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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 6 gelbe, 9 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{64}$
rot -> blau	$\frac{3}{64}$
rot -> gelb	$\frac{1}{32}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{32}$
blau -> rot	$\frac{3}{64}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$
blau -> gelb	$\frac{3}{32}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{32}$
gelb -> rot	$\frac{1}{32}$
gelb -> blau	$\frac{3}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{16}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{32}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{32}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{16}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{8}$ ; P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ = $\frac{3}{32}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 8 vom Typ blau und 3 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{16}{225}$
rot -> blau	$\frac{32}{225}$
rot -> gelb	$\frac{4}{75}$
blau -> rot	$\frac{32}{225}$
blau -> blau	$\frac{64}{225}$
blau -> gelb	$\frac{8}{75}$
gelb -> rot	$\frac{4}{75}$
gelb -> blau	$\frac{8}{75}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{8}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{16}{225}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{64}{225}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{225}$ + $\frac{64}{225}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{89}{225}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{15}$
rot -> blau	$\frac{7}{30}$
blau -> rot	$\frac{7}{30}$
blau -> blau	$\frac{7}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{15}$ = $\frac{7}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{77}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{77}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{10}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{77}$ + $\frac{5}{77}$ + $\frac{10}{231}$ = $\frac{40}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$
= $3$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$
= $\frac{3}{20}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 4 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{2}{21}$ = $\frac{19}{21}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{2}{21}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{5}{21}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{5}{21}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{3}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{5}{21}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{5}{21}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{3}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{21}$ + $\frac{5}{21}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{19}{21}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 2 21 = 19 21

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{2}{21}$ = $\frac{19}{21}$