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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 31 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{31}{2}$ mm = 15.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 15.5² mm² ≈ 754,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 754.77 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 754.77 mm² ⋅ 8 mm ≈ 6038,14 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15.5 mm ≈ 97.39 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 754.77 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 15.5 mm
≈ 1509.54 mm² + 8 mm ⋅ 97.39 mm
≈ 1509.54 mm² + 779.11 mm²
≈ 2288,65 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 33250.6 cm³ = und die Höhe h = 6 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 6$ = 33250.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$18,852 r^{2}$ = $33 250,6$

$18,852 r^{2}$	=	$33 250,6$	\|: $18,852$
$r^{2}$	=	$1 763,77042$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 763,77042}$	≈ $- 41,997$
r₂	=	$\sqrt{1 763,77042}$	≈ $41,997$

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 42² cm² ≈ 5541,77 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 cm ≈ 263.89 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 42 cm
≈ 11083.54 cm² + 6 cm ⋅ 263.89 cm
≈ 11083.54 cm² + 1583.36 cm²
≈ 12666,9 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 2686.1 mm² = und die Höhe h = 3.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 3,5$ = 2686.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 3,5 r$ = $427,5$

r^{2} + 3,5 r

=

427,5

|

- 427,5

$r^{2} + 3,5 r - 427,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{{3,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 427,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{12,25 + 1 710}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 3,5 \pm \sqrt{1 722,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 3,5 + \sqrt{1 722,25}}{2}$ = $\frac{- 3,5+41,5}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = $19$

r₂ = $\frac{- 3,5 - \sqrt{1 722,25}}{2}$ = $\frac{- 3,5-41,5}{2}$ = $\frac{- 45}{2}$ = $- 22,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3,5}{2})}^{2} - (- 427,5)$ = $\frac{12.25}{4}$ $+$ $427,5$ = $\frac{12.25}{4}$ $+$ $\frac{1710}{4}$ = $\frac{1722.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1722,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3,5}{2}$ - $\frac{41,5}{2}$ ≈ -22.5

x₂ = $- \frac{3,5}{2}$ + $\frac{41,5}{2}$ ≈ 19

Wir erhalten also r = 19 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 19² mm² ≈ 1134,11 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 3969,4 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,217m² und wird von einer 16 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,217 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,217 m² = π r_in² | :π

0,706 m² = r_in²

0,84 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,84 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,16 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1² ≈ 3,142 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,217 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 3,142 m² - 2,217 m² = 0,925 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,925 m² ⋅ 5 m = 4,624 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 4,624 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 9248 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen