Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im vierten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Da ja der Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{4}$ ≈ 0.0804 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{2! ⋅ (10 - 2)!}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅9}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 45

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 und die 15 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{7! ⋅ 18!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 11 und die 15 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 11 und der 15 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 11 und der 15) zu setzen, also $(\begin{matrix} 23 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{23!}{5! ⋅ 18!}$ = $\frac{23⋅22⋅21⋅20⋅19}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 33649.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{33649}{480700}$ ≈ 0.07, also ca. 7%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 42 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 26 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.7.

P_{0.7}^{42} (X = 26)

=

(\begin{matrix} 42 \\ 26 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{26} \cdot {0.3}^{16}

=0.067286619625223≈ 0.0673
(TI-Befehl: binompdf(42,0.7,26))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2	≈ 0.28	≈ 0.25 + 0.28 = 0.53
3	≈ 0.25	≈ 0.53 + 0.25 = 0.78

Während P(X ≤ 2) = 0.53 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.78 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 54 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,1.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 0 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.1.

P_{0.1}^{54} (X \leq 0)

=

P_{0.1}^{54} (X = 0)

= 0.0033813919135227 ≈ 0.0034
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.1,0))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen mehr als 37 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.6.

...

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.6}^{59} (X > 37)

=

P_{0.6}^{59} (X \geq 38)

= 1 -

P_{0.6}^{59} (X \leq 37)

= 0.2907
(TI-Befehl: 1-binomcdf(59,0.6,37))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 81% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 51 Versuchen mindestens 40 und weniger als 45 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.81.

$P_{0.81}^{51} (40 \leq X \leq 44)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

...

P_{0.81}^{51} (X \leq 44)

-

P_{0.81}^{51} (X \leq 39)

≈ 0.8757 - 0.2523 ≈ 0.6234
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.81,44) - binomcdf(51,0.81,39))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k