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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 40%. Es wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,4 = 0,6 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = 0,6 3 ≈ 0.216 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 12 9 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 12 9 ) = 12! 9! ⋅ (12 - 9)! = 12! 9! ⋅ 3! = 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
9! = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 12 9 ) = 12⋅11⋅10 3⋅2⋅1

= 4⋅11⋅10 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 2⋅11⋅10 1 (gekürzt mit 2)

= 220

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Eine Eisdiele bietet 8 verschiedene Eissorten an. Rüdiger darf sich ein Eis mit 4 Kugeln zusammenstellen. Er möchte aber auf jeden Fall lauter verschiedene Eissorten in seinem Eis haben. Wieviele Möglichkeiten hat er sich solch ein Eis zusammenzustellen?

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Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5 = 1680 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 4 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 1680 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 1680 24 = 70 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 8 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 8⋅7⋅6⋅5 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 4! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

70 = 8⋅7⋅6⋅5 4⋅3⋅2⋅1 = 8⋅7⋅6⋅5 ⋅4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8! 4! ⋅ 4! = ( 8 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 35 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 35 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1, die 9 und die 17 dabei sind?

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Es gibt insgesamt ( 35 6 ) = 35! 6! ⋅ 29! = 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 1623160 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 35 zu ziehen, bzw. von 35 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn drei der gezogenen Zahlen die 1, die 9 und die 17 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 35 Zahlen anzukreuzen, wobei drei Kreuze sicher auf der der 1, der 9 und der 17 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 32 Zahlen (alle außer der 1, der 9 und der 17) zu setzen, also ( 32 3 ) = 32! 3! ⋅ 29! = 32⋅31⋅30 3⋅2⋅1 = 4960.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 4960 1623160 ≈ 0.0031, also ca. 0.31%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 51 Versuchen genau 37 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.8.

P0.851 (X=37) = ( 51 37 ) ⋅ 0.837 ⋅ 0.214 =0.054985639616036≈ 0.055
(TI-Befehl: binompdf(51,0.8,37))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.7.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
1≈ 0.09≈ 0.02 + 0.09 = 0.11
2≈ 0.2≈ 0.11 + 0.2 = 0.31
3≈ 0.26≈ 0.31 + 0.26 = 0.57
4≈ 0.22≈ 0.57 + 0.22 = 0.79
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 3) = 0.57 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.79 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 4.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 99 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,5. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 53 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.5.

P0.599 (X<53) = P0.599 (X≤52) = P0.599 (X=0) + P0.599 (X=1) + P0.599 (X=2) +... + P0.599 (X=52) = 0.72664325820059 ≈ 0.7266
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.5,52))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 49 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.125.

0
1
2
3
4
5
...

P0.12549 (X≥3) = 1 - P0.12549 (X≤2) = 0.9539
(TI-Befehl: 1-binomcdf(49,0.125,2))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 94 Versuchen, mehr als 60 mal und höchstens 71 mal im grünen Bereich zu landen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.75.

P0.7594 (61≤X≤71) =

...
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
...

P0.7594 (X≤71) - P0.7594 (X≤60) ≈ 0.5867 - 0.0105 ≈ 0.5762
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.75,71) - binomcdf(94,0.75,60))