Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der ersten in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,7$ ⋅0,3⋅0,3 = $0,7 \cdot {0,3}^{2}$ ≈ 0.063 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{1! ⋅ (5 - 1)!}$ = $\frac{5!}{1! ⋅ 4!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{5}{1}$

= 5

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6 = 42 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 42 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{42}{2}$ = 21 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{7\cdot6}{2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

21 = $\frac{7\cdot6}{2\cdot1}$ = $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{7!}{2! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 3 und die 7 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{5! ⋅ 15!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 3 und die 7 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 3 und der 7 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 3 und der 7) zu setzen, also $(\begin{matrix} 18 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{18!}{3! ⋅ 15!}$ = $\frac{18⋅17⋅16}{3⋅2⋅1}$ = 816.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{816}{15504}$ ≈ 0.0526, also ca. 5.26%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 97 Versuchen genau 59 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.6.

P_{0.6}^{97} (X = 59)

=

(\begin{matrix} 97 \\ 59 \end{matrix}) \cdot {0.6}^{59} \cdot {0.4}^{38}

=0.081620971316433≈ 0.0816
(TI-Befehl: binompdf(97,0.6,59))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 29 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,25.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 10 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.25.

P_{0.25}^{29} (X \leq 10)

=

P_{0.25}^{29} (X = 0)

+

P_{0.25}^{29} (X = 1)

+

P_{0.25}^{29} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{29} (X = 10)

= 0.91446415294241 ≈ 0.9145
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.25,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,93. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 65 Versuchen mehr als 63 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.93.

...

61

62

63

64

P_{0.93}^{65} (X > 63)

=

P_{0.93}^{65} (X \geq 64)

= 1 -

P_{0.93}^{65} (X \leq 63)

= 0.0527
(TI-Befehl: 1-binomcdf(65,0.93,63))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 82 Versuchen, mehr als 54 mal und höchstens 66 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.7.

$P_{0.7}^{82} (55 \leq X \leq 66)$ =

...

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

...

P_{0.7}^{82} (X \leq 66)

-

P_{0.7}^{82} (X \leq 54)

≈ 0.9885 - 0.2398 ≈ 0.7487
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.7,66) - binomcdf(82,0.7,54))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k