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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 7,5 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 7.5² cm² ≈ 176,71 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 176.71 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 176.71 cm² ⋅ 7 cm ≈ 1237 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7.5 cm ≈ 47.12 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 176.71 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 7.5 cm
≈ 353.43 cm² + 7 cm ⋅ 47.12 cm
≈ 353.43 cm² + 329.87 cm²
≈ 683,3 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 10178.8 mm³ = und den Radius r = 36 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 36^{2} \cdot h$ = 10178.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$4 072,032 h$ = $10 178,8$

$4 072,032 h$	=	$10 178,8$	\|: $4 072,032$
$h$	=	$2,4997$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 36² mm² ≈ 4071,5 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 2.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36 mm ≈ 226.19 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4071.5 mm² + 2.5 mm ⋅ 2π ⋅ 36 mm
≈ 8143.01 mm² + 2.5 mm ⋅ 226.19 mm
≈ 8143.01 mm² + 565.49 mm²
≈ 8708,49 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 4118.6 cm² = und die Höhe h = 5.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 5,5$ = 4118.6

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 5,5 r$ = $655,5$

r^{2} + 5,5 r

=

655,5

|

- 655,5

$r^{2} + 5,5 r - 655,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 5,5 \pm \sqrt{{5,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 655,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 5,5 \pm \sqrt{30,25 + 2 622}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 5,5 \pm \sqrt{2 652,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 5,5 + \sqrt{2 652,25}}{2}$ = $\frac{- 5,5+51,5}{2}$ = $\frac{46}{2}$ = $23$

r₂ = $\frac{- 5,5 - \sqrt{2 652,25}}{2}$ = $\frac{- 5,5-51,5}{2}$ = $\frac{- 57}{2}$ = $- 28,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5,5}{2})}^{2} - (- 655,5)$ = $\frac{30.25}{4}$ $+$ $655,5$ = $\frac{30.25}{4}$ $+$ $\frac{2622}{4}$ = $\frac{2652.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{2652,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{5,5}{2}$ - $\frac{51,5}{2}$ ≈ -28.5

x₂ = $- \frac{5,5}{2}$ + $\frac{51,5}{2}$ ≈ 23

Wir erhalten also r = 23 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 23² cm² ≈ 1661,9 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 cm² mit der Höhe h = 5.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 cm² ⋅ 5.5 cm ≈ 9140,46 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,061m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,061 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,061 m² = π r_in² | :π

0,656 m² = r_in²

0,81 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,81 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,95 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,95² ≈ 2,835 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,061 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,835 m² - 2,061 m² = 0,774 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,774 m² ⋅ 5 m = 3,87 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 3,87 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 7740 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen