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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 16 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{16}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{16}$ = 1 : 16 ≈ 0.063

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.063 = 6.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 22 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 22 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 12 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 22, die größer als 12 sind, suchern, finden wir:
{13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22}, also insgesamt 10 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 12) = $\frac{10}{22}$ = $\frac{5}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 12) = $\frac{5}{11}$ = 5 : 11 ≈ 0.455

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 12) ≈ 0.455 = 45.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 7 gelbe, 4 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{6}$ ; "nicht blau": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{36}$
blau -> nicht blau	$\frac{5}{36}$
nicht blau -> blau	$\frac{5}{36}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht blau")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{5}{36}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{5}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{46}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{46}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{9}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{46}$ + $\frac{9}{46}$ = $\frac{9}{23}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 6 der Farbe Herz und 6 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Herz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Herz' und 'nicht Herz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Herz": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Herz": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Herz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Herz' bzw. 0 mal 'Herz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Herz')=1- $\frac{51}{92}$ = $\frac{41}{92}$

Ereignis	P
Herz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Herz -> nicht Herz	$\frac{9}{46}$
nicht Herz -> Herz	$\frac{9}{46}$
nicht Herz -> nicht Herz	$\frac{51}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Herz")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Herz'-'nicht Herz' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht Herz'-'Herz' (P= $\frac{9}{46}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{46}$ + $\frac{9}{46}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{41}{92}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{12}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{8}{8}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{495}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 4 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{23}$
1 -> 2	$\frac{3}{23}$
1 -> 3	$\frac{3}{46}$
1 -> 4	$\frac{9}{184}$
2 -> 1	$\frac{3}{23}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{4}{69}$
2 -> 4	$\frac{1}{23}$
3 -> 1	$\frac{3}{46}$
3 -> 2	$\frac{4}{69}$
3 -> 3	$\frac{1}{46}$
3 -> 4	$\frac{1}{46}$
4 -> 1	$\frac{9}{184}$
4 -> 2	$\frac{1}{23}$
4 -> 3	$\frac{1}{46}$
4 -> 4	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{23}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{23}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{23}$ + $\frac{1}{23}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{5}{46}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen