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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,35$ ≈ 0.35 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{2! ⋅ (7 - 2)!}$ = $\frac{7!}{2! ⋅ 5!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6}{2⋅1}$

= $\frac{7⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 21

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 22-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 20 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 22⋅21⋅20⋅19⋅18 = 3160080 Möglichkeiten, die 22 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 3160080 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{3160080}{120}$ = 26334 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 22 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 17! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

26334 = $\frac{22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{22!}{5! ⋅ 17!}$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{7! ⋅ 13!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 77520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 2 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 2 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 2) zu setzen, also $(\begin{matrix} 19 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{19!}{6! ⋅ 13!}$ = $\frac{19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 27132.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{27132}{77520}$ ≈ 0.35, also ca. 35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 41 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 13 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{41} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{13} \cdot {(\frac{3}{4})}^{28}

=0.083357229903647≈ 0.0834
(TI-Befehl: binompdf(41,1/4,13))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.65.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.18	≈ 0.08 + 0.18 = 0.26
3	≈ 0.25	≈ 0.26 + 0.25 = 0.51
4	≈ 0.24	≈ 0.51 + 0.24 = 0.75

Während P(X ≤ 3) = 0.51 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.75 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 41 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.5.

P_{0.5}^{99} (X \leq 41)

=

P_{0.5}^{99} (X = 0)

+

P_{0.5}^{99} (X = 1)

+

P_{0.5}^{99} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{99} (X = 41)

= 0.053675793266594 ≈ 0.0537
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.5,41))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 99 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 75 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.85.

...

73

74

75

76

77

78

...

P_{0.85}^{99} (X > 75)

=

P_{0.85}^{99} (X \geq 76)

= 1 -

P_{0.85}^{99} (X \leq 75)

= 0.9895
(TI-Befehl: 1-binomcdf(99,0.85,75))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen, mehr als 14 mal und höchstens 16 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.25.

$P_{0.25}^{56} (15 \leq X \leq 16)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.25}^{56} (X \leq 16)

-

P_{0.25}^{56} (X \leq 14)

≈ 0.7829 - 0.5712 ≈ 0.2117
(TI-Befehl: binomcdf(56,0.25,16) - binomcdf(56,0.25,14))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k