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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 9 x 3 + 1 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 9 x 3 + 1 2 x

f'(x)= 1 3 x 2 + 1 2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 3 -5 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3 -5 x 2

=>f'(x)= -9 x 2 -10x

f'(1) = -9 1 2 -101 = -91 -10 = -9 -10 = -19

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 +4 x 3 x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= 3 x 4 +4 x 3 x 2

= 3 x 4 x 2 + 4 x 3 x 2

= 3 x 2 +4x

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 6x +4

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -7 x 4 +5 + ( x +3 ) · ( 3x -3 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -7 x 4 +5 + ( x +3 ) · ( 3x -3 )

= -7 x 4 +5 + ( 3 x 2 +6x -9 )

= -7 x 4 +3 x 2 +6x +5 -9

= -7 x 4 +3 x 2 +6x -4

f'(x)= -28 x 3 +6x +6

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 5 t 2 x 5 - t x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 5 t 2 x 5 - t x 2

f'(x)= 2 t 2 x 4 -2 t x

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -6x den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -6x

f'(x)= x 2 -6

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 2 -6 = 3.

x 2 -6 = 3 | +6
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 -6 = 3

f '( 3 ) = 3 2 -6 = 3

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - x parallel zur Geraden y = 1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 1 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = 1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - x

f'(x)= x 2 -1

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 -1 = 0.

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 -1 = 0

f '( 1 ) = 1 2 -1 = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -2 + 1 2 x · ( x -10 ) parallel zur Geraden y = -3x +3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = -2 + 1 2 x · ( x -10 )

= -2 + ( 1 2 x 2 -5x )

= 1 2 x 2 -5x -2

= 1 2 x 2 -5x -2

Die Gerade y = -3x +3 hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = 3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 -5x -2

f'(x)= x -5 +0

= x -5

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir x -5 +0 = -3.

x -5 = -3 | +5
x = 2

L={ 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = 2 -5 +0 = -3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 +4x im Punkt (1|f(1)) den Wert 19?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 +4x

=>f'(x)= 3 t x 2 +4

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t 1 2 +4
= 3 t +4

Dieser Wert soll ja den Wert 19 besitzen, also gilt:

3t +4 = 19 | -4
3t = 15 |:3
t = 5