Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal eine "6" gewürfelt wird.

Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) p = $\frac{1}{6}$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bei 5 Versuchen P = ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ≈ 0.0001 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{4! ⋅ (7 - 4)!}$ = $\frac{7!}{4! ⋅ 3!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{7⋅2⋅5}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{7⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 35

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 4 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 4er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 4 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1680}{24}$ = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = $\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{8!}{4! ⋅ 4!}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 27 und die 35 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{7! ⋅ 28!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 6724520 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 27 und die 35 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 27 und der 35 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 33 Zahlen (alle außer der 27 und der 35) zu setzen, also $(\begin{matrix} 33 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{33!}{5! ⋅ 28!}$ = $\frac{33⋅32⋅31⋅30⋅29}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 237336.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{237336}{6724520}$ ≈ 0.0353, also ca. 3.53%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 53 Versuchen genau 42 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.75.

P_{0.75}^{53} (X = 42)

=

(\begin{matrix} 53 \\ 42 \end{matrix}) \cdot {0.75}^{42} \cdot {0.25}^{11}

=0.10280245506596≈ 0.1028
(TI-Befehl: binompdf(53,0.75,42))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.4.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.08	≈ 0.02 + 0.08 = 0.1
2	≈ 0.18	≈ 0.1 + 0.18 = 0.28
3	≈ 0.24	≈ 0.28 + 0.24 = 0.52

Während P(X ≤ 2) = 0.28 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.52 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 98 Versuchen höchstens 79 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.9.

P_{0.9}^{98} (X \leq 79)

=

P_{0.9}^{98} (X = 0)

+

P_{0.9}^{98} (X = 1)

+

P_{0.9}^{98} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{98} (X = 79)

= 0.0036368676960235 ≈ 0.0036
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.9,79))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 54 Versuchen mehr als 31 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.6.

...

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.6}^{54} (X > 31)

=

P_{0.6}^{54} (X \geq 32)

= 1 -

P_{0.6}^{54} (X \leq 31)

= 0.6019
(TI-Befehl: 1-binomcdf(54,0.6,31))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 73 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 41, aber höchstens 42 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

$P_{0.5}^{73} (41 \leq X \leq 42)$ =

...

38

39

40

41

42

43

44

...

P_{0.5}^{73} (X \leq 42)

-

P_{0.5}^{73} (X \leq 40)

≈ 0.9201 - 0.8254 ≈ 0.0947
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.5,42) - binomcdf(73,0.5,40))

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k