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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 4 x 4 -4 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 4 x 4 -4 x 3

f'(x)= - x 3 -12 x 2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5x +5 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

f(x)= 5x +5

=>f'(x)= 5 +0

= 5

f'(0) = 5

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 +2 x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= - x 3 +2 x 2

= - x 3 x 2 + 2 x 2

= -x + 2 x 2

= -x +2 x -2

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = -1 -4 x -3

f'(x)= -1 - 4 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 2 + ( x +4 ) · 2x +5 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= - x 2 + ( x +4 ) · 2x +5

= - x 2 + ( 2 x 2 +8x ) +5

= x 2 +8x +5

f'(x)= 2x +8

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 +4 t 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4 +4 t 2 x

f'(x)= 12 x 3 +4 t 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -2 x 2 +2x den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -2 x 2 +2x

f'(x)= x 2 -4x +2

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -4x +2 = -1.

x 2 -4x +2 = -1 | +1

x 2 -4x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

L={ 1 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 2 -41 +2 = -1

f '( 3 ) = 3 2 -43 +2 = -1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -6x parallel zur Geraden y = -3x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -3x -4 hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 -6x

f'(x)= x -6

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir x -6 = -3.

x -6 = -3 | +6
x = 3

L={ 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 3 ) = 3 -6 = -3

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 6 x 2 · ( 2x -3 ) +2x -11( x -7 ) parallel zur Geraden y = 3x -5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 6 x 2 · ( 2x -3 ) +2x -11( x -7 )

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 +2x -11x +77

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -9x +77

Die Gerade y = 3x -5 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = -5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -9x +77

f'(x)= x 2 - x -9 +0

= x 2 - x -9

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 2 - x -9 +0 = 3.

x 2 - x -9 = 3 | -3

x 2 - x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +48 2

x1,2 = +1 ± 49 2

x1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

x2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = 1 2 ± 49 4

x1 = 1 2 - 7 2 = - 6 2 = -3

x2 = 1 2 + 7 2 = 8 2 = 4

L={ -3 ; 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 - ( -3 ) -9 +0 = 3

f '( 4 ) = 4 2 - 4 -9 +0 = 3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 5 +4x im Punkt (2|f(2)) den Wert -76?

Lösung einblenden

f(x)= t x 5 +4x

=>f'(x)= 5 t x 4 +4

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t 2 4 +4
= 80 t +4

Dieser Wert soll ja den Wert -76 besitzen, also gilt:

80t +4 = -76 | -4
80t = -80 |:80
t = -1