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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$ = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 25 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 3 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 25, die größer als 3 sind, suchern, finden wir:
{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}, also insgesamt 22 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 3) = $\frac{22}{25}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 3) = $\frac{22}{25}$ = 22 : 25 ≈ 0.88

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 3) ≈ 0.88 = 88%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal 1-12"?

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Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '1-12'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '1-12')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{625}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{625}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 8 blaue , 4 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{20}$
rot -> blau	$\frac{2}{15}$
rot -> gelb	$\frac{1}{15}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{20}$
blau -> rot	$\frac{2}{15}$
blau -> blau	$\frac{7}{75}$
blau -> gelb	$\frac{4}{75}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{1}{15}$
gelb -> blau	$\frac{4}{75}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{50}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{50}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{20}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{50}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{8}{25}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'schwarz' (P= $\frac{1}{25}$ )
'schwarz'-'blau' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{2}{25}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{10}{19}$ ; "nicht 13": $\frac{9}{19}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> nicht 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{4}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("nicht 13")= $\frac{9}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{5}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{19}$ = $\frac{5}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$
= $\frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal '1-12')=1- 144 1369 = 1225 1369

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal '1-12')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$