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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 7,5 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 7.52 m² ≈ 176,71 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 176.71 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 176.71 m² ⋅ 10 m ≈ 1767,15 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7.5 m ≈ 47.12 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 176.71 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 7.5 m
≈ 353.43 m² + 10 m ⋅ 47.12 m
≈ 353.43 m² + 471.24 m²
≈
824,67 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 18472.6 m³ = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 18472.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = | ≈ | |
| r2 | = | ≈ |
Wir erhalten also r = 28 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 282 m² ≈ 2463,01 m²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅28 m ≈ 175.93 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2463.01 m² + 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 28 m
≈ 4926.02 m² + 7.5 m ⋅ 175.93 m
≈ 4926.02 m² + 1319.47 m²
≈
6245,49 m²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2626.4 mm² = und den Radius r = 44 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2626.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 442 mm² ≈ 6082,12 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 mm² mit der Höhe h = 9.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6082.12 mm² ⋅ 9.5 mm ≈ 57780,17 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,659m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,659 zu berechen.
Ain = π rin2
2,659 m² = π rin2 | :π
0,846 m² = rin2
0,92 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,92 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,05 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,052 ≈ 3,464 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,659 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,464 m2 - 2,659 m2 = 0,805 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 0,805 m2 ⋅ 2 m = 1,609 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 1,609 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 4183,4 kg.