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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,4 = 0,6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 6 Nicht-Treffer bei 6 Versuchen P = 0,6 6 ≈ 0.0467 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 2 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 2 ) = 10! 2! ⋅ (10 - 2)! = 10! 2! ⋅ 8! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 2 ) = 10⋅9 2⋅1

= 5⋅9 1 (gekürzt mit 2)

= 45

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25⋅24⋅23⋅22 = 303600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 303600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 303600 24 = 12650 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 25⋅24⋅23⋅22 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 21! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

12650 = 25⋅24⋅23⋅22 4⋅3⋅2⋅1 = 25⋅24⋅23⋅22 ⋅21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 25! 4! ⋅ 21! = ( 25 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 20, die 30 und die 32 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 40 6 ) = 40! 6! ⋅ 34! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 20, die 30 und die 32 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 20, der 30 und der 32 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 20, der 30 und der 32) zu setzen, also ( 37 3 ) = 37! 3! ⋅ 34! = 37⋅36⋅35 3⋅2⋅1 = 7770.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 7770 3838380 ≈ 0.002, also ca. 0.2%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 72 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 24 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p= 1 4 .

P 1 4 72 (X=24) = ( 72 24 ) ⋅ ( 1 4 )24 ⋅ ( 3 4 )48 =0.028436901487805≈ 0.0284
(TI-Befehl: binompdf(72,1/4,24))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
1≈ 0.05≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2≈ 0.14≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3≈ 0.22≈ 0.2 + 0.22 = 0.42
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 45 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.5.

P0.599 (X<45) = P0.599 (X≤44) = P0.599 (X=0) + P0.599 (X=1) + P0.599 (X=2) +... + P0.599 (X=44) = 0.15743994551881 ≈ 0.1574
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.5,44))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 60 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 17 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.25.

...
14
15
16
17
18
19
...

P0.2560 (X≥17) = 1 - P0.2560 (X≤16) = 0.3204
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.25,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 95 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p= 1 6 .

P 1 6 95 (10≤X≤17) =

...
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 95 (X≤17) - P 1 6 95 (X≤9) ≈ 0.6853 - 0.0341 ≈ 0.6512
(TI-Befehl: binomcdf(95, 1 6 ,17) - binomcdf(95, 1 6 ,9))