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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{3} - x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} - 5$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(-1) = $10 \cdot (- 1)$ = $- 10$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2}}{x}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{3 x^{3} - 5 x^{2}}{x}$

= $\frac{3 x^{3}}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x}$

= $3 x^{2} - 5 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $6 x - 5$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} + (x - 3) \cdot (- 4 x - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 3 x^{5} + (x - 3) \cdot (- 4 x - 6)$

= $- 3 x^{5} + (- 4 x^{2} + 6 x + 18)$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} - 8 x + 6$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} + 3$

$f'(x) =$ $- 6 t^{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 0$

= $- 6 t^{2} x^{2} + \frac{1}{3} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ den Wert -1 hat, also dass f '(x) = -1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x - 5$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x - 5$ = -1.

$x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 5$ = $- 1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x$ parallel zur Geraden y = $- 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 4$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 x + 8$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 6 x + 8$ = 0.

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 6 \cdot 2 + 8$ = 0

f '( $4$ ) = $4^{2} - 6 \cdot 4 + 8$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 6 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 6 + \frac{1}{2} x \cdot (x + 2)$

= $- 6 + (\frac{1}{2} x^{2} + x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + x - 6$

Die Gerade y = $2 x + 5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x - 6$

$f'(x) =$ $x + 1 + 0$

= $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 1 + 0$ = 2.

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 + 1 + 0$ = $2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 5 x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -1?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 10 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 1)}^{2} + 10 \cdot (- 1)$
= $3 t - 10$

Dieser Wert soll ja den Wert -1 besitzen, also gilt:

$3 t - 10$	=	$- 1$	\| $+ 10$
$3 t$	=	$9$	\|: $3$
$t$	=	$3$

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter