Mathebattle EduRandomtasks

Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{51}}{10}$ . Berechne cos(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{51}}{10})}^{2}$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(48°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(48°) und cos(48°) ablesen:

cos(48°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(48°) ≈ 0.67

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = -0.3.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.3 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.3 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 107.5° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 252.5° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.3 ist.

cos(107.5°) ≈ -0.3 und cos(252.5°) ≈ -0.3

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 250°?

Lösung einblenden

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 250° als negativen Winkel 250° -360° = -110° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-110°) = -70°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -70° + 360° = 290°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 8 m und braucht 4 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 9 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 1 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 12,6 m über dem Boden ist?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 8 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 1 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

4 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{4}$ ° = 90°
1 min ≙ 90 ⋅ 1° ≈ 90°

sin(90°) ≈ 1, entsprechend ist 8 ⋅ sin(90°) ≈ 8

Also ist nach 1 min der y-Wert 8 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 9 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 9 m +8 m
= 17 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 12.6 m

Die gegebenen Höhe von h = 12.6 m entspricht gerade der Höhe 12.6 m - 9 m = 3.6 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 8 ⋅ sin(α) = 3.6 gilt.

8 ⋅ sin(α) = 3.6 |: 8

sin(α) = 0.45 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 26.7°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{360}$ min = $\frac{1}{90}$ min
26.7° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 26.7 min ≈ 0.297 min

Somit ist nach 0,297 min die Höhe h = 12,6 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 8 ⋅ sin(α) = 3.6 bzw. sin(β) = 0.45. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-26.7 = 153.3°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{360}$ min = $\frac{1}{90}$ min
153.3° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 153.3 min ≈ 1.703 min

Somit ist nach auch 1,703 min die Höhe h = 12,6 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 12.6 m