3838380}$ ≈ 0.15, also ca. 15%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 36 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 22 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.7.

P_{0.7}^{36} (X = 22)

=

(\begin{matrix} 36 \\ 22 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{22} \cdot {0.3}^{14}

=0.070992856502325≈ 0.071
(TI-Befehl: binompdf(36,0.7,22))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3	≈ 0.26	≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
4	≈ 0.19	≈ 0.65 + 0.19 = 0.84

Während P(X ≤ 3) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 23 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P_{0.5}^{41} (X < 23)

=

P_{0.5}^{41} (X \leq 22)

=

P_{0.5}^{41} (X = 0)

+

P_{0.5}^{41} (X = 1)

+

P_{0.5}^{41} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{41} (X = 22)

= 0.73364537238194 ≈ 0.7336
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.5,22))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X \geq 8)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X \leq 7)

= 0.8986
(TI-Befehl: 1-binomcdf(68, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 42 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 29, aber höchstens 32 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.65.

$P_{0.65}^{42} (29 \leq X \leq 32)$ =

...

26

27

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.65}^{42} (X \leq 32)

-

P_{0.65}^{42} (X \leq 28)

≈ 0.9575 - 0.6456 ≈ 0.3119
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.65,32) - binomcdf(42,0.65,28))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k