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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 4 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 42 cm² ≈ 50,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 cm² ⋅ 9 cm ≈ 452,39 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 cm ≈ 25.13 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 4 cm
≈ 100.53 cm² + 9 cm ⋅ 25.13 cm
≈ 100.53 cm² + 226.19 cm²
≈ 326,73 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 36492.7 m³ = und die Höhe h = 6 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 6 = 36492.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

18,852 r 2 = 36492,7

18,852 r 2 = 36492,7 |:18,852
r 2 = 1935,74687 | ⋅2
r1 = - 1935,74687 ≈ -43,997
r2 = 1935,74687 ≈ 43,997

Wir erhalten also r = 44 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 m ≈ 276.46 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6 m ⋅ 2π ⋅ 44 m
≈ 6 m ⋅ 276.46 m
≈ 1658,76 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1520.5 mm² = und die Höhe h = 5.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 5,5 = 1520.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

34,5565r = 1520,5

34,5565r = 1520,5 |:34,5565
r = 44,0004

Wir erhalten also r = 44 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 442 mm² ≈ 6082,12 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 mm² mit der Höhe h = 5.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6082.12 mm² ⋅ 5.5 mm ≈ 33451,68 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,19 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,19 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,31 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6,5 cm)2 - 1 2 π (6,31 cm)2
= 66,366 cm2 - 62,543 cm2
= 3,823 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 3,823 cm2 ⋅ 450 cm = 1720 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 1720 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 13760 g = 13,76 kg.