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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{5} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{5} + 1$

$f'(x) =$ $- x^{4} + 0$

= $- x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 5$

=> $f'(x) =$ $6 x + 0$

= $6 x$

f'(3) = $6 \cdot 3$ = $18$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 3 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{2} + 3 x) \cdot x^{3}$

= $- x^{2} \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{3}$

= $- x^{5} + 3 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{5} + (x + 3) \cdot (- 3 x^{2}) + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 7 x^{5} + (x + 3) \cdot (- 3 x^{2}) + 4$

= $- 7 x^{5} + (- 3 x^{3} - 9 x^{2}) + 4$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4} - 9 x^{2} - 18 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} t x^{3} - 2 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} t x^{3} - 2 t$

$f'(x) =$ $- 2 t x^{2} + 0$

= $- 2 t x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x - 3$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 3$ = -2.

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 - 3$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 3$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 5$ = -2.

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3 - 5$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x + 4 (x - 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 5 x + 4 (x - 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$

= $- 5 x + 4 x - 20 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 5 x + 4 x - 20$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x - 20$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x - 20$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1 + 0$

= $x^{2} - 3 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 1 + 0$ = -3.

x^{2} - 3 x - 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 + 0$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 - 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} + t x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -5?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 15 \cdot {(- 1)}^{4} + 2 t \cdot (- 1)$
= $- 15 - 2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert -5 besitzen, also gilt:

$- 2 t - 15$	=	$- 5$	\| $+ 15$
$- 2 t$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter