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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{105}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{8}{105}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{105}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{8}{105}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{2}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{8}{105}$
Karo -> Herz	$\frac{8}{105}$
Karo -> Pik	$\frac{2}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Herz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{1}{5}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 2 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{105}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{35}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{105}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{105}$
Herz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{7}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Herz")= $\frac{2}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{5}{21}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{5}{8}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{5}{2}$
= $\frac{5}{18}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{9}$
3 -> nicht 3	$\frac{2}{9}$
nicht 3 -> 3	$\frac{2}{9}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen