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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 6 gelbe, 9 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{12}{145}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{290}$
Kreuz -> Karo	$\frac{6}{145}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{87}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{87}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{290}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{87}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{14}{435}$
Karo -> Kreuz	$\frac{6}{145}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{87}$
Karo -> Pik	$\frac{14}{435}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{30}$ ; P("Karo")= $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{12}{145}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{145}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{2}{145}$ = $\frac{36}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{76}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{76}$
Herz -> Herz	$\frac{21}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{47}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{92}$
13 -> 14	$\frac{25}{184}$
13 -> 15	$\frac{5}{46}$
14 -> 13	$\frac{25}{184}$
14 -> 14	$\frac{5}{138}$
14 -> 15	$\frac{5}{138}$
15 -> 13	$\frac{5}{46}$
15 -> 14	$\frac{5}{138}$
15 -> 15	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{8}$ ; P("14")= $\frac{5}{24}$ ; P("15")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{46}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{46}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{46}$ + $\frac{5}{46}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{35}{138}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{7}{9}$
= $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{7}{3}$
= $\frac{7}{30}$

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mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt