Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der vierten in den grünen Bereich gedreht wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,7, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,7 = $0,3$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,7⋅0,7⋅0,7⋅ $0,3$ ⋅0,7⋅0,7 = $0,3 \cdot {0,7}^{5}$ ≈ 0.0504 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{1! ⋅ (40 - 1)!}$ = $\frac{40!}{1! ⋅ 39!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
39! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix})$ = $\frac{40}{1}$

= 40

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30240}{120}$ = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{5! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1 dabei ist?

Lösung einblenden

Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{8! ⋅ 22!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 1 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 1 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 1) zu setzen, also $(\begin{matrix} 29 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{29!}{7! ⋅ 22!}$ = $\frac{29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1560780.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1560780}{5852925}$ ≈ 0.2667, also ca. 26.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 48 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{48} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 48 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot {(\frac{7}{8})}^{42}

=0.17167078039118≈ 0.1717
(TI-Befehl: binompdf(48,1/8,6))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27

Während P(X ≤ 2) = 0.1 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.27 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 49%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen nicht mehr als 49 trifft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.49.

P_{0.49}^{89} (X \leq 49)

=

P_{0.49}^{89} (X = 0)

+

P_{0.49}^{89} (X = 1)

+

P_{0.49}^{89} (X = 2)

+... +

P_{0.49}^{89} (X = 49)

= 0.89419906567077 ≈ 0.8942
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.49,49))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 52 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p=0.125.

...

2

3

4

5

6

7

...

P_{0.125}^{52} (X \geq 5)

= 1 -

P_{0.125}^{52} (X \leq 4)

= 0.7948
(TI-Befehl: 1-binomcdf(52,0.125,4))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 43 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 13, aber weniger als 16 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.25.

$P_{0.25}^{43} (13 \leq X \leq 15)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{0.25}^{43} (X \leq 15)

-

P_{0.25}^{43} (X \leq 12)

≈ 0.9486 - 0.737 ≈ 0.2116
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.25,15) - binomcdf(43,0.25,12))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k