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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = 0,6 5 ≈ 0.0778 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 5 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 5 ) = 10! 5! ⋅ (10 - 5)! = 10! 5! ⋅ 5! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 5 ) = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1

= 2⋅9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1 (gekürzt mit 5)

= 2⋅9⋅2⋅7⋅6 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 2⋅3⋅2⋅7⋅6 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 3⋅2⋅7⋅6 1 (gekürzt mit 2)

= 252

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 3 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 3er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6 = 336 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 3 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 336 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 336 6 = 56 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 8⋅7⋅6 3⋅2⋅1 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = 8⋅7⋅6 3⋅2⋅1 = 8⋅7⋅6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8! 3! ⋅ 5! = ( 8 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 und die 17 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 25 7 ) = 25! 7! ⋅ 18! = 25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 10 und die 17 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 10 und der 17 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 10 und der 17) zu setzen, also ( 23 5 ) = 23! 5! ⋅ 18! = 23⋅22⋅21⋅20⋅19 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 33649.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 33649 480700 ≈ 0.07, also ca. 7%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= 1 6 .

P 1 6 47 (X=13) = ( 47 13 ) ⋅ ( 1 6 )13 ⋅ ( 5 6 )34 =0.0218823524994≈ 0.0219
(TI-Befehl: binompdf(47,1/6,13))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
1≈ 0.08≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
2≈ 0.18≈ 0.1 + 0.18 = 0.28
3≈ 0.24≈ 0.28 + 0.24 = 0.52
4≈ 0.22≈ 0.52 + 0.22 = 0.74
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.52 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 79 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p= 1 8 .

P 1 8 79 (X≤2) = P 1 8 79 (X=0) + P 1 8 79 (X=1) + P 1 8 79 (X=2) = 0.0019707967053999 ≈ 0.002
(TI-Befehl: binomcdf(79,1/8,2))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 21 Versuchen mehr als 12 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.7.

...
10
11
12
13
14
15
...

P0.721 (X>12) = P0.721 (X≥13) = 1 - P0.721 (X≤12) = 0.8523
(TI-Befehl: 1-binomcdf(21,0.7,12))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 71% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 46 Versuchen mindestens 29 und weniger als 38 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.71.

P0.7146 (29≤X≤37) =

...
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.7146 (X≤37) - P0.7146 (X≤28) ≈ 0.947 - 0.0906 ≈ 0.8564
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.71,37) - binomcdf(46,0.71,28))