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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau 2 Chips defekt sind.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,4, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,4 = $0,6$ . Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,6 \cdot {0,4}^{2}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = $3 \cdot 0,6 \cdot {0,4}^{2}$ ≈ 0.288 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{4! ⋅ (12 - 4)!}$ = $\frac{12!}{4! ⋅ 8!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{3⋅11⋅10⋅9}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅10⋅9}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅5⋅9}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 495

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 12 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 3 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 12⋅11⋅10 = 1320 Möglichkeiten, die 12 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 3 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1320 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{1320}{6}$ = 220 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 12 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 9! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

220 = $\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{12!}{3! ⋅ 9!}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{6! ⋅ 29!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 11 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 11 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 11) zu setzen, also $(\begin{matrix} 34 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{34!}{5! ⋅ 29!}$ = $\frac{34⋅33⋅32⋅31⋅30}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 278256.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{278256}{1623160}$ ≈ 0.1714, also ca. 17.14%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 64 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.5.

P_{0.5}^{64} (X = 27)

=

(\begin{matrix} 64 \\ 27 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{27} \cdot {0.5}^{37}

=0.045896282568475≈ 0.0459
(TI-Befehl: binompdf(64,0.5,27))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.8.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.8 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.8 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.8=0.2 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.07	≈ 0.01 + 0.07 = 0.08
2	≈ 0.17	≈ 0.08 + 0.17 = 0.25

Während P(X ≤ 1) = 0.08 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.25 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.92 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.75 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X \leq 8)

=

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{47} (X = 8)

= 0.61841032100393 ≈ 0.6184
(TI-Befehl: binomcdf(47,1/6,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \geq 11)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 10)

= 0.7249
(TI-Befehl: 1-binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,10))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 94 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 14 mal, aber weniger als 19 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{94} (15 \leq X \leq 18)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X \leq 18)

-

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X \leq 14)

≈ 0.7871 - 0.3842 ≈ 0.4029
(TI-Befehl: binomcdf(94, $\frac{1}{6}$ ,18) - binomcdf(94, $\frac{1}{6}$ ,14))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k