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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{8}$ = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 9 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 4 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 4 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 9 suchern, finden wir:
{4, 8}, also insgesamt 2 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 4) = $\frac{2}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) = $\frac{2}{9}$ = 2 : 9 ≈ 0.222

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) ≈ 0.222 = 22.2%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: p= $\frac{5}{8}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 3 gelbe, 5 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{3}{40}$
rot -> gelb	$\frac{9}{200}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{100}$
blau -> rot	$\frac{3}{40}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{3}{80}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{40}$
gelb -> rot	$\frac{9}{200}$
gelb -> blau	$\frac{3}{80}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> schwarz	$\frac{9}{200}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{100}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{40}$
schwarz -> gelb	$\frac{9}{200}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{40}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{40}$ + $\frac{3}{40}$ = $\frac{3}{20}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{29}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{20}{87}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{20}{87}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{38}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{38}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{38}{87}$ = $\frac{38}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{25}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{50}$
Kreuz -> Pik	$\frac{27}{200}$
Kreuz -> Karo	$\frac{9}{200}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{50}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{50}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{50}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{50}$
Pik -> Kreuz	$\frac{27}{200}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{50}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{25}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{200}$
Karo -> Kreuz	$\frac{9}{200}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{50}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{200}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{9}{25}$ ; P("Herz")= $\frac{4}{25}$ ; P("Pik")= $\frac{9}{25}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{50}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{50}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{27}{100}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{16}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{16}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{15}{16}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{5}{16}$
= $\frac{5}{272}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{24}{25}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{4}{25}$
= $\frac{8}{975}$

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

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Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt