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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 79 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 79 2 mm = 39.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 39.52 mm² ≈ 4901,67 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4901.67 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4901.67 mm² ⋅ 9 mm ≈ 44115,03 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅39.5 mm ≈ 248.19 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4901.67 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 39.5 mm
≈ 9803.34 mm² + 9 mm ⋅ 248.19 mm
≈ 9803.34 mm² + 2233.67 mm²
≈ 12037,01 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18378.3 m³ = und den Radius r = 30 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 30 2 · h = 18378.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

2827,8h = 18378,3

2827,8h = 18378,3 |:2827,8
h = 6,4992

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 m ≈ 188.5 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6.5 m ⋅ 2π ⋅ 30 m
≈ 6.5 m ⋅ 188.5 m
≈ 1225,22 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 219.9 mm² = und den Radius r = 10 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 10 · h = 219.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

62,83h = 219,9

62,83h = 219,9 |:62,83
h = 3,4999

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 102 mm² ≈ 314,16 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 314.16 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 314.16 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 1099,56 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,48 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,48 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,52 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8 cm)2 - 1 2 π (7,52 cm)2
= 100,531 cm2 - 88,829 cm2
= 11,702 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 11,702 cm2 ⋅ 350 cm = 4096 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4096 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 32768 g = 32,768 kg.