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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = 0,65. Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,65⋅0,35⋅0,35⋅0,35 = 0,65 · 0,35 3 ≈ 0.0279 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 20 1 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 20 1 ) = 20! 1! ⋅ (20 - 1)! = 20! 1! ⋅ 19! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 1 ⋅ 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
19! = 19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 20 1 ) = 20 1

= 20

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 90 2 = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9 2⋅1 könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = 10⋅9 2⋅1 = 10⋅9 ⋅8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2⋅1 ⋅8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 2! ⋅ 8! = ( 10 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9, die 25 und die 27 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 35 7 ) = 35! 7! ⋅ 28! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 9, die 25 und die 27 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 9, der 25 und der 27 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 9, der 25 und der 27) zu setzen, also ( 32 4 ) = 32! 4! ⋅ 28! = 32⋅31⋅30⋅29 4⋅3⋅2⋅1 = 35960.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 35960 6724520 ≈ 0.0053, also ca. 0.53%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 27-mal gewürfelt. Es werden hierbei 4 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 4 6er bei 27 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p= 1 6 .

P 1 6 27 (X=4) = ( 27 4 ) ⋅ ( 1 6 )4 ⋅ ( 5 6 )23 =0.20441062220272≈ 0.2044
(TI-Befehl: binompdf(27,1/6,4))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0≈ 0 + 0 = 0
2≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
3≈ 0.07≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4≈ 0.14≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5≈ 0.2≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6≈ 0.22≈ 0.43 + 0.22 = 0.65
7≈ 0.18≈ 0.65 + 0.18 = 0.83
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 6) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.83 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p= 1 6 .

P 1 6 51 (X≤4) = P 1 6 51 (X=0) + P 1 6 51 (X=1) + P 1 6 51 (X=2) +... + P 1 6 51 (X=4) = 0.057564993908183 ≈ 0.0576
(TI-Befehl: binomcdf(51,1/6,4))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 36 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.125.

...
2
3
4
5
6
7
...

P0.12536 (X≥5) = 1 - P0.12536 (X≤4) = 0.4742
(TI-Befehl: 1-binomcdf(36,0.125,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 23 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= 1 6 .

P 1 6 85 (11≤X≤22) =

...
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...

P 1 6 85 (X≤22) - P 1 6 85 (X≤10) ≈ 0.9894 - 0.1414 ≈ 0.848
(TI-Befehl: binomcdf(85, 1 6 ,22) - binomcdf(85, 1 6 ,10))