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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 44 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 44 2 cm = 22cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 222 cm² ≈ 1520,53 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1520.53 cm² ⋅ 9 cm ≈ 13684,78 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 cm ≈ 138.23 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1520.53 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 22 cm
≈ 3041.06 cm² + 9 cm ⋅ 138.23 cm
≈ 3041.06 cm² + 1244.07 cm²
≈ 4285,13 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 56504.7 m³ = und den Radius r = 46 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 46 2 · h = 56504.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

6648,472h = 56504,7

6648,472h = 56504,7 |:6648,472
h = 8,4989

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅46 m ≈ 289.03 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8.5 m ⋅ 2π ⋅ 46 m
≈ 8.5 m ⋅ 289.03 m
≈ 2456,73 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 537.2 cm² = und den Radius r = 19 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 19 · h = 537.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

119,377h = 537,2

119,377h = 537,2 |:119,377
h = 4,5

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 cm² ≈ 1134,11 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 cm² mit der Höhe h = 4.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 cm² ⋅ 4.5 cm ≈ 5103,52 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,58 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6,58 cm)2
= 76,969 cm2 - 68,01 cm2
= 8,959 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 8,959 cm2 ⋅ 500 cm = 4480 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4480 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 35840 g = 35,84 kg.