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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der zweiten Drehung der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 0,6 ≈ 0.6 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 3 ) = 10! 3! ⋅ (10 - 3)! = 10! 3! ⋅ 7! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 3 ) = 10⋅9⋅8 3⋅2⋅1

= 10⋅3⋅8 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 5⋅3⋅8 1 (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 30240 120 = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 5! ⋅ 5! = ( 10 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6 und die 9 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 30 6 ) = 30! 6! ⋅ 24! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 593775 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 6 und die 9 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 6 und der 9 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 6 und der 9) zu setzen, also ( 28 4 ) = 28! 4! ⋅ 24! = 28⋅27⋅26⋅25 4⋅3⋅2⋅1 = 20475.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 20475 593775 ≈ 0.0345, also ca. 3.45%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 88-mal gewürfelt. Es werden hierbei 19 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 19 6er bei 88 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p= 1 6 .

P 1 6 88 (X=19) = ( 88 19 ) ⋅ ( 1 6 )19 ⋅ ( 5 6 )69 =0.050294665313024≈ 0.0503
(TI-Befehl: binompdf(88,1/6,19))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0≈ 0 + 0 = 0
2≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
3≈ 0.07≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4≈ 0.14≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5≈ 0.2≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.23 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Fortbildungsteilnehmer ermüdet mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. An einer Fortbildung nehmen 30 Personen teil. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 17 Personen ermüden?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der ermüdeten Personen an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.6.

P0.630 (X≤17) = P0.630 (X=0) + P0.630 (X=1) + P0.630 (X=2) +... + P0.630 (X=17) = 0.42153427145388 ≈ 0.4215
(TI-Befehl: binomcdf(30,0.6,17))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 58 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.125.

...
2
3
4
5
6
7
...

P0.12558 (X≥5) = 1 - P0.12558 (X≤4) = 0.8659
(TI-Befehl: 1-binomcdf(58,0.125,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 50 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 29, aber höchstens 33 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.6.

P0.650 (29≤X≤33) =

...
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
...

P0.650 (X≤33) - P0.650 (X≤28) ≈ 0.8439 - 0.3299 ≈ 0.514
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.6,33) - binomcdf(50,0.6,28))