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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 10 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{10}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{10}$ = 1 : 10 ≈ 0.1

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.1 = 10%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 21 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 21 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 8 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 21, die größer als 8 sind, suchern, finden wir:
{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, also insgesamt 13 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 8) = $\frac{13}{21}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 8) = $\frac{13}{21}$ = 13 : 21 ≈ 0.619

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 8) ≈ 0.619 = 61.9%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Asse, 9 Könige, 8 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 9 + 8 + 4=30

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{9}{30}$ = $\frac{3}{10}$

König: p= $\frac{9}{30}$ = $\frac{3}{10}$

Dame: p= $\frac{8}{30}$ = $\frac{4}{15}$

Bube: p= $\frac{4}{30}$ = $\frac{2}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 9 gelbe, 3 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{8}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{64}$ = $\frac{63}{64}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{64}$
blau -> nicht blau	$\frac{7}{64}$
nicht blau -> blau	$\frac{7}{64}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{49}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{7}{64}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{7}{64}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{49}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ + $\frac{49}{64}$ = $\frac{63}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 7 gelbe, 5 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{7}{24}$ ; "nicht gelb": $\frac{17}{24}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{289}{576}$ = $\frac{287}{576}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{49}{576}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{119}{576}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{119}{576}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{289}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{119}{576}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{119}{576}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{49}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{119}{576}$ + $\frac{119}{576}$ + $\frac{49}{576}$ = $\frac{287}{576}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{14}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{19}$
Kreuz -> Karo	$\frac{6}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{19}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{47}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Ass": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{11}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{8}{33}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{8}{33}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{58}$
13 -> 14	$\frac{75}{406}$
13 -> 15	$\frac{15}{203}$
14 -> 13	$\frac{75}{406}$
14 -> 14	$\frac{45}{406}$
14 -> 15	$\frac{10}{203}$
15 -> 13	$\frac{15}{203}$
15 -> 14	$\frac{10}{203}$
15 -> 15	$\frac{3}{203}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{29}$ ; P("14")= $\frac{10}{29}$ ; P("15")= $\frac{4}{29}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{75}{406}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{75}{406}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{75}{406}$ + $\frac{75}{406}$ = $\frac{75}{203}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 64 = 63 64

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{64}$ = $\frac{63}{64}$