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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 77 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 77 2 m = 38.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 38.52 m² ≈ 4656,63 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4656.63 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4656.63 m² ⋅ 10 m ≈ 46566,26 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38.5 m ≈ 241.9 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4656.63 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 38.5 m
≈ 9313.25 m² + 10 m ⋅ 241.9 m
≈ 9313.25 m² + 2419.03 m²
≈ 11732,28 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18145.8 cm³ = und die Höhe h = 4 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 4 = 18145.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

12,568 r 2 = 18145,8

12,568 r 2 = 18145,8 |:12,568
r 2 = 1443,80968 | ⋅2
r1 = - 1443,80968 ≈ -37,997
r2 = 1443,80968 ≈ 37,997

Wir erhalten also r = 38 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 cm ≈ 238.76 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4 cm ⋅ 2π ⋅ 38 cm
≈ 4 cm ⋅ 238.76 cm
≈ 955,04 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 78.5 m² = und die Höhe h = 2.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 2,5 = 78.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 78,5

15,7075r = 78,5 |:15,7075
r = 4,9976

Wir erhalten also r = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 m² ≈ 78,54 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 m² mit der Höhe h = 2.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 m² ⋅ 2.5 m ≈ 196,35 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,011m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,011 zu berechen.

Ain = π rin2

4,011 m² = π rin2 | :π

1,277 m² = rin2

1,13 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,13 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,3 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,32 ≈ 5,309 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,011 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,309 m2 - 4,011 m2 = 1,298 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,298 m2 ⋅ 4 m = 5,191 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 5,191 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 13496,6 kg.