nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 5 - 4 3 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 5 - 4 3 x

f'(x)= 20 x 4 - 4 3

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 4 +4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 4 +4

=>f'(x)= -8 x 3 +0

= -8 x 3

f'(1) = -8 1 3 = -81 = -8

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 2 +2 x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= -2 x 2 +2 x 3

= -2 x 2 x 3 + 2 x 3

= - 2 x + 2 x 3

= -2 x -1 +2 x -3

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = 2 x -2 -6 x -4

f'(x)= 2 x 2 - 6 x 4

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -8 x 4 + ( x -2 ) · ( -x -2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -8 x 4 + ( x -2 ) · ( -x -2 )

= -8 x 4 + ( - x 2 +4 )

f'(x)= -32 x 3 -2x

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 4 +5x -2 t 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 4 +5x -2 t 2

f'(x)= 16 x 3 +5 +0

= 16 x 3 +5

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 + x den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 + x

f'(x)= x +1

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x +1 = 2.

x +1 = 2 | -1
x = 1

L={ 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 +1 = 2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 + x parallel zur Geraden y = -2x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -2x +4 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 + x

f'(x)= x +1

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x +1 = -2.

x +1 = -2 | -1
x = -3

L={ -3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = -3 +1 = -2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 · ( 2( 1 2 x 2 +8 ) ) +1 parallel zur Geraden y = -x +3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 2 · ( 2( 1 2 x 2 +8 ) ) +1

= 1 2 x 2 +8 +1

= 1 2 x 2 +9

Die Gerade y = -x +3 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = 3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 +9

f'(x)= x +0

= x

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x +0 = -1.

x = -1

L={ -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = -1 +0 = -1

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 5 -2x im Punkt (1|f(1)) den Wert 8?

Lösung einblenden

f(x)= t x 5 -2x

=>f'(x)= 5 t x 4 -2

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t 1 4 -2
= 5 t -2

Dieser Wert soll ja den Wert 8 besitzen, also gilt:

5t -2 = 8 | +2
5t = 10 |:5
t = 2