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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 49 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{49}{2}$ m = 24.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 24.5² m² ≈ 1885,74 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1885.74 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1885.74 m² ⋅ 9 m ≈ 16971,67 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅24.5 m ≈ 153.94 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1885.74 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 24.5 m
≈ 3771.48 m² + 9 m ⋅ 153.94 m
≈ 3771.48 m² + 1385.44 m²
≈ 5156,92 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 68763.2 cm³ = und den Radius r = 48 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 48^{2} \cdot h$ = 68763.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$7 239,168 h$ = $68 763,2$

$7 239,168 h$	=	$68 763,2$	\|: $7 239,168$
$h$	=	$9,4988$

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 48² cm² ≈ 7238,23 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 cm ≈ 301.59 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 cm² + 9.5 cm ⋅ 2π ⋅ 48 cm
≈ 14476.46 cm² + 9.5 cm ⋅ 301.59 cm
≈ 14476.46 cm² + 2865.13 cm²
≈ 17341,59 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 10895 m³ = und die Höhe h = 3 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3$ = 10895

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$9,426 r^{2}$ = $10 895$

$9,426 r^{2}$	=	$10 895$	\|: $9,426$
$r^{2}$	=	$1 155,84553$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 155,84553}$	≈ $- 33,998$
r₂	=	$\sqrt{1 155,84553}$	≈ $33,998$

Wir erhalten also r = 34 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 34² m² ≈ 3631,68 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅34 m ≈ 213.63 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3631.68 m² + 3 m ⋅ 2π ⋅ 34 m
≈ 7263.36 m² + 3 m ⋅ 213.63 m
≈ 7263.36 m² + 640.88 m²
≈ 7904,25 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,061m² und wird von einer 9 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,061 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,061 m² = π r_in² | :π

0,656 m² = r_in²

0,81 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,81 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,09 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,061 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 2,061 m² = 0,484 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,484 m² ⋅ 5 m = 2,417 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 2,417 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 6284,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

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