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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x + 3$

=> $f'(x) =$ $- 2 + 0$

= $- 2$

f'(1) = $- 2$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{4} - 1}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{3 x^{4} - 1}{x^{3}}$

= $\frac{3 x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}}$

= $3 x - \frac{1}{x^{3}}$

= $3 x - x^{- 3}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $3 + 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $3 + \frac{3}{x^{4}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot (5 x - 3) + 2 x^{5} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot (5 x - 3) + 2 x^{5} - 6$

= $5 x^{2} - 23 x + 12 + 2 x^{5} - 6$

= $2 x^{5} + 5 x^{2} - 23 x + 12 - 6$

= $2 x^{5} + 5 x^{2} - 23 x + 6$

$f'(x) =$ $10 x^{4} + 10 x - 23$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 5 t x^{2} - 2 t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 5 t x^{2} - 2 t x$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 10 t x - 2 t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 9 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 9$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 9$ = 3.

x^{2} + 5 x + 9

=

3

|

- 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 9$ = $3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 9$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 4$ = -3.

$x^{2} - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 4$ = $- 3$

f '( $1$ ) = $1^{2} - 4$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 + 9 (x - 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$ parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 + 9 (x - 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$

= $2 + 9 x - 18 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 9 x + 2 - 18$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 9 x - 16$

Die Gerade y = $3 x - 4$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 9 x - 16$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 9 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 9$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 9 + 0$ = 3.

x^{2} + 5 x + 9

=

3

|

- 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 9 + 0$ = $3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 9 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} - 2 x^{2}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -4?

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$f(x) =$ $t x^{3} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} - 4 x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2)$
= $12 t + 8$

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

$12 t + 8$	=	$- 4$	\| $- 8$
$12 t$	=	$- 12$	\|: $12$
$t$	=	$- 1$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter