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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 40 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 402 cm² ≈ 5026,55 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5026.55 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5026.55 cm² ⋅ 9 cm ≈ 45238,93 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 cm ≈ 251.33 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5026.55 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 40 cm
≈ 10053.1 cm² + 9 cm ⋅ 251.33 cm
≈ 10053.1 cm² + 2261.95 cm²
≈ 12315,04 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1080.7 mm² = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 4 = 1080.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

25,132r = 1080,7

25,132r = 1080,7 |:25,132
r = 43,001

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 432 mm² ≈ 5808,8 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 mm² ⋅ 4 mm ≈ 23235,22 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 30790.7 cm³ = und die Höhe h = 9 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 9 = 30790.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

28,278 r 2 = 30790,7

28,278 r 2 = 30790,7 |:28,278
r 2 = 1088,85706 | ⋅2
r1 = - 1088,85706 ≈ -32,998
r2 = 1088,85706 ≈ 32,998

Wir erhalten also r = 33 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 332 cm² ≈ 3421,19 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅33 cm ≈ 207.35 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3421.19 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 33 cm
≈ 6842.39 cm² + 9 cm ⋅ 207.35 cm
≈ 6842.39 cm² + 1866.11 cm²
≈ 8708,49 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,58 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6,58 cm)2
= 76,969 cm2 - 68,01 cm2
= 8,959 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 8,959 cm2 ⋅ 400 cm = 3584 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3584 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 28672 g = 28,672 kg.