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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}$

$f'(x) =$ $2 x^{4} + x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} - 4 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} - 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} - 8 x$

f'(1) = $- 20 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1$ = $- 20 \cdot 1 - 8$ = $- 20 - 8$ = $- 28$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{- x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 x^{2}}{x^{3}}$

= $- 1 + \frac{5}{x}$

= $- 1 + 5 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 5 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot 2 x^{2} + 2 x^{5} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot 2 x^{2} + 2 x^{5} + 3 x$

= $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x^{5} + 3 x$

= $2 x^{5} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $10 x^{4} + 6 x^{2} + 8 x + 3$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6} t x^{3} - \frac{4}{3} x + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{6} t x^{3} - \frac{4}{3} x + 1$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} t x^{2} - \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{1}{2} t x^{2} - \frac{4}{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 1$ = 0.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 1$ = 0

f '( $1$ ) = $1^{2} - 1$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 4$ = 1.

x^{2} + 4 x + 4

=

1

|

- 1

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 4$ = $1$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 2 (x + 6) + x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 2 (x + 6) + x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x + 12 + x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x + x + 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 12$

Die Gerade y = $- 3 x - 4$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 12$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 3 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 3 + 0$ = -3.

x^{2} + 5 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 3 + 0$ = $- 3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 3 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4} + t x^{3}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert -4?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot 2^{3} + 3 t \cdot 2^{2}$
= $32 + 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

$12 t + 32$	=	$- 4$	\| $- 32$
$12 t$	=	$- 36$	\|: $12$
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter