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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 36 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$ = 1 : 36 ≈ 0.028

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.028 = 2.8%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 12 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 12 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11}, also insgesamt 5 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{5}{12}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{5}{12}$ = 5 : 12 ≈ 0.417

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.417 = 41.7%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 blaue, 3 grüne, 2 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 3 + 2 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

grün: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

gelb: p= $\frac{2}{15}$

rot: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Zahl")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 2 gelbe, 4 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{5}$ ; "nicht schwarz": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{16}{25}$ = $\frac{9}{25}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{4}{25}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{4}{25}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{9}{25}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 5 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> nicht rot	$\frac{15}{76}$
nicht rot -> rot	$\frac{15}{76}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 6 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{4}{15}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{28}{435}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{88}{435}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{88}{435}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{77}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{28}{435}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{435}$ = $\frac{28}{435}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{28}$
9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{16}$ ⋅ $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$
= $\frac{3}{455}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen