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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - 4$

$f'(x) =$ $10 x^{4} + 0$

= $10 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} - 2 x$

f'(0) = $4 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0$ = $4 \cdot 0 + 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot x^{3}$

= $- 4 x^{4} \cdot x^{3} + 4 x \cdot x^{3}$

= $- 4 x^{7} + 4 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 28 x^{6} + 16 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot 7 x^{2} - 7 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot 7 x^{2} - 7 x^{3}$

= $7 x^{3} + 21 x^{2} - 7 x^{3}$

= $7 x^{3} - 7 x^{3} + 21 x^{2}$

= $21 x^{2}$

$f'(x) =$ $42 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 4 t x + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 4 t x + 3$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 t + 0$

= $- 3 x^{2} - 4 t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 3$ = -1.

x^{2} + 5 x + 3

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 3$ = $- 1$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 3$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 1$ = -3.

x^{2} + 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 1$ = $- 3$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 1$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 24) - 6$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 24) - 6$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x - 6$

Die Gerade y = $x - 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x - 6$

$f'(x) =$ $x^{2} - 8 + 0$

= $x^{2} - 8$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 8 + 0$ = 1.

$x^{2} - 8$	=	$1$	\| $+ 8$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 8 + 0$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 8 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 4 x^{2}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -384?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 8 x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot {(- 2)}^{4} - 8 \cdot (- 2)$
= $80 t + 16$

Dieser Wert soll ja den Wert -384 besitzen, also gilt:

$80 t + 16$	=	$- 384$	\| $- 16$
$80 t$	=	$- 400$	\|: $80$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter