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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 4 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{4}{2}$ mm = 2mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 2² mm² ≈ 12,57 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 12.57 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 12.57 mm² ⋅ 10 mm ≈ 125,66 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅2 mm ≈ 12.57 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 12.57 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 2 mm
≈ 25.13 mm² + 10 mm ⋅ 12.57 mm
≈ 25.13 mm² + 125.66 mm²
≈ 150,8 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2089.2 cm² = und den Radius r = 35 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 35 \cdot h$ = 2089.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$219,905 h$ = $2 089,2$

$219,905 h$	=	$2 089,2$	\|: $219,905$
$h$	=	$9,5005$

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 35² cm² ≈ 3848,45 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3848.45 cm² mit der Höhe h = 9.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3848.45 cm² ⋅ 9.5 cm ≈ 36560,28 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 449.2 m² = und den Radius r = 13 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 13 \cdot h$ = 449.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$81,679 h$ = $449,2$

$81,679 h$	=	$449,2$	\|: $81,679$
$h$	=	$5,4996$

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 13² m² ≈ 530,93 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 m² mit der Höhe h = 5.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 530.93 m² ⋅ 5.5 m ≈ 2920,11 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,584m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,584 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,584 m² = π r_in² | :π

0,504 m² = r_in²

0,71 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,71 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,85 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,85² ≈ 2,27 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,584 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,27 m² - 1,584 m² = 0,686 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,686 m² ⋅ 4 m = 2,744 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 2,744 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 7134,4 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen