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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 37 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 37² m² ≈ 4300,84 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4300.84 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4300.84 m² ⋅ 7 m ≈ 30105,88 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37 m ≈ 232.48 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4300.84 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 37 m
≈ 8601.68 m² + 7 m ⋅ 232.48 m
≈ 8601.68 m² + 1627.34 m²
≈ 10229,03 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1922.7 mm² = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 8,5$ = 1922.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$53,4055 r$ = $1 922,7$

$53,4055 r$	=	$1 922,7$	\|: $53,4055$
$r$	=	$36,0019$

Wir erhalten also r = 36 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 36² mm² ≈ 4071,5 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4071.5 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4071.5 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 34607,78 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 6616.2 m³ = und die Höhe h = 6.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 6,5$ = 6616.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$20,423 r^{2}$ = $6 616,2$

$20,423 r^{2}$	=	$6 616,2$	\|: $20,423$
$r^{2}$	=	$323,95828$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{323,95828}$	≈ $- 17,999$
r₂	=	$\sqrt{323,95828}$	≈ $17,999$

Wir erhalten also r = 18 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 18² m² ≈ 1017,88 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 m ≈ 113.1 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 m² + 6.5 m ⋅ 2π ⋅ 18 m
≈ 2035.75 m² + 6.5 m ⋅ 113.1 m
≈ 2035.75 m² + 735.13 m²
≈ 2770,88 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,39 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,39 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,11 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,11 cm)²
= 66,366 cm² - 58,641 cm²
= 7,725 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 7,725 cm² ⋅ 350 cm = 2704 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2704 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 21632 g = 21,632 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen