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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 3,5 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 3.52 m² ≈ 38,48 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 38.48 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 38.48 m² ⋅ 10 m ≈ 384,85 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3.5 m ≈ 21.99 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 38.48 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 3.5 m
≈ 76.97 m² + 10 m ⋅ 21.99 m
≈ 76.97 m² + 219.91 m²
≈ 296,88 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1228.4 mm² = und den Radius r = 23 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 23 · h = 1228.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

144,509h = 1228,4

144,509h = 1228,4 |:144,509
h = 8,5005

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 232 mm² ≈ 1661,9 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 14126,17 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 12271.1 mm² = und den Radius r = 42 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 42 2 + 2⋅π · 42 · h = 12271.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

263,886h +11083,212 = 12271,1

263,886h +11083,212 = 12271,1 | -11083,212
263,886h = 1187,888 |:263,886
h = 4,5015

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 mm² ≈ 5541,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 mm² mit der Höhe h = 4.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 mm² ⋅ 4.5 mm ≈ 24937,96 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,079m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,079 zu berechen.

Ain = π rin2

3,079 m² = π rin2 | :π

0,98 m² = rin2

0,99 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,99 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,12 ≈ 3,801 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,079 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,801 m2 - 3,079 m2 = 0,722 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,722 m2 ⋅ 2 m = 1,445 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 1,445 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 3757 kg.