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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{4} - 1$

$f'(x) =$ $16 x^{3} + 0$

= $16 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - x^{2}$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 2 x$

f'(1) = $6 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1$ = $6 \cdot 1 - 2$ = $6 - 2$ = $4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{3}}$

= $3 - \frac{4}{x}$

= $3 - 4 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $4 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 6 x^{3}) + 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 6 x^{3}) + 3 x^{4}$

= $- 6 x^{4} + 18 x^{3} + 3 x^{4}$

= $- 6 x^{4} + 3 x^{4} + 18 x^{3}$

= $- 3 x^{4} + 18 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 54 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 5 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 5 t^{2}$

$f'(x) =$ $2 x^{3} - 6 x^{2} + 0$

= $2 x^{3} - 6 x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 6$ = -2.

x^{2} + 6 x + 6

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 6$ = $- 2$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 9 x$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 9$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 9$ = 1.

x^{2} + 6 x + 9

=

1

|

- 1

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 9$ = $1$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 9$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 3 (x - 3) + 2 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 3 (x - 3) + 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x + 9 + 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x + 2 x + 9$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x + 9$

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - x + 9$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1 + 0$

= $x^{2} + 2 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 1 + 0$ = 2.

x^{2} + 2 x - 1

=

2

|

- 2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 1 + 0$ = $2$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -9?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 5$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot (- 1) - 5$
= $- 2 t - 5$

Dieser Wert soll ja den Wert -9 besitzen, also gilt:

$- 2 t - 5$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$- 2 t$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter