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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- x^{2} - x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - 5 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 5 x^{4} - 15 x^{2}$

f'(4) = $- 5 \cdot 4^{4} - 15 \cdot 4^{2}$ = $- 5 \cdot 256 - 15 \cdot 16$ = $- 1 280 - 240$ = $- 1 520$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} - 4}{x}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} - 4}{x}$

= $\frac{- 5 x^{4}}{x} + \frac{- 4}{x}$

= $- 5 x^{3} - \frac{4}{x}$

= $- 5 x^{3} - 4 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 15 x^{2} + 4 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} + 4 x + (x - 6) \cdot (- 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $7 x^{3} + 4 x + (x - 6) \cdot (- 5 x)$

= $7 x^{3} + 4 x + (- 5 x^{2} + 30 x)$

= $7 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 30 x$

= $7 x^{3} - 5 x^{2} + 34 x$

$f'(x) =$ $21 x^{2} - 10 x + 34$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - \frac{2}{3} t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} - \frac{2}{3} t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} - \frac{4}{3} t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x - 1$ = 3.

$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 1$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x + 4$ = 2.

x^{2} + 3 x + 4

=

2

|

- 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 4$ = $2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 4$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6) + 9 (x - 6) - 3 x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6) + 9 (x - 6) - 3 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 54 - 3 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 3 x - 54$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 54$

Die Gerade y = $2 x + 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 54$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 6 + 0$

= $x^{2} - 4 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 6 + 0$ = 2.

x^{2} - 4 x + 6

=

2

|

- 2

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + t x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -21?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4} + t$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 25 \cdot {(- 1)}^{4} + t$
= $- 25 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -21 besitzen, also gilt:

$t - 25$	=	$- 21$	\| $+ 25$
$t$	=	$4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter