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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{8}$ = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{3}$ = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 10 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 10 + 5=24

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$

ev: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

Eth: p= $\frac{5}{24}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'keine_6'-'keine_6'-'keine_6' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{125}{216}$ = $\frac{125}{216}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{10}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{15}$ = $\frac{14}{15}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{15}$
rot -> nicht rot	$\frac{7}{30}$
nicht rot -> rot	$\frac{7}{30}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{30}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{7}{30}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{30}$ + $\frac{7}{30}$ + $\frac{7}{15}$ = $\frac{14}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{92}$
rot -> blau	$\frac{35}{276}$
rot -> gelb	$\frac{7}{184}$
rot -> schwarz	$\frac{7}{138}$
blau -> rot	$\frac{35}{276}$
blau -> blau	$\frac{15}{92}$
blau -> gelb	$\frac{5}{92}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{69}$
gelb -> rot	$\frac{7}{184}$
gelb -> blau	$\frac{5}{92}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{46}$
schwarz -> rot	$\frac{7}{138}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{69}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{46}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{92}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{15}{92}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{92}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{15}{92}$ + $\frac{1}{92}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{25}{92}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{45}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{8}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{8}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{5}$ ; P("8")= $\frac{2}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{4}{45}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{15}{15}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{816}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal A"?

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Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": $\frac{3}{8}$ ; "nicht A": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal A' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'A'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'A')=1- $\frac{9}{64}$ = $\frac{55}{64}$

Ereignis	P
A -> A	$\frac{9}{64}$
A -> nicht A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> nicht A	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht A")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'nicht A' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht A'-'A' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht A'-'nicht A' (P= $\frac{25}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{64}$ + $\frac{15}{64}$ + $\frac{25}{64}$ = $\frac{55}{64}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'A')=1- 9 64 = 55 64

P=1-P(2 mal 'A')=1- $\frac{9}{64}$ = $\frac{55}{64}$