Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{5! ⋅ (8 - 5)!}$ = $\frac{8!}{5! ⋅ 3!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{8⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{8⋅7⋅2}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{8⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 56

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 11 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 3 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 9 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10⋅9 = 990 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 990 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{990}{6}$ = 165 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

165 = $\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{11!}{3! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 18, die 27 und die 29 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 18, die 27 und die 29 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 18, der 27 und der 29 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 18, der 27 und der 29) zu setzen, also $(\begin{matrix} 37 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{37!}{4! ⋅ 33!}$ = $\frac{37⋅36⋅35⋅34}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 66045.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{66045}{18643560}$ ≈ 0.0035, also ca. 0.35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 21 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.7.

P_{0.7}^{21} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 21 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{15} \cdot {0.3}^{6}

=0.18780620309837≈ 0.1878
(TI-Befehl: binompdf(21,0.7,15))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33

Während P(X ≤ 4) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.33 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 70 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,95. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 66 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.95.

P_{0.95}^{70} (X < 66)

=

P_{0.95}^{70} (X \leq 65)

=

P_{0.95}^{70} (X = 0)

+

P_{0.95}^{70} (X = 1)

+

P_{0.95}^{70} (X = 2)

+... +

P_{0.95}^{70} (X = 65)

= 0.27205586660894 ≈ 0.2721
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.95,65))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,93. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 95 Versuchen mehr als 84 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.93.

...

82

83

84

85

86

87

...

P_{0.93}^{95} (X > 84)

=

P_{0.93}^{95} (X \geq 85)

= 1 -

P_{0.93}^{95} (X \leq 84)

= 0.9317
(TI-Befehl: 1-binomcdf(95,0.93,84))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 98 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 61 und höchstens 70 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.65.

$P_{0.65}^{98} (61 \leq X \leq 70)$ =

...

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

...

P_{0.65}^{98} (X \leq 70)

-

P_{0.65}^{98} (X \leq 60)

≈ 0.927 - 0.2472 ≈ 0.6798
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.65,70) - binomcdf(98,0.65,60))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k