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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + 3 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 12 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x + 2$

=> $f'(x) =$ $- 5 + 0$

= $- 5$

f'(2) = $- 5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4 x) \cdot x^{3}$

= $- 4 x^{3} \cdot x^{3} + 4 x \cdot x^{3}$

= $- 4 x^{6} + 4 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 24 x^{5} + 16 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x + (x + 1) \cdot (- 3 x + 3) - 6 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $3 x + (x + 1) \cdot (- 3 x + 3) - 6 x^{4}$

= $3 x + (- 3 x^{2} + 3) - 6 x^{4}$

= $- 6 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 3$

$f'(x) =$ $- 24 x^{3} - 6 x + 3$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{3} + t^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} x^{2} + 0$

= $- 3 t^{2} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x$ = 2.

x^{2} - x

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - (- 1)$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x$ parallel zur Geraden y = $3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x + 2$ = 0.

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 + 2$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) + x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6)$ parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 (x - 1) + x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6)$

= $5 x - 5 + x + (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + x - 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 5$

Die Gerade y = $3 x + 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 5$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 6 + 0$

= $x^{2} - 4 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 6 + 0$ = 3.

x^{2} - 4 x + 6

=

3

|

- 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 4 \cdot 1 + 6 + 0$ = $3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 4 \cdot 3 + 6 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 4 x^{4}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -31?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 4 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 16 x^{3}$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 1^{4} - 16 \cdot 1^{3}$
= $5 t - 16$

Dieser Wert soll ja den Wert -31 besitzen, also gilt:

$5 t - 16$	=	$- 31$	\| $+ 16$
$5 t$	=	$- 15$	\|: $5$
$t$	=	$- 3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter