Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${\left(\frac{1}{6}\right)}^4$ ≈ 0.0008 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}11\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; (11\; -\; 6)!}}$ = $\frac{\mathrm{11!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 5!}}$ = $\frac{\mathrm{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}11\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{11\cdot 2\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{\mathrm{11\cdot 2\cdot 9\cdot 2\cdot 7}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{\mathrm{11\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 7}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{11\cdot 3\cdot 2\cdot 7}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 462

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8⋅7⋅6 = 3024 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 3024 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{3024}}{\mathrm{24}}$ = 126 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

126 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{<mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 5!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}40\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{40!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 36!}}$ = $\frac{\mathrm{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 91390 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 33 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 33 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 33) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}39\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{39!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 36!}}$ = $\frac{\mathrm{39\cdot 38\cdot 37}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$ = 9139.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{9139}}{\mathrm{91390}}$ ≈ 0.1, also ca. 10%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{99}(X=7)$ = $\left(\begin{array}{c}99\\ 7\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^7\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{92}$=0.0027610528491621≈ 0.0028
(TI-Befehl: binompdf(99,1/6,7))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33
6	≈ 0.21	≈ 0.33 + 0.21 = 0.54
7	≈ 0.2	≈ 0.54 + 0.2 = 0.74

Während P(X ≤ 6) = 0.54 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.65.

$P_{0.65}^{95}(X<61)$ = $P_{0.65}^{95}(X\le 60)$ = $P_{0.65}^{95}(X=0)$ + $P_{0.65}^{95}(X=1)$ + $P_{0.65}^{95}(X=2)$ +... + $P_{0.65}^{95}(X=60)$ = 0.39025074993004 ≈ 0.3903
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.65,60))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=$\frac{1}{6}$.

...

$P_{\frac{1}{6}}^{86}(X\ge 14)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{86}(X\le 13)$ = 0.5832
(TI-Befehl: 1-binomcdf(86,$\frac{1}{6}$,13))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.25.

$P_{0.25}^{42}(12\le X\le 14)$ =

...

$P_{0.25}^{42}(X\le 14)$ - $P_{0.25}^{42}(X\le 11)$ ≈ 0.9195 - 0.6487 ≈ 0.2708
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.25,14) - binomcdf(42,0.25,11))