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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} - 5$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 0$

= $- 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $10 x - 4$

f'(1) = $10 \cdot 1 - 4$ = $10 - 4$ = $6$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot x^{3}$

= $- 3 x^{2} \cdot x^{3} - 4 x \cdot x^{3}$

= $- 3 x^{5} - 4 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} - 16 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot (- 4 x) + 4 x^{3} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (- 4 x) + 4 x^{3} - 2$

= $- 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{3} - 2$

= $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x - 2$

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 8 x - 16$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} - t x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} - t x^{3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} - 3 t x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x + 3$ = -1.

$x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 3$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x - 6$ = -2.

x^{2} + 3 x - 6

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) - 6$ = $- 2$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 3 \cdot 1 - 6$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9) + 4 (x + 4) - 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9) + 4 (x + 4) - 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 16 - 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x - 5 x + 16$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - x + 16$

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - x + 16$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x - 1 + 0$

= $x^{2} + 3 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x - 1 + 0$ = -3.

x^{2} + 3 x - 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 1 + 0$ = $- 3$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 4 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 6?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 4$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 1^{4} - 4$
= $5 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert 6 besitzen, also gilt:

$5 t - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$5 t$	=	$10$	\|: $5$
$t$	=	$2$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter