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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} - \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x - 4$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x - 4$

=> $f'(x) =$ $- 4 + 0$

= $- 4$

f'(3) = $- 4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2 x) \cdot x$

= $- 2 x^{3} \cdot x + 2 x \cdot x$

= $- 2 x^{4} + 2 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 4 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + (x - 2) \cdot (- 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $x^{3} + (x - 2) \cdot (- 4 x^{3})$

= $x^{3} + (- 4 x^{4} + 8 x^{3})$

= $- 4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{3}$

= $- 4 x^{4} + 9 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} + 27 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{15} x^{5} + \frac{1}{2} t^{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{15} x^{5} + \frac{1}{2} t^{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{4} + \frac{3}{2} t^{2} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 4$ = 0.

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 4$ = 0

f '( $2$ ) = $2^{2} - 4$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x - 1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x + 4$ = 3.

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 4$ = $3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x - 11 (x + 4) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 x - 11 (x + 4) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3)$

= $2 x - 11 x - 44 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 11 x - 44$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x - 44$

Die Gerade y = $- 3 x + 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x - 44$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 9 + 0$

= $x^{2} + x - 9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 9 + 0$ = -3.

x^{2} + x - 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 3 - 9 + 0$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 - 9 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} + x^{4}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert -48?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} + x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} + 4 x^{3}$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3}$
= $80 t + 32$

Dieser Wert soll ja den Wert -48 besitzen, also gilt:

$80 t + 32$	=	$- 48$	\| $- 32$
$80 t$	=	$- 80$	\|: $80$
$t$	=	$- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter