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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 17,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 17.52 cm² ≈ 962,11 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 962.11 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 962.11 cm² ⋅ 10 cm ≈ 9621,13 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17.5 cm ≈ 109.96 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 962.11 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 17.5 cm
≈ 1924.23 cm² + 10 cm ⋅ 109.96 cm
≈ 1924.23 cm² + 1099.56 cm²
≈ 3023,78 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1432.6 cm² = und den Radius r = 38 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 38 · h = 1432.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

238,754h = 1432,6

238,754h = 1432,6 |:238,754
h = 6,0003

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 382 cm² ≈ 4536,46 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4536.46 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4536.46 cm² ⋅ 6 cm ≈ 27218,76 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 21133.5 cm³ = und den Radius r = 31 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 31 2 · h = 21133.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

3019,462h = 21133,5

3019,462h = 21133,5 |:3019,462
h = 6,9991

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 cm ≈ 194.78 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7 cm ⋅ 2π ⋅ 31 cm
≈ 7 cm ⋅ 194.78 cm
≈ 1363,45 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,34 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,34 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,16 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,16 cm)2
= 113,49 cm2 - 104,592 cm2
= 8,898 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 550 cm:

V = 8,898 cm2 ⋅ 550 cm = 4894 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4894 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 39152 g = 39,152 kg.