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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} + x$

$f'(x) =$ $- 10 x^{4} + 1$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} + 5 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} + 5 x$

=> $f'(x) =$ $20 x^{4} + 5$

f'(0) = $20 \cdot 0^{4} + 5$ = $20 \cdot 0 + 5$ = $5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot x$

= $- 4 x^{3} \cdot x - 4 x^{2} \cdot x$

= $- 4 x^{4} - 4 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} - 12 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{5} + (x + 2) \cdot (- 3 x + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $7 x^{5} + (x + 2) \cdot (- 3 x + 7)$

= $7 x^{5} + (- 3 x^{2} + x + 14)$

$f'(x) =$ $35 x^{4} - 6 x + 1$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} x^{5} - \frac{3}{4} t^{2} x^{4} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} x^{5} - \frac{3}{4} t^{2} x^{4} - 4$

$f'(x) =$ $3 x^{4} - 3 t^{2} x^{3} + 0$

= $3 x^{4} - 3 t^{2} x^{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 2$ = 1.

x^{2} - 2 x - 2

=

1

|

- 1

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 2$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 2 x$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x + 2$ = 1.

x^{2} + 2 x + 2

=

1

|

- 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x - 6 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 5 x - 6 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$

= $- 5 x - 6 x - 36 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 5 x - 6 x - 36$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 11 x - 36$

Die Gerade y = $x - 3$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 11 x - 36$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 11 + 0$

= $x^{2} - x - 11$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 11 + 0$ = 1.

x^{2} - x - 11

=

1

|

- 1

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - (- 3) - 11 + 0$ = $1$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 4 - 11 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 7?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot (- 2) + t$
= $4 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 7 besitzen, also gilt:

$t + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$t$	=	$3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter