Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Wurf eine "6" ist, außer beim zweiten Versuch.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{2}$ ≈ 0.0231 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4!}{2! ⋅ (4 - 2)!}$ = $\frac{4!}{2! ⋅ 2!}$ = $\frac{4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
2! = 2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4⋅3}{2⋅1}$

= $\frac{2⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 6

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 8 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 24 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{7! ⋅ 28!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 24 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 24 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 24) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{6! ⋅ 28!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1344904.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1344904}{6724520}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 24 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.7.

P_{0.7}^{24} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 24 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{15} \cdot {0.3}^{9}

=0.12218134984428≈ 0.1222
(TI-Befehl: binompdf(24,0.7,15))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.55.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.23	≈ 0.2 + 0.23 = 0.43
4	≈ 0.24	≈ 0.43 + 0.24 = 0.67

Während P(X ≤ 3) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.67 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 68 Versuchen höchstens 16 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.3.

P_{0.3}^{68} (X \leq 16)

=

P_{0.3}^{68} (X = 0)

+

P_{0.3}^{68} (X = 1)

+

P_{0.3}^{68} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{68} (X = 16)

= 0.15062752355754 ≈ 0.1506
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.3,16))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen mindestens 50 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.7.

...

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.7}^{80} (X \geq 50)

= 1 -

P_{0.7}^{80} (X \leq 49)

= 0.9413
(TI-Befehl: 1-binomcdf(80,0.7,49))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 73% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 55 Versuchen mindestens 35 und weniger als 42 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.73.

$P_{0.73}^{55} (35 \leq X \leq 41)$ =

...

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.73}^{55} (X \leq 41)

-

P_{0.73}^{55} (X \leq 34)

≈ 0.6516 - 0.0465 ≈ 0.6051
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.73,41) - binomcdf(55,0.73,34))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k