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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 16 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{16}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{16}$ = 1 : 16 ≈ 0.063

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.063 = 6.3%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird eine Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 2 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{2}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Wappen"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
rot -> gelb	$\frac{7}{144}$
rot -> schwarz	$\frac{7}{144}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$
blau -> gelb	$\frac{1}{16}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{16}$
gelb -> rot	$\frac{7}{144}$
gelb -> blau	$\frac{1}{16}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{36}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{36}$
schwarz -> rot	$\frac{7}{144}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{16}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{36}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{6}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{576}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{64}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{36}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{576}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{9}{32}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Herz -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{41}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{69}$
1 -> 2	$\frac{7}{69}$
1 -> 3	$\frac{5}{69}$
1 -> 4	$\frac{4}{69}$
2 -> 1	$\frac{7}{69}$
2 -> 2	$\frac{7}{92}$
2 -> 3	$\frac{35}{552}$
2 -> 4	$\frac{7}{138}$
3 -> 1	$\frac{5}{69}$
3 -> 2	$\frac{35}{552}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$
3 -> 4	$\frac{5}{138}$
4 -> 1	$\frac{4}{69}$
4 -> 2	$\frac{7}{138}$
4 -> 3	$\frac{5}{138}$
4 -> 4	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{7}{24}$ ; P("3")= $\frac{5}{24}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{5}{69}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{5}{69}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{7}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ + $\frac{7}{92}$ = $\frac{61}{276}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{15}{16}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{5}{16}$
= $\frac{5}{272}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt