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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Berechne cos(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(63°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(63°) und cos(63°) ablesen:

sin(63°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(63°) ≈ 0.89

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = -0.6.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

sin(α) = -0.6 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis -0.6 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 323.1° als auch für α₂ = 216.9° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der grünen Strecke eben ≈ -0.6 ist.

sin(323.1°) ≈ -0.6 und sin(216.9°) ≈ -0.6

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 10°?

Lösung einblenden

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 10° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -10°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -10° + 360° = 350°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 70 Volt und +70 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 20 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 7 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 56 Volt beträgt?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 70 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 7 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 7 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

20 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{360}{20}$ ° = 18°
7 ms ≙ 18 ⋅ 7° ≈ 126°

sin(126°) ≈ 0.81, entsprechend ist 70 ⋅ sin(126°) ≈ 56.63

Also ist nach 7 ms der y-Wert 56,63 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 56 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 70 ⋅ sin(α) = 56 gilt.

70 ⋅ sin(α) = 56 |: 70

sin(α) = 0.8 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 53.1°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ $\frac{20}{360}$ ms = $\frac{1}{18}$ ms
53.1° ≙ $\frac{1}{18}$ ⋅ 53.1 ms ≈ 2.95 ms

Somit ist nach 2,95 ms die Höhe h = 56 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 70 ⋅ sin(α) = 56 bzw. sin(β) = 0.8. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-53.1 = 126.9°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 20 ms
1 ° ≙ $\frac{20}{360}$ ms = $\frac{1}{18}$ ms
126.9° ≙ $\frac{1}{18}$ ⋅ 126.9 ms ≈ 7.05 ms

Somit ist nach auch 7,05 ms die Höhe h = 56 V erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 7 ms

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 56 V