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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim dritten Chip kein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = 0,65. Da ja der Nicht-Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,35⋅0,35⋅0,65⋅0,35 = 0,65 · 0,35 3 ≈ 0.0279 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 20 18 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 20 18 ) = 20! 18! ⋅ (20 - 18)! = 20! 18! ⋅ 2! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
18! = 18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 20 18 ) = 20⋅19 2⋅1

= 10⋅19 1 (gekürzt mit 2)

= 190

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 3 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 29760 6 = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 = 32⋅31⋅30 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3⋅2⋅1 ⋅29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 32! 3! ⋅ 29! = ( 32 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 14 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 25 4 ) = 25! 4! ⋅ 21! = 25⋅24⋅23⋅22 4⋅3⋅2⋅1 = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 14 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 14 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 14) zu setzen, also ( 24 3 ) = 24! 3! ⋅ 21! = 24⋅23⋅22 3⋅2⋅1 = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 2024 12650 ≈ 0.16, also ca. 16%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 64 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 35 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.5.

P0.564 (X=35) = ( 64 35 ) ⋅ 0.535 ⋅ 0.529 =0.075287990617252≈ 0.0753
(TI-Befehl: binompdf(64,0.5,35))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0≈ 0 + 0 = 0
2≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
3≈ 0.07≈ 0.02 + 0.07 = 0.09
4≈ 0.14≈ 0.09 + 0.14 = 0.23
5≈ 0.2≈ 0.23 + 0.2 = 0.43
6≈ 0.22≈ 0.43 + 0.22 = 0.65
7≈ 0.18≈ 0.65 + 0.18 = 0.83
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 6) = 0.65 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.83 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 7.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 88 Versuchen nicht mehr als 60 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.6.

P0.688 (X≤60) = P0.688 (X=0) + P0.688 (X=1) + P0.688 (X=2) +... + P0.688 (X=60) = 0.95470505455195 ≈ 0.9547
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.6,60))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 60 Versuchen mehr als 34 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.6.

...
32
33
34
35
36
37
...

P0.660 (X>34) = P0.660 (X≥35) = 1 - P0.660 (X≤34) = 0.6563
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.6,34))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 61 Versuchen, mehr als 31 mal und höchstens 34 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.55.

P0.5561 (32≤X≤34) =

...
29
30
31
32
33
34
35
36
...

P0.5561 (X≤34) - P0.5561 (X≤31) ≈ 0.5949 - 0.298 ≈ 0.2969
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.55,34) - binomcdf(61,0.55,31))