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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 6 ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 6 2 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 6 2 ) = 6! 2! ⋅ (6 - 2)! = 6! 2! ⋅ 4! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 6 2 ) = 6⋅5 2⋅1

= 3⋅5 1 (gekürzt mit 2)

= 15

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 3 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 29760 6 = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 3! ⋅ 29! = ( 32 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2, die 6 und die 9 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 8 ) = 20! 8! ⋅ 12! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 2, die 6 und die 9 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 2, der 6 und der 9 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 2, der 6 und der 9) zu setzen, also ( 17 5 ) = 17! 5! ⋅ 12! = 17⋅16⋅15⋅14⋅13 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6188.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 6188 125970 ≈ 0.0491, also ca. 4.91%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 61 Versuchen genau 54 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.95.

P0.9561 (X=54) = ( 61 54 ) ⋅ 0.9554 ⋅ 0.057 =0.021360963713785≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(61,0.95,54))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.2≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.22 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 95 Versuchen höchstens 73 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.8.

P0.895 (X≤73) = P0.895 (X=0) + P0.895 (X=1) + P0.895 (X=2) +... + P0.895 (X=73) = 0.25585443715089 ≈ 0.2559
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.8,73))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,16 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 13 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.16.

...
10
11
12
13
14
15
...

P0.1661 (X≥13) = 1 - P0.1661 (X≤12) = 0.168
(TI-Befehl: 1-binomcdf(61,0.16,12))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 93 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 20 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p= 1 6 .

P 1 6 93 (9≤X≤19) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P 1 6 93 (X≤19) - P 1 6 93 (X≤8) ≈ 0.866 - 0.0196 ≈ 0.8464
(TI-Befehl: binomcdf(93, 1 6 ,19) - binomcdf(93, 1 6 ,8))