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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + 5$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 0$

= $4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x + 1$

f'(-1) = $- 4 \cdot (- 1) + 1$ = $4 + 1$ = $5$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot x$

= $- x^{4} \cdot x + 4 x^{3} \cdot x$

= $- x^{5} + 4 x^{4}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 16 x^{3}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 + (x - 3) \cdot (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $x^{2} - 6 + (x - 3) \cdot (3 x - 1)$

= $x^{2} - 6 + (3 x^{2} - 10 x + 3)$

= $x^{2} + 3 x^{2} - 10 x - 6 + 3$

= $4 x^{2} - 10 x - 3$

$f'(x) =$ $8 x - 10$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} - \frac{1}{3} t x^{3} - \frac{1}{4} t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{4} - \frac{1}{3} t x^{3} - \frac{1}{4} t x^{2}$

$f'(x) =$ $16 x^{3} - t x^{2} - \frac{1}{2} t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 7$ = 2.

$x^{2} - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 7$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 10 x$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2 x - 1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 10 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7 x + 10$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 7 x + 10$ = -2.

x^{2} - 7 x + 10

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7 \cdot 3 + 10$ = $- 2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 7 \cdot 4 + 10$ = $- 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 10)$ parallel zur Geraden y = $3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 4 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 10)$

= $- 4 + (\frac{1}{2} x^{2} + 5 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 4$

Die Gerade y = $3 x - 1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 4$

$f'(x) =$ $x + 5 + 0$

= $x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x + 5 + 0$ = 3.

$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 5 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{2} + t x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -4?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $2 x + t$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 \cdot (- 1) + t$
= $- 2 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -4 besitzen, also gilt:

$t - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
$t$	=	$- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter