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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 -1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 -1

f'(x)= 5 x 4 +0

= 5 x 4

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5x -1 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

f(x)= -5x -1

=>f'(x)= -5 +0

= -5

f'(0) = -5

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 +3 x 2 x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= 2 x 3 +3 x 2 x 2

= 2 x 3 x 2 + 3 x 2 x 2

= 2x +3

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x -6 ) · 2 x 2 - x 3 +7x und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= ( x -6 ) · 2 x 2 - x 3 +7x

= 2 x 3 -12 x 2 - x 3 +7x

= 2 x 3 - x 3 -12 x 2 +7x

= x 3 -12 x 2 +7x

f'(x)= 3 x 2 -24x +7

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 4 -3 t x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x 4 -3 t x 2

f'(x)= -4 x 3 -6 t x

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 7 2 x 2 +11x den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 7 2 x 2 +11x

f'(x)= x 2 -7x +11

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -7x +11 = -1.

x 2 -7x +11 = -1 | +1

x 2 -7x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 12 21

x1,2 = +7 ± 49 -48 2

x1,2 = +7 ± 1 2

x1 = 7 + 1 2 = 7 +1 2 = 8 2 = 4

x2 = 7 - 1 2 = 7 -1 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 12 = 49 4 - 12 = 49 4 - 48 4 = 1 4

x1,2 = 7 2 ± 1 4

x1 = 7 2 - 1 2 = 6 2 = 3

x2 = 7 2 + 1 2 = 8 2 = 4

L={ 3 ; 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 3 ) = 3 2 -73 +11 = -1

f '( 4 ) = 4 2 -74 +11 = -1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 5 2 x 2 +7x parallel zur Geraden y = x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x -4 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 5 2 x 2 +7x

f'(x)= x 2 -5x +7

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x 2 -5x +7 = 1.

x 2 -5x +7 = 1 | -1

x 2 -5x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 6 21

x1,2 = +5 ± 25 -24 2

x1,2 = +5 ± 1 2

x1 = 5 + 1 2 = 5 +1 2 = 6 2 = 3

x2 = 5 - 1 2 = 5 -1 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 6 = 25 4 - 6 = 25 4 - 24 4 = 1 4

x1,2 = 5 2 ± 1 4

x1 = 5 2 - 1 2 = 4 2 = 2

x2 = 5 2 + 1 2 = 6 2 = 3

L={ 2 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = 2 2 -52 +7 = 1

f '( 3 ) = 3 2 -53 +7 = 1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 4( x -2 ) -4 + 1 6 x 2 · ( 2x +9 ) parallel zur Geraden y = 2x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 4( x -2 ) -4 + 1 6 x 2 · ( 2x +9 )

= 4x -8 -4 + ( 1 3 x 3 + 3 2 x 2 )

= 1 3 x 3 + 3 2 x 2 +4x -8 -4

= 1 3 x 3 + 3 2 x 2 +4x -12

Die Gerade y = 2x -4 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 3 2 x 2 +4x -12

f'(x)= x 2 +3x +4 +0

= x 2 +3x +4

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 2 +3x +4 +0 = 2.

x 2 +3x +4 = 2 | -2

x 2 +3x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = -3 ± 9 -8 2

x1,2 = -3 ± 1 2

x1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

x2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = - 3 2 ± 1 4

x1 = - 3 2 - 1 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 3 2 + 1 2 = - 2 2 = -1

L={ -2 ; -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 +3( -2 ) +4 +0 = 2

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 +3( -1 ) +4 +0 = 2

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= -3 x 6 + t x im Punkt (1|f(1)) den Wert -17?

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f(x)= -3 x 6 + t x

=>f'(x)= -18 x 5 + t

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -18 1 5 + t
= -18 + t

Dieser Wert soll ja den Wert -17 besitzen, also gilt:

t -18 = -17 | +18
t = 1