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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{13}$ = 1 : 13 ≈ 0.077

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.077 = 7.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{9}{20}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{9}{20}$ = 9 : 20 ≈ 0.45

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.45 = 45%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 blaue, 7 grüne, 9 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 7 + 9 + 5=30

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{9}{30}$ = $\frac{3}{10}$

grün: p= $\frac{7}{30}$

gelb: p= $\frac{9}{30}$ = $\frac{3}{10}$

rot: p= $\frac{5}{30}$ = $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{64}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{8}$ ; P("blau")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{64}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ = $\frac{7}{32}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
rot -> grün	$\frac{18}{1369}$
schwarz -> rot	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> grün	$\frac{18}{1369}$
grün -> rot	$\frac{18}{1369}$
grün -> schwarz	$\frac{18}{1369}$
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("grün")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{648}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{184}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{184}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{184}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> Pik	$\frac{27}{184}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{184}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{184}$
Pik -> Herz	$\frac{27}{184}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{23}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{184}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{184}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{184}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{184}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{8}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{8}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{8}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{92}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{13}{46}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 10 blaue , 8 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{29}$
rot -> nicht rot	$\frac{24}{145}$
nicht rot -> rot	$\frac{24}{145}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{92}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{29}$ = $\frac{1}{29}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> 8	$\frac{2}{15}$
7 -> 9	$\frac{2}{15}$
8 -> 7	$\frac{2}{15}$
8 -> 8	$\frac{1}{15}$
8 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> 7	$\frac{2}{15}$
9 -> 8	$\frac{2}{15}$
9 -> 9	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{10}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt