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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 5 x^{3}$

$f'(x) =$ $20 x^{4} - 15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + 0$

= $- 6 x$

f'(2) = $- 6 \cdot 2$ = $- 12$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4 x^{2} - 1}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

= $\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}$

= $4 - \frac{1}{x^{2}}$

= $4 - x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- x) + x + 6 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (- x) + x + 6 x^{2}$

= $- x^{2} + x + x + 6 x^{2}$

= $- x^{2} + 6 x^{2} + x + x$

= $5 x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $10 x + 2$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{3} - \frac{1}{2} t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 t^{2} x^{3} - \frac{1}{2} t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 12 t^{2} x^{2} - \frac{1}{2} t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 6$ = 0.

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- x + 3$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 5$ = -1.

x^{2} - 5 x + 5

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 5$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 5$ = $- 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6) + 3 (x + 5) + 3 x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 6) + 3 (x + 5) + 3 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 15 + 3 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3 x + 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 15$

Die Gerade y = $2 x + 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 15$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 6 + 0$

= $x^{2} + 4 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 6 + 0$ = 2.

x^{2} + 4 x + 6

=

2

|

- 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 5 x^{3}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 1?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 15 x^{2}$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 1^{3} - 15 \cdot 1^{2}$
= $4 t - 15$

Dieser Wert soll ja den Wert 1 besitzen, also gilt:

$4 t - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
$4 t$	=	$16$	\|: $4$
$t$	=	$4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter