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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 31,5 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 31.52 mm² ≈ 3117,25 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3117.25 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3117.25 mm² ⋅ 6 mm ≈ 18703,47 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31.5 mm ≈ 197.92 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3117.25 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 31.5 mm
≈ 6234.49 mm² + 6 mm ⋅ 197.92 mm
≈ 6234.49 mm² + 1187.52 mm²
≈ 7422,01 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 219.9 mm² = und den Radius r = 5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 5 · h = 219.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

31,415h = 219,9

31,415h = 219,9 |:31,415
h = 6,9998

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 mm² ≈ 78,54 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 mm² ⋅ 7 mm ≈ 549,78 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1388.6 mm² = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 8,5 = 1388.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

53,4055r = 1388,6

53,4055r = 1388,6 |:53,4055
r = 26,0011

Wir erhalten also r = 26 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 262 mm² ≈ 2123,72 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2123.72 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2123.72 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 18051,59 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 650 cm = 7110 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 7110 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 56880 g = 56,88 kg.