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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 17 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{17}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{17}$ = 1 : 17 ≈ 0.059

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.059 = 5.9%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 6 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 6 suchern, finden wir:
{2, 3, 5}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 5 Könige, 6 Damen, und 7 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 5 + 6 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{2}{20}$ = $\frac{1}{10}$

König: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

Dame: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

Bube: p= $\frac{7}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{27}{1000}$ = $\frac{973}{1000}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{343}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{343}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{973}{1000}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{69}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ = $\frac{7}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{12}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'4'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{5}{126}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{2}{15}$ ; "nicht NWT": $\frac{13}{15}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{105}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{13}{105}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{13}{105}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{26}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{2}{15}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{13}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{13}{105}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{13}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{13}{105}$ + $\frac{13}{105}$ = $\frac{26}{105}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)