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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = 4 5 . Berechne sin(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))2 = 1 - (cos(α))2

= 1 - ( 4 5 ) 2

= 1 - 16 25

= 9 25

Damit glit für sin(α):

sin(α) = 3 5 = 0.6

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise sin(27°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(27°) und cos(27°) ablesen:

sin(27°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(27°) ≈ 0.45

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.6.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.6 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.6 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 53.1° setzt, so sieht man, dass der cos(53.1)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.6 ist.

cos(53.1°) ≈ 0.6

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin(353°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(353°) und cos(353°) ablesen:

sin(353°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(353°) ≈ -0.12

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = -0.55.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.55 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.55 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α1 = 123.4° als auch für α2 = 360° - α1 = 236.6° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.55 ist.

cos(123.4°) ≈ -0.55 und cos(236.6°) ≈ -0.55

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 80° haben.

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 80° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 80° + 360° = 440°, oder β = 80° + 2 ⋅ 360° = 800°, oder auch γ = 80° - 360° = -280° ...

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 140°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 140° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 140°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = 180° - 140° = 40°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 8 m und braucht 4 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 9 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 2,6 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 11,8 m über dem Boden ist?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 8 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 2.6 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 2.6 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

4 min ≙ 360°
1 min ≙ 360 4 ° = 90°
2.6 min ≙ 90 ⋅ 2.6° ≈ 234°

sin(234°) ≈ -0.81, entsprechend ist 8 ⋅ sin(234°) ≈ -6.47

Also ist nach 2.6 min der y-Wert 6.47 m unter dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 9 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 9 m -6.47 m
= 2.53 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 11.8 m

Die gegebenen Höhe von h = 11.8 m entspricht gerade der Höhe 11.8 m - 9 m = 2.8 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 8 ⋅ sin(α) = 2.8 gilt.

8 ⋅ sin(α) = 2.8 |: 8

sin(α) = 0.35 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)

α ≈ 20.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ 4 360 min = 1 90 min
20.5° ≙ 1 90 ⋅ 20.5 min ≈ 0.228 min

Somit ist nach 0,228 min die Höhe h = 11,8 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 8 ⋅ sin(α) = 2.8 bzw. sin(β) = 0.35. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-20.5 = 159.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ 4 360 min = 1 90 min
159.5° ≙ 1 90 ⋅ 159.5 min ≈ 1.772 min

Somit ist nach auch 1,772 min die Höhe h = 11,8 m erreicht.