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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei 2 mal eine "6" gewürfelt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Wenn genau 2 Treffer unter den 3 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 3 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)

Bei jedem dieser 3 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = 5 6 · ( 1 6 ) 2 .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 3 Fälle gilt somit P = 3 · 5 6 · ( 1 6 ) 2 ≈ 0.0694 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 16 14 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 16 14 ) = 16! 14! ⋅ (16 - 14)! = 16! 14! ⋅ 2! = 16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
14! = 14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 16 14 ) = 16⋅15 2⋅1

= 8⋅15 1 (gekürzt mit 2)

= 120

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25⋅24 = 600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 600 2 = 300 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 25⋅24 2⋅1 könnte man mit 23! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

300 = 25⋅24 2⋅1 = 25⋅24 ⋅23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2⋅1 ⋅23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 25! 2! ⋅ 23! = ( 25 2 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1, die 7 und die 10 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 20 8 ) = 20! 8! ⋅ 12! = 20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 1, die 7 und die 10 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 1, der 7 und der 10 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 17 Zahlen (alle außer der 1, der 7 und der 10) zu setzen, also ( 17 5 ) = 17! 5! ⋅ 12! = 17⋅16⋅15⋅14⋅13 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6188.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 6188 125970 ≈ 0.0491, also ca. 4.91%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 74 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 58 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.7.

P0.774 (X=58) = ( 74 58 ) ⋅ 0.758 ⋅ 0.316 =0.030018271128273≈ 0.03
(TI-Befehl: binompdf(74,0.7,58))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.3.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.01≈ 0 + 0.01 = 0.01
1≈ 0.05≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2≈ 0.14≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3≈ 0.23≈ 0.2 + 0.23 = 0.43
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.43 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 58%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 96 Versuchen weniger als 60 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.58.

P0.5896 (X<60) = P0.5896 (X≤59) = P0.5896 (X=0) + P0.5896 (X=1) + P0.5896 (X=2) +... + P0.5896 (X=59) = 0.78452792787162 ≈ 0.7845
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.58,59))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 44 Versuchen mindestens 19 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.35.

...
16
17
18
19
20
21
...

P0.3544 (X≥19) = 1 - P0.3544 (X≤18) = 0.1634
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.35,18))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 88 Versuchen mindestens 64 und weniger als 72 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.75.

P0.7588 (64≤X≤71) =

...
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
...

P0.7588 (X≤71) - P0.7588 (X≤63) ≈ 0.9154 - 0.265 ≈ 0.6504
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.75,71) - binomcdf(88,0.75,63))