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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 5 - 1 3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 5 - 1 3 x 3

f'(x)= -25 x 4 - x 2

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 5 -4x und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 5 -4x

=>f'(x)= -10 x 4 -4

f'(2) = -10⋅ 2 4 -4 = -10⋅16 -4 = -160 -4 = -164

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( 2 x 4 -2 ) · x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( 2 x 4 -2 ) · x 2

= 2 x 4 · x 2 -2 · x 2

= 2 x 6 -2 x 2

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 12 x 5 -4x

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +2 ) · ( -7 x 3 ) -3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= ( x +2 ) · ( -7 x 3 ) -3 x 2

= -7 x 4 -14 x 3 -3 x 2

f'(x)= -28 x 3 -42 x 2 -6x

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 12 x 4 - t x 2 -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 12 x 4 - t x 2 -4

f'(x)= - 1 3 x 3 -2 t x +0

= - 1 3 x 3 -2 t x

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 - x den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 - x

f'(x)= x -1

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x -1 = 0.

x -1 = 0 | +1
x = 1

L={ 1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 -1 = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 parallel zur Geraden y = -2x +2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -2x +2 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = 2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2

f'(x)= x

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x = -2.

x = -2

L={ -2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = -2 = -2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= -4 + 1 2 x · ( x -2 ) parallel zur Geraden y = -2x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = -4 + 1 2 x · ( x -2 )

= -4 + ( 1 2 x 2 - x )

= 1 2 x 2 - x -4

= 1 2 x 2 - x -4

Die Gerade y = -2x -4 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 - x -4

f'(x)= x -1 +0

= x -1

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x -1 +0 = -2.

x -1 = -2 | +1
x = -1

L={ -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = -1 -1 +0 = -2

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 3 -5x im Punkt (1|f(1)) den Wert 4?

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 -5x

=>f'(x)= 3 t x 2 -5

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 t ⋅ 1 2 -5
= 3 t -5

Dieser Wert soll ja den Wert 4 besitzen, also gilt:

3t -5 = 4 | +5
3t = 9 |:3
t = 3