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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 27 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{27}{2}$ cm = 13.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 13.5² cm² ≈ 572,56 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 572.56 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 572.56 cm² ⋅ 5 cm ≈ 2862,78 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13.5 cm ≈ 84.82 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 572.56 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 13.5 cm
≈ 1145.11 cm² + 5 cm ⋅ 84.82 cm
≈ 1145.11 cm² + 424.12 cm²
≈ 1569,23 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 5849.6 m³ = und die Höhe h = 9.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 9,5$ = 5849.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$29,849 r^{2}$ = $5 849,6$

$29,849 r^{2}$	=	$5 849,6$	\|: $29,849$
$r^{2}$	=	$195,97306$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{195,97306}$	≈ $- 13,999$
r₂	=	$\sqrt{195,97306}$	≈ $13,999$

Wir erhalten also r = 14 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 14² m² ≈ 615,75 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅14 m ≈ 87.96 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 615.75 m² + 9.5 m ⋅ 2π ⋅ 14 m
≈ 1231.5 m² + 9.5 m ⋅ 87.96 m
≈ 1231.5 m² + 835.66 m²
≈ 2067,17 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 276.5 cm² = und die Höhe h = 7 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 7$ = 276.5

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 7 r$ = $44$

r^{2} + 7 r

=

44

|

- 44

$r^{2} + 7 r - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

r₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

r₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Wir erhalten also r = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4² cm² ≈ 50,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 cm² ⋅ 7 cm ≈ 351,86 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 0,985m² und wird von einer 9 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 0,985 zu berechen.

A_in = π r_in²

0,985 m² = π r_in² | :π

0,314 m² = r_in²

0,56 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,56 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,09 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 0,985 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 0,985 m² = 0,342 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 0,342 m² ⋅ 3 m = 1,026 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,026 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 2462,4 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen