nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 25 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 25 2 m = 12.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 12.52 m² ≈ 490,87 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 490.87 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 490.87 m² ⋅ 7 m ≈ 3436,12 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12.5 m ≈ 78.54 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 490.87 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 12.5 m
≈ 981.75 m² + 7 m ⋅ 78.54 m
≈ 981.75 m² + 549.78 m²
≈ 1531,53 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1413.7 cm² = und den Radius r = 50 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 50 · h = 1413.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

314,15h = 1413,7

314,15h = 1413,7 |:314,15
h = 4,5001

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 502 cm² ≈ 7853,98 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 cm² mit der Höhe h = 4.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7853.98 cm² ⋅ 4.5 cm ≈ 35342,92 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 15503.8 cm² = und den Radius r = 47 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 47 2 + 2⋅π · 47 · h = 15503.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

295,301h +13879,147 = 15503,8

295,301h +13879,147 = 15503,8 | -13879,147
295,301h = 1624,653 |:295,301
h = 5,5017

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 472 cm² ≈ 6939,78 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 cm² mit der Höhe h = 5.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 cm² ⋅ 5.5 cm ≈ 38168,78 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0.42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6.58 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6.58 cm)2
= 76.969 cm2 - 68.01 cm2
= 8.959 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 8.959 cm2 ⋅ 650 cm = 5823 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 5823 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 46584 g = 46.584 kg.