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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} + 3$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} + 0$

= $- 12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x + 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x + 3$

=> $f'(x) =$ $2 + 0$

= $2$

f'(0) = $2$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} - 4 x^{3}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} - 4 x^{3}}{x^{3}}$

= $\frac{- 5 x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}$

= $- 5 x - 4$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 5$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 3 + (x + 7) \cdot 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 4 x^{5} + 3 + (x + 7) \cdot 2 x$

= $- 4 x^{5} + 3 + (2 x^{2} + 14 x)$

= $- 4 x^{5} + 2 x^{2} + 14 x + 3$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 4 x + 14$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 3 x^{3} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 3 x^{3} - x$

$f'(x) =$ $4 t x^{3} + 9 x^{2} - 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 2$ = 1.

x^{2} + 2 x - 2

=

1

|

- 1

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 2$ = $1$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 2$ = -2.

x^{2} + 5 x + 2

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 2$ = $- 2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 2$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6) - 5 x + 9 (x + 6)$ parallel zur Geraden y = $x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6) - 5 x + 9 (x + 6)$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 9 x + 54$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 54$

Die Gerade y = $x + 5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 54$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4 + 0$

= $x^{2} + 4 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 4 + 0$ = 1.

x^{2} + 4 x + 4

=

1

|

- 1

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 4 + 0$ = $1$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + t x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -7?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2} + t$
= $- 9 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -7 besitzen, also gilt:

$t - 9$	=	$- 7$	\| $+ 9$
$t$	=	$2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter