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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 5 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 cm² ≈ 78,54 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 cm² ⋅ 5 cm ≈ 392,7 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5 cm ≈ 31.42 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 78.54 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 5 cm
≈ 157.08 cm² + 5 cm ⋅ 31.42 cm
≈ 157.08 cm² + 157.08 cm²
≈ 314,16 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 19301.9 mm³ = und den Radius r = 32 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 32 2 · h = 19301.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

3217,408h = 19301,9

3217,408h = 19301,9 |:3217,408
h = 5,9992

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 322 mm² ≈ 3216,99 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32 mm ≈ 201.06 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3216.99 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 32 mm
≈ 6433.98 mm² + 6 mm ⋅ 201.06 mm
≈ 6433.98 mm² + 1206.37 mm²
≈ 7640,35 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 6157.5 m² = und den Radius r = 28 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 28 2 + 2⋅π · 28 · h = 6157.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

175,924h +4925,872 = 6157,5

175,924h +4925,872 = 6157,5 | -4925,872
175,924h = 1231,628 |:175,924
h = 7,0009

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 282 m² ≈ 2463,01 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2463.01 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2463.01 m² ⋅ 7 m ≈ 17241,06 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,19 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,19 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,31 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6,5 cm)2 - 1 2 π (6,31 cm)2
= 66,366 cm2 - 62,543 cm2
= 3,823 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 3,823 cm2 ⋅ 300 cm = 1147 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 1147 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 9176 g = 9,176 kg.