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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Chip ein Defekt vorliegt.

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Da hier ja nur eine Aussage über den 1-ten Versuch gemacht wird und keine Aussage über alle anderen Versuche, muss auch nur der 1-te Versuch betrachtet werden.
(In jedem anderen Versuch ist die Wahrscheinlichkeit 1, da es ja keine Einschränkung für diesen Versuch gibt.)

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit einfach P = $0,25$ ≈ 0.25 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9!}{5! ⋅ (9 - 5)!}$ = $\frac{9!}{5! ⋅ 4!}$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 4⋅3⋅2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix})$ = $\frac{9⋅8⋅7⋅6}{4⋅3⋅2⋅1}$

= $\frac{9⋅2⋅7⋅6}{3⋅2⋅1}$ (gekürzt mit 4)

= $\frac{3⋅2⋅7⋅6}{2⋅1}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{3⋅7⋅6}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 126

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 9 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8⋅7⋅6 = 3024 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 3024 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{3024}{24}$ = 126 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

126 = $\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{9!}{4! ⋅ 5!}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 17 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 7 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{7! ⋅ 18!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 17 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 17 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 6 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 17) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{6! ⋅ 18!}$ = $\frac{24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19}{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}$ = 134596.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{134596}{480700}$ ≈ 0.28, also ca. 28%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 59-mal gewürfelt. Es werden hierbei 16 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 16 6er bei 59 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{59} (X = 16)

=

(\begin{matrix} 59 \\ 16 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{16} \cdot {(\frac{5}{6})}^{43}

=0.015312417019007≈ 0.0153
(TI-Befehl: binompdf(59,1/6,16))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.45.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
3	≈ 0.11	≈ 0.06 + 0.11 = 0.17
4	≈ 0.18	≈ 0.17 + 0.18 = 0.35
5	≈ 0.22	≈ 0.35 + 0.22 = 0.57

Während P(X ≤ 4) = 0.35 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.57 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 65 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 20 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.25.

P_{0.25}^{65} (X \leq 20)

=

P_{0.25}^{65} (X = 0)

+

P_{0.25}^{65} (X = 1)

+

P_{0.25}^{65} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{65} (X = 20)

= 0.88652726277421 ≈ 0.8865
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.25,20))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 46 Versuchen mindestens 9 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.25.

...

6

7

8

9

10

11

...

P_{0.25}^{46} (X \geq 9)

= 1 -

P_{0.25}^{46} (X \leq 8)

= 0.8471
(TI-Befehl: 1-binomcdf(46,0.25,8))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 57 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 31 und höchstens 32 beträgt?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.55.

$P_{0.55}^{57} (31 \leq X \leq 32)$ =

...

28

29

30

31

32

33

34

...

P_{0.55}^{57} (X \leq 32)

-

P_{0.55}^{57} (X \leq 30)

≈ 0.6186 - 0.409 ≈ 0.2096
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.55,32) - binomcdf(57,0.55,30))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k