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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3}$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 2$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

f'(-1) = $3 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $3 \cdot 1$ = $3$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot x$

= $3 x^{4} \cdot x + 3 x^{2} \cdot x$

= $3 x^{5} + 3 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $15 x^{4} + 9 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x + 6 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x + 6 x^{5}$

= $- 3 x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 6 x^{5}$

= $6 x^{5} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $30 x^{4} - 9 x^{2} - 12 x - 3$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{12} t x^{4} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{12} t x^{4} + x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} t x^{3} + 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 3$ = -3.

x^{2} + 5 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 3$ = $- 3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 3$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ parallel zur Geraden y = $- 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 9$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 9$ = 0.

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 9$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 9$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 - 8 (x + 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 - 8 (x + 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3)$

= $5 - 8 x - 40 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 8 x + 5 - 40$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 8 x - 35$

Die Gerade y = $- 2 x + 2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 8 x - 35$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 8 + 0$

= $x^{2} - x - 8$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 8 + 0$ = -2.

x^{2} - x - 8

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 8 + 0$ = $- 2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 8 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + t x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -10?

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$f(x) =$ $- 2 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 6 \cdot {(- 1)}^{2} + t$
= $- 6 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -10 besitzen, also gilt:

$t - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$t$	=	$- 4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter