Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 4 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jedes mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) p = 0,7 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer bei 4 Versuchen P = ${0,7}^{4}$ ≈ 0.2401 betragen, da ja bei jedem Versuch ein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{10!}{4! ⋅ (10 - 4)!}$ = $\frac{10!}{4! ⋅ 6!}$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{10⋅9⋅8⋅7}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{10⋅9⋅2⋅7}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{10⋅3⋅2⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{10⋅3⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 210

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 5 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 5er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede SchülerIn möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (SchülerInnen) auf die 5 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{30240}{120}$ = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (SchülerInnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = $\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{10!}{5! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 5 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 19 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{5! ⋅ 20!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 19 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 19 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 19) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{4! ⋅ 20!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{10626}{53130}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 91 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 91 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{85}

=0.0026578371753547≈ 0.0027
(TI-Befehl: binompdf(91,1/6,6))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.5.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.5 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.5 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.5=0.5 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3	≈ 0.26	≈ 0.39 + 0.26 = 0.65

Während P(X ≤ 2) = 0.39 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.61 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 3 bis 12) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5, während P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.35 (die Summe der Säulenhöhen von 4 bis 12) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 3.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 48 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 10 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.25.

P_{0.25}^{48} (X \leq 10)

=

P_{0.25}^{48} (X = 0)

+

P_{0.25}^{48} (X = 1)

+

P_{0.25}^{48} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{48} (X = 10)

= 0.31635392599294 ≈ 0.3164
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.25,10))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,18 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 43 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 10 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.18.

...

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.18}^{43} (X \geq 10)

= 1 -

P_{0.18}^{43} (X \leq 9)

= 0.2356
(TI-Befehl: 1-binomcdf(43,0.18,9))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 6 und höchstens 11 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 77 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=77 und p=0.125.

$P_{0.125}^{77} (7 \leq X \leq 11)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.125}^{77} (X \leq 11)

-

P_{0.125}^{77} (X \leq 6)

≈ 0.749 - 0.1383 ≈ 0.6107
(TI-Befehl: binomcdf(77,0.125,11) - binomcdf(77,0.125,6))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k