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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 23 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 232 mm² ≈ 1661,9 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 mm² ⋅ 8 mm ≈ 13295,22 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 mm ≈ 144.51 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 23 mm
≈ 3323.81 mm² + 8 mm ⋅ 144.51 mm
≈ 3323.81 mm² + 1156.11 mm²
≈ 4479,91 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 16689.7 mm³ = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 8,5 = 16689.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

26,707 r 2 = 16689,7

26,707 r 2 = 16689,7 |:26,707
r 2 = 624,91856 | ⋅2
r1 = - 624,91856 ≈ -24,998
r2 = 624,91856 ≈ 24,998

Wir erhalten also r = 25 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 mm ≈ 157.08 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8.5 mm ⋅ 2π ⋅ 25 mm
≈ 8.5 mm ⋅ 157.08 mm
≈ 1335,18 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 282.7 cm² = und die Höhe h = 9 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 9 = 282.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

56,547r = 282,7

56,547r = 282,7 |:56,547
r = 4,9994

Wir erhalten also r = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 cm² ≈ 78,54 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 cm² ⋅ 9 cm ≈ 706,86 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,37 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,37 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,13 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,13 cm)2
= 88,357 cm2 - 79,854 cm2
= 8,503 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 8,503 cm2 ⋅ 400 cm = 3401 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3401 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 27208 g = 27,208 kg.