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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 60 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{60}{2}$ m = 30m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30² m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 9 m ≈ 25446,9 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 m ≈ 188.5 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2827.43 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 30 m
≈ 5654.87 m² + 9 m ⋅ 188.5 m
≈ 5654.87 m² + 1696.46 m²
≈ 7351,33 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 5321.9 m³ = und den Radius r = 22 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 22^{2} \cdot h$ = 5321.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 520,728 h$ = $5 321,9$

$1 520,728 h$	=	$5 321,9$	\|: $1 520,728$
$h$	=	$3,4996$

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 22² m² ≈ 1520,53 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 m ≈ 138.23 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1520.53 m² + 3.5 m ⋅ 2π ⋅ 22 m
≈ 3041.06 m² + 3.5 m ⋅ 138.23 m
≈ 3041.06 m² + 483.81 m²
≈ 3524,87 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 5343.8 m² = und die Höhe h = 4.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 4,5$ = 5343.8

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 4,5 r$ = $850,5$

r^{2} + 4,5 r

=

850,5

|

- 850,5

$r^{2} + 4,5 r - 850,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{{4,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 850,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{20,25 + 3 402}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 4,5 \pm \sqrt{3 422,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 4,5 + \sqrt{3 422,25}}{2}$ = $\frac{- 4,5+58,5}{2}$ = $\frac{54}{2}$ = $27$

r₂ = $\frac{- 4,5 - \sqrt{3 422,25}}{2}$ = $\frac{- 4,5-58,5}{2}$ = $\frac{- 63}{2}$ = $- 31,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4,5}{2})}^{2} - (- 850,5)$ = $\frac{20.25}{4}$ $+$ $850,5$ = $\frac{20.25}{4}$ $+$ $\frac{3402}{4}$ = $\frac{3422.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{4,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{3422,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{4,5}{2}$ - $\frac{58,5}{2}$ ≈ -31.5

x₂ = $- \frac{4,5}{2}$ + $\frac{58,5}{2}$ ≈ 27

Wir erhalten also r = 27 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 27² m² ≈ 2290,22 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2290.22 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2290.22 m² ⋅ 4.5 m ≈ 10305,99 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,057m² und wird von einer 7 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,057 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,057 m² = π r_in² | :π

0,336 m² = r_in²

0,58 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,58 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,07 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,057 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 1,057 m² = 0,27 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,27 m² ⋅ 5 m = 1,352 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 1,352 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 3244,8 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen