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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 6 gelbe, 4 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{3}{50}$
rot -> gelb	$\frac{9}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{50}$
blau -> rot	$\frac{3}{50}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{3}{50}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{9}{100}$
gelb -> blau	$\frac{3}{50}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{50}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{50}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{50}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{50}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{50}$ + $\frac{3}{50}$ = $\frac{3}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Dame": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{11}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{14}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{33}$ + $\frac{8}{33}$ + $\frac{14}{33}$ = $\frac{10}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{18}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{38}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{38}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{9}{20}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Pik' (P= $\frac{9}{95}$ )
'Pik'-'Kreuz' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{1}{14}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{1}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{22}$
1 -> 2	$\frac{5}{44}$
1 -> 3	$\frac{1}{11}$
2 -> 1	$\frac{5}{44}$
2 -> 2	$\frac{5}{33}$
2 -> 3	$\frac{5}{33}$
3 -> 1	$\frac{1}{11}$
3 -> 2	$\frac{5}{33}$
3 -> 3	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{44}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{44}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{44}$ + $\frac{5}{44}$ = $\frac{5}{22}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 1 11 = 10 11

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$