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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 24

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 24 = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 3 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 3 8 = 3 : 8 ≈ 0.375

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.375 = 37.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 7 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 6 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 7 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 7 20

ev: p= 7 20

Eth: p= 6 20 = 3 10

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 1 4
rot -> blau 1 8
rot -> gelb 1 8
blau -> rot 1 8
blau -> blau 1 16
blau -> gelb 1 16
gelb -> rot 1 8
gelb -> blau 1 16
gelb -> gelb 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 2 ; P("blau")= 1 4 ; P("gelb")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'blau' (P= 1 8 )
  • 'blau'-'rot' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 = 1 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 3 10 ; "nicht blau": 7 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 343 1000 = 657 1000

EreignisP
blau -> blau -> blau 27 1000
blau -> blau -> nicht blau 63 1000
blau -> nicht blau -> blau 63 1000
blau -> nicht blau -> nicht blau 147 1000
nicht blau -> blau -> blau 63 1000
nicht blau -> blau -> nicht blau 147 1000
nicht blau -> nicht blau -> blau 147 1000
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 343 1000

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 3 10 ; P("nicht blau")= 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= 147 1000 )
  • 'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 147 1000 )
  • 'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 147 1000 )
  • 'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 63 1000 )
  • 'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 63 1000 )
  • 'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 63 1000 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 27 1000 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

147 1000 + 147 1000 + 147 1000 + 63 1000 + 63 1000 + 63 1000 + 27 1000 = 657 1000


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal König und 1 mal Dame"?

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EreignisP
Ass -> Ass 1 28
Ass -> König 1 7
Ass -> Dame 1 14
König -> Ass 1 7
König -> König 3 14
König -> Dame 1 7
Dame -> Ass 1 14
Dame -> König 1 7
Dame -> Dame 1 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 4 ; P("König")= 1 2 ; P("Dame")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'König'-'Dame' (P= 1 7 )
'Dame'-'König' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 105
1 -> 2 3 35
1 -> 3 4 105
2 -> 1 3 35
2 -> 2 12 35
2 -> 3 6 35
3 -> 1 4 105
3 -> 2 6 35
3 -> 3 2 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 2 15 ; P("2")= 3 5 ; P("3")= 4 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'2'-'3' (P= 6 35 )
'3'-'2' (P= 6 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

6 35 + 6 35 = 12 35


nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 2 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 8 ; P("4")= 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'4' (P= 1 64 )
  • '4'-'3' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 64 + 1 64 = 1 32


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 11 1 10 9 9
= 1 11 1 5 9 9
= 1 55

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal 13-24"?

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Da ja ausschließlich nach '13-24' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13-24' und 'nicht 13-24'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13-24": 12 37 ; "nicht 13-24": 25 37 ;

EreignisP
13-24 -> 13-24 144 1369
13-24 -> nicht 13-24 300 1369
nicht 13-24 -> 13-24 300 1369
nicht 13-24 -> nicht 13-24 625 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13-24")= 12 37 ; P("nicht 13-24")= 25 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '13-24'-'nicht 13-24' (P= 300 1369 )
  • 'nicht 13-24'-'13-24' (P= 300 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

300 1369 + 300 1369 = 600 1369