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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 12 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{12}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{12}$ = 1 : 12 ≈ 0.083

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.083 = 8.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 7 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 7 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 7 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7}, also insgesamt 4 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{4}{7}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{4}{7}$ = 4 : 7 ≈ 0.571

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.571 = 57.1%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 8 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 2 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 2 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{8}{15}$

ev: p= $\frac{2}{15}$

Eth: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'keine_6'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ = $\frac{5}{72}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{5}{12}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{12}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{15}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{138}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{35}{138}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{276}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{5}{12}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{12}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{276}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{276}$ = $\frac{91}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{3}{190}$ = $\frac{187}{190}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{68}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{380}$ + $\frac{51}{380}$ + $\frac{68}{95}$ = $\frac{187}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{5}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{2}{15}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{2}{35}$
2 -> 3	$\frac{8}{105}$
3 -> 1	$\frac{2}{15}$
3 -> 2	$\frac{8}{105}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{15}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{24}{25}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{4}{25}$
= $\frac{8}{975}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 3 190 = 187 190

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{3}{190}$ = $\frac{187}{190}$