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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 6 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{6}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{6}$ = 1 : 6 ≈ 0.167

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.167 = 16.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 9 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{28}{36}$ = $\frac{7}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{7}{9}$ = 7 : 9 ≈ 0.778

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.778 = 77.8%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 7 Könige, 6 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 7 + 6 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

König: p= $\frac{7}{20}$

Dame: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

Bube: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal 25-36"?

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Da ja ausschließlich nach '25-36' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '25-36' und 'nicht 25-36'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"25-36": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 25-36": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 25-36' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '25-36'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '25-36')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

Ereignis	P
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> nicht 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> nicht 25-36	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 25-36")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'25-36'-'nicht 25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 25-36'-'25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 25-36'-'nicht 25-36' (P= $\frac{625}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{625}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 6 blaue , 2 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{15}{92}$
rot -> blau	$\frac{5}{46}$
rot -> gelb	$\frac{5}{138}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{46}$
blau -> rot	$\frac{5}{46}$
blau -> blau	$\frac{5}{92}$
blau -> gelb	$\frac{1}{46}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{46}$
gelb -> rot	$\frac{5}{138}$
gelb -> blau	$\frac{1}{46}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{276}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{46}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{46}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{46}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{46}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{12}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{1}{46}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{23}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 9 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{87}$
1 -> 2	$\frac{5}{87}$
1 -> 3	$\frac{3}{58}$
1 -> 4	$\frac{1}{29}$
2 -> 1	$\frac{5}{87}$
2 -> 2	$\frac{3}{29}$
2 -> 3	$\frac{3}{29}$
2 -> 4	$\frac{2}{29}$
3 -> 1	$\frac{3}{58}$
3 -> 2	$\frac{3}{29}$
3 -> 3	$\frac{12}{145}$
3 -> 4	$\frac{9}{145}$
4 -> 1	$\frac{1}{29}$
4 -> 2	$\frac{2}{29}$
4 -> 3	$\frac{9}{145}$
4 -> 4	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{58}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{58}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{58}$ + $\frac{3}{58}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{6}{29}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("14")= $\frac{5}{17}$ ; P("15")= $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{136}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{136}$ + $\frac{25}{136}$ = $\frac{25}{68}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 3 Karten der Farbe Kreuz, 8 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Pik": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Pik' bzw. 0 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Pik')=1- $\frac{33}{95}$ = $\frac{62}{95}$

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{14}{95}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{24}{95}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{24}{95}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{33}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Pik")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{24}{95}$ )
'nicht Pik'-'Pik' (P= $\frac{24}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{14}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{24}{95}$ + $\frac{24}{95}$ + $\frac{14}{95}$ = $\frac{62}{95}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal '25-36')=1- 144 1369 = 1225 1369

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

P=1-P(2 mal '25-36')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$