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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{2}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{4}$
rot -> nicht rot	$\frac{1}{4}$
nicht rot -> rot	$\frac{1}{4}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{9}{32}$ ; "nicht NWT": $\frac{23}{32}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{9}{124}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{207}{992}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{207}{992}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{253}{496}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{9}{32}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{23}{32}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{207}{992}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{207}{992}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{207}{992}$ + $\frac{207}{992}$ = $\frac{207}{496}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{7}{40}$
1 -> 3	$\frac{21}{400}$
2 -> 1	$\frac{7}{40}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{40}$
3 -> 1	$\frac{21}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{40}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{7}{40}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{7}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{7}{20}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{21}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 2 blaue , 10 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{8}$ ; "nicht schwarz": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{35}{46}$ = $\frac{11}{46}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{92}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{21}{184}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{21}{184}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{35}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{21}{184}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{21}{184}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{184}$ + $\frac{21}{184}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{11}{46}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 4 = 3 4

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$