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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 43,5 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 43.52 m² ≈ 5944,68 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5944.68 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5944.68 m² ⋅ 5 m ≈ 29723,39 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43.5 m ≈ 273.32 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5944.68 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 43.5 m
≈ 11889.36 m² + 5 m ⋅ 273.32 m
≈ 11889.36 m² + 1366.59 m²
≈ 13255,95 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3845.3 mm³ = und den Radius r = 12 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 12 2 · h = 3845.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

452,448h = 3845,3

452,448h = 3845,3 |:452,448
h = 8,4989

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 122 mm² ≈ 452,39 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12 mm ≈ 75.4 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 452.39 mm² + 8.5 mm ⋅ 2π ⋅ 12 mm
≈ 904.78 mm² + 8.5 mm ⋅ 75.4 mm
≈ 904.78 mm² + 640.88 mm²
≈ 1545,66 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 3801.3 m² = und den Radius r = 22 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 22 2 + 2⋅π · 22 · h = 3801.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

138,226h +3040,972 = 3801,3

138,226h +3040,972 = 3801,3 | -3040,972
138,226h = 760,328 |:138,226
h = 5,5006

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 222 m² ≈ 1520,53 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 m² mit der Höhe h = 5.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1520.53 m² ⋅ 5.5 m ≈ 8362,92 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,37 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,37 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,13 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,13 cm)2
= 88,357 cm2 - 79,854 cm2
= 8,503 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 8,503 cm2 ⋅ 300 cm = 2551 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2551 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 20408 g = 20,408 kg.