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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} + 4$

$f'(x) =$ $15 x^{2} + 0$

= $15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x - 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x - 2$

=> $f'(x) =$ $4 + 0$

= $4$

f'(0) = $4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{4} - x) \cdot x^{2}$

= $- x^{4} \cdot x^{2} - x \cdot x^{2}$

= $- x^{6} - x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 6 x^{5} - 3 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x + (x - 6) \cdot (- 6 x^{3}) + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 4 x + (x - 6) \cdot (- 6 x^{3}) + x^{3}$

= $- 4 x + (- 6 x^{4} + 36 x^{3}) + x^{3}$

= $- 6 x^{4} + 36 x^{3} + x^{3} - 4 x$

= $- 6 x^{4} + 37 x^{3} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 24 x^{3} + 111 x^{2} - 4$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{5} - 4 t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{5} - 4 t x$

$f'(x) =$ $- 20 t^{2} x^{4} - 4 t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x$ = -2.

x^{2} - 3 x

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1$ = $- 2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $5$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 4$ = 0.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 4$ = 0

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 4$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 8) - 5$ parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 8) - 5$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 5$

Die Gerade y = $2 x - 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 5$

$f'(x) =$ $x + 4 + 0$

= $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 4 + 0$ = 2.

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 4 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{5} + t x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -5?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 \cdot {(- 1)}^{4} + 2 t \cdot (- 1)$
= $5 - 2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert -5 besitzen, also gilt:

$- 2 t + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
$- 2 t$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter