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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 6 blaue , 7 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{190}$
rot -> blau	$\frac{3}{95}$
rot -> gelb	$\frac{7}{190}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{38}$
blau -> rot	$\frac{3}{95}$
blau -> blau	$\frac{3}{38}$
blau -> gelb	$\frac{21}{190}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{38}$
gelb -> rot	$\frac{7}{190}$
gelb -> blau	$\frac{21}{190}$
gelb -> gelb	$\frac{21}{190}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{76}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{38}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{38}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{76}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{20}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{1}{38}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{1}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{38}$ + $\frac{1}{38}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Karten der Farbe Kreuz, 2 der Farbe Pik, 8 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Herz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Herz' und 'nicht Herz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Herz": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Herz": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Herz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Herz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Herz')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$

Ereignis	P
Herz -> Herz	$\frac{7}{69}$
Herz -> nicht Herz	$\frac{16}{69}$
nicht Herz -> Herz	$\frac{16}{69}$
nicht Herz -> nicht Herz	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Herz")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Herz'-'nicht Herz' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht Herz'-'Herz' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht Herz'-'nicht Herz' (P= $\frac{10}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ + $\frac{10}{23}$ = $\frac{62}{69}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{64}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{4}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 8 blaue , 9 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{3}{10}$ ; "nicht gelb": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{14}{29}$ = $\frac{15}{29}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{12}{145}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{63}{290}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{63}{290}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{14}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{63}{290}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{63}{290}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{12}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{290}$ + $\frac{63}{290}$ + $\frac{12}{145}$ = $\frac{15}{29}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'prim')=1- 1 4 = 3 4

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Herz')=1- 7 69 = 62 69

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

P=1-P(2 mal 'Herz')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$