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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} + 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} + 3 x^{4}$

$f'(x) =$ $10 x^{4} + 12 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x - 5$

=> $f'(x) =$ $3 + 0$

= $3$

f'(-1) = $3$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x^{2}) \cdot x^{3}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x^{2}) \cdot x^{3}$

= $- x^{3} \cdot x^{3} - 4 x^{2} \cdot x^{3}$

= $- x^{6} - 4 x^{5}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 6 x^{5} - 20 x^{4}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot (- 2 x^{3}) + 2 - 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (- 2 x^{3}) + 2 - 5 x^{4}$

= $- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 2 - 5 x^{4}$

= $- 2 x^{4} - 5 x^{4} - 6 x^{3} + 2$

= $- 7 x^{4} - 6 x^{3} + 2$

$f'(x) =$ $- 28 x^{3} - 18 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 t x^{5} + 5 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 t x^{5} + 5 t$

$f'(x) =$ $25 t x^{4} + 0$

= $25 t x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ den Wert 0 hat, also dass f '(x) = 0 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f'(x) =$ $x + 3$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 3$ = 0.

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 3$ = 0

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 14 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + 14 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7 x + 14$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 7 x + 14$ = 2.

x^{2} - 7 x + 14

=

2

|

- 2

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7 \cdot 3 + 14$ = $2$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 7 \cdot 4 + 14$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 2) - 5$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 2) - 5$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x - 5$

Die Gerade y = $2 x - 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x - 5$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = 2.

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 + 1 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{4} + 2 x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -6?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 1)}^{3} + 2$
= $- 4 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert -6 besitzen, also gilt:

$- 4 t + 2$	=	$- 6$	\| $- 2$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter