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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Berechne cos(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(70°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(70°) und cos(70°) ablesen:

sin(70°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(70°) ≈ 0.94

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.1.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.1 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.1 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 84.3° setzt, so sieht man, dass der cos(84.3)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.1 ist.

cos(84.3°) ≈ 0.1

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(136°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(136°) und cos(136°) ablesen:

sin(136°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(136°) ≈ 0.69

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = 0.75.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

sin(α) = 0.75 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.75 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 48.6° als auch für α₂ = 131.4° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.75 ist.

sin(48.6°) ≈ 0.75 und sin(131.4°) ≈ 0.75

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 50° haben.

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 50° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 50° + 360° = 410°, oder β = 50° + 2 ⋅ 360° = 770°, oder auch γ = 50° - 360° = -310° ...

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 100°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 100° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -100°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -100° + 360° = 260°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Windrad, das sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht, hat den Radius 24 m und braucht 15 Sekunden für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 27 m über dem Boden. Ganz außen an einem Flügel ist ein Geschwindigkeitssensor angebracht. Zu Beginn der Beobachtung ist der Geschwindigkeitssensor auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist der Geschwindigkeitssensor nach 5,25 Sekunden? Berechne einen Zeitpunkt, an dem der Geschwindigkeitssensor bei seiner ersten Umdrehung gerade 27 m über dem Boden ist?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 24 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 5.25 s

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 5.25 s erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

15 s ≙ 360°
1 s ≙ $\frac{360}{15}$ ° = 24°
5.25 s ≙ 24 ⋅ 5.25° ≈ 126°

sin(126°) ≈ 0.81, entsprechend ist 24 ⋅ sin(126°) ≈ 19.42

Also ist nach 5.25 s der y-Wert 19.42 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 27 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 27 m +19.42 m
= 46.42 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 27 m

Die gegebenen Höhe von h = 27 m entspricht gerade der Höhe 27 m - 27 m = 0 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 24 ⋅ sin(α) = 0 gilt.

24 ⋅ sin(α) = 0 |: 24

sin(α) = 0 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 0°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 15 s
1 ° ≙ $\frac{15}{360}$ s = $\frac{1}{24}$ s
0° ≙ $\frac{1}{24}$ ⋅ 0 s ≈ 0 s

Somit ist nach 0 s die Höhe h = 27 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 24 ⋅ sin(α) = 0 bzw. sin(β) = 0. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-0 = 180°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 15 s
1 ° ≙ $\frac{15}{360}$ s = $\frac{1}{24}$ s
180° ≙ $\frac{1}{24}$ ⋅ 180 s ≈ 7.5 s

Somit ist nach auch 7,5 s die Höhe h = 27 m erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 5.25 s

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 27 m