Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 Ausschuss. Es werden nacheinander 5 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,2, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,2 = $0,8$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,2⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ = $0,2 \cdot {0,8}^{4}$ ≈ 0.0819 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$ = $\frac{12!}{11! ⋅ (12 - 11)!}$ = $\frac{12!}{11! ⋅ 1!}$ = $\frac{12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
11! = 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix})$ = $\frac{12}{1}$

= 12

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{720}{6}$ = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = $\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{3! ⋅ 7!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{8! ⋅ 32!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 19 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 19 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 19) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{7! ⋅ 32!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15380937.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{15380937}{76904685}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 44 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 35 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.7.

P_{0.7}^{44} (X = 35)

=

(\begin{matrix} 44 \\ 35 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{35} \cdot {0.3}^{9}

=0.052859902663964≈ 0.0529
(TI-Befehl: binompdf(44,0.7,35))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.75.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.75 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.75 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.75=0.25 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
1	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
2	≈ 0.14	≈ 0.06 + 0.14 = 0.2
3	≈ 0.23	≈ 0.2 + 0.23 = 0.43

Während P(X ≤ 2) = 0.2 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.43 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.8 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.57 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 11) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 8 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

P_{0.25}^{48} (X \leq 8)

=

P_{0.25}^{48} (X = 0)

+

P_{0.25}^{48} (X = 1)

+

P_{0.25}^{48} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{48} (X = 8)

= 0.11904902880815 ≈ 0.119
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.25,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen mehr als 37 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.55.

...

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.55}^{79} (X > 37)

=

P_{0.55}^{79} (X \geq 38)

= 1 -

P_{0.55}^{79} (X \leq 37)

= 0.9105
(TI-Befehl: 1-binomcdf(79,0.55,37))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und höchstens 18 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 100 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.125.

$P_{0.125}^{100} (3 \leq X \leq 18)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.125}^{100} (X \leq 18)

-

P_{0.125}^{100} (X \leq 2)

≈ 0.9595 - 0.0002 ≈ 0.9593
(TI-Befehl: binomcdf(100,0.125,18) - binomcdf(100,0.125,2))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k