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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 23 mm und die Höhe h = 5 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 23 2 mm = 11.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 11.52 mm² ≈ 415,48 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 415.48 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 415.48 mm² ⋅ 5 mm ≈ 2077,38 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅11.5 mm ≈ 72.26 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 415.48 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 11.5 mm
≈ 830.95 mm² + 5 mm ⋅ 72.26 mm
≈ 830.95 mm² + 361.28 mm²
≈ 1192,23 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 235.6 m² = und den Radius r = 5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 5 · h = 235.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

31,415h = 235,6

31,415h = 235,6 |:31,415
h = 7,4996

Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 m² ≈ 78,54 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 m² ⋅ 7.5 m ≈ 589,05 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 66758.8 cm³ = und den Radius r = 50 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 50 2 · h = 66758.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

7855h = 66758,8

7855h = 66758,8 |:7855
h = 8,4989

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 cm ≈ 314.16 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8.5 cm ⋅ 2π ⋅ 50 cm
≈ 8.5 cm ⋅ 314.16 cm
≈ 2670,35 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,815m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,815 zu berechen.

Ain = π rin2

1,815 m² = π rin2 | :π

0,578 m² = rin2

0,76 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,76 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,92 ≈ 2,545 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,815 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,545 m2 - 1,815 m2 = 0,73 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,73 m2 ⋅ 5 m = 3,651 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 3,651 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 8032,2 kg.