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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{13}$ = 1 : 13 ≈ 0.077

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.077 = 7.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 8 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 8 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 8 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7}, also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{1}{216}$ = $\frac{2}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{4}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'kein Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Herz	$\frac{9}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{2}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{9}{38}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ + $\frac{9}{38}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{31}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{105}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{105}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{7}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{2}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{105}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{2}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{15}$ ; P("Herz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{5}{21}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{7}{50}$
1 -> 3	$\frac{1}{10}$
2 -> 1	$\frac{7}{50}$
2 -> 2	$\frac{49}{400}$
2 -> 3	$\frac{7}{80}$
3 -> 1	$\frac{1}{10}$
3 -> 2	$\frac{7}{80}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{10}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{10}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{129}{400}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{14}{95}$
1 -> 2	$\frac{2}{19}$
1 -> 3	$\frac{6}{95}$
1 -> 4	$\frac{8}{95}$
2 -> 1	$\frac{2}{19}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{3}{76}$
2 -> 4	$\frac{1}{19}$
3 -> 1	$\frac{6}{95}$
3 -> 2	$\frac{3}{76}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> 4	$\frac{3}{95}$
4 -> 1	$\frac{8}{95}$
4 -> 2	$\frac{1}{19}$
4 -> 3	$\frac{3}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{8}{95}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{8}{95}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{3}{76}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{95}$ + $\frac{8}{95}$ + $\frac{3}{76}$ + $\frac{3}{76}$ = $\frac{47}{190}$

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen