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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{4} - \frac{1}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} + 1$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} + 1$

=> $f'(x) =$ $9 x^{2} + 0$

= $9 x^{2}$

f'(2) = $9 \cdot 2^{2}$ = $9 \cdot 4$ = $36$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot x^{2}$

= $- x^{3} \cdot x^{2} + 2 x \cdot x^{2}$

= $- x^{5} + 2 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 6 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x + (x + 4) \cdot (- 7 x - 1) - x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $5 x + (x + 4) \cdot (- 7 x - 1) - x^{4}$

= $5 x + (- 7 x^{2} - 29 x - 4) - x^{4}$

= $- x^{4} - 7 x^{2} + 5 x - 29 x - 4$

= $- x^{4} - 7 x^{2} - 24 x - 4$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} - 14 x - 24$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{6} t x^{3} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{6} t x^{3} - 1$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} t x^{2} + 0$

= $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} t x^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 4$ = 0.

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 4$ = 0

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 4$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 2$ = 1.

x^{2} - 2 x - 2

=

1

|

- 1

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 2$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 2)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 1 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 2)$

= $- 1 + (\frac{1}{2} x^{2} - x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} - x - 1$

Die Gerade y = $- 3 x - 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 1$

$f'(x) =$ $x - 1 + 0$

= $x - 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x - 1 + 0$ = -3.

$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 - 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 15?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 10 x + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 10 \cdot (- 2) + t$
= $20 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 15 besitzen, also gilt:

$t + 20$	=	$15$	\| $- 20$
$t$	=	$- 5$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter