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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 5 x 5 +3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 5 x 5 +3

f'(x)= 2 x 4 +0

= 2 x 4

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 2 -4x und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 2 -4x

=>f'(x)= -6x -4

f'(4) = -64 -4 = -24 -4 = -28

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( -3 x 3 -2x ) · x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( -3 x 3 -2x ) · x 3

= -3 x 3 · x 3 -2x · x 3

= -3 x 6 -2 x 4

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -18 x 5 -8 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -8 x 5 + ( x -2 ) · ( -x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -8 x 5 + ( x -2 ) · ( -x )

= -8 x 5 + ( - x 2 +2x )

f'(x)= -40 x 4 -2x +2

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 10 x 5 -3 t 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 3 10 x 5 -3 t 2

f'(x)= - 3 2 x 4 +0

= - 3 2 x 4

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - x 2 -9x den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - x 2 -9x

f'(x)= x 2 -2x -9

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -2x -9 = -1.

x 2 -2x -9 = -1 | +1

x 2 -2x -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 -2( -2 ) -9 = -1

f '( 4 ) = 4 2 -24 -9 = -1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -3x parallel zur Geraden y = -2x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -2x -4 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -3x

f'(x)= x 2 -3

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x 2 -3 = -2.

x 2 -3 = -2 | +3
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 -3 = -2

f '( 1 ) = 1 2 -3 = -2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 5( x -6 ) -2x + 1 6 x 2 · ( 2x -15 ) parallel zur Geraden y = -3x -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 5( x -6 ) -2x + 1 6 x 2 · ( 2x -15 )

= 5x -30 -2x + ( 1 3 x 3 - 5 2 x 2 )

= 1 3 x 3 - 5 2 x 2 + ( 5x -30 ) -2x

= 1 3 x 3 - 5 2 x 2 +3x -30

Die Gerade y = -3x -2 hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 5 2 x 2 +3x -30

f'(x)= x 2 -5x +3 +0

= x 2 -5x +3

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir x 2 -5x +3 +0 = -3.

x 2 -5x +3 = -3 | +3

x 2 -5x +6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 6 21

x1,2 = +5 ± 25 -24 2

x1,2 = +5 ± 1 2

x1 = 5 + 1 2 = 5 +1 2 = 6 2 = 3

x2 = 5 - 1 2 = 5 -1 2 = 4 2 = 2

L={ 2 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = 2 2 -52 +3 +0 = -3

f '( 3 ) = 3 2 -53 +3 +0 = -3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 5 +2x im Punkt (1|f(1)) den Wert -8?

Lösung einblenden

f(x)= t x 5 +2x

=>f'(x)= 5 t x 4 +2

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t 1 4 +2
= 5 t +2

Dieser Wert soll ja den Wert -8 besitzen, also gilt:

5t +2 = -8 | -2
5t = -10 |:5
t = -2