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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim vierten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,4$ ≈ 0.4 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{2! ⋅ (5 - 2)!}$ = $\frac{5!}{2! ⋅ 3!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{5⋅4}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅2}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6 = 42 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 42 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{42}{2}$ = 21 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{7\cdot6}{2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

21 = $\frac{7\cdot6}{2\cdot1}$ = $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{7!}{2! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 12 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{8! ⋅ 22!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 12 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 12 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 12) zu setzen, also $(\begin{matrix} 29 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{29!}{7! ⋅ 22!}$ = $\frac{29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1560780.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1560780}{5852925}$ ≈ 0.2667, also ca. 26.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 32 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{32} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 32 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{8} \cdot {(\frac{5}{6})}^{24}

=0.078774498182548≈ 0.0788
(TI-Befehl: binompdf(32,1/6,8))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.04	≈ 0 + 0.04 = 0.04
1	≈ 0.15	≈ 0.04 + 0.15 = 0.19
2	≈ 0.26	≈ 0.19 + 0.26 = 0.45

Während P(X ≤ 1) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.45 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 63 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{63} (X \leq 10)

=

P_{\frac{1}{8}}^{63} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{63} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{63} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{63} (X = 10)

= 0.84213461939381 ≈ 0.8421
(TI-Befehl: binomcdf(63,1/8,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,91. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 55 Versuchen mehr als 47 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.91.

...

45

46

47

48

49

50

...

P_{0.91}^{55} (X > 47)

=

P_{0.91}^{55} (X \geq 48)

= 1 -

P_{0.91}^{55} (X \leq 47)

= 0.8819
(TI-Befehl: 1-binomcdf(55,0.91,47))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 42 und höchstens 45 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.65.

$P_{0.65}^{62} (42 \leq X \leq 45)$ =

...

39

40

41

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.65}^{62} (X \leq 45)

-

P_{0.65}^{62} (X \leq 41)

≈ 0.9192 - 0.6206 ≈ 0.2986
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.65,45) - binomcdf(62,0.65,41))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k