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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 28 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{28}$ = 1 : 28 ≈ 0.036

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.036 = 3.6%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 22 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 22 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Primzahlen zwischen 1 und 22 suchern, finden wir:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, also insgesamt 8 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(Primzahl) = $\frac{8}{22}$ = $\frac{4}{11}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Primzahl) = $\frac{4}{11}$ = 4 : 11 ≈ 0.364

Als Prozentzahl ergibt das: P(Primzahl) ≈ 0.364 = 36.4%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 5 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 5 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

ev: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

Eth: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{8}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{25}{64}$ = $\frac{39}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht rot")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{15}{64}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{64}$ + $\frac{15}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{39}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal B"?

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Da ja ausschließlich nach 'B' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'B' und 'nicht B'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"B": $\frac{1}{4}$ ; "nicht B": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal B' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'B'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'B')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> nicht B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> nicht B	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("B")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht B")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'B'-'nicht B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht B'-'B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht B'-'nicht B' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{45}$
rot -> blau	$\frac{8}{45}$
blau -> rot	$\frac{8}{45}$
blau -> blau	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("blau")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{25}$ ; "nicht NWT": $\frac{18}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{100}$ = $\frac{93}{100}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{100}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{100}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{100}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{25}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{18}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{51}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{51}{100}$ = $\frac{93}{100}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{5}{231}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{5}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{231}$ + $\frac{5}{231}$ = $\frac{10}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{16}$ ⋅ $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{12}{14}$
= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$
= $\frac{3}{70}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'B')=1- 1 16 = 15 16

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 7 100 = 93 100

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'B')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{100}$ = $\frac{93}{100}$