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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 3 x 3 +2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 4 3 x 3 +2x

f'(x)= -4 x 2 +2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 3 +2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 +2

=>f'(x)= -6 x 2 +0

= -6 x 2

f'(1) = -6⋅ 1 2 = -6⋅1 = -6

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( -4 x 3 +2 x 2 ) · x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( -4 x 3 +2 x 2 ) · x 2

= -4 x 3 · x 2 + 2 x 2 · x 2

= -4 x 5 +2 x 4

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -20 x 4 +8 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -6 x 3 + ( x -7 ) · ( 6x +5 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -6 x 3 + ( x -7 ) · ( 6x +5 )

= -6 x 3 + ( 6 x 2 -37x -35 )

f'(x)= -18 x 2 +12x -37

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 4 t 2 x 4 - t 2 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 4 t 2 x 4 - t 2 x 2

f'(x)= t 2 x 3 -2 t 2 x

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +2x den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +2x

f'(x)= x +2

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x +2 = -2.

x +2 = -2 | -2
x = -4

L={ -4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -4 ) = -4 +2 = -2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + x parallel zur Geraden y = 2x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 2x -1 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + x

f'(x)= x 2 +1

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 2 +1 = 2.

x 2 +1 = 2 | -1
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 +1 = 2

f '( 1 ) = 1 2 +1 = 2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x · ( x +10 ) -2 parallel zur Geraden y = 3x +5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 2 x · ( x +10 ) -2

= 1 2 x 2 +5x -2

Die Gerade y = 3x +5 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = 5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +5x -2

f'(x)= x +5 +0

= x +5

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x +5 +0 = 3.

x +5 = 3 | -5
x = -2

L={ -2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = -2 +5 +0 = 3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= - x 4 + t x im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 9?

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f(x)= - x 4 + t x

=>f'(x)= -4 x 3 + t

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -4⋅ ( -1 ) 3 + t
= 4 + t

Dieser Wert soll ja den Wert 9 besitzen, also gilt:

t +4 = 9 | -4
t = 5