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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 77 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{77}{2}$ cm = 38.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 38.5² cm² ≈ 4656,63 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4656.63 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4656.63 cm² ⋅ 8 cm ≈ 37253,01 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38.5 cm ≈ 241.9 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4656.63 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 38.5 cm
≈ 9313.25 cm² + 8 cm ⋅ 241.9 cm
≈ 9313.25 cm² + 1935.22 cm²
≈ 11248,47 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 923.6 mm² = und den Radius r = 42 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 42 \cdot h$ = 923.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$263,886 h$ = $923,6$

$263,886 h$	=	$923,6$	\|: $263,886$
$h$	=	$3,5$

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 42² mm² ≈ 5541,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 19396,19 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 62458 cm³ = und den Radius r = 47 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 47^{2} \cdot h$ = 62458

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$6 940,678 h$ = $62 458$

$6 940,678 h$	=	$62 458$	\|: $6 940,678$
$h$	=	$8,9988$

Wir erhalten also h = 9 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47 cm ≈ 295.31 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9 cm ⋅ 2π ⋅ 47 cm
≈ 9 cm ⋅ 295.31 cm
≈ 2657,79 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,398m² und wird von einer 16 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 3,398 zu berechen.

A_in = π r_in²

3,398 m² = π r_in² | :π

1,082 m² = r_in²

1,04 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,04 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,16 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,2 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,2² ≈ 4,524 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 3,398 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 4,524 m² - 3,398 m² = 1,126 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,126 m² ⋅ 2 m = 2,252 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 2,252 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 5404,8 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen