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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 61 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 61 2 cm = 30.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 30.52 cm² ≈ 2922,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2922.47 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2922.47 cm² ⋅ 10 cm ≈ 29224,67 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30.5 cm ≈ 191.64 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2922.47 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 30.5 cm
≈ 5844.93 cm² + 10 cm ⋅ 191.64 cm
≈ 5844.93 cm² + 1916.37 cm²
≈ 7761,3 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 989.6 m² = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 3,5 = 989.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

21,9905r = 989,6

21,9905r = 989,6 |:21,9905
r = 45,0013

Wir erhalten also r = 45 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 452 m² ≈ 6361,73 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6361.73 m² mit der Höhe h = 3.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6361.73 m² ⋅ 3.5 m ≈ 22266,04 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1715.3 m² = und den Radius r = 39 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 39 · h = 1715.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

245,037h = 1715,3

245,037h = 1715,3 |:245,037
h = 7,0002

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 392 m² ≈ 4778,36 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4778.36 m² ⋅ 7 m ≈ 33448,54 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,398m² und wird von einer 11 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,398 zu berechen.

Ain = π rin2

3,398 m² = π rin2 | :π

1,082 m² = rin2

1,04 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,04 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,11 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,15 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,152 ≈ 4,155 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,398 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,155 m2 - 3,398 m2 = 0,757 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 0,757 m2 ⋅ 3 m = 2,27 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 2,27 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 4540 kg.