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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 83 cm und die Höhe h = 6 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 83 2 cm = 41.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 41.52 cm² ≈ 5410,61 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5410.61 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5410.61 cm² ⋅ 6 cm ≈ 32463,65 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41.5 cm ≈ 260.75 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5410.61 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 41.5 cm
≈ 10821.22 cm² + 6 cm ⋅ 260.75 cm
≈ 10821.22 cm² + 1564.51 cm²
≈ 12385,73 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 339.3 m³ = und die Höhe h = 3 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 3 = 339.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

9,426 r 2 = 339,3

9,426 r 2 = 339,3 |:9,426
r 2 = 35,99618 | ⋅2
r1 = - 35,99618 ≈ -6
r2 = 35,99618 ≈ 6

Wir erhalten also r = 6 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅6 m ≈ 37.7 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 m ⋅ 2π ⋅ 6 m
≈ 3 m ⋅ 37.7 m
≈ 113,1 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 2884 cm² = und den Radius r = 18 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 18 2 + 2⋅π · 18 · h = 2884

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

113,094h +2035,692 = 2884

113,094h +2035,692 = 2884 | -2035,692
113,094h = 848,308 |:113,094
h = 7,5009

Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 182 cm² ≈ 1017,88 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1017.88 cm² mit der Höhe h = 7.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1017.88 cm² ⋅ 7.5 cm ≈ 7634,07 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,301m² und wird von einer 18 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,301 zu berechen.

Ain = π rin2

4,301 m² = π rin2 | :π

1,369 m² = rin2

1,17 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,17 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,18 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,352 ≈ 5,726 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,301 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,726 m2 - 4,301 m2 = 1,425 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,425 m2 ⋅ 2 m = 2,85 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 2,85 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 5700 kg.