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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 4 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4² cm² ≈ 50,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 cm² ⋅ 10 cm ≈ 502,65 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 cm ≈ 25.13 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 4 cm
≈ 100.53 cm² + 10 cm ⋅ 25.13 cm
≈ 100.53 cm² + 251.33 cm²
≈ 351,86 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 19113.4 cm³ = und den Radius r = 39 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 39^{2} \cdot h$ = 19113.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$4 778,982 h$ = $19 113,4$

$4 778,982 h$	=	$19 113,4$	\|: $4 778,982$
$h$	=	$3,9995$

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅39 cm ≈ 245.04 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4 cm ⋅ 2π ⋅ 39 cm
≈ 4 cm ⋅ 245.04 cm
≈ 980,18 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 10781.9 cm² = und die Höhe h = 5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 5$ = 10781.9

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 5 r$ = $1 716$

r^{2} + 5 r

=

1 716

|

- 1 716

$r^{2} + 5 r - 1 716$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 716)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 6 864}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{6 889}}{2}$

r₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{6 889}}{2}$ = $\frac{- 5+83}{2}$ = $\frac{78}{2}$ = $39$

r₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{6 889}}{2}$ = $\frac{- 5-83}{2}$ = $\frac{- 88}{2}$ = $- 44$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 1 716)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $1716$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{6864}{4}$ = $\frac{6889}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{6889}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{83}{2}$ = $- \frac{88}{2}$ = -44

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{83}{2}$ = $\frac{78}{2}$ = 39

Wir erhalten also r = 39 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 39² cm² ≈ 4778,36 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4778.36 cm² ⋅ 5 cm ≈ 23891,81 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,35 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,35 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,65 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,65 cm)²
= 76,969 cm² - 69,465 cm²
= 7,504 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:

V = 7,504 cm² ⋅ 600 cm = 4503 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4503 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 36024 g = 36,024 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen