Mathebattle EduRandomtasks

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{18}{37}$ ; "nicht schwarz": $\frac{19}{37}$ ;

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ = $\frac{324}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 8 blaue , 7 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{7}{30}$ ; "nicht gelb": $\frac{23}{30}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{7}{145}$ = $\frac{138}{145}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{7}{145}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{161}{870}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{161}{870}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{253}{435}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{7}{30}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{23}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{161}{870}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{161}{870}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{253}{435}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{161}{870}$ + $\frac{161}{870}$ + $\frac{253}{435}$ = $\frac{138}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{19}$
1 -> 2	$\frac{9}{76}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{9}{76}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{27}{190}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{27}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{27}{190}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{27}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{190}$ + $\frac{27}{190}$ = $\frac{27}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{16}{225}$
1 -> 2	$\frac{28}{225}$
1 -> 3	$\frac{16}{225}$
2 -> 1	$\frac{28}{225}$
2 -> 2	$\frac{49}{225}$
2 -> 3	$\frac{28}{225}$
3 -> 1	$\frac{16}{225}$
3 -> 2	$\frac{28}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{7}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{28}{225}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{28}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{225}$ + $\frac{28}{225}$ = $\frac{56}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{21}{380}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Pik' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Pik'-'Kreuz' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{95}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 7 145 = 138 145

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{7}{145}$ = $\frac{138}{145}$