Mathebattle EduRandomtasks

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 23 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 23 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 23 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, also insgesamt 9 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{9}{23}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{9}{23}$ = 9 : 23 ≈ 0.391

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.391 = 39.1%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: p= $\frac{5}{8}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{36}$ )
'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{5}{24}$ ; "nicht NWT": $\frac{19}{24}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{5}{138}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{95}{552}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{95}{552}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{57}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{95}{552}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{95}{552}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{95}{552}$ + $\frac{95}{552}$ = $\frac{95}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{11}$
1 -> 2	$\frac{5}{33}$
1 -> 3	$\frac{1}{11}$
2 -> 1	$\frac{5}{33}$
2 -> 2	$\frac{5}{33}$
2 -> 3	$\frac{5}{44}$
3 -> 1	$\frac{1}{11}$
3 -> 2	$\frac{5}{44}$
3 -> 3	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{5}{44}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{5}{44}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{44}$ + $\frac{5}{44}$ = $\frac{5}{22}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{27}{190}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{27}{190}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{76}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{9}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{38}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{33}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{10}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $5$
= $\frac{5}{91}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{21}{21}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{2024}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt