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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 33 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 332 m² ≈ 3421,19 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3421.19 m² ⋅ 9 m ≈ 30790,75 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅33 m ≈ 207.35 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3421.19 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 33 m
≈ 6842.39 m² + 9 m ⋅ 207.35 m
≈ 6842.39 m² + 1866.11 m²
8708,49 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 25132.7 cm³ = und den Radius r = 40 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 40 2 · h = 25132.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

5027,2h = 25132,7

5027,2h = 25132,7 |:5027,2
h = 4,9993

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 cm ≈ 251.33 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5 cm ⋅ 2π ⋅ 40 cm
≈ 5 cm ⋅ 251.33 cm
1256,64 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 13194.7 mm² = und die Höhe h = 8 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r 2 + 2π · r · 8 = 13194.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

r 2 +8r = 2100

r 2 +8r = 2100 | -2100

r 2 +8r -2100 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

r1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · ( -2100 ) 21

r1,2 = -8 ± 64 +8400 2

r1,2 = -8 ± 8464 2

r1 = -8 + 8464 2 = -8 +92 2 = 84 2 = 42

r2 = -8 - 8464 2 = -8 -92 2 = -100 2 = -50

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - ( -2100 ) = 16+ 2100 = 2116

x1,2 = -4 ± 2116

x1 = -4 - 46 = -50

x2 = -4 + 46 = 42

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 mm² ≈ 5541,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 mm² ⋅ 8 mm ≈ 44334,16 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 0,95m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 0,95 zu berechen.

Ain = π rin2

0,95 m² = π rin2 | :π

0,302 m² = rin2

0,55 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,55 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,652 ≈ 1,327 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 0,95 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,327 m2 - 0,95 m2 = 0,377 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,377 m2 ⋅ 5 m = 1,885 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 1,885 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 4147 kg.