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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 = 1 6 · ( 5 6 ) 2 ≈ 0.1157 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 6 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 6 ) = 10! 6! ⋅ (10 - 6)! = 10! 6! ⋅ 4! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 6 ) = 10⋅9⋅8⋅7 4⋅3⋅2⋅1

= 10⋅9⋅2⋅7 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 10⋅3⋅2⋅7 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 10⋅3⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 24-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 24 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 23 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 22 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 24⋅23⋅22⋅21⋅20 = 5100480 Möglichkeiten, die 24 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5100480 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 5100480 120 = 42504 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 24 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 24⋅23⋅22⋅21⋅20 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 19! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

42504 = 24⋅23⋅22⋅21⋅20 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 24⋅23⋅22⋅21⋅20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24! 5! ⋅ 19! = ( 24 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 7 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 20 4 ) = 20! 4! ⋅ 16! = 20⋅19⋅18⋅17 4⋅3⋅2⋅1 = 4845 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 7 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 7 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 7) zu setzen, also ( 19 3 ) = 19! 3! ⋅ 16! = 19⋅18⋅17 3⋅2⋅1 = 969.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 969 4845 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 20 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P0.541 (X=20) = ( 41 20 ) ⋅ 0.520 ⋅ 0.521 =0.12238567124768≈ 0.1224
(TI-Befehl: binompdf(41,0.5,20))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.21≈ 0.22 + 0.21 = 0.43
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Fortbildungsteilnehmer ermüdet mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. An einer Fortbildung nehmen 48 Personen teil. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 33 Personen ermüden?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der ermüdeten Personen an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.6.

P0.648 (X≤33) = P0.648 (X=0) + P0.648 (X=1) + P0.648 (X=2) +... + P0.648 (X=33) = 0.91874286606517 ≈ 0.9187
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.6,33))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= 1 6 .

...
1
2
3
4
5
6
...

P 1 6 44 (X>3) = P 1 6 44 (X≥4) = 1 - P 1 6 44 (X≤3) = 0.9496
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44, 1 6 ,3))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 93% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 61 Versuchen mindestens 59 und weniger als 62 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.93.

P0.9361 (X≥59) =

...
56
57
58
59
60
61

P0.9361 (X≤61) - P0.9361 (X≤58) ≈ 1 - 0.8092 ≈ 0.1908
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.93,61) - binomcdf(61,0.93,58))