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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 25 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 22 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 25, die kleiner als 22 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 21,
also insgesamt 21 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 22) = $\frac{21}{25}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 22) = $\frac{21}{25}$ = 21 : 25 ≈ 0.84

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 22) ≈ 0.84 = 84%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue, 2 grüne, 7 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 2 + 7 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{7}{20}$

grün: p= $\frac{2}{20}$ = $\frac{1}{10}$

gelb: p= $\frac{7}{20}$

rot: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> König	$\frac{8}{45}$
Ass -> Dame	$\frac{4}{45}$
König -> Ass	$\frac{8}{45}$
König -> König	$\frac{2}{15}$
König -> Dame	$\frac{4}{45}$
Dame -> Ass	$\frac{4}{45}$
Dame -> König	$\frac{4}{45}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("König")= $\frac{2}{5}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{25}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{3}{25}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{1}{25}$
3 -> 1	$\frac{3}{25}$
3 -> 2	$\frac{1}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{25}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{25}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{7}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot, 2 vom Typ blau, 10 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{69}$
rot -> blau	$\frac{2}{69}$
rot -> gelb	$\frac{10}{69}$
rot -> schwarz	$\frac{4}{69}$
blau -> rot	$\frac{2}{69}$
blau -> blau	$\frac{1}{276}$
blau -> gelb	$\frac{5}{138}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{69}$
gelb -> rot	$\frac{10}{69}$
gelb -> blau	$\frac{5}{138}$
gelb -> gelb	$\frac{15}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{69}$
schwarz -> rot	$\frac{4}{69}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{69}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{69}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{69}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{276}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{15}{92}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{276}$ + $\frac{15}{92}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{20}{69}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 16 = 15 16

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$