Mathebattle EduRandomtasks

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal grün"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'grün' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grün' und 'nicht grün'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grün": $\frac{1}{37}$ ; "nicht grün": $\frac{36}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal grün' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'grün' bzw. 0 mal 'grün'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'grün')=1- $\frac{1296}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$

Ereignis	P
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$
grün -> nicht grün	$\frac{36}{1369}$
nicht grün -> grün	$\frac{36}{1369}$
nicht grün -> nicht grün	$\frac{1296}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grün")= $\frac{1}{37}$ ; P("nicht grün")= $\frac{36}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'grün'-'nicht grün' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grün'-'grün' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'grün'-'grün' (P= $\frac{1}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{1369}$ + $\frac{36}{1369}$ + $\frac{1}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 6 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{95}$
rot -> blau	$\frac{6}{95}$
rot -> gelb	$\frac{4}{95}$
rot -> schwarz	$\frac{6}{95}$
blau -> rot	$\frac{6}{95}$
blau -> blau	$\frac{3}{38}$
blau -> gelb	$\frac{6}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{95}$
gelb -> rot	$\frac{4}{95}$
gelb -> blau	$\frac{6}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{6}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{6}{95}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{6}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{6}{95}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{6}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{95}$ + $\frac{6}{95}$ = $\frac{12}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{11}$
7 -> 8	$\frac{4}{33}$
7 -> 9	$\frac{4}{33}$
8 -> 7	$\frac{4}{33}$
8 -> 8	$\frac{1}{11}$
8 -> 9	$\frac{4}{33}$
9 -> 7	$\frac{4}{33}$
9 -> 8	$\frac{4}{33}$
9 -> 9	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{4}{33}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{4}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ = $\frac{8}{33}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{36}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen