Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,3 = $0,7$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = ${0,7}^{6}$ ≈ 0.1176 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{4! ⋅ (7 - 4)!}$ = $\frac{7!}{4! ⋅ 3!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{7⋅2⋅5}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{7⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 35

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17⋅16⋅15⋅14 = 1028160 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1028160 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1028160}{120}$ = 8568 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 13! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

8568 = $\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{18!}{5! ⋅ 13!}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{4! ⋅ 31!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 52360 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 11 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 11 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 11) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{3! ⋅ 31!}$ = $\frac{34⋅33⋅32}{3⋅2⋅1}$ = 5984.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{5984}{52360}$ ≈ 0.1143, also ca. 11.43%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{49} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 49 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{8} \cdot {(\frac{5}{6})}^{41}

=0.15223493593566≈ 0.1522
(TI-Befehl: binompdf(49,1/6,8))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.5.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.12	≈ 0.03 + 0.12 = 0.15
2	≈ 0.23	≈ 0.15 + 0.23 = 0.38
3	≈ 0.27	≈ 0.38 + 0.27 = 0.65

Während P(X ≤ 2) = 0.38 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.62 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 37%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 71 Versuchen nicht mehr als 22 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.37.

P_{0.37}^{71} (X \leq 22)

=

P_{0.37}^{71} (X = 0)

+

P_{0.37}^{71} (X = 1)

+

P_{0.37}^{71} (X = 2)

+... +

P_{0.37}^{71} (X = 22)

= 0.17745882931513 ≈ 0.1775
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.37,22))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 92 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 17 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{92} (X \geq 17)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{92} (X \leq 16)

= 0.3617
(TI-Befehl: 1-binomcdf(92, $\frac{1}{6}$ ,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 96 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 20, aber weniger als 34 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.25.

$P_{0.25}^{96} (20 \leq X \leq 33)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.25}^{96} (X \leq 33)

-

P_{0.25}^{96} (X \leq 19)

≈ 0.9852 - 0.1437 ≈ 0.8415
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.25,33) - binomcdf(96,0.25,19))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k