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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 37 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 372 mm² ≈ 4300,84 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4300.84 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4300.84 mm² ⋅ 6 mm ≈ 25805,04 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37 mm ≈ 232.48 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4300.84 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 37 mm
≈ 8601.68 mm² + 6 mm ⋅ 232.48 mm
≈ 8601.68 mm² + 1394.87 mm²
≈ 9996,55 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 276.5 mm² = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 4 = 276.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

25,132r = 276,5

25,132r = 276,5 |:25,132
r = 11,0019

Wir erhalten also r = 11 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 112 mm² ≈ 380,13 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 380.13 mm² ⋅ 4 mm ≈ 1520,53 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18653.2 cm³ = und die Höhe h = 9.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 9,5 = 18653.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

29,849 r 2 = 18653,2

29,849 r 2 = 18653,2 |:29,849
r 2 = 624,91876 | ⋅2
r1 = - 624,91876 ≈ -24,998
r2 = 624,91876 ≈ 24,998

Wir erhalten also r = 25 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 252 cm² ≈ 1963,5 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 cm ≈ 157.08 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1963.5 cm² + 9.5 cm ⋅ 2π ⋅ 25 cm
≈ 3926.99 cm² + 9.5 cm ⋅ 157.08 cm
≈ 3926.99 cm² + 1492.26 cm²
≈ 5419,25 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,72 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6,72 cm)2
= 76,969 cm2 - 70,935 cm2
= 6,034 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:

V = 6,034 cm2 ⋅ 600 cm = 3621 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3621 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 28968 g = 28,968 kg.