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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} - x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 3$

f'(1) = $- 9 \cdot 1^{2} + 3$ = $- 9 \cdot 1 + 3$ = $- 9 + 3$ = $- 6$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot x^{2}$

= $4 x^{4} \cdot x^{2} - 5 x^{3} \cdot x^{2}$

= $4 x^{6} - 5 x^{5}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $24 x^{5} - 25 x^{4}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- 7 x^{2}) + 7 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- 7 x^{2}) + 7 x^{5}$

= $- 7 x^{3} + 7 x^{2} + 7 x^{5}$

= $7 x^{5} - 7 x^{3} + 7 x^{2}$

$f'(x) =$ $35 x^{4} - 21 x^{2} + 14 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{10} t x^{5} + \frac{1}{6} t^{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{10} t x^{5} + \frac{1}{6} t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} t x^{4} + \frac{1}{3} t^{2} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 7$ = -3.

$x^{2} - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 7$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 7$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{2}$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2}$ = 1.

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2}$ = $1$

f '( $1$ ) = $1^{2}$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 18) + 6$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 18) + 6$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x + 6$

Die Gerade y = $- 2 x + 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x + 6$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 + 0$

= $x^{2} - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 6 + 0$ = -2.

$x^{2} - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 6 + 0$ = $- 2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 6 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -10?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $6 x + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6 \cdot (- 2) + t$
= $- 12 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -10 besitzen, also gilt:

$t - 12$	=	$- 10$	\| $+ 12$
$t$	=	$2$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter