Mathebattle EduRandomtasks

Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = $\frac{3}{5}$ . Berechne sin(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${(\frac{3}{5})}^{2}$

= 1 - $\frac{9}{25}$

= $\frac{16}{25}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{4}{5}$ = 0.8

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(35°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(35°) und cos(35°) ablesen:

sin(35°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(35°) ≈ 0.57

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit sin(α) = 0.15.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.15 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.15 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 8.6° setzt, so sieht man, dass der sin(8.6)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.15 ist.

sin(8.6°) ≈ 0.15

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 220° haben.

Lösung einblenden

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 220° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 220° + 360° = 580°, oder β = 220° + 2 ⋅ 360° = 940°, oder auch γ = 220° - 360° = -140° ...

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 9 m und braucht 2 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 11 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 0,3 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 17,75 m über dem Boden ist?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 9 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.3 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 0.3 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

2 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{2}$ ° = 180°
0.3 min ≙ 180 ⋅ 0.3° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 9 ⋅ sin(54°) ≈ 7.28

Also ist nach 0.3 min der y-Wert 7.28 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 11 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 11 m +7.28 m
= 18.28 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 17.75 m

Die gegebenen Höhe von h = 17.75 m entspricht gerade der Höhe 17.75 m - 11 m = 6.75 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 9 ⋅ sin(α) = 6.75 gilt.

9 ⋅ sin(α) = 6.75 |: 9

sin(α) = 0.75 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 48.6°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ $\frac{2}{360}$ min = $\frac{1}{180}$ min
48.6° ≙ $\frac{1}{180}$ ⋅ 48.6 min ≈ 0.27 min

Somit ist nach 0,27 min die Höhe h = 17,75 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 9 ⋅ sin(α) = 6.75 bzw. sin(β) = 0.75. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-48.6 = 131.4°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ $\frac{2}{360}$ min = $\frac{1}{180}$ min
131.4° ≙ $\frac{1}{180}$ ⋅ 131.4 min ≈ 0.73 min

Somit ist nach auch 0,73 min die Höhe h = 17,75 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

gleiche Winkel am Einheitskreis

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.3 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 17.75 m