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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 19,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 19.5² mm² ≈ 1194,59 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1194.59 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1194.59 mm² ⋅ 9 mm ≈ 10751,32 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19.5 mm ≈ 122.52 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1194.59 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 19.5 mm
≈ 2389.18 mm² + 9 mm ⋅ 122.52 mm
≈ 2389.18 mm² + 1102.7 mm²
≈ 3491,88 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1495.4 cm² = und den Radius r = 34 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 34 \cdot h$ = 1495.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$213,622 h$ = $1 495,4$

$213,622 h$	=	$1 495,4$	\|: $213,622$
$h$	=	$7,0002$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 34² cm² ≈ 3631,68 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3631.68 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3631.68 cm² ⋅ 7 cm ≈ 25421,77 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3166.7 cm³ = und den Radius r = 12 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 12^{2} \cdot h$ = 3166.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$452,448 h$ = $3 166,7$

$452,448 h$	=	$3 166,7$	\|: $452,448$
$h$	=	$6,999$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 12² cm² ≈ 452,39 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12 cm ≈ 75.4 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 452.39 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 12 cm
≈ 904.78 cm² + 7 cm ⋅ 75.4 cm
≈ 904.78 cm² + 527.79 cm²
≈ 1432,57 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,269m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 3,269 zu berechen.

A_in = π r_in²

3,269 m² = π r_in² | :π

1,041 m² = r_in²

1,02 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,02 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,15 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,15² ≈ 4,155 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 3,269 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 4,155 m² - 3,269 m² = 0,886 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,886 m² ⋅ 5 m = 4,431 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 4,431 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 9748,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen