Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 23 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 232 cm² ≈ 1661,9 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1661.9 cm² ⋅ 9 cm ≈ 14957,12 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 cm ≈ 144.51 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 23 cm
≈ 3323.81 cm² + 9 cm ⋅ 144.51 cm
≈ 3323.81 cm² + 1300.62 cm²
≈
4624,42 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1696.5 cm² = und die Höhe h = 7.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1696.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 36 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 362 cm² ≈ 4071,5 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4071.5 cm² mit der Höhe h = 7.5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4071.5 cm² ⋅ 7.5 cm ≈ 30536,28 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 1306.9 mm³ = und den Radius r = 8 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1306.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 82 mm² ≈ 201,06 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅8 mm ≈ 50.27 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 201.06 mm² + 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 8 mm
≈ 402.12 mm² + 6.5 mm ⋅ 50.27 mm
≈ 402.12 mm² + 326.73 mm²
≈
728,85 mm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,676m² und wird von einer 18 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,676 zu berechen.
Ain = π rin2
4,676 m² = π rin2 | :π
1,488 m² = rin2
1,22 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,22 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,18 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,4 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,42 ≈ 6,158 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,676 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,158 m2 - 4,676 m2 = 1,482 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 1,482 m2 ⋅ 4 m = 5,926 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:
m = 5,926 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 11852 kg.