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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 11 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{1}{11}$ = 1 : 11 ≈ 0.091

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.091 = 9.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 4 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = $\frac{3}{4}$ = 3 : 4 ≈ 0.75

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.75 = 75%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{4}$ ; "nicht gelb": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{3}{16}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{5}{48}$
1 -> 3	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{5}{48}$
2 -> 2	$\frac{25}{144}$
2 -> 3	$\frac{5}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{12}$
3 -> 2	$\frac{5}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{12}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{12}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{25}{144}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{12}$ + $\frac{25}{144}$ = $\frac{49}{144}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 0 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'andere'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{28}$ = $\frac{11}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{5}{24}$ ; "nicht NWT": $\frac{19}{24}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{5}{138}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{95}{552}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{95}{552}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{57}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{95}{552}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{95}{552}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{95}{552}$ + $\frac{95}{552}$ = $\frac{95}{276}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{2}{45}$
1 -> 3	$\frac{2}{15}$
2 -> 1	$\frac{2}{45}$
2 -> 2	$\frac{1}{45}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{2}{15}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{2}{15}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{13}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 1 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{7}$
7 -> 9	$\frac{1}{14}$
8 -> 7	$\frac{1}{7}$
8 -> 8	$\frac{3}{14}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{14}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{2}$ ; P("9")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{14}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{14}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{5}{14}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen