Mathebattle EduRandomtasks

Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = $\frac{\sqrt{51}}{10}$ . Berechne sin(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{51}}{10})}^{2}$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(14°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(14°) und cos(14°) ablesen:

sin(14°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(14°) ≈ 0.24

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit sin(α) = 0.6.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.6 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.6 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 36.9° setzt, so sieht man, dass der sin(36.9)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.6 ist.

sin(36.9°) ≈ 0.6

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(22°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(22°) und cos(22°) ablesen:

cos(22°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(22°) ≈ 0.93

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = 0.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

sin(α) = 0 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 0° als auch für α₂ = 180° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0 ist.

sin(0°) ≈ 0 und sin(180°) ≈ 0

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 110° haben.

Lösung einblenden

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 110° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 110° + 360° = 470°, oder β = 110° + 2 ⋅ 360° = 830°, oder auch γ = 110° - 360° = -250° ...

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 240°?

Lösung einblenden

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 240° als negativen Winkel 240° -360° = -120° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-120°) = -60°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -60° + 360° = 300°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 9 m und braucht 4 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 11 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 1,6 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 13,7 m über dem Boden ist?

Lösung einblenden

So erhalten wir die Funktion f(α) = 9 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1.6 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 1.6 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

4 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{4}$ ° = 90°
1.6 min ≙ 90 ⋅ 1.6° ≈ 144°

sin(144°) ≈ 0.59, entsprechend ist 9 ⋅ sin(144°) ≈ 5.29

Also ist nach 1.6 min der y-Wert 5.29 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 11 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 11 m +5.29 m
= 16.29 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 13.7 m

Die gegebenen Höhe von h = 13.7 m entspricht gerade der Höhe 13.7 m - 11 m = 2.7 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 9 ⋅ sin(α) = 2.7 gilt.

9 ⋅ sin(α) = 2.7 |: 9

sin(α) = 0.3 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 17.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{360}$ min = $\frac{1}{90}$ min
17.5° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 17.5 min ≈ 0.194 min

Somit ist nach 0,194 min die Höhe h = 13,7 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 9 ⋅ sin(α) = 2.7 bzw. sin(β) = 0.3. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-17.5 = 162.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{360}$ min = $\frac{1}{90}$ min
162.5° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 162.5 min ≈ 1.806 min

Somit ist nach auch 1,806 min die Höhe h = 13,7 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1.6 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 13.7 m