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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 29 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{29}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{29}$ = 1 : 29 ≈ 0.034

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.034 = 3.4%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 1 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 2 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 2 + 7=10

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{1}{10}$

ev: p= $\frac{2}{10}$ = $\frac{1}{5}$

Eth: p= $\frac{7}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{8}$ ; "nicht blau": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{9}{64}$
blau -> nicht blau	$\frac{15}{64}$
nicht blau -> blau	$\frac{15}{64}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht blau")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'kein Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'kein Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{6}{11}$ = $\frac{5}{11}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{22}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{44}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{44}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{6}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{9}{44}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{44}$ + $\frac{9}{44}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{5}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{121}{140}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{15}{22}$ ; "nicht 13": $\frac{7}{22}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> nicht 13	$\frac{5}{22}$
nicht 13 -> 13	$\frac{5}{22}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("nicht 13")= $\frac{7}{22}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{5}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{11}$ = $\frac{5}{11}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{21}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 7 gelbe, 9 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{6}{25}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{25}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{36}{625}$
rot -> nicht rot	$\frac{114}{625}$
nicht rot -> rot	$\frac{114}{625}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{6}{25}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{36}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{625}$ = $\frac{36}{625}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)