Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 95 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{95}{2}$ mm = 47.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 47.5² mm² ≈ 7088,22 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7088.22 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7088.22 mm² ⋅ 10 mm ≈ 70882,18 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47.5 mm ≈ 298.45 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7088.22 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 47.5 mm
≈ 14176.44 mm² + 10 mm ⋅ 298.45 mm
≈ 14176.44 mm² + 2984.51 mm²
≈ 17160,95 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 29045.6 cm³ = und die Höhe h = 5.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 5,5$ = 29045.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$17,281 r^{2}$ = $29 045,6$

$17,281 r^{2}$	=	$29 045,6$	\|: $17,281$
$r^{2}$	=	$1 680,78236$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 680,78236}$	≈ $- 40,997$
r₂	=	$\sqrt{1 680,78236}$	≈ $40,997$

Wir erhalten also r = 41 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 cm ≈ 257.61 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5.5 cm ⋅ 2π ⋅ 41 cm
≈ 5.5 cm ⋅ 257.61 cm
≈ 1416,86 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 3141.6 mm² = und die Höhe h = 10 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 10$ = 3141.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$62,83 r$ = $3 141,6$

$62,83 r$	=	$3 141,6$	\|: $62,83$
$r$	=	$50,0016$

Wir erhalten also r = 50 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 50² mm² ≈ 7853,98 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7853.98 mm² ⋅ 10 mm ≈ 78539,82 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,011m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,011 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,011 m² = π r_in² | :π

0,64 m² = r_in²

0,8 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,8 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,011 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 2,011 m² = 0,534 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,534 m² ⋅ 5 m = 2,67 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 2,67 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 5340 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen