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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 25 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 25² cm² ≈ 1963,5 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1963.5 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1963.5 cm² ⋅ 5 cm ≈ 9817,48 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 cm ≈ 157.08 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1963.5 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 25 cm
≈ 3926.99 cm² + 5 cm ⋅ 157.08 cm
≈ 3926.99 cm² + 785.4 cm²
≈ 4712,39 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 16342.6 cm³ = und den Radius r = 34 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 34^{2} \cdot h$ = 16342.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$3 632,152 h$ = $16 342,6$

$3 632,152 h$	=	$16 342,6$	\|: $3 632,152$
$h$	=	$4,4994$

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅34 cm ≈ 213.63 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4.5 cm ⋅ 2π ⋅ 34 cm
≈ 4.5 cm ⋅ 213.63 cm
≈ 961,33 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 7257.1 mm² = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 8,5$ = 7257.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 8,5 r$ = $1 155$

r^{2} + 8,5 r

=

1 155

|

- 1 155

$r^{2} + 8,5 r - 1 155$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{{8,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 155)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{72,25 + 4 620}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 8,5 \pm \sqrt{4 692,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 8,5 + \sqrt{4 692,25}}{2}$ = $\frac{- 8,5+68,5}{2}$ = $\frac{60}{2}$ = $30$

r₂ = $\frac{- 8,5 - \sqrt{4 692,25}}{2}$ = $\frac{- 8,5-68,5}{2}$ = $\frac{- 77}{2}$ = $- 38,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8,5}{2})}^{2} - (- 1 155)$ = $\frac{72.25}{4}$ $+$ $1155$ = $\frac{72.25}{4}$ $+$ $\frac{4620}{4}$ = $\frac{4692.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{8,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{4692,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{8,5}{2}$ - $\frac{68,5}{2}$ ≈ -38.5

x₂ = $- \frac{8,5}{2}$ + $\frac{68,5}{2}$ ≈ 30

Wir erhalten also r = 30 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30² mm² ≈ 2827,43 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 24033,18 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 5,82 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (5,82 cm)²
= 56,549 cm² - 53,207 cm²
= 3,342 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 3,342 cm² ⋅ 650 cm = 2172 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2172 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 17376 g = 17,376 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen