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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim dritten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,4 = 0,6. Da ja der Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,6⋅0,6⋅0,4⋅0,6⋅0,6⋅0,6 = 0,4 · 0,6 5 ≈ 0.0311 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 20 18 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 20 18 ) = 20! 18! ⋅ (20 - 18)! = 20! 18! ⋅ 2! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
18! = 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 20 18 ) = 20⋅19 2⋅1

= 10⋅19 1 (gekürzt mit 2)

= 190

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 3 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 3er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4 = 120 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 3 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 120 6 = 20 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 6⋅5⋅4 3⋅2⋅1 könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

20 = 6⋅5⋅4 3⋅2⋅1 = 6⋅5⋅4 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6! 3! ⋅ 3! = ( 6 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 23 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 30 7 ) = 30! 7! ⋅ 23! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 2035800 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 23 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 23 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 23) zu setzen, also ( 29 6 ) = 29! 6! ⋅ 23! = 29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 475020.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 475020 2035800 ≈ 0.2333, also ca. 23.33%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 22 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.5.

P0.542 (X=22) = ( 42 22 ) ⋅ 0.522 ⋅ 0.520 =0.11682268619097≈ 0.1168
(TI-Befehl: binompdf(42,0.5,22))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4≈ 0.22≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5≈ 0.22≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6≈ 0.15≈ 0.72 + 0.15 = 0.87
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 74 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 15 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p= 1 6 .

P 1 6 74 (X≤15) = P 1 6 74 (X=0) + P 1 6 74 (X=1) + P 1 6 74 (X=2) +... + P 1 6 74 (X=15) = 0.83898085113845 ≈ 0.839
(TI-Befehl: binomcdf(74,1/6,15))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 92 Versuchen mindestens 60 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.65.

...
57
58
59
60
61
62
...

P0.6592 (X≥60) = 1 - P0.6592 (X≤59) = 0.5305
(TI-Befehl: 1-binomcdf(92,0.65,59))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 58 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 9 und höchstens 16 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.25.

P0.2558 (9≤X≤16) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P0.2558 (X≤16) - P0.2558 (X≤8) ≈ 0.7331 - 0.0289 ≈ 0.7042
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.25,16) - binomcdf(58,0.25,8))