Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jeder Drehung außer der vierten in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,7, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,7 = $0,3$ . Da ja der Nicht-Treffer genau im vierten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,7⋅0,7⋅0,7⋅ $0,3$ ⋅0,7 = $0,3 \cdot {0,7}^{4}$ ≈ 0.072 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{0! ⋅ (11 - 0)!}$ = $\frac{11!}{0! ⋅ 11!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{1 ⋅ 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
11! = 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 0 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25⋅24⋅23⋅22 = 303600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 303600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{303600}{24}$ = 12650 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 21! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

12650 = $\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{25!}{4! ⋅ 21!}$ = $(\begin{matrix} 25 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{8! ⋅ 17!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 1081575 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 16 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 16 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 16) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{7! ⋅ 17!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 346104.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{346104}{1081575}$ ≈ 0.32, also ca. 32%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 57 Versuchen genau 31 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.65.

P_{0.65}^{57} (X = 31)

=

(\begin{matrix} 57 \\ 31 \end{matrix}) \cdot {0.65}^{31} \cdot {0.35}^{26}

=0.027113526489937≈ 0.0271
(TI-Befehl: binompdf(57,0.65,31))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.22	≈ 0.2 + 0.22 = 0.42

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.42 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 92 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 47 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.5.

P_{0.5}^{92} (X < 47)

=

P_{0.5}^{92} (X \leq 46)

=

P_{0.5}^{92} (X = 0)

+

P_{0.5}^{92} (X = 1)

+

P_{0.5}^{92} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{92} (X = 46)

= 0.54147974017376 ≈ 0.5415
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.5,46))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 42 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 6 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.25.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.25}^{42} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.25}^{42} (X \leq 5)

= 0.9693
(TI-Befehl: 1-binomcdf(42,0.25,5))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 50 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 39, aber höchstens 42 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.75.

$P_{0.75}^{50} (39 \leq X \leq 42)$ =

...

36

37

38

39

40

41

42

43

44

...

P_{0.75}^{50} (X \leq 42)

-

P_{0.75}^{50} (X \leq 38)

≈ 0.9547 - 0.6184 ≈ 0.3363
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.75,42) - binomcdf(50,0.75,38))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k