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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 5 gelbe, 10 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{8}$ ; "nicht rot": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{49}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{64}$
rot -> nicht rot	$\frac{7}{64}$
nicht rot -> rot	$\frac{7}{64}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{49}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht rot")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{64}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{7}{64}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{2}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{8}{125}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{44}{125}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{2}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{5}{6}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 10 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 4 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{1}{19}$
1 -> 3	$\frac{2}{19}$
1 -> 4	$\frac{2}{19}$
2 -> 1	$\frac{1}{19}$
2 -> 2	$\frac{1}{190}$
2 -> 3	$\frac{2}{95}$
2 -> 4	$\frac{2}{95}$
3 -> 1	$\frac{2}{19}$
3 -> 2	$\frac{2}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$
3 -> 4	$\frac{4}{95}$
4 -> 1	$\frac{2}{19}$
4 -> 2	$\frac{2}{95}$
4 -> 3	$\frac{4}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{2}{95}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{2}{95}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{95}$ + $\frac{2}{95}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{7}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{8}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{1}{45}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{8}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("8")= $\frac{1}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{8}{45}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{8}{45}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{17}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{15}{15}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{816}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 1 6 = 5 6

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$