Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 3$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 2$

f'(1) = $6 \cdot 1^{2} + 2$ = $6 \cdot 1 + 2$ = $6 + 2$ = $8$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 3 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 3 x) \cdot x$

= $- 3 x^{4} \cdot x + 3 x \cdot x$

= $- 3 x^{5} + 3 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 6 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{5} - 3 x + (x + 1) \cdot (- 3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 7 x^{5} - 3 x + (x + 1) \cdot (- 3 x + 4)$

= $- 7 x^{5} - 3 x + (- 3 x^{2} + x + 4)$

= $- 7 x^{5} - 3 x^{2} - 3 x + x + 4$

= $- 7 x^{5} - 3 x^{2} - 2 x + 4$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4} - 6 x - 2$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + \frac{1}{12} t x^{4} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + \frac{1}{12} t x^{4} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + \frac{1}{3} t x^{3} - 4$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 3 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x - 3$ = 1.

x^{2} + 3 x - 3

=

1

|

- 1

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) - 3$ = $1$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 3$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 5$ = -2.

x^{2} - 2 x - 5

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 5$ = $- 2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 5$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $6 (x - 1) - 2 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$ parallel zur Geraden y = $1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $6 (x - 1) - 2 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$

= $6 x - 6 - 2 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x - 6 - 2$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x - 8$

Die Gerade y = $1$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x - 8$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 6 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 6 + 0$ = 0.

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 6 + 0$ = 0

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 6 + 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 3 x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 131?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 3$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 2^{3} + 3$
= $32 t + 3$

Dieser Wert soll ja den Wert 131 besitzen, also gilt:

$32 t + 3$	=	$131$	\| $- 3$
$32 t$	=	$128$	\|: $32$
$t$	=	$4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter