Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{4} + 3$

$f'(x) =$ $12 x^{3} + 0$

= $12 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 8 x$

f'(0) = $- 6 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0$ = $- 6 \cdot 0 + 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot x^{3}$

= $- 2 x^{4} \cdot x^{3} - 2 x^{2} \cdot x^{3}$

= $- 2 x^{7} - 2 x^{5}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 14 x^{6} - 10 x^{4}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot (2 x - 4) + 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (2 x - 4) + 2 x^{4}$

= $2 x^{2} - 2 x - 4 + 2 x^{4}$

= $2 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x - 4$

$f'(x) =$ $8 x^{3} + 4 x - 2$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + x + 5 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + x + 5 t^{2}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 1 + 0$

= $- 9 x^{2} + 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 6$ = -2.

$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 3$ = 0.

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 3$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 0$ parallel zur Geraden y = $- 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 0$

= $x + (\frac{1}{3} x^{3} + x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x$

Die Gerade y = $- 1$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x + 1$ = 0.

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} - 4 x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -19?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} - 4$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 1)}^{2} - 4$
= $3 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -19 besitzen, also gilt:

$3 t - 4$	=	$- 19$	\| $+ 4$
$3 t$	=	$- 15$	\|: $3$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter