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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 38 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 38 2 mm = 19mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 7 mm ≈ 7938,8 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 7 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 835.66 mm²
≈ 3103,89 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 754 m² = und die Höhe h = 5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 5 = 754

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

31,415r = 754

31,415r = 754 |:31,415
r = 24,0013

Wir erhalten also r = 24 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 242 m² ≈ 1809,56 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1809.56 m² ⋅ 5 m ≈ 9047,79 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 34989.5 mm³ = und den Radius r = 45 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 45 2 · h = 34989.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

6362,55h = 34989,5

6362,55h = 34989,5 |:6362,55
h = 5,4993

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 452 mm² ≈ 6361,73 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅45 mm ≈ 282.74 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6361.73 mm² + 5.5 mm ⋅ 2π ⋅ 45 mm
≈ 12723.45 mm² + 5.5 mm ⋅ 282.74 mm
≈ 12723.45 mm² + 1555.09 mm²
≈ 14278,54 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,676m² und wird von einer 18 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,676 zu berechen.

Ain = π rin2

4,676 m² = π rin2 | :π

1,488 m² = rin2

1,22 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,22 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,18 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,4 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,42 ≈ 6,158 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,676 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,158 m2 - 4,676 m2 = 1,482 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 1,482 m2 ⋅ 5 m = 7,408 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 7,408 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 16297,6 kg.