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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 36 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$ = 1 : 36 ≈ 0.028

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.028 = 2.8%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 9 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl durch 3 teilbar ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle durch 3 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 9 suchern, finden wir:
{3, 6, 9}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(teilbar durch 3) = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(teilbar durch 3) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 5 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 6 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 9 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

ev: p= $\frac{9}{20}$

Eth: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 7 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{25}$ ; "nicht rot": $\frac{18}{25}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{625}$
rot -> nicht rot	$\frac{126}{625}$
nicht rot -> rot	$\frac{126}{625}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{324}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{25}$ ; P("nicht rot")= $\frac{18}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{625}$ = $\frac{49}{625}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{7}{80}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{7}{50}$
3 -> 1	$\frac{7}{80}$
3 -> 2	$\frac{7}{50}$
3 -> 3	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{10}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{1}{5}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Dame": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{45}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{8}{45}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{8}{45}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'Dame' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{21}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{21}{55}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{55}$ + $\frac{1}{220}$ = $\frac{17}{44}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{1}{25}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{9}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{1}{25}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{3}{25}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{3}{25}$ = $\frac{6}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{91}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen