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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 48,5 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 48.5² m² ≈ 7389,81 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7389.81 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7389.81 m² ⋅ 5 m ≈ 36949,06 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48.5 m ≈ 304.73 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7389.81 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 48.5 m
≈ 14779.62 m² + 5 m ⋅ 304.73 m
≈ 14779.62 m² + 1523.67 m²
≈ 16303,3 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1256.6 mm² = und die Höhe h = 10 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 10$ = 1256.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$62,83 r$ = $1 256,6$

$62,83 r$	=	$1 256,6$	\|: $62,83$
$r$	=	$20$

Wir erhalten also r = 20 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 20² mm² ≈ 1256,64 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1256.64 mm² mit der Höhe h = 10 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1256.64 mm² ⋅ 10 mm ≈ 12566,37 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 12428.1 m² = und die Höhe h = 3 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 3$ = 12428.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 3 r$ = $1 978$

r^{2} + 3 r

=

1 978

|

- 1 978

$r^{2} + 3 r - 1 978$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 978)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 7 912}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{7 921}}{2}$

r₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{7 921}}{2}$ = $\frac{- 3+89}{2}$ = $\frac{86}{2}$ = $43$

r₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{7 921}}{2}$ = $\frac{- 3-89}{2}$ = $\frac{- 92}{2}$ = $- 46$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 1 978)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $1978$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{7912}{4}$ = $\frac{7921}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{89}{2}$ = $- \frac{92}{2}$ = -46

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{89}{2}$ = $\frac{86}{2}$ = 43

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² m² ≈ 5808,8 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 m² mit der Höhe h = 3 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 m² ⋅ 3 m ≈ 17426,41 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,25 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,25 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 8,25 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (8,25 cm)²
= 113,49 cm² - 106,912 cm²
= 6,578 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 6,578 cm² ⋅ 400 cm = 2631 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2631 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 21048 g = 21,048 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen