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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} - 4 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} - 4 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4} - 16 x^{3}$

f'(3) = $- 25 \cdot 3^{4} - 16 \cdot 3^{3}$ = $- 25 \cdot 81 - 16 \cdot 27$ = $- 2 025 - 432$ = $- 2 457$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 4) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 4) \cdot x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{2}$

= $4 x^{5} - 4 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $20 x^{4} - 8 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + (x - 1) \cdot (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 4 x^{2} + (x - 1) \cdot (- x - 1)$

= $- 4 x^{2} + (- x^{2} + 1)$

= $- 5 x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $- 10 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} + \frac{1}{3} x^{4} - 2 t^{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} + \frac{1}{3} x^{4} - 2 t^{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $25 x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} - 6 t^{2} x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x$

$f'(x) =$ $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x - 1$ = 3.

$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 1$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 15 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 15 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 15$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 15$ = -3.

x^{2} - x - 15

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - (- 3) - 15$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 4 - 15$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 3 (x + 4)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 4 + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) + 3 (x + 4)$

= $- 4 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}) + 3 x + 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x - 4 + 12$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 8$

Die Gerade y = $- 3 x - 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 8$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 3 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 3$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 3 + 0$ = -3.

x^{2} + 5 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 3 + 0$ = $- 3$

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 3 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 4 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -56?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 4 x$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 4$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 2)}^{2} + 4$
= $12 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -56 besitzen, also gilt:

$12 t + 4$	=	$- 56$	\| $- 4$
$12 t$	=	$- 60$	\|: $12$
$t$	=	$- 5$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter