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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 94 cm und die Höhe h = 6 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{94}{2}$ cm = 47cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 47² cm² ≈ 6939,78 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 cm² ⋅ 6 cm ≈ 41638,67 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47 cm ≈ 295.31 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6939.78 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 47 cm
≈ 13879.56 cm² + 6 cm ⋅ 295.31 cm
≈ 13879.56 cm² + 1771.86 cm²
≈ 15651,41 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 44334.2 m³ = und die Höhe h = 8 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 8$ = 44334.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$25,136 r^{2}$ = $44 334,2$

$25,136 r^{2}$	=	$44 334,2$	\|: $25,136$
$r^{2}$	=	$1 763,77307$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 763,77307}$	≈ $- 41,997$
r₂	=	$\sqrt{1 763,77307}$	≈ $41,997$

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 42² m² ≈ 5541,77 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 m ≈ 263.89 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 m² + 8 m ⋅ 2π ⋅ 42 m
≈ 11083.54 m² + 8 m ⋅ 263.89 m
≈ 11083.54 m² + 2111.15 m²
≈ 13194,69 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 452.4 mm³ = und die Höhe h = 9 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 9$ = 452.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$28,278 r^{2}$ = $452,4$

$28,278 r^{2}$	=	$452,4$	\|: $28,278$
$r^{2}$	=	$15,9983$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{15,9983}$	≈ $- 4$
r₂	=	$\sqrt{15,9983}$	≈ $4$

Wir erhalten also r = 4 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 mm ≈ 25.13 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 mm ⋅ 2π ⋅ 4 mm
≈ 9 mm ⋅ 25.13 mm
≈ 226,19 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,3 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,3 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 5,7 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (5,7 cm)²
= 56,549 cm² - 51,035 cm²
= 5,514 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 5,514 cm² ⋅ 500 cm = 2757 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2757 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 22056 g = 22,056 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen