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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 98 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{98}{2}$ m = 49m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 49² m² ≈ 7542,96 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7542.96 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7542.96 m² ⋅ 7 m ≈ 52800,75 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅49 m ≈ 307.88 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7542.96 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 49 m
≈ 15085.93 m² + 7 m ⋅ 307.88 m
≈ 15085.93 m² + 2155.13 m²
≈ 17241,06 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1080.7 cm² = und die Höhe h = 4 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 4$ = 1080.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$25,132 r$ = $1 080,7$

$25,132 r$	=	$1 080,7$	\|: $25,132$
$r$	=	$43,001$

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² cm² ≈ 5808,8 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 cm² mit der Höhe h = 4 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 cm² ⋅ 4 cm ≈ 23235,22 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 19635 mm³ = und die Höhe h = 10 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 10$ = 19635

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$31,42 r^{2}$ = $19 635$

$31,42 r^{2}$	=	$19 635$	\|: $31,42$
$r^{2}$	=	$624,92043$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{624,92043}$	≈ $- 24,998$
r₂	=	$\sqrt{624,92043}$	≈ $24,998$

Wir erhalten also r = 25 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 25² mm² ≈ 1963,5 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 mm ≈ 157.08 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1963.5 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 25 mm
≈ 3926.99 mm² + 10 mm ⋅ 157.08 mm
≈ 3926.99 mm² + 1570.8 mm²
≈ 5497,79 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,061m² und wird von einer 9 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,061 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,061 m² = π r_in² | :π

0,656 m² = r_in²

0,81 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,81 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,09 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,061 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 2,061 m² = 0,484 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,484 m² ⋅ 4 m = 1,934 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,934 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 4641,6 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen