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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 19 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 8 mm ≈ 9072,92 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 8 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 955.04 mm²
≈ 3223,27 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 596.9 mm² = und den Radius r = 19 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 19 · h = 596.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

119,377h = 596,9

119,377h = 596,9 |:119,377
h = 5,0001

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 5 mm ≈ 5670,57 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1878.7 m² = und den Radius r = 13 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 13 2 + 2⋅π · 13 · h = 1878.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

81,679h +1061,827 = 1878,7

81,679h +1061,827 = 1878,7 | -1061,827
81,679h = 816,873 |:81,679
h = 10,001

Wir erhalten also h = 10 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 132 m² ≈ 530,93 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 530.93 m² ⋅ 10 m ≈ 5309,29 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,131m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,131 zu berechen.

Ain = π rin2

1,131 m² = π rin2 | :π

0,36 m² = rin2

0,6 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,6 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,7 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,72 ≈ 1,539 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,131 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,539 m2 - 1,131 m2 = 0,408 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,408 m2 ⋅ 2 m = 0,817 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 0,817 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 1797,4 kg.