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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 8 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 8 = 1 : 8 ≈ 0.125

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.125 = 12.5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung einer der markierten (orangen) Sektoren erscheint.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 4 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 4

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 4 = 1 : 4 ≈ 0.25

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.25 = 25%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 8 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 5 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 5 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 8 20 = 2 5

ev: p= 5 20 = 1 4

Eth: p= 7 20

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 6 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 7 24 ; "nicht rot": 17 24 ;

EreignisP
rot -> rot 49 576
rot -> nicht rot 119 576
nicht rot -> rot 119 576
nicht rot -> nicht rot 289 576

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 7 24 ; P("nicht rot")= 17 24 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 119 576 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 119 576 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

119 576 + 119 576 = 119 288


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 125 216 = 91 216

EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> nicht 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> 6er -> 6er 5 216
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 25 216 )
  • '6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'6er'-'6er' (P= 1 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 216 + 25 216 + 25 216 + 5 216 + 5 216 + 5 216 + 1 216 = 91 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 7 10 ; "nicht blau": 3 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 7 15 = 8 15

EreignisP
blau -> blau 7 15
blau -> nicht blau 7 30
nicht blau -> blau 7 30
nicht blau -> nicht blau 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 7 10 ; P("nicht blau")= 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= 1 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 + 1 15 = 8 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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EreignisP
Ass -> Ass 3 14
Ass -> König 1 7
Ass -> Dame 1 7
König -> Ass 1 7
König -> König 1 28
König -> Dame 1 14
Dame -> Ass 1 7
Dame -> König 1 14
Dame -> Dame 1 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 2 ; P("König")= 1 4 ; P("Dame")= 1 4 ;

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'Ass'-'Dame' (P= 1 7 )
'Dame'-'Ass' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 6 ; P("2")= 1 6 ; P("3")= 1 6 ; P("4")= 1 6 ; P("5")= 1 6 ; P("6")= 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 12


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 11 2 10 1 9 8 8
= 1 11 1 5 1 3 4 4
= 1 165

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden
EreignisP
13 -> 13 35 117
13 -> 14 25 117
13 -> 15 5 117
14 -> 13 25 117
14 -> 14 5 39
14 -> 15 10 351
15 -> 13 5 117
15 -> 14 10 351
15 -> 15 1 351

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= 5 9 ; P("14")= 10 27 ; P("15")= 2 27 ;

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'14'-'15' (P= 10 351 )
'15'-'14' (P= 10 351 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

10 351 + 10 351 = 20 351