Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + 3$

$f'(x) =$ $2 x^{4} + 0$

= $2 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x - 4$

f'(4) = $- 6 \cdot 4 - 4$ = $- 24 - 4$ = $- 28$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x) \cdot x^{3}$

= $- 3 x^{3} \cdot x^{3} - 2 x \cdot x^{3}$

= $- 3 x^{6} - 2 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 18 x^{5} - 8 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 x^{5} + (x - 2) \cdot (- x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 8 x^{5} + (x - 2) \cdot (- x)$

= $- 8 x^{5} + (- x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $- 40 x^{4} - 2 x + 2$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - 3 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{10} x^{5} - 3 t^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 0$

= $- \frac{3}{2} x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 9 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 9$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 9$ = -1.

x^{2} - 2 x - 9

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2\pm\sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2\pm\sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2\pm\sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 9$ = $- 1$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 2 \cdot 4 - 9$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 4$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 3$ = -2.

$x^{2} - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 3$ = $- 2$

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) - 2 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 (x - 6) - 2 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15)$

= $5 x - 30 - 2 x + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + (5 x - 30) - 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x - 30$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x - 30$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 3 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 3 + 0$ = -3.

x^{2} - 5 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5\pm\sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5\pm\sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5\pm\sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 3 + 0$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 3 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} + 2 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -8?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} + 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 1^{4} + 2$
= $5 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert -8 besitzen, also gilt:

$5 t + 2$	=	$- 8$	\| $- 2$
$5 t$	=	$- 10$	\|: $5$
$t$	=	$- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter