Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} - 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x - 3$

f'(1) = $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 2 - 3$ = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot x^{2}$

= $- 4 x^{3} \cdot x^{2} + x \cdot x^{2}$

= $- 4 x^{5} + x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 3 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot (2 x + 5) - 7 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot (2 x + 5) - 7 x^{5}$

= $2 x^{2} - 9 x - 35 - 7 x^{5}$

= $- 7 x^{5} + 2 x^{2} - 9 x - 35$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4} + 4 x - 9$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x + 4 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x + 4 t$

$f'(x) =$ $4 x^{2} + \frac{3}{2} + 0$

= $4 x^{2} + \frac{3}{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 6$ = 0.

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 3 - 6$ = 0

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 - 6$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 4$ = 2.

x^{2} - x - 4

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 4$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 4$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $7 (x + 3) + 6 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$ parallel zur Geraden y = $x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $7 (x + 3) + 6 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15)$

= $7 x + 21 + 6 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 7 x + 21 + 6$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 7 x + 27$

Die Gerade y = $x + 5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 7 x + 27$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 7 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 7$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 7 + 0$ = 1.

x^{2} + 5 x + 7

=

1

|

- 1

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 7 + 0$ = $1$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 7 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 5 x^{2}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -140?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 10 x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 2)}^{3} - 10 \cdot (- 2)$
= $- 32 t + 20$

Dieser Wert soll ja den Wert -140 besitzen, also gilt:

$- 32 t + 20$	=	$- 140$	\| $- 20$
$- 32 t$	=	$- 160$	\|:( $- 32$ )
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter