Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,4 = $0,6$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = ${0,6}^{6}$ ≈ 0.0467 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{9! ⋅ (12 - 9)!}$ = $\frac{12!}{9! ⋅ 3!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{4⋅11⋅10}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{2⋅11⋅10}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 220

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{90}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 20 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{4! ⋅ 31!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 52360 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 20 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 20 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 20) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{3! ⋅ 31!}$ = $\frac{34⋅33⋅32}{3⋅2⋅1}$ = 5984.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{5984}{52360}$ ≈ 0.1143, also ca. 11.43%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 27 Versuchen genau 7 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.35.

P_{0.35}^{27} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 27 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{7} \cdot {0.65}^{20}

=0.10355500189522≈ 0.1036
(TI-Befehl: binompdf(27,0.35,7))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.09	≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4	≈ 0.17	≈ 0.13 + 0.17 = 0.3

Während P(X ≤ 3) = 0.13 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.3 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 77 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,75.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 52 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p=0.75.

P_{0.75}^{77} (X \leq 52)

=

P_{0.75}^{77} (X = 0)

+

P_{0.75}^{77} (X = 1)

+

P_{0.75}^{77} (X = 2)

+... +

P_{0.75}^{77} (X = 52)

= 0.086098114160489 ≈ 0.0861
(TI-Befehl: binomcdf(77,0.75,52))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 88 Versuchen mindestens 2 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.05.

0

1

2

3

4

...

P_{0.05}^{88} (X \geq 2)

= 1 -

P_{0.05}^{88} (X \leq 1)

= 0.9383
(TI-Befehl: 1-binomcdf(88,0.05,1))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 66 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 31, aber höchstens 36 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.45.

$P_{0.45}^{66} (31 \leq X \leq 36)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.45}^{66} (X \leq 36)

-

P_{0.45}^{66} (X \leq 30)

≈ 0.9534 - 0.5799 ≈ 0.3735
(TI-Befehl: binomcdf(66,0.45,36) - binomcdf(66,0.45,30))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k