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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 30 mm und die Höhe h = 10 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 mm² ≈ 2827,43 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 mm² ⋅ 10 mm ≈ 28274,33 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 mm ≈ 188.5 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2827.43 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 30 mm
≈ 5654.87 mm² + 10 mm ⋅ 188.5 mm
≈ 5654.87 mm² + 1884.96 mm²
≈ 7539,82 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 12902.5 cm³ = und den Radius r = 37 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 37 2 · h = 12902.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

4301,398h = 12902,5

4301,398h = 12902,5 |:4301,398
h = 2,9996

Wir erhalten also h = 3 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37 cm ≈ 232.48 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 cm ⋅ 2π ⋅ 37 cm
≈ 3 cm ⋅ 232.48 cm
≈ 697,43 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 41563.3 m³ = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 7,5 = 41563.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

23,565 r 2 = 41563,3

23,565 r 2 = 41563,3 |:23,565
r 2 = 1763,77254 | ⋅2
r1 = - 1763,77254 ≈ -41,997
r2 = 1763,77254 ≈ 41,997

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42 m ≈ 263.89 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 42 m
≈ 7.5 m ⋅ 263.89 m
≈ 1979,2 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,247m² und wird von einer 7 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,247 zu berechen.

Ain = π rin2

1,247 m² = π rin2 | :π

0,397 m² = rin2

0,63 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,63 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,07 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,7 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,72 ≈ 1,539 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,247 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,539 m2 - 1,247 m2 = 0,292 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,292 m2 ⋅ 5 m = 1,462 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:

m = 1,462 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 3508,8 kg.