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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 33,5 cm und die Höhe h = 6 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 33.5² cm² ≈ 3525,65 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3525.65 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3525.65 cm² ⋅ 6 cm ≈ 21153,91 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅33.5 cm ≈ 210.49 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3525.65 cm² + 6 cm ⋅ 2π ⋅ 33.5 cm
≈ 7051.3 cm² + 6 cm ⋅ 210.49 cm
≈ 7051.3 cm² + 1262.92 cm²
≈ 8314,22 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1335.2 mm² = und die Höhe h = 8.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 8,5$ = 1335.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$53,4055 r$ = $1 335,2$

$53,4055 r$	=	$1 335,2$	\|: $53,4055$
$r$	=	$25,0012$

Wir erhalten also r = 25 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 25² mm² ≈ 1963,5 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1963.5 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1963.5 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 16689,71 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1756.2 m² = und die Höhe h = 6.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 6,5$ = 1756.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$40,8395 r$ = $1 756,2$

$40,8395 r$	=	$1 756,2$	\|: $40,8395$
$r$	=	$43,0025$

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43² m² ≈ 5808,8 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5808.8 m² mit der Höhe h = 6.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5808.8 m² ⋅ 6.5 m ≈ 37757,23 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,227m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,227 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,227 m² = π r_in² | :π

1,345 m² = r_in²

1,16 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,16 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,3 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,3² ≈ 5,309 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,227 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,309 m² - 4,227 m² = 1,082 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,082 m² ⋅ 3 m = 3,246 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 3,246 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 7141,2 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen