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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 4$

$f'(x) =$ $20 x^{4} + 0$

= $20 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} + 2 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} + 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $15 x^{2} + 4 x$

f'(2) = $15 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2$ = $15 \cdot 4 + 8$ = $60 + 8$ = $68$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{4}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{2}}$

= $- 3 x^{2} - 3$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 6 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot 6 x^{3} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot 6 x^{3} - 5 x^{2}$

= $6 x^{4} - 36 x^{3} - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $24 x^{3} - 108 x^{2} - 10 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} t x^{3} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} t x^{3} - 2 x$

$f'(x) =$ $- t x^{2} - 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x$

$f'(x) =$ $x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 6$ = -2.

$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 6 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x + 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 6 x + 6$ = -2.

x^{2} - 6 x + 6

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 6 \cdot 2 + 6$ = $- 2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 6 \cdot 4 + 6$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21) + 4 (x - 6)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21) + 4 (x - 6)$

= $5 x + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2}) + 4 x - 24$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 5 x + 4 x - 24$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 9 x - 24$

Die Gerade y = $- 3 x - 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 9 x - 24$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 9 + 0$

= $x^{2} + 7 x + 9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 9 + 0$ = -3.

x^{2} + 7 x + 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 9 + 0$ = $- 3$

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 9 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 4 x^{2}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 64?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 8 x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2$
= $12 t + 16$

Dieser Wert soll ja den Wert 64 besitzen, also gilt:

$12 t + 16$	=	$64$	\| $- 16$
$12 t$	=	$48$	\|: $12$
$t$	=	$4$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter