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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 72 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 72 2 mm = 36mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 362 mm² ≈ 4071,5 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4071.5 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4071.5 mm² ⋅ 6 mm ≈ 24429,02 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36 mm ≈ 226.19 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4071.5 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 36 mm
≈ 8143.01 mm² + 6 mm ⋅ 226.19 mm
≈ 8143.01 mm² + 1357.17 mm²
≈ 9500,18 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 240.3 mm³ = und den Radius r = 3 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 3 2 · h = 240.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

28,278h = 240,3

28,278h = 240,3 |:28,278
h = 8,4978

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 32 mm² ≈ 28,27 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3 mm ≈ 18.85 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 28.27 mm² + 8.5 mm ⋅ 2π ⋅ 3 mm
≈ 56.55 mm² + 8.5 mm ⋅ 18.85 mm
≈ 56.55 mm² + 160.22 mm²
≈ 216,77 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1960.4 m² = und den Radius r = 39 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 39 · h = 1960.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

245,037h = 1960,4

245,037h = 1960,4 |:245,037
h = 8,0004

Wir erhalten also h = 8 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 392 m² ≈ 4778,36 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4778.36 m² ⋅ 8 m ≈ 38226,9 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,3 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,3 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,2 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,2 cm)2
= 88,357 cm2 - 81,43 cm2
= 6,927 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 6,927 cm2 ⋅ 450 cm = 3117 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 3117 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 24936 g = 24,936 kg.