Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 9 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.
Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) =
Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) =
Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = = 1 : 9 ≈ 0.111
Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.111 = 11.1%
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Beispiel:
In einem Behälter sind 9 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 9 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.
Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) =
Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 9 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7}, also insgesamt
4 günstige Möglichkeiten.
Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) =
Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = = 4 : 9 ≈ 0.444
Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.444 = 44.4%
Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:
blau: p=
grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p=
gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> blau | |
| blau -> rot | |
| blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'blau'-'blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er | |
| nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er | |
| nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")=; P("nicht 3er")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'nicht 3er'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> blau | |
| blau -> rot | |
| blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")=; P("Herz")=; P("Pik")=; P("Karo")=;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
nur Summen
Beispiel:
In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 7 -> 7 | |
| 7 -> 8 | |
| 7 -> 9 | |
| 8 -> 7 | |
| 8 -> 8 | |
| 8 -> 9 | |
| 9 -> 7 | |
| 9 -> 8 | |
| 9 -> 9 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")=; P("8")=; P("9")=;
Die relevanten Pfade sind:
'7'-'8' (P=)
'8'-'7' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("4")=;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'3' (P=)
'3'-'1' (P=)
'2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
