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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 53 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 53 2 mm = 26.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 26.52 mm² ≈ 2206,18 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2206.18 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2206.18 mm² ⋅ 6 mm ≈ 13237,1 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26.5 mm ≈ 166.5 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2206.18 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 26.5 mm
≈ 4412.37 mm² + 6 mm ⋅ 166.5 mm
≈ 4412.37 mm² + 999.03 mm²
≈ 5411,39 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1710.6 m³ = und die Höhe h = 4.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 4,5 = 1710.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

14,139 r 2 = 1710,6

14,139 r 2 = 1710,6 |:14,139
r 2 = 120,98451 | ⋅2
r1 = - 120,98451 ≈ -10,999
r2 = 120,98451 ≈ 10,999

Wir erhalten also r = 11 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 112 m² ≈ 380,13 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅11 m ≈ 69.12 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 380.13 m² + 4.5 m ⋅ 2π ⋅ 11 m
≈ 760.27 m² + 4.5 m ⋅ 69.12 m
≈ 760.27 m² + 311.02 m²
≈ 1071,28 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 2566.7 m² = und den Radius r = 19 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 19 2 + 2⋅π · 19 · h = 2566.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

119,377h +2268,163 = 2566,7

119,377h +2268,163 = 2566,7 | -2268,163
119,377h = 298,537 |:119,377
h = 2,5008

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 m² ≈ 1134,11 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 m² mit der Höhe h = 2.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 m² ⋅ 2.5 m ≈ 2835,29 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,72m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,72 zu berechen.

Ain = π rin2

1,72 m² = π rin2 | :π

0,547 m² = rin2

0,74 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,74 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,85 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,852 ≈ 2,27 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,72 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,27 m2 - 1,72 m2 = 0,55 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,55 m2 ⋅ 5 m = 2,747 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:

m = 2,747 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 6592,8 kg.