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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 4 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{4}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{4}$ = 1 : 4 ≈ 0.25

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.25 = 25%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 17 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 17 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 14 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 17, die größer als 14 sind, suchern, finden wir:
{15, 16, 17}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 14) = $\frac{3}{17}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 14) = $\frac{3}{17}$ = 3 : 17 ≈ 0.176

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 14) ≈ 0.176 = 17.6%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 1 blaue, 3 grüne, 1 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 5=10

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{1}{10}$

grün: p= $\frac{3}{10}$

gelb: p= $\frac{1}{10}$

rot: p= $\frac{5}{10}$ = $\frac{1}{2}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 10 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{625}$
rot -> blau	$\frac{4}{125}$
rot -> gelb	$\frac{4}{125}$
rot -> schwarz	$\frac{6}{625}$
blau -> rot	$\frac{4}{125}$
blau -> blau	$\frac{4}{25}$
blau -> gelb	$\frac{4}{25}$
blau -> schwarz	$\frac{6}{125}$
gelb -> rot	$\frac{4}{125}$
gelb -> blau	$\frac{4}{25}$
gelb -> gelb	$\frac{4}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{6}{125}$
schwarz -> rot	$\frac{6}{625}$
schwarz -> blau	$\frac{6}{125}$
schwarz -> gelb	$\frac{6}{125}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{25}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{125}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{125}$ + $\frac{4}{125}$ = $\frac{8}{125}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{37}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> nicht rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{342}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{342}{1369}$ + $\frac{342}{1369}$ = $\frac{684}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{15}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{46}$
Kreuz -> Karo	$\frac{25}{276}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{184}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{46}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{5}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{92}$
Karo -> Kreuz	$\frac{25}{276}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{184}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{92}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{5}{12}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{8}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{15}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ + $\frac{1}{92}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{73}{276}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{7}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{13}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{39}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht 3")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{4}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $2$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt