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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 82 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 82 2 cm = 41cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 412 cm² ≈ 5281,02 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 cm² ⋅ 8 cm ≈ 42248,14 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 cm ≈ 257.61 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 41 cm
≈ 10562.03 cm² + 8 cm ⋅ 257.61 cm
≈ 10562.03 cm² + 2060.88 cm²
≈ 12622,92 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 207.3 cm² = und den Radius r = 6 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 6 · h = 207.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

37,698h = 207,3

37,698h = 207,3 |:37,698
h = 5,499

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 62 cm² ≈ 113,1 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 113.1 cm² mit der Höhe h = 5.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 113.1 cm² ⋅ 5.5 cm ≈ 622,04 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 461.8 mm² = und den Radius r = 7 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 7 2 + 2⋅π · 7 · h = 461.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

43,981h +307,867 = 461,8

43,981h +307,867 = 461,8 | -307,867
43,981h = 153,933 |:43,981
h = 3,5

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 72 mm² ≈ 153,94 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 538,78 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,863m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,863 zu berechen.

Ain = π rin2

1,863 m² = π rin2 | :π

0,593 m² = rin2

0,77 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,77 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,92 ≈ 2,545 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,863 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,545 m2 - 1,863 m2 = 0,682 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 0,682 m2 ⋅ 3 m = 2,046 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 2,046 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 4501,2 kg.