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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 23,5 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 23.52 mm² ≈ 1734,94 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1734.94 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1734.94 mm² ⋅ 7 mm ≈ 12144,61 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23.5 mm ≈ 147.65 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1734.94 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 23.5 mm
≈ 3469.89 mm² + 7 mm ⋅ 147.65 mm
≈ 3469.89 mm² + 1033.58 mm²
≈
4503,47 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1121.5 cm² = und die Höhe h = 8.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1121.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 21 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 212 cm² ≈ 1385,44 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1385.44 cm² mit der Höhe h = 8.5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1385.44 cm² ⋅ 8.5 cm ≈ 11776,26 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 967.6 cm² = und die Höhe h = 7 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 967.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 22 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 222 cm² ≈ 1520,53 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1520.53 cm² ⋅ 7 cm ≈ 10643,72 cm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,835m² und wird von einer 20 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,835 zu berechen.
Ain = π rin2
2,835 m² = π rin2 | :π
0,902 m² = rin2
0,95 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,95 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,2 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,15 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,152 ≈ 4,155 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,835 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,155 m2 - 2,835 m2 = 1,32 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 1,32 m2 ⋅ 4 m = 5,278 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 5,278 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 13722,8 kg.