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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{8}$ = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{10}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{10}{13}$ = 10 : 13 ≈ 0.769

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.769 = 76.9%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 blaue, 8 grüne, 6 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 8 + 6 + 4=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

grün: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

gelb: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

rot: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 6 gelbe, 5 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{4}$ ; "nicht gelb": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{16}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 10 blaue , 7 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{30}$ ; "nicht rot": $\frac{23}{30}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{7}{145}$ = $\frac{138}{145}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{145}$
rot -> nicht rot	$\frac{161}{870}$
nicht rot -> rot	$\frac{161}{870}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{253}{435}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{30}$ ; P("nicht rot")= $\frac{23}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{161}{870}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{161}{870}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{253}{435}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{161}{870}$ + $\frac{161}{870}$ + $\frac{253}{435}$ = $\frac{138}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot, 4 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> blau	$\frac{1}{19}$
rot -> gelb	$\frac{2}{19}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{76}$
blau -> rot	$\frac{1}{19}$
blau -> blau	$\frac{3}{95}$
blau -> gelb	$\frac{8}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{95}$
gelb -> rot	$\frac{2}{19}$
gelb -> blau	$\frac{8}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{14}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{6}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{76}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{6}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{95}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{14}{95}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{47}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{5}{24}$ ; "nicht 3": $\frac{19}{24}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{25}{576}$
3 -> nicht 3	$\frac{95}{576}$
nicht 3 -> 3	$\frac{95}{576}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{361}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht 3")= $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{25}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{576}$ = $\frac{25}{576}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{8}$ ⋅ $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{4}{6}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{7}{24}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{17}{24}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{119}{552}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{119}{552}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{34}{69}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ = $\frac{7}{92}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 7 145 = 138 145

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{7}{145}$ = $\frac{138}{145}$