nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 16 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 16

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 16 = 1 : 16 ≈ 0.063

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.063 = 6.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 14 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 14 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 10 ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 14, die kleiner als 10 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 9,
also insgesamt 9 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 10) = 9 14

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 10) = 9 14 = 9 : 14 ≈ 0.643

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 10) ≈ 0.643 = 64.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 blaue, 5 grüne, 3 gelbe und 7 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 5 + 3 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 5 20 = 1 4

grün: p= 5 20 = 1 4

gelb: p= 3 20

rot: p= 7 20

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 gelbe, 3 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 9 20 ; "nicht rot": 11 20 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 121 400 = 279 400

EreignisP
rot -> rot 81 400
rot -> nicht rot 99 400
nicht rot -> rot 99 400
nicht rot -> nicht rot 121 400

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 9 20 ; P("nicht rot")= 11 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 99 400 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 99 400 )
  • 'rot'-'rot' (P= 81 400 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

99 400 + 99 400 + 81 400 = 279 400


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> schwarz 324 1369
rot -> grün 18 1369
schwarz -> rot 324 1369
schwarz -> schwarz 324 1369
schwarz -> grün 18 1369
grün -> rot 18 1369
grün -> schwarz 18 1369
grün -> grün 1 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 18 37 ; P("schwarz")= 18 37 ; P("grün")= 1 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'schwarz' (P= 324 1369 )
  • 'schwarz'-'rot' (P= 324 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

324 1369 + 324 1369 = 648 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 7 25 ; "nicht NWT": 18 25 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 51 100 = 49 100

EreignisP
NWT -> NWT 7 100
NWT -> nicht NWT 21 100
nicht NWT -> NWT 21 100
nicht NWT -> nicht NWT 51 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 7 25 ; P("nicht NWT")= 18 25 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 21 100 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 21 100 )
'NWT'-'NWT' (P= 7 100 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

21 100 + 21 100 + 7 100 = 49 100


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden
EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 46
Kreuz -> Herz 7 138
Kreuz -> Pik 3 46
Kreuz -> Karo 2 69
Herz -> Kreuz 7 138
Herz -> Herz 7 92
Herz -> Pik 21 184
Herz -> Karo 7 138
Pik -> Kreuz 3 46
Pik -> Herz 21 184
Pik -> Pik 3 23
Pik -> Karo 3 46
Karo -> Kreuz 2 69
Karo -> Herz 7 138
Karo -> Pik 3 46
Karo -> Karo 1 46

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= 1 6 ; P("Herz")= 7 24 ; P("Pik")= 3 8 ; P("Karo")= 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 46 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 92 )
'Pik'-'Pik' (P= 3 23 )
'Karo'-'Karo' (P= 1 46 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 46 + 7 92 + 3 23 + 1 46 = 1 4


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 1 4 ; "nicht 3": 3 4 ;

EreignisP
3 -> 3 1 16
3 -> nicht 3 3 16
nicht 3 -> 3 3 16
nicht 3 -> nicht 3 9 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 1 4 ; P("nicht 3")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'3' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 = 1 16


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 24 2 23 1 22 21 21
= 1 4 1 23 1 22 7 7
= 1 2024

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 8 ; "nicht rot": 5 8 ;

EreignisP
rot -> rot 9 64
rot -> nicht rot 15 64
nicht rot -> rot 15 64
nicht rot -> nicht rot 25 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 8 ; P("nicht rot")= 5 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 9 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 64 = 9 64