Mathebattle EduRandomtasks

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 4 vom Typ blau, 10 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{400}$
rot -> blau	$\frac{3}{100}$
rot -> gelb	$\frac{3}{40}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{400}$
blau -> rot	$\frac{3}{100}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{1}{10}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{100}$
gelb -> rot	$\frac{3}{40}$
gelb -> blau	$\frac{1}{10}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{4}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{40}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{400}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{100}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{40}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{20}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{2}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{400}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{4}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{400}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{400}$ = $\frac{67}{200}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot und 4 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{3}$
rot -> blau	$\frac{4}{15}$
blau -> rot	$\frac{4}{15}$
blau -> blau	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{3}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{7}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{95}$
1 -> 2	$\frac{9}{95}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{9}{95}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{63}{380}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{63}{380}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{95}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{95}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{95}$ + $\frac{7}{95}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{32}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{10}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{4}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt