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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 28,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 28.52 mm² ≈ 2551,76 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2551.76 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 2551.76 mm² ⋅ 9 mm ≈ 22965,83 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅28.5 mm ≈ 179.07 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2551.76 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 28.5 mm
≈ 5103.52 mm² + 9 mm ⋅ 179.07 mm
≈ 5103.52 mm² + 1611.64 mm²
≈
6715,15 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 895.4 m² = und den Radius r = 19 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 895.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 192 m² ≈ 1134,11 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1134.11 m² ⋅ 7.5 m ≈ 8505,86 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1947.8 m² = und die Höhe h = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1947.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 31 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 312 m² ≈ 3019,07 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3019.07 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3019.07 m² ⋅ 10 m ≈ 30190,71 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,58 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (7 cm)2 - π (6,58
cm)2
= 76,969 cm2 - 68,01 cm2
=
8,959 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:
V = 8,959 cm2 ⋅ 300 cm = 2688 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 2688 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 21504 g = 21,504 kg.