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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 32,5 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 32.5² mm² ≈ 3318,31 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3318.31 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3318.31 mm² ⋅ 6 mm ≈ 19909,84 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅32.5 mm ≈ 204.2 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3318.31 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 32.5 mm
≈ 6636.61 mm² + 6 mm ⋅ 204.2 mm
≈ 6636.61 mm² + 1225.22 mm²
≈ 7861,84 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 62.8 cm² = und den Radius r = 4 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 4 \cdot h$ = 62.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$25,132 h$ = $62,8$

$25,132 h$	=	$62,8$	\|: $25,132$
$h$	=	$2,4988$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4² cm² ≈ 50,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 125,66 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 9971.4 cm³ = und den Radius r = 23 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 23^{2} \cdot h$ = 9971.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 662,118 h$ = $9 971,4$

$1 662,118 h$	=	$9 971,4$	\|: $1 662,118$
$h$	=	$5,9992$

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 23² cm² ≈ 1661,9 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 cm ≈ 144.51 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 23 cm
≈ 3323.81 cm² + 6 cm ⋅ 144.51 cm
≈ 3323.81 cm² + 867.08 cm²
≈ 4190,88 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,301m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,301 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,301 m² = π r_in² | :π

1,369 m² = r_in²

1,17 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,17 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,3 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,3² ≈ 5,309 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,301 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,309 m² - 4,301 m² = 1,008 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,008 m² ⋅ 3 m = 3,026 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 3,026 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 7262,4 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen