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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 4 - 2 3 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2 x 4 - 2 3 x

f'(x)= 2 x 3 - 2 3

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 -3 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 -3 x 2

=>f'(x)= 5 x 4 -6x

f'(-1) = 5 ( -1 ) 4 -6( -1 ) = 51 +6 = 5 +6 = 11

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 +1 x 2 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= 3 x 4 +1 x 2

= 3 x 4 x 2 + 1 x 2

= 3 x 2 + 1 x 2

= 3 x 2 + x -2

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = 6x -2 x -3

f'(x)= 6x - 2 x 3

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 + ( x +7 ) · ( 6x +6 ) -3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= 2 + ( x +7 ) · ( 6x +6 ) -3 x 3

= 2 + ( 6 x 2 +48x +42 ) -3 x 3

= -3 x 3 +6 x 2 +48x +2 +42

= -3 x 3 +6 x 2 +48x +44

f'(x)= -9 x 2 +12x +48

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 4 -5 x 2 + 2 3 t x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 4 -5 x 2 + 2 3 t x

f'(x)= -20 x 3 -10x + 2 3 t

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2

f'(x)= x 2 -3x

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x 2 -3x = -2.

x 2 -3x = -2 | +2

x 2 -3x +2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = +3 ± 9 -8 2

x1,2 = +3 ± 1 2

x1 = 3 + 1 2 = 3 +1 2 = 4 2 = 2

x2 = 3 - 1 2 = 3 -1 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 2 -31 = -2

f '( 2 ) = 2 2 -32 = -2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 +3x parallel zur Geraden y = x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = x -3 hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 +3x

f'(x)= x 2 -3x +3

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir x 2 -3x +3 = 1.

x 2 -3x +3 = 1 | -1

x 2 -3x +2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · 2 21

x1,2 = +3 ± 9 -8 2

x1,2 = +3 ± 1 2

x1 = 3 + 1 2 = 3 +1 2 = 4 2 = 2

x2 = 3 - 1 2 = 3 -1 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 ) = 1 2 -31 +3 = 1

f '( 2 ) = 2 2 -32 +3 = 1

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 2 · ( x +6 )+2( x +7 ) - x parallel zur Geraden y = -2x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 3 x 2 · ( x +6 )+2( x +7 ) - x

= 1 3 x 3 +2 x 2 +2x +14 - x

= 1 3 x 3 +2 x 2 +2x - x +14

= 1 3 x 3 +2 x 2 + x +14

Die Gerade y = -2x -3 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 +2 x 2 + x +14

f'(x)= x 2 +4x +1 +0

= x 2 +4x +1

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x 2 +4x +1 +0 = -2.

x 2 +4x +1 = -2 | +2

x 2 +4x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = -4 ± 16 -12 2

x1,2 = -4 ± 4 2

x1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

x2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; -1 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 +4( -3 ) +1 +0 = -2

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 +4( -1 ) +1 +0 = -2

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= -4 x 3 + t x im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -52?

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 3 + t x

=>f'(x)= -12 x 2 + t

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -12 ( -2 ) 2 + t
= -48 + t

Dieser Wert soll ja den Wert -52 besitzen, also gilt:

t -48 = -52 | +48
t = -4