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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 44 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 44² mm² ≈ 6082,12 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6082.12 mm² ⋅ 8 mm ≈ 48656,99 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 mm ≈ 276.46 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6082.12 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 44 mm
≈ 12164.25 mm² + 8 mm ⋅ 276.46 mm
≈ 12164.25 mm² + 2211.68 mm²
≈ 14375,93 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3053.6 cm³ = und die Höhe h = 3 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3$ = 3053.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$9,426 r^{2}$ = $3 053,6$

$9,426 r^{2}$	=	$3 053,6$	\|: $9,426$
$r^{2}$	=	$323,95502$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{323,95502}$	≈ $- 17,999$
r₂	=	$\sqrt{323,95502}$	≈ $17,999$

Wir erhalten also r = 18 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 18² cm² ≈ 1017,88 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 cm² + 3 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 2035.75 cm² + 3 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 2035.75 cm² + 339.29 cm²
≈ 2375,04 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 276.5 m² = und die Höhe h = 7 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 7$ = 276.5

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 7 r$ = $44$

r^{2} + 7 r

=

44

|

- 44

$r^{2} + 7 r - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

r₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

r₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Wir erhalten also r = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 4² m² ≈ 50,27 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 50.27 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 50.27 m² ⋅ 7 m ≈ 351,86 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,011m² und wird von einer 22 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,011 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,011 m² = π r_in² | :π

1,277 m² = r_in²

1,13 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,13 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,22 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,35² ≈ 5,726 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,011 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,726 m² - 4,011 m² = 1,715 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,715 m² ⋅ 2 m = 3,428 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 3,428 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 8912,8 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen