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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} + x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $4 x + 2$

f'(2) = $4 \cdot 2 + 2$ = $8 + 2$ = $10$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 3 + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 3 + x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + (x + 1) \cdot 2 x^{3} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- x^{4} + (x + 1) \cdot 2 x^{3} - 7$

= $- x^{4} + (2 x^{4} + 2 x^{3}) - 7$

= $x^{4} + 2 x^{3} - 7$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 6 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} - 2 x^{2} + 5 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} - 2 x^{2} + 5 t$

$f'(x) =$ $- 8 t^{2} x^{3} - 4 x + 0$

= $- 8 t^{2} x^{3} - 4 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$ den Wert 3 hat, also dass f '(x) = 3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x$ = 3.

x

=

3

L={ $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3$ = $3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- x + 4$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x - 4$ = -1.

$x - 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$x$	=	$3$

L={ $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3 - 4$ = $- 1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 (x + 3) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 15) - 4 x$

= $5 x + 15 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}) - 4 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 5 x - 4 x + 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + x + 15$

Die Gerade y = $- 3 x + 3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + x + 15$

$f'(x) =$ $x^{2} + 5 x + 1 + 0$

= $x^{2} + 5 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 5 x + 1 + 0$ = -3.

x^{2} + 5 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 1 + 0$ = $- 3$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + t x$ im Punkt (2|f(2)) den Wert -7?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot 2 + t$
= $- 4 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert -7 besitzen, also gilt:

$t - 4$	=	$- 7$	\| $+ 4$
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter