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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim vierten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 4-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 4-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,15$ ≈ 0.15 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{4!}{3! ⋅ (4 - 3)!}$ = $\frac{4!}{3! ⋅ 1!}$ = $\frac{4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{4}{1}$

= 4

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 21-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 21⋅20 = 420 Möglichkeiten, die 21 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 420 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{420}{2}$ = 210 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 21 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{21\cdot20}{2\cdot1}$ könnte man mit 19! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

210 = $\frac{21\cdot20}{2\cdot1}$ = $\frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{21!}{2! ⋅ 19!}$ = $(\begin{matrix} 21 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 18 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{5! ⋅ 15!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15504 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 18 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 18 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 18) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{4! ⋅ 15!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 3876.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3876}{15504}$ ≈ 0.25, also ca. 25%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 61-mal gewürfelt. Es werden hierbei 4 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 4 6er bei 61 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{61} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 61 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{4} \cdot {(\frac{5}{6})}^{57}

=0.012348489097595≈ 0.0123
(TI-Befehl: binompdf(61,1/6,4))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.6.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.6 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.6 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.6=0.4 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25
3	≈ 0.24	≈ 0.25 + 0.24 = 0.49

Während P(X ≤ 2) = 0.25 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.49 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.51 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen höchstens 16 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.15.

P_{0.15}^{87} (X \leq 16)

=

P_{0.15}^{87} (X = 0)

+

P_{0.15}^{87} (X = 1)

+

P_{0.15}^{87} (X = 2)

+... +

P_{0.15}^{87} (X = 16)

= 0.84976499701647 ≈ 0.8498
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.15,16))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 62 Versuchen mehr als 52 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.95.

...

50

51

52

53

54

55

...

P_{0.95}^{62} (X > 52)

=

P_{0.95}^{62} (X \geq 53)

= 1 -

P_{0.95}^{62} (X \leq 52)

= 0.999
(TI-Befehl: 1-binomcdf(62,0.95,52))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 84 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 28 und höchstens 29 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.25.

$P_{0.25}^{84} (28 \leq X \leq 29)$ =

...

25

26

27

28

29

30

31

...

P_{0.25}^{84} (X \leq 29)

-

P_{0.25}^{84} (X \leq 27)

≈ 0.9813 - 0.9461 ≈ 0.0352
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.25,29) - binomcdf(84,0.25,27))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k