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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{9} x^{3} - \frac{1}{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{9} x^{3} - \frac{1}{2} x$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 3 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + 3 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 9 x^{2}$

f'(1) = $- 4 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2}$ = $- 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1$ = $- 4 + 9$ = $5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x^{4} + 4 x}{x^{3}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{2 x^{4} + 4 x}{x^{3}}$

= $\frac{2 x^{4}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}}$

= $2 x + \frac{4}{x^{2}}$

= $2 x + 4 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $2 - 8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $2 - \frac{8}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x + (x + 6) \cdot (- 6 x + 3) - 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 6 x + (x + 6) \cdot (- 6 x + 3) - 2 x^{4}$

= $- 6 x + (- 6 x^{2} - 33 x + 18) - 2 x^{4}$

= $- 2 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 33 x + 18$

= $- 2 x^{4} - 6 x^{2} - 39 x + 18$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} - 12 x - 39$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - \frac{1}{3} t^{2} x - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - \frac{1}{3} t^{2} x - 1$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - \frac{1}{3} t^{2} + 0$

= $9 x^{2} - \frac{1}{3} t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 6 x + 8$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 6 x + 8$ = 0.

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 8$ = 0

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 8$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- x - 5$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 3$ = -1.

x^{2} - x - 3

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - (- 1) - 3$ = $- 1$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2 - 3$ = $- 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 5 x + (x + 7)$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 5 x + (x + 7)$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 5 x + x + 7$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x + 7$

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x + 7$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 6 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 6 + 0$ = 2.

x^{2} + 5 x + 6

=

2

|

- 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 6 + 0$ = $2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -19?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot (- 2) + t$
= $- 16 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -19 besitzen, also gilt:

$t - 16$	=	$- 19$	\| $+ 16$
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter