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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine einzige "6" gewürfelt wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) q = 1 - 1 6 = 5 6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 5 Nicht-Treffer bei 5 Versuchen P = ( 5 6 ) 5 ≈ 0.4019 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 4 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 4 3 ) = 4! 3! ⋅ (4 - 3)! = 4! 3! ⋅ 1! = 4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 4 3 ) = 4 1

= 4

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 3 Felder aussuchen und ankreuzen.
Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 3 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 720 6 = 120 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10 ⋅ 9 ⋅ 8 3 ⋅ 2 ⋅ 1 könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

120 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10 ⋅ 9 ⋅ 87 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ 17 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 3! ⋅ 7! = ( 10 3 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6, die 17 und die 30 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 35 6 ) = 35! 6! ⋅ 29! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 6, die 17 und die 30 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 6, der 17 und der 30 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 6, der 17 und der 30) zu setzen, also ( 32 3 ) = 32! 3! ⋅ 29! = 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 = 4960.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse = 4960 1623160 ≈ 0.0031, also ca. 0.31%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 85 Versuchen genau 34 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.45.

P0.4585 (X=34) = ( 85 34 ) 0.4534 0.5551 =0.057110488888254≈ 0.0571
(TI-Befehl: binompdf(85,0.45,34))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.8.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(x) ≤ k
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
2≈ 0.08≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3≈ 0.17≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4≈ 0.22≈ 0.28 + 0.22 = 0.5
5≈ 0.22≈ 0.5 + 0.22 = 0.72
6≈ 0.15≈ 0.72 + 0.15 = 0.87
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(x ≤ 5) = 0.72 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.8 liegt, ist P(x ≤ 6) = 0.87 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 49 Versuchen nicht mehr als 8 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.25.

P0.2549 (X8) = P0.2549 (X=0) + P0.2549 (X=1) + P0.2549 (X=2) +... + P0.2549 (X=8) = 0.10457285428644 ≈ 0.1046
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.25,8))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 24 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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0
1
2
3
...

P0.12524 (X1) = 1 - P0.12524 (X0) = 0.9594
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.125,0))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 14 mal, aber weniger als 19 mal eine sechs gewürfelt wird?

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P 1 6 68 (15X18) =

...
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P 1 6 68 (X18) - P 1 6 68 (X14) ≈ 0.9864 - 0.8486 ≈ 0.1378
(TI-Befehl: binomcdf(68, 1 6 ,18) - binomcdf(68, 1 6 ,14))