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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 21 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{21}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = $\frac{1}{21}$ = 1 : 21 ≈ 0.048

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.048 = 4.8%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 18 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 18 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 5 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 18, die größer als 5 sind, suchern, finden wir:
{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}, also insgesamt 13 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 5) = $\frac{13}{18}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 5) = $\frac{13}{18}$ = 13 : 18 ≈ 0.722

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 5) ≈ 0.722 = 72.2%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 Asse, 1 Könige, 10 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 1 + 10 + 5=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

König: p= $\frac{1}{24}$

Dame: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

Bube: p= $\frac{5}{24}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{64}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{8}$ ; P("blau")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{64}$ = $\frac{49}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot, 8 vom Typ blau und 6 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{144}$
rot -> blau	$\frac{5}{36}$
rot -> gelb	$\frac{5}{48}$
blau -> rot	$\frac{5}{36}$
blau -> blau	$\frac{1}{9}$
blau -> gelb	$\frac{1}{12}$
gelb -> rot	$\frac{5}{48}$
gelb -> blau	$\frac{1}{12}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{12}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{25}{144}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{9}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{144}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{25}{72}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{69}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{35}{552}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{138}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{35}{552}$
Pik -> Pik	$\frac{5}{138}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{138}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{69}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{138}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{138}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{5}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{138}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{65}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{25}$
3 -> nicht 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 3")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{18}{20}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{6}{20}$
= $\frac{9}{70}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> nicht 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen