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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} - \frac{1}{6} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} - \frac{1}{6} x^{3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

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$f(x) =$ $- 5 x^{5} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 10 x$

f'(3) = $- 25 \cdot 3^{4} + 10 \cdot 3$ = $- 25 \cdot 81 + 30$ = $- 2 025 + 30$ = $- 1 995$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

= $- 2 + \frac{3}{x}$

= $- 2 + 3 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 3 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} + (x - 1) \cdot (- x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $5 x^{3} + (x - 1) \cdot (- x^{3})$

= $5 x^{3} + (- x^{4} + x^{3})$

= $- x^{4} + 5 x^{3} + x^{3}$

= $- x^{4} + 6 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 18 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t x^{3} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t x^{3} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 6 t x^{2} + 4$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 4 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 4$ = -1.

x^{2} + 2 x - 4

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 4$ = $- 1$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 4$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 1$ = -2.

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 - 1$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 10) + 4$ parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 10) + 4$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 4$

Die Gerade y = $3 x - 4$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 4$

$f'(x) =$ $x + 5 + 0$

= $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x + 5 + 0$ = 3.

$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 5 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + t x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 18?

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$f(x) =$ $3 x^{5} + t x$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4} + t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15 \cdot 1^{4} + t$
= $15 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 18 besitzen, also gilt:

$t + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$t$	=	$3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter