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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = 24 5 . Berechne sin(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))2 = 1 - (cos(α))2

= 1 - ( 24 5 ) 2

= 1 - 24 25

= 1 25

Damit glit für sin(α):

sin(α) = 1 5 = 0.2

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin(77°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(77°) und cos(77°) ablesen:

sin(77°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(77°) ≈ 0.97

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.9.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.9 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.9 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 25.8° setzt, so sieht man, dass der cos(25.8)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.9 ist.

cos(25.8°) ≈ 0.9

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 310°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 310° als negativen Winkel 310° -360° = -50° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-50°) = -130°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -130° + 360° = 230°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 220 Volt und +220 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 20 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 3 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 110 Volt beträgt?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 220 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 3 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

20 ms ≙ 360°
1 ms ≙ 360 20 ° = 18°
3 ms ≙ 18 ⋅ 3° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 220 ⋅ sin(54°) ≈ 177.98

Also ist nach 3 ms der y-Wert 177,98 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 110 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 220 ⋅ sin(α) = 110 gilt.

220 ⋅ sin(α) = 110 |: 220

sin(α) = 0.5 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)

α ≈ 30°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ 20 360 ms = 1 18 ms
30° ≙ 1 18 ⋅ 30 ms ≈ 1.667 ms

Somit ist nach 1,667 ms die Höhe h = 110 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 220 ⋅ sin(α) = 110 bzw. sin(β) = 0.5. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-30 = 150°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ 20 360 ms = 1 18 ms
150° ≙ 1 18 ⋅ 150 ms ≈ 8.333 ms

Somit ist nach auch 8,333 ms die Höhe h = 110 V erreicht.