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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Wappen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Wappen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ = $\frac{144}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{9}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{153}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{9}{95}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 8 blaue , 6 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{190}$
rot -> blau	$\frac{4}{95}$
rot -> gelb	$\frac{3}{95}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{95}$
blau -> rot	$\frac{4}{95}$
blau -> blau	$\frac{14}{95}$
blau -> gelb	$\frac{12}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{8}{95}$
gelb -> rot	$\frac{3}{95}$
gelb -> blau	$\frac{12}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{38}$
gelb -> schwarz	$\frac{6}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{95}$
schwarz -> blau	$\frac{8}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{6}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{10}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{12}{95}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{12}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{95}$ + $\frac{12}{95}$ = $\frac{24}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> 8	$\frac{2}{15}$
7 -> 9	$\frac{2}{15}$
8 -> 7	$\frac{2}{15}$
8 -> 8	$\frac{1}{15}$
8 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> 7	$\frac{2}{15}$
9 -> 8	$\frac{2}{15}$
9 -> 9	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{35}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal grüne 0"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'grüne 0' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grüne 0' und 'nicht grüne 0'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grüne 0": $\frac{1}{37}$ ; "nicht grüne 0": $\frac{36}{37}$ ;

Ereignis	P
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$
grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{1296}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ; P("nicht grüne 0")= $\frac{36}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'grüne 0'-'nicht grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grüne 0'-'grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{1369}$ + $\frac{36}{1369}$ = $\frac{72}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Wappen')=1- 1 8 = 7 8

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$