Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der zweiten in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,7, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,7 = $0,3$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,7⋅ $0,3$ ⋅0,7 = $0,3 \cdot {0,7}^{2}$ ≈ 0.147 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{0! ⋅ (7 - 0)!}$ = $\frac{7!}{0! ⋅ 7!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 4 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 4er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7 = 5040 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{5040}{24}$ = 210 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

210 = $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{4! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 8, die 22 und die 23 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{6! ⋅ 19!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 177100 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 8, die 22 und die 23 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 8, der 22 und der 23 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 22 Zahlen (alle außer der 8, der 22 und der 23) zu setzen, also $(\begin{matrix} 22 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{22!}{3! ⋅ 19!}$ = $\frac{22⋅21⋅20}{3⋅2⋅1}$ = 1540.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1540}{177100}$ ≈ 0.0087, also ca. 0.87%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 30 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 5 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{30} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{25}

=0.10472847465748≈ 0.1047
(TI-Befehl: binompdf(30,1/4,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3	≈ 0.26	≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
4	≈ 0.19	≈ 0.65 + 0.19 = 0.84

Während P(X ≤ 3) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 60 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,75. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 50 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.75.

P_{0.75}^{60} (X < 50)

=

P_{0.75}^{60} (X \leq 49)

=

P_{0.75}^{60} (X = 0)

+

P_{0.75}^{60} (X = 1)

+

P_{0.75}^{60} (X = 2)

+... +

P_{0.75}^{60} (X = 49)

= 0.91411322817866 ≈ 0.9141
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.75,49))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 27 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 16 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.55.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.55}^{27} (X > 16)

=

P_{0.55}^{27} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.55}^{27} (X \leq 16)

= 0.2633
(TI-Befehl: 1-binomcdf(27,0.55,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 88% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 49 Versuchen mindestens 39 und weniger als 44 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.88.

$P_{0.88}^{49} (39 \leq X \leq 43)$ =

...

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

...

P_{0.88}^{49} (X \leq 43)

-

P_{0.88}^{49} (X \leq 38)

≈ 0.5441 - 0.0283 ≈ 0.5158
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.88,43) - binomcdf(49,0.88,38))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k