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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 36 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 36 2 cm = 18cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 182 cm² ≈ 1017,88 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1017.88 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1017.88 cm² ⋅ 8 cm ≈ 8143,01 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 2035.75 cm² + 8 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 2035.75 cm² + 904.78 cm²
≈ 2940,53 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1809.6 m³ = und die Höhe h = 9 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 9 = 1809.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

28,278 r 2 = 1809,6

28,278 r 2 = 1809,6 |:28,278
r 2 = 63,99321 | ⋅2
r1 = - 63,99321 ≈ -8
r2 = 63,99321 ≈ 8

Wir erhalten also r = 8 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅8 m ≈ 50.27 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 m ⋅ 2π ⋅ 8 m
≈ 9 m ⋅ 50.27 m
≈ 452,39 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 6842.4 mm³ = und die Höhe h = 4.5 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 4,5 = 6842.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

14,139 r 2 = 6842,4

14,139 r 2 = 6842,4 |:14,139
r 2 = 483,93804 | ⋅2
r1 = - 483,93804 ≈ -21,999
r2 = 483,93804 ≈ 21,999

Wir erhalten also r = 22 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 222 mm² ≈ 1520,53 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 mm ≈ 138.23 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1520.53 mm² + 4.5 mm ⋅ 2π ⋅ 22 mm
≈ 3041.06 mm² + 4.5 mm ⋅ 138.23 mm
≈ 3041.06 mm² + 622.04 mm²
≈ 3663,1 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,24 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,24 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,76 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8 cm)2 - 1 2 π (7,76 cm)2
= 100,531 cm2 - 94,59 cm2
= 5,941 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 5,941 cm2 ⋅ 650 cm = 3862 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3862 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 30896 g = 30,896 kg.