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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4} - \frac{2}{3} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} - 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} - 3$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 0$

= $- 20 x^{3}$

f'(4) = $- 20 \cdot 4^{3}$ = $- 20 \cdot 64$ = $- 1 280$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 5 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{2} + 5 x) \cdot x^{2}$

= $- x^{2} \cdot x^{2} + 5 x \cdot x^{2}$

= $- x^{4} + 5 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 15 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} + (x + 1) \cdot (6 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $4 x^{4} + (x + 1) \cdot (6 x + 3)$

= $4 x^{4} + (6 x^{2} + 9 x + 3)$

$f'(x) =$ $16 x^{3} + 12 x + 9$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} x^{2} + 0$

= $- 3 t^{2} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x - 2$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x - 2$ = -1.

$x - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 - 2$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 11 x$ parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x + 2$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 11 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 11$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 11$ = 3.

x^{2} + 6 x + 11

=

3

|

- 3

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 11$ = $3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 11$ = $3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21) - 3 x + 12 (x + 1)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21) - 3 x + 12 (x + 1)$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 3 x + 12 x + 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 9 x + 12$

Die Gerade y = $- 3 x - 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 9 x + 12$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 9 + 0$

= $x^{2} + 7 x + 9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 9 + 0$ = -3.

x^{2} + 7 x + 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 9 + 0$ = $- 3$

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 9 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 2 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -4?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 - 2$
= $2 t - 2$

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

$2 t - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
$2 t$	=	$- 2$	\|: $2$
$t$	=	$- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter