Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Nicht-Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{5}{6})}^{5}$ ≈ 0.4019 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{7! ⋅ (12 - 7)!}$ = $\frac{12!}{7! ⋅ 5!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{12⋅11⋅2⋅9⋅8}{4⋅3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{3⋅11⋅2⋅9⋅8}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅2⋅9⋅8}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅9⋅8}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 792

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19⋅18⋅17⋅16⋅15 = 1395360 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1395360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1395360}{120}$ = 11628 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 14! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

11628 = $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{19!}{5! ⋅ 14!}$ = $(\begin{matrix} 19 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 3, die 10 und die 12 dabei sind?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{6! ⋅ 14!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 3, die 10 und die 12 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 3, der 10 und der 12 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 3, der 10 und der 12) zu setzen, also $(\begin{matrix} 17 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{17!}{3! ⋅ 14!}$ = $\frac{17⋅16⋅15}{3⋅2⋅1}$ = 680.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{680}{38760}$ ≈ 0.0175, also ca. 1.75%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 65 Versuchen genau 60 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.85.

P_{0.85}^{65} (X = 60)

=

(\begin{matrix} 65 \\ 60 \end{matrix}) \cdot {0.85}^{60} \cdot {0.15}^{5}

=0.036522962441506≈ 0.0365
(TI-Befehl: binompdf(65,0.85,60))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

Lösung einblenden

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
3	≈ 0.07	≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4	≈ 0.14	≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5	≈ 0.2	≈ 0.23 + 0.2 = 0.43

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.77 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.57 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,18 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 36 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 3 defekte Chips enthalten sind.

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.18.

P_{0.18}^{36} (X \leq 3)

=

P_{0.18}^{36} (X = 0)

+

P_{0.18}^{36} (X = 1)

+

P_{0.18}^{36} (X = 2)

+

P_{0.18}^{36} (X = 3)

= 0.0906088336306 ≈ 0.0906
(TI-Befehl: binomcdf(36,0.18,3))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,05.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.05.

0

1

2

3

4

...

P_{0.05}^{44} (X > 1)

=

P_{0.05}^{44} (X \geq 2)

= 1 -

P_{0.05}^{44} (X \leq 1)

= 0.6529
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.05,1))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 97 Versuchen, mehr als 69 mal und höchstens 82 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.75.

$P_{0.75}^{97} (70 \leq X \leq 82)$ =

...

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

...

P_{0.75}^{97} (X \leq 82)

-

P_{0.75}^{97} (X \leq 69)

≈ 0.9916 - 0.2206 ≈ 0.771
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.75,82) - binomcdf(97,0.75,69))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k