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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + 4$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 0$

= $- 4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{3} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 15 x^{2} - 3$

f'(0) = $- 15 \cdot 0^{2} - 3$ = $- 15 \cdot 0 - 3$ = $- 3$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot x$

= $- 5 x^{2} \cdot x + 3 x \cdot x$

= $- 5 x^{3} + 3 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} + 6 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{3} + (x - 4) \cdot (- 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 7 x^{3} + (x - 4) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 7 x^{3} + (- 3 x^{3} + 12 x^{2})$

= $- 10 x^{3} + 12 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 30 x^{2} + 24 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} - 3 t x + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} - 3 t x + 3$

$f'(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 t + 0$

= $- 2 x^{2} - 3 t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 1$ = 0.

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 1$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 1$ = -2.

x^{2} - 4 x + 1

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 4 \cdot 1 + 1$ = $- 2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 4 \cdot 3 + 1$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$ parallel zur Geraden y = $- 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 1 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$

= $- 1 + (\frac{1}{2} x^{2} + x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Die Gerade y = $- 2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = 0.

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 1 + 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -28?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot {(- 2)}^{3} + t$
= $- 32 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -28 besitzen, also gilt:

$t - 32$	=	$- 28$	\| $+ 32$
$t$	=	$4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter