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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 6,5 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 6.52 m² ≈ 132,73 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 132.73 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 132.73 m² ⋅ 7 m ≈ 929,13 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅6.5 m ≈ 40.84 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 132.73 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 6.5 m
≈ 265.46 m² + 7 m ⋅ 40.84 m
≈ 265.46 m² + 285.88 m²
≈
551,35 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 898.5 mm² = und den Radius r = 22 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 898.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 222 mm² ≈ 1520,53 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 mm² mit der Höhe h = 6.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1520.53 mm² ⋅ 6.5 mm ≈ 9883,45 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2073.5 m² = und die Höhe h = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2073.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 33 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 332 m² ≈ 3421,19 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3421.19 m² ⋅ 10 m ≈ 34211,94 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,34 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,34 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,16 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (8,5 cm)2 - π (8,16
cm)2
= 113,49 cm2 - 104,592 cm2
=
8,898 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:
V = 8,898 cm2 ⋅ 400 cm = 3559 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 3559 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 28472 g = 28,472 kg.