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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Berechne cos(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(10°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(10°) und cos(10°) ablesen:

cos(10°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(10°) ≈ 0.98

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit sin(α) = 0.1.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.1 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.1 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 5.7° setzt, so sieht man, dass der sin(5.7)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.1 ist.

sin(5.7°) ≈ 0.1

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(222°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(222°) und cos(222°) ablesen:

cos(222°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(222°) ≈ -0.74

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = -0.9.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.9 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.9 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 154.2° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 205.8° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.9 ist.

cos(154.2°) ≈ -0.9 und cos(205.8°) ≈ -0.9

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 160° haben.

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 160° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 160° + 360° = 520°, oder β = 160° + 2 ⋅ 360° = 880°, oder auch γ = 160° - 360° = -200° ...

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 230°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 230° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -230°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -230° + 360° = 130°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 8 m und braucht 6 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 10 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 3 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 15,2 m über dem Boden ist?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 8 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 3 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

6 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{360}{6}$ ° = 60°
3 min ≙ 60 ⋅ 3° ≈ 180°

sin(180°) ≈ 0, entsprechend ist 8 ⋅ sin(180°) ≈ 0

Also ist nach 3 min der y-Wert 0 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 10 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 10 m +0 m
= 10 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 15.2 m

Die gegebenen Höhe von h = 15.2 m entspricht gerade der Höhe 15.2 m - 10 m = 5.2 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 8 ⋅ sin(α) = 5.2 gilt.

8 ⋅ sin(α) = 5.2 |: 8

sin(α) = 0.65 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 40.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
40.5° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 40.5 min ≈ 0.675 min

Somit ist nach 0,675 min die Höhe h = 15,2 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 8 ⋅ sin(α) = 5.2 bzw. sin(β) = 0.65. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-40.5 = 139.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{360}$ min = $\frac{1}{60}$ min
139.5° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 139.5 min ≈ 2.325 min

Somit ist nach auch 2,325 min die Höhe h = 15,2 m erreicht.

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Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 min

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 15.2 m