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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 15 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 15 2 cm = 7.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 7.52 cm² ≈ 176,71 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 176.71 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 176.71 cm² ⋅ 10 cm ≈ 1767,15 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7.5 cm ≈ 47.12 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 176.71 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 7.5 cm
≈ 353.43 cm² + 10 cm ⋅ 47.12 cm
≈ 353.43 cm² + 471.24 cm²
≈ 824,67 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 9669.8 m³ = und den Radius r = 18 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 18 2 · h = 9669.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

1018,008h = 9669,8

1018,008h = 9669,8 |:1018,008
h = 9,4987

Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 182 m² ≈ 1017,88 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 m ≈ 113.1 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 m² + 9.5 m ⋅ 2π ⋅ 18 m
≈ 2035.75 m² + 9.5 m ⋅ 113.1 m
≈ 2035.75 m² + 1074.42 m²
≈ 3110,18 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 157.1 m² = und die Höhe h = 5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 5 = 157.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

31,415r = 157,1

31,415r = 157,1 |:31,415
r = 5,0008

Wir erhalten also r = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 52 m² ≈ 78,54 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 78.54 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 78.54 m² ⋅ 5 m ≈ 392,7 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,021m² und wird von einer 8 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,021 zu berechen.

Ain = π rin2

1,021 m² = π rin2 | :π

0,325 m² = rin2

0,57 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,57 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,08 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,652 ≈ 1,327 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,021 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,327 m2 - 1,021 m2 = 0,306 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,306 m2 ⋅ 4 m = 1,226 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 1,226 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 2697,2 kg.