Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 16,5 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 16.5² mm² ≈ 855,3 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 855.3 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 855.3 mm² ⋅ 6 mm ≈ 5131,79 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16.5 mm ≈ 103.67 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 855.3 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 16.5 mm
≈ 1710.6 mm² + 6 mm ⋅ 103.67 mm
≈ 1710.6 mm² + 622.04 mm²
≈ 2332,63 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1077.6 cm³ = und den Radius r = 7 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 7^{2} \cdot h$ = 1077.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$153,958 h$ = $1 077,6$

$153,958 h$	=	$1 077,6$	\|: $153,958$
$h$	=	$6,9993$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 7² cm² ≈ 153,94 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7 cm ≈ 43.98 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 153.94 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 7 cm
≈ 307.88 cm² + 7 cm ⋅ 43.98 cm
≈ 307.88 cm² + 307.88 cm²
≈ 615,75 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 9676.1 cm² = und die Höhe h = 9 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 9$ = 9676.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 9 r$ = $1 540$

r^{2} + 9 r

=

1 540

|

- 1 540

$r^{2} + 9 r - 1 540$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 540)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 6 160}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{6 241}}{2}$

r₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{6 241}}{2}$ = $\frac{- 9+79}{2}$ = $\frac{70}{2}$ = $35$

r₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{6 241}}{2}$ = $\frac{- 9-79}{2}$ = $\frac{- 88}{2}$ = $- 44$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 1 540)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $1540$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{6160}{4}$ = $\frac{6241}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{79}{2}$ = $- \frac{88}{2}$ = -44

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{79}{2}$ = $\frac{70}{2}$ = 35

Wir erhalten also r = 35 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 35² cm² ≈ 3848,45 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3848.45 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3848.45 cm² ⋅ 9 cm ≈ 34636,06 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 5,391m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 5,391 zu berechen.

A_in = π r_in²

5,391 m² = π r_in² | :π

1,716 m² = r_in²

1,31 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,31 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,45² ≈ 6,605 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 5,391 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 6,605 m² - 5,391 m² = 1,214 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,214 m² ⋅ 4 m = 4,856 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 4,856 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 11654,4 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen