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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Berechne sin(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(232°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(232°) und cos(232°) ablesen:

sin(232°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(232°) ≈ -0.79

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.15.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.15 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.15 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 81.4° setzt, so sieht man, dass der cos(81.4)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.15 ist.

cos(81.4°) ≈ 0.15

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 130° haben.

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 130° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 130° + 360° = 490°, oder β = 130° + 2 ⋅ 360° = 850°, oder auch γ = 130° - 360° = -230° ...

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Windrad, das sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht, hat den Radius 40 m und braucht 5 Sekunden für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 42 m über dem Boden. Ganz außen an einem Flügel ist ein Geschwindigkeitssensor angebracht. Zu Beginn der Beobachtung ist der Geschwindigkeitssensor auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist der Geschwindigkeitssensor nach 1,25 Sekunden? Berechne einen Zeitpunkt, an dem der Geschwindigkeitssensor bei seiner ersten Umdrehung gerade 42 m über dem Boden ist?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 40 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1.25 s

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 1.25 s erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

5 s ≙ 360°
1 s ≙ $\frac{360}{5}$ ° = 72°
1.25 s ≙ 72 ⋅ 1.25° ≈ 90°

sin(90°) ≈ 1, entsprechend ist 40 ⋅ sin(90°) ≈ 40

Also ist nach 1.25 s der y-Wert 40 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 42 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 42 m +40 m
= 82 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 42 m

Die gegebenen Höhe von h = 42 m entspricht gerade der Höhe 42 m - 42 m = 0 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 40 ⋅ sin(α) = 0 gilt.

40 ⋅ sin(α) = 0 |: 40

sin(α) = 0 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 0°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 5 s
1 ° ≙ $\frac{5}{360}$ s = $\frac{1}{72}$ s
0° ≙ $\frac{1}{72}$ ⋅ 0 s ≈ 0 s

Somit ist nach 0 s die Höhe h = 42 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 40 ⋅ sin(α) = 0 bzw. sin(β) = 0. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-0 = 180°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 5 s
1 ° ≙ $\frac{5}{360}$ s = $\frac{1}{72}$ s
180° ≙ $\frac{1}{72}$ ⋅ 180 s ≈ 2.5 s

Somit ist nach auch 2,5 s die Höhe h = 42 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis

gleiche Winkel am Einheitskreis

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1.25 s

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 42 m