Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + 5$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 0$

= $4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} - 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} - 2$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 0$

= $5 x^{4}$

f'(-1) = $5 \cdot {(- 1)}^{4}$ = $5 \cdot 1$ = $5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot x^{2}$

= $5 x^{2} \cdot x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

= $5 x^{4} - 3 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $20 x^{3} - 9 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot (- x^{3}) + 6 - 7 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot (- x^{3}) + 6 - 7 x^{5}$

= $- x^{4} - 7 x^{3} + 6 - 7 x^{5}$

= $- 7 x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 6$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4} - 4 x^{3} - 21 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $2 t^{2} x^{4} + 8 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x$ = -1.

x^{2} + 2 x

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $1$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 3$ = 0.

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 3$ = 0

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 3$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x - 11 (x + 6) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 x - 11 (x + 6) + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3)$

= $5 x - 11 x - 66 + (\frac{1}{3} x^{3} - x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 5 x - 11 x - 66$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 6 x - 66$

Die Gerade y = $- 3 x + 3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 6 x - 66$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 6 + 0$

= $x^{2} - 2 x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 6 + 0$ = -3.

x^{2} - 2 x - 6

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 6 + 0$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 6 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + t x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 3?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x + t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot 1 + t$
= $8 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 3 besitzen, also gilt:

$t + 8$	=	$3$	\| $- 8$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter