Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf keine "6" gewürfelt wird.

Lösung einblenden

Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{3! ⋅ (10 - 3)!}$ = $\frac{10!}{3! ⋅ 7!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{10⋅3⋅8}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{5⋅3⋅8}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4 = 120 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{120}{6}$ = 20 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

20 = $\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{3! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 24 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{5! ⋅ 20!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 24 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 24 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 24) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{4! ⋅ 20!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{10626}{53130}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 54 Versuchen genau 31 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.6.

P_{0.6}^{54} (X = 31)

=

(\begin{matrix} 54 \\ 31 \end{matrix}) \cdot {0.6}^{31} \cdot {0.4}^{23}

=0.10136088337991≈ 0.1014
(TI-Befehl: binompdf(54,0.6,31))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.09	≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4	≈ 0.17	≈ 0.13 + 0.17 = 0.3
5	≈ 0.22	≈ 0.3 + 0.22 = 0.52

Während P(X ≤ 4) = 0.3 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.52 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 34 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.5.

P_{0.5}^{61} (X < 34)

=

P_{0.5}^{61} (X \leq 33)

=

P_{0.5}^{61} (X = 0)

+

P_{0.5}^{61} (X = 1)

+

P_{0.5}^{61} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{61} (X = 33)

= 0.77868699752676 ≈ 0.7787
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.5,33))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,24 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 14 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.24.

...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.24}^{61} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.24}^{61} (X \leq 13)

= 0.6247
(TI-Befehl: 1-binomcdf(61,0.24,13))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 89% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 90 Versuchen mindestens 79 und weniger als 83 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.89.

$P_{0.89}^{90} (79 \leq X \leq 82)$ =

...

76

77

78

79

80

81

82

83

84

...

P_{0.89}^{90} (X \leq 82)

-

P_{0.89}^{90} (X \leq 78)

≈ 0.7863 - 0.2844 ≈ 0.5019
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.89,82) - binomcdf(90,0.89,78))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k