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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = 1 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = 1 8 = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 8 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 8 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 5 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 8, die größer als 5 sind, suchern, finden wir:
{6, 7, 8}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 5) = 3 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 5) = 3 8 = 3 : 8 ≈ 0.375

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 5) ≈ 0.375 = 37.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= 1 8

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 5 gelbe, 9 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": 1 4 ; "nicht gelb": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- 9 16 = 7 16

EreignisP
gelb -> gelb 1 16
gelb -> nicht gelb 3 16
nicht gelb -> gelb 3 16
nicht gelb -> nicht gelb 9 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= 1 4 ; P("nicht gelb")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'gelb'-'nicht gelb' (P= 3 16 )
  • 'nicht gelb'-'gelb' (P= 3 16 )
  • 'gelb'-'gelb' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 16 + 3 16 + 1 16 = 7 16


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 1 4 ; "nicht 3": 3 4 ;

EreignisP
3 -> 3 1 16
3 -> nicht 3 3 16
nicht 3 -> 3 3 16
nicht 3 -> nicht 3 9 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 1 4 ; P("nicht 3")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'3' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 = 1 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 1 4 ; "nicht Dame": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 1 28 = 27 28

EreignisP
Dame -> Dame 1 28
Dame -> nicht Dame 3 14
nicht Dame -> Dame 3 14
nicht Dame -> nicht Dame 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= 1 4 ; P("nicht Dame")= 3 4 ;

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'Dame'-'nicht Dame' (P= 3 14 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 3 14 )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= 15 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 + 3 14 + 15 28 = 27 28


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 9 blaue , 4 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 10 ; "nicht rot": 9 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 190 = 189 190

EreignisP
rot -> rot 1 190
rot -> nicht rot 9 95
nicht rot -> rot 9 95
nicht rot -> nicht rot 153 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 10 ; P("nicht rot")= 9 10 ;

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'rot'-'nicht rot' (P= 9 95 )
'nicht rot'-'rot' (P= 9 95 )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= 153 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 95 + 9 95 + 153 190 = 189 190


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 3 38
1 -> 2 3 19
1 -> 3 6 95
2 -> 1 3 19
2 -> 2 9 38
2 -> 3 2 19
3 -> 1 6 95
3 -> 2 2 19
3 -> 3 3 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 10 ; P("2")= 1 2 ; P("3")= 1 5 ;

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'1'-'2' (P= 3 19 )
'2'-'1' (P= 3 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 19 + 3 19 = 6 19


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 21 2 20 18 19
= 3 7 2 10 3 19
= 9 665

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 3 gelbe, 6 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 5 12 ; "nicht rot": 7 12 ;

EreignisP
rot -> rot 25 144
rot -> nicht rot 35 144
nicht rot -> rot 35 144
nicht rot -> nicht rot 49 144

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 5 12 ; P("nicht rot")= 7 12 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 25 144 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 144 = 25 144