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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 4$

$f'(x) =$ $12 x^{2} + 0$

= $12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} + x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} + x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{2} + 1$

f'(1) = $12 \cdot 1^{2} + 1$ = $12 \cdot 1 + 1$ = $12 + 1$ = $13$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 2 x^{4} - 4 x^{3}}{x}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 2 x^{4} - 4 x^{3}}{x}$

= $\frac{- 2 x^{4}}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

= $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 8 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 3 x^{2}) - 4 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 3 x^{2}) - 4 x^{5}$

= $- 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x^{5}$

= $- 4 x^{5} - 3 x^{3} + 9 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} - 9 x^{2} + 18 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + x^{2} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + x^{2} + 3$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} x^{2} + 2 x + 0$

= $- 3 t^{2} x^{2} + 2 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x - 1$ = 1.

$x - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2 - 1$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 4$ = 2.

x^{2} - x - 4

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 4$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 4$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 2)$ parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $3 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 2)$

= $3 + (\frac{1}{2} x^{2} - x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} - x + 3$

Die Gerade y = $3 x + 2$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 3$

$f'(x) =$ $x - 1 + 0$

= $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x - 1 + 0$ = 3.

$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 1 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{5} + t x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 77?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + t x$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 \cdot 2^{4} + t$
= $80 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 77 besitzen, also gilt:

$t + 80$	=	$77$	\| $- 80$
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter