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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} - 5$

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 0$

= $- 6 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x - 5$

=> $f'(x) =$ $- 4 + 0$

= $- 4$

f'(1) = $- 4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4 x^{4} - 5 x^{3}}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{4 x^{4} - 5 x^{3}}{x^{2}}$

= $\frac{4 x^{4}}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{3}}{x^{2}}$

= $4 x^{2} - 5 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $8 x - 5$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 x^{4} - 8 + (x - 6) \cdot (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 8 x^{4} - 8 + (x - 6) \cdot (x + 1)$

= $- 8 x^{4} - 8 + (x^{2} - 5 x - 6)$

= $- 8 x^{4} + x^{2} - 5 x - 8 - 6$

= $- 8 x^{4} + x^{2} - 5 x - 14$

$f'(x) =$ $- 32 x^{3} + 2 x - 5$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} + 5 t x^{2} + 3 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} + 5 t x^{2} + 3 t$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 10 t x + 0$

= $- 15 x^{4} + 10 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x + 4$ = 3.

x^{2} + 2 x + 4

=

3

|

- 3

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 4$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 5$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 4$ = 0.

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 4$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2} x^{2} - 1)) + 3$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2} x^{2} - 1)) + 3$

= $\frac{1}{2} x^{2} - 1 + 3$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 2$

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2$

$f'(x) =$ $x + 0$

= $x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 0$ = 2.

x

=

2

L={ $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + t x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 26?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 16 x^{3} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 16 \cdot {(- 1)}^{3} + 2 t \cdot (- 1)$
= $16 - 2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 26 besitzen, also gilt:

$- 2 t + 16$	=	$26$	\| $- 16$
$- 2 t$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$- 5$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter