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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 43,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43.5² cm² ≈ 5944,68 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5944.68 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5944.68 cm² ⋅ 10 cm ≈ 59446,79 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43.5 cm ≈ 273.32 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5944.68 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 43.5 cm
≈ 11889.36 cm² + 10 cm ⋅ 273.32 cm
≈ 11889.36 cm² + 2733.19 cm²
≈ 14622,54 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1055.6 m² = und die Höhe h = 7 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 7$ = 1055.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$43,981 r$ = $1 055,6$

$43,981 r$	=	$1 055,6$	\|: $43,981$
$r$	=	$24,0013$

Wir erhalten also r = 24 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 24² m² ≈ 1809,56 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1809.56 m² ⋅ 7 m ≈ 12666,9 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 16619 mm³ = und die Höhe h = 10 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 10$ = 16619

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$31,42 r^{2}$ = $16 619$

$31,42 r^{2}$	=	$16 619$	\|: $31,42$
$r^{2}$	=	$528,93062$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{528,93062}$	≈ $- 22,998$
r₂	=	$\sqrt{528,93062}$	≈ $22,998$

Wir erhalten also r = 23 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 mm ≈ 144.51 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 10 mm ⋅ 2π ⋅ 23 mm
≈ 10 mm ⋅ 144.51 mm
≈ 1445,13 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,767m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,767 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,767 m² = π r_in² | :π

0,562 m² = r_in²

0,75 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,75 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,767 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 1,767 m² = 0,778 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,778 m² ⋅ 4 m = 3,11 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 3,11 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 6842 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen