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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Bei einem Glückrad beträgt die Wahrscheinlichkeit, in den grünen Bereich zu drehen, 60%. Es wird 4 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges mal in den grünen Bereich gedreht wird.

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Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) q = 1 - 0,6 = 0,4 beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 4 Nicht-Treffer bei 4 Versuchen P = 0,4 4 ≈ 0.0256 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 10 5 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 10 5 ) = 10! 5! ⋅ (10 - 5)! = 10! 5! ⋅ 5! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 5⋅4⋅3⋅2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 10 5 ) = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1

= 2⋅9⋅8⋅7⋅6 4⋅3⋅2⋅1 (gekürzt mit 5)

= 2⋅9⋅2⋅7⋅6 3⋅2⋅1 (gekürzt mit 4)

= 2⋅3⋅2⋅7⋅6 2⋅1 (gekürzt mit 3)

= 3⋅2⋅7⋅6 1 (gekürzt mit 2)

= 252

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 10 Felder abgedruckt. Von diesen 10 Felder soll sich der Spieler 5 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 10⋅9⋅8⋅7⋅6 = 30240 Möglichkeiten, die 10 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 30240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 30240 120 = 252 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 10 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 5! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

252 = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 10⋅9⋅8⋅7⋅6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5⋅4⋅3⋅2⋅1 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10! 5! ⋅ 5! = ( 10 5 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind.

Es werden 6 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 8 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 40 6 ) = 40! 6! ⋅ 34! = 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 3838380 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 40 zu ziehen, bzw. von 40 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 8 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 40 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 8 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 39 Zahlen (alle außer der 8) zu setzen, also ( 39 5 ) = 39! 5! ⋅ 34! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 575757.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 575757 3838380 ≈ 0.15, also ca. 15%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 22-mal gewürfelt. Es werden hierbei 5 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 5 6er bei 22 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p= 1 6 .

P 1 6 22 (X=5) = ( 22 5 ) ⋅ ( 1 6 )5 ⋅ ( 5 6 )17 =0.15264387993845≈ 0.1526
(TI-Befehl: binompdf(22,1/6,5))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.55.

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Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.55 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.55 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.55=0.45 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0≈ 0 + 0 = 0
1≈ 0.02≈ 0 + 0.02 = 0.02
2≈ 0.06≈ 0.02 + 0.06 = 0.08
3≈ 0.14≈ 0.08 + 0.14 = 0.22
4≈ 0.2≈ 0.22 + 0.2 = 0.42
5≈ 0.22≈ 0.42 + 0.22 = 0.64
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 4) = 0.42 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(X ≤ 5) = 0.64 klar darüber.

Oder andersrum: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 0.58 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 5 bis 14) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.55, während P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 0.36 (die Summe der Säulenhöhen von 6 bis 14) klar darunter liegt.

Somit ist das gesuchte k = 5.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 62%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 62 Versuchen weniger als 37 trifft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p=0.62.

P0.6262 (X<37) = P0.6262 (X≤36) = P0.6262 (X=0) + P0.6262 (X=1) + P0.6262 (X=2) +... + P0.6262 (X=36) = 0.30330944812905 ≈ 0.3033
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.62,36))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 48 Versuchen mehr als 35 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=0.8.

...
33
34
35
36
37
38
...

P0.848 (X>35) = P0.848 (X≥36) = 1 - P0.848 (X≤35) = 0.8521
(TI-Befehl: 1-binomcdf(48,0.8,35))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 16 und höchstens 18 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 98 Glückskekse kauft?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.125.

P0.12598 (17≤X≤18) =

...
14
15
16
17
18
19
20
...

P0.12598 (X≤18) - P0.12598 (X≤16) ≈ 0.9663 - 0.8994 ≈ 0.0669
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.125,18) - binomcdf(98,0.125,16))