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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} + \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} + \frac{4}{3} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} - 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} - 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 15 x^{4} - 10 x$

f'(0) = $- 15 \cdot 0^{4} - 10 \cdot 0$ = $- 15 \cdot 0 + 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 3) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 3) \cdot x^{2}$

= $- 5 x^{4} \cdot x^{2} + 3 \cdot x^{2}$

= $- 5 x^{6} + 3 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 30 x^{5} + 6 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x + (x + 7) \cdot (- 7 x - 5) + 4 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 6 x + (x + 7) \cdot (- 7 x - 5) + 4 x^{5}$

= $- 6 x + (- 7 x^{2} - 54 x - 35) + 4 x^{5}$

= $4 x^{5} - 7 x^{2} - 6 x - 54 x - 35$

= $4 x^{5} - 7 x^{2} - 60 x - 35$

$f'(x) =$ $20 x^{4} - 14 x - 60$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 t^{2} x^{3} + 3 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 t^{2} x^{3} + 3 t x^{2}$

$f'(x) =$ $6 t^{2} x^{2} + 6 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 6$ = -2.

$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 2$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 1$ = 2.

x^{2} + 2 x - 1

=

2

|

- 2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 1$ = $2$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 1$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 8)$ parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 5 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 8)$

= $- 5 + (\frac{1}{2} x^{2} + 4 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 5$

Die Gerade y = $2 x - 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 5$

$f'(x) =$ $x + 4 + 0$

= $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 4 + 0$ = 2.

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 4 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -30?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot {(- 2)}^{3} + t$
= $- 32 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -30 besitzen, also gilt:

$t - 32$	=	$- 30$	\| $+ 32$
$t$	=	$2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter