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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x$

$f'(x) =$ $6 x^{2} - 4$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 10 x$

f'(-1) = $- 6 \cdot {(- 1)}^{2} + 10 \cdot (- 1)$ = $- 6 \cdot 1 - 10$ = $- 6 - 10$ = $- 16$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{3}}$

= $\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5 x}{x^{3}}$

= $1 - \frac{5}{x^{2}}$

= $1 - 5 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + (x + 4) \cdot 6 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + (x + 4) \cdot 6 x^{3}$

= $- 5 x^{5} + (6 x^{4} + 24 x^{3})$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} - 5 x^{2} - 5 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} - 5 x^{2} - 5 t$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} - 10 x + 0$

= $\frac{4}{3} x^{3} - 10 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 1$ = -3.

x^{2} - 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 1$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 1$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 1$ = 2.

x^{2} - 2 x - 1

=

2

|

- 2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 1$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 1$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 + 5 (x - 1) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 2 + 5 (x - 1) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$

= $- 2 + 5 x - 5 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 5 x - 2 - 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 5 x - 7$

Die Gerade y = $x - 2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 5 x - 7$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 5 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 5 + 0$ = 1.

x^{2} - 5 x + 5

=

1

|

- 1

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 5 + 0$ = $1$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 5 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} + t x^{4}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 6?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} + t x^{4}$

=> $f'(x) =$ $10 x^{4} + 4 t x^{3}$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $10 \cdot 1^{4} + 4 t \cdot 1^{3}$
= $10 + 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 6 besitzen, also gilt:

$4 t + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$4 t$	=	$- 4$	\|: $4$
$t$	=	$- 1$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter