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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 4 - 2 3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 4 - 2 3 x 2

f'(x)= -12 x 3 - 4 3 x

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4x -4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= 4x -4

=>f'(x)= 4 +0

= 4

f'(1) = 4

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( x 2 +3x ) · x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( x 2 +3x ) · x 2

= x 2 · x 2 + 3x · x 2

= x 4 +3 x 3

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 4 x 3 +9 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 + ( x -6 ) · 7 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= - x 3 + ( x -6 ) · 7 x 2

= - x 3 + ( 7 x 3 -42 x 2 )

= 6 x 3 -42 x 2

f'(x)= 18 x 2 -84x

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 9 x 3 - 1 3 x 2 +3 t 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 9 x 3 - 1 3 x 2 +3 t 2 x

f'(x)= 2 3 x 2 - 2 3 x +3 t 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +2x den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +2x

f'(x)= x +2

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x +2 = -1.

x +2 = -1 | -2
x = -3

L={ -3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = -3 +2 = -1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -2x parallel zur Geraden y = 3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 3 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = 3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -2x

f'(x)= x 2 + x -2

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 + x -2 = 0.

x 2 + x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

L={ -2 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 -2 = 0

f '( 1 ) = 1 2 +1 -2 = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -5x +0 + 1 6 x 2 · ( 2x -9 ) parallel zur Geraden y = -x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = -5x +0 + 1 6 x 2 · ( 2x -9 )

= -5x + ( 1 3 x 3 - 3 2 x 2 )

= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 -5x

= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 -5x

Die Gerade y = -x -3 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 -5x

f'(x)= x 2 -3x -5

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -3x -5 = -1.

x 2 -3x -5 = -1 | +1

x 2 -3x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +16 2

x1,2 = +3 ± 25 2

x1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

x2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = 3 2 ± 25 4

x1 = 3 2 - 5 2 = - 2 2 = -1

x2 = 3 2 + 5 2 = 8 2 = 4

L={ -1 ; 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 -3( -1 ) -5 = -1

f '( 4 ) = 4 2 -34 -5 = -1

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= 3 x 5 + t x 3 im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 252?

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 5 + t x 3

=>f'(x)= 15 x 4 +3 t x 2

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 15 ( -2 ) 4 +3 t ( -2 ) 2
= 240 +12 t

Dieser Wert soll ja den Wert 252 besitzen, also gilt:

12t +240 = 252 | -240
12t = 12 |:12
t = 1