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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 23 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 23² m² ≈ 1661,9 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1661.9 m² ⋅ 7 m ≈ 11633,32 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 m ≈ 144.51 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 23 m
≈ 3323.81 m² + 7 m ⋅ 144.51 m
≈ 3323.81 m² + 1011.59 m²
≈ 4335,4 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1181.2 m² = und den Radius r = 47 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 47 \cdot h$ = 1181.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$295,301 h$ = $1 181,2$

$295,301 h$	=	$1 181,2$	\|: $295,301$
$h$	=	$4$

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 47² m² ≈ 6939,78 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 m² mit der Höhe h = 4 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 m² ⋅ 4 m ≈ 27759,11 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 650.3 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 2,5$ = 650.3

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 2,5 r$ = $103,5$

r^{2} + 2,5 r

=

103,5

|

- 103,5

$r^{2} + 2,5 r - 103,5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 103,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 414}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{420,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 2,5 + \sqrt{420,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5+20,5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

r₂ = $\frac{- 2,5 - \sqrt{420,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5-20,5}{2}$ = $\frac{- 23}{2}$ = $- 11,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2,5}{2})}^{2} - (- 103,5)$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $103,5$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $\frac{414}{4}$ = $\frac{420.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{2,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{420,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{2,5}{2}$ - $\frac{20,5}{2}$ ≈ -11.5

x₂ = $- \frac{2,5}{2}$ + $\frac{20,5}{2}$ ≈ 9

Wir erhalten also r = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 9² cm² ≈ 254,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 636,17 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,26 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,26 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,24 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,24 cm)²
= 66,366 cm² - 61,163 cm²
= 5,203 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 5,203 cm² ⋅ 500 cm = 2602 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2602 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 20816 g = 20,816 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen