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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 9 gelbe, 6 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{576}$
rot -> blau	$\frac{5}{96}$
rot -> gelb	$\frac{5}{64}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{144}$
blau -> rot	$\frac{5}{96}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{3}{32}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{24}$
gelb -> rot	$\frac{5}{64}$
gelb -> blau	$\frac{3}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{64}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{16}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{144}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{24}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{16}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{24}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{96}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{96}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{96}$ + $\frac{5}{96}$ = $\frac{5}{48}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 9 gelbe, 7 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{6}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{36}$
rot -> nicht rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht rot")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal König und 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{11}$
Ass -> König	$\frac{4}{33}$
Ass -> Dame	$\frac{4}{33}$
König -> Ass	$\frac{4}{33}$
König -> König	$\frac{1}{11}$
König -> Dame	$\frac{4}{33}$
Dame -> Ass	$\frac{4}{33}$
Dame -> König	$\frac{4}{33}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'Dame' (P= $\frac{4}{33}$ )
'Dame'-'König' (P= $\frac{4}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ = $\frac{8}{33}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 2 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{3}{10}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{21}{95}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{21}{95}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ = $\frac{3}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht 3")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{15}{17}$
= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{5}{17}$
= $\frac{5}{34}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{95}$
1 -> 2	$\frac{1}{19}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
1 -> 4	$\frac{4}{95}$
2 -> 1	$\frac{1}{19}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{7}{76}$
2 -> 4	$\frac{1}{19}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{7}{76}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 4	$\frac{7}{95}$
4 -> 1	$\frac{4}{95}$
4 -> 2	$\frac{1}{19}$
4 -> 3	$\frac{7}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{95}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{95}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{95}$ + $\frac{7}{95}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{5}$

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mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen