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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 10 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{10}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{10}$ = 1 : 10 ≈ 0.1

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.1 = 10%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 13 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 13 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 5 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 5 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 13 suchern, finden wir:
{5, 10}, also insgesamt 2 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 5) = $\frac{2}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) = $\frac{2}{13}$ = 2 : 13 ≈ 0.154

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) ≈ 0.154 = 15.4%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> nicht blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal B"?

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Ereignis	P
A -> A	$\frac{25}{64}$
A -> B	$\frac{5}{64}$
A -> C	$\frac{5}{64}$
A -> D	$\frac{5}{64}$
B -> A	$\frac{5}{64}$
B -> B	$\frac{1}{64}$
B -> C	$\frac{1}{64}$
B -> D	$\frac{1}{64}$
C -> A	$\frac{5}{64}$
C -> B	$\frac{1}{64}$
C -> C	$\frac{1}{64}$
C -> D	$\frac{1}{64}$
D -> A	$\frac{5}{64}$
D -> B	$\frac{1}{64}$
D -> C	$\frac{1}{64}$
D -> D	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{5}{8}$ ; P("B")= $\frac{1}{8}$ ; P("C")= $\frac{1}{8}$ ; P("D")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'B' (P= $\frac{5}{64}$ )
'B'-'A' (P= $\frac{5}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{64}$ + $\frac{5}{64}$ = $\frac{5}{32}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{38}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{190}$ = $\frac{91}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{18}{95}$
1 -> 2	$\frac{9}{190}$
1 -> 3	$\frac{27}{380}$
1 -> 4	$\frac{27}{190}$
2 -> 1	$\frac{9}{190}$
2 -> 2	$\frac{1}{190}$
2 -> 3	$\frac{3}{190}$
2 -> 4	$\frac{3}{95}$
3 -> 1	$\frac{27}{380}$
3 -> 2	$\frac{3}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> 4	$\frac{9}{190}$
4 -> 1	$\frac{27}{190}$
4 -> 2	$\frac{3}{95}$
4 -> 3	$\frac{9}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{10}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ; P("4")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{27}{380}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{27}{380}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{380}$ + $\frac{27}{380}$ + $\frac{1}{190}$ = $\frac{14}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{95}$
1 -> 2	$\frac{9}{95}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{9}{95}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{63}{380}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{63}{380}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{63}{380}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{63}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{380}$ + $\frac{63}{380}$ = $\frac{63}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{87}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{87}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{87}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{87}$
Herz -> Herz	$\frac{28}{435}$
Herz -> Pik	$\frac{28}{435}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{87}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{87}$
Pik -> Herz	$\frac{28}{435}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{174}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{87}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{87}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{174}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{30}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{28}{435}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ + $\frac{28}{435}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{2}{87}$ = $\frac{104}{435}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 16 = 15 16

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$