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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 48 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 482 m² ≈ 7238,23 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7238.23 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 7238.23 m² ⋅ 7 m ≈ 50667,61 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 m ≈ 301.59 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 48 m
≈ 14476.46 m² + 7 m ⋅ 301.59 m
≈ 14476.46 m² + 2111.15 m²
≈
16587,61 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1508 m² = und die Höhe h = 6 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1508
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
= | |: | ||
= |
Wir erhalten also r = 40 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 402 m² ≈ 5026,55 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5026.55 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5026.55 m² ⋅ 6 m ≈ 30159,29 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 23605.9 mm³ = und den Radius r = 34 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 23605.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
= | |: | ||
= |
Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 342 mm² ≈ 3631,68 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅34 mm ≈ 213.63 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3631.68 mm² + 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 34 mm
≈ 7263.36 mm² + 6.5 mm ⋅ 213.63 mm
≈ 7263.36 mm² + 1388.58 mm²
≈
8651,95 mm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,094m² und wird von einer 6 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1.094 zu berechen.
Ain = π rin2
1.094 m² = π rin2 | :π
0.348 m² = rin2
0.59 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0.59 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0.06 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0.65 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0.652 ≈ 1.327 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1.094 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 1.327 m2 - 1.094 m2 = 0.233 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 0.233 m2 ⋅ 5 m = 1.169 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:
m = 1.169 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 2338 kg.