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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 41 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 41² cm² ≈ 5281,02 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 cm² ⋅ 5 cm ≈ 26405,09 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 cm ≈ 257.61 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 41 cm
≈ 10562.03 cm² + 5 cm ⋅ 257.61 cm
≈ 10562.03 cm² + 1288.05 cm²
≈ 11850,09 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 37714.8 cm³ = und den Radius r = 49 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 49^{2} \cdot h$ = 37714.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$7 543,942 h$ = $37 714,8$

$7 543,942 h$	=	$37 714,8$	\|: $7 543,942$
$h$	=	$4,9993$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 49² cm² ≈ 7542,96 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅49 cm ≈ 307.88 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7542.96 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 49 cm
≈ 15085.93 cm² + 5 cm ⋅ 307.88 cm
≈ 15085.93 cm² + 1539.38 cm²
≈ 16625,31 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 9621.1 cm³ = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 2,5$ = 9621.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$7,855 r^{2}$ = $9 621,1$

$7,855 r^{2}$	=	$9 621,1$	\|: $7,855$
$r^{2}$	=	$1 224,83768$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 224,83768}$	≈ $- 34,998$
r₂	=	$\sqrt{1 224,83768}$	≈ $34,998$

Wir erhalten also r = 35 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 2.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅35 cm ≈ 219.91 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 2.5 cm ⋅ 2π ⋅ 35 cm
≈ 2.5 cm ⋅ 219.91 cm
≈ 549,78 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 0,985m² und wird von einer 9 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 0,985 zu berechen.

A_in = π r_in²

0,985 m² = π r_in² | :π

0,314 m² = r_in²

0,56 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,56 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,09 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 0,985 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 0,985 m² = 0,342 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,342 m² ⋅ 5 m = 1,711 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,711 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 4106,4 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen