nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 4 +2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 4 +2x

f'(x)= 16 x 3 +2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2x +3 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2x +3

=>f'(x)= -2 +0

= -2

f'(1) = -2

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 -5 x 2 x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= 2 x 3 -5 x 2 x 3

= 2 x 3 x 3 + -5 x 2 x 3

= 2 - 5 x

= 2 -5 x -1

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = 5 x -2

f'(x)= 5 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 7x + ( x +5 ) · ( -5 x 2 ) -8 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= 7x + ( x +5 ) · ( -5 x 2 ) -8 x 3

= 7x + ( -5 x 3 -25 x 2 ) -8 x 3

= -5 x 3 -8 x 3 -25 x 2 +7x

= -13 x 3 -25 x 2 +7x

f'(x)= -39 x 2 -50x +7

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 t 2 x 4 - 3 2 t 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 t 2 x 4 - 3 2 t 2 x

f'(x)= 16 t 2 x 3 - 3 2 t 2

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -2x den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -2x

f'(x)= x 2 + x -2

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 + x -2 = 0.

x 2 + x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 -2 = 0

f '( 1 ) = 1 2 +1 -2 = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -4x parallel zur Geraden y = -x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -x -3 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 -4x

f'(x)= x -4

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x -4 = -1.

x -4 = -1 | +4
x = 3

L={ 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 3 ) = 3 -4 = -1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -2( x -1 ) + 1 6 x 2 · ( 2x -3 ) -3x parallel zur Geraden y = -3x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = -2( x -1 ) + 1 6 x 2 · ( 2x -3 ) -3x

= -2x +2 + ( 1 3 x 3 - 1 2 x 2 ) -3x

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 + ( -2x +2 ) -3x

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -5x +2

Die Gerade y = -3x -1 hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -5x +2

f'(x)= x 2 - x -5 +0

= x 2 - x -5

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir x 2 - x -5 +0 = -3.

x 2 - x -5 = -3 | +3

x 2 - x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

L={ -1 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 - ( -1 ) -5 +0 = -3

f '( 2 ) = 2 2 - 2 -5 +0 = -3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 5 + x im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 21?

Lösung einblenden

f(x)= t x 5 + x

=>f'(x)= 5 t x 4 +1

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t ( -1 ) 4 +1
= 5 t +1

Dieser Wert soll ja den Wert 21 besitzen, also gilt:

5t +1 = 21 | -1
5t = 20 |:5
t = 4