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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 30 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{30}$ = 1 : 30 ≈ 0.033

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.033 = 3.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 6 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 2 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 2 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 6 suchern, finden wir:
{2, 4, 6}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 2) = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 2) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 2) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 6 Könige, 2 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 6 + 2 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{2}{15}$

König: p= $\frac{6}{15}$ = $\frac{2}{5}$

Dame: p= $\frac{2}{15}$

Bube: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
rot -> grün	$\frac{18}{1369}$
schwarz -> rot	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> grün	$\frac{18}{1369}$
grün -> rot	$\frac{18}{1369}$
grün -> schwarz	$\frac{18}{1369}$
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("grün")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{648}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{9}$
rot -> blau	$\frac{5}{18}$
blau -> rot	$\frac{5}{18}$
blau -> blau	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{76}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{76}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{76}$
Herz -> Herz	$\frac{21}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{76}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{76}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{76}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{22}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{100}$
1 -> 2	$\frac{27}{200}$
1 -> 3	$\frac{3}{40}$
2 -> 1	$\frac{27}{200}$
2 -> 2	$\frac{81}{400}$
2 -> 3	$\frac{9}{80}$
3 -> 1	$\frac{3}{40}$
3 -> 2	$\frac{9}{80}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{80}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{80}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{80}$ + $\frac{9}{80}$ = $\frac{9}{40}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{126}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt