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cosh
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Pythagoras am Einheitskreis
Beispiel:
Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = . Berechne cos(α).

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:
(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1
Umgestellt nach cos(α):
(cos(α))2 = 1 - (sin(α))2
= 1 -
= 1 -
=
Damit glit für cos(α):
cos(α) = = 0.7
sin und cos am Einheitskreis
Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(28°).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(28°) und cos(28°) ablesen:
sin(28°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:
sin(28°) ≈ 0.47
arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)
Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = 0.95.
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:
cos(α) = 0.95 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.95 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α1 = 18.2° als auch für α2 = 360° - α1 = 341.8° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.95 ist.
cos(18.2°) ≈ 0.95 und cos(341.8°) ≈ 0.95
Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert
Beispiel:
Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 190°?
Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.
Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 190° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -190°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.
Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:
α = -190° + 360° = 170°
Sinus-Funktion
Beispiel:
Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 220 Volt und +220 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 40 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 6 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 44 Volt beträgt?
So erhalten wir die Funktion f(α) = 220 ⋅ sin(α).
1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6 ms
Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 6 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :
40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ ° = 9°
6 ms ≙ 9 ⋅ 6° ≈ 54°
sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 220 ⋅ sin(54°) ≈ 177.98
Also ist nach 6 ms der y-Wert 177,98 V.
2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 44 V
Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 220 ⋅ sin(α) = 44 gilt.
220 ⋅ sin(α) = 44 |: 220
sin(α) = 0.2 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)
α ≈ 11.5°
Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:
360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ ms = ms
11.5° ≙ ⋅ 11.5 ms ≈ 1.278 ms
Somit ist nach 1,278 ms die Höhe h = 44 V erreicht.
Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 220 ⋅ sin(α) = 44
bzw. sin(β) = 0.2. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β
gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt
β = 180°-α = 180°-
Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:
360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ ms = ms
168.5° ≙ ⋅ 168.5 ms ≈ 18.722 ms
Somit ist nach auch 18,722 ms die Höhe h = 44 V erreicht.