Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,2 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${0,2}^{4}$ ≈ 0.0016 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{5! ⋅ (9 - 5)!}$ = $\frac{9!}{5! ⋅ 4!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{9⋅2⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{3⋅2⋅7⋅6}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅7⋅6}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30}{2}$ = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5}{2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 34 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{8! ⋅ 27!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 34 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 34 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 34) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{7! ⋅ 27!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 5379616.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{5379616}{23535820}$ ≈ 0.2286, also ca. 22.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 56 Versuchen genau 9 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.25.

P_{0.25}^{56} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 56 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{9} \cdot {0.75}^{47}

=0.038795165774433≈ 0.0388
(TI-Befehl: binompdf(56,0.25,9))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.8.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25

Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.25 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.92 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 41 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,15.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 10 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.15.

P_{0.15}^{41} (X \leq 10)

=

P_{0.15}^{41} (X = 0)

+

P_{0.15}^{41} (X = 1)

+

P_{0.15}^{41} (X = 2)

+... +

P_{0.15}^{41} (X = 10)

= 0.9644842634019 ≈ 0.9645
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.15,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 67 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 32 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.5.

...

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.5}^{67} (X > 32)

=

P_{0.5}^{67} (X \geq 33)

= 1 -

P_{0.5}^{67} (X \leq 32)

= 0.5964
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.5,32))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 54 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 mal, aber weniger als 13 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{54} (10 \leq X \leq 12)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X \leq 12)

-

P_{\frac{1}{6}}^{54} (X \leq 9)

≈ 0.896 - 0.5878 ≈ 0.3082
(TI-Befehl: binomcdf(54, $\frac{1}{6}$ ,12) - binomcdf(54, $\frac{1}{6}$ ,9))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k