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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} + 4$

$f'(x) =$ $- x^{2} + 0$

= $- x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} + 2 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} + 2 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 8 x^{3}$

f'(3) = $- 5 \cdot 3^{4} + 8 \cdot 3^{3}$ = $- 5 \cdot 81 + 8 \cdot 27$ = $- 405 + 216$ = $- 189$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 1) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 1) \cdot x^{3}$

= $2 x^{4} \cdot x^{3} - 1 \cdot x^{3}$

= $2 x^{7} - x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $14 x^{6} - 3 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 x + (x - 4) \cdot (- 6 x^{2}) + 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $8 x + (x - 4) \cdot (- 6 x^{2}) + 4 x^{3}$

= $8 x + (- 6 x^{3} + 24 x^{2}) + 4 x^{3}$

= $- 6 x^{3} + 4 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x$

= $- 2 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 48 x + 8$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 5 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 5 t x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{3} - 10 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 4$ = 2.

x^{2} + x - 4

=

2

|

- 2

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 3 - 4$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 - 4$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 4$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x$ = -3.

x

=

- 3

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 6) - 3$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 6) - 3$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 3$

Die Gerade y = $- x - 1$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 3$

$f'(x) =$ $x + 3 + 0$

= $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x + 3 + 0$ = -1.

$x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 3 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + t x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -10?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 6 \cdot 1 + t$
= $- 6 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -10 besitzen, also gilt:

$t - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$t$	=	$- 4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter