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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $10 x^{4} - 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 8 x + 3$

f'(1) = $- 8 \cdot 1 + 3$ = $- 8 + 3$ = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot x^{2}$

= $- 2 x^{2} \cdot x^{2} + 5 x \cdot x^{2}$

= $- 2 x^{4} + 5 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 15 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 x + (x - 4) \cdot (7 x - 4) - 8 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 8 x + (x - 4) \cdot (7 x - 4) - 8 x^{4}$

= $- 8 x + (7 x^{2} - 32 x + 16) - 8 x^{4}$

= $- 8 x^{4} + 7 x^{2} - 8 x - 32 x + 16$

= $- 8 x^{4} + 7 x^{2} - 40 x + 16$

$f'(x) =$ $- 32 x^{3} + 14 x - 40$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{4} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{4} - 2$

$f'(x) =$ $- 16 t^{2} x^{3} + 0$

= $- 16 t^{2} x^{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 5 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 5$ = -1.

x^{2} + 5 x + 5

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 5$ = $- 1$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 5$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 4$ = -2.

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2 - 4$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x + 5 (x - 3) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$ parallel zur Geraden y = $- 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $x + 5 (x - 3) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$

= $x + 5 x - 15 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 5 x - 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x - 15$

Die Gerade y = $- 1$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x - 15$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 6 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 6 + 0$ = 0.

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 + 0$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 + 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} - x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -13?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} - x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} - 1$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 1)}^{2} - 1$
= $3 t - 1$

Dieser Wert soll ja den Wert -13 besitzen, also gilt:

$3 t - 1$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$3 t$	=	$- 12$	\|: $3$
$t$	=	$- 4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter