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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 14,5 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 14.5² cm² ≈ 660,52 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 660.52 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 660.52 cm² ⋅ 7 cm ≈ 4623,64 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅14.5 cm ≈ 91.11 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 660.52 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 14.5 cm
≈ 1321.04 cm² + 7 cm ⋅ 91.11 cm
≈ 1321.04 cm² + 637.74 cm²
≈ 1958,78 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 728.8 mm² = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 4$ = 728.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$25,132 r$ = $728,8$

$25,132 r$	=	$728,8$	\|: $25,132$
$r$	=	$28,9989$

Wir erhalten also r = 29 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 29² mm² ≈ 2642,08 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2642.08 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2642.08 mm² ⋅ 4 mm ≈ 10568,32 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 8168.1 cm³ = und die Höhe h = 6.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 6,5$ = 8168.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$20,423 r^{2}$ = $8 168,1$

$20,423 r^{2}$	=	$8 168,1$	\|: $20,423$
$r^{2}$	=	$399,94614$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{399,94614}$	≈ $- 19,999$
r₂	=	$\sqrt{399,94614}$	≈ $19,999$

Wir erhalten also r = 20 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 20² cm² ≈ 1256,64 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅20 cm ≈ 125.66 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1256.64 cm² + 6.5 cm ⋅ 2π ⋅ 20 cm
≈ 2513.27 cm² + 6.5 cm ⋅ 125.66 cm
≈ 2513.27 cm² + 816.81 cm²
≈ 3330,09 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,664m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 3,664 zu berechen.

A_in = π r_in²

3,664 m² = π r_in² | :π

1,166 m² = r_in²

1,08 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,08 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,25 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,25² ≈ 4,909 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 3,664 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 4,909 m² - 3,664 m² = 1,245 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,245 m² ⋅ 3 m = 3,733 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m³:

m = 3,733 m³ ⋅ 2600 kg/m³ = 9705,8 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen