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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 5 -5 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 5 -5 x 2

f'(x)= -20 x 4 -10x

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 3 -5 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= x 3 -5

=>f'(x)= 3 x 2 +0

= 3 x 2

f'(-1) = 3⋅ ( -1 ) 2 = 3⋅1 = 3

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( -5 x 4 +2 x 2 ) · x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( -5 x 4 +2 x 2 ) · x 3

= -5 x 4 · x 3 + 2 x 2 · x 3

= -5 x 7 +2 x 5

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -35 x 6 +10 x 4

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 2 + ( x -2 ) · ( x +2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= - x 2 + ( x -2 ) · ( x +2 )

= - x 2 + ( x 2 -4 )

= -4

f'(x)=0

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 4 +4 t x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2 x 4 +4 t x 2

f'(x)= 2 x 3 +8 t x

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -3x den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -3x

f'(x)= x 2 -3

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x 2 -3 = 1.

x 2 -3 = 1 | +3
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 -3 = 1

f '( 2 ) = 2 2 -3 = 1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -2x parallel zur Geraden y = -x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -x +4 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -2x

f'(x)= x 2 -2

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -2 = -1.

x 2 -2 = -1 | +2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 -2 = -1

f '( 1 ) = 1 2 -2 = -1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 7 + 1 2 x · ( x -2 ) parallel zur Geraden y = 3x -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 7 + 1 2 x · ( x -2 )

= 7 + ( 1 2 x 2 - x )

= 1 2 x 2 - x +7

= 1 2 x 2 - x +7

Die Gerade y = 3x -2 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 - x +7

f'(x)= x -1 +0

= x -1

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x -1 +0 = 3.

x -1 = 3 | +1
x = 4

L={ 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 4 ) = 4 -1 +0 = 3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 +5 x 2 im Punkt (2|f(2)) den Wert 44?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 +5 x 2

=>f'(x)= 3 t x 2 +10x

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t ⋅ 2 2 +10⋅2
= 12 t +20

Dieser Wert soll ja den Wert 44 besitzen, also gilt:

12t +20 = 44 | -20
12t = 24 |:12
t = 2