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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$ , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3 \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}$ ≈ 0.3472 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{3! ⋅ (9 - 3)!}$ = $\frac{9!}{3! ⋅ 6!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7}{3⋅2⋅1}$

= $\frac{3⋅8⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅4⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 84

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 3 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?

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Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 32⋅31⋅30 = 29760 Möglichkeiten, die 32 Möglichkeiten (Karten) auf die 3 "Ziehungen" (gezogene) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 29760 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{29760}{6}$ = 4960 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{32\cdot31\cdot30}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 29! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4960 = $\frac{32\cdot31\cdot30}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{32!}{3! ⋅ 29!}$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 34 und die 36 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{6! ⋅ 34!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 34 und die 36 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 34 und der 36 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 34 und der 36) zu setzen, also $(\begin{matrix} 38 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{38!}{4! ⋅ 34!}$ = $\frac{38⋅37⋅36⋅35}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 73815.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{73815}{3838380}$ ≈ 0.0192, also ca. 1.92%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 25-mal gewürfelt. Es werden hierbei 6 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 6 6er bei 25 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{25} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 25 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{19}

=0.11881393622023≈ 0.1188
(TI-Befehl: binompdf(25,1/6,6))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.8.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.04	≈ 0 + 0.04 = 0.04
1	≈ 0.15	≈ 0.04 + 0.15 = 0.19
2	≈ 0.26	≈ 0.19 + 0.26 = 0.45

Während P(X ≤ 1) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.45 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.81 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.55 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{31} (X \leq 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{31} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{31} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{31} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{31} (X = 7)

= 0.8680171863053 ≈ 0.868
(TI-Befehl: binomcdf(31,1/6,7))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 69 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als 20 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.4.

...

18

19

20

21

22

23

...

P_{0.4}^{69} (X > 20)

=

P_{0.4}^{69} (X \geq 21)

= 1 -

P_{0.4}^{69} (X \leq 20)

= 0.9614
(TI-Befehl: 1-binomcdf(69,0.4,20))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 100 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 55 und höchstens 60 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.5.

$P_{0.5}^{100} (55 \leq X \leq 60)$ =

...

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

...

P_{0.5}^{100} (X \leq 60)

-

P_{0.5}^{100} (X \leq 54)

≈ 0.9824 - 0.8159 ≈ 0.1665
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.5,60) - binomcdf(100,0.5,54))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k