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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau 5 Chips defekt sind.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = 0,65. Wenn genau 5 Treffer unter den 6 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 6 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 5-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 6-ten Versuch)

Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = 0,65 · 0,35 5 .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = 6 · 0,65 · 0,35 5 ≈ 0.0205 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 8 6 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 8 6 ) = 8! 6! ⋅ (8 - 6)! = 8! 6! ⋅ 2! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 8 6 ) = 8⋅7 2⋅1

= 4⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 24-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 24 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 23 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 22 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 24⋅23⋅22⋅21⋅20 = 5100480 Möglichkeiten, die 24 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5100480 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 5100480 120 = 42504 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 24 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 24⋅23⋅22⋅21⋅20 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 19! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

42504 = 24⋅23⋅22⋅21⋅20 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 24⋅23⋅22⋅21⋅20 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24! 5! ⋅ 19! = ( 24 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 12 und die 19 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 5 ) = 20! 5! ⋅ 15! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 12 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 12 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 12 und der 19) zu setzen, also ( 18 3 ) = 18! 3! ⋅ 15! = 18⋅17⋅16 3⋅2⋅1 = 816.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 816 15504 ≈ 0.0526, also ca. 5.26%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 43-mal gewürfelt. Es werden hierbei 3 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 3 6er bei 43 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p= 1 6 .

P 1 6 43 (X=3) = ( 43 3 ) ⋅ ( 1 6 )3 ⋅ ( 5 6 )40 =0.038872883721793≈ 0.0389
(TI-Befehl: binompdf(43,1/6,3))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.21≈ 0.22 + 0.21 = 0.43
5≈ 0.23≈ 0.43 + 0.23 = 0.66
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.43 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.66 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.57 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.34 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 48 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 25 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.5.

P0.548 (X≤25) = P0.548 (X=0) + P0.548 (X=1) + P0.548 (X=2) +... + P0.548 (X=25) = 0.66726709396169 ≈ 0.6673
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.5,25))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 63 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 20 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.25.

...
17
18
19
20
21
22
...

P0.2563 (X≥20) = 1 - P0.2563 (X≤19) = 0.1383
(TI-Befehl: 1-binomcdf(63,0.25,19))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,7 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 85 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 51 und höchstens 62 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.7.

P0.785 (51≤X≤62) =

...
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
...

P0.785 (X≤62) - P0.785 (X≤50) ≈ 0.7586 - 0.0185 ≈ 0.7401
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.7,62) - binomcdf(85,0.7,50))