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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im vierten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Da ja der Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 = 1 6 · ( 5 6 ) 4 ≈ 0.0804 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 25 24 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 25 24 ) = 25! 24! ⋅ (25 - 24)! = 25! 24! ⋅ 1! = 25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
24! = 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 25 24 ) = 25 1

= 25

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 720 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 720 120 = 6 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 6⋅5⋅4⋅3⋅2 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 1! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

6 = 6⋅5⋅4⋅3⋅2 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6⋅5⋅4⋅3⋅2 ⋅1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅1 = 6! 5! ⋅ 1! = ( 6 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 33 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 40 7 ) = 40! 7! ⋅ 33! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 33 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 33 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 33) zu setzen, also ( 39 6 ) = 39! 6! ⋅ 33! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 3262623.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 3262623 18643560 ≈ 0.175, also ca. 17.5%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 57 Versuchen genau 55 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.95.

P0.9557 (X=55) = ( 57 55 ) ⋅ 0.9555 ⋅ 0.052 =0.23755883487106≈ 0.2376
(TI-Befehl: binompdf(57,0.95,55))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0≈ 0 + 0 = 0
2≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
3≈ 0.07≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4≈ 0.14≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5≈ 0.2≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 37 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p= 1 8 .

P 1 8 37 (X≤8) = P 1 8 37 (X=0) + P 1 8 37 (X=1) + P 1 8 37 (X=2) +... + P 1 8 37 (X=8) = 0.96474813728379 ≈ 0.9647
(TI-Befehl: binomcdf(37,1/8,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 65 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 15 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p= 1 6 .

...
12
13
14
15
16
17
...

P 1 6 65 (X≥15) = 1 - P 1 6 65 (X≤14) = 0.1137
(TI-Befehl: 1-binomcdf(65, 1 6 ,14))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 17 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p= 1 6 .

P 1 6 75 (9≤X≤16) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P 1 6 75 (X≤16) - P 1 6 75 (X≤8) ≈ 0.8898 - 0.1032 ≈ 0.7866
(TI-Befehl: binomcdf(75, 1 6 ,16) - binomcdf(75, 1 6 ,8))