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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im dritten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 6 ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 11 10 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 11 10 ) = 11! 10! ⋅ (11 - 10)! = 11! 10! ⋅ 1! = 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 11 10 ) = 11 1

= 11

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 21-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 19 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 21⋅20⋅19⋅18⋅17 = 2441880 Möglichkeiten, die 21 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 2441880 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 2441880 120 = 20349 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 21 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 21⋅20⋅19⋅18⋅17 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

20349 = 21⋅20⋅19⋅18⋅17 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 21⋅20⋅19⋅18⋅17 ⋅16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 21! 5! ⋅ 16! = ( 21 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 17 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 40 8 ) = 40! 8! ⋅ 32! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also ( 39 7 ) = 39! 7! ⋅ 32! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 15380937.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 15380937 76904685 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 45% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 39 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 18 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.45.

P0.4539 (X=18) = ( 39 18 ) ⋅ 0.4518 ⋅ 0.5521 =0.12599168155001≈ 0.126
(TI-Befehl: binompdf(39,0.45,18))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.65.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.65 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.65 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.65=0.35 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
2≈ 0.03≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3≈ 0.09≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4≈ 0.17≈ 0.13 + 0.17 = 0.3
5≈ 0.22≈ 0.3 + 0.22 = 0.52
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.3 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.52 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.7 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.48 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 21 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p= 1 6 .

P 1 6 99 (X≤21) = P 1 6 99 (X=0) + P 1 6 99 (X=1) + P 1 6 99 (X=2) +... + P 1 6 99 (X=21) = 0.90798582096706 ≈ 0.908
(TI-Befehl: binomcdf(99,1/6,21))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= 1 6 .

...
5
6
7
8
9
10
...

P 1 6 41 (X>7) = P 1 6 41 (X≥8) = 1 - P 1 6 41 (X≤7) = 0.3737
(TI-Befehl: 1-binomcdf(41, 1 6 ,7))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 5 und höchstens 17 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 89 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.125.

P0.12589 (6≤X≤17) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P0.12589 (X≤17) - P0.12589 (X≤5) ≈ 0.9741 - 0.027 ≈ 0.9471
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.125,17) - binomcdf(89,0.125,5))