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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 33 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 33² m² ≈ 3421,19 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3421.19 m² ⋅ 9 m ≈ 30790,75 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅33 m ≈ 207.35 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3421.19 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 33 m
≈ 6842.39 m² + 9 m ⋅ 207.35 m
≈ 6842.39 m² + 1866.11 m²
≈ 8708,49 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 25132.7 cm³ = und den Radius r = 40 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 40^{2} \cdot h$ = 25132.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$5 027,2 h$ = $25 132,7$

$5 027,2 h$	=	$25 132,7$	\|: $5 027,2$
$h$	=	$4,9993$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 cm ≈ 251.33 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5 cm ⋅ 2π ⋅ 40 cm
≈ 5 cm ⋅ 251.33 cm
≈ 1256,64 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 13194.7 mm² = und die Höhe h = 8 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 8$ = 13194.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 8 r$ = $2 100$

r^{2} + 8 r

=

2 100

|

- 2 100

$r^{2} + 8 r - 2 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 100)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 8 400}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8 464}}{2}$

r₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{8 464}}{2}$ = $\frac{- 8+92}{2}$ = $\frac{84}{2}$ = $42$

r₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{8 464}}{2}$ = $\frac{- 8-92}{2}$ = $\frac{- 100}{2}$ = $- 50$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 2 100)$ = $16$ $+$ $2100$ = $2116$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{2 116}$

x₁ = $- 4$ - $46$ = -50

x₂ = $- 4$ + $46$ = 42

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 42² mm² ≈ 5541,77 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 mm² ⋅ 8 mm ≈ 44334,16 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 0,95m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 0,95 zu berechen.

A_in = π r_in²

0,95 m² = π r_in² | :π

0,302 m² = r_in²

0,55 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,55 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 0,95 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 0,95 m² = 0,377 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,377 m² ⋅ 5 m = 1,885 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 1,885 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 4147 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen