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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 8 gelbe, 6 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": 1 4 ; "nicht schwarz": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- 1 16 = 15 16

EreignisP
schwarz -> schwarz 1 16
schwarz -> nicht schwarz 3 16
nicht schwarz -> schwarz 3 16
nicht schwarz -> nicht schwarz 9 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: 1 4 ; nicht schwarz: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'schwarz'-'nicht schwarz' (P= 3 16 )
  • 'nicht schwarz'-'schwarz' (P= 3 16 )
  • 'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= 9 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 16 + 3 16 + 9 16 = 15 16


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 9 64
1 -> 3 3 64
1 -> 4 3 64
2 -> 1 9 64
2 -> 2 9 64
2 -> 3 3 64
2 -> 4 3 64
3 -> 1 3 64
3 -> 2 3 64
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 3 64
4 -> 2 3 64
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 3 8 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'4' (P= 1 64 )
  • '4'-'3' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 64 + 1 64 = 1 32


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 24 91
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 15 91
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 15 91
Mädchen -> Jungs -> Jungs 20 273
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 15 91
Jungs -> Mädchen -> Jungs 20 273
Jungs -> Jungs -> Mädchen 20 273
Jungs -> Jungs -> Jungs 2 91

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 2 3 ; Jungs: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= 20 273 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 20 273 )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 20 273 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

20 273 + 20 273 + 20 273 = 20 91


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 6 11
rot -> blau 9 44
blau -> rot 9 44
blau -> blau 1 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 4 ; blau: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 6 11 )
'blau'-'blau' (P= 1 22 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

6 11 + 1 22 = 13 22


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 5 22
1 -> 2 3 22
1 -> 3 3 22
2 -> 1 3 22
2 -> 2 1 22
2 -> 3 3 44
3 -> 1 3 22
3 -> 2 3 44
3 -> 3 1 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'2'-'3' (P= 3 44 )
'3'-'2' (P= 3 44 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 44 + 3 44 = 3 22


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 9 2 8 1 7 6 6
= 1 3 1 4 1 7 1
= 1 84

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Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 2 9
rot -> blau 5 18
blau -> rot 5 18
blau -> blau 2 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; blau: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 2 9 )
'blau'-'blau' (P= 2 9 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 = 4 9