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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 75 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 75 2 m = 37.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 37.52 m² ≈ 4417,86 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4417.86 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4417.86 m² ⋅ 9 m ≈ 39760,78 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37.5 m ≈ 235.62 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4417.86 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 37.5 m
≈ 8835.73 m² + 9 m ⋅ 235.62 m
≈ 8835.73 m² + 2120.58 m²
≈ 10956,3 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 141.4 cm³ = und den Radius r = 3 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 3 2 · h = 141.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

28,278h = 141,4

28,278h = 141,4 |:28,278
h = 5,0004

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 32 cm² ≈ 28,27 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3 cm ≈ 18.85 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 28.27 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 3 cm
≈ 56.55 cm² + 5 cm ⋅ 18.85 cm
≈ 56.55 cm² + 94.25 cm²
≈ 150,8 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 32672.6 mm³ = und die Höhe h = 6.5 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 6,5 = 32672.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

20,423 r 2 = 32672,6

20,423 r 2 = 32672,6 |:20,423
r 2 = 1599,79435 | ⋅2
r1 = - 1599,79435 ≈ -39,997
r2 = 1599,79435 ≈ 39,997

Wir erhalten also r = 40 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 402 mm² ≈ 5026,55 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 mm ≈ 251.33 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5026.55 mm² + 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 40 mm
≈ 10053.1 mm² + 6.5 mm ⋅ 251.33 mm
≈ 10053.1 mm² + 1633.63 mm²
≈ 11686,72 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,82 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6 cm)2 - 1 2 π (5,82 cm)2
= 56,549 cm2 - 53,207 cm2
= 3,342 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 3,342 cm2 ⋅ 650 cm = 2172 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2172 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 17376 g = 17,376 kg.