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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{51}}{10}$ . Berechne cos(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{51}}{10})}^{2}$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(28°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(28°) und cos(28°) ablesen:

sin(28°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(28°) ≈ 0.47

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = 0.95.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = 0.95 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.95 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 18.2° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 341.8° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.95 ist.

cos(18.2°) ≈ 0.95 und cos(341.8°) ≈ 0.95

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 190°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 190° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -190°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -190° + 360° = 170°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 220 Volt und +220 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 40 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 6 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 44 Volt beträgt?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 220 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 6 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{360}{40}$ ° = 9°
6 ms ≙ 9 ⋅ 6° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 220 ⋅ sin(54°) ≈ 177.98

Also ist nach 6 ms der y-Wert 177,98 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 44 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 220 ⋅ sin(α) = 44 gilt.

220 ⋅ sin(α) = 44 |: 220

sin(α) = 0.2 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 11.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
11.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 11.5 ms ≈ 1.278 ms

Somit ist nach 1,278 ms die Höhe h = 44 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 220 ⋅ sin(α) = 44 bzw. sin(β) = 0.2. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-11.5 = 168.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
168.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 168.5 ms ≈ 18.722 ms

Somit ist nach auch 18,722 ms die Höhe h = 44 V erreicht.

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Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6 ms

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 44 V