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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim fünften Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 5-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 5-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,35$ ≈ 0.35 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{7! ⋅ (7 - 7)!}$ = $\frac{7!}{7! ⋅ 0!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{72}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{9\cdot8}{2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{9\cdot8}{2\cdot1}$ = $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{9!}{2! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 18 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{5! ⋅ 30!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 324632 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 18 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 18 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 18) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{4! ⋅ 30!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 46376.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{46376}{324632}$ ≈ 0.1429, also ca. 14.29%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 30 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 18 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.7.

P_{0.7}^{30} (X = 18)

=

(\begin{matrix} 30 \\ 18 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{18} \cdot {0.3}^{12}

=0.074851734327774≈ 0.0749
(TI-Befehl: binompdf(30,0.7,18))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.18	≈ 0.08 + 0.18 = 0.26
3	≈ 0.25	≈ 0.26 + 0.25 = 0.51
4	≈ 0.24	≈ 0.51 + 0.24 = 0.75

Während P(X ≤ 3) = 0.51 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.75 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Versuchen weniger als 35 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.3.

P_{0.3}^{100} (X < 35)

=

P_{0.3}^{100} (X \leq 34)

=

P_{0.3}^{100} (X = 0)

+

P_{0.3}^{100} (X = 1)

+

P_{0.3}^{100} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{100} (X = 34)

= 0.83714171162821 ≈ 0.8371
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.3,34))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 96 Versuchen mehr als 62 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.65.

...

60

61

62

63

64

65

...

P_{0.65}^{96} (X > 62)

=

P_{0.65}^{96} (X \geq 63)

= 1 -

P_{0.65}^{96} (X \leq 62)

= 0.4958
(TI-Befehl: 1-binomcdf(96,0.65,62))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 65 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 25, aber höchstens 30 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.45.

$P_{0.45}^{65} (25 \leq X \leq 30)$ =

...

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

...

P_{0.45}^{65} (X \leq 30)

-

P_{0.45}^{65} (X \leq 24)

≈ 0.6236 - 0.1177 ≈ 0.5059
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.45,30) - binomcdf(65,0.45,24))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k