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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 8 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 8 2 mm = 4mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 42 mm² ≈ 50,27 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 mm² ⋅ 10 mm ≈ 502,65 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 mm ≈ 25.13 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 4 mm
≈ 100.53 mm² + 10 mm ⋅ 25.13 mm
≈ 100.53 mm² + 251.33 mm²
≈ 351,86 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1266.1 cm² = und den Radius r = 31 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 31 · h = 1266.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

194,773h = 1266,1

194,773h = 1266,1 |:194,773
h = 6,5004

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 312 cm² ≈ 3019,07 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3019.07 cm² mit der Höhe h = 6.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3019.07 cm² ⋅ 6.5 cm ≈ 19623,96 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3053.6 m³ = und die Höhe h = 3 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 3 = 3053.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

9,426 r 2 = 3053,6

9,426 r 2 = 3053,6 |:9,426
r 2 = 323,95502 | ⋅2
r1 = - 323,95502 ≈ -17,999
r2 = 323,95502 ≈ 17,999

Wir erhalten also r = 18 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 m ≈ 113.1 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 m ⋅ 2π ⋅ 18 m
≈ 3 m ⋅ 113.1 m
≈ 339,29 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,909m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,909 zu berechen.

Ain = π rin2

4,909 m² = π rin2 | :π

1,563 m² = rin2

1,25 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,25 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,4 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,42 ≈ 6,158 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,909 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,158 m2 - 4,909 m2 = 1,249 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,249 m2 ⋅ 3 m = 3,746 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 3,746 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 9739,6 kg.