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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + 5$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 0$

= $5 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} + 2$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(0) = $10 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 2 x^{4} + 4 x^{3}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 2 x^{4} + 4 x^{3}}{x^{3}}$

= $\frac{- 2 x^{4}}{x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3}}$

= $- 2 x + 4$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 2$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x + (x + 7) \cdot (- 2 x + 7) - 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $x + (x + 7) \cdot (- 2 x + 7) - 5 x^{5}$

= $x + (- 2 x^{2} - 7 x + 49) - 5 x^{5}$

= $- 5 x^{5} - 2 x^{2} + x - 7 x + 49$

= $- 5 x^{5} - 2 x^{2} - 6 x + 49$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} - 4 x - 6$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{15} t x^{5} + \frac{1}{3} t^{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{15} t x^{5} + \frac{1}{3} t^{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} t x^{4} + t^{2} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 15 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 15 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 15$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 15$ = 3.

x^{2} + 7 x + 15

=

3

|

- 3

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 15$ = $3$

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 15$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ parallel zur Geraden y = $4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $4$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 9$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 9$ = 0.

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 9$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 9$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 6 - 6 (x - 4)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) + 6 - 6 (x - 4)$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 6 - 6 x + 24$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 6 x + 6 + 24$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 6 x + 30$

Die Gerade y = $- 3 x - 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 6 x + 30$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 6 + 0$

= $x^{2} + 2 x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 6 + 0$ = -3.

x^{2} + 2 x - 6

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 6 + 0$ = $- 3$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 6 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + t x^{2}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -80?

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$f(x) =$ $3 x^{4} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 t \cdot (- 2)$
= $- 96 - 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert -80 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 96$	=	$- 80$	\| $+ 96$
$- 4 t$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$- 4$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter