Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im zweiten Wurf keine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.8333 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{3! ⋅ (10 - 3)!}$ = $\frac{10!}{3! ⋅ 7!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{10⋅3⋅8}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{5⋅3⋅8}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 8 Felder abgedruckt. Von diesen 8 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 2 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 7 und die 28 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{5! ⋅ 35!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 658008 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 7 und die 28 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 7 und der 28 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 7 und der 28) zu setzen, also $(\begin{matrix} 38 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{38!}{3! ⋅ 35!}$ = $\frac{38⋅37⋅36}{3⋅2⋅1}$ = 8436.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{8436}{658008}$ ≈ 0.0128, also ca. 1.28%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 93 Versuchen genau 67 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.7.

P_{0.7}^{93} (X = 67)

=

(\begin{matrix} 93 \\ 67 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{67} \cdot {0.3}^{26}

=0.083637538513074≈ 0.0836
(TI-Befehl: binompdf(93,0.7,67))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.08	≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3	≈ 0.17	≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4	≈ 0.22	≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5	≈ 0.22	≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6	≈ 0.15	≈ 0.72 + 0.15 = 0.87

Während P(X ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 66 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X < 11)

=

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X \leq 10)

=

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{66} (X = 10)

= 0.44885858509385 ≈ 0.4489
(TI-Befehl: binomcdf(66,1/6,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 97 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 32 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.4.

...

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.4}^{97} (X > 32)

=

P_{0.4}^{97} (X \geq 33)

= 1 -

P_{0.4}^{97} (X \leq 32)

= 0.9052
(TI-Befehl: 1-binomcdf(97,0.4,32))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 81% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 53 Versuchen mindestens 38 und weniger als 46 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.81.

$P_{0.81}^{53} (38 \leq X \leq 45)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.81}^{53} (X \leq 45)

-

P_{0.81}^{53} (X \leq 37)

≈ 0.8142 - 0.0338 ≈ 0.7804
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.81,45) - binomcdf(53,0.81,37))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k