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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = 1 6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ( 1 6 ) 5 ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 5 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 5 ) = 10! 5! ⋅ (10 - 5)! = 10! 5! ⋅ 5! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 5 ) = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1

= 2⋅9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1 (gekürzt mit 5)

= 2⋅9⋅2⋅7⋅6 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 2⋅3⋅2⋅7⋅6 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 3⋅2⋅7⋅6 1 (gekürzt mit 2)

= 252

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 4 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30⋅29 = 863040 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 4 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 863040 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 863040 24 = 35960 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30⋅29 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 28! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35960 = 32⋅31⋅30⋅29 4⋅3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30⋅29 ⋅28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 4! ⋅ 28! = ( 32 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 20 4 ) = 20! 4! ⋅ 16! = 20⋅19⋅18⋅17 4⋅3⋅2⋅1 = 4845 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 2 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 2 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 2) zu setzen, also ( 19 3 ) = 19! 3! ⋅ 16! = 19⋅18⋅17 3⋅2⋅1 = 969.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 969 4845 ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 12 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 98 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p= 1 8 .

P 1 8 98 (X=12) = ( 98 12 ) ⋅ ( 1 8 )12 ⋅ ( 7 8 )86 =0.12171465233116≈ 0.1217
(TI-Befehl: binompdf(98,1/8,12))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
2≈ 0.05≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3≈ 0.13≈ 0.06 + 0.13 = 0.19
4≈ 0.21≈ 0.19 + 0.21 = 0.4
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.4 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 95 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 46 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.5.

P0.595 (X<46) = P0.595 (X≤45) = P0.595 (X=0) + P0.595 (X=1) + P0.595 (X=2) +... + P0.595 (X=45) = 0.34087125295909 ≈ 0.3409
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.5,45))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 50 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,95.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 45 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.95.

...
43
44
45
46
47
48
...

P0.9550 (X>45) = P0.9550 (X≥46) = 1 - P0.9550 (X≤45) = 0.8964
(TI-Befehl: 1-binomcdf(50,0.95,45))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 69 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10, aber höchstens 18 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.25.

P0.2569 (10≤X≤18) =

...
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P0.2569 (X≤18) - P0.2569 (X≤9) ≈ 0.6434 - 0.0117 ≈ 0.6317
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.25,18) - binomcdf(69,0.25,9))