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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{5}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{5}$ = 1 : 5 ≈ 0.2

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.2 = 20%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 12 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 12 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 10 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 12, die größer als 10 sind, suchern, finden wir:
{11, 12}, also insgesamt 2 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 10) = $\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 10) = $\frac{1}{6}$ = 1 : 6 ≈ 0.167

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 10) ≈ 0.167 = 16.7%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 1 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 1 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{9}{15}$ = $\frac{3}{5}$

ev: p= $\frac{1}{15}$

Eth: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> nicht blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 8 blaue , 7 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{12}{145}$
rot -> blau	$\frac{12}{145}$
rot -> gelb	$\frac{21}{290}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{145}$
blau -> rot	$\frac{12}{145}$
blau -> blau	$\frac{28}{435}$
blau -> gelb	$\frac{28}{435}$
blau -> schwarz	$\frac{8}{145}$
gelb -> rot	$\frac{21}{290}$
gelb -> blau	$\frac{28}{435}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{145}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{145}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{145}$
schwarz -> blau	$\frac{8}{145}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{145}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{4}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{30}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{9}{145}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{9}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{145}$ + $\frac{9}{145}$ = $\frac{18}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> König	$\frac{1}{14}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{7}$
König -> Ass	$\frac{1}{14}$
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> Dame	$\frac{1}{7}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{7}$
Dame -> König	$\frac{1}{7}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Dame' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Dame'-'Ass' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{11}$ ; "nicht 13": $\frac{6}{11}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> nicht 13	$\frac{20}{77}$
nicht 13 -> 13	$\frac{20}{77}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{2}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{11}$ ; P("nicht 13")= $\frac{6}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{77}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{77}$ = $\frac{15}{77}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{84}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{3}{8}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{23}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{45}{184}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{45}{184}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'nicht Kreuz' (P= $\frac{45}{184}$ )
'nicht Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{45}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{184}$ + $\frac{45}{184}$ = $\frac{45}{92}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen