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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 64 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 64 2 cm = 32cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 322 cm² ≈ 3216,99 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3216.99 cm² ⋅ 9 cm ≈ 28952,92 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32 cm ≈ 201.06 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3216.99 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 32 cm
≈ 6433.98 cm² + 9 cm ⋅ 201.06 cm
≈ 6433.98 cm² + 1809.56 cm²
≈ 8243,54 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 12076.3 mm³ = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 4 = 12076.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

12,568 r 2 = 12076,3

12,568 r 2 = 12076,3 |:12,568
r 2 = 960,87683 | ⋅2
r1 = - 960,87683 ≈ -30,998
r2 = 960,87683 ≈ 30,998

Wir erhalten also r = 31 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 312 mm² ≈ 3019,07 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 mm ≈ 194.78 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 mm² + 4 mm ⋅ 2π ⋅ 31 mm
≈ 6038.14 mm² + 4 mm ⋅ 194.78 mm
≈ 6038.14 mm² + 779.11 mm²
≈ 6817,26 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 904.8 m² = und den Radius r = 16 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 16 · h = 904.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

100,528h = 904,8

100,528h = 904,8 |:100,528
h = 9,0005

Wir erhalten also h = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 162 m² ≈ 804,25 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 804.25 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 804.25 m² ⋅ 9 m ≈ 7238,23 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,45 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,45 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,05 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,05 cm)2
= 88,357 cm2 - 78,073 cm2
= 10,284 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 10,284 cm2 ⋅ 450 cm = 4628 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4628 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 37024 g = 37,024 kg.