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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 57 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 57 2 m = 28.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 28.52 m² ≈ 2551,76 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2551.76 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2551.76 m² ⋅ 7 m ≈ 17862,31 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅28.5 m ≈ 179.07 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2551.76 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 28.5 m
≈ 5103.52 m² + 7 m ⋅ 179.07 m
≈ 5103.52 m² + 1253.5 m²
≈ 6357,01 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 23561.9 mm³ = und die Höhe h = 3 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 3 = 23561.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

9,426 r 2 = 23561,9

9,426 r 2 = 23561,9 |:9,426
r 2 = 2499,67112 | ⋅2
r1 = - 2499,67112 ≈ -49,997
r2 = 2499,67112 ≈ 49,997

Wir erhalten also r = 50 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 mm ≈ 314.16 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 mm ⋅ 2π ⋅ 50 mm
≈ 3 mm ⋅ 314.16 mm
≈ 942,48 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 45394.4 mm³ = und den Radius r = 39 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 39 2 · h = 45394.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

4778,982h = 45394,4

4778,982h = 45394,4 |:4778,982
h = 9,4988

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅39 mm ≈ 245.04 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 9.5 mm ⋅ 2π ⋅ 39 mm
≈ 9.5 mm ⋅ 245.04 mm
≈ 2327,92 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,24 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,24 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,76 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6 cm)2 - 1 2 π (5,76 cm)2
= 56,549 cm2 - 52,115 cm2
= 4,434 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 4,434 cm2 ⋅ 650 cm = 2882 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2882 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 23056 g = 23,056 kg.