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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 30%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur beim ersten Drehen der grüne Bereich erzielt wird.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,3, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,3 = $0,7$ . Da ja der Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 0,3⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ = $0,3 \cdot {0,7}^{2}$ ≈ 0.147 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4!}{2! ⋅ (4 - 2)!}$ = $\frac{4!}{2! ⋅ 2!}$ = $\frac{4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1 ⋅ 2⋅1}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
2! = 2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ = $\frac{4⋅3}{2⋅1}$

= $\frac{2⋅3}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 6

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 7 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 7⋅6⋅5⋅4 = 840 Möglichkeiten, die 7 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 840 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{840}{24}$ = 35 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 7 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

35 = $\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$ = $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ = $\frac{7!}{4! ⋅ 3!}$ = $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.

Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 3 dabei ist?

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Es gibt insgesamt $(\begin{matrix} 25 \\ 4 \end{matrix})$ = $\frac{25!}{4! ⋅ 21!}$ = $\frac{25⋅24⋅23⋅22}{4⋅3⋅2⋅1}$ = 12650 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 4 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 3 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 3 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 3) zu setzen, also $(\begin{matrix} 24 \\ 3 \end{matrix})$ = $\frac{24!}{3! ⋅ 21!}$ = $\frac{24⋅23⋅22}{3⋅2⋅1}$ = 2024.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ = $\frac{2024}{12650}$ ≈ 0.16, also ca. 16%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 20 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 14 defekte Chips enthalten sind.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.75.

P_{0.75}^{20} (X = 14)

=

(\begin{matrix} 20 \\ 14 \end{matrix}) \cdot {0.75}^{14} \cdot {0.25}^{6}

=0.1686092932141≈ 0.1686
(TI-Befehl: binompdf(20,0.75,14))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.2.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
2	≈ 0.03	≈ 0.01 + 0.03 = 0.04
3	≈ 0.09	≈ 0.04 + 0.09 = 0.13
4	≈ 0.17	≈ 0.13 + 0.17 = 0.3

Während P(X ≤ 3) = 0.13 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.3 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 58 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,3. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 14 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.3.

P_{0.3}^{58} (X < 14)

=

P_{0.3}^{58} (X \leq 13)

=

P_{0.3}^{58} (X = 0)

+

P_{0.3}^{58} (X = 1)

+

P_{0.3}^{58} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{58} (X = 13)

= 0.13061450184189 ≈ 0.1306
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.3,13))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,91. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 76 Versuchen mehr als 67 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.91.

...

65

66

67

68

69

70

...

P_{0.91}^{76} (X > 67)

=

P_{0.91}^{76} (X \geq 68)

= 1 -

P_{0.91}^{76} (X \leq 67)

= 0.7569
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76,0.91,67))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 69 Versuchen mindestens 51 und weniger als 53 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.7.

$P_{0.7}^{69} (51 \leq X \leq 52)$ =

...

48

49

50

51

52

53

54

...

P_{0.7}^{69} (X \leq 52)

-

P_{0.7}^{69} (X \leq 50)

≈ 0.8661 - 0.7142 ≈ 0.1519
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.7,52) - binomcdf(69,0.7,50))

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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Anwendungen

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Formel v. Bernoulli

kumulierte WS aus Histogramm finden

kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung X>=k

Binomialverteilung l < X < k