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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 26,5 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 26.5² m² ≈ 2206,18 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2206.18 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2206.18 m² ⋅ 10 m ≈ 22061,83 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26.5 m ≈ 166.5 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2206.18 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 26.5 m
≈ 4412.37 m² + 10 m ⋅ 166.5 m
≈ 4412.37 m² + 1665.04 m²
≈ 6077,41 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 6842.4 m³ = und den Radius r = 22 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 22^{2} \cdot h$ = 6842.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 520,728 h$ = $6 842,4$

$1 520,728 h$	=	$6 842,4$	\|: $1 520,728$
$h$	=	$4,4994$

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 22² m² ≈ 1520,53 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 m ≈ 138.23 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1520.53 m² + 4.5 m ⋅ 2π ⋅ 22 m
≈ 3041.06 m² + 4.5 m ⋅ 138.23 m
≈ 3041.06 m² + 622.04 m²
≈ 3663,1 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 14531.4 m³ = und den Radius r = 29 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 29^{2} \cdot h$ = 14531.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$2 642,422 h$ = $14 531,4$

$2 642,422 h$	=	$14 531,4$	\|: $2 642,422$
$h$	=	$5,4993$

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅29 m ≈ 182.21 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5.5 m ⋅ 2π ⋅ 29 m
≈ 5.5 m ⋅ 182.21 m
≈ 1002,17 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,72 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,72 cm)²
= 76,969 cm² - 70,935 cm²
= 6,034 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 6,034 cm² ⋅ 400 cm = 2414 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2414 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 19312 g = 19,312 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen