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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal B"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
A -> A	$\frac{1}{4}$
A -> B	$\frac{1}{8}$
A -> C	$\frac{1}{16}$
A -> D	$\frac{1}{16}$
B -> A	$\frac{1}{8}$
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> C	$\frac{1}{32}$
B -> D	$\frac{1}{32}$
C -> A	$\frac{1}{16}$
C -> B	$\frac{1}{32}$
C -> C	$\frac{1}{64}$
C -> D	$\frac{1}{64}$
D -> A	$\frac{1}{16}$
D -> B	$\frac{1}{32}$
D -> C	$\frac{1}{64}$
D -> D	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{1}{2}$ ; P("B")= $\frac{1}{4}$ ; P("C")= $\frac{1}{8}$ ; P("D")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'B' (P= $\frac{1}{8}$ )
'B'-'A' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{6}{11}$ = $\frac{5}{11}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{6}{11}$
rot -> nicht rot	$\frac{9}{44}$
nicht rot -> rot	$\frac{9}{44}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{44}$ + $\frac{9}{44}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{5}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{3}{20}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{50}$
3 -> 1	$\frac{3}{20}$
3 -> 2	$\frac{3}{50}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{20}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{20}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{20}$ + $\frac{3}{20}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{17}{50}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Ass": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{14}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 6 11 = 5 11

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{6}{11}$ = $\frac{5}{11}$