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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 43 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² mm² ≈ 5808,8 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 mm² ⋅ 10 mm ≈ 58088,05 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43 mm ≈ 270.18 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5808.8 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 43 mm
≈ 11617.61 mm² + 10 mm ⋅ 270.18 mm
≈ 11617.61 mm² + 2701.77 mm²
≈ 14319,38 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3177.7 m³ = und den Radius r = 17 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 17^{2} \cdot h$ = 3177.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$908,038 h$ = $3 177,7$

$908,038 h$	=	$3 177,7$	\|: $908,038$
$h$	=	$3,4995$

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 17² m² ≈ 907,92 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17 m ≈ 106.81 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 907.92 m² + 3.5 m ⋅ 2π ⋅ 17 m
≈ 1815.84 m² + 3.5 m ⋅ 106.81 m
≈ 1815.84 m² + 373.85 m²
≈ 2189,69 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 15029.4 mm² = und die Höhe h = 6 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 6$ = 15029.4

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 6 r$ = $2 392$

r^{2} + 6 r

=

2 392

|

- 2 392

$r^{2} + 6 r - 2 392$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 392)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 9 568}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{9 604}}{2}$

r₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{9 604}}{2}$ = $\frac{- 6+98}{2}$ = $\frac{92}{2}$ = $46$

r₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{9 604}}{2}$ = $\frac{- 6-98}{2}$ = $\frac{- 104}{2}$ = $- 52$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 2 392)$ = $9$ $+$ $2392$ = $2401$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{2 401}$

x₁ = $- 3$ - $49$ = -52

x₂ = $- 3$ + $49$ = 46

Wir erhalten also r = 46 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 46² mm² ≈ 6647,61 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6647.61 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6647.61 mm² ⋅ 6 mm ≈ 39885,66 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 5,726m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 5,726 zu berechen.

A_in = π r_in²

5,726 m² = π r_in² | :π

1,823 m² = r_in²

1,35 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,35 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,5 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,5² ≈ 7,069 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 5,726 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 7,069 m² - 5,726 m² = 1,343 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,343 m² ⋅ 4 m = 5,372 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 5,372 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 12892,8 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen