Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 40,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 40.5² mm² ≈ 5153 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5153 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5153 mm² ⋅ 9 mm ≈ 46376,98 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40.5 mm ≈ 254.47 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5153 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 40.5 mm
≈ 10305.99 mm² + 9 mm ⋅ 254.47 mm
≈ 10305.99 mm² + 2290.22 mm²
≈ 12596,22 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 52800.7 mm³ = und den Radius r = 49 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 49^{2} \cdot h$ = 52800.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$7 543,942 h$ = $52 800,7$

$7 543,942 h$	=	$52 800,7$	\|: $7 543,942$
$h$	=	$6,9991$

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅49 mm ≈ 307.88 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7 mm ⋅ 2π ⋅ 49 mm
≈ 7 mm ⋅ 307.88 mm
≈ 2155,13 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 377 mm² = und die Höhe h = 4 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 4$ = 377

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 4 r$ = $60$

r^{2} + 4 r

=

60

|

- 60

$r^{2} + 4 r - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

r₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4+16}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

r₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4-16}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

Wir erhalten also r = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 6² mm² ≈ 113,1 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 113.1 mm² mit der Höhe h = 4 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 113.1 mm² ⋅ 4 mm ≈ 452,39 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,45 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,45 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 7,05 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (7,05 cm)²
= 88,357 cm² - 78,073 cm²
= 10,284 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 10,284 cm² ⋅ 450 cm = 4628 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4628 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 37024 g = 37,024 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen