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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 18 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 182 m² ≈ 1017,88 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1017.88 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1017.88 m² ⋅ 6 m ≈ 6107,26 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 m ≈ 113.1 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 18 m
≈ 2035.75 m² + 6 m ⋅ 113.1 m
≈ 2035.75 m² + 678.58 m²
≈ 2714,34 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 314.2 m² = und die Höhe h = 2.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 2,5 = 314.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 314,2

15,7075r = 314,2 |:15,7075
r = 20,0032

Wir erhalten also r = 20 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 202 m² ≈ 1256,64 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1256.64 m² mit der Höhe h = 2.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1256.64 m² ⋅ 2.5 m ≈ 3141,59 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 13571.7 m³ = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 7,5 = 13571.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

23,565 r 2 = 13571,7

23,565 r 2 = 13571,7 |:23,565
r 2 = 575,92616 | ⋅2
r1 = - 575,92616 ≈ -23,998
r2 = 575,92616 ≈ 23,998

Wir erhalten also r = 24 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅24 m ≈ 150.8 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 24 m
≈ 7.5 m ⋅ 150.8 m
≈ 1130,97 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,72 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6,72 cm)2
= 76,969 cm2 - 70,935 cm2
= 6,034 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 6,034 cm2 ⋅ 350 cm = 2112 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2112 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 16896 g = 16,896 kg.