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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 20,5 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 20.5² m² ≈ 1320,25 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1320.25 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1320.25 m² ⋅ 7 m ≈ 9241,78 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅20.5 m ≈ 128.81 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1320.25 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 20.5 m
≈ 2640.51 m² + 7 m ⋅ 128.81 m
≈ 2640.51 m² + 901.64 m²
≈ 3542,15 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 2544.7 m³ = und den Radius r = 18 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 18^{2} \cdot h$ = 2544.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 018,008 h$ = $2 544,7$

$1 018,008 h$	=	$2 544,7$	\|: $1 018,008$
$h$	=	$2,4997$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 2.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 m ≈ 113.1 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 2.5 m ⋅ 2π ⋅ 18 m
≈ 2.5 m ⋅ 113.1 m
≈ 282,74 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1545.7 m² = und die Höhe h = 8.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 8,5$ = 1545.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 8,5 r$ = $246$

r^{2} + 8,5 r

=

246

|

- 246

$r^{2} + 8,5 r - 246$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{{8,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 246)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{72,25 + 984}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{1 056,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 8,5 + \sqrt{1 056,25}}{2}$ = $\frac{- 8,5+32,5}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

r₂ = $\frac{- 8,5 - \sqrt{1 056,25}}{2}$ = $\frac{- 8,5-32,5}{2}$ = $\frac{- 41}{2}$ = $- 20,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8,5}{2})}^{2} - (- 246)$ = $\frac{72.25}{4}$ $+$ $246$ = $\frac{72.25}{4}$ $+$ $\frac{984}{4}$ = $\frac{1056.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{8,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1056,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{8,5}{2}$ - $\frac{32,5}{2}$ ≈ -20.5

x₂ = $- \frac{8,5}{2}$ + $\frac{32,5}{2}$ ≈ 12

Wir erhalten also r = 12 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 12² m² ≈ 452,39 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 452.39 m² mit der Höhe h = 8.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 452.39 m² ⋅ 8.5 m ≈ 3845,31 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,34 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,34 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 8,16 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (8,16 cm)²
= 113,49 cm² - 104,592 cm²
= 8,898 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 550 cm:

V = 8,898 cm² ⋅ 550 cm = 4894 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4894 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 39152 g = 39,152 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen