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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{10}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{10}$ = 1 : 10 ≈ 0.1

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.1 = 10%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 18 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 18 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 11 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 18, die kleiner als 11 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 10,
also insgesamt 10 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 11) = $\frac{10}{18}$ = $\frac{5}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 11) = $\frac{5}{9}$ = 5 : 9 ≈ 0.556

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 11) ≈ 0.556 = 55.6%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Wappen"?

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Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Wappen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Wappen' bzw. 0 mal 'Wappen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal A"?

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Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": $\frac{1}{2}$ ; "nicht A": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
A -> A	$\frac{1}{4}$
A -> nicht A	$\frac{1}{4}$
nicht A -> A	$\frac{1}{4}$
nicht A -> nicht A	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht A")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'A' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 0 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'andere'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{28}$ = $\frac{11}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> 8	$\frac{2}{15}$
7 -> 9	$\frac{2}{15}$
8 -> 7	$\frac{2}{15}$
8 -> 8	$\frac{1}{15}$
8 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> 7	$\frac{2}{15}$
9 -> 8	$\frac{2}{15}$
9 -> 9	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{28}$
9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> nicht 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen