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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 18 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 18² cm² ≈ 1017,88 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1017.88 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1017.88 cm² ⋅ 5 cm ≈ 5089,38 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 2035.75 cm² + 5 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 2035.75 cm² + 565.49 cm²
≈ 2601,24 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 57255.5 m³ = und die Höhe h = 9 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 9$ = 57255.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$28,278 r^{2}$ = $57 255,5$

$28,278 r^{2}$	=	$57 255,5$	\|: $28,278$
$r^{2}$	=	$2 024,73654$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{2 024,73654}$	≈ $- 44,997$
r₂	=	$\sqrt{2 024,73654}$	≈ $44,997$

Wir erhalten also r = 45 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 45² m² ≈ 6361,73 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅45 m ≈ 282.74 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6361.73 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 45 m
≈ 12723.45 m² + 9 m ⋅ 282.74 m
≈ 12723.45 m² + 2544.69 m²
≈ 15268,14 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 10932.7 m² = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 3,5$ = 10932.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 3,5 r$ = $1 740$

r^{2} + 3,5 r

=

1 740

|

- 1 740

$r^{2} + 3,5 r - 1 740$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{{3,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 740)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{12,25 + 6 960}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{6 972,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 3,5 + \sqrt{6 972,25}}{2}$ = $\frac{- 3,5+83,5}{2}$ = $\frac{80}{2}$ = $40$

r₂ = $\frac{- 3,5 - \sqrt{6 972,25}}{2}$ = $\frac{- 3,5-83,5}{2}$ = $\frac{- 87}{2}$ = $- 43,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3,5}{2})}^{2} - (- 1 740)$ = $\frac{12.25}{4}$ $+$ $1740$ = $\frac{12.25}{4}$ $+$ $\frac{6960}{4}$ = $\frac{6972.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{6972,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3,5}{2}$ - $\frac{83,5}{2}$ ≈ -43.5

x₂ = $- \frac{3,5}{2}$ + $\frac{83,5}{2}$ ≈ 40

Wir erhalten also r = 40 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 40² m² ≈ 5026,55 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5026.55 m² mit der Höhe h = 3.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5026.55 m² ⋅ 3.5 m ≈ 17592,92 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,909m² und wird von einer 25 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,909 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,909 m² = π r_in² | :π

1,563 m² = r_in²

1,25 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,25 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,25 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,5 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,5² ≈ 7,069 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,909 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 7,069 m² - 4,909 m² = 2,16 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 2,16 m² ⋅ 5 m = 10,799 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 10,799 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 23757,8 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen