Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ≈ 0.0008 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{3! ⋅ (7 - 3)!}$ = $\frac{7!}{3! ⋅ 4!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{7⋅2⋅5}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{7⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 35

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6⋅5⋅4 = 840 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 840 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{840}{24}$ = 35 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35 = $\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{7!}{4! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10, die 20 und die 22 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{8! ⋅ 32!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 10, die 20 und die 22 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 10, der 20 und der 22 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 10, der 20 und der 22) zu setzen, also $(\begin{matrix} 37 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{37!}{5! ⋅ 32!}$ = $\frac{37⋅36⋅35⋅34⋅33}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 435897.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{435897}{76904685}$ ≈ 0.0057, also ca. 0.57%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 61 Versuchen genau 19 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.25.

P_{0.25}^{61} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 61 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{19} \cdot {0.75}^{42}

=0.061117428782838≈ 0.0611
(TI-Befehl: binompdf(61,0.25,19))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.08	≈ 0.04 + 0.08 = 0.12
4	≈ 0.15	≈ 0.12 + 0.15 = 0.27
5	≈ 0.21	≈ 0.27 + 0.21 = 0.48
6	≈ 0.21	≈ 0.48 + 0.21 = 0.69
7	≈ 0.16	≈ 0.69 + 0.16 = 0.85

Während P(X ≤ 6) = 0.69 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.85 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 30 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 6 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.25.

P_{0.25}^{30} (X \leq 6)

=

P_{0.25}^{30} (X = 0)

+

P_{0.25}^{30} (X = 1)

+

P_{0.25}^{30} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{30} (X = 6)

= 0.3480542890242 ≈ 0.3481
(TI-Befehl: binomcdf(30,0.25,6))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen mehr als 32 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.35.

...

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.35}^{93} (X > 32)

=

P_{0.35}^{93} (X \geq 33)

= 1 -

P_{0.35}^{93} (X \leq 32)

= 0.5
(TI-Befehl: 1-binomcdf(93,0.35,32))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 79 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 15, aber weniger als 27 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.25.

$P_{0.25}^{79} (15 \leq X \leq 26)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.25}^{79} (X \leq 26)

-

P_{0.25}^{79} (X \leq 14)

≈ 0.957 - 0.0828 ≈ 0.8742
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.25,26) - binomcdf(79,0.25,14))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k