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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 5 mm und die Höhe h = 5 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 5² mm² ≈ 78,54 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 mm² ⋅ 5 mm ≈ 392,7 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5 mm ≈ 31.42 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 78.54 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 5 mm
≈ 157.08 mm² + 5 mm ⋅ 31.42 mm
≈ 157.08 mm² + 157.08 mm²
≈ 314,16 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 2417.5 m³ = und den Radius r = 9 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 9^{2} \cdot h$ = 2417.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$254,502 h$ = $2 417,5$

$254,502 h$	=	$2 417,5$	\|: $254,502$
$h$	=	$9,4989$

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 9² m² ≈ 254,47 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅9 m ≈ 56.55 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 254.47 m² + 9.5 m ⋅ 2π ⋅ 9 m
≈ 508.94 m² + 9.5 m ⋅ 56.55 m
≈ 508.94 m² + 537.21 m²
≈ 1046,15 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 27218.8 m³ = und die Höhe h = 6 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 6$ = 27218.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$18,852 r^{2}$ = $27 218,8$

$18,852 r^{2}$	=	$27 218,8$	\|: $18,852$
$r^{2}$	=	$1 443,81498$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 443,81498}$	≈ $- 37,998$
r₂	=	$\sqrt{1 443,81498}$	≈ $37,998$

Wir erhalten also r = 38 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 38² m² ≈ 4536,46 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 m ≈ 238.76 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4536.46 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 38 m
≈ 9072.92 m² + 6 m ⋅ 238.76 m
≈ 9072.92 m² + 1432.57 m²
≈ 10505,49 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,32 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,32 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,18 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,18 cm)²
= 66,366 cm² - 59,992 cm²
= 6,374 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 6,374 cm² ⋅ 500 cm = 3187 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 3187 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 25496 g = 25,496 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen