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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2$

$f'(x) =$ $x^{2} + 0$

= $x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 5 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 5$

f'(2) = $3 \cdot 2^{2} - 5$ = $3 \cdot 4 - 5$ = $12 - 5$ = $7$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot x$

= $- x^{3} \cdot x + 2 x \cdot x$

= $- x^{4} + 2 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 4 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot 7 x^{2} - 2 + 8 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot 7 x^{2} - 2 + 8 x^{4}$

= $7 x^{3} + 21 x^{2} - 2 + 8 x^{4}$

= $8 x^{4} + 7 x^{3} + 21 x^{2} - 2$

$f'(x) =$ $32 x^{3} + 21 x^{2} + 42 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 t^{2} x^{5} - t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t^{2} x^{5} - t$

$f'(x) =$ $- 15 t^{2} x^{4} + 0$

= $- 15 t^{2} x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ den Wert 1 hat, also dass f '(x) = 1 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 5$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} + x - 5$ = 1.

x^{2} + x - 5

=

1

|

- 1

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 3 - 5$ = $1$

f '( $2$ ) = $2^{2} + 2 - 5$ = $1$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 12 x$ parallel zur Geraden y = $- 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 12 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 12$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 12$ = 0.

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 12$ = 0

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 12$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 12)$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2 + \frac{1}{2} x \cdot (x - 12)$

= $2 + (\frac{1}{2} x^{2} - 6 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 2$

Die Gerade y = $- 2 x + 5$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 2$

$f'(x) =$ $x - 6 + 0$

= $x - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 6 + 0$ = -2.

$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $4 - 6 + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -13?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 5$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot (- 2) - 5$
= $- 4 t - 5$

Dieser Wert soll ja den Wert -13 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 5$	=	$- 13$	\| $+ 5$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter