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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 63 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{63}{2}$ mm = 31.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 31.5² mm² ≈ 3117,25 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3117.25 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3117.25 mm² ⋅ 9 mm ≈ 28055,21 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31.5 mm ≈ 197.92 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3117.25 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 31.5 mm
≈ 6234.49 mm² + 9 mm ⋅ 197.92 mm
≈ 6234.49 mm² + 1781.28 mm²
≈ 8015,77 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1495.4 mm² = und den Radius r = 28 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 28 \cdot h$ = 1495.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$175,924 h$ = $1 495,4$

$175,924 h$	=	$1 495,4$	\|: $175,924$
$h$	=	$8,5003$

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 28² mm² ≈ 2463,01 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2463.01 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2463.01 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 20935,57 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 12968.5 mm² = und die Höhe h = 5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 5$ = 12968.5

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 5 r$ = $2 064$

r^{2} + 5 r

=

2 064

|

- 2 064

$r^{2} + 5 r - 2 064$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 064)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8 256}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{8 281}}{2}$

r₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{8 281}}{2}$ = $\frac{- 5+91}{2}$ = $\frac{86}{2}$ = $43$

r₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{8 281}}{2}$ = $\frac{- 5-91}{2}$ = $\frac{- 96}{2}$ = $- 48$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 2 064)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $2064$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{8256}{4}$ = $\frac{8281}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{8281}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{91}{2}$ = $- \frac{96}{2}$ = -48

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{91}{2}$ = $\frac{86}{2}$ = 43

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² mm² ≈ 5808,8 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 mm² ⋅ 5 mm ≈ 29044,02 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,815m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,815 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,815 m² = π r_in² | :π

0,578 m² = r_in²

0,76 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,76 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,9 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,9² ≈ 2,545 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,815 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 2,545 m² - 1,815 m² = 0,73 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,73 m² ⋅ 4 m = 2,92 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 2,92 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 7008 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen