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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 26 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 262 cm² ≈ 2123,72 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2123.72 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2123.72 cm² ⋅ 7 cm ≈ 14866,02 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 cm ≈ 163.36 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2123.72 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 26 cm
≈ 4247.43 cm² + 7 cm ⋅ 163.36 cm
≈ 4247.43 cm² + 1143.54 cm²
5390,97 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 141.4 mm² = und die Höhe h = 4.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 4,5 = 141.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

28,2735r = 141,4

28,2735r = 141,4 |:28,2735
r = 5,0011

Wir erhalten also r = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 mm² ≈ 78,54 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 mm² mit der Höhe h = 4.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 mm² ⋅ 4.5 mm ≈ 353,43 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2199.1 m² = und den Radius r = 50 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 50 · h = 2199.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

314,15h = 2199,1

314,15h = 2199,1 |:314,15
h = 7,0002

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 502 m² ≈ 7853,98 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7853.98 m² ⋅ 7 m ≈ 54977,87 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,164m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,164 zu berechen.

Ain = π rin2

2,164 m² = π rin2 | :π

0,689 m² = rin2

0,83 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,83 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,164 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,164 m2 = 0,978 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,978 m2 ⋅ 4 m = 3,909 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:

m = 3,909 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 9381,6 kg.