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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 13 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{13}$ = 1 : 13 ≈ 0.077

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.077 = 7.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 4 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{9}{12}$ = $\frac{3}{4}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{3}{4}$ = 3 : 4 ≈ 0.75

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.75 = 75%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 7 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 8 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 8 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{7}{20}$

ev: p= $\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

Eth: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Wappen"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{64}$ = $\frac{63}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{27}{64}$ = $\frac{63}{64}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{4}{25}$ ; "nicht NWT": $\frac{21}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{50}$ = $\frac{49}{50}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{50}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{7}{50}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{7}{50}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{7}{10}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{4}{25}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{21}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{7}{50}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{50}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{7}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{50}$ + $\frac{7}{50}$ + $\frac{7}{10}$ = $\frac{49}{50}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{15}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{1}{10}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{2}{15}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{1}{10}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{10}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{10}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{15}{17}$
= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{5}{17}$
= $\frac{5}{34}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{9}$
3 -> nicht 3	$\frac{2}{9}$
nicht 3 -> 3	$\frac{2}{9}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 1 50 = 49 50

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{50}$ = $\frac{49}{50}$