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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 44 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 44² cm² ≈ 6082,12 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6082.12 cm² ⋅ 10 cm ≈ 60821,23 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 cm ≈ 276.46 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6082.12 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 44 cm
≈ 12164.25 cm² + 10 cm ⋅ 276.46 cm
≈ 12164.25 cm² + 2764.6 cm²
≈ 14928,85 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 16604.9 cm³ = und die Höhe h = 5.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 5,5$ = 16604.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$17,281 r^{2}$ = $16 604,9$

$17,281 r^{2}$	=	$16 604,9$	\|: $17,281$
$r^{2}$	=	$960,87611$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{960,87611}$	≈ $- 30,998$
r₂	=	$\sqrt{960,87611}$	≈ $30,998$

Wir erhalten also r = 31 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 31² cm² ≈ 3019,07 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 cm ≈ 194.78 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 cm² + 5.5 cm ⋅ 2π ⋅ 31 cm
≈ 6038.14 cm² + 5.5 cm ⋅ 194.78 cm
≈ 6038.14 cm² + 1071.28 cm²
≈ 7109,42 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1357.2 m² = und den Radius r = 12 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 12^{2} + 2 \cdot π \cdot 12 \cdot h$ = 1357.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$75,396 h + 904,752$ = $1 357,2$

$75,396 h + 904,752$	=	$1 357,2$	\| $- 904,752$
$75,396 h$	=	$452,448$	\|: $75,396$
$h$	=	$6,001$

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 12² m² ≈ 452,39 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 452.39 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 452.39 m² ⋅ 6 m ≈ 2714,34 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (8,08 cm)²
= 113,49 cm² - 102,552 cm²
= 10,938 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 10,938 cm² ⋅ 450 cm = 4922 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4922 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 39376 g = 39,376 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen