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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot, 7 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
rot -> gelb	$\frac{1}{16}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{16}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{49}{576}$
blau -> gelb	$\frac{7}{144}$
blau -> schwarz	$\frac{7}{144}$
gelb -> rot	$\frac{1}{16}$
gelb -> blau	$\frac{7}{144}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{36}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{36}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{16}$
schwarz -> blau	$\frac{7}{144}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{36}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("blau")= $\frac{7}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{6}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{49}{576}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{36}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{49}{576}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{9}{32}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{4}{15}$ ; "nicht NWT": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{2}{35}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{22}{105}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{22}{105}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{11}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ = $\frac{2}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> König	$\frac{1}{7}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{7}$
König -> Ass	$\frac{1}{7}$
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> Dame	$\frac{1}{14}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{7}$
Dame -> König	$\frac{1}{14}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{1}{7}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{5}{48}$
1 -> 3	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{5}{48}$
2 -> 2	$\frac{25}{144}$
2 -> 3	$\frac{5}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{12}$
3 -> 2	$\frac{5}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{48}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{48}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{48}$ + $\frac{5}{48}$ = $\frac{5}{24}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{7}{4}$
= $\frac{7}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{220}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{21}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{21}{55}$ = $\frac{48}{55}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)