Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{9} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{9} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{2} + x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 5 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} + 5 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 20 x^{3}$

f'(0) = $- 20 \cdot 0^{4} + 20 \cdot 0^{3}$ = $- 20 \cdot 0 + 20 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot x$

= $5 x^{4} \cdot x + 4 x^{2} \cdot x$

= $5 x^{5} + 4 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $25 x^{4} + 12 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{4} + (x + 3) \cdot 4 x^{3} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $5 x^{4} + (x + 3) \cdot 4 x^{3} + 6 x$

= $5 x^{4} + (4 x^{4} + 12 x^{3}) + 6 x$

= $9 x^{4} + 12 x^{3} + 6 x$

$f'(x) =$ $36 x^{3} + 36 x^{2} + 6$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 t x^{4} + \frac{4}{3} t x^{3} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 t x^{4} + \frac{4}{3} t x^{3} - 5$

$f'(x) =$ $16 t x^{3} + 4 t x^{2} + 0$

= $16 t x^{3} + 4 t x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x$ = 2.

x^{2} - x

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - (- 1)$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x + 2$ = -2.

$x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 2$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x - 8) + 6$ parallel zur Geraden y = $- 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x - 8) + 6$

= $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$

Die Gerade y = $- 2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$

$f'(x) =$ $x - 4 + 0$

= $x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x - 4 + 0$ = 0.

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 4 + 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 5 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 14?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 5 x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 5$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot 1^{2} + 5$
= $3 t + 5$

Dieser Wert soll ja den Wert 14 besitzen, also gilt:

$3 t + 5$	=	$14$	\| $- 5$
$3 t$	=	$9$	\|: $3$
$t$	=	$3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter