nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind gleich groß)

Bei dem abgebildeten Glücksrad sind alle Sektoren gleich groß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung der markierte (orange) Sektor erscheint.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = 1 Anzahl aller Möglichkeiten

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 13 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(oranger Sektor) = 1 13

Als Dezimalzahl ergibt das: P(oranger Sektor) = 1 13 = 1 : 13 ≈ 0.077

Als Prozentzahl ergibt das: P(oranger Sektor) ≈ 0.077 = 7.7%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 15 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 15 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl größer als 10 ist.

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = Anzahl der günstigen Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 15, die größer als 10 sind, suchern, finden wir:
{11, 12, 13, 14, 15}, also insgesamt 5 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(größer als 10) = 5 15 = 1 3

Als Dezimalzahl ergibt das: P(größer als 10) = 1 3 = 1 : 3 ≈ 0.333

Als Prozentzahl ergibt das: P(größer als 10) ≈ 0.333 = 33.3%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 5 Schülerinnen und Schüler den römisch-katholischen Religionsunterricht, 8 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 8 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 5 20 = 1 4

ev: p= 8 20 = 2 5

Eth: p= 7 20

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden
EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("Wappen")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal '3er-Zahl')=1- 1 27 = 26 27

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= 1 3 ; P("nicht 3er-Zahl")= 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 2 27 )
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 8 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 27 + 2 27 + 2 27 + 4 27 + 4 27 + 4 27 + 8 27 = 26 27


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 3 ; "nicht blau": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 14 33 = 19 33

EreignisP
blau -> blau 1 11
blau -> nicht blau 8 33
nicht blau -> blau 8 33
nicht blau -> nicht blau 14 33

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 1 3 ; P("nicht blau")= 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 8 33 )
'nicht blau'-'blau' (P= 8 33 )
'blau'-'blau' (P= 1 11 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 33 + 8 33 + 1 11 = 19 33


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 5 blaue , 10 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 6 ; "nicht rot": 5 6 ;

EreignisP
rot -> rot 1 46
rot -> nicht rot 10 69
nicht rot -> rot 10 69
nicht rot -> nicht rot 95 138

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 6 ; P("nicht rot")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 1 46 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 46 = 1 46


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
7 -> 7 3 14
7 -> 8 1 7
7 -> 9 1 7
8 -> 7 1 7
8 -> 8 1 28
8 -> 9 1 14
9 -> 7 1 7
9 -> 8 1 14
9 -> 9 1 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 2 ; P("8")= 1 4 ; P("9")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 1 14 )
'9'-'8' (P= 1 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 14 + 1 14 = 1 7


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 6 3 5 2 4 1 3 2 2
= 1 1 5 1 1 3 2 2
= 1 15

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 10 3 9 2 8 6 7
= 1 5 3 3 1 1 7
= 1 35

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(