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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 30,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30.5² mm² ≈ 2922,47 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2922.47 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2922.47 mm² ⋅ 9 mm ≈ 26302,2 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30.5 mm ≈ 191.64 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2922.47 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 30.5 mm
≈ 5844.93 mm² + 9 mm ⋅ 191.64 mm
≈ 5844.93 mm² + 1724.73 mm²
≈ 7569,67 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 48657 mm³ = und die Höhe h = 8 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 8$ = 48657

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$25,136 r^{2}$ = $48 657$

$25,136 r^{2}$	=	$48 657$	\|: $25,136$
$r^{2}$	=	$1 935,74952$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{1 935,74952}$	≈ $- 43,997$
r₂	=	$\sqrt{1 935,74952}$	≈ $43,997$

Wir erhalten also r = 44 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44 mm ≈ 276.46 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8 mm ⋅ 2π ⋅ 44 mm
≈ 8 mm ⋅ 276.46 mm
≈ 2211,68 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1080.7 cm² = und den Radius r = 43 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 43 \cdot h$ = 1080.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$270,169 h$ = $1 080,7$

$270,169 h$	=	$1 080,7$	\|: $270,169$
$h$	=	$4,0001$

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² cm² ≈ 5808,8 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 cm² mit der Höhe h = 4 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 cm² ⋅ 4 cm ≈ 23235,22 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,205m² und wird von einer 19 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 3,205 zu berechen.

A_in = π r_in²

3,205 m² = π r_in² | :π

1,02 m² = r_in²

1,01 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,01 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,19 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,2 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,2² ≈ 4,524 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 3,205 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 4,524 m² - 3,205 m² = 1,319 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,319 m² ⋅ 2 m = 2,638 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 2,638 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 6858,8 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen