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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 3 gelbe, 8 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{9}$
rot -> blau	$\frac{1}{9}$
rot -> gelb	$\frac{1}{24}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{72}$
blau -> rot	$\frac{1}{9}$
blau -> blau	$\frac{1}{9}$
blau -> gelb	$\frac{1}{24}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{72}$
gelb -> rot	$\frac{1}{24}$
gelb -> blau	$\frac{1}{24}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{64}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{192}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{72}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{72}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{192}$
schwarz -> schwarz	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{9}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ = $\frac{3}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{184}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{2}{23}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{92}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{2}{23}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{69}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{23}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{184}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{92}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{23}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{3}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{67}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> König	$\frac{1}{7}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{14}$
König -> Ass	$\frac{1}{7}$
König -> König	$\frac{3}{14}$
König -> Dame	$\frac{1}{7}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{14}$
Dame -> König	$\frac{1}{7}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("König")= $\frac{1}{2}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{1}{7}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{21}{190}$
1 -> 3	$\frac{21}{190}$
2 -> 1	$\frac{21}{190}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{49}{380}$
3 -> 1	$\frac{21}{190}$
3 -> 2	$\frac{49}{380}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{49}{380}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{49}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{380}$ + $\frac{49}{380}$ = $\frac{49}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
rot -> grün	$\frac{18}{1369}$
schwarz -> rot	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> grün	$\frac{18}{1369}$
grün -> rot	$\frac{18}{1369}$
grün -> schwarz	$\frac{18}{1369}$
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("grün")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{648}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen