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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 9 blaue , 6 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{28}{435}$
rot -> blau	$\frac{12}{145}$
rot -> gelb	$\frac{8}{145}$
rot -> schwarz	$\frac{28}{435}$
blau -> rot	$\frac{12}{145}$
blau -> blau	$\frac{12}{145}$
blau -> gelb	$\frac{9}{145}$
blau -> schwarz	$\frac{21}{290}$
gelb -> rot	$\frac{8}{145}$
gelb -> blau	$\frac{9}{145}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{29}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{145}$
schwarz -> rot	$\frac{28}{435}$
schwarz -> blau	$\frac{21}{290}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{145}$
schwarz -> schwarz	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{8}{145}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{8}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{145}$ + $\frac{8}{145}$ = $\frac{16}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{4}$ ; "nicht König": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> nicht König	$\frac{3}{14}$
nicht König -> König	$\frac{3}{14}$
nicht König -> nicht König	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht König")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht König'-'nicht König' (P= $\frac{15}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{15}{28}$ = $\frac{27}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{21}$
1 -> 2	$\frac{1}{7}$
1 -> 3	$\frac{2}{21}$
2 -> 1	$\frac{1}{7}$
2 -> 2	$\frac{1}{7}$
2 -> 3	$\frac{4}{35}$
3 -> 1	$\frac{2}{21}$
3 -> 2	$\frac{4}{35}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{4}{35}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{4}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ = $\frac{8}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{10}$ ⋅ $\frac{6}{9}$
= $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$
= $\frac{4}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht 3")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{190}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'König')=1- 1 28 = 27 28

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$