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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 44 m und die Höhe h = 8 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 442 m² ≈ 6082,12 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6082.12 m² ⋅ 8 m ≈ 48656,99 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 m ≈ 276.46 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6082.12 m² + 8 m ⋅ 2π ⋅ 44 m
≈ 12164.25 m² + 8 m ⋅ 276.46 m
≈ 12164.25 m² + 2211.68 m²
≈
14375,93 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 973.9 cm² = und den Radius r = 31 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 973.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 312 cm² ≈ 3019,07 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3019.07 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3019.07 cm² ⋅ 5 cm ≈ 15095,35 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 395.8 cm² = und den Radius r = 14 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 395.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 142 cm² ≈ 615,75 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 cm² mit der Höhe h = 4.5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 615.75 cm² ⋅ 4.5 cm ≈ 2770,88 cm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,131m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,131 zu berechen.
Ain = π rin2
1,131 m² = π rin2 | :π
0,36 m² = rin2
0,6 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,6 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,7 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,72 ≈ 1,539 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,131 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,539 m2 - 1,131 m2 = 0,408 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 0,408 m2 ⋅ 2 m = 0,817 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 0,817 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 2124,2 kg.