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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 25 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 252 m² ≈ 1963,5 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1963.5 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1963.5 m² ⋅ 5 m ≈ 9817,48 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 m ≈ 157.08 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1963.5 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 25 m
≈ 3926.99 m² + 5 m ⋅ 157.08 m
≈ 3926.99 m² + 785.4 m²
≈ 4712,39 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 785.4 mm³ = und die Höhe h = 2.5 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 2,5 = 785.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

7,855 r 2 = 785,4

7,855 r 2 = 785,4 |:7,855
r 2 = 99,98727 | ⋅2
r1 = - 99,98727 ≈ -9,999
r2 = 99,98727 ≈ 9,999

Wir erhalten also r = 10 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 2.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅10 mm ≈ 62.83 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 2.5 mm ⋅ 2π ⋅ 10 mm
≈ 2.5 mm ⋅ 62.83 mm
≈ 157,08 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 659.7 m² = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 3,5 = 659.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

21,9905r = 659,7

21,9905r = 659,7 |:21,9905
r = 29,9993

Wir erhalten also r = 30 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 3.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 3.5 m ≈ 9896,02 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,217m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,217 zu berechen.

Ain = π rin2

2,217 m² = π rin2 | :π

0,706 m² = rin2

0,84 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,84 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,95 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,952 ≈ 2,835 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,217 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,835 m2 - 2,217 m2 = 0,618 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 0,618 m2 ⋅ 3 m = 1,856 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 1,856 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 4825,6 kg.