Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Pythagoras am Einheitskreis
Beispiel:
Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = . Berechne cos(α).
Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:
(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1
Umgestellt nach cos(α):
(cos(α))2 = 1 - (sin(α))2
= 1 -
= 1 -
=
Damit glit für cos(α):
cos(α) = = 0.3
sin und cos am Einheitskreis
Beispiel:
Bestimme näherungsweise sin(22°).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(22°) und cos(22°) ablesen:
sin(22°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:
sin(22°) ≈ 0.37
arcsin und arccos am Einheitskreis
Beispiel:
Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.6.
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:
cos(α) = 0.6 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.6 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 53.1° setzt, so sieht man, dass der cos(53.1)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.6 ist.
cos(53.1°) ≈ 0.6
gleiche Winkel am Einheitskreis
Beispiel:
Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie -70°?
Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).
Und da unser Ausgangswinkel -70° < 0° ist, müssen wir eben so lange 360° addieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:
α = -70 + 360° = 290°
Sinus-Funktion
Beispiel:
Ein Riesenrad hat den Radius 18 m und braucht 4 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 19 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 2,6 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 25,3 m über dem Boden ist?
So erhalten wir die Funktion f(α) = 18 ⋅ sin(α).
1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 2.6 min
Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 2.6 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :
4 min ≙ 360°
1 min ≙ ° = 90°
2.6 min ≙ 90 ⋅ 2.6° ≈ 234°
sin(234°) ≈ -0.81, entsprechend ist 18 ⋅ sin(234°) ≈ -14.56
Also ist nach 2.6 min der y-Wert 14.56 m unter dem Ausgangsniveau.
Weil das Ausgangsniveau ja 19 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also
19 m
= 4.44 m.
2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 25.3 m
Die gegebenen Höhe von h = 25.3 m entspricht gerade der Höhe 25.3 m - 19 m = 6.3 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.
Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 18 ⋅ sin(α) = 6.3 gilt.
18 ⋅ sin(α) = 6.3 |: 18
sin(α) = 0.35 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)
α ≈ 20.5°
Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:
360° ≙ 4 min
1 ° ≙ min = min
20.5° ≙ ⋅ 20.5 min ≈ 0.228 min
Somit ist nach 0,228 min die Höhe h = 25,3 m erreicht.
Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 18 ⋅ sin(α) = 6.3
bzw. sin(β) = 0.35. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von
180° entfernt ist wie α, es gilt also β =
180°-α = 180°-
Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:
360° ≙ 4 min
1 ° ≙ min = min
159.5° ≙ ⋅ 159.5 min ≈ 1.772 min
Somit ist nach auch 1,772 min die Höhe h = 25,3 m erreicht.