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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 11 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 11 2 mm = 5.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 5.52 mm² ≈ 95,03 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 95.03 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 95.03 mm² ⋅ 9 mm ≈ 855,3 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5.5 mm ≈ 34.56 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 95.03 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 5.5 mm
≈ 190.07 mm² + 9 mm ⋅ 34.56 mm
≈ 190.07 mm² + 311.02 mm²
≈ 501,08 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1583.4 mm³ = und den Radius r = 12 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 12 2 · h = 1583.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

452,448h = 1583,4

452,448h = 1583,4 |:452,448
h = 3,4996

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 122 mm² ≈ 452,39 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12 mm ≈ 75.4 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 452.39 mm² + 3.5 mm ⋅ 2π ⋅ 12 mm
≈ 904.78 mm² + 3.5 mm ⋅ 75.4 mm
≈ 904.78 mm² + 263.89 mm²
≈ 1168,67 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 505.8 cm² = und den Radius r = 23 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 23 · h = 505.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

144,509h = 505,8

144,509h = 505,8 |:144,509
h = 3,5001

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 232 cm² ≈ 1661,9 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 cm² mit der Höhe h = 3.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 cm² ⋅ 3.5 cm ≈ 5816,66 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,524m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,524 zu berechen.

Ain = π rin2

4,524 m² = π rin2 | :π

1,44 m² = rin2

1,2 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,2 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,352 ≈ 5,726 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,524 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,726 m2 - 4,524 m2 = 1,202 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,202 m2 ⋅ 4 m = 4,807 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 4,807 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 12498,2 kg.