Mathebattle EduRandomtasks

Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{51}}{10}$ . Berechne cos(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{51}}{10})}^{2}$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(57°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(57°) und cos(57°) ablesen:

sin(57°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(57°) ≈ 0.84

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit sin(α) = 0.05.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.05 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.05 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 2.9° setzt, so sieht man, dass der sin(2.9)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.05 ist.

sin(2.9°) ≈ 0.05

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(89°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(89°) und cos(89°) ablesen:

sin(89°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(89°) ≈ 1

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = -0.3.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.3 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.3 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 107.5° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 252.5° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.3 ist.

cos(107.5°) ≈ -0.3 und cos(252.5°) ≈ -0.3

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 810°?

Lösung einblenden

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel 810° > 360° ist, müssen wir eben so lange 360° subtrahieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = 810 - 360° - 360° = 90°

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 80°?

Lösung einblenden

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 80° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 80°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = 180° - 80° = 100°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 60 Volt und +60 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 40 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 36 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 18 Volt beträgt?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 60 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 36 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 36 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{360}{40}$ ° = 9°
36 ms ≙ 9 ⋅ 36° ≈ 324°

sin(324°) ≈ -0.59, entsprechend ist 60 ⋅ sin(324°) ≈ -35.27

Also ist nach 36 ms der y-Wert -35,27 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 18 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 60 ⋅ sin(α) = 18 gilt.

60 ⋅ sin(α) = 18 |: 60

sin(α) = 0.3 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 17.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
17.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 17.5 ms ≈ 1.944 ms

Somit ist nach 1,944 ms die Höhe h = 18 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 60 ⋅ sin(α) = 18 bzw. sin(β) = 0.3. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-17.5 = 162.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
162.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 162.5 ms ≈ 18.056 ms

Somit ist nach auch 18,056 ms die Höhe h = 18 V erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 36 ms

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 18 V