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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 5 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{5}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{5}$ = 1 : 5 ≈ 0.2

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.2 = 20%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 20 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 8 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 20, die größer als 8 sind, suchern, finden wir:
{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, also insgesamt 12 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 8) = $\frac{12}{20}$ = $\frac{3}{5}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 8) = $\frac{3}{5}$ = 3 : 5 ≈ 0.6

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 8) ≈ 0.6 = 60%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Asse, 3 Könige, 1 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 3 + 1 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

König: p= $\frac{3}{20}$

Dame: p= $\frac{1}{20}$

Bube: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{1}{8}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{8}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{25}$
Kreuz -> Herz	$\frac{27}{200}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{50}$
Kreuz -> Karo	$\frac{9}{200}$
Herz -> Kreuz	$\frac{27}{200}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{25}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{50}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{200}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{50}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{50}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{50}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{50}$
Karo -> Kreuz	$\frac{9}{200}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{200}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{50}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{9}{25}$ ; P("Herz")= $\frac{9}{25}$ ; P("Pik")= $\frac{4}{25}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{50}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{50}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{27}{100}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{66}$
1 -> 2	$\frac{7}{66}$
1 -> 3	$\frac{1}{22}$
2 -> 1	$\frac{7}{66}$
2 -> 2	$\frac{7}{22}$
2 -> 3	$\frac{7}{44}$
3 -> 1	$\frac{1}{22}$
3 -> 2	$\frac{7}{44}$
3 -> 3	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{7}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{7}{44}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{7}{44}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{7}{22}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{8}{105}$
1 -> 3	$\frac{1}{21}$
2 -> 1	$\frac{8}{105}$
2 -> 2	$\frac{4}{15}$
2 -> 3	$\frac{4}{21}$
3 -> 1	$\frac{1}{21}$
3 -> 2	$\frac{4}{21}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{4}{21}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{4}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{21}$ + $\frac{4}{21}$ = $\frac{8}{21}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen