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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 18 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 18 2 mm = 9mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 mm² ≈ 254,47 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 mm² ⋅ 9 mm ≈ 2290,22 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅9 mm ≈ 56.55 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 254.47 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 9 mm
≈ 508.94 mm² + 9 mm ⋅ 56.55 mm
≈ 508.94 mm² + 508.94 mm²
≈ 1017,88 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 6361.7 mm³ = und den Radius r = 15 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 15 2 · h = 6361.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

706,95h = 6361,7

706,95h = 6361,7 |:706,95
h = 8,9988

Wir erhalten also h = 9 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15 mm ≈ 94.25 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 mm ⋅ 2π ⋅ 15 mm
≈ 9 mm ⋅ 94.25 mm
≈ 848,23 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18051.6 m³ = und die Höhe h = 8.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 8,5 = 18051.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

26,707 r 2 = 18051,6

26,707 r 2 = 18051,6 |:26,707
r 2 = 675,91268 | ⋅2
r1 = - 675,91268 ≈ -25,998
r2 = 675,91268 ≈ 25,998

Wir erhalten also r = 26 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 262 m² ≈ 2123,72 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 m ≈ 163.36 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2123.72 m² + 8.5 m ⋅ 2π ⋅ 26 m
≈ 4247.43 m² + 8.5 m ⋅ 163.36 m
≈ 4247.43 m² + 1388.58 m²
≈ 5636,02 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 5,147m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 5,147 zu berechen.

Ain = π rin2

5,147 m² = π rin2 | :π

1,638 m² = rin2

1,28 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,28 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,452 ≈ 6,605 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 5,147 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,605 m2 - 5,147 m2 = 1,458 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,458 m2 ⋅ 4 m = 5,832 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 5,832 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 11664 kg.