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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> nicht blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'kein Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 4 blaue , 4 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{4}{15}$ ; "nicht gelb": $\frac{11}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{2}{35}$ = $\frac{33}{35}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{2}{35}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{22}{105}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{22}{105}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{11}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{22}{105}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{22}{105}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{11}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{22}{105}$ + $\frac{22}{105}$ + $\frac{11}{21}$ = $\frac{33}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{12}{95}$
1 -> 3	$\frac{9}{95}$
2 -> 1	$\frac{12}{95}$
2 -> 2	$\frac{14}{95}$
2 -> 3	$\frac{12}{95}$
3 -> 1	$\frac{9}{95}$
3 -> 2	$\frac{12}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{12}{95}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{12}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{95}$ + $\frac{12}{95}$ = $\frac{24}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{2}{21}$
1 -> 3	$\frac{1}{35}$
2 -> 1	$\frac{2}{21}$
2 -> 2	$\frac{3}{7}$
2 -> 3	$\frac{1}{7}$
3 -> 1	$\frac{1}{35}$
3 -> 2	$\frac{1}{7}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{21}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{4}{21}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{5}{11}$
= $\frac{5}{33}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{15}{29}$ ; "nicht 13": $\frac{14}{29}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{58}$
13 -> nicht 13	$\frac{15}{58}$
nicht 13 -> 13	$\frac{15}{58}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{13}{58}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{29}$ ; P("nicht 13")= $\frac{14}{29}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{58}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{58}$ = $\frac{15}{58}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 2 35 = 33 35

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{2}{35}$ = $\frac{33}{35}$