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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 41 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 412 cm² ≈ 5281,02 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 cm² ⋅ 9 cm ≈ 47529,16 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 cm ≈ 257.61 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 41 cm
≈ 10562.03 cm² + 9 cm ⋅ 257.61 cm
≈ 10562.03 cm² + 2318.5 cm²
≈ 12880,53 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 754 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 2,5 = 754

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 754

15,7075r = 754 |:15,7075
r = 48,0025

Wir erhalten also r = 48 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 482 cm² ≈ 7238,23 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7238.23 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7238.23 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 18095,57 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1193.8 mm² = und die Höhe h = 10 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 10 = 1193.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

62,83r = 1193,8

62,83r = 1193,8 |:62,83
r = 19,0005

Wir erhalten also r = 19 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 10 mm ≈ 11341,15 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,801m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,801 zu berechen.

Ain = π rin2

3,801 m² = π rin2 | :π

1,21 m² = rin2

1,1 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,1 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,25 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,252 ≈ 4,909 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,801 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,909 m2 - 3,801 m2 = 1,108 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 1,108 m2 ⋅ 5 m = 5,537 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 5,537 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 11074 kg.