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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 1,5 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 1.5² m² ≈ 7,07 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7.07 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7.07 m² ⋅ 6 m ≈ 42,41 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅1.5 m ≈ 9.42 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7.07 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 1.5 m
≈ 14.14 m² + 6 m ⋅ 9.42 m
≈ 14.14 m² + 56.55 m²
≈ 70,69 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 29045.6 m³ = und die Höhe h = 5.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 5,5$ = 29045.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$17,281 r^{2}$ = $29 045,6$

$17,281 r^{2}$	=	$29 045,6$	\|: $17,281$
$r^{2}$	=	$1 680,78236$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 680,78236}$	≈ $- 40,997$
r₂	=	$\sqrt{1 680,78236}$	≈ $40,997$

Wir erhalten also r = 41 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 m ≈ 257.61 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5.5 m ⋅ 2π ⋅ 41 m
≈ 5.5 m ⋅ 257.61 m
≈ 1416,86 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 27218.8 m³ = und die Höhe h = 6 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 6$ = 27218.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$18,852 r^{2}$ = $27 218,8$

$18,852 r^{2}$	=	$27 218,8$	\|: $18,852$
$r^{2}$	=	$1 443,81498$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 443,81498}$	≈ $- 37,998$
r₂	=	$\sqrt{1 443,81498}$	≈ $37,998$

Wir erhalten also r = 38 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 38² m² ≈ 4536,46 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 m ≈ 238.76 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4536.46 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 38 m
≈ 9072.92 m² + 6 m ⋅ 238.76 m
≈ 9072.92 m² + 1432.57 m²
≈ 10505,49 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,449m² und wird von einer 21 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,449 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,449 m² = π r_in² | :π

1,416 m² = r_in²

1,19 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,19 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,21 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,4 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,4² ≈ 6,158 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,449 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 6,158 m² - 4,449 m² = 1,709 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,709 m² ⋅ 2 m = 3,417 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 3,417 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 8884,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen