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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,2, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,2 = 0,8. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = 0,2 · 0,8 2 .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = 3 · 0,2 · 0,8 2 ≈ 0.384 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 5 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 5 3 ) = 5! 3! ⋅ (5 - 3)! = 5! 3! ⋅ 2! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 5 3 ) = 5⋅4 2⋅1

= 5⋅2 1 (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6⋅5⋅4 = 840 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 840 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 840 24 = 35 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 7⋅6⋅5⋅4 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35 = 7⋅6⋅5⋅4 4⋅3⋅2⋅1 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7! 4! ⋅ 3! = ( 7 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 12 und die 19 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 40 8 ) = 40! 8! ⋅ 32! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 12 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 12 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 12 und der 19) zu setzen, also ( 38 6 ) = 38! 6! ⋅ 32! = 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 2760681.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 2760681 76904685 ≈ 0.0359, also ca. 3.59%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 40 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.55.

P0.5568 (X=40) = ( 68 40 ) ⋅ 0.5540 ⋅ 0.4528 =0.080007367313391≈ 0.08
(TI-Befehl: binompdf(68,0.55,40))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.28 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 45%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 63 Versuchen nicht mehr als 30 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.45.

P0.4563 (X≤30) = P0.4563 (X=0) + P0.4563 (X=1) + P0.4563 (X=2) +... + P0.4563 (X=30) = 0.70779485018342 ≈ 0.7078
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.45,30))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 2 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=31 und p= 1 6 .

0
1
2
3
4
5
...

P 1 6 31 (X>2) = P 1 6 31 (X≥3) = 1 - P 1 6 31 (X≤2) = 0.9094
(TI-Befehl: 1-binomcdf(31, 1 6 ,2))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 mal, aber weniger als 19 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p= 1 6 .

P 1 6 76 (6≤X≤18) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P 1 6 76 (X≤18) - P 1 6 76 (X≤5) ≈ 0.9586 - 0.0083 ≈ 0.9503
(TI-Befehl: binomcdf(76, 1 6 ,18) - binomcdf(76, 1 6 ,5))