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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{5} + 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{5} + 5 x^{3}$

$f'(x) =$ $- x^{4} + 15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 9 x^{2}$

f'(0) = $- 12 \cdot 0^{3} + 9 \cdot 0^{2}$ = $- 12 \cdot 0 + 9 \cdot 0$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3) \cdot x$

= $- 5 x^{3} \cdot x + 3 \cdot x$

= $- 5 x^{4} + 3 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 3$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot 4 x^{3} - 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot 4 x^{3} - 2 x^{4}$

= $4 x^{4} - 28 x^{3} - 2 x^{4}$

= $4 x^{4} - 2 x^{4} - 28 x^{3}$

= $2 x^{4} - 28 x^{3}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} - 84 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{12} t^{2} x^{4} - \frac{4}{3} t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{12} t^{2} x^{4} - \frac{4}{3} t^{2} x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} t^{2} x^{3} - \frac{4}{3} t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 10 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 10 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 10$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 10$ = -1.

$x^{2} - 10$	=	$- 1$	\| $+ 10$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 10$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 10$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 9$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 9$ = -3.

x^{2} + x - 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 3 - 9$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 - 9$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 8 (x + 4)$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 8 (x + 4)$

= $2 x + (\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}) - 8 x - 32$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 2 x - 8 x - 32$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 32$

Die Gerade y = $2 x - 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 32$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 6 + 0$

= $x^{2} + 2 x - 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 6 + 0$ = 2.

x^{2} + 2 x - 6

=

2

|

- 2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 6 + 0$ = $2$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{6} + 2 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 578?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{6} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $6 t x^{5} + 2$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6 t \cdot {(- 2)}^{5} + 2$
= $- 192 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert 578 besitzen, also gilt:

$- 192 t + 2$	=	$578$	\| $- 2$
$- 192 t$	=	$576$	\|:( $- 192$ )
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter