nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im dritten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Da ja der Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 = 1 6 · ( 5 6 ) 4 ≈ 0.0804 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 2 )

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 2 ) = 10! 2! ⋅ (10 - 2)! = 10! 2! ⋅ 8! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 2 ) = 10⋅9 2⋅1

= 5⋅9 1 (gekürzt mit 2)

= 45

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8⋅7⋅6 = 3024 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 3024 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 3024 24 = 126 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

126 = 9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1 = 9⋅8⋅7⋅6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 9! 4! ⋅ 5! = ( 9 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 4 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt ( 35 5 ) = 35! 5! ⋅ 30! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 4 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 4 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 4) zu setzen, also ( 34 4 ) = 34! 4! ⋅ 30! = 34⋅33⋅32⋅31 4⋅3⋅2⋅1 = 46376.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 46376 324632 ≈ 0.1429, also ca. 14.29%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 92 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 72 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.7.

P0.792 (X=72) = ( 92 72 ) ⋅ 0.772 ⋅ 0.320 =0.02047050173381≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(92,0.7,72))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
1≈ 0.09≈ 0.02 + 0.09 = 0.11
2≈ 0.2≈ 0.11 + 0.2 = 0.31
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.31 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 79 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 16 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p= 1 6 .

P 1 6 79 (X<16) = P 1 6 79 (X≤15) = P 1 6 79 (X=0) + P 1 6 79 (X=1) + P 1 6 79 (X=2) +... + P 1 6 79 (X=15) = 0.76466314115165 ≈ 0.7647
(TI-Befehl: binomcdf(79,1/6,15))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 100 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,95.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 94 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.95.

...
92
93
94
95
96
97
...

P0.95100 (X>94) = P0.95100 (X≥95) = 1 - P0.95100 (X≤94) = 0.616
(TI-Befehl: 1-binomcdf(100,0.95,94))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 74 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 59, aber höchstens 61 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.75.

P0.7574 (59≤X≤61) =

...
56
57
58
59
60
61
62
63
...

P0.7574 (X≤61) - P0.7574 (X≤58) ≈ 0.9511 - 0.7873 ≈ 0.1638
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.75,61) - binomcdf(74,0.75,58))