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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} - x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} + 5$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(3) = $10 \cdot 3$ = $30$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{2} - 3}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{2} - 3}{x^{2}}$

= $\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}$

= $5 - \frac{3}{x^{2}}$

= $5 - 3 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot x + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot x + x^{3}$

= $x^{2} + 6 x + x^{3}$

= $x^{3} + x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 2 x + 6$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} t x^{5} - 5 t x^{4} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{5} t x^{5} - 5 t x^{4} + 2$

$f'(x) =$ $- t x^{4} - 20 t x^{3} + 0$

= $- t x^{4} - 20 t x^{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2$ = 3.

$x^{2} + 2$	=	$3$	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2$ = $3$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 2$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 4$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 1$ = -3.

x^{2} - 4 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $0 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3) - 5 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $0 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 3) - 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

Die Gerade y = $- 3 x + 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 5$ = -3.

x^{2} + x - 5

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 - 5$ = $- 3$

f '( $1$ ) = $1^{2} + 1 - 5$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{2}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -12?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 4 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1$
= $4 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -12 besitzen, also gilt:

$4 t - 4$	=	$- 12$	\| $+ 4$
$4 t$	=	$- 8$	\|: $4$
$t$	=	$- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter