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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 58 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 58 2 m = 29m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 292 m² ≈ 2642,08 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2642.08 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2642.08 m² ⋅ 7 m ≈ 18494,56 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅29 m ≈ 182.21 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2642.08 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 29 m
≈ 5284.16 m² + 7 m ⋅ 182.21 m
≈ 5284.16 m² + 1275.49 m²
≈ 6559,65 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1036.7 m² = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 7,5 = 1036.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

47,1225r = 1036,7

47,1225r = 1036,7 |:47,1225
r = 22,0001

Wir erhalten also r = 22 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 222 m² ≈ 1520,53 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1520.53 m² ⋅ 7.5 m ≈ 11403,98 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 537.2 cm² = und den Radius r = 9 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 9 · h = 537.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

56,547h = 537,2

56,547h = 537,2 |:56,547
h = 9,5001

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 cm² ≈ 254,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 cm² mit der Höhe h = 9.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 cm² ⋅ 9.5 cm ≈ 2417,46 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,205m² und wird von einer 19 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,205 zu berechen.

Ain = π rin2

3,205 m² = π rin2 | :π

1,02 m² = rin2

1,01 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,01 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,19 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,2 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,22 ≈ 4,524 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,205 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,524 m2 - 3,205 m2 = 1,319 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,319 m2 ⋅ 2 m = 2,638 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 2,638 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 5276 kg.