Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 89 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{89}{2}$ cm = 44.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 44.5² cm² ≈ 6221,14 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6221.14 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6221.14 cm² ⋅ 8 cm ≈ 49769,11 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44.5 cm ≈ 279.6 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6221.14 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 44.5 cm
≈ 12442.28 cm² + 8 cm ⋅ 279.6 cm
≈ 12442.28 cm² + 2236.81 cm²
≈ 14679,09 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 678.6 cm² = und den Radius r = 24 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 24 \cdot h$ = 678.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$150,792 h$ = $678,6$

$150,792 h$	=	$678,6$	\|: $150,792$
$h$	=	$4,5002$

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 24² cm² ≈ 1809,56 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 cm² mit der Höhe h = 4.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1809.56 cm² ⋅ 4.5 cm ≈ 8143,01 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3982 m³ = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 7,5$ = 3982

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$23,565 r^{2}$ = $3 982$

$23,565 r^{2}$	=	$3 982$	\|: $23,565$
$r^{2}$	=	$168,97942$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{168,97942}$	≈ $- 12,999$
r₂	=	$\sqrt{168,97942}$	≈ $12,999$

Wir erhalten also r = 13 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 13² m² ≈ 530,93 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13 m ≈ 81.68 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 530.93 m² + 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 13 m
≈ 1061.86 m² + 7.5 m ⋅ 81.68 m
≈ 1061.86 m² + 612.61 m²
≈ 1674,47 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,25 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,25 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 8,25 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (8,25 cm)²
= 113,49 cm² - 106,912 cm²
= 6,578 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 6,578 cm² ⋅ 300 cm = 1973 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 1973 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 15784 g = 15,784 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen