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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 28 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$ = 1 : 28 ≈ 0.036

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.036 = 3.6%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 9 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 5 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 9, die kleiner als 5 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 4,
also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 5) = $\frac{4}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 5) = $\frac{4}{9}$ = 4 : 9 ≈ 0.444

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 5) ≈ 0.444 = 44.4%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{125}{216}$ = $\frac{25}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{27}{125}$ = $\frac{98}{125}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{125}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{98}{125}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{184}$
Kreuz -> Pik	$\frac{35}{276}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{138}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{5}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{46}$
Pik -> Kreuz	$\frac{35}{276}$
Pik -> Herz	$\frac{5}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{15}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{69}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{138}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{46}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{69}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{8}$ ; P("Pik")= $\frac{5}{12}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{15}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{1}{92}$ + $\frac{15}{92}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{25}{92}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{21}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{5}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{46}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{92}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{35}{552}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{5}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{92}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{92}$
Karo -> Herz	$\frac{35}{552}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{92}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{92}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{61}{276}$

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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen