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Abstand von A auf der Geraden AB

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten der beiden Punkte, die auf der Geraden durch A(0|-1|2) und B(-6|-13|-10) liegen und von A den Abstand 45 haben.

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Zuerst berechnen wir den Verbindungsvektor AB = ( -6 -12 -12 ) und dessen Länge: d=| AB |= (-6) 2 + (-12)2 + (-12) 2 = 324 = 18
Wir verkürzen nun den Vektor zu einem Einheitsvektor, indem wir durch dessen Länge teilen:

e = 1 18 ( -6 -12 -12 ) = ( - 1 3 - 2 3 - 2 3 )
Damit können wir die Gerade durch A und B mit einem Einheitsvektor als Richtungsvektor darstellen: x = ( 0 -1 2 ) +t ( - 1 3 - 2 3 - 2 3 ) .
Das heißt der Punkt X (vom Ortsvektor x ) ist immer t Einheiten vom Aufpunkt der Geraden A entfernt.

Für t=-45 und t=45 erhalten wir so also die gesuchten Punkte:

x = ( 0 -1 2 ) +45 ( - 1 3 - 2 3 - 2 3 ) = ( 0 -1 2 ) + ( -15 -30 -30 ) = ( -15 -31 -28 ) . Der erste gesuchte Punkt ist also P1(-15|-31|-28)

x = ( 0 -1 2 ) -45 ( - 1 3 - 2 3 - 2 3 ) = ( 0 -1 2 ) + ( 15 30 30 ) = ( 15 29 32 ) . Der zweite gesuchte Punkt ist also P2(15|29|32)

Abstand Punkt - Ebene E (mit Hesse-Form)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P(7|-6|-3) von der Ebene E: 6 x 1 -6 x 2 +3 x 3 = -12

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Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 6 7-6 ( - 6 )+3 ( - 3 )+12 | 6 2 + ( - 6 ) 2 + 3 2
= | 81 | 81 = 81 9 = 9

Abstand Punkt - Ebene E (mit Lotfußpunkt)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P(-10|-8|-16) von der Ebene E: - x 1 -4 x 2 -8 x 3 = 8 .
Berechne dabei auch den Lotfußpunkt.

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Der Normalenvektor der Ebene ist: n = ( -1 -4 -8 ) .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P(-10|-8|-16) geht:

g: x = ( -10 -8 -16 ) +t ( -1 -4 -8 )

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: - x 1 -4 x 2 -8 x 3 = 8 .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( -10 -8 -16 ) +t ( -1 -4 -8 ) und der Ebene E : - x 1 -4 x 2 -8 x 3 = 8 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( -10 -1 t | -8 -4 t | -16 -8 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

-1 · ( -10 - t ) -4 · ( -8 -4t ) -8 · ( -16 -8t ) = 8
t +10 +16t +32 +64t +128 = 8
81t +170 = 8 | -170
81t = -162 |:81
t = -2

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( -10 -1 t | -8 -4 t | -16 -8 t ) einsetzen.
=> D(-8|0|0).

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L(-8|0|0).

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P(-10|-8|-16) zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P(-10|-8|-16) und L(-8|0|0):
PL = ( -8-( - 10 ) 0-( - 8 ) 0-( - 16 ) ) = ( 2 8 16 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=| PL | = | ( 2 8 16 ) | = 2 2 + 82 + 16 2 = 324 = 18

Abstand Pkt-Ebene + 2. Pkt mit d

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P(11|-6|-4) von der Ebene E: -4 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = -4 .
Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

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Der Normalenvektor der Ebene ist: n = ( -4 4 2 ) .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P(11|-6|-4) geht:

g: x = ( 11 -6 -4 ) +t ( -4 4 2 )

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: -4 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = -4 .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( 11 -6 -4 ) +t ( -4 4 2 ) und der Ebene E : -4 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = -4 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( 11 -4 t | -6 +4 t | -4 +2 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

-4 · ( 11 -4t ) + 4 · ( -6 +4t ) + 2 · ( -4 +2t ) = -4
16t -44 +16t -24 +4t -8 = -4
36t -76 = -4 | +76
36t = 72 |:36
t = 2

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( 11 -4 t | -6 +4 t | -4 +2 t ) einsetzen.
=> D(3|2|0).

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L(3|2|0).

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P(11|-6|-4) zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P(11|-6|-4) und L(3|2|0):
PL = ( 3-11 2-( - 6 ) 0-( - 4 ) ) = ( -8 8 4 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=| PL | = | ( -8 8 4 ) | = (-8) 2 + 82 + 4 2 = 144 = 12

Wenn wir nun diesen Vektor PL an den Ortsvektor des Lotfußpunkts L anhängen, landen wir an dem an E gespiegelten Punkt von P, der natürlich den gleichen Abstand von E haben:

OQ = OL + PL = ( 3 2 0 ) + ( -8 8 4 ) = ( -5 10 4 )

Der Punkt Q(-5|10|4) hat also wie P auch den Abstand d = 12 zur Ebene E.

Ebene mit best. Abstand zu paral. E

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene E: -7 x 1 +6 x 2 -6 x 3 = -42 . Bestimme die Gleichung einer Ebene F, die parallel zu E ist und den Abstand d=22 zu E hat.

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An der Abbildung rechts erkennt man, dass eine zu E parallele Ebene den gleichen Normalenvektor n = ( -7 6 -6 ) wie die Ebene E hat. Also hat auch die Ebene F die Koordinatengleichung -7 x 1 +6 x 2 -6 x 3 = d

Um das d noch zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt auf der Ebene F. Diesen können wir bestimmen, wenn wir auf den Ortsvektor eines beliebigen Punkt PE einen Normalenvektor der Länge d=22 draufaddieren (weil der Normalenvektor ja orthoginal zu E und F ist.)

Dazu suchen wir zuerst mal einen beliebigen Punkt der Ebene E, z.B. einen Spurpunkt PE(6|0|0).

Die Länge des Normalenvektors berechnen wir mit | n | = (-7) 2 + 62 + (-6) 2 = 11, also gerade 1 2 des geforderten Abstands.

Wenn wir also von PE(6|0|0) 2 mal den Normalenvektor draufaddieren landen wir bei einem Punkt, der den Abstand d=22 von PE und damit auch von E hat:

OPF = OPE + 2⋅ n = ( 6 0 0 ) + 2⋅ ( -7 6 -6 ) = ( -8 12 -12 )

Jetzt können wir diesen PF in die die Koordinatengleichung -7 x 1 +6 x 2 -6 x 3 = d einsetzen um das d zu erhalten:

-7 · ( -8 ) + 6 · 12 -6 · ( -12 ) = 56 +72 +72 = 200, also d = 200

Die gesuchte Ebene ist also F: -7 x 1 +6 x 2 -6 x 3 = 200 .

Gerade mit best. Abstand zu E bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene E: 8 x 1 -4 x 2 +8 x 3 = -16 . Bestimme die Gleichung einer beliebigen Geraden, die parallel zu E ist und den Abstand d=36 zu E hat.

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An der Skizze erkennt man, dass eine zu E parallele Gerade einen Richtungsvektor haben muss, der orthogonal zum Normalenvektor n = ( 8 -4 8 ) der Ebene E ist. Es muss also gelten rv ( 8 -4 8 ) =0.

Davon gibt es natürlich ziemlich viele, einer davon ist z.B. ( 2 2 -1 ) ,
denn ( 2 2 -1 ) ( 8 -4 8 ) = 28 + 2(-4) + (-1)8 = 0.

Jetzt brauchen wir als Stützvektor noch einen Punkt, der den Abstand d=36 von der Ebene E hat.

Dazu suchen wir zuerst mal einen beliebigen Punkt der Ebene, z.B. einen Spurpunkt PE(-2|0|0). Wenn wir von diesem aus um eine Vielfaches des Normalenvektors von der Ebene weg gehen, dann ist die Länge dieses vervielfachten Normalenvektors gerade der Abstand des erreichten Punktes von der Ebene E.

Die Länge des Normalenvektors berechnen wir mit | n | = 8 2 + (-4)2 + 8 2 = 12, also gerade 1 3 des geforderten Abstands.

Wenn wir also von PE(-2|0|0) 3 mal den Normalenvektor draufaddieren landen wir bei einem Punkt, der den Abstand d=36 von PE und damit auch von E hat:

OA = OPE + 3⋅ n = ( -2 0 0 ) + 3⋅ ( 8 -4 8 ) = ( 22 -12 24 )

Eine mögliche Gerade wäre also g: x = ( 22 -12 24 ) +t ( 2 2 -1 ) .

Pyramidenvolumen rückwärts

Beispiel:

Eine gerade (senkrechte) Pyramide hat die quadratische Grundfläche ABCD mit A(0|0|3), B(6|0|3), C(6|6|3) und D(0|6|3).

Ihr Volumen beträgt 60 VE.

Bestimme die Koordinaten von einer der beiden möglichen Spitzen der Pyramide.

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Man erkennt, dass alle 4 Punkte den x3-Wert 3 haben. Die quadratische Grundfläche liegt also in der Ebene: x3 = 3.

Eine gerade (senkrechte) Pyramide bedeutet, dass der Mittelpunkt der Punkt der Grundfläche mit den kleinsten Abstand zur Spitze S der Pyramide ist (S liegt direkt "über dem"/orthogonal zum Mittelpunkt)

Als Mittelpunkt können wir beim Quadrat die Mitte zwischen A und C oder B und D wählen: . M ( 0+62 | 0+62 | 3+32 ) = M(3|3|3).

Da n = ( 0 0 1 ) der Normalenvektor der Grundflächenebene x3 = 3 ist, muss also die Pyramidenspitze S auf der Geraden g: x = ( 3 3 3 ) +t ( 0 0 1 ) liegen.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, setzen wir einfach alle bekannten Größen in die Volumenformel der Pyramide ein:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ a2 ⋅ h

60 = 1 3 ⋅ 62 ⋅ h

60 = 36 3 ⋅ h | ⋅ 3 36

5 = h

Weil der Normalenvektor n die Länge 1 hat, muss man also 5 mal den Normalenvektor zum Ortsvektor des Grundflächenmittelpunkts M addieren, um auf den Ortsvektor der Pyramidenspitze S zu kommen.

OS = OM + 5 ⋅ n = ( 3 3 3 ) + 5 ⋅ ( 0 0 1 ) = ( 3 3 8 )

Die gesuchte Spitze der Pyramide ist also bei S(3|3|8).

Theoretisch kann man die Spitze auch nach unten machen, dann müsste man eben 5 mal den Gegenvektor von n zum Grundflächenmittelpunkt addieren:

OS2 = OM - 5 ⋅ n = ( 3 3 3 ) - 5 ⋅ ( 0 0 1 ) = ( 3 3 -2 )

Kegelvolumen rückwärts

Beispiel:

Die kreisförmige Grundfläche eines geraden (senkrechten) Kegels liegt in der Ebene E: -3 x 1 +4 x 2 = 1 .

M(5|4|-3) ist der Mittelpunkt des Grundkreises, r = 5 dessen Radius. Das Volumen des Kegels beträgt 261,8 VE.

Bestimme die Koordinaten von einer der beiden möglichen Spitzen des Kegels.

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Ein gerader (senkrechter) Kegel bedeutet, dass der Mittelpunkt M(5|4|-3)der Punkt der Grundfläche mit den kleinsten Abstand zur Spitze S des Kegels ist (S liegt direkt "über dem"/orthogonal zum Mittelpunkt)

Da n = ( -3 4 0 ) der Normalenvektor der Grundflächenebene E: -3 x 1 +4 x 2 = 1 ist, muss also die Kegelspitze S auf der Geraden g: x = ( 5 4 -3 ) +t ( -3 4 0 ) liegen.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, setzen wir einfach alle bekannten Größen in die Volumenformel des Kegels ein:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ h

261.8 = 1 3 ⋅ π ⋅ 52 ⋅ h

261.8 = 25 3 ⋅ π ⋅ h | ⋅ 3 25

10 ≈ h

Die Länge des Normalenvektors n der Ebene ist | n | = (-3) 2 + 42 + 0 2 = 5.

10 5 = 2, wir brauchen also gerade 2 mal den Normalenvektor, um auf die Höhe h=10 zu kommen.

Man muss also 2 mal den Normalenvektor zum Ortsvektor des Grundflächenmittelpunkts M addieren, um auf den Ortsvektor der Pyramidenspitze S zu kommen.

OS = OM + 2 ⋅ n = ( 5 4 -3 ) + 2 ⋅ ( -3 4 0 ) = ( -1 12 -3 )

Die gesuchte Spitze der Pyramide ist also bei S(-1|12|-3).

Theoretisch kann man die Spitze auch nach unten machen, dann müsste man eben 2 mal den Gegenvektor von n zum Grundflächenmittelpunkt addieren:

OS2 = OM - 2 ⋅ n = ( 5 4 -3 ) - 2 ⋅ ( -3 4 0 ) = ( 11 -4 -3 )

Abstand Punkt-Gerade (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P(-4|0|-8) von der Geraden g: x = ( -10 -10 -13 ) +t ( 3 3 4 )

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Um den Abstand zwischen Punkt und Gerade zu bestimmen, müssen wir eine Hilfsebene bilden.
Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden x = ( -10 -10 -13 ) +t ( 3 3 4 ) und enthält unseren Punkt P(-4|0|-8).
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, ( 3 3 4 ) . Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = -44
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( -10 -10 -13 ) +t ( 3 3 4 ) und der Ebene E : 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = -44 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( -10 +3 t | -10 +3 t | -13 +4 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

3 · ( -10 +3t ) + 3 · ( -10 +3t ) + 4 · ( -13 +4t ) = -44
9t -30 +9t -30 +16t -52 = -44
34t -112 = -44 | +112
34t = 68 |:34
t = 2

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( -10 +3 t | -10 +3 t | -13 +4 t ) einsetzen.
=> D(-4|-4|-5).

Der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt P(-4|0|-8) und der Geraden x = ( -10 -10 -13 ) +t ( 3 3 4 ) ist nun der Abstand zwischen Punkt P(-4|0|-8) und dem Durchstoßpunkt D(-4|-4|-5)
Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-4|-4|-5) und P2(-4|0|-8):
P1P2 = ( -4-( - 4 ) 0-( - 4 ) -8-( - 5 ) ) = ( 0 4 -3 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 0 4 -3 ) | = 0 2 + 42 + (-3) 2 = 25 = 5

Abstand zweier windschiefer Geraden (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: x = ( 7 8 4 ) +t ( 8 8 5 ) und h: x = ( -50 -20 -7 ) +t ( 24 8 7 )

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Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( -50 -20 -7 ) +t ( 24 8 7 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( 7 8 4 ) +t ( 8 8 5 ) ist, also x = ( -50 -20 -7 ) + r ( 24 8 7 ) + s ( 8 8 5 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( 8 8 5 ) × ( 24 8 7 ) = ( 87-58 524-87 88-824 ) = ( 56-40 120-56 64-192 ) = ( 16 64 -128 ) = 16⋅ ( 1 4 -8 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(-50|-20|-7) in die allgemeine Ebenengleichung x 1 +4 x 2 -8 x 3 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

x 1 +4 x 2 -8 x 3 = -74

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( 7 8 4 ) +t ( 8 8 5 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (7|8|4), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 7+4 8-8 4+74 | 1 2 + 4 2 + ( - 8 ) 2
= | 81 | 81 = 81 9 = 9

Abstand windschiefer Geraden mit Lotfußpunkte (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: x = ( -2 -4 0 ) +t ( 2 -2 3 ) und h: x = ( 1 -2 -5 ) +t ( 2 1 0 )
Bestimme zusätzlich die Koordinaten der beiden Lotfußpunkte, also jener Punkte, auf den beiden Geraden, die den kleinsten Abstand zueinander haben;

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Wir bilden zunächst den Normalenvektor auf die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

n = ( 2 -2 3 ) × ( 2 1 0 ) = ( -20-31 32-20 21-( - 2 )2 ) = ( 0-3 6-0 2-( - 4 ) ) = ( -3 6 6 )

Nun stellen wir eine Hilfsebene auf, welche die Gerade g: x = ( -2 -4 0 ) +t ( 2 -2 3 ) und den Normalenvektor enthält. Dies ist die Ebene x = ( -2 -4 0 ) + r ( 2 -2 3 ) + s ( -3 6 6 ) .

Diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

10 x 1 +7 x 2 -2 x 3 = -48

Nun bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Gerade h: x = ( 1 -2 -5 ) +t ( 2 1 0 ) mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Dieser Durchstoßpunkt Lh(-3|-4|-5) ist bereits einer der zwei gesuchten Lotfuß-Punkte (der auf h), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Das ganze Spiel führen wir für den zweiten Punkt erneut durch. Wir stellen eine Hilfsebene auf, welche diesmal die andere Gerade h: x = ( 1 -2 -5 ) +t ( 2 1 0 ) sowie den Normalenvektor enthält.

Auch diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

2 x 1 -4 x 2 +5 x 3 = -15

Jetzt bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Geraden g: x = ( -2 -4 0 ) +t ( 2 -2 3 ) mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Dieser Durchstoßpunkt Lg( -4 | -2 | -3 ) ist der andere gesuchte Lotfuß-Punkt (auf g), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Schlussendlich bestimmen wir den Abstand zwischen diesen beiden Lotfußpunkten Lh( -3 | -4 | -5 ) und Lg(-4|-2|-3), also den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-3|-4|-5) und P2(-4|-2|-3):
P1P2 = ( -4-( - 3 ) -2-( - 4 ) -3-( - 5 ) ) = ( -1 2 2 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -1 2 2 ) | = (-1) 2 + 22 + 2 2 = 9 = 3