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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 16,5 mm und die Höhe h = 5 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 16.52 mm² ≈ 855,3 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 855.3 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 855.3 mm² ⋅ 5 mm ≈ 4276,49 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16.5 mm ≈ 103.67 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 855.3 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 16.5 mm
≈ 1710.6 mm² + 5 mm ⋅ 103.67 mm
≈ 1710.6 mm² + 518.36 mm²
≈
2228,96 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 44334.2 mm³ = und die Höhe h = 8 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 44334.2
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = | ≈ | |
| r2 | = | ≈ |
Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 422 mm² ≈ 5541,77 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 mm ≈ 263.89 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 42 mm
≈ 11083.54 mm² + 8 mm ⋅ 263.89 mm
≈ 11083.54 mm² + 2111.15 mm²
≈
13194,69 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 36191.1 mm³ = und den Radius r = 48 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 36191.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 mm ≈ 301.59 mm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 5 mm ⋅ 2π ⋅ 48 mm
≈ 5 mm ⋅ 301.59 mm
≈ 1507,96 mm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,247m² und wird von einer 7 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,247 zu berechen.
Ain = π rin2
1,247 m² = π rin2 | :π
0,397 m² = rin2
0,63 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,63 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,07 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,7 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,72 ≈ 1,539 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,247 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,539 m2 - 1,247 m2 = 0,292 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:
V = 0,292 m2 ⋅ 3 m = 0,877 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 0,877 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 1929,4 kg.