Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,3 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${0,3}^{5}$ ≈ 0.0024 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{4! ⋅ (6 - 4)!}$ = $\frac{6!}{4! ⋅ 2!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5}{2⋅1}$

= $\frac{3⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 7, die 17 und die 19 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{6! ⋅ 14!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 7, die 17 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 7, der 17 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 7, der 17 und der 19) zu setzen, also $(\begin{matrix} 17 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{17!}{3! ⋅ 14!}$ = $\frac{17⋅16⋅15}{3⋅2⋅1}$ = 680.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{680}{38760}$ ≈ 0.0175, also ca. 1.75%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 67 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{67} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 67 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{10} \cdot {(\frac{7}{8})}^{57}

=0.11428823292544≈ 0.1143
(TI-Befehl: binompdf(67,1/8,10))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.55.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6	≈ 0.22	≈ 0.43 + 0.22 = 0.65

Während P(X ≤ 5) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 4 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 55 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{55} (X \leq 4)

=

P_{\frac{1}{8}}^{55} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{55} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{55} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{55} (X = 4)

= 0.16655306606305 ≈ 0.1666
(TI-Befehl: binomcdf(55,1/8,4))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X > 11)

=

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \geq 12)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \leq 11)

= 0.0523
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44, $\frac{1}{6}$ ,11))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 und höchstens 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 77 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p=0.125.

$P_{0.125}^{77} (8 \leq X \leq 14)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.125}^{77} (X \leq 14)

-

P_{0.125}^{77} (X \leq 7)

≈ 0.9473 - 0.2383 ≈ 0.709
(TI-Befehl: binomcdf(77,0.125,14) - binomcdf(77,0.125,7))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k