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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Chip alles fehlerfrei funktioniert.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 2-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 2-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,2 = $0,8$ ≈ 0.8 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{2! ⋅ (6 - 2)!}$ = $\frac{6!}{2! ⋅ 4!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5}{2⋅1}$

= $\frac{3⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 18⋅17 = 306 Möglichkeiten, die 18 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 306 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{306}{2}$ = 153 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{18\cdot17}{2\cdot1}$ könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

153 = $\frac{18\cdot17}{2\cdot1}$ = $\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{18!}{2! ⋅ 16!}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 8 und die 17 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{5! ⋅ 25!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 8 und die 17 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 8 und der 17 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 8 und der 17) zu setzen, also $(\begin{matrix} 28 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{28!}{3! ⋅ 25!}$ = $\frac{28⋅27⋅26}{3⋅2⋅1}$ = 3276.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3276}{142506}$ ≈ 0.023, also ca. 2.3%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 44-mal gewürfelt. Es werden hierbei 5 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 5 6er bei 44 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 44 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{5} \cdot {(\frac{5}{6})}^{39}

=0.11402712558393≈ 0.114
(TI-Befehl: binompdf(44,1/6,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.7.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.7 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.7 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.7=0.3 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
1	≈ 0.1	≈ 0.02 + 0.1 = 0.12
2	≈ 0.21	≈ 0.12 + 0.21 = 0.33

Während P(X ≤ 1) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.33 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.88 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.67 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 62 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,75. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 46 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.75.

P_{0.75}^{62} (X < 46)

=

P_{0.75}^{62} (X \leq 45)

=

P_{0.75}^{62} (X = 0)

+

P_{0.75}^{62} (X = 1)

+

P_{0.75}^{62} (X = 2)

+... +

P_{0.75}^{62} (X = 45)

= 0.37624517601699 ≈ 0.3762
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.75,45))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,86. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 78 Versuchen mindestens 59 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.86.

...

56

57

58

59

60

61

...

P_{0.86}^{78} (X \geq 59)

= 1 -

P_{0.86}^{78} (X \leq 58)

= 0.9954
(TI-Befehl: 1-binomcdf(78,0.86,58))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 78% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 85 Versuchen mindestens 58 und weniger als 76 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.78.

$P_{0.78}^{85} (58 \leq X \leq 75)$ =

...

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

...

P_{0.78}^{85} (X \leq 75)

-

P_{0.78}^{85} (X \leq 57)

≈ 0.9949 - 0.0132 ≈ 0.9817
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.78,75) - binomcdf(85,0.78,57))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k