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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 5 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{5}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{5}$ = 1 : 5 ≈ 0.2

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.2 = 20%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{9}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{9}{13}$ = 9 : 13 ≈ 0.692

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.692 = 69.2%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{64}$ = $\frac{63}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{27}{64}$ = $\frac{63}{64}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{105}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{35}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{105}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{35}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{2}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{7}$
Pik -> Karo	$\frac{4}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{105}$
Karo -> Herz	$\frac{2}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{4}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{15}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{5}{21}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an eine Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> 14	$\frac{25}{117}$
13 -> 15	$\frac{5}{117}$
14 -> 13	$\frac{25}{117}$
14 -> 14	$\frac{5}{39}$
14 -> 15	$\frac{10}{351}$
15 -> 13	$\frac{5}{117}$
15 -> 14	$\frac{10}{351}$
15 -> 15	$\frac{1}{351}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{9}$ ; P("14")= $\frac{10}{27}$ ; P("15")= $\frac{2}{27}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{117}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{117}$ + $\frac{25}{117}$ = $\frac{50}{117}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $\frac{3}{10}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 1 12 = 11 12

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$