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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} - x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} - x^{3}$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} - 3 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 5 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $- 8 x - 5$

f'(4) = $- 8 \cdot 4 - 5$ = $- 32 - 5$ = $- 37$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{4 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2}}$

= $\frac{4 x^{3}}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

= $4 x + 2$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $4$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{4} + (x - 4) \cdot (- x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 7 x^{4} + (x - 4) \cdot (- x^{3})$

= $- 7 x^{4} + (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $- 8 x^{4} + 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 32 x^{3} + 12 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 t x^{3} + 2 t^{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 t x^{3} + 2 t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 15 t x^{2} + 4 t^{2} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x + 1$ = -2.

$x + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 1$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 3$ = 1.

$x + 3$	=	$1$	\| $- 3$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 3$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 6 (x + 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3) + 3 x$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 6 (x + 2) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3) + 3 x$

= $- 6 x - 12 + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}) + 3 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 3 x - 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 12$

Die Gerade y = $- x - 5$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 12$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 3 + 0$

= $x^{2} - x - 3$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 3 + 0$ = -1.

x^{2} - x - 3

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - (- 1) - 3 + 0$ = $- 1$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 2 - 3 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} - 2 x^{2}$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 6?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} - 4 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 1^{4} - 4 \cdot 1$
= $5 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert 6 besitzen, also gilt:

$5 t - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$5 t$	=	$10$	\|: $5$
$t$	=	$2$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter