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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 36 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 36

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 36 = 1 : 36 ≈ 0.028

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.028 = 2.8%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 25 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 4 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 25, die kleiner als 4 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 3,
also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 4) = 3 25

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 4) = 3 25 = 3 : 25 ≈ 0.12

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 4) ≈ 0.12 = 12%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Asse, 8 Könige, 7 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 8 + 7 + 6=30

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 9 30 = 3 10

König: p= 8 30 = 4 15

Dame: p= 7 30

Bube: p= 6 30 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '6er')=1- 1 36 = 35 36

EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> nicht 6er 5 36
nicht 6er -> 6er 5 36
nicht 6er -> nicht 6er 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er' (P= 5 36 )
  • 'nicht 6er'-'6er' (P= 5 36 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 25 36 = 35 36


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 7 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 16 225
rot -> blau 4 45
rot -> gelb 14 225
rot -> schwarz 2 45
blau -> rot 4 45
blau -> blau 1 9
blau -> gelb 7 90
blau -> schwarz 1 18
gelb -> rot 14 225
gelb -> blau 7 90
gelb -> gelb 49 900
gelb -> schwarz 7 180
schwarz -> rot 2 45
schwarz -> blau 1 18
schwarz -> gelb 7 180
schwarz -> schwarz 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 4 15 ; P("blau")= 1 3 ; P("gelb")= 7 30 ; P("schwarz")= 1 6 ;

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  • 'rot'-'rot' (P= 16 225 )
  • 'blau'-'blau' (P= 1 9 )
  • 'gelb'-'gelb' (P= 49 900 )
  • 'schwarz'-'schwarz' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

16 225 + 1 9 + 49 900 + 1 36 = 119 450


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 0 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> andere 3 70
deutsch -> andere -> deutsch 3 70
deutsch -> andere -> andere 11 70
andere -> deutsch -> deutsch 3 70
andere -> deutsch -> andere 11 70
andere -> andere -> deutsch 11 70
andere -> andere -> andere 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("andere")= 3 4 ;

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'andere'-'andere'-'andere' (P= 11 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

11 28 = 11 28


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": 1 3 ; "nicht 7": 2 3 ;

EreignisP
7 -> 7 1 15
7 -> nicht 7 4 15
nicht 7 -> 7 4 15
nicht 7 -> nicht 7 2 5

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 3 ; P("nicht 7")= 2 3 ;

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'7'-'7' (P= 1 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 15 = 1 15


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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EreignisP
7 -> 7 3 14
7 -> 8 1 7
7 -> 9 1 7
8 -> 7 1 7
8 -> 8 1 28
8 -> 9 1 14
9 -> 7 1 7
9 -> 8 1 14
9 -> 9 1 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 2 ; P("8")= 1 4 ; P("9")= 1 4 ;

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'7'-'8' (P= 1 7 )
'8'-'7' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 6 ; P("2")= 1 6 ; P("3")= 1 6 ; P("4")= 1 6 ; P("5")= 1 6 ; P("6")= 1 6 ;

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  • '4'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'4' (P= 1 36 )
  • '5'-'5' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 12