Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{4! ⋅ (10 - 4)!}$ = $\frac{10!}{4! ⋅ 6!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{10⋅9⋅2⋅7}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{10⋅3⋅2⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{10⋅3⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 11 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 11 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 10 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 9 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 11⋅10⋅9⋅8 = 7920 Möglichkeiten, die 11 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 7920 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{7920}{24}$ = 330 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 11 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

330 = $\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{11!}{4! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 9 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{4! ⋅ 36!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 9 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 9 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 9) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{3! ⋅ 36!}$ = $\frac{39⋅38⋅37}{3⋅2⋅1}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{9139}{91390}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 49 Versuchen genau 28 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.65.

P_{0.65}^{49} (X = 28)

=

(\begin{matrix} 49 \\ 28 \end{matrix}) \cdot {0.65}^{28} \cdot {0.35}^{21}

=0.060065217161453≈ 0.0601
(TI-Befehl: binompdf(49,0.65,28))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.6.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.6 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.6 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.6=0.4 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.04	≈ 0 + 0.04 = 0.04
1	≈ 0.15	≈ 0.04 + 0.15 = 0.19
2	≈ 0.26	≈ 0.19 + 0.26 = 0.45

Während P(X ≤ 1) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.45 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.81 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.55 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 34 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=34 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X \leq 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{34} (X = 7)

= 0.80509858070565 ≈ 0.8051
(TI-Befehl: binomcdf(34,1/6,7))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X > 11)

=

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X \geq 12)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X \leq 11)

= 0.1619
(TI-Befehl: 1-binomcdf(53, $\frac{1}{6}$ ,11))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1 und höchstens 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 44 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.125.

$P_{0.125}^{44} (2 \leq X \leq 8)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.125}^{44} (X \leq 8)

-

P_{0.125}^{44} (X \leq 1)

≈ 0.9087 - 0.0205 ≈ 0.8882
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.125,8) - binomcdf(44,0.125,1))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k