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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{10} x^{5} + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{10} x^{5} + x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} - 2$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(0) = $10 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x^{3} + 5 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{2 x^{3} + 5 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 x^{2}}{x^{3}}$

= $2 + \frac{5}{x}$

= $2 + 5 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 5 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 6 x - 7) + 2 x - 7 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 6 x - 7) + 2 x - 7 x^{3}$

= $- 6 x^{2} + 11 x + 21 + 2 x - 7 x^{3}$

= $- 7 x^{3} - 6 x^{2} + 11 x + 2 x + 21$

= $- 7 x^{3} - 6 x^{2} + 13 x + 21$

$f'(x) =$ $- 21 x^{2} - 12 x + 13$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{15} t x^{5} - \frac{2}{3} t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{15} t x^{5} - \frac{2}{3} t x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} t x^{4} - \frac{2}{3} t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 4$ = 2.

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 4$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 5$ = -3.

x^{2} + x - 5

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 - 5$ = $- 3$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 1 - 5$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 + (x + 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9)$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 2 + (x + 5) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9)$

= $- 2 + x + 5 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + x - 2 + 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + x + 3$

Die Gerade y = $- x + 1$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + x + 3$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x + 1 + 0$

= $x^{2} + 3 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x + 1 + 0$ = -1.

x^{2} + 3 x + 1

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 1 + 0$ = $- 1$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 1 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - x^{4}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 19?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 4 x^{3}$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot {(- 1)}^{4} - 4 \cdot {(- 1)}^{3}$
= $5 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert 19 besitzen, also gilt:

$5 t + 4$	=	$19$	\| $- 4$
$5 t$	=	$15$	\|: $5$
$t$	=	$3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter