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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 19,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 19.52 cm² ≈ 1194,59 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1194.59 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1194.59 cm² ⋅ 10 cm ≈ 11945,91 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19.5 cm ≈ 122.52 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1194.59 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 19.5 cm
≈ 2389.18 cm² + 10 cm ⋅ 122.52 cm
≈ 2389.18 cm² + 1225.22 cm²
≈ 3614,4 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 5103.5 mm³ = und den Radius r = 19 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 19 2 · h = 5103.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

1134,262h = 5103,5

1134,262h = 5103,5 |:1134,262
h = 4,4994

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 4.5 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 4.5 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 537.21 mm²
≈ 2805,44 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 51698 mm³ = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 8,5 = 51698

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

26,707 r 2 = 51698

26,707 r 2 = 51698 |:26,707
r 2 = 1935,74718 | ⋅2
r1 = - 1935,74718 ≈ -43,997
r2 = 1935,74718 ≈ 43,997

Wir erhalten also r = 44 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 mm ≈ 276.46 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8.5 mm ⋅ 2π ⋅ 44 mm
≈ 8.5 mm ⋅ 276.46 mm
≈ 2349,91 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,35 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,35 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,65 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6,65 cm)2
= 76,969 cm2 - 69,465 cm2
= 7,504 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 7,504 cm2 ⋅ 300 cm = 2251 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2251 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 18008 g = 18,008 kg.