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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{3}{5}$ . Berechne cos(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{3}{5})}^{2}$

= 1 - $\frac{9}{25}$

= $\frac{16}{25}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{4}{5}$ = 0.8

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(27°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(27°) und cos(27°) ablesen:

cos(27°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(27°) ≈ 0.89

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.7.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.7 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.7 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 45.6° setzt, so sieht man, dass der cos(45.6)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.7 ist.

cos(45.6°) ≈ 0.7

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 120°?

Lösung einblenden

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 120° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 120°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = 180° - 120° = 60°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 15 m und braucht 6 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 17 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 3 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 26 m über dem Boden ist?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 15 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 3 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

6 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{6}$ ° = 60°
3 min ≙ 60 ⋅ 3° ≈ 180°

sin(180°) ≈ 0, entsprechend ist 15 ⋅ sin(180°) ≈ 0

Also ist nach 3 min der y-Wert 0 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 17 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 17 m +0 m
= 17 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 26 m

Die gegebenen Höhe von h = 26 m entspricht gerade der Höhe 26 m - 17 m = 9 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 15 ⋅ sin(α) = 9 gilt.

15 ⋅ sin(α) = 9 |: 15

sin(α) = 0.6 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 36.9°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
36.9° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 36.9 min ≈ 0.615 min

Somit ist nach 0,615 min die Höhe h = 26 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 15 ⋅ sin(α) = 9 bzw. sin(β) = 0.6. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-36.9 = 143.1°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
143.1° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 143.1 min ≈ 2.385 min

Somit ist nach auch 2,385 min die Höhe h = 26 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 26 m