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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,6 \cdot {0,4}^{4}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5 \cdot 0,6 \cdot {0,4}^{4}$ ≈ 0.0768 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 16 \\ 14 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 16 \\ 14 \end{matrix})$ = $\frac{16!}{14! ⋅ (16 - 14)!}$ = $\frac{16!}{14! ⋅ 2!}$ = $\frac{16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
14! = 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 16 \\ 14 \end{matrix})$ = $\frac{16⋅15}{2⋅1}$

= $\frac{8⋅15}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 10 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 2 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9 = 90 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{90}{2}$ = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

45 = $\frac{10\cdot9}{2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{2! ⋅ 8!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 und die 18 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 20 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{20!}{6! ⋅ 14!}$ = $\frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 16 und die 18 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 16 und der 18 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 18 Zahlen (alle außer der 16 und der 18) zu setzen, also $(\begin{matrix} 18 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{18!}{4! ⋅ 14!}$ = $\frac{18⋅17⋅16⋅15}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 3060.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3060}{38760}$ ≈ 0.0789, also ca. 7.89%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 93 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 7 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.05.

P_{0.05}^{93} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 93 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {0.05}^{7} \cdot {0.95}^{86}

=0.08985373984995≈ 0.0899
(TI-Befehl: binompdf(93,0.05,7))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.08	≈ 0.04 + 0.08 = 0.12
4	≈ 0.15	≈ 0.12 + 0.15 = 0.27

Während P(X ≤ 3) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.27 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 42%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 47 Versuchen weniger als 24 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p=0.42.

P_{0.42}^{47} (X < 24)

=

P_{0.42}^{47} (X \leq 23)

=

P_{0.42}^{47} (X = 0)

+

P_{0.42}^{47} (X = 1)

+

P_{0.42}^{47} (X = 2)

+... +

P_{0.42}^{47} (X = 23)

= 0.866484169998 ≈ 0.8665
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.42,23))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 29 Versuchen mindestens 17 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.6.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.6}^{29} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.6}^{29} (X \leq 16)

= 0.6374
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.6,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 82% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 100 Versuchen mindestens 82 und weniger als 93 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.82.

$P_{0.82}^{100} (82 \leq X \leq 92)$ =

...

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

...

P_{0.82}^{100} (X \leq 92)

-

P_{0.82}^{100} (X \leq 81)

≈ 0.9986 - 0.4374 ≈ 0.5612
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.82,92) - binomcdf(100,0.82,81))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k