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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} - 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} - 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $25 x^{4} - 20 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x + 2$

=> $f'(x) =$ $5 + 0$

= $5$

f'(3) = $5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 1) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 1) \cdot x$

= $- 2 x^{2} \cdot x - 1 \cdot x$

= $- 2 x^{3} - x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 1$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot 6 x^{3} - 5 x^{4} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot 6 x^{3} - 5 x^{4} + 5$

= $6 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x^{4} + 5$

= $6 x^{4} - 5 x^{4} - 12 x^{3} + 5$

= $x^{4} - 12 x^{3} + 5$

$f'(x) =$ $4 x^{3} - 36 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - 2 t^{2} x^{2} - \frac{1}{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - 2 t^{2} x^{2} - \frac{1}{2} x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - 4 t^{2} x - \frac{1}{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x$ = -3.

x

=

- 3

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$ parallel zur Geraden y = $- 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 6$ = 0.

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 6$ = 0

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 6$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 12) + 5$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 12) + 5$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 5$

Die Gerade y = $2 x + 5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 5$

$f'(x) =$ $x + 6 + 0$

= $x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 6 + 0$ = 2.

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 6 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} - 3 x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -15?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} - 3$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 1)}^{3} - 3$
= $- 4 t - 3$

Dieser Wert soll ja den Wert -15 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 3$	=	$- 15$	\| $+ 3$
$- 4 t$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter