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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 13 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 132 m² ≈ 530,93 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 530.93 m² ⋅ 10 m ≈ 5309,29 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13 m ≈ 81.68 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 530.93 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 13 m
≈ 1061.86 m² + 10 m ⋅ 81.68 m
≈ 1061.86 m² + 816.81 m²
≈ 1878,67 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 38792.4 cm³ = und den Radius r = 42 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 42 2 · h = 38792.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

5542,488h = 38792,4

5542,488h = 38792,4 |:5542,488
h = 6,9991

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 cm² ≈ 5541,77 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 cm ≈ 263.89 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 42 cm
≈ 11083.54 cm² + 7 cm ⋅ 263.89 cm
≈ 11083.54 cm² + 1847.26 cm²
≈ 12930,8 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 226.2 m³ = und den Radius r = 4 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 4 2 · h = 226.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

50,272h = 226,2

50,272h = 226,2 |:50,272
h = 4,4995

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 42 m² ≈ 50,27 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 m ≈ 25.13 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 m² + 4.5 m ⋅ 2π ⋅ 4 m
≈ 100.53 m² + 4.5 m ⋅ 25.13 m
≈ 100.53 m² + 113.1 m²
≈ 213,63 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,142m² und wird von einer 20 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,142 zu berechen.

Ain = π rin2

3,142 m² = π rin2 | :π

1 m² = rin2

1 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,2 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,2 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,22 ≈ 4,524 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,142 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,524 m2 - 3,142 m2 = 1,382 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,382 m2 ⋅ 4 m = 5,529 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 5,529 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 11058 kg.