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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} - 3 x$

$f'(x) =$ $8 x^{3} - 3$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} - 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{4} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} - 3$

f'(2) = $12 \cdot 2^{3} - 3$ = $12 \cdot 8 - 3$ = $96 - 3$ = $93$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot x$

= $4 x^{3} \cdot x + 2 x \cdot x$

= $4 x^{4} + 2 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $16 x^{3} + 4 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot (- 7 x - 6) - x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot (- 7 x - 6) - x^{4}$

= $- 7 x^{2} - 48 x - 36 - x^{4}$

= $- x^{4} - 7 x^{2} - 48 x - 36$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} - 14 x - 48$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - 2 t^{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - 2 t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} - 4 t^{2} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $x + 6$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 6$ = 2.

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- 4 + 6$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 11 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 4$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 11 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 11$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 11$ = -3.

x^{2} - 2 x - 11

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 11$ = $- 3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 2 \cdot 4 - 11$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x + 2) + 1$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2} x \cdot (x + 2) + 1$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x + 1$

Die Gerade y = $- 2 x + 2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 1$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = -2.

$x + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 1 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} + t x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 404?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} + t x$

=> $f'(x) =$ $25 x^{4} + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $25 \cdot {(- 2)}^{4} + t$
= $400 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert 404 besitzen, also gilt:

$t + 400$	=	$404$	\| $- 400$
$t$	=	$4$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter