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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 36 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 36² cm² ≈ 4071,5 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4071.5 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4071.5 cm² ⋅ 9 cm ≈ 36643,54 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36 cm ≈ 226.19 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4071.5 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 36 cm
≈ 8143.01 cm² + 9 cm ⋅ 226.19 cm
≈ 8143.01 cm² + 2035.75 cm²
≈ 10178,76 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18095.6 mm³ = und den Radius r = 48 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 48^{2} \cdot h$ = 18095.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$7 239,168 h$ = $18 095,6$

$7 239,168 h$	=	$18 095,6$	\|: $7 239,168$
$h$	=	$2,4997$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 2.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 mm ≈ 301.59 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 2.5 mm ⋅ 2π ⋅ 48 mm
≈ 2.5 mm ⋅ 301.59 mm
≈ 753,98 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 7640.4 m² = und die Höhe h = 6 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 6$ = 7640.4

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 6 r$ = $1 216$

r^{2} + 6 r

=

1 216

|

- 1 216

$r^{2} + 6 r - 1 216$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 216)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 864}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4 900}}{2}$

r₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4 900}}{2}$ = $\frac{- 6+70}{2}$ = $\frac{64}{2}$ = $32$

r₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4 900}}{2}$ = $\frac{- 6-70}{2}$ = $\frac{- 76}{2}$ = $- 38$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 1 216)$ = $9$ $+$ $1216$ = $1225$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1 225}$

x₁ = $- 3$ - $35$ = -38

x₂ = $- 3$ + $35$ = 32

Wir erhalten also r = 32 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 32² m² ≈ 3216,99 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3216.99 m² ⋅ 6 m ≈ 19301,95 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,51 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,51 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 7,99 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (7,99 cm)²
= 113,49 cm² - 100,28 cm²
= 13,21 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 13,21 cm² ⋅ 400 cm = 5284 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 5284 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 42272 g = 42,272 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen