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Kursstufe
cosh
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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 8 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.
Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) =
Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) =
Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = = 1 : 8 ≈ 0.125
Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.125 = 12.5%
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Beispiel:
In einem Behälter sind 6 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.
Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) =
Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 6 suchern, finden wir:
{2, 3, 5}, also insgesamt
3 günstige Möglichkeiten.
Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = =
Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = = 1 : 2 ≈ 0.5
Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.5 = 50%
Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:
blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p=
grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p=
gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?
Ereignis | P |
---|---|
Zahl -> Zahl -> Zahl | |
Zahl -> Zahl -> Wappen | |
Zahl -> Wappen -> Zahl | |
Zahl -> Wappen -> Wappen | |
Wappen -> Zahl -> Zahl | |
Wappen -> Zahl -> Wappen | |
Wappen -> Wappen -> Zahl | |
Wappen -> Wappen -> Wappen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")=; P("Wappen")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P=)
- 'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P=)
- 'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Da ja ausschließlich nach 'D' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'D' und 'nicht D'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"D": ; "nicht D": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal D' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'D' bzw. 0 mal 'D'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'D')=1- =
Ereignis | P |
---|---|
D -> D | |
D -> nicht D | |
nicht D -> D | |
nicht D -> nicht D |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("D")=; P("nicht D")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'D'-'nicht D' (P=)
- 'nicht D'-'D' (P=)
- 'D'-'D' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 10 rote, 7 blaue , 10 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?
Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": ; "nicht schwarz": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- =
Ereignis | P |
---|---|
schwarz -> schwarz | |
schwarz -> nicht schwarz | |
nicht schwarz -> schwarz | |
nicht schwarz -> nicht schwarz |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")=; P("nicht schwarz")=;
Die relevanten Pfade sind:
'schwarz'-'nicht schwarz' (P=)
'nicht schwarz'-'schwarz' (P=)
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?
Ereignis | P |
---|---|
rot -> rot -> rot | |
rot -> rot -> blau | |
rot -> blau -> rot | |
rot -> blau -> blau | |
blau -> rot -> rot | |
blau -> rot -> blau | |
blau -> blau -> rot | |
blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot'-'blau' (P=)
'rot'-'blau'-'rot' (P=)
'blau'-'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
nur Summen
Beispiel:
Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | |
1 -> 2 | |
1 -> 3 | |
1 -> 4 | |
1 -> 5 | |
1 -> 6 | |
2 -> 1 | |
2 -> 2 | |
2 -> 3 | |
2 -> 4 | |
2 -> 5 | |
2 -> 6 | |
3 -> 1 | |
3 -> 2 | |
3 -> 3 | |
3 -> 4 | |
3 -> 5 | |
3 -> 6 | |
4 -> 1 | |
4 -> 2 | |
4 -> 3 | |
4 -> 4 | |
4 -> 5 | |
4 -> 6 | |
5 -> 1 | |
5 -> 2 | |
5 -> 3 | |
5 -> 4 | |
5 -> 5 | |
5 -> 6 | |
6 -> 1 | |
6 -> 2 | |
6 -> 3 | |
6 -> 4 | |
6 -> 5 | |
6 -> 6 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("4")=; P("5")=; P("6")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'2' (P=)
- '2'-'1' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | |
1 -> 2 | |
1 -> 3 | |
2 -> 1 | |
2 -> 2 | |
2 -> 3 | |
3 -> 1 | |
3 -> 2 | |
3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'3' (P=)
'3'-'1' (P=)
'2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =