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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 7 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 72 m² ≈ 153,94 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 m² ⋅ 10 m ≈ 1539,38 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7 m ≈ 43.98 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 153.94 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 7 m
≈ 307.88 m² + 10 m ⋅ 43.98 m
≈ 307.88 m² + 439.82 m²
≈ 747,7 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 110 mm² = und den Radius r = 5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 5 · h = 110

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

31,415h = 110

31,415h = 110 |:31,415
h = 3,5015

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 mm² ≈ 78,54 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 274,89 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 471.2 m² = und den Radius r = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 10 · h = 471.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

62,83h = 471,2

62,83h = 471,2 |:62,83
h = 7,4996

Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 102 m² ≈ 314,16 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 314.16 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 314.16 m² ⋅ 7.5 m ≈ 2356,19 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,301m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,301 zu berechen.

Ain = π rin2

4,301 m² = π rin2 | :π

1,369 m² = rin2

1,17 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,17 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,3 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,32 ≈ 5,309 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,301 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,309 m2 - 4,301 m2 = 1,008 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,008 m2 ⋅ 2 m = 2,018 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:

m = 2,018 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 5246,8 kg.