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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 11 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{11}$ = 1 : 11 ≈ 0.091

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.091 = 9.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 11 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 11 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 6 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 11, die kleiner als 6 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 5,
also insgesamt 5 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 6) = $\frac{5}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 6) = $\frac{5}{11}$ = 5 : 11 ≈ 0.455

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 6) ≈ 0.455 = 45.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'keine_6'-'keine_6' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{36}$ = $\frac{25}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> König	$\frac{2}{15}$
Ass -> Dame	$\frac{2}{15}$
König -> Ass	$\frac{2}{15}$
König -> König	$\frac{1}{15}$
König -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> Ass	$\frac{2}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{15}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{2}{15}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 5 blaue , 7 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{7}{25}$ ; "nicht gelb": $\frac{18}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{51}{100}$ = $\frac{49}{100}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{7}{100}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{21}{100}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{21}{100}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{51}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{7}{25}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{18}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{21}{100}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{7}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{7}{100}$ = $\frac{49}{100}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{14}{95}$
1 -> 3	$\frac{7}{76}$
2 -> 1	$\frac{14}{95}$
2 -> 2	$\frac{14}{95}$
2 -> 3	$\frac{2}{19}$
3 -> 1	$\frac{7}{76}$
3 -> 2	$\frac{2}{19}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{14}{95}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{14}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{14}{95}$ = $\frac{28}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{5}{11}$
= $\frac{5}{143}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{24}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{7}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)