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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 80 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{80}{2}$ cm = 40cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 40² cm² ≈ 5026,55 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5026.55 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5026.55 cm² ⋅ 5 cm ≈ 25132,74 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 cm ≈ 251.33 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5026.55 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 40 cm
≈ 10053.1 cm² + 5 cm ⋅ 251.33 cm
≈ 10053.1 cm² + 1256.64 cm²
≈ 11309,73 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1143.5 cm² = und den Radius r = 28 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 28 \cdot h$ = 1143.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$175,924 h$ = $1 143,5$

$175,924 h$	=	$1 143,5$	\|: $175,924$
$h$	=	$6,5$

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 28² cm² ≈ 2463,01 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2463.01 cm² mit der Höhe h = 6.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2463.01 cm² ⋅ 6.5 cm ≈ 16009,56 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1979.2 cm² = und den Radius r = 45 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 45 \cdot h$ = 1979.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$282,735 h$ = $1 979,2$

$282,735 h$	=	$1 979,2$	\|: $282,735$
$h$	=	$7,0002$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 45² cm² ≈ 6361,73 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6361.73 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6361.73 cm² ⋅ 7 cm ≈ 44532,08 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 5,82 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (5,82 cm)²
= 56,549 cm² - 53,207 cm²
= 3,342 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 3,342 cm² ⋅ 400 cm = 1337 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 1337 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 10696 g = 10,696 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen