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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 4 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{4}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{4}$ = 1 : 4 ≈ 0.25

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.25 = 25%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 11 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 11 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 11 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11}, also insgesamt 5 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{5}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{5}{11}$ = 5 : 11 ≈ 0.455

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.455 = 45.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Asse, 7 Könige, 3 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 7 + 3 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{7}{20}$

König: p= $\frac{7}{20}$

Dame: p= $\frac{3}{20}$

Bube: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{11}$
Ass -> König	$\frac{4}{33}$
Ass -> Dame	$\frac{4}{33}$
König -> Ass	$\frac{4}{33}$
König -> König	$\frac{1}{11}$
König -> Dame	$\frac{4}{33}$
Dame -> Ass	$\frac{4}{33}$
Dame -> König	$\frac{4}{33}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{4}{33}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{4}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ = $\frac{8}{33}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{38}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{38}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{76}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{76}$
Pik -> Pik	$\frac{21}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{21}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Pik	$\frac{21}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{47}{190}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{64}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> nicht 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen