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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = $\frac{\sqrt{24}}{5}$ . Berechne sin(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{24}}{5})}^{2}$

= 1 - $\frac{24}{25}$

= $\frac{1}{25}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{1}{5}$ = 0.2

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(28°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(28°) und cos(28°) ablesen:

sin(28°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(28°) ≈ 0.47

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = 0.25.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = 0.25 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.25 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 75.5° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 284.5° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.25 ist.

cos(75.5°) ≈ 0.25 und cos(284.5°) ≈ 0.25

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 980°?

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel 980° > 360° ist, müssen wir eben so lange 360° subtrahieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = 980 - 360° - 360° = 260°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 17 m und braucht 6 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 19 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 0,9 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 30,05 m über dem Boden ist?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 17 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.9 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 0.9 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

6 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{6}$ ° = 60°
0.9 min ≙ 60 ⋅ 0.9° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 17 ⋅ sin(54°) ≈ 13.75

Also ist nach 0.9 min der y-Wert 13.75 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 19 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 19 m +13.75 m
= 32.75 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 30.05 m

Die gegebenen Höhe von h = 30.05 m entspricht gerade der Höhe 30.05 m - 19 m = 11.05 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 17 ⋅ sin(α) = 11.05 gilt.

17 ⋅ sin(α) = 11.05 |: 17

sin(α) = 0.65 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 40.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
40.5° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 40.5 min ≈ 0.675 min

Somit ist nach 0,675 min die Höhe h = 30,05 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 17 ⋅ sin(α) = 11.05 bzw. sin(β) = 0.65. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-40.5 = 139.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
139.5° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 139.5 min ≈ 2.325 min

Somit ist nach auch 2,325 min die Höhe h = 30,05 m erreicht.

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Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.9 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 30.05 m