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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("Wappen")= 1 2 ;

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  • 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 4 25
1 -> 2 2 25
1 -> 3 4 25
2 -> 1 2 25
2 -> 2 1 25
2 -> 3 2 25
3 -> 1 4 25
3 -> 2 2 25
3 -> 3 4 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 2 5 ; P("2")= 1 5 ; P("3")= 2 5 ;

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  • '2'-'3' (P= 2 25 )
  • '3'-'2' (P= 2 25 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 25 + 2 25 = 4 25


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 3 blaue , 9 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 4 ; "nicht rot": 3 4 ;

EreignisP
rot -> rot 1 19
rot -> nicht rot 15 76
nicht rot -> rot 15 76
nicht rot -> nicht rot 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 4 ; P("nicht rot")= 3 4 ;

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'rot'-'rot' (P= 1 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 19 = 1 19


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("nicht deutsch")= 3 4 ;

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'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

11 70 + 11 70 + 11 70 + 11 28 = 121 140


nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": 10 17 ; "nicht 13": 7 17 ;

EreignisP
13 -> 13 45 136
13 -> nicht 13 35 136
nicht 13 -> 13 35 136
nicht 13 -> nicht 13 21 136

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= 10 17 ; P("nicht 13")= 7 17 ;

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'13'-'13' (P= 45 136 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

45 136 = 45 136


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": 1 11 ; "nicht 15": 10 11 ;

EreignisP
15 -> 15 1 231
15 -> nicht 15 20 231
nicht 15 -> 15 20 231
nicht 15 -> nicht 15 190 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= 1 11 ; P("nicht 15")= 10 11 ;

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'15'-'15' (P= 1 231 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 231 = 1 231