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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 36 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{36}$ = 1 : 36 ≈ 0.028

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.028 = 2.8%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 23 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 23 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 13 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 23, die größer als 13 sind, suchern, finden wir:
{14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}, also insgesamt 10 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 13) = $\frac{10}{23}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 13) = $\frac{10}{23}$ = 10 : 23 ≈ 0.435

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 13) ≈ 0.435 = 43.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Asse, 2 Könige, 3 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 2 + 3 + 4=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{6}{15}$ = $\frac{2}{5}$

König: p= $\frac{2}{15}$

Dame: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

Bube: p= $\frac{4}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 6 gelbe, 4 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{15}$ ; "nicht rot": $\frac{13}{15}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{225}$
rot -> nicht rot	$\frac{26}{225}$
nicht rot -> rot	$\frac{26}{225}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{169}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{15}$ ; P("nicht rot")= $\frac{13}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{225}$ = $\frac{4}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{16}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{3}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{10}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{15}$ = $\frac{14}{15}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{15}$
rot -> nicht rot	$\frac{7}{30}$
nicht rot -> rot	$\frac{7}{30}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{30}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{7}{30}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{30}$ + $\frac{7}{30}$ + $\frac{7}{15}$ = $\frac{14}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("14")= $\frac{5}{17}$ ; P("15")= $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{5}{136}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{5}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{136}$ + $\frac{5}{136}$ = $\frac{5}{68}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{9}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{9}{3}$
= $\frac{3}{13}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 9": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{15}$
9 -> nicht 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 9")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen