Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 4 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4 \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}$ ≈ 0.3858 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5!}{3! ⋅ (5 - 3)!}$ = $\frac{5!}{3! ⋅ 2!}$ = $\frac{5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{5⋅4}{2⋅1}$

= $\frac{5⋅2}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 4 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 4er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3 = 360 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{360}{24}$ = 15 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 2! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{4! ⋅ 2!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 17 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{7! ⋅ 13!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{6! ⋅ 13!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 27132.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{27132}{77520}$ ≈ 0.35, also ca. 35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 6 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.05.

P_{0.05}^{68} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 68 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.05}^{6} \cdot {0.95}^{62}

=0.071107038043251≈ 0.0711
(TI-Befehl: binompdf(68,0.05,6))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.8.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25

Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.25 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.92 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen höchstens 48 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.6.

P_{0.6}^{79} (X \leq 48)

=

P_{0.6}^{79} (X = 0)

+

P_{0.6}^{79} (X = 1)

+

P_{0.6}^{79} (X = 2)

+... +

P_{0.6}^{79} (X = 48)

= 0.59682685554932 ≈ 0.5968
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.6,48))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 21 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 18 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.85.

...

16

17

18

19

20

P_{0.85}^{21} (X > 18)

=

P_{0.85}^{21} (X \geq 19)

= 1 -

P_{0.85}^{21} (X \leq 18)

= 0.3705
(TI-Befehl: 1-binomcdf(21,0.85,18))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 84 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 52 und höchstens 63 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.65.

$P_{0.65}^{84} (52 \leq X \leq 63)$ =

...

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

...

P_{0.65}^{84} (X \leq 63)

-

P_{0.65}^{84} (X \leq 51)

≈ 0.9813 - 0.2374 ≈ 0.7439
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.65,63) - binomcdf(84,0.65,51))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k