Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.1667 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{2! ⋅ (9 - 2)!}$ = $\frac{9!}{2! ⋅ 7!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8}{2⋅1}$

= $\frac{9⋅4}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 36

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7 = 56 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 56 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{56}{2}$ = 28 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ könnte man mit 6! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

28 = $\frac{8\cdot7}{2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{2! ⋅ 6!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 14 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 14 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 14 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 14) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{6! ⋅ 33!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 3262623.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3262623}{18643560}$ ≈ 0.175, also ca. 17.5%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 29 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 11 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.3.

P_{0.3}^{29} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 29 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{11} \cdot {0.7}^{18}

=0.099802312437032≈ 0.0998
(TI-Befehl: binompdf(29,0.3,11))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.21	≈ 0.22 + 0.21 = 0.43
5	≈ 0.23	≈ 0.43 + 0.23 = 0.66

Während P(X ≤ 4) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.66 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.57 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.34 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 67 Versuchen weniger als 37 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.55.

P_{0.55}^{67} (X < 37)

=

P_{0.55}^{67} (X \leq 36)

=

P_{0.55}^{67} (X = 0)

+

P_{0.55}^{67} (X = 1)

+

P_{0.55}^{67} (X = 2)

+... +

P_{0.55}^{67} (X = 36)

= 0.46417150624046 ≈ 0.4642
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.55,36))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,86. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 60 Versuchen mehr als 54 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.86.

...

52

53

54

55

56

57

...

P_{0.86}^{60} (X > 54)

=

P_{0.86}^{60} (X \geq 55)

= 1 -

P_{0.86}^{60} (X \leq 54)

= 0.1377
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.86,54))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 40 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 13 und höchstens 18 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.4.

$P_{0.4}^{40} (13 \leq X \leq 18)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.4}^{40} (X \leq 18)

-

P_{0.4}^{40} (X \leq 12)

≈ 0.7911 - 0.1285 ≈ 0.6626
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.4,18) - binomcdf(40,0.4,12))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k