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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim vierten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,3 = 0,7. Da ja der Nicht-Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,7⋅0,3 = 0,7 · 0,3 4 ≈ 0.0057 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 8 6 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 8 6 ) = 8! 6! ⋅ (8 - 6)! = 8! 6! ⋅ 2! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 8 6 ) = 8⋅7 2⋅1

= 4⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 20-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 20⋅19⋅18⋅17⋅16 = 1860480 Möglichkeiten, die 20 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1860480 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 1860480 120 = 15504 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 20 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 20⋅19⋅18⋅17⋅16 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15504 = 20⋅19⋅18⋅17⋅16 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 20⋅19⋅18⋅17⋅16 ⋅15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 20! 5! ⋅ 15! = ( 20 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 30 5 ) = 30! 5! ⋅ 25! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 19 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 19 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 19) zu setzen, also ( 29 4 ) = 29! 4! ⋅ 25! = 29⋅28⋅27⋅26 4⋅3⋅2⋅1 = 23751.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 23751 142506 ≈ 0.1667, also ca. 16.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p= 1 6 .

P 1 6 49 (X=10) = ( 49 10 ) ⋅ ( 1 6 )10 ⋅ ( 5 6 )39 =0.11096235330421≈ 0.111
(TI-Befehl: binompdf(49,1/6,10))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
1≈ 0.1≈ 0.02 + 0.1 = 0.12
2≈ 0.21≈ 0.12 + 0.21 = 0.33
3≈ 0.25≈ 0.33 + 0.25 = 0.58
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.58 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 39 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 21 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.5.

P0.539 (X≤21) = P0.539 (X=0) + P0.539 (X=1) + P0.539 (X=2) +... + P0.539 (X=21) = 0.73880130975158 ≈ 0.7388
(TI-Befehl: binomcdf(39,0.5,21))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,86. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 29 Versuchen mindestens 22 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.86.

...
19
20
21
22
23
24
...

P0.8629 (X≥22) = 1 - P0.8629 (X≤21) = 0.9587
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.86,21))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 46 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 18, aber höchstens 23 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.5.

P0.546 (18≤X≤23) =

...
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
...

P0.546 (X≤23) - P0.546 (X≤17) ≈ 0.5585 - 0.0519 ≈ 0.5066
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.5,23) - binomcdf(46,0.5,17))