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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der zweiten Drehung nicht der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,4 = 0,6 ≈ 0.6 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 7 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 7 ) = 10! 7! ⋅ (10 - 7)! = 10! 7! ⋅ 3! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 7 ) = 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1

= 10⋅3⋅8 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 5⋅3⋅8 1 (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 720 6 = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1 könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1 = 10⋅9⋅8 ⋅7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 3! ⋅ 7! = ( 10 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 4 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 30 6 ) = 30! 6! ⋅ 24! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 4 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 4 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 4) zu setzen, also ( 29 5 ) = 29! 5! ⋅ 24! = 29⋅28⋅27⋅26⋅25 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 118755.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 118755 593775 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 64 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 43 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.7.

P0.764 (X=43) = ( 64 43 ) ⋅ 0.743 ⋅ 0.321 =0.09390492812183≈ 0.0939
(TI-Befehl: binompdf(64,0.7,43))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4≈ 0.22≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5≈ 0.22≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6≈ 0.15≈ 0.72 + 0.15 = 0.87
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 30 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.26.

P0.2690 (X≤30) = P0.2690 (X=0) + P0.2690 (X=1) + P0.2690 (X=2) +... + P0.2690 (X=30) = 0.95308360858526 ≈ 0.9531
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.26,30))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= 1 6 .

...
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 84 (X>9) = P 1 6 84 (X≥10) = 1 - P 1 6 84 (X≤9) = 0.9112
(TI-Befehl: 1-binomcdf(84, 1 6 ,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 93 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 13 mal, aber weniger als 19 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p= 1 6 .

P 1 6 93 (14≤X≤18) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P 1 6 93 (X≤18) - P 1 6 93 (X≤13) ≈ 0.8008 - 0.2966 ≈ 0.5042
(TI-Befehl: binomcdf(93, 1 6 ,18) - binomcdf(93, 1 6 ,13))