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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{36}$ )
'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 2 vom Typ blau und 5 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{3}{50}$
rot -> gelb	$\frac{3}{20}$
blau -> rot	$\frac{3}{50}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{1}{10}$
gelb -> rot	$\frac{3}{20}$
gelb -> blau	$\frac{1}{10}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{19}{50}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{75}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{15}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{25}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{25}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{15}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{30}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{40}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{40}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{25}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{40}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{25}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{200}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{25}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{40}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{200}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{8}{25}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{9}{25}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{75}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{30}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{75}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{77}{300}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{8}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{21}$
2 -> 1	$\frac{8}{105}$
2 -> 2	$\frac{1}{105}$
2 -> 3	$\frac{1}{21}$
3 -> 1	$\frac{4}{21}$
3 -> 2	$\frac{1}{21}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{21}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{21}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{21}$ + $\frac{4}{21}$ + $\frac{1}{105}$ = $\frac{41}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{92}$
13 -> 14	$\frac{25}{138}$
13 -> 15	$\frac{5}{69}$
14 -> 13	$\frac{25}{138}$
14 -> 14	$\frac{15}{92}$
14 -> 15	$\frac{5}{69}$
15 -> 13	$\frac{5}{69}$
15 -> 14	$\frac{5}{69}$
15 -> 15	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{12}$ ; P("14")= $\frac{5}{12}$ ; P("15")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{69}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{69}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ + $\frac{15}{92}$ = $\frac{85}{276}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Dame": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 3 14 = 11 14

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$