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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 78 cm und die Höhe h = 6 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{78}{2}$ cm = 39cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 39² cm² ≈ 4778,36 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4778.36 cm² ⋅ 6 cm ≈ 28670,17 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅39 cm ≈ 245.04 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4778.36 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 39 cm
≈ 9556.72 cm² + 6 cm ⋅ 245.04 cm
≈ 9556.72 cm² + 1470.27 cm²
≈ 11026,99 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 163.4 m² = und den Radius r = 4 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 4 \cdot h$ = 163.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$25,132 h$ = $163,4$

$25,132 h$	=	$163,4$	\|: $25,132$
$h$	=	$6,5017$

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4² m² ≈ 50,27 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 m² mit der Höhe h = 6.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 m² ⋅ 6.5 m ≈ 326,73 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 298.5 m² = und die Höhe h = 4.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 4,5$ = 298.5

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 4,5 r$ = $47,5$

r^{2} + 4,5 r

=

47,5

|

- 47,5

$r^{2} + 4,5 r - 47,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{{4,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 47,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{20,25 + 190}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{210,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 4,5 + \sqrt{210,25}}{2}$ = $\frac{- 4,5+14,5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

r₂ = $\frac{- 4,5 - \sqrt{210,25}}{2}$ = $\frac{- 4,5-14,5}{2}$ = $\frac{- 19}{2}$ = $- 9,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4,5}{2})}^{2} - (- 47,5)$ = $\frac{20.25}{4}$ $+$ $47,5$ = $\frac{20.25}{4}$ $+$ $\frac{190}{4}$ = $\frac{210.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{4,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{210,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{4,5}{2}$ - $\frac{14,5}{2}$ ≈ -9.5

x₂ = $- \frac{4,5}{2}$ + $\frac{14,5}{2}$ ≈ 5

Wir erhalten also r = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 5² m² ≈ 78,54 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 m² ⋅ 4.5 m ≈ 353,43 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,32 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,32 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,18 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,18 cm)²
= 66,366 cm² - 59,992 cm²
= 6,374 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 6,374 cm² ⋅ 650 cm = 4143 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4143 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 33144 g = 33,144 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen