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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 15,5 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 15.52 mm² ≈ 754,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 754.77 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 754.77 mm² ⋅ 8 mm ≈ 6038,14 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15.5 mm ≈ 97.39 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 754.77 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 15.5 mm
≈ 1509.54 mm² + 8 mm ⋅ 97.39 mm
≈ 1509.54 mm² + 779.11 mm²
≈ 2288,65 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 27708.8 m³ = und den Radius r = 42 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 42 2 · h = 27708.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

5542,488h = 27708,8

5542,488h = 27708,8 |:5542,488
h = 4,9993

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 m² ≈ 5541,77 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 m ≈ 263.89 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 42 m
≈ 11083.54 m² + 5 m ⋅ 263.89 m
≈ 11083.54 m² + 1319.47 m²
≈ 12403,01 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 9415.4 m² = und den Radius r = 37 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 37 2 + 2⋅π · 37 · h = 9415.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

232,471h +8601,427 = 9415,4

232,471h +8601,427 = 9415,4 | -8601,427
232,471h = 813,973 |:232,471
h = 3,5014

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 372 m² ≈ 4300,84 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4300.84 m² mit der Höhe h = 3.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4300.84 m² ⋅ 3.5 m ≈ 15052,94 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,3 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,3 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,2 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,2 cm)2
= 88,357 cm2 - 81,43 cm2
= 6,927 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 6,927 cm2 ⋅ 300 cm = 2078 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2078 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 16624 g = 16,624 kg.