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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 80 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{80}{2}$ cm = 40cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 40² cm² ≈ 5026,55 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5026.55 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5026.55 cm² ⋅ 7 cm ≈ 35185,84 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 cm ≈ 251.33 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5026.55 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 40 cm
≈ 10053.1 cm² + 7 cm ⋅ 251.33 cm
≈ 10053.1 cm² + 1759.29 cm²
≈ 11812,39 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 36191.1 mm³ = und den Radius r = 48 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 48^{2} \cdot h$ = 36191.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$7 239,168 h$ = $36 191,1$

$7 239,168 h$	=	$36 191,1$	\|: $7 239,168$
$h$	=	$4,9993$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 48² mm² ≈ 7238,23 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 mm ≈ 301.59 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 48 mm
≈ 14476.46 mm² + 5 mm ⋅ 301.59 mm
≈ 14476.46 mm² + 1507.96 mm²
≈ 15984,42 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 593.8 m² = und die Höhe h = 6.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 6,5$ = 593.8

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 6,5 r$ = $94,5$

r^{2} + 6,5 r

=

94,5

|

- 94,5

$r^{2} + 6,5 r - 94,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{{6,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 94,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{42,25 + 378}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{420,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 6,5 + \sqrt{420,25}}{2}$ = $\frac{- 6,5+20,5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

r₂ = $\frac{- 6,5 - \sqrt{420,25}}{2}$ = $\frac{- 6,5-20,5}{2}$ = $\frac{- 27}{2}$ = $- 13,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6,5}{2})}^{2} - (- 94,5)$ = $\frac{42.25}{4}$ $+$ $94,5$ = $\frac{42.25}{4}$ $+$ $\frac{378}{4}$ = $\frac{420.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{6,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{420,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{6,5}{2}$ - $\frac{20,5}{2}$ ≈ -13.5

x₂ = $- \frac{6,5}{2}$ + $\frac{20,5}{2}$ ≈ 7

Wir erhalten also r = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 7² m² ≈ 153,94 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 m² mit der Höhe h = 6.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 m² ⋅ 6.5 m ≈ 1000,6 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,961m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,961 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,961 m² = π r_in² | :π

0,624 m² = r_in²

0,79 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,79 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,961 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 1,961 m² = 0,584 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,584 m² ⋅ 2 m = 1,168 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,168 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 2803,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen