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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 96 m und die Höhe h = 8 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{96}{2}$ m = 48m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 48² m² ≈ 7238,23 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7238.23 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7238.23 m² ⋅ 8 m ≈ 57905,84 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 m ≈ 301.59 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 m² + 8 m ⋅ 2π ⋅ 48 m
≈ 14476.46 m² + 8 m ⋅ 301.59 m
≈ 14476.46 m² + 2412.74 m²
≈ 16889,2 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 24152.6 m³ = und die Höhe h = 8 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 8$ = 24152.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$25,136 r^{2}$ = $24 152,6$

$25,136 r^{2}$	=	$24 152,6$	\|: $25,136$
$r^{2}$	=	$960,87683$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{960,87683}$	≈ $- 30,998$
r₂	=	$\sqrt{960,87683}$	≈ $30,998$

Wir erhalten also r = 31 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 31² m² ≈ 3019,07 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 m ≈ 194.78 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 m² + 8 m ⋅ 2π ⋅ 31 m
≈ 6038.14 m² + 8 m ⋅ 194.78 m
≈ 6038.14 m² + 1558.23 m²
≈ 7596,37 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 42574.9 m³ = und den Radius r = 44 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 44^{2} \cdot h$ = 42574.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$6 082,912 h$ = $42 574,9$

$6 082,912 h$	=	$42 574,9$	\|: $6 082,912$
$h$	=	$6,9991$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 m ≈ 276.46 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7 m ⋅ 2π ⋅ 44 m
≈ 7 m ⋅ 276.46 m
≈ 1935,22 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,057m² und wird von einer 12 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,057 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,057 m² = π r_in² | :π

0,336 m² = r_in²

0,58 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,58 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,12 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,7 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,7² ≈ 1,539 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,057 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,539 m² - 1,057 m² = 0,482 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,482 m² ⋅ 2 m = 0,965 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 0,965 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 2316 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen