Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der dritten in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,6⋅0,6⋅ $0,4$ ⋅0,6⋅0,6⋅0,6 = $0,4 \cdot {0,6}^{5}$ ≈ 0.0311 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{2! ⋅ (7 - 2)!}$ = $\frac{7!}{2! ⋅ 5!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6}{2⋅1}$

= $\frac{7⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 21

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1, die 2 und die 27 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{6! ⋅ 24!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 1, die 2 und die 27 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 1, der 2 und der 27 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 1, der 2 und der 27) zu setzen, also $(\begin{matrix} 27 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{27!}{3! ⋅ 24!}$ = $\frac{27⋅26⋅25}{3⋅2⋅1}$ = 2925.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{2925}{593775}$ ≈ 0.0049, also ca. 0.49%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen genau 62 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.75.

P_{0.75}^{78} (X = 62)

=

(\begin{matrix} 78 \\ 62 \end{matrix}) \cdot {0.75}^{62} \cdot {0.25}^{16}

=0.07183451196709≈ 0.0718
(TI-Befehl: binompdf(78,0.75,62))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.23	≈ 0.2 + 0.23 = 0.43
4	≈ 0.24	≈ 0.43 + 0.24 = 0.67

Während P(X ≤ 3) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.67 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.57 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.33 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 43%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 58 Versuchen weniger als 28 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.43.

P_{0.43}^{58} (X < 28)

=

P_{0.43}^{58} (X \leq 27)

=

P_{0.43}^{58} (X = 0)

+

P_{0.43}^{58} (X = 1)

+

P_{0.43}^{58} (X = 2)

+... +

P_{0.43}^{58} (X = 27)

= 0.75232171366381 ≈ 0.7523
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.43,27))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 57 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 28 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.45.

...

26

27

28

29

30

31

...

P_{0.45}^{57} (X > 28)

=

P_{0.45}^{57} (X \geq 29)

= 1 -

P_{0.45}^{57} (X \leq 28)

= 0.2236
(TI-Befehl: 1-binomcdf(57,0.45,28))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 78 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 65 und höchstens 66 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.75.

$P_{0.75}^{78} (65 \leq X \leq 66)$ =

...

62

63

64

65

66

67

68

...

P_{0.75}^{78} (X \leq 66)

-

P_{0.75}^{78} (X \leq 64)

≈ 0.9857 - 0.9461 ≈ 0.0396
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.75,66) - binomcdf(78,0.75,64))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

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kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k