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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + x$

$f'(x) =$ $2 x^{4} + 1$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + 2$

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + 2$ = $0 + 2$ = $2$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2}}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2}}{x^{3}}$

= $\frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{3}}$

= $- 2 - \frac{4}{x}$

= $- 2 - 4 x^{- 1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $4 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 x^{2} + (x + 5) \cdot 5 x^{2} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $8 x^{2} + (x + 5) \cdot 5 x^{2} + 1$

= $8 x^{2} + (5 x^{3} + 25 x^{2}) + 1$

= $5 x^{3} + 8 x^{2} + 25 x^{2} + 1$

= $5 x^{3} + 33 x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $15 x^{2} + 66 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 t x^{5} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t x^{5} + 1$

$f'(x) =$ $- 15 t x^{4} + 0$

= $- 15 t x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 4$ = 0.

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 4$ = 0

f '( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 4$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $4$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 4$ = 0.

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 4$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) + 2 + (x + 1)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) + 2 + (x + 1)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 2 + x + 1$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 2 + 1$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 3$

Die Gerade y = $- 3 x + 3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + 3$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 1 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 1 + 0$ = -3.

x^{2} - 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 1 + 0$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{5} + t x^{2}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 68?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 \cdot {(- 2)}^{4} + 2 t \cdot (- 2)$
= $80 - 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 68 besitzen, also gilt:

$- 4 t + 80$	=	$68$	\| $- 80$
$- 4 t$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter