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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 0,4 ≈ 0.4 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 21 20 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 21 20 ) = 21! 20! ⋅ (21 - 20)! = 21! 20! ⋅ 1! = 21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
20! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 21 20 ) = 21 1

= 21

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 5 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28 = 24165120 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 5 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 24165120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 24165120 120 = 201376 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30⋅29⋅28 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 27! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

201376 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30⋅29⋅28 ⋅27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 5! ⋅ 27! = ( 32 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 20, die 21 und die 23 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 25 8 ) = 25! 8! ⋅ 17! = 25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 1081575 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 20, die 21 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 20, der 21 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 22 Zahlen (alle außer der 20, der 21 und der 23) zu setzen, also ( 22 5 ) = 22! 5! ⋅ 17! = 22⋅21⋅20⋅19⋅18 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 26334.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 26334 1081575 ≈ 0.0243, also ca. 2.43%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 35 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= 1 8 .

P 1 8 35 (X=5) = ( 35 5 ) ⋅ ( 1 8 )5 ⋅ ( 7 8 )30 =0.1803777573827≈ 0.1804
(TI-Befehl: binompdf(35,1/8,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.28 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 1 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 39 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p= 1 8 .

P 1 8 39 (X≤1) = P 1 8 39 (X=0) + P 1 8 39 (X=1) = 0.035972768226497 ≈ 0.036
(TI-Befehl: binomcdf(39,1/8,1))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 39 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p= 1 6 .

...
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 39 (X>9) = P 1 6 39 (X≥10) = 1 - P 1 6 39 (X≤9) = 0.1027
(TI-Befehl: 1-binomcdf(39, 1 6 ,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 84% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 34 und weniger als 39 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.84.

P0.8440 (34≤X≤38) =

...
31
32
33
34
35
36
37
38
39

P0.8440 (X≤38) - P0.8440 (X≤33) ≈ 0.9919 - 0.4631 ≈ 0.5288
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.84,38) - binomcdf(40,0.84,33))