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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 19 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{19}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{19}$ = 1 : 19 ≈ 0.053

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.053 = 5.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 18 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 18 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 5 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 5 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 18 suchern, finden wir:
{5, 10, 15}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 5) = $\frac{3}{18}$ = $\frac{1}{6}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) = $\frac{1}{6}$ = 1 : 6 ≈ 0.167

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 5) ≈ 0.167 = 16.7%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 5 Könige, 1 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 5 + 1 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{4}{15}$

König: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Dame: p= $\frac{1}{15}$

Bube: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 9 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{5}{16}$ ; "nicht blau": $\frac{11}{16}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{25}{256}$
blau -> nicht blau	$\frac{55}{256}$
nicht blau -> blau	$\frac{55}{256}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{121}{256}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{5}{16}$ ; P("nicht blau")= $\frac{11}{16}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{55}{256}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{55}{256}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{55}{256}$ + $\frac{55}{256}$ = $\frac{55}{128}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 9 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{9}{25}$ ; "nicht NWT": $\frac{16}{25}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{25}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{6}{25}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{6}{25}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{9}{25}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{16}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{6}{25}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{6}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{25}$ + $\frac{6}{25}$ = $\frac{12}{25}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 2 blaue , 2 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{10}$ ; "nicht gelb": $\frac{9}{10}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{190}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{95}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{9}{95}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{153}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{9}{95}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{18}{18}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{1330}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{9}{11}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $3$ ⋅ $\frac{3}{11}$
= $\frac{9}{143}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'prim')=1- 1 4 = 3 4

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$