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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 30 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$ = 1 : 30 ≈ 0.033

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.033 = 3.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 18 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 18 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 3 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 3 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 18 suchern, finden wir:
{3, 6, 9, 12, 15, 18}, also insgesamt 6 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 3) = $\frac{6}{18}$ = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{36}$ )
'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal A"?

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Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": $\frac{3}{8}$ ; "nicht A": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal A' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'A'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'A')=1- $\frac{9}{64}$ = $\frac{55}{64}$

Ereignis	P
A -> A	$\frac{9}{64}$
A -> nicht A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> nicht A	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht A")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'nicht A' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht A'-'A' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht A'-'nicht A' (P= $\frac{25}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{64}$ + $\frac{15}{64}$ + $\frac{25}{64}$ = $\frac{55}{64}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{2}{21}$ = $\frac{19}{21}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{2}{21}$
blau -> nicht blau	$\frac{5}{21}$
nicht blau -> blau	$\frac{5}{21}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{3}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{5}{21}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{5}{21}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{21}$ + $\frac{5}{21}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{19}{21}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{15}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{1}{10}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{2}{15}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{1}{10}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{10}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{10}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{1}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> 8	$\frac{2}{15}$
7 -> 9	$\frac{2}{15}$
8 -> 7	$\frac{2}{15}$
8 -> 8	$\frac{1}{15}$
8 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> 7	$\frac{2}{15}$
9 -> 8	$\frac{2}{15}$
9 -> 9	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{7}$
rot -> blau	$\frac{5}{21}$
blau -> rot	$\frac{5}{21}$
blau -> blau	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'A')=1- 9 64 = 55 64

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 2 21 = 19 21

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'A')=1- $\frac{9}{64}$ = $\frac{55}{64}$

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{2}{21}$ = $\frac{19}{21}$