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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 9 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{9}{2}$ cm = 4.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4.5² cm² ≈ 63,62 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 63.62 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 63.62 cm² ⋅ 8 cm ≈ 508,94 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4.5 cm ≈ 28.27 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 63.62 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 4.5 cm
≈ 127.23 cm² + 8 cm ⋅ 28.27 cm
≈ 127.23 cm² + 226.19 cm²
≈ 353,43 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 226.2 mm² = und den Radius r = 9 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 9 \cdot h$ = 226.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$56,547 h$ = $226,2$

$56,547 h$	=	$226,2$	\|: $56,547$
$h$	=	$4,0002$

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 9² mm² ≈ 254,47 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 mm² ⋅ 4 mm ≈ 1017,88 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1105.8 m² = und die Höhe h = 5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 5$ = 1105.8

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 5 r$ = $176$

r^{2} + 5 r

=

176

|

- 176

$r^{2} + 5 r - 176$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 176)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 704}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{729}}{2}$

r₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{- 5+27}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

r₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{729}}{2}$ = $\frac{- 5-27}{2}$ = $\frac{- 32}{2}$ = $- 16$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 176)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $176$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{704}{4}$ = $\frac{729}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{729}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{27}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{27}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = 11

Wir erhalten also r = 11 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 11² m² ≈ 380,13 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 380.13 m² ⋅ 5 m ≈ 1900,66 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,37 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,37 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 7,13 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (7,13 cm)²
= 88,357 cm² - 79,854 cm²
= 8,503 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 8,503 cm² ⋅ 450 cm = 3826 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 3826 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 30608 g = 30,608 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen