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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,15, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,15 = $0,85$ . Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,85$ ⋅0,15⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ = $0,15 \cdot {0,85}^{5}$ ≈ 0.0666 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{1! ⋅ (25 - 1)!}$ = $\frac{25!}{1! ⋅ 24!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
24! = 24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 25 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{25}{1}$

= 25

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 21-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 19 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 21⋅20⋅19⋅18⋅17 = 2441880 Möglichkeiten, die 21 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 2441880 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{2441880}{120}$ = 20349 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 21 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

20349 = $\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{21!}{5! ⋅ 16!}$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 20 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{5! ⋅ 35!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 658008 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 20 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 20 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 20) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{4! ⋅ 35!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 82251.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{82251}{658008}$ ≈ 0.125, also ca. 12.5%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 20 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.5.

P_{0.5}^{49} (X = 20)

=

(\begin{matrix} 49 \\ 20 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{20} \cdot {0.5}^{29}

=0.050230979103063≈ 0.0502
(TI-Befehl: binompdf(49,0.5,20))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.85.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.85 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.85 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.85=0.15 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.18	≈ 0.08 + 0.18 = 0.26

Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.15 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.26 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.92 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.85, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.74 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen weniger als 44 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.5.

P_{0.5}^{93} (X < 44)

=

P_{0.5}^{93} (X \leq 43)

=

P_{0.5}^{93} (X = 0)

+

P_{0.5}^{93} (X = 1)

+

P_{0.5}^{93} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{93} (X = 43)

= 0.2670299308673 ≈ 0.267
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.5,43))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen mehr als 50 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.9.

...

48

49

50

51

P_{0.9}^{52} (X > 50)

=

P_{0.9}^{52} (X \geq 51)

= 1 -

P_{0.9}^{52} (X \leq 50)

= 0.0283
(TI-Befehl: 1-binomcdf(52,0.9,50))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 und höchstens 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 52 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.125.

$P_{0.125}^{52} (8 \leq X \leq 9)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.125}^{52} (X \leq 9)

-

P_{0.125}^{52} (X \leq 7)

≈ 0.8919 - 0.678 ≈ 0.2139
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.125,9) - binomcdf(52,0.125,7))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k