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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + 1$

$f'(x) =$ $2 x^{4} + 0$

= $2 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 3$

=> $f'(x) =$ $- 4 x + 0$

= $- 4 x$

f'(2) = $- 4 \cdot 2$ = $- 8$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{3} - 2}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{x^{3} - 2}{x^{3}}$

= $\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

= $1 - \frac{2}{x^{3}}$

= $1 - 2 x^{- 3}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot (- 3 x - 6) + 4 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (- 3 x - 6) + 4 x^{4}$

= $- 3 x^{2} - 9 x - 6 + 4 x^{4}$

= $4 x^{4} - 3 x^{2} - 9 x - 6$

$f'(x) =$ $16 x^{3} - 6 x - 9$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t x^{5} - t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t x^{5} - t x$

$f'(x) =$ $- 10 t x^{4} - t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 4$ = 0.

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 4$ = 0

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 4$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 5$ = 2.

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 5$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3) - 11 (x - 1) - 2$ parallel zur Geraden y = $x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3) - 11 (x - 1) - 2$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 11 x + 11 - 2$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 11 x + 9$

Die Gerade y = $x + 5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 11 x + 9$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 11 + 0$

= $x^{2} + x - 11$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 11 + 0$ = 1.

x^{2} + x - 11

=

1

|

- 1

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 4$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} - 4 - 11 + 0$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} + 3 - 11 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + x^{3}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -148?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 3 x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2}$
= $- 32 t + 12$

Dieser Wert soll ja den Wert -148 besitzen, also gilt:

$- 32 t + 12$	=	$- 148$	\| $- 12$
$- 32 t$	=	$- 160$	\|:( $- 32$ )
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter