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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine 6 zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal '6er')=1- $\frac{1}{216}$ = $\frac{215}{216}$

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{125}{216}$ = $\frac{215}{216}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{8}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{14}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{8}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{8}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{23}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{1}{21}$
1 -> 3	$\frac{1}{21}$
1 -> 4	$\frac{1}{35}$
2 -> 1	$\frac{1}{21}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{5}{42}$
2 -> 4	$\frac{1}{14}$
3 -> 1	$\frac{1}{21}$
3 -> 2	$\frac{5}{42}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$
3 -> 4	$\frac{1}{14}$
4 -> 1	$\frac{1}{35}$
4 -> 2	$\frac{1}{14}$
4 -> 3	$\frac{1}{14}$
4 -> 4	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{14}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{7}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'4'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{15}{15}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{816}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{5}{6}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal '6er')=1- 1 216 = 215 216

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal '6er')=1- $\frac{1}{216}$ = $\frac{215}{216}$