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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{9}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{9}$ = 1 : 9 ≈ 0.111

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.111 = 11.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 24 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 24 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 16 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 24, die kleiner als 16 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 15,
also insgesamt 15 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 16) = $\frac{15}{24}$ = $\frac{5}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 16) = $\frac{5}{8}$ = 5 : 8 ≈ 0.625

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 16) ≈ 0.625 = 62.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 2 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 2 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{15}$ = $\frac{2}{3}$

ev: p= $\frac{2}{15}$

Eth: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Zahl")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{37}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> nicht rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ = $\frac{324}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Dame": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{2}{15}$ = $\frac{13}{15}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{1}{3}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{13}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{12}$
rot -> rot -> blau	$\frac{5}{36}$
rot -> blau -> rot	$\frac{5}{36}$
rot -> blau -> blau	$\frac{5}{36}$
blau -> rot -> rot	$\frac{5}{36}$
blau -> rot -> blau	$\frac{5}{36}$
blau -> blau -> rot	$\frac{5}{36}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{12}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{6}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{11}$
7 -> 8	$\frac{4}{33}$
7 -> 9	$\frac{4}{33}$
8 -> 7	$\frac{4}{33}$
8 -> 8	$\frac{1}{11}$
8 -> 9	$\frac{4}{33}$
9 -> 7	$\frac{4}{33}$
9 -> 8	$\frac{4}{33}$
9 -> 9	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{4}{33}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{4}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ = $\frac{8}{33}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{9}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{9}{3}$
= $\frac{3}{13}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 2 15 = 13 15

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{2}{15}$ = $\frac{13}{15}$