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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 32 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = 1 32

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = 1 32 = 1 : 32 ≈ 0.031

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.031 = 3.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 15 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 15 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 8 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 15, die kleiner als 8 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 7,
also insgesamt 7 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 8) = 7 15

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 8) = 7 15 = 7 : 15 ≈ 0.467

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 8) ≈ 0.467 = 46.7%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 10 gelbe, 7 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 4 15 ; "nicht rot": 11 15 ;

EreignisP
rot -> rot 16 225
rot -> nicht rot 44 225
nicht rot -> rot 44 225
nicht rot -> nicht rot 121 225

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 4 15 ; P("nicht rot")= 11 15 ;

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  • 'rot'-'rot' (P= 16 225 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

16 225 = 16 225


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 25 144
1 -> 2 5 32
1 -> 3 25 288
2 -> 1 5 32
2 -> 2 9 64
2 -> 3 5 64
3 -> 1 25 288
3 -> 2 5 64
3 -> 3 25 576

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 5 12 ; P("2")= 3 8 ; P("3")= 5 24 ;

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  • '1'-'2' (P= 5 32 )
  • '2'-'1' (P= 5 32 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 32 + 5 32 = 5 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 6 blaue , 7 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 9 25 ; "nicht rot": 16 25 ;

EreignisP
rot -> rot 3 25
rot -> nicht rot 6 25
nicht rot -> rot 6 25
nicht rot -> nicht rot 2 5

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 9 25 ; P("nicht rot")= 16 25 ;

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'rot'-'rot' (P= 3 25 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 25 = 3 25


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> andere 3 70
deutsch -> andere -> deutsch 3 70
deutsch -> andere -> andere 11 70
andere -> deutsch -> deutsch 3 70
andere -> deutsch -> andere 11 70
andere -> andere -> deutsch 11 70
andere -> andere -> andere 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("andere")= 3 4 ;

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'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 1 140 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 140 = 1 140


nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 8 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 4 ; P("4")= 1 8 ;

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  • '1'-'3' (P= 3 32 )
  • '3'-'1' (P= 3 32 )
  • '2'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 32 + 3 32 + 1 16 = 1 4


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 1 3
= 1 4 1
= 1 4

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": 1 2 ; "nicht prim": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- 1 8 = 7 8

EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= 1 2 ; P("nicht prim")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'prim'-'prim'-'prim' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 7 8