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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,15, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,15 = $0,85$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,15 \cdot {0,85}^{3}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4 \cdot 0,15 \cdot {0,85}^{3}$ ≈ 0.3685 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{3! ⋅ (7 - 3)!}$ = $\frac{7!}{3! ⋅ 4!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{7⋅2⋅5}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{7⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 35

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 11 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10 = 110 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 110 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{110}{2}$ = 55 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{11\cdot10}{2\cdot1}$ könnte man mit 9! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

55 = $\frac{11\cdot10}{2\cdot1}$ = $\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{11!}{2! ⋅ 9!}$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 3, die 22 und die 29 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{7! ⋅ 23!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 3, die 22 und die 29 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 3, der 22 und der 29 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 3, der 22 und der 29) zu setzen, also $(\begin{matrix} 27 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{27!}{4! ⋅ 23!}$ = $\frac{27⋅26⋅25⋅24}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 17550.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{17550}{2035800}$ ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{41} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{35}

=0.16315961284471≈ 0.1632
(TI-Befehl: binompdf(41,1/6,6))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 12)

=

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X = 12)

= 0.55540648181316 ≈ 0.5554
(TI-Befehl: binomcdf(73,1/6,12))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 64 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 10 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.25.

...

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.25}^{64} (X \geq 10)

= 1 -

P_{0.25}^{64} (X \leq 9)

= 0.9748
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.25,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 mal, aber weniger als 15 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{84} (7 \leq X \leq 14)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 6)

≈ 0.5707 - 0.0089 ≈ 0.5618
(TI-Befehl: binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,6))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k