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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 9 gelbe, 6 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kein Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{5}{6}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{63}{380}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{63}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{9}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{95}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{95}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{95}$ + $\frac{7}{95}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{32}{95}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{64}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 8 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{3}$
= $\frac{8}{165}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 16 = 15 16

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$