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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = 1 6

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = 1 6 = 1 : 6 ≈ 0.167

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.167 = 16.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 6 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 6 suchern, finden wir:
{2, 3, 5}, also insgesamt 3 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = 3 6 = 1 2

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = 1 2 = 1 : 2 ≈ 0.5

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.5 = 50%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl genau einen, genau zwei, genau drei oder genau vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> keine_6 5 216
6er -> keine_6 -> 6er 5 216
6er -> keine_6 -> keine_6 25 216
keine_6 -> 6er -> 6er 5 216
keine_6 -> 6er -> keine_6 25 216
keine_6 -> keine_6 -> 6er 25 216
keine_6 -> keine_6 -> keine_6 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("keine_6")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'keine_6'-'keine_6' (P= 25 216 )
  • 'keine_6'-'6er'-'keine_6' (P= 25 216 )
  • 'keine_6'-'keine_6'-'6er' (P= 25 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 216 + 25 216 + 25 216 = 25 72


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 2 5 ; "nicht blau": 3 5 ;

EreignisP
blau -> blau -> blau 8 125
blau -> blau -> nicht blau 12 125
blau -> nicht blau -> blau 12 125
blau -> nicht blau -> nicht blau 18 125
nicht blau -> blau -> blau 12 125
nicht blau -> blau -> nicht blau 18 125
nicht blau -> nicht blau -> blau 18 125
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 27 125

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 2 5 ; P("nicht blau")= 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 12 125 )
  • 'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 12 125 )
  • 'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 12 125 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 8 125 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

12 125 + 12 125 + 12 125 + 8 125 = 44 125


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 4 blaue , 4 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 5 ; "nicht blau": 4 5 ;

EreignisP
blau -> blau 3 95
blau -> nicht blau 16 95
nicht blau -> blau 16 95
nicht blau -> nicht blau 12 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 1 5 ; P("nicht blau")= 4 5 ;

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'blau'-'nicht blau' (P= 16 95 )
'nicht blau'-'blau' (P= 16 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

16 95 + 16 95 = 32 95


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 1 2 ; "nicht 3": 1 2 ;

EreignisP
3 -> 3 2 9
3 -> nicht 3 5 18
nicht 3 -> 3 5 18
nicht 3 -> nicht 3 2 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 1 2 ; P("nicht 3")= 1 2 ;

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'3'-'3' (P= 2 9 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 = 2 9


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 1 4 ; "nicht 3": 3 4 ;

EreignisP
3 -> 3 1 16
3 -> nicht 3 3 16
nicht 3 -> 3 3 16
nicht 3 -> nicht 3 9 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 1 4 ; P("nicht 3")= 3 4 ;

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  • '3'-'3' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 = 1 16


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 24 26
= 3 9 8 26
= 4 39

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