Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 34,5 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 34.5² m² ≈ 3739,28 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3739.28 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3739.28 m² ⋅ 10 m ≈ 37392,81 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅34.5 m ≈ 216.77 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3739.28 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 34.5 m
≈ 7478.56 m² + 10 m ⋅ 216.77 m
≈ 7478.56 m² + 2167.7 m²
≈ 9646,26 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1858.3 cm³ = und die Höhe h = 3.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3,5$ = 1858.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$10,997 r^{2}$ = $1 858,3$

$10,997 r^{2}$	=	$1 858,3$	\|: $10,997$
$r^{2}$	=	$168,98245$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{168,98245}$	≈ $- 12,999$
r₂	=	$\sqrt{168,98245}$	≈ $12,999$

Wir erhalten also r = 13 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13 cm ≈ 81.68 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3.5 cm ⋅ 2π ⋅ 13 cm
≈ 3.5 cm ⋅ 81.68 cm
≈ 285,88 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18114.4 mm³ = und den Radius r = 31 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 31^{2} \cdot h$ = 18114.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$3 019,462 h$ = $18 114,4$

$3 019,462 h$	=	$18 114,4$	\|: $3 019,462$
$h$	=	$5,9992$

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 31² mm² ≈ 3019,07 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 mm ≈ 194.78 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 31 mm
≈ 6038.14 mm² + 6 mm ⋅ 194.78 mm
≈ 6038.14 mm² + 1168.67 mm²
≈ 7206,81 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,217m² und wird von einer 16 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,217 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,217 m² = π r_in² | :π

0,706 m² = r_in²

0,84 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,84 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,16 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1² ≈ 3,142 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,217 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 3,142 m² - 2,217 m² = 0,925 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,925 m² ⋅ 4 m = 3,7 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 3,7 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 8880 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen