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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 5 -2 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 5 -2 x 2

f'(x)= 10 x 4 -4x

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 +2x und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

f(x)= - x 3 +2x

=>f'(x)= -3 x 2 +2

f'(0) = -3⋅ 0 2 +2 = -3⋅0 +2 = 2

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( -5 x 2 +5x ) · x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( -5 x 2 +5x ) · x 2

= -5 x 2 · x 2 + 5x · x 2

= -5 x 4 +5 x 3

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= -20 x 3 +15 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -8 x 3 +4x + ( x -6 ) · ( -3 x 2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= -8 x 3 +4x + ( x -6 ) · ( -3 x 2 )

= -8 x 3 +4x + ( -3 x 3 +18 x 2 )

= -8 x 3 -3 x 3 +18 x 2 +4x

= -11 x 3 +18 x 2 +4x

f'(x)= -33 x 2 +36x +4

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 5 x 5 + t x 2 -3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 5 x 5 + t x 2 -3x

f'(x)= x 4 +2 t x -3

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -3x den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 -3x

f'(x)= x -3

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x -3 = 1.

x -3 = 1 | +3
x = 4

L={ 4 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 4 ) = 4 -3 = 1

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 -5x parallel zur Geraden y = -x -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -x -2 hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 -5x

f'(x)= x 2 -5

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir x 2 -5 = -1.

x 2 -5 = -1 | +5
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -2 ) = ( -2 ) 2 -5 = -1

f '( 2 ) = 2 2 -5 = -1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x · ( x +2 ) +1 parallel zur Geraden y = -2x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 2 x · ( x +2 ) +1

= 1 2 x 2 + x +1

Die Gerade y = -2x -1 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 2 + x +1

f'(x)= x +1 +0

= x +1

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x +1 +0 = -2.

x +1 = -2 | -1
x = -3

L={ -3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = -3 +1 +0 = -2

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= - x 5 + t x 4 im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -240?

Lösung einblenden

f(x)= - x 5 + t x 4

=>f'(x)= -5 x 4 +4 t x 3

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -5⋅ ( -2 ) 4 +4 t ⋅ ( -2 ) 3
= -80 -32 t

Dieser Wert soll ja den Wert -240 besitzen, also gilt:

-32t -80 = -240 | +80
-32t = -160 |:(-32 )
t = 5