Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer bei 3 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{3}$ ≈ 0.0046 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{10! ⋅ (11 - 10)!}$ = $\frac{11!}{10! ⋅ 1!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{11}{1}$

= 11

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19⋅18⋅17⋅16 = 93024 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 93024 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{93024}{24}$ = 3876 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

3876 = $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{19!}{4! ⋅ 15!}$ = $(\begin{matrix} 19 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2, die 9 und die 14 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{6! ⋅ 14!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 2, die 9 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 2, der 9 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 2, der 9 und der 14) zu setzen, also $(\begin{matrix} 17 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{17!}{3! ⋅ 14!}$ = $\frac{17⋅16⋅15}{3⋅2⋅1}$ = 680.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{680}{38760}$ ≈ 0.0175, also ca. 1.75%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 61 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 30 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.5.

P_{0.5}^{61} (X = 30)

=

(\begin{matrix} 61 \\ 30 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{30} \cdot {0.5}^{31}

=0.10092368634714≈ 0.1009
(TI-Befehl: binompdf(61,0.5,30))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25
2	≈ 0.28	≈ 0.25 + 0.28 = 0.53

Während P(X ≤ 1) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.53 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 22 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.5.

P_{0.5}^{46} (X \leq 22)

=

P_{0.5}^{46} (X = 0)

+

P_{0.5}^{46} (X = 1)

+

P_{0.5}^{46} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{46} (X = 22)

= 0.4414979560612 ≈ 0.4415
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.5,22))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 9 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 94 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.125.

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.125}^{94} (X \geq 9)

= 1 -

P_{0.125}^{94} (X \leq 8)

= 0.8454
(TI-Befehl: 1-binomcdf(94,0.125,8))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 91% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 67 Versuchen mindestens 59 und weniger als 65 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.91.

$P_{0.91}^{67} (59 \leq X \leq 64)$ =

...

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

P_{0.91}^{67} (X \leq 64)

-

P_{0.91}^{67} (X \leq 58)

≈ 0.9473 - 0.146 ≈ 0.8013
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.91,64) - binomcdf(67,0.91,58))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k