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cosh
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 64 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = cm = 32cm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 322 cm² ≈ 3216,99 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3216.99 cm² ⋅ 9 cm ≈ 28952,92 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32 cm ≈ 201.06 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3216.99 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 32 cm
≈ 6433.98 cm² + 9 cm ⋅ 201.06 cm
≈ 6433.98 cm² + 1809.56 cm²
≈
8243,54 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 12076.3 mm³ = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 12076.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 31 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 312 mm² ≈ 3019,07 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 mm ≈ 194.78 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 mm² + 4 mm ⋅ 2π ⋅ 31 mm
≈ 6038.14 mm² + 4 mm ⋅ 194.78 mm
≈ 6038.14 mm² + 779.11 mm²
≈
6817,26 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 904.8 m² = und den Radius r = 16 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Wir erhalten also h = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 162 m² ≈ 804,25 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 804.25 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 804.25 m² ⋅ 9 m ≈ 7238,23 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,45 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,45 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,05 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain =
=
= 88,357 cm2 - 78,073 cm2
=
10,284 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:
V = 10,284 cm2 ⋅ 450 cm = 4628 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 4628 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 37024 g = 37,024 kg.
