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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 9 x 3 + x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 9 x 3 + x

f'(x)= - 1 3 x 2 +1

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 -3 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 -3

=>f'(x)= 6 x 2 +0

= 6 x 2

f'(1) = 6 1 2 = 61 = 6

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= - x 2 +4 x .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= - x 2 +4 x

= - x 2 x + 4 x

= -x + 4 x

= -x +4 x -1

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = -1 -4 x -2

f'(x)= -1 - 4 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 4 + ( x +1 ) · 3x +4x und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -5 x 4 + ( x +1 ) · 3x +4x

= -5 x 4 + ( 3 x 2 +3x ) +4x

= -5 x 4 +3 x 2 +7x

f'(x)= -20 x 3 +6x +7

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 4 - t x 2 +4x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2 x 4 - t x 2 +4x

f'(x)= 2 x 3 -2 t x +4

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 + x den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 + x

f'(x)= x +1

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x +1 = 3.

x +1 = 3 | -1
x = 2

L={ 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = 2 +1 = 3

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -9x parallel zur Geraden y = -3x +1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -3x +1 hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = 1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -9x

f'(x)= x 2 - x -9

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir x 2 - x -9 = -3.

x 2 - x -9 = -3 | +3

x 2 - x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +24 2

x1,2 = +1 ± 25 2

x1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

x2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 - ( -2 ) -9 = -3

f '( 3 ) = 3 2 - 3 -9 = -3

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 7 + 1 6 x 2 · ( 2x -3 )-3( x +2 ) parallel zur Geraden y = 3x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 7 + 1 6 x 2 · ( 2x -3 )-3( x +2 )

= 7 + ( 1 3 x 3 - 1 2 x 2 ) + ( -3x -6 )

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 + ( -3x -6 ) +7

= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -3x +1

Die Gerade y = 3x -4 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -3x +1

f'(x)= x 2 - x -3 +0

= x 2 - x -3

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 2 - x -3 +0 = 3.

x 2 - x -3 = 3 | -3

x 2 - x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +24 2

x1,2 = +1 ± 25 2

x1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

x2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 - ( -2 ) -3 +0 = 3

f '( 3 ) = 3 2 - 3 -3 +0 = 3

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 + x im Punkt (2|f(2)) den Wert -59?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 + x

=>f'(x)= 3 t x 2 +1

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t 2 2 +1
= 12 t +1

Dieser Wert soll ja den Wert -59 besitzen, also gilt:

12t +1 = -59 | -1
12t = -60 |:12
t = -5