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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 15 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{15}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{15}$ = 1 : 15 ≈ 0.067

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.067 = 6.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal Wappen"?

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Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{361}{1369}$ = $\frac{1008}{1369}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> nicht rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{342}{1369}$ + $\frac{342}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{1008}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 7 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{12}{145}$ = $\frac{133}{145}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{12}{145}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{63}{290}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{63}{290}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{14}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{63}{290}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{63}{290}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{14}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{290}$ + $\frac{63}{290}$ + $\frac{14}{29}$ = $\frac{133}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an eine Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{2}{17}$ ; "nicht 15": $\frac{15}{17}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{136}$
15 -> nicht 15	$\frac{15}{136}$
nicht 15 -> 15	$\frac{15}{136}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{105}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{2}{17}$ ; P("nicht 15")= $\frac{15}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{136}$ = $\frac{1}{136}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{55}$ = $\frac{54}{55}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{14}{55}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{28}{165}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{28}{165}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{28}{165}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{28}{165}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{28}{165}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{54}{55}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 12 145 = 133 145

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{12}{145}$ = $\frac{133}{145}$