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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = 0,6. Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,6⋅0,4⋅0,6⋅0,6 = 0,4 · 0,6 3 ≈ 0.0864 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 4 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 4 ) = 10! 4! ⋅ (10 - 4)! = 10! 4! ⋅ 6! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 4 ) = 10⋅9⋅8⋅7 4⋅3⋅2⋅1

= 10⋅9⋅2⋅7 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 10⋅3⋅2⋅7 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 10⋅3⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 3 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6⋅5 = 210 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 210 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 210 6 = 35 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 7⋅6⋅5 3⋅2⋅1 könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35 = 7⋅6⋅5 3⋅2⋅1 = 7⋅6⋅5 ⋅4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7! 3! ⋅ 4! = ( 7 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6, die 10 und die 11 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 7 ) = 20! 7! ⋅ 13! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 6, die 10 und die 11 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 6, der 10 und der 11 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 6, der 10 und der 11) zu setzen, also ( 17 4 ) = 17! 4! ⋅ 13! = 17⋅16⋅15⋅14 4⋅3⋅2⋅1 = 2380.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 2380 77520 ≈ 0.0307, also ca. 3.07%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Versuchen genau 51 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.6.

P0.6100 (X=51) = ( 100 51 ) ⋅ 0.651 ⋅ 0.449 =0.015202222432129≈ 0.0152
(TI-Befehl: binompdf(100,0.6,51))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.13≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2≈ 0.23≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3≈ 0.26≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
4≈ 0.19≈ 0.65 + 0.19 = 0.84
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 29 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,2.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 4 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.2.

P0.229 (X≤4) = P0.229 (X=0) + P0.229 (X=1) + P0.229 (X=2) +... + P0.229 (X=4) = 0.28394645188199 ≈ 0.2839
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.2,4))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p= 1 6 .

...
4
5
6
7
8
9
...

P 1 6 56 (X≥7) = 1 - P 1 6 56 (X≤6) = 0.846
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56, 1 6 ,6))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 65 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 13 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p= 1 6 .

P 1 6 65 (9≤X≤12) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...

P 1 6 65 (X≤12) - P 1 6 65 (X≤8) ≈ 0.7191 - 0.2232 ≈ 0.4959
(TI-Befehl: binomcdf(65, 1 6 ,12) - binomcdf(65, 1 6 ,8))