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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 blaue, 5 grüne, 3 gelbe und 7 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 5 + 3 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 5 20 = 1 4

grün: p= 5 20 = 1 4

gelb: p= 3 20

rot: p= 7 20

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 25
1 -> 2 1 25
1 -> 3 3 25
2 -> 1 1 25
2 -> 2 1 25
2 -> 3 3 25
3 -> 1 3 25
3 -> 2 3 25
3 -> 3 9 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 5 ; 2: 1 5 ; 3: 3 5 ;

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'2'-'3' (P= 3 25 )
'3'-'2' (P= 3 25 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 25 + 3 25 = 6 25


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 24 91
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 15 91
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 15 91
Mädchen -> Jungs -> Jungs 20 273
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 15 91
Jungs -> Mädchen -> Jungs 20 273
Jungs -> Jungs -> Mädchen 20 273
Jungs -> Jungs -> Jungs 2 91

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 2 3 ; Jungs: 1 3 ;

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'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= 2 91 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 91 = 2 91


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 7 20 ; "nicht NWT": 13 20 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 39 95 = 56 95

EreignisP
NWT -> NWT 21 190
NWT -> nicht NWT 91 380
nicht NWT -> NWT 91 380
nicht NWT -> nicht NWT 39 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 7 20 ; nicht NWT: 13 20 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 91 380 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 91 380 )
'NWT'-'NWT' (P= 21 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

91 380 + 91 380 + 21 190 = 56 95


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 1 4 ; "nicht 9": 3 4 ;

EreignisP
9 -> 9 1 28
9 -> nicht 9 3 14
nicht 9 -> 9 3 14
nicht 9 -> nicht 9 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: 1 4 ; nicht 9: 3 4 ;

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'9'-'9' (P= 1 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 28 = 1 28


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 2 26 24 25
= 3 9 2 13 4 25
= 8 975

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> höher 1 12
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> höher 1 12
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> höher 1 12
höher -> 1 1 12
höher -> 2 1 12
höher -> 3 1 12
höher -> höher 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; höher: 1 2 ;

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'1'-'3' (P= 1 36 )
'3'-'1' (P= 1 36 )
'2'-'3' (P= 1 36 )
'3'-'2' (P= 1 36 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9