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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim dritten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,25, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,25 = $0,75$ . Da ja der Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅0,25⋅ $0,75$ = $0,25 \cdot {0,75}^{3}$ ≈ 0.1055 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{5! ⋅ (7 - 5)!}$ = $\frac{7!}{5! ⋅ 2!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6}{2⋅1}$

= $\frac{7⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 21

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 5 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 5er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19⋅18⋅17⋅16⋅15 = 1395360 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1395360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1395360}{120}$ = 11628 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 14! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

11628 = $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{19!}{5! ⋅ 14!}$ = $(\begin{matrix} 19 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 4, die 12 und die 14 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{6! ⋅ 19!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 177100 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 4, die 12 und die 14 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 4, der 12 und der 14 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 22 Zahlen (alle außer der 4, der 12 und der 14) zu setzen, also $(\begin{matrix} 22 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{22!}{3! ⋅ 19!}$ = $\frac{22⋅21⋅20}{3⋅2⋅1}$ = 1540.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{1540}{177100}$ ≈ 0.0087, also ca. 0.87%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 79 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 59 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.7.

P_{0.7}^{79} (X = 59)

=

(\begin{matrix} 79 \\ 59 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{59} \cdot {0.3}^{20}

=0.06709636226657≈ 0.0671
(TI-Befehl: binompdf(79,0.7,59))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.6.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
3	≈ 0.17	≈ 0.1 + 0.17 = 0.27
4	≈ 0.24	≈ 0.27 + 0.24 = 0.51
5	≈ 0.23	≈ 0.51 + 0.23 = 0.74

Während P(X ≤ 4) = 0.51 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.74 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 37 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.5.

P_{0.5}^{76} (X < 37)

=

P_{0.5}^{76} (X \leq 36)

=

P_{0.5}^{76} (X = 0)

+

P_{0.5}^{76} (X = 1)

+

P_{0.5}^{76} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{76} (X = 36)

= 0.3655044411113 ≈ 0.3655
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.5,36))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 17 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X > 17)

=

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \geq 18)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 17)

= 0.0654
(TI-Befehl: 1-binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,17))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 49 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 17 und höchstens 27 beträgt?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.45.

$P_{0.45}^{49} (17 \leq X \leq 27)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

...

P_{0.45}^{49} (X \leq 27)

-

P_{0.45}^{49} (X \leq 16)

≈ 0.9408 - 0.0542 ≈ 0.8866
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.45,27) - binomcdf(49,0.45,16))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k