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Ableiten (ganzrational)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:
=>
f'(1) = = =
Ableiten nach Umformung
Beispiel:
Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit .
Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:
=
=
=
Jetzt wird abgeleitet:
f'(x) =
Ableiten mit vorher vereinfachen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:
=
=
Ableiten ganzrational mit Parameter
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.
Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.
Zuerst leiten wir mal f(x) ab:
Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir = -1.
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:
f '( ) = =
Stelle mit gleichem m wie best. Gerade
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit parallel zur Geraden y = ist.
Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.
Die Gerade y = hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = .
Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.
Zuerst leiten wir mal f(x) ab:
Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir = -3.
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -2
x2 = + = = 3
L={ ; }
Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:
f '( ) = =
f '( ) = =
Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit parallel zur Geraden y = ist.
Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.
Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:
f(x) =
=
=
=
Die Gerade y = hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = .
Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.
Zuerst leiten wir mal f(x) ab:
=
Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir = -1.
| = | | | ||
| = |
L={ }
Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:
f '( ) = =
Ableiten an einem Punkt mit Parameter
Beispiel:
Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit im Punkt (2|f(2)) den Wert 43?
=>
Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:
=
=
Dieser Wert soll ja den Wert 43 besitzen, also gilt:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |