Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Nicht-Treffer bei 4 Versuchen P = ${(\frac{5}{6})}^{4}$ ≈ 0.4823 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{5! ⋅ (10 - 5)!}$ = $\frac{10!}{5! ⋅ 5!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{2⋅9⋅8⋅7⋅6}{4⋅3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{2⋅9⋅2⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{2⋅3⋅2⋅7⋅6}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅2⋅7⋅6}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 252

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1680}{24}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{4! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 32 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{8! ⋅ 32!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 32 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 32 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 32) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{7! ⋅ 32!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15380937.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{15380937}{76904685}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 22 Versuchen genau 3 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.15.

P_{0.15}^{22} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 22 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{3} \cdot {0.85}^{19}

=0.23700313271972≈ 0.237
(TI-Befehl: binompdf(22,0.15,3))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27
4	≈ 0.24	≈ 0.27 + 0.24 = 0.51
5	≈ 0.23	≈ 0.51 + 0.23 = 0.74
6	≈ 0.16	≈ 0.74 + 0.16 = 0.9

Während P(X ≤ 5) = 0.74 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.9 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 57 Versuchen nicht mehr als 24 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.4.

P_{0.4}^{57} (X \leq 24)

=

P_{0.4}^{57} (X = 0)

+

P_{0.4}^{57} (X = 1)

+

P_{0.4}^{57} (X = 2)

+... +

P_{0.4}^{57} (X = 24)

= 0.67948083085583 ≈ 0.6795
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.4,24))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 1 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= $\frac{1}{6}$ .

0

1

2

3

4

...

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X > 1)

=

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \geq 2)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq 1)

= 0.9865
(TI-Befehl: 1-binomcdf(35, $\frac{1}{6}$ ,1))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 57 Versuchen, mehr als 23 mal und höchstens 26 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.45.

$P_{0.45}^{57} (24 \leq X \leq 26)$ =

...

21

22

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.45}^{57} (X \leq 26)

-

P_{0.45}^{57} (X \leq 23)

≈ 0.591 - 0.2847 ≈ 0.3063
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.45,26) - binomcdf(57,0.45,23))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k