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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 22 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 22 2 cm = 11cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 112 cm² ≈ 380,13 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 380.13 cm² ⋅ 7 cm ≈ 2660,93 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅11 cm ≈ 69.12 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 380.13 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 11 cm
≈ 760.27 cm² + 7 cm ⋅ 69.12 cm
≈ 760.27 cm² + 483.81 cm²
≈ 1244,07 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 131.9 cm² = und den Radius r = 6 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 6 · h = 131.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

37,698h = 131,9

37,698h = 131,9 |:37,698
h = 3,4989

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 62 cm² ≈ 113,1 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 113.1 cm² mit der Höhe h = 3.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 113.1 cm² ⋅ 3.5 cm ≈ 395,84 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 7439.3 m² = und den Radius r = 32 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 32 2 + 2⋅π · 32 · h = 7439.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

201,056h +6433,792 = 7439,3

201,056h +6433,792 = 7439,3 | -6433,792
201,056h = 1005,508 |:201,056
h = 5,0011

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 322 m² ≈ 3216,99 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3216.99 m² ⋅ 5 m ≈ 16084,95 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,45 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,45 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,05 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,05 cm)2
= 88,357 cm2 - 78,073 cm2
= 10,284 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 550 cm:

V = 10,284 cm2 ⋅ 550 cm = 5657 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 5657 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 45256 g = 45,256 kg.