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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{2}{25}$
1 -> 3	$\frac{4}{25}$
2 -> 1	$\frac{2}{25}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{2}{25}$
3 -> 1	$\frac{4}{25}$
3 -> 2	$\frac{2}{25}$
3 -> 3	$\frac{4}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{25}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{25}$ + $\frac{2}{25}$ = $\frac{4}{25}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 3 blaue , 9 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> nicht rot	$\frac{15}{76}$
nicht rot -> rot	$\frac{15}{76}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{121}{140}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{10}{17}$ ; "nicht 13": $\frac{7}{17}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> nicht 13	$\frac{35}{136}$
nicht 13 -> 13	$\frac{35}{136}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{21}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("nicht 13")= $\frac{7}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{45}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{136}$ = $\frac{45}{136}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{11}$ ; "nicht 15": $\frac{10}{11}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{231}$
15 -> nicht 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{190}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{1}{11}$ ; P("nicht 15")= $\frac{10}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{231}$ = $\frac{1}{231}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen