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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 46 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{46}{2}$ mm = 23mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 23² mm² ≈ 1661,9 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 mm² ⋅ 10 mm ≈ 16619,03 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 mm ≈ 144.51 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 23 mm
≈ 3323.81 mm² + 10 mm ⋅ 144.51 mm
≈ 3323.81 mm² + 1445.13 mm²
≈ 4768,94 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 22266 mm³ = und die Höhe h = 3.5 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3,5$ = 22266

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$10,997 r^{2}$ = $22 266$

$10,997 r^{2}$	=	$22 266$	\|: $10,997$
$r^{2}$	=	$2 024,73402$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{2 024,73402}$	≈ $- 44,997$
r₂	=	$\sqrt{2 024,73402}$	≈ $44,997$

Wir erhalten also r = 45 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 45² mm² ≈ 6361,73 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅45 mm ≈ 282.74 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6361.73 mm² + 3.5 mm ⋅ 2π ⋅ 45 mm
≈ 12723.45 mm² + 3.5 mm ⋅ 282.74 mm
≈ 12723.45 mm² + 989.6 mm²
≈ 13713,05 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2073.5 m² = und die Höhe h = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 10$ = 2073.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$62,83 r$ = $2 073,5$

$62,83 r$	=	$2 073,5$	\|: $62,83$
$r$	=	$33,0018$

Wir erhalten also r = 33 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 33² m² ≈ 3421,19 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3421.19 m² ⋅ 10 m ≈ 34211,94 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,011m² und wird von einer 22 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,011 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,011 m² = π r_in² | :π

1,277 m² = r_in²

1,13 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,13 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,22 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,35² ≈ 5,726 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,011 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,726 m² - 4,011 m² = 1,715 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,715 m² ⋅ 4 m = 6,856 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 6,856 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 17825,6 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen