Mathebattle EduRandomtasks

0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 4 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips fehlerfrei funktionieren.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,3 = $0,7$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Nicht-Treffer bei 4 Versuchen P = ${0,7}^{4}$ ≈ 0.2401 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{11!}{6! ⋅ (11 - 6)!}$ = $\frac{11!}{6! ⋅ 5!}$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 11 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{11⋅10⋅9⋅8⋅7}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{11⋅2⋅9⋅8⋅7}{4⋅3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 5)

= $\frac{11⋅2⋅9⋅2⋅7}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{11⋅2⋅3⋅2⋅7}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{11⋅3⋅2⋅7}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 462

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 720 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{720}{120}$ = 6 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 1! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

6 = $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}$ = $\frac{6!}{5! ⋅ 1!}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 13, die 29 und die 34 dabei sind?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 35 \\ 8 \end{matrix})$ = $\frac{35!}{8! ⋅ 27!}$ = $\frac{35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 23535820 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 13, die 29 und die 34 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 13, der 29 und der 34 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 13, der 29 und der 34) zu setzen, also $(\begin{matrix} 32 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{32!}{5! ⋅ 27!}$ = $\frac{32⋅31⋅30⋅29⋅28}{5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 201376.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{201376}{23535820}$ ≈ 0.0086, also ca. 0.86%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 82 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 75 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.95.

P_{0.95}^{82} (X = 75)

=

(\begin{matrix} 82 \\ 75 \end{matrix}) \cdot {0.95}^{75} \cdot {0.05}^{7}

=0.063393504396449≈ 0.0634
(TI-Befehl: binompdf(82,0.95,75))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.02	≈ 0 + 0.02 = 0.02
2	≈ 0.06	≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3	≈ 0.14	≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4	≈ 0.2	≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
5	≈ 0.22	≈ 0.42 + 0.22 = 0.64

Während P(X ≤ 4) = 0.42 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.64 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.58 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 14) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.36 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 14) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 56%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 62 Versuchen nicht mehr als 32 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.56.

P_{0.56}^{62} (X \leq 32)

=

P_{0.56}^{62} (X = 0)

+

P_{0.56}^{62} (X = 1)

+

P_{0.56}^{62} (X = 2)

+... +

P_{0.56}^{62} (X = 32)

= 0.28401589726463 ≈ 0.284
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.56,32))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,66. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 30 Versuchen mehr als 16 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.66.

...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.66}^{30} (X > 16)

=

P_{0.66}^{30} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.66}^{30} (X \leq 16)

= 0.8966
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.66,16))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 12 und höchstens 17 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 86 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.125.

$P_{0.125}^{86} (13 \leq X \leq 17)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.125}^{86} (X \leq 17)

-

P_{0.125}^{86} (X \leq 12)

≈ 0.9813 - 0.7251 ≈ 0.2562
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.125,17) - binomcdf(86,0.125,12))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k