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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 5$

$f'(x) =$ $- x^{2} + 0$

= $- x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + 5 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + 5 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 20 x^{3}$

f'(1) = $- 25 \cdot 1^{4} + 20 \cdot 1^{3}$ = $- 25 \cdot 1 + 20 \cdot 1$ = $- 25 + 20$ = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{3}}$

= $3 - \frac{5}{x}$

= $3 - 5 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $5 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot (- 2 x^{3}) - 6 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (- 2 x^{3}) - 6 x^{4}$

= $- 2 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{4}$

= $- 2 x^{4} - 6 x^{4} - 4 x^{3}$

= $- 8 x^{4} - 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 32 x^{3} - 12 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} - 4$

$f'(x) =$ $2 t^{2} x^{4} + 0$

= $2 t^{2} x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 12 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 12 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 12$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 12$ = 3.

x^{2} + 6 x + 12

=

3

|

- 3

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 12$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$ parallel zur Geraden y = $2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 6$ = 0.

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) - 10 (x - 1) + 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) - 10 (x - 1) + 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 10 x + 10 + 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 10 x + 5 x + 10$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 5 x + 10$

Die Gerade y = $- 2 x + 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 5 x + 10$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 5 + 0$

= $x^{2} - 2 x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 5 + 0$ = -2.

x^{2} - 2 x - 5

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 5 + 0$ = $- 2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 5 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 4 x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert -132?

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$f(x) =$ $t x^{4} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 4$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 2^{3} - 4$
= $32 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -132 besitzen, also gilt:

$32 t - 4$	=	$- 132$	\| $+ 4$
$32 t$	=	$- 128$	\|: $32$
$t$	=	$- 4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter