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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 4 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der dritten Drehung nicht der grüne Bereich erzielt wird.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 3-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 3-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = 1 - 0,3 = 0,7 ≈ 0.7 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 8 6 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 8 6 ) = 8! 6! ⋅ (8 - 6)! = 8! 6! ⋅ 2! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 8 6 ) = 8⋅7 2⋅1

= 4⋅7 1 (gekürzt mit 2)

= 28

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3 = 360 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 360 24 = 15 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 6⋅5⋅4⋅3 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 2! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = 6⋅5⋅4⋅3 4⋅3⋅2⋅1 = 6⋅5⋅4⋅3 ⋅2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅2 ⋅ 1 = 6! 4! ⋅ 2! = ( 6 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 6 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 35 4 ) = 35! 4! ⋅ 31! = 35⋅34⋅33⋅32 4⋅3⋅2⋅1 = 52360 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 6 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 6 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 34 Zahlen (alle außer der 6) zu setzen, also ( 34 3 ) = 34! 3! ⋅ 31! = 34⋅33⋅32 3⋅2⋅1 = 5984.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 5984 52360 ≈ 0.1143, also ca. 11.43%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 5 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.1.

P0.161 (X=5) = ( 61 5 ) ⋅ 0.15 ⋅ 0.956 =0.16294282022108≈ 0.1629
(TI-Befehl: binompdf(61,0.1,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.35.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.04≈ 0 + 0.04 = 0.04
1≈ 0.15≈ 0.04 + 0.15 = 0.19
2≈ 0.26≈ 0.19 + 0.26 = 0.45
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.19 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.35 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.45 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 32 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass weniger als 17 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.5.

P0.532 (X<17) = P0.532 (X≤16) = P0.532 (X=0) + P0.532 (X=1) + P0.532 (X=2) +... + P0.532 (X=16) = 0.56997496704571 ≈ 0.57
(TI-Befehl: binomcdf(32,0.5,16))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 65 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 14 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.25.

...
11
12
13
14
15
16
...

P0.2565 (X≥14) = 1 - P0.2565 (X≤13) = 0.7818
(TI-Befehl: 1-binomcdf(65,0.25,13))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 und höchstens 18 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 89 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.125.

P0.12589 (9≤X≤18) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P0.12589 (X≤18) - P0.12589 (X≤8) ≈ 0.9869 - 0.2033 ≈ 0.7836
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.125,18) - binomcdf(89,0.125,8))