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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 90 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{90}{2}$ cm = 45cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 45² cm² ≈ 6361,73 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6361.73 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6361.73 cm² ⋅ 10 cm ≈ 63617,25 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅45 cm ≈ 282.74 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6361.73 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 45 cm
≈ 12723.45 cm² + 10 cm ⋅ 282.74 cm
≈ 12723.45 cm² + 2827.43 cm²
≈ 15550,88 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 8143 cm³ = und den Radius r = 18 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 18^{2} \cdot h$ = 8143

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 018,008 h$ = $8 143$

$1 018,008 h$	=	$8 143$	\|: $1 018,008$
$h$	=	$7,999$

Wir erhalten also h = 8 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 8 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 904,78 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 5064.2 m² = und den Radius r = 26 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 26^{2} + 2 \cdot π \cdot 26 \cdot h$ = 5064.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$163,358 h + 4 247,308$ = $5 064,2$

$163,358 h + 4 247,308$	=	$5 064,2$	\| $- 4 247,308$
$163,358 h$	=	$816,892$	\|: $163,358$
$h$	=	$5,0006$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 26² m² ≈ 2123,72 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2123.72 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2123.72 m² ⋅ 5 m ≈ 10618,58 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,659m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,659 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,659 m² = π r_in² | :π

0,846 m² = r_in²

0,92 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,92 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,05 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,05² ≈ 3,464 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,659 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 3,464 m² - 2,659 m² = 0,805 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,805 m² ⋅ 2 m = 1,609 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,609 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 3861,6 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen