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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{5} x^{5} - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{5} x^{5} - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 x^{4} - 4 x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - x$

=> $f'(x) =$ $6 x - 1$

f'(0) = $6 \cdot 0 - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 4) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 4) \cdot x^{2}$

= $4 x^{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{2}$

= $4 x^{4} - 4 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $16 x^{3} - 8 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + (x + 2) \cdot (- 6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $2 x^{2} + (x + 2) \cdot (- 6 x)$

= $2 x^{2} + (- 6 x^{2} - 12 x)$

= $- 4 x^{2} - 12 x$

$f'(x) =$ $- 8 x - 12$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{15} x^{5} + \frac{1}{6} t^{2} x^{3} + \frac{1}{2} t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{15} x^{5} + \frac{1}{6} t^{2} x^{3} + \frac{1}{2} t x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{2} t^{2} x^{2} + \frac{1}{2} t$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 2$ = -1.

x^{2} - 4 x + 2

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 4 \cdot 1 + 2$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 4 \cdot 3 + 2$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ parallel zur Geraden y = $- 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 4$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$

$f'(x) =$ $x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x - 3$ = 0.

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3 - 3$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) + 3 (x + 1) + 5$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 15) + 3 (x + 1) + 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 3 + 5$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 8$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 8$

$f'(x) =$ $x^{2} - 5 x + 3 + 0$

= $x^{2} - 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 5 x + 3 + 0$ = -3.

x^{2} - 5 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 3 + 0$ = $- 3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 3 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + t x^{3}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 11?

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$f(x) =$ $- x^{4} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 4 \cdot 1^{3} + 3 t \cdot 1^{2}$
= $- 4 + 3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 11 besitzen, also gilt:

$3 t - 4$	=	$11$	\| $+ 4$
$3 t$	=	$15$	\|: $3$
$t$	=	$5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter