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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 11,5 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 11.52 cm² ≈ 415,48 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 415.48 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 415.48 cm² ⋅ 9 cm ≈ 3739,28 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅11.5 cm ≈ 72.26 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 415.48 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 11.5 cm
≈ 830.95 cm² + 9 cm ⋅ 72.26 cm
≈ 830.95 cm² + 650.31 cm²
≈ 1481,26 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 276.5 cm³ = und die Höhe h = 5.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 5,5 = 276.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

17,281 r 2 = 276,5

17,281 r 2 = 276,5 |:17,281
r 2 = 16,00023 | ⋅2
r1 = - 16,00023 ≈ -4
r2 = 16,00023 ≈ 4

Wir erhalten also r = 4 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 42 cm² ≈ 50,27 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 cm ≈ 25.13 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 cm² + 5.5 cm ⋅ 2π ⋅ 4 cm
≈ 100.53 cm² + 5.5 cm ⋅ 25.13 cm
≈ 100.53 cm² + 138.23 cm²
≈ 238,76 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1696.5 mm² = und den Radius r = 45 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 45 · h = 1696.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

282,735h = 1696,5

282,735h = 1696,5 |:282,735
h = 6,0003

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 452 mm² ≈ 6361,73 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6361.73 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6361.73 mm² ⋅ 6 mm ≈ 38170,35 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 600 cm = 6563 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 6563 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 52504 g = 52,504 kg.