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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{51}}{10}$ . Berechne cos(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{51}}{10})}^{2}$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(282°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(282°) und cos(282°) ablesen:

cos(282°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(282°) ≈ 0.21

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = -0.15.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

sin(α) = -0.15 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis -0.15 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 351.4° als auch für α₂ = 188.6° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der grünen Strecke eben ≈ -0.15 ist.

sin(351.4°) ≈ -0.15 und sin(188.6°) ≈ -0.15

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 350°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 350° als negativen Winkel 350° -360° = -10° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-10°) = -170°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -170° + 360° = 190°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 220 Volt und +220 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 20 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 5 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 176 Volt beträgt?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 220 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 5 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 5 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

20 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{360}{20}$ ° = 18°
5 ms ≙ 18 ⋅ 5° ≈ 90°

sin(90°) ≈ 1, entsprechend ist 220 ⋅ sin(90°) ≈ 220

Also ist nach 5 ms der y-Wert 220 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 176 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 220 ⋅ sin(α) = 176 gilt.

220 ⋅ sin(α) = 176 |: 220

sin(α) = 0.8 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 53.1°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ $\frac{20}{360}$ ms = $\frac{1}{18}$ ms
53.1° ≙ $\frac{1}{18}$ ⋅ 53.1 ms ≈ 2.95 ms

Somit ist nach 2,95 ms die Höhe h = 176 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 220 ⋅ sin(α) = 176 bzw. sin(β) = 0.8. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-53.1 = 126.9°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ $\frac{20}{360}$ ms = $\frac{1}{18}$ ms
126.9° ≙ $\frac{1}{18}$ ⋅ 126.9 ms ≈ 7.05 ms

Somit ist nach auch 7,05 ms die Höhe h = 176 V erreicht.

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Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 5 ms

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 176 V