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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau 5 Chips defekt sind.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Wenn genau 5 Treffer unter den 6 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 6 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 5-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 6-ten Versuch)

Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0,7 \cdot {0,3}^{5}$ .

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = $6 \cdot 0,7 \cdot {0,3}^{5}$ ≈ 0.0102 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{7!}{7! ⋅ (7 - 7)!}$ = $\frac{7!}{7! ⋅ 0!}$ = $\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{1}{1}$

= 1

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 23-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 21 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 23⋅22⋅21 = 10626 Möglichkeiten, die 23 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3⋅2⋅1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 10626 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{10626}{6}$ = 1771 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 23 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{23\cdot22\cdot21}{3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 20! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

1771 = $\frac{23\cdot22\cdot21}{3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{23!}{3! ⋅ 20!}$ = $(\begin{matrix} 23 \\ 3 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 11 und die 25 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{7! ⋅ 33!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 18643560 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 11 und die 25 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 11 und der 25 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 38 Zahlen (alle außer der 11 und der 25) zu setzen, also $(\begin{matrix} 38 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{38!}{5! ⋅ 33!}$ = $\frac{38⋅37⋅36⋅35⋅34}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 501942.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{501942}{18643560}$ ≈ 0.0269, also ca. 2.69%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 64 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 16 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{64} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 64 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{16} \cdot {(\frac{5}{6})}^{48}

=0.027401144252157≈ 0.0274
(TI-Befehl: binompdf(64,1/6,16))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33
6	≈ 0.21	≈ 0.33 + 0.21 = 0.54

Während P(X ≤ 5) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 6) = 0.54 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 64 Versuchen weniger als 47 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.7.

P_{0.7}^{64} (X < 47)

=

P_{0.7}^{64} (X \leq 46)

=

P_{0.7}^{64} (X = 0)

+

P_{0.7}^{64} (X = 1)

+

P_{0.7}^{64} (X = 2)

+... +

P_{0.7}^{64} (X = 46)

= 0.67317680085083 ≈ 0.6732
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.7,46))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,83. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 27 Versuchen mindestens 20 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.83.

...

17

18

19

20

21

22

...

P_{0.83}^{27} (X \geq 20)

= 1 -

P_{0.83}^{27} (X \leq 19)

= 0.9254
(TI-Befehl: 1-binomcdf(27,0.83,19))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 84 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 14, aber weniger als 28 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p=0.25.

$P_{0.25}^{84} (14 \leq X \leq 27)$ =

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

...

P_{0.25}^{84} (X \leq 27)

-

P_{0.25}^{84} (X \leq 13)

≈ 0.9461 - 0.0251 ≈ 0.921
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.25,27) - binomcdf(84,0.25,13))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k