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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- $\frac{8}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{19}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 2 blaue , 6 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{35}$
rot -> blau	$\frac{4}{105}$
rot -> gelb	$\frac{4}{35}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{35}$
blau -> rot	$\frac{4}{105}$
blau -> blau	$\frac{1}{105}$
blau -> gelb	$\frac{2}{35}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{35}$
gelb -> rot	$\frac{4}{35}$
gelb -> blau	$\frac{2}{35}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{7}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{35}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{35}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{35}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{35}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{2}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{2}{35}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{4}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{5}{138}$
1 -> 2	$\frac{5}{69}$
1 -> 3	$\frac{25}{552}$
1 -> 4	$\frac{5}{92}$
2 -> 1	$\frac{5}{69}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{5}{69}$
2 -> 4	$\frac{2}{23}$
3 -> 1	$\frac{25}{552}$
3 -> 2	$\frac{5}{69}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$
3 -> 4	$\frac{5}{92}$
4 -> 1	$\frac{5}{92}$
4 -> 2	$\frac{2}{23}$
4 -> 3	$\frac{5}{92}$
4 -> 4	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{24}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{5}{24}$ ; P("4")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{69}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ = $\frac{10}{69}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{10}{19}$ ; "nicht 13": $\frac{9}{19}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> nicht 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{4}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("nicht 13")= $\frac{9}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{5}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{19}$ = $\frac{5}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{24}{26}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{8}{26}$
= $\frac{4}{39}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- 8 27 = 19 27

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- $\frac{8}{27}$ = $\frac{19}{27}$