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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3}$

$f'(x) =$ $2 x^{3} - 15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} + 5 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{4} + 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $16 x^{3} + 15 x^{2}$

f'(0) = $16 \cdot 0^{3} + 15 \cdot 0^{2}$ = $16 \cdot 0 + 15 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 1) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 1) \cdot x^{3}$

= $- 5 x^{3} \cdot x^{3} - 1 \cdot x^{3}$

= $- 5 x^{6} - x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 30 x^{5} - 3 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (- 4 x - 4) + 4 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot (- 4 x - 4) + 4 x^{5}$

= $- 4 x^{2} + 4 x + 8 + 4 x^{5}$

= $4 x^{5} - 4 x^{2} + 4 x + 8$

$f'(x) =$ $20 x^{4} - 8 x + 4$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + \frac{3}{4} t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + \frac{3}{4} t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} x^{2} + \frac{3}{2} t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 3$ = 0.

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 3$ = 0

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 6$ = 2.

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 6$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $7 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 10)$ parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $7 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 10)$

= $7 + (\frac{1}{2} x^{2} + 5 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 7$

Die Gerade y = $3 x + 2$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 7$

$f'(x) =$ $x + 5 + 0$

= $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x + 5 + 0$ = 3.

$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 5 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{2}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 56?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 4 x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2$
= $32 t - 8$

Dieser Wert soll ja den Wert 56 besitzen, also gilt:

$32 t - 8$	=	$56$	\| $+ 8$
$32 t$	=	$64$	\|: $32$
$t$	=	$2$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter