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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 10 x^{4} - x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} - 5$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 0$

= $- 20 x^{3}$

f'(0) = $- 20 \cdot 0^{3}$ = $- 20 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{4} + 5 x}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{4} + 5 x}{x^{2}}$

= $\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}$

= $5 x^{2} + \frac{5}{x}$

= $5 x^{2} + 5 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $10 x - 5 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $10 x - \frac{5}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- 7 x + 4) + 7 + 7 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- 7 x + 4) + 7 + 7 x^{2}$

= $- 7 x^{2} + 11 x - 4 + 7 + 7 x^{2}$

= $- 7 x^{2} + 7 x^{2} + 11 x - 4 + 7$

= $11 x + 3$

$f'(x) =$ $11$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + \frac{3}{2} t^{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + \frac{3}{2} t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 8 t^{2} x^{3} + 3 t^{2} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 2$ = 2.

$x^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 10 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 2$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 10 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 10$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 10$ = 2.

x^{2} + 6 x + 10

=

2

|

- 2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 10$ = $2$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 10$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 21) + 10 (x - 6)$ parallel zur Geraden y = $3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 21) + 10 (x - 6)$

= $5 x + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2}) + 10 x - 60$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 5 x + 10 x - 60$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 15 x - 60$

Die Gerade y = $3 x - 2$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 15 x - 60$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7 x + 15 + 0$

= $x^{2} - 7 x + 15$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - 7 x + 15 + 0$ = 3.

x^{2} - 7 x + 15

=

3

|

- 3

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7 \cdot 3 + 15 + 0$ = $3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 7 \cdot 4 + 15 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 9?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 - 1$
= $2 t - 1$

Dieser Wert soll ja den Wert 9 besitzen, also gilt:

$2 t - 1$	=	$9$	\| $+ 1$
$2 t$	=	$10$	\|: $2$
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter