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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 17,5 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 17.5² m² ≈ 962,11 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 962.11 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 962.11 m² ⋅ 5 m ≈ 4810,56 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17.5 m ≈ 109.96 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 962.11 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 17.5 m
≈ 1924.23 m² + 5 m ⋅ 109.96 m
≈ 1924.23 m² + 549.78 m²
≈ 2474 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 40828.1 mm³ = und die Höhe h = 9 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 9$ = 40828.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$28,278 r^{2}$ = $40 828,1$

$28,278 r^{2}$	=	$40 828,1$	\|: $28,278$
$r^{2}$	=	$1 443,81144$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 443,81144}$	≈ $- 37,998$
r₂	=	$\sqrt{1 443,81144}$	≈ $37,998$

Wir erhalten also r = 38 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 mm ≈ 238.76 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 mm ⋅ 2π ⋅ 38 mm
≈ 9 mm ⋅ 238.76 mm
≈ 2148,85 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 17750 mm² = und die Höhe h = 6.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 6,5$ = 17750

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 6,5 r$ = $2 825$

r^{2} + 6,5 r

=

2 825

|

- 2 825

$r^{2} + 6,5 r - 2 825$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{{6,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 825)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{42,25 + 11 300}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 6,5 \pm \sqrt{11 342,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 6,5 + \sqrt{11 342,25}}{2}$ = $\frac{- 6,5+106,5}{2}$ = $\frac{100}{2}$ = $50$

r₂ = $\frac{- 6,5 - \sqrt{11 342,25}}{2}$ = $\frac{- 6,5-106,5}{2}$ = $\frac{- 113}{2}$ = $- 56,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6,5}{2})}^{2} - (- 2 825)$ = $\frac{42.25}{4}$ $+$ $2825$ = $\frac{42.25}{4}$ $+$ $\frac{11300}{4}$ = $\frac{11342.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{6,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{11342,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{6,5}{2}$ - $\frac{106,5}{2}$ ≈ -56.5

x₂ = $- \frac{6,5}{2}$ + $\frac{106,5}{2}$ ≈ 50

Wir erhalten also r = 50 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 50² mm² ≈ 7853,98 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 mm² mit der Höhe h = 6.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7853.98 mm² ⋅ 6.5 mm ≈ 51050,88 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (8,08 cm)²
= 113,49 cm² - 102,552 cm²
= 10,938 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 10,938 cm² ⋅ 500 cm = 5469 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 5469 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 43752 g = 43,752 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen