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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: cos(α) = 21 5 . Berechne sin(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))2 = 1 - (cos(α))2

= 1 - ( 21 5 ) 2

= 1 - 21 25

= 4 25

Damit glit für sin(α):

sin(α) = 2 5 = 0.4

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos(54°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(54°) und cos(54°) ablesen:

cos(54°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(54°) ≈ 0.59

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit sin(α) = 0.35.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = 0.35 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.35 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 20.5° setzt, so sieht man, dass der sin(20.5)°, also die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.35 ist.

sin(20.5°) ≈ 0.35

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin(251°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(251°) und cos(251°) ablesen:

sin(251°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(251°) ≈ -0.95

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit cos(α) = 0.8.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = 0.8 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.8 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α1 = 36.9° als auch für α2 = 360° - α1 = 323.1° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.8 ist.

cos(36.9°) ≈ 0.8 und cos(323.1°) ≈ 0.8

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 910°?

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel 910° > 360° ist, müssen wir eben so lange 360° subtrahieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = 910 - 360° - 360° = 190°

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Kosinuswert wie 320°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 320° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -320°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -320° + 360° = 40°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 110 Volt und +110 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 40 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 4 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 27,5 Volt beträgt?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 110 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 4 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 4 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ 360 40 ° = 9°
4 ms ≙ 9 ⋅ 4° ≈ 36°

sin(36°) ≈ 0.59, entsprechend ist 110 ⋅ sin(36°) ≈ 64.66

Also ist nach 4 ms der y-Wert 64,66 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 27.5 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 110 ⋅ sin(α) = 27.5 gilt.

110 ⋅ sin(α) = 27.5 |: 110

sin(α) = 0.25 | arcsin(⋅) (WTR: sin-1)

α ≈ 14.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ 40 360 ms = 1 9 ms
14.5° ≙ 1 9 ⋅ 14.5 ms ≈ 1.611 ms

Somit ist nach 1,611 ms die Höhe h = 27,5 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 110 ⋅ sin(α) = 27.5 bzw. sin(β) = 0.25. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-14.5 = 165.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ 40 360 ms = 1 9 ms
165.5° ≙ 1 9 ⋅ 165.5 ms ≈ 18.389 ms

Somit ist nach auch 18,389 ms die Höhe h = 27,5 V erreicht.