Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f'(x) =$ $3 x^{2} - \frac{3}{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + 3$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + 0$

= $8 x^{3}$

f'(3) = $8 \cdot 3^{3}$ = $8 \cdot 27$ = $216$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 5) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 5) \cdot x$

= $4 x^{4} \cdot x + 5 \cdot x$

= $4 x^{5} + 5 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $20 x^{4} + 5$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (- 4 x) + 4 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot (- 4 x) + 4 x^{4}$

= $- 4 x^{2} + 8 x + 4 x^{4}$

= $4 x^{4} - 4 x^{2} + 8 x$

$f'(x) =$ $16 x^{3} - 8 x + 8$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} - \frac{4}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} t^{2} x^{5} - \frac{4}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $2 t^{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 3$ = 2.

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 + 3$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 10 x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 10 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 10$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 10$ = 2.

x^{2} - x - 10

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - (- 3) - 10$ = $2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 4 - 10$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 7 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 7 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$

= $- 7 + (\frac{1}{2} x^{2} + x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x - 7$

Die Gerade y = $- 2 x - 2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x - 7$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = -2.

$x + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 1 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 3 x^{4}$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -304?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 3 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 12 x^{3}$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot {(- 2)}^{4} - 12 \cdot {(- 2)}^{3}$
= $80 t + 96$

Dieser Wert soll ja den Wert -304 besitzen, also gilt:

$80 t + 96$	=	$- 304$	\| $- 96$
$80 t$	=	$- 400$	\|: $80$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter