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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$ = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{3}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{3}{8}$ = 3 : 8 ≈ 0.375

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.375 = 37.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 7 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 6 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 7 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{7}{20}$

ev: p= $\frac{7}{20}$

Eth: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{4}$
rot -> blau	$\frac{1}{8}$
rot -> gelb	$\frac{1}{8}$
blau -> rot	$\frac{1}{8}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> rot	$\frac{1}{8}$
gelb -> blau	$\frac{1}{16}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{8}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{343}{1000}$ = $\frac{657}{1000}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{343}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{27}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{27}{1000}$ = $\frac{657}{1000}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal König und 1 mal Dame"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> König	$\frac{1}{7}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{14}$
König -> Ass	$\frac{1}{7}$
König -> König	$\frac{3}{14}$
König -> Dame	$\frac{1}{7}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{14}$
Dame -> König	$\frac{1}{7}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("König")= $\frac{1}{2}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'Dame' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Dame'-'König' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{3}{35}$
1 -> 3	$\frac{4}{105}$
2 -> 1	$\frac{3}{35}$
2 -> 2	$\frac{12}{35}$
2 -> 3	$\frac{6}{35}$
3 -> 1	$\frac{4}{105}$
3 -> 2	$\frac{6}{35}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{3}{5}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{6}{35}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{6}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{35}$ + $\frac{6}{35}$ = $\frac{12}{35}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{64}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{55}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal 13-24"?

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Da ja ausschließlich nach '13-24' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13-24' und 'nicht 13-24'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13-24": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 13-24": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> nicht 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> nicht 13-24	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 13-24")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13-24'-'nicht 13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 13-24'-'13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ = $\frac{600}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen