Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Chip ein Defekt vorliegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,25, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,25 = $0,75$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,25⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ = $0,25 \cdot {0,75}^{3}$ ≈ 0.1055 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{6!}{4! ⋅ (6 - 4)!}$ = $\frac{6!}{4! ⋅ 2!}$ = $\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{6⋅5}{2⋅1}$

= $\frac{3⋅5}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 15

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 20-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 20⋅19 = 380 Möglichkeiten, die 20 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 380 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{380}{2}$ = 190 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 20 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{20\cdot19}{2\cdot1}$ könnte man mit 18! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

190 = $\frac{20\cdot19}{2\cdot1}$ = $\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{20!}{2! ⋅ 18!}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 37 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 40 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{40!}{8! ⋅ 32!}$ = $\frac{40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 76904685 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 37 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 37 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 37) zu setzen, also $(\begin{matrix} 39 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{39!}{7! ⋅ 32!}$ = $\frac{39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 15380937.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{15380937}{76904685}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 81 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 49 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe mit Zahl an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.5.

P_{0.5}^{81} (X = 49)

=

(\begin{matrix} 81 \\ 49 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{49} \cdot {0.5}^{32}

=0.014979815948518≈ 0.015
(TI-Befehl: binompdf(81,0.5,49))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.15.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.06	≈ 0 + 0.06 = 0.06
1	≈ 0.19	≈ 0.06 + 0.19 = 0.25

Während P(X ≤ 0) = 0.06 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.15 liegt, ist P(X ≤ 1) = 0.25 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 1.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 55 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,7.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 42 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.7.

P_{0.7}^{55} (X \leq 42)

=

P_{0.7}^{55} (X = 0)

+

P_{0.7}^{55} (X = 1)

+

P_{0.7}^{55} (X = 2)

+... +

P_{0.7}^{55} (X = 42)

= 0.8822701413048 ≈ 0.8823
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.7,42))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 44 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 8 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{6}$ .

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X > 8)

=

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \geq 9)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{44} (X \leq 8)

= 0.3063
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44, $\frac{1}{6}$ ,8))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 mal, aber weniger als 17 mal eine sechs gewürfelt wird?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{6}$ .

$P_{\frac{1}{6}}^{84} (6 \leq X \leq 16)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{84} (X \leq 5)

≈ 0.7725 - 0.0031 ≈ 0.7694
(TI-Befehl: binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(84, $\frac{1}{6}$ ,5))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k