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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 57 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 57 2 cm = 28.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 28.52 cm² ≈ 2551,76 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2551.76 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2551.76 cm² ⋅ 8 cm ≈ 20414,07 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅28.5 cm ≈ 179.07 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2551.76 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 28.5 cm
≈ 5103.52 cm² + 8 cm ⋅ 179.07 cm
≈ 5103.52 cm² + 1432.57 cm²
≈ 6536,08 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1143.5 mm² = und die Höhe h = 7 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 7 = 1143.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

43,981r = 1143,5

43,981r = 1143,5 |:43,981
r = 25,9999

Wir erhalten also r = 26 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 262 mm² ≈ 2123,72 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2123.72 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2123.72 mm² ⋅ 7 mm ≈ 14866,02 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 747.7 mm² = und den Radius r = 7 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 7 2 + 2⋅π · 7 · h = 747.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

43,981h +307,867 = 747,7

43,981h +307,867 = 747,7 | -307,867
43,981h = 439,833 |:43,981
h = 10,0005

Wir erhalten also h = 10 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 72 mm² ≈ 153,94 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 mm² ⋅ 10 mm ≈ 1539,38 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,539m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1.539 zu berechen.

Ain = π rin2

1.539 m² = π rin2 | :π

0.49 m² = rin2

0.7 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0.7 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0.1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0.8 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0.82 ≈ 2.011 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1.539 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2.011 m2 - 1.539 m2 = 0.472 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0.472 m2 ⋅ 5 m = 2.356 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:

m = 2.356 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 5654.4 kg.