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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 61 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{61}{2}$ cm = 30.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30.5² cm² ≈ 2922,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2922.47 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2922.47 cm² ⋅ 10 cm ≈ 29224,67 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30.5 cm ≈ 191.64 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2922.47 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 30.5 cm
≈ 5844.93 cm² + 10 cm ⋅ 191.64 cm
≈ 5844.93 cm² + 1916.37 cm²
≈ 7761,3 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 13804.2 mm³ = und den Radius r = 26 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 26^{2} \cdot h$ = 13804.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$2 123,992 h$ = $13 804,2$

$2 123,992 h$	=	$13 804,2$	\|: $2 123,992$
$h$	=	$6,4992$

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 26² mm² ≈ 2123,72 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 mm ≈ 163.36 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2123.72 mm² + 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 26 mm
≈ 4247.43 mm² + 6.5 mm ⋅ 163.36 mm
≈ 4247.43 mm² + 1061.86 mm²
≈ 5309,29 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1451.4 mm² = und den Radius r = 14 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 14^{2} + 2 \cdot π \cdot 14 \cdot h$ = 1451.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$87,962 h + 1 231,468$ = $1 451,4$

$87,962 h + 1 231,468$	=	$1 451,4$	\| $- 1 231,468$
$87,962 h$	=	$219,932$	\|: $87,962$
$h$	=	$2,5003$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 14² mm² ≈ 615,75 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 mm² mit der Höhe h = 2.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 615.75 mm² ⋅ 2.5 mm ≈ 1539,38 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,35 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,35 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,65 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,65 cm)²
= 76,969 cm² - 69,465 cm²
= 7,504 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 7,504 cm² ⋅ 650 cm = 4878 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4878 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 39024 g = 39,024 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen