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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 18 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{18}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{18}$ = 1 : 18 ≈ 0.056

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.056 = 5.6%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 13 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 13 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 11 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 13, die kleiner als 11 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 10,
also insgesamt 10 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 11) = $\frac{10}{13}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 11) = $\frac{10}{13}$ = 10 : 13 ≈ 0.769

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 11) ≈ 0.769 = 76.9%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue, 7 grüne, 7 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 7 + 7 + 3=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{7}{24}$

grün: p= $\frac{7}{24}$

gelb: p= $\frac{7}{24}$

rot: p= $\frac{3}{24}$ = $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 8 blaue , 10 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{45}{496}$
rot -> blau	$\frac{5}{62}$
rot -> gelb	$\frac{25}{248}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{124}$
blau -> rot	$\frac{5}{62}$
blau -> blau	$\frac{7}{124}$
blau -> gelb	$\frac{5}{62}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{31}$
gelb -> rot	$\frac{25}{248}$
gelb -> blau	$\frac{5}{62}$
gelb -> gelb	$\frac{45}{496}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{124}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{124}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{31}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{124}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{248}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{16}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{16}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{62}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{62}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{62}$ + $\frac{5}{62}$ = $\frac{5}{31}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{15}$
rot -> blau	$\frac{4}{15}$
blau -> rot	$\frac{4}{15}$
blau -> blau	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{15}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ = $\frac{8}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{11}$
7 -> 8	$\frac{4}{33}$
7 -> 9	$\frac{4}{33}$
8 -> 7	$\frac{4}{33}$
8 -> 8	$\frac{1}{11}$
8 -> 9	$\frac{4}{33}$
9 -> 7	$\frac{4}{33}$
9 -> 8	$\frac{4}{33}$
9 -> 9	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{4}{33}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{4}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ = $\frac{8}{33}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{24}{25}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{4}{25}$
= $\frac{8}{975}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 9 blaue , 8 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{12}{145}$
blau -> nicht blau	$\frac{63}{290}$
nicht blau -> blau	$\frac{63}{290}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{14}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{290}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{63}{290}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{290}$ + $\frac{63}{290}$ = $\frac{63}{145}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen