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cosh
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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 70%. Es wird 6 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der fünften Drehung der grüne Bereich erzielt wird.
Da hier ja nur eine Aussage über den 5-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 5-te Versuch
betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = ≈ 0.7 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 4)
= (gekürzt mit 3)
= (gekürzt mit 2)
= 126
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 2 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?
Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 90 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 45 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 8! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
45 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.
Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2, die 14 und die 19 dabei sind?
Es gibt insgesamt = = = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 2, die 14 und die 19 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 2, der 14 und der 19 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 22 Zahlen (alle außer der 2, der 14 und der 19) zu setzen, also = = = 7315.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.0152, also ca. 1.52%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 25 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 4 Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=.
= =0.11752684871342≈ 0.1175(TI-Befehl: binompdf(25,1/4,4))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | ≈ 0 | ≈ 0 + 0 = 0 |
| 1 | ≈ 0.03 | ≈ 0 + 0.03 = 0.03 |
| 2 | ≈ 0.09 | ≈ 0.03 + 0.09 = 0.12 |
| 3 | ≈ 0.18 | ≈ 0.12 + 0.18 = 0.3 |
Während P(X ≤ 2) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.3 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 3.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 28 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 9 Fragen richtig beantwortet hat?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p=0.25.
= + + +... + = 0.86154646507119 ≈ 0.8615(TI-Befehl: binomcdf(28,0.25,9))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,92. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 43 Versuchen mehr als 38 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.92.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(43,0.92,38))
Binomialverteilung l < X < k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 91% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 80 Versuchen mindestens 71 und weniger als 79 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.91.
=
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.91,78) - binomcdf(80,0.91,70))
