Mathebattle EduRandomtasks

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 12 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{12}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{12}$ = 1 : 12 ≈ 0.083

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.083 = 8.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 25 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 6 ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 25, die größer als 6 sind, suchern, finden wir:
{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}, also insgesamt 19 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 6) = $\frac{19}{25}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 6) = $\frac{19}{25}$ = 19 : 25 ≈ 0.76

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 6) ≈ 0.76 = 76%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Asse, 5 Könige, 1 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 5 + 1 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{6}{15}$ = $\frac{2}{5}$

König: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Dame: p= $\frac{1}{15}$

Bube: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{4}$ ; "nicht gelb": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 2 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> blau	$\frac{35}{288}$
rot -> gelb	$\frac{7}{288}$
rot -> schwarz	$\frac{35}{576}$
blau -> rot	$\frac{35}{288}$
blau -> blau	$\frac{25}{144}$
blau -> gelb	$\frac{5}{144}$
blau -> schwarz	$\frac{25}{288}$
gelb -> rot	$\frac{7}{288}$
gelb -> blau	$\frac{5}{144}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{144}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{288}$
schwarz -> rot	$\frac{35}{576}$
schwarz -> blau	$\frac{25}{288}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{288}$
schwarz -> schwarz	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{576}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{25}{144}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{144}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{25}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{576}$ + $\frac{25}{144}$ + $\frac{1}{144}$ + $\frac{25}{576}$ = $\frac{89}{288}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 0 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'andere'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{28}$ = $\frac{11}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{12}{145}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{290}$
Kreuz -> Karo	$\frac{6}{145}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{87}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{87}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{290}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{87}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{14}{435}$
Karo -> Kreuz	$\frac{6}{145}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{87}$
Karo -> Pik	$\frac{14}{435}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{30}$ ; P("Karo")= $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{12}{145}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{145}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{2}{145}$ = $\frac{36}{145}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{27}{190}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{27}{190}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{76}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{9}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{76}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{76}$ + $\frac{9}{76}$ = $\frac{9}{38}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{5}{11}$
= $\frac{5}{33}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{324}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> nicht rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{361}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{342}{1369}$ + $\frac{342}{1369}$ + $\frac{361}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 1 16 = 15 16

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 324 1369 = 1045 1369

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{324}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$