nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = 99 10 . Berechne cos(α).

Lösung einblenden

Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))2 = 1 - (sin(α))2

= 1 - ( 99 10 ) 2

= 1 - 99 100

= 1 100

Damit glit für cos(α):

cos(α) = 1 10 = 0.1

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise sin(64°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(64°) und cos(64°) ablesen:

sin(64°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(64°) ≈ 0.9

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.15.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.15 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.15 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 81.4° setzt, so sieht man, dass der cos(81.4)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.15 ist.

cos(81.4°) ≈ 0.15

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise sin(321°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(321°) und cos(321°) ablesen:

sin(321°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(321°) ≈ -0.63

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = -1.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = -1 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis -1 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies nur für α1 = 270° der Fall ist.

sin(270°) ≈ -1

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Gib zwei weitere Winkel an, die die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 140° haben.

Lösung einblenden

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 140° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 140° + 360° = 500°, oder β = 140° + 2 ⋅ 360° = 860°, oder auch γ = 140° - 360° = -220° ...

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 10°?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 10° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 10°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = 180° - 10° = 170°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Riesenrad hat den Radius 24 m und braucht 2 min für eine komplette Umdrehung. Die Achse befindet sich 27 m über dem Boden. Zu Beginn der Beobachtung ist die Gondel von Heinz auf Höhe der Achse und bewegt sich nach oben. Wie hoch über dem Boden ist die Gondel nach 1 min?Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Gondel bei ihrer ersten Umdrehung gerade 43,8 m über dem Boden ist?

Lösung einblenden

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

So erhalten wir die Funktion f(α) = 24 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 1 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 1 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

2 min ≙ 360°
1 min ≙ 360 2 ° = 180°
1 min ≙ 180 ⋅ 1° ≈ 180°

sin(180°) ≈ 0, entsprechend ist 24 ⋅ sin(180°) ≈ 0

Also ist nach 1 min der y-Wert 0 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 27 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 27 m +0 m
= 27 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 43.8 m

Die gegebenen Höhe von h = 43.8 m entspricht gerade der Höhe 43.8 m - 27 m = 16.8 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 24 ⋅ sin(α) = 16.8 gilt.

24 ⋅ sin(α) = 16.8 |: 24

sin(α) = 0.7 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)

α ≈ 44.4°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ 2 360 min = 1 180 min
44.4° ≙ 1 180 ⋅ 44.4 min ≈ 0.247 min

Somit ist nach 0,247 min die Höhe h = 43,8 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 24 ⋅ sin(α) = 16.8 bzw. sin(β) = 0.7. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-44.4 = 135.6°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ 2 360 min = 1 180 min
135.6° ≙ 1 180 ⋅ 135.6 min ≈ 0.753 min

Somit ist nach auch 0,753 min die Höhe h = 43,8 m erreicht.