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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 47,5 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 47.52 mm² ≈ 7088,22 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7088.22 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 7088.22 mm² ⋅ 10 mm ≈ 70882,18 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47.5 mm ≈ 298.45 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7088.22 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 47.5 mm
≈ 14176.44 mm² + 10 mm ⋅ 298.45 mm
≈ 14176.44 mm² + 2984.51 mm²
≈
17160,95 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 7717.3 mm³ = und den Radius r = 17 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 7717.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17 mm ≈ 106.81 mm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 8.5 mm ⋅ 2π ⋅ 17 mm
≈ 8.5 mm ⋅ 106.81 mm
≈ 907,92 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 11259.5 cm³ = und den Radius r = 32 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 11259.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 322 cm² ≈ 3216,99 cm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32 cm ≈ 201.06 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3216.99 cm² + 3.5 cm ⋅ 2π ⋅ 32 cm
≈ 6433.98 cm² + 3.5 cm ⋅ 201.06 cm
≈ 6433.98 cm² + 703.72 cm²
≈
7137,7 cm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,72m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,72 zu berechen.
Ain = π rin2
1,72 m² = π rin2 | :π
0,547 m² = rin2
0,74 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,74 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,85 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,852 ≈ 2,27 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,72 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,27 m2 - 1,72 m2 = 0,55 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 0,55 m2 ⋅ 2 m = 1,099 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:
m = 1,099 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 2637,6 kg.