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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 11 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 11 2 cm = 5.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 5.52 cm² ≈ 95,03 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 95.03 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 95.03 cm² ⋅ 10 cm ≈ 950,33 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5.5 cm ≈ 34.56 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 95.03 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 5.5 cm
≈ 190.07 cm² + 10 cm ⋅ 34.56 cm
≈ 190.07 cm² + 345.58 cm²
≈ 535,64 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 4241.2 mm³ = und den Radius r = 15 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 15 2 · h = 4241.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

706,95h = 4241,2

706,95h = 4241,2 |:706,95
h = 5,9993

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15 mm ≈ 94.25 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6 mm ⋅ 2π ⋅ 15 mm
≈ 6 mm ⋅ 94.25 mm
≈ 565,49 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 615.8 cm² = und den Radius r = 7 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 7 2 + 2⋅π · 7 · h = 615.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

43,981h +307,867 = 615,8

43,981h +307,867 = 615,8 | -307,867
43,981h = 307,933 |:43,981
h = 7,0015

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 72 cm² ≈ 153,94 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 cm² ⋅ 7 cm ≈ 1077,57 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 650 cm = 7110 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 7110 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 56880 g = 56,88 kg.