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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 15,5 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 15.52 cm² ≈ 754,77 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 754.77 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 754.77 cm² ⋅ 7 cm ≈ 5283,37 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15.5 cm ≈ 97.39 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 754.77 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 15.5 cm
≈ 1509.54 cm² + 7 cm ⋅ 97.39 cm
≈ 1509.54 cm² + 681.73 cm²
≈
2191,26 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2638.9 cm² = und den Radius r = 42 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2638.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 10 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 422 cm² ≈ 5541,77 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5541.77 cm² ⋅ 10 cm ≈ 55417,69 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 301.6 mm² = und den Radius r = 12 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 301.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 122 mm² ≈ 452,39 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 452.39 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 452.39 mm² ⋅ 4 mm ≈ 1809,56 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,112m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,112 zu berechen.
Ain = π rin2
2,112 m² = π rin2 | :π
0,672 m² = rin2
0,82 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,82 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,95 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,952 ≈ 2,835 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,112 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,835 m2 - 2,112 m2 = 0,723 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 0,723 m2 ⋅ 5 m = 3,614 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 3,614 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 9396,4 kg.