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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 5 + x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 5 + x 2

f'(x)= 25 x 4 +2x

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 3 - x und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 - x

=>f'(x)= 12 x 2 -1

f'(3) = 12 3 2 -1 = 129 -1 = 108 -1 = 107

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 -1 x .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= 2 x 3 -1 x

= 2 x 3 x + -1 x

= 2 x 2 - 1 x

= 2 x 2 - x -1

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = 4x + x -2

f'(x)= 4x + 1 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3x -3 x 3 + ( x -2 ) · 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -3x -3 x 3 + ( x -2 ) · 2 x 3

= -3x -3 x 3 + ( 2 x 4 -4 x 3 )

= 2 x 4 -3 x 3 -4 x 3 -3x

= 2 x 4 -7 x 3 -3x

f'(x)= 8 x 3 -21 x 2 -3

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 t x 4 + 2 3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 t x 4 + 2 3 x 3

f'(x)= 12 t x 3 +2 x 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -3x den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 -3x

f'(x)= x -3

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x -3 = 1.

x -3 = 1 | +3
x = 4

L={ 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 4 ) = 4 -3 = 1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +2x parallel zur Geraden y = x -5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x -5 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +2x

f'(x)= x +2

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x +2 = 1.

x +2 = 1 | -2
x = -1

L={ -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = -1 +2 = 1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -6 + 1 2 x · ( x +10 ) parallel zur Geraden y = x +1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = -6 + 1 2 x · ( x +10 )

= -6 + ( 1 2 x 2 +5x )

= 1 2 x 2 +5x -6

= 1 2 x 2 +5x -6

Die Gerade y = x +1 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = 1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +5x -6

f'(x)= x +5 +0

= x +5

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x +5 +0 = 1.

x +5 = 1 | -5
x = -4

L={ -4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -4 ) = -4 +5 +0 = 1

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= -5 x 3 + t x im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -59?

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 3 + t x

=>f'(x)= -15 x 2 + t

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -15 ( -2 ) 2 + t
= -60 + t

Dieser Wert soll ja den Wert -59 besitzen, also gilt:

t -60 = -59 | +60
t = 1