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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 24,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 24.5² cm² ≈ 1885,74 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1885.74 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1885.74 cm² ⋅ 10 cm ≈ 18857,41 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅24.5 cm ≈ 153.94 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1885.74 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 24.5 cm
≈ 3771.48 cm² + 10 cm ⋅ 153.94 cm
≈ 3771.48 cm² + 1539.38 cm²
≈ 5310,86 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1228.4 mm² = und den Radius r = 23 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 23 \cdot h$ = 1228.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$144,509 h$ = $1 228,4$

$144,509 h$	=	$1 228,4$	\|: $144,509$
$h$	=	$8,5005$

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 23² mm² ≈ 1661,9 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 14126,17 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 23764.6 cm³ = und die Höhe h = 4.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 4,5$ = 23764.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$14,139 r^{2}$ = $23 764,6$

$14,139 r^{2}$	=	$23 764,6$	\|: $14,139$
$r^{2}$	=	$1 680,78365$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 680,78365}$	≈ $- 40,997$
r₂	=	$\sqrt{1 680,78365}$	≈ $40,997$

Wir erhalten also r = 41 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 41² cm² ≈ 5281,02 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 cm ≈ 257.61 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 cm² + 4.5 cm ⋅ 2π ⋅ 41 cm
≈ 10562.03 cm² + 4.5 cm ⋅ 257.61 cm
≈ 10562.03 cm² + 1159.25 cm²
≈ 11721,28 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,524m² und wird von einer 15 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,524 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,524 m² = π r_in² | :π

1,44 m² = r_in²

1,2 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,2 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,15 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,35² ≈ 5,726 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,524 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,726 m² - 4,524 m² = 1,202 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,202 m² ⋅ 2 m = 2,403 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 2,403 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 4806 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen