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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 87 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 87 2 cm = 43.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 43.52 cm² ≈ 5944,68 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5944.68 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5944.68 cm² ⋅ 8 cm ≈ 47557,43 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43.5 cm ≈ 273.32 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5944.68 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 43.5 cm
≈ 11889.36 cm² + 8 cm ⋅ 273.32 cm
≈ 11889.36 cm² + 2186.55 cm²
≈ 14075,91 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 13609.4 m³ = und den Radius r = 38 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 38 2 · h = 13609.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

4537,048h = 13609,4

4537,048h = 13609,4 |:4537,048
h = 2,9996

Wir erhalten also h = 3 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 m ≈ 238.76 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 m ⋅ 2π ⋅ 38 m
≈ 3 m ⋅ 238.76 m
≈ 716,28 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1709 m² = und die Höhe h = 8 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 8 = 1709

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

50,264r = 1709

50,264r = 1709 |:50,264
r = 34,0005

Wir erhalten also r = 34 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 342 m² ≈ 3631,68 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3631.68 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3631.68 m² ⋅ 8 m ≈ 29053,45 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0.42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6.58 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6.58 cm)2
= 76.969 cm2 - 68.01 cm2
= 8.959 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 8.959 cm2 ⋅ 350 cm = 3136 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3136 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 25088 g = 25.088 kg.