Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} - \frac{3}{8} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} - \frac{3}{8} x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + 5$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 0$

= $5 x^{4}$

f'(0) = $5 \cdot 0^{4}$ = $5 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 5 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 5 x^{3} - x}{x^{3}}$

= $\frac{- 5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- x}{x^{3}}$

= $- 5 - \frac{1}{x^{2}}$

= $- 5 - x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + (x - 2) \cdot (- 7 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $2 x^{3} + (x - 2) \cdot (- 7 x^{2})$

= $2 x^{3} + (- 7 x^{3} + 14 x^{2})$

= $- 5 x^{3} + 14 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} + 28 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} t x^{5} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} t x^{5} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 t x^{4} + 5$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 3$ = 3.

x^{2} - x - 3

=

3

|

- 3

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 3$ = $3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 3$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 12 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 12 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 12$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 12$ = -3.

$x^{2} - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 12$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 12$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 15 (x - 1) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 15 (x - 1) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 4 x$

= $- 15 x + 15 + (\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}) + 4 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 15 x + 4 x + 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 11 x + 15$

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 11 x + 15$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 11 + 0$

= $x^{2} + 2 x - 11$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 11 + 0$ = -3.

x^{2} + 2 x - 11

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 11 + 0$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 11 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 15?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 5$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 2 - 5$
= $4 t - 5$

Dieser Wert soll ja den Wert 15 besitzen, also gilt:

$4 t - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$4 t$	=	$20$	\|: $4$
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter