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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 12 x 4 -5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 12 x 4 -5

f'(x)= 1 3 x 3 +0

= 1 3 x 3

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 4 -5 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 4 -5 x 2

=>f'(x)= 8 x 3 -10x

f'(0) = 8⋅ 0 3 -10⋅0 = 8⋅0 +0 = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( 4 x 4 -2x ) · x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( 4 x 4 -2x ) · x 3

= 4 x 4 · x 3 -2x · x 3

= 4 x 7 -2 x 4

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 28 x 6 -8 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +5 ) · ( -7 x 2 ) +3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= ( x +5 ) · ( -7 x 2 ) +3 x 2

= -7 x 3 -35 x 2 +3 x 2

= -7 x 3 -32 x 2

f'(x)= -21 x 2 -64x

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 5 - 1 12 t x 4 -2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 5 - 1 12 t x 4 -2x

f'(x)= -25 x 4 - 1 3 t x 3 -2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +3x den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +3x

f'(x)= x +3

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x +3 = 2.

x +3 = 2 | -3
x = -1

L={ -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = -1 +3 = 2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 - x parallel zur Geraden y = 1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 1 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = 1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 - x

f'(x)= x -1

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x -1 = 0.

x -1 = 0 | +1
x = 1

L={ 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 -1 = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x · ( x +6 ) -4 parallel zur Geraden y = -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 2 x · ( x +6 ) -4

= 1 2 x 2 +3x -4

Die Gerade y = -2 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +3x -4

f'(x)= x +3 +0

= x +3

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x +3 +0 = 0.

x +3 = 0 | -3
x = -3

L={ -3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = -3 +3 +0 = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 -5x im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -20?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 -5x

=>f'(x)= 3 t x 2 -5

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t ⋅ ( -1 ) 2 -5
= 3 t -5

Dieser Wert soll ja den Wert -20 besitzen, also gilt:

3t -5 = -20 | +5
3t = -15 |:3
t = -5