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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 4,5 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 4.52 cm² ≈ 63,62 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 63.62 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 63.62 cm² ⋅ 5 cm ≈ 318,09 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4.5 cm ≈ 28.27 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 63.62 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 4.5 cm
≈ 127.23 cm² + 5 cm ⋅ 28.27 cm
≈ 127.23 cm² + 141.37 cm²
≈
268,61 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1976.1 m² = und den Radius r = 37 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1976.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 372 m² ≈ 4300,84 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4300.84 m² mit der Höhe h = 8.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4300.84 m² ⋅ 8.5 m ≈ 36557,14 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 326.7 cm² = und die Höhe h = 4 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 326.7
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 13 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 132 cm² ≈ 530,93 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 cm² mit der Höhe h = 4 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 530.93 cm² ⋅ 4 cm ≈ 2123,72 cm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,72 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (7 cm)2 - π (6,72
cm)2
= 76,969 cm2 - 70,935 cm2
=
6,034 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:
V = 6,034 cm2 ⋅ 500 cm = 3017 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 3017 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 24136 g = 24,136 kg.