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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 24 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 242 cm² ≈ 1809,56 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1809.56 cm² ⋅ 5 cm ≈ 9047,79 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅24 cm ≈ 150.8 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1809.56 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 24 cm
≈ 3619.11 cm² + 5 cm ⋅ 150.8 cm
≈ 3619.11 cm² + 753.98 cm²
≈
4373,1 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 587.5 mm² = und den Radius r = 11 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 587.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 112 mm² ≈ 380,13 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 380.13 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 3231,13 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2507 m² = und die Höhe h = 9.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2507
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 42 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 422 m² ≈ 5541,77 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 m² mit der Höhe h = 9.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5541.77 m² ⋅ 9.5 m ≈ 52646,81 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,217m² und wird von einer 16 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,217 zu berechen.
Ain = π rin2
2,217 m² = π rin2 | :π
0,706 m² = rin2
0,84 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,84 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,16 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,217 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,217 m2 = 0,925 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 0,925 m2 ⋅ 5 m = 4,624 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 4,624 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 10172,8 kg.