Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur im ersten Wurf eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}$ ≈ 0.1157 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{9! ⋅ (12 - 9)!}$ = $\frac{12!}{9! ⋅ 3!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{4⋅11⋅10}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{2⋅11⋅10}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 220

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3 = 360 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{360}{24}$ = 15 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 2! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{4! ⋅ 2!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 35 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 35 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 35 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 35) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{6! ⋅ 33!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 3262623.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3262623}{18643560}$ ≈ 0.175, also ca. 17.5%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 100 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 33 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{100} (X = 33)

=

(\begin{matrix} 100 \\ 33 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{33} \cdot {(\frac{3}{4})}^{67}

=0.017001761082587≈ 0.017
(TI-Befehl: binompdf(100,1/4,33))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.7.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.7 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.7 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.7=0.3 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.04	≈ 0.01 + 0.04 = 0.05
2	≈ 0.11	≈ 0.05 + 0.11 = 0.16
3	≈ 0.19	≈ 0.16 + 0.19 = 0.35

Während P(X ≤ 2) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.35 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.84 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 14) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.65 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 14) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen weniger als 19 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.45.

P_{0.45}^{40} (X < 19)

=

P_{0.45}^{40} (X \leq 18)

=

P_{0.45}^{40} (X = 0)

+

P_{0.45}^{40} (X = 1)

+

P_{0.45}^{40} (X = 2)

+... +

P_{0.45}^{40} (X = 18)

= 0.56505364973902 ≈ 0.5651
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.45,18))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 36 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.3.

...

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.3}^{36} (X > 7)

=

P_{0.3}^{36} (X \geq 8)

= 1 -

P_{0.3}^{36} (X \leq 7)

= 0.8876
(TI-Befehl: 1-binomcdf(36,0.3,7))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 11 mal, aber weniger als 20 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{97} (12 \leq X \leq 19)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{97} (X \leq 11)

≈ 0.8197 - 0.0977 ≈ 0.722
(TI-Befehl: binomcdf(97, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(97, $\frac{1}{6}$ ,11))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k