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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{9}$ = 1 : 9 ≈ 0.111

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.111 = 11.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 19 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 19 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 4 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 4 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 19 suchern, finden wir:
{4, 8, 12, 16}, also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 4) = $\frac{4}{19}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) = $\frac{4}{19}$ = 4 : 19 ≈ 0.211

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 4) ≈ 0.211 = 21.1%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige, 7 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 4 + 7 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

König: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

Dame: p= $\frac{7}{20}$

Bube: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{7}{50}$
1 -> 3	$\frac{7}{80}$
2 -> 1	$\frac{7}{50}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{1}{10}$
3 -> 1	$\frac{7}{80}$
3 -> 2	$\frac{1}{10}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{80}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{80}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{80}$ + $\frac{7}{80}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{67}{200}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{5}{138}$
Kreuz -> Herz	$\frac{35}{552}$
Kreuz -> Pik	$\frac{35}{552}$
Kreuz -> Karo	$\frac{25}{552}$
Herz -> Kreuz	$\frac{35}{552}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{49}{552}$
Herz -> Karo	$\frac{35}{552}$
Pik -> Kreuz	$\frac{35}{552}$
Pik -> Herz	$\frac{49}{552}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{35}{552}$
Karo -> Kreuz	$\frac{25}{552}$
Karo -> Herz	$\frac{35}{552}$
Karo -> Pik	$\frac{35}{552}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{5}{24}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{138}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{31}{138}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{45}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)