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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{8}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{8}$ = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 10 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 10 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 2 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 10, die kleiner als 2 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 1,
also insgesamt 1 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 2) = $\frac{1}{10}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 2) = $\frac{1}{10}$ = 1 : 10 ≈ 0.1

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 2) ≈ 0.1 = 10%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue, 4 grüne, 10 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 4 + 10 + 3=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{7}{24}$

grün: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

gelb: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

rot: p= $\frac{3}{24}$ = $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Zahl")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{6}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{46}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{10}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{46}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{68}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{68}{95}$ = $\frac{68}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{100}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{9}{100}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{9}{100}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{9}{100}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{9}{100}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{17}{50}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{24}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{24}{91}$ = $\frac{69}{91}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$