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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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f' an Stelle x0 aus Graph (sehr einfach)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f (rote Kurve), sowie eine Tangente an diesen Graph. Welche Information bezüglich der Ableitung lässt sich daraus ablesen?
Der x-Wert des Berührpunkts ist ganzzahlig.
Da der x-Wert des Berührpunkts ganzzahlig sein muss, kann man diesen gut aus dem Schuabild ablesen: x = 1.
Mithilfe eines Steigungsdreiecks an der eingezeichneten Tangente kann man auch recht gut die Tangentensteigung bei x = 1 ablesen:
f'(1) = .
Ableitung in Punkt einzeichnen
Beispiel:
Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.
Bestimme näherungsweise f '(0) aus dem Schaubild.
Wenn man im Punkt (0|-2) die Tangente einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=0, also f'(0), an der Steigung der Tagente ablesen.
Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 1 nach recht geht, dass man um -3 nach oben (bzw. 3 nach unten) muss.
Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(0) berechnen als
f'(0)=m= ≈ -3.
Stelle mit f'(x)=c finden (am Graph)
Beispiel:
Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.
Bestimme mit Hilfe des Schaubilds näherungsweise eine Stelle x0 an der die Ableitung
f '(x0) = -0.6 ist.
f '(x0) = -0.6 bedeutet, dass an der gesuchten Stelle x0 die Tangentensteigung -0.6 sein muss.
Man muss nun also eine Gerade mit der Steigung m=-0.6 an den Graph von f anlegen.
Evtl. kann man auch erst einmal eine beliebige Gerade mit der Steigung m=-0.6 einzeichnen und sucht dann eine Parallele dazu, die den Graph von f berührt.
Man erkennt an der eingezeichneten Tangente dass sich bei x ≈ -0.5 eine Tangente mit der gesuchten Steigung f'=m=-0.6 einzeichnen lässt.
f, f' und f'' aus Schaubild ablesen
Beispiel:
Das Schaubild zeigt den Graph der Funktion f.
Bestimme vom Funktionswert f(3) und von beiden Ableitungen f'(3) und f''(3) an der Stelle x= 3 jeweils das Vorzeichen.
Aus der Zeichnung kann man erkennen:
f(3) < 0, weil der Funktionswert unterhalb der x-Achse liegt.
f'(3) < 0, weil die Tangentensteigung bei x= 3 negativ ist (der Graph ist dort fallend).
f''(3) > 0, weil der Graph bei x= 3 in einer Linkskurve ist (die Steigungswerte sind dort streng monoton steigend).
Ableitungsgraph erkennen
Beispiel:
Im Schaubild rechts sieht man den Graph der Funktion f.
Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f ' von f.
Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.
Am einfachsten ist es, wenn man zu Beginn erst einmal auf die Stellen schaut, wo man eine waagrechte Tangente anlegen kann (also Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendepunkte).
zu Schaubild Nr. 1
An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = 3 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).
Hier sieht man schnell, dass dies nicht der Fall ist. Wir können also dieses Schaubild ausschließen.
zu Schaubild Nr. 2
An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = 3 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).
Das ist hier zwar der Fall, jedoch stimmen links uns rechts dieser Stelle die Vorzeichen der Ableitungswerte nicht mit den Vorzeichen der
Steigungswerte in der Originalfunktion oben überein:
Links von x=3 ist die Originalfunktion fallend, die Werte der vermeintlichen Ableitungsfunktion im Schaubild Nr. 2 sind aber > 0.
Rechts von x=3 ist die Originalfunktion steigend, die Werte der vermeintlichen Ableitungsfunktion im Schaubild Nr. 2 sind aber < 0.
Also kann dieses Schaubild nicht den Graph der Ableitungsfunktion zeigen.
zu Schaubild Nr. 3
An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = 3 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).
Wir sehen, dass dies hier der Fall ist. Auch jeweils links uns rechts dieser Stelle stimmen die Vorzeichen der Ableitungswerte mit den Vorzeichen der Steigungswerte in der Originalfunktion oben überein. (wo die Originalfunktion steigt, sind die Ableitungswerte positiv - wo sie fällt sind die Ableitungswerte negativ).
Wir finden also keine Anzeichen dafür, dass dieses Schaubild nicht die richtige Ableitung zeigen sollte
zu Schaubild Nr. 4
An der Stelle mit waagrechter Tangente bei x = 3 im Schaubild der Originalfunktion oben muss in der Ableitungsfunktion ja eine Nullstelle sein (weil ja eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat).
Das ist hier zwar der Fall, jedoch passen hier die Ableitungswerte, wenn man sich stark negative x-Werte anschaut, nicht zu den Steigungen in der Originalfunktion oben.
Während die Tangenten bei der Originalfunktion am linken Rand ziemlich steil sind, also betragsmäßig große Steigungswerte haben, sind die Funktionswerte im Schaubild Nr. 4 fast =0.
Also kann dieses Schaubild nicht den Graph der Ableitungsfunktion zeigen.
Da wir die anderen drei Schaubilder ausschließen können,
muss das richtige Schaubild mit dem Graph der Ableitungsfunktion Schaubild 3 sein .
Ableitungswerte - Graph f' einzeichnen
Beispiel:
Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.
Zeichne an vier Stellen die Werte der Ableitungsfunktion ein.
Klicke dazu einfach mit der Maus auf die entsprechenden Punkte im nebenstehenden Schaubild.
Der blau eingezeichnete Graph ist der der Ableitungsfunktion von f.
An den von dir gewählten Stellen sind mit dünnem rot die Tangenten an den ursprünglichen Graph eingezeichnet. Hier kann man näherungsweise die Steigungswerte und somit die Werte der Ableitung in desen Punkten ablesen.
Trägt man diese (und die Ableitungswerte weiterer Stellen) ins Schaubild ab, so erhält man den blau eingezeichneten Graph.
Ableitungswerte im Schaubild sortieren
Beispiel:
Im Schaubild rechts sieht man den Graph der Funktion f.
Sortiere die rot eingezeichneten Punkte nach ihrer Größe in der Ableitungsfunktion f'.
Sortiert werden sollen die Ableitungswerte f'(x) der angezeigten Funktion f(x)
Aus der Zeichnung kann man erkennen (Tangente anlegen und Steigung schätzen):
bei x = 1 ist die Ableitung ungefähr -5.3
bei x = 2 ist die Ableitung ungefähr -2.7
bei x = 3 ist die Ableitung ungefähr 0
bei x = 5 ist die Ableitung ungefähr 5.3
Daraus ergibt sich die folgende Reihenfolge:
f'(1) < f'(2) < f'(3) < f'(5)
Änderungsraten am Graph
Beispiel:
Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.
Bestimme die Änderungsrate von f zwischen a = -4.5 und b = -1 sowie die momentane Änderungsrate an der Stelle a = -4.5 näherungsweise aus dem Schaubild.
Die Änderungsrate zwischen a = -4.5 und b = -1 ist die durchschnittliche Änderung bei einer Einheit.
Man muss also die tatsächliche Änderung f(-1)-f(-4.5) durch den Abstand der x-Werte -1 -
(f(-4.5) ≈ 1.4 und f(-1) ≈ 1.6 kann man näherungsweise aus dem Schaubild ablesen.)
Für die Änderungsrate zwischen a = -4.5 und b = -1 ergibt sich also:
m = = = ≈ 0.06
Die Änderungsrate kann man auch als Steigung der in blau eingezeichneten Sekante ablesen.
Wenn man im Punkt (-4.5|1.4) die Tangente (rot) einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=-4.5, also f'(-4.5), an der Steigung der (roten) Tagente ablesen.
Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 2 nach links geht, dass man um -7.1 nach oben (bzw. 2 nach rechts und 7.1 nach oben) muss.
Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(-4.5) berechnen als
f'(-4.5) = ≈ 3.54.
Tangente einzeichnen
Beispiel:
Im Schaubild sieht man den Graph der Funktion f.
Bestimme näherungsweise eine Funktionsgleichung der Tangente (y=m⋅x+c) an den Graph von f an der Stelle x = 2.
Wenn man im Punkt (2|2.7) die Tangente einzeichnet (bzw. eben am Bildschirm ein Lineal anlegt), kann man die Ableitung von f bei x=2, also f'(2), an der Steigung der Tagente ablesen.
Wenn man ein Steigungsdreieck einzeichnet, bzw. es sich eben vorstellt, kann man erkennen, dass wenn man 1 nach rechts geht, dass man um -1.5 nach oben (bzw. 1.5 nach unten) muss.
Jetzt kann man die Tangentensteigung f'(2) berechnen als
f'(2)=m= ≈ -1.5.
Jetzt wissen wir also, dass die Tangentengleichung y = -1.5⋅x + c sein muss.
Den noch fehlenden y-Achsenabschnitt c kann man nun ganz einfach am Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ablesen: c ≈ 5.7
So erhalten wir also als Tangentengleichung: y = .