Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Chip alles fehlerfrei funktioniert.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,15 = $0,85$ ≈ 0.85 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{3! ⋅ (5 - 3)!}$ = $\frac{5!}{3! ⋅ 2!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5⋅4}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅2}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{90}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{5! ⋅ 30!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 1 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 1 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 1) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{4! ⋅ 30!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 46376.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{46376}{324632}$ ≈ 0.1429, also ca. 14.29%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 98 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 56 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.65.

P_{0.65}^{98} (X = 56)

=

(\begin{matrix} 98 \\ 56 \end{matrix}) \cdot {0.65}^{56} \cdot {0.35}^{42}

=0.022326844179894≈ 0.0223
(TI-Befehl: binompdf(98,0.65,56))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.8.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27

Während P(X ≤ 2) = 0.1 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.27 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.9 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 10) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.73 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 10) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X < 10)

=

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X \leq 9)

=

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{42} (X = 9)

= 0.849758155694 ≈ 0.8498
(TI-Befehl: binomcdf(42,1/6,9))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 26 Versuchen mehr als 2 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.2.

0

1

2

3

4

5

...

P_{0.2}^{26} (X > 2)

=

P_{0.2}^{26} (X \geq 3)

= 1 -

P_{0.2}^{26} (X \leq 2)

= 0.9159
(TI-Befehl: 1-binomcdf(26,0.2,2))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 79% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 51 Versuchen mindestens 35 und weniger als 46 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.79.

$P_{0.79}^{51} (35 \leq X \leq 45)$ =

...

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.79}^{51} (X \leq 45)

-

P_{0.79}^{51} (X \leq 34)

≈ 0.9708 - 0.0278 ≈ 0.943
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.79,45) - binomcdf(51,0.79,34))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k