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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 84 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 84 2 m = 42m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 m² ≈ 5541,77 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 m² ⋅ 7 m ≈ 38792,39 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 m ≈ 263.89 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 42 m
≈ 11083.54 m² + 7 m ⋅ 263.89 m
≈ 11083.54 m² + 1847.26 m²
≈ 12930,8 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 141.4 m² = und die Höhe h = 2.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 2,5 = 141.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 141,4

15,7075r = 141,4 |:15,7075
r = 9,0021

Wir erhalten also r = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 m² ≈ 254,47 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 m² mit der Höhe h = 2.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 m² ⋅ 2.5 m ≈ 636,17 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 36021.5 m³ = und die Höhe h = 6.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 6,5 = 36021.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

20,423 r 2 = 36021,5

20,423 r 2 = 36021,5 |:20,423
r 2 = 1763,77124 | ⋅2
r1 = - 1763,77124 ≈ -41,997
r2 = 1763,77124 ≈ 41,997

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 m² ≈ 5541,77 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 m ≈ 263.89 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5541.77 m² + 6.5 m ⋅ 2π ⋅ 42 m
≈ 11083.54 m² + 6.5 m ⋅ 263.89 m
≈ 11083.54 m² + 1715.31 m²
≈ 12798,85 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,142m² und wird von einer 20 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,142 zu berechen.

Ain = π rin2

3,142 m² = π rin2 | :π

1 m² = rin2

1 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,2 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,2 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,22 ≈ 4,524 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,142 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,524 m2 - 3,142 m2 = 1,382 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 1,382 m2 ⋅ 5 m = 6,912 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 6,912 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 13824 kg.