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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - 1$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 0$

= $- \frac{3}{2} x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 3 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $20 x^{4} - 6 x$

f'(1) = $20 \cdot 1^{4} - 6 \cdot 1$ = $20 \cdot 1 - 6$ = $20 - 6$ = $14$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot x^{3}$

= $4 x^{3} \cdot x^{3} + 2 x \cdot x^{3}$

= $4 x^{6} + 2 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $24 x^{5} + 8 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 x^{3} + (x + 6) \cdot (- 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 8 x^{3} + (x + 6) \cdot (- 3 x^{3})$

= $- 8 x^{3} + (- 3 x^{4} - 18 x^{3})$

= $- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 18 x^{3}$

= $- 3 x^{4} - 26 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} - 78 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 t^{2} x^{5} + 2 x - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 t^{2} x^{5} + 2 x - 5$

$f'(x) =$ $10 t^{2} x^{4} + 2 + 0$

= $10 t^{2} x^{4} + 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 6$ = -2.

x^{2} + 6 x + 6

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 6$ = $- 2$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 5 x$ parallel zur Geraden y = $3 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x + 4$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 5$ = 3.

x^{2} + 2 x - 5

=

3

|

- 3

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 5$ = $3$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 5$ = $3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 4) + 5$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 4) + 5$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5$

Die Gerade y = $x - 2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5$

$f'(x) =$ $x + 2 + 0$

= $x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 2 + 0$ = 1.

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 2 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + t x^{3}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 300?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15 \cdot 2^{4} + 3 t \cdot 2^{2}$
= $240 + 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 300 besitzen, also gilt:

$12 t + 240$	=	$300$	\| $- 240$
$12 t$	=	$60$	\|: $12$
$t$	=	$5$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter