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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 0$

= $- 2 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 12 x^{2}$

f'(4) = $- 20 \cdot 4^{3} + 12 \cdot 4^{2}$ = $- 20 \cdot 64 + 12 \cdot 16$ = $- 1 280 + 192$ = $- 1 088$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{4} + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{4} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

= $\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}$

= $5 x^{2} + 3$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $10 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 8 x^{5} + (x - 3) \cdot (- x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $3 + 8 x^{5} + (x - 3) \cdot (- x)$

= $3 + 8 x^{5} + (- x^{2} + 3 x)$

= $8 x^{5} - x^{2} + 3 x + 3$

$f'(x) =$ $40 x^{4} - 2 x + 3$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 3 t^{2} x^{3} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 3 t^{2} x^{3} - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 9 t^{2} x^{2} - 10 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 8$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 8$ = 1.

$x^{2} - 8$	=	$1$	\| $+ 8$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 8$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 5$ = 1.

$x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 5$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) - (x + 3) + 2 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) - (x + 3) + 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} - x - 3 + 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} - x + 2 x - 3$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x - 3$

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x - 3$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 1 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 1 + 0$ = -3.

x^{2} - 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 1 + 0$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} + x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -3?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $2 t x + 1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 + 1$
= $2 t + 1$

Dieser Wert soll ja den Wert -3 besitzen, also gilt:

$2 t + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 4$	\|: $2$
$t$	=	$- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter