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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + x$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 1$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 8 x$

f'(1) = $- 3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1$ = $- 3 \cdot 1 - 8$ = $- 3 - 8$ = $- 11$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 2) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 2) \cdot x$

= $5 x^{3} \cdot x + 2 \cdot x$

= $5 x^{4} + 2 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $20 x^{3} + 2$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + (x + 5) \cdot (- 6 x + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + (x + 5) \cdot (- 6 x + 6)$

= $- 2 x^{4} + (- 6 x^{2} - 24 x + 30)$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} - 12 x - 24$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} t x^{3} + 5 t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{6} t x^{3} + 5 t^{2} x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} t x^{2} + 5 t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x + 6$ = 3.

$x + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 6$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 4$ = -2.

x^{2} + x - 4

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 - 4$ = $- 2$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 1 - 4$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9) + (x + 5) + 4 x$ parallel zur Geraden y = $3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9) + (x + 5) + 4 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + 5 + 4 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + 4 x + 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 5 x + 5$

Die Gerade y = $3 x - 1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 5 x + 5$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x + 5 + 0$

= $x^{2} - 3 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x + 5 + 0$ = 3.

x^{2} - 3 x + 5

=

3

|

- 3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 + 5 + 0$ = $3$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 + 5 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} + x^{4}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 352?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} + x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} + 4 x^{3}$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3}$
= $80 t + 32$

Dieser Wert soll ja den Wert 352 besitzen, also gilt:

$80 t + 32$	=	$352$	\| $- 32$
$80 t$	=	$320$	\|: $80$
$t$	=	$4$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter