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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht 3er'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{27}$ = $\frac{8}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 10 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{52}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{78}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{78}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{78}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{78}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{52}$
Herz -> Pik	$\frac{5}{78}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{78}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{78}$
Pik -> Herz	$\frac{5}{78}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{52}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{78}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{78}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{78}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{78}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{52}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{52}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{52}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{52}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{52}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{52}$ + $\frac{3}{52}$ + $\frac{3}{52}$ + $\frac{3}{52}$ = $\frac{3}{13}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{120}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 7": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 7")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen