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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 12 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{12}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{12}$ = 1 : 12 ≈ 0.083

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.083 = 8.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 12 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 6 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 12, die größer als 6 sind, suchern, finden wir:
{7, 8, 9, 10, 11, 12}, also insgesamt 6 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 6) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 6) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 6) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 5 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 8 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 8 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

ev: p= $\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

Eth: p= $\frac{7}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 10 gelbe, 3 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{5}{12}$ ; "nicht gelb": $\frac{7}{12}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{25}{144}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{35}{144}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{35}{144}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{49}{144}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{5}{12}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{7}{12}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'gelb' (P= $\frac{25}{144}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{144}$ = $\frac{25}{144}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{6}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{46}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{10}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{10}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{69}$ + $\frac{10}{69}$ = $\frac{20}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 7 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{100}$
1 -> 2	$\frac{7}{75}$
1 -> 3	$\frac{49}{600}$
1 -> 4	$\frac{7}{200}$
2 -> 1	$\frac{7}{75}$
2 -> 2	$\frac{7}{75}$
2 -> 3	$\frac{7}{75}$
2 -> 4	$\frac{1}{25}$
3 -> 1	$\frac{49}{600}$
3 -> 2	$\frac{7}{75}$
3 -> 3	$\frac{7}{100}$
3 -> 4	$\frac{7}{200}$
4 -> 1	$\frac{7}{200}$
4 -> 2	$\frac{1}{25}$
4 -> 3	$\frac{7}{200}$
4 -> 4	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{25}$ ; P("2")= $\frac{8}{25}$ ; P("3")= $\frac{7}{25}$ ; P("4")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{49}{600}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{49}{600}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{7}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{600}$ + $\frac{49}{600}$ + $\frac{7}{75}$ = $\frac{77}{300}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{225}$
1 -> 2	$\frac{28}{225}$
1 -> 3	$\frac{28}{225}$
2 -> 1	$\frac{28}{225}$
2 -> 2	$\frac{16}{225}$
2 -> 3	$\frac{16}{225}$
3 -> 1	$\frac{28}{225}$
3 -> 2	$\frac{16}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{15}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{28}{225}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{28}{225}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{225}$ + $\frac{28}{225}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{8}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{24}{24}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{2925}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{4}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen