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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 2 mal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{2}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3 \cdot \frac{5}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{2}$ ≈ 0.0694 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{8!}{0! ⋅ (8 - 0)!}$ = $\frac{8!}{0! ⋅ 8!}$ = $\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 5 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29⋅28 = 24165120 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 5 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 24165120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{24165120}{120}$ = 201376 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 27! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

201376 = $\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{32!}{5! ⋅ 27!}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 7 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{8! ⋅ 12!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 7 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 7 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 7) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{7! ⋅ 12!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 50388.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{50388}{125970}$ ≈ 0.4, also ca. 40%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 17 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 85 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{85} (X = 17)

=

(\begin{matrix} 85 \\ 17 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{17} \cdot {(\frac{7}{8})}^{68}

=0.016154529156048≈ 0.0162
(TI-Befehl: binompdf(85,1/8,17))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.09	≈ 0.03 + 0.09 = 0.12
3	≈ 0.18	≈ 0.12 + 0.18 = 0.3

Während P(X ≤ 2) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.3 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 31 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,45. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 14 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p=0.45.

P_{0.45}^{31} (X < 14)

=

P_{0.45}^{31} (X \leq 13)

=

P_{0.45}^{31} (X = 0)

+

P_{0.45}^{31} (X = 1)

+

P_{0.45}^{31} (X = 2)

+... +

P_{0.45}^{31} (X = 13)

= 0.43799222741865 ≈ 0.438
(TI-Befehl: binomcdf(31,0.45,13))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 94 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 57 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.65.

...

55

56

57

58

59

60

...

P_{0.65}^{94} (X > 57)

=

P_{0.65}^{94} (X \geq 58)

= 1 -

P_{0.65}^{94} (X \leq 57)

= 0.7831
(TI-Befehl: 1-binomcdf(94,0.65,57))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 91 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 65 und höchstens 68 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.65.

$P_{0.65}^{91} (65 \leq X \leq 68)$ =

...

62

63

64

65

66

67

68

69

70

...

P_{0.65}^{91} (X \leq 68)

-

P_{0.65}^{91} (X \leq 64)

≈ 0.9821 - 0.8812 ≈ 0.1009
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.65,68) - binomcdf(91,0.65,64))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k