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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 9 gelbe, 6 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{3}{50}$
rot -> gelb	$\frac{9}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{50}$
blau -> rot	$\frac{3}{50}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{3}{50}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{9}{100}$
gelb -> blau	$\frac{3}{50}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{50}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{50}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{50}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{50}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{50}$ + $\frac{3}{50}$ = $\frac{3}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Ass": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $\frac{4}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{1}{6}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{10}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{1}{10}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{1}{10}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{6}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{2}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{35}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{1}{14}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{1}{5}$
2 -> 3	$\frac{1}{6}$
3 -> 1	$\frac{1}{14}$
3 -> 2	$\frac{1}{6}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{7}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{14}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{14}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{12}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{14}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{11}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{11}{4}$
= $\frac{11}{364}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{343}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{343}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{98}{125}$

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mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen