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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + x^{2}$

$f'(x) =$ $2 x^{2} + 2 x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + 4 x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + 4$

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{2} \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 + 6 x^{2} + (x - 1) \cdot 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 6 + 6 x^{2} + (x - 1) \cdot 2 x$

= $- 6 + 6 x^{2} + (2 x^{2} - 2 x)$

= $6 x^{2} + 2 x^{2} - 2 x - 6$

= $8 x^{2} - 2 x - 6$

$f'(x) =$ $16 x - 2$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{10} x^{5} - 5 t x^{4} + \frac{4}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{10} x^{5} - 5 t x^{4} + \frac{4}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 20 t x^{3} + \frac{4}{3} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x + 1$ = -1.

x^{2} + 3 x + 1

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 1$ = $- 1$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 1$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 3$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 5$ = 1.

$x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 5$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 4) + 7$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 4) + 7$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 7$

Die Gerade y = $x - 1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 7$

$f'(x) =$ $x + 2 + 0$

= $x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 2 + 0$ = 1.

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 2 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 3 x^{2}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert 140?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 6 x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot 2^{3} + 6 \cdot 2$
= $32 t + 12$

Dieser Wert soll ja den Wert 140 besitzen, also gilt:

$32 t + 12$	=	$140$	\| $- 12$
$32 t$	=	$128$	\|: $32$
$t$	=	$4$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter