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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{8} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{8} x^{4}$

$f'(x) =$ $x^{4} - \frac{1}{2} x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x - 1$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x - 1$

=> $f'(x) =$ $- 5 + 0$

= $- 5$

f'(3) = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 3 x^{2} - 1}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 3 x^{2} - 1}{x^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}$

= $- 3 - \frac{1}{x^{2}}$

= $- 3 - x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{2} + (x - 4) \cdot 6 x - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 6 x^{2} + (x - 4) \cdot 6 x - 6$

= $- 6 x^{2} + (6 x^{2} - 24 x) - 6$

= $- 24 x - 6$

$f'(x) =$ $- 24$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{10} t^{2} x^{5} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{10} t^{2} x^{5} + 5$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} t^{2} x^{4} + 0$

= $\frac{3}{2} t^{2} x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 6 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 6$ = 2.

x^{2} - 2 x - 6

=

2

|

- 2

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 6$ = $2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 2 \cdot 4 - 6$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x$ = 2.

x^{2} - x

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - (- 1)$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9) - 1$ parallel zur Geraden y = $1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 (x + 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9) - 1$

= $2 x + 4 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}) - 1$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 4 - 1$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 3$

Die Gerade y = $1$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 3$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x + 2 + 0$

= $x^{2} - 3 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x + 2 + 0$ = 0.

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 + 2 + 0$ = 0

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 + 2 + 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 3 x^{3}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 124?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 3 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 9 x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2}$
= $- 32 t - 36$

Dieser Wert soll ja den Wert 124 besitzen, also gilt:

$- 32 t - 36$	=	$124$	\| $+ 36$
$- 32 t$	=	$160$	\|:( $- 32$ )
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter