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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der ersten in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,4$ ⋅0,6⋅0,6 = $0,4 \cdot {0,6}^{2}$ ≈ 0.144 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{7! ⋅ (8 - 7)!}$ = $\frac{8!}{7! ⋅ 1!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{8}{1}$

= 8

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{90}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6 und die 15 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{7! ⋅ 28!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 6 und die 15 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 6 und der 15 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 6 und der 15) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{5! ⋅ 28!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30⋅29}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 237336.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{237336}{6724520}$ ≈ 0.0353, also ca. 3.53%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 48 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 31 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.7.

P_{0.7}^{48} (X = 31)

=

(\begin{matrix} 48 \\ 31 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{31} \cdot {0.3}^{17}

=0.086480675825821≈ 0.0865
(TI-Befehl: binompdf(48,0.7,31))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.6.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25
3	≈ 0.24	≈ 0.25 + 0.24 = 0.49
4	≈ 0.23	≈ 0.49 + 0.23 = 0.72

Während P(X ≤ 3) = 0.49 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.72 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \leq 4)

=

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X = 4)

= 0.020192124054822 ≈ 0.0202
(TI-Befehl: binomcdf(60,1/6,4))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 18 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.21.

...

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.21}^{70} (X \geq 18)

= 1 -

P_{0.21}^{70} (X \leq 17)

= 0.2029
(TI-Befehl: 1-binomcdf(70,0.21,17))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen, mehr als 23 mal und höchstens 29 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.3.

$P_{0.3}^{80} (24 \leq X \leq 29)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

...

P_{0.3}^{80} (X \leq 29)

-

P_{0.3}^{80} (X \leq 23)

≈ 0.9084 - 0.4579 ≈ 0.4505
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.3,29) - binomcdf(80,0.3,23))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k