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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 40 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 40 2 mm = 20mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 202 mm² ≈ 1256,64 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1256.64 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1256.64 mm² ⋅ 7 mm ≈ 8796,46 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅20 mm ≈ 125.66 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1256.64 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 20 mm
≈ 2513.27 mm² + 7 mm ⋅ 125.66 mm
≈ 2513.27 mm² + 879.65 mm²
≈ 3392,92 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 19396.2 cm³ = und die Höhe h = 3.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 3,5 = 19396.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

10,997 r 2 = 19396,2

10,997 r 2 = 19396,2 |:10,997
r 2 = 1763,77194 | ⋅2
r1 = - 1763,77194 ≈ -41,997
r2 = 1763,77194 ≈ 41,997

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 cm² ≈ 5541,77 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 cm ≈ 263.89 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 cm² + 3.5 cm ⋅ 2π ⋅ 42 cm
≈ 11083.54 cm² + 3.5 cm ⋅ 263.89 cm
≈ 11083.54 cm² + 923.63 cm²
≈ 12007,17 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 4241.2 m³ = und den Radius r = 15 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 15 2 · h = 4241.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

706,95h = 4241,2

706,95h = 4241,2 |:706,95
h = 5,9993

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 152 m² ≈ 706,86 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15 m ≈ 94.25 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 706.86 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 15 m
≈ 1413.72 m² + 6 m ⋅ 94.25 m
≈ 1413.72 m² + 565.49 m²
≈ 1979,2 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,4 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,4 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,6 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8 cm)2 - 1 2 π (7,6 cm)2
= 100,531 cm2 - 90,729 cm2
= 9,802 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 9,802 cm2 ⋅ 350 cm = 3431 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3431 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 27448 g = 27,448 kg.