Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips defekt sind.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) p = 0,2 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Treffer bei 6 Versuchen P = ${0,2}^{6}$ ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{1! ⋅ (11 - 1)!}$ = $\frac{11!}{1! ⋅ 10!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{11}{1}$

= 11

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 4 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 4er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1680}{24}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{4! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 15, die 19 und die 20 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{7! ⋅ 23!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 15, die 19 und die 20 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 15, der 19 und der 20 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 27 Zahlen (alle außer der 15, der 19 und der 20) zu setzen, also $(\begin{matrix} 27 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{27!}{4! ⋅ 23!}$ = $\frac{27⋅26⋅25⋅24}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 17550.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{17550}{2035800}$ ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 12 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.5.

P_{0.5}^{24} (X = 12)

=

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{12} \cdot {0.5}^{12}

=0.16118025779724≈ 0.1612
(TI-Befehl: binompdf(24,0.5,12))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3	≈ 0.26	≈ 0.39 + 0.26 = 0.65
4	≈ 0.19	≈ 0.65 + 0.19 = 0.84

Während P(X ≤ 3) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.84 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 72 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,1.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 10 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.1.

P_{0.1}^{72} (X \leq 10)

=

P_{0.1}^{72} (X = 0)

+

P_{0.1}^{72} (X = 1)

+

P_{0.1}^{72} (X = 2)

+... +

P_{0.1}^{72} (X = 10)

= 0.89813439427053 ≈ 0.8981
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.1,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen mehr als 58 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.6.

...

56

57

58

59

60

61

...

P_{0.6}^{87} (X > 58)

=

P_{0.6}^{87} (X \geq 59)

= 1 -

P_{0.6}^{87} (X \leq 58)

= 0.0827
(TI-Befehl: 1-binomcdf(87,0.6,58))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 57 Versuchen, mehr als 31 mal und höchstens 35 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.6.

$P_{0.6}^{57} (32 \leq X \leq 35)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

...

P_{0.6}^{57} (X \leq 35)

-

P_{0.6}^{57} (X \leq 31)

≈ 0.6342 - 0.2315 ≈ 0.4027
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.6,35) - binomcdf(57,0.6,31))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k