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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = 1 6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ( 1 6 ) 4 ≈ 0.0008 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 6 6 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 6 6 ) = 6! 6! ⋅ (6 - 6)! = 6! 6! ⋅ 0! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 6 6 ) = 1 1

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 3 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 29760 6 = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 3! ⋅ 29! = ( 32 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 17 und die 30 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 35 7 ) = 35! 7! ⋅ 28! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 17 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 17 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 17 und der 30) zu setzen, also ( 33 5 ) = 33! 5! ⋅ 28! = 33⋅32⋅31⋅30⋅29 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 237336.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 237336 6724520 ≈ 0.0353, also ca. 3.53%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 29 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 21 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.7.

P0.729 (X=21) = ( 29 21 ) ⋅ 0.721 ⋅ 0.38 =0.15729077895778≈ 0.1573
(TI-Befehl: binompdf(29,0.7,21))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
1≈ 0.04≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2≈ 0.12≈ 0.05 + 0.12 = 0.17
3≈ 0.22≈ 0.17 + 0.22 = 0.39
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.17 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.39 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 24 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.5.

P0.558 (X≤24) = P0.558 (X=0) + P0.558 (X=1) + P0.558 (X=2) +... + P0.558 (X=24) = 0.11852355738136 ≈ 0.1185
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.5,24))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 25 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 5 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.25.

...
2
3
4
5
6
7
...

P0.2525 (X≥5) = 1 - P0.2525 (X≤4) = 0.7863
(TI-Befehl: 1-binomcdf(25,0.25,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 und höchstens 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.125.

P0.12564 (9≤X≤12) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...

P0.12564 (X≤12) - P0.12564 (X≤8) ≈ 0.9488 - 0.5928 ≈ 0.356
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.125,12) - binomcdf(64,0.125,8))