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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 15 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = 1 15

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = 1 15 = 1 : 15 ≈ 0.067

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.067 = 6.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 3

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 3 = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal Wappen"?

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Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": 1 2 ; "nicht Wappen": 1 2 ;

EreignisP
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen 1 8
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen 1 8
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen 1 8
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen 1 8
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= 1 2 ; P("nicht Wappen")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 18 37 ; "nicht rot": 19 37 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 361 1369 = 1008 1369

EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> nicht rot 342 1369
nicht rot -> rot 342 1369
nicht rot -> nicht rot 361 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 18 37 ; P("nicht rot")= 19 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 342 1369 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 342 1369 )
  • 'rot'-'rot' (P= 324 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

342 1369 + 342 1369 + 324 1369 = 1008 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 7 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 3 10 ; "nicht NWT": 7 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 12 145 = 133 145

EreignisP
NWT -> NWT 12 145
NWT -> nicht NWT 63 290
nicht NWT -> NWT 63 290
nicht NWT -> nicht NWT 14 29

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 3 10 ; P("nicht NWT")= 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 63 290 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 63 290 )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= 14 29 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

63 290 + 63 290 + 14 29 = 133 145


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an eine Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 2 5 ; "nicht Mädchen": 3 5 ;

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 30
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 1 10
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 1 10
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 6
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 10
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 1 6
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 1 6
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 6

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 2 5 ; P("nicht Mädchen")= 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 1 10 )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 10 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 10 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 30 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 10 + 1 10 + 1 10 + 1 30 = 1 3


nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": 2 17 ; "nicht 15": 15 17 ;

EreignisP
15 -> 15 1 136
15 -> nicht 15 15 136
nicht 15 -> 15 15 136
nicht 15 -> nicht 15 105 136

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= 2 17 ; P("nicht 15")= 15 17 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'15'-'15' (P= 1 136 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 136 = 1 136


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 2 3 ; "nicht rot": 1 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 1 55 = 54 55

EreignisP
rot -> rot -> rot 14 55
rot -> rot -> nicht rot 28 165
rot -> nicht rot -> rot 28 165
rot -> nicht rot -> nicht rot 4 55
nicht rot -> rot -> rot 28 165
nicht rot -> rot -> nicht rot 4 55
nicht rot -> nicht rot -> rot 4 55
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 2 3 ; P("nicht rot")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 4 55 )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 4 55 )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 4 55 )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 28 165 )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 28 165 )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 28 165 )
'rot'-'rot'-'rot' (P= 14 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 55 + 4 55 + 4 55 + 28 165 + 28 165 + 28 165 + 14 55 = 54 55