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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 55 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{55}{2}$ m = 27.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 27.5² m² ≈ 2375,83 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2375.83 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2375.83 m² ⋅ 6 m ≈ 14254,98 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅27.5 m ≈ 172.79 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2375.83 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 27.5 m
≈ 4751.66 m² + 6 m ⋅ 172.79 m
≈ 4751.66 m² + 1036.73 m²
≈ 5788,38 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2362.5 mm² = und den Radius r = 47 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 47 \cdot h$ = 2362.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$295,301 h$ = $2 362,5$

$295,301 h$	=	$2 362,5$	\|: $295,301$
$h$	=	$8,0003$

Wir erhalten also h = 8 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 47² mm² ≈ 6939,78 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 mm² ⋅ 8 mm ≈ 55518,23 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 141.4 cm³ = und den Radius r = 3 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 3^{2} \cdot h$ = 141.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$28,278 h$ = $141,4$

$28,278 h$	=	$141,4$	\|: $28,278$
$h$	=	$5,0004$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3 cm ≈ 18.85 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5 cm ⋅ 2π ⋅ 3 cm
≈ 5 cm ⋅ 18.85 cm
≈ 94,25 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 0,95m² und wird von einer 10 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 0,95 zu berechen.

A_in = π r_in²

0,95 m² = π r_in² | :π

0,302 m² = r_in²

0,55 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,55 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,1 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,65 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,65² ≈ 1,327 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 0,95 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,327 m² - 0,95 m² = 0,377 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 0,377 m² ⋅ 2 m = 0,754 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 0,754 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 1508 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen