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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 20,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 20.52 mm² ≈ 1320,25 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1320.25 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1320.25 mm² ⋅ 9 mm ≈ 11882,29 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅20.5 mm ≈ 128.81 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1320.25 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 20.5 mm
≈ 2640.51 mm² + 9 mm ⋅ 128.81 mm
≈ 2640.51 mm² + 1159.25 mm²
≈ 3799,76 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 848.2 mm² = und den Radius r = 30 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 30 · h = 848.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

188,49h = 848,2

188,49h = 848,2 |:188,49
h = 4,5

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 mm² ≈ 2827,43 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 mm² mit der Höhe h = 4.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 mm² ⋅ 4.5 mm ≈ 12723,45 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 125.7 mm² = und den Radius r = 4 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 4 · h = 125.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

25,132h = 125,7

25,132h = 125,7 |:25,132
h = 5,0016

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 42 mm² ≈ 50,27 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 mm² ⋅ 5 mm ≈ 251,33 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,37 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,37 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,13 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,13 cm)2
= 88,357 cm2 - 79,854 cm2
= 8,503 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 8,503 cm2 ⋅ 500 cm = 4251 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4251 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 34008 g = 34,008 kg.