Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 5 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0,4$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,6⋅ $0,4$ ⋅ $0,4$ ⋅ $0,4$ ⋅ $0,4$ = $0,6 \cdot {0,4}^{4}$ ≈ 0.0154 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{9! ⋅ (10 - 9)!}$ = $\frac{10!}{9! ⋅ 1!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$ = $\frac{10}{1}$

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 23-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 23⋅22 = 506 Möglichkeiten, die 23 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 506 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{506}{2}$ = 253 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 23 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{23\cdot22}{2\cdot1}$ könnte man mit 21! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

253 = $\frac{23\cdot22}{2\cdot1}$ = $\frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{23!}{2! ⋅ 21!}$ = $(\begin{matrix} 23 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 4 und die 28 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{30!}{5! ⋅ 25!}$ = $\frac{30⋅29⋅28⋅27⋅26}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 142506 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 4 und die 28 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 4 und der 28 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 28 Zahlen (alle außer der 4 und der 28) zu setzen, also $(\begin{matrix} 28 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{28!}{3! ⋅ 25!}$ = $\frac{28⋅27⋅26}{3⋅2⋅1}$ = 3276.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{3276}{142506}$ ≈ 0.023, also ca. 2.3%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 52 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 14 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{52} (X = 14)

=

(\begin{matrix} 52 \\ 14 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{14} \cdot {(\frac{3}{4})}^{38}

=0.11781692963534≈ 0.1178
(TI-Befehl: binompdf(52,1/4,14))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.65.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.65 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.65 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.65=0.35 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.09	≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4	≈ 0.17	≈ 0.13 + 0.17 = 0.3
5	≈ 0.22	≈ 0.3 + 0.22 = 0.52

Während P(X ≤ 4) = 0.3 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.52 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.7 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.65, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.48 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 22 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,9.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 22 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.9.

P_{0.9}^{22} (X \leq 22)

=

P_{0.9}^{22} (X = 0)

+

P_{0.9}^{22} (X = 1)

+

P_{0.9}^{22} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{22} (X = 22)

= 1 ≈ 1
(TI-Befehl: binomcdf(22,0.9,22))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 29 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 6 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.17.

...

3

4

5

6

7

8

...

P_{0.17}^{29} (X \geq 6)

= 1 -

P_{0.17}^{29} (X \leq 5)

= 0.37
(TI-Befehl: 1-binomcdf(29,0.17,5))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{96} (16 \leq X \leq 17)$ =

...

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 15)

≈ 0.6685 - 0.4576 ≈ 0.2109
(TI-Befehl: binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,15))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k