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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} + 2$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 0$

= $- 15 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 4$

f'(-1) = $3 \cdot {(- 1)}^{2} - 4$ = $3 \cdot 1 - 4$ = $3 - 4$ = $- 1$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4) \cdot x$

= $- x^{4} \cdot x + 4 \cdot x$

= $- x^{5} + 4 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 4$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 x^{2} + (x + 7) \cdot (- 2 x + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 8 x^{2} + (x + 7) \cdot (- 2 x + 6)$

= $- 8 x^{2} + (- 2 x^{2} - 8 x + 42)$

= $- 10 x^{2} - 8 x + 42$

$f'(x) =$ $- 20 x - 8$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t x^{5} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t x^{5} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 10 t x^{4} + 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 7 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 7$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 7$ = -1.

x^{2} - x - 7

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 7$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 7$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$ parallel zur Geraden y = $3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x - 1$ = 0.

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 - 1$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 5 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$

= $- 5 + (\frac{1}{2} x^{2} + x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x - 5$

Die Gerade y = $2 x + 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x - 5$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = 2.

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 + 1 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 5 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -55?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 5 x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 5$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 2)}^{2} + 5$
= $12 t + 5$

Dieser Wert soll ja den Wert -55 besitzen, also gilt:

$12 t + 5$	=	$- 55$	\| $- 5$
$12 t$	=	$- 60$	\|: $12$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter