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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 3 x 3 -2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 3 x 3 -2

f'(x)= 4 x 2 +0

= 4 x 2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 +5x und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4 +5x

=>f'(x)= 12 x 3 +5

f'(2) = 12 2 3 +5 = 128 +5 = 96 +5 = 101

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( 3 x 2 +5x ) · x .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( 3 x 2 +5x ) · x

= 3 x 2 · x + 5x · x

= 3 x 3 +5 x 2

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 9 x 2 +10x

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 2 + ( x +3 ) · ( 7x -6 ) +8 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= 2 x 2 + ( x +3 ) · ( 7x -6 ) +8

= 2 x 2 + ( 7 x 2 +15x -18 ) +8

= 9 x 2 +15x -10

f'(x)= 18x +15

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 5 +2 t 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 5 +2 t 2 x 3

f'(x)= 20 x 4 +6 t 2 x 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + x 2 -3x den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + x 2 -3x

f'(x)= x 2 +2x -3

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 +2x -3 = 0.

x 2 +2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +12 2

x1,2 = -2 ± 16 2

x1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

x2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

L={ -3 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 +2( -3 ) -3 = 0

f '( 1 ) = 1 2 +21 -3 = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 +2 x 2 + x parallel zur Geraden y = -2x +5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -2x +5 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = 5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 +2 x 2 + x

f'(x)= x 2 +4x +1

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x 2 +4x +1 = -2.

x 2 +4x +1 = -2 | +2

x 2 +4x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = -4 ± 16 -12 2

x1,2 = -4 ± 4 2

x1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

x2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

L={ -3 ; -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 +4( -3 ) +1 = -2

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 +4( -1 ) +1 = -2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 2 · ( x +9 )+3( x +3 ) +5x parallel zur Geraden y = -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 3 x 2 · ( x +9 )+3( x +3 ) +5x

= 1 3 x 3 +3 x 2 +3x +9 +5x

= 1 3 x 3 +3 x 2 +3x +5x +9

= 1 3 x 3 +3 x 2 +8x +9

Die Gerade y = -2 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 +3 x 2 +8x +9

f'(x)= x 2 +6x +8 +0

= x 2 +6x +8

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 +6x +8 +0 = 0.

x 2 +6x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 8 21

x1,2 = -6 ± 36 -32 2

x1,2 = -6 ± 4 2

x1 = -6 + 4 2 = -6 +2 2 = -4 2 = -2

x2 = -6 - 4 2 = -6 -2 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - 8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = -3 ± 1

x1 = -3 - 1 = -4

x2 = -3 + 1 = -2

L={ -4 ; -2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -4 ) = ( -4 ) 2 +6( -4 ) +8 +0 = 0

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 +6( -2 ) +8 +0 = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 5 -5x im Punkt (1|f(1)) den Wert -20?

Lösung einblenden

f(x)= t x 5 -5x

=>f'(x)= 5 t x 4 -5

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t 1 4 -5
= 5 t -5

Dieser Wert soll ja den Wert -20 besitzen, also gilt:

5t -5 = -20 | +5
5t = -15 |:5
t = -3