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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot, 4 vom Typ blau und 3 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{64}{225}$
rot -> blau	$\frac{32}{225}$
rot -> gelb	$\frac{8}{75}$
blau -> rot	$\frac{32}{225}$
blau -> blau	$\frac{16}{225}$
blau -> gelb	$\frac{4}{75}$
gelb -> rot	$\frac{8}{75}$
gelb -> blau	$\frac{4}{75}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{8}{15}$ ; P("blau")= $\frac{4}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{64}{225}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{16}{225}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{64}{225}$ + $\frac{16}{225}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{89}{225}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{5}{6}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{64}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 8 gelbe, 9 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{9}{100}$
rot -> gelb	$\frac{2}{25}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{25}$
blau -> rot	$\frac{9}{100}$
blau -> blau	$\frac{9}{100}$
blau -> gelb	$\frac{2}{25}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{2}{25}$
gelb -> blau	$\frac{2}{25}$
gelb -> gelb	$\frac{16}{225}$
gelb -> schwarz	$\frac{8}{225}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{25}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{8}{225}$
schwarz -> schwarz	$\frac{4}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{9}{100}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{9}{50}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)