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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{5}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{5}$ = 1 : 5 ≈ 0.2

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.2 = 20%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 11 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 11 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 11 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11}, also insgesamt 5 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{5}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{5}{11}$ = 5 : 11 ≈ 0.455

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.455 = 45.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 blaue, 3 grüne, 2 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 3 + 3 + 2 + 4=12

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$

grün: p= $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$

gelb: p= $\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$

rot: p= $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 3 gelbe, 8 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{3}{20}$ ; "nicht gelb": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{51}{400}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{51}{400}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{289}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{51}{400}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{51}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{400}$ + $\frac{51}{400}$ = $\frac{51}{200}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{5}$ ; "nicht NWT": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{95}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{12}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{19}$ = $\frac{12}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{75}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{75}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{75}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{25}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{75}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{100}$
Herz -> Pik	$\frac{49}{600}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{200}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{75}$
Pik -> Herz	$\frac{49}{600}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{100}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{200}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{25}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{200}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{200}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{8}{25}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{25}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{25}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{75}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{100}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{100}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{75}$ + $\frac{7}{100}$ + $\frac{7}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{73}{300}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 8 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{36}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{24}{24}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{2925}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 4 blaue , 2 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{2}{15}$ ; "nicht gelb": $\frac{13}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{26}{35}$ = $\frac{9}{35}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{105}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{13}{105}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{13}{105}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{26}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{2}{15}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{13}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{13}{105}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{13}{105}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{13}{105}$ + $\frac{13}{105}$ + $\frac{1}{105}$ = $\frac{9}{35}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)