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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 28,5 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 28.52 mm² ≈ 2551,76 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2551.76 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 2551.76 mm² ⋅ 8 mm ≈ 20414,07 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅28.5 mm ≈ 179.07 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2551.76 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 28.5 mm
≈ 5103.52 mm² + 8 mm ⋅ 179.07 mm
≈ 5103.52 mm² + 1432.57 mm²
≈
6536,08 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 961.3 mm² = und den Radius r = 17 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 961.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 172 mm² ≈ 907,92 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 907.92 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 907.92 mm² ⋅ 9 mm ≈ 8171,28 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 175.9 cm² = und den Radius r = 4 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 175.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 42 cm² ≈ 50,27 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 50.27 cm² ⋅ 7 cm ≈ 351,86 cm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,72 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (7 cm)2 - π (6,72
cm)2
= 76,969 cm2 - 70,935 cm2
=
6,034 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:
V = 6,034 cm2 ⋅ 450 cm = 2715 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 2715 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 21720 g = 21,72 kg.