Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim zweiten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Da ja der Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = $0,7$ ⋅0,3⋅ $0,7$ = $0,3 \cdot {0,7}^{2}$ ≈ 0.147 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{4! ⋅ (9 - 4)!}$ = $\frac{9!}{4! ⋅ 5!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{9⋅2⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{3⋅2⋅7⋅6}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅7⋅6}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 20-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 20⋅19⋅18⋅17 = 116280 Möglichkeiten, die 20 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 116280 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{116280}{24}$ = 4845 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 20 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 16! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

4845 = $\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{20!}{4! ⋅ 16!}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 4 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{5! ⋅ 20!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 4 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 4 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 4) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{4! ⋅ 20!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{10626}{53130}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 68 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 49 mal eine blaue Kugel gezogen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.7.

P_{0.7}^{68} (X = 49)

=

(\begin{matrix} 68 \\ 49 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{49} \cdot {0.3}^{19}

=0.1000843599019≈ 0.1001
(TI-Befehl: binompdf(68,0.7,49))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.6.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.6 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.6 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.6=0.4 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.08	≈ 0.03 + 0.08 = 0.11
3	≈ 0.17	≈ 0.11 + 0.17 = 0.28
4	≈ 0.22	≈ 0.28 + 0.22 = 0.5

Während P(X ≤ 3) = 0.28 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.4 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.5 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.72 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 4 bis 13) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.6, während P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.5 (die Summe der Säulenhöhen von 5 bis 13) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 26 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.5.

P_{0.5}^{53} (X < 26)

=

P_{0.5}^{53} (X \leq 25)

=

P_{0.5}^{53} (X = 0)

+

P_{0.5}^{53} (X = 1)

+

P_{0.5}^{53} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{53} (X = 25)

= 0.39192315110475 ≈ 0.3919
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.5,25))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 67 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 11 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.22.

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.22}^{67} (X \geq 11)

= 1 -

P_{0.22}^{67} (X \leq 10)

= 0.898
(TI-Befehl: 1-binomcdf(67,0.22,10))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 13 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{63} (8 \leq X \leq 12)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X \leq 12)

-

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X \leq 7)

≈ 0.7569 - 0.1545 ≈ 0.6024
(TI-Befehl: binomcdf(63, $\frac{1}{6}$ ,12) - binomcdf(63, $\frac{1}{6}$ ,7))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k