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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 65 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 65 2 m = 32.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 32.52 m² ≈ 3318,31 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3318.31 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3318.31 m² ⋅ 10 m ≈ 33183,07 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32.5 m ≈ 204.2 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3318.31 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 32.5 m
≈ 6636.61 m² + 10 m ⋅ 204.2 m
≈ 6636.61 m² + 2042.04 m²
≈ 8678,65 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 12469 mm³ = und die Höhe h = 9 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 9 = 12469

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

28,278 r 2 = 12469

28,278 r 2 = 12469 |:28,278
r 2 = 440,94349 | ⋅2
r1 = - 440,94349 ≈ -20,999
r2 = 440,94349 ≈ 20,999

Wir erhalten also r = 21 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅21 mm ≈ 131.95 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 mm ⋅ 2π ⋅ 21 mm
≈ 9 mm ⋅ 131.95 mm
≈ 1187,52 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 703.7 m² = und die Höhe h = 8 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 8 = 703.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

50,264r = 703,7

50,264r = 703,7 |:50,264
r = 14,0001

Wir erhalten also r = 14 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 142 m² ≈ 615,75 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 615.75 m² ⋅ 8 m ≈ 4926,02 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 650 cm = 7110 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 7110 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 56880 g = 56,88 kg.