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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - \frac{1}{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - \frac{1}{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} - \frac{3}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 10 x$

f'(4) = $- 20 \cdot 4^{3} + 10 \cdot 4$ = $- 20 \cdot 64 + 40$ = $- 1 280 + 40$ = $- 1 240$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 5}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 5}{x^{2}}$

= $\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

= $5 + \frac{5}{x^{2}}$

= $5 + 5 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + (x - 2) \cdot (3 x - 3) - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $4 x^{2} + (x - 2) \cdot (3 x - 3) - 5 x$

= $4 x^{2} + (3 x^{2} - 9 x + 6) - 5 x$

= $4 x^{2} + 3 x^{2} - 9 x - 5 x + 6$

= $7 x^{2} - 14 x + 6$

$f'(x) =$ $14 x - 14$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{10} t x^{5} - 3 t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{10} t x^{5} - 3 t x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} t x^{4} - 3 t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x$ = -2.

x^{2} - 3 x

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1$ = $- 2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 3$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x + 3$ = 1.

x^{2} - 3 x + 3

=

1

|

- 1

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 + 3$ = $1$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 + 3$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 12) + 3$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 12) + 3$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 3$

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 3$

$f'(x) =$ $x + 6 + 0$

= $x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 6 + 0$ = 2.

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 15?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 \cdot {(- 2)}^{2} + t$
= $12 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 15 besitzen, also gilt:

$t + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$t$	=	$3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter