Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} - \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} - \frac{4}{3} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x - 4$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x - 4$

=> $f'(x) =$ $4 + 0$

= $4$

f'(1) = $4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot x^{2}$

= $x^{2} \cdot x^{2} + 3 x \cdot x^{2}$

= $x^{4} + 3 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 9 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + (x - 6) \cdot 7 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- x^{3} + (x - 6) \cdot 7 x^{2}$

= $- x^{3} + (7 x^{3} - 42 x^{2})$

= $6 x^{3} - 42 x^{2}$

$f'(x) =$ $18 x^{2} - 84 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + 3 t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + 3 t^{2} x$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 3 t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x + 2$ = -1.

$x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 2$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ parallel zur Geraden y = $3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 2$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 2$ = 0.

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 - 2$ = 0

f '( $1$ ) = $1^{2} + 1 - 2$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x + 0 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 5 x + 0 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$

= $- 5 x + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 5 x$

Die Gerade y = $- x - 3$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 5$ = -1.

x^{2} - 3 x - 5

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 5$ = $- 1$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 5$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + t x^{3}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 252?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15 \cdot {(- 2)}^{4} + 3 t \cdot {(- 2)}^{2}$
= $240 + 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 252 besitzen, also gilt:

$12 t + 240$	=	$252$	\| $- 240$
$12 t$	=	$12$	\|: $12$
$t$	=	$1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter