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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{1}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{1}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} + \frac{1}{2} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 10 x^{4} + 10 x$

f'(1) = $- 10 \cdot 1^{4} + 10 \cdot 1$ = $- 10 \cdot 1 + 10$ = $- 10 + 10$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + x^{2}) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{3} + x^{2}) \cdot x$

= $- x^{3} \cdot x + x^{2} \cdot x$

= $- x^{4} + x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot x^{2} + 4 - 6 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot x^{2} + 4 - 6 x^{5}$

= $x^{3} + 7 x^{2} + 4 - 6 x^{5}$

= $- 6 x^{5} + x^{3} + 7 x^{2} + 4$

$f'(x) =$ $- 30 x^{4} + 3 x^{2} + 14 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3} + \frac{1}{2} t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3} + \frac{1}{2} t^{2} x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{4}{3} x^{2} + \frac{1}{2} t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 5$ = 1.

$x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 5$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 1$ = -3.

x^{2} - 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 1$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 1$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x + 3 - 5 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3)$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

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Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $x + 3 - 5 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3)$

= $x + 3 - 5 x + (\frac{1}{3} x^{3} - x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x - 5 x + 3$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 3$

Die Gerade y = $- x + 3$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 3$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 4 + 0$

= $x^{2} - 2 x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 4 + 0$ = -1.

x^{2} - 2 x - 4

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 4 + 0$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 4 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 5 x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -30?

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$f(x) =$ $t x^{4} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 10 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 1)}^{3} + 10 \cdot (- 1)$
= $- 4 t - 10$

Dieser Wert soll ja den Wert -30 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 10$	=	$- 30$	\| $+ 10$
$- 4 t$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$5$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter