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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 8 vom Typ blau und 6 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{3}{25}$
rot -> gelb	$\frac{9}{100}$
blau -> rot	$\frac{3}{25}$
blau -> blau	$\frac{4}{25}$
blau -> gelb	$\frac{3}{25}$
gelb -> rot	$\frac{9}{100}$
gelb -> blau	$\frac{3}{25}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{4}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{17}{50}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{15}$
rot -> blau	$\frac{7}{30}$
blau -> rot	$\frac{7}{30}$
blau -> blau	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{15}$ = $\frac{7}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 3 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{7}$
1 -> 2	$\frac{3}{35}$
1 -> 3	$\frac{3}{35}$
1 -> 4	$\frac{3}{35}$
2 -> 1	$\frac{3}{35}$
2 -> 2	$\frac{1}{35}$
2 -> 3	$\frac{3}{70}$
2 -> 4	$\frac{3}{70}$
3 -> 1	$\frac{3}{35}$
3 -> 2	$\frac{3}{70}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$
3 -> 4	$\frac{3}{70}$
4 -> 1	$\frac{3}{35}$
4 -> 2	$\frac{3}{70}$
4 -> 3	$\frac{3}{70}$
4 -> 4	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{3}{70}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{3}{70}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{4}{35}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{7}{120}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 6 vom Typ blau und 3 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> blau	$\frac{1}{8}$
rot -> gelb	$\frac{1}{16}$
blau -> rot	$\frac{1}{8}$
blau -> blau	$\frac{1}{4}$
blau -> gelb	$\frac{1}{8}$
gelb -> rot	$\frac{1}{16}$
gelb -> blau	$\frac{1}{8}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{16}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{4}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{3}{8}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen