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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 26,5 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 26.52 mm² ≈ 2206,18 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2206.18 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2206.18 mm² ⋅ 8 mm ≈ 17649,47 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26.5 mm ≈ 166.5 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2206.18 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 26.5 mm
≈ 4412.37 mm² + 8 mm ⋅ 166.5 mm
≈ 4412.37 mm² + 1332.04 mm²
≈ 5744,4 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 3141.6 mm² = und den Radius r = 50 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 50 · h = 3141.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

314,15h = 3141,6

314,15h = 3141,6 |:314,15
h = 10,0003

Wir erhalten also h = 10 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 502 mm² ≈ 7853,98 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7853.98 mm² ⋅ 10 mm ≈ 78539,82 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 11721.3 m² = und den Radius r = 41 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 41 2 + 2⋅π · 41 · h = 11721.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

257,603h +10561,723 = 11721,3

257,603h +10561,723 = 11721,3 | -10561,723
257,603h = 1159,577 |:257,603
h = 4,5014

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 412 m² ≈ 5281,02 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 m² ⋅ 4.5 m ≈ 23764,58 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,664m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,664 zu berechen.

Ain = π rin2

3,664 m² = π rin2 | :π

1,166 m² = rin2

1,08 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,08 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,25 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,252 ≈ 4,909 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,664 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,909 m2 - 3,664 m2 = 1,245 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,245 m2 ⋅ 4 m = 4,978 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 4,978 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 12942,8 kg.