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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim dritten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Da ja der Treffer genau im dritten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅0,3⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ = $0,3 \cdot {0,7}^{5}$ ≈ 0.0504 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{5! ⋅ (9 - 5)!}$ = $\frac{9!}{5! ⋅ 4!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{9⋅2⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{3⋅2⋅7⋅6}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅7⋅6}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19⋅18⋅17⋅16 = 93024 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 93024 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{93024}{24}$ = 3876 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

3876 = $\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{19!}{4! ⋅ 15!}$ = $(\begin{matrix} 19 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19, die 21 und die 40 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 19, die 21 und die 40 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 19, der 21 und der 40 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 37 Zahlen (alle außer der 19, der 21 und der 40) zu setzen, also $(\begin{matrix} 37 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{37!}{4! ⋅ 33!}$ = $\frac{37⋅36⋅35⋅34}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 66045.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{66045}{18643560}$ ≈ 0.0035, also ca. 0.35%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 33-mal gewürfelt. Es werden hierbei 4 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 4 6er bei 33 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{33} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 33 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{4} \cdot {(\frac{5}{6})}^{29}

=0.15961528883142≈ 0.1596
(TI-Befehl: binompdf(33,1/6,4))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42
4	≈ 0.23	≈ 0.42 + 0.23 = 0.65

Während P(X ≤ 3) = 0.42 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.58 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 54 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 27 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.5.

P_{0.5}^{54} (X \leq 27)

=

P_{0.5}^{54} (X = 0)

+

P_{0.5}^{54} (X = 1)

+

P_{0.5}^{54} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{54} (X = 27)

= 0.55403842444762 ≈ 0.554
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.5,27))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X > 10)

=

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \geq 11)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \leq 10)

= 0.4166
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60, $\frac{1}{6}$ ,10))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 58 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 29 und höchstens 34 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.5.

$P_{0.5}^{58} (29 \leq X \leq 34)$ =

...

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.5}^{58} (X \leq 34)

-

P_{0.5}^{58} (X \leq 28)

≈ 0.926 - 0.4478 ≈ 0.4782
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.5,34) - binomcdf(58,0.5,28))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k