Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 10 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{10! ⋅ (12 - 10)!}$ = $\frac{12!}{10! ⋅ 2!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 10 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11}{2⋅1}$

= $\frac{6⋅11}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 66

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19⋅18⋅17⋅16⋅15 = 1395360 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1395360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1395360}{120}$ = 11628 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 14! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

11628 = $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{19!}{5! ⋅ 14!}$ = $(\begin{matrix} 19 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 21 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{5! ⋅ 35!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 658008 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 21 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 21 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 21) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{4! ⋅ 35!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 82251.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{82251}{658008}$ ≈ 0.125, also ca. 12.5%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 58 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{9} \cdot {(\frac{5}{6})}^{49}

=0.1393353704415≈ 0.1393
(TI-Befehl: binompdf(58,1/6,9))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.6.

Lösung einblenden

Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.6 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.6 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.6=0.4 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.04	≈ 0 + 0.04 = 0.04
1	≈ 0.15	≈ 0.04 + 0.15 = 0.19
2	≈ 0.26	≈ 0.19 + 0.26 = 0.45

Während P(X ≤ 1) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.45 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.81 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.55 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 25 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.5.

P_{0.5}^{47} (X \leq 25)

=

P_{0.5}^{47} (X = 0)

+

P_{0.5}^{47} (X = 1)

+

P_{0.5}^{47} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{47} (X = 25)

= 0.71996768520989 ≈ 0.72
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.5,25))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 42 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 11 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.22.

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.22}^{42} (X \geq 11)

= 1 -

P_{0.22}^{42} (X \leq 10)

= 0.31
(TI-Befehl: 1-binomcdf(42,0.22,10))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 94 Versuchen, mehr als 61 mal und höchstens 66 mal im grünen Bereich zu landen?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.7.

$P_{0.7}^{94} (62 \leq X \leq 66)$ =

...

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

...

P_{0.7}^{94} (X \leq 66)

-

P_{0.7}^{94} (X \leq 61)

≈ 0.5567 - 0.1663 ≈ 0.3904
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.7,66) - binomcdf(94,0.7,61))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k