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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 verschiedene Karten. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte ein Herz Ass ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Hieraus ergibt sich somit: P(Herz-Ass) = 1 9

Als Dezimalzahl ergibt das: P(Herz-Ass) = 1 9 = 1 : 9 ≈ 0.111

Als Prozentzahl ergibt das: P(Herz-Ass) ≈ 0.111 = 11.1%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 24 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 24 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 16 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 24, die kleiner als 16 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 15,
also insgesamt 15 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 16) = 15 24 = 5 8

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 16) = 5 8 = 5 : 8 ≈ 0.625

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 16) ≈ 0.625 = 62.5%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 2 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 2 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 10 15 = 2 3

ev: p= 2 15

Eth: p= 3 15 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": 1 2 ; "nicht Zahl": 1 2 ;

EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("nicht Zahl")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 18 37 ; "nicht rot": 19 37 ;

EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> nicht rot 342 1369
nicht rot -> rot 342 1369
nicht rot -> nicht rot 361 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 18 37 ; P("nicht rot")= 19 37 ;

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  • 'rot'-'rot' (P= 324 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

324 1369 = 324 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 2 5 ; "nicht Dame": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 2 15 = 13 15

EreignisP
Dame -> Dame 2 15
Dame -> nicht Dame 4 15
nicht Dame -> Dame 4 15
nicht Dame -> nicht Dame 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= 2 5 ; P("nicht Dame")= 3 5 ;

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'Dame'-'nicht Dame' (P= 4 15 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 4 15 )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= 1 3 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 15 + 4 15 + 1 3 = 13 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 1 12
rot -> rot -> blau 5 36
rot -> blau -> rot 5 36
rot -> blau -> blau 5 36
blau -> rot -> rot 5 36
blau -> rot -> blau 5 36
blau -> blau -> rot 5 36
blau -> blau -> blau 1 12

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 2 ; P("blau")= 1 2 ;

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'rot'-'rot'-'rot' (P= 1 12 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 12 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 12 + 1 12 = 1 6


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 11
7 -> 8 4 33
7 -> 9 4 33
8 -> 7 4 33
8 -> 8 1 11
8 -> 9 4 33
9 -> 7 4 33
9 -> 8 4 33
9 -> 9 1 11

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 3 ; P("8")= 1 3 ; P("9")= 1 3 ;

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'8'-'9' (P= 4 33 )
'9'-'8' (P= 4 33 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 33 + 4 33 = 8 33


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 13 9 12
= 1 13 9 3
= 3 13

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 1 3
= 1 4 1
= 1 4

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