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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} + x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 1$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 1$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 0$

= $- 20 x^{3}$

f'(4) = $- 20 \cdot 4^{3}$ = $- 20 \cdot 64$ = $- 1 280$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 2) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 2) \cdot x^{3}$

= $5 x^{4} \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{3}$

= $5 x^{7} + 2 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $35 x^{6} + 6 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 x^{2} + (x - 1) \cdot 7 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 4 + 2 x^{2} + (x - 1) \cdot 7 x^{2}$

= $- 4 + 2 x^{2} + (7 x^{3} - 7 x^{2})$

= $7 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x^{2} - 4$

= $7 x^{3} - 5 x^{2} - 4$

$f'(x) =$ $21 x^{2} - 10 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 t^{2} x^{5} - 3 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 t^{2} x^{5} - 3 t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 25 t^{2} x^{4} - 6 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 8 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 8 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 8$ = 0.

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 8$ = 0

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 8$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x - 3$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 3$ = -2.

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 - 3$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x - 4 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3)$ parallel zur Geraden y = $3 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 x - 4 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3)$

= $5 x - 4 x - 24 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 4 x - 24$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x - 24$

Die Gerade y = $3 x - 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x - 24$

$f'(x) =$ $x^{2} + x + 1 + 0$

= $x^{2} + x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + x + 1 + 0$ = 3.

x^{2} + x + 1

=

3

|

- 3

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 + 1 + 0$ = $3$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 1 + 1 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{3}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -14?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 6 x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2}$
= $- 4 t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert -14 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 6$	=	$- 14$	\| $+ 6$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter