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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 6 mm und die Höhe h = 5 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{6}{2}$ mm = 3mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 3² mm² ≈ 28,27 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 28.27 mm² ⋅ 5 mm ≈ 141,37 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3 mm ≈ 18.85 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 28.27 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 3 mm
≈ 56.55 mm² + 5 mm ⋅ 18.85 mm
≈ 56.55 mm² + 94.25 mm²
≈ 150,8 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 18321.8 cm³ = und die Höhe h = 4.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 4,5$ = 18321.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$14,139 r^{2}$ = $18 321,8$

$14,139 r^{2}$	=	$18 321,8$	\|: $14,139$
$r^{2}$	=	$1 295,83422$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 295,83422}$	≈ $- 35,998$
r₂	=	$\sqrt{1 295,83422}$	≈ $35,998$

Wir erhalten also r = 36 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36 cm ≈ 226.19 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4.5 cm ⋅ 2π ⋅ 36 cm
≈ 4.5 cm ⋅ 226.19 cm
≈ 1017,88 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 11102.4 mm² = und den Radius r = 38 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 38^{2} + 2 \cdot π \cdot 38 \cdot h$ = 11102.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$238,754 h + 9 072,652$ = $11 102,4$

$238,754 h + 9 072,652$	=	$11 102,4$	\| $- 9 072,652$
$238,754 h$	=	$2 029,748$	\|: $238,754$
$h$	=	$8,5014$

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 38² mm² ≈ 4536,46 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4536.46 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4536.46 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 38559,91 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,057m² und wird von einer 7 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,057 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,057 m² = π r_in² | :π

0,336 m² = r_in²

0,58 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,58 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,07 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,057 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 1,057 m² = 0,27 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,27 m² ⋅ 2 m = 0,541 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 0,541 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 1190,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen