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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{24}$ = 1 : 24 ≈ 0.042

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.042 = 4.2%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{21}{24}$ = $\frac{7}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{7}{8}$ = 7 : 8 ≈ 0.875

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.875 = 87.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 2 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 9 + 4=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{2}{15}$

ev: p= $\frac{9}{15}$ = $\frac{3}{5}$

Eth: p= $\frac{4}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> nicht 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{25}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal grüne 0"?

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Da ja ausschließlich nach 'grüne 0' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grüne 0' und 'nicht grüne 0'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grüne 0": $\frac{1}{37}$ ; "nicht grüne 0": $\frac{36}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal grüne 0' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'grüne 0' bzw. 0 mal 'grüne 0'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'grüne 0')=1- $\frac{1296}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$

Ereignis	P
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$
grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{1296}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ; P("nicht grüne 0")= $\frac{36}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'grüne 0'-'nicht grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grüne 0'-'grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'grüne 0'-'grüne 0' (P= $\frac{1}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{1369}$ + $\frac{36}{1369}$ + $\frac{1}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 8 blaue , 6 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{12}{145}$
rot -> blau	$\frac{12}{145}$
rot -> gelb	$\frac{9}{145}$
rot -> schwarz	$\frac{21}{290}$
blau -> rot	$\frac{12}{145}$
blau -> blau	$\frac{28}{435}$
blau -> gelb	$\frac{8}{145}$
blau -> schwarz	$\frac{28}{435}$
gelb -> rot	$\frac{9}{145}$
gelb -> blau	$\frac{8}{145}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{29}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{145}$
schwarz -> rot	$\frac{21}{290}$
schwarz -> blau	$\frac{28}{435}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{145}$
schwarz -> schwarz	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{4}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{12}{145}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{12}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{145}$ + $\frac{12}{145}$ = $\frac{24}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{21}{184}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{276}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{92}$
Herz -> Kreuz	$\frac{21}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{92}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{276}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{276}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{46}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{92}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{46}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{8}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{12}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{276}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{1}{276}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{73}{276}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{8}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{8}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("8")= $\frac{2}{5}$ ; P("9")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{8}{45}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 8 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{8}{10}$
= $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{8}{10}$
= $\frac{12}{55}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 2 gelbe, 2 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{10}$ ; "nicht gelb": $\frac{9}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{100}$ = $\frac{99}{100}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{100}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{100}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{81}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{9}{100}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{100}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{81}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{81}{100}$ = $\frac{99}{100}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '6er')=1- 1 36 = 35 36

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 1 100 = 99 100

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{100}$ = $\frac{99}{100}$