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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} + \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} + \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x - 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x - 3$

=> $f'(x) =$ $- 5 + 0$

= $- 5$

f'(0) = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x) \cdot x$

= $3 x^{3} \cdot x - 4 x \cdot x$

= $3 x^{4} - 4 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $12 x^{3} - 8 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 8 + (x + 5) \cdot 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 8 + (x + 5) \cdot 3 x$

= $- 3 x^{3} + 8 + (3 x^{2} + 15 x)$

= $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 15 x + 8$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 6 x + 15$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{15} t x^{5} + 3 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{15} t x^{5} + 3 t^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} t x^{4} + 0$

= $\frac{4}{3} t x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 7 x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 7$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 7$ = -3.

x^{2} - 3 x - 7

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 7$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 7$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- x - 4$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x + 3$ = -1.

$x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 3$ = $- 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) - x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 3 (x + 4) - x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$

= $- 3 x - 12 - x + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - x - 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - 12$

Die Gerade y = $2 x + 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - 12$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 4 + 0$

= $x^{2} - x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 4 + 0$ = 2.

x^{2} - x - 4

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 4 + 0$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 4 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 2 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -10?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 1^{3} + 2$
= $4 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert -10 besitzen, also gilt:

$4 t + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$4 t$	=	$- 12$	\|: $4$
$t$	=	$- 3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter